以不变应万变滚动圆问题方法研究初探

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教师《圆的周长》教学设计（通用15篇）

教师《圆的周长》教学设计教师《圆的周长》教学设计（通用15篇）教学设计是根据课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划。

以下是小编整理的圆的周长教学设计，希望对大家有帮助！教师《圆的周长》教学设计篇1教学目标：1、经历圆周率的形成过程，探索圆周长的计算公式，能正确计算圆的周长。

2、运用圆的周长的知识解决现实生活中的问题，体验数学的价值。

3、培养学生的操作试验、分析问题解决问题的能力。

使学生掌握一些数学方法。

4、通过介绍我国古代数学家对圆周率研究的贡献，对学生进行爱国主义和辩证唯物主义观点的启蒙教育、增强民族自豪感。

教学重点：推导圆的周长的计算公式，准确计算圆的周长。

教学难点：理解圆周率的意义。

教具准备：圆片、铁圈、绳子、直尺。

教学方法：观察、演示、小组合作交流教学过程：一、把准认知冲突，激发学习愿望。

1、问题从情境中引入：花花和亮亮进行赛跑比赛，花花绕着长方形地跑，亮亮绕着圆形跑。

花花跑的路程是长方形的什么？亮亮呢？同桌互相指一指学具中圆片的周长，说说圆的周长与长方形或正方形等图形的周长有什么不同？谁能说说什么是圆的周长？如果两人用相同速度，都跑一周，你认为花花和亮亮谁获胜的可能性大些？（引导揭示课题：圆的周长）2、化曲为直，测量周长。

（1）（出示铁环）直尺是直的，而圆是由曲线组成的，怎样测量圆的周长？讨论：把铁环拉直后测量——“剪开拉直”。

（2）出示易拉罐（指底面），这是一个什么圆形？你能将它“剪开拉直”测量出它的周长吗？你还能想出什么办法，将它化曲为直，测量出周长呢？讨论：方法1：可以用带子绕圆一周，剪去多余的部分，测出周长；方法2：将圆在直尺上滚动一周，测出周长。

(板书：“先绕后量”和“滚动测量”)（3）教师拿一根绳子拴着一个物体，将它旋转几周，指出物体旋转的轨迹是一个圆，你能用“化曲为直”的方法测量出圆的周长吗？（不能）教师再指出黑板上所画的圆，你还能用“化曲为直”的方法，测量它的周长吗？(不能)指出：化曲为直在测量圆的周长时存在一定局限性，必须要寻找一种普遍的方法来计算圆周长的方法。

六年级《圆周长》教学设计

六年级《圆周长》教学设计六年级《圆周长》教学设计1教学内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书数学》六年级上册第三单元《圆》62-64页的内容。

教学目标1、使学生认识圆的周长，掌握圆周率的意义和近似值，初步理解和掌握圆周长的计算公式，能正确计算圆的周长。

2、通过动手操作、实践探究的活动，培养和发展学生的空间观念，提高学生的抽象概括能力，渗透“化曲为直”的数学思想方法；通过小组合作学习，培养学生的合作意识。

3、通过渗透数学文化，培养学生的爱国情怀，激发学生的民族自豪感。

教材分析：《圆的周长》是六年级数学上册第三单元62至64页的内容。

这部分内容是在三年级上册学习了周长的一般概念以及长方形和正方形周长的计算的基础上进一步学习圆的周长的，同时它又是学生初步研究曲线图形的开始，为以后学习圆柱、圆锥等知识打好基础，因而它起着承前启后的作用，是小学几何初步知识教学中的一项重要内容。

学情分析：因为六年级学生正在经历从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的时期，所以在教学中，我注重从学生已有的知识和生活经验出发，通过自主探究、猜测验证、推导圆的周长计算公式，从而使学生理解公式中的固定值“π”是如何得来的。

教学重点：正确计算圆的周长。

教学难点：理解圆周率的意义，推导圆的周长的计算公式。

教学准备：一套多媒体课件、若干大小不同的圆片、一把直尺、一根绳子、一个计算器教学过程：（一）创设情境，提出问题。

师：同学们，是中国人扬眉吐气的一年，因为上海世博会的成功举办让我们有足够的理由为之骄傲和自豪。

虽然世博会已经于10月31日完美落幕，但是，这场规模空前的盛会却创造了7308万人次参观的新纪录。

其中，中国馆是众多展馆中的一朵奇葩，深受游客们的喜爱，它的外观好像古代的一顶帽子，因此又被称为“东方之冠”。

此外，城市地球馆也得到了中小学生的青睐。

同学们，瞧，这是地球馆中的地球模型，它叫“蓝色星球”。

如果杨老师绕着它的最大横截面走一圈，大约走多少米呢？（板书课题：圆的周长）【设计意图：上海世博会这个情境的创设是为了突破教材，以学生的兴趣作为出发点，使学生对新知识的学习充满了热情和渴望，激发学生的探索欲望，为后面的学习做好铺垫。

浅谈数学变化问题中的不变的方法不变问题中的可变的方法——以一

网
３
图
４
究解法的过程中体验几何问题的通性通法．
方法四
如图４，连接Ｃ，作ＥＭ上ＡＣ于点Ｍ，Ｅ，ｖ上ＦＣ，
（一）点动（点在线段上动改为点在直线＿卜动．结论不变）
点动１将原题中的“ 点Ｅ在边Ｃ上 ” 改为“ 点Ｅ在边
浅谈数学变化问题中的不变的方法，不变问题中的可变的方法
— —
以一道老题为例
１１６１００）
Ｃ＝Ｌ０．证出Ｏ＝Ｆ．从而ＯＥ＝ＥＦ，
◎谢玉玲试题如图．正方形ＡＢＣＤ中。Ａ
图
１
图２
ＡＣＢ＝４５ｏ．从而可证ＡＥ＝Ｅ通过对一道不变试题变化的方法的探究．既可ｉＪ：学生经
方法二
方法三
如图２，在
上取一点０，使Ａ０＝ＥＣ，连接
ＯＥ．不难证明 △ＡＥ０ＡＥＦＣ．
浅谈数学变化问题中的不变的方法不变问题中的可变的方法二利用类比思想方法研究变化问题的不变的方法动态变化是几何学习的又一亮点通过点动形成的不同问题既能让学生充分体验几何变化之美又能让学生在研究解法的过程中体验几何问题的通性通法
解题技巧与方法
辑ＪＩＥＴＩＪＩＱＩＡＯＹＵＦＡＮＧＦＡ
如图３，作ＥＯ上ＢＣ，交ＦＣ的延长线于点０，连
中，体会几何变换的重要性：又能在突出图形性质的探索过

幼儿园大班科学活动《有趣的滚动》教案（精选6篇）

幼儿园大班科学活动《有趣的滚动》教案（精选6篇）幼儿园大班科学活动《有趣的滚动》篇1活动目标：1、初步了解不同物体有不同的滚动路线。

2、自主探索出三类物体的滚动路线，并尝试记录。

3、在游戏中体验合作探索的乐趣，产生进一步探索物体滚动路线的兴趣。

活动准备：1、收集各种物品：罐头、杯子、球、纸盒、积木等。

2、小棒8根。

（为游戏《赶小猪》而备的赶“猪”棒。

）3、大记录纸一张，记号笔一支。

活动过程：一、第一次探索：哪些物体会滚动？在活动室里散放着纸杯、茶叶筒、球、塑料盒、积木等各种物品。

1、找一找：“小朋友，这里有我们平时用过、玩过的东西，请你们把会滚动的东西找出来。

”2、玩一玩：请你们玩一玩，为什么这些东西会滚动呢？3、说一说：为什么这些东西都能滚动？二、第二次探索：物体滚动的路线是怎样的？（活动重点）1、游戏：滚进球门。

老师介绍游戏玩法：小朋友两两一组，一人分开双脚做球门，一人滚动物体进球门，轮流进行。

2、集体交流，并尝试记录物体滚动的路线。

哪些小朋友的东西滚不进球门？”（幼儿回答、交流后，请幼儿把这些滚不进球门的东西都送到前面来，这样可以让大家看得更加清楚。

）为什么这些纸杯、方便面筒、肯德基筒就滚不进球门呢？（教师进行演示）出示大记录纸：谁能来记录一下它们的滚动路线？幼儿园大班科学活动《有趣的滚动》教案篇2活动目标：1、对滚动的物体产生兴趣，发现滚动物体的形状特征。

2、探索滚动轨迹与物体形状之间的关系。

3、尝试运用绘画记录的方式表达、交流物体滚动的轨迹，发展学习的自主性。

活动准备：三角形、梯形、方形积木；海洋球、玩具球；一次性杯子、圆台形的化妆品瓶子；电池、透明胶带等物体；记录卡片16份、小筐8个、PPT。

活动过程：一、引入活动，激发幼儿兴趣。

1、出示一圆形物体，操作滚动。

师：这是什么？幼：球师：老师把它轻轻一推，看它怎样了？幼：向前运动、动了、滚动……师小结：像这个球一样咕噜咕噜往前转动我们叫它滚动。

关于滚圆问题的若干思考

度恒为１０．８。
１３滚动和纯滚动．
圆沿着另外一个圆的内表面滚动，比较典型的例子是１９年山西省的一道竞赛试题：９０例２如图２圆的半径为ｒ圆（的半径，，二）
为４，从图中所示位置出发绕圆（作无滑动ｒ圆）滚动．要使圆的圆心返回到原来位圆滚置，
（）；Ａ３
（）；Ｂ４
（）；Ｃ５
（）．Ｄ６
点评：这两道题目在用词上各有特点：ｉ例用
不能算作是尘埃落定，其原因主要有两个方面：（）１一些概念在表述的时候仍显得相当模糊；
（）圆问题的本质还没被大家所知晓．２滚鉴于这种状况，笔者结合物理学知识谈谈自己对滚圆问题的一些认识，供读者参考．Ｉ有关概念的界定．
２１年第１期０１０
数学数学
１ｌｏ三
关于滚圆问题的若干思考
３５０浙江省慈溪市育才中学初中部童浩军１０３
一
个圆沿着其他物体的表面滚动，它的转数
动的圈数为 ……… … … … … … … … … … （）
问题在初中数学中已被讨论了二十余年（以下简称“ 圆问题”．于这场讨论笔者认为至今尚滚）关
现在来具体讨论滚圆（以下没特别说明，滚
动均指纯滚动）自转转数问题．的２沿折线型表面滚动．２１沿直线型表面滚动．如图３圆沿直线ｆ，由ｏ《位置滚动到ｏ（二）＝）位置（半径ＯＡ相应地移到《的位置）由于滚二），动时没有打滑，所以（０：Ａ二Ｂ＝Ｊ『）Ｅ的长，｝Ｃ显然

“圆形滚动”的问题探究

一
的路径等于圆周滚过的路程．
２圆在多边形外侧滚动
问题２如图，个半径为ｒ的圆。在折线Ｚ上滚动一段路程，点为Ａ，起终点为Ｂ，圆心０经过的问路径是多少？探究结论：圆心０所
般结论：圆在长方形的外侧滚动１圈，圆心所经历的路径等于正方形的周长再加上圆的１个周长．问题４如图，个半一径为ｒ的圆０在正 △ ＡＢＣ的外侧自Ｄ点开始滚动１圈回到点Ｄ，圆心Ｏ经问过的路径是多少？探究结论：圆心０所经历的路径Ｌｏ于等正 △ ＡＢＣ的周长３ＡＢ，加上圆心０在三个再顶点处旋转经过的弧长之和（好是一个周刚长）即Ｌ一３，ｏＡＢ＋２ｒ兀．探究发现：圆心在各个顶点处旋转经过的度数刚好是它的外角，过的度数之和就等于转多边形的外角之和３０．６。问题５一个半径为ｒ的圆０在任意多边形的外侧自Ｐ点开始滚动１圈回到点Ｐ，问圆心０经过的路径是多少？般结论：圆在任意多边形的外侧滚动１圈，心所经历的路径等于多边形的周长和圆圆的周长之和．
・
４・０
数学教育研究
２００６年第２期
Ｌ。是以Ｍ为圆心，（就以Ｒ＋ｒ为半径的大圆）周长，Ｌ＝２（即。７Ｒ＋ｒ．）般结论：圆在圆周的外侧滚动１圈，圆心所经历的路径等于这两个圆的周长之和．继续探索：在这个过程中圆Ｏ自转了多少

圆的动点问题方法总结

圆的动点问题方法总结
圆的动点问题涉及圆的运动轨迹和动点的位置变化。

在解决这类问题时，我们
可以采用以下方法：
1. 构建几何模型：首先，我们可以通过绘制几何图形来简化问题。

将圆和动点
在纸上画出来，有助于我们更清楚地理解问题。

2. 利用圆的性质：圆有很多重要的性质，我们可以利用这些性质来解决动点问题。

例如，圆的半径和直径之间的关系，圆的切线和切点的性质等。

3. 使用向量方法：在处理圆的动点问题时，向量方法很有用。

我们可以将动点
的位置表示为向量，并使用向量的运算规则来解决问题。

例如，我们可以用位置向量来表示动点的位置，并使用向量的加法和减法来计算动点的移动方向和距离。

4. 应用三角函数：如果涉及到角度的变化，我们可以使用三角函数来解决问题。

例如，如果动点绕圆心旋转，我们可以使用正弦和余弦函数来描述动点在不同位置的坐标变化。

5. 运用解析几何：解析几何是解决圆的动点问题的常用方法之一。

我们可以使
用坐标系和代数方程来描述圆和动点的运动轨迹。

通过求解方程组，我们可以得到动点的位置和移动方向。

总的来说，解决圆的动点问题需要充分利用圆的性质，运用几何、向量、三角
函数和解析几何等方法。

通过选择合适的方法，我们可以更好地理解问题并求解出准确的结果。

关于刚体无滑滚动的教学探讨

。
，：，＝— — Ｆ
３Ｒ
（５））
— —
ｆ
／
由（５）式可见：
—
—
—
—
一
ｒ，Ｔ
图２
Ｌ— ——
ｒ『
Ｊ
（１）当２ｒ — Ｒ＞＿０，即ｒ＞．二Ｒ时，静摩擦力方
２
图３
Ｒ向与外力方向相同；大小为厂： — ２ｒ－Ｆ。
Ｆｒ＝Ｉｃ
（２）
（３）
方向相同，表明刚体受静摩擦力的作用，且静摩擦力方向与外力方向相反；
，，
（２）当２Ｒ一５ｒ＝０，即ｒ＝－Ｒ时，口＝０，表
［收稿日期］２ｏ１２ — ０８ — ２１
［作者简介］封素芹（１９６５一），女，河北平山人，毕业于河北师范大学物理系，主要从事物理学教学与研究
—
对置于粗糙斜面上作无滑滚动的圆柱体来讲，圆柱体上Ｐ点（如图３所示）所受静摩擦力尹与斜面
所受静摩擦力（图中未画出）是一对作用力与反作用力，对斜面而言，由于斜面固定不动，静摩（２）当２ｒ — Ｒ＝０，即ｒ＝二Ｒ时，刚体不受静擦力对斜面不做功。对圆柱体而言，由于圆柱
两部分组成，其合速度等于零，即＝＋，显绝对切向加速度相等）。这也就是通常的约束方程。然，静摩擦力方向与方向相反，与方向相同，比如最为典型和重要的约束方程就是圆柱体和球体
．
是使圆柱体转动的静摩擦力的瞬时功率，
．
在固定平面上的无滑滚动约束方程：ａ＝Ｉ。综上所述，刚体作无滑滚动时，静摩擦力的方向和大小与外力作用点及作用线的位置有关，由于刚体转动时，物体间相对运动的趋势不象平动那样直观，静摩擦力的方向就不象平动时那样容易判断。刚体作平面平行运动时，其动能包括平动动能和转动动能两部分，相比质点力学，从功、能角度分析问题难度也提高不少；此外，无滑滚动问题通常还需要写出约束方程。因此，无滑滚动问题是一个既十分重要，难度又大，又非常容易出错的问题。如果掌握了分析问题的基本方法，再加以认真练习，

滚子轴承拟动力学分析模型建立.1

不同分析方法的比较
拟静力学分析方法
方程性质
基于平衡方程的非线性代数方程组
动力学分析方法
基于运动方程的微分方程组
约束条件
需采用运动约束条件的假定
无需运动约束条件的假定
任何弹流润滑切向摩擦力模型均可采用解是时间的函数可分析滚子与保持架运动的不稳定全过程计算时间相当长可用于计算变化负荷下的动力不稳定性过程
xk
le (k 0.5) w 2
油膜厚度由道森-希金森公式求
Q1 jk -0.10 0.56 0V1bjk 0.69 ) ( ) ( ) h1jk 3.06(E1 R1r R1r E1 E1 Q2 jk -0.10 0.56 0U 2 bjk 0.69 h2jk 3.06(E2 ) ( ) ( ) R2 r R2 r E2 E2
高速空心滚子轴承的性能研究【大连交通大学.刘彦奎】
滚子轴承拟动力学分析
—模型建立.1
——2014.4.13
滚动轴承设计的主要基本理论
1 2 3 4
赫兹弹性接触理论套圈滚道控制理论
接触应力和变形的计算是滚动轴承特性分析的前提条件之一，奠定了滚动轴承接触分析的理论基础。
弹性流体动力润滑理论刚性套圈假设
套圈控制理论假设：滚动体在某一滚道上只有纯滚动,为“控制滚道”，在另一滚道既有滚动又有滑动，为研究在相互滚动或者滚动伴随有滑 “非控制滚道” 动的条件下,两弹性体之间流体润滑膜的力学特性，取消了刚性润滑边界的假设，可以计算出最小油膜厚度和摩擦力。轴承内、外套圈都不发生变形，只产生相对的刚性位移，轴承的变形只与滚动体和滚道局部接触部位的变形有关。
计算收敛性收敛性与弹流润滑切向摩擦力

课题图形的滚动

课题:图形的滚动执教：射阳二中胡仁界教学目标:经历对图形滚动类问题的探究过程，寻求解决滚动类数学问题的途径，培养学生用动态思维去分析问题和解决问题的能力，感受数学知识的趣味，体验到数学的魅力。

教学过程：一. 导入二. 探究活动一:圆的滚动1. 课前小实验:两枚如图同样大的硬币，其中一个固定，另一个沿其周围滚动。

滚动时两枚硬币总保持有一点相接触（外切），当滚动的硬币沿固定的硬币作无滑动滚动一圈回到原来的位置时，滚动的那个硬币自转了几周?2. 探讨:车轮的滚动在平地上,自行车车轮(设半径为R)滚动一周,前进了多少路程?由此你发现了什么规律？[即学即用]小明从家到学校的路程为1km,他骑的自行车的半径为30cm,那么,小明从家里骑车到学校,车轮大约转了多少圈?(π取3.14,精确到1圈.)3.你能说出硬币转动周数的计算方法吗?4.拓展:(1)有两个大小不等的圆,定圆⊙O 的半径为6cm,动圆⊙P 的半径为2cm,若⊙P 紧贴⊙O 外侧滚动一周,则 ⊙P 自转了多少圈?(2)若(1)中的⊙P 紧贴⊙O 内侧滚动一周,则 ⊙P 自转了多少圈?方法小结:如何计算滚动的圆自转的圈数?5.中考链接:[例1]将半径为2cm 的圆形纸板,沿着边长分别为16cm 和12cm 的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置,圆心所经过的路线长度是多少?.O .P ..变化:如果圆开纸板贴着矩形内侧滚动一周并回到开始的位置,圆心所经过的路线长度是多少?[例2]一位小朋友在粗糙不打滑的“Z ”形平面轨道上滚动一个半径为10cm 的圆盘，如图所示，AB 与CD 是水平的，BC 与水平面的夹角为60°，其中，AB=60cm,CD=40cm,BC=40cm,请你画出圆盘从A 点滚动到D 点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度。

三.探究活动二：多边形的滚动[例3]如图，把直角三角形ABC 的斜边AB 放在直线l 上，按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到△A 2B 2C 2的位置上，设BC ＝1，AC，则顶点A 运动到A 2的位置时，点A 经过的路线有多长？点A 经过的路线与直线l 所围成的图形的面积有多大？[例4] 如图,小正六边形沿着大正六边形的边,按顺时针方向滚动.小正六边形的边长是大正六边形边长的一半,如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置,在这个过程中线段OA 围绕着点O 旋转了多少度?四.课堂小结五.作业.A604040BA C DO A A B B C CA A .O O.《滚动的图形》探究练习班级_____学号______姓名________1. 如图一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）圈.2.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B 点从开始至结束走过的路径长度是____________。

用几何画板动态展示圆滚动周数的问题

用几何画板动态展示圆滚动周数的问题【摘要】在数学中考题和教科书中我们常常会遇到与圆滚动周数有关的问题，由于滚动是一种复合运动，包括滚动圆本身的自转及其沿着另一个几何图形的平移或旋转，故此类问题灵活性强，易被表面现象所迷惑，解题时易出现错误．几何画板是动态教学软件，它能动态展现几何图形各个元素的内在联系，特别是一些动态的生成过程（如轨迹问题）．本文针对动圆与定圆外切、内切的两种情况，先给出了一个简洁明快的分析过程，再介绍利用《几何画板》动态展示圆滚动的周数的问题．【关键词】几何画板；圆滚动的周数；外切；内切我们常常会遇到一类与圆的滚动有关的问题，由于此类问题灵活性较强，且易被表面现象所迷惑，解题时极易出现错误，有些同学感到难以理解，教师不知道如何解释。

本文针对动圆与定圆外切、内切的两种情况，首先给出了一个简洁明快的分析过程，再介绍利用《几何画板》动态展示圆滚动的周数的问题。

我们先引入概念：（1）动圆自转一周；（2）滚动。

动圆自转一周，是指圆心移动的同时，圆的任一半径绕圆心旋转了0360，半径终止时的状态与起始时的状态成同向平行（从圆心出发指着同一方向）。

滚动，是指一个物体（多为球形或圆柱形）在另一个物体上接触面不断改变的移动。

滚动其实是一种复合运动，包括两种运动：一是滚动圆本身的自转；另外还有滚动圆沿着另一个几何图形的平移或旋转。

由于在滚动过程中滚动圆除圆心外，其余各点相对于另一个几何图形的运动轨迹是变化的，很难把握其规律，而圆心相对于另一个几何图形的运动轨迹很容易确定，故解决圆的滚动问题，只要知道圆心轨迹的长度S 和滚圆的半径R , 就可以按公式S /2R π求出滚圆自身滚动的圈数。

1. 动圆与定圆外切的情况设半径为r 的动圆D 与半径为R 的定圆A 外切且作无滑动的滚动,当动圆绕定圆滚了一圈回到原处时,求动圆自转的周数。

分析如右图1：当动圆自转1周，动圆从初始位置点D 滚动圆1D ，半径PD 旋到1CD ，且1//CD PD ，记α=∠CAP ，显然⌒CmP 1= ⌒CP由于⌒CmP 1+ ⌒P 1C r π2=，得⌒CP + ⌒P 1C r π2= 即r r R παπαπ2180180=+得⌒D 1D =r π2 这表明动圆自转1周时，它的圆心描出的弧长恰好是动圆的周长，由此推出动圆自转的周数动圆周长动圆圆心移动路程=n 。

圆轮做纯滚动时静滑动摩擦力的变向问题

圆轮做纯滚动时静滑动摩擦力的变向问题圆轮是人们常用的一种机械装置，它能被用来传递力量或运动。

而纯滚动时，圆轮之间的摩擦力能够影响圆轮在表面的运动。

如果圆轮进行纯滚动时，其摩擦力的变向问题就会出现。

在这种情况下，圆轮可以在一定范围内改变摩擦力的变向，从而影响圆轮的运动状态。

首先，让我们来看一下，当圆轮作纯滚动时，摩擦力是怎么发生变向的。

圆轮会在与它接触的表面之间产生一定的摩擦力，它们之间的摩擦力可以通过磨擦的方式进行变向。

比如，如果圆轮在一个向右的方向上滚动，摩擦力会向右发生变向，形成所谓的“反摩擦”力。

反之，如果圆轮在向左的方向上滚动，摩擦力会向左发生变向，形成“正摩擦”力。

它们之间的交互作用也会形成回旋摩擦力，它们会和圆轮的表面相互抵消，使圆轮可以更加顺畅地滚动。

此外，我们还可以通过其他方法来调整圆轮滚动时摩擦力的变向。

调整圆轮表面的摩擦系数是一种方法，它可以提高滚动时摩擦力的密度，从而控制摩擦力的变向。

在这种情况下，摩擦系数的增大会使圆轮的发力力矩增大，从而使其向右滚动时摩擦力变向向右，向左滚动时摩擦力变向向左，从而改善圆轮的滑动状态。

另外，我们还可以改变圆轮的质量，从而改变摩擦力的分布。

比如，把质量均匀分散在圆轮的表面上，会使滚动时摩擦力均匀分布，从而使圆轮可以更加平滑地滚动。

最后，我们可以通过改善圆轮的设计和材料来改变摩擦力的变向。

比如，在改善圆轮的滚动质量方面，我们可以使用更低的摩擦常数的表面材料，从而降低圆轮的滚动摩擦力。

另外，圆轮的结构也会影响滚动时摩擦力的变向。

如果圆轮有更多的齿轮，就会使滚动时摩擦力分布更为均匀，从而改善圆轮的滑动状态。

总而言之，圆轮作纯滚动时，摩擦力的变向问题应当引起重视，我们可以通过改变圆轮表面的摩擦系数、质量和材料来改善圆轮的滑动状态。

总之，圆轮的摩擦力变向问题是非常重要的，它能够影响圆轮的滚动状态，从而影响其运动状态。

在实际应用中，我们应该根据实际情况，充分了解圆轮的运动特性，从而确定合适的方法来调整圆轮的摩擦力变向，以达到最佳的滚动状态。

发现日常生活中的滚动现象——有趣的滚动教学实践

作为一名教育工作者，我深知教育需要与时俱进，尤其是在数字化时代，我们教师需要把学生与数字技术联系起来，让他们更好地掌握使用数字技术的能力。

而滚动现象是一个非常有趣的教学话题，可以帮助学生更好地理解物理和数学概念。

在本文中，我们将探讨如何发现日常生活中的滚动现象，并且引入一些有趣的滚动教学实践。

一、日常生活中的滚动现象滚动是物理学家经常研究的一种动态现象。

我们在生活中也能很常见地看到它，如何制造旋转，如何使物体开始移动以及如何保持它们在运动中。

我们可以看到，当我们尝试将一些小球从一端推向另一端时，它们会沿着地面滚动。

这个过程中有许多可以探索的因素，例如小球的大小、形状，地面的摩擦力等等。

此外，许多机器和设备也是于滚动的。

如，苹果手机上的电话图标是可以滚动的，让用户可以访问更多的联系人。

二、滚动教学实践1.手掌滚动实验在这个实验中，我们可以使用一些小的球形物品来测试它们是如何滚动的。

我们需要使用手掌把它们推到地面上，看看它们会在什么样的情况下滚动，如何控制它们的方向以及速度。

学生们可以通过实践来深入了解滚动的物理原理。

2.纸卷滚动实验这个实验可以使用一张纸卷，把纸卷放在桌子上，接着放上一个小球，然后扶起纸板的一端，看看小球是如何沿着卷曲的纸板滚动的以及它的滚动速度和方向。

老师可以通过这个实验来向学生们展示如何利用滚动物体的原理来设计简单的机器和设备。

3.模拟滚动运动通过模拟滚动运动，让学生更好地理解滚动的物理原理。

首先放置一个硬币或其他圆形物体在桌面上，然后轻轻地向它推动。

当硬币开始转动时，让学生观察它的速度、方向和其他特征。

然后让学生自己尝试控制硬币的滚动速度和方向。

这个实践可以让学生更加深入地理解滚动的物理原理，以及使用滚动运动设计机器和设备的原理。

在滚动教学实践中，老师不仅可以帮助学生更好地理解滚动的物理和数学概念，更重要的是可以激发他们的探索欲望，让学生在实践中发现问题，提出解决方案，培养他们的创新和解决问题的能力。

《不变应万变——探究新函数的图像》优秀教案

1《不变应万变——探究新函数的图像》教案【教学目标】1.在学生已有认知的基础上，通过实例归纳出研究函数图像与性质的几个常见角度；2.运用所总结的方法继续探究新函数的图像，加深对上述方法的理解与感悟；3.经历对新函数图像的探究过程，感悟探究新函数图像的“通性通法”；4.通过对新函数图像的自主探究和图形计算器的验证，激发学生的探究兴趣，发展学生的学科核心素养．【教学重点】归纳总结研究函数性质的常见角度；感悟探究新函数图像的“通性通法”；【教学难点】在探究新函数图像的“通性通法”过程中激发学生的探究兴趣；【学情分析】函数是初中数学的核心内容之一。

初中的函数学习是高中继续学习函数的基础，初中学生通过一次函数、反比例函数和二次函数的学习，已经初步形成了研究函数图像与性质的基本方法和基本思路，积累起研究函数图像与性质的基本经验，为研究一些简单的新函数奠定了基础。

【教学过程】一、先行体验，方法提炼1.课堂前置练习（1）用快速的方法画出下列三个函数的图像，并尽可能多地写出它的性质．　①②③2+=x y xy 6=1)2(2++=x y （2）请你归纳总结研究函数的一般方法、你又会从哪几个方面来描述函数性质．2.在师生、生生对话中，逐步完成下列板书．2二、提出新问，引入课题师：根据刚才的讨论我们知道，研究函数的方法是有规律可循的，描述函数的性质也是有基本套路的．问题对于函数与，你还能快速画出来它们的图像26+=x y 1)2(62++=x y 吗？（学生沉默）师：看来，要画出陌生函数的图像，并不是一件容易的事.要想解决这些问题，就让我们走进今天的课堂——探究函数的图像．三、例题示范，感悟“通法”活动一、请你对函数的图像作出合情猜想.26+=x y 解析1.图像性质的分析．师：我们按照刚才总结的描述函数性质的几个角度，对函数的图像26+=x y3的性态作出合理分析．问题1 该函数图像的连续与间断情况如何？生：因为自变量x ≠-2，所以图像不与直线x=-2相交，即图像在直线x=-2的两侧，图像是不连续的．问题2 该函数图像与坐标轴的交点情况如何？生：因为x=0时，y=3，所以它与y 轴有交点；又因为y ≠0时，所以它与x 轴没有交点．问题3 该函数图像的分布情况如何？生：当x ＞-2时，y ＞0，此时图像在x 轴上方；当x ＜-2时，y ＜0，此时图像在x 轴下方．问题4 该函数的最值情况如何？（见学生有困难，老师作了如下提示：用手依次遮挡的分子6、分26+=x y 母x+2，引导学生回归到两个熟悉的函数与来思考问题，渗透复xy 6=2+=x y 合函数的思想.）生：因为函数可以取到0以外的所有函数值，所以没有最2+=x y 26+=x y 值．问题5 该函数的增减情况如何？生：中,y 随x 的增大而减小．26+=x y 师：从左到右一直是这样的吗？生：噢，要分两段看：在直线x=-2的左侧，y 随x 的增大而减小；在直线x=-2的左侧，y 也随x 的增大而减小．42.图像形状的确定．师：刚才我们分析了函数图像的一些性质，下面请大家试着画出该26+=x y 函数的图像.（先共同分析该函数图像不可能是直线、也不可能是抛物线，只可能是双曲线，然后请一位学生上黑板画出示意图，此略.）师：该同学作的图像正确吗？请大家利用图形计算器验证一下．（学生用图形计算器画图，发现上述分析和所画图像都正确）师：请你再画出的图像，看看这两个图像又有什么位置关系？xy 6=生：将的图像向左平移2个单位就是的图像．x y 6=62y x =+师：非常好！那么，你能说说，，的图像与26-=x y 26+=x y xx y 62+=的位置关系吗？xy 6=生：略．师：通过这个例题的分析，你有什么收获？（在学生回答的基础上，老师作如下板书（如图2所示））.函数表达式图像的连续与间断情况图像与坐标轴的交点图像分布情况已有函数的性质最值情况增减情况对称情况函数图像示意图图25xOy6(0,56图36四、知识升华，灵活应用活动探究：请分析函数图像的一些性质，并试着画出它的图1)2(62++=x y 像．（学生独立思考2～3分钟后，再分组讨论，类似例题的讨论方式，逐步得到该函数的图像如图3所示.）师：你能在图像中找到函数与的影子吗？xy 6=()122++=x y （进一步体现复合函数的思想. 学生在图3上指认，此略.）五、课堂总结，课后探究师：同学们，知识是相互联系的，又是相互作用的，而研究问题的方法是有规律可循的．今天，我们，不变应万变——探究了函数图像，希望同学们在今后的数学学习中，能用智慧的眼光，去探寻解决问题的方法，以促成知识的生长．探究作业请你选择一个函数对它的图像进行合情猜想，借助图形计算器加以验证，尽可能多地写出它的性质，并完成探究报告．探究报告探究人姓名探究方式自主探索 □小组合作 □探究主题函数_____图像xx y 1+=□□2102++=x x y 226x x y +=□□其他探究要求1．结合函数表达式，对函数的图像作出合情猜想；2．借助图形计算器验证你的猜想并画出函数图像；3．借助函数图像示意图写出图像性质．探究过程1．尽可能多地写出你的探究过程：2．借助图形计算器画出函数图像：（可另附纸）尽可能多地写出函数性质7。

圆绕图形无滑动滚动的问题

1 作无滑动滚动一周回到原来的位置，则圆 2 转动了______周。
解答：圆 2 在圆 1 内部作无滑动地滚动，圆 2 滚动的路线长度与其圆心所经过的路线长度相 2π(R－r) R－r R
等(虚线圆)，所以圆 2 转动周数＝ 2πr ＝ r ＝r－1(周)。
三、曲直无别：圆在另一圆的内、外滚动 (1)外滚例 3、如图，在同一平面内，有两个大小相同的圆，其中圆 1 固定不动，圆 2 在其__周。
解答：设两小圆半径为 r。圆 2 滚动的距离就是圆 2 圆心经过的距离，即图中虚线的圆，这个圆的半径等于两圆半径的和，因此它的周长 2π(r＋r)＝4πr 也就是圆 2 圆心经过的路程。所以圆 2 转动了 4πr 除以圆的周长 2πr，转动了 2 周。
小结：如下图，设圆 1 半径为 R，圆 2 半径为 r。圆 2 滚动的路线的长度与其圆心所经过的路 2π(R＋r) R＋r R
线长度相等(虚线圆)，所以圆 2 转动周数＝ 2πr ＝ r ＝r＋1(周)。
(2)内滚例 4、如图，圆 1 的半径为 R，圆 2 的半径为 r。圆 2 从图上所示位置出发，在圆 1 内部绕圆
滚动圆问题
基本结论： 1、圆沿线（包括直线、曲线、折线）作无滑动滚动时，圆自身转动一圈，圆心经过的路程为
一个圆周长；反之，圆心经过的路程为一个圆周长，圆自身转动了一圈。即在圆作无滑动滚动时，圆滚动经过路程长度与其圆心所经过的路线长度相等。 2、圆自身转动的圈数＝圆心经过的路程÷圆的周长一、由简入手：圆在直线上滚动例 1、如图，把圆放在一条长度等于其周长的线段 AB 上，从一个端点无滑动地滚动到另一个
周长的 5 倍，问圆自身转动了几圈？
解答：如图，虚线为滚动过程中圆心的经过的路程，圆心经过的路程等于三条线段长加上三条弧长。其中三条线段长度之和是△ABC 的周长，三段弧长度之和是圆的周长。即圆心经过的路程＝△ABC 的周长＋圆的周长所以圆转动的圈数＝(5＋1)÷1＝6(圈)

研究型高校横向课题管理的问题与对策(题目来自：周圆圆-2014)

研究型高校横向课题管理的问题与对策（题目来自：周圆圆，2014）一、概述随着校企协作的加强，社会资金纷纷涌入高校科技领域，高校横向科研经费呈现日益增长的趋势。

“十五”期间全国高校累计获得科研经费1300多万亿元，其中有50%来自与企业单位合作研发项目的经费，承担各类课题有61.9万余项，科研经费已成为学校资产的重要组成部分。

高等院校的研究课题按照来源通常可以分为纵向课题与横向课题两大类，纵向课题直接从国家、部委和省市纳入财政计划的科研拨款中获得经费，横向课题则是通过技术合作获得研发经费。

由于课题来源、特征的不同，对这两类课题的重视程度、管理方式、评价标准等都存在着显著的差异。

研究型高校往往把科研重心落在纵向课题的申请、研究和管理上，更加侧重于基础理论研究或具有学科探索性的课题。

（周圆圆，2014）在市场经济体制的促进下,高校的科研也需要和社会紧密结合,服务地方经济和社会发展的需要。

（张莉，2012）横向课题就是通过技术合作获得研发经费的课题。

横向课题一般都是具体部门、具体企业为了解决工作中难题和技术难关,而制定的项目,通过提供项目经费与研发酬劳而实现的项目委托方与受托方的直接合作。

横向课题多是由地方政府委托一些机构,企业委托专门机构或研发单位进行科技难题攻关或者针对某一方面工作作为项目委托实施（高仲飞，2013）。

横向课题没有明确的级别划分一般以课题金额来划分, 执行的标准不一，一般为重大课题、一般性攻关课题等。

它们的共性就是通过技术合作获得经费来源,或者经过委托代理,提供咨询服务获得资金来源。

一般是为具体委托方直接获得科研经费的,而不是各级财政拨款。

它的系统性不强,往往课题也没有明确的级别划分。

横向课题应该分科技类、社科类,由于科技类横向课题往往是解决生产生活中的实际问题,研究成果直接接受实践的检验,一般验收检验都比较容易,因而问题也比较少。

社科类横向课题存在的问题较多。

由于经济社会科学问题研究很难用定量的方法衡量,因而它的评价体系很难建立和把握,由于横向课题缺少中间环节,而且发标方与验收方又合二为一,因此课题的公正性以及有效性很难把握,因此,社会科学的横向课题,应该做到两个避免:避免走形式,避免有名无实。

浅谈六年级数学教学中“变中有不变”思想的渗透

浅谈六年级数学教学中“变中有不变”思想的渗透发布时间：2021-11-16T07:52:28.282Z 来源：《教育学》2021年8月总第257期作者：王盼桃[导读] 老师通过实验活动探究几个大小不同的圆的周长与直径来探索圆周率。

陕西省渭南市临渭区北塘实验小学714000摘要：小学阶段，在学习数学或用数学解决问题的过程中会面对千变万化的对象，在这些变化中找到不变的性质和规律，发现数学的本质，这就是“变中有不变”的思想。

所谓“万变不离其宗”，恰当通俗地概括了这一思想。

小学数学虽然是数学中最基础、最简单的部分，从容量和难度来看都不算大，但对于小学生来说确实是有难度的，这是由小学生的认知特点决定的。

在课堂教学中，如果能够多体现“变中有不变”的思想，将有利于更好地认识数学的本质和解决问题。

关键词：变中有不变渗透本质一、在探索抽象公式的过程中渗透“变中有不变”思想1.圆的周长公式的探索中渗透“ 变中有不变”思想。

六年级上册第一单元《圆》中圆的周长，在这个公式的探讨过程中，通过学生动手操作用绳测法或滚动法把圆的周长化曲为直，然后提出圆的周长与它的直径长短有关系。

老师通过实验活动探究几个大小不同的圆的周长与直径来探索圆周率。

为了找到其中不变的或者有规律性的变化，学生会用这两组数据中相对应的两个数相除。

通过小组一系列的计算探究出圆周率是一个圆周长除以它的直径所得的商，是一个固定不变的数。

通过教师的指引让学生知道圆的周长随着它的直径变化而变化，而圆周长(C)与它的直径(d)所得商却是一个不变的固定的数，它就是圆周率(π)。

圆的周长和直径是变化的，而它们两数之间对应的商却是不变的，理解圆的周长计算公式为C=πd，让学生在“变中有不变”，领悟圆周率是一个固定的数。

2.圆柱的体积公式的探索中渗透“变中有不变”思想方法。

在圆柱体积公式的探究过程中，通常把圆柱转化为近似长方体，再推导出圆柱体积的计算公式。

在这一推导过程中很多老师都强调了“转化”的数学思想方法，其实还有“变中有不变”的数学思想。

以不变应万变——例谈平面图形的翻折

以不变应万变——例谈平面图形的翻折
殷波
【期刊名称】《新高考（高一数学）》
【年(卷),期】2015(000)006
【摘要】将平面图形翻折成立体图形，是平面几何向空间几何的转变．转变过程中，有些同学被“转晕”了，翻折前后的图形“失联”了．求解翻折问题时如何才能头不晕、眼不花？关键是以不变应万变，即抓住翻折前后不变的几何元素之间的位置关系和度量关系，将其不变集中带到立体图形中，使得问题迎刃而解．本文就一道高考模拟试题来谈谈翻折问题的求解策略．
【总页数】2页(P35-36)
【作者】殷波
【作者单位】南京师范大学附属扬子中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.例谈初中几何教学中学生空间观念的培养——以“翻折与轴对称图形”为例
2.以解决图形旋转、翻折解题为例谈几何思维水平提升
3.一类平面图形对称运动翻折的存在性
4.基于基本图形教学的专题复习课——平面直角坐标系中的图形变换(翻折)
5.如何解决平面图形的翻折问题
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