天体运动计算题

（2）根据天体物理学知识，物体从某天体上的逃逸速度公式为 v 2Gm1 ，其中引力常 R
量 G=6.67×10－11N·m2·kg－2，M 为天体质量，R 为天体半径，且已知逃逸的速度大于真空中 光速的天体叫“黑洞”。请估算（1）中“黑洞”的可能最大半径。（结果只要求一位有效数 字）
解：（1） Gm1m2 r2
入数据计算）。
解：
G
对飞船,万有引力作为圆周运动的向心力
Mm r2
mr( 2 T
)2
②
在地球表面
Hale Waihona Puke Baidu
G
Mm R2
mg
③
R2 gT 2
r 3 可得“神舟”五号轨道半径
4 2
（或轨道周长 l
2R2 gT 2
此外还可求得“神舟”五号载人飞船的运行频率
f
1 T
2 “神舟”五号载人飞船的运行角速度 T ⑥
v 3 2R2 g
w L v0t _
解得 g 2hv0 2 L2
该星球表面处的最小发射速度即为该星球的第一宇宙速度，设为为 v ，设卫星的质量为 m1 ，
则在星球表面
G
m1M R2
m1
v2 R
又
G
m1M R2
m1g
则 v gR
代入（1）问中的
R
解得 v
hTv0 2 L2
。
4.一组宇航员乘坐太空穿梭机，去修理位于离地球表面 h 6.0 105 m 的圆形轨道上的哈 勃太空望远镜 H 。机组人员使穿梭机 s 进入与 H 相同的轨道并关闭助推火箭，而望远镜则 在穿梭机前方数千米处，如图所示。设 G 为引力常量， M 为地球质量（已知地球半径为 R 6.4 106 m ，地球表面重力加速度取 9.8m / s 2 ）。
一根细线穿过光滑的细直管，细线一端栓一质量为 m 的砝码，另一端连在一固定的测力计上，
天体运动计算题
1.宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间 t, 小球落到星 球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为 L．若抛出时的初速增大到 2 倍，则抛出点与落
地点之间的距离为 3L ．已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为 R，万有引力常
数为 G，求该星球的质量 M． 解：设抛出点的高度为 h，第一次抛出时水平射程为 x；当初速度变为原来 2 倍时，水平射
“神舟”五号载人飞船的运行线速度
T
⑦
a 2 3 2R2 g
“神舟”五号载人飞船的运行向心加速度（加速度、轨道处重力加速度） T T
⑧
h 3 R2 gT 2 R
“神舟”五号载人飞船的离地面高度
4 2
⑨
9.2003 年 10 月 15 日，我国神舟五号载人飞船成功发射。标志着我国的航天事业发展到了 很高的水平。飞船在绕地球飞行的第 5 圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为 h 的圆形轨道。已知地球半径为 R，地面处的重力加速度为 g.求： （1）飞船在上述圆轨道上运行的速度 v；（2）飞船在上述圆轨道上运行的周期 T.
论上可以证明 v2 2v1 。一旦该星球第二宇宙速度的大小超过了光速
C=3.0×108m，则该星球上的任何物体（包括光子）都无法摆脱该星球的引 力，于是它就将与外界断绝了一切物质和信息的交流。从宇宙的其他部分看 来，它就像是消失了一样，这就是所谓的“黑洞”。试分析一颗质量为 M=2.0×1031kg 的恒星， 当它的半径坍塌为多大时就会成为一个“黑洞”？（计算时取引力常量 G=6.7×10-11Nm2/kg2， 答案保留一位有效数字．）
8 360 120 （1） 24
h
R地 cos
R地
6.4 106
（
1
1） 6.4 106 m
轨道高
2
cos60
（2）因为卫星轨道半径 r r h 2R 地 根据万有引力定律，引力与距离的平方成反比
卫星轨道处的重力加速度 g r
1 4 g地
2.5m / s2
mg r
m
v2 r
14.一宇航员抵达一半径为 R 的星球表面后，为了测定该星球的质量 M，做如下的实验，取
解：（1）由万有引力提供向心力有： GM 2 M· L · 4 2 ①（4 分）
L2
2 T2
T L 2 L （4 分） GM
13.晴天晚上，人能看见卫星的条件是卫星被太阳照着且在人的视野之内。一个可看成漫反 射体的人造地球卫星的圆形轨道与赤道共面，卫星自西向东运动。春分期间太阳垂直射向赤 道，赤道上某处的人在日落后 8 小时时在西边的地平线附近恰能看到它，之后极快地变暗而
看不到了。已知地球的半径 R 地 6.4 106 m ，地面上的重力加速度为10m / s2 ，估算：（答
案要求精确到两位有效数字）
（1）卫星轨道离地面的高度。 （2）卫星的速度大小。
解：从北极沿地轴往下看的地球俯视图如图所示，设卫星离地 高 h，Q 点日落后 8 小时时能看到它反射的阳光。日落 8 小时 Q 点转 过的角度设为θ
以上式子联立 G mM
4 2 m r
r2
T2
故T 2 4 2 r 3 （1 分） GM
4
地球的周期 T地
1 年，（1 分）
(T火 )2 T地
( r火 )3 r地
火星的周期T火
( r火 r地
)3
T地 （2
分）
(1.5 1011 )3 1年=1.8 年 （1 分） 1.0 1011
设经时间 t 两星又一次距离最近，根据 t （2 分）
h)
G
Mm (R h)2
，穿棱机做靠近地球的运动，进入较低轨道.
答案：（1） 0 （2） 7.6 103 m / s
5.2007 年 10 月 24 日，中国首颗探月卫星“嫦娥一号”从西昌卫星发射中心发射升空，11 月 26 日，中国第一幅月图完美亮相，中国首次月球探测工程取得圆满成功．我国将在 2017 年前后发射一颗返回式月球软着陆器，进行首次月球样品自动取样并安全返回地球．假设探 月宇航员站在月球表面一斜坡上的 M 点，并沿水平方向以初速度 v0 抛出一个质量为 m 的小
2
(1) 在穿梭机内，一质量为 m 70kg 的太空人站在台秤上视重是多少？
(2) 计算轨道上的重力加速度及穿梭机在轨道上的速率。 (3) 穿梭机需首先进入半径较小的轨道，才有较大的角速度以超前望远镜。试判断穿梭机 要进入较低轨道时应增加还是减小其原有速率，说明理由。 【解析】（1）穿梭机内物体由地球万有引力提供向心力，处于完全失重状态， 故该太空人视重为 0.
星与地球相距最近的时刻开始计时，估算火星再次与地球相距最近需多少地球
年？（保留两位有效数字）
解：设行星质量 m，太阳质量为 M，行星与太阳的距离为 r，根据万有引力定律，
行星受太阳的万有引力
F
G
mM r2
（2
分）
行星绕太阳做近似匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有 F ma m 2r （2 分）
2 （1 分） T
（1）求该星球的密度；（2）若在该星球表面发射一颗卫星，那么发射速度至少为多大？
【解析】（1）在星球表面
GMm R2
m
4 2 T2
R
又
GMm R2
mg
解得
3 GT 2
M 4 R3 3
另得到：
R
gT 2 4 2
（2）设星球表面的重力加速度为 g ，小球的质量为 m ，小球做平抛运动，
故有
h 1 gt 2 2
程为 2x，如图所示
由几何关系可知：L2＝h2＋x2 ① ( L)2＝h2＋(2x)2 ② ①②联立，得：h＝ L 设该星球表面的重力加速度为 g
则竖直方向 h＝ gt2 ③
又因为 ＝mg(或 GM＝gR2) ④
由③④联立，得 M＝
2.在地球某处海平面上测得物体自由下落高度 h 所需的时间为 t ，到某高山顶测得物体自由 落体下落相同高度所需时间增加了 t ，已知地球半径为 R ，求山的高度。
R
由上面两式有
R/3 T /2 R3 T 2
所以当地球和小行星最近时
R/ ( t )2/3 R t T
d R/ R ( t )2/3 R R t T
7.火星和地球绕太阳的运动可以近似看作为同一平面内同方向的匀速圆周运动，已知火星的
轨道半径 r火 1.51011m ，地球的轨道半径 r地 1.0 1011 m ，从如图所示的火
m2
v2 r
∴ m1
v2r G
3.6 10 35 kg
（2）∵ 2Gm1 C (3 分) ∴ R 2Gm1
R
C2
∴ Rm
2Gm1 C2
5108 m
11.物体沿质量为 M、半径为 R 星球的表面做匀速圆周运动所需的速度 v1 叫做该星球第一宇 宙速度；只要物体在该星球表面具有足够大的速度 v2，就可以脱离该星球的万有引力而飞离 星球（即到达到距星球无穷远处），这个速度叫做该星球第二宇宙速度。理
（2）在距地球表面
h
高处：
G
(
Mm R h)
2
mg
在地球表面
G
Mm R2
mg
解得 g gR2 8.2m / s2 (R h)2
H
S
地球
由 mg ' m v2 Rh
得v g '(R h) 8.27106 m / s 7.6103m / s
（3）要减小其原来速率。
v
减小，则 m
v2 (R
5
由万有引力定律和牛顿第二定律 G
Mm r2
2 m
r
在地面附近有 G Mm mg R2
由已知条件 r R h
求出 gR2 Rh
（2）由T 2r （3 分） 求出T 2 (R h)3
gR 2
10.1997 年 8 月 26 日在日本举行的国际学术大会上，德国 Max Plank 学会的一个研究组宣 布了他们的研究结果：银河系的中心可能存在一个大“黑洞”，“黑洞”是某些天体的最后演 变结果。 （1）根据长期观测发现，距离某“黑洞”6.0×1012m 的另一个星体（设其质量为 m2）以 2×106m/s 的速度绕“黑洞”旋转，求该“黑洞”的质量 m1。（结果要求两位有效数字）
g / 2v0 tan t
（2） vy g/t 2v0 tan
Ek
1 2
m(v0
2
v y 2 )
1 2
mv02
(1
4
tan
2
)
（3） mg /
v2 m
R
v g / R 2v0 tanR t
6.科学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小行星，经过观测该小行星每隔 t
时间与地球相遇一次，已知地球绕太阳公转半径是 R，周期是 T，设地球和小行星都
解： GMm m v12
R2
R
又知 v2 2v1
令 v2=C
由以上三式得 R 2GM 2 6.7 1011 2.0 1031 3104 m
C2
(3.0 108)2
6
12.现根据对某一双星系统的光学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是 M，两者相 距 L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。万有引力常量为 G。 求：该双星系统的运动周期 T。
于 10 月 16 日 6 时 23 分安全返回。若把“神舟”五号载人飞船的绕地运行看作是在同一轨
道上的匀速圆周运动，已知地球半径为 R，地球表面重力加速度为 g。设“神舟”五号载人
飞船绕地球运行的周期为 T、地球表面的重力加速度为 g、地球半径为 R，用 T、g、R 能求
出哪些与“神舟”五号载人飞船有关的物理量？分别写出计算这些物理量的表达式（不必代
解析:有
（1）
（ 3）
（2）
（4）
1
由以上各式可以得出
3.人类对宇宙的探索是无止境的。随着科学技术的发展，人类可以运送宇航员到遥远的星球 去探索宇宙奥秘。假设宇航员到达了一个遥远的星球，此星球上没有任何气体。此前，宇航
员乘坐的飞船绕该星球表面运行的周期为T ，着陆后宇航员在该星球表面附近从 h 高处以初 速度 v0 水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为 L ，已知万有引力常量为 G 。
是圆轨道，求小行星与地球的最近距离。 解：设小行星绕太阳周期为 T/，T/>T,地球和小行星没隔时间 t 相遇一次，则有
t T
t T
/
1
T / tT t T
设小行星绕太阳轨道半径为 R/,万有引力提供向心力有
Mm/ G R/2
m/
4 2 T /2
R/
同理对于地球绕太阳运动也有
G
Mm R2
m
4 2 T2
则两星转过的角度之差 地
火
2 ( T地
2 )t T火
2
（2 分）
t 1 T火T地 1.8 1 年 2.3年 1 1 T火 T地 1.8 1 T地 T火
（2 分，答“2.2 年”同样给分）
8.2003 年 10 月 15 日 9 时整，我国“神舟”五号载人飞船发射成功，飞船绕地球 14 圈后，
球，测得小球经时间 t 落到斜坡上另一点 N，斜面的倾角为 ，已知月球半径为 R，月球的
质量分布均匀，万有引力常量为 G，求： （1）月球表面的重力加速度 g / ； （2）小球落在斜面上时的动能； （3）人造卫星绕月球做匀速圆周运动的最大速度．
3
（1） v0t L cos
1 gt 2 L sin 2