当一个旋转物体的旋转角速度矢量与物体飞行速度矢量不重合时
物理概念角动量与力矩
物理概念角动量与力矩物理概念：角动量与力矩角动量和力矩是物理学中重要的概念，在描述物体运动和力学性质时起着关键作用。
本文将详细介绍角动量和力矩的定义、计算方法以及在实际问题中的应用。
一、角动量的概念与计算方法角动量是描述物体绕某一轴旋转的性质，它与物体的质量、几何形状和旋转速度等因素有关。
角动量的定义如下：角动量L = Iω其中，L表示角动量，I代表物体的转动惯量，ω表示物体的角速度。
转动惯量是物体旋转惯性的度量，它与物体的质量分布和绕轴旋转的位置有关。
计算角动量的方法有两种常见的形式：数量积和矢量积。
1. 数量积方式计算角动量当物体的旋转轴与角速度方向相同时，可以用数量积方式计算角动量。
此时，角动量的计算公式为：L = Iω2. 矢量积方式计算角动量当物体的旋转轴与角速度方向不重合时，需要使用矢量积方式计算角动量。
此时，角动量的计算公式为：L = Iωn其中，n为物体旋转轴与角速度的法向量。
二、力矩的概念与计算方法力矩是描述物体受力产生转动效果的物理量。
当物体受力作用于某一点时，力就产生了力矩。
力矩的定义如下：力矩 M = r × F其中，M表示力矩，r表示力作用点到旋转轴的距离，F表示力的大小。
力矩的方向由右手定则给出，即拇指指向旋转轴，其余四指指向力的方向，手掌垂直于旋转平面内。
计算力矩的方法有两种常见的形式：数量积和矢量积。
1. 数数量积方式计算力矩当力和力臂的方向相同或者反向时，可以用数量积方式计算力矩。
此时，力矩的计算公式为：M = rF2. 矢量积方式计算力矩当力和力臂的方向不重合时，需要使用矢量积方式计算力矩。
此时，力矩的计算公式为：M = r × F三、角动量与力矩的关系与应用角动量和力矩是密切相关的物理量，它们之间存在如下关系：L = r × p其中，L表示角动量，r表示物体到旋转轴的距离，p表示物体的动量。
这一关系表明，角动量和力矩可以通过动量和物体到旋转轴的距离相互转化。
“香蕉球”空气动力学原理
编号2010212347毕业论文（2015 届本科）题目：“香蕉球”的空气动力学原理学院：物理与机电工程学院专业：物理学作者姓名：李根旺指导教师：王飞职称：助教完成日期：2015 年 5 月30 日二○一五年五月目录“香蕉球”的空气动力学原理 (1)摘要 (1)Abstract . (1)1绪论 (2)1.1 课题研究的意义 (2)1.2 目前“香蕉球”原理研究状况 (2)1.3研究的主要内容及目的 (2)2 马格努斯效应 (2)2.1 马格努斯效应 (2)2.2 马格努斯效应产生的必要条件分析 (3)2.2.1必要条件一 (3)2.2.2必要条件二 (3)2.2.3必要条件三 (3)2.2.4必要条件四 (3)2.3 马格努斯效应在球类运动中的应用 (3)3 “香蕉球”的运动分析 (4)4 CFD和Fluent介绍 (5)4.1 CFD介绍 (5)4.2 Fluent介绍 (7)4.2.1FLUENT 的组成 (7)4.2.2FLUENT 软件优点 (8)5 “香蕉球”流场数值模拟 (8)5.1足球的模型与网格划分 (8)5.1.1足球几何模型 (9)5.1.2网格的生成 (9)5.2边界条件处理 (10)6计算模拟结果及其分析 (10)7 结论 (13)参考文献 (14)致 (15)河西学院本科生毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
本科毕业论文（设计）作者签名：二○一五年五月三十“香蕉球”的空气动力学原理李根旺（物理与机电工程学院河西学院734000）摘要：足球在飞行过程中，由于自身旋转引起周围空气流速变化，产生横向的马格努斯力，使足球飞行轨迹发生偏移，这就是香蕉球产生的原理。
球类运动分析冯月李强强庄子悦
结 构
形 态
在包装盒的一端的内壁处设置有一圈搁置架；上述的搁置架 的内径小于羽毛球羽尾处的直径、而大于球头部分的直径。
将被放置的羽毛球实现五点定位，有效地防止羽毛球在包装
包 装 盒内运动。从而实现了羽毛球羽毛的可靠保护，维护了羽毛 球的整体质量。
1.球可以有天然材料、人造材料或它们混合制成。 形 态 2.球应有16根羽毛固定在球托部。 3.羽毛长62—70毫米
比赛设施
本垒板
垒包
比赛用球
球场全貌
球棒
手套
材 料 工 艺
材 料 及 其 特 性
棒球分硬球和软球
软球是橡胶做的，空心，弹性大一点，较轻，零售价格在20-50元 不等 尺寸分ABC三等，一般在每颗球上都有写，A等的是标准尺寸，可 以成人用。 硬式棒球的球有马皮制和牛皮制两种，可是现在职业棒球、业余棒 球均用牛皮制的。
分值计算：
场地规定:
网球场地分为草地、红土和硬地；一片标准网球场地的占地面积 不小于36.6米（南北长）×18.3（东西宽）米，这一尺寸也是一片 标准网球场地四周围挡网或室内建筑内墙面的净尺寸。在这个面 积内，有效双打场地的标准尺寸是：23.77米（长）×10.98米 （宽），在每条端线后应留有余地不小于6.40米，在每条边线外 应流有余地不小于3.66米。在球场安装网柱，两柱中心测量，柱 间距是12.80米，网柱顶端距地面是0.914米。
棒球中的流体力学
一、变化球
以下坠球(sinker)为例，投手在抛出此种球路时的最后瞬间会有一个扣手 腕的动作（下图右），此举可使球向前运动的过程中产生自旋，进而造
成球体上下表面气流速度的不同；{局部流体速度增加时，该处之压力将
会相对降低」，因此对于前述球体上表面的气流由于自旋及迎面而来的 速度相反，故二者相互削弱（右图左）；反之下缘流场之自旋及迎面而
流体微团运动分析
－－－陆士嘉
有旋流动的最大特征是，流场中充满着绕自身旋转 的流体微团，于是形成了一个用角速度 或（） 表示的涡量场。 前面用流线、流管、流速和流量等表示速度场。仿 此也可用涡线、涡管、涡束和涡通量表示涡量场。
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涡线：是指涡量场(角速度场)中的瞬时光滑曲线，该 曲线上任一点的切点方向与该点的涡量(或旋转角速度) 的方向相重合。 涡管：是指涡量场中 取一封闭曲线(其本身 不是涡线，且不能两次 通过同一条涡线)，该 曲线上每一点所在的涡 线所构成的管状表面。 涡束：是指涡管中的涡线簇。
31
涡通量 ：
速度环量：流场中取一封闭曲线 l ，流速沿该曲线 的线积分称为速度环量： 。 斯托克斯(Stokes)定理 ：沿封闭曲线l的速度环量等 于通过该曲线所围曲面面积A的涡通量。
涡通量与速度环量都可以表征流体的有旋性，但涡通量 不能直接测得，而用速度环量则较容易 ；考察速度环量 的方向时，认为被封闭曲线所围绕的面积正法线方向与 绕行正方向遵循右手定则 。
10
xy yx
1 v u 2 x y
流体微团运动分析 一．速度分解定理 二．流体微团的平面运动分析 三．有旋、无旋流动
11
1、平移
u u0 xx dx yx dy z dy v v dy dx dx 0 yy xy z
22
• 1857 年起，他担任海德堡大学生理学教授。他利用共鸣器 （称亥姆霍兹共鸣器）分离并加强声音的谐音。 1863年出版了 他的巨著《音调的生理基础》。 • 1868 年亥姆霍兹转向物理学电磁作用理论研究，于 1871 年任 柏林大学物理学教授。由于他一系列讲演，麦克斯韦的电磁理 论才引起注意，并导致他的学生赫兹在电磁波研究中取得巨大 成就。他还研究过化学过程中的热力学，他从克劳修斯的方程 中导出了早于吉布斯提出的方程。此方程后来被称为吉布斯-亥 姆霍兹方程。
有固定转动轴物体的平衡
有固定转动轴物体的平衡在物理学中，「平衡」通常指的是物体所处的状态，当物体受到的合力为零时，即使存在其他外界的作用力，它也将保持静止或以恒定速度匀速运动。
然而，在某些情况下，物体可能具有固定转动轴，并且以一定的角速度绕该轴旋转，这就是「有固定转动轴物体的平衡」。
转动轴与角速度首先我们来了解一下什么是转动轴。
转动轴是物体旋转时围绕其旋转的轴线。
它可以是实物存在的，比如旋转的陀螺，也可以是虚构的，比如通过物体的几何形状定义的轴线。
对于有固定转动轴物体的平衡问题，我们着重讨论的是后者。
角速度是描述物体旋转快慢的物理量，它和转动轴的性质密切相关。
如果固定转动轴是直线轴，那么角速度就是描述物体围绕该轴旋转的速度大小和旋转方向的矢量量。
如果固定转动轴是曲线轴，那么角速度是描述物体围绕该轴旋转的瞬时线速度大小和旋转方向的矢量量。
转动惯量与平衡条件在研究有固定转动轴物体的平衡时，不可忽视的一个重要物理量是转动惯量。
转动惯量描述了物体抵抗转动运动的能力。
对于一个质点，其转动惯量可以通过质点的质量和到转动轴的距离的平方的乘积来计算。
对于复杂形状的物体，转动惯量的计算需要考虑物体的密度分布和体积分布。
当一个物体围绕其固定转动轴旋转时，为了使物体保持平衡，以下条件必须被满足：1.总转动力矩为零：转动力矩是由外界作用在物体上的力矩和物体内部的耦合力矩之和。
当总转动力矩为零时，物体将保持平衡。
这可以用数学表达式表示为∑Tau = 0，其中∑Tau代表所有作用在物体上的力矩的代数和。
2.前后重心对称：物体在转动轴两侧的质量分布应该对称，这样才能保证物体围绕转动轴的旋转是稳定的。
如果质量分布不对称，物体将倾向于旋转到一个新的平衡位置或者会发生摇晃。
示例：陀螺的平衡陀螺是一个非常经典的有固定转动轴物体的平衡案例。
陀螺通常由一个顶点和一个底座构成，底座是固定的，而顶点则可以在其固定转动轴上自由旋转。
由于陀螺具有较高的转动惯量和良好的对称性，当它旋转时，可以保持平衡。
“香蕉球”的物理学原理
“香蕉球”的物理学解释——以卡洛斯的神奇任意球为例巴西世界杯的大幕即将缓缓拉开，想必清华园内的足球迷已经是热血沸腾。
一个个精彩的进球，是让人兴奋不已。
而其中看似反物理规律的“香蕉球”，更是让人难以忘怀。
1997年6月3日法国四强赛，法国与巴西一战，巴西球员罗伯特卡洛斯在比赛的最后阶段抽进了那粒不可思议的进球：在距门三十五米开外，卡洛斯将球抽向右侧，门将根本没有移动，但皮球飞到一半却剧烈地向左边转弯，最终坠入门内，只留下惊愕的门将。
这一看似违背物理定律的任意球也吸引了物理学家参与到对足球运动轨迹的分析中来。
查阅资料后发现，这一现象的重要原因，源于著名的物理现象——马格努斯效应。
当一个旋转物体的旋转角速度矢量与飞行速度矢量不重合时，在与旋转角速度矢量和移动速度矢量平面垂直的方向将产生一个横向力。
而在这个横向力的作用下物体的飞行轨迹发生偏转的现象就称作马格努斯效应。
从物理的角度分析，旋转物体之所以能在横向产生力的作用，是由于物体的旋转可以带动周围流体旋转，使得物体一侧的流体速度增加，另一侧的流体速度减小。
而根据伯努利定律，我们可以得到：即：流速增加会导致压强的减小，而流速减小则会导致压强的增大，这也就导致了旋转物体在横向的压力差，形成横向力。
同时也因为横向力与物体的运动方向垂直，这个力主要改变飞行的速度方向，进而导致了物体飞行方向的改变。
图1图中演示的是马格努斯效应在一个向右飞行的球上的作用。
以球心为参考系，“v”代表风速，方向“F”为对压力较低的一边的力。
通过上述的分析，我们可以知道，那看似反常的任意球，其实可以通过物理规律进行解释。
在香蕉球的运动过程中，会产生如下图所示的受力情况（以右脚运动员为例）。
因此，正如上述三幅图演示的那样，足球在踢出之后才会产生看似反物理规律的诡异弧线。
这也说明，物理的奇妙是无处不在的。
正是由于神奇的物理现象，我们才有幸见到了一个又一个精彩的进球。
当然如果想踢出精彩的弧旋球，除了掌握物理规律，还需要多加练习，但这并不会妨碍我们感受到物理的美妙。
动作捕捉浅析(一)——惯性动作捕捉
动作捕捉浅析（一）——惯性动作捕捉一、理论概述：动作捕捉英文Motion capture,简称Mocap。
技术涉及尺寸测量、物理空间里物体的定位及方位测定等方面可以由计算机直接理解处理的数据。
在运动物体的关键部位设置跟踪器，由Motion capture系统捕捉跟踪器位置，再经过计算机处理后向得到三维空间爱你坐标的数据。
当数据被计算机识别后，可以应用在动画制作，步态分析，生物力学，人机工程等领域。
常用的运动捕捉技术从原理上说可分为惯性、光学式、声学式、电磁式。
不同原理的设备各有其优缺点，一般可从以下几个方面进行评价：定位精度；实时性；使用方便程度；可捕捉运动范围大小；抗干扰性；多目标捕捉能力；以及与相应领域专业分析软件连接程度。
惯性式：主要工作原理是跟在人的身上主要的关键点绑定惯性陀螺仪，分析陀螺仪的位移变差来判定人的动作幅度和距离；光学式：光学式运动捕捉通过对目标上特定光点的监视和跟踪来完成运动捕捉的任务。
目前常见的光学式运动捕捉大多基于计算机视觉原理。
从理论上说，对于空间中的一个点，只要它能同时为两部相机所见，则根据同一时刻两部相机所拍摄的图像和相机参数，可以确定这一时刻该点在空间中的位置。
当相机以足够高的速率连续拍摄时，从图像序列中就可以得到该点的运动轨迹；声学式：常用的声学式运动捕捉装置由发送器、接收器和处理单元组成。
发送器是一个固定的超声波发生器，接收器一般由呈三角形排列的三个超声探头组成。
通过测量声波从发送器到接收器的时间或者相位差，系统可以计算并确定接收器的位置和方向。
Logitech、SAC等公司都生产超声波运动捕捉设备；电磁式：电磁式运动捕捉系统是目前比较常用的运动捕捉设备。
一般由发射源、接收传感器和数据处理单元组成。
发射源在空间产生按一定时空规律分布的电磁场；接收传感器（通常有10～20个）安置在表演者身体的关键位置，随着表演者的动作在电磁场中运动,通过电缆或无线方式与数据处理单元相连。
运动生物力学的概念
一．运动生物力学得概念：运动生物力学得概念就是研究体育运动中人体及器械机械运动规律得科学。
二．动能与势能得正确利用(高水平运动员动作得特征）：1、高水平运动员在完成投掷动作时有效地利用了助跑速度。
2、高水平运动员超越器械动作时间短，身体背弓大器械被充分引向身体后方。
3、高水平运动员较好得利用了身体得动能及肌肉得弹性势能。
三．人体运动得形式：如果将人体简化为质点，人体运动可分为：直线运动与曲线运动。
如果将人体简化为刚体，人体运动可分为：平动，转动与复合运动。
2、斜抛物体得运动：1、定义：运动轨迹为抛物线2、斜抛运动得构成：水平方向：匀速直线运动竖直方向：竖直上抛运动四．牛顿第一定律（惯性定律）：1、定义：任何物体，在不受力作用时，都保持静止或匀速直线运动状态。
2、应用（保持跑速，动作连贯）牛顿第二定律及其应用1、定义F=ma 2：几点注意1、a就是运动学量F就是动力学量，她们都就是矢量力就是产生运动得原因，并且加速度方向与力得方向一致。
2、牛顿第二定律中得物体就是被当做质点得3、加速度与力同时出现同时消失，反应得就是瞬时关系。
应用：加速跑，超重，失重，弯道跑五．牛顿第三定律及其应用：1、定义Fab=-Fba 2、应用：加速跑，起跳，投掷链球六．动量与冲量1、动量：K=mv 2、冲量：I=Ft 动量定理在体育中得应用1：落地缓冲动作：要减少对人体得冲力，就得延长力得作用时间。
七．人体平衡得力学条件人体平衡得力学条件就是人体所受得合外力为零与合外力矩为零。
表达式为：∑F=0，∑M=0 如：燕式平衡，单杠支臂悬垂八．人体重心得概念：1、概念：人体全部环节所重力得合力得作用点，就叫人体重心2、研究人体重心得意义：评定一个体育动作得质量，分析其技术特征与纠正错误动作等。
都需要从人体重心得变化规律去分析，无论就是动力性得动作还就是静力性得姿势，探索其运动规律时，都离不开人体重心。
3、特点：人体中心不想物体那样恒定在一个点上，不仅在一段时间内，要受肌肉与脂肪得增长或消退等因素得影响，即使在每一瞬间，也要受呼吸，消化，血液循环等因素得影响，特别就是在体育运动中，要受人体姿势变化得制约，随姿势得改变，有时甚至移出体外。
“大球时代”乒乓球直径与赛事观赏性
乒乓球直径与赛事观赏性摘要本文从运动员的体验质量和观众的观赏质量两方面进行分析，运用层次分析法和乒乓球的动力学仿真模型研究了乒乓球直径由38mm增加至40mm对赛事观赏性的影响。
之后建立落台时间和动能综合最优化控制的数学规划模型，得到了最佳的乒乓球直径。
对于问题一，主要考虑乒乓球直径的增大对运动员体验质量和观众观赏质量的影响。
首先考虑乒乓球直径的变化对运动员体验质量的影响，以运动员的体验质量为一级指标，以技术难度，战术思维，正手使用次数，反手使用次数，接球率为二级指标，运用层次分析法得到各个影响因素的权重值及运动员体验质量与各个影响因素的关系式，可知乒乓球的直径增加提高了运动员体验质量。
之后考虑乒乓球直径的变化对观众观赏质量的影响，观众的观赏质量主要体现在乒乓球速度以及转速，对于乒乓球的速度，运用乒乓球的动力学仿真模型得到乒乓球的速度与直径的关系式，可知乒乓球的直径增加使速度减小，观众的观赏质量提高。
对于乒乓球的转速，根据动量距定理求出乒乓球不同直径时的不同转速，最终得到转速减小会影响球的攻击性，增加乒乓球比赛的回合数，使观众的观赏质量提高。
对于问题二，建立了三个最优化模型。
首先在观众满意的情况下，建立乒乓球落台时间最小的数学规划模型，得到使落台时间最小的ω。
之后在运动员满意的情况下，建立乒乓球落台动能最大的数学规划模型，得到使落台动能最大的ω。
在观众和运动员都满意的情况下，建立落台时间和动能综合最优化控制的数学规ω，将得到的ω带入乒乓球动力学仿真模型，划模型，得到了最佳的s=119.r/757求出最佳的乒乓球直径为：mm=。
39d634.关键词：赛事观赏性，层次分析法，乒乓球动力学仿真模型，最优化一、问题重述2000年，国际乒乓球联合会（简称国际乒联）将国际乒乓球职业赛事中的官方用球直径由38mm增加至40mm。
其宗旨在于进一步增加球在空中运行中的空气阻力，减缓比赛中球运行的速度，从而达到进一步增加和丰富乒乓球职业运动员击球技术和技巧的目的，最终增加乒乓球赛事的整体观赏性。
大学物理课后答案4-8
第四章刚体的转动4－1有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：(1)这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零；(2)这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零；(3)当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零；(4)当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零．对上述说法下述判断正确的是( )(A)只有(1)是正确的(B)(1)、(2)正确，(3)、(4)错误(C) (1)、(2)、(3)都正确，(4)错误 (D)(1)、(2)、(3)、(4)都正确分析与解力对轴之力矩通常有三种情况：其中两种情况下力矩为零：一是力的作用线通过转轴，二是力平行于转轴(例如门的重力并不能使门转)．不满足上述情况下的作用力(含题述作用力垂直于转轴的情况)对轴之矩不为零，但同时有两个力作用时，只要满足两力矩大小相等，方向相反，两力矩对同一轴的合外力矩也可以为零，由以上规则可知(1)(2)说法是正确．对于(3)(4)两种说法，如作用于刚体上的两个力为共点力，当合力为零时，它们对同一轴的合外力矩也一定为零，反之亦然．但如这两个力为非共点力，则以上结论不成立，故(3)(4)说法不完全正确．综上所述，应选(B)．4－2关于力矩有以下几种说法：(1)对某个定轴转动刚体而言，内力矩不会改变刚体的角加速度；(2)一对作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零；(3)质量相等，形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩的作用下，它们的运动状态一定相同．对上述说法下述判断正确的是( )(A)只有(2)是正确的 (B)(1)、(2)是正确的(C)(2)、(3)是正确的 (D)(1)、(2)、(3)都是正确的分析与解刚体中相邻质元之间的一对内力属于作用力与反作用力，且作用点相同，故对同一轴的力矩之和必为零，因此可推知刚体中所有内力矩之和为零，因而不会影响刚体的角加速度或角动量等，故(1)(2)说法正确．对说法(3)来说，题述情况中两个刚体对同一轴的转动惯量因形状、大小不同有可能不同，因而在相同力矩作用下，产生的角加速度不一定相同，因而运动状态未必相同，由此可见应选(B)．4－3 均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆到竖直位置的过程中，下述说法正确的是( )(A)角速度从小到大，角加速度不变(B)角速度从小到大，角加速度从小到大(C)角速度从小到大，角加速度从大到小(D)角速度不变，角加速度为零分析与解 如图所示，在棒下落过程中，重力对轴之矩是变化的，其大小与棒和水平面的夹角有关．当棒处于水平位置，重力矩最大，当棒处于竖直位置时，重力矩为零．因此在棒在下落过程中重力矩由大到小，由转动定律知，棒的角加速亦由大到小，而棒的角速度却由小到大(由机械能守恒亦可判断角速度变化情况)，应选(C)．4－4 一圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的水平轴转动，轴间摩擦不计．如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，它们同时射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘和子弹系统的角动量L 以及圆盘的角速度ω的变化情况为( ) (A)L 不变，ω增大 (B)两者均不变 (C)L 不变，ω减小 (D)两者均不确定分析与解 对于圆盘一子弹系统来说，并无外力矩作用，故系统对轴O 的角动量守恒，故L 不变，此时应有下式成立，即ωJ ωJ d m d m =+-00v v式中mvd 为子弹对点O 的角动量0ω为圆盘初始角速度，J 为子弹留在盘中后系统对轴O 的转动惯量，J 0为子弹射入前盘对轴O 的转动惯量．由于J ＞J 0，则ω＜0ω．故选(C)．4－5 假设卫星环绕地球中心作椭圆运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的( ) (A)角动量守恒，动能守恒 (B)角动量守恒，机械能守恒 (C)角动量不守恒，机械能守恒 (D)角动量不守恒，动量也不守恒 (Ｅ)角动量守恒，动量也守恒分析与解 由于卫星一直受到万有引力作用，故其动量不可能守恒，但由于万有引力一直指向地球中心，则万有引力对地球中心的力矩为零，故卫星对地球中心的角动星守恒，即r ³m v ＝恒量，式中r 为地球中心指向卫星的位矢．当卫星处于椭圆轨道上不同位置时，由于｜r ｜不同，由角动量守恒知卫星速率不同，其中当卫星处于近地点时速率最大，处于远地点时速率最小，故卫星动能并不守恒，但由万有引力为保守力，则卫星的机械能守恒，即卫星动能与万有引力势能之和维持不变，由此可见，应选(B)．4－6 一汽车发动机曲轴的转速在12 s 内由1.2³103r²min -1均匀的增加到2.7³103r²min -1．(1)求曲轴转动的角加速度；(2)在此时间内，曲轴转了多少转？分析 这是刚体的运动学问题．刚体定轴转动的运动学规律与质点的运动学规律有类似的关系，本题为匀变速转动．解 (1)由于角速度ω＝2πn (n 为单位时间内的转数)，根据角加速度的定义tωαd d =，在匀变速转动中角加速度为()200s rad 1.13π2-⋅=-=-=tn n t ωωα(2)发动机曲轴转过的角度为()t n n t t t 0020π221+=+=+=ωωαωθ在12 s 内曲轴转过的圈数为3902π20=+==t n n θN 圈 4－7 水分子的形状如图所示，从光谱分析知水分子对AA ′轴的转动惯量J AA′＝1.93 ³10-47kg²m 2，对BB ′轴转动惯量J BB′＝1.14 ³10-47kg²m 2，试由此数据和各原子质量求出氢和氧原子的距离D 和夹角θ．假设各原子都可当质点处理．题 4-7 图分析 如将原子视为质点，则水分子中的氧原子对AA ′轴和BB ′轴的转动惯量均为零，因此计算水分子对两个轴的转动惯量时，只需考虑氢原子即可． 解 由图可得θd m J H A A 22sin 2=' θd m J H B B 22cos 2='此二式相加，可得22d m J J H B B A A =+''则 m 1059.9211-''⨯=+=HB B A A m J J d由二式相比，可得 θJ J B B A A 2tan /=''则 o 3.521.141.93arctan arctan===''B B A A J J θ 4－8 一飞轮由一直径为30㎝，厚度为2.0㎝的圆盘和两个直径为10㎝，长为8.0㎝的共轴圆柱体组成，设飞轮的密度为7.8³103kg²m -3，求飞轮对轴的转动惯量．题 4-8 图分析 根据转动惯量的可叠加性，飞轮对轴的转动惯量可视为圆盘与两圆柱体对同轴的转动惯量之和；而匀质圆盘、圆柱体对轴的转动惯量的计算可查书中公式，或根据转动惯量的定义，用简单的积分计算得到． 解 根据转动惯量的叠加性，由匀质圆盘、圆柱体对轴的转动惯量公式可得2424122221121m kg 136.021π161 2212212⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=+=ad ld ρd m d m J J J4－9 用落体观察法测定飞轮的转动惯量，是将半径为R 的飞轮支承在O 点上，然后在绕过飞轮的绳子的一端挂一质量为m 的重物，令重物以初速度为零下落，带动飞轮转动(如图)．记下重物下落的距离和时间，就可算出飞轮的转动惯量．试写出它的计算式．(假设轴承间无摩擦)．题 4-9 图分析 在运动过程中，飞轮和重物的运动形式是不同的．飞轮作定轴转动，而重物是作落体运动，它们之间有着内在的联系．由于绳子不可伸长，并且质量可以忽略．这样，飞轮的转动惯量，就可根据转动定律和牛顿定律联合来确定，其中重物的加速度，可通过它下落时的匀加速运动规律来确定．该题也可用功能关系来处理．将飞轮、重物和地球视为系统，绳子张力作用于飞轮、重物的功之和为零，系统的机械能守恒．利用匀加速运动的路程、速度和加速度关系，以及线速度和角速度的关系，代入机械能守恒方程中即可解得．解1 设绳子的拉力为T F ，对飞轮而言，根据转动定律，有αJ R F T = (1)而对重物而言，由牛顿定律，有ma F mg T =- (2)由于绳子不可伸长，因此，有αR a = (3)重物作匀加速下落，则有221at h =(4) 由上述各式可解得飞轮的转动惯量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1222h gt mR J解2 根据系统的机械能守恒定律，有0212122=++-ωJ m mgh v (1′)而线速度和角速度的关系为ωR =v (2′)又根据重物作匀加速运动时，有at =v (3′) ah 22=v (4′)由上述各式可得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1222h gt mR J若轴承处存在摩擦，上述测量转动惯量的方法仍可采用．这时，只需通过用两个不同质量的重物做两次测量即可消除摩擦力矩带来的影响．4－10 一燃气轮机在试车时，燃气作用在涡轮上的力矩为2.03³103N²m，涡轮的转动惯量为25.0kg²m 2．当轮的转速由2.80³103r²min -1增大到1.12³104r²min -1时，所经历的时间t 为多少？分析 由于作用在飞轮上的力矩是恒力矩，因此，根据转动定律可知，飞轮的角加速度是一恒量；又由匀变速转动中角加速度与时间的关系，可解出飞轮所经历的时间．该题还可应用角动量定理直接求解． 解1 在匀变速转动中，角加速度t ωωα-=，由转动定律αJ M =，可得飞轮所经历的时间 ()s 8.10200=-=-=n n MJπJ M ωωt 解2 飞轮在恒外力矩作用下，根据角动量定理，有()0d ωωJ t M t-=⎰则 ()s 8.10π200=-=-=n n MJJ M ωωt 4－11 质量为m 1和m 2的两物体A 、B 分别悬挂在图(a)所示的组合轮两端.设两轮的半径分别为R 和r ，两轮的转动惯量分别为J 1和J 2，轮与轴承间、绳索与轮间的摩擦力均略去不计，绳的质量也略去不计.试求两物体的加速度和绳的张力.题 4-11 图分析 由于组合轮是一整体，它的转动惯量是两轮转动惯量之和，它所受的力矩是两绳索张力矩的矢量和(注意两力矩的方向不同).对平动的物体和转动的组合轮分别列出动力学方程，结合角加速度和线加速度之间的关系即可解得.解 分别对两物体及组合轮作受力分析，如图(b).根据质点的牛顿定律和刚体的转动定律，有111111a m F g m F P T T =-='- (1)222222a m g m F P F T T =-=-' (2)()αJ J r F R F T T 2121+=- (3) 11T T F F =',22T T F F =' (4)由角加速度和线加速度之间的关系，有αR a =1 (5) αr a =2 (6)解上述方程组，可得gR r m R m J J rm R m a 222121211+++-=gr r m R m J J rm R m a 222121212+++-=g m r m R m J J Rr m r m J J F T 1222121221211++++++=g m rm R m J J Rr m R m J J F T 2222121121212++++++= 4－12 如图所示装置，定滑轮的半径为r ，绕转轴的转动惯量为J ，滑轮两边分别悬挂质量为m 1和m 2的物体A 、B.A 置于倾角为θ的斜面上，它和斜面间的摩擦因数为μ，若B 向下作加速运动时，求：(1)其下落加速度的大小；(2)滑轮两边绳子的张力.(设绳的质量及伸长均不计，绳与滑轮间无滑动，滑轮轴光滑.)题 4-12 图分析 这是连接体的动力学问题，对于这类问题仍采用隔离体的方法，从受力分析着手，然后列出各物体在不同运动形式下的动力学方程.物体A 和B 可视为质点，则运用牛顿定律.由于绳与滑轮间无滑动，滑轮两边绳中的张力是不同的，滑轮在力矩作用下产生定轴转动，因此，对滑轮必须运用刚体的定轴转动定律.列出动力学方程，并考虑到角量与线量之间的关系，即能解出结果来.解 作A 、B 和滑轮的受力分析，如图(b).其中A 是在张力F Ｔ1、重力P 1，支持力F Ｎ和摩擦力F ｆ的作用下运动，根据牛顿定律，沿斜面方向有11111cos sin a m θg m μθg m F T =-- (1)而B 则是在张力F Ｔ2和重力P 2的作用下运动，有2222a m F g m T =- (2)由于绳子不能伸长、绳与轮之间无滑动，则有αr a a ==21 (3)对滑轮而言，根据定轴转动定律有αJ r F r F T T ='-'12 (4) 11T T F F =',22T T F F =' (5)解上述各方程可得22111221/cos sin r J m m g m g m g m a a ++--==θμθ()()22121211//cos sin cos sin 1r J m m r gJ m θμθθμθg m m F T ++++++=()22122212//cos sin 1rJ m m r gJ m θμθg m m F T +++++= 4－13 如图(a)所示，飞轮的质量为60kg ，直径为0.50m ，转速为1.0 ³103r²min -1.现用闸瓦制动使其在5.0s 内停止转动，求制动力F .设闸瓦与飞轮之间的摩擦因数 μ＝0.40，飞轮的质量全部分布在轮缘上.题 4-13 图分析 飞轮的制动是闸瓦对它的摩擦力矩作用的结果，因此，由飞轮的转动规律可确定制动时所需的摩擦力矩.但是，摩擦力矩的产生与大小，是由闸瓦与飞轮之间的正压力F Ｎ决定的，而此力又是由制动力F 通过杠杆作用来实现的.所以，制动力可以通过杠杆的力矩平衡来求出. 解 飞轮和闸杆的受力分析，如图(b)所示.根据闸杆的力矩平衡，有()0121='-+l F l l F N而NNF F '=，则闸瓦作用于轮的摩擦力矩为 d μF l ll d μF d F M N 121f2212+=== (1) 摩擦力矩是恒力矩，飞轮作匀角加速转动，由转动的运动规律，有tnt ωt ωωαπ200==-=(2) 因飞轮的质量集中于轮缘，它绕轴的转动惯量4/2md J =，根据转动定律αJ M =，由式(1)、(2)可得制动力()N 1014.32211⨯=+=tl l nmdl F μπ4－14 如图所示，一通风机的转动部分以初角速度ω0绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数C 为一常量.若转动部分对其轴的转动惯量为J ，问：(1)经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？(2)在此时间内共转过多少转？题 4-14 图分析 由于空气的阻力矩与角速度成正比，由转动定律可知，在变力矩作用下，通风机叶片的转动是变角加速转动，因此，在讨论转动的运动学关系时，必须从角加速度和角速度的定义出发，通过积分的方法去解.解 (1)通风机叶片所受的阻力矩为M ＝－C ω，由转动定律M ＝J α，可得叶片的角加速度为JωC t ωα-==d d (1) 根据初始条件对式(1)积分，有t J Cωωt ωωd d 00⎰⎰-= 由于C 和J 均为常量，得J Ct e ωω/0-= (2)当角速度由ω0→21ω0时，转动所需的时间为2ln CJt =(2)根据初始条件对式(2)积分，有t eωθJCt tθd d /0-⎰⎰=即 CωJ θ20=在时间t 内所转过的圈数为CωJ θN π4π20==4－15 电风扇接通电源后一般经5s 后到达额定转速10min r 300-⋅=n ,而关闭电源后经16 s 后风扇停止转动，已知电风扇的转动惯量为2m kg 5.0⋅，设启动时电磁力矩M和转动时的阻力矩f M 均为常数，求启动时的电磁力矩M .分析 由题意知M 和f M 均为常数，故启动时电风扇在M 和f M 共同作用下，作匀加速转动，直至到达额定转速，关闭电源后，电风扇仅在f M 的作用下作匀减速转动.运用匀变速转动的运动学规律和转动定律既可求解.解 设启动时和关闭电源后，电风扇转动时的角加速度分别为1α和2α，则启动过程αJ M M =-f110t αω=关闭电源后 2fαJ M =-0220=+t αω联解以上各式并将6020n πω=以及0n 、1t 、2t 、J 值代入，得m N 12.4⋅=M4－16 一质量为m′、半径为R 的均匀圆盘，通过其中心且与盘面垂直的水平轴以角速度ω转动，若在某时刻，一质量为m 的小碎块从盘边缘裂开，且恰好沿垂直方向上抛，问它可能达到的高度是多少？破裂后圆盘的角动量为多大？分析 盘边缘裂开时，小碎块以原有的切向速度作上抛运动，由质点运动学规律可求得上抛的最大高度.此外，在碎块与盘分离的过程中，满足角动量守恒条件，由角动量守恒定律可计算破裂后盘的角动量.题 4-16 图解 (1)碎块抛出时的初速度为R ω=0v由于碎块竖直上抛运动，它所能到达的高度为gR ωg h 222220==v(2)圆盘在裂开的过程中，其角动量守恒，故有L L L '-=0式中ωR m L 221'=为圆盘未碎时的角动量；ωmR L 2='为碎块被视为质点时，碎块对轴的角动量；L 为破裂后盘的角动量.则ωR m m L 221⎪⎭⎫⎝⎛-'=4－17 在光滑的水平面上有一木杆，其质量m 1＝1.0kg ，长l ＝40cm ，可绕通过其中点并与之垂直的轴转动.一质量为m 2＝10g 的子弹，以v ＝2.0³102m² s -1的速度射入杆端，其方向与杆及轴正交.若子弹陷入杆中，试求所得到的角速度.题 4-17 图分析 子弹与杆相互作用的瞬间，可将子弹视为绕轴的转动.这样，子弹射入杆前的角速度可表示为ω，子弹陷入杆后，它们将一起以角速度ω′转动.若将子弹和杆视为系统，因系统不受外力矩作用，故系统的角动量守恒.由角动量守恒定律可解得杆的角速度. 解 根据角动量守恒定理()ωJ J ωJ '+=212式中()2222/l m J =为子弹绕轴的转动惯量，J 2ω为子弹在陷入杆前的角动量，ω＝2v/l 为子弹在此刻绕轴的角速度.12/211l m J =为杆绕轴的转动惯量.可得杆的角速度为()1212212s 1.2936-=+=+='m m m J J ωJ ωv4－18 一质量为20.0kg 的小孩，站在一半径为3.00m 、转动惯量为450kg² m 2的静止水平转台的边缘上，此转台可绕通过转台中心的竖直轴转动，转台与轴间的摩擦不计.如果此小孩相对转台以1.00m²s －1的速率沿转台边缘行走，问转台的角速率有多大？分析 小孩与转台作为一定轴转动系统，人与转台之间的相互作用力为内力，沿竖直轴方向不受外力矩作用，故系统的角动量守恒.在应用角动量守恒时，必须注意人和转台的角速度ω、ω0都是相对于地面而言的，而人相对于转台的角速度ω1应满足相对角速度的关系式10ωωω+=.解 由相对角速度的关系，人相对地面的角速度为Rωωωωv +=+=010由于系统初始是静止的，根据系统的角动量守恒定律，有()010100=++ωωJ ωJ式中J 0为转台对转台中心轴的转动惯量,J 1＝mR 2为人对转台中心轴的转动惯量.由式(1)、(2)可得转台的角速度为122020s 1052.9--⨯-=+-=RmR J mR ωv 式中负号表示转台转动的方向与人对地面的转动方向相反. 4－19 一转台绕其中心的竖直轴以角速度ω0＝π1s rad -⋅转动，转台对转轴的转动惯量为J 0＝4.0³10-3kg²m 2.今有砂粒以Q ＝2t （Q 在单位为g²s -1，t 的单位为s ）的流量竖直落至转台，并粘附于台面形成一圆环，若环的半径为r ＝0.10m ，求砂粒下落t ＝10s 时，转台的角速度.分析 对转动系统而言，随着砂粒的下落，系统的转动惯量发生了改变.但是，砂粒下落对转台不产生力矩的作用，因此，系统在转动过程中的角动量是守恒的.在时间t 内落至台面的砂粒的质量，可由其流量求出，从而可算出它所引起的附加的转动惯量.这样，转台在不同时刻的角速度就可由角动量守恒定律求出. 解 在时间0→10s内落至台面的砂粒的质量为kg 10.0Qd 100==⎰t m根据系统的角动量守恒定律，有()ωmr J ωJ 2000+=则t ＝10s 时，转台的角速度12000s π8.0-=+=mrJ J ωω 4－20 为使运行中的飞船停止绕其中心轴的转动，可在飞船的侧面对称地安装两个切向控制喷管(如图所示)，利用喷管高速喷射气体来制止旋转.若飞船绕其中心轴的转动惯量J ＝2.0³103kg² m 2，旋转的角速度ω＝0.2r ad² s -1，喷口与轴线之间的距离r ＝1.5m ；喷气以恒定的流量Q ＝1.0kg²s -1和速率u ＝50m² s-1从喷口喷出，问为使该飞船停止旋转，喷气应喷射多长时间？分析 将飞船与喷出的气体作为研究系统，在喷气过程中，系统不受外力矩作用，其角动量守恒.在列出方程时应注意：(1)由于喷气质量远小于飞船质量，喷气前、后系统的角动量近似为飞船的角动量J ω；(2)喷气过程中气流速率u 远大于飞船侧面的线速度ωr ，因此，整个喷气过程中，气流相对于空间的速率仍可近似看作是 u ，这样，排出气体的总角动量()mur m r ωu m≈+⎰d .经上述处理后，可使问题大大简化.解 取飞船和喷出的气体为系统，根据角动量守恒定律，有0=-mur ωJ (1)因喷气的流量恒定，故有Qt m 2= (2)由式(1)、(2)可得喷气的喷射时间为s 67.22==QurωJ t题 4-20 图4－21 如图所示，长为l 、质量为m 的均质杆，可绕点O 在竖直平面内转动，令杆至水平位置由静止摆下，在竖直位置与质量为2m的物体发生完全非弹性碰撞，碰撞后物体沿摩擦因数为μ的水平面滑动，试求此物体滑过的距离s .分析 本题可分为三个过程，即细杆绕点O 的转动过程，细杆与物体的完全非弹性碰撞以及碰撞后物体在粗糙水平面上的滑动过程。
力学中的旋转转动物体和角动量的特性与计算
力学中的旋转转动物体和角动量的特性与计算在力学中，我们研究的不仅仅是直线运动，还包括旋转运动。
旋转转动物体是指物体绕某个轴进行旋转的运动，例如地球的自转和人体的转动等。
与旋转转动物体相关的一个重要概念是角动量，它描述了物体的旋转特性和运动状态。
本文将探讨旋转转动物体和角动量的特性以及如何计算角动量。
一、旋转转动物体的特性旋转转动物体与直线运动物体相比具有许多独特的特性。
首先，旋转转动物体的运动轨迹通常是环绕着某个轴进行的，而不是直线上的运动。
这意味着旋转物体的位移向量是一个矢量，具有方向和大小。
其次，旋转转动物体的速度和加速度也与直线运动物体不同。
在直线运动中，速度是位移对时间的导数，而在旋转运动中，速度则是角位移对时间的导数。
类似地，加速度也是角速度对时间的导数。
这些不同之处使得旋转物体的运动与直线运动有着本质上的区别。
另外，旋转转动物体还具有惯性力矩的概念。
当外界施加力矩时，旋转物体会产生转动加速度，使得物体的角速度发生变化。
根据牛顿第二定律，旋转物体的转动惯性力矩与角加速度成正比。
二、角动量的特性角动量是描述旋转物体运动状态的物理量，定义为物体的角动量矢量与角速度矢量的叉积。
角动量的大小等于物体的质量和角速度的乘积，并与旋转轴的位置有关。
角动量具有以下几个重要的特性：1. 守恒定律：如果一个系统在没有外力矩作用下，系统的角动量将保持不变。
这是因为根据牛顿第三定律，旋转物体受到的合外力矩为零，因此角动量守恒。
2. 旋转惯量：旋转惯量是描述物体对旋转运动的惯性的物理量，与物体的质量分布和旋转轴的位置有关。
旋转惯量越大，物体的转动越不容易改变，即惯性越大。
3. 角动量定理：角动量定理描述了角动量的变化与力矩的关系。
根据角动量定理，力矩等于时间对角动量的导数。
这意味着当外力矩作用在物体上时，物体的角动量将发生变化。
三、角动量的计算计算角动量的方法很多，具体取决于旋转物体的形状和运动特征。
下面介绍几种常见情况下的角动量计算方法。
角加速度和角速度的关系公式
角加速度和角速度的关系公式角加速度和角速度是描述物体旋转运动的两个重要物理量。
角速度指的是物体单位时间内绕某一轴线旋转的角度，而角加速度则表示物体单位时间内角速度的变化率。
两者之间存在着一定的关系，可以通过公式进行表达。
角速度（ω）是一个矢量量，其大小等于单位时间内物体绕某一轴线旋转的角度增量与相应时间的比值。
一般用希腊字母ω表示，单位是弧度/秒。
角速度的计算公式可以表示为：ω = Δθ / Δt其中，ω表示角速度，Δθ表示角度的增量，Δt表示时间的增量。
根据这个公式，我们可以得出角速度的大小与旋转角度和时间的关系。
当物体在单位时间内旋转的角度增大，则角速度也会增大；反之，当旋转角度减小，则角速度也会减小。
角加速度（α）是角速度的变化率，表示单位时间内角速度的变化量。
角加速度的计算公式可以表示为：α = Δω / Δt其中，α表示角加速度，Δω表示角速度的变化量，Δt表示时间的增量。
角加速度的大小与角速度的变化量和时间的关系成正比。
当物体在单位时间内角速度的变化量增大时，角加速度也会增大；反之，当角速度的变化量减小时，角加速度也会减小。
可以看出，角加速度和角速度之间存在着一定的关系。
根据角速度和角加速度的定义和计算公式，可以得出以下结论：1. 当物体的角速度增大时，表示物体的旋转速度增快，此时角加速度为正值；2. 当物体的角速度减小时，表示物体的旋转速度减慢，此时角加速度为负值；3. 当物体的角速度保持不变时，表示物体的旋转速度保持恒定，此时角加速度为零。
可以通过一个简单的例子来理解角加速度和角速度的关系。
假设有一个旋转的风车，开始时风车的角速度为零，然后随着外力的作用，风车开始加速旋转。
此时，风车的角加速度为正值，表示风车的旋转速度在增加。
当风车旋转到一定的速度后，角加速度为零，表示风车的旋转速度保持恒定。
若外力停止作用，风车的角速度开始减小，此时角加速度为负值，表示风车的旋转速度在减慢。
总结起来，角加速度和角速度之间存在着一定的关系。
动力学中的角速度和角动量分析
动力学中的角速度和角动量分析动力学是物理学中一个重要的分支，它研究物体运动的原因和规律。
在动力学中，角速度和角动量是两个重要的概念。
本文将从角速度和角动量的定义、计算以及应用方面进行论述。
1. 角速度的定义和计算角速度是描述物体旋转速度的物理量，用符号ω表示。
在动力学中，角速度定义为单位时间内物体旋转的角度。
在直观上，可以将角速度理解为物体单位时间内旋转的快慢程度。
在数学上，角速度可以通过角度的变化量与时间的变化量之间的比值来计算。
即ω = Δθ / Δt其中ω代表角速度，Δθ代表角度的变化量，Δt代表时间的变化量。
角速度的单位是弧度/秒（rad/s）。
2. 角动量的定义和计算角动量是描述物体旋转量级的物理量，用符号L表示。
在动力学中，角动量定义为物体的质量乘以物体旋转轴到质量的距离的矢量叉乘与物体的线速度的矢量。
即L = r × p其中L代表角动量，r代表质点到旋转轴的矢量，p代表质点的动量矢量。
在实际计算中，可以根据质点的质量m、质点坐标r、质点的速度v来计算角动量。
即L = m * r × v角动量的单位是千克·米²/秒（kg·m²/s）。
3. 角速度和角动量的关系角速度和角动量有着密切的联系。
根据角速度的定义，可以推导得到角动量与角速度之间的关系。
对于一个质点来说，其角动量L可以表示为L = I * ω其中L代表角动量，I代表质点的转动惯量，ω代表角速度。
转动惯量表示了物体对于旋转的惯性大小，是描述物体旋转运动的特性之一。
由于I和ω之间存在线性关系，所以角动量与角速度之间也存在着线性关系。
4. 角速度和角动量的应用角速度和角动量在实际生活中有着广泛的应用。
在机械工程领域，角速度和角动量常常用于研究旋转机械的运动规律和设计。
例如，在飞机旋翼的设计中，需要计算旋转速度和角动量来确定旋转机翼的受力情况以及稳定性。
在物理学中，角速度和角动量也广泛应用于天体运动的研究。
乒乓球轨迹预判及弧圈球的物理模型研究与仿真
的平面相垂直的方向上将产生一个横向力 在这个横向
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理论研究
科技风 "#"" 年 $ 月
力的作用下物体飞行轨迹发生偏转的现象称作马格努斯
效应这个横向力成为马格努斯力
乒乓球拍与 乒 乓 球 在 碰 撞 的 过 程 中 除 了 发 生 正 碰
上旋球着台时球给台面一个向后的摩擦力台面给 球一个大小相同方向向前的摩擦力从而使球反弹时与
台面法线方向夹角增大前进速度加快这也给对手回球 增加了难度如图 ( 所示
图 ( 上旋球落台后运动轨迹
而在实战中并 非 角 速 度 越 大 回 球 的 质 量 就 一 定 越
高 随着角速度的增加轨迹最高点会降低便有可能出
%t0 f9I% 之间变化
为探究阻力系数对弧圈球运动轨迹的影响须设定合
适的初值 不妨设初速度 LS$%-@1速度与 R轴的夹角
#S$8u角速度 %S8%J@1分别取阻力系数 "JS%&)%&( %t3%&9 进行讨论绘制出不同阻力系数下乒乓球触台前
的运动轨迹如图 3 所示
图 3 不同阻力系数乒乓球的运动轨迹
后得乒乓球在空气中所受阻力为
E,
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", &,# ,) L)
但我
们不能简单地认为空气阻力与 L) 成正比式中阻力系数并
非一个常数 它与物体的形状有关如平板的阻力系数
"JS$圆球或流线型的阻力系数 ", Y$它又与物体运动 的速度有关当速度在 % f(%-@1时圆球的阻力系数在
外球拍相对于 乒 乓 球 的 切 向 挥 动 还 会 产 生 摩 擦 力 使 乒
干货!最全的陀螺仪基础知识详解
干货！最全的陀螺仪基础知识详解陀螺仪，又叫角速度传感器，是用高速回转体的动量矩敏感壳体相对惯性空间绕正交于自转轴的一个或二个轴的角运动检测装置，同时，利用其他原理制成的角运动检测装置起同样功能的装置也称陀螺仪。
一、陀螺仪的名字由来陀螺仪名字的来源具有悠久的历史。
据考证，1850年法国的物理学家莱昂·傅科（J.Foucault）为了研究地球自转，首先发现高速转动中地的转子（rotor），由于它具有惯性，它的旋转轴永远指向一固定方向，因此傅科用希腊字gyro（旋转）和skopein（看）两字合为“gyroscopei”一字来命名该仪器仪表。
最早的陀螺仪的简易制作方式如下：即将一个高速旋转的陀螺放到一个万向支架上，靠陀螺的方向来计算角速度。
其中，中间金色的转子即为陀螺，它因为惯性作用是不会受到影响的，周边的三个“钢圈”则会因为设备的改变姿态而跟着改变，通过这样来检测设备当前的状态，而这三个“钢圈”所在的轴，也就是三轴陀螺仪里面的“三轴”，即X轴、y轴、Z轴，三个轴围成的立体空间联合检测各种动作，然后用多种方法读取轴所指示的方向，并自动将数据信号传给控制系统。
因此一开始，陀螺仪的最主要的作用在于可以测量角速度。
二、陀螺仪的基本组成当前，从力学的观点近似的分析陀螺的运动时，可以把它看成是一个刚体，刚体上有一个万向支点，而陀螺可以绕着这个支点作三个自由度的转动，所以陀螺的运动是属于刚体绕一个定点的转动运动，更确切地说，一个绕对称轴高速旋转的飞轮转子叫陀螺。
将陀螺安装在框架装置上，使陀螺的自转轴有角转动的自由度，这种装置的总体叫做陀螺仪。
陀螺仪的基本部件有：陀螺转子（常采用同步电机、磁滞电机、三相交流电机等拖动方法来使陀螺转子绕自转轴高速旋转，并见其转速近似为常值）；内、外框架（或称内、外环，它是使陀螺自转轴获得所需角转动自由度的结构）；附件（是指力矩马达、信号传感器等）。
三、陀螺仪的工作原理陀螺仪侦测的是角速度。
光子的波粒二象性与光子的旋转
科技与创新┃Science and Technology&Innovation ·42·2017年第13期文章编号：2095－6835（2017）13－0042－03光子的波粒二象性与光子的旋转黄宁海（桂林慧文科技有限公司，广西桂林541100）摘要：假定光子沿x轴方向运动，通过与同心球体旋转的类比，推测光子绕其自旋轴自旋，自旋方向是周期性变化的（光子的自旋轴绕y轴恒速旋转）。
由马格努斯效应可知，在与光子的自旋轴和光子轨道运动方向（光子轨道切线方向）组成的平面相垂直的方向上将产生一个作用于光子的横向力F。
横向力F与光子自旋角动量在z轴的分量成正比，即横向力F和光子自旋轴与xOy平面夹角的正弦函数值成正比（横向力F的方向和大小是周期性变化的），因此，光子将沿波浪线运动。
横向力F不断改变光子运动轨道的曲率，而由F＝mv2/r可知，光子在某一点的曲率半径r与横向力F成反比，即光子在某一点的曲率K与横向力F成正比。
由此我们得出结论：光子自旋轴与xOy平面夹角是匀速变化的；光子在某一点的曲率半径r和其自旋轴与xOy平面夹角的正弦函数值成反比，即光子在某一点的曲率K和其自旋轴与xOy平面夹角的正弦函数值成正比。
众所周知，任何一个微观粒子具有的角动量是它的自旋角动量与轨道角动量之和，一个粒子的总角动量是守恒的。
虽然光子的自旋角动量大小恒定，但其自旋方向却是不断变化的，相应地，其自旋角动量也是不断变化的，若光子沿一个平面内的波浪线（基准轨道）运动，将导致其总角动量不守恒，因此，我们还需假设光子的运动轨道并非严格地位于一个平面内，而是缠绕于基准轨道。
只有这样，光子的总角动量才可能守恒。
推测光子的自旋轴除绕y轴旋转外，还会出现周期性的晃动。
由马格努斯效应可知，光子的运动轨道将缠绕于基准轨道，因此，光子也是螺旋运动的。
发现了光子的一个新量子数偏角量子数以及光子能级的精细结构，并且重新定义了关于光子的一些基本概念。
当一个旋转物体的旋转角速度矢量与物体飞行速度矢量不重合时
马格努斯效应：当一个旋转物体的旋转角速度矢量与物体飞行速度矢量不重合时，在与旋转角速度矢量和平动速度矢量组成的平面相垂直的方向上将产生一个横向力。
在这个横向力的作用下物体飞行轨迹发生偏转的现象称作马格努斯效应。
旋转物体之所以能在横向产生力的作用，从物理角度分析，是由于物体旋转可以带动周围流体旋转，使得物体一侧的流体速度增加，另一侧流体速度减小。
根据伯努力定理，流体速度增加将导致压强减小，流体速度减小将导致压强增加，这样就导致旋转物体在横向的压力差，并形成横向力。
同时由于横向力与物体运动方向相垂直，因此这个力主要改变飞行速度方向，即形成物体运动中的向心力，因而导致物体飞行方向的改变马格努斯效应可以用来解释乒乓球中的弧线球、足球中的香蕉球等现象。
利用马格努斯效应还设计出了带旋转的飞艇，这种飞艇通过旋转可以增加、调节飞艇的升力，是飞艇设计中一种很有趣的设计方式。
自转角：本体绕通过其质心的旋转轴自西向东旋转的角速度，一般用ω表示偏航角：定义1：船舶纵轴相对预定航向在水平面内的偏转角。
定义2：预定航线和航迹线的夹角。
对于导弹（或飞机）来说，确定导弹（或飞机）在空间中的方向需要三个角度，分别为偏航角、俯仰角和滚转角。
其中偏航角定义为导弹纵轴在水平面上投影与地面坐标系Ax轴（在水平面上，指向目标为正）之间的夹角，由Ax轴逆时针转至导弹导弹纵轴的投影线时，偏航角为正，反之为负（图中的偏航角为正）。
确定导弹（或飞机）在空间中的方向需要用三个角度，分别为偏航角、俯仰角和滚转角，这三个角度通常称为欧拉角，或弹体的姿态角。
这三个角度是地面坐标系与弹体坐标系之间的角度关系，即地面坐标系经过三次旋转即可转到弹体坐标系偏航角与侧滑角容易相互混淆，侧滑角是速度矢量V与导弹纵向对称平面之间的夹角，是速度坐标系与弹体坐标系之间的关系；而偏航角是导弹纵轴在水平面上投影与地面坐标系Ax轴（在水平面上，指向目标为正）之间的夹角，是地面坐标系与弹体坐标系之间的角度关系。
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马格努斯效应：
当一个旋转物体的旋转角速度矢量与物体飞行速度矢量不重合时，在与旋转角速度矢量和平动速度矢量组成的平面相垂直的方向上将产生一个横向力。
在这个横向力的作用下物体飞行轨迹发生偏转的现象称作马格努斯效应。
旋转物体之所以能在横向产生力的作用，从物理角度分析，是由于物体旋转可以带动周围流体旋转，使得物体一侧的流体速度增加，另一侧流体速度减小。
根据伯努力定理，流体速度增加将导致压强减小，流体速度减小将导致压强增加，这样就导致旋转物体在横向的压力差，并形成横向力。
同时由于横向力与物体运动方向相垂直，因此这个力主要改变飞行速度方向，即形成物体运动中的向心力，因而导致物体飞行方向的改变
马格努斯效应可以用来解释乒乓球中的弧线球、足球中的香蕉球等现象。
利用马格努斯效应还设计出了带旋转的飞艇，这种飞艇通过旋转可以增加、调节飞艇的升力，是飞艇设计中一种很有趣的设计方式。
自转角：本体绕通过其质心的旋转轴自西向东旋转的角速度，一般用ω表示
偏航角：定义1：
船舶纵轴相对预定航向在水平面内的偏转角。
定义2：
预定航线和航迹线的夹角。
对于导弹（或飞机）来说，确定导弹（或飞机）在空间中的方向需要三个角度，分别为偏航角、俯仰角和滚转角。
其中偏航角定义为导弹纵轴在水平面上投影与地面坐标系Ax轴（在水平面上，指向目标为正）之间的夹角，由Ax轴逆时针转至导弹导弹纵轴的投影线时，偏航角为正，反之为负（图中的偏航角为正）。
确定导弹（或飞机）在空间中的方向需要用三个角度，分别为偏航角、俯仰角和滚转角，这三个角度通常称为欧拉角，或弹体的姿态角。
这三个角度是地面坐标系与弹体坐标系之间的角度关系，即地面坐标系经过三次旋转即可转到弹体坐标系
偏航角与侧滑角容易相互混淆，侧滑角是速度矢量V与导弹纵向对称平面之间的夹角，是速度坐标系与弹体坐标系之间的关系；而偏航角是导弹纵轴在水平面上投影与地面坐标系Ax轴（在水平面上，指向目标为正）之间的夹角，是地面坐标系与弹体坐标系之间的角度关系。
两者间的关系可用右图来表示。
俯仰角：机体坐标系X轴与水平面的夹角。
当X轴的正半轴位于过坐标原点的水平面之上时，俯仰角为正，按习惯，俯仰角θ的范围为：-π/2≤θ≤π/2。
功角：功角：y为内功率因数角，d=y-j定义为功角。
它表示发电机的励磁电势和端电压之间相角差。
功角d 对于研究同步电机的功率变化和运行的稳定性有重要意义。
功角是表征同步发电机运行状态和判别电力系统稳定性的重要参量，多年来，功角的测量得到了广泛的重视和深入的研究。
励磁电势：励磁电流，就是用来建立磁场的，无关交直！
励磁电流=(电源电压-自感电势)÷线圈阻值，如为超导的则由限流元件决定。
弹道倾角：对于导弹来说，弹道倾角是弹道坐标系与地面坐标系之间的角度关系，是导弹速度矢量V与水平面之间的夹角，若速度矢量V在水平面之上，弹道倾角为正，反之为负。
弹道倾角通常用θ来表示。
【弹道倾角、俯仰角与攻角间的关系】
攻角、弹道倾角与俯仰角之间易搞混。
俯仰角是指纵轴与水平面间的夹角，攻角是指纵轴与来流之间的夹角（侧滑角为零时）
当导弹水平飞行时，攻角等于俯仰角，弹道倾角为零；导弹不是水平飞行时，攻角不等于俯仰角，弹道倾角不为零。
图中所示的导弹不是水平飞行，因此弹道倾角不为零。
计算公式：俯仰角＝攻角+弹道倾角
【弹道倾角与弹道偏角】
从导弹的地面坐标系到弹道坐标系只需经过两次旋转，因此它们之间的相互方位可由两个角度确定，一个是弹道倾角，另一个是弹道偏角。
极阻尼力矩：
赤道阻尼力矩：
而不是用焦耳作为单位。
力矩的单位由力和力臂的单位决定。
滚动力矩：滚动摩擦力的力矩，？？？
转动惯量：转动惯量是表征刚体转动惯性大小的物理量，它与刚体的质量、质量相对于转轴
的分布有关，刚体绕轴转动惯性的度量。
其数值为I＝Δmiri2或I＝，式中ri为组成刚体的质量微元Δmi（或dm）到转轴的垂直距离；求和号（或积分号）遍及整个刚体。
转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无
1) 垂直于杆的轴通过杆的中心O
J1=M l 2
2) 垂直于杆的轴通过杆的端点O1
J2=M l 2
3) 垂直于杆的轴通过杆的1/4处O2
J3=M l 2
2.匀质圆盘的转动惯量
(圆盘质量为M，半径为R)
1) 对通过盘心垂直盘面的转轴
J1=MR 2
2) 对通过直径的轴
J2=MR 2
3.挂钟摆锤的转动惯量
( 杆长为l ，质量为m1；
差分法解方程：matlab解法百度文库
四级四阶runge kutta法：
Adams预测校正法：
Trajectory计算程序：。