第八章 季节性时间序列模型
季节性时间序列分析方法
第七章季节性时间序列分析方法由于季节性时间序列在经济生活中大量存在，故将季节时间序列从非平稳序列中抽出来，单独作为一章加以研究，具有较强的现实意义。
本章共分四节：简单随机时间序列模型、乘积季节模型、季节型时间序列模型的建立、季节调整方法X-11程序。
本章的学习重点是季节模型的一般形式和建模。
§1 简单随机时序模型在许多实际问题中，经济时间序列的变化包含很多明显的周期性规律。
比如：建筑施工在冬季的月份当中将减少，旅游人数将在夏季达到高峰，等等，这种规律是由于季节性（seasonality）变化或周期性变化所引起的。
对于这各时间数列我们可以说，变量同它上一年同一月（季度，周等）的值的关系可能比它同前一月的值的相关更密切。
一、季节性时间序列1．含义：在一个序列中，若经过S个时间间隔后呈现出相似性，我们说该序列具有以S为周期的周期性特性。
具有周期特性的序列就称为季节性时间序列，这里S为周期长度。
注：①在经济领域中，季节性的数据几乎无处不在，在许多场合，我们往往可以从直观的背景及物理变化规律得知季节性的周期，如季度数据（周期为4）、月度数据（周期为12）、周数据（周期为7）；②有的时间序列也可能包含长度不同的若干种周期，如客运量数据（S=12，S=7）2．处理办法：（1）建立组合模型；（1）将原序列分解成S个子序列（Buys-Ballot 1847）对于这样每一个子序列都可以给它拟合ARIMA 模型，同时认为各个序列之间是相互独立的。
但是这种做法不可取，原因有二：（1）S 个子序列事实上并不相互独立，硬性划分这样的子序列不能反映序列{}t x 的总体特征；（2）子序列的划分要求原序列的样本足够大。
启发意义：如果把每一时刻的观察值与上年同期相应的观察值相减，是否能将原序列的周期性变化消除？（或实现平稳化），在经济上，就是考查与前期相比的净增值，用数学语言来描述就是定义季节差分算子。
定义：季节差分可以表示为S t t t S t S t X X X B X W --=-=∇=)1(。
第八章非平稳和季节时间序列模型分析方法
第八章非平稳和季节时间序列模型分析方法时间序列是指观测值按照时间顺序排列的一组数据，其中具有季节性和非平稳性的时间序列数据具有特殊的分析需求。
本文将介绍非平稳和季节时间序列的分析方法。
一、非平稳时间序列分析方法非平稳时间序列是指其统计特征在时间上发生了变化，无法满足平稳性的要求。
非平稳时间序列具有趋势性、周期性、季节性和不规则性等特征。
对于非平稳时间序列的分析，我们可以采用以下方法：1.差分法：差分法是通过对时间序列取一阶或多阶差分来消除趋势性的影响。
通过差分后的时间序列进行分析，我们可以得到一个稳定的时间序列，并进行后续的建模和预测。
2.移动平均法：移动平均法是通过计算一定窗口范围内的观测值的平均值来消除短期波动的影响，从而得到一个平滑的时间序列。
通过移动平均后的时间序列进行分析，我们可以在一定程度上消除非平稳性的影响。
3.分解法：分解法是将非平稳时间序列分解为趋势项、季节项和随机项三个部分。
通过分解后的各个部分进行分析，我们可以了解趋势、季节和随机成分在时间序列中的作用，从而更好地进行建模和预测。
二、季节时间序列分析方法季节时间序列是指具有明显季节性的时间序列数据。
对于季节时间序列的分析，我们可以采用以下方法：1.季节性指数：季节性指数是用来描述季节性的强度和方向的指标。
通过计算每个季节的平均值与总平均值之比，可以得到季节性指数。
根据季节性指数的变化趋势，我们可以判断时间序列的季节性变化情况，并进行后续的建模和预测。
2.季节性趋势模型：季节性趋势模型是一种常用的季节时间序列建模方法。
该模型将时间序列分解为趋势项、季节项和随机项三个部分，并通过对这三个部分进行建模来分析季节性时间序列。
常用的季节性趋势模型包括季节性自回归移动平均模型（SARIMA）、季节性指数平滑模型等。
总结起来，非平稳和季节时间序列模型的分析方法主要包括差分法、移动平均法和分解法等对非平稳时间序列进行分析，以及季节性指数和季节性趋势模型等对季节性时间序列进行分析。
季节时间序列SARIMA模型
12Lnyt= (1+1 L) (1+1 L12) ut
● 这种模型也称作航线模型（air line model） ，首次被 Box 采用。 【例】(1-1.20L+0.66 L2) (1-0.33L4) 4 yt = (1-1.16L+ 0.97 L2) (1-0.95L4)vt
(14.4) (-8.8) (2.8) (55.9) (86.1) (-32.9)
季节时间序列SARIMA模型
1.9 季节时间序列模型 在某些时间序列中，存在明显的周期性变化。这种周期是由于季节性变化（包 括季度、月度、周度等变化）或其他一些固有因素引起的。这类序列称为季节性序 列。经济领域中，季节性时间序列更是常见。如季度时间序列、月度时间序列、周 度时间序列等。这里主要研究的是季度和月度时间序列。 中国季度 GDP 序列（yt，亿元人民币，1992:1~2009:1）见图。序列明显存在 以 4 个季度为周期的变化。在每年的第 4 季度，由于受接近年终的影响，GDP 额 比其他季度要增加很多。 描述这类序列的模型称作季节时间序列模型 (seasonal ARIMA model) ，用 SARIMA 表示。季节时间序列模型也称作乘积季节模型（ multiplicative seasonal model） 。因为模型的最终形式是用因子相乘的形式表示。 ● SARIMA 方法可以为任何周期的经济时间序列建模。
syt = (1-Ls)yt = yt - yt- s
● 对于非平稳季节性时间序列，进行有限次的季节差分和非季节差分，总可以转 换成一个平稳的序列。 ● 若原序列长度用 T 表示， 经过一次季节差分和一次非季节差分， 序列将丢失 s+1 个观测值，序列长度变为 T- s-1。
季节性时间序列分析方法
季节性时间序列分析方法在经济领域中得到的观测数据一般都具有较强的随时间变化的趋势，如果是季度或月度数据又有明显的季节变化规律。
因此研究经济时间序列必须考虑其趋势性和季节性的特点，既要考虑趋势变动，又要考虑季节变动，建立季节模型。
第一节 简单的时间序列模型一、 季节时间序列序列是季度数据或月度数据（周，日）表现为周期的波动。
二、随机季节模型例1 假定t x 是一个时间序列，通过一次季节差分后得到的平稳序列，且遵从一阶自回归季节模型,即有 t s s t t t x B x x w )1(-=-=-1tt s t w w 或 1(1)s t t B w 将t w =t s x )B (-1代入则有1(1)(1)s s t t B B x SARIMA(1,1,0)更一般的情况，随机序列模型的表达式为11(1)(1)(1)s s S t t B B x B SARIMA(1,1,1)第二节 乘积模型值得注意的是t a 不一定是白噪声序列。
因为我们仅仅消除了不同周期相同周期点之间具有的相关部分，相同周期而不同周期点之间的也有一定的相关性。
所以，在此情况下，模型有一定的拟合不足，如果假设t 是),(q p ARMA 模型，则1(1)(1)s s t t B B x 式可以改为1()(1)(1)()s s t t B B B x B如果序列}{t x 遵从的模型为()()()()s d D s s t t B U B x B V B （3.26） 其中ks k s s s B BB B U ΓΓΓ----= 2211)(ms m s s s B B B B V H H H ----= 2211)(p p B B B φφΦ---= 11)(q q B B B θθΘ---= 11)(d d B )1(-=∇D s D s B )1(-=∇则称（3.26）为乘积季节模型，记为),,(),,(q d p m D k ARIMA ⨯。
季节性时间序列模型
季节性时间序列模型季节性时间序列模型通常包括四个主要组成部分：趋势、周期、季节和残差。
趋势表示数据的长期增长或下降趋势，可以是线性或非线性的。
周期表示数据中的循环模式，例如月度或年度循环。
季节表示数据在特定季节中的重复模式，例如每年夏季销售增长。
残差表示无法通过趋势、周期和季节解释的部分，即剩余误差。
为了建立季节性时间序列模型，首先需要对数据进行季节性分解，以提取趋势、周期和季节成分。
常用的方法包括移动平均法和指数平滑法。
移动平均法通过计算一系列连续时间段内的平均值来平滑数据，并提取趋势和周期成分。
指数平滑法则通过加权计算最近一段时间内的数据，赋予更高的权重，以反映近期数据的影响力，进而提取趋势成分。
一旦趋势、周期和季节成分被提取，可以使用这些成分来预测未来的值。
最常用的方法是加法模型和乘法模型。
加法模型中，趋势、周期和季节成分相加得到预测值。
乘法模型中，趋势、周期和季节成分相乘得到预测值。
具体选择哪种模型取决于数据的性质。
季节性时间序列模型还可以通过调整模型参数和增加复杂度来提高预测性能。
常用的技术包括自回归（AR）模型、移动平均（MA）模型和自回归移动平均（ARMA）模型。
这些模型通过考虑多个时间点的数据来提高预测的准确性。
季节性时间序列模型在实际应用中具有广泛的价值。
例如，在销售领域，可以使用季节性时间序列模型预测未来几个月的销售量，以制定合理的库存管理策略。
在经济学中，可以使用该模型预测未来几个季度的经济增长率，以指导政府的宏观调控政策。
然而，季节性时间序列模型也面临一些挑战和限制。
首先，它依赖于数据中的季节性模式，如果季节性模式发生变化，则模型的准确性可能会下降。
其次，模型的复杂度和参数调整可能会带来计算上的困难。
此外，模型所能提供的准确度也取决于数据的质量和可用性。
总的来说，季节性时间序列模型是一种强大的工具，可以用于分析和预测数据中的季节性变化。
通过合理的调整和选择模型参数，可以提高预测的准确性。
第八章 季节性时间序列分析方法
81❝§8.1 季节性时间序列的重要特征82❝§8.2 季节性时间序列模型❝§8.3 季节性检验❝§8.4 季节性时间序列模型的建立所谓是指具有某种周期性变化季节性时间序列，是指具有某种周期性变化规律的随机序列，并且这种周期性的变化规律往往是由于季节变化引起由于季节变化引起。
如果一个随机序列经过个时间间隔后观测数据呈现相似性比如同处于波峰或波谷则我们称该序S 呈现相似性，比如同处于波峰或波谷，则我们称该序列具有以为周期的周期特征，并称其为季节性时S 间序列，为季节长度。
S季节性时间序列存在着规则的周期如果我们把季节性时间序列存在着规则的周期，如果我们把原序列按周期重新排列，即可得到一个所谓的二维表。
对于季节性时间序列按周期进行重新排列是极其有益的不仅有助于考察同周期点的变化情况加有益的，不仅有助于考察同一周期点的变化情况、加深对序列周期性的理解，而且对于形成建模思想和理解季节模型的结构也都是很有帮助的。
影响一个季节性时间序列的因素除了季节因素外❝影响一个季节性时间序列的因素除了季节因素外，往往还存在趋势变动和随机变动等。
t t t tX S T I =++❝研究季节性时间序列的目的，就是分解影响经济指标变动的季节因素、趋势因素和随机因素，从而了解它们对经济的影响。
❝1. 简单季节模型❝2. 乘积季节模型季节性时间序列表现出也就是说时间 同期相关性，也就是说时间相隔为的两个时间点上的随机变量有较强的相关性。
比如对于月度数据S 12比如，对于月度数据则与相关性较强。
我们可以利用这种同期相关性在与之12,S =t X 12t X -t X 12t X -间进行拟合。
简单季节模型通过简单的趋势差分季节差分之通过简单的趋势差分、季节差分之后序列即可转化为平稳，它的模型结构通常表示如下：()(1)(),(*)S S D St tB B X B aΦ-=ΘSAR算子其中为白噪声序列,{}ta2()1,S S S pSB B B BΦ=-Φ-Φ--Φ12212()1.pS S S qSqB B B BΘ=-Θ-Θ--ΘSMA算子称（*）为简单季节模型，或季节性自回归求和移动SARIMA p D q平均模型，简记为模型。
季节ARIMA模型
2.8 季节时间序列模型在某些时间序列中，存在明显的周期性变化。
这种周期是由于季节性变化（包括季度、月度、周度等变化）或其他一些固有因素引起的。
这类序列称为季节性序列。
比如一个地区的气温值序列（每隔一小时取一个观测值）中除了含有以天为周期的变化，还含有以年为周期的变化。
在经济领域中，季节性序列更是随处可见。
如季度时间序列、月度时间序列、周度时间序列等。
处理季节性时间序列只用以上介绍的方法是不够的。
描述这类序列的模型之一是季节时间序列模型(seasonal ARIMA model)，用SARIMA表示。
较早文献也称其为乘积季节模型（multiplicative seasonal model）。
设季节性序列（月度、季度、周度等序列都包括其中）的变化周期为s，即时间间隔为s的观测值有相似之处。
首先用季节差分的方法消除周期性变化。
季节差分算子定义为，∆s = 1- L s若季节性时间序列用y t表示，则一次季节差分表示为∆s y t = (1- L s) y t = y t- y t - s对于非平稳季节性时间序列，有时需要进行D次季节差分之后才能转换为平稳的序列。
在此基础上可以建立关于周期为s的P阶自回归Q阶移动平均季节时间序列模型（注意P、Q 等于2时，滞后算子应为(L s)2 = L2s。
A P (L s) ∆s D y t =B Q(L s) u t(2.60)对于上述模型，相当于假定u t是平稳的、非自相关的。
当u t非平稳且存在ARMA成分时，则可以把u t描述为Φp (L)∆d u t = Θq (L) v t(2.61)其中v t为白噪声过程，p, q分别表示非季节自回归、移动平均算子的最大阶数，d表示u t的一阶（非季节）差分次数。
由上式得u t = Φp-1(L)∆-dΘq (L) v t(2.62)把(2.62) 式代入(2.60) 式，于是得到季节时间序列模型的一般表达式。
Φp(L) A P(L s) (∆d∆s D y t) = Θq(L) B Q(L s) v t(2.63)其中下标P, Q, p, q分别表示季节与非季节自回归、移动平均算子的最大滞后阶数，d, D分别表示非季节和季节性差分次数。
季节变异性分析与统计学中的时间序列模型
季节变异性分析与统计学中的时间序列模型时间序列是统计学中一种重要的数据类型，它描述了一系列按时间顺序排列的数据点。
时间序列分析可以帮助我们理解数据的趋势、周期性和季节性变化。
其中，季节变异性是指数据在一年内按照季节性规律变化的特征。
在统计学中，时间序列模型被广泛应用于季节变异性分析。
一、季节变异性的定义和特征季节变异性是指数据在一年内按照季节性规律变化的特征。
这种变异性往往与自然环境、人们的生活习惯以及经济因素等相关。
例如，冬季的销售额可能会因为节日购物季的到来而增加，而夏季的销售额可能会因为人们购买夏季用品而增加。
季节变异性的存在使得数据在不同季节之间具有不同的均值和方差，因此需要采用适当的统计方法进行分析。
二、时间序列模型在季节变异性分析中的应用时间序列模型是一种用于描述时间序列数据的统计模型。
它可以帮助我们预测未来的趋势和季节性变化。
常见的时间序列模型包括移动平均模型（MA）、自回归模型（AR）和自回归移动平均模型（ARMA）等。
这些模型可以通过拟合历史数据来估计未来的变化趋势，并提供置信区间以评估预测的准确性。
在季节变异性分析中，常用的时间序列模型是季节性自回归移动平均模型（SARMA）。
SARMA模型是ARMA模型的扩展，它考虑了季节性因素对数据的影响。
通过拟合SARMA模型，我们可以得到季节变异性的参数估计，并用于预测未来的季节性变化。
这对于制定合理的经营策略和预测市场需求非常有帮助。
三、季节变异性分析的实例为了更好地理解季节变异性分析的应用，我们以某电商平台的销售数据为例进行分析。
该平台的销售额数据按月记录，我们希望通过时间序列模型来分析销售额的季节性变化。
首先，我们绘制销售额随时间的折线图。
从图中可以看出，销售额在每年的第四季度明显增加，而在第一季度相对较低。
这表明销售额具有明显的季节性变化。
接下来，我们拟合SARMA模型来分析季节变异性。
通过对历史数据的拟合，我们可以得到模型的参数估计。
第8章季节性时间序列模型
第8章季节性时间序列模型由于在日常生活中经常遇到季节性时间序列， 因此我们为其单辟一章。
在引 入一些基本概念和常用模型之后，我们将自回归求和移动平均模型加以推广， 用 来描述季节时间序列。
另外，为了说明该方法，我们还给出了详细例子。
8.1基本概念许多商业和经济时间序列都包含有季节现象，即在一段时期后不断地对自身作有规律的重复。
重复现象出现的最小时间间隔称为季节周期。
例如，并吉林 小玲的季度序列在夏季最高，序列在每年都重复这一现象，相应的季节周期为4。
类似地，汽车的月度销量和销售额在每年 7月和8月也趋于下降，因为这是经常 更换新的车型。
而玩具的月销售量在每年的 12月增加。
后两种情形的季节周期 是12。
季节现象源于一些因素，如气候影响许多商业和经济活动，如旅游和房 屋建筑；一些习惯性事件，如圣诞节就与珠宝、玩具、贺卡及邮票的销售密切相 关；夏季几个月的毕业典礼直接关系到这几个月的劳动力状况。
作为说明的例子，图8-1给出了 1971-1981年美国月度就业人数，调查对象 是美国16-19周岁的男性。
序列的季节特性是明显的，在夏季几个月人数急剧增 加，在学期结束的6月出现高峰，而在秋季学校开学后就下降了。
这种现象每 12个月重现一次，因而季节周期是 12。
通常，时间序列被看做由趋势项（P t ），季节项（S t ）以及不规则分量（e ）混合而 成。
如果这些分量被假定为是可加的，可以将时间序列 乙写成Z t =P t + S t + e t为了估计这些分量，文献中引入了一些分解方法。
500123…S总和平均Nz 3…乙乙M■■乙Mr… Z[・ ■riiT.2■■^(n-l)*+3■■- e■总和TjT 2.T 3. …T n .T T/sZi.Zj.T/n T/ns8. 2传统 方法I20&JIDOQ -75QH表& 1季节时间序列的Bu^-B allot 表Tj.=第」牛李泯蛊和 z>.= Sfi j 牛李市甲均 r >=謝j 關期想和2..,=带j 周朝平均T-住部序刊总和821回归方法在回归方法中，可加性时间序列可以写成下面的回归模型 Z t =P t + S t + e tkm八=>0 • 7 i/iUit亠.1 .■■jV jt- et- j£k其中R Fp *、m^：.U i t，U it 是趋势-循环变量；S = '「j V jt 和％是季节— j 二变量。
季节模型
23
季节模型SARIMA
第三步，由差分序列的适当自相关和偏自相关值求 得模型的初始估计值。 第四步，对估计得到的暂定模型的剩余平方和进行 适应性检验，决定是否接受暂定模型。当适应性检验表 明暂定模型不是最优模型时，可根据检验所提供的有关 模型改进的信息，重新拟合改进模型，并对其进行适应 性检验，直到得到最优模型为止。
ARIMA建模
——季节模型
季节模型SARIMA
在某些时间序列中，由于季节性变化 ( 包括季度、月 度、周度等变化 )或其他一些固有因素的变化，会存 在一些明显的周期性，这类序列称为季节性序列。 季节性序列更是随处可见。 描 述 这 类 序 列 的 模 型 之 一 是 季 节 时 间 序 列 模 型 (seasonal ARIMA model)，用SARIMA表示。
1.16 1.06 0.96 0.86 0.76 1981
图2 工业总产值的趋势·循环要素 TC 图形
1.11 1.06 1.00 0.95 0.89 1981
1983
1985
1987
1989
1991
1993
1995
1997
1983
1985
1987
1989
1991
1993
1995
1997
图3 工业总产值的季节变动要素 S 图形
d
季节模型SARIMA
季节性模型的建模方法 利用 B-J 建模方法来建立季节性时间序列模型，首先需 要判明周期性，即 S 的取值，然后根据自相关和偏自相关函 数提供的信息来判断模型的类型和阶数，最后进行参数估计 和检验。具体的步骤概括如下： 第一步，对时间序列进行差分和季节差分，以得到一个 平稳序列。 第二步，计算差分后序列的自相关和偏自相关函数，选 择一个暂定（尝试性的）模型。
季节性时间序列模型(PPT 67页)
xt TtStIt
X11过程获得的季节指数图
季节调整后的序列图
趋势拟合图
随机波动序列图
§第四节 季节时间序列模型
4.1季节时间序列的重要特征 一、季节时间序列表示 许多商业和经济时间序列都包含季节现象，例如，冰淇淋的销量的
季度序列在夏季最高，序列在每年都会重复这一现象。相应的周期 为4。类似地，在美国汽车的月度销售量和销售额数据在每年的7月 和8月也趋于下降，因为每年这时汽车厂家将会推出新的产品；在西 方，玩具的销售量在每年12月份会增加，主要是因为圣诞节的缘故； 在中国，每年农历5月份糯米的销售量大大地增加，这是因为中国的 端午节有吃粽子的习惯。以上三种情况的季节周期都是12个月。由 上面的例子可以看到，很多的实际问题中，时间序列会显示出周期 变化的规律，这种周期性是由于季节变化或其他物理因素所致，我 们称这类序列为季节性序列。单变量的时间序列为了分析方便，可 以编制成一个二维的表格，其中一维表示周期，另一维表示某个周 期的一个观测值，如表8.1所示。
表4.1 单变量时间序列观测数据表
例如，1993~2000年各月中国社会消费品零售总额序列， 是一个月度资料，其周期S=12，起点为1993年1月，具 体数据见附录。
二、季节时间序列的重要特征
季节性时间序列的重要特征表现为周期性。在一个序列 中，如果经过S个时间间隔后观测点呈现出相似性，比如 同处于波峰或波谷，我们就说该序列具有以S为周期的周 期特性。具有周期特性的序列称为季节时间序列，S为周 期的长度，不同的季节时间序列会表现出不同的周期， 季度资料的一个周期表现为一年的四个季度，月度资料 的周期表现为一年的12各月，周资料表现为一周的7天或 5天。
季节性时间序列模型PPT课件
数据。
SARIMA模型
02
季节性自回归积分滑动平均模型，适用于具有明显季节性的时
间序列数据。
SARIMA-X模型
03
基于SARIMA模型的扩展，适用于具有特定季节性和非季节性
特征的时间序列数据。
季节性时间序列模型的参数
AR参数
自回归模型的参数，用于描述时间序列数据 的自相关关系。
P参数
季节性自回归模型的参数，用于描述时间序 列数据的季节性特征。
在股票价格的时间序列分析中，可以使用季节性自回归积分滑动 平均模型（SARIMA）等季节性时间序列模型来拟合数据，并预 测未来的股票价格走势。
通过对股票价格的时间序列数据进行季节性分析和预测，可以帮 助投资者制定更加科学和有效的投资策略，提高投资收益。
案例二：气温变化的季节性分析
01
气温变化的季节性分析是另一个应用季节性时间序列模型的案例。通过对气温 历史数据的季节性分析，可以了解气温变化的规律和趋势，为气象预测和气候 变化研究提供支持。
感谢您的观看
02
03
季节性时间序列模型的分类：根据不同 的分类标准，季节性时间序列模型可以 分为不同的类型。常见的分类标准包括 模型的复杂度、季节性周期的长度等。 常见的季节性时间序列模型包括季节性 自回归积分滑动平均模型（SARIMA）、 季节性指数平滑模型（SEAS）等。
季节性时间序列模型的应用实例： SARIMA模型在股票市场预测中取得 了较好的效果；SEAS模型在电力需求 预测中得到了广泛应用。这些应用实 例证明了季节性时间序列模型在数据 分析和预测中的实用性和有效性。
对未来研究方向的展望
改进现有模型的性能
尽管现有的季节性时间序列模型取得 了一定的成果，但仍存在一些局限性 ，如对异常值的敏感性、对非平稳数 据的适应性等。未来的研究可以针对 这些局限性，对现有模型进行改进， 提高模型的预测精度和稳定性。
第八章季节性时间序列模型
加法模型
xt Tt St I t
乘法模型
xt Tt S t I t
混合模型
a) xt S t Tt I t b) xt S t (Tt I t )
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例2
月份
对1993年——2000年中国社会消费品零售
总额序列进行确定性时序分析
同样的思路，一个一阶移动平均季节模型为 Wt t 1 t s (1 或 BS )D X t (1 1BS )t (8.7) 推广之，季节性的SARIMA为
U (BS )(1 BS )D X t V (BS )t
(8.8) 其中，
U (BS ) 1 1BS 2 B2S …-k BkS
d (1 B)d
D S (1 BS )D
称式(8.9)为乘积季节模型，记为ARIMA(k,D,m) (p,d,q) 。 ARIMA(kS+p,mS+q) 如果将模型的 AR因子和MA因子分别展开，可以得到类似 的 ARIMA(k,D,m) (p,d,q) 模型，不同的是模型的系数在某 些阶为零，故 是疏系数模型或 子集模型。
(1 B12 ) X t (1 12 B12 )ut
但式(8.11)仅仅拟合了间隔时间为周期长度点之 间的相关关系，序列还存在非季节趋势，相邻时 间点上的变量还存在相关关系，所以模型显然拟 ut 合不足，u t 不仅是非白噪声序列而且非平稳， 如满足以下的模型 (1 B)ut (1 1B) t (8.12) 式(8.12)拟合了序列滞后期为一期的时间点之间 的相关， at 为白噪声序列，将式(8.12)代入式 (8.11)，则得到模型一。
季节性时间序列分析方法(PPT37张)
(1 1B n B n )(1 S B S ) X t at
(7.3.8)
由此可求得偏自相关函数。这种方法可以推广到 AR(n)模型
( B)U ( B S ) X t at ，
或更一般的情形 即
(7.2.6a)
只考虑不同年份同月的资料之间的相关关系。 (7.2.6b)
表示同年不同月之间几乎不存在依赖关系，但受前一期 扰动的影响。即时间序列资料消除了季节因素之后适合于一 个 MA(1)模型。 更一般的是模型（7.2.5）和（7.2.6）中的周期长度 12 可以用 S 替代。
3. (1 B S ) X t C (1 1B)(1 S B S )at 4. (1 B) X t (1 S B S )at 5. (1 B S ) X t (1 S B S )at 6. (1 1B)(1 B S ) X t (1 S B S )at 7. (1 1B S ) X t C (1 1B)at 8. (1 B S )2 X t C 2 S ( B)at
D (1 1 B S ) S X t et
一阶移动平均季节模型 Wt et 1et S ，或Wt (1 1B S )et
D S X t (1 1B S )et
一般的季节性 ARMA 模型 U ( B S )Wt V ( B S )et
D U ( B S ) S X t V ( B S )et
D X t V ( B S )et 在随机季节模型 U ( B S ) S
(7.1.6)
中，由于 et 不是独立的，因此不妨假设 et 适合一个 ARIMA(n,d,m)： ( B) d et ( B)at ，
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季节指数反映了该季度与总平均值之间 的一种比较稳定的关系 如果这个比值大于1，就说明该季度的值 常常会高于总平均值 如果这个比值小于1，就说明该季度的值 常常低于总平均值 如果序列的季节指数都近似等于1，那就 说明该序列没有明显的季节效应
例1 季节指数的计算
季节指数图
二、综合分析
常用综合分析模型
4.2 季节时间序列模型
一、随机季节模型 季节性随机时间序列时间间隔为周期长度S的两个时间点上 的随机变量有相对较强的相关性，或者说季节性时间序列 X X 表现出周期相关，比如对于月度数据，S=12，t 与 t 12 有 Xt 相关关系，于是我们可以利用这种周期相关性在 X t 12 与 之间进行拟合。 (1 B S ) D 设一个季节性时间序列{ X t }通过D阶的季节差分 W 后为一平稳时间序列 Wt ，即 t (1 B S ) D X t ，则一阶自 回归季节模型为 (1 或B S )Wt t 1 Wt 1Wt S t (8.5) t Wt (1 B S ) D X t (1 1 B S )(1 B S ) D X t t 其中， 为白噪声序列。将 代入式 （8.5），得 (8.6)
1023.3
1051.1 1102 1415.5
1396.2
1444.1 1553.8 1932.2
1756
1818 1935.2 2389.5
2083.5
2148.3 2290.1 2848.6
2239.6
2348 2454.9 2881.7
2443.1
2536 2652.2 3131.4
2604.3
1
2 3 4 5 6
0.982
0.943 0.920 0.911 0.925 0.951
7
8 9 10 11 12
0.929
0.940 1.001 1.054 1.100 1.335
季节指数图
季节调整后的序列图
xt Tt I t ˆ S
t
(4)拟合长期趋势
ˆ Tt 1015 .522 20.93178 t
(5)残差检验
xt ˆ Tt I t ˆ S
t
(6)短期预测
ˆ ˆ ˆ xt (l ) St l Tt l
三、X-11过程
简介
X-11过程是美国国情调查局编制的时间序列季节调整过 程。它的基本原理就是时间序列的确定性因素分解方法
因素分解
长期趋势起伏 季节波动 不规则波动 交易日影响
(8.9)
( B)U ( B S )d S D X t ( B)V ( B S ) t
其中，
U ( B S ) 1 1B S 2 B 2 S …- k B kS
V ( B S ) 1 H1B S H 2 B 2 S …-H m B mS
(1 B12 ) X t (1 12 B12 )ut
但式(8.11)仅仅拟合了间隔时间为周期长度点之 间的相关关系，序列还存在非季节趋势，相邻时 间点上的变量还存在相关关系，所以模型显然拟 u 合不足，ut 不仅是非白噪声序列而且非平稳， t 如满足以下的模型 (1 B)ut (1 1B) t (8.12) 式(8.12)拟合了序列滞后期为一期的时间点之间 的相关， at 为白噪声序列，将式(8.12)代入式 (8.11)，则得到模型一。
表4.1 单变量时间序列观测数据表
例如，1993~2000年各月中国社会消费品零售总额序列， 是一个月度资料，其周期S=12，起点为1993年1月，具 体数据见附录。
二、季节时间序列的重要特征 季节性时间序列的重要特征表现为周期性。在一个序列 中，如果经过S个时间间隔后观测点呈现出相似性，比如 同处于波峰或波谷，我们就说该序列具有以S为周期的周 期特性。具有周期特性的序列称为季节时间序列，S为周 期的长度，不同的季节时间序列会表现出不同的周期， 季度资料的一个周期表现为一年的四个季度，月度资料 的周期表现为一年的12各月，周资料表现为一周的7天或 5天。 例如，图4.16的数据是1993年1月到2000年12月的中国 社会消费品月销售总额。
4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 SALES
图4.16 1993年1月—2000年12月的中国社会消费品月销售总
额
当然影响一个季节性时间序列的因素除了季节因素外，还存在趋势 变动和不规则变动等。我们研究季节性时间序列的目的就是分解影 响经济指标变量的季节因素、趋势因素和不规则因素，据以了解它 们对经济的影响。
加法模型 xt Tt St I t 乘法模型
xt Tt S t I t
混合模型
a ) xt S t Tt I t b) xt S t (Tt I t )
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例2
月份
对1993年——2000年中国社会消费品零售
总额序列进行确定性时序分析
( B) 1 1B … p B p
( B) 1 1B … q B q
d (1 B)d
D S (1 B S ) D
称式(8.9)为乘积季节模型，记为ARIMA(k,D,m) (p,d,q) 。 ARIMA(kS+p,mS+q) 如果将模型的AR因子和MA因子分别展开，可以得到类似 的 ARIMA(k,D,m) (p,d,q) 模型，不同的是模型的系数在某 些阶为零，故 是疏系数模型或 子集模型。
模型二 (8.13)
(1 B12 ) X t (1 1 B)(1 12 B12 ) t
模型(8.13)也是由两个模型组合而成，一个是 (8.14)
(1 B12 ) X t (1 12 B12 )ut
它刻画了不同年份同月的资料之间的相关关系，但是又 有欠拟合存在，因为 u t 不是白噪声序列。如果 u t 满足 以下MA（1）的模型，则
1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
1
2 3 4 5 6 7 8
977.5
892.5 942.3 941.3 962.2 1005.7 963.8 959.8
1192.2
1162.7 1167.5 1170.4 1213.7 1281.1 1251.5 1286
2743.9 2781.5 3405.7
2854
3029 3108 3680
(1)绘制时序图
(2)选择拟合模型
长期递增趋势和以年为固定周期的季节 波动同时作用于该序列，因而尝试使用 混合模型（b）拟合该序列的发展
xt S t (Tt I t )
(3)计算季节指数
月份 季节指数 月份 季节指数
模型(8.10)先对时间序列 X t 做双重差分，移动 平均算子由 (1 12 B12 ) 和 (1 1B) 两个因子构 成，该模型是交叉乘积模 型 ARIMA(0,1,1) (0,1,1) 。实际上该模型是由两 个模型组合而成。由于序列存在季节趋势，故先 12 对序列进行季节差分 12 (1 B ) ，差分后的序 列是一阶季节移动平均模型，则
U ( B S ) 1 1B S 2 B 2 S …- k B kS
V ( B S ) 1 H1B S H 2 B 2 S …-H m B mS
二、乘积季节模型 式(8.8)的季节性SARIMA模型中，我们假定是 at 白噪声 序列，值得注意的是实际中 at 不一定是白噪声序列。因 为式(8.8)的模型中季节差分仅仅消除了时间序列的季节 成分，自回归或移动平均仅仅消除了不同周期相同周期 点之间具有的相关部分，时间序列还可能存在长期趋势， 相同周期的不同周期点之间也有一定的相关性，所以， at 模型可能有一定的拟合不足，如果假设 是ARIMA （p,d,q）模型，则式(8.8)可以改为
2549.5
2306.4 2279.7 2252.7 2265.2 2326 2286.1 2314.6
2662.1
2538.4 2403.1 2356.8 2364 2428.8 2380.3 2410.9
2774.7
2805 2627 2572 2637 2645 2597 2636
9
10 11 12
ut (1 1 B) t (8.15) 将式(8.15)代入式(8.14)，得到模型二。
4.3 季节性检验和季节模型的建立
同样的思路，一个一阶移动平均季节模型为 Wt t 1 t s (1 或 ) D X t (1 1B S ) t BS (8.7) 推广之，季节性的SARIMA为
U ( B S )(1 B S ) D X t V ( B S ) t
(8.8) 其中，
xt Tt St I t
X11过程获得的季节指数图
季节调整后的序列图
趋势拟合图
随机波动序列图
§第四节 季节时间序列模型
4.1季节时间序列的重要特征 一、季节时间序列表示 许多商业和经济时间序列都包含季节现象，例如，冰淇淋的销量的 季度序列在夏季最高，序列在每年都会重复这一现象。相应的周期 为4。类似地，在美国汽车的月度销售量和销售额数据在每年的7月 和8月也趋于下降，因为每年这时汽车厂家将会推出新的产品；在西 方，玩具的销售量在每年12月份会增加，主要是因为圣诞节的缘故； 在中国，每年农历5月份糯米的销售量大大地增加，这是因为中国的 端午节有吃粽子的习惯。以上三种情况的季节周期都是12个月。由 上面的例子可以看到，很多的实际问题中，时间序列会显示出周期 变化的规律，这种周期性是由于季节变化或其他物理因素所致，我 们称这类序列为季节性序列。单变量的时间序列为了分析方便，可 以编制成一个二维的表格，其中一维表示周期，另一维表示某个周 期的一个观测值，如表8.1所示。