基本不等式(很全面)
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基本不等式
【知识框架】
1、基本不等式原始形式
（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+
（2）若R b a ∈,，则22
2b a ab +≤
2、基本不等式一般形式（均值不等式）
若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+
3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*
,R b a ∈，则
ab b
a ≥+2
（2）若*,R b a ∈，则2
2⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab
总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”
5、常用结论
（1）若0x >，则1
2x x +
≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1
2x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）
（3）若0>ab ，则2≥+a
b b a (当且仅当b a =时取“=”）
（4）若R b a ∈,，则2
)2(2
22b a b a ab +≤
+≤ （5）若*
,R b a ∈，则22111
2
2b a b a ab b
a +≤
+≤≤+
6、柯西不等式
（1）若,,,a b c d R ∈，则2
2
2
2
2
()()()a b c d ac bd ++≥+
（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：
22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++
（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+
【题型归纳】
题型一：利用基本不等式证明不等式 题目1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥
b
a 112+
题目2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222
题目3、已知1a b c ++=，求证：2
2
2
13
a b c ++≥
题目4、已知,,a b c R +
∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---
题目5、已知,,a b c R +
∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥
⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
题目6、（新课标Ⅱ卷数学（理）设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:
(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222
1a b c b c a
++≥.
题型二：利用不等式求函数值域 题目1、求下列函数的值域 （1）22
21
3x
x y += （2）)4(x x y -=
（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1
<+=x x
x y
题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项） 1、已知2>x ，求函数4
24
42-+-=x x y 的最小值；
变式1：已知2>x ，求函数4
24
2-+=x x y 的最小值；
变式2：已知2 24 2-+=x x y 的最大值； 变式3：已知2 x y x x =+-的最大值； 练习：1、已知5 4x > ，求函数14245 y x x =-+-的最小值； 题目2、已知5 4x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值； 题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数） 题目1、当时，求(82)y x x =-的最大值； 变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值； 变式2：设2 3 0< 题目2、若02< 变式：若40< 题目3、求函数)2 5 21(2512<<-+-=x x x y 的最大值； 变式：求函数)41143(41134<<-+-=x x x y 的最大值； 题型五：巧用“1”的代换求最值问题 题目1、已知12,0,=+>b a b a ，求t a b =+11 的最小值； 变式1：已知22,0,=+>b a b a ，求t a b =+11 的最小值； 变式2：已知28 ,0, 1x y x y >+=，求xy 的最小值； 变式3：已知0,>y x ，且 11 9x y +=，求x y +的最小值。 变式4：已知0,>y x ，且 19 4x y +=，求x y +的最小值； 变式5： （1）若0,>y x 且12=+ y x ，求11x y +的最小值； （2）若+ ∈R y x b a ,,,且 1=+y b x a ，求y x +的最小值；