2 一维搜索法

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最优化方法第三章第二讲一维搜索

第三次迭代
令 x1 0.538， f1 1.751，取 F3 x2 0.077 (1.462 0.077) 0.846， F4 f 2 1.870。
因为 f 1 f 2 ，所以新区间为 0.077,0.846。
第四次迭代
令 x 2 0.538， f 2 1.751，取 F1 x1 0.077 (0.846 0.077) 0.231， F3 则 f 1 1.822。
设其最优解为 k ，得到 xk 1 xk k pk ，
一维搜索是求解一元函数 ( ) 的最优化问题（也叫一维最优化问题），仍表示为 min f ( x ) 或 min f ( x )。 1
xR
a xb
定义：若在 a, b内 f ( x )有唯一极小点 x* ，在 x* 的左边 f ( x )严格下降，在 x* 的右边 f ( x )严格上升，则称 f ( x )在区间 a, b上是下单峰函数。
step 6 令 k k 1，若 k n 2，则转 step 5；若 k n 2，则转 step 7。
step 7 若 f1 f 2 ，则令 b x2 ，x2 x1 ，f 2 f1 ，转 step 8；若 f1 f 2 ，则令 a x1，转 step 8。 step 8 令 x1 x2 0.1(b a ) ， f1 f ( x1 ) 1 * 若 f1 f 2 ，则 x (a x2 )， 2 1 * 若 f1 f 2 ，则 x ( x1 x2 )， 2 1 * 若 f1 f 2 ，则 x ( x1 b ) 。 2
ab step 3 若 b a ，则 x ，停。否则转 step 4。 2

机械优化设计第三章一维搜索方法

(b a)，故
Fn
b
a 。由Fn即可从斐波那契数列表或按F0
F1
1, Fn
Fn1
Fn2 (n
2, 3,
)
推算出相应的n。
3）确定试点并计算相应的函数值，在区间a, b内的两个试点：
x2
a
Fn1 Fn
(b
a),
x1
b
Fn1 Fn
(b
a),
f1 f (x1),
f2 f (x2 )
第三章一维搜索方法
1.若f (a1) f (b1)，则取[a,b1]为缩短后的搜索区间； 2.若f (a1) f (b1)，则取[a1,b]为缩短后的搜索区间。
第三章一维搜索方法
第二节搜索区间的确定与区间消去法原理
间接
假定在搜索区间[a, b]内取一点x, 并计算它的导数值 f '(x)，可能出现三种情况：
x2 a b x1, f2 f (x2 )
5）检查迭代终止条件：bn1 an1
，若满足，则输出最优解x*
1 (a b), 2
ห้องสมุดไป่ตู้
f*
f (x*)，
若不满足，则转入（4），继续进行迭代。
1. f (a1) f (b1)，由于函数的单峰性，极小点一定在[a, b1 ]内； 2. f (a1) f (b1)，极小点一定在[a1,b]内； 3. f (a1) f (b1)，极小点一定在[a1,b1]内。
第三章一维搜索方法
第二节搜索区间的确定与区间消去法原理
直接法
假定在搜索区间[a,b]内任取两点a1和b1，且a1 b1，并计算f (a1)和f (b1)，可能出现三种情况：
f (x1) f (x) f (x2)

第二章_第三节

现代设计方法
第二章
优化设计
4.一维搜索的基本思想 4.一维搜索的基本思想
一维搜索就是要在初始单峰区间中求单峰函数的极小点。一维搜索就是要在初始单峰区间中求单峰函数的极小点。所以找初始单峰区间是一维搜索的第一步。以找初始单峰区间是一维搜索的第一步。然后将初始单峰区间逐步缩小，然后将初始单峰区间逐步缩小，直至极小点存在的范围小于给定的一个正数 ε ，此区间为 [a ( k ) , b ( k ) ] ，即有
f1 = f ( x1 ) = f (0) = 9, f 2 = f ( x 2 ) = f (1) = 4
(2)因为说明极小点在右方，故作前进运算， (2)因为 f1 > f 2 ，说明极小点在右方，故作前进运算，设步长加倍，设步长加倍， h = 2 → h ，取第三试点为 2
x3 = x 2 + 2h = 3, f 3 = f ( x3 ) = f (3) = 0
即
f ( X ( k ) + α ( k ) S ( k ) ) = min f ( X ( k ) + αS ( k ) )
也就是说，也就是说，一维搜索的每一次迭代过程都是寻找合适的步长
因子 α ，使所得到的下一个点 X ( k +1)的函数值是该方向上所有可能点中最小的。能点中最小的。
) 出发，从 X (k )出发，沿着方向 S (k，求步长因子 α ，使 f ( X ( k ) + αS ( k ) )
现代设计方法
第二章
优化设计
1.确定初始区间的进退法 1.确定初始区间的进退法 (1)确定单峰区间的进退算法 (1)确定单峰区间的进退算法进退算法的基本思路为：进退算法的基本思路为：对单峰函数 f (x ) 任选一个初始点及初始步长h x 1 及初始步长h，由

《一维搜索方法》课件

1
原理
根据斐波那契数列生成黄金分割比例，用于确定搜索范围的分割点。
2
思路
根据斐波那契数列的值，确定左右指针在搜索范围内的位置，直到找到最接近目标值的点。
3
优缺点
迭代次数逐渐趋近于黄金分割点，但对搜索范围要求较高。
黄金分割法搜索方法的原理和思路
1
原理
将搜索范围按黄金分割点分割，选择较小的一部分作为新的搜索范围。
2
思路
通过反复按黄金分割点计算和调整搜索范围，逐步逼近最接近目标值的点。
3
优缺点
迭代次数相对较少，但需要较复杂的计算公式。
三分搜索方法的原理和思路
1
原理
将搜索范围分割为三等份，并判断目标值位于左、中、右三个部分，逐步缩小搜索范围。
2
思路
根据目标值与分割点的大小关系，决定下一步搜索的范围，直到找到最接近目标值的点。
3
优缺点
对于非单调函数，能更快地找到目标值，但需要较多的判断。
多点搜索方法的原理和思路
1
原理
同时使用多个起始点进行搜索，通过不断比较找到最接近目标值的点。
2
思路
根据多个起始点的初始值和搜索步长，逐步调整并比较得到最优解。
3
优缺点
相比于单点搜索，能更准确地找到目标值，但需要同时处理多个起始点的迭代。
2
思路
从起始点开始，依次向右增加或向左减小搜索范围，直到找到最接近目标值的点。
3
优缺点
简单易懂，但需要较多的迭代次数。
二分搜索方法的原理和思路
1
原理
将搜索范围一分为二，并判断目标值位于左半部分还是右半部分，逐步缩小搜索范围。
2
思路

《一维搜索方法》课件

02
线性搜索
线性搜索的定义
线性搜索是一种基本的搜索算法，它从列表的第一个元素开始，逐个检查每个元素，直到找到目标元素或遍历完整个列表。
在线性搜索过程中，我们假设列表中的元素是按顺序排列的，并且我们不知道目标元素的确切位置，只知道它存在于列表中。
线性搜索的步骤
初始化
选择一个起始位置，通常为列表的第一个元素。
抛物线搜索的步骤
3. 比较中间元素与目标值
2. 计算当前区间的中间元素。
1. 初始化当前搜索区间为整个数组。
01
03 02
抛物线搜索的步骤
01 如果中间元素等于目标值，返回该位置。
02
如果目标值小于中间元素，将左半部分区间作为新的当前区间。
03
如果目标值大于中间元素，将右半部分区间作为新的当前区间。
04
4. 重复步骤2和3，直到找到目标值或当前区间为空。
抛物线搜索的时间复杂度
最坏情况下，抛物线搜索的时间复杂度为O(n)，其中n为数组长度。
平均情况下，由于每次比较都可以将搜索区间缩小一半，因此时间复杂度为O(log n)。
THANKS
THANK YOU FOR YOUR WATCHING
的单峰函数。
一维搜索方法的重要性
解决实际问题
一维搜索方法广泛应用于各种实际问题中，如参数优化、函数逼近、插值等。
算法基础
一维搜索方法是许多算法的基础，如梯度下降法、牛顿法等都需要用到一维搜索方法来寻找迭代步长。
理论分析
一维搜索方法在数学分析中也有重要应用，如中值定理、单调函数性质等都需要用到一维搜索方法。
常用的一维搜索方法
线性搜索

维搜索

对多项式求导数，并令其为零，得出a,b,c，即可得极小点。
四、切线法
当函数f(X(k)+S(k))在搜索区间内存在连续一阶导数，且二阶导数大于零时，可用切线来逼近曲线，以求得最优步长*——切线法。
在搜索区间[a，b]内选取初始点(0) ，过曲线上的对应点[(0)，f’((0)) ]作曲线的切线，方程：
二．黄金分割法(0.618法)
区间内的两个中间插入点
x1 a 1 b a
x2 a b a
2 1
二．黄金分割法(0.618法)
1
2
5 1 0 618 2 x1 a 0 382b a x2 a 0 618b a
②采用缩小区间或插值逼近的方法逐步得到最优步长和一维极小点。
一、区间估计
在搜索区间内，被搜索的函数必须是凸性函数 (单峰函数 )—— 在函数极小点左侧，函数值严格下降；在函数极小点右侧，函数值严格上升。进退算法基本思想：
“进一步，退两步”
进退算法程序框图
二．黄金分割法(0.618法)
MATLAB简介
矩阵的行列式值： d=det(A) 矩阵的逆矩阵： X=inv(A) 向量的模： x=norm(g)
2
F ( X ) 156 52 27
§3 一维搜索
从点X(k)出发，在方向S(k)上的一维搜索用数学式表达为
min f X

k
S
k
f X
k
k S
k

X k 1 X k k S k
一维搜索分两步进行： ①在方向S(k)上确定一个包含极小点的初始区间；

2一维搜索

B. 当 f1> f2 时，极小点必在[x1, b]中，则
x1 a,x2 x1,f2f1, x2a0.61(b8 a),f2f(x2)
（4）判断是否满足精度要求。若新区间已缩短至预
定精度要求，即 ba，则转第5）步；否则
转第3）步，进行下一次迭代计算。（5）输出最终区间的中点作为近似最优点，其对应
（1）选定初始点a1 , 初始步长h＝h0，计算 y1＝f(a1)， y2＝f(a1＋h)。
（2）比较y1和y2。（a）如y1>y2,向右前进；转（3）向前；（b）如y1=<y2, 向左后退；h＝－ h0，将a1与a2，y1与y2的值互换。转（3）向后探测；
（3）产生新的探测点a3＝a1＋h，y3＝f(a3); （4）比较函数值 y2与y3：
f(x )f(x x ) ,x 0；区间 x*,x2
上的任意x，有 f(x )f(x x ) ,x 0
x1
x* x2 x
则称闭区间 x1,x2为函数f(x)的单峰区间。
单峰区间的特点：
▪ 单峰区间内，在极小点的左边，函数是严格减少的，在极小点的右边，函数是严格增加的；
▪ 如果区间 a,b 是一个单峰区间，x是区间内的一
对“一维”的理解
▪ “一维”是指 “一个方向”d (k（)
）；
▪ 寻找目标函数在指定方向上的极小点，在计算上就是从 X 沿 (k) d (k ) 前进多少的问题，即求步长因子 (k) 的问题。从这个意义上讲，一维搜索是一个求
解关于的单元目标函数的过程。
一维搜索
寻找合适的 (k ) ，使最小 f(X(k) (k)d(k))
点，则 f(x)f(a )和 f(x)f(b )两个不等式中必有一个成立；

常用一维搜索算法

常用一维搜索算法常用一维算法一维算法是解决一维问题的常用方法。

一维算法主要通过在一维数据集中查找目标元素来解决问题。

以下是一些常用的一维算法：1. 线性（Linear Search）：线性算法是一种最简单的算法，也是最基本的一维算法。

它从头到尾依次检查数据集中的每个元素，直到找到目标元素或遍历完整个数据集。

线性算法的时间复杂度为O(n)。

2. 二分（Binary Search）：二分算法是一种高效的算法，但它要求数据集必须是有序的。

算法通过将数据集分成两半，并与目标元素进行比较，从而确定目标元素在哪个半部分中。

然后，它将重复这个过程，直到找到目标元素或数据集被划分为一个元素。

二分算法的时间复杂度为O(log n)。

3. 插值（Interpolation Search）：插值算法是改进的二分算法，它根据目标元素与数据集中元素的相对位置来确定的起始位置。

它使用目标元素与数据集首尾元素之间的比例来估计目标元素的位置。

插值算法在数据集分布均匀的情况下具有较好的性能。

4. 斐波那契（Fibonacci Search）：斐波那契算法基于斐波那契数列来确定的起始位置。

它通过比较目标元素与斐波那契数列中的元素来确定的范围，并将数据集划分成两部分。

然后，它在适当的部分中重复这个过程，直到找到目标元素。

斐波那契算法的时间复杂度为O(log n)。

5. 插入（Interpolation Search）：插入算法是一种改进的线性算法，它使用了数据集中元素的顺序信息来提高效率。

与线性算法一样，它从头到尾依次检查数据集中的每个元素，但是当元素不满足条件时，它会根据元素的顺序信息来确定的方向，从而减少的次数。

6. 哈希（Hash Search）：哈希算法使用哈希函数将数据集中的元素映射到哈希表中的索引。

然后，它通过查找哈希表中的索引来确定目标元素的位置。

哈希算法通常具有很高的效率，但是它需要额外的内存空间来存储哈希表。

上述算法是一维问题的常用解决方法。

一维搜索

即 (t )
故 [1 , b] 是搜索区间，同样可证前种情形单谷函数的这一性质可用来将搜索区间无限缩小，以至求到极小点。本章下面就介绍一维搜索法.
§2 黄金分割法（0.618法）

在搜索区间的确定中如何定
k , k
.

f (k ) f (k )

. . k . bk
1 1

是 (t ) 极小点的一个搜索区间；若 (1 ) (1 ) ，则 [1 , b] 是 (t )极小点的一个搜索区间。
证明：利用反证法证明。对于后一种情况，即 (1 ) (1 ) 若 [1 , b] 不是搜索区间的极小点必在 [a, 1 ] 中。 * 此时有 t 1 , 1 矛盾。根据单谷函数定义知： (1 ) (1 )
f (1 ), f (1 ). 令k=1
2 若 bk ak 停止计算， [ak , bk ] 中任意一点均可作为所求极小点的近似。否则当 f ( ) f ( ) 时转3，当 f (k ) f (k ) 时转4；
k k
3置
ak 1 k , bk 1 bk , k 1 k ,
(1) (2)
(4)
ak 2 (bk ak )
取 k 1 k
则
令
f (k ) f (k ) [ak 1, bk 1 ] [ak , k ]
代入（1），（2）式得：
2 1
(3) (4)
负根舍去
1 5 0.618 2
k ak (1 )(bk ak ) k ak (bk ak )
f (k )
-1.125 -0.970 -1.125 -1.106 -1.125 -1.123

一维搜索

种简单的曲线逼近本来的函数曲线，通过求逼近函数的极小点来估计目标函数的极小点。
这两类方法一般只能求得极小点的近似值。
3.一维搜索的基本框架
一维搜索实际上是一元函数的极值问题，其基本的解决框架是:
（1）确定包含最优解的初始搜索区间；
（2）采用某些区间分割技术或插值方法不断缩小搜索区间，最后得到解。
5
0.056 0.348 0.168 0.236 -1.112 -1.125
6
0.168 0.348 0.236 0.279 -1.125 -1.123
7
0.168 0.279
函数逼近法
函数逼近法
谢谢！
一维搜索
一.一维搜索的基本概念二. 试探法三.函数逼近法
一维搜索的基本概念
一维搜索的基本概念
一维搜索的基本概念
2.一维搜索的方法有哪些？
一维搜索的方法有很多大体可以分成两类：一类是试探法。采用这类方法，需要按照某种方式找
试探点，通过一系列试探点来确定极小点。另一类是函数逼近法，或称插值法。这类方法是用某
确定初始区间
确定初始搜索区间的进退法
单峰函数的定义
缩小搜பைடு நூலகம்区间
下面定理表明，对单峰函数，可以通过简单地比较函数值，缩小搜索区间。定理：
试探法
一维搜索常见方法中0.618法，Fibonacci法，二分法等基本思想都是通过取试探点并进行函数值比较，然后不断缩小搜索区间，当区间长度缩到一定程度后，区间内各点均可作为近似解。这类方法仅需计算函数值，十分简便，尤其适合于非光滑及导数表达式复杂或写不出的情形，用途广泛。这里主要介绍0.618法。
试探法
试探法
试探法

第二章一维搜索法

第二章一维搜索法● 概述● 确定初始单谷区间的进退法 ● 一维搜索法分类 ● 区间消去法 ● 函数逼近法概述求一元函数()F x 的极小点和极小值问题就是一维最优化问题。

求解一维优化问题的方法称为一维优化方法，又称一维搜索法。

一维搜索法是优化问题中最简单、最基本方法。

因为它不仅可以解决单变量目标函数的最优化问题，而且在求多变量目标函数的最优值时，大多数方法都要反复多次地进行一维搜索，用到一维优化法。

一般多维优化计算的迭代的基本格式：从一个已知点()k x 出发（()k x由上次迭代获得，开始时就是起始点(0)x），沿某一优化方法所规定的是目标函数值下降的搜索方向()k S，选择一个步长因子α，求得下一个新迭代点(1)k x +，(1)()()k k k xx S α+=+并且满足1()()k k F x F x +≤，即新点必须能够使目标函数值有所下降，这个新点就是下一次迭代的出发点，如此重复，直到求出目标函数的最优解为止。

理想步长kα可以通过()()()()k k F F x S αα=+的极小点获得min ()F α，使得目标函数达到最小()()min ()k k F x S α+，这种在第k 次迭代中求理想步长k α的过程，就是一维搜索过程。

大致分为两个步骤：1. 确定初始搜索区域[a,b]，该区域应该包括一维函数极小点在内的单谷区域；2. 在单谷区域[a,b]上寻找极小点。

寻找极小点kα可以采用解析解和数值解等方法。

确定初始单谷区间的进退法单谷区域的定义：设函数()F x 在区域12[,]x x 内有定义，且（1）在区域12[,]x x 内存在极小值x *，既有min ()()F x F x *=，12[,]x x x ∈；（2）对区域1[,]x x *上任意自变量x ，有()()F x F x x >+∆，0x ∆>；对区域2[,]x x *上任意自变量x ，有()()F x F x x <+∆，0x ∆>；则称12[,]x x 为函数()F x 的单谷区域。

一维搜索方法课件

第三章一维搜索方法
采用数学规划法求函数极值点的迭代计算：
xk1 xk ak d k
K+1次迭代的搜索方向
搜索的最佳步长因子
当搜索方向d k给定，求最佳步长 ak 就是求一元函数的极值。
f xk1 f xk akd k ak
称为一维搜索。是优化搜索方法的基础。
否则作4。
4）令 k k 1 转1。
16
优点：收敛速度快。缺点：每一点都要进行二阶导数，工作量大；
要求初始点离极小点不太远，否则有可能使极小化发散或收敛到非极小点。
二、二次插值（抛物线法）
利用 y f a 在单谷区间中 1 2 3 的函数值
f 1 f 2 f 3 ，作出如下的二次插值多项式
而插入点的位置，可以由不同的方法来确定。就形成了不同的一维搜索方法。
试探法黄金分割法一维搜索方法分类
插值法二次Hale Waihona Puke 值法第三节一维搜索的试探法
最常用的一维搜索试探法是黄金分割法，又称0.618法。
9
要求插入点a1、a2的位置相对于区间[a,b]两端点具有对称性。
a1 b b a a2 a b a
三、区间消去法原理
a) f a1 f b1
6
b) f a1 f b1
c) f a1 f b1
7
为了避免多计算函数值，将第三种情况合并到前两种情况中。
a) f a1 f b1
b) f a1 f b1
8
三、一维搜索方法的分类
从前面的分析可知，每次缩短区间，只需要在区间内在插入一点并计算其函数值。
求解一元函数 a 的极小点 a* ，可用解析法。

第三章-一维搜索方法

解析解法对于函数关系复杂、求导困难等情况难以实现。在实际优化设计中，数值解法的应用更为有效，且适合计算机的运算特点。
数值解法基本思路：
先确定 k 所在的搜索区间，然后根据区间消去法原理不断缩小此区间，从而获得 k 的数值近似解。
一维搜索一般分为两大步骤： (1)确定初始搜索区间[a，b]，该区间应是包括一维函数极小点在内的单谷区间。 (2)在单谷区间[a,b]内通过缩小区间寻找极小点。
x2 a 0.618(b a), y2 f (x2 )
否 ba
是
x 0.5(a b)
止
f f (x)
b x2, x2 x1, y2 y1 x1 a 0.382(b a), y1 f (x1)
f
也可采用迭代次数是否大于或等于 k 作终止准则。
y1 y2 x a x1 x2 b
当方向 d k 给定，求最佳步长 k 就是求一元函数
f x k1 f xk kd k k
的极值问题。这一过程被称为一维搜索。
第三章一维搜索方法
f (x (k+1) ) = min. f (x (k) + α S (k) ) = f (x (k) + α(k) S ( k) )
一维搜索是优化搜索方法的基础。
第三章一维搜索方法
求解一元函数 a 的极小点 a* ，可用解析法。 f x ad f x adTf x 1 ad T G ad
2
f x dTf x 1 2dTGd
2
上式求α的极值，即求α导数为零。
dTf x *dTGd 0
则
*
dTf x
d T Gd
第三章一维搜索方法
5
-1.386 -1.111 -0.940 -0.665

完整版一维搜索方法

f (? 1 ) f (? 2 )
o
?1 ?2
?
6
2) 若f1≤ f2 ，如下图所示, 则作后退计算。令 h=-h, 将α1、 f1与α2、 f2对调，转入第3)步。
f (? )
f (? 2 )
f (? 1)
o
?1 ?2 ?
7
3)计算第3个试点α3 ＝α2+h, 计算函数值f3＝f(α3), 并比较f2 和 f3 ，有如下两种情况 :
1
? 一维优化一般可分为两大步骤： ?确定初始搜索区间[a,b]; 该区间应为包含一维优化目标函数的极小点在内的单峰区间。 ?在搜索区间[a,b]内寻找极小点。
优化算法的基本迭代公式：
X k?1 ? X k ? ? k S k , k ? 0, 1, 2,?
当迭代初始点 Xk 及搜索方向Sk 确定后，迭代所得的新点 Xk?1 取
作代换： α1 ＝α2 ， f1＝f2； α2 ＝α3 ， f2 ＝ f3。继续计算
α3 （即步骤 3) ）；如此重复该过程，总能找到相继3试点的函数值符合“大－小－大” 变化的要求。左端点为a,
右端点为b，从而找到了搜索区间[a, b]。
f (? )
f (? 1) f (? 2 )
f (? 3 )
a＝min( α1 ,α3 ), b=max ( α1 ,α3 )
h=2h, α3＝ α2+h, 计算f(α3)
N
作代换 α1 =α2 ， α2 =α3 ， f(α1)= f(α2) ， f(α2)= f( α3) ， α3＝ α2+h, 计算f(α3)
结束
10
? 进退法确定搜索区间的步骤：
2. 方法二 (1) 给定初始点α0和初始步长h0; (2) 令α1 ＝α0, h=h0， α2 ＝α1+h, 得：两试点α1 ，α2 ，计算 f1 ＝f(α1), f2 ＝f(α2);

最优化方法-一维搜索法

• 这种以加大步长进行探索来寻找探索区间的方法叫进退探索法。
搜索区间及其确定方法
• 加步探索法算法的计算步骤： • (1) 选取初始数据．选取初始点 t0 [0, ) (或 t0 [0, tmax ]),
计算0 (t0 ), 给出初始步长h0 0, 加步系数 1,令 k 0 • (2) 比较目标函数值．令 tk 1 tk hk计算 k1 (tk1) ，
方向 Pk 之间应满足
f (Xk1)T Pk 0
4.2
• 事实上，设 (t) f ( X k tPk ), 对 t 求导有
(t) f (X k tPk )T Pk
• 令 '(t) 0, 即 f (X k tPk )T Pk 0 所以 f (X k1)T Pk 0
这一准则对于定义域上的凸函数是完全正确的．若是非凸函数，有可能导致误把驻点作为最优点。对于约束优化问题，不同的优化方法有各自的终止准则．
• 定义3.3 当一个算法用于n元正定二次函数求最优解时，可以从任意初始点出发，至多经过n步迭代求出最优解，就称此算法具有二次终止性。
• 如果算法具有二次终止性，则认为算法比较好。 • 二次终止性仅仅是判断一个算法优劣的衡量标准
存在
,且
,则称[t1 t2]是函数(t)
的最优解的一个搜索区间。
搜索区间及其确定方法
•单峰区间和单峰函数有如下有用的性质： •定理3.1 设 : R1 R1, [a, b] 是的单峰区间，任取
t1, t2 [a, b] 并且 t2 t1 ．（1）若有 (t2 ) (t1) ，则 [a, t1 ]是(t) 的单峰区间．（2）若有 (t2 ) (t1) ，则[t2 , b]是(t)的单峰区间．

第二章 (1)一维搜索

yes
STOP; x* =(α+b)/2
α= x1 , x1 = x2
x2 =α +(b –α)
α x1 x2 b α x1
一、线搜索求步长—黄金分割
例2 .试用0.618法求目标函数 f (x) x3 2x 1 的最优解。
给定初始区间[0,2]，收敛精度 =0.002.
解：第一次区间缩短计算过程：a 0,b 2
a1
x22 x32 f1 x32 x12 f2 x12 x22 x1 x2 x2 x3 x3 x1
f3
a2
x2 x3 f1 x3 x1 f2 x1 x2 x1 x2 x2 x3 x3 x1

1 2 ( x1

x3

c1 ) c2

c1

f1 x1

f3 x3
,
c2

f1 x1

f2 x2
c1
.
x2 x3
乘除运算量少！
14次 5次
一、线搜索求步长—抛物线法
抛物线法计算流程
1. 寻找满足如下条件的点，成为两头大中间小的点： x 1 < x 2 < x3，f (x1 ) > f (x2 ), f (x2 ) < f (x3 )
函数逼近法（插值法）：用比较简单函数的极小值点近似代替原函数的极小值点。从几何上看是用比较简单的曲线近似代替原的曲线，用简单曲线的极小值点代替原曲线的极小点。
利用《数值分析》中的求根法。计算量大！
一、线搜索准则
非精确的一维搜索：通过计算少量的函数值，得到一

第二节：非线性一维搜索方法

0
有约束的问题该如何处理： 1把有约束的问题转化为无约束的问题。 2基于处理无约束问题的思想，设法修改移动的方向。
搜索法Байду номын сангаас本结构
停止
规则
Y X(k) 精度检查
初始点X(0)
确定移动方向
N
返回
也称线搜索，它是沿着某一已知直线移动方向，从而把求多元函数极小点的问题转化为求一元函数极小点问题的方法。
利用单峰函数的特点，用什麽方法可以划定极小点所在的范围？
计算区间内相异两点函数值
已知a1<b1，计算f(a1)和f(b1)：若f(a1)<f(b1)，则x*∈[a,b1] 若f(a1)>f(b1)，则x*∈[a1,b]
a a1 x*
b
1
b
关于搜索区间的讨论：
对单峰函数f(x)，如何确定一个搜索区间？找三个点 x1,x2,x3 ，满足 x1<x2<x3 且 f(x1) >f(x2), f(x2)< f(x3),则[x1,x3]就成为 f(x)的一个搜索区间, 即只要有满足函数值"两头高,中间低"的三个点就能确定一个搜索区间。若单峰函数 f(x)存在一阶偏导数,还需要找三个点吗？只需要找两个点x1，x2，使得x1<x2,且 f '(x1)<0, f '(x2)>0, 则[x1,x2]必定是f(x)的一个搜索区间。
对新的搜索区间，再增加一个新的内点，通过比较上
一次保留下来的内点和新选定内点的函数值便可得到一个新的缩小了的搜索区间。
0.618的由来
按照取点对称和缩短率恒定两条原则，计算出β=0.618，因此构造出来的算法就称为0.618法。

一维搜索方法

一维搜索方法：（方法比较）“成功—失败”法、二分法、0.618法（黄金分割法）、牛顿法、二次插值法、D.S.C法、Powell法、D.S.C—Powell组合法。

1、“成功—失败”法：主要思想：从一点出发，按一定的步长搜索新点，若成功，加大步长继续搜索，否则，缩短步长小步后退。

此方法可以求最优解所在区间，称为“搜索区间”。

2、二分法：主要思想：区间[a,b]的中间值x0，判断f（x）的导数在三个点处的值，舍去一部分区间再求f(x)的极小值。

3、0.618法：等比例收缩原则，每次留下来的区间长度是上次留下来的区间长度的w倍。

以及对称原则、去坏留好原则。

W=0.6184、牛顿法：基本思想：在极小值点附近用目标函数的二阶泰勒多项式近似代替目标函数，从而求得目标函数的极小值点的近似值。

5、二次插值法：牛顿法是在x k附近的目标函数用泰勒多项式近似代替，而此法是将f(x)用二次插值多项式p(x)近似代替。

把p(x)的极小值点作为f(x)极小值点的代替，从来求得函数的极小值。

6、D.S.C法：主要思想：利用成功—失败法寻找靠近极小值点的三点，进行二次插值。

优点是：收敛速度快，且不要求函数可微。

7、Powell法：基本思想：在搜索方向开始得到三点x0,x1,x2后，作二次插值，求得最小值x，在四点中去坏留好，在余下的三点中再作二次插值……8、D.S.C—Powell组合法：几种方法比较：D.S.C—Powell组合法是非常好的一种方法，它比任何一个单个方法都好D.S.C—Powell组合法与0.618法比较：D.S.C—Powell法中函数值的计算要比黄金分割法少得多，一般来讲它优于黄金分割法。

但：D.S.C—Powell法不一定能收敛到最优解。

最速下降法与修正牛顿法：对于正定二次函数，牛顿法一步可以求得最优解，对于非二次函数，牛顿法并不能保证有限次求得其最优解，但由于目标函数在极小值的附近近似于二次函数，故当初始点靠近极小值时，牛顿法收敛的速度比较快。

04第三章第四节一维搜索

现在分析该法是如何进行寻优的：设已知单峰函数 f(t) 的峰点t*（最小点）处在t =[a，b]区间（见图a）在区间 [a ， b]中，任取两点 a1、 b1且 a1<b1 ，并计算 f(a1)和 f(b1)，则可出现下列结果： 1）f(a1) <f(b1)，则t*必在区间[a，b1]中，如图(a)所示。
（二）黄金分割法（0.618法） 1、0.618数字的由来：
L1 x11 L2 x12 x21 x22 L3 r1 r2 r3
如f(x11)>f(x12),则[L2,r2]=[x11,r1] x11=L1+(1- 1 )(r1-L1) x12=L1+ 1(r1-L1 ) 如f(x21)>f(x22),则[L3,r3]=[x21,r2] x21=L2+(1- 2 )(r2-L2 ) x22=L2+ 2(r2-L2 ) 要使x12=x21 =?
f(b) f(a) f(x1 ) f(x2 )
则x*必在[x1,b]内。
a x1
x*x2
b
因而应舍去[a, x1]，保留[x1,b]并继续在[x1,b] 内任选一点，再对比决定新一轮区间的取舍。
§3.4 一维搜索
一、基本概念
二、一维搜索原理
三、“成功-失败”法四、斐波那契法（Fibonacci）与黄金分割法（0.618法）五、切线法（牛顿法）
n 1 ln / ln 1 2.1ln
③按0.618法则在[a,b]内取对称的两点：
左点： x1 a (1 )(b a) 右点： x2 a (b a)
④决定[a,b]内取舍区间
已知点函数值
a<x1<x2< b f(a)>f(x1)<f(x2)>f(b)

2 一维搜索法

最优化方法 第三章第二讲 一维搜索

机械优化设计第三章一维搜索方法

第二章_第三节

《一维搜索方法》课件

《一维搜索方法》课件

维搜索

2一维搜索

常用一维搜索算法

一维搜索

一维搜索

第二章一维搜索法

一维搜索方法课件

第三章-一维搜索方法

完整版一维搜索方法

最优化方法-一维搜索法

第二章 (1)一维搜索

第二节：非线性一维搜索方法

一维搜索方法

04第三章 第四节一维搜索

最优化方法第三章第二讲一维搜索

04第三章第四节一维搜索