平行线的性质(基础)知识讲解

平行线的性质（基础）知识讲解
【学习目标】
1. 掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解；
2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程；
3. 了解平行线的判定与性质的区别和联系•
【要点梳理】要点一、平行线的公理、定理
公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等•（简记为：两直线平行，同位角相等）•
定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错
角相等）•
定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补（简记为：两直线平行，同旁内角互补）.
要点诠释：（1）"同位角相等、内错角相等”、"同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”.
（2）从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质.
要点二、平行线的性质定理的探究过程
1. 两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.
因为a // b,
所以/ 1 = Z 2 （两直线平行，同位角相等），
又/ 3=/ 1 （对顶角相等）
所以/ 2=/3.
2. 两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补（简记为：两直线平行，同旁
内角互补）.
所以/ 3=/ 2 （两直线平行，内错角相等）又/ 3+/仁180°（补角的定义），所以/ 2+/仁180° .
要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产
和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性•
要点三、平行线的性质与判定
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系•平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆.
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平
行.
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关.
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类
角.
【典型例题】
类型一、平行线的性质公理、定理的应用
1. 如图所示，如果AB// DF, DE// BC,且/ 1 = 65。

.那么你能说出/ 2、/ 3、/ 4的度数吗？为什么.
【思路点拨】本题已知条件中，包含了两个层次：第一层次是由DE// BC,可得/ 1 = / 4,
/ 1+ / 2= 180°;第二层次是由DF// AB 可得/ 3=/ 2 或/ 3+/ 4 = 180°,从而解出/ 2、 / 3、/ 4的度数. 【答案与解析】
解：••• DE // BC,
/ 4 =/ 1 = 65° （两直线平行，内错角相等）.
/ 2+/ 1 = 180 ° （两直线平行，同旁内角互补）.
/ 2 = 180 ° - / 1 = 180° -65 ° = 115 ° .
又••• DF // AB（已知），
/ 3 =/ 2（两直线平行，同位角相等）.
•••/ 3 = 115 ° （等量代换）.
【总结升华】平行线的性质：由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系. 举一反三：
【变式】（2015?永州）如图，/ 1= / 2,/ A=60 °则/ ADC= ____________ 度.
【答案】解：•••/ 1 = / 2,二AB // CD ,
•••/ A+ / ADC=180 °
•••/ A=60 °
•••/ ADC=120 ° 故答案为：120°
2. 如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过， 如果第一次拐的
角/ A 是105度，第二次拐的角/ B 是135度, 第三次拐的角是/ C,这时的道路
恰好和第一次拐弯之前的道路 平行，那么/ C 应为多少度？
【思路点拨】 过点B 作直线BE// CD 用“两直线平行内错角相等”和“两直线
平行同旁内
角互补”解答.
【答案与解析】 解：过点B 作直线BE// CD
•「CD// AF ,
• BE// CD// AF.
•••/ A=Z ABE=105 .
•••/ CBE=/ ABC -/ ABE=30 .
又••• BF// CD
•••/ CBE+Z C=18C °
•••/ C=15C ° .
【思路点拨】 根据平行线的性质可得/ B=/ 1 , / 1+/ D=18C °，等量代换即可证明/
B+/
D=18C ° .
【答案与解析】
证明：••• AB// CD （已知），
• / B=/ 1 （两直线平行，内错角相等）.
•/ BE// FD （已知），
• / 1+/ D=18C ° （两直线平行，同旁内角互补） .
【总结升华】此题是一道生活实际问题， 根据题目信息, 转化为关于平行线性质的数学问题. 3. 已知，如图，
AB// CD BE// FD.
角相等.
举一反三
【变式】如图， AB// CD CE 平分Z ACD 若Z 1=25,求Z 2的度数.
(1 )Z APC Z PAB-Z PCD
两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错
解：••• CE 平分Z ACD Z 仁
25°,
• Z ECD Z 1=25°,
••• AB// CD
• Z ECD-Z 2=180°,
• Z 2=180° - Z ECD=155 .
.（2016春?秦皇岛期末）如图，AB// CD 分别探讨下面四个图形中Z APC 与Z PAB （适当添加辅助线，其实并不难）
Z PCD 的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明
. ⑴
【思路点拨】关键过转折点作出平行线, 角性
质求证即可.
【答案与解析】 如图: •••/ B+Z D=180 (等量代换)
D
根据两直线平行，内错角相等， 或结合三角形的外
B
D D
证明：过点P 作PF// AB 贝U AB// CD// PF,
•••/ APC=/ PAB+Z PCD(两直线平行，内错角相等)
(2)Z APC Z PAB+Z PCD=360 ;
(3 )Z APC Z PAB-Z PCD
(4 )：AB// CD
•Z POB Z PCD
•••Z POB是厶AOP的外角，
•Z APC-Z PAB Z POB
•Z APC Z POB-Z PAB
•Z APC Z PCD-Z PAB
【总结升华】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的.
5.如图是大众汽车的标志图案，其中蕴涵着许多几何知识•根据下面的条件完
成证明.
已知：如图，BC// AD BE// AF.
(1)求证：Z A=Z B;
(2)若/ DOB=135，求Z A的度数.
【思路点拨】(1)由平行线的性质(两直线平行，同位角相等)可得Z A=Z B.
(2)由平行线的性质(两直线平行，同旁内角互补)可得Z A=180°- Z DOE
【答案与解析】
解：(1 )• BC// AD,
•Z B=Z DOE
又• BE// AF,
•Z DOE Z A,
•Z A=Z B.
(2)：Z DOB Z EOA 由BE// AF,得Z EOA+Z A=180°
又Z DOB=135 ,
•Z A=45 .
【总结升华】本题考查的是平行线的性质，主要是考查学生把实际问题转化成数学问题的能力，要结合实际图象画出数学图形，再运用平行线的性质来解决.
举一反三
【变式】已知：如图，BD// AF// CE, Z ABD=60 , Z ACE=36 , AP是Z BAF的平分线，求Z
PAC的度数.
【答案】
解：••• BD// AF,/ ABD=60 ,
•••/ BAF=/ ABD=60 ,
•/ AP平分/ BAF
1
.•./ PAF=— / BAF=30 ,
2
又••• AF/ CE / ACE=36 ,
•/ CAF=/ ACE=36 .
•/ PAC/ PAF+/ CAF=30 +36° =66°
类型二、平行的性质与判定综合应用
B
C
EF,那么/ BAC+/ ACE+/ CEF=
A. 180° B . 270° C . 360° D . 540°
【答案】C
【解析】过点C作CD// AB,
CD // AB
/ BAC/ ACD=180（两直线平行，同旁内角互补)
又•/ EF // AB
EF // CD
/ DCE Z CEF=180（两直线平行，同旁内角互补)
又•••/ ACE=/ ACD+/ DCE
• / BAC+/ ACE+/ CEF=/ BAC+Z ACD/ DCE+/ CEF=180
【总结升华】这是平行线性质与平行公理的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补, 可以得到/ BAC +/ ACE+/ CEF= 360 °
+180° =360°。