平行线的性质(基础)知识讲解
7.4-平行线的性质(共26张PPT)
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上 照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大 之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已， 理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭 而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策， 吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云Байду номын сангаас志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐 其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与 行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不 越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋 交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担 为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地 载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立 川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧 进者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学 次的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁 要。重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。 久的一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一 看他贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知， 幸福的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世 若软弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便 明灯，可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太 了明天不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目 受不了的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服 表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待阳光，人就会从卑微 存梦想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自己。过去的习惯，决定今天的你，所以 定你今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你认为他有多可靠。想象困难做出的反应，不是 而是面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用。坐在电脑前，不知道做什么，却又不想关掉它。做 让时间帮你决定。如果还是无法决定，做了再说。宁愿犯错，不留遗憾。发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚 并把研究继续下去。我的本质不是我的意志的结果，相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志 类的福利，可以使可憎的工作变为可贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶 的出现不是对愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。 灾难，已经开始了的事情决不放弃。最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。意志若是屈 它都帮助了暴力。有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。意志坚强，只有刚强的人，才有神圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。卓越的人的一大优点 的遭遇里百折不挠。疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。能够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的， 么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。
平行线的性质和判定讲解与判定
平行线的性质和判定精品资料
教学过程：
一、基础知识点：
性质1：两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵ AB//CD ∴ ∠PMA=∠MNC
性质2：两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵ AB//CD ∴ ∠BMN=∠CNM
性质3：两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵ AB//CD
∴ ∠AMN+∠CNM=180°
几何符号语言： （1）∵∠3＝∠2
∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）
（2）∵∠1＝∠2
∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行） （3）∵∠4＋∠2＝180°
∴AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）
如图，直线AB ∥CD ，EF ⊥AB 于E ，EF ⊥CD 于F ，则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离。
注意：直线AB ∥CD ，在直线AB 上任取一点G ，过点G 作CD 的垂线段GH ，则垂线段GH 的长度也就是直线AB 与CD 间的距离。
⑴命题的概念：
判断一件事情的语句，叫做命题。
A B
C D
E
F 1 2 3 4 A E
G B
C F
H D
⑵命题的组成
每个命题都是题设、结论两部分组成。题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果……，那么……”的形式。具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。
平行线的判定及性质 例题及练习
平行线的判定及性质
一、【基础知识精讲】
1、平行线的判定
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.
（6）同旁内角互补，两直线平行.
3、平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.
（3）两直线平行，同旁内角互补.
二、【例题精讲】
专题一：余角、补角、对顶角与三线八角
例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）
A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能
【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）
A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角
B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角
C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角
D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角
【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )
A.∠3和∠5是同位角
B.∠4和∠5是同旁内角
C.∠2和∠4是对顶角
D.∠1和∠2是同位角
【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,
图中∠1与∠2的关系是（）
A.对顶角
B.互余
C.互补D相等
例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.
【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .
专题二：平行线的判定
例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.
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平行线的性质及平移（基础）知识讲解
责编:某老师
【学习目标】
1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；
2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；
3．了解图形的平移变换，知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系和性质，能用平移变换有关知识说明一些简单问题及进行图形设计.
【要点梳理】
要点一、平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：
（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．
(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．
要点二、两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．
要点诠释：
（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．
(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．
要点三、图形的平移
1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移．要点诠释：
（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．
（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.
2. 性质：
图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：
平行线的判定及性质
平行线的判定及性质（一） 【知识要点】
一.余角和补角:
1、如果两个角的和是直角，称这两个角互余. ∵αβ+= 90o ∴αβ与互为余
2、如果两个角的和是平角，称这两个角互补. ∵αβ+= 180o ∴αβ与互为补角 二.余角和补角的性质: 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等. 三.对顶角的性质: 对角相等.
四.“三线八角” ：1、同位角 2、内错角 3、同旁内角 五.平行线的判定: 1、同位角相等, 两直线平行.
2、内错角相等, 两直线平行.
3、同旁内角互补, 两直线平行.
4、同平行于一条条直线平行.
5、同垂直一条直线的两条直线平行. 六.平行线的性质：1. 两直线平行,同位角相等；
2. 两直线平行, 内错角相等；
3. 两直线平行, 同旁内角互补.
【典型例题】
一、余角和补角
例1. 如图所示，
互余角有_________________________________； 互补角有_________________________________；
变式训练：1. 一个角的余角比它的的
1
3
还少20o ，则这个角为_____________。 2. 如图所示，已知∠AOB 与∠COB 为补角，OD
的角平分线，OE 在∠BOC 内，∠BO=1
2
∠EOC, ∠DOE=72o, 的度数。
二、“三线八角”
例2 （1） 如图，哪些是同位角内错角同旁内角
（2） 如图，下列说法错误的是（ ）
A. ∠1和∠3是同位角
B. ∠1∠5是同角
C. ∠1和∠2是内角
D. ∠5和∠6是内错角
（3）如图，⊿ABC 中，DE 分别交B 、A 于D 和E,同位角 对，内错角 对，同旁内角
平行线的判定(基础)知识讲解
平行线的判定（基础）知识讲解
【要点梳理】
要点一、平行线的画法及平行公理
1.平行线的画法
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.
④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
2.平行公理及推论
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
要点诠释：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
要点二、平行线的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠3＝∠2
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠1＝∠2
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠4＋∠2＝180°
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
【典型例题】
类型一、平行公理及推论
1．下列说法中正确的有 ( )
①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③因为a∥b，c∥d，所以a∥d；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个 B 2个 C．3个 D．4个
【答案】 A
【解析】一条直线的平行线有无数条，故①错；②中的点在直线外还是在直线上位置不明确，所以②错，③中b与c的位置关系不明确，所以③也是错误的；根据平行公理可知④正确，故选A．
10.3平行线的性质讲解与例题
10．3 平行线的性质
1．掌握平行线的三个性质，即“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”．
2．熟练地运用平行线的性质解决有关的计算题和说理问题．
3．能熟练地综合运用平行线的判定和性质解决有关的计算和推理问题．
1．平行线的性质
(1)平行线的性质
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单地说：两直线平行，同位角相等；
几何符号语言：因为AB∥CD，所以∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单地说：两直线平行，内错角相等；
几何符号语言：因为AB∥CD，所以∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)．
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单地说：两直线平行，同旁内角互补．
几何符号语言：因为AB∥CD，所以∠4＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
(2)平行线性质的理解
①“同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”都是在两条直线平行的条件下推出来的结论，单独说“同位角相等”“内错角相等”“同旁内角互补”是错误的．
②平行线的三个性质特征的大前提都是“两条平行线被第三条直线所截”，离开这个前提就不存在同位角、内错角相等，同旁内角互补．
③由平行线的性质可以推出同位角、内错角、同旁内角的关系，所以一定要结合图形认清角的类型．
【例1－1】如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a，b中的直线b上，如果∠1＝40°，则∠2的度数是( )．
A．30° B．45° C．40° D．50°
解析：∵a∥b，∠1＝40°，
平行线的性质知识点总结
平行线的性质知识点总结
平行线是我们在几何学中经常遇到的概念，它具有一些独特的性质和特点。本文将对平行线的性质进行总结，帮助读者更好地理解和运用这些知识点。
一、定义和标记方式
平行线是在同一个平面上，永不相交的两条直线。我们通常用符号"//"来表示两条平行线，例如AB//CD。
二、判断平行线的方法
平行线的判断方法有以下几种：
1. 同位角相等法则：如果两条直线被一条横截线所截，且同位角相等，则这两条直线平行。
2. 内错角相等法则：如果两条直线被一条横截线所截，且内错角相等，则这两条直线平行。
3. 外错角相等法则：如果两条直线被一条横截线所截，且外错角相等，则这两条直线平行。
4. 平行线特性法则：如果两条直线的斜率相等或两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行。
三、平行线的性质
1. 平行线与转角线的夹角关系：当两条直线被一条横截线所截，且
转角线与一个平行线垂直，那么它与另一条平行线也垂直。
2. 平行线与同位角的关系：同位角是指两条直线被一条横截线所截，且位于同一侧的内角。对于平行线来说，同位角相等。
3. 平行线与内错角的关系：内错角是指两条直线被一条横截线所截，且位于同一侧的相对角。对于平行线来说，内错角相等。
4. 平行线与外错角的关系：外错角是指两条直线被一条横截线所截，且位于不同侧的相对角。对于平行线来说，外错角相等。
5. 平行线向平面的投影：如果一条直线与一个平面平行，那么这条
直线在这个平面上的投影与原直线平行。
6. 平行线间的距离关系：平行线间的距离是沿垂直于这两条平行线
的线段的长度。
专题02 平行线的性质(知识点串讲)(解析版)
专题02 平行线的性质
知识网络
重难突破
知识点一 平行线的性质
（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； 简单说成：两直线平行，同位角相等． 几何语言表述：（如图）
a b
12∠∠∴=（两直线平行，同位角相等）
（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等； 简单说成：两直线平行，内错角相等． 几何语言表述：（如图）
a b
32∠∠∴=（两直线平行，内错角相等）
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； 简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 几何语言表述：（如图）
a b
34180∠∠︒∴+=（两直线平行，同旁内角互补）
注意：
①任意两条直线被第三条直线所截，构成的同位角、内错角不一定相等，构成的同旁内角也不一定互补； ②特别注意前提条件“两直线平行”，只有两直线平行，才有同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
典例1
（2018春•建邺区期末）如图，直线//a b ，三角板的直角顶点放在直线b 上，若165∠=︒，则2∠= ．
【解答】解：已知直线//
a b，
∴∠=∠=︒（两直线平行，同位角相等），
3165
∠=︒（已知），
490
234180
∠+∠+∠=︒（已知直线），
∴∠=︒-︒-︒=︒．
2180659025
故答案为：25︒．
典例2
（2019春•鼓楼区期中）如图，一个人从A点出发沿北偏东30︒方向走到B点，若这个人再从B点沿南偏东15︒方向走到C点则ABC
∠等于()
A．15︒B．30︒C．45︒D．165︒
【解答】解：由题意可知301545
∠=︒+︒=︒
ABC
故选：C．
典例3
（2019春•秦淮区期中）把一张对边互相平行的纸条折成如图那样，EF 是折痕，若32EFB ∠=︒，则D FD ∠'的度数为 ．
七年级数学下册平行线的性质及尺规作图(基础)知识讲解
平行线的性质及尺规作图（基础）知识讲解【学习目标】
1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理.
2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念.
3．了解尺规作图的基本知识及步骤；
4. 通过用尺规作图活动，进一步丰富对“平行线及角”的认识.
【要点梳理】
要点一、平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：
（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．
(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．
要点二、两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．
要点诠释：
（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．
(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．
要点三、尺规作图
1. 定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．
要点诠释：
（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度．
（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度．
2.八种基本作图（有些今后学到）：
第2讲 平行线的性质与判定--基础班
第2讲 平行线的性质与判定
平行公理及推论平行线的判定平行线的性质与判定平行线的性质
判定与性质的综合命题、定理、证明
⎧⎪
⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎩ 知识点1 平行公理及推论
1. 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行. 直线a 与直线b 不相交时，直线a 与b 互相平行，记作a ∥b.
2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
【典例】
例1（2020春•铁东区期中）若直线a ∥b ，a ∥c ，则直线b 与c 的位置关系是 ．
【方法总结】
本题考查了平行公理及推论，利用了平行推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 例2（2020秋•玄武区校级期末）如图，已知OM ∥a ，ON ∥a ，所以点O 、M 、N 三点共线的理由 ．
【方法总结】
此题主要考查了平行公理，正确掌握平行公理是解题关键．
【随堂练习】
1．（2020春•焦作期末）下列说法中正确的个数有（ ） ①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④两条直线相交，对顶角相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2020春•福田区校级期中）下列说法：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；其中正确的有（）个．
A．0B．1C．2D．3
知识点2 平行线的判定
初中数学平行线的性质及判定知识点
初中数学平行线的性质及判定知识点
学校数学平行线的性质及判定学问点1
平行线的性质及判定
平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
平行线的判定：
判定1：同位角相等，两直线平行。
判定2：内错角相等，两直线平行。
判定3：同旁内角相等，两直线平行。
通过上面对数学中平行线的性质及判定学问点的内容讲解学习，信任同学们已经能很好的把握了吧，盼望同学们会从中学习的更好。
学校数学平行线的性质及判定学问点2
相交线
1、两条直线相交，有且只有一个交点。(反之，若两条直线只有一个交点，则这两条直线相交。)
两条直线相交，产生邻补角和对顶角的概念：
邻补角：两角共一边，另一边互为反向延长线。邻补角互补。要留意区分互为邻补角与互为补角的异同。
对顶角：两角共顶点，一角两边分别为另一角两边的反向延长线。对顶角相等。
注：①、同角或等角的余角相等;同角或等角的补角相等;等角的对顶角相等。反过来亦成立。
②、表述邻补角、对顶角时，要留意相对性，即“互为”，要讲清谁是谁的邻补角或对顶角。例如：
推断对错：由于∠ABC +∠DBC = 180°，所以∠DBC是邻补角。( )
相等的两个角互为对顶角。( )
2、垂直是两直线相交的特别状况。留意：两直线垂直，是相互垂直，即：若线a垂直线b，则线b垂直线a 。
垂足：两条相互垂直的直线的交点叫垂足。垂直时，肯定要用直角符号表示出来。
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。(注：这一点可以在已知直线上，也可以在已知直线外)
3、点到直线的距离。
平行线的性质(基础)知识讲解
平行线的性质（基础）知识讲解
【学习目标】
1. 掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解；
2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程；
3. 了解平行线的判定与性质的区别和联系.
【要点梳理】
要点一、平行线的公理、定理
公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等.（简记为：两直线平行，同位角相等）.
定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.
定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).
要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．
(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．
要点二、平行线的性质定理的探究过程
1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.
3
21
c
b
a
因为a∥b,
所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），
又∠3=∠1 (对顶角相等)
所以∠2=∠3.
2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).
因为a∥b,
所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等），
又∠3+∠1=180°（补角的定义），
所以∠2+∠1=180°.
要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性. 要点三、平行线的性质与判定
平行线的判定及性质
平行线的判定及性质 Prepared on 22 November 2020
平行线的判定及性质（一）
【知识要点】
一.余角和补角:
1、如果两个角的和是直角，称这两个角互余. ∵αβ+= 90o ∴αβ与互为余
2、如果两个角的和是平角，称这两个角互补. ∵αβ+= 180o ∴αβ与互为补角 二.余角和补角的性质: 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等. 三.对顶角的性质: 对角相等.
四.“三线八角” ：1、同位角 2、内错角 3、同旁内角 五.平行线的判定: 1、同位角相等, 两直线平行.
2、内错角相等, 两直线平行.
3、同旁内角互补, 两直线平行.
4、同平行于一条条直线平行.
5、同垂直一条直线的两条直线平行. 六.平行线的性质：1. 两直线平行,同位角相等；
2. 两直线平行, 内错角相等；
3. 两直线平行, 同旁内角互补.
【典型例题】
一、余角和补角
例1. 如图所示，
互余角有_________________________________； 互补角有_________________________________；
变式训练：1. 一个角的余角比它的的
1
3
还少20o ，则这个角为_____________。 2. 如图所示，已知∠AOB 与∠COB 为补角，OD
是∠
AOB 的角平分线，OE 在∠BOC 内，∠BO=1
2
∠EOC, ∠DOE=72o, 求
∠EOC 的度数。
二、“三线八角”
例2 （1） 如图，哪些是同位角内错角同旁内角
（2） 如图，下列说法错误的是（ ）
A. ∠1和∠3是同位角
《平行线》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《平行线》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】
1. 熟练找出“同位角、内错角、同旁内角”；
2. 区别平行线的判定与性质，能用性质和判定解决综合问题；
3. 通过具体实例认识平移，理解平移的性质；
4. 会运用平行线和平移的知识解决有关的简单问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、平行线的定义及三线八角
1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
要点诠释：
（1）平行线定义中包含三层含义：在同一平面内、不相交、两条直线．
（2）基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2.三线八角：
要点二、平行线的判定和性质
1．平行线的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行．
判定方法2：内错角相等，两直线平行．
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．
要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：
（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.
（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.
（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行.
（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
2．平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：
（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．
（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．
专题07 平行线的性质(知识点串讲)(解析版)
专题07 平行线的性质
知识网络
重难突破
知识点一 平行线的性质
（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
简单说成：两直线平行，同位角相等．
几何语言表述：（如图）
a b
12∠∠∴=（两直线平行，同位角相等）
（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
简单说成：两直线平行，内错角相等．
几何语言表述：（如图）
a b
32∠∠∴=（两直线平行，内错角相等）
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
几何语言表述：（如图）
a b
34180∠∠︒∴+=（两直线平行，同旁内角互补）
注意：
①任意两条直线被第三条直线所截，构成的同位角、内错角不一定相等，构成的同旁内角也不一定互补； ②特别注意前提条件“两直线平行”，只有两直线平行，才有同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
典例1
（2019春•中山市期末）如图，//
∠的大小（）
AEC
∠=︒，则D
∠=︒，35
CED
AB CD，90
A．35︒B．45︒C．55︒D．65︒
【解答】解：90
CED
∠=︒，
AEC
∠=︒，35
∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
180180903555
BED CED AEC
AB CD，
//
∴∠=∠=︒．
D BED
55
故选：C．
典例2
（2019春•郫都区期中）如图，直尺的一条边经过一个含45︒角的直角顶点，直尺的一组对边分别与直角三角形的两边相交，若130
∠的大小为．
∠=︒，2
【解答】解：如图，90
∠=︒
ACB
∴∠+∠=︒，
1390
∠=︒，
130
∴∠=︒，
360
//
a b，
∴∠=∠=︒，
2360
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平行线的性质（基础）知识讲解
【学习目标】
1. 掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解；
2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程；
3. 了解平行线的判定与性质的区别和联系•
【要点梳理】要点一、平行线的公理、定理
公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等•（简记为：两直线平行，同位角相等）•
定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错
角相等）•
定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补（简记为：两直线平行，同旁内角互补）.
要点诠释：（1）"同位角相等、内错角相等”、"同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”.
（2）从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质.
要点二、平行线的性质定理的探究过程
1. 两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.
因为a // b,
所以/ 1 = Z 2 （两直线平行，同位角相等），
又/ 3=/ 1 （对顶角相等）
所以/ 2=/3.
2. 两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补（简记为：两直线平行，同旁
内角互补）.
所以/ 3=/ 2 （两直线平行，内错角相等）又/ 3+/仁180°（补角的定义），所以/ 2+/仁180° .
要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产
和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性•
要点三、平行线的性质与判定
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系•平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆.
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平
行.
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关.
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类
角.
【典型例题】
类型一、平行线的性质公理、定理的应用
1. 如图所示，如果AB// DF, DE// BC,且/ 1 = 65。.那么你能说出/ 2、/ 3、/ 4的度数吗？为什么.
【思路点拨】本题已知条件中，包含了两个层次：第一层次是由DE// BC,可得/ 1 = / 4,
/ 1+ / 2= 180°;第二层次是由DF// AB 可得/ 3=/ 2 或/ 3+/ 4 = 180°,从而解出/ 2、 / 3、/ 4的度数. 【答案与解析】
解：••• DE // BC,
/ 4 =/ 1 = 65° （两直线平行，内错角相等）.
/ 2+/ 1 = 180 ° （两直线平行，同旁内角互补）.
/ 2 = 180 ° - / 1 = 180° -65 ° = 115 ° .
又••• DF // AB（已知），
/ 3 =/ 2（两直线平行，同位角相等）.
•••/ 3 = 115 ° （等量代换）.
【总结升华】平行线的性质：由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系. 举一反三：
【变式】（2015?永州）如图，/ 1= / 2,/ A=60 °则/ ADC= ____________ 度.
【答案】解：•••/ 1 = / 2,二AB // CD ,
•••/ A+ / ADC=180 °
•••/ A=60 °
•••/ ADC=120 ° 故答案为：120°
2. 如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过， 如果第一次拐的
角/ A 是105度，第二次拐的角/ B 是135度, 第三次拐的角是/ C,这时的道路
恰好和第一次拐弯之前的道路 平行，那么/ C 应为多少度？
【思路点拨】 过点B 作直线BE// CD 用“两直线平行内错角相等”和“两直线
平行同旁内
角互补”解答.
【答案与解析】 解：过点B 作直线BE// CD
•「CD// AF ,
• BE// CD// AF.
•••/ A=Z ABE=105 .
•••/ CBE=/ ABC -/ ABE=30 .
又••• BF// CD
•••/ CBE+Z C=18C °
•••/ C=15C ° .
【思路点拨】 根据平行线的性质可得/ B=/ 1 , / 1+/ D=18C °，等量代换即可证明/
B+/
D=18C ° .
【答案与解析】
证明：••• AB// CD （已知），
• / B=/ 1 （两直线平行，内错角相等）.
•/ BE// FD （已知），
• / 1+/ D=18C ° （两直线平行，同旁内角互补） .
【总结升华】此题是一道生活实际问题， 根据题目信息, 转化为关于平行线性质的数学问题. 3. 已知，如图，
AB// CD BE// FD.
角相等.
举一反三
【变式】如图， AB// CD CE 平分Z ACD 若Z 1=25,求Z 2的度数.
(1 )Z APC Z PAB-Z PCD
两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错
解：••• CE 平分Z ACD Z 仁
25°,
• Z ECD Z 1=25°,
••• AB// CD
• Z ECD-Z 2=180°,
• Z 2=180° - Z ECD=155 .
.（2016春?秦皇岛期末）如图，AB// CD 分别探讨下面四个图形中Z APC 与Z PAB （适当添加辅助线，其实并不难）
Z PCD 的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明
. ⑴
【思路点拨】关键过转折点作出平行线, 角性
质求证即可.
【答案与解析】 如图: •••/ B+Z D=180 (等量代换)
D
根据两直线平行，内错角相等， 或结合三角形的外
B
D D