湖南省衡阳县四中2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题

2015年下期衡阳县四中高二数学期中测试卷（理科）
参考答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有( A) A．a1＝－2，d＝3 B．a1＝2，d＝－3
C．a1＝－3，d＝2 D．a1＝3，d＝－2
2．设a<b<0，则下列不等式一定成立的是( B)
A．a2<ab<b2B．b2<ab<a2
C．a2<b2<ab D．ab<b2<a2
3已知集合A=2
{|430},{|24}
x x x B x x
-+<=<<，则A B=
C
A．(1,3) B．(1，4) C．(2，3) D．(2，4)
4．在△ABC中，a＝80，b＝100，A＝45°，则此三角形解的情况是(B) A．一解B．两解
C．一解或两解D．无解
5．等比数列{a n}的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n}的首项为( C )
A．2 B．4
C．6 D．8
6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝π
3
，b＝1，△ABC的面
积为
3
2
，则a的值为( D )
A．1 B．2
C.
3
2
D. 3
7．关于数列3,9，…，2187，…，以下结论正确的是(B ) A．此数列不是等差数列，也不是等比数列
B．此数列可能是等差数列，也可能是等比数列
C．此数列可能是等差数列，但不是等比数列
D．此数列不是等差数列，但可能是等比数列
8．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，则角C 为( C )
A ．钝角
B ．直角
C ．锐角
D ．60°9．不等式y ≤3x ＋b 所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内，而点(4,4)在此区域内，则b 的范围是( C )
A ．－8≤b ≤－5
B ．b ≤－8或b >－5
C ．－8≤b <－5
D ．b ≤－8或b ≥－5
10．函数y ＝x 2＋2
x －1
(x ＞1)的最小值是( A )
A ．23＋2
B ．23－2
C ．2 3
D ．2
11、在数列{}n a 中，已知1221-=+++n n a a a ，则2
2221n a a a +++ 等于( D )
A ．()
212-n B.()312
2
-n
C.14-n
D.3
14-n
12．下表给出一个“直角三角形数阵”：
14 12，14 34，38，316 ……
满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N *)，则a 83等于(C )
A.18
B.14
C.12
D ．1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于___
63
_____．
14、不等式22(23)(3)10m m x m x -----<对一切x R ∈恒成立，则实数m 的取值范围为 1
[-,3]5
15．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *
)，设S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 6＝_22
1
-+n _
16、设变量,x y 满足约束条件220
22010
x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≥⎩
，则1+-=x x y s 的取值范围是
]1,21[-
.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分) （1）解不等式：30252
≤--x x （2）当x ＞1时，求x ＋
1
x －1
的最小值 （1）23
1
≤≤-
x （2）3
18. (本小题满分12分)等差数列{}n a 中，（1）已知8174=+a a ，求20s ； （2）已知n s a d n n 求,65,20,3===的值.
（1）80 （2）10或13
19. (本小题满分12分)设ABC ∆的三边长分别为,,,a b c 已知0
3
2120a c B ===，，.
(1) 求边b 的长； (2) 求ABC ∆的面积.
（1）19 （2）
2
3
3
20．(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .
(1)求角B 的大小；
(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．
解：(1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝b
sin B ，
得sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3又∵0＜B ＜π， 所以B ＝π
3
.
(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝c
sin C ，得c ＝2a .
由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.
21.（12分）医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10 g 含5单位蛋白
质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省
解：设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用为z ，
则5735,10440,0,0,x y x y x y +≥⎧⎪
+≥⎨⎪≥≥⎩
目标函数为z =3x+2y ，作出可行域如图 把z =3x+2y 变形为y =-32x+2z ，得到斜率为-3
2
.在y 轴上的截距为
2
z
，随z 变化的一族平行直线. 由图可知，当直线y =-32x+2z 经过可行域上的点A 时，截距
2
z
最小，即z 最小.
由10440,5735,
x y x y +=⎧⎨
+=⎩得A 14,35⎛⎫
⎪⎝⎭，
∴z min =3×
14
5
+2×3=14.4.第9题答图 ∴选用甲种原料14
5
×10=28（g ），乙种原料3×10=30（g ）时，费用最省.
22．(12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1.
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n
b n ，求数列{
c n }的前n 项和T n .
解：(1)当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2 ＝4n －2，
当n ＝1时，a 1＝S 1＝2满足上式，故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2.
设{b n }的公比为q ，由已知条件a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1知，b 1＝2，b 2＝12，所以q ＝1
4，
∴b n ＝b 1q n －
1＝2×
1
4
n －1，即
b n ＝
2
4
n －1.
(2)∵c n ＝a n b n ＝4n －22
4n －1
＝(2n －1)4n －
1，
∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1＋3×41＋5×42＋…＋ (2n －1)4n －
1.
4T n ＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n －3)4n －
1＋
(2n －1)4n . 两式相减得：
3T n ＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n －
1)＋(2n －1)4n ＝13[(6n －5)4n ＋5]．
∴T n ＝1
9
[(6n －5)4n ＋5]．。