上海杨浦高三数学暑假补习班 暑假班

步乘法计数原理来计数，然后再用分类加法计数原理将各类情况
组合在一起．
[例3]
将红、黄、绿、黑4种不同的颜色分别涂入下图中的五
个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不 同的涂色方法？ [思路探究] 五个区域，四种颜色，所以至少有两个区域涂的
是同一种颜色，结合图形，可以先选出涂同一种颜色的区域，再 进行涂色．
分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．
由分类加法计数原理，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4 ＋3＋2＋1＝36(个)．
即时训练
集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，
…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个 点的坐标，则这样的点的个数是( A．9 B．14 C．15 D．21 解析：∵P⊆Q，∴x＝y或x＝2. ①当x＝2时，y≠1,2，∴y有7种选法； ②当x＝y时，y≠1,2，∴y也有7种选法． ∴共有满足条件的点7＋7＝14个． 答案：B )
(1)P可表示平面上多少个不同的点？
(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？
(3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？ [思路探究] 本例实质是分步乘法计数原理在解决解析几何问
题中的应用．这里应该注意两点：一是集合M中的每个元素可作为 同一点的横、纵坐标；二是第(3)问用逆向求解的间接法．
[课堂记录]
提高．
[ 例 4]
(2010· 全国 Ⅰ) 某校开设 A 类选修课 3 门， B 类选修课 4
门，一位同学从中共选 3门．若要求两类课程中各至少选一门，则
不同的选法共有(
A．30种
)
B．35种
C．42种
D．48种
[ 解析 ]
分两类：①选 A 类选修课 2 门， B 类选修课 1 门，有
C32·C41＝12(种)；
数原理与分类有关，各种方法
，用其中任何一种方
法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分 步 有关，各个步骤
相互依存
，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
1．从3名女同学和 2名男同学中选1人主持本班的某次主题班
会，则不同的选法为( )
A．6种 B．5种 C．3种 D．2种
解析：有3＋2＝5种． 答案：B
命题热点 1.计数原理内容考查比较稳定，试题难度起伏不大；排列组合题目一般为选 择、填空题，考查排列组合的基础知识、思维能力，多数试题与教材习题的 难度相当，但也有个别题难度较大；二项式定理是高考重点考查内容之一． 2．对于概率的考查，要着重理解随机事件、互斥事件、对立事件、相互独立 事件、古典概型、几何概型的意义及事件间的关系，掌握计算概率的有关公 式，并能活用它们，解决一些简单的实际问题．此类题以小题或解答题的形 式出现，主要考查学生解决实际问题的能力． 3．随机变量的数字特征，即期望和方差，以排列和概率统计等知识为工具， 考查概率的计算，随机变量的概率分布及其期望和方差为主要内容，客观题、 主观题均可出现，难度中档． 4．正态分布及其性质，近几年在高考中已有几个省开始考查，预计这部分内 容以后各省将会逐渐考查． 5．预计明年的考试中，对这一部分的考查不会有大的改动，但可能考查的更 加灵活，更贴近生活，希望能引起大家的重视.
[课堂记录]
给出区域标记号A、B、C、D、E(如右图所示)，
则 A区域有 4种不同的涂色方法， B区域有3种， C区域有 2种， D区
域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D涂的颜色，如果B与D颜色相
同有2种涂色方法，不相同，则只有一种．因此应先分类后分步．
(1)当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48(种)．
解： 完成着色这件事，共分为四个步骤，可以依次考虑为
①，②，③，④这四个区域着色时各自的方法数，再利用分步乘
法计数原理确定出总的着色总数，因此有：
(1)为①区域着色时有6种方法，为②区域着色时有5种方法，
为③区域着色时有 4 种方法，为④区域着色时有 4 种方法， ∴ 依据
分步乘法计数原理不同的着色数为6×5×4×4＝480(种)．
在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的数共有
[思路探究]
该问题与计数有关，可考虑选用两个基本原理来
计算．完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了即可，因此 可考虑按十位上的数字情况进行分类．
[课堂记录]
根据题意，按十位数上的数字分别是
1,2,3,4,5,6,7,8 的情况分成 8 类，在每一类中满足题目条件的两位数
(2)当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24(种)．
故共有48＋24＝72种不同的涂色方法．
[思维拓展]
①像这类给区域涂色的问题，我们应该给区域依
次标上相应的序号，以便分析问题．在给各区域涂色时，要注意
不同的涂色顺序，其解题就有繁简之分．如本例若按 A 、 B 、 E 、
D、C顺序涂色时，在最后给区域C涂色时，就应考虑A与E、B与D
2
2
x ＋y ＝3， 2 2 解析：由方程组y ＋z ＝4， z2＋x2＝5
2
2
x ＝2， 2 可得y ＝1， z2＝3.
2
因此在{ 2，－ 2}，{1，－1}，{ 3，－ 3}中各取一个即可构成 方程组的一组解，由分步乘法计数原理共有 2×2×2＝8 组解．
答案：8
热点之一
分类加法计数原理
分类加法计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来 的基本规律．从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决 问题就是将一个复杂问题分解为若干 “ 类别 ” ，案．运用该原理解决问题
的突破口是明确什么是“完成一件事”．
[例1]
多少个？
(2)完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方
法，做第 2 步有 m2 种不同的方法，„，做第 n 步有 mn 种不同的方
法，那么完成这件事共有N＝ m1×m2ׄ×mn 种不同的方法．
2．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都有涉及
完成一件事 的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计 相互独立
由分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数是3×2＝6.
(3)点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b.因此a和b必须在 集合 M 中取同一元素，共有 6 种取法，即在直线 y ＝ x 上的点有 6 个．由(1)得不在直线y＝x上的点共有36－6＝30(个)．
即时训练
已知集合 M ＝ { － 3 ，－ 2 ，－ 1,0,1,2} ，若 a ， b ，
2 ．5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中 的一个小组，则不同的报名方法共有( )
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 解析：有2×2×2×2×2＝32种． 答案：D
3．从6个人中选4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个
城市游览，要求每个城市至少有一人游览，每人只游览一个城
c∈M，则
(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数．
(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数．
解：(1)a的取值有 5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6 种情况，因此 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 可以表示 5×6×6 ＝ 180 个不同的二次 函数．
(2)y＝ax2＋bx＋c的开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的
市，且这6个人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案
共有(
)
A．300种 B．240种 C．144种 D．96种
解析： 能去巴黎的有 4 个人，能去剩下三个城市的依次有 5
个、4个、3个人，所以不同的选择方案有4×5×4×3＝240(种)．
答案：B
x ＋y ＝3， 2 2 4．方程组y ＋z ＝4， 有________组解． z2＋x2＝5
热点之二
分步乘法计数原理
如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完 成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种 不同的方法，计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原 理．
[例2]
已知集合 M ＝{－ 3 ，－2 ，－ 1,0,1,2}，P(a ，b)表示平
面上的点(a，b∈M)，问：
新王牌/
内容分析
1.两个原理是排列组合的基础，千万别小视，大家要对分类与分步烂熟于 心．在解复杂的排列、组合题时要善于分类和分步． 2．排列组合是本篇核心又是概率的基础，对它们的复习要按不同类型分别掌 握，且重要题型反复强化，达到模式化、程序化．如排队、组数、分组、分配 等问题． 3．二项式定理的复习要狠抓课本和历年高考题，不要做难题，在选择题、填 空题上多下工夫． 4．要注意古典概型和几何概型的抽象、概括和应用． 5．随机变量及分布列方面的题型主要有两类：一类是应用随机变量的概念， 特别是离散型随机变量分布列以及期望与方差的基础知识讨论随机变量的取值 范围，取相应值的概率及期望、方差的求解计算；另一类是与正态分布有关的 内容如求密度函数、求期望与方差等．对基本题型基本方法要烂熟于心．
取值均有 6种情况，因此 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 可以表示 2×6×6＝ 72 个图
象开口向上的二次函数．
热点之三
两个原理的综合应用
用两个计数原理解决计数问题时，最重要的就是在开始计 算之前要仔细分析．首先我们可以考虑问题是否应当分类，分类 能否使问题的复杂程度大大降低；然后在每一类中考虑是否应当 分步．我们把问题分解成几类互不重复的情况，每一类都使用分
(2)由题意知，为①区域着色时有n种方法，为②区域着色时有
n－1种方法，为③区域着色时有n－2种方法，为④区域着色时有n
－3种方法，由分步乘法计数原理可得不同的着色数为 n(n－1)(n－
2)(n－3)．
∴n(n－1)(n－2)(n－3)＝120.