考研数学极限知识点全解
2020年考研高数知识点：极限中的“极限”
2020年考研高数知识点：极限中的“极限”说到极限应该是我们三大计算中的第一大计算，每年考研真题必出，无论是数一数二数三还是经济类数学，能够出选择题也能够出填空题，更能够出解答题，题目类型不同，分值也不同，4分或者10分，极限的思想也就更是重要之重了，原因就是后来所有的概念都是以极限的形式给出的。
第一，极限的定义。
理解数列极限和函数极限的定义，记住其定义。
第二，极限的性质。
性，有界性，保号性和保不等式性要理解，重点理解保号性和保不等式性，在考研真题里面经常考查，而性质的本身并不难理解，关键是在做题目的时候怎么能想到，所以同学们在做题目的时候能够看看什么情况下利用了极限的保号性，例如：题目中有一点的导数大于零或者小于零，或者给定义数值，能够根据这个数值大于零或小于零，像这样的情况，就能够写出这个点的导数定义，利用极限的保号性，得出相对应的结论，切记要根据题目要求来判断是否需要，但首先要有这样的思路，希望同学们在做题时多去总结。
第三，极限的计算。
这个部分是重中之重，这也是三大计算中的第一大计算，每年必考的题目，所以需要同学们能够熟练地掌握并会计算不同类型的极限计算。
首先要知道基本的极限的计算方法，比如：四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、重要极限、单侧极限、夹逼定理、单调有界收敛定理，除此之外还要泰勒展开，利用定积分定义求极限。
其次还要掌握每一种极限计算的注意事项及拓展，比如：四则运算中掌握“抓大头”思想(两个多项式商的极限，是无穷比无穷形式的，分别抓分子和分母的次计算结果即可)，等价无穷小替换中要掌握等价无穷小替换只能在乘除法中直接应用，加减法中不能直接应用，如需应用必须加附加条件，计算中要掌握基本的等价无穷小替换公式和其推广及凑形式，进一步说就是第一要熟练掌握基本公式，第二要知道怎么推广，也就是将等价无穷小替换公式中的x用f(x)来替换，并且要验证在x趋于某一变化过程中f(x)会否趋近于零，满足则能够利用推广后的等价无穷替换公式，否则不能。
考研数学的知识点整理：1.极限
考研数学的知识点整理：1.极限差不多学习了⼀年，离考试也不远了，考前抽⼀天时间整理⼀下所有的知识点和题型，也就相当于复习了。
第⼀章：极限 极限，简单地来说就是⽆限地趋近⼀个值（但并不是真的等于这个值），⽽永远处在接近这个值的趋势上，永远靠近，永不停⽌。
从书上的定义看，如果对任何ε>0，总存在⾃然数N，使得当n>N时，不等式|xn-x|<ε恒成⽴。
这个定义在实际中也会出题考察。
lim(x->1) x2-1/x-1 =2。
这个函数在x=1处不存在，但x->1时极限存在，并且为2。
直接算当然算不了，但是可以转化为x+1，也就是2. 判定极限存在的充要条件：左右极限各⾃存在且相等。
在很多时候，两侧极限的计算⽅法是不⼀样的，因此左右相等是有意义的。
极限不存在：左右极限不存在/不相等，或者极限⽆穷⼤。
极限的⼀些性质： 1.唯⼀性。
如果⼀个数列的极限存在，那么它的极限值唯⼀，⽽且他的⼦串也都是这个极限值。
2.保号性。
在这⾥先引⼊⼀个去⼼邻域的概念：去⼼领域，就是去掉了中⼼点，但包含其左右的⼀个范围。
保号性的含义，就是指⾃变量在趋近⼀个值时，肯定能找到⼀个去⼼邻域，在这个范围内的值同号。
这⾥放⼀个例题：f'(0)=1, lim(x->1) f'(x)/(x-1)3=2，求x=1？ 解： 在这道题中， f'(x)/(x-1)3=2)>0. 所以，存在某个值ξ>0,使得 0<|x-1|<ξ，即在这个去⼼领域内时，f'(x)/(x-1)3也是⼤于0的。
当x在(1-ξ,1)时即左半邻域时，x-1<0,分母⼩于0，那么分⼦f'(x)<0。
同样，x在右半邻域时，f'(x)>0。
因此，f(x)在x=1处取到了最⼩值。
保号性的更深层的理解:不管是数列极限还是函数极限。
假设lim(x->x0)=A. 要注意函数和极限⼆者的对应关系。
考研数学解题技巧之极限与连续性
考研数学解题技巧之极限与连续性在考研数学中，极限与连续性是一个十分重要的概念和技巧。
掌握了极限与连续性的相关理论和方法，能够解决很多数学问题，提高解题的效率和准确性。
下面我们将介绍一些关于极限与连续性的基本概念、性质和解题技巧。
一、极限的概念与性质1. 极限的定义极限是数学中一个基本的概念，它描述了函数或数列在无穷接近某个数的过程。
给定一个函数或数列，如果对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当自变量趋近某一点时，函数值或数列的项与该点的差的绝对值小于ε，那么我们称该函数或数列的极限存在，并称其极限为该点。
2. 极限的性质对于函数极限的运算性质，有以下几点：- 唯一性：函数的极限只能是唯一确定的；- 有界性：函数极限存在时，函数在某个足够大或足够小的自变量范围内有界；- 保号性：函数极限存在时，函数在某个足够大或足够小的自变量范围内保持和极限同号。
二、连续性的概念与性质1. 函数的连续性函数的连续性是指函数在定义域上没有跳跃的突变，即函数的定义域内无间断点。
具体而言，函数在某一点连续是指函数在该点的极限等于函数在该点的函数值。
对于连续函数的性质，有以下几点：- 初等函数的连续性：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等所有的初等函数在其定义域上都是连续的；- 连续函数的运算性质：连续函数的和、差、积、商（除数非零）仍然是连续函数。
2. 极限与连续性的关系函数在某一点处连续的充分必要条件是函数在该点的极限存在且等于函数在该点的函数值。
换句话说，函数在某点连续，要求极限存在，且函数值与极限值相等。
三、解题技巧1. 使用极限的代数运算性质在解决复杂的数学题目中，可以灵活运用极限的代数运算性质，通过对复杂的函数进行代数变换，简化问题的求解过程。
比如使用极限的乘法、除法、和差的性质，可以将问题转化为更容易求解的形式。
2. 运用夹逼准则夹逼准则是解决极限问题的常用方法之一。
当需要求解一个难以计算的极限时，可以找到两个较为容易求解的函数，它们夹住待求极限的函数，然后通过比较两个夹逼函数的极限来求解。
考研数学：对数求极限法
u x 0 的函数叫作
u x 0 ， 取 对 数 后 ， 便 得 到 ln y v x ln u x , 即
y e v x ln u x ，便可以得到幂指函数的极限 limuxvx limevxlnux elimvxlnux 。
为 型，这样利用洛必达法则即可求解。
以上内容即为考研数学考试对该方法的要求，以及考生应该达到的学习的程度。
x 0
lim x lim e
x 0 0
lim x ln x
e
ln x x 0 1 x lim
e
x 0
lim
1 x 1 x2
e x 0
0
lim x
e 0 1.
解析：由题可以很容易判断出为幂指函数求极限中 0 型，之后经对数恒等式可以转化
x
一般地，形如函数 y x 叫作幂函数，其中 x 是自变量； 设 u x 、vx 是定义在区域 D 上的两个函数， 形如 y u x 区域 D 上的幂指函数。 2、对数法求幂指函数 在对幂指函数求解极限的过程中，一般第一步我们需要对幂指函数进行变形，这一步 变形我们称为对数恒等式变换，经过这一步，就可以简化幂指函数求极限的运算过程，具 体如下。 对 幂 指 函 数 y u x
一般选择利用重要极限 x 0
lim 1 x x e
1
推导出来的式子：
lim u x
。
vx
lim e v x ln u x e lim v x ln u x e lim v x ln 1 u x 1 e lim v x u x 1
考研数学单侧极限和夹逼定理的知识点
考研数学单侧极限和夹逼定理的知识点考研数学单侧极限和夹逼定理的知识点1为什么会有单侧极限这种极限计算方法，是因为在x→∞，x→a包括x→+∞和x→-∞，x→a+和x→a-，而不同的趋近，极限趋近值也不相同，因此需要分别计算左右极限，根据极限的充要条件来判断极限是否存在，那么在极限计算中出现哪些“信号”是要分左右极限计算呢?第一：e∞,arctan∞,因为x趋近于+∞，e∞→+∞，arctan∞→π/2，x趋近于-∞，e∞→0，arctan∞→-π/2;第二：绝对值;第三：分段函数在分段点处的极限。
有个这几条我们就可以在计算极限时知道什么情况下分左右极限计算，什么时候正常计算。
夹逼定理分为函数极限的夹逼定理和数列极限的夹逼定理。
要明确夹逼定理是将极限计算出来的方法，而不是用来判断极限是不是存在，以数列极限为例，即n→∞，yn→?，若存在n>0，当n>n时，找到xn，zn，且xn→a，zn→b，a≠b，则不能说明yn极限不存在，函数极限也是一样的。
这一点一定要注意，防止理解偏差。
单调有界收敛定理主要应用是解决数列极限计算问题，一般情况下，题目的类型是固定的，例如：已知x1=a,xn=f(xn-1)，n=1,2,.....，求数列{xn}的极限。
当看到这种类型的题目，我们要先知道可以应用于单调有界收敛定理来证明，也就是要证明两点，第一：证明数列有界;第二：证明数列单调。
综合以上两点就可以依据该定理证明数列极限存在，再将xn=f(xn-1)两边同时取极限，即可以得到数列极限的值。
上述几种方法原理比较简单，但是需要同学们在做题目中多去总结，掌握其具体的解题思路，也要将知识点和不同类型的题目建立联系，拓宽自己的解题能力。
很多同学都会有这样的感觉，为什么我就是想不到这样解题呢?像这样的'问题在现阶段出现是正常的，因为我们要通过复习来解决问题，所以我们只要认真对待就可以了，首先接受这种方法，然后理解这种方法，最后看看这个解题思路跟题目中的哪个条件是紧密联系在一起的，弄清楚并记住，下次如果做题时遇到了这个条件，我们是不是就可以尝试的做做，时间久了自然而然的就有了自己的解题思路。
考研数学高数公式：函数与极限解读
考研数学高数公式:函数与极限第一章:函数与极限第一节:函数函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。
基础阶段:1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系;2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式;3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质;4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题;强化阶段:1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示;2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。
冲刺阶段:1.综合应用函数解决相关的问题;2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。
第二节:极限极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。
在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。
虽在考试中站的分值不大。
但是在其他的试题中得到广泛应用。
因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果基础阶段1.了解极限的概念及其主要的性质。
2.会计算一些简单的极限。
3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。
强化阶段:1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列极限和函数极限的概念(数三;▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式;3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数;4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。
冲刺阶段:深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。
考研数学：两个重要极限
n n 1 (n n 1) 1 n 1 n n 1 1 1+ 2 n 1! n 2! n n! n n n 1 1 n n 1 (n n 1) 1 2 n; 2! n n! n 11
1+1 1 xn 1 1 n 1
版权所有
翻印究
考研数学：两个重要极限
高等数学中两个重要极限指的是：
1 sin x lim 1 lim 1 e x x 0 x x 和 .
对于其重要性在这里不多加累述,这篇文章主要介绍两个重要极限的证明.
x
sin x 1 首先证明 x 0 x . lim
分析： 求极限的主体思想代入不能用,四则运算也不适用,只能运用求极限的另一个重要 方法夹逼准则.
显然数列
xn 有界，根据单调有界数列必有极限，可证得数列 xn 的极限存在，令
n
1 lim 1 e. n n 极限 1 1 1 1 1 1 n 1 x 1 n 又可设 n x n 1 ，易得
1 lim 1 e. n n
版权所有 再令 x (t 1) ，可知 x 时，t , 从而
翻印必究
1 1 lim 1 lim 1 x t x t 1
x
( t 1)
/
x x
版权所有 翻印必究 有界数列必有极限）来证明极限存在,再利用夹逼准则来求出极限. 证 首先考虑 x 取正整数 n 即趋于 的情形.
n
1 xn 1 n ，则 设 1 xn 1 n
n 二项式定理
考研数学：求极限的16种方法1500字
考研数学：求极限的16种方法1500字极限是数学中的重要概念，是解析数学中很多问题的基础。
求极限的方法有很多种，下面就介绍一下求极限的16种常用方法。
1. 直接代入法：对于某个函数在某个点的极限，如果可以直接将极限点代入函数中计算出极限值，则可以使用直接代入法。
2. 连续性法则：如果一个函数在某个点处连续，那么该点的极限值就是函数在该点的函数值。
3. 无穷小量的性质：利用无穷小量的性质对极限进行求解，例如利用已知的极限，对函数进行分子分母的化简、展开等操作。
4. 夹逼法：当一个函数夹在两个函数之间时，利用两个函数的极限值可以求出该函数的极限值。
5. 单调有界原理：对于单调有界的函数，可以通过证明上下确界得到极限值。
6. 极限的四则运算法则：对于两个函数的极限，可以利用四则运算法则求出其和、差、积、商的极限。
7. 换元法：通过对函数进行变量替换，将原来的极限问题转化为更简单的问题求解。
8. 泰勒级数展开法：对于某些函数，可以利用泰勒级数展开的性质，将函数进行级数展开，然后求出极限值。
9. 符号常用极限法：对于一些特殊的函数，例如正弦函数、指数函数等，可以通过符号常用极限值来求出其极限。
10. 隐函数极限法：对于隐函数的极限问题，需要通过隐函数求导的方式来求出极限值。
11. 单调列法：对于一个递增（递减）且有上（下）界的序列，可以通过极限的单调列法求出极限。
12. Stolz定理：当一个数列为无穷大与无穷小的极限的商时，可以利用Stolz定理求出极限。
13. 递推法：对于递归定义的数列，可以通过递推的方式求出极限。
14. 分部积分法：对于一些函数的积分，可以通过分部积分法转化为极限问题求解。
15. L'Hospital法则：对于一些不定型的极限问题，可以通过L'Hospital法则来求出其极限。
16. 堪培拉法则：对于一些含有多个变量的函数，可以利用堪培拉法则求出其极限。
以上是求解极限的16种常用方法，掌握这些方法可以更好地应对极限求解问题。
2023年考研数学备考知识点内容：求极限的方法汇总
2023年考研数学备考知识点内容：求极限的方法汇总1.极限分为一般极限，还有个数列极限区别在于数列极限是发散的，是一般极限的一种。
2.解决极限的方法如下〔1〕等价无穷小的转化，〔只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限仍然存在〕e的X次方-1或者〔1+x〕的a次方-1等价于Ax 等等。
全部熟记。
〔x趋近无穷的时候复原成无穷小〕〔2〕洛必达法那么〔大题目有时候会有暗示要你使用这个方法〕首先他的使用有严格的使用前提。
必须是X趋近而不是N 趋近。
〔所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件。
还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！〕必须是函数的导数要存在！〔假设告诉你g 〔x〕，没告诉你是否可导，直接用无疑是死路一条〕必须是0比0，无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0。
洛必达法那么分为三种情况〔1〕0比0无穷比无穷时候直接用〔2〕0乘以无穷，无穷减去无穷〔应为无穷大于无穷小成倒数的关系〕所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1中的形式了〔3〕0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方对于〔指数幂数〕方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，〔这就是为什么只有3种形式的原因，ln〔x〕两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候ln〔x〕趋近于0〕3.泰勒公式含有ex的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！ex展开，sinx展开，cos展开，ln〔1+x〕展开对题目简化有很好帮助4.面对无穷大比上无穷大形式的解决方法取大头原那么最大项除分子分母！看上去复杂处理很简单。
5.无穷小与有界函数的处理方法面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！6.夹逼定理主要对付的是数列极限这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
考研数学知识点复习：极限中的“极限”
考研数学知识点复习：极限中的“极限”说到极限应该是我们三大计算中的第一大计算，每年考研真题必出，无论是数一数二数三还是经济类数学，可以出选择题也可以出填空题，更可以出解答题，题目类型不同，分值也不同，4分或者10分，极限的思想也就更是重要之重了，原因就是后来所有的概念都是以极限的形式给出的。
下面，我们就看看极限在基础阶段到底应该掌握到什么程度。
第一，极限的定义。
理解数列极限和函数极限的定义，最好记住其定义。
第二，极限的性质。
唯一性，有界性，保号性和保不等式性要理解，重点理解保号性和保不等式性，在考研真题里面经常考查，而性质的本身并不难理解，关键是在做题目的时候怎么能想到，所以同学们在做题目的时候可以看看什么情况下利用了极限的保号性，例如：题目中有一点的导数大于零或者小于零，或者给定义数值，可以根据这个数值大于零或小于零，像这样的情况，就可以写出这一点的导数定义，利用极限的保号性，得出相应的结论，切记要根据题目要求来判断是否需要，但首先要有这样的思路，希望同学们在做题时多去总结。
第三，极限的计算。
这一部分是重中之重，这也是三大计算中的第一大计算，每年必考的题目，所以需要同学们能够熟练地掌握并会计算不同类型的极限计算。
首先要知道基本的极限的计算方法，比如：四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、重要极限、单侧极限、夹逼定理、单调有界收敛定理，除此之外还要泰勒展开，利用定积分定义求极限。
其次还要掌握每一种极限计算的注意事项及拓展，比如：四则运算中掌握“抓大头”思想(两个多项式商的极限，是无穷比无穷形式的，分别抓分子和分母的最高次计算结果即可)，等价无穷小替换中要掌握等价无穷小替换只能在乘除法中直接应用，加减法中不能直接应用，如需应用必须加附加条件，计算中要掌握基本的等价无穷小替换公式和其推广及凑形式，进一步说就是第一要熟练掌握基本公式，第二要知道怎么推广，也就是将等价无穷小替换公式中的x用f(x)来替换，并且要验证在x趋于某一变化过程中f(x)会否趋近于零，满足则可以利用推广后的等价无穷替换公式，否则不能。
2023考研高等数学全考点精讲-第二讲 极限部分
第二讲 极限部分【考试要求】1.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.2.掌握极限的性质及四则运算法则.3.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.4.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.考点：极限的定义1.数列极限的定义及存在的充要条件{}{}{}0,,.,lim ;,.,n n n n n n n n N n N x a a x n x a x a a x x a N x a x εεεεεε→∞>>-<→∞=-<(1)定义中的是衡量必须且只需可以任意足够小；(2)定义中的正整数如果对于任意给定的总存在正整数当时,恒有成立则称常数是数列在时的极限,或称数列收敛于记为如果不存在这样的常数则称数列发散与无限接近的一个标准所以是保证不等式成立的分界点,它随的给定而选定；(3)数列注:定义1{}{},n n x 是否有极限如果有极限其极限值为多少,跟的前有限项无关.{}1,0,,, ;0,,, 1,,.n n n n n x a N N n N x x a N N n N x a c c m N N N n N x a mεεεε++++⎡⎤⎣⎦>∈>-<>∈>-<∈∈>-<例下列关于数列的极限是的定义哪些是对的,哪些是错的？说明理由.(1)对于任意给定的存在当时,有无穷多项使不等式成立(2)对于任意给定的存在当时,不等式成立其中为某个正常数；(3)对于任意给定的存在当时,不等式成立2lim 0,lim ,n n n n u a u a →∞→∞=≠=⎡⎤⎣⎦例若证明并举例说明反之不对.{}{}{}n n n x x x 在数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原来数列中的先后次序,这样得到的一个数列称为原数列的子数列（或子列）.定义2{}{}{},,.,n n n x a a x x 如果数列收敛于那么它的任一子列也收敛且极限也是若数列的某子列发散或某两个子列极限值不相等则数列发散.定理1注:221lim lim lim .n n n n n n x A x x A -→∞→∞→∞=⇔==定理2{}()()()()2212213313312015,____.lim ,lim lim lim lim ,lim lim ,lim lim lim lim ,lim n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x A x a x x aB x x a x aC x a x x aD x x a x a -→∞→∞→∞-→∞→∞→∞-→∞→∞→∞-→∞→∞→∞⎡⎤⎣⎦============例2,数三设是数列则下列不正确的是若则若则若则若则()11lim ____.nn n n -→∞+⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭例32.函数极限的定义()()()()()()000000,0,0,lim .lim .x x x x x x x f x a a f x x x f x a f x x f x f x x εδδε→→>><-<-<→=如果对于任意给定的总存在当满足时,恒有成立则称常数是在时的极限,记为在处的极限是否存在与在处是否有定义无关定义3注:()()()()()000lim lim .lim lim lim .x x x x x x x x x x x x x x f x f x f x A f x f x A -+-+-+→→→→→→→=⇔==类似可定义和时的和单侧极限定理1()()1,040,0,:0.1,0x x f x x x f x x x -<⎧⎪==→⎡⎤⎨⎣⎦⎪+>⎩例设证明当时的极限不存在()()()0,0,lim .x X x x X f x a a f x x f x a εε→∞>>>-<→∞=如果对于任意给定的总存在当满足时,恒有成立，则称常数是在时的极限,记为定义3()()()()()lim lim .lim lim lim .x x x x x x x f x f x f x A f x f x A →+∞→-∞→∞→+∞→-∞→+∞→-∞=⇔==类似可定义和时的和单侧极限定理225____,____lim arctan .2x ax xa b x bx x π→∞+===-⎡⎤⎣⎦-例当时,有()()011110112sin lim lim lim ,0arctan arctan ,arctan 211limarctan limarctan 2.1x xx x x x x xe e e xe e x x ππ∞+∞-∞→-→→→→→+∞→∞+=--∞∞=-需要分别考察左右极限的情形有（即何时使型型 用定理与定理）(1)分段函数的分段点处（包含带有绝对值的情形）；如；(2)；如和；(3)如和；总结:()()()()12116112 0 x x x e x A B C D --→⎡⎤⎣⎦-∞∞例当时,函数的极限____.等于等于为不存在但不为考点：极限的性质 1.数列极限的性质{},.n x 如果数列收敛那么它的极限唯一性质1（唯一性）{}{},.n n x x 如果数列收敛那么数列一定有界性质2（有界性）lim 00,,, 00.lim ,,,n n n n n n x a N n N x x a b b N n N x b b →∞→∞=><>><=><>><如果（或）那么存在正整数当时有（）如果（）那么存在正整数当时都有（）.性质3（局部保号性）注:2.函数极限的性质()lim ,.f x 如果存在那么这极限唯一性质1（唯一性）()()0000lim ,.,x x f x x x f x x x x x x →+→→→→∞如果存在那么当时,有界可以改成其他方式如,等,结论也对应改之即可, 下面的保号性也一样.性质2（局部有界性）注:()()()()000lim 00,00.lim ,.x x x x f x a x x f x f x a b b x x f x b b →→=><→><=><→><如果（或）那么当时,（）如果（或）那么当时,（）性质3（局部保号性）注:()()()()()()()()31110,lim 2,1____.1x f x f f x x x A B C D →''===⎡⎤⎣⎦-例设且则在处不取极值取极大值取极小值是否取极值无法确定3.函数与数列极限的关系（归结原则、海涅定理）()(){}{}{}{}()(){}{}{}{}{}{}()00000lim ,,lim lim .lim lim lim ,lim .n n x x x n n n x x x n n n n n n n n n x x f x x x x x f x f x f x x x f x x x y f x f y f x →→∞→∞→→∞→∞→∞→∞→→∞=如果存在则对任一收敛于但又不等于的数列（或）其所对应的函数值数列必收敛,且若存在某收敛于数列使不存在或存在某两个收敛于数列和使和不相等则不存在注:012limsin x x→⎡⎤⎣⎦例证明不存在.ln 3lim .n n n →∞⎡⎤⎣⎦例求考点：无穷小与无穷大 1.无穷小的定义()()0000,,f x x x f x x x x x x x x +→→→→→∞如果在时极限为零,那么称为时的无穷小,当然,这里的可以是其他情形如等.定义1(1)有限个无穷小的和仍是无穷小；(2)有限个无穷小的积仍是无穷小；(3)有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小.注:()()lim ,.f x A f x A αα=⇔=+其中是无穷小定理1(无穷小与极限的关系）()323112007lim sin cos ____.2x x x x x x x →+∞+++=⎡⎤⎣⎦+例（数三）2.无穷小的比较lim 0,lim 0,0lim0,2lim 0,3lim 1,4lim 0,.k o c c k αβαββαβααββααββααβαββαα==≠===≠==≠设且（1）若则称是比的高阶无穷小,记为（）；（）若则称与是同阶无穷小；（）若则称与是等阶无穷小,记为；（）若则称是的阶无穷小12,3,,.αααββααββγαγ等价无穷小具有以下性质（）（自反性）；（）（对称性）若则；（）（传递性）若则注:()()()()()()()()()()()()()222232235235222,.0;2.x o x o x o x o x o x o x x o x o x o x o x o x o x o x →⎡⎤⎣⎦±=±=⋅=⋅==例判断下列等式是否正确并说明理由（）（1）；（2）（3）；（4）；（5）()()()()()()()()()3232,0.x xf x x A f x x B f x x C f x x D f x x =+-→⎡⎤⎣⎦例设则当时,有____与是等价无穷小与同价但非等价无穷小是比高阶的无穷小是比低阶的无穷小3.无穷大的定义()()()00,00,0,,M X x x x X x f x f x M f x x x x δδ>><-<>>→→∞如果对于任意给定的正数（不论它多么大）总存在（或）对适合（或）的一切对应的函数值总满足那么称是（或）时的无穷大.定义2ln !,,0, 1.nn n nn a n n a αβαβ→∞∀>>时,有其中注:()()()()(),1,10,.f x f x f x f x f x ≠在自变量的同一变化过程中如果为无穷大那么为无穷小;反之,如果为无穷小,且那么为无穷大定理2(无穷小与无穷小的关系）4.无穷大与无界的关系()00.x x x x f x M x x x x →→∞⇒⎧>∀⎨→→∞⇒⎩要求或的一切这是无穷大对成立要求或的某一这是无界()114sin 0,10x x x+→⎡⎤⎣⎦例证明函数在内无界,但时这函数不是无穷大.()5cos ,y x x x =-∞+∞→+∞⎡⎤⎣⎦例函数在内是否有界？这函数是否为时的无穷大？考点:极限的四则运算法则()()()()()()()()()()()()()()()lim ,lim ,lim lim lim lim lim lim lim lim 0.lim f x A g x B f x g x f x g x A B f x g x f x g x A B f x f x A B g x g x B ==±=±=±⎡⎤⎣⎦=⋅=⋅⎡⎤⎣⎦==≠如果那么数列对应有以上运算法则.定理1注:()()()()()()()()()()()()()()()()1,,1lim ,lim lim 2lim lim lim 3lim lim lim 4lim lim lim f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x ⎡⎤⎣⎦±⎡⎤⎣⎦±⎡⎤⎣⎦⋅⎡⎤⎣⎦⋅⎡⎤⎣⎦例下列陈述中哪些是对的哪些是错的？（）如果存在但不存在,那么不存在；（）如果和都不存在,那么不存在；（）如果存在,但不存在,那么不存在；（）如果和都不存在,那么不存在.32212lim .53x x x x →-⎡⎤⎣⎦-+例求)3223233103342 31lim2lim.09753133lim4lim.11x xx xx x xx x xx xx x→→∞→+∞→-∞++⎡⎤⎣⎦-∞+-⎛⎫⋅∞∞-∞-⎪--⎝⎭例求（）（型）；（）（型）（）（0型）；（）（型）()()()()()()()()4:1lim,lim0,lim0,2lim0,lim0,lim0.f xA g x f xg xf xA f x g xg x===⎡⎤⎣⎦=≠==例证明（）若且则（）若且则考点:极限存在准则1.夹逼准则{}{}{}{}10,,2lim lim .lim .n n n n n n n n n n n n n x y z N n N x y z x z a y y a →∞→∞→∞∃>>≤≤===如果数列,,满足以下条件:（）从某项起,即当时有；（）则数列有极限,且函数对应有以上夹逼准则.注:01:lim 1.x x x +→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦例1证明222111:lim 1.2n n n n n n πππ→∞⎛⎫+++=⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭例2证明12,,,,0.n m m n a a a a ++≥⎡⎤⎣⎦例3求其中2.单调有界准则{}{},lim ,lim n n n n n n x x x x →∞→∞若数列单调增加且有上界,则极限存在；若数列单调减少且有下界,则极限存在.函数对应有以上单调有界准则.注:{}11112,1,2,.2n n n n x x x n x x +⎛⎫==+=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭例4设（）,证明数列有极限{}11342,1,2,.1n n n nx x x n x x ++===⎡⎤⎣⎦+例5设（）,证明:数列有极限{}116,sin 1,2,,.n n n x x xn x π+<<==⎡⎤⎣⎦例设0（）证明:数列有极限考点:用等价无穷小求极限1.常用的等价无穷小()()()21.0sin arcsin tan arctan ln 1111cos ,1ln ,11.22.,,,0.x x m n m x xx x x x e x x x a x a x x o x x x m n x ααβαβααβα→---+-=±→±<时,；若即是的高阶无穷小则特别地时,（）+2.等价无穷小替换原则111111,,lim lim lim lim .ββββααββαααα===若则30sin 1lim .3x x x x→⎡⎤⎣⎦+例求极限tan 302lim ____.x xx e e x→-=⎡⎤⎣⎦例20ln cos 3lim ____.x x x→=⎡⎤⎣⎦例4x →⎡⎤⎣⎦例求极限215lim ln 1.x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦例求极限()2032sin 36lim .tan xxx x x →+-⎡⎤⎣⎦例求极限考点:幂指函数的极限()()()()()()()()000000,lim ,,lim lim .x x x x x x y f g x y f u u g x g x u y f u u u f g x f g x f u →→→====⎡⎤⎣⎦⎡⎤====⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦设是由与复合而成若而函数在连续则定理1)1limsin .n n n →∞⎡⎤⎣⎦例求()()()()()()lim lim 0,lim ,lim lim .v x v x b u x a v x b u x u x a =>===若则定理2（幂指函数极限运算法则）()()()20cos ,02,lim ____.2,0x x x x f x f x a x π-→⎧<<⎪==⎡⎤⎨⎣⎦⎪=⎩例设则1000lim ____; lim ____;1 lim 1____.x xx x x x x x x +→+∞→∞→∞=∞=⎡⎤⎣⎦⎛⎫+= ⎪⎝⎭例3(1)（0型）(2)（型）(3)（1型）tan4lim____.xx+→=⎡⎤⎣⎦例()()()()()()()1tan251,,lim,lim1,lim,,0lim sin.3v x Ax x x xxx xu x v x u x e A v x u xa b ca b c xπ→→→→∞==-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎛⎫++>⎪⎝⎭例设证明:其中并用此公式计算（）和。
1_2_3 极限的性质与运算 高等数学 微积分 考研数学
再利用后一极限式 , 得
可见
3 lim f (x) lim (a b)
x0 x
x0
x
故
Page 18
型
,
约去公因子
3) x 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”
(2) 复合函数极限求法
设中间变量
Page 15
思考及练习
1.
问
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由 利用极限四则运算法则可知 矛盾.
存在 , 与已知条件
2.
解:
原式
lim
n
n (n 1) 2n2
lim 1 (1 n 2
Page 6
定理 4 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 且 B≠0 , 则有
证: 因 lim f (x) A, lim g(x) B , 有
f x A , gx B Bf x Ag x Bg x
Bf x AB AB Ag x
x1
2
Page 14
内容小结
1. 极限运算法则 Th1 Th2 Th3 Th4 Th5 Th7
(1) 函数极限法则
(2) 极限四则运算法则
注意使用条件
(3) 复合函数极限运算法则
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法
1) x x0 时, 用代入法 ( 分母不为 0 )
2)
x
x0
时,
对
0 0
0 (x) a u a
故
f (u) A , 因此①式成立Page. 12
定理6. 设
且 x 满足
时,
(x) a , 又 lim f (u) A, 则有 ua
考研数学极限知识点总结
考研数学极限知识点总结一、数列极限1. 数列的概念数列是由一列数按照一定的规律排列组成的数集，用{an}或an来表示。
其中，an为数列的第n个元素。
2. 数列极限的定义对于一个数列{an}，如果存在一个常数a，当n趋于无穷大时，数列的元素an无限地接近于a，那么称a为数列{an}的极限，记作lim(n→∞)an=a。
即对于任意正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有|an−a|<ε。
3. 数列极限存在的判别法（1）夹逼定理：如果数列{an}、{bn}、{cn}满足an≤bn≤cn，且lim(n→∞)an=lim(n→∞)cn=a，那么必有lim(n→∞)bn=a。
（2）单调有界准则：如果数列{an}单调增加且有上界（或单调减少且有下界），那么该数列收敛。
4. 收敛数列的性质（1）收敛数列的极限唯一。
（2）收敛数列的有界性：收敛数列必有界，即存在正数M，使得|an|≤M。
（3）子数列的极限：如果数列{an}的极限为a，那么{an}的任意子数列也收敛且极限为a。
5. 重要极限（1）正整数幂极限：l im(n→∞)(1+1/n)n=e。
（2）调和数列极限：lim(n→∞)1/nlnn=0。
（3）几何数列极限：当−1<l<1时，lim(n→∞)ln=0。
二、函数极限1. 函数极限的概念设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意的ε>0，总存在δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称当x趋于x0时，函数f(x)的极限为A，记作lim(x→x0)f(x)=A。
2. 函数极限性质（1）函数极限的唯一性：如果lim(x→x0)f(x)存在，则其极限唯一。
（2）两函数之和的极限：lim(x→x0)(f(x)+g(x))=lim(x→x0)f(x)+lim(x→x0)g(x)。
（3）函数与常数的乘积的极限：lim(x→x0)c⋅f(x)=c⋅lim(x→x0)f(x)。
考研必看考研数学基础知识点梳理(高数篇)
考研数学基础知识点梳理(高数篇) 第一章函数、极限与连续1、函数的有界性2、极限的定义(数列、函数)3、极限的性质(有界性、保号性)4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理)5、函数的连续性6、间断点的类型7、渐近线的计算第二章导数与微分1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数)2、导数的计算(“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表;“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程;高阶导数)3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二)) 第三章中值定理1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存在定理)2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西)3、积分中值定理4、泰勒中值定理5、费马引理第四章一元函数积分学1、原函数与不定积分的定义2、不定积分的计算(变量代换、分部积分)3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二))4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理)5、定积分的计算6、定积分的应用(几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积(数一、二)，物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力)7、变限积分(求导)8、广义积分(收敛性的判断、计算)第五章空间解析几何(数一)1、向量的运算(加减、数乘、数量积、向量积)2、直线与平面的方程及其关系3、各种曲面方程(旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法第六章多元函数微分学1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系3、多元函数偏导数的计算(重点)4、方向导数与梯度5、多元函数的极值(无条件极值和条件极值)6、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线第七章多元函数积分学(除二重积分外，数一)1、二重积分的计算(对称性(奇偶、轮换)、极坐标、积分次序的选择)2、三重积分的计算(“先一后二”、“先二后一”、球坐标)3、第一、二类曲线积分、第一、二类曲面积分的计算及对称性(主要关注不带方向的积分)4、格林公式(重点)(直接用(不满足条件时的处理：“补线”、“挖洞”)，积分与路径无关，二元函数的全微分)5、高斯公式(重点)(不满足条件时的处理(类似格林公式))6、斯托克斯公式(要求低;何时用：计算第二类曲线积分，曲线不易参数化，常表示为两曲面的交线)7、场论初步(散度、旋度)第八章微分方程1、各类微分方程(可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程(数一、二)、全微分方程(数一)、可降阶的高阶微分方程(数一、二)、高阶线性微分方程、欧拉方程(数一)、差分方程(数三))的求解2、线性微分方程解的性质(叠加原理、解的结构)3、应用(由几何及物理背景列方程)第九章级数(数一、数三)1、收敛级数的性质(必要条件、线性运算、“加括号”、“有限项”)2、正项级数的判别法(比较、比值、根值，p级数与推广的p级数)3、交错级数的莱布尼兹判别法4、绝对收敛与条件收敛5、幂级数的收敛半径与收敛域6、幂级数的求和与展开7、傅里叶级数(函数展开成傅里叶级数，狄利克雷定理)。
考研数学-专题1-2-求极限的方法和技巧
n
=
________ .
[1] 1 − 2a
1
1
1
【例 4】 lim( a x + b x + c x )x ，其中 a > 0, b > 0, c > 0.
x→∞
3
⎡
1
1
1
⎤x
【解】原式 =
lim
→∞
⎢⎢1
+
ax
+
bx + 3
cx
方法 3 利用等价无穷小代换求极限
1.等价无穷小代换的原则 1）乘、除关系可以换；
若α
~ α1,β
~
β1
,
则
lim
α β
= lim α1 . β1
2）加、减关系在一定条件下可以换；
(1)
若α
~ α1, β
~
β
1
,
且
lim
α1 β1
=
A ≠ 1. 则α
−β
~ α1 − β1.
(2)
若α
~ α1,β
~
β1,
（B）仅有一个跳跃间断点；
（C）有两个可去间断点；
（D）有两个跳跃间断点；
答案
1.1;
β 2 −α 2
n ( n +1)
2.(D); 3. − 2; 4. e 2 ；5. e 2 6.（B）; 7.(D).
方法 2 利用有理运算法则求极限
若 lim f (x) = A, lim g(x) = B ,则
4.
lxi→m0⎜⎜⎝⎛
1 1
+ +
sin sin
396数学函数极限详细知识点
396数学函数极限详细知识点一、拉格朗日中值定理与积分中值定理1.拉格朗日中值定理：在计算函数极限时，若极限式中出现相同类型式子的作差，形如f(x) - f(a)，考虑使用拉格朗日中值定理。
定理指出，在a 和b 之间存在一个点c，使得f"(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
2.积分中值定理：在计算函数极限时，若极限式中出现变限积分且上下限均为变量，考虑使用积分中值定理。
积分中值定理指出，在积分区间[a, b]上存在一个点c，使得∫[a, b]f(x)dx = f(c) * (b - a)。
3.应用场景及注意事项：在使用这两个定理之前，一般是泰勒公式无法使用；洛必达法能使用，但求导后的极限式过于复杂，不利于求其极限。
最后，由于极限式中出现了，而其介于a、b 之间，所以会涉及夹逼准则这块内容。
若有关的极限式在使用夹逼准则时失效，则表明这两个方法不能使用，需另谋他法（回归到原来的方法，如洛必达法则和泰勒公式）。
二、函数极限求解方法1.极限四则运算法则：在求解极限时，可运用极限的四则运算法则，如加法、减法、乘法、除法等。
2.等价无穷小替换：将极限式中的某一部分替换为等价无穷小，从而简化求解过程。
3.抓大头：在求解极限时，关注极限式中的主要部分，忽略次要部分。
4.恒等变形-根式有理化：通过对极限式进行恒等变形，将有理化根式转化为无理化根式，从而简化求解过程。
5.三角函数公式：利用三角函数的公式，将复杂极限式转化为简单极限式。
6.指数对数变形公式：利用指数对数公式，将极限式进行变形，从而简化求解过程。
三、考研数学第一章函数与极限考纲要求1.函数概念与表示方法：了解函数的定义及表示方法，会建立应用问题中的函数关系。
2.函数性质（有界性、单调性、周期性、奇偶性）：了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3.复合函数与分段函数：理解复合函数和分段函数的概念，了解反函数和隐函数的概念。
考研数学-函数与极限
题型1 函数的性质一、基础知识例1.判别函数ln(y x =的奇偶性. 【答案】 ()()0f x f x +-=,奇函数.例2.在(,)-∞+∞内函数22(1)()1x f x x+=+为 【D 】 (A)奇函数. (B)偶函数. (C)无界函数. (D)有界函数. 例3.(04－34)函数2sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界 【A 】(A)(1,0)-. (B)(0,1). (C)(1,2). (D)(2,3). 练习1.设sin ()tan xf x x xe=，则()f x 是 【C 】(A) 偶函数. (B)周期函数. (C)无界函数. (D)单调函数.题型2 数列的极限二、例题 (1) 考查定义例1.下列命题中正确的是 【D 】(A)当n 越大时,n u A -越小,则{}n u 必以A 为极限 (B) 当n 越大时,n u A -越接近于零,则{}n u 必以A 为极限(C)0,0,N ε∀>∃>当n N >时,有无穷项满足n u A ε-<,则{}n u 必以A 为极限 (D) 0,0,N ε∀>∃>当n N >时,仅有有限多项不满足n u A ε-<,则{}n u 必以A 为极限 (2)利用“单调有界准则”证明极限存在,求递归数列的极限例2.(022)设103x <<,1n x +=(1,2,)n =,证明数列{}n x 的极限存在,并求此极限.【答案】32例3 (06-12-12分)设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==. (Ⅰ)证明lim n x x →∞存在,并求该极限 .(Ⅱ)计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【答案】0,16e - 练习1.设1211112,2,,2,n nx x x x x +==-=-证明数列{}n x 的极限存在,并求此极限. 【答案】 12.的极限存在,并求此极限.【答案】23.(96-1)设110,x=1nx+=(1,2,)n =,试证数列{}n x的极限存在,并求此极限.【答案】3（3）利用“夹逼准则”与“定积分的定义”求n项和的极限例4.(04-2)lim ln(1)n n→∞+【B】（A）221ln xdx⎰. （B）212ln xdx⎰. （C）212ln(1)x dx+⎰. （D）221ln(1)x dx+⎰.例5. （98-1）求2sin sin sin lim()1112nn nn n nnπππ→∞++++++. 【答案】2π.练习1.(02-2)1lim 1cosn n→∞+=π.2.(99-4)设函数()(0,1),xf x a a a=>≠则21lim ln[(1)(2)()]nf f f nn→∞=1ln2a.题型3 函数的极限(**)ln ,x a ,x x n．起到简化运算的作用(一) 考查定义、性质、定理例1.设0lim ()lim ()x x x x f x g x →→与都不存在,则 【D 】(A)0lim[()()]x x f x g x →+一定不存在.(B) 0lim[()()]x x f x g x →－一定不存在.(C)当0lim[()()]x x f x g x →+与0lim[()()]x x f x g x →－有一个存在，则另一个一定存在.(D)0lim[()()]x x f x g x →+与0lim[()()]x x f x g x →－都有可能存在.例2．设0x x →时，()f x 不是无穷大，则下述结论正确的是 【D 】 (A)若()g x 是无穷小，则()()f x g x 必是无穷小. (B) 若()g x 不是无穷小，则()()f x g x 必不是无穷小. (C)若在0x x =的邻域内()g x 无界，则()()f x g x 必是无穷大. (D) 若在0x x =的邻域内()g x 有界，则()()f x g x 必不是无穷大. （二）0,00∞∞-∞⋅∞∞，，型未定式极限例3.(07-2) 30arctan sin limx x x x →-=16-. 例4.(07-34)3231lim(sin cos )2x x x x x x x →+∞++++=0. 例5.(06-2) 0ln(1)lim1cos x x x x→+-=2.例6.(06-34-7分)设1sin(,),0,01arctan xy yyf x y x y xyxπ-=->>+求（1）()lim (,)y g x f x y →+∞=;（2）0lim ()x g x +→. 【答案】(1) 11()arctan xg x x x π-=-; (2)π. 例7.(05-34) 12sin lim 2+∞→x xx x = 2.例8.011lim()1x x x e x →++-= 12-. 练习1.0lim ln (0)nx x x n +→>=0.2.(99-2)0x →= 12-. 3.(92-1)x x →4.(93-2) lim )x x x →-∞=－50.5.(99-1) 211lim()tan x x x x →-=13. 6.(91-2)1101lim x x xex e+→-+ 1-.（三）幂指函数求极限（001,0,∞∞）例9.（06-34）()11lim nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭1.例10.（04-2-10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【答案】16-例11. (90-1)设a 是非零常数,则lim()xx x a x a→∞+-2a e . 练习1.(03-1) 21ln(1)lim cos x x x+→=12e -.2.tan 0lim(arcsin )xx x +→=1.3.1ln 0lim(cot )xx x +→= 1e -.(四)无穷小阶的比较例12.(07-1234)当0x +→等价的无穷小量是【B 】(A)1-(B) ln(1.(C) 1. (D) 1-例13.(04-12)把0x +→时的无穷小2cos xt dt α=⎰,2x β=⎰,30t dt γ=排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是 【B 】(A),,αβγ. (B),,αγβ. (C),,βαγ. (D),,βγα.练习1.(97-3)设561cos 2()sin ,()56xx x f x t dt g x -==+⎰,则当0x →时,()()f x g x 是的 【C 】(A)同阶非等价. (B)等价无穷小. (C)高阶无穷小. (D)低阶无穷小.2.(97-4) 设(),()f x x ϕ在点0x =的某邻域内连续,且当0x →时,()()f x x ϕ是的高阶无穷小,则当0x →时,()sin xf t tdt ⎰是0()xt t dt ϕ⎰的 【C 】(A)同阶非等价. (B)等价无穷小. (C)高阶无穷小. (D)低阶无穷小. （五）由无穷小量阶的比较确定未知量的值例14.（05-2）已知当0x →时,2()x kx α=与()x β=是等价无穷小,则常数k =34． 例15. (02-1)设函数()f x 在0x =的某邻域内具有一阶连续函数,且(0)0f ≠,'(0)0f ≠,若()(2)(0)af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小,试确定,a b 的值.【答案】2,1a b ==- 方法一:导数定义 方法二:连续函数在一点的极限可直接代值 方法三:泰勒定理例16. (06-24)试确定常数,,A B C 的值，使得23(1)1()xe Bx Cx Ax O x ++=++，其中3()O x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.【答案】121,,336A B C ==-= 练习1. (91-1)已知当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =32-．。
2022考研数学讲解之求极限的11种方法
例 13
求极限
ax ax 2
lim
,
x0
x2
(a 0).
【解】 a x e x ln a 1 x ln a x 2 ln 2 a ( x 2 ) , 2
a x 1 x ln a x 2 ln 2 a ( x2 ) ; 2
a x a x 2 x 2 ln 2 a ( x 2 ).
（Ⅰ）证明
lim
n
xn
存在，并求该极限；
1
（Ⅱ）计算
lim
n
xn1 xn
xn2
.
【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列
极限的存在.
【详解】 （Ⅰ）因为 0 x1 ，则 0 x2 sin x1 1 .
可推得 0 xn1 sin xn 1 , n 1, 2,，则数列xn 有界.
2
例 8：求极限 lim sin x x x0 tan3 x
【解】 lim sin x x
lim sin x x
lim
cos x 1 lim
1 2
x2
1
x0 tan3 x x0
x3
x0 3x 2
x0 3x 2
6
6．用罗必塔法则求极限
例 9：求极限 lim ln cos 2x ln(1 sin 2 x)
1 cosx ~ 1 x2 , 1 axb 1 ~ abx ；
2 (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因．式．；
(3)此方法在各种求极限的方法中应．作．为．首．选．。
例 7：求极限 lim x ln(1 x) x0 1 cos x
【解】
lim x ln(1 x) lim x x 2 . x0 1 cos x x0 1 x2
年考研数学函数与极限解题技巧与方法分享
考研数学函数与极限解题方法总结
解题方法的归纳与总结
极限的定义和性质：理解极限的概念，掌握极限的性质和运算法则
极限的计算方法：掌握极限的计算方法，如洛必达法则、泰勒公式等
函数的连续性：理解函数的连续性，掌握连续函数的性质和运算法则
导数的定义和性质：理解导数的概念，掌握导数的性质和运算法则
添加标题
导数与积分的关系：导数是积分的基础，积分是导数的推广
添加标题
导数在函数与极限中的应用：通过求导，可以找到函数的极值点，从而求解极限问题
添加标题
积分在函数与极限中的应用：通过积分，可以求解一些复杂的极限问题，如无穷小量、无穷大量等
添加标题
函数与极限的应用题解题技巧
掌握解题式法：将函数展开为泰勒级数，然后求极限
直接代入法：将函数值代入极限表达式，直接求解
极限的存在性定理
极限的存在性定理与连续性的关系：如果函数在某一点处的极限值存在，那么该点处的函数值也存在，即函数在该点处连续
极限的存在性定理的应用：判断函数在某一点处的极限值是否存在，以及求解极限值
极限的存在性定理：如果函数在某一点处的极限值存在，那么该点处的函数值也存在
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考研数学函数与极限解题技巧与方法分享
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目录
Part One.
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Part Two.
考研数学函数与极限概述
Part Three.
考研数学函数解题技巧
Part Four.
考研数学极限解题技巧
Part Five.
考研数学函数与极限综合解题技巧
Part Six.
极限的应用，如求极值、最值、凹凸性等
Part Three
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2017考研数学极限知识点全解
来源：文都图书
极限是高数中的重要知识点，也是考研数学的重要考点，我们一起来了解一下极限在考研大纲中的相关考点，及其题型等。
一、极限在考研数学中的要求
根据考研大纲，极限需要理解和掌握的是：极限的概念，函数左右极限的概念以及函数极限存在与左右极限的关系，极限的性质及四则运算法则，极限存在的两个准则，利用两个重要极限计算极限的方法，无穷小量、无穷大量的概念，无穷小的比较方法。
要求会求和了解的是：利用极限存在的两个准则求极限，用等价无穷小量求极限。
二、极限是高等数学的基础
1、极限是高数三大基本工具(极限、微分、积分)中最基本的工具，也是微分与积分的基础。
另外高等数学中很多概念都是通过极限来定义的，如连续的概念，导数的概念，定积分的概念以及级数的概念都是通过极限来定义的。
考研数学虽然大多数题目是计算题，但是只记住计算步骤，死记硬背，是万万不行的。
要想考高分，需要对基本概念的理解到位，否则你学的知识就如同浮光掠影，很难取得好成绩。
因此，我们从最基础的极限开始就要学习到位，基本概念理解好，极限计算要熟练，为以下各章节的学习打好基础。
2、考研中的很多题目也间接与极限有联系，尤其是极限的计算一定要过关，因为很多题目的计算都会用到极限的计算。
如判断函数的连续性，找函数的间断点的类型，求渐近线，求函数一点数的导数，级数的敛散性的判别，求幂级数的收敛半径和收敛域，这些问题都会用到极限，如果极限不会求这些题目就无法做出来。
所以考生在复习极限这章的时候一定要到位，计算尤其要过关，否则后患无穷。
三、极限在考研数学中的常见题型
极限这部分不计间接命题，直接命题的分值一般是一道小题(4分)和一道大题(10分左右)，足见本章内容的重要性。
直接命题常见题型：
(1)考查极限的概念，常见于选择题;
(2)求极限式中的未知参数;
(3)直接计算函数的极限;
(4)考查极限的概念，常见于选择题;
(5)利用收敛准则，求数列极限，常见于数一、数二。
(6)结合无穷小的比较考查极限的计算;
上面总结归纳了考研数学极限知识点的相关知识点，并且对题型进行了分析，考生们认真学习吧，希望对你们的备考有帮助，汤家凤编写的《2017考研数学硕士研究生入学考试高等数学辅导讲义》这本书按照考研大纲所编写，并且附有相关练习题，基础、强化、巩固一体，可以好好利用哦，加油。