高中数学常用的数学思想等价转化思想方法及训练习题集

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高中数学常见解题思想方法——思想篇(高三适用)十、转化与化归思想含解析

我们时常会遇到这样一些问题，若要直接解决会较为困难，若通过问题的转化、归类，就会使问题变得简单，这类问题的解决方法就是转化与化归思想，它在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归.转化与化归思想,指的是在研究和解决有关数学问题时，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终使问题得到解决的一种思想。

利用化归与转化的思想可以实现问题的规范化、模式化，以便应用已知的理论、方法和技巧来解决问题.数学解题过程，就是不断转化的过程，不断把问题由陌生转化成熟悉的来解决，几乎所有问题的解决都离不开转化与化归。

在其他的数学思想中明显体现了转化与化归的思想,比如，数形结合思想体现了数与形的相互转化,函数与方程思想体现了函数、方程、不等式等问题之间的相互转化,分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化.一、常见的转化与化归的形式常见的有：陌生问题向熟悉问题的转化，复杂问题向简单问题的转化，不同数学问题之间的互相转化,实际问题向数学问题转化等。

二、常见的转化策略常见的有：正与反的转化、数与形的转化、整体与局部的转化、常量与变量的转化、相等与不等的转化、空间与平面的转化、数学语言之间的转化等。

三、常见的实现转化与化归的方法:1.直接转化法：把原问题直接转化为学过的基本定理、基本公式或基本图形问题.2.换元法：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。

3。

数形结合法，即数与形的转化。

将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决.例如在函数与图象的联系中可以体现出，把繁琐的代数问题转化为直观的几何图形来解决4。

特殊化方法:即特殊与一般的转化，把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的问题、结论适合原问题。

5。

补集法，即正与反的相互转化.当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，正难则反，设法从问题的反面去探讨,使问题获解.6.等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，即原问题的充要条件，达到化归的目的.7。

高中数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解

中学数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解中学数学转化化归思想与逻辑划分思想例题讲解在转化过程中，应遵循三个原则：1、熟识化原则，即将生疏的问题转化为熟识的问题;2、简洁化原则，即将困难问题转化为简洁问题;3、直观化原则，即将抽象总是详细化.策略一：正向向逆向转化一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，假如从下面入手思维受阻，不妨从它的正面动身，逆向思维，往往会另有捷径.例1 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种.A、150B、147C、144D、141分析：本题正面入手，状况困难，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简洁多了.10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选(D).策略二：局部向整体的转化从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较困难的数学问题却须要从总体上去把握事物，不纠缠细微环节，从系统中去分析问题，不单打独斗.例2：一个四面体全部棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为( )A、B、C、D、分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，简洁出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选(A).策略三：未知向已知转化又称类比转化，它是一种培育学问迁移实力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知关键信息，锁定相像性，奇妙进行类比转换，答案就会应运而生.例3：在等差数列中，若，则有等式( 成立，类比上述性质，在等比数列中，，则有等式_________成立.分析：等差数列中，，必有，故有类比等比数列，因为，故成立.二、逻辑划分思想例题1、已知集合A= ，B= ，若B A，求实数a 取值的集合.解A= ：分两种状况探讨(1)B=￠，此时a=0;(2)B为一元集合，B= ，此时又分两种状况探讨：(i) B={-1}，则=-1，a=-1(ii)B={1}，则=1，a=1.(二级分类)综合上述所求集合为.例题2、设函数f(x)=ax -2x+2，对于满意1x4的一切x值都有f(x) 0，求实数a的取值范围.例题3、已知，试比较的大小.于是可以知道解本题必需分类探讨，其划分点为.小结：分类探讨的一般步骤：(1)明确探讨对象及对象的范围P.(即对哪一个参数进行探讨);(2)确定分类标准，将P进行合理分类，标准统一、不重不漏，不越级探讨.;(3)逐类探讨，获得阶段性结果.(化整为零，各个击破);(4)归纳小结，综合得出结论.(主元求并，副元分类作答).十一种数学思想方法总结与详解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。

高考数学专题突破：转化与化归思想试题

高考数学专题打破：转化与化归思想本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一．知识探究：等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。

通过不断的转化，把不熟悉、不标准、复杂的问题转化为熟悉、标准甚至形式法、简单的问题。

1．转化有等价转化与非等价转化。

等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

非等价转化其过程是充分或者必要的，要对结论进展必要的修正〔如无理方程化有理方程要求验根〕，它能带来思维的闪光点，找到解决问题的打破口。

2．常见的转化方法〔1〕直接转化法：把原问题直接转化为根本定理、根本公式或者根本图形问题；〔2〕换元法：运用“换元〞把非HY 形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的根本问题；〔3〕参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵敏性，易于转化；〔4〕构造法：“构造〞一个适宜的数学模型，把问题变为易于解决的问题；〔5〕坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；〔6〕类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；〔7〕特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论合适原问题；〔8〕一般化方法：假设原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进展转化；〔9〕等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，到达转化目的；〔10〕补集法：〔正难那么反〕假设过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集A C U 获得原问题的解决。

3．化归与转化应遵循的根本原那么：〔1〕熟悉化原那么：将生疏的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经历和问题来解决；〔2〕简单化原那么：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，到达解决复杂问题的目的，或者获得某种解题的启示和根据；〔3〕和谐化原那么：化归问题的条件或者结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或者其方法符合人们的思维规律；〔4〕直观化原那么：将比拟抽象的问题转化为比拟直观的问题来解决；〔5〕正难那么反原那么：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

高考数学指南：转化与化归思想在数学答题中的应用（含范例详解）

高考数学指南：转化与化归思想在数学答题中的应用（含范例详解）所谓转化与化归思想，就是将待解决的问题和未解决的问题，采取某种策略，转化归结为一个已经能解决的问题；或者归结为一个熟知的具有确定解决方法和程序的问题；归结为一个比较容易解决的问题，最终求得原问题的解。

一、转化与化归思想的原则(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。

(2)简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题，通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的。

(3)具体原则：化归方向应由抽象到具体。

(4)和谐统一性原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律。

(5)正难则反的原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面；或问题的正面较复杂时，其反面一般是简单的；设法从问题的反面去探求，使问题获得解决。

二、转化与化归思想常用到的方法(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题。

(2)换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题。

(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径。

(4)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题。

(5)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径。

(6)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径。

(7)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题。

(8)等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化的目的。

(9)加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时，原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题充分条件，从而易证。

高考数学思想04 运用转化与化归的思想方法解题(精讲精练)(解析版)

思想04运用转化与化归的思想方法解题【命题规律】高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等．【核心考点目录】核心考点一：运用“熟悉化原则”转化化归问题核心考点二：运用“简单化原则”转化化归问题核心考点三：运用“直观化原则”转化化归问题核心考点四：运用“正难则反原则”转化化归问题【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为12c e a =，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE 直线DE 的方程：x c -，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，判别式()22224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴122264613c DE y =-=⨯⨯⨯⨯=，∴138c =，得1324a c ==，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.2．（2020·全国·统考高考真题）设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -=__________.【答案】【解析】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=+++=，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=，222222()()2()4a cb d ac bd ac bd ∴+++=+++++=2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-===故答案为：方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+ ,由已知122OZ OZ OP ==== ,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ 都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=∴1212z z Z Z -==3．（2020·天津·统考高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．【答案】1623【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为111236⨯=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1)(1)233-⨯-=，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23.故答案为：16；23.4．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求三棱锥F ABC -的体积．【解析】（1）由于AD CD =，E 是AC 的中点，所以AC DE ⊥.由于AD CD BD BD ADB CDB =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，所以ADB CDB ≅△△，所以AB CB =，故AC BD ⊥，由于DE BD D ⋂=，,DE BD Ì平面BED ，所以AC ⊥平面BED ，由于AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD .（2）[方法一]：判别几何关系依题意2AB BD BC ===，60ACB ∠=︒，三角形ABC 是等边三角形，所以2,1,3AC AE CE BE ====，由于,AD CD AD CD =⊥，所以三角形ACD 是等腰直角三角形，所以1DE =.222DE BE BD +=，所以DE BE ⊥，由于AC BE E ⋂=，,AC BE ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .由于ADB CDB ≅△△，所以FBA FBC ∠=∠，由于BF BF FBA FBC AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以FBA FBC ≅ ，所以AF CF =，所以EF AC ⊥，由于12AFC S AC EF =⋅⋅ ，所以当EF 最短时，三角形AFC 的面积最小过E 作EF BD ⊥，垂足为F ，在Rt BED △中，1122BE DE BD EF ⋅⋅=⋅⋅，解得32EF =，所以223131,2222DF BF DF ⎛⎫=-==-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以34BF BD =过F 作FH BE ⊥，垂足为H ，则//FH DE ，所以FH ⊥平面ABC ，且34FH BF DE BD ==，所以34FH =，所以111332333244F ABC ABC V S FH -=⋅⋅=⨯⨯=[方法二]：等体积转换AB BC = ，60ACB ∠=︒，2AB =ABC ∴∆是边长为2的等边三角形，BE ∴=连接EFADB CDB AF CFEF ACBED EF BD ∆≅∆∴=∴⊥∴∆⊥∆ 在中，当时，AFC面积最小222,,2,,BED EF AD CD AD CD AC E AC DE BE BD BE EDBE DE EF BD BD ⊥==∴+=∴⊥⋅⊥∆== 为中点DE=1若在中，32113222BEF BF S BF EF ∆==∴=⋅=⋅11233F ABC A BEF C BEF BEF V V V S AC ---∆∴=+=⋅=⋅【方法技巧与总结】将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则：1、熟悉化原则：许多数学问题的解决过程就是将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用已有知识、方法以及解题经验来解决．在具体的解题过程中，通常借助构造、换元、引入参数、建系等方法将条件与问题联系起来，使原问题转化为可利用熟悉的背景知识和模型求解的问题．2、简单化原则：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关、易于解决的新问题．借助特殊化、等价转化、不等转化等方法常常能获得直接、清晰、简洁的解法，从而实现通过对简单问题的解答，达到解决复杂问题的目的．3、直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题，数学问题的特点之一便是它具有抽象性，有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要借助数形结合法、图象法等手段把它转化为具体的、更为直观的问题来解决．4、正难则反原则：问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题．一般地，在含有“至多”、“至少”及否定词的问题中，若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，此时从反面考虑较简单．【核心考点】核心考点一：运用“熟悉化原则”转化化归问题【典型例题】例1．（2023春·云南昆明·高三昆明市第三中学阶段练习）如图所示，在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，AE=32，cos B，∠ADB=23π．(1)求AD的长；(2)求△ADE的面积．【解析】（1）在△ABD中，∵cos B=(0,)Bπ∈，∴sin7B===，∴1sin sin()()7214 BAD B ADB∠=+∠⋅-=，由正弦定理sin sinAD BDB BAD=∠，知1·sin72sin14BD BADBAD==∠．（2）由（1）知AD=2，依题意得AC=2AE=3，在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD•CDcos∠ADC，即29422cos3DC CDπ=+-⨯⨯，∴DC2-2DC-5=0，解得1DC=．∴11sin2(12222 ADCS AD DC ADC=⋅∠=⨯⨯⨯=，从而12ADE ADC S S == 例2．（2023·吉林·高三校联考竞赛）已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ､F 分别是AC ､BC 的中点，60EPF ︒∠=，则球O 的表面积为____________.【答案】6π【解析】由于P -ABC 为正三棱锥，故EP FP =，从而△EPF 为等边三角形，且边长EF =1.由此可知侧面PAC 的高PE =1，故棱长PA =.的正方体可知，P -ABC，从而表面积为6π.故答案为：6π．例3．（2023春·山东潍坊·高三校考阶段练习）已知正实数a ，b 满足ab a b =+，则2a b +的最小值为____________．【答案】3+【解析】0,0a b >>，ab a b =+，则111a b+=，1122(2)()333a ba b a ba b b a +=++=++≥+=+当且仅当2a b b a =，即1a =1b =时等号成立，所以2a b +最小值是3+故答案为：3+例4．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且16AD BC = ，若M ，N 是线段BC 上的动点，且1MN ＝，则·DM DN 的最小值为___________【答案】132【解析】16AD BC = ，则1AD = ，如图，建立平面直角坐标系，32A ⎛ ⎝⎭，52D ⎛ ⎝⎭，(),0M x ，()1,0N x +，5,22DM x ⎛=-- ⎝⎭，3,22DN x ⎛=-- ⎝⎭，[]0,5x ∈，22531527422244DM DN x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22132x =-+，当且仅当2x =时，取得最小值132，所以DM DN ⋅ 的最小值为132.故答案为：132例5．（2023春·广西桂林·高三校考阶段练习）已知三棱锥-P ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC 是边长为2的正三角形，E F ，分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（）AB ．6πC ．24πD．【答案】A【解析】设2PA PB PC x ===，E ，F 分别为PA ，AB 中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC 为边长为2的等边三角形，CF =，又90CEF ∠=︒，CE ∴=12AE PA x ==，在AEC △中，由余弦定理()2243cos 22x x EAC x +--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC = ，∴D 为AC中点，又1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，解得x =，PA PB PC ∴===又===2AB BC AC ，PA ∴，PB ，PC 两两垂直，即三棱锥-P ABC 是以PA ，PB ，PC 为棱的正方体的一部分；所以球O的直径2R ==R =，则球O的体积344338V R =π=π⨯，故选：D.核心考点二：运用“简单化原则”转化化归问题【典型例题】例6．（2023春·陕西渭南·高三渭南市瑞泉中学校考阶段练习）平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠= ，AB =2，则AD 长度的取值范围________.【答案】(0【解析】如图所示，延长AD ，BC 交于E ，平行移动CD ，当C 与D 重合于E 点时，AD 最长，在ABE 中，75A B ∠=∠= ，30E ∠= ，AB =2，由正弦定理可得sin sin AB AE E B =∠∠，即o o 2sin 30sin 75AE =，()o o o o o o o sin 75sin 4530sin 45cos30cos 45sin 30=+=+解得AE 平行移动CD ，到图中AF 位置，即当A 与D 重合时，AD 最短，为0.综上可得，AD长度的取值范围为(0+故答案为：(0+.例7．（2023春·北京·高三北京市第一六一中学校考）三棱锥-P ABC 中，,E D 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，-P ABC 的体积为2V ，则12V V =____________【答案】14【解析】由已知1.2EAB PAB S S ∆∆=设点C 到平面PAB 距离为h ，则点D 到平面PAB 距离为12h ，所以，1211132.143EAB PAB S h V V S h ∆∆⋅==例8．（2023秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =4，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为23，那么点P 到平面ABC 的距离为___________.【答案】22【解析】设P 在平面ABC 内的射影为O ，则OP ⊥平面ABC ，由于,,AC BC OC ⊂平面ABC ，所以,,OP AC OP BC OP OC ⊥⊥⊥，过O 作,OE AC OF BC ⊥⊥，垂足分别为,E F ，由于90ACB ∠=︒，所以四边形OECF 是矩形.由于,,OE OP O OE OP ⋂=⊂平面POE ，所以CE ⊥平面POE ，PE ⊂平面POE ，所以CE PE ⊥；同理可证得CF PF ⊥.所以()224232CE CF ==-=，222222OC =+=，()2242222OP =-=，即P 到平面ABC 的距离是22.故答案为：22例9．（2023春·湖南衡阳·高三校考）设m ，n ，t 为正数，且345m n t ==，则（）A ．m n t <<B ．n m t <<C ．n t m <<D ．t n m <<【答案】D【解析】令345m n t k ===，则1k >，3log m k =，4log n k =，5log t k =，在平面直角坐标系中画出3log y x =，4log y x =，5log y x =的图象及直线x k =，结合图象知t n m <<．方法二令345m n t k ===，则1k >，易得31log log 3k m k ==，41log log 4k n k ==，51log log 5k t k ==，又当1k >时，函数()log k f x x =在()0,+∞上单调递增，且1345<<<，∴0log 3log 4log 5k k k <<<，∴111log 3log 4log 5k k k >>，即t n m <<．故选：D.核心考点三：运用“直观化原则”转化化归问题【典型例题】例10．（2023春·北京·高三校考）已知函数()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，当()0,∞+时，()f x 的图象如图所示，那么满足不等式35()44f x x ≥+的x 的取值范围是（）A ．(](],20,1-∞-⋃B ．[)(]2,00,1-⋃C ．(](],30,1-∞-D ．[)(]3,00,1- 【答案】C【解析】因为函数()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，所以()f x 的图像关于原点对称，由此画出函数()f x 在()(),00,∞-+∞U 上的图象，在同一坐标系内画出()3544g x x =+的图象，因为()12f =，()31f =，所以()()331f f -=-=-，又()3511244g =⨯+=，()()3533144g -=⨯-+=-，所以()f x 的图象与()g x 的图象交于()1,2和()3,1--两点，如图，所以结合图像可知，35()44f x x ≥+的解集为(](],30,1-∞- .故选：C.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+=，则a b - 的最小值是A 1B1C ．2D ．2【答案】A【解析】设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===r r r，则由π,3a e =r r 得πcos ,3a e e x y a ⋅=⋅=∴=r r r r ，由2430b e b -⋅+=r r r 得()2222430,21,m n m m n +-+=-+=因此，a b -r r 的最小值为圆心()2,0到直线y =1 1.选A.例12．（2023秋·福建莆田·高三莆田二中校考）设函数()e x f x x ax a =-+，其中1a >，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是（）A ．(21,2e ⎤⎦B ．33e 1,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．343e 4e ,23⎛⎤⎥⎝⎦D ．323e 2e ,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】令()e ,()x g x x h x ax a ==-，1a >，显然直线()h x ax a =-恒过点(1,0)A ，则“存在唯一的整数0x ，使得()00f x <”等价于“存在唯一的整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方”，(1())e x x g x +'=，当1x <-时，()0g x '<，当1x >-时，()0g x '>，即()g x 在(,1)-∞-上递减，在(1,)-+∞上递增，则当=1x -时，min 1()(1)e g x g =-=-，当0x ≤时，1()[,0]eg x ∈-，而()(0)1h x h a ≤=-<-，即当0x ≤时，不存在整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方，当0x >时，过点(1,0)A 作函数()e x g x x =图象的切线，设切点为(,e ),0t P t t t >，则切线方程为：e (1)e ()t t y t t x t -=+-，而切线过点(1,0)A ，即有e (1)e (1)t t t t t -=+-，整理得：210t t --=，而0t >，解得(1,2)t =∈，因(1)e 0(1)g h =>=，又存在唯一整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方，则此整数必为2，即存在唯一整数2使得点(2,(2))g 在直线()h x ax a =-下方，因此有23(2)(2)2e (3)(3)3e 2g h a g h a <⎧<⎧⇔⎨⎨≥≥⎩⎩，解得323e 2e 2a <≤，所以a 的取值范围是323e(2e ,]2.故选：D核心考点四：运用“正难则反原则”转化化归问题【典型例题】例13．（2023·全国·高三专题练习）已知矩形ABCD ,1AB =,2BC =,将ABD △沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折,在翻折的过程中A ．存在某个位置,使得直线AB 和直线CD 垂直B ．存在某个位置,使得直线AC 和直线BD 垂直C ．存在某个位置,使得直线AD 和直线BC 垂直D ．无论翻折到什么位置,以上三组直线均不垂直【答案】A【解析】如图所示：作CF BD ⊥于F ，AE BD ⊥于E翻折前AC =AC =222AC AB BC AC AB +=∴⊥，AB AD ⊥，AB ∴⊥平面ACD ，⊆CD 平面ACD AB CD ∴⊥，故A 正确D 错误；若AC 和BD 垂直，BD CF BD ⊥∴⊥ 平面ACF ，AF ⊆平面ACF BD AF ∴⊥，不成立，故B 错误；若AD 和BC 垂直，BC CD ⊥故BC ⊥平面ACD ，AC ⊆平面ACD ，AC BC ∴⊥，因为AB BC <，故AC BC⊥不成立，故C 错误；故选：A例14．（2023春·湖南·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．【答案】43【解析】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d ，2d =≤即3k 2≤4k ，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43.例15．（2023秋·陕西宝鸡·高三陕西省宝鸡市长岭中学校考阶段练习）如图，用K ，1A ，2A 三类不同的元件连接成一个系统.当K 正常工作且1A ，2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K ，1A ，2A 正常工作的概率依次为0.8，0.7，0.7，则系统正常工作的概率为___________.【答案】0.728【解析】因为1A ，2A 同时不能正常工作的概率为(10.7)(10.7)0.09--=，所以1A ，2A 至少有一个正常工作的概率为10.090.91-=，所以系统正常工作的概率为0.80.910.728⨯=，故答案为：0.728例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统1N ，2N ．当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作．已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90．则系统N 1正常工作的概率为___________，系统2N 正常工作的概率为___________．【答案】0.6480.792【解析】分别记元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，由已知条件()080P A =．，()0.90P B =，()0.90P C =．因为事件A 、B 、C 是相互独立的，系统N 1正常工作的概率为()()()0.800.900.900.6)48(P A B C P A P B P C ⋅⋅==⨯⨯=⋅⋅．系统2N 正常工作的概率()1(()1()()P A P B C P A P B P C ⎡⎤⎡⎤⋅-⋅=⋅-⋅⎣⎦⎣⎦08010.100.100.800.990.7[92]=⨯-⨯=⨯=．．故答案为：0.648；0.792.【新题速递】一、单选题1．（2023春·江苏盐城·高三盐城中学校考）已知,x y R ∈满足()()()()3312021113202131x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩，若存在实数0t >，使得不等式kt x y t-≤+成立，则实数k 的最小值为（）A ．-4B ．-1C ．1D ．4【答案】A【解析】构造函数()32021f x x x =+，()f x 为奇函数，且在R 上单调增，由已知可知()()()1133f x f y f y -==--=-+，13x y -=-+，即4x y +=，所以，存在实数0t >，使得不等式4kt t-≤成立，24,k t t ≥-又244t t -≥-，4k ∴-≥.故选：A.2．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考）已知1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，G 是椭圆C 的左顶点，点M 在过G12MF F △为等腰三角形，12150F F M ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B ．13C．111+D【答案】D【解析】由题知(),0G a -，所以直线GM的方程为()9y x a =+，因为12150F F M ∠=，所以直线2MF 的倾斜角为30 ，所以直线2MF的方程为)3y x c =-．联立))y x a y x c ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得32a c x +=，)6a c y +=．),.623a c a c M ⎛⎫++∴ ⎪ ⎪⎝⎭因为12MF F △为等腰三角形，12150F F M ∠=，所以2212MF F F c ==，即)2223426a c a c c c ⎤++⎛⎫-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，整理得：1)a c =．所以椭圆C的离心率为c e a ==故选：D.3．（2023春·安徽淮北·高三淮北一中校考阶段练习）已知函数||1||22()21x x x f x +++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +等于（）A ．0B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】依题意()||||1||||||22122()2212121x x x x x x x f x x +++++===++++，故令||()()221x xg x f x =-=+，所以||||()()2121x x x x g x g x ----===-++，所以函数()g x 为奇函数，所以max min ()()0g x g x +=，故max min ()2()20f x f x -+-=，所以max min ()()4f x f x +=.故选：C.4．（2023春·广东广州·高三校考）已知数列{}n a 是公比不等于1±的等比数列，若数列{}n a ，{(1)}n n a -，2{}n a 的前2023项的和分别为m ，6m -，9，则实数m 的值（）A ．只有1个B ．只有2个C ．无法确定有几个D ．不存在【答案】A【解析】设{}n a 的公比为q ，由11(1)(1)n n nn a q a ++-=--，2212n na q a +=可得：{(1)}n n a -为等比数列，公比为q -，2{}n a 为等比数列，公比为2q ，则()2023111a q m q-=-①，()()202320231111611a q a q m qq⎡⎤----+⎣⎦==-++②，()2404612191a q q -=-③，①×②得：()24046122161a q m m q --=--④，由③④得：2690m m -+=，解得：3m =，故实数m 的值只有1个.故选：A5．（2023春·山西太原·高三统考）下列结论正确的个数是（）①已知点()()()4,00,00,3A B C ､､，则ABC 外接圆的方程为22325(2)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；②已知点()()1,01,0A B -､，动点P 满足2PA PB =，则动点P 的轨迹方程为2210103x y x +-+=；③已知点M 在圆22:9O x y +=上，()9,0P ，且点N 满足12MN NP =，则点N 的轨迹方程为22(3)4x y -+=.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】对于①，线段AB 的中垂线的直线方程为2x =，线段BC 的中垂线的直线方程为32y =，故圆心为32,2⎛⎫⎪⎝⎭52=，即圆的方程为()22325224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，故①正确；对于②，设(),P x y ，由2PAPB ==，整理可得2210103x y x +-+=，故②正确；对于③，设(),N x y ，()00,M x y ，则()9,NP x y =-- ，()00,MN x x y y =--，由12MN NP = ，则()()0019212x x x y y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即00392232x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，M 在229x y +=上，223939222x y ⎛⎫⎛⎫∴-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得()2234x y -+=，故③正确.故选：D.6．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π3F PF ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（）A．2B ．34CD ．3【答案】A【解析】如图，设椭圆的长半轴为1a ，双曲线的实半轴长为2a，则根据椭圆及双曲线的定义：1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，所以112212,PF a a PF a a =+=-，设122F F c =，因为12π3F PF ∠=，则在12PF F △中，由余弦定理得：22212121212π4()()2()()cos3c a a a a a a a a =++--+-，化简得：2221234a a c +=，即2212134e e +=，从而有2212134e e =+≥整理得12e e ⋅≥（当且仅当122,2e e ==故选：A.7．（2023·全国·高三专题练习）在某次数学考试中，学生成绩X 服从正态分布()2100,δ.若X 在()85,115内的概率是0.5，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（）A ．2764B ．964C ．34D ．916【答案】A【解析】因为学生成绩服从正态分布()2100,δ，且()851150.5P X <<=，所以()851000.25P X <<=，()850.25P X <=，()3850.754P X ≥==，所以从参加这次考试的学生中任意选取1名学生，其成绩不低于85的概率是34，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是2233127C 4464⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故选：A.二、多选题8．（2023·全国·高三专题练习）已知M 为圆C ：()2212x y ++=上的动点，P 为直线l ：40x y -+=上的动点，则下列结论正确的是（）A ．直线l 与圆C 相切B ．直线l 与圆C 相离C ．|PM |D ．|PM |【答案】BD【解析】圆C ：()2212x y ++=得圆心()1,0C -,半径r =∵圆心()1,0C -到直线l ：40x y -+=得距离2d r ==>∴直线l 与圆C 相离A 不正确，B 正确；2PM PC r d r ≥-≥-=C 不正确，D 正确；故选：BD ．9．（2023春·江苏盐城·高三校联考阶段练习）函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<，()f x 图像一个最高点是(,2)3A π，距离点A 最近的对称中心坐标为(,0)4π，则下列说法正确的有()A ．ω的值是6B ．(,1212x ππ∈-时，函数()f x 单调递增C ．1312x π=时函数()f x 图像的一条对称轴D ．()f x 的图像向左平移φ(0)φ>个单位后得到()g x 图像，若()g x 是偶函数，则φ的最小值是6π【答案】AD【解析】由题意可知，2A =±，134124T πππ-==，即3T π=，其中T 为()f x 的最小正周期，又因为2T πω=，所以6ω=，故A 正确；当2A =时，()2sin(6)233f ππϕ=⨯+=，由0ϕπ<<，可得2ϕπ=，此时()2sin(62cos 62f x x x π=+=，3(2cos 042f ππ==，满足题意；当2A =-时，()2sin(6)233f ππϕ=-⨯+=，由0ϕπ<<，则ϕ无解，综上所述，()2cos 6f x x =，从而()f x 是一个偶函数，故()f x 在(,1212ππ-上不单调，故B 错误；又因为1313(2cos(6021212f A ππ=⨯=≠=，所以1312x π=不是函数()f x 图像的一条对称轴，故C 错误；对于选项D:由题意可得，()2cos 6()2cos(66)g x x x φφ=+=+，若()g x 是偶函数，则6k φπ=，Z k ∈，即16k φπ=，Z k ∈，又因为0φ>，所以φ的最小值是6π，此时1k =，故D 正确.故选：AD.10．（2023秋·辽宁朝阳·高三统考开学考试）已知函数32()23f x x x x =-+-，若过点(1,)P m -（其中m 是整数）可作曲线()y f x =的三条切线，则m 的所有可能取值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】ABCD【解析】由题知'2()343f x x x =-+-，设切点为00(,())x f x ，则切线方程为32200000023(343)()y x x x x x x x +-+=-+--，将=1x -，y m =代入得32000243m x x x =+-+；令32()243g x x x x =+-+，则'2()6242(1)(32)g x x x x x =+-=+-，23x ∴>或1x <-时，'()0g x >；213x -<<时，'()0g x <，()g x ∴的极大值为(1)6g -=，极小值为237(327g =，由题意知37627m <<，又m 为整数，2,3,4,5m ∴=.故选：ABCD.11．（2023秋·辽宁朝阳·高三统考开学考试）已知1F 、2F 分别是椭圆22:12516x y C +=的左、右焦点，点A 是椭圆C 上一点，则下列说法正确的是（）A ．1210AF AF +=B ．椭圆C 的离心率为45C ．存在点A 使得12AF AF ⊥D ．12AF F △面积的最大值为12【答案】AD【解析】由椭圆的标准方程，得5a =，4b =，3c =，且1(3,0)F -，2(3,0)F ；对于A ：由椭圆的定义，知12210AF AF a +==，即选项A 正确；对于B ：椭圆C 的离心率35c e a ==，即选项B 错误；对于C:设(,)A m n ，则2212516m n +=，若12AF AF ⊥，则210F A A F ⋅= ，则2(3)(3)0m m n -++=，即229m n +=，联立2222912516m n m n ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得21759m =-（舍）即该方程组无解，即不存在点A 使得12AF AF ⊥，即选项C 错误；对于D ：当点A 为上、下顶点时，12AF F △的面积取得最大值，即()12max 12122AF F S c b bc =⨯⨯==△，即选项D 正确.故选：AD.12．（2023春·江苏南通·高三校联考）已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①,()()x R f x f x ∀∈-=；②1x ∀，2(0,)x ∈+∞，当12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x -<-；③(1)0f -=，下列选项成立的是（）A ．(3)(4)>-f f B ．若(1)(3)f x f -<，则(4,)x ∈+∞C ．若()0xf x <，(1,0)(1,)x ∈-⋃+∞D ．,x R M R ∀∈∃∈，使得()f x M【答案】ACD 【解析】由①x ∀∈R ，()()f x f x -=，得()f x 为偶函数，②1x ∀，2(0,)x ∈+∞，当12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x -<-，得()f x 在(0,)+∞上单调递减，(4)(4)(3)f f f ∴-=<，故A 正确；(1)(3)f x f -<即13x ->或13x -<-，解得4x >或<2x -，故B 错误；由(1)0f -=，得(1)0f =，若()0xf x <，则()00f x x >⎧⎨<⎩或()00f x x <⎧⎨>⎩，解得(1,0)(1,)x ∈-⋃+∞，故C 正确；由()f x 为R 上的偶函数，在(0,)+∞单调递减，在(,0)-∞单调递增，又因为函数()f x 的图象是连续不断的，所以(0)f 为()f x 的最大值，所以x ∀∈R ，∃∈M R ，使得()f x M ，故D 正确.故选：ACD三、填空题13．（2023·高三课时练习）如图，在三棱锥A BCD -中，底面边长与侧棱长均为a ，点M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且2=MB AM ，12CN ND =，则MN 的长为______．【答案】3a 【解析】三棱锥A BCD -底面边长与侧棱长均为a ，∴三棱锥A BCD -各个面均为等边三角形，MN MB BC CN =++ ()()2133AB AC AB AD AC =+-+- 112333AB AD AC =-++ ，22112333MN AB AD AC ∴=-++⎛⎫ ⎪⎝⎭ 222124414999999AB AD AB AB AC AC AD AD AC =-⋅-⋅+⋅++ 222222112214999999a a a a a a =--+++259a =，3MN a ∴= ，即MN =．.14．（2023秋·广东佛山·高三统考期末）若函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像在[]0,m 上恰好有一个点的纵坐标为1，则实数m 的值可以是__________（写出一个满足题意m 的值即可）．【答案】6π（答案写1366m ππ≤<内任意的实数都正确）.【解析】因为函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像在[]0,m 上恰好有一个点的纵坐标为1，令3z x π=+，由0x m ≤≤，得，333x m πππ≤+≤+，即33z m ππ≤≤+，原命题等价于，函数sin y z =的图像在,33m ππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上恰好有一个点的纵坐标为1，所以5,322m πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，即5232m πππ≤+<，解得1366m ππ≤<.故答案为：6π（答案写1366m ππ≤<内任意的实数都正确）.15．（2023春·河北石家庄·高三石家庄外国语学校校考）已知定义域为R 的函数()11221x f x =-++则关于t 的不等式()()222210f t t f t +<－－的解集为________.【答案】()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.【解析】函数()11221x f x =-++的定义域为R.因为()1112221221x x x f x --=-+=-+++，所以()()1111110221221x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-+=-++-+=-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以()()f x f x -=-，即()f x 是奇函数.因为2x y =为增函数，所以121x y =+为减函数，所以()11221x f x =-++在R 上为减函数.所以()()222210f t t f t －＋－＜可化为()()()22222112f t t f t f t －＜－－＝－.所以22212t t t －＞－，解得：1t ＞或13t ＜－.故答案为：()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.16．（2023春·湖南长沙·高三宁乡一中校考）过点()2,e P 可以作两条直线与曲线()e 0x y a a =>相切，则实数a 的取值范围是______．【答案】1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】设切点坐标为(),e t t a ，e ,e x x y a y a '==，故斜率为e t a ，切线方程为()e e t t y a a x t -=-，代入()2,e P 得()e e e 2t t a a t -=-，整理得()e 3e t t a-=-，构造函数()()3e t f t t =-，()()2e t f t t '=-⋅，所以()f t 在区间()()(),2,0,f t f t '-∞<递减；在区间()()()2,,0,f t f t '+∞>递增.所以()f t 在2t =时取得极小值也即是最小值()22e f =-，当3t <时，()0f t <，当3t >时，()0f t >，要使过点()2,e P 可以作两条直线与曲线()e 0x y a a =>相切，则2e 1e 0,ea a --<<>，所以a 的取值范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭17．（2023春·黑龙江绥化·高三校考）已知F 是椭圆22:143x y C +=的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点Q 坐标为(2,1)，则||||PQ PF +的最大值为________．【答案】4【解析】由22:143x y C +=可知2a =，设椭圆右焦点(1,0)F '，则24PQ PF PQ a PF QF ''+=+-≤+44==当且仅当P ，Q ，F '共线时且当P 在QF '的延长线上时等号成立．||||PQ PF ∴+的最大值为4故答案为：4+。

数学中考专题17 数学思想方法-转化思想

数学思想方法———转化与化归思想【考向分析】转化思想是数学中非常重要的思想方法，它是平时学习的常用方法，同时也是解决中考综合题的有利武器，一般来说，综合题都有一定的难度，它的解决一定基于我们学过并熟练掌握的基础知识，如何将其转化为自己所熟知的内容就成了解题关键.实际上，所谓的解题不过是将未知转化为已知的过程，即转化是解题时主要的思想方法。

【典型例题】例1 如图所示，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 平分34,120,===∠∠BC BD A ABC ，求梯形的面积。

例2 如图所示，已知⊙O 是ABC ∆的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线上的一点，DC AE ⊥，交DC 的延长线于点E ，且AC 平分EAB ∠。

（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若524,6==AE AB ，求BD 和BC 的长。

A DCB例3 如图所示，NM 切⊙O 于P ，AB 是⊙O 弦，MN AM ⊥于M ，MN BN ⊥于N ，AB PQ ⊥于Q 。

求证：BN AM PQ ⋅=2。

例4 已知：如图1，在直角坐标系中，⊙1O 经过坐标原点，分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于点A 、B ．（1）若点O 到直线AB 的距离为512，且43tan =∠B ，求线段AB 的长；（2）若点O 到直线AB 的距离为512，过点A 的切线与y 轴交于点C ，过点O 的切线交于D ，过点B 的切线交OD 于点E ，求BECD 11+的值．（3）如图2，若⊙1O 经过点M （2，2），设BOA ∆的内切圆的直径为d ，试判断d+AB 的值是否会发生变化，若不变，求出其值；若变化，求其变化的范围.【随堂练习】1．如图所示，边长为1的正方形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，将正方形OABC 绕点O 顺时针旋转30，使点A 落在抛物线()02<=a ax y 的图象上。

（1）求抛物线2ax y =的函数关系式；（2）正方形OABC 继续按顺时针旋转多少度时，点A 再次落在抛物线2ax y =的图象上？并求这个点的坐标；2．如图所示，在ABC Rt ∆中，90=∠C ，以BC 边为直径的⊙O 交AB 于点D ，连接OD 并延长交CA 的延长线于点E ，过点D 作DF ⊥OE 交EC 于点F 。

高考数学选择题例题与训练(等价转化法专题)

高考数学选择题例题与训练（等价转化法专题）解题的本质就是转化，能够转化下去就能够解下去。

至于怎样转化，要通过必要的训练，达到见识足、技能熟的境界。

在解有关排列组合的应用问题中这一点显得尤其重要。

【例题】、一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（）A、 B、 C、D、【解析】问题等价于对函数图象上任一点都满足，只能选A。

【练习1】、设，且sin3+ cos3，则的取值范围是（）A、[-，0） B、[]C、（-1，0）] D、（-，0）（提示：因为sin3+ cos3=（sin+ cos）（sin2- sincos+ cos2），而sin2- sincos+ cos2＞0恒成立，故sin3+ cos3t＜0,选A。

另解：由sin3+ cos3知非锐角，而我们知道只有为锐角或者直角时，所以排除B、C、D，选A）【练习2】、是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是（）A、4B、5C、1D、2（提示：设动点P的坐标是，由是椭圆的左、右焦点得，，则，选D。

这里利用椭圆的参数方程把问题等价转化为三角函数求最值的问题。

特别提醒：下列“简捷”解法是掉进了命题人的“陷阱”的——）【练习3】、若，则（）。

A、B、C、D、（提示：利用换底公式等价转化。

∴，选B）【练习4】、且，，则（）A、B、C、D、（提示：此题条件较多，又以符号语言出现，令人眼花缭乱。

对策之一是“符号语言图形化”，如图，用线段代表立马知道选C。

当然这也属于数形结合方法。

对策之二是“抽象语言具体化”，分别用数字1，4，2，3代表容易知道选C。

也许你认为对策一的转化并不等价，是的，但是作为选择题，可以事先把条件“”收严一些变为“”。

【练习5】、已知若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A、B、C、D、（提示：化简得，∵在上递增，∴，而在上单调递增，又∴选B）【练习6】、把10个相同的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，使盒子里球的个数不小于它的编号数，则不同的放法种数是（）A、B、C、D、（提示：首先在编号为1，2，3的三个盒子中分别放入0，1，2个小球，则余下的7个球只要用隔板法分成3 堆即可，有种，选B；如果你认为难以想到在三个盒子中分别放入只0，1，2个小球，而更容易想到在三个盒子中分别放入只1，2，3个小球，那也好办：你将余下的4个球加上虚拟的（或曰借来的）3个小球，在排成一列的7球6空中插入2块隔板，也与本问题等价。

高中数学思想四等价转换思想专题练习2

高中数学思想四等价转换思想专题练习2一．选择题1.已知函数()2x xe ef x --=，若2233a f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，3322b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >>2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a c b －＝cosCcosB，b ＝4，则△ABC 的面积的最大值为（）A ．B ．C ．D3.已知a ，b 为任意实数，则“a b ≥”是“lg lg a b ≥”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.函数()ln(1)f x x =+的图象与函数2()44g x x x =-+的图象的交点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．35.已知函数图象的一条对称轴为,记函数的两个极值点分别为，则的最小值为（）A ．B ． C. D ． 6.己知函数()2sin()(0)4f x x πωω=+>的图象在区间[0,1]上恰有1个纵坐标是最高点，则ω的取值范围为（） A ．5[,)44ππB ．5[,)22ππC ．9[,)44ππD ．3[,2)2ππ ()sin cos f x x a x =-34x π=()f x 12,x x 12x x +34π2π4π7.关于函数()()()33111f x x x =---，下面4个判断错误．．的有（） ①函数()f x 的图象是中心对称图形； ②函数()f x 的图象是轴对称图形； ③函数()f x 在()1,x ∈+∞单调递增； ④函数()f x 在()1,0x ∈-单调递减； A ．①③ B ．②③C ．②④D ．③④8.已知()y f x =的图象关于坐标原点对称，且对任意的x ∈R ，()()2f x f x +=-恒成立，当10x -≤<时，()2xf x =，则()2021f =（）A ．1-B ．12-C ．12D ．19.已知,2a ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且1cos 2sin 212a a =+，则cos a =（）A ．B ．-C ．10- D ． 10.已知函数()xf x xe =，()2ln 2g x x x =，若()()12f x g x t ==，0t >，则12ln tx x 的最大值为（） A ．21eB ．24eC ．1eD ．2e二、填空题11.设点G 是ABC 的重心，且满足2sin 3sin 2sin 0B AB A GA C GC ⋅+⋅+⋅=，则cosC ______________。

等价的思想方法

等价转化的思想方法(1)一、等价转化的几种情况１. 概念和载体之间的相互转化依据题意，从定义、定理、公式、概念出发，化抽象为具体，化复杂为简单，从纵向和横向进行联想转化.【例１】函数极限的值为（）.解：本题借用函数极限的具体形式，旨在考查学生对导数定义的正确理解，因而转化为求函数y=ln在x=x0处的导数，故选Ｃ.2. 特殊和一般之间的转化【例２】数列｛a n｝中，a1=，a n+a n+1（a1+a2+…+a n）= .解：通过求猜想从而达到解决问题的目的.也可以利用数列极限的含义进行重组变形，可转化为无穷等比递缩数列的求和，原式，选Ｃ.利用结构进行从特殊到一般的转化，既可缩短解题时间，又可提高运算准确性，同时考查思维的灵活性和代数变形能力.3. 变量与常量之间的转化【例３】已知函数f（x）＝ln（２－x）+ax在开区间（０，１）内是增函数.（1）求实数a的取值范围；（２）若数列｛a n｝满足a1∈（０，１），a n+1=ln（２－a n）+a n（n∈N+），证明：０<a n<a n+1<1.分析：若用函数单调性定义解题，难度大，若利用导数的性质转化为求f ′（x）在（０，１）上恒不小于零的充要条件，不难得出a≥1.（２）问先用数学归纳法证明0<an<1，再根据题目的递推关系式与函数解析式的相似性进行联想转化，只须令a=1即可知道f（x）＝ln（2-x）+x在（０，１）上是增函数.4. 曲直之间的转化【例４】如图，在正三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中，ＡＢ＝３，ＡＡ１＝４，Ｍ为ＡＡ１的中点，Ｐ是ＢＣ上一点，且由Ｐ沿棱柱侧面经过棱ＣＣ１到Ｍ的最短路线长为，设这条最短路线与ＣＣ１的交点为Ｎ，求：（Ⅰ）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；（Ⅱ）ＰＣ和ＮＣ的长；（Ⅲ）平面ＭＮＰ与平面ＡＢＣ所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）.解：（Ⅰ）正三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１的侧面展开图是一个长为９，宽为４的矩形，其对角线边长为.（Ⅱ）如上图，将侧面ＢＢ１Ｃ１Ｃ绕棱ＣＣ１旋转１２０°使其与侧面ＡＡ１ＣＣ在同一平面上，点Ｐ运动到点Ｐ１的位置，连接ＭＰ１，则ＭＰ１就是由点Ｐ沿棱１柱侧面经过棱ＣＣ１到点Ｍ的最短路线.设ＰＣ＝x，则Ｐ１Ｃ＝x，在Ｒt△ＭＡＰ１中，由勾股定理得（３＋x）2+22=29，求得x=2，∴ＰＣ＝Ｐ１Ｃ＝２.∵（Ⅲ）如图，连结ＰＰ１，则ＰＰ１就是平面MＮＰ与平面ＡＢＣ的交线，作ＮＨ⊥ＰＰ１于Ｈ，又ＣＣ１⊥平面ＡＢＣ，连结ＣＨ，由三垂线定理得ＣＨ⊥ＰＰ１.∠NHC就是平面ＭNＰ与平面ＡＢＣ所成二面角的平面角（锐角）.在Ｒt△PHC 中，∵∠ＰＣＨ＝∠ＰＣP1＝６０°，∴ＣＨ＝＝１，在Ｒt△ＮＣＨ中，tan ∠NHC=，故平面ＮＭＰ与平面ＡＢＣ所成二面角（锐角）的大小为arctan.【点评】翻折问题、对称问题一般采用曲直互化，可以把立体问题平面化，解决问题时简捷、直观.５. 数学各分支之间的转化【例５】给定抛物线Ｃ：y2=4x，Ｆ是Ｃ的焦点，过点Ｆ的直线l与Ｃ相交于Ａ、Ｂ两点.（Ⅰ）设l的斜率为１，求ＯＡ与ＯＢ的夹角的大小；（Ⅱ）设［４，９］，求l在y轴上截距的变化范围.解：（Ⅰ）Ｆ（１，０），l:y=x-1，将其代入y2=4x消去y得x2-6x+1=0，设Ａ（x1，y1），Ｂ（x2，y2），则x1+x2=6，x1·x2=1，y1=x1-1，y2=x2-1，＝x1x2+y1y2＝2x1x2-（x1+x2）+1=-3.Ｂ点坐标（λ，２）或（λ，-２）.若Ｂ点坐标为（λ，-２），则直线l在y轴的截距b的表达式为b=f（λ）=（λ∈［４，９］）为减函数，同理若Ｂ点坐标为（λ，２），则【点评】在各地高考试题和模拟试题中各分支之间转化试题占很大的比重，像函数和不等式、向量和三角、向量和几何、函数和数列、导数和函数等都是相互转化的好素材.融向量、解析几何、函数、方程、不等式等知识于一体，有效地考查了学生分析问题和解决问题的能力，是一道考查学生综合素质的好题二、等价转化的思想方法的应用1.立体几何中的转化思想高考中的立体几何试题常以多面体为载体，融线面关系于几何体之中，融推理论证于几何量的计算之中，因而蕴含丰富的数学思想方法，其中最重要的就是转化的思想方法.本文从以下几个方面来阐述.(1) 位置关系的转化与化归【例6】设矩形ＡＢＣＤ，Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＣＤ的中点，以ＥＦ为棱将矩形折成二面角Ａ－ＥＦ－Ｃ１（如图１）.求证：平面ＡＢ１E∥平面Ｃ１ＤＦ.解法1：因为ＡＥ∥ＤＦ，ＡＥ平面Ｃ１ＤＦ，所以ＡＥ∥平面Ｃ１ＤＦ.同理Ｂ１Ｅ∥平面Ｃ１ＤＦ.又ＡＥ∩Ｂ１Ｅ＝Ｅ，所以平面ＡＢ１Ｅ∥平面Ｃ１ＤＦ.解法2：因为ＡＥ⊥ＥＦ，Ｂ１Ｅ⊥ＥＦ，且ＡＥ∩Ｂ１Ｅ＝Ｅ，所以ＥＦ⊥平面ＡＢ１Ｅ.同理ＥＦ⊥平面Ｃ１ＤＦ.故平面ＡＢ１Ｅ∥平面Ｃ１ＤＦ.（2）. 空间向平面转化【例7】如图２，在正四棱柱ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＡＢ＝１，ＢＢ１＝＋１，Ｅ为ＢＢ１上使Ｂ１Ｅ＝１的点.平面ＡＥＣ１交ＤＤ１于Ｆ，交Ａ１Ｄ１的延长线于Ｇ.求：（１）异面直线ＡＤ与Ｃ１Ｇ所成的角的大小；（２）二面角Ａ－Ｃ１Ｇ－Ａ１的正切值.解: （１）由ＡＤ∥Ａ１Ｄ１知∠Ｃ１ＧＤ１为异面直线ＡＤ与Ｃ１Ｇ所成的角.连结Ｃ１Ｆ.因为ＡＥ和Ｃ１Ｆ分别是平行平面ＡＢＢ１Ａ１和ＣＣ１Ｄ１Ｄ与平面ＡＥＣ１Ｇ的交线，所以ＡＥ∥Ｃ１Ｆ.由此可得Ｄ１Ｆ＝ＢＥ＝由△ＦＤ１Ｇ∽△ＦＤＡ，得Ｄ１Ｇ＝在Rt△C１Ｄ１G中，Ｃ１Ｄ１＝１，Ｄ１Ｇ＝所以∠Ｃ１ＧＤ１＝.（２）作Ｄ１Ｈ⊥Ｃ１Ｇ于Ｈ，连结ＦＨ．由三垂线定理知ＦＨ⊥Ｃ１Ｇ，故∠Ｄ１ＨＦ为二面角Ｆ－Ｃ１Ｇ－Ｄ１即二面角Ａ－Ｃ１Ｇ－Ａ１的平面角.在Rt△GHD１中，Ｄ１Ｇ＝，∠Ｄ１ＧＨ＝，所以Ｄ１Ｈ＝注：实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的有：平移法、射影法、展开法和辅助平面法等.（3）. 割补转化【例8】如图3，三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，已知ＰＡ⊥ＢＣ，ＰＡ＝ＢＣ＝n，ＰＡ与ＢＣ的公垂线ＥＤ＝h，求证：三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的体积Ｖ＝n2h.此题证法很多，下面用割补法证明如下：解法１：如图３，连结ＡＤ、ＰＤ.因为ＢＣ⊥ＤＥ，ＢＣ⊥ＡＰ，所以ＢＣ⊥平面ＡＰＤ，又ＤＥ⊥ＡＰ，所以ＶＰ－ＡＢＣ＝ＶＢ－ＡＰＤ＋ＶＣ－ＡＰＤ解法２：如图４以三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的底面为底面，侧棱ＰＡ为侧棱，补成三棱柱ＰＢ１Ｃ１－ＡＢＣ，连结ＥＣ、ＥＢ，则易证ＡＰ⊥平面ＥＢＣ，（4） . 等积转化【例9】如图５，已知ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１是棱长为a的正方体，Ｅ、Ｆ分别为棱ＡＡ１与CC１的中点，求四棱锥Ａ１－ＥＢＦＤ１的体积.解：易证四边形ＥＢＦＤ１是菱形，连结Ａ１Ｃ１、ＥＣ１、ＡＣ１、ＡＤ１，则【例10】球O的半径为r，Ａ、Ｂ、Ｃ是球面上三点，弧ＡＢ、ＡＣ、ＢＣ的度数分别是９０°、９０°、６０°.求球Ｏ夹在二面角Ｂ－ＡＯ－Ｃ间部分的体积.解析：此题难点在于空间想象，比较抽象.题目条件即∠ＡＯＢ＝∠ＡＯＣ＝９０°，∠ＢＯＣ＝６０°，然后给出图形（如图６所示），于是题意即可想象为用刀沿６０°二面角将一个西瓜切下一块，则这一块西瓜的体积为整个体积的2.解析几何中的转化【例12】.已知定点Ｆ１（－，０），Ｆ２（，０），满足条件的点Ｐ的轨迹是曲线Ｅ，直线y=kx-1与曲线Ｅ交于Ａ、Ｂ两点.（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）如果＝６，且曲线Ｅ上存在点Ｃ，使＝求m的值和△ＡＢＣ的面积Ｓ.解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线Ｅ是以Ｆ１（－，０），Ｆ２（，０）为焦点的双曲线的左支，且c=，a=1，易知b=1，曲线Ｅ的方程为x2-y2=1（x<0）.设Ａ（x1，y1），Ｂ（x2，y2），由题意建立方程组消去y，得（1-k2）x2+2kx-2=0又由已知直线与双曲线左支交于两点Ａ，Ｂ有（Ⅱ）（略）【点评】解析几何是用代数的方法研究几何问题，这要求我们要善于将几何条件等价地转化为代数条件，本题的（Ⅰ）问关于k的不等式组就是将直线y=kx-1与曲线Ｅ交于Ａ、Ｂ两点转化来的.【例13】（如图３）椭圆：=1，直线l：，Ｐ是l上一点，射线ＯＰ交椭圆于点Ｒ，又点Ｑ在ＯＰ上且满足2，当点Ｐ在l上移动时，求点Ｑ的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：设点Ｑ、Ｒ、Ｐ的坐标为：Ｑ（x，y），Ｒ（xＲ，yＲ），Ｐ（x P，y P）.把关系式２投影到x轴上，得又设ＯＰ的方程为y=kx，轨迹的参数方程，k为参数.消去k，化为标准方程当点Ｐ在y轴上时，k不存在，此时，Ｑ点的坐标（０，２）满足方程，因此点Ｑ的轨迹是以（１，１）为中心，长轴平行于x轴，长、短半袖分别为的椭圆（除去点（０，０））.【点评】将条件２投影到x轴上是求解本题及简化运算的关键. 解答数学问题，有时采用以退为进的策略，如对于空间的问题转化为平面的问题来处理；对于平面的问题，通过投影转化为直线的问题，对于高次的问题通过换元转化为低次的问题来解决3、数列中的转化【例14】数列｛a n｝满足a1=1且a n+1=（Ⅰ）用数学归纳法证明：a n≥2（n≥2）；（Ⅱ）已知不等式ln（１＋x）<x对x>0成立，证明：a n<e2（n≥1）.其中无理数e＝２.71828…….分析与求解：（Ⅰ）证明：（１）当n=2时，a2=2≥2，不等式成立.（２）假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即a k≥２（k≥２），那么这就是说，当n=k+1时不等式成立.根据（１）、（２）可知：a n≥２对所有n≥２成立.（Ⅱ）要证明a n＜e2（n≥１），就要证明lna n<2，这就涉及到题设的不等式ln（1+x）<x，就需要对已知的递推公式a n+1=（１＋（n≥1）进行转化.由递推公式及（Ⅰ）的结论有（n≥１）两边取对数并利用已知不等式得这又化归到逐差法求和．上式从１到n-1求和可得【例15】设｛a n｝是首项为１的正项数列，且（n=１，２，３……），则它们的通项公式是a n= .解析：这是已知数列前后两项的关系（这里是隐性关系），求数列的通项.若直接求解有一定难度，当我们运用转化与方程的思想方法，将隐性关系转化为前后两项的显性关系，再运用特殊的思想方法，由特殊归纳出通项公式.4.方程和函数中的转化【例16】（１）求函数y=+3x（x>0）的最小值.（２）若关于x的方程log4x2=log2（x+4）-a的根在区间（－２，－１）内时，求实数a的取值范围.分析：对函数的定义域、值域，可用其概念化归为不等式或不等式组.对方程根的分布，用等价命题的转化，也可化归为不等式或不等式组.不论哪一种化归必须注意的是：等价转化，即要注意不等式或不等式组成立的条件.解：（１）函数，x3=8，即x=2时，y有最小值为９.说明：该题要注意的是：①x>0的条件必须具有应用a+b+c≥的条件：即a，b，c≥0；②拆项时必须均匀拆项.即3x=x+x.若3x=2x+x.那么应用基本不等式取等号的条件就不能成立，2x=x=的x值取不到.（２）方程log4x2=log2（x+4）-a变形为a=log2（x+4）-log4x2（－１<x<1）.把a看作是x的函数，其中，方程根在（－２，－１）之间看作是函数的定义域为（－２，－１）.其中当x■（－２，－１）时，log２（x+4）是增函数，-log4x2也是增函数.∴a=log2（x+4）-log4x2，x∈（－２，－１）是增函数.所以值域a∈（0，log23）.说明：为什么要用函数的叠加及函数的单调性来处理这个问题呢？因为a=log2（x+4）-log4x2，转化为a=log4（x+4）2-log4x2，x的取值范围扩大了，容易得出错误的结论.但只要在扩大范围的过程中一直同时保持x∈（－２，－１）这个条件，那么也可以得到正确的结论的.另解：a=log2（x+4）-log4x2，x∈（－２，－１）注:这里把方程和函数化归为不等式,不宜采用缩小x范围的转化.【例17】已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明：分析：由于二次方程x2+ax+b=0的两个实数根为二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点的横坐标，因此本题可通过研究二次函数y=x2+ax+b的图象获解.证明：（１）∵二次函数f（x）＝x2+ax+b开口向上，故必有f（±２）>0，即4+２a+b>0，4-2a+b>0，∴２a>-（４＋b），２a<4+b，∴2a<4+b.又由韦达定理，得可得4+２a+b>0，4-2a+b>0，∴f（２）>0，f（－２）>0，由f（x）=x2＋ax+b的图象可知，f（x）＝0的每个实根或者均在区间（－∞，－２）之内，或者均在区间（－２，２）之内，或者均在区间（２，＋∞）之内.若两根α、β均在区间（－∞，－２）之内，或者均在区间（２，＋∞）之内，则有而这与已知条件矛盾，∴α、β均在区间（－２，２）之内.即【点评】本题充分抓住“三个二次”之间的内在联系，将二次方程实根的研究等价地转化为对二次函数图象的研究与讨论，整个解题过程充满转化与化归.【例18】在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点Ａ、Ｂ，试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点Ｃ，使∠ＡＣＢ取得最大值.解：如图，此题转化为正切函数来解.设点Ａ的坐标为（０，a）点Ｂ的坐标为（０，b），a>b>0，又设所求的点Ｃ的坐标为（x，０），x>0，则∠ＯＣＡ＝α＋β，显然，0<α<，令，那么当x=时，y取得最小值２，因此，当x=时，tanα取得最大值.∵在（０，）内tanα是增函数，∴当x=时，∠ＡＣＢ取最大值arctan.故所求点Ｃ的坐标为（，０）.【点评】将求角的最值问题等价地转化为三角函数最值问题是求解本题的关键.小结:有些数学问题，本身并无明显的函数关系，但经仔细分析后，可以找到一个函数，通过对此函数的研究，运用函数的有关性质，打通解题的思路.【例19】若正数a、b满足ab=a+b+3，求ab的取值范围.解析：此题若由ab=a+b+3想直接推出ab的取值范围是走不通的，现在只能换一个角度，用转化的思想，由于a、b是正数，显然a＋b≥２成立，当且仅当a=b时取等号.把等式ab=a+b+3转化为关于ab的不等式：ab≥２＋３，这是关键的一步.解不等式（）２－２－３≥０得≥３，或≤－１（舍去）∴ab≥９即ab的取值范围是ab≥９.【点评】“遇困难，要转化”，这是解题的基本思想方法，本题在a、b为正数的条件下，运用基本不等式a+b≥２，将等式转化为不等式，通过解不等式求得ab 的取值范围，这里有一定的技巧，但也含有思维的基本规律.【例20】.设x、y∈R且3x2＋2y2＝6x，求x2＋y2的范围。

高考数学二轮复习第1部分技法篇数学思想专练4 转化与化归思想

数学思想专练(四) 转化与化归思想题组1 正与反的相互转化1．由命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的取值是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，2) C ．1D ．2C [命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x ∈R ，使e|x －1|－m ＞0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.]2．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( ) A.15 B ．35 C.710D ．910D [甲或乙被录用的对立面是甲、乙均不被录用，故所求事件的概率为1－110＝910.]3．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )＞0，则实数p 的取值范围为________.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 [如果在[－1,1]内没有值满足f (c )＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧f －，f⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32⇒p ≤－3或p ≥32，取补集为－3＜p ＜32，即为满足条件的p的取值范围．故实数p 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－3，32.]4．若椭圆x 22＋y 2＝a 2(a ＞0)与连接两点A (1,2)，B (3,4)的线段没有公共点，则实数a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，322∪⎝ ⎛⎭⎪⎫822，＋∞ [易知线段AB 的方程为y ＝x ＋1，x ∈[1,3]，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝a 2，得a 2＝32x 2＋2x ＋1，x ∈[1,3]，∴92≤a 2≤412. 又a ＞0，∴322≤a ≤822.故当椭圆与线段AB 没有公共点时，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，322∪⎝ ⎛⎭⎪⎫822，＋∞.]5．已知点A (1,1)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆的两焦点，且满足|AF 1|＋|AF 2|＝4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B 是椭圆上任意一点，当|AB |最大时，求证：A ，B 两点关于原点O 不对称.[解] (1)由椭圆定义，知2a ＝4，所以a ＝2.所以x 24＋y 2b2＝1．2分把A (1,1)代入，得14＋1b 2＝1，得b 2＝43，所以椭圆方程为x 24＋y 243＝1．4分所以c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，即c ＝263.故两焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫263，0．6分(2)证明：假设A ，B 两点关于原点O 对称，则B 点坐标为(－1，－1)，7分此时|AB |＝22，而当点B 取椭圆上一点M (－2,0)时，则|AM |＝10，所以|AM |>|AB |．10分从而知|AB |不是最大，这与|AB |最大矛盾，所以命题成立． 12分题组2 函数、方程、不等式之间的转化6．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，518 B ．(－∞，3] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞ D ．[3，＋∞)C [f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上恒成立，因为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上单调递增，所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14＝518，故选C.]7．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，f (x )单调递增，则不等式f (x ＋1)＞f (1－2x )的解集为________.(－∞，0)∪(2，＋∞) [∵f (x )在(－∞，0)上单调递增，且f (x )是偶函数，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，又∵f (x )是偶函数，∴不等式f (x ＋1)＞f (1－2x )可化为f (|x ＋1|)＞f (|1－2x |)，∴|x ＋1|＜|1－2x |，∴(x ＋1)2＜(1－2x )2，解得x ＜0或x＞2，故原不等式的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．]8．(本小题满分12分)设a 为实数，函数f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R ，(1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a ＞ln 2－1且x ＞0时，e x＞x 2－2ax ＋1成立. [解] (1)由f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x－2，x ∈R ． 1分令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2．2分于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递减单调递增3分故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)， 4分单调递增区间是(ln 2，＋∞)，5分f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a ＝2－2ln 2＋2a ，无极大值．6分(2)证明：设g (x )＝e x－x 2＋2ax －1，x ∈R ，于是g ′(x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R .7分由(1)知当a ＞ln 2－1时，g ′(x )取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )＞0．8分于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )＞0，所以g (x )在R 上单调递增.9分于是当a ＞ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞g (0)．10分而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞0. 即e x －x 2＋2ax －1＞0，故e x ＞x 2－2ax ＋1成立． 12分题组3 主与次的相互转化9．设f (x )是定义在R 上的单调递增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为________.(－∞，－1]∪[0，＋∞) [∵f (x )是R 上的增函数， ∴1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]．①①式可化为(x －1)a ＋x 2＋1≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧g －＝x 2－x ＋2≥0，g ＝x 2＋x ≥0，解得x ≥0或x ≤－1.即实数x 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)．]10．已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0，则实数x 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 [由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1. 对－1≤a ≤1，恒有g (x )＜0，即φ(a )＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ＜0，φ－＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2＜0，3x 2＋x －8＜0，解得－23＜x ＜1.故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0.] 11．已知函数f (x )＝13x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－43x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23a x (0＜a ＜1，x ∈R )．若对于任意的三个实数x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)＞f (x 3)恒成立，求实数a 的取值范围.[解] 因为f ′(x )＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －83x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23(x ＋a －2)，2分所以令f ′(x )＝0，解得x 1＝23，x 2＝2－a .3分由0＜a ＜1，知1＜2－a ＜2.所以令f ′(x )＞0，得x ＜23或x ＞2－a ；4分令f ′(x )＜0，得23＜x ＜2－a ，所以函数f (x )在(1,2－a )上单调递减，在(2－a,2)上单调递增.5分所以函数f (x )在[1,2]上的最小值为f (2－a )＝a6(2－a )2，最大值为max{f (1)，f (2)}＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫13－a 6，23a ．6分因为当0＜a ≤25时，13－a 6≥23a ；7分当25＜a ＜1时，23a ＞13－a6，8分由对任意x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)＞f (x 3)恒成立，得2f (x )min ＞f (x )max (x ∈[1,2])．所以当0＜a ≤25时，必有2×a 6(2－a )2＞13－a 6，10分结合0＜a ≤25可解得1－22＜a ≤25；当25＜a ＜1时，必有2×a 6(2－a )2＞23a ，结合25＜a ＜1可解得25＜a ＜2－ 2.综上，知所求实数a 的取值范围是1－22＜a ＜2－2． 12分。

高考数学二轮1思想方法训练4 转化与化归思想

思想方法训练4 转化与化归思想能力突破训练1.已知M={(x ,y )|y=x+a },N={(x ,y )|x 2+y 2=2},且M ∩N=⌀,则实数a 的取值范围是( ) A.a>2 B.a<-2 C.a>2或a<-2 D.-2<a<22.(2021江苏常州高级中学高三月考)在数列{a n }中,a 1=12,a m+n =a m a n (m ,n ∈N *),则a 6=( ) A.116 B.132 C.164D.11283.设P 为曲线C :y=x 2+2x+3上的点,且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为[0,π4],则点P 横坐标的取值范围为( ) A .[-1,-12] B .[-1,0]C .[0,1]D .[12,1]4.已知cos(π-α)=35,则sin (3π2-α)的值为( ) A.±45 B.-45C.-35D.355.已知定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (1)=3,且f (x )的导数f'(x )在R 上恒有f'(x )<2(x ∈R ),则不等式f (x )<2x+1的解集为( ) A .(1,+∞) B .(-∞,-1) C .(-1,1) D .(-∞,-1)∪(1,+∞)6.(2021广西崇左高三检测)已知函数f (x )在区间[0,2]上单调递增,且函数f (x+2)是偶函数,则下列结论成立的是( ) A.f (1)<f (52)<f (72) B.f (72)<f (1)<f (52) C.f (72)<f (52)<f (1) D.f (52)<f (1)<f (72)7.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆x 2+y 2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c 的取值范围是 .8.(2021上海进才中学高三月考)如图所示,在侧棱长为2√3的正三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°,过点A作截面AEF,△AEF的周长的最小值为.9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且13a cos A-5c cos B=5b cos C.(1)求sin A;(2)若a=2√7,且△ABC的面积为6,求△ABC的周长.10.已知函数f(x)=23x3-2ax2-3x.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(2)已知对一切x∈(0,+∞),af'(x)+4a2x≥ln x-3a-1恒成立,求实数a的取值范围.思维提升训练11.已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为抛物线上的动点,又点A(-1,0),则|PF||PA|的最小值是()A.12B.√22C.√32D.2√3312.(2021江苏扬州高三质检)函数f(x)=2sin x cos x-sin x-cos x(x∈R)的最小值是()A.1B.14C.-1 D.-5413.(2021山东烟台二中高三三模)已知数列{a n}满足a n=log2(n+2n+1).给出定义:使数列{a n}的前k项和为正整数的k(k∈N*)叫做“好数”,则在区间[1,2 021]内的所有“好数”的和为.14.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,若∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,则m的取值范围是.15.已知函数f(x)=(a+2)x2+ax-ln x(a∈R).(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)设g(x)=x2-23x3,若∀x1∈(0,1],∃x2∈[0,1],使得f(x1)≥g(x2)成立,求实数a的取值范围.答案：能力突破训练1.C 解析:M ∩N=⌀等价于方程组{y =x +a ,x 2+y 2=2无解.把y=x+a 代入到方程x 2+y 2=2中,消去y , 得到关于x 的一元二次方程2x 2+2ax+a 2-2=0,①由题易知一元二次方程①无实根,即Δ=(2a )2-4×2×(a 2-2)<0,由此解得a>2或a<-2. 2.C 解析:依题意,令m=1,则a n+1=a 1a n =12a n ,所以数列{a n }是首项为12,公比为12的等比数列,所以a n =12×(12)n -1=(12)n ,所以a 6=(12)6=164.3.A 解析:设P (x 0,y 0),曲线C 在点P 处的切线的倾斜角为α,则0≤tan α≤1,令y=f (x )=x 2+2x+3,则f'(x )=2x+2, 于是0≤2x 0+2≤1,-1≤x 0≤-12,故选A. 4.D 解析:因为cos(π-α)=-cos α=35, 所以sin (3π2−α)=-cos α=35.故选D .5.A 解析:设F (x )=f (x )-2x-1,则F'(x )=f'(x )-2<0,得F (x )在R 上是减函数.又F (1)=f (1)-2-1=0,即当x>1时,F (x )<0,即不等式f (x )<2x+1的解集为(1,+∞),故选A. 6.B 解析:因为函数f (x+2)是偶函数,所以f (x+2)=f (-x+2),即函数f (x )的图象关于直线x=2对称.又因为函数f (x )在区间[0,2]上单调递增,所以函数f (x )在区间[2,4]上单调递减. 因为f (1)=f (3),72>3>52,所以f (72)<f (3)<f (52),即f (72)<f (1)<f (52).7.(-13,13) 解析:若圆上有四个点到直线的距离为1,则需圆心(0,0)到直线的距离d 满足0≤d<1. ∵d=√122+52=|c |13,∴0≤|c|<13,即c ∈(-13,13).8.6 解析:如图,将三棱锥V-ABC 沿侧棱VA 剪开,并将其侧面展开平铺在同一个平面上,则线段AA 1的长即为所求△AEF 的周长的最小值.由题意可知∠AVA 1=40°×3=120°,VA=VA 1=2√3,由余弦定理,得A A 12=VA 2+V A 12-2VA·VA 1cos ∠AVA 1=36,所以AA 1=6,即△AEF 的周长的最小值为6. 9.解:(1)因为13a cos A-5c cos B=5b cos C , 所以13sin A cos A=5sin B cos C+5sin C cos B , 即13sin A cos A=5sin(B+C ), 所以13sin A cos A=5sin A ,因为0°<A<180°,所以sin A>0,所以cos A=513, 所以sin A=√1-cos 2A =1213.(2)因为S △ABC =12bc sin A=613bc=6,所以bc=13,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A=b 2+c 2-10=(b+c )2-2bc-10=(b+c )2-36,即28=(b+c )2-36,解得b+c=8,所以△ABC 的周长为8+2√7. 10.解:(1)由题意知当a=0时,f (x )=23x 3-3x , 所以f'(x )=2x 2-3.又f (3)=9,f'(3)=15,所以曲线y=f (x )在点(3,f (3))处的切线方程为15x-y-36=0. (2)f'(x )=2x 2-4ax-3,则由题意得2ax 2+1≥ln x ,即a ≥lnx -12x 2在x ∈(0,+∞)内恒成立.设g (x )=lnx -12x 2,则g'(x )=3-2lnx 2x 3,当0<x<e 32时,g'(x )>0;当x>e 32时,g'(x )<0, 所以当x=e 32时,g (x )取得最大值,且g (x )max =14e 3, 故实数a 的取值范围为[14e 3,+∞).思维提升训练11.B 解析:显然点A 为准线与x 轴的交点,如图,过点P 作PB 垂直准线于点B ,则|PB|=|PF|.∴|PF ||PA |=|PB ||PA |=sin ∠PAB.设过A 的直线AC 与抛物线切于点C ,则0<∠BAC ≤∠PAB ≤π2,∴sin ∠BAC ≤sin ∠PAB.设切点为(x 0,y 0),则y 02=4x 0,又y 0x+1=y'|x=x 0=√x ,解得{x 0=1,y 0=2,∴C (1,2),|AC|=2√2. ∴sin ∠BAC=2√2=√22,∴|PF ||PA |的最小值为√22. 故应选B.12.D 解析:令t=sin x+cos x=√2sin (x +π4),则t ∈[-√2,√2],∴2sin x cos x=t 2-1,∴f (x )=2sin x cos x-sin x-cos x 可转化为g (t )=t 2-t-1=(t -12)2−54,∴当t=12时,g (t )的最小值为-54,即f (x )的最小值为-54.13.2 026 解析:设{a n }的前n 项和为S n ,则S n =log 2(1+21+1)+log 2(2+22+1)+…+log 2(n+2n+1)=log 232+log 243+…+log 2(n+2n+1)=log 2n+22=log 2(n+2)-log 22=log 2(n+2)-1,所以S k =log 2(k+2)-1. 因为S k 为正整数,所以log 2(k+2)≥2,且log 2(k+2)为正整数. 令m=log 2(k+2)(m ≥2,且m ∈N *),则k=2m -2. 又k ∈[1,2021],所以m=2,3,4, (10)所以所有“好数”的和为22-2+23-2+…+210-2=22×(1-29)1-2-2×9=2026.14.(-4,0) 解析:将问题转化为g (x )<0的解集的补集是f (x )<0的解集的子集求解. ∵g (x )=2x -2<0,∴x<1.又∀x ∈R,f (x )<0或g (x )<0,∴[1,+∞)是f (x )<0的解集的子集. 又由f (x )=m (x-2m )(x+m+3)<0知m 不可能大于等于0,因此m<0. 当m<0时,f (x )<0,即(x-2m )(x+m+3)>0,若2m=-m-3,即m=-1,此时f (x )<0的解集为{x|x ≠-2},满足题意; 若2m>-m-3,即-1<m<0,此时f (x )<0的解集为{x|x>2m 或x<-m-3}, 依题意2m<1,即-1<m<0;若2m<-m-3,即m<-1,此时f (x )<0的解集为{x|x<2m 或x>-m-3}, 依题意-m-3<1,m>-4,即-4<m<-1.综上可知,满足条件的m 的取值范围是-4<m<0. 15.解:(1)当a=0时,f (x )=2x 2-ln x ,f'(x )=4x-1x ,则f (1)=2,f'(1)=3,故曲线y=f (x )在(1,f (1))处的切线方程为3x-y-1=0.(2)问题等价于∀x 1∈(0,1],∃x 2∈[0,1],f (x 1)min ≥g (x 2)min .由g (x )=x 2-23x 3,得g'(x )=2x-2x 2,由g'(x )=2x-2x 2≥0,得0≤x ≤1.所以在区间[0,1]上g (x )单调递增,故g (x )min =g (0)=0. f (x )的定义域为(0,+∞), 而f'(x )=2(a+2)x+a-1x =2(a+2)x 2+ax -1x=(2x+1)[(a+2)x -1]x.当a ≤-2时,f'(x )<0恒成立,f (x )在区间(0,1]上单调递减,所以f (x )min =f (1)=2(a+1)≥0,解得a ≥-1,又a ≤-2,所以这样的a 不存在. 当a>-2时,由f'(x )<0,得0<x<1a+2;由f'(x )>0,得x>1a+2,所以f (x )在区间(0,1a+2)上单调递减,在区间(1a+2,+∞)上单调递增. 若1a+2>1,即-2<a<-1时,f (x )在区间(0,1]上单调递减,所以f (x )min =f (1)=2(a+1)≥0,解得a ≥-1,又-2<a<-1,所以这样的a 不存在;若0<1a+2≤1,即a ≥-1时,f (x )在x=1a+2处取得最小值,f (x )min =f (1a+2)=1+ln(a+2)-1a+2.令h (a )=1+ln(a+2)-1a+2(a ≥-1),则h'(a )=1a+2+1(a+2)2=a+3(a+2)2>0在区间[-1,+∞)上恒成立,所以h (a )在区间[-1,+∞)上单调递增,且h (a )min =h (-1)=0,此时f (x )min =f (1a+2)≥0成立,满足条件.综上所述,实数a 的取值范围为a ≥-1.。

高考数学总复习数学思想专项训练(二)转化与化归思想文北师大版

数学思想专项训练(二) 转化与化归思想一、选择题1．已知奇函数f (x )在R 上单调递增，且f (x 2＋x )－f (2)<0，则实数x 的取值范围为( )A ．(－2，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－2,1)D ．(－1,2)2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝4n＋t (t 是实数)，下列结正确的是( ) A ．t 为任意实数，{a n }均是等比数列 B ．当且仅当t ＝－1时，{a n }是等比数列 C ．当且仅当t ＝0时，{a n }是等比数列 D ．当且仅当t ＝－4时，{a n }是等比数列3．关于x 的不等式x 2＋16≥mx 在x ∈[1,10]上恒成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．(1,8)B ．(1,8]C ．(－∞，8)D ．(－∞，8]4．如图所示，在棱长为5的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝2，点Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积( )A ．是变量且有最大值B ．是变量且有最小值C ．是变量有最大值和最小值D ．是常量5．如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3，那么y x的最大值是( ) A.12B.33C.32D. 36．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右支上存在一点P ，使得点P 到双曲线右焦点的距离等于它到直线x ＝－a 2c(其中c 2＝a 2＋b 2)的距离，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A ．(1，2]B ．[2，＋∞)C ．(1，2＋1]D ．[2＋1，＋∞)二、填空题7．设α为第四象限的角，若sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝________.8．若f (x )是定义在R 上的函数，对任意实数x 都有f (x ＋3)≤f (x )＋3和f (x ＋2)≥f (x )＋2，且f (1)＝1，则f (2 014)＝________.9．给定k ∈N +，设函数f ：N +→N +满足：对于任意大于k 的正整数n ，f (n )＝n －k .已知命题：k ＝3，当n ≤3且n ∈N +时，2≤f (n )≤3为真命题，则不同的函数f 的个数为________．10．若椭圆C 的方程为x 25＋y 2m ＝1，焦点在x 轴上，与直线y ＝kx ＋1总有公共点，那么m 的取值范围为________．三、解答题11．对于满足|p |≤2的所有实数p ，求使不等式x 2＋px ＋1＞2x ＋p 恒成立的x 的取值范围．12．设P 是双曲线x 23－y 2＝1右支上的一个动点，F 是双曲线的右焦点，已知A 点的坐标是(3,1)，求|PA |＋|PF |的最小值．答案1．选C 依题意，由f (x 2＋x )－f (2)<0可得f (x 2＋x )<f (2)，由f (x )在R 上单调递增，即x 2＋x <2，得－2<x <1.2．选 B ∵S n ＝4n＋t ，∴S 1＝4＋t ，S 2＝16＋t ，S 3＝64＋t ，∴a 1＝4＋t ，a 2＝S 2－S 1＝12，a 3＝S 3－S 2＝48，若{a n }是等比数列，则a 22＝a 1a 3，∴122＝48(4＋t )，∴t ＝－1.3．选D 由于x ∈[1,10]，原不等式可化为m ≤x ＋16x.又x ＋16x≥2x ·16x＝8，当x ＝4时，等号成立．所以m ≤8，即m 的取值范围是(－∞，8]．4．选D 点Q 到棱AB 的距离为常数，所以△EFQ 的面积为定值．由C 1D 1∥EF ，可得棱C 1D 1∥平面EFQ ，所以点P 到平面EFQ 的距离是常数．于是四面体PQEF 的体积为常数．5．选D 原题即为：在圆(x －2)2＋y 2＝3上求一点P ，使直线OP 的斜率最大．如图，显然当直线OP 为圆的切线时斜率最大，设此时OP 与x 轴的夹角为θ，则有sin θ＝32，所以tan θ＝ 3. 6．选C 若离心率e ＝2，设双曲线为x 2－y 23＝1，P (x ，y )，则右焦点为(2,0)，依题意有⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＝(x －2)2＋y 2，联立双曲线方程，消去y ，得12x 2－20x ＋3＝0，该方程有实根，所以离心率可以取2，排除A ，D.若离心率e ＝3，设双曲线为x 2－y 28＝1，双曲线上不存在点P 使P 点到双曲线右焦点(3,0)的距离等于它到直线x ＝－13的距离，所以离心率不可以取3，排除B ，D ，选C.7．解析：借助三角变换转化求cos 2α、sin 2α，∵sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α， ∴sin 3αsin α＝2cos 2α＋cos 2α＝1＋cos 2α＋cos 2α＝135.∴cos 2α＝45.又2k π－π2＜α＜2k π(k ∈Z )，∴4kπ－π<2α<4k π(k ∈Z )， ∴sin 2α＝－35.∴tan 2α＝－34.答案：－348．解析：∵f (x ＋1)≤f (x ＋3)－2≤f (x )＋3－2＝f (x )＋1，f (x ＋1)≥f (x ＋4)－3≥f (x ＋2)＋2－3≥f (x )＋4－3＝f (x )＋1，∴f (x )＋1≤f (x ＋1)≤f (x )＋1，∴f (x ＋1)＝f (x )＋1，∴数列{f (n )}为首项为1，公差为1的等差数列． ∴f (2 014)＝f (1)＋2 013×1＝2 014. 答案：2 0149．解析：由题可知k ＝3，n ＞3时，f (n )＝n －3，(n －3)∈N +，而n ≤3时，2≤f (n )≤3，即f (n )∈{2,3}，即n ∈{1,2,3}，f (n )∈{2,3}，一一列举可知，三对一的有2种，二对一的有6种，不同的函数f 的个数为8.答案：810．解析：由椭圆C 的方程及焦点在x 轴上，知0＜m ＜5. 又直线与椭圆总有公共点，直线恒过点(0,1)，则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上．则025＋12m ≤1，即m ≥1. 故m 的取值范围为[1,5)．答案：[1,5)11．解：构造函数f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，|p |≤2.当⎩⎪⎨⎪⎧f －2＞0，f2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1＋x 2－2x ＋1＞02x －1＋x 2－2x ＋1＞0时，亦即当⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0，x 2－1＞0，(*)时，f (p )＞0(|p |≤2)恒成立，由(*)式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞3或x ＜1x ＞1或x ＜－1∴x ＞3或x ＜－1.∴当x ＞3或x ＜－1时，f (p )＞0(|p |≤2)恒成立．即：x 2＋px ＋1＞2x ＋p 恒成立．12．解：若设出P 点坐标，把|PA |＋|PF |表示出来，再求最值相当困难．画出图形，联想双曲线的定义，则可使问题迎刃而解．设F ′为双曲线的左焦点，则|PF ′|－|PF |＝23， |PF |＝|PF ′|－23，∴|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PF ′|－23，原问题转化成了求|PA |＋|PF ′|的最小值问题，(如图)(|PA |＋|PF ′|)min ＝|AF ′|＝26.∴(|PA |＋|PF |)min ＝(|PA ＋|PF ′|)min －2 3 ＝26－2 3.。

高考数学大一轮复习数学思想专项训练(二)转化与化归思想理(含解析)

数学思想专项训练(二) 转化与化归思想一、选择题1．已知函数f (x )＝ln x ＋2x，若f (x 2－4)＜2，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(2，5)C ．(－5，－2)D ．(－5，－2)∪(2，5)2．已知函数f (x )＝a x和函数g (x )＝b x都是指数函数，则“f (2)＞g (2)”是“a ＞b ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图所示，在棱长为5的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝2，点Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积( )A ．是变量且有最大值B ．是变量且有最小值C ．是变量有最大值和最小值D ．是常量4．已知点P 在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，则|PQ |的最小值为( ) A.924B ．2 2 C.322D. 2 5．在平面直角坐标系中，若与点A (1,1)的距离为1，且与点B (2，m )的距离为2的直线l 恰有两条，则实数m 的取值范围是( )A ．[1－22，1＋22]B ．(1－22，1＋22)C ．[1－22，1)∪(1,1＋22]D ．(1－22，1)∪(1,1＋22)6．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞) D ．[4，＋∞) 二、填空题7．已知f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，对任意的x 1≥0，x 2≥0，若x 1≠x 2，则f x 2－f x 1x 2－x 1＜0.如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝34，4f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 18x ＞3，那么x 的取值范围为________．8．已知tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，则sin 2αcos 2β＝________.9．(2015·西城期末)已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．10．若椭圆C 的方程为x 25＋y 2m ＝1，焦点在x 轴上，与直线y ＝kx ＋1总有公共点，那么m 的取值范围为________．三、解答题11．(2015·潍坊二检)设奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，若函数f (x )≤t 2－2at ＋1(其中t ≠0)对所有的x ∈[－1,1]都成立，当a ∈[－1,1]时，求t 的取值范围．12．设P 是双曲线x 23－y 2＝1右支上的一个动点，F 是双曲线的右焦点，已知A 点的坐标是(3,1)，求|PA |＋|PF |的最小值．答案1．选D 因为函数f (x )＝ln x ＋2x在定义域上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)＜2得f (x 2－4)<f (1)，所以0＜x 2－4＜1，解得－5＜x ＜－2或2＜x ＜ 5.2．选C 由于函数f (x )＝a x和函数g (x )＝b x都是指数函数，则a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，f (2)＞g (2)等价于a 2＞b 2，等价于a ＞b ，所以“f (2)＞g (2)”是“a ＞b ”的充要条件．故选C.3．选D 点Q 到棱AB 的距离为常数，所以△EFQ 的面积为定值．由C 1D 1∥EF ，可得棱C 1D 1∥平面EFQ ，所以点P 到平面EFQ 的距离是常数．于是四面体PQEF 的体积为常数．4．选A 设与直线x ＋y ＋5＝0平行且与抛物线y 2＝2x 相切的直线方程是x ＋y ＋m ＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋m ＝0，y 2＝2x消去x 得y 2＋2y ＋2m ＝0，令Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，因此|PQ |的最小值为直线x ＋y ＋5＝0与直线x ＋y ＋12＝0之间的距离，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－122＝924.5．选D 由题意可得，以点A (1,1)为圆心、1为半径的圆与以点B (2，m )为圆心、2为半径的圆相交，则1＜1＋(m －1)2＜9，得1－22＜m ＜1＋2 2 且m ≠1.6．选B 2x ln x ≥－x 2＋ax －3恒成立，即a ≤2ln x ＋x ＋3x恒成立．设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x，则h ′(x )＝x ＋3x －1x2(x ＞0)．当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.7．解析：依题意得，函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，又f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，所以函数f (x )在(－∞，0)上是增函数，则4f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 18x ＞3等价于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 18x ＞34，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 18x ＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 18x ＜13，解得12＜x ＜2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 8．解析：sin 2αcos 2β＝sin[α＋β＋α－β]cos[α＋β－α－β]＝ sin α＋βcos α－β＋cos α＋βsin α－βcos α＋βcos α－β＋sin α＋βsin α－β＝tan α＋β＋tan α－β1＋tan α＋βtan α－β＝1.答案：19．解析：因为命题p 是假命题，所以綈p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12＞0恒成立．当a ＝0时，x ＞－12，不满足题意；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－4×12×a ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0a ＞12，所以a ＞12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞10．解析：由椭圆C 的方程及焦点在x 轴上，知0＜m ＜5. 又直线y ＝kx ＋1与椭圆总有公共点，直线恒过点(0,1)，则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上．则025＋12m ≤1，即m ≥1. 故m 的取值范围为[1,5)．答案：[1,5)11．解：因为奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，所以最大值为f (1)＝1，要使f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则1≤t 2－2at ＋1，即t 2－2at ≥0.令g (a )＝－2ta ＋t 2，可知⎩⎪⎨⎪⎧g －1≥0，g1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋t 2≥0，－2t ＋t 2≥0，解得t ≥2或t ≤－2.故t 的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞) 12．解：设F ′为双曲线的左焦点，则|PF ′|－|PF |＝23， |PF |＝|PF ′|－23，∴|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PF ′|－23，原问题转化成了求|PA |＋|PF ′|的最小值问题，(如图)(|PA |＋|PF ′|)min ＝|AF ′|＝26.∴(|PA |＋|PF |)min ＝(|PA ＋|PF ′|)min －2 3 ＝26－2 3.。

高考数学专题练习 4转化与化归思想理

高考数学专题练习 4转化与化归思想理(推荐时间：45分钟)一、选择题1．若α、β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，且αsin α－βsin β＜0，则下面结论正确的是( ) A ．α＞βB ．α＋β＞0C ．α＜βD ．α2＞β2 2．方程sin 2x ＋cos x ＋k ＝0有解，则k 的取值范围是( )A ．－1≤k ≤54B ．－54≤k ≤0C ．0≤k ≤54D ．－54≤k ≤1 3．已知O A →＝(cos θ1,2sin θ1)，O B →＝(cos θ2，2sin θ2)，若O A →′＝(cos θ1，sin θ1)，O B →′＝(cos θ2，sin θ2)，且满足O A →′·O B →′＝0，则S △OAB 等于( ) A.12B ．1C ．2D ．4 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C.12 D.145．已知△ABC 内任意三点不共线的2 010个点，加上A 、B 、C 共有2 011个点，将这2 011个点连线形成互不重叠的小三角形的个数为( )A ．1 304B ．2 568C ．3 014D ．4 0236．在等比数列{a n }中，a 1＝a ，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}成等差数列，则S n 等于( )A ．a n ＋1－aB ．n (a ＋1)C ．naD ．(a ＋1)n －1 7．已知函数f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋a ，若1≤f (x )≤174对一切x ∈R 都成立，则参数a 的取值范围为( )A ．3<a <4B ．3<a ≤4C ．3≤a ≤4D ．3≤a <48．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q 且a 2＝－6，那么a 10等于( )A ．－165B ．－33C ．－30 C ．－219．设函数f (x )＝x －2m sin x ＋(2m －1)sin x cos x (m 为实数)在(0，π)上为增函数，则m 的取值范围为( )A ．[0，23] B ．(0，23) C ．(0，23] D ．[0，23] 10．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x )2<1(i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是( )A ．(0，1a 1) B ．(0，2a 1) C ．(0，1a 3)D ．(0，2a 3)二、填空题 11．函数f (x )＝x ＋1－x 的值域为________．12．在各棱长都等于1的正四面体OABC 中，若点P 满足OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)，则|OP →|的最小值为________．13．若x ，y ∈R ，集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x a －y b ＝1，a >0，b >0}，当A ∩B 有且只有一个元素时，a 、b 满足的关系式是______．14．在Rt△ABC 中，C ＝π2，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，r ，S 分别表示它的内切圆半径和面积，则cr S的取值范围是__________．15．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，那么f (2)，f (1)，f (4)的大小关系是________．16．设f (x )是定义在R 上的单调增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为________．17．已知非空集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0，x ∈R }，若A ∩R －≠∅，则实数m 的取值范围为________．(R －表示负实数集，R ＋表示正实数集)．1．D· 2．D 3．B 4．B 5．D 6．C 7．C 8．C 9．A 10.B11．[1，2] 12.6313．ab＝a2＋b2 14．[22－2,1)15．f(2)<f(1)<f(4) 16．x≤－1或x≥0 17．m≤－1。

2011届高考数学解题思想方法等价转化思想方法

四、等价转化思想方法等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。

通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。

历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。

转化有等价转化与非等价转化。

等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。

我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。

著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。

数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。

等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。

在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。

它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。

消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。

可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。

由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。

在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。

高考数学二轮复习专题八第2讲分类讨论思想、转化与化归思想提升训练理

第2讲分类讨论思想、转化与化归思想一、填空题1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －1，则它的通项公式a n ＝________．解析当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －1－(3n －1－1)＝2×3n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，也满足式子a n ＝2×3n －1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1. 答案 2×3n －12．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R ，Q 两点，则PR →·PQ →的值为________．解析当直线PQ 与x 轴重合时，|PR →|＝|PQ →|＝a . 答案 a 23．等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为________．解析当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求．当q ≠1时，a 1q 2＝7，a 1（1－q 3）1－q ＝21，解之得，q ＝－12或q ＝1(舍去)．综上可知，q ＝1或－12. 答案 1或－124．方程sin 2x ＋cos x ＋k ＝0有解，则k 的取值范围是________．解析求k ＝－sin 2x －cos x 的值域．k ＝cos 2x －cos x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－54.当cos x ＝12时，k min ＝－54，当cos x ＝－1时，k max ＝1，∴－54≤k ≤1. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 5．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC 等于________．解析 ∵S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4.当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋2＋2＝5，所以AC＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋2－2＝1，所以AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意．故AC ＝ 5.答案 5 6．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5.点D 是边BC 上的动点，AD →＝xAB →＋yAC →，当xy 取最大值时，|AD →|的值为________．解析 ∵AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5， ∴△ABC 为直角三角形．如图建立平面直角坐标系，A (0，0)，B (3，0)，C (0，4)，设D (a ，b )，由AD →＝xAB →＋yAC →，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝4y ，∴xy ＝ab 12.又∵D 在直线l BC ：x 3＋y 4＝1上， ∴a 3＋b 4＝1，则a 3＋b 4≥2ab 12.∴ab 12≤14，即xy ≤14，当且仅当a ＝32，b ＝2时xy 取到最大值14，此时|AD →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52. 答案 527．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三形的三个顶点，且PF 1＞PF 2，则PF 1PF 2的值为________．解析若∠PF 2F 1＝90°，则PF 21＝PF 22＋F 1F 22，∵PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝25，解得PF 1＝143，PF 2＝43，∴PF 1PF 2＝72.若∠F 2PF 1＝90°，则F 1F 22＝PF 21＋PF 22＝PF 21＋(6－PF 1)2，解得PF 1＝4，PF 2＝2，∴PF 1PF 2＝2.综上所述，PF 1PF 2＝2或72. 答案 2或728．已知函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1，1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________．解析若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x ＞0即x ∈(0，1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为 a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3（1－2x ）x 4，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，因为g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4；当x ＜0即x ∈[－1，0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，g ′(x )＝3（1－2x ）x 4＞0，g (x )在区间[－1，0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4.答案 4二、解答题9．数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0.(1)求数列的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n .解 (1)a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，所以a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以{a n ＋1－a n }为常数列，所以{a n }是以a 1为首项的等差数列，设a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 4＝a 1＋3d ，所以d ＝2－83＝－2，所以a n ＝10－2n .(2)因为a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n ＞5时，a n ＜0；当n ＝5时，a n ＝0；当n ＜5时，a n ＞0.所以当n ＞5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝T 5－(T n －T 5)＝2T 5－T n ＝n 2－9n ＋40，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝T n ＝9n －n 2. 所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9n －n 2（n ≤5），n 2－9n ＋40 （n ＞5）. 10．已知函数g (x )＝ax x ＋1(a ∈R )，f (x )＝ln(x ＋1)＋g (x )．(1)若函数g (x )过点(1，1)，求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程；(2)判断函数f (x )的单调性．解 (1)因为函数g (x )过点(1，1)，所以1＝a 1＋1，解得a ＝2，所以f (x )＝ln(x ＋1)＋2x x ＋1.由f ′(x )＝1x ＋1＋2（x ＋1）2＝x ＋3（x ＋1）2，则f ′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3.又f (0)＝0，所以切点为(0，0)，故所求的切线方程为y ＝3x .(2)因为f (x )＝ln(x ＋1)＋ax x ＋1(x ＞－1)，所以f ′(x )＝1x ＋1＋a （x ＋1）－ax （x ＋1）2＝x ＋1＋a （x ＋1）2.①当a ≥0时，因为x ＞－1，所以f ′(x )＞0，故f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；②当a ＜0时，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ）＜0，x ＞－1，得－1＜x ＜－1－a ，故f (x )在(－1，－1－a )上单调递减；由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ）＞0，x ＞－1，得x ＞－1－a ，故f (x )在(－1－a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥0时，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当a ＜0时，函数f (x )在(－1，－1－a )上单调递减，在(－1－a ，＋∞)上单调递增．11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与点F 构成正三角形．(1)求椭圆的方程； (2)若过点(1，0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m ，0)，使PE →·QE →恒为定值？若存在，求出E 的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意，知抛物线的焦点为F (3，0)，所以c ＝a 2－b 2＝ 3.因为椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形，所以b ＝3×33＝1.可求得a ＝2，故椭圆的方程为x 24＋y 2＝1. (2)假设存在满足条件的点E ，当直线l 的斜率存在时设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k （x －1），得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝8k 24k 2＋1，x 1x 2＝4k 2－44k 2＋1.则PE →＝(m －x 1，－y 1)，QE →＝(m －x 2，－y 2)，所以PE →·QE →＝(m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝m 2－8k 2m 4k 2＋1＋4k 2－44k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－44k 2＋1－8k 24k 2＋1＋1 ＝（4m 2－8m ＋1）k 2＋（m 2－4）4k 2＋1＝（4m 2－8m ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋14＋（m 2－4）－14（4m 2－8m ＋1）4k 2＋1＝14(4m 2－8m ＋1)＋2m －1744k 2＋1. 要使PE →·QE →为定值，令2m －174＝0，即m ＝178，此时PE →·QE →＝3364. 当直线l 的斜率不存在时，不妨取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，由E ⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0，可得PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，－32，QE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，32，所以PE →·QE →＝8164－34＝3364.综上，存在点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0，使PE →·QE →为定值3364.。

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