2015年高考专题四 解三角形

专题四 解三角形
1.（15北京理科）在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则
sin 2sin A
C
= ．
【答案】1 【解析】 试题分析：
222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc
+-==⋅
2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯ 考点：正弦定理、余弦定理
2.（15北京文科）在C ∆AB 中，3a =，b =23
π
∠A =
，则∠B = ． 【答案】
4
π
【解析】
试题分析：由正弦定理，得
sin sin a b A B =
，=所以sin B =所以4B π
∠=. 考点：正弦定理.
3.（15年广东理科）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =
1sin 2B =
，6
C =π
，则b = 【答案】1．
【考点定位】本题考查正弦定理解三角形，属于容易题．
4.（15年广东文科）设C ∆AB 的内角A ，B ，
C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，
cos A =
b c <，则b =（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．3
【答案】B 【解析】
试题分析：由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以
(2
2222b b =+-⨯⨯即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ． 考点：余弦定理．
5.(15年安徽理科) 在ABC ∆中，,6,4
A A
B A
C π
===点D 在BC 边上，AD BD =，
求
AD
的
长。

6.（15年安徽文科）在ABC ∆中，6=AB ， 75=∠A ，
45=∠B ，则
=AC 。

【答案】2 【解析】 试
题
分
析
：
由
正
弦
定
理
可
知
：
45sin )]4575(180sin[AC AB =+-245sin 60sin 6=⇒=⇒AC AC
考点：正弦定理.
7.（15年福建理科）若锐角ABC ∆的面积为，且5,8AB AC == ，则BC 等于
________． 【答案】7 【解析】
试题分析：由已知得ABC ∆的面积为
1
s i n 20s i n 2A B A C A A ⋅
=1=，所
以s i n 2
A =，
(0,)
2
A π
∈，所以
3
A π
=
．由余弦定理得
2222c o s B C A B A C
A B A C A
=
+-⋅=49，7BC =． 考点：1、三角形面积公式；2、余弦定理．
8.（15年福建文科）若ABC ∆
中，AC =，045A =，0
75C =，则BC =_______．
【解析】
试题分析：由题意得0
18060B A C =--=．由正弦定理得
sin sin AC BC
B A
=，则s i n s i n A C A
BC B
=
，
所以BC =
=
考点：正弦定理． 9.(15年新课标1理科)
10.（15年新课标2理科）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 是∆ADC
面积的2倍。

(Ⅰ)求
C
B
∠∠sin sin ;
(Ⅱ) 若AD =1，DC =
2
2
求BD 和AC 的长.
11.（15年新课标2文科）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . （I ）求
sin sin B
C
∠∠ ；
（II ）若60BAC ∠= ,求B ∠. 【答案】（I ）
12
；30
.
考点：解三角形
12.(15年陕西理科) C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，
b ，
c ．向量()
m a =
与()cos ,sin n =A B
平行． （I ）求A ；
（II ）若a =2b =求C ∆AB 的面积．
【答案】（I ）
3π；（II ）2
．
试题解析：（I ）因为//m n
，所以sin cos 0a B A -=，
由正弦定理，得sinAsinB 0-
=
又sin 0B ≠，从而tan A 由于0A π<<，所以3
A π
=
(II)解法一：由余弦定理，得2
2
2
2cos a b c bc A =+-
而2,a =3
π
A =
得2
742c c =+-，即2
230c c --= 因为0c >，所以3c =.
故∆ABC 的面积为
1bcsinA 22
=
.
考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式.
13.（15年陕西文科）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()m a =
与
(cos ,sin )n A B =
平行.
(I)求A ；
(II)若2a b ==求ABC ∆的面积.
【答案】(I) 3
A π
=
；(II)
试题解析：(I)因为//m n
，所以sin cos 0a B A =
由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A =，
又sin 0B ≠，从而tan A =
由于0A π<< 所以3
A π
=
(II)解法一：由余弦定理，得
2222cos a b c bc A =+-，而2a b ==，3
A π
=
，
得2
742c c =+-，即2
230c c --= 因为0c >，所以3c =，
故ABC ∆面积为
1sin 22
bc A =.
2sin sin
3
B
=
从而sin B =
又由a b >知A B >，所以cos B = 故sin sin()sin()3
C A B B π
=+=+
sin cos
cos sin
3
3
B B π
π
=+=
所以ABC ∆面积为
1sin 22
ab C =
. 考点：1.正弦定理和余弦定理；2.三角形的面积.
14.（15年天津理科）在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的
面积为，12,cos ,4
b c A -==- 则a 的值为 . 【答案】8 【解析】
试题分析：因为0A π<<，所以sin 4
A ==
，
又1sin 2428ABC S bc A bc ∆=
==∴=，解方程组224
b c bc -=⎧⎨
=⎩得6,4b c ==，由余弦定理得
2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫
=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
，所以8a =.
考点：1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理. 15．（15年天津文科）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为
12,cos ,4
b c A -==-
（I ）求a 和sin C 的值； （II ）求cos 26A π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的值.
【答案】（I ）a =8,sin 8C =（II ）16
. 【解析】
考点：1.正弦定理、余弦定理及面积公式；2三角变换.。