11状态估计与参数辨识
状态估计与参数辨识技术在控制系统中的应用
状态估计与参数辨识技术在控制系统中的应用在现代自动控制系统中，状态估计和参数辨识技术是两项重要的技术手段。
这两种技术可以帮助我们获得系统的内部状态和动态特性，为控制系统的设计和实现提供基础支持和参考依据。
状态估计技术是指在没有直接测量某些系统变量的情况下，通过已知的系统输入和输出数据，推算出系统内部状态的方法。
在实际应用中，由于某些系统状态难以直接测量或者需要高成本的传感器设备，状态估计技术可以弥补这一缺陷，实现对系统状态的准确判断和控制。
状态估计技术通常包括基于滤波算法的扩展卡尔曼滤波（EKF）和无迹卡尔曼滤波（UKF）等方法。
其中，EKF方法利用系统的动态方程和观测方程，通过对观测方程进行线性化，实现对系统状态的估计。
而UKF方法则直接通过一系列采样点进行状态估计，避免了系统线性化带来的误差。
除了状态估计技术，参数辨识技术也是控制系统设计的重要环节。
参数辨识技术是指利用渐进恒定性分析或优化方法来实现对系统未知参数的辨识和估计。
通过对系统的动态特性进行观察和分析，以及对系统输入、输出信号进行采集和处理，得到系统各种参数的估计值，从而可以实现对控制效果的优化和改进。
参数辨识技术的方法包括最小二乘法（LS）、极限模型法（EM）和扩展最小二乘法（ELS）等。
其中，最小二乘法是一种比较常用的方法，它通过对偏差进行最小化，实现对参数的辨识和估计。
状态估计和参数辨识技术的应用非常广泛，例如在机器人的导航和控制中，就需要利用状态估计技术对机器人的内部状态进行估计，从而实现对运动状态的控制和优化。
而在自适应控制领域，参数辨识技术可以对系统动态特性进行估计和辨识，从而实现对控制效果的优化和改进。
总体来说，状态估计和参数辨识技术是现代自动控制系统中不可或缺的技术手段。
这两种技术可以帮助我们更好地理解和掌握控制系统的内部状态和动态特性，为实现控制效果的优化和改进提供了可靠的技术支持和参考依据。
电网的参数辨识与状态估计
电网的参数辨识与状态估计电网作为现代工业社会的基础设施之一，承担着电力输送和分配的重要任务。
然而，电网的运行状态受到众多参数的影响，如发电机功率、电缆阻抗、负荷变化等。
因此，对电网参数进行准确辨识和状态估计，是确保电网稳定运行和提高电力系统可靠性的关键任务。
本论文旨在研究电网的参数辨识与状态估计问题，通过分析电网数据，采用先进的研究方案和方法，得出有效的数据分析和结果呈现，最终给出结论与讨论。
一、研究问题及背景电网的参数辨识与状态估计是电力系统领域的热点问题之一。
电网作为一个复杂的动态系统，受到各种外部和内部因素的影响，如天气变化、电力负荷波动等。
这些因素会导致电网参数的变化，进而影响电网的运行状态。
因此，准确辨识电网的参数和估计电网的状态，对于电力系统的安全和稳定运行至关重要。
二、研究方案方法本研究采用数据驱动的方法，通过收集电网的运行数据，进行参数辨识和状态估计。
具体步骤如下：1. 数据采集：收集电网运行过程中的各个关键参数的实时数据。
这些数据可以通过现场采集设备或者虚拟仿真平台获取。
2. 参数辨识：基于采集到的数据，使用统计分析方法或机器学习算法，对电网的关键参数进行辨识。
例如，可以使用最小二乘法或神经网络算法来对电网参数进行拟合和辨识。
3. 状态估计：在获得电网参数的基础上，使用滤波算法或优化算法，通过对电网变量的观测和测量，估计电网的状态。
常用的方法包括卡尔曼滤波法、粒子滤波法等。
三、数据分析和结果呈现在进行参数辨识和状态估计后，本研究将对数据进行分析和结果呈现。
首先，通过对辨识结果和估计状态进行对比和验证，评估辨识和估计的准确性和可靠性。
其次，分析电网参数和状态的变化趋势和规律，揭示电网运行的特点和规律。
最后，将结果呈现为图表和统计数据，直观地展示辨识和估计结果。
四、结论与讨论根据前述的分析和结果，本研究将得出关于电网参数辨识和状态估计的结论和讨论。
评估辨识和估计方法的优缺点，并针对电网的特点提出改进和优化的建议。
基于PNGV_模型的锂离子电池荷电状态估计
第20卷第11期装备环境工程2023年11月EQUIPMENT ENVIRONMENTAL ENGINEERING·81·基于PNGV模型的锂离子电池荷电状态估计柳新，陈自强*（上海交通大学 海洋工程国家重点实验室，上海 200240）摘要：目的提升不同老化情况下的锂离子电池荷电状态（SOC）估计精度。
方法基于PNGV模型（Partnership for a New Generation of Vehicles），对锂离子电池SOC进行估计。
首先通过双线性变换对PNGV模型进行离散化，采用带有遗忘因子的递归最小二乘法（FFRLS），对电池模型参数进行在线辨识，利用卡尔曼滤波（EKF）算法进行SOC估计，并通过动态工况验证SOC估计精度。
结果以多种误差指标考察不同循环下的试验数据，在不同电池老化状态下具有较好的预测精度。
相比基于Thevenin模型的算法，基于PNGV模型的算法可以将SOC平均绝对误差减少约60%，同时也可以将SOC估计最大绝对误差波动范围降低53.8%。
结论本算法引入PNGV模型后，解决了基于Thevenin模型算法误差大、不稳定的问题，提升了动力电池系统在不同老化环境下的适应性。
关键词：锂离子电池；荷电状态估计；PNGV模型；带遗忘因子的最小二乘法；卡尔曼滤波；动态工况中图分类号：TM912 文献标识码：A 文章编号：1672-9242(2023)11-0081-10DOI：10.7643/ issn.1672-9242.2023.11.011State of Charge Estimation of Lithium-ion Batteries Based on PNGV ModelLIU Xin, CHEN Zi-qiang(State Key Laboratory of Ocean Engineering Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)ABSTRACT: The work aims to improve the accuracy of state of charge (SOC) estimation for lithium-ion batteries under dif-ferent aging conditions. The SOC of lithium-ion batteries was estimated based on a PNGV (Partnership for a New Generation of Vehicles) model. Firstly, the PNGV model was discretized through bilinear transformation, and the recursive least squares method with forgetting factor (FFRLS) was used for online identification of battery model parameters. The Kalman filter (EKF) algorithm was used for SOC estimation, and the accuracy of SOC estimation was verified through dynamic operating conditions.By examining experimental data under different cycles using multiple error indicators, it showed good prediction accuracy under different battery aging states. Compared with the algorithm based on the Thevenin model, the algorithm based on the PNGV model could reduce the average absolute error of SOC by about 60%. At the same time, it could also reduce the fluctuation range of the maximum absolute error of SOC estimation by 53.8%. After introducing the PNGV model, this algorithm solves the problem of high error and instability based on the Thevenin model algorithm, and improves the adaptability of the power battery system in different aging environments.KEY WORDS: lithium-ion battery; state of charge estimation; PNGV model; FFRLS; kalman filtering; dynamic operating conditions收稿日期：2023-06-12；修订日期：2023-09-06Received：2023-06-12；Revised：2023-09-06引文格式：柳新, 陈自强. 基于PNGV模型的锂离子电池荷电状态估计[J]. 装备环境工程, 2023, 20(11): 81-90.LIU Xin, CHEN Zi-qiang. State of Charge Estimation of Lithium-ion Batteries Based on PNGV Model[J]. Equipment Environmental Engineering, 2023, 20(11): 81-90·82·装备环境工程 2023年11月21世纪是能源支撑的时代，大量的动力装置消耗大量化石能源，带来的气候、环境问题对人类的生活以及社会未来的发展造成的影响已经越来越严重。
11状态估计与参数辨识
最小二乘估计
xi 选的不够精确 影响因素 存值观测误差 的模型方程f (t )选的不确切 ˆ1 , x ˆ2 ...x ˆn )之差 残差：观测值zi 与f (ti , x ˆ1 , x ˆ2 ...x ˆn ) ei zi f (ti , x (i 1, 2, 3...m) 最小二乘是根据残差平方和为最小来确定x1 , x2 ...xn ˆ1 , x ˆ2 ...x ˆn )+ei zi =f (ti , x zi xh(t ) xh(t ) ... xh(t ) e(i 1, 2..., m) z xh(t ) xh(t ) ... xh(t ) e ... z xh(t ) xh(t ) ... xh(t ) e z x e h(t )...h(t ) x ... e ... H ...... z ... z x e h(t )...h(t ) Z HX e 残差平方和J
最小二乘：m次独立实验（z1 ,t1）...(zm ,tm ) 最优的反应z与t之间关系，一般z未知函数用P(t )表示 f(t)=x1h1(t)+x2 h 2(t)+...+xn h n(t)=f(t ,x1 , x2 ...xn ) m n m n m n 方程解不定 可唯一解x1...xn，有随机误差，不能准确确定z和t i 之间关系 不能用解方程方法求参数
i=1
2
对x1...xm 求偏导并等于0 m ` f ( t x , x ... x ) f i i , 1 2 n x 1 (ti , x1...xn ) 0 i=1 ...... m ` f ( t x , x ... x ) f i i, 1 2 n xn (ti , x1 ...xn ) 0 i=1 ˆ1...x ˆn 有n个参数n个方程，n个未知参数方程，解之可得x1...xn的最优估值x ຫໍສະໝຸດ x mx ( z mz )
参数辨识方法
参数辨识方法指通过实验数据或观测结果，推断或估计系统或模型的参数值的一类方法。
这些方法通常用于建立数学模型、探索系统行为、优化控制策略等领域。
以下是几种常见的参数辨识方法：
1. 最小二乘法（Least Squares Method）：最小二乘法是一种常见的参数辨识方法，通过最小化实际观测值与模型预测值之间的差异来估计参数。
它适用于线性和非线性模型，并可考虑测量误差。
2. 极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）：极大似然估计是一种统计方法，用于通过最大化观测数据的似然函数来估计参数。
它适用于概率模型和随机过程的参数辨识。
3. 遗传算法（Genetic Algorithms）：遗传算法是一种优化算法，可以用于参数辨识问题。
它模拟生物进化过程中的选择、交叉和变异等操作，通过迭代搜索来找到最优参数组合。
4. 粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization）：粒子群优化算法是一种启发式优化算法，模拟鸟群或鱼群的行为，通过协作和信息共享来寻找最优参数组合。
5. 系统辨识理论（System Identification Theory）：系统辨识理论提供了一系列数学和统计方法，用于从实验数据中推断系统的结构和参数。
它涵盖了许多方法，包括参数估计、频域分析、时域分析等。
这些方法的选择取决于具体的应用和问题领域。
不同方法有不同的假设和适用条件，需要根据实际情况选择合适的参数辨识方法来获得准确的参数估计。
机械系统动力学特性的参数辨识与估计
机械系统动力学特性的参数辨识与估计引言：机械系统动力学参数的辨识与估计是工程领域中一个重要的研究方向。
通过准确地获得机械系统的动力学特性参数，可以为系统的性能优化、控制算法设计以及结构优化提供基础。
本文将探讨机械系统动力学特性参数的辨识与估计方法，并介绍一些常用的实验技术和数学模型。
一、机械系统动力学特性参数的辨识方法1. 数学模型辨识方法数学模型辨识方法是机械系统动力学参数辨识的一种常用方法。
该方法通过建立机械系统的数学模型，并将其与实际系统进行对比，不断调整模型参数，以使模型输出与实际系统的输出尽可能接近。
常用的数学模型辨识方法有参数标识法、最小二乘法等。
2. 试验数据辨识方法试验数据辨识方法是通过对机械系统进行试验，通过分析试验数据来辨识系统的动力学特性参数。
该方法不需要建立复杂的数学模型，只需进行相应的试验和数据分析。
常用的试验数据辨识方法有频域分析法、时域分析法等。
二、常用的实验技术1. 频率响应法频率响应法是一种常用的试验技术，用于辨识机械系统的频率响应特性。
该方法通过对机械系统施加不同频率的激励信号，测量系统的输出响应，并通过频谱分析等方法来获得系统的频率响应函数。
2. 阶跃响应法阶跃响应法是一种常用的试验技术，用于辨识机械系统的阶跃响应特性。
该方法通过给机械系统施加一个阶跃信号激励，测量系统的输出响应，并通过分析阶跃响应曲线来获得系统的阶跃响应特性参数。
三、机械系统动力学特性参数的估计方法1. 参数标识法参数标识法是一种常用的参数估计方法，通过对机械系统的试验数据进行分析，利用数学统计方法来估计系统的动力学特性参数。
该方法可以通过最小二乘法、极大似然估计法等来实现。
2. 系统辨识法系统辨识法是一种常用的参数估计方法，通过对机械系统的试验数据进行分析，建立合适的数学模型，并利用系统辨识算法来估计系统的动力学特性参数。
该方法可以使参数估计的结果更加准确可靠。
结论：机械系统动力学特性的参数辨识与估计是机械工程领域中一项重要的研究工作。
状态估计
• 内容 • 在确定情形下，线性系统的状态估计的主要方 法有龙根伯格观测器。只有系统的能观测部分 的状态才能重构，而且能以任意快的速度来重 构，但在具体实现时则受到噪声、灵敏度等因 素的限制。在系统的装置或其观测通道受有随 机噪声干扰时，则必须用统计估计方法来处理。 依观测数据与被估状态在时间上的相对关系， 状态估计又可区分为平滑、滤波和预报三种情 形。
• 状态估计
• 定义：在给定网络拓扑结构及元件参数的条件 下，利用遥测遥信信息估算电力系统运行状态。
• 根据可获取的量测数据估算动态系统内部状态 的方法。对系统的输入和输出进行量测而得到 的数据只能反映系统的外部特征，而系统的动 态规律需要用内部（通常是无法直接量测）状 态变量来描述。因此状态估计对于了t），如果可用的 信息包括t以后的观测值，就是平滑问题。 • 如果可用的信息是t以前的观测值，估计可 实时的进行，称为滤波问题。 • 如果必须用时刻（t-Δ）以前的观测来估计 经历了Δ时间后的状态x（t），则是预报问 题。
• 状态估计中所应用的方法属于统计学中的估计 理论。最常用的是最小二乘估计，其他如风险 准则的贝叶斯估计、最大似然估计、随机逼近 等方法也都有应用。不管维纳滤波还是卡尔曼 滤波，这些方法都只适用于线性系统，而且需 要对被估计过程有充分的知识。对于非线性系 统或对动态系统特性不完全了解的复杂估计问 题，还需要深入研究。工程上可以用一些近似 计算方法来处理，常见的有基于局部线性化思 想的广义卡尔曼滤波器、贝叶斯或极大后验估 值器和可以根据滤波过程的历史知识自动修改 参数的自适应滤波或预报技术等。
工程上可以用一些近似计算方法来处理常见的有基于局部线性化思想的广义卡尔曼滤波器贝叶斯或极大后验估值器和可以根据滤波过程的历史知识自动修改参数的自适应滤波或预报技术等
电网的参数辨识与状态估计技术研究
电网的参数辨识与状态估计技术研究研究主题：电网的参数辨识与状态估计技术研究摘要：With the increasing complexity and scale of modern power grids, it has become essential to develop advanced tools and techniques for accurately identifying the parameters and estimating the states of the power system. This paper investigates the problem of parameter identification and state estimation in power grids, aiming to propose novel methodologies and algorithms to improve the accuracy and efficiency of these tasks. The research problem is motivated by the need for reliable and real-time information on the operational state of the power grid, which is crucial for efficient management and decision-making. The proposed research plan involves developing models and algorithms based on advanced optimization techniques and statistical analysis to address the identified challenges. The data collected from actual power grids will be used for evaluating the performance of the proposed methodologies. The results show that the proposed approaches significantly improve the accuracy and efficiency of parameter identification and state estimation, providing valuable insights for the operation and control of modern power systems.一、研究问题及背景随着现代电力系统的复杂性和规模的不断增大，准确确定电网参数并估计电网状态的先进工具和技术变得越来越重要。
坦克炮控系统非线性状态估计与参数辨识研究
Ｒｅ ｅ ｒ ｈ ｏ ｎｌｎ ａ ｉｙ Ｓｔ ｔ ｔｍ ａ ｉ ｎ ａ ｄ Ｐａ ａ ｅ ｅ ｓ ａ ｃ ｎ Ｎｏ ｉ ｅ ｒ ｔ ａ ｅ Ｅｓｉ ｔｏ ｎ ｒ ｍ ｔ ｒ
Ｉ ｎ ｉ ｃ ｔｏ ｆ Ｔａ ｄｅ ｔｆ ａ ｉ ｎ ｏ ｎｋ Ｇｕｎ Ｃｏ ｔ ｏ ｓｅ ｉ ｎ ｒ ｌＳｙ ｔ ｍ
ｔｎ ｅ ｔｔ ｏ ｓｒｅ Ｅ Ｏ）ｉｄ ｐ ｎ ｅ ｔｆｏ ｓｓｅ ｍｏ ｅ ｓｓｔｕ ｏ ｏ ｔｉ ｈ ｔｔ ａｉｂｅ ｎ ｅ ｄ ｄ ｓ ｅ ｂ ｅｖ ｒ（ Ｓ ａ ｎ ｅ ｅ ｄ ｎ ｒｍ ｙ ｔｍ ｄ ｌｗａ ｅ ｐ ｔ ｂａｎ ｔｅｓａｅ ｖ ｒ ｌｓ ｉ ａ
ｒ ａ ｉ ｅ ｌｔｍｅ． Ｆｕ ｔ ｅ ｍｏ ｅ， ａ ｐ ｒ ｍｅｅ ｄ ｎ ｉ ｅ ｓｄｅ ｉｎ ｄ ｏ ｈ ａ ｉ ｆｃ ｖ ｒａ ｅ ｍ ｏ ｉ ｃ ｔ ｎ ｌａ ｔ ｒｈ ｒ ｒ ａ ａ ｔｒｉ ｅ ｔ ｒｗａ ｓｇ ｅ ｎ ｔ ｅ ｂ ｓｓｏ ｏ ａ ｉｎｃ ｄ ｆ ａ ｉ ｅ ｓ ｉ ｆ ｉ ｏ
第 ３ 卷 第 ８期 １
２ ０ １０年 ８月
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学
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Ｖｏ ． Ｎｏ． Ｉ３１ ８
Ａｕ ． ｇ ２ ０ ０１
ＡＣＴ ＡＲＭ ＡＭ ＥＮＴＡＲＩ Ａ Ｉ
坦克炮控 系统非线性状态估计与参数辨识研究
袁学 院 控 制 工 程 系 ，北 京 １ ０ ７ ） 装 ００ ２
ｓｕ ｒｓａｇ ｒ ｈ （ ＶＭＬ ），Ｓ ｈ ｔ ｈ ｔｔ ｖ ｒ ｂｅ ｎ ａａ ｔｒ ｏ ａ ｋ ｇ ｎｃ ｎｒｌｓｓｅ ｃ ｕｄ ｑ ａｅ ｌｏｉ ｍ Ｃ ｔ Ｓ Ｏｔ ａ ｔｅｓａｅ ａｉ ｌｓａ ｄ ｐ ｒｍｅｅｓ ｆ ｎ ｕ ｏ ｔｏ ｙ ｔｍ ｏ ｌ ａ ｔ
ｎ ｍｉ ｏ ｐ ｎ ａ ｉ ｎ ａ ｃ ｃ ｒ ｅ ｓ ｔｏ ｎ
锂离子动力电池参数辨识与状态估计
( School of Automotive Engineering , Tongji Universit y ,Shanghai 201804 ,China)
Abstract : Based on an analysis of voltage response of constant current pulse discharge , t he elect ric cir2 cuit model of FreedomCar is revised and also verified by test s. Then t he dynamic characterization of t he battery is analyzed on t he basis of input s and output s of battery management system in hybrid elec2 t ric vehicle ( HEV) . The met hods of on2line parameters identification are improved. According to t he parameter identification and application condition of HEV , a“current2time window”met hod of SOC estimation is put forward and realized on STAR T23 f uel cell car. Key words : li2ion power battery ; battery management system ; state of charge ( SOC) ; parameter
系统辨识综述
系统辨识课程综述作者姓名：王瑶专业名称：控制工程班级：研硕15-8班系统辨识课程综述摘要系统辨识是研究建立系统数学模型的理论与方法。
虽然数学建模有很长的研究历史，但是形成系统辨识学科的历史才几十年在这短斩的几十年里，系统辨识得到了充足的发展，一些新的辨识方法相继问世，其理论与应用成果覆盖了自然科学和社会科学的各个领域。
而人工神经网络的系统辨识方法的应用也越来越多，遍及各个领域。
本文简单介绍了系统辨识的基本原理，系统辨识的一些经典方法以及现代的系统辨识方法，其中着重介绍了基于神经网络的系统辨识方法：首先对神经网络系统便是方法与经典辨识法进行对比，显示出其优越性，然后再通过对改进后的算法具体加以说明，最后展望了神经网络系统辨识法的发展方向。
关键字：系统辨识；神经网络；辨识方法0引言辨识、状态估计和控制理论是现代控制理论三个相互渗透的领域。
辨识和状态估计离不开控制理论的支持，控制理论的应用又几乎不能没有辨识和状态估计技术。
随着控制过程复杂性的提高，控制理论的应用日益广泛，但其实际应用不能脱离被控对象的数学模型。
然而在大多数情况下，被控对象的数学模型是不知道的，或者在正常运行期间模型的参数可能发生变化，因此利用控制理论去解决实际问题时，首先需要建立被控对象的数学模型。
所以说系统辨识是自动化控制的一门基础学科。
图1.1 系统辨识、控制理论与状态估计三者之间的关系随着社会的进步 ,越来越多的实际系统变成了具有不确定性的复杂系统 ,经典的系统辨识方法在这些系统中应用 ,体现出以下的不足 :(1) 在某些动态系统中 ,系统的输入常常无法保证 ,但是最小二乘法的系统辨识法一般要求输入信号已知，且变化较丰富。
(2) 在线性系统中，传统的系统辨识方法比在非线性系统辨识效果要好。
(3) 不能同时确定系统的结构与参数和往往得不到全局最优解，是传统辨识方法普遍存在的两个缺点。
1系统辨识理论综述1.1系统辨识的基本原理根据L.A.Zadel的系统辨识的定义:系统辨识就是在输入和输出数据的基础上，从一组给定的模型类中，确定一个与所测系统等价的模型。
参数辨识模型范文
参数辨识模型范文一、参数辨识模型的基本思想和方法最小二乘法是一种常用的参数辨识方法，其基本原理是通过最小化实测输出与模型输出之间的误差平方和，从而确定最佳的参数值。
最小二乘法可以用于线性系统的参数辨识，也可以用于非线性系统的参数辨识。
系统辨识法是一种通过对已知系统输入和输出数据进行处理和计算，以确定系统的参数和特性的方法，常用的系统辨识法包括ARMA模型、ARMAX模型、ARX模型等。
系统辨识法可以分为时域辨识法和频域辨识法两种方法，时域辨识法主要针对时间序列数据进行分析和计算，而频域辨识法则主要针对频率域数据进行分析和计算。
频域分析法是一种常用的参数辨识方法，其基本原理是通过对系统输入和输出信号的频率响应进行分析和计算，以确定系统的参数和频率特性。
频域分析法可以通过傅里叶变换、功率谱密度估计等方法来实现。
二、参数辨识模型在控制系统设计中的应用在控制系统设计中，参数辨识模型可以用于系统建模和控制器设计。
通过系统的参数辨识，可以建立准确的数学模型，用于预测和分析系统的动态性能。
在控制器设计中，可以根据辨识得到的参数，设计合适的控制策略和参数，以实现系统的稳定性和性能需求。
三、参数辨识模型在系统故障诊断中的应用在系统故障诊断中，参数辨识模型可以用于确定故障模式和故障原因。
通过对故障系统的输入和输出数据进行分析和计算，可以辨识故障的位置、类型和严重程度，从而指导故障的修复和维护工作。
四、参数辨识模型在系统优化中的应用在系统优化中，参数辨识模型可以用于确定最佳操作条件和参数配置。
通过对系统的输入和输出数据进行分析和计算，可以辨识出最佳的系统参数和特性，从而实现系统的最优性能和效果。
总之，参数辨识模型是一种通过对系统的输入和输出数据进行分析和计算，以确定系统的参数和特性的方法。
参数辨识模型在控制系统设计、系统故障诊断和优化等方面具有重要的应用价值，对于提高系统性能和效果具有重要的意义。
因此，研究和应用参数辨识模型具有重要的理论和实际意义。
参数估计与系统辨识方法在控制系统设计中的应用
参数估计与系统辨识方法在控制系统设计中的应用控制系统设计是应用于各个领域的一项重要技术，在工业、航空航天、汽车、医疗等众多领域中都有广泛应用。
参数估计和系统辨识是控制系统设计中的两个关键步骤，它们能够帮助我们理解和预测系统的行为，并提供了优化控制器设计的依据。
一、参数估计的概念与应用参数估计是指通过实验数据和数学模型来估计控制系统中的未知参数。
在控制系统设计中，我们通常使用数学模型来描述系统的动态行为，该模型一般包含一些未知参数。
参数估计的目标是通过观测到的输入输出数据，利用统计方法来估计这些未知参数的值。
参数估计在控制系统设计中具有广泛的应用。
首先，参数估计可以用于设计控制器。
通过对系统进行实验，并通过估计系统参数的值，我们可以得到一个准确的数学模型，从而设计出更为有效的控制器。
其次，参数估计还可以用于系统诊断和故障检测。
通过估计系统参数的变化趋势，我们可以及时检测到系统故障，并采取相应的措施进行维修和调整。
此外，参数估计还可以用于系统预测和优化。
通过估计系统参数的值，我们可以预测系统在不同工况下的性能，并进行相应的优化设计。
二、常用的参数估计方法在控制系统设计中，常用的参数估计方法包括最小二乘法（Least Squares），极大似然估计法（Maximum Likelihood），贝叶斯估计法（Bayesian Estimation）等。
1. 最小二乘法：最小二乘法是一种常用的参数估计方法，它通过最小化观测值和数学模型之间的差异来估计参数的值。
最小二乘法具有良好的稳定性和统计性能，在实际应用中广泛使用。
2. 极大似然估计法：极大似然估计法是另一种常用的参数估计方法，它基于统计学理论，通过最大化参数的似然函数来估计参数的值。
极大似然估计法在参数估计中具有一定的理论基础，但计算复杂度较高。
3. 贝叶斯估计法：贝叶斯估计法是一种基于贝叶斯统计理论的参数估计方法，它通过先验信息和观测数据来估计参数的值。
调度自动化PAS系统各模块功能简介
PAS各模块功能简介电网应用软件（PAS），以电网数据采集与监控系统（SCADA）采集的实时数据为基础，对电网进行分析计算，为电网调度提供理论分析工具，改进电网的经济运行特性，提高电能的质量。
主要功能模块有：1.网络拓扑网络拓扑是调度自动化系统应用功能中的最基本功能。
它根据电网描述数据库和遥信信息确定地区电网的电气连接状态，并将网络的物理模型转换为数学模型，为状态估计、调度员潮流、安全分析、无功/电压优化等应用功能提供网络分析功能。
1.1.图库一体化的网络拓扑建模方式，可大大提高网络建模速度，减少人为的错误；1.2.以电网基本接线单元（开关和相关的刀闸）进行网络的建模，多个元件同时输入，端口实现自动编号；1.3.拓扑分析以电网基本接线单元为基础，采用快速数学搜索方法，可以处理各种复杂的接线方式，如单母线、双母线、双母线带旁路母线、环形结线、倍半断路器结线、旁路隔离开关等；1.4.电网基本接线单元库中有大量电网常用的各种常规和非常规的接线方式，对于不存在的接线方式可以通过绘图的方式快速定义；1.5.设备（变压器、线路、并联补偿设备等）信息采用直接录入铭牌参数的方式进行录入，内置计算功能可由铭牌参数计算出电气参数，便于设备参数的维护。
同时可直接录入电气参数（标幺或非标幺）；1.6.对拓扑分析生成的电气岛自动进行带电检查，并确定死岛、活岛状态。
在单线图上以不同的颜色显示设备的带电状态，实现动态着色；1.7.对拓扑分析生成的每个活的电气岛自动设置平衡节点（平衡机）；1.8.拓扑分析的结果可数据库保存，便于查询和统计；可生成标准的数据文件（IEEE、BPA），为离线计算软件提供实时电网数据端面。
2.状态估计状态估计根据SCADA提供的电网实时信息，电网部件参数和网络拓扑分析的结果，实时的计算出电网内各母线电压（幅值和相位）和潮流的最优估计值，自动统计量测系统的质量指标。
2.1.自动调用网络拓扑分析功能，根据遥信信息生成计算所需的电气岛和对应的量测系统；2.2.可利用线路或变压器的有功、无功潮流量测、母线注入有功无功量测、母线电压量测、零注入量测、零阻抗支路潮流量测；2.3.可检测和辨识开关信息中的错误，在画面上显示，并可自动在拓扑分析中使用正确的遥信信息；2.4.可检测和辨识坏数据，显示其结果，并在状态估计时使用辨识结果代替坏数据；2.5.量测粗检测功能：指出两端量测值不平衡的支路，潮流不平衡的母线，并指出无潮流量测的支路，无注入量测的母线，无电压量测的母线，指出不可观测节点；2.6.当有载调压变压器(LTC)有潮流量测且各端母线有电压量测时，可估计分接头位置；2.7.提供量测系统维护功能：修改实时遥信，人工置入无遥信刀闸的状态、无分接头2.8.2.9.量测权系数，改变收敛精度、改变迭代次数限值；2.10.启动方式有三种：人工请求启动（研究方式）、定时启动（自动连续运行）、事件启动（对网络状态的变化快速反应）；2.11.在人工请求启动（研究方式）下可研究历史断面的量测，诊断可能存在的问题；2.12.指出量测系统的薄弱环节，指出关键量测及其位置，为量测系统的配置提供指导；2.13.采用多次估计技术，在计算中自动调节量测的权重，提高计算的精度，并同时保证计算的稳定性；2.14.在有足够量测时（保证可观测）自动剔除质量差的量测，过滤掉坏数据，提高计算精度；2.15.估计结果的分析：显示被过滤掉的量测，显示不合格的量测，坏数据列表，量测误差列表，便于维护人员分析；2.16.自动维护母线负荷预报模型，对不可观测区用母线负荷预报的结果进行状态估计；2.17.可对历史断面进行保存，可以设置保存周期，可以保存每天典型时刻的断面和典型日的断面，可自动判断每日的最大最小负荷时刻，保存最大最小负荷时刻的断面；2.18.自动进行实时网损的计算和统计，计算无功补偿设备的网损灵敏度和电压灵敏度；2.19.自动统计和保存实用化考核所需的各种统计指标，生成所需的统计报表。
系统辨识
系统辨识综述一、系统辨识概述辨识、状态估计和控制理论是现代控制理论三个互相渗透的领域。
辨识和状态估计离不开控制理论的支持，控制理论的应用又几乎不能没有辨识和状态估计技术。
随着控制过程复杂性的提高，控制理论的应用日益广泛，但其实际应用不能脱离被控对象的数学模型。
然而在大多数情况下，被控对象的数学模型是不知道的，或者在正常运行期间模型的参数可能发生变化，因此利用控制理论去解决实际问题时，首先需要建立被控对象的数学模型。
系统辨识正是适应这一需要而形成的，他是现代控制理论中一个很活跃的分支。
社会科学和自然科学领域已经投入相当多的人力和物力去观察、研究有关的系统辨识问题。
系统辨识是建模的一种方法，不同的学科领域，对应着不同的数学模型。
从某种意义上来说，不同学科的发展过程就是建立他的数学模型的过程。
辨识问题可以归结为用一个模型来表示客观系统(或将要构造的系统)本质特征的一种演算，并用这个模型把对客观系统的理解表示成有用的形式。
当然也可以有另外的描述，辨识有三个要素：数据，模型类和准则。
辨识就是按照一个准则在一组模型类中选择一个与数据拟合得最好的模型。
总而言之，辨识的实质就是从一组模型类中选择一个模型，按照某种准则，使之能最好地拟合所关心的实际过程的静态或动态特性。
通过辨识建立数学模型的目的是估计表征系统行为的重要参数，建立一个能模仿真实系统行为的模型，用当前可测量的系统的输入和输出预测系统输出的未来演变，以及设计控制器。
对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。
对系统进行控制的主要问题是根据系统的特性设计控制输入，使输出满足预先规定的要求。
而系统辨识所研究的问题恰好是这些问题的逆问题。
通常，预先给定一个模型类μ=｛M｝（即给定一类已知结构的模型），一类输入信号u和等价准则J＝L(y，yM)(一般情况下，J是误差函数，是过程输出y和模型输出yM的一个泛函)；然后选择使误差函数J达到最小的模型，作为辨识所要求的结果。
最优状态估计和系统辨识
最优状态估计和系统辨识最优状态估计和系统辨识是现代控制理论中的两个重要概念。
最优状态估计是指利用系统的输入和输出数据，通过数学模型对系统状态进行估计的过程。
系统辨识则是指通过对系统的输入和输出数据进行分析，建立系统的数学模型的过程。
这两个概念在现代控制理论中具有重要的应用价值。
最优状态估计的目的是通过对系统状态的估计，实现对系统的控制。
最优状态估计的方法有很多种，其中最常用的是卡尔曼滤波器。
卡尔曼滤波器是一种基于贝叶斯定理的滤波器，它可以通过对系统的输入和输出数据进行分析，对系统状态进行估计。
卡尔曼滤波器的优点是可以对系统的状态进行实时估计，并且可以适应系统的非线性和非高斯性。
系统辨识的目的是建立系统的数学模型，以便对系统进行控制。
系统辨识的方法有很多种，其中最常用的是参数辨识方法。
参数辨识方法是通过对系统的输入和输出数据进行分析，建立系统的数学模型。
参数辨识方法的优点是可以建立系统的精确数学模型，并且可以适应系统的非线性和非高斯性。
最优状态估计和系统辨识在现代控制理论中具有广泛的应用。
它们可以应用于机器人控制、航空航天控制、自动驾驶汽车控制等领域。
在机器人控制中，最优状态估计和系统辨识可以用于对机器人的位置和姿态进行估计和控制。
在航空航天控制中，最优状态估计和系统辨识可以用于对飞行器的位置和速度进行估计和控制。
在自动驾驶汽车控制中，最优状态估计和系统辨识可以用于对汽车的位置和速度进行估计和控制。
总之，最优状态估计和系统辨识是现代控制理论中的两个重要概念。
它们可以应用于机器人控制、航空航天控制、自动驾驶汽车控制等领域。
通过对系统的输入和输出数据进行分析，可以实现对系统状态的估计和建立系统的数学模型，从而实现对系统的控制。
系统辨识与参数估计
随着科技的不断发展，新的工程领域 不断涌现。未来研究可探索将系统辨 识方法应用于新能源、智能制造和智 能交通等新兴领域，推动相关技术的 进步。
系统辨识涉及控制理论、统计学、计 算机科学等多个学科领域。未来研究 可加强跨学科合作与交流，共同推动 系统辨识理论与应用的发展。同时， 关注国际前沿动态，积极参与国际学 术交流与合作，提升我国在国际系统 辨识领域的学术影响力。
优点
能够充分利用观测数据的统计 信息，对于具有概率特性的系 统能够得到较好的估计结果。
缺点
计算复杂度较高，需要知道观 测数据的概率分布模型。
贝叶斯估计法
原理
贝叶斯估计法是一种基于贝叶斯定理的参数估计方法，它结合了先验 信息和观测数据来更新参数的后验分布。
应用
在系统辨识中，贝叶斯估计法适用于具有不确定性的系统参数估计， 能够充分利用先验信息和观测数据的信息。
优点
能够处理不确定性问题，对于具有先验信息的系统能够得到较好的估 计结果。
缺点
计算复杂度较高，需要选择合适的先验分布和计算后验分布的方法。
04
系统辨识与参数估计的应用
控制系统的设计与分析
系统建模
利用系统辨识技术，可以建立控 制系统的数学模型，为后续的设 计和分析提供基础。
参数优化
通过参数估计方法，可以优化控 制系统的参数，提高系统的性能 和稳定性。
优点
缺点
算法简单，易于实现，对于线性系统能够 得到较好的估计结果。
对于非线性系统，最小二乘法的估计精度 可能会降低。
最大似然法
原理
最大似然法是一种统计方法， 它基于概率模型，通过最大化 观测数据的似然函数来估计模
型参数。
应用
在系统辨识中，最大似然法适 用于具有概率分布特性的系统 参数估计，如随机系统的参数 估计。
配电网络自动化第11讲 配电网状态估计
时数据是不足的； 由于设备和通讯的问题，传送到控制中心的数据有可能不正
确、不可靠或者时延的； 配电网状态估计（DSE）是解决上述问题一种高效的方法
4.1 概述
DSE的功能
探测网络拓扑变化； 估计出系统的状态，计算出系统的潮流分布； 是其他配电自动化高级应用的基础
4.1 概述
4.1.4 配电网状态估计与常规潮流算法的关系
❖与潮流算法比较，状态估计实际上是扩展了的潮 流计算，这主要表现在：
(l) 计算利用到的量测类型的扩展：常规潮流计算中使用的数据是节点 电压和注入节点的有功和无功功率数据，状态估计的量测量除了上面 的数据外还利用了支路有功和无功功率的量测量。 (2) 量测量的数目增加：潮流计算中方程数目与未知量的数目是一致的， 即量测量的个数m等于状态量数n。而状态估计中量测量的个数m大于 状态量数n，即方程的个数比未知数的个数多。由于量测误差的存在， 使m个方程是矛盾的，形成了初等代数中矛盾方程无解的局面，只有去 掉K个“多余”的方程式才能求解。如果真是这样处理就又回到常规潮 流算法，这将是对量测资源的极大浪费。而状态估计正是利用了这些 量测量的冗余形成的对各状态量的重复量测，从而达到了提高数据精 度和辨识不良数据的目的。
z
h(x)p s 来自 v（此时假设：v 0,b 0, c 0 ）
❖包括不良数据辨识的量测模型：
z
h(x)
p s
v
b
（此时假设：v 0, c 0 ）
❖包括估计网络参数的增广状态估计的量测模型：
z h(x) s v v （此时假设：b 0,c 0 ）
4.1 概述
4.1.3 配电网状态估计问题的数学描述
锂离子动力电池参数辨识与状态估计
高涨 ． 一方 面 ， 能源消耗 和环境 污染与 汽车工 业有 着
最直 接 的关 系 ； 而另一方 面 ， 车工业 由于 涉及 的产 汽
ｔｃ ｅｉｅＨ ｒ ｈｃ ， ＥＶ）无论 对 于 机一 ｉｖ ｌ ． 电混合 动 力汽 车或 者 电 电混合 动力汽 车 ， 为辅 助动 力源 的蓄 电池 组 作 都是 整车 动力系 统 中 的一 个 重 要 部分 ， 的作 用 是 它 在汽 车行驶 中有 大 功 率需 求 时 及 时 响应 提供 动力 ， 并吸收汽 车制动 回馈 的 能量 ． 因此 蓄 电池 组 的工 作
Ａｂ ｔａ ｔ ａ ｅ ｎ ａ ｎ ｌ ｓｓ ｆｖ ｌ ｇ ｅ ｐ ｎ ｅｏ ｏ ｓ ａ ｔ ｕ ｒ ｎ ｕ ｓ ｉ ｈ ｒ ｅ ｈ ｌ ｃｒｃｃｒ ｓ ｒ ｃ ：Ｂ ｓ ｄ ｏ ｎ ａ ａｙ ｉ ｏ ｏｔ ｅ ｒ ｓ ｏ ｓ ｆ ｎ ｔ ｎ ｒｅ ｔｐ ｌｅｄ ｓ ａ ｇ ，ｔ ｅｅｅ ｔｉ ｉ— ａ ｃ ｃ ｃ ｃ ｌ ｍｏ ｅ ｏ ｒ ｅ ｏ ａ Ｓ ｒ ｖ ｓ ｄ ａ ｄ ａｓ ｅ ｉ ｅ ｙ ｔｓ ｓ ｕｔ ｄ ｌ ｆ Ｆ ｅ ｄ ｍＣ ｒ ｉ ｅ ｉｅ ｎ ｌ ｖ ｒｆ ｄ ｂ ｅ ｔ ．Ｔｈ ｎ ｔ ｅ ｄ ｎ ｍ ｉ ｃ ａ ａ ｔ ｒ ａ ｉｎ ｏ Ｏ ｉ ｅ ｈ ｙ ａ ｃ ｈ ｒｃｅｉ ｔ ｆ ｚ ｏ
ｔｉ ｙｓｃｅ（ Ｖ）Ｔｈ ｔｏ ｓｏ ｎｌ ｅｐｒｍｅｅｓｉ ｎ ｉｃｔ ｎａｅｉ ｒｖｄ ｃｏｄｎ ｅ ｒ ｅ ｉ ＨＥ ． ｅｍｅｈ ｄ ｆ —ｎ ａａ ｔｒ ｄ ｔ ｉ ｉ ｒ ｍｐｏ ｅ ．Ａ ｃｒｉｇｔ ｔ ｃ ｌ ｏ ｉ ｅ ｆａ ｏ ｏｈ
ｐ ｒ ｍｅ ｅ ｄ ｎ ｉ ｃ ｔ ｎ ａ ｄ ａ ｐ ｉ ｔ ｎ ｃ ｎ ｉ ｏ ｆＨＥＶ ，ａ “ ｕ ｒ ｎ —ｉ ｎ ｏ ａ ａ ｔ ｒｉ ｅ ｔ ｉａ ｉ ｎ ｐ ｌ ａ ｉ ｏ ｄ ｔ ｎ ｏ ｆ ｏ ｃ ｏ ｉ ｃ ｒｅ ｔｔ ｍｅ ｗｉ ｄ ｗ” ｍｅ ｈ ｄ ｏ ＯＣ ｔ ｏ ｆＳ
机械系统的状态估计与辨识
机械系统的状态估计与辨识在现代工业中，机械系统的状态估计和辨识是关键的技术之一。
状态估计和辨识的目的是通过观测数据和数学模型，对机械系统的参数和状态进行预测和分析，从而实现对系统性能的精确控制和优化。
本文将探讨机械系统的状态估计与辨识的原理、应用和挑战。
一、状态估计状态估计是根据系统的模型和实测数据，利用数学方法推测系统内部的状态变量。
通过状态估计，可以获得系统状态的实时信息，以便进行控制和决策。
常见的状态估计方法包括卡尔曼滤波、扩展卡尔曼滤波和无迹卡尔曼滤波等。
这些方法基于统计学和概率理论，通过对测量结果的分析，对系统的状态进行更新和修正，实现对系统状态的精确估计。
状态估计在自动控制和故障诊断等领域有广泛的应用。
二、辨识技术辨识技术是通过实验和数据处理，建立系统输入输出之间的数学模型。
这些模型可以用于系统控制、性能优化和故障诊断等应用。
常见的辨识方法包括系统辨识、参数辨识和结构辨识等。
系统辨识是根据系统的输入输出数据，确定系统的传递函数或状态空间模型。
参数辨识是通过对模型参数的估计和优化，获得系统的参数估计值。
结构辨识是用于确定机械系统的结构，包括系统的质量、摩擦、刚度等特性。
这些辨识方法和技术在机械系统的设计、优化和故障诊断中发挥着重要作用。
三、应用案例状态估计和辨识技术在机械系统中有许多应用案例。
例如，在无人驾驶汽车中，状态估计可以用于获取车辆位置、速度和方向等信息，从而实现自动驾驶和导航。
辨识技术可以用于构建车辆动力学模型，优化车辆控制策略，提高行驶安全性和舒适性。
在航空航天系统中，状态估计和辨识技术可以用于监测飞机结构的疲劳和损伤，提前预测设备故障，确保飞行安全。
在工业生产中，状态估计和辨识技术可以用于监测设备的状态和性能，优化生产流程，提高生产效率和产品质量。
四、挑战与展望尽管状态估计和辨识技术在机械系统中有广泛应用，但也面临着一些挑战。
首先，机械系统的复杂性和非线性特性使得状态估计和辨识过程更加困难。
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第十一章
状态估计与参数辨识
状态估计与参数辨识
11.1 最优估计理论
控制对象的数学模型并确定其参数 ——参数估计问题 状态变量估计——系统有随机干扰 最小方差估计 现行最小方差估计 最小二乘估计 极大储能估计
常用估计方法
状态估计与参数辨识
参数估计中，常用最小方差准则，求估计 误差的方差为最小 *随机变量的数学期望是最小方差估计 *知道随机变量的一阶矩阵和二阶钜，可用线 性最小方差估计 *随机变量的一阶钜，二阶钜未知，可用最 小二乘法估计
2
参照一维r.v.估算结果 使此二阶钜最小的g( )值是x的条件数学期望 ˆ g ( z ) xf ( x | )dx E ( x | ) X
g ( z ) E ( x | )为通常所说的回归曲线
二维r.v.最小方差估计
对于两个r.v. X , Z 来说，若已知其联合概率分布密度 ˆ E f ( x, ), 则x的最小方差估计x的条件数学期望x= （x|z） 若g(z)与z不成线性关系，最小方差估计又为非线性估计 此结果可推广到多维r.v.的x估计问题 =X ˆ -X E ( X | Z ) EX X EX
最小二乘估计
t ( s) 1 2 3 4 eg.z观测值如点 z 0.8 1.3 1.7 2.1 设z (t ) f (t ) x1 x2t , 求x1和x2的估值。
① 不知P 1 (t ), P 2 ( z ), P (t , z ) 用最小二乘 x1 Z Hxtv zi 1 t +v x2 z1 1 t1 v1 z 1 t v 2 2 z H V 2 z3 1 t3 v3 1 t z 4 v4 4 ˆ1 x X ( H T H ) 1 H T Z ˆ2 x
n 1
不用解方程方法，用数理统计求估值
最小二乘估计
最小二乘法：是观测值 i 对应的函数f (ti )的偏差平方和最小。 J = i f (ti ) 按J 为最小的条件确定f (t )中的参数x1...xn
2 i=1 m m
J = i f ( x1 , x2 ...xn )
最小二乘估计
1 1 0.8 1 1 1 1 0 2 1 1 1 1 1.3 1 2 3 4 1 3 1 2 3 4 1.7 1 4 2.1 0.8 0.8 1 4 10 1 1 1 1 1.3 1.5 0.5 1 1 1 1 1.3 10 30 1 2 3 4 1.7 0.5 0.2 1 2 3 4 1.7 2.1 2.1 0.8 0.5 0 0.5 1.3 0.4 1 0.3 0.1 0.1 0.3 1.7 0.43 2.1
线性最小方差估计
两个r.v.X,Z,X的条件数学期望E(x|z)是一条曲线，不是z的线性函数， 将最小方差估计为非线性最小方差估计， (而正态分布r.v.条件数学期望是观测值的线性函数) ˆ 用z的象形函数表示 线性最小方差估计把r.v.x的估值x ˆ x=az+b 估计误差 ˆ E x az b E x 2 2(az b) (az b) 2 J=E x x
2 2
用J 对a，b求偏导
J 2 E x (az b) Z 0① a J 2 E x (az b) 0② b
线性最小方差估计
E x az mx amz z 0 E [ x mx ) a( z mz ]( z mz mz 0 E x mx )( z mz mz E ( x mx ) aE ( z mz ) 2 amz E ( z mz ) 0 Cov( x, z ) aVarZ 0 Cor ( x, z ) x DX DZ x x x x a 2 0 Cov( x, z ) x x a DZ ˆ az b az m am m a( z m ) X x z x z
1
(x g(z)) f (x | )dx d
2
为使J 最小，只要对每一个 值，使积分 ( x g ( z ))2 f ( x | )dx为最小。
二维r.v.最小方差估计
对于给定 值，r.v.X的c.p.d.f.f ( x | )
( x g ( z )) f ( x | )dx是x关于常值g( )的二阶矩
最小二乘估计
xi 选的不够精确 影响因素 存值观测误差 的模型方程f (t )选的不确切 ˆ1 , x ˆ2 ...x ˆn )之差 残差：观测值zi 与f (ti , x ˆ1 , x ˆ2 ...x ˆn ) ei zi f (ti , x (i 1, 2, 3...m) 最小二乘是根据残差平方和为最小来确定x1 , x2 ...xn ˆ1 , x ˆ2 ...x ˆn )+ei zi =f (ti , x zi xh(t ) xh(t ) ... xh(t ) e(i 1, 2..., m) z xh(t ) xh(t ) ... xh(t ) e ... z xh(t ) xh(t ) ... xh(t ) e z x e h(t )...h(t ) x ... e ... H ...... z ... z x e h(t )...h(t ) Z HX e 残差平方和J
一维r.v.最小方差估计
一维r.v.最小方差估计
二维r.v.最小方差估计
二维r.v.最小方差估计
二维r.v.最小方差估计
r.v.X, Z的j.p.d.f.表示为f (x, )=f (x| )f 2 ( ) 估计误差的方差：J =E x-g(z) f 2 ( )
2
x z
最小二乘估计
最小二乘估计
最小方差估计：要已知随机变量概率分布 线性最小方差估计：只知道随机变量一、二阶钜 最小二乘法：r.v.钜不知道 问题：根据观测结果确定两个变量δ和t之间的未知函数关系。 设进行了m次独立实验，m对观测值（δ1，t1）…（δm，tm） 用最优的形式表达δ和t之间的函数关系。
i=1
2
对x1...xm 求偏导并等于0 m ` f ( t x , x ... x ) f i i , 1 2 n x 1 (ti , x1...xn ) 0 i=1 ...... m ` f ( t x , x ... x ) f i i, 1 2 n xn (ti , x1 ...xn ) 0 i=1 ˆ1...x ˆn 有n个参数n个方程，n个未知参数方程，解之可得x1...xn的最优估值x
最小二乘：m次独立实验（z1 ,t1）...(zm ,tm ) 最优的反应z与t之间关系，一般z未知函数用P(t )表示 f(t)=x1h1(t)+x2 h 2(t)+...+xn h n(t)=f(t ,x1 , x2 ...xn ) m n m n m n 方程解不定 可唯一解x1...xn，有随机误差，不能准确确定z和t i 之间关系 不能用解方程方法求参数
x x mx ( z mz )
线性最小方差估计
=X X ˆ 估计误差X
x x ˆ EX EX EX EX E (mx ) E ( z mz ) 0
无偏估计 推广到x，z是多维变量，得到多维r.v.线性最小方差估计 ˆ =m Cor ( x, z )(Var z ) 1 ( z m ) X
线性最小方差估计
Hale Waihona Puke 线性最小方差估计 计算条件数学期望E X | Z 需要知道j.p.d.f. 工程上此工作很麻烦，通常不知道r.v.的p.d.f. 放松对概率的要求，只求观测值和被估计值的一、二阶钜， 即知道EX，EZ，方差VarX ，VarZ , 此方差Cor(x,z),Cor(z,x) 此时，需要对估计量的函数形式加以限制， 而不像最小方差估计那样考虑的估计量 可以是观测值的任意形式函数 用线性最小方差估计
最小二乘估计
的未知函数用f(t)表示
f(t)=x1 +x2t+...xnt 更一般形式 f(t)=x1h1(t)+x2 h 2(t)+...+xn h n(t)=(t,x1 , x2 ...xn ) h(t )...h(t )为已知的确定性函数，x1...xn为n个待定的未知参数 m个观测值代入以上方程 m n m n m n 方程解不定 可唯一解x1...xn，但f (t )要经过每个观测点( i ,ti ) 方程数大于未知数组
e
i 1
m
2
i
eT e
最小二乘估计
对x求梯度( xT y ) ( y T x) y ( xT x ) 2 x ( xT Ay ) Ay ( yT Ax) AT y ( xT Ax) ( A AT ) y ( f T ( x) g ( x)) ( g T ( x) f ( x)) J f T g J g T f ( g T ( x)Qg ( x)) 2 J g T Qg ( x) Q对称
不用解方程方法，用数理统计求估值x1 , x2 ...xn，向量用数理统计求估算值
最小二乘估计