直线相关与回归分析课件
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第八章直线相关与回归分析
第十章一元回归与相关分析概述：许多问题需要研究多个变量之间的关系，例如生物的生长发育速度就与温度，营养，湿度等许多因素有关。
相关关系：两变量X，Y均为随机变量，任一变量的每一可能值都有另一变量的一个确信散布与之对应。
回归关系：X是非随机变量（如施肥）或随机变量（如穗长），Y是随机变量，对X的每一确信值x i都有Y的一个确信散布与之对应。
区别：1.相关中的两个变量地位对称，互为因果；回归中X是自变量，Y是因变量。
两种意义不同，分析的数学概念与推导进程不同，但如果是利用一起标准即使y的残差平方和最小（最小二乘法），可取得相同的参数估量式。
因此要紧讨论X为非随机变量（不包括有随机误差）的情形，所取得的参数估量式也可用于X为随机变量的情形。
2.分析目的不同。
回归分析是成立X与Y之间的数学关系式，用于预测；而相关分析研究X与Y两个随机变量之间的一起转变规律，例如当X增大时Y如何转变，和这种共变关系的强弱。
分类：从两个变量间相关（或回归）的程度分三种：（1）完全相关。
一个变量的值确信后，另一个变量的值可通过公式求出（函数关系）；生物学研究中不太多见。
（2）不相关。
变量之间完全没有任何关系。
一个变量的值不能提供另一个变量的任何信息。
（3）统计相关（不完全相关）。
介于上述两情形之间。
明白一个变量的值通过某种公式就能够够提供另一个变量的均值的信息。
一个变量的取值不完全决定另一个变量的取值，但可或多或少地决定它的散布。
科研中最常碰到。
研究“一因一果”，即一个自变量与一个依变量的回归分析称为一元回归分析；研究“多因一果”，即多个自变量与一个依变量的回归分析称为多元回归分析。
一元回归分析又分为直线回归分析与曲线回归分析两种；多元回归分析又分为多元线性回归分析与多元非线性回归分析两种。
对两个变量间的直线关系进行相关分析称为直线相关分析；研究一个变量与多个变量间的线性相关称为复相关分析；研究其余变量维持不变的情形下两个变量间的线性相关称为偏相关分析。
《直线相关与回归》课件
通过引入多个自变量，建立多元线性回归模 型，更准确地预测因变量的值。
模型评估
通过检验回归方程的显著性和模型的拟合优 度，评估多元线性回归模型的有效性。
案例分析与应用
市场营销
通过回归分析客户消费行为，制定有效的市场推广策略。
金融风险管理
通过建立回归模型，评估风险因素对金融资产的影响程度。
医学研究
回归分析可以帮助研究人员预测疾病发生的概率，优化治疗方案。
皮尔逊相关系数
常用的相关系数，取值范围为-1到1，表示两个变量之间的线性关系的强弱。
斯皮尔曼相关系数
用于非线性关系的测量，通过变量的排序关系来判断相关性的程度。
判定系数
判断回归方程对样本数据的拟合程度，解释自变量对因变量变化的百分比。
回归分析的基本原理
回归分析用于建立因变量与一个或多个自变量之间的数学关系。通过回归方 程的拟合和预测，揭示变量之间的内在规律。
《直线相关与回归》PPT 课件
本课件将介绍直线相关与回归的概念、测量方法以及基本原理。我们还将探 讨简单线性回归模型、多元线性回归模型，以及案例分析与应用。让我们开 始吧！
直线相关的概念
直线相关研究两个变量之间的关系，通过相关系数判断其相关性的强弱。相关性的理解对于回归分析非常重要。直Βιβλιοθήκη 相关的测量方法简单线性回归模型
模型公式
利用一条直线描述因变量与单个自变量之间的线性关 系。
散点图
通过散点图观察数据点的分布和趋势，评估线性模型 的适应度。
回归分析
通过回归分析，我们可以得到回归系数和截距，进而
多元线性回归模型
1
多重共线性
2
当两个或多个自变量之间存在高度相关性时，
会导致多重共线性问题。
模型评估
通过检验回归方程的显著性和模型的拟合优 度，评估多元线性回归模型的有效性。
案例分析与应用
市场营销
通过回归分析客户消费行为，制定有效的市场推广策略。
金融风险管理
通过建立回归模型，评估风险因素对金融资产的影响程度。
医学研究
回归分析可以帮助研究人员预测疾病发生的概率，优化治疗方案。
皮尔逊相关系数
常用的相关系数，取值范围为-1到1，表示两个变量之间的线性关系的强弱。
斯皮尔曼相关系数
用于非线性关系的测量，通过变量的排序关系来判断相关性的程度。
判定系数
判断回归方程对样本数据的拟合程度，解释自变量对因变量变化的百分比。
回归分析的基本原理
回归分析用于建立因变量与一个或多个自变量之间的数学关系。通过回归方 程的拟合和预测，揭示变量之间的内在规律。
《直线相关与回归》PPT 课件
本课件将介绍直线相关与回归的概念、测量方法以及基本原理。我们还将探 讨简单线性回归模型、多元线性回归模型，以及案例分析与应用。让我们开 始吧！
直线相关的概念
直线相关研究两个变量之间的关系，通过相关系数判断其相关性的强弱。相关性的理解对于回归分析非常重要。直Βιβλιοθήκη 相关的测量方法简单线性回归模型
模型公式
利用一条直线描述因变量与单个自变量之间的线性关 系。
散点图
通过散点图观察数据点的分布和趋势，评估线性模型 的适应度。
回归分析
通过回归分析，我们可以得到回归系数和截距，进而
多元线性回归模型
1
多重共线性
2
当两个或多个自变量之间存在高度相关性时，
会导致多重共线性问题。
直线相关与直线回归
案例二：医学研究
总结词
医学研究中，利用直线相关和回归分析探究疾病与危险因素之间的关系。
详细描述
在医学研究中，直线相关和回归分析常被用于研究疾病与危险因素之间的关系。 例如，通过分析吸烟、饮酒、饮食等危险因素与肺癌发病率之间的关系，可以 建立线性模型，从而为预防和治疗提供依据。
案例三：农业研究
总结词
通过假设检验的方法，检验两个变量之间是否存在显著的线性关系。常用的假设检验方法 包括t检验、F检验等。
直线相关系数
直线相关系数是用来量化两个变量之间线性关 系的强度和方向的一个数值，其取值范围为-1 到1。
相关系数的值为1表示完全正相关，值为-1表示 完全负相关，值为0表示无直线相关。
相关系数的绝对值越大，说明两个变量之间的 线性关系越强。
直线相关结果通常以相关系数和散点图等 形式呈现，而直线回归结果则以回归方程 、系数表和预测值等形式呈现。
联系
理论基础
直线相关和回归都基于线性关 系假设，即两个变量之间存在
一条直线的趋势。
应用场景
在某些情况下，直线相关和回 归可以相互转换，例如当一个 变量是另一个变量的函数时。
相互支持
在数据分析过程中，可以先进 行直线相关分析，再基于相关 系数进行直线回归分析，或者 反之。
结果解释
在某些情况下，直线相关和回 归的结果可能相似或一致，例 如当两个变量之间的线性关系
很强时。
04
直线相关与回归的应用
经济预测
预测市场趋势
通过分析历史数据，利用直线相关或回归分析来预测市场趋势， 如股票价格、商品需求等。
评估经济政策效果
通过分析政策实施前后的经济数据，利用直线相关或回归分析来评 估政策效果，为政策制定提供依据。
相关分析与回归分析 PPT
距离相关分析通过计算广义距离 度量样品或变量间得相似程度。
2022/9/20
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距离相关分析一般不单独使用, 而就是作为聚类分析、因子分析等得 预处理过程。
距离相关分析根据统计量得不同, 分为不相似性测度和相似性测度。对 于不相似性测度,通过计算距离来表 示,距离越大,相似性越弱;对于相似性 测度,通过计算 Pearson 相关系
数据得采集也就是建立回归模型 得重要一环。
大多数建模竞赛题目会提供相关 数据,但这些数据可能包含了一些无 用得信息,个别数据缺失甚至失真。
在建模前,需要对数据进行适当
2022/9/20
45
处理。比如标准化,剔除个别过大或 过小得“野值”,用插值方法补齐空 缺数据等。 (3) 回归模型形式得确定
收集、处理好数据后,首先要确 定适当得数学模型来描述这些变量间 得统计关系。
显然,样品间得相关系数都接近
于1,很难辨别出其相似程度。
2022/9/20
31
例4 5名考官给10名应聘者得面
试分数如下,请问各考官评分得一致
性如何？哪位考官得可信度较小？各
应聘者分数得差异就是否明显？
解 若第1问改为:请问不同考官
对应聘者面试分数得影响就是否显著,
则勉强可用方差分析。因为考官给10
相关分析与回归分析
一、引 言
2022/9/20
2
在很多研究领域中,往往需要研
究事物间得关系。如收入与受教育程
度,子女身高与父母身高,商品销售额
与广告费用支出,农作物产量与施肥
量,上述两者间有关系吗？如果有关
系,又就是怎么样得关系呢？如何来
度量这种关系得强弱？
解决上述问题得统计方法就是相
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距离相关分析一般不单独使用, 而就是作为聚类分析、因子分析等得 预处理过程。
距离相关分析根据统计量得不同, 分为不相似性测度和相似性测度。对 于不相似性测度,通过计算距离来表 示,距离越大,相似性越弱;对于相似性 测度,通过计算 Pearson 相关系
数据得采集也就是建立回归模型 得重要一环。
大多数建模竞赛题目会提供相关 数据,但这些数据可能包含了一些无 用得信息,个别数据缺失甚至失真。
在建模前,需要对数据进行适当
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处理。比如标准化,剔除个别过大或 过小得“野值”,用插值方法补齐空 缺数据等。 (3) 回归模型形式得确定
收集、处理好数据后,首先要确 定适当得数学模型来描述这些变量间 得统计关系。
显然,样品间得相关系数都接近
于1,很难辨别出其相似程度。
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例4 5名考官给10名应聘者得面
试分数如下,请问各考官评分得一致
性如何？哪位考官得可信度较小？各
应聘者分数得差异就是否明显？
解 若第1问改为:请问不同考官
对应聘者面试分数得影响就是否显著,
则勉强可用方差分析。因为考官给10
相关分析与回归分析
一、引 言
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2
在很多研究领域中,往往需要研
究事物间得关系。如收入与受教育程
度,子女身高与父母身高,商品销售额
与广告费用支出,农作物产量与施肥
量,上述两者间有关系吗？如果有关
系,又就是怎么样得关系呢？如何来
度量这种关系得强弱？
解决上述问题得统计方法就是相
直线相关和回归分析
第二节 直线回归
一、线性回归的概念
目的：
在因变量Y和自变量X之间建立一个数 学模型，根据这个模型可以根据自变量的变 动预测因变量的变动。
区别于函数关系和统计关系
❖函数关系： 两变量的数量表现在一定条件下是完全确 定的。
如： 圆的面积和半径的关系S r2
❖统计关系（相关关系）：两变量的数量表 现尽管存在着密切关系，但却不是完全确 定的。 如：成本和利润的关系
简单线性回归模型
样本线性回归方程
Yˆ a bX
Yˆ 为给定X 时Y 的估计值。
a 为回归直线在 Y 轴上的截距
即x 取0时，y 的平均估计值
➢ a >0，表示直线与纵轴的交点在原点的上方 ➢ a < 0，则交点在原点的下方 ➢ a = 0，则回归直线通过原点
b为回归系数，即直线的斜率
➢ b>0，直线从左下方走向右上方，Y 随 X 增大
16
0.206
0.317 0.400 0.468 0.542 0.590 0.631 0.678
17
0.197
0.308 0.389 0.456 0.529 0.575.378 0.444 0.515 0.561 0.602 0.648
…
…
…
…
…
…
而增大
➢ b<0，直线从左上方走向右下方，Y 随 X 增大
而减小
➢ b=0，表示直线与 X 轴平行，X 与Y 无直线关
系
b 的统计学意义是：X 每增加(减)一个单位，Yˆ
平均改变b个单位
建立 线性回归模型的步骤
1、确定研究的问题
2、设样本回归模型(如: Y a )bx
3、搜集样本资料(数据资料) 4、估计未知参数(计算统计量) 5、得到样本回归方程 6、用模型预测因变量
直线相关与回归分析
第七章 多元回归及相关
第一节 多元线性回归的基本概念
事物间的相互联系往往是多方面的，在很多情 况下对应变量y 发生影响的自变量往往不止一个 。 多元线性回归的目的就是用一个多元线性回归方 程表示多个自变量和1个应变量间的关系。
yˆ b0 b1x1 b2x2 bi xi bmxm
直线回归相关分析的注意事项：
2. 在进行直线回归前应绘制散点图，有直 线趋势时，才适宜作直线回归分析。散 点图还能提示资料有无异常点。
3. 直线回归方程的适用范围一般以自变量 的取值范围为限。
直线回归相关分析的注意事项：
4. 对同一组资料作回归和相关分析， 其相关系数和回归系数的显著性检验结果完 全相同。由于相关系数的显著性检验结果可 直接查表，比较方便；而回归系数的显著性 检验计算复杂，故在实际应用中常用相关系 数的显著性检验结果代替回归系数的显著性 检验。
第六节 多元回归在医学中的应用
1.一。根据较易测得的自变量推算不易测得的应变量 如：用身高, 体重推算体表面积 。
二。确定各自变量xi取不同值时，y的正常值范围 如：建立一个由身高，体重推算心象面积的多元
回归方程，利用此方程就可分别求出身高， 体重取不同 值的组合时，心象面积的正常值范围。
三。预测预报 如：建立心肌梗塞预报方程或脑卒中预报方程。
逐步回归分析方法示意：
X和Y的离均差积和
x x 2 x2 x2 n
X的离均差平方和
相关系数的显著性检验
H0 : 0 H1 : 0
sr
r tr sr
1 r2 n2
df n 2
样本相关系 数的标准误
查t界值表， 得P值
例6.1 极谱法和碘量法测定水中溶解氧的含 量，两法的测得值是否有相关性？
第十五章--直线相关与直线回归分析
n
5
Lyy
2
Y Y
Y2
Y 2 ＝27.86－112 ＝3.66
n
5
Lxy
X X
Y Y
XY
25 6
❖ 1.绘制散点图 有相关关系，再作回归分析 ❖ 2.计算回归系数
41
❖ （1）编制回归系数计算表：求基础数据
X 75
Y 11
X 2 1375
Y 2 27.86
XY 194.25
42
（2）计算离均差平方和及离均差积和
Lxx
2
XX
X2
X 2 ＝1375－752 ＝250
tr
r
n2 1－r 2
=n-2=12-2=10 t=7.73，查t值表P436， t0.05(10) 2.228
上述计算t=7.73>2.228，由t所推断的P值小于0.05，按
=0.05水准拒绝H0 ，接受H1, r为正值，说明唾液
药物浓度与血液药物浓度存在正相关关系。
23
相关一定有内在联系吗？
5
第一节 直 线 相 关 分 析
Linear Correlation
6
1.直线相关概念
❖ 概念：描述和推断两个（事件、现象）正态 变量（x、y)总的变化趋势上协同变化规律性 的密切程度和方向（但又非确定的函数关系） 的统计分析方法。
❖ 协同变化：同增同减，此增彼减
7
2.直线相关的特点：
❖ 两变量同时进入数据分析； ❖ 两变量不区别为原因变量和结果变量，
20
（3）直 线 相 关 系 数 的 假 设 检 验
❖ 上例中的相关系数r等于0. 9256，说明了12名癫痫病人的唾 液药物浓度与血液药物浓度之间存在相关关系。但是，这12 名癫痫病人只是总体中的一个样本，由此得到的相关系数会 存在抽样误差。
第九章 相关与回归分析 《统计学原理》PPT课件
［公式9—4］
r xy n • xy
x y
［公式9—5］
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第三节 回归分析的一般问题
一、回归分析的概念与特点
(一)回归分析的概念
现象之间的相关关系，虽然不是严格 的函数关系，但现象之间的一般关系值， 可以通过函数关系的近似表达式来反映， 这种表达式根据相关现象的实际对应资料， 运用数学的方法来建立，这类数学方法称 回归分析。
单相关是指两个变量间的相关关系，如 自变量x和因变量y的关系。
复相关是指多个自变量与因变量间的相关 关系。
(二)相关关系从表现形态上划分，可分为 直线相关和曲线相关
直线相关是指两个变量的对应取值在坐标 图中大致呈一条直线。
曲线相关是指两个变量的对应取值在坐 标图中大致呈一条曲线，如抛物线、指数曲线、 双曲线等。
0.578
a y b x 80 0.578 185 3.844
n
n7
7
yˆ 3.844 0.578x
二、估计标准误差 (一)估计标准误差的概念与计算 估计标准误差是用来说明回归直线方程 代表性大小的统计分析指标。其计算公式为：
Syx
y yˆ 2
n
［公式9—8］
实践中，在已知直线回归方程的情况下， 通常用下面的简便公式计算估计标准误差：
［例９—２］ 根据相关系数的简捷公式计算有：
r
n xy x y
n x2 x2 n y2 y2
7 218018580
0.978
7 5003 1852 7 954 802
再求回归直线方程：
yˆ a bx
b
n xy x y
n x2 x2
7 2180 18580 7 50031852
生物统计附试验设计第八章直线回归与相关分析ppt课件
全部偏差平方和为：
Q ei2 (y yˆ)2 y (a bx)2
利用最小二乘法，即使偏差平方和最小 的方法求a与b的值。
Q a
2 ( y
a
bx)
0
Q b
2 ( y
a
bx)x
0
na ( x)b y
根据微积分 学中求极值 的原理，将Q 对a与b求偏 导数并令其 等于0：
( x)a ( x)2 b xy
平行关系/相关关系（两个以上变量之间共
同受到另外因素的影响，无自变量与依变
量之分）
X身高
Y体重
X体重
Y身高
在大量测量各种身高人群的体重时会发现，在同样 身高下，体重并不完全一样。在同样体重下，身高 并不完全一样。但在每一身高/体重下，有一确定 的体重/身高。
身高与体重之间存在相关关系。
平行关系/相关关系（两个以上变量之间共 同受到另外因素的影响，无自变量与依变 量之分）
Sr
检验的计算公式为：
Sr (1 r2 ) /(n 2)
Sr—相关系数标准误
F
(1
r2 r2) (n
2)
df1 1, df2 n 2
此外，还可以直接采用查表法对相关系 数r进行显著性检验。先根据自由度n-2查临
界r值(附表8)，得r0.05、 r0.01。
若|r|＜r0.05 ，P＞0.05，则相关系数r不 显著；
椰子树的产果树与树高之间无直线相关关系。
当样本太小时，即使r值达到0.7996，样本也可
能来自总体相关系数ρ=0的总体。
不能直观地由r值判断两变数间的相关密切程度。 试验或抽样时，所取的样本容量n大一些，由此计
算出来的r值才能参考价值。
四、相关与回归的关系
Q ei2 (y yˆ)2 y (a bx)2
利用最小二乘法，即使偏差平方和最小 的方法求a与b的值。
Q a
2 ( y
a
bx)
0
Q b
2 ( y
a
bx)x
0
na ( x)b y
根据微积分 学中求极值 的原理，将Q 对a与b求偏 导数并令其 等于0：
( x)a ( x)2 b xy
平行关系/相关关系（两个以上变量之间共
同受到另外因素的影响，无自变量与依变
量之分）
X身高
Y体重
X体重
Y身高
在大量测量各种身高人群的体重时会发现，在同样 身高下，体重并不完全一样。在同样体重下，身高 并不完全一样。但在每一身高/体重下，有一确定 的体重/身高。
身高与体重之间存在相关关系。
平行关系/相关关系（两个以上变量之间共 同受到另外因素的影响，无自变量与依变 量之分）
Sr
检验的计算公式为：
Sr (1 r2 ) /(n 2)
Sr—相关系数标准误
F
(1
r2 r2) (n
2)
df1 1, df2 n 2
此外，还可以直接采用查表法对相关系 数r进行显著性检验。先根据自由度n-2查临
界r值(附表8)，得r0.05、 r0.01。
若|r|＜r0.05 ，P＞0.05，则相关系数r不 显著；
椰子树的产果树与树高之间无直线相关关系。
当样本太小时，即使r值达到0.7996，样本也可
能来自总体相关系数ρ=0的总体。
不能直观地由r值判断两变数间的相关密切程度。 试验或抽样时，所取的样本容量n大一些，由此计
算出来的r值才能参考价值。
四、相关与回归的关系
第八章直线相关与回归分析
第十章一元回归与相关分析概述：许多问题需要研究多个变量之间的关系，例如生物的生长发育速度就与温度，营养，湿度等许多因素有关。
相关关系：两变量X，Y均为随机变量，任一变量的每一可能值都有另一变量的一个确定分布与之对应。
回归关系：X是非随机变量（如施肥）或随机变量（如穗长），Y是随机变量，对X的每一确定值x i都有Y的一个确定分布与之对应。
区别：1.相关中的两个变量地位对称，互为因果；回归中X是自变量，Y是因变量。
两种意义不同，分析的数学概念与推导过程不同，但如果使用共同标准即使y的残差平方和最小（最小二乘法），可得到相同的参数估计式。
因此主要讨论X为非随机变量（不包含有随机误差）的情况，所得到的参数估计式也可用于X为随机变量的情况。
2.分析目的不同。
回归分析是建立X与Y之间的数学关系式，用于预测；而相关分析研究X与Y两个随机变量之间的共同变化规律，例如当X增大时Y如何变化，以及这种共变关系的强弱。
分类：从两个变量间相关（或回归）的程度分三种：（1）完全相关。
一个变量的值确定后，另一个变量的值可通过公式求出（函数关系）；生物学研究中不太多见。
（2）不相关。
变量之间完全没有任何关系。
一个变量的值不能提供另一个变量的任何信息。
（3）统计相关（不完全相关）。
介于上述两情况之间。
知道一个变量的值通过某种公式就可以提供另一个变量的均值的信息。
一个变量的取值不完全决定另一个变量的取值，但可或多或少地决定它的分布。
科研中最常遇到。
研究“一因一果”，即一个自变量与一个依变量的回归分析称为一元回归分析；研究“多因一果”，即多个自变量与一个依变量的回归分析称为多元回归分析。
一元回归分析又分为直线回归分析与曲线回归分析两种；多元回归分析又分为多元线性回归分析与多元非线性回归分析两种。
对两个变量间的直线关系进行相关分析称为直线相关分析；研究一个变量与多个变量间的线性相关称为复相关分析；研究其余变量保持不变的情况下两个变量间的线性相关称为偏相关分析。
第七章 直线回归与相关分析
最小二乘估计法 设回归直线方程为:
ˆ a bx y
（6-2）
其中， a 是α的估计值，b是β的估计值。
主 页退 出 上一张 下一张
建立 样本线性回归方程的方法 最小二乘法
实际观察值与样本回归线上
的点的距离的平方和最小
y
n
i1
yi yi
n 2 i i 1
函数关系 有精确的数学表达式 （确定性的关系） 直线回归分析 一元回归分析 变量间的关系 因果关系 曲线回归分析 (回归分析） 多元线性回归分析 多元回归分析 相关关系 多元非线性回归分析 （非确定性的关系） 简单相关分析—— 直线相关分析 平行关系 复相关分析 （相关分析） 多元相关分析 偏相关分析
2
(x,y) y=a+bx y-y y-y y
ˆ y) 2 (y y ˆ ) 2 2 (y ˆ y)(y y ˆ) (y
ˆ y )( y y ˆ ) b( x x )( y y ) b( x x ) (y bSPxy b 2 SS x ( SP SP 2 ) SP ( ) SS x 0 SS x SS x
多因一果，多元回归分析 多个自变量与一个依变量的回归分析，分为 多元线性回归分析与多元非线性回归分析两种。
回归分析的任务： 揭示出呈因果关系的相关变量间的联系形 式，建立它们之间的回归方程，利用所建立的 回归方程，由自变量（原因）来预测、控制依 变量（结果）。 回归分析主要包括： 找出回归方程；检验回归方程是否显著； 通过回归方程来预测或控制另一变量。
2
a、b应使回归估计值与实际观测值的误差平方和最小，即：
ˆ )2 ( y a bx) 2 最小 Q (y y
ˆ a bx y
（6-2）
其中， a 是α的估计值，b是β的估计值。
主 页退 出 上一张 下一张
建立 样本线性回归方程的方法 最小二乘法
实际观察值与样本回归线上
的点的距离的平方和最小
y
n
i1
yi yi
n 2 i i 1
函数关系 有精确的数学表达式 （确定性的关系） 直线回归分析 一元回归分析 变量间的关系 因果关系 曲线回归分析 (回归分析） 多元线性回归分析 多元回归分析 相关关系 多元非线性回归分析 （非确定性的关系） 简单相关分析—— 直线相关分析 平行关系 复相关分析 （相关分析） 多元相关分析 偏相关分析
2
(x,y) y=a+bx y-y y-y y
ˆ y) 2 (y y ˆ ) 2 2 (y ˆ y)(y y ˆ) (y
ˆ y )( y y ˆ ) b( x x )( y y ) b( x x ) (y bSPxy b 2 SS x ( SP SP 2 ) SP ( ) SS x 0 SS x SS x
多因一果，多元回归分析 多个自变量与一个依变量的回归分析，分为 多元线性回归分析与多元非线性回归分析两种。
回归分析的任务： 揭示出呈因果关系的相关变量间的联系形 式，建立它们之间的回归方程，利用所建立的 回归方程，由自变量（原因）来预测、控制依 变量（结果）。 回归分析主要包括： 找出回归方程；检验回归方程是否显著； 通过回归方程来预测或控制另一变量。
2
a、b应使回归估计值与实际观测值的误差平方和最小，即：
ˆ )2 ( y a bx) 2 最小 Q (y y
卫生统计学课件---直线相关与回归
3、相关的显著性程度与相关的密切程度不同
相关的显著程度（即统计意义的程度）和相 关的密切程度是两个不同的概念。变量间 相关的显著性越高，概率越小，在判断变 量间具有相关关系时，犯第一类错误的可 能性越小。而相关的密切程度高低，是相 关系数具有统计意义的前提下，根据相关 系数绝对值的大小来判断的。
4、作回归分析时要恰当确定自变量与因变量
2、求у和 χ
∑X 47.28χ= ==4.7Fra bibliotek8n 10
∑Y 1392.2
у= =
=139.22
n 10
3、计算离均差平方和∑(X－χ)2及离均差积和 ∑(X－χ)(Y－у)
∑(X－χ)2= ∑X2－(∑X)2/n=224.31－ (47.28)2/10=0.77
∑(X－χ)(Y－у)= ∑XY－∑X∑Y/n =6594.26－47.28×1392.2/10=11.94 4、计算回归系数b和截距a
二、直线回归
（一）直线回归的概念 直线回归又称简单回归，是描述和分析两变量间线
性依存关系的一种统计方法。两个变量之间有一 定的数量关系，但又非函数关系，称作回归关系。 如前所述，20岁男青年红细胞数与血红蛋白含量 的关系，只知道两者存在正相关关系，但不能说， 红细胞数是多时，血红蛋白一定是多少。如果想 要进一步由红细胞数估计血红蛋白含量，需要再 作回归分析。直线回归分析的主要任务就是找出 最合适的直线回归方程，以确定一条最接近于各 实测点的直线，来描述两个变量之间的回归关系。 直线回归的表达式为
计算步骤如下：
（1）作散点图：见下图。由散点图可见，10 名男青年的红细胞数与血红蛋白含量有直 线趋势。
10名男青年红细胞数与血红蛋白含量的关系
148 146 144 142 140 138 136 134 132 130
第7章 直线回归与相关分析
y y ( x x)
y x
总体资料直线回 归的数学模型
总体回归截踞
总体回归系数 随机误差
y ( x x)
总体回归截踞 总体回归系数 随机误差
α：它是y的本底水平，即x对y没有任何作用时，y的数量 表现。 βx：它描述了因变量y的取值改变中，由y与自变量x的线 性关系所引起的部分，即可以由x直接估计的部分。 误差：它描述了因变量y的取值改变由x以外的可能与y有 关的随机和非随机因素共同引起的部分，即不能由 x直接 估计的部分。
ˆ y) ( y y ˆ) ( y y) ( y
2 2
2
回归平方和 U
离回归平方和 Q
ss
y
U Q
ˆ y ) 2 [ y b ( x x ) y ]2 U (y b 2 ( x x) b 2 ss x bsp ( sp ) 2
2 sy /x
2
sy / x SSx
回归系数的标准误
b 2 b t ( ) 2 sb sb
2
2 2 2
2
sb
sy / x SSx
b SSx b t 2 2 s y / x / SSx sy / x
2
U b
2
ss bsp
x
(sp)
2
ss
x
U t F Q /(n 2)
相关关系
X身高
Y体重
在大量测量各种身高人群的体重时会发现，虽然在同样身高 下，体重并不完全一样。但在每一身高下，都有一个确定的 体重分布与之相对应;
X体重
Y身高
在大量测量各种体重人群的身高时会发现，虽然在同样体重 下，身高并不完全一样。但在每一体重下，都有一个确定的 身高分布与之相对应;
统计学第7章相关与回归分析PPT课件
预测GDP增长
利用回归分析，基于历史GDP数据和其他经济指标，预测未来GDP 的增长趋势。
预测通货膨胀率
通过分析通货膨胀率与货币供应量、利率等经济指标的关系，利用回 归分析预测未来通货膨胀率的变化。
市场研究
消费者行为研究
通过回归分析研究消费者购买决策的影响因素， 如价格、品牌、广告等。
市场细分
利用回归分析对市场进行细分，识别不同消费者 群体的特征和需求。
线性回归模型假设因变量和自变量之间 存在一种线性关系，即当一个自变量增 加时，因变量也以一种可预测的方式增
加或减少。
参数估计
参数估计是用样本数据来估计线性回 归模型的参数β0, β1, ..., βp。
最小二乘法的结果是通过解线性方程 组得到的，该方程组包含n个方程（n 是样本数量）和p+1个未知数（p是 自变量的数量，加上截距项）。
回归模型的评估
残差分析
分析残差与自变量之间的关系， 判断模型的拟合程度和是否存在
异常值。
R方值
用于衡量模型解释因变量变异的 比例，值越接近于1表示模型拟
合越好。
F检验和t检验
用于检验回归系数是否显著，判 断自变量对因变量的影响是否显
著。
05 回归分析的应用
经济预测
预测股票市场走势
通过分析历史股票数据，利用回归分析建立模型，预测未来股票价 格的走势。
回归模型的评估是通过各种统计 量来检验模型的拟合优度和预测 能力。
诊断检验（如Durbin Watson检 验）可用于检查残差是否存在自 相关或其他异常值。
03 非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
线性回归模型假设因变量和自变量之间的关系是线性的，但在实 际应用中，这种关系可能并非总是成立。
利用回归分析，基于历史GDP数据和其他经济指标，预测未来GDP 的增长趋势。
预测通货膨胀率
通过分析通货膨胀率与货币供应量、利率等经济指标的关系，利用回 归分析预测未来通货膨胀率的变化。
市场研究
消费者行为研究
通过回归分析研究消费者购买决策的影响因素， 如价格、品牌、广告等。
市场细分
利用回归分析对市场进行细分，识别不同消费者 群体的特征和需求。
线性回归模型假设因变量和自变量之间 存在一种线性关系，即当一个自变量增 加时，因变量也以一种可预测的方式增
加或减少。
参数估计
参数估计是用样本数据来估计线性回 归模型的参数β0, β1, ..., βp。
最小二乘法的结果是通过解线性方程 组得到的，该方程组包含n个方程（n 是样本数量）和p+1个未知数（p是 自变量的数量，加上截距项）。
回归模型的评估
残差分析
分析残差与自变量之间的关系， 判断模型的拟合程度和是否存在
异常值。
R方值
用于衡量模型解释因变量变异的 比例，值越接近于1表示模型拟
合越好。
F检验和t检验
用于检验回归系数是否显著，判 断自变量对因变量的影响是否显
著。
05 回归分析的应用
经济预测
预测股票市场走势
通过分析历史股票数据，利用回归分析建立模型，预测未来股票价 格的走势。
回归模型的评估是通过各种统计 量来检验模型的拟合优度和预测 能力。
诊断检验（如Durbin Watson检 验）可用于检查残差是否存在自 相关或其他异常值。
03 非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
线性回归模型假设因变量和自变量之间的关系是线性的，但在实 际应用中，这种关系可能并非总是成立。
第九章 直线回归与相关分析
ˆ L1 = y − t0.05 s y = 19.0645 − 2.447 × 2.1603 = 13.7782 ˆ L2 = y + t0.05 s y = 19.0645 + 2.447 × 0.8559 = 24.3508
第三节 直线相关
一、相关系数和决定系数 如果两个变量间呈线性关系，又不需要由x来估计 如果两个变量间呈线性关系，又不需要由 来估计 y，只需了 和y相关以及相关的性质，可通过计算 相关以及相关的性质， ，只需了x和 相关以及相关的性质 x和y相关程度和性质的统计数－相关系数来进行 相关程度和性质的统计数－ 和 相关程度和性质的统计数 研究。 研究。 相关系数r为 相关系数 为： SP
ˆ L1 = y − t0.05 s y = 19.0645 − 2.447 × 0.8559 = 16.9701 ˆ ˆ L2 = y + t0.05 s y = 19.0645 + 2.447 × 0.8559 = 21.1589 ˆ
（四）单个y值的置信区间
单个y观测值的标准误为： 单个 观测值的标准误为： 观测值的标准误为
2
ˆ L1 = y − t a s y ˆ ˆ L2 = y + t a s y ˆ
根据例1，估计出黏虫孵化历期平均温度为 ℃ 根据例 ，估计出黏虫孵化历期平均温度为15℃时， 历期天数为多少（ 置信区间）。 历期天数为多少（取95%置信区间）。 置信区间
x = 15 df = n − 2 = 8 − 2 = 6 ˆ y = a + bx = 57.04 + (−2.5317) × 15 = 19.0645 sy = sy / x ˆ 1 ( x − x )2 1 (15 − 16.8375) 2 + = 1.9835 × + = 0.8559 n SS x 8 55.1788
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秩相关系数rs=-0.748, P<0.01。年龄 与限制性端粒片段长短存在负相关， 相关程度较高。
偏相关分析
• 控制其它变量的作用后, 两个变量之间的相 关关系。
• 控制了第三个因素的影响后，第一、第二 因素的相关系数。
例:儿童血红蛋白与血清各种元素见的资料见 linear2.sav
两两变量的简单相关系数
直线相关与回归分析课 件
2020年4月29日星期三
直线相关分析
直线相关分析是研究两个连续性变量间 线性相关的方向及相关密切程度的统计 方法。资料要求X、Y均为随机变量，且 服从双变量正态分布。
相关系数用以说明两个变量间线性关系的 密切程度及方向的统计指标。
相关系数没有单位，取值范围是1≤r≤1。r值为正，为正相关；r值为 负，为负相关。
控制铁后各变量之间的相关系数。
直线回归分析
直线回归是研究两变量（X、Y）间的数量 依存关系的一种统计方法。其分析的任务 是确定一条直线回归方程，保证各实测点 距回归直线的纵向距离的平方和最小。
• 直线回归方程的理论模型： • 直线回归方程的一般表达式：
• a表示直线在Y轴上的截距，即当X=0时 Y的值。
相关系数r=0.940, P<0.01。进食量与 体重增加量存在较强的正相关关系 。
秩相关分析
用于不服从双变量正态分布的资料 ；总体分布未知； 原始数据用等级表示的资料。
• 例：欲研究年龄与限制性端粒片段长短的 相关关系。Corr1.sav
等级相关分析:SPSS操作
AnalyzeCorrelationBivariate Variable: age 、trf Correlation coefficient: Spearman OK
Spss回归分析
Analyzeregressionlinear Dependent: weight Independent: feed
OK
相关系数＝0.94, 决定系数＝0.883, 校正决定系数＝0.868
模型的方差分析表，回归模型F=60.197，P<0.01, 模型有统计学意义。
回归参数的估计值及检验结果。 变量回归系数t检验，t＝7.759，P<0.01。 回归方程weight=-17.357+0.222feed
残差的直方图 显示残差满足正态性要求
r的绝对值越接近于1，表示两变量 相关关系越密切；反之，越接近于 0，两变量越差。
例 研究者研究大白鼠进食ar1.sav
散点图显示两变量间存在线性关系 未发现离群值
相关分析:SPSS操作
AnalyzeCorrelationBivariate Variable: feed 、weight Correlation coefficient: Pearson OK
• b为回归系数, 即回归直线的斜率。 b的 统计学意义是X每增加(减)一个单位,Y平 均改变b个单位。
适用条件: 线性 独立 正态 等方差
回归系数的假设检验： t检验及方差分析
回归拟和指标：
决定系数
• 例 大白鼠进食量(g)体重增量(g) 资料为例， 分析两者之间有回归 关系。linear1.sav