第八章 直线回归与相关分析_PPT幻灯片
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《直线相关与回归》课件
通过引入多个自变量，建立多元线性回归模 型，更准确地预测因变量的值。
模型评估
通过检验回归方程的显著性和模型的拟合优 度，评估多元线性回归模型的有效性。
案例分析与应用
市场营销
通过回归分析客户消费行为，制定有效的市场推广策略。
金融风险管理
通过建立回归模型，评估风险因素对金融资产的影响程度。
医学研究
回归分析可以帮助研究人员预测疾病发生的概率，优化治疗方案。
皮尔逊相关系数
常用的相关系数，取值范围为-1到1，表示两个变量之间的线性关系的强弱。
斯皮尔曼相关系数
用于非线性关系的测量，通过变量的排序关系来判断相关性的程度。
判定系数
判断回归方程对样本数据的拟合程度，解释自变量对因变量变化的百分比。
回归分析的基本原理
回归分析用于建立因变量与一个或多个自变量之间的数学关系。通过回归方 程的拟合和预测，揭示变量之间的内在规律。
《直线相关与回归》PPT 课件
本课件将介绍直线相关与回归的概念、测量方法以及基本原理。我们还将探 讨简单线性回归模型、多元线性回归模型，以及案例分析与应用。让我们开 始吧！
直线相关的概念
直线相关研究两个变量之间的关系，通过相关系数判断其相关性的强弱。相关性的理解对于回归分析非常重要。直Βιβλιοθήκη 相关的测量方法简单线性回归模型
模型公式
利用一条直线描述因变量与单个自变量之间的线性关 系。
散点图
通过散点图观察数据点的分布和趋势，评估线性模型 的适应度。
回归分析
通过回归分析，我们可以得到回归系数和截距，进而
多元线性回归模型
1
多重共线性
2
当两个或多个自变量之间存在高度相关性时，
会导致多重共线性问题。
模型评估
通过检验回归方程的显著性和模型的拟合优 度，评估多元线性回归模型的有效性。
案例分析与应用
市场营销
通过回归分析客户消费行为，制定有效的市场推广策略。
金融风险管理
通过建立回归模型，评估风险因素对金融资产的影响程度。
医学研究
回归分析可以帮助研究人员预测疾病发生的概率，优化治疗方案。
皮尔逊相关系数
常用的相关系数，取值范围为-1到1，表示两个变量之间的线性关系的强弱。
斯皮尔曼相关系数
用于非线性关系的测量，通过变量的排序关系来判断相关性的程度。
判定系数
判断回归方程对样本数据的拟合程度，解释自变量对因变量变化的百分比。
回归分析的基本原理
回归分析用于建立因变量与一个或多个自变量之间的数学关系。通过回归方 程的拟合和预测，揭示变量之间的内在规律。
《直线相关与回归》PPT 课件
本课件将介绍直线相关与回归的概念、测量方法以及基本原理。我们还将探 讨简单线性回归模型、多元线性回归模型，以及案例分析与应用。让我们开 始吧！
直线相关的概念
直线相关研究两个变量之间的关系，通过相关系数判断其相关性的强弱。相关性的理解对于回归分析非常重要。直Βιβλιοθήκη 相关的测量方法简单线性回归模型
模型公式
利用一条直线描述因变量与单个自变量之间的线性关 系。
散点图
通过散点图观察数据点的分布和趋势，评估线性模型 的适应度。
回归分析
通过回归分析，我们可以得到回归系数和截距，进而
多元线性回归模型
1
多重共线性
2
当两个或多个自变量之间存在高度相关性时，
会导致多重共线性问题。
直线相关与直线回归
案例二：医学研究
总结词
医学研究中，利用直线相关和回归分析探究疾病与危险因素之间的关系。
详细描述
在医学研究中，直线相关和回归分析常被用于研究疾病与危险因素之间的关系。 例如，通过分析吸烟、饮酒、饮食等危险因素与肺癌发病率之间的关系，可以 建立线性模型，从而为预防和治疗提供依据。
案例三：农业研究
总结词
通过假设检验的方法，检验两个变量之间是否存在显著的线性关系。常用的假设检验方法 包括t检验、F检验等。
直线相关系数
直线相关系数是用来量化两个变量之间线性关 系的强度和方向的一个数值，其取值范围为-1 到1。
相关系数的值为1表示完全正相关，值为-1表示 完全负相关，值为0表示无直线相关。
相关系数的绝对值越大，说明两个变量之间的 线性关系越强。
直线相关结果通常以相关系数和散点图等 形式呈现，而直线回归结果则以回归方程 、系数表和预测值等形式呈现。
联系
理论基础
直线相关和回归都基于线性关 系假设，即两个变量之间存在
一条直线的趋势。
应用场景
在某些情况下，直线相关和回 归可以相互转换，例如当一个 变量是另一个变量的函数时。
相互支持
在数据分析过程中，可以先进 行直线相关分析，再基于相关 系数进行直线回归分析，或者 反之。
结果解释
在某些情况下，直线相关和回 归的结果可能相似或一致，例 如当两个变量之间的线性关系
很强时。
04
直线相关与回归的应用
经济预测
预测市场趋势
通过分析历史数据，利用直线相关或回归分析来预测市场趋势， 如股票价格、商品需求等。
评估经济政策效果
通过分析政策实施前后的经济数据，利用直线相关或回归分析来评 估政策效果，为政策制定提供依据。
相关分析 (级适用幻灯片PPT
相关分析 (级适用幻灯片PPT
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本章内容
7.1 相关分析概述 7.2 相关分析 7.3 偏相关分析
7.1 相关分析概述
客观事物之间的关系大致可归纳为两大类，即
函数关系：指两事物之间的一种一一对应的关系，如 商品的销售额和销售量之间的关系。
(xi x)2
其中， S y
( yi yˆi )2 n2
ti
i
~ t(n p 1)
(xij xi )2
其中， S y
( yi yˆi )2 n p 1
对于多元线性回归方程，检验统计量为：
9.4.3.4残差分析
变动一个单位所引起的因变量y的平均变动。
9.4.3 线性回归方程的统计检验
9.4.3.1回归方程的拟合优度
回归直线与各观测点的接近程度称为回归方程的拟合优度， 也就是样本观测值聚集在回归线周围的紧密程度 。
1、离差平方和的分解：
建立直线回归方程可知：y的观测值的总变动
可由 (y来y反)2映，称为总变差。引起总变差的
偏相关
单相关：两个变量之间的相关。
复相关：一个变量对两个或两个以上其 他变量的相关关系。
偏相关：在某一现象与多种现象相关的 场合，假定其他变量不变，专门考察其 中两个变量的相关关系称为偏相关。
相关分析的内容
判断社会经济现象之间是否存在相关关 系，是直线相关，还是曲线相关；
确定相关关系的密切程度。
利用城乡居民收入与消费数据文件，绘制城镇 居民人均可支配收入与人均消费支出、农村居 民人均纯收入与人均消费支出的重叠散点图
利用住房状况数据文件，绘制计划购房面积、 常住人口、现有住房面积的矩阵散点图和3-D 散点图
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本章内容
7.1 相关分析概述 7.2 相关分析 7.3 偏相关分析
7.1 相关分析概述
客观事物之间的关系大致可归纳为两大类，即
函数关系：指两事物之间的一种一一对应的关系，如 商品的销售额和销售量之间的关系。
(xi x)2
其中， S y
( yi yˆi )2 n2
ti
i
~ t(n p 1)
(xij xi )2
其中， S y
( yi yˆi )2 n p 1
对于多元线性回归方程，检验统计量为：
9.4.3.4残差分析
变动一个单位所引起的因变量y的平均变动。
9.4.3 线性回归方程的统计检验
9.4.3.1回归方程的拟合优度
回归直线与各观测点的接近程度称为回归方程的拟合优度， 也就是样本观测值聚集在回归线周围的紧密程度 。
1、离差平方和的分解：
建立直线回归方程可知：y的观测值的总变动
可由 (y来y反)2映，称为总变差。引起总变差的
偏相关
单相关：两个变量之间的相关。
复相关：一个变量对两个或两个以上其 他变量的相关关系。
偏相关：在某一现象与多种现象相关的 场合，假定其他变量不变，专门考察其 中两个变量的相关关系称为偏相关。
相关分析的内容
判断社会经济现象之间是否存在相关关 系，是直线相关，还是曲线相关；
确定相关关系的密切程度。
利用城乡居民收入与消费数据文件，绘制城镇 居民人均可支配收入与人均消费支出、农村居 民人均纯收入与人均消费支出的重叠散点图
利用住房状况数据文件，绘制计划购房面积、 常住人口、现有住房面积的矩阵散点图和3-D 散点图
《统计学》线性回归模型
36
由此，可定义统计量： R2=
SSR SST
R2称为“可决系数”,显然，0≤R2≤1。当R2
接近于1时，回归平方和SSR在总的平方和SST
中所占的比重大，说明自变量对因变量的影响较
大；反之，当R2接近与0时，回归平方和SSR在
总的平方和SST中所占的比重小，说明自变量对
因变量的影响较小。综上所述，R2越接近与1，
47
检验步骤如下：
统计假设：H0： 0=0 H1: 1 0
计算回归系数
的t值
0
t= ˆ1 1
ˆ n
x2 (xi x)2
在原假设H0成立时，t服从自由度为n-2的t分布。
48
对给定的显著性水平 ，决策规则是：
若|t|>
t
2
(n 2) ,
则拒绝接受原假设H0;
若|t|< t (n 2) ，则接受原假设H0。
4
函数关系：变量之间依一定的函数形 式形成的一一对应关系称为函数关系。 若两个变量分别记作y和x，则当y 与 x之间存在函数关系时，x值一旦被指 定，y值就是唯一确定的。函数关系 可以用公式确切的反映出来，一般记 为y=f(x)。
5
例如，某种商品的销售额(y) 与销售量(x)之间的关系，在销 售价格(p)一定的条件下，只要 给定一个商品销售量，就有一 个唯一确定的商品销售额与之 对应，用公式表示为y=p(x)。
点的偏差平方和。
取直线y=
0
1x
使得
Q( 0,1)达到最小
即 Q( 0, 1)=Q( 0, 1)，z用y=来估计
回归直线，这种方法称为最小二乘法。
20
为求与 0, 1分别对应的最小二乘估计0, 1，
由此，可定义统计量： R2=
SSR SST
R2称为“可决系数”,显然，0≤R2≤1。当R2
接近于1时，回归平方和SSR在总的平方和SST
中所占的比重大，说明自变量对因变量的影响较
大；反之，当R2接近与0时，回归平方和SSR在
总的平方和SST中所占的比重小，说明自变量对
因变量的影响较小。综上所述，R2越接近与1，
47
检验步骤如下：
统计假设：H0： 0=0 H1: 1 0
计算回归系数
的t值
0
t= ˆ1 1
ˆ n
x2 (xi x)2
在原假设H0成立时，t服从自由度为n-2的t分布。
48
对给定的显著性水平 ，决策规则是：
若|t|>
t
2
(n 2) ,
则拒绝接受原假设H0;
若|t|< t (n 2) ，则接受原假设H0。
4
函数关系：变量之间依一定的函数形 式形成的一一对应关系称为函数关系。 若两个变量分别记作y和x，则当y 与 x之间存在函数关系时，x值一旦被指 定，y值就是唯一确定的。函数关系 可以用公式确切的反映出来，一般记 为y=f(x)。
5
例如，某种商品的销售额(y) 与销售量(x)之间的关系，在销 售价格(p)一定的条件下，只要 给定一个商品销售量，就有一 个唯一确定的商品销售额与之 对应，用公式表示为y=p(x)。
点的偏差平方和。
取直线y=
0
1x
使得
Q( 0,1)达到最小
即 Q( 0, 1)=Q( 0, 1)，z用y=来估计
回归直线，这种方法称为最小二乘法。
20
为求与 0, 1分别对应的最小二乘估计0, 1，
相关分析与回归分析 PPT
距离相关分析通过计算广义距离 度量样品或变量间得相似程度。
2022/9/20
26
距离相关分析一般不单独使用, 而就是作为聚类分析、因子分析等得 预处理过程。
距离相关分析根据统计量得不同, 分为不相似性测度和相似性测度。对 于不相似性测度,通过计算距离来表 示,距离越大,相似性越弱;对于相似性 测度,通过计算 Pearson 相关系
数据得采集也就是建立回归模型 得重要一环。
大多数建模竞赛题目会提供相关 数据,但这些数据可能包含了一些无 用得信息,个别数据缺失甚至失真。
在建模前,需要对数据进行适当
2022/9/20
45
处理。比如标准化,剔除个别过大或 过小得“野值”,用插值方法补齐空 缺数据等。 (3) 回归模型形式得确定
收集、处理好数据后,首先要确 定适当得数学模型来描述这些变量间 得统计关系。
显然,样品间得相关系数都接近
于1,很难辨别出其相似程度。
2022/9/20
31
例4 5名考官给10名应聘者得面
试分数如下,请问各考官评分得一致
性如何？哪位考官得可信度较小？各
应聘者分数得差异就是否明显？
解 若第1问改为:请问不同考官
对应聘者面试分数得影响就是否显著,
则勉强可用方差分析。因为考官给10
相关分析与回归分析
一、引 言
2022/9/20
2
在很多研究领域中,往往需要研
究事物间得关系。如收入与受教育程
度,子女身高与父母身高,商品销售额
与广告费用支出,农作物产量与施肥
量,上述两者间有关系吗？如果有关
系,又就是怎么样得关系呢？如何来
度量这种关系得强弱？
解决上述问题得统计方法就是相
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距离相关分析一般不单独使用, 而就是作为聚类分析、因子分析等得 预处理过程。
距离相关分析根据统计量得不同, 分为不相似性测度和相似性测度。对 于不相似性测度,通过计算距离来表 示,距离越大,相似性越弱;对于相似性 测度,通过计算 Pearson 相关系
数据得采集也就是建立回归模型 得重要一环。
大多数建模竞赛题目会提供相关 数据,但这些数据可能包含了一些无 用得信息,个别数据缺失甚至失真。
在建模前,需要对数据进行适当
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处理。比如标准化,剔除个别过大或 过小得“野值”,用插值方法补齐空 缺数据等。 (3) 回归模型形式得确定
收集、处理好数据后,首先要确 定适当得数学模型来描述这些变量间 得统计关系。
显然,样品间得相关系数都接近
于1,很难辨别出其相似程度。
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例4 5名考官给10名应聘者得面
试分数如下,请问各考官评分得一致
性如何？哪位考官得可信度较小？各
应聘者分数得差异就是否明显？
解 若第1问改为:请问不同考官
对应聘者面试分数得影响就是否显著,
则勉强可用方差分析。因为考官给10
相关分析与回归分析
一、引 言
2022/9/20
2
在很多研究领域中,往往需要研
究事物间得关系。如收入与受教育程
度,子女身高与父母身高,商品销售额
与广告费用支出,农作物产量与施肥
量,上述两者间有关系吗？如果有关
系,又就是怎么样得关系呢？如何来
度量这种关系得强弱？
解决上述问题得统计方法就是相
直线回归与相关
• 回归分析时的假定：
• (1) Y 变数是随机变数，而X 变数则是没有误差的固定变数，至 少和Y 变数比较起来X 的误差小到可以忽略。
• (2) 在任一X 上都存在着一个Y 总体(可称为条件总体)，它是作
正态分布的，其平均数 Y / X 是X 的线性函数：
Y / X X
• Y / X的样本估计值，与X 的关系就是线性回归
相关分析研究X与Y两个随机变量之间的 共同变化规律，例如当X增大时Y如何变化， 以及这种共变关系的强弱。
原则上Y含有试验误差，而X不含试验 误差时着重回归分析；Y和x均含有试验 误差时着重相关分析。
但讨论X为非随机变量的情况，所得到 的参数估计式也可用于X为随机144.6356
SSy=∑y2-(∑y)2/n=794-(70)2/9=249.5556 SPxy=∑xy-∑x∑y/n=2436.4-(333.7×70)/9=-159.0444 X =∑x/n=333.7/9=37.0778
Y =∑y/n=70/9=7.7778 因而有：b=SPxy/SSx=-159.0444/144.6356
对x、y进行考察的简便方法是将n对观察值 （x1，y1）、(x2，，y2)、…、(xn，yn) 于同一直 角坐标平面上制作散点图：
① X和Y的相关的性质（正或负）和密切程度； ② X和Y的关系是直线型的还是非直线型的； ③ 是否有一些特殊的点表示其他因素的干扰等。
图9.1B 每平方米土地上 的总颖花数（X） 和结实率（Y）
a
bxi
)
0
n
n
n
( xi ) ( yi ) n
b
xi yi
i 1 n
i 1 n
i 1
n
第8章 直线回归与相关
散点图可直观地,定性地表示了两个变量之间 散点图可直观地, 的关系.为了探讨它们之间的规律性, 的关系.为了探讨它们之间的规律性,还必须 根据观测值将其内在关系定量地表达出来. 根据观测值将其内在关系定量地表达出来.
上一张 下一张 主 页 退 出
若呈因果关系的两个相关变量y 依变量) 若呈因果关系的两个相关变量y(依变量)与 x(自变量)间的关系是直线关系,,那么,根 自变量)间的关系是直线关系,,那么, ,,那么 据n对观测值所描出的散点图,如图6-1(b)和 对观测值所描出的散点图,如图6 所示. 图6-1(e)所示. 由于依变量y 由于依变量y的实际观测值总是带有随机误 差,因而依变量y的实际观测值yi可用自变量x的 因而依变量y的实际观测值y 可用自变量x 实际观测值x 表示为: 实际观测值xi表示为:
统计学上采用相关分析 统计学上采用相关分析 ( correlation analysis)来研究呈平行关系相关变量之间 analysis)来研究呈平行关系相关变量之间 的关系. 的关系. 对两个变量间的直线关系进行相关分析 称为简单相关分析 也叫直线相关分析 简单相关分析( 直线相关分析); 称为简单相关分析(也叫直线相关分析); 对多个变量进行相关分析时,研究一个 对多个变量进行相关分析时, 变量与多个变量间的线性相关称为复相关 变量与多个变量间的线性相关称为复相关 分析; 分析;研究其余变量保持不变的情况下两 个变量间的线性相关称为偏相关分析 偏相关分析. 个变量间的线性相关称为偏相关分析.
二, 直线回归
1 直线回归方程的建立 2.1.1数学模型 2.1.1数学模型
对于两个相关变量,一个变量用x表示,另 对于两个相关变量,一个变量用x表示, 一个变量用y表示, 一个变量用y表示,如果通过试验或调查获得两 个变量的n对观测值:( 个变量的n对观测值:(x1,y1),(x2, :(x ),(x y2),……,(xn,yn) ),……,( ,(x 为了直观地看出x 为了直观地看出x和y间的变化趋势,可将 间的变化趋势, 每一对观测值在平面直角坐标系中描点, 每一对观测值在平面直角坐标系中描点,作出散 见图6 点图 (见图6-1).
第8章 相关与回归分析
4、在相关关系中，变量之间是平等关系，不存在自变量和因变量。 、在相关关系中，变量之间是平等关系，不存在自变量和因变量。
而在回归分析中必须明确划分自变量和因变量。 而在回归分析中必须明确划分自变量和因变量。
8-9
统计学
STATISTICS
8.2 简单线性相关与回归分析
8 - 10
STATISTICS
8-5
统计学
STATISTICS
（三）从变量相关关系变化的方向看 从变量相关关系变化的方向看 变化的方向 正相关： A 正相关：变量同方向变化 ， 即同增同减 (A) 同增同减 负相关：变量反方向变化， 负相关：变量反方向变化， 即一增一减 (B) B 一增一减 从变量相关的程度 相关的程度看 （四）从变量相关的程度看
完全相关 (B) 不完全相关 (A) 不相关 (C)
8-6
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
C
35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15
统计学
STATISTICS
三、回归分析
回归一词的由来： 回归一词的由来：
8 - 13
见第218页例题 页例题 见第 页例
统计学
STATISTICS
相关系数的特点： 相关系数的特点：
1、r 的取值范围是 − 1 ≤ r ≤ 1 。 、 2、r<0时，β<0 为负相关；r>0时， β>0 为正相关。 为负相关； 为正相关。 、 时 时 3、|r|=1，为完全相关。r =1，为完全正相关；r = -1， 、 ，为完全相关。 ，为完全正相关； ， 为完全负正相关。 为完全负正相关。 4、r = 0，不存在线性相关。 、 线性相关。 ，不存在线性相关 5、|r|越趋于 表示两变量线性关系越密切；|r|越趋于 、 越趋于 表示两变量线性关系越密切； 越趋于 越趋于1表示两变量线性关系越密切 越趋于0 表示两变量线性关系越不密切。 表示两变量线性关系越不密切。 线性关系越不密切 6、r是一个随机变量。 、 是一个随机变量 是一个随机变量。
相关 分析与回归分析
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第二节 相关关系的判断
2.相关表 相关表就是把被研究现象的观察值对应排列所形成的统计表
格。如某地区工业劳动者人数和增加值的历史资料对应排列 如表8-1所示。 相关表中的两行数据叫相关数列，它有别于变量数列。相关 表中的数值是变量的观测值，是实际资料，是样本数据，它 是判别相关关系的基础。在相关表中，如果观测值的分布呈 现一定的规律性，则表明现象间存在相关关系。如随着一个 变量数值的增加或减少，另一个变量的值也大致以某一固定 的速率和数量增加或减少，这就可以初步判别现象间存在相 关关系。如果两个变量的观测值不表现出任何规律性，则可 以判定现象间不存在相关关系。
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第一节 相关分析的一般问题
2.判定相关关系的表现形态和密切程度 相关关系是一种数量上不严格的相互依存关系。只有当变量间
确实存在高度密切的相关关系时，才可能进行相关分析，对社 会经济现象进行预测、推算和决策。因此，判定现象间存在相 关关系后，需要进一步确定相关关系的表现形态和密切程度。 统计上，一般是通过编制相关表、绘制相关图和计算相关系数 来做出判断的。根据相关图表可对相关关系的表现形态和密切 程度做出一般性的判断，依据相关系数则能做出数量上的具体 分析。在我们判断中学生的学习成绩和身高之间有无相关性时， 如果我们发现有部分相关联的点，我们还要进行相关程度的判 断，看两种现象之间的相关程度的高低，以此来判定其是否具 有研究相关性的必要。
除上例外，在其他方面也都可以编制类似的双变量分组相关 表。如工业企业按产量和成本水平同时分组；对同行业的商 业企业，按企业规模和流通费水平同时分组等。这种双变量 分组相关表，可作为探寻最佳方案、提高经济效益的一种工 具。但是，根据双变量分组表的资料来计算相关分析指标比 较复杂，所以，在相关分析中较少使用。
第二节 相关关系的判断
2.相关表 相关表就是把被研究现象的观察值对应排列所形成的统计表
格。如某地区工业劳动者人数和增加值的历史资料对应排列 如表8-1所示。 相关表中的两行数据叫相关数列，它有别于变量数列。相关 表中的数值是变量的观测值，是实际资料，是样本数据，它 是判别相关关系的基础。在相关表中，如果观测值的分布呈 现一定的规律性，则表明现象间存在相关关系。如随着一个 变量数值的增加或减少，另一个变量的值也大致以某一固定 的速率和数量增加或减少，这就可以初步判别现象间存在相 关关系。如果两个变量的观测值不表现出任何规律性，则可 以判定现象间不存在相关关系。
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第一节 相关分析的一般问题
2.判定相关关系的表现形态和密切程度 相关关系是一种数量上不严格的相互依存关系。只有当变量间
确实存在高度密切的相关关系时，才可能进行相关分析，对社 会经济现象进行预测、推算和决策。因此，判定现象间存在相 关关系后，需要进一步确定相关关系的表现形态和密切程度。 统计上，一般是通过编制相关表、绘制相关图和计算相关系数 来做出判断的。根据相关图表可对相关关系的表现形态和密切 程度做出一般性的判断，依据相关系数则能做出数量上的具体 分析。在我们判断中学生的学习成绩和身高之间有无相关性时， 如果我们发现有部分相关联的点，我们还要进行相关程度的判 断，看两种现象之间的相关程度的高低，以此来判定其是否具 有研究相关性的必要。
除上例外，在其他方面也都可以编制类似的双变量分组相关 表。如工业企业按产量和成本水平同时分组；对同行业的商 业企业，按企业规模和流通费水平同时分组等。这种双变量 分组相关表，可作为探寻最佳方案、提高经济效益的一种工 具。但是，根据双变量分组表的资料来计算相关分析指标比 较复杂，所以，在相关分析中较少使用。
生物统计附试验设计第八章直线回归与相关分析ppt课件
全部偏差平方和为：
Q ei2 (y yˆ)2 y (a bx)2
利用最小二乘法，即使偏差平方和最小 的方法求a与b的值。
Q a
2 ( y
a
bx)
0
Q b
2 ( y
a
bx)x
0
na ( x)b y
根据微积分 学中求极值 的原理，将Q 对a与b求偏 导数并令其 等于0：
( x)a ( x)2 b xy
平行关系/相关关系（两个以上变量之间共
同受到另外因素的影响，无自变量与依变
量之分）
X身高
Y体重
X体重
Y身高
在大量测量各种身高人群的体重时会发现，在同样 身高下，体重并不完全一样。在同样体重下，身高 并不完全一样。但在每一身高/体重下，有一确定 的体重/身高。
身高与体重之间存在相关关系。
平行关系/相关关系（两个以上变量之间共 同受到另外因素的影响，无自变量与依变 量之分）
Sr
检验的计算公式为：
Sr (1 r2 ) /(n 2)
Sr—相关系数标准误
F
(1
r2 r2) (n
2)
df1 1, df2 n 2
此外，还可以直接采用查表法对相关系 数r进行显著性检验。先根据自由度n-2查临
界r值(附表8)，得r0.05、 r0.01。
若|r|＜r0.05 ，P＞0.05，则相关系数r不 显著；
椰子树的产果树与树高之间无直线相关关系。
当样本太小时，即使r值达到0.7996，样本也可
能来自总体相关系数ρ=0的总体。
不能直观地由r值判断两变数间的相关密切程度。 试验或抽样时，所取的样本容量n大一些，由此计
算出来的r值才能参考价值。
四、相关与回归的关系
Q ei2 (y yˆ)2 y (a bx)2
利用最小二乘法，即使偏差平方和最小 的方法求a与b的值。
Q a
2 ( y
a
bx)
0
Q b
2 ( y
a
bx)x
0
na ( x)b y
根据微积分 学中求极值 的原理，将Q 对a与b求偏 导数并令其 等于0：
( x)a ( x)2 b xy
平行关系/相关关系（两个以上变量之间共
同受到另外因素的影响，无自变量与依变
量之分）
X身高
Y体重
X体重
Y身高
在大量测量各种身高人群的体重时会发现，在同样 身高下，体重并不完全一样。在同样体重下，身高 并不完全一样。但在每一身高/体重下，有一确定 的体重/身高。
身高与体重之间存在相关关系。
平行关系/相关关系（两个以上变量之间共 同受到另外因素的影响，无自变量与依变 量之分）
Sr
检验的计算公式为：
Sr (1 r2 ) /(n 2)
Sr—相关系数标准误
F
(1
r2 r2) (n
2)
df1 1, df2 n 2
此外，还可以直接采用查表法对相关系 数r进行显著性检验。先根据自由度n-2查临
界r值(附表8)，得r0.05、 r0.01。
若|r|＜r0.05 ，P＞0.05，则相关系数r不 显著；
椰子树的产果树与树高之间无直线相关关系。
当样本太小时，即使r值达到0.7996，样本也可
能来自总体相关系数ρ=0的总体。
不能直观地由r值判断两变数间的相关密切程度。 试验或抽样时，所取的样本容量n大一些，由此计
算出来的r值才能参考价值。
四、相关与回归的关系
统计学原理第8章相关与回归分析[精]
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估计标准误差就是因变量的估计值yc与实际值y之间差异 公 的平均程度。记为Syx,它的基本公式为:
式
或
式中,Syx表示估计标准误差;下标yx表示y依x的回归方程; y是因变量的实际值;yc是因变量的估计值。
例8.4以例8.1的资料计算估计标准误差。
步骤： 1.设计一张计算表,将已知x的值代入回归方程求出对应的yc的值 2.计算离差y-yc并加以平方求和 3.求出估计标准误差Syx。
数关系。
当r=0时,表示x与y完全没有线性相关。
当0<|r|<1时,表示x与y存在着一定的线性相关。一般分四个
等级,判断标准如下:
若0<|r|<0.3,则称x与y为微弱相关;
若0.3<|r|<0.5, 则称x与y为低度相关;
若0.5<|r|<0.8, 则称x与y为显著相关;
若0.8<|r|<1, 则称x与y为高度相关。
8.3.2简单直线回归方程
a, b是待定参数 利用最小二乘法 得到a，b求值，再反解得到方程式
建立回归直线的过程：列计算表,求出∑xy,∑x2,∑y2,x,y; 计算Lxy,Lxx和Lyy的值;求出b和a的值并写出方程
例 8.2某工厂某产品的产量与单位成本资料见表8.2,试 求单位成本依产量的回归直线方程。
★ 填空题 (1) 现象之间的相关关系，从相关因素的个数看，可分为()和()；从相关的形式
的两个回归方程。() (9) 估计标准误差指的就是因变量的估计值yc与实际值y之间的平均误差程度。() (10) 在任何相关条件下，都可以用相关系数r说明变量之间相关的密切程度。() (11) 若变量x与y的相关系数r1=-0.8，变量p与q的相关系数r2=-0.92，由于r1>r2，
第八章直线相关与回归分析
第十章一元回归与相关分析概述：许多问题需要研究多个变量之间的关系，例如生物的生长发育速度就与温度，营养，湿度等许多因素有关。
相关关系：两变量X，Y均为随机变量，任一变量的每一可能值都有另一变量的一个确定分布与之对应。
回归关系：X是非随机变量（如施肥）或随机变量（如穗长），Y是随机变量，对X的每一确定值x i都有Y的一个确定分布与之对应。
区别：1.相关中的两个变量地位对称，互为因果；回归中X是自变量，Y是因变量。
两种意义不同，分析的数学概念与推导过程不同，但如果使用共同标准即使y的残差平方和最小（最小二乘法），可得到相同的参数估计式。
因此主要讨论X为非随机变量（不包含有随机误差）的情况，所得到的参数估计式也可用于X为随机变量的情况。
2.分析目的不同。
回归分析是建立X与Y之间的数学关系式，用于预测；而相关分析研究X与Y两个随机变量之间的共同变化规律，例如当X增大时Y如何变化，以及这种共变关系的强弱。
分类：从两个变量间相关（或回归）的程度分三种：（1）完全相关。
一个变量的值确定后，另一个变量的值可通过公式求出（函数关系）；生物学研究中不太多见。
（2）不相关。
变量之间完全没有任何关系。
一个变量的值不能提供另一个变量的任何信息。
（3）统计相关（不完全相关）。
介于上述两情况之间。
知道一个变量的值通过某种公式就可以提供另一个变量的均值的信息。
一个变量的取值不完全决定另一个变量的取值，但可或多或少地决定它的分布。
科研中最常遇到。
研究“一因一果”，即一个自变量与一个依变量的回归分析称为一元回归分析；研究“多因一果”，即多个自变量与一个依变量的回归分析称为多元回归分析。
一元回归分析又分为直线回归分析与曲线回归分析两种；多元回归分析又分为多元线性回归分析与多元非线性回归分析两种。
对两个变量间的直线关系进行相关分析称为直线相关分析；研究一个变量与多个变量间的线性相关称为复相关分析；研究其余变量保持不变的情况下两个变量间的线性相关称为偏相关分析。
卫生统计学课件---直线相关与回归
3、相关的显著性程度与相关的密切程度不同
相关的显著程度（即统计意义的程度）和相 关的密切程度是两个不同的概念。变量间 相关的显著性越高，概率越小，在判断变 量间具有相关关系时，犯第一类错误的可 能性越小。而相关的密切程度高低，是相 关系数具有统计意义的前提下，根据相关 系数绝对值的大小来判断的。
4、作回归分析时要恰当确定自变量与因变量
2、求у和 χ
∑X 47.28χ= ==4.7Fra bibliotek8n 10
∑Y 1392.2
у= =
=139.22
n 10
3、计算离均差平方和∑(X－χ)2及离均差积和 ∑(X－χ)(Y－у)
∑(X－χ)2= ∑X2－(∑X)2/n=224.31－ (47.28)2/10=0.77
∑(X－χ)(Y－у)= ∑XY－∑X∑Y/n =6594.26－47.28×1392.2/10=11.94 4、计算回归系数b和截距a
二、直线回归
（一）直线回归的概念 直线回归又称简单回归，是描述和分析两变量间线
性依存关系的一种统计方法。两个变量之间有一 定的数量关系，但又非函数关系，称作回归关系。 如前所述，20岁男青年红细胞数与血红蛋白含量 的关系，只知道两者存在正相关关系，但不能说， 红细胞数是多时，血红蛋白一定是多少。如果想 要进一步由红细胞数估计血红蛋白含量，需要再 作回归分析。直线回归分析的主要任务就是找出 最合适的直线回归方程，以确定一条最接近于各 实测点的直线，来描述两个变量之间的回归关系。 直线回归的表达式为
计算步骤如下：
（1）作散点图：见下图。由散点图可见，10 名男青年的红细胞数与血红蛋白含量有直 线趋势。
10名男青年红细胞数与血红蛋白含量的关系
148 146 144 142 140 138 136 134 132 130
统计学原理第八章相关分析与回归分析
21
例1：P354页，第1题
企业 产量 X 单位成 XY
X2
Y2
序号 （4件） 本(元)Y
1
2
52
104
4
2704
2
3
54
162
9
2916
3
4
52
208
16
2704
4
4
48
192
16
2304
5
5
48
240
25
2304
6
6
∑
24
46
276
36
2116
300
1182
106 15048
即：∑X=24，∑Y=300， ∑XY=1182，
• 2） X倚Y的直线方程的确定
• 根据最小平方法的原理：(x xc )2 最小值
• 将xc = c + dy代入上述公式中，分别对c和d 求一阶偏导数，并令偏导数等于0，就可以
得出两个正规方程：
x nc dy yx cy dy2
d
nyx y n y2 (
x
y )2
c x dy
举例：P355，第4题。
• 偏相关：在复相关中，当假定其他变量不 变时，其中两个变量间的相关关系称为偏 相关。例如，在假定人们收入水平不变的 条件下，某种商品的需求与其价格水平的 关系就是一种偏相关。
9
三、相关分析与回归分析
• （一）相关分析 • 是用一个指标（相关系数）来表明现象
之间相互依存的密切程度。 • （二）回归分析 • 是根据相关关系的具体形态，选择一个
• 曲线相关：如果现象之间的相关关系近似 地表现为某种曲线形式时，就称这种相关 关系为曲线相关。
直线回归与相关分析PPT课件
变量
关系
反）
性质：正（负）相关——方向一致（相
相关
一元直线相关（简单相关）
第9页/共72页
将计算回归方程为基础的统计分析方法称为回 归分析，将计算相关系数为基础的统计分析方 法称为相关分析。
原则上两个变数中Y含有试验误差而X不含试验 误差时着重进行回归分析；Y和X均含有试验误
差时则着重去进行相关分析。
• 已知： b=－1.0996,
第29页/共72页
yˆ a bx
yy
SSy ( y y)2 [(y yˆ) x
SSy ( y y)2 [(y yˆ) ( yˆ y)]2
[( y yˆ)2 2( y yˆ)( yˆ y) ( yˆ y)2 ]
( y yˆ)2 2 ( y yˆ)( yˆ y) ( yˆ y)2
• b2
(x x)2 b2[
x2 (
x)2 n
]
b2 SS x
b
(x
x)(
y
y)
b[
xy
x
n
y
]
bSP
[ (x x)( y y)]2 (x x)2
[
xy
x
n
y
x2
( x)2
n
]2
SP 2 SS x
第35页/共72页
• ∴ S2回＝SdSf回回
sy x
＝SS回 ,
Q n2
SS2d离Sf离＝离
第4页/共72页
2. 自变数与依变数
回归关系（因果关系）
两个变数间的关系若具有原因和反应(结果)的性质，则称这 两个变数间存在因果关系，并定义原因变数为自变数(independent
variable)，以 X 表示；定义结果变数为依变数(dependent variable)， 以 Y 表示。
统计学原理第8章相关与回归分析
两个回归方程。() (9) 估计标准误差指的就是因变量的估计值yc与实际值y之间的平均误差程度。() (10) 在任何相关条件下，都可以用相关系数r说明变量之间相关的密切程度。() (11) 若变量x与y的相关系数r1=-0.8，变量p与q的相关系数r2=-0.92，由于r1>r2，因
此x与y间相关的程度比较高。()
27
同步练习
★ 判断题 (1) 根据结果标志对因素标志的不同反映，可以把现象间数量上的依存关系划分为
函数关系和相关关系。() (2) 正相关指的就是因素标志和结果标志的数量变动方向都是上升的。() (3) 相关系数是测定变量间相关密切程度的唯一方法。() (4) 只有当相关系数接近于1时，才能说明两变量之间存在高度相关系数。() (5) 若变量x的值减少，y的值也减少，说明变量x与y之间存在相关关系。() (6) 回归系数b和相关系数r都可以来判断现象之间相关的密切程度。() (7) 若回归直线方程为：yc=160-2.3x，则变量x与y之间存在负的相关关系。() (8) 回归分析中，对于没有明显因果关系的两个变量x与y，可以建立y依x和x依y的
D产量每增加1000件时，单位成本下降78元
E产品的产量随生产用固定资产价值的减少而减少
(4) 测定现象间有无相关关系的方法是()。
A编制相关表 B绘制相关图 C对客观现象作定性分析
D计算估计标准误系数时，()。
A相关的两个变量都是随机的
B相关的两个变量是对等的关系
C相关的两个变量一个是随机的，一个是可以控制的量
特点 在进行回归分析时,必须根据研究目的确定相关的变量中谁为自变 量,谁为因变量。 回归方程的作用在于由自变量的数值来估计因变量的值。一个回 归方程只能作一种推算或估计。 在回归分析中,因变量是随机的,自变量是可以控制的量。
此x与y间相关的程度比较高。()
27
同步练习
★ 判断题 (1) 根据结果标志对因素标志的不同反映，可以把现象间数量上的依存关系划分为
函数关系和相关关系。() (2) 正相关指的就是因素标志和结果标志的数量变动方向都是上升的。() (3) 相关系数是测定变量间相关密切程度的唯一方法。() (4) 只有当相关系数接近于1时，才能说明两变量之间存在高度相关系数。() (5) 若变量x的值减少，y的值也减少，说明变量x与y之间存在相关关系。() (6) 回归系数b和相关系数r都可以来判断现象之间相关的密切程度。() (7) 若回归直线方程为：yc=160-2.3x，则变量x与y之间存在负的相关关系。() (8) 回归分析中，对于没有明显因果关系的两个变量x与y，可以建立y依x和x依y的
D产量每增加1000件时，单位成本下降78元
E产品的产量随生产用固定资产价值的减少而减少
(4) 测定现象间有无相关关系的方法是()。
A编制相关表 B绘制相关图 C对客观现象作定性分析
D计算估计标准误系数时，()。
A相关的两个变量都是随机的
B相关的两个变量是对等的关系
C相关的两个变量一个是随机的，一个是可以控制的量
特点 在进行回归分析时,必须根据研究目的确定相关的变量中谁为自变 量,谁为因变量。 回归方程的作用在于由自变量的数值来估计因变量的值。一个回 归方程只能作一种推算或估计。 在回归分析中,因变量是随机的,自变量是可以控制的量。
直线回归与相关
l u
e
l
+1
e
u
+1
五、直线相关分析的一般步骤
1. 绘制散点图，观察两变量的变化趋势； 绘制散点图，观察两变量的变化趋势； 2. 若散点图呈直线趋势，计算相关系数； 若散点图呈直线趋势，计算相关系数； 3. 对相关系数进行假设检验； 对相关系数进行假设检验； 4. 必要时对总体相关系数进行区间估计。 必要时对总体相关系数进行区间估计。
2. t 检验法
若H0成立，从ρ =0的总体中抽样，所得到的样本相 关系数 r 呈对称分布（近似正态分布），此时可用 t 检验。
r 0 r t= = , 2 sr 1 r n2
ν = n2
本例， t =
(1 0.8932 )/(13 2)
2
0.8932
= 6.59 ν = n-2 =11
按ν = 11查t界值表，得P<0.01 ，……
六、直线相关分析时的注意事项
1. 直线相关分析要求两个变量均为服从正态分布的随 机变量，用相关系数来反映两变量间的相互关系。 2. 分析前必须先作散点图，变化呈曲线趋势时不宜作 直线相关。 3. 要注意相关的有效范围。相关系数的意义仅限于原 资料中两个变量值的实测范围，超出这一范围就不 一定保持现有的直线关系了。
46
47
三、直线回归方程及其求法
1. 方程
Y = a + bX
X为自变量； Y 为应变量Y的估计值；
b为回归系数(coefficient of regression)，即回归直 线的斜率，其含义为当自变量X每变化1个单位时， 应变量Y平均变化b个单位； a为截距(intercept)，表示回归直线与Y轴交点的纵 坐标。
r=
e
l
+1
e
u
+1
五、直线相关分析的一般步骤
1. 绘制散点图，观察两变量的变化趋势； 绘制散点图，观察两变量的变化趋势； 2. 若散点图呈直线趋势，计算相关系数； 若散点图呈直线趋势，计算相关系数； 3. 对相关系数进行假设检验； 对相关系数进行假设检验； 4. 必要时对总体相关系数进行区间估计。 必要时对总体相关系数进行区间估计。
2. t 检验法
若H0成立，从ρ =0的总体中抽样，所得到的样本相 关系数 r 呈对称分布（近似正态分布），此时可用 t 检验。
r 0 r t= = , 2 sr 1 r n2
ν = n2
本例， t =
(1 0.8932 )/(13 2)
2
0.8932
= 6.59 ν = n-2 =11
按ν = 11查t界值表，得P<0.01 ，……
六、直线相关分析时的注意事项
1. 直线相关分析要求两个变量均为服从正态分布的随 机变量，用相关系数来反映两变量间的相互关系。 2. 分析前必须先作散点图，变化呈曲线趋势时不宜作 直线相关。 3. 要注意相关的有效范围。相关系数的意义仅限于原 资料中两个变量值的实测范围，超出这一范围就不 一定保持现有的直线关系了。
46
47
三、直线回归方程及其求法
1. 方程
Y = a + bX
X为自变量； Y 为应变量Y的估计值；
b为回归系数(coefficient of regression)，即回归直 线的斜率，其含义为当自变量X每变化1个单位时， 应变量Y平均变化b个单位； a为截距(intercept)，表示回归直线与Y轴交点的纵 坐标。
r=
回归与相关分析PPT课件
yi y 2
（dfT＝
i
• 离回归平方和SSE（剩余平方和，残差平 方和）：
SSE yi yˆi 2
i
n－2）
第23页/共93页
（dfE＝
•回归平方和SSR：
SS＝R 1） i yˆi y 2
（dfR
SSR的意义：根据等式SSy＝SSE＋SSR可知， 如果SSR的值较大，SSE的数值便比较小，说 明回归的效果好；反之，如果SSR的值较小， SSE的数值便比较大，说明回归的效果差。
yˆ 1散点图和回归直线图
y ( ug / kg )
21 20 19 18 17 16 15
3
y = 10.987+1.5508x R2 = 0.6516
x ( ug / L )
4
5
6
7
某农药的水中含量与
鱼体中含量的关系
第21页/共93页
三、线性回归的显著性检验
第17页/共93页
（四）一元线性回归方程建立的基本步 骤（4步）
• 根据资料计算8个一级数据
• Σx , Σx2, x , Σy , Σy2 , y , Σxy , n
• 计算3个二级数据：SSx , SSy , SP
• 计算参数的估计值a和b，并写出回归方程
a y bx b SP SSx
yˆ a bx
第31页/共93页
• 2、β的置信区间
• b 的标准误为：sb se SSx
•而
b
t
sb
t (n 2)
• 所以 β的置信区间为：
(b t sb , b t sb )
第32页/共93页
•（二）对α＋βx的区间估计 • 对α＋βx的区间估计，即是对总体 均值（期望值）的区间估计。 • 当x＝xi 时，估计标准误为：
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b： t b b sb MSe ， dfn2
SSx
式中：S b ：回归系数标准误;
误差均方： MSeSSY bSP
n2
时拒绝 t tn2,(双侧 )
H0
。
a：t a
a
sa
MS(e1
2
x
)
，
dfn2
n SSX
时拒绝 t tn2,(双侧 )
H0
。
11
例8－1. 从小白鼠出生后的第六天起，每隔3 天称重一次，直到第18天，得到如下数据，试计 算日龄 x 与体重 y 的直线回归方程，并对回归关 系进行显著性检验。
U b S 1 P .4 1 2 1.4 6 76
Q Sy S U 2 8 13 .7 4 1 6.0 66
（2）F检验：
FU (n2)1.7 4 6 (52)4.96
Q
1.0 66
因为 F4.9 6F 0.0(1 5 ,3)1.1 0，3 所以， p0.05 。说明小白鼠体重和日龄间
的直线关系不显著。
n 观测值的对数; x 自变量的总和; x2自变量的平方和 y 因变量的总和; y2 因变量的平方和; xy 两变量的乘积和
6
（2）由一级数据推算5个二级数据：
SxS
x2(
x)2
;
n
SySy2(ny)2(显著性检验时采用);
SP x y( x)n ( y) ;
SP（乘积和）：表示变量x的离均差和y的离均
n6
x 0 . 1 0 . 0 0 . 0 9 0 . 0 8 0 . 0 7 5 0 . 0 6 0 . 4 56 5 x 2 0 . 1 2 0 . 0 2 0 . 9 0 2 0 8 . 0 2 5 0 . 7 0 2 0 . 6 0 2 5 0 . 05 y 0 . 7 0 . 7 5 0 . 8 8 0 . 8 0 0 . 8 5 0 . 8 8 4 . 9 95 y 2 0 . 7 2 0 . 5 7 2 0 . 8 2 0 . 0 8 2 0 . 5 8 2 0 . 8 4 . 0 99
4 .09 99 0 .0161
n
6
S P x y ( x ) n (y ) 0 .37 0 .4 4 6 4 6 4 .9 5 5 0 .00
y 2 1 2 2 1 2 7 2 2 2 2 2 5 2 2 9 2488
x 6 y 1 9 2 1 7 1 2 8 1 938
13
（2）由一级数据推算5个二级数据：
SxS
x2(
x)2 8
1 306 900
n
5
SyS
y2(
y)224 1 82 0 8 2 583
直线回归与相关分析
第八章
第一节 第二节 第三节
回归与相关的概念 直线回归 直线相关
第一节：回归与相关的概念
பைடு நூலகம்因果关系
相
一个变量的变化受另一个 变量或几个变量的制约
关
回归分析（regression analysis）
变 量 平行关系
两个以上变量之间共同受 到另外因素的影响
相关分析（correlation analysis）2
回归和相关分析结果仅适用于自变量的试验取值 范围。
8
2. 进行直线回归分析时应符合的基本条件 （基本假定）
（1）x是没有误差的固定变量；而y是随机 变量，具有随机误差。
（2）x的任一值都对应着一个y的总体，且 呈正态分布。
（3）随机误差是相互独立的，且呈正态分 布。
9
二、假设检验
对两个变量间的线性关系的显著性进行检验时， 采用的方法是 F 检验或 t 检验。
x 0 . y 1 0 . 7 0 . 0 5 0 . 7 9 8 0 . 0 0 . 5 8 0 . 5 3 97 18
（2）由一级数据推算5个二级数据：
SxS
x2(
x)20 .03 6 0 .48 26 5 0 .0015
n
6
SyS
y2 (
y)2
4 .925
直线回归中，只有一个自变量，所以回归平方和 的自由度为1，离回归平方和的自由度为n－2 。
1. 计算回归平方和U和离回归平方和Q：
UbSP; QSSy U
2. F检验： F U/1 U(n2) Q/n (2) Q
F1n,2F;p
说明两个变量间存在显著性的线性回归关系。 10
3. b和 a的显著性检验：
n
5
S P x y ( x ) n (y ) 13 68 5 1 06 0 15 26
xx6012 n5
yy10521 n5
14
（3）计算回归系数b和截距a的值：
b SP1261.4 SSx 90
ay b x 2 1 .4 1 2 4 .2
（4）列出回归方程： y4.21.4x
15
（二）假设检验： （1）计算回归平方和U和离回归平方和Q：
序号
1
2
3
4
5
日龄 x
6
9
12
15
18
体重 y
12
17
22
25
29
12
（一）求回归方程： （1）由观测值计算6个一级数据
n5
x 6 9 1 1 2 1 5 8 60 x 2 6 2 9 2 1 2 2 1 2 5 1 2 8 810 y 1 1 2 2 7 2 2 2 5 1 905
差的乘积之和，简称乘积和，记作SP。
x x ;
y y
n
n
7
（3）计算回归系数b和截距a的值：
b SP SS x
a ybx
( b (xi(xix)(yxi)2y)SSxSP)
回归系数：回归直线的斜率叫做回归系数，其含 义是自变量x增加一个单位，y平均增加或减少的单 位数。
（4）列出回归方程： yabx
研究“一因一果”，即一个自变量与一个依 变量的回归分析称为一元回归分析；
直线回归分析
曲线回归分析
研究“多因一果”，即多个自变量与一个依 变量的回归分析称为多元回归分析。
多元线性回归分析 多元非线性回归分析
一、回归方程的建立和直线回归的基本假定
1．回归方程的建立(求出离差最小的直线)
（1）由观测值计算6个一级数据
16
例8－2. 研究了鲟鱼对某种饲料的摄食率 （x）和消化率（y），得到如下资料，试求出 直线回归方程，并进行显著性检验。
编号 摄食率x 消化率y
1
2
3
4
5
6
0.1 0.09 0.085 0.07 0.06 0.055
0.75 0.78 0.80 0.85 0.88 0.89
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（一）求回归方程： （1）由观测值计算6个一级数据