第十九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛广州赛区决赛

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华罗庚金杯竞赛介绍

华罗庚金杯竞赛介绍
1）华罗庚金杯少年数学邀请赛（简称“华杯赛”）是为了纪念和学习我国杰出的数学家华罗庚教授，于1986年始创的全国性大型少年数学竞赛活动。

——全免费
2）“华杯赛”一贯坚持“普及性、趣味性、新颖性”相结合的命题原则。

3）初赛：笔试，由“华杯赛”组委会办公室统一提供试题，在考试前3天内下发试卷电子版，由各参赛单位组织比赛和阅卷。

——近2年，都是在前一年的12月份举行（如2018年的第23届，初赛将于2017年12月9日，通常周六，上午10:00—11:00）。

4）决赛：3月份（星期六）上午10:00—11:30；比例：从参加初赛选手中选拔不超过30%的优胜者进入决赛。

形式：笔试，由“华杯赛”组委会办公室统一提供试题。

要求：在决赛阶段做到全市统一组织、统一阅卷、统一评奖。

学生报名人数及授奖情况——以市级为参赛单位独立统计，如广州市，官方指定“现代中小学生报”承办（组织）初赛和决赛——经费由官方提供，小高组初赛报名人数受总额限制（估计涉及到必要性和经费等）
1）从参加初赛选手中选拔不超过30%的优胜者进入决赛。

2）决赛设个人一、二、三等奖，比例为不超过本市参加决赛人数的36％。

其中：一等奖为不超过参加决赛人数的6%，二等奖不超过12%，三等奖不超过18%。

因此，大概可以认为，初赛总人数的前1.8%可获决赛一等奖（奖状），3.6%可获决赛二等奖（奖状），5.4%可获决赛二等奖（奖状）——奖状由（北京）华罗庚金杯少年数学邀请赛主办方统一提供。

历届“华杯赛”初赛决赛试题汇编【小中组(附答案)】

9. 已知被除数比除数大 78, 并且商是 6, 余数是 3, 求被除数与除数之积. 10. 今年甲、乙俩人年龄的和是 70 岁. 若干年前, 当甲的年龄只有乙现在这么大时, 乙的年龄恰好是甲年龄的一半. 问: 甲今年多少岁? 11. 有三个连续偶数, 它们的乘积是一个五位数, 该五位数个位是 0, 万位是 2, 十位、百位和千位是三个不同的数字, 那么这三个连续偶数的和是多少? 12. 在等式
二、简答题（每小题 15 分, 共 60 分, 要求写出简要过程）
9. 用 4 个数码 4 和一些加、减、乘、除号和小括号, 写出值分别等于 2、3、4、 5、6 的五个算式. 10. 右图是 U, V, W, X 四辆不同类型的汽车每百千米的耗油量. 如果每辆车都有 50 升油, 那么这四辆车最多可行驶的路程总计是多少千米? 11. 某商店卖出一支钢笔的利润是 9 元, 一个小熊玩具的进价为 2 元. 一次, 商家采取 “买 4 支钢笔赠送一个小熊玩具”的打包促销, 共获利润 1922 元. 问这次促销最多卖出了多少支钢笔? 12. 编号从 1 到 10 的 10 个白球排成一行, 现按照如下方法涂红色: 1）涂 2 个球; 2）被涂色的 2 个球的编号之差大于 2. 那么不同的涂色方法有多少种?
四百米比赛进入冲刺阶段，甲在乙前面 30 米，丙在丁后面 60 米，乙在丙前面 20 米. 这时，跑在最前面的两位同学相差（（A）10 （B）20 ）米. （D）60
（C）50
5.
在右图所示的两位数的加法算式中, 已知 A B C D 22 , ）. （B）4 （C）7 （D）13
一、选择题 (每小题 10 分, 满分 60 分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)

2012年-2017年华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛真题合集(小高组)附答案

目录第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (1)第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (3)第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (5)第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (7)第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (9)第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (11)第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (13)第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (15)第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (17)第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (19)第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (21)第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (23)第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (24)第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (25)第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (26)第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (27)第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (28)第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (29)第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (30)第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (31)第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (32)第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (33)第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (34)A B 第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组）（时间 2016 年 12 月 10 日 10：00-11:00）一、选择题．（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1. 两个有限小数的整数部分分别是 7 和 10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（）种可能的取值．A ．16B ．17C ．18D ．192. 小明家距学校，乘地铁需要 30 分钟，乘公交车需要 50 分钟，某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了 40 分钟到达学校，其中换乘过程用了 6 分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（）分钟． A ．6 B ．8 C ．10 D ．123. 将长方形 ABCD 对角线平均分成 12 段，连接成右图，长方形 ABCD 内部空白部分面积总和是 10 平方厘米，那么阴影部分面积总和是（）平方厘米．A ．14B ．16C ．18D ．204.请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立．那么乘积是（）．A ．2986B ．2858C ．2672D ．27545. 在序列 20170……中，从第 5 个数字开始，每个数字都是前面 4 个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去．那么从第 5 个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是（）A ．8615B ．2016C ．4023D ．20176. 从 0 至 9 选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有（）种填法使得方框中话是正确的．× 71 0 2罗华金杯ABG FHDEC二、填空题．（每小题 10 分，共 40 分）7．若( 1 5 245 3— )× 9 2 5 7 ÷ 2 ＋2.25＝4，那么A 的值是．3 34 1A8. 右图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表 1－5 这五个不同的数字，将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．9. 右图中，ABCD 是平行四边形，E 为 CD 的中点，AE 和 BD 的交点为 F ，AC 和 BE 的交点为 H ，AC 和BD 的交点为 G ，四边形 EHGF 的面积是 15 平方厘米，则 ABCD 的面积是平方厘米．10. 若 2017，1029 与 725 除以 d 的余数均为 r ，那么 d －r 的最大值是．庚第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组A 卷）（时间：2015 年 12 月 12 日 10:00~11:00一、选择题．（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内） 1．算式999 9 × 999 9 的结果中含有（）个数字 0．2016个92016个9A ．2017B ．2016C ．2015D ．20142. 已知 A ，B 两地相距 300 米．甲、乙两人同时分别从 A 、B 出发，相向而行，在距 A 地 140 米处相遇；如果乙每秒多行 1 米，则两人相遇处距 B 地 180 米．那么乙原来的速度是每秒（）米．A ． 2 2B ． 2 4C ．3D ． 3 15 5 53. 在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被 11 或 13 整除的三位数，则这个七位数最大是（）A ．9981733B ．9884737C ．9978137D ．98717734. 将 1，2，3，4，5，6，7，8 这 8 个数排成一行，使得 8 的两边各数之和相等，那么共有（）种不同的排法． A ．1152B ．864C ．576D ．2885. 在等腰梯形 ABCD 中，AB 平行于 CD ，AB ＝6，CD ＝14，∠AEC 是直角，CE ＝CB ，则 AE 2 等于（）A ．84B ．80C ．75D ．646. 从自然数 1，2，3，…，2015，2016 中，任意取 n 个不同的数，要求总能在这 n 个不同的数中找到 5个数，它们的数字和相等．那么 n 的最小值等于（）． A ．109 B ．110 C ．111 D ．112EABD C二、填空题．（每小题 10 分，共 40 分）AP M O7. 两个正方形的面积之差为 2016 平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有对．8. 如下图，O ，P ，M 是线段 AB 上的三个点，AO ＝ 4 AB ，BP ＝ 2AB ，M 是 AB 的中点，且 OM ＝2，那5 3么 PM 长为．9. 设 q 是一个平方数．如果 q －2 和 q ＋2 都是质数，就称 q 为 p 型平方数．例如，9 就是一个 p 型平方数．那么小于 1000 的最大 p 型平方数是．10. 有一个等腰梯形的纸片，上底长度为 2015，下底长度为 2016．用该纸片剪出一些等腰梯形，要求剪出的梯形的两底边分别在原来梯形的底边上，剪出的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐角，则最多可以剪出个同样的等腰梯形．第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷 B （小学高年级组）（时间：2015 年 12 月 12 日 10:00~11:00）一、选择题．（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内） 1. “凑 24 点”游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下 52 张，（如果初练也可只用 1 至 10 这 40 张牌）任意抽取 4 张牌（称牌组），用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成 24．每张牌必须用一次且只能用一次，并不能用几张牌组成一个多位数，如抽出的牌是 3，8，8，9，那么算式为(9－ 8)×8×3 或(9－8÷8)×3 等．在下面 4 个选项中，唯一无法凑出 24 点的是（）． A ．1，2，2，3 B ．1，4，6，7 C ．1，5，5，5 D ．3，3，7，72. 有一种数，是以法国数学家梅森的名字命名的，它们就是形如 2n －1（ n 为质数）的梅森数，当梅森数是质数时就叫梅森质数，是合数时就叫梅森合数．例如：22－1＝3 就是一个梅森质数．第一个梅森合数是（）．A ．4B ．15C ．127D ．20473. 有一种饮料包装瓶的容积是 1.5 升．现瓶里装了一些饮料，正放时饮料高度为 20 厘米，倒放时空余部分的高度为 5 厘米，如下图．那么瓶内现有饮料（）升．A ．1B ．1.2C ．1.25D ．1.3754. 已知 a ，b 为自然数， 4 = 1 + 1，那么 a ＋b 的最小值是（）．15 a bA ．16B ．20C ．30D ．65. 如下图，平面上有 25 个点，每个点上都钉着钉子，形成 5×5 的正方形钉阵．现有足够多的橡皮筋，最多能套出（）种面积不同的正方形．A ．4B ．6C ．8D ．106. 在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被 11 或 13 整除的三位数，那么这个七位数最大是（）．A ．9981733B ．9884737C ．9978137D ．9871773二、填空题．（每小题 10 分，共 40 分）华杯赛三十年× 杯杯今年认真赛好今年认真赛好三十年华杯赛好7．计算：20152＋20162－2014×2016－2015×2017＝．8. 在下边的算式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字．当杯代表 5 时，“华杯赛”所代表的三位数是．9. 于 2015 年 10 月 29 日闭幕的党的十八届五中全会确定了允许普遍二孩的政策．笑笑的爸爸看到当天的新闻后跟笑笑说：我们家今年的年龄总和是你年龄的 7 倍，如果明年给妳添一个弟弟或妹妹，我们家 2020 年的年龄总和就是你那时年龄的 6 倍．那么笑笑今年岁．10. 教育部于 2015 年 9 月 21 日公布了全国青少年校园足球特色学校名单，笑笑所在的学校榜上有名．为了更好地备战明年市里举行的小学生足球联赛，近期他们学校的球队将和另 3 支球队进行一次足球友谊赛．比赛采用单循环制（即每两队比赛一场），规定胜一场得 3 分，负一场得 0 分，平局两队各得 1分；以总得分高低确定名次，若两支球队得分相同，就参考净胜球、相互胜负关系等决定名次．笑笑学校的球队要想稳获这次友谊赛的前两名，至少要得分．第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛 A 试卷（小学高年级组）（时间：2015 年 3 月 14 日 10:00—11:00）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1. 现在从甲、乙、丙、丁四个人中选出两个人参加一项活动，规定：如果甲去，那么乙也去；如果丙不去，那么乙也不去；如果丙去，那么丁不去．最后去参加活动的两个人是（）A ．甲、乙B ．乙、丙C ．甲、丙D ．乙、丁2. 以平面上任意 4 个点为顶点的三角形中，钝角三角形最多有（）个．A ．5B ．2C ．4D ．33. 桌上有编号 1 至 20 的 20 张卡片，小明每次取出 2 张卡片，要求一张卡片的编号是另一张卡片的 2 倍多 2，则小明最多取出（）张卡片． A ．12B ．14C ．16D ．184. 足球友谊比赛的票价是 50 元，赛前一小时还有余票，于是决定降价，结果售出的票增加了三分之一，而票房收入增加了四分之一，那么每张票售价降了（）元．A ．10B ． 25C ． 50D ．25235. 一只旧钟的分针和时针每重合一次，需要经过标准时间 66 分，那么，这只旧钟的 24 小时比标准时间的 24 小时（）．A ．快 12 分B ．快 6 分C ．慢 6 分D ．慢 12 分6. 在下图的 6×6 方格内，每个方格中只能填 A 、B 、C 、D 、E 、F 中的某个字母，要求每行、每列、每个标有粗线的 2×3 长方形的六个字母均不能重复．那么，第四行除了首尾两个方格外，中间四个方格填入的字母从左到右的顺序是（）．A ．E 、 C 、 D 、 FB ．E 、D 、C 、FC ．D 、 F 、 C 、E D ．D 、C 、F 、EB CA B D ABCE二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） - - - = AFDPBEC7．计算4811 + 265 1 + 904 129 41 55184160 7036 12 2030 42 568. 过正三角形 ABC 内一点 P ，向三边作垂线，垂足依次为 D 、E 、F ，连接 AP 、BP 、CP ．如果正三角形ABC 的面积是 2028 平方厘米，三角形 PAD 和三角形 PBE 的面积都是 192 平方厘米，则三角形 PCF的面积为平方厘米．9. 自然数 2015 最多可以表示成个连续奇数的和．10. 由单位正方形拼成的 15×15 网格，以网格的格点为顶点作边长为整数的正方形，则边长大于 5 的正方形有个．第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛A BED H C 初赛 C 试卷（小学高年级组）（时间：2015 年 3 月 14 日 10:00—11:00）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1．计算：( 9 － 11 ＋ 13 － 15 ＋ 17 )×120－ 1 ÷ 1＝（）20 30 42 56 72 3 4A ．42B ．43C ．15 1D ．16 2332. 如图，有一排间距相同但高度不等的小树，树根成一条直线，树顶也成一条直线，这两条直线成 45 度角．最高的小树高 2.8 米，最低的小树高 1.4 米，那么从左向右数第 4 棵树的高度是（）米．A ．2.6B ．2.4C ．2.2D ．2.03. 春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生，事后，甲、乙、丙、丁 4 位同学有如下的对话：甲：“丙、丁之中至少有 1 人捐了款．” 乙：“丁、甲之中至多有 1 人捐了款．” 丙：“你们 3 人中至少有 2 人捐了款．” 丁：“你们 3 人中至多有 2 人捐了款．” 已知这 4 位同学说的都是真话且其中恰有 2 位同学捐了款，那么这 2 位同学是（）．A ．甲、乙B ．丙、丁C ．甲、丙D ．乙、丁4. 六位同学数学考试的平均成绩是 92.5 分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的 99 分，最低的 76分，那么按分数从高到低居第三位的同学的分数至少是（）． A ．94 B ．95 C ．96D ．975. 如图，BH 是直角梯形 ABCD 的高，E 为梯形对角线 AC 上一点；如果△DEH 、△BEH 、△BCH 的面积依次为 56、50、40，那么△CEH 的面积是（）．A ．32B ．34C ．35D ．366. 一个由边长为 1 的小正方形组成的n n 的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满足在任意矩形的 4 个角上的小正方形不全同色，那么正整数 n 的最大值是（）．A ．3B ．4C ．5D ．645°二、填空题（每小题10 分，共40 分）7.在每个格子中填入1 至6 中的一个，使得每行、每列及每个2×3 长方形内（粗线框围成）数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和是质数，那么四位数相约华杯是3 月 1 4相约华杯8.整数n 一共有10 个约数，这些约数从小到大排列，第8 个数是n.那么整数n 的最大值是39.在边长为300 厘米的正方形中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块阴影部分的面积差是平方厘米，两块阴影部分的周长差是厘米．（π取3.14）10．A 地、B 地、C 地、D 地依次分布在同一条公路上，甲、乙、丙三人分别从A 地、B 地C 地同时出发，匀速向D 地行进．当甲在C 地追上乙时，甲的速度减少40%；当甲追上丙时，甲的速度再次减少40%；甲追上丙后9 分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少25%；乙追上丙后再行50 米，三人同时到D 地．已知乙出发时的速度是每分钟60 米，那么甲出发时的速度是每分钟米，A、D 两地间的路程是米．第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛 A 试卷（小学高年级组）（时间：2014 年 3 月 15 日 8:00—9:00）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．） 1. 平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（）条直线互相平行．A ．0B ．2C ．3D ．42. 某次考试有 50 道试题，答对一道题得 3 分，答错一道题扣 1 分，不答题不得分．小龙得分 120 分，那么小龙最多答对了（）道试题．A ．40B ．42C ．48D ．503. 用左下图的四张含有 4 个方格的纸板拼成了右下图所示的图形．若在右下图的 16 个方格分别填入 1、3、5、7（每个方格填一个数），使得每行、每列的四个数都不重复，且每个纸板内四个格子里的数也不重复，那么 A 、B 、C 、D 四个方格中数的平均数是（）．A ． 4B ． 5C D ．74. 小明所在班级的人数不足 40 人，但比 30 人多，那么这个班男、女生人数的比不可能是（）．A ．2︰3B ．3︰4C ．4︰5D ．3︰75. 某学校组织一次远足活动，计划 10 点 10 分从甲地出发，13 点 10 分到达乙地，但出发晚了 5 分钟，却早到达了 4 分钟．甲、乙两地之间的丙地恰好是按照计划时间到达的，那么到达丙地的时间是（）． A ．11 点 40 分 B ．11 点 50 分 C ．12 点 D ．12 点 10 分6. 如图所示，AF ＝7cm ，DH ＝4cm ，BG ＝5cm ，AE ＝1cm ．若正方形 ABCD 内的四边形 EFGH 的面积为78 平方厘米，则正方形的边长为（）cm ．A ．10B ．11C ．12D ．13ABA EDHF BC二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）甲乙7. 五名选手 A 、B 、C 、D 、E 参加“好声音”比赛，五个人站成一排集体亮相．他们胸前有每人的选手编号牌，5 个编号之和等于 35．已知站在 E 右边的选手的编号和为 13；站在 D 右边的选手的编号和为 31；站在 A 右边的选手的编号和为 21；站在 C 右边的选手的编号和为 7．那么最左侧与最右侧的选手编号之和是．8. 甲、乙同时出发，他们的速度如下图所示，30 分钟后，乙比甲一共多行走了米．9. 四个黑色 1×1×1 的正方体和四个白色 1×1×1 的正方体可以组成方体（经过旋转得到相同的正方体视为同一种情况）．种不同的 2×2×2 的正10. 在一个圆周上有 70 个点，任选其中一个点标上 1，按顺时针方向隔一个点的点上标 2，隔两个点的点上标 3，再隔三个点的点上标 4，继续这个操作，直到 1，2，3，…，2014 都被标记在点上．每个点可能不止标有一个数，那么标记了 2014 的点上标记的最小整数是分分5 10 15 202530 5 10 15 202530第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛 B 试卷（小学高年级组）（时间：2014 年 3 月 15 日 8:00—9:00）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．） 1. 平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（）条直线互相平行．A ．0B ．2C ．3D ．42. 在下列四个算式中： AB ÷ CD ＝2，E ×F ＝0，G －H ＝1，I ＋J ＝4，A ～J 代表 0～9 中的不同数字，那么两位数 AB 不可能是（）． A ．54 B ．58 C ．92 D ．963. 淘气用一张正方形纸剪下了一个最大的圆（如图甲），笑笑用一张圆形纸剪下了七个相等的最大圆（如图乙），在这两种剪法中，哪种剪法的利用率最高？（利用率指的是剪下的圆形面积和占原来图形面积的百分率）下面几种说法中正确的是（）．A ．淘气的剪法利用率高B ．笑笑的剪法利用率高C ．两种剪法利用率一样D ．无法判断4. 小华下午 2 点要到少年宫参加活动，但他的手表每个小时快了 4 分钟，他特意在上午 10 点时对好了表．当小华按照自己的表于下午 2 点到少年宫时，实际早到了（）分钟．A ．14B ．15C ．16D ．175. 甲、乙、丙、丁四个人今年的年龄之和是 72 岁．几年前（至少一年）甲是 22 岁时，乙是 16 岁．又知道，当甲是 19 岁的时候，丙的年龄是丁的 3 倍（此时丁至少 1 岁）．如果甲、乙、丙、丁四个人的年龄互不相同，那么今年甲的年龄可以有（）种情况．A ．4B ．6C ．8D ．106. 有七张卡片，每张卡片上写有一个数字，这七张卡片摆成一排，就组成了七位数 2014315.将这七张卡片全部分给了甲、乙、丙、丁四人，每人至多分 2 张．他们各说了一句话：甲：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 8 的倍数．” 乙：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数仍不是 9 的倍数．” 丙：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 10 的倍数．” 丁：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 11 的倍数．” 已知四个人中恰好有一个人说了谎，那么说谎的人是（）．A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁甲乙二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）13 ÷ 3 + 3 ÷ 2 1 + 17．算式 1007× 4 44 3 ÷19 的计算结果是．（1 + 2 + 3 + 4 + 5）⨯ 5 - 228. 海滩上有一堆栗子，这是四只猴子的财产，它们想要平均分配，第一只猴子来了，它左等右等别的猴子都不来，便把栗子分成四堆，每堆一样多，还剩下一个，它把剩下的一个顺手扔到海里，自己拿走了四堆中的一堆．第二只猴子来了，它也没有等到别的猴子，于是它把剩下的栗子等分成四堆，还剩下一个，它又扔掉一个，自己拿走一堆．第三只猴子也是如此，等分成四堆后，把剩下的一个扔掉，自己拿走一堆；而最后一只猴子来，也将剩下的栗子等分成了四堆，扔掉多余的一个，取走一堆．那么这堆栗子原来至少有个．9. 甲、乙二人同时从 A 地出发匀速走向 B 地，与此同时丙从 B 地出发匀速走向 A 地．出发后 20 分钟甲与丙相遇，相遇后甲立即掉头；甲掉头后 10 分钟与乙相遇，然后甲再次掉头走向 B 地．结果当甲走到 B 地时，乙恰走过 A 、B 两地中点 105 米，而丙离 A 地还有 315 米．甲的速度是乙的速度的倍，A 、B 两地间的路程是米．10. 从 1，2，3，…，2014 中取出 315 个不同的数（不计顺序）组成等差数列，其中组成的等差数列中包含 1 的有种取法；总共有种取法．第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛 A 试卷（小学高年级组）（时间：2013 年 3 月 23 日 10:00—11:00）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．） 1． 2012.25×2013.75－2010.25×2015.75＝（）A ．5B ．6C ．7D ．82. 2013 年的钟声敲响了，小明哥哥感慨地说：这是我有生以来第一次将要渡过一个没有重复数字的年份．已知小明哥哥出生的年份是 19 的倍数，那么 2013 年小明哥哥的年龄是（）岁．A ．16B ．18C ．20D ．223. 一只青蛙 8 点从深为 12 米的井底向上爬，它每向上爬 3 米，因为井壁打滑，就会下滑 1 米，下滑 1 米的时间是向上爬 3 米所用时间的三分之一．8 点 17 分时，青蛙第二次爬至离井口 3 米之处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（）分钟．A ．22B ．20C ．17D ．164. 一个盒子里有黑棋子和白棋子若干粒，若取出一粒黑子，则余下的黑子数与白子数之比为 9︰7，若放回黑子，再取出一粒白子，则余下的黑子数与白子数之比为 7︰5，那么盒子里原有的黑子数比白子数多（）个．A ．5B ．6C ．7D ．85. 图 ABCD 是平行四边形，M 是 DC 的中点，E 和 F 分别位于 AB 和 AD 上，且 EF 平行于 BD ．若三角形 MDF 的面积等于 5 平方厘米，则三角形 CEB 的面积等于（）平方厘米．A ．5B ．10C ．15D ．206. 水池 A 和 B 同为长 3 米，宽 2 米，深 1.2 米的长方体．1 号阀门用来向 A 池注水，18 分钟可将无水的A 池注满；2 号阀门用来从 A 池向B 池放水，24 分钟可将 A 池中满池水放入 B 池．若同时打开 1 号和2 号阀门，那么当 A 池水深 0.4 米时，B 池有（）立方米的水．A ．0.9B ．1.8C ．3.6D ．7.2D F MCAEB二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）D E AFB7. 小明、小华、小刚三人分 363 张卡片，他们决定按年龄比来分．若小明拿 7 张，小华就要拿 6 张；若小刚拿 8 张，小明就要拿 5 张．最后，小明拿了张；小华拿了张．张；小刚拿了8. 某公司的工作人员每周都工作 5 天休息 2 天，而公司要求每周从周一至周日，每天都至少有 32 人上班，那么该公司至少需要名工作人员．9. 如图，AB 是圆 O 的直径，长 6 厘米，正方形 BCDE 的一个顶点 E 在圆周上，∠ABE ＝45°．那么圆 O中非阴影部分的面积与正方形 BCDE 中非阴影部分面积的差等于平方厘米（取 π＝3.14）10. 圣诞老人有 36 个同样的礼物，分别装在 8 个袋子中．已知 8 个袋子中礼物的个数至少为 1 且各不相同．现要从中选出一些袋子，将选出的袋子中的所有礼物平均分给 8 个小朋友，恰好分完（每个小朋友至少分得一个礼物）．那么，共有种不同的选择．第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛AB 初赛 B 试卷（小学高年级组）（时间：2013 年 3 月 23 日 10:00—11:00）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1．一个四位数，各位数字互不相同，所有数字之和等于 6，并且这个数是 11 的倍数，则满足这种要求的四位数共有（）个．A ．6B ．7C ．8D ．92． 2＋2×3＋2×3×3＋……＋2× 3 ⨯ 3 ⨯⨯ 3 个位数字是（）． 9个3A ．2B ．8C ．4D ．63. 在下面的阴影三角形中，不能由下图中左面的阴影三角形经过旋转、平移得到的是图（）中的三角形.ABCD4. 某日，甲学校买了 56 千克水果糖，每千克 8.06 元．过了几日，乙学校也需要买同样的 56 千克水果糖，不过正好赶上促销活动，每千克水果糖降价 0.56 元，而且只要买水果糖都会额外赠送 5%同样的水果糖．那么乙学校将比甲学校少花（）元．A ．20B ．51.36C ．31.36D ．10.365. 甲、乙两仓的稻谷数量一样，爸爸、妈妈和阳阳单独运完一仓稻谷分别需要 10 天、12 天和 15 天．爸爸、妈妈同时开始分别运甲、乙两仓的稻谷，阳阳先帮妈妈，后帮爸爸，结果同时运完两仓稻谷．那么阳阳帮妈妈运了（）天. A ．3B ．4C ．5D ．66. 如图，将长度为 9 的线段 AB 分成 9 等份，那么图中所有线段的长度的总和是（）.A ．132B ．144C ．156D ．165二、填空题（每小题10 分，共40 分）7．将乘积0.2˙43˙×0.32˙5233˙化为小数，小数点后第2013 位的数字是.8.一只青蛙8 点从深为12 米的井底向上爬，它每向上爬3 米，因为井壁打滑，就会下滑1 米，下滑1 米的时间是向上爬3 米所用时间的三分之一．8 点17 分时，青蛙第二次爬至离井口3 米之处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为分钟.9.一个水池有三个进水口和一个出水口．同时打开出水口和其中的两个进水口，注满整个水池分别需要6 小时、5 小时和4 小时；同时打开出水口和三个进水口，注满整个水池需要3 小时．如果同时打开三个进水口，不打开出水口，那么注满整个水池需要小时.10.九个同样的直角三角形卡片，用卡片的锐角拼成一圈，可以拼成类似下图所示的平面图形．这种三角形卡片中的两个锐角中较小的一个的度数有种不同的可能值．（下图只是其中一种可能的情况）第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛 A 试卷（小学高年级组）（时间：2012 年 3 月 17 日 10:00—11:00）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1．计算：[(0.8＋ 1 )×24＋6.6]÷ 9－7.6＝（）.5 14A ．30B ．40C ．50D ．602. 以平面上 4 个点为端点连接线段，形成的图形中最多可以有（）个三角形．A ．3B ．4C ．6D ．83. 一个奇怪的动物庄园里住着猫和狗，狗比猫多 180 只．有 20%的狗错认为自己是猫；有 20%的猫错认为自己是狗．在所有的猫和狗中，有 32%认为自己是猫，那么狗有（）只．A ．240B ．248C ．420D ．8424. 下图的方格纸中有五个编号为 1，2，3，4，5 的小正方形，将其中的两个涂上阴影，与图中阴影部分正好组成正方体的展开图，这两个正方形的编号可以是（）A ．1，2B ．2，3C ．3，4D ．4，55. 在下图所示的算式中，每个字母代表一个非零数字，不同的字母代表不同的数字，则和的最小值是（） A ．369B ．396C ．459D ．5496. 下图是由相同的正方形和相同的等腰直角三角形构成，则正方形的个数为（）A ．83B ．79C ．72D ．651 253 4A B C ＋ D E F H IJ二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）百十个百十个A EC HFB7. 如图的计数器三个档上各有 10 个算珠，将每档算珠分成上下两部分，得到两个三位数．要求上面部分是各位数字互不相同的三位数，且是下面三位数的倍数，则上面部分的三位数是．8. 四支排球队进行单循环比赛，即每两队都要赛一场，且只赛一场．如果一场比赛的比分是 3：0 或 3：1．则胜队得 3 分，负队得 0 分；如果比分是 3：2，则胜队得 2 分，负队得 1 分．比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，则第一名的得分是分．9. 甲、乙两车分别从 A 、B 两地同时出发，且在 A 、B 两地往返来回匀速行驶．若两车第一次相遇后，甲车继续行驶 4 小时到达 B ，而乙车只行驶了 1 小时就到达 A ，则两车第 15 次（在 A ，B 两地相遇次数不计）相遇时，它们行驶了小时．10. 正方形 ABCD 的面积为 9 平方厘米，正方形 EFGH 的面积为 64 平方厘米．如图所示，边 BC 落在 EH上．己知三角形 ACG 的面积为 6.75 平方厘米，则三角形 ABE 的面积为平方厘米．。

“华罗庚金杯”少年数学邀请赛1-9届试题及详解

因此，七根竹竿的总长度是 2 米减去剩下一段的长，也就是 2－
1 63 ＝1 64 64 63 米。 64
答：七根竹竿的总长是1
【分析与讨论】中国古代就有 “一尺之棰，日取其半，万世不竭” 这样一个算术问题。就是说，有一根一尺长的短棍，每天截去它的一半，永远也截不完。那么，每天剩下多少呢？第七天剩下多少呢？用上面的解法计算七根竹竿的总长，时间是绰绰有余的。但如果先把每根竹竿都算出来再相加，需要通分，时间恐怕就来不及了。同学们不妨试一试。有三条线段 A、B、C，A 长 2.12 米，B 长 2.71 米，C 长 3.53 米，以它们作为上底、下底和高，可以作出三个不同的梯形。问：第几个梯形的面积最大？【解法】首先注意，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。但我们现在是比较三个梯形面积的大小，所以不妨把它们的面积都乘以 2，这样只须比较（上底＋下底）×高的大小就行了。我们用乘法分配律：第一个梯形的面积的 2 倍是：（2.12＋3.53）×2.71＝2.12×2.17＋3.53×2.71
而王师傅从甲地到乙地的实际行驶速度只有55公里小时这样一来实际行驶1公里所花费的时间是55小时为了能按时返回甲地王师傅从乙地返回甲地时行驶1公里所花的时间必须比原计划时间少55小时
历年华罗庚金杯试题第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
初赛试题
1．1966、1976、1986、1996、2006 这 5 个数的总和是多少？ 2．每边长是 10 厘米的正方形纸片，正中间挖一个正方形的洞，成为一个宽度是 1 厘米的方框。把 5 个这样的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ框放在桌面上，成为这样的图案。问桌面上被这些方框盖住的部分面积是多少平方厘米？
的时间。这样一来，问题就化为求 9 和 33 的最小公倍数的问题了。不难算出 9 和 33 的最小公倍数是 99，所以答案为 99÷9=11。答：小圆上的蚂蚁爬了 11 圈后，再次碰到大圆上的蚂蚁。【分析与讨论】这个题目的关键是要看出问题实质是求最小公倍数的问题。注意观察，看到生活中的数学，这是华罗庚教授经常启发青少年们去做的。图 33 是一个跳棋棋盘，请你算算棋盘上共有多少个棋孔？【解法】这个题目的做法很多。由于时间所限，直接数是来不及的，而且容易出错。下图（图 34）给出一个较好的算法。把棋盘分割成一个平行四边形和四个小三角形，如图 34。平行四边形中的棋孔数为 9×9=91，每个小三角形中有 10 个棋孔。所以棋孔的总数是 81＋10×4=121 个答：共有 121 个棋孔。【分析与讨论】玩过跳棋的同学们，你们以前数过棋孔的数目吗？有兴趣的同学在课余时都可以数一数，看谁的方法最巧？有一个四位整数。在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个四位数相加，得数是 2000.81。求这个四位数。【解法 1】由于得数有两位小数，小数点不可能加在个位数之前。如果小数点加在十位数之前，所得的数是原米四位数的百分之一，再加上原来的四位数，得数 2000.81 应该是原来四位数的 1.01 倍，原来的四位数是 2000.81÷1.01＝1981。类似地，如果小数点加在百位数之前，得数 2000.81 应是原来四

详解第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛

详解第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A（小学高年级组）一、填空题（每小题 10 分, 共80 分）1、如右图, 边长为12 米的正方形池塘的周围是草地, 池塘边A, B, C, D处各有一根木桩, 且CD＝BC＝AB＝3 米. 现用长 4 米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上。

为了使羊在草地上活动区域的面积最大, 应将绳子拴在A, B, C, D 处的哪个木桩上？解：因为BC＝AB＝3 米，拴在A桩和C桩上活动范围一样大，都是一个半径为4米的半圆加上一个半径为1米的14圆；拴在D桩上活动范围是一个半径为4米的半圆；而拴在B桩上活动范围最大，是一个半径4米的34圆。

所以，绳子应当拴在B处的木桩上。

2、在所有是20 的倍数的自然数中, 不超过3000 并且是14 的倍数的数之和是。

解：20和14的最小公倍数是：［20，14］＝140不超过3000 并且是14 的倍数的数有：［3000140］＝21（个）是14 的倍数的数之和是：140×（1＋2＋3＋…＋21）＝32340。

3、从1～8这八个自然数中任取三个数，其中没有连续自然数的取法有种。

解法一：枚举法：①、三个数字同为奇数：135、137、157、357. 共有4种；②、三数字同为偶数：246、248、268、468. 共有4种；③、三数字两奇一偶：136、138、158、147、358、257. 共有6种；④、三数字两偶一奇：247、258、146、148、168、368. 共有6种；总计：4＋4＋6＋6＝20（种）解法二：排除法：1~8中任取三个数，有38C＝56种不同的取法，其中三个连续数有6种（123 ~ 678）两个连续数有5+4+4+4+4+4+5＝30种（如124、125、126、127、128等）则满足题意的取法有56－6－30＝20种4、如右图所示, 网格中每个小正方格的面积都为4 平方厘米. 小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成, 小线段的端点在格子点上或在格线上）, 则这个剪影的面积为多少平方厘米？.解：解格点与面积的问题，一般通过分割和采用格点面积公式的计算来求得。

第十九届华杯赛决赛解答_初二

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初二组）（时间: 2014年4月12日）一、填空题 (每小题10分, 共80分)1. 计算:23322332623323333--⋅+-=________.【答案】45【解答】原式=()24513262436394-=-⋅⋅-4516=-. 2. 已知正整数a , b , c 满足三个等式：cba =3,9432=⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b a , 6822=+b a , 那么2c 等于________.【答案】144. 【解答】由cba cb a ++==33, 知 9439322222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++==c b a c b a c b a , 所以,153)(499222=+=+b a c . 得1442=c .3. 如图, E , F 分别是菱形ABCD 的边AB , AD 上的点,︒=∠60DCB , ︒=∠105DFE , 1=DF , 32-=BE , 那么这个菱形的边长等于________. 【答案】3【解答】设菱形ABCD 的边长为a , 如右图, 过F 作AB 的垂线, 垂足为H .在直角三角形AHF 中, 由已知条件可知:︒=∠60FAE , ︒=∠30AFH , 1-=a AF .进而得到:21-=a AH （直角三角形中, 30度角所对边长是斜边长的一半）, 32122-=-=a AH AF FH （勾股定理）. 由已知条件︒=∠105DFE 和︒=∠30AFH , 立即得到︒=︒-︒=∠453075EFH ,从而△EFH 是等腰直角三角形, FH HE =. 所以3232121-=----=-=a a a AE AB BE , 3=a . 4. 将一个四位数的四个数字之和的两倍与这个四位数相加得2379, 则满足条件的四位数有________个. 【答案】2【解答】设这个四位数为xyzw . 首先, 2=x . 因为 ,9,,0≤≤w z y 若1=x , 则有20552541999,54)(20=++≤++≤w z y ,与条件不符. 另一方面x 不能大于2. 于是, yzw xyzw 2=, 即有23792224101002000=+++++++w z y w z y .得到375312102=++w z y .容易验证, .2,1≠y 因此, .3=y 于是69312=+w z , 12369wz -=. 整数解： 4,7;5,3====z w z w .所求四位数为：2353, 2347. 经验证, 都符合要求.5. 已知a a x 14501450-++=, 其中a 是正整数, 那么所有使得x 为整数的a 的取值之和为________. 【答案】158 【解答】首先,a x 14250021002-+=,则a 142500-为完全平方数, 令2142500y a =-, 0≥y ,则a y y 14)50)(50(=-+, )50(|14y + 或 )50(|14y -, 500≤≤y .因此, y 的可能取值为6, 8, 20, 22, 34, 36, 48, 50, 使得2x 为完全平方数的是22, 48, 对应的a 为144和14.6. 已知a , b , c 为互不相等的非零实数, 且存在实数x , y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333y cx c y bx b y ax a ,那么c b a ++的值是________. 【答案】0【解答】令⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++)3(.0)2(,0)1(,0333y cx c y bx b y ax a 由方程 (1), (2), 可得0)()(33=-+-x b a b a .因为0≠-b a , 所以022=+++x b ab a ,解得)(22b ab a x ++-=.代入方程 (1), 解得22ab b a y +=.将方程 (1), (2), (3) 相加, 得03)(333=++++++y x c b a c b a ,将y 代入, 得0)(3)(22333=+++++++y ab b a x c b a c b a .整理得0)2)(()()(22233=+--+++++=+++++x ca bc ab c b a c b a x c b a c b a .将x 代入整理得0))()(())((2=--++=--+++b c a c c b a ca bc ab c c b a .因为a , b , c 互不相等且均不等于0, 所以 0=++c b a .7. 如右图所示, 五边形ABCDE 中, AE AB =, CD BC =,2=AC 厘米, ︒=∠60BAE , E D BCD B ∠=∠=∠=∠, 则五边形ABCDE 的面积是________平方厘米. 【答案】3【解答】因为五边形的内角和为︒540, 且︒=∠60BAE , E D BCD B ∠=∠=∠=∠所以︒=∠=∠=∠=∠120E D BCD B .见右图, 以A 为旋转中心, 逆时针旋转△ABC 到△AEF 的位置, 则AB AE =, BC EF =, AC AF =, ︒=∠=∠=∠120AED ABC AEF .所以CDE DEF ∠=︒=∠120.连接CF 交DE 于P , 则△CDP ≌△FEP . 相当于将△CDP 绕P 旋转︒180补到△FEP 的位置. 可见五边形ABCDE 的面积 = △ACF 的面积.又, △ACF 是边长为2厘米的正三角形, 所以其面积为32432=⨯（平方厘米）. 因此五边形ABCDE 的面积为3 平方厘米.8. 方程023=+++C Bx Ax x 的系数C B A ,,为整数, 10||,10||,10||<<<C B A ,且1是方程的根, 那么这种方程总共有________个. 【答案】270. 【解答】由已知,b x a b x a x b ax x x C Bx Ax x --+-+=++-=+++)()1())(1(23223,其中, a , b 为实数, 于是有b C a b B a A -=-=-=,,1,并且得到a , b 为整数. 由题目条件得10||,10||,10|1|<<-<-b a b a ,因此1010,1010,119<<-+<<-<<-b b a b a .当0=b 时, 由1010,119<<-<<-a a , 得109<<-a , 即a 能够取18个整数值; 当1=b 时, 由119<<-a , 知a 能够取19个整数值; 当2=b 时, 由128,119<<-<<-a a , 得118<<-a , 即a 能够取18个整数值; ……; 当9=b 时, 由191,119<<-<<-a a , 得111<<-a , 即a 能够取11个整数值. 同样地, 当1-=b 时, 由911,119<<-<<-a a , 得99<<-a , 即a 能能够取17个整数值; ……; 当9-=b 时, 由119,119<<-<<-a a , 得19<<-a , 即a 能取9个整数值.这样, ),(b a 的取法, 亦即),,(C B A 的取法有270210272930)91617()111819(18=⨯+⨯=++++++++ （种）. 所以, 这种方程共有270个.二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）9. 关于x 的方程 ()02|4|21=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x a x 的3个解恰好是某个直角三角形三条边的边长, 那么这个直角三角形面积的最大值是多少?【答案】4323+ 【解答】由已知, 原方程共有三个解:)2(41),2(41,12321-=+=-=a x a x a x . 当2>a , 它们才可能是某个直角三角形的三条边长. 下面分两种情况讨论. （1）26>>a . 在这种情形下, 312x x x >>, 2x 是斜边长. 因此,222)2(16112)2(161-+⎪⎭⎫⎝⎛-=+a a a , (*)解(*), 得到: 53±=a . 因为253<-, 仅有53+=a . 此时, 直角三角形面积为()853253161)2(161212231+=-+=-=a x x . （2）6≥a . 在这种情形下, 321x x x >>, 1x 是斜边长. 因此,222)2(161)2(16112-++=⎪⎭⎫⎝⎛-a a a , (**)解(**), 得到: ()322±=a . 因为()6322<-, 仅有()322+=a . 此时, 直角三角形面积为()43234324321)4(321212232+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-=a x x . 综上, 直角三角形面积的最大值是4323+. 10. 若干个选手参加象棋比赛, 每两个选手下一盘. 每盘棋的记分方法为：胜者得1分, 和棋各得0.5分, 负者得0分. 如果有两名选手共积11分, 其他选手的平均积分为整数, 那么一共下了多少盘棋? 【答案】21或231【解答】不论比赛状况如何, 下棋的盘数等于得分总数. 假设共有2+x 个人参加比赛, 那么共下)2)(1(21++x x 盘. 设n 为除两人外其余人的平均积分, 那么 nx x x =-++11)2)(1(21. 整理可得:020)32(2=--+x n x .由于人数为整数, 32-n 也为整数, 所以x 必为20的正约数. 又因为其中两名选手共得11分, 所以5≥x . 因此x 的取值只可能是5, 10或 20.当5=x , 7人比赛, 共计比赛21场, 总分21分, 其余人共得10分, 平均2分, 符合题意.当10=x 时, 12人比赛, 共计比赛66场, 总分66分, 其余人共得55分, 平均5.5分, 不合题意.当20=x 时, 22人比赛, 共计比赛231场, 总分231分, 其余人共得220分, 平均11分, 符合题意.因此, 参加比赛的选手人数可能为7人或者22人, 共举行的场数可能为21场或者231场.11. 在梯形ABCD 中, CD AB //, 8=AB , 6=CD .M , N 分别为AD , BC 的中点, MN 与梯形ABCD 的对角线AC , BD 分别相交于P , Q . 如图所示的四边形ABQP 的面积为18, 求梯形ABCD 的面积. 【答案】56【解答】见右图, 连接CQ . 因为M , N 分别为AD , BC 的中点, 所以P 为AC 的中点. 令x S QBN =∆, 则x S CQN =∆.因为P , N 分别为AC , BC 的中点, 所以421==AB PN . 同理可知321==CD QN .所以31=-==∆∆QN QN PN QN PQ S S CQNCPQ . 得x S CPQ 31=∆. 在CAB ∆中, x x x S S CPN ABNP 43133=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∆.所以x S S S BNP ABNP ABQP 3=-=∆.得6=x . 所以321837=+=∆x S ABC 又43==∆∆AB CD S S ABC ACD , 得2443==∆∆ABC ACD S S . 最终,563224=+=ABCD S .12. 已知十个互不相同的正数满足:1) 它们的和为385;2) 它们中任意两个数的和或者差的绝对值是这十个数中的某个数. 请写出这十个数.【答案】7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70【解答】设这十个数为1021,,,a a a , 且1021a a a <<< . 由于1010a a a i >+, 91≤≤i ,所以它们都不是这十个数中的成员, 因此i a a -10都是这十个数中的成员, 都小于10a , 且有10110710810910a a a a a a a a a <-<<-<-<- ,故有i i a a a -=-1010, 特别地1910a a a =-. 又因为10199a a a a a i =+>+, 81≤≤i ,也都不是这十个数中的成员, 所以i a a -9都是这十个数中的成员, 都小于9a , 且有9197989a a a a a a a <-<<-<- ,故有i i a a a -=-99, 特别地189a a a =-. 完全相同的道理, 可得11a a a i i =-+, 91≤≤i .所以385)1021(11021=+++=+++ a a a a .解得71=a . 所以这十个数是7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70.三、解答下列各题（每题15分, 共30分, 要求写出详细过程）13. 右图中, ︒=∠=∠=∠45DAB BCD ABC , 2=BD 厘米,求四边形ABCD 的面积.【答案】2平方厘米【解答】见左图, 连接AC , 延长AD 交BC 于H . 则︒=∠90AHB , ︒=∠45CDH . 所以, BH AH =, HC DH =. 又在BHD ∆与AHC∆中,︒=∠=∠90AHC BHD , 所以AHC BHD ∆∆≌（边、角、边）. 得2==AC BD （厘米）.延长BD 交AC 于K , 由于︒=∠+∠90CAH ACH , 而KBH CAH ∠=∠ 所以︒=∠+∠90CAH KBH . 因此︒=∠90BKC , 得 AC BK ⊥, 即AC BD ⊥. 最终,四边形ABCD 的面积= ABC ∆的面积ADC ∆-的面积=)(212121DK BK AC DK AC BK AC -⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯ = 2222121=⨯⨯=⨯⨯BD AC （平方厘米）. 14. 有n 个人在网上购物, 2>n . 已知, 任意三个人中有两人买有同一种类的商品, 没有三个人买有同一种类的商品. 若他们中的甲和乙两人各买了四种商品, 但没有买同一种类的商品, 则n 的最大值是多少? 当n 最大时, n 个人一共最少买了多少种商品？【答案】10, 20【解答】分别用A 1, A 2表示甲、乙两人, 他们没买同一种商品. 由任意3人中有2人买了相同的商品, 余下的(2-n )个人可分成两组: A 1组, 与A 1买有同种商品的人; A 2组, 与A 2买有同种商品的人. 注意, 同一个人可以即在A 1组也在A 2组. 两个组每组最多5人. 否则, 设有一个组有6个或6个以上的人, 不妨设是A 1. 但是A 1只买了4种商品, 由抽屉原则, 另外5个或5个以上的人中必有2人与A 1都买有同一种类商品. 这与题设“没有三个人买有同一种类的商品”矛盾. 若10>n , 由抽屉原则有一组有6个或6个以上的人, 与“两个组每组最多5人”矛盾. 所以, 10≤n .考虑10=n 的情况. 记第i 个人为A i , 用B1, B2, …, B20表示20种不同种类的商品. 购物情况可以如下:A 1买B1, B2, B3, B4; A 2买B11, B12, B13, B14;A 3买B1, B5, B6, B7; A 7买B11, B15, B16, B17;A 4买B2, B5, B8, B9; A 8买B12, B15, B18, B19;A 5买B3, B6, B8, B10; A 9买B13, B16, B18, B20;A 6买B4, B7, B9, B10; A 10买B14, B17, B19, B20.满足题目的要求, 且两组各有5人.当10=n 时, 两个组只能各有5人且无人同属两组. 同一组中, 三人有二人购有同种商品, 而无其他同组人买这种商品. 这二人可以是同组中任意二人, 所以, 一个组就至少买了1025=C 种商品. 两个组至少买了20种商品.。

(复赛)第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛(1)

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（初二组）（时间: 2014年4月12日10:00～11:30）一、填空题（每小题 10分, 共80分）1. 计算:23322332623323333--⋅+-=________.2. 已知正整数a , b , c 满足三个等式：c b a =3, 9432=⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b a , 6822=+b a , 那么2c 等于________.3. 如图, E , F 分别是菱形ABCD 的边AB , AD 上的点,︒=∠60DCB , ︒=∠105DFE , 1=DF , 32-=BE , 那么这个菱形的边长等于________.4. 将一个四位数的四个数字之和的两倍与这个四位数相加得2379, 则满足条件的四位数有________个.5. 已知aa x 14501450-++=, 其中a 是正整数, 那么所有使得x 为整数的a 的取值之和为________.6. 已知a , b , c 为互不相等的非零实数, 且存在实数x , y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333y cx c y bx b y ax a ,那么c b a ++的值是________. 7. 如右图所示, 五边形ABCDE 中, AEAB =, CD BC =, 2=AC 厘米, ︒=∠60BAE , E D BCD B ∠=∠=∠=∠, 则五边形ABCDE 的面积是________平方厘米.学校____________ 姓名_________ 参赛证号密封线内请勿答题8. 方程023=+++C Bx Ax x 的系数C B A ,,为整数, 1||,10||,10||<<<C B A , 且1是方程的根, 那么这种方程总共有________个.二、解答下列各题（每题 10 分, 共40分, 要求写出简要过程）9. 关于x 的方程()02|4|21=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x a x 的3个解恰好是某个直角三角形三条边的边长, 那么这个直角三角形面积的最大值是多少?10. 若干个选手参加象棋比赛, 每两个选手下一盘. 每盘棋的记分方法为：胜者得1分, 和棋各得0. 5分, 负者得0分. 如果有两名选手共积11分, 其他选手的平均积分为整数, 那么一共下了多少盘棋?11. 在梯形ABCD 中, CD AB //, 8=AB , 6=CD .M , N 分别为AD , BC 的中点, MN 与梯形ABCD 的对角线AC , BD 分别相交于P , Q . 如图所示的四边形ABQP 的面积为18, 求梯形ABCD 的面积. 12. 已知十个互不相同的正数满足:1) 它们的和为385;2) 它们中任意两个数的和或者差的绝对值是这十个数中的某个数. 请写出这十个数.三、解答下列各题（每题 15 分, 共30分, 要求写出详细过程）13. 右图中, ︒=∠=∠=∠45DAB BCD ABC , 2=BD 厘米,求四边形ABCD 的面积.14. 有n 个人在网上购物, 2>n . 已知, 任意三个人中有两人买有同一种类的商品, 没有三个人买有同一种类的商品. 若他们中的甲和乙两人各买了四种商品, 但没有买同一种类的商品, 则n 的最大值是多少? 当n 最大时, 这n 个人一共最少买了多少种商品？第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（初一组）（时间: 2014年4月12 日 10:00 ~ 11:30）一、填空题（每小题 10分, 共80分）1.计算:])()[()()]([.||)()(6831232706253855421653233÷-+-⨯+-÷--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯---÷+-⨯-= . 2.如图，由单位正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点, 以格点为顶点做了一个三角形, 记L 为三角形边上的格点数目, N 为三角形内部的格点数目, 三角形的面积可以用下面的式子求出来：顶点在格点的三角形的面积=121-+N L .如果三角形的边上与内部共有20个格点, 则这个三角形的面积最大等于 , 最小等于 .3.长为4的线段AB 上有一动点C , 等腰三角形ACD 和等腰三角形BEC 在过AB的直线同侧, DC AD =, EB CE =, 则线段DE 的长度最小为 .4.正整数c b a ,,满足等式, c b a =3, 且9432=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b a , 又6822=+b a ,则=c .5.如图, 直角三角形ABC 中, F 为AB 上的点, 且FBAF 2=,6.方程023=+++C Bx Ax x 的系数C B A ,,为整数, 5||,5||,5||<<<C B A , 且1是方程的一个根, 那么这种方程总共有个.学校____________ 姓名_________ 参赛证号密封线内请勿答题第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初一组)7.一辆公交快车和一辆公交慢车沿某环路顺时针运行, 它们的起点分别在A 站和B 站, 快车每次回到A 站休息4分钟, 慢车每次回到B 站休息5分钟, 两车在其他车站停留的时间不计. 已知沿顺时针方向A 站到B 站的路程是环路全程的52, 两车环行一次各需45分钟和51分钟（不包括休息时间）, 那么它们从早上6时同时出发, 连续运行到晚上10时, 两车同在B 站共次.8.如果a , b , c 为不同的正整数, 且 222cb a =+, 那么乘积abc 最接近2014的值是 .第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初一组)二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）9.有三个农场在一条公路边, 如图A, B 和C 处. A 处农场年产小麦50吨, B 处农场年产小麦10吨, C 处农场年产小麦60吨. 要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦. 假设运费从A 到C 方向是1.5元/吨千米, 从C 到A 方向是1元/吨千米, 那么仓库应该建在何处才能使运费最低？120公里50公里10.如右图, 在ABC ∆中, D 为BC 中点, FB AF 2=, AE CE 3=. 连接CF 交DE 于P 点, 求DPEP的值.11.某地参加华杯赛决赛的104名小选手来自14所学校. 请证明：一定有选手人数相同的两所学校.12.将一个四位数中的四个数字之和的两倍与这个四位数相加得2379. 求这个四位数.三、解答下列各题（每小题 15分, 共30分, 要求写出详细过程）13.求质数c b,a, 使得ab bc ab a =++715.14.如果有理数10321,,,,a a a a 满足条件: ,10,10,0109432110321≤++++≤+≥≥≥≥≥a a a a a a a a a a 那么210232221a a a a ++++ 的最大值是多少？。

第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小中组)

2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）用□和○表示两个自然数，若□×○＝42，则（□×4）×（○÷3）．2．（10分）计算：10×9×8+7×6×5+6×5×4+3×2×1﹣9×8×7﹣8×7×6﹣5×4×3﹣4×3×2＝．3．（10分）将学生分成35组，每组3人．其中只有1个男生的有10组，不少于2个男生的有19组，有3个男生的组数是有3个女生的组数的2倍．则男生有人．4．（10分）从 1～8 这八个自然数中取三个数，其中有连续自然数的取法有种．5．（10分）如图，三个圆交出七个部分，将整数0～6分别填入七个部分中，使得每个圆内的四个数字的和都相等，那么和的最大值是．6．（10分）若干自然数的乘积为324，则这些自然数的和最小为．7．（10分）在嫦娥三号着月过程中，从距离月面2.4千米到距离月面100米这一段称为接近段．图1和图2分别是它到距月面 2.4 千米和月面100米处时，录像画面截图．则嫦娥三号在接近段内行驶的时间是秒（录像时间的表示方法：30：28/2：10：48表示整个录像时间长为 2 小时10分钟48秒，当前恰好播放到第30分钟28秒处）．8．（10分）将 1～6 这六个自然数分成甲、乙两组，则甲组数的和与乙组数的和的乘积最大是．二、简答题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）如图，将一个大三角形纸板剪成四个小三角形纸板（第一次操作），再将每个小三角形纸板剪成四个更小的三角形纸板（第二次操作）．这样继续操作下去，完成第5次操作后得到若干个小三角形纸板．甲和乙在这些小三角形纸板上涂色，每人每次可以在1至10个小三角形纸板上涂色，谁最后涂完谁赢．在甲先涂的情况下，请设置一个方案使得甲赢．10．（10分）如图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为平方厘米．11．（10分）从一块正方形土地上，划出一块宽为10米的长方形土地（如图），剩下的长方形土地面积是1575平方米．那么，划出的长方形土地的面积是多少？12．（10分）三位数中，有些数本身是该数的数字和的19倍，如190＝19×（1+9+0），请写出所有这样的三位数．2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）用□和○表示两个自然数，若□×○＝42，则（□×4）×（○÷3）56 ．【分析】第一个因数扩大4倍，所以积也扩大4倍，是42×4，然后第二个因数又缩小了3倍，所以积也缩小3倍，是42×4÷3，据此解答即可．【解答】解：根据分析可得，42×4÷3＝168÷3＝56；故答案为：56．2．（10分）计算：10×9×8+7×6×5+6×5×4+3×2×1﹣9×8×7﹣8×7×6﹣5×4×3﹣4×3×2＝132 ．【分析】先把每一项分组，再根据乘法的分配律解答．【解答】解：10×9×8+7×6×5+6×5×4+3×2×1﹣9×8×7﹣8×7×6﹣5×4×3﹣4×3×2＝（10×9×8﹣9×8×7）﹣（8×7×6﹣7×6×5）+（6×5×4﹣5×4×3）﹣（4×3×2﹣3×2×1）＝9×8×（10﹣7）﹣7×6×（8﹣5）+5×4×（6﹣3）﹣3×2×（4﹣1）＝9×8×3﹣7×6×3+5×4×3﹣3×2×3＝（9×8﹣7×6+5×4﹣3×2）×3＝（72﹣42+20﹣6）×3＝44×3＝132；故答案为：132．3．（10分）将学生分成35组，每组3人．其中只有1个男生的有10组，不少于2个男生的有19组，有3个男生的组数是有3个女生的组数的2倍．则男生有60 人．【分析】总共有四种情况，①3名女生，②2名女生1名男生，③1名女生2名男生，④3名男生．根据只有1个男生的有10组，可得②的情况有10组，不少于2个男生的19组，③和④的情况，共有19组，可得①的情况有35﹣19﹣10＝6（组），又因为有3个男生的组数是有3个女生的组数的2倍．所以④的情况有6×2＝12（组）．③的情况有19﹣12＝7（组），再把每组中男生的人数相加即可求解．【解答】解：总共有四种情况，①3名女生，②2名女生1名男生，③1名女生2名男生，④3名男生．根据只有1个男生的有10组，可得②的情况有10组，有男生10×1＝10（人）不少于2个男生的19组，③和④的情况，共有19组，可得①的情况有35﹣19﹣10＝6（组），这6组没有男生；又因为有3个男生的组数是有3个女生的组数的2倍；所以④的情况有6×2＝12（组），有男生12×3＝36（人）③的情况有19﹣12＝7（组），7×2＝14（人）男生共有10+36+14＝60（人）答：男生有60人．故答案为：60．4．（10分）从 1～8 这八个自然数中取三个数，其中有连续自然数的取法有36 种．【分析】没有连续自然数的取法分四种情况列举：（1）三个奇数，（2）三个偶数，（3）两个奇数一个偶数，（4）两个偶数一个奇数；从 1～8 这八个自然数中取三个数共有＝56种，然后用56减去没有连续自然数的取法解答即可．【解答】解：没有连续自然数的取法：（1）三个奇数：135、137、157、357，共4个；（2）三个偶数：246、248、268、468，共4个；（3）两个奇数一个偶数：136、138、158、147、358、257，共6个；（4）两个偶数一个奇数：247、258、146、148、168、368，共6个；综合上述没有连续自然数的取法共：4+4+6+6＝20（种）从 1～8 这八个自然数中取三个数的取法：＝＝56（种）所以有连续自然数的取法有56﹣20＝36（种）；答：从 1～8 这八个自然数中取三个数，其中有连续自然数的取法有 36种．故答案为：36．5．（10分）如图，三个圆交出七个部分，将整数0～6分别填入七个部分中，使得每个圆内的四个数字的和都相等，那么和的最大值是15 ．【分析】因为使得每个圆内的四个数字的和都相等，且和最大值时，6最大，就把6写在最中间，还剩的3个较大数字5、4、3，填在两圆公共的部分，最后剩下的0、1、2；0与6、4、5结合；1与6、5、3结合；2与6、3、4结合，那么每个圆内的四个数字的和都是15，据此解答即可．【解答】解：根据分析可得，所以，6+5+4+0＝6+4+3+2＝6+5+3+1＝15；所以，和的最大值是 15．故答案为：15．6．（10分）若干自然数的乘积为324，则这些自然数的和最小为16 ．【分析】因为将一个数分解出若干个2与3的乘积，而不含1，此时这些自然数的和最小，所以324＝2×2×3×3×3×3，所以这些自然数的和最小为：2+2+3+3+3+3＝16，据此解答．【解答】解：因为324＝2×2×3×3×3×3，所以这些自然数的和最小为：2+2+3+3+3+3＝16，故答案为：16．7．（10分）在嫦娥三号着月过程中，从距离月面2.4千米到距离月面100米这一段称为接近段．图1和图2分别是它到距月面 2.4 千米和月面100米处时，录像画面截图．则嫦娥三号在接近段内行驶的时间是114 秒（录像时间的表示方法：30：28/2：10：48表示整个录像时间长为 2 小时10分钟48秒，当前恰好播放到第30分钟28秒处）．【分析】根据题目给出的数据，接近段是从录像的第45分39秒到47分33秒，用47分33秒减去45分39秒，即可求出接近段这部分时间是多少．【解答】解：47分33秒﹣45分39秒＝1分54秒＝114秒答：嫦娥三号在接近段内行驶的时间是 114秒．故答案为：114．8．（10分）将 1～6 这六个自然数分成甲、乙两组，则甲组数的和与乙组数的和的乘积最大是110 ．【分析】要使甲组数的和与乙组数的和的乘积最大，则这两个和应尽可能大，且两个和的差要尽可能小；由此先分组解答即可．【解答】解：6个数的和为：1+2+3+4+5+6＝21，21分解成两个最接近的整数的和是：21＝11+10，即，把 1～6 这六个自然数分成（1+2+3+4）、（5+6）两组，所以，乘积最大为：（1+2+3+4）×（5+6）＝11×10＝110；答：甲组数的和与乙组数的和的乘积最大是 110．股单位：110．二、简答题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）如图，将一个大三角形纸板剪成四个小三角形纸板（第一次操作），再将每个小三角形纸板剪成四个更小的三角形纸板（第二次操作）．这样继续操作下去，完成第5次操作后得到若干个小三角形纸板．甲和乙在这些小三角形纸板上涂色，每人每次可以在1至10个小三角形纸板上涂色，谁最后涂完谁赢．在甲先涂的情况下，请设置一个方案使得甲赢．【分析】根据已知第一次操作后得到4个小正三角形，第二次操作后得到4×4＝16个小正三角形；第三次操作后得到4×4×4＝64个小正三角形；…继而第5次操作后得到4×4×4×4×4＝1024个小三角形．首先理解题意，谁先涂谁并且获胜，甲要先涂，利用甲所涂小三角形的个数均为10减去乙所涂三角形个数解答此题即：甲先涂1个，以后当乙涂n个时，甲涂11﹣n个，据此即可解答问题．【解答】解：4×4×4×4×4＝1024（个）1024÷（10+1）＝93 (1)甲先涂，由于余1，所以甲先涂1个张，乙再涂n（1≤n≤10）张，接着甲涂走（11﹣n）个；以后每次在乙涂后，甲所涂的个数均为11减去乙所涂数之差；最后都得给甲剩下1～10个，这样，甲就能最后涂剩下的所有小三角形．10．（10分）如图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为56 平方厘米．【分析】按题意，可以将图中剪影分割成若干部分，然后标出每部分的面积，利用剪切和拼接的性质求得每部分的面积，最后求和．【解答】解：根据分析，如图，将剪影分割，通过分割和格点面积公式可得小马剪影的总面积＝0.5+3+16+2+1+2.5+3+0.5+1.5+12+3+2+0.5+3+0.5+1+2+1.5+0.5＝56（平方厘米）故答案是：56．11．（10分）从一块正方形土地上，划出一块宽为10米的长方形土地（如图），剩下的长方形土地面积是1575平方米．那么，划出的长方形土地的面积是多少？【分析】根据题干，剩下的长方形的长与宽的差是10米，因为1575＝3×3×5×5×7＝45×35，所以原正方形的边长为45米，所以划出的长方形的长与宽分别是45米、10米，据此计算即可解答问题．【解答】解：根据题干分析可得：1575＝3×3×5×5×7＝45×35，45﹣35＝10，所以原正方形的边长为45米，则划出的面积是：45×10＝450（平方米），答：划出的长方形土地的面积是450平方米．12．（10分）三位数中，有些数本身是该数的数字和的19倍，如190＝19×（1+9+0），请写出所有这样的三位数．【分析】首先，这个数是19的倍数，这个数是三位数，三位数各位数字的和不会超过27，那么这个数不会超过19×27＝513，500多，数字和不会超过4+9+9＝22，即这个数不超过22×19＝418，找出418以内所有19的倍数，看是否符合题意即可解答．【解答】解：这个数是19的倍数，三位数各位数字的和不会超过27，那么这个数不会超过19×27＝513，500多，数字和不会超过4+9+9＝22，即这个数不超过22×19＝418，19×6＝114 （√）1+1+4＝619×7＝133 （√）1+3+3＝719×8＝152 （√）1+5+2＝819×9＝171 （√）1+7+1＝919×10＝190 （√）1+9+0＝1019×11＝209 （√）2+0+9＝1119×12＝228 （√）2+2+8＝1219×13＝247 （√）2+4+7＝1319×14＝266 （√）…19×15＝285 （√）…19×16＝304 3+0+4＝7≠1619×17＝323 …19×18＝342 …19×19＝361 …19×20＝380 …19×21＝399 （√）3+9+9＝2119×22＝418 4+1+8＝13≠22所以所有的结果是：114、133、152、171、190、209、228、247、266、285、399共11个数，答：这样的三位数有114、133、152、171、190、209、228、247、266、285、399．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:49:57；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800。

第十九届“华杯赛”决赛小学中年级组试题与答案

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8. 将 1~6 这六个自然数分成甲、乙两组, 则甲组数的和与乙组数的和的乘积最大是________.
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二、简答题（每小题 15 分, 共 60 分, 要求写出简要过程）
9. 如下图, 将一个大三角形纸板剪成四个小三角形纸板（第一次操作）, 再将每个小三角形纸板剪成四个更小的三角形纸板（第二次操作）. 这样继续操作下去, 完成第 5 次操作后得到若干个小三角形纸板. 甲和乙在这些小三角形纸板上涂色, 每人每次可以在 1 至 10 个小三角形纸板上涂色, 谁最后涂完谁赢. 在甲先涂的情况下, 请设置一个方案使得甲赢.
10. 如右图所示, 网格中每个小正方格的面积都为 1 平方厘米. 小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成 , 小线段的端点在格子点上或在格线上）, 则这个剪影的面积为多少平方厘米?
11. 从一块正方形土地上, 划出一块宽为 10 米的长方形土地（如右图）, 剩下的长方形土地面积是 1575 平方米. 那么, 划出的长方形土地的面积是多少？
12. 三位数190 19 (1 9 0) , 请写出所有这样的三位数.
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第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题参考答案（小学中年级组）一、填空（每题 10 分, 共 80 分）
题号答案 1 56 2 132 3 60 4 36 5 15 6 16 7 114 8 110
3. 将学生分成 35 组, 每组 3 人. 其中只有 1 个男生的有 10 组, 不少于 2 个男生的有 19 组 , 有 3 个男生的组数是有 3 个女生的组数的 2 倍 . 则男生有 ________人. 4. 从 1~8 这八个自然数中取三个数, 其中有连续自然数的取法有________种. 5. 如右图, 三个圆交出七个部分. 将整数 0～6 分别填到七个部分中, 使得每个圆内的四个数字的和都相等, 那么和的最大值是________. 6. 若干自然数的乘积为 324, 则这些自然数的和最小为________. 7. 在嫦娥三号着月过程中, 从距离月面 2.4 千米到距离月面 100 米这一段称为接近段. 下面左图和右图分别是它到距月面 2.4 千米和月面 100 米处时, 录像画面截图. 则嫦娥三号在接近段内行驶的时间是________秒（录像时间的表示方法：30 : 28 / 2 : 10 : 48 表示整个录像时间长为 2 小时 10 分钟 48 秒, 当前恰好播放到第 30 分钟 28 秒处）.

“华罗庚金杯”少年数学邀请赛(口试)试题1-10届

华罗庚金杯少年数学邀请赛口试试题第01届华罗庚金杯少年数学邀请赛口试试题1. 这是七巧板拼成的正方形，正方形边长20厘米，问七巧板中平行四边形的一块（如右图中阴影部分）的面积是多少？2．从所有分母小于10的真分数中，找出一个最接近0.618的分数。

3．有49个小孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同，请你挑选出若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，你最多能挑选出多少个小孩子？4．有一路公共汽车，包括起点和终点站共有15个车站，如果有一辆车，除终点到站外，每一站上车的乘客中，恰好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，为了使每位乘客都有座位，问这辆公共汽车最少要有多少个座位？5．正方形的树林每边长1000米，里面有白杨树和榆树，小明从树林的西南角走入树林，碰见一株白杨树就往正北走，碰见一株榆树就往正东走，最后他走了东北角上，问：小明一共走了多少米的距离？6．自然数按从小到大的顺序排成螺旋形，在2处拐第一个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个弯……问拐第二十个弯的地方是哪一个数？第02届华罗庚金杯少年数学邀请赛口试试题1、如下图是一个对称的图形，黑色部分面积大还是阴影部分面积大？2、你能不能将自然数1到9分别填入右面的方格中，使得每个横格中的三个数之和都是偶数？3、司机开车按顺序到五个车站接学生到学校（如下图），每个站都有学生上车，第一站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半，车到学校时，车上最少有多少学生？4、如图中五个正方形的边长分别是1米、2米、3米、4米、5米。

问：白色部分面积与阴影部分面积之比是多少？5、用1、2、3、4、5这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，问乘积中是偶数多还是奇数多？6、7、将右边的硬纸片沿虚线折起来，便可作成一个正方体，问：这个正方体的2号面对面是几号面？（如下图）8、下面是一个11位数，它的每三个相邻数之和都是20，你知道打“？”的数字是几？9、有八张卡片，右图分别写着自然数1到8，从中取出三张，要使这三张卡片上的数字之和为9，问有多少种不同的取法？第03届华罗庚金杯少年数学邀请赛团体决赛口试1．一条白色的正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有二道红条，如右图阴影所示部分，红条宽都是2厘米．问：这条手帕白色部分的面积是多少？2．伸出你的左手，从大拇指开始如图所示的那样数数字，1，2，3，……，问：数到1991时，你数在那个手指上？3．有3个工厂共订300份吉林日报，每个工厂订了至少99份，至多101份．问：一共有多少种不同的订法？4．图上有两条垂直相交的直线段AB、CD，交点为E（如下图）．已知：DE=2CE，BE=3AE．在AB和CD上取3个点画一个三角形．问：怎样取这3个点，画出的三角形面积最大？5．如下图中有两个红色的圆，两个蓝色的圆，红色圆的直径分别是1992厘米和1949厘米，蓝色圆的直径分别是1990厘米和1951厘米．问：红色二圆面积大还是蓝色二圆面积大？6．在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来（如下图），填在这个方格中，例如a=5＋3=8．问：填入的81个数字中，奇数多还是偶数多？7．能不能在下式：1□2□3□4□5□6□7□8□9=10的每个方框中，分别填入加号或减号，使等式成立？8．把一个时钟改装成一个玩具钟（如右图），使得时针每转一圈，分针转16圈，秒针转36圈．开始时3针重合．问：在时针旋转一周的过程中，3针重合了几次？（不计起始和终止的位置）．9．将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数分成3组，分别计算各组数的和．已知这3个和互不相等，且最大的和是最小的和的2倍．问：最小的和是多少？10.这是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线交叉点上，但不能在同一条棋盘线上．问：共有多少种不同的放法（如下图）？11.这是两个圆，它们的面积之和为1991平方厘米，小圆的周长是大圆周长的90％（如右图）．问：大圆的面积是多少？12.有一根1米长的木条，第一次去掉它的，第二次去掉余下木条的；第三次又去掉第二次余下木条的，等等；这样一直下去，最后一次去掉上次余下木条的．问：这根木条最后还剩下多长？13.这是一个楼梯的截面图（如下图），高2.8米，每级台阶的宽和高都是20厘米．问：此楼梯截面的面积是多少？14.请找出6个不同的自然数，分别填入6个括号中，使这个等式成立．第04届华罗庚金杯少年数学邀请赛团体决赛口试1．2×3×5×7×11×13×17这个算式中有七个数连乘，请回答：最后得到的乘积中，所有数位上的数字和是多少？请讲一讲你是怎样算的？2．这是一个中国象棋盘（图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长），黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12， 13，14中的两个位置．问：这三个棋子（一个“象”和两个“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？3．将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种形状的短管（加工损耗忽略不计）问：剩余部分的管子最少是多少厘米？4．乙两人同时从A出发向B行进，甲速度始终不变，乙在走前面路程时，速度为甲的2倍，而走后面路程时，速度是甲的，问甲、乙二人谁选到B？请你说明理由。

华杯赛历届试题

第一届华杯赛决赛一试试题1. 计算：2．975×935×972×（）,要使这个连乘积的最后四个数字都是“0”，在括号内最小应填什么数？3．把＋、－、×、÷分别填在适当的圆圈中，并在长方形中填上适当的整数，可以使下面的两个等式都成立，这时，长方形中的数是几？9○13○7=100 14○2○5=□4．一条1米长的纸条，在距离一端0.618米的地方有一个红点，把纸条对折起来，在对准红点的地方涂上一个黄点然后打开纸条从红点的地方把纸条剪断，再把有黄点的一段对折起来，在对准黄点的地方剪一刀，使纸条断成三段，问四段纸条中最短的一段长度是多少米？5．从一个正方形木板锯下宽为米的一个木条以后，剩下的面积是平方米，问锯下的木条面积是多少平方米？6．一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。

这个数当然有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？7．修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数，问修改后的这个数是几？8．蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序，循环各开水管，每天每管开一小时，问多少时间后水清苦始溢出水池？9．一小和二小有同样多的同学参加金杯赛，学校用汽车把学生送往考场，一小用的汽车，每车坐15人，二小用的汽车，每车坐13人，结果二小比一小要多派一辆汽车，后来每校各增加一个人参加竞赛，这样两校需要的汽车就一样多了，最后又决定每校再各增加一个人参加竞赛，二小又要比一小多派一辆汽车，问最后两校共有多少人参加竞赛？10．如下图，四个小三角形的顶点处有六个圆圈。

如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等。

问这六个质数的积是多少？11．若干个同样的盒子排成一排，小明把五十多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有装棋子，然后他外出了，小光从每个有棋子的盒子里各拿一个棋子放在空盒内，再把盒子重新排了一下，小明回来仔细查看了一番，没有发现有人动过这些盒子和棋子，问共有多少个盒子？12．如右图，把1.2，3.7, 6.5, 2.9, 4.6，分别填在五个○内，再在每个□中填上和它相连的三个○中的数的平均值，再把三个□中的数的平均值填在△中，找出一个填法，使△中的数尽可能小，那么△中填的数是多少？13．如下图，甲、乙、丙是三个站，乙站到甲、丙两站的距离相等。

第十九届华杯赛获奖名单

第十九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛广州赛区决赛获奖名单（中学组）一等奖：（20人）胡嘉航省属华南师范大学附属中学邓同祥省属华南师范大学附属中学苏华省属华南师范大学附属中学劳轩毅省属华南师范大学附属中学王炜皓省属华南师范大学附属中学吴世悠省属华南师范大学附属中学何非凡省属华南师范大学附属中学梁耀鸣省属华南师范大学附属中学黄日灏省属华南师范大学附属中学林湛然省属华南师范大学附属中学梁博尧省属华南师范大学附属中学吴文森省属华南师范大学附属中学陈海东省属华南师范大学附属中学叶恒市属广州市第二中学冯奕森市属广州大学附属中学卓钰昊市属广州大学附属中学罗涛市属广州大学附属中学张显龙市属广州大学附属中学李润洲市属广州市执信中学石云天海珠区中山大学附属中学二等奖：（77人）何皓霖省属华南师范大学附属中学张济全省属华南师范大学附属中学张天弈省属华南师范大学附属中学范世佳省属华南师范大学附属中学周存昊省属华南师范大学附属中学何灏迪省属华南师范大学附属中学胡致远省属华南师范大学附属中学刘星彤省属华南师范大学附属中学詹方榕省属华南师范大学附属中学胡浩宇省属华南师范大学附属中学叶宇澄省属华南师范大学附属中学祁翊嘉省属华南师范大学附属中学苏海杰省属华南师范大学附属中学杨鸿萱省属华南师范大学附属中学王怀颉省属华南师范大学附属中学庄炘璇省属华南师范大学附属中学梁欣然省属华南师范大学附属中学吴雨桐省属华南师范大学附属中学欧阳浩省属华南师范大学附属中学陈希炀省属华南师范大学附属中学林家骏省属华南师范大学附属中学洪之灏省属华南师范大学附属中学许澍翀省属华南师范大学附属中学周致远省属华南师范大学附属中学何子韬省属华南师范大学附属中学黄萱省属华南师范大学附属中学石闻立省属华南师范大学附属中学黄微宇省属华南师范大学附属中学吴泓毅省属华南师范大学附属中学谢俊市属广州市第二中学杨沛霖市属广州市第二中学刘思凯市属广州市第二中学何俊辉市属广州市第二中学刘岳泽市属广州市第二中学肖峣市属广州市第二中学黄子懿市属广州市第二中学张雄市属广州大学附属中学胡浩文市属广州大学附属中学徐源榕市属广州大学附属中学魏希文市属广州大学附属中学陈叶嘉市属广州大学附属中学陈一川市属广州大学附属中学陈泽安市属广州大学附属中学刘家晖市属广州大学附属中学彭思泽市属广州大学附属中学曾烨昊市属广州大学附属中学陈卓文市属广州大学附属中学黎伟诺市属广州大学附属中学冒泓希市属广州大学附属中学徐天一市属广州大学附属中学阳淞云市属广州大学附属中学钟哲远市属广州大学附属中学张茗添市属广州大学附属中学周魏市属广州大学附属中学谢袁泽宇市属广州大学附属中学刘曾可市属广州大学附属中学李梦蝶市属广州大学附属中学戴俊逸市属广州大学附属中学苏妍文市属广州大学附属中学章凯市属广州大学附属中学杨博文市属广州大学附属中学邹泽市属广州大学附属中学曾维翰市属广州市执信中学邓建溢市属广州市执信中学刘亦洋市属广州市执信中学高步云市属越秀区二中应元刘澈越秀区广州市第七中学钟鼎越秀区广州市育才中学林新元海珠区海珠区六中珠江中学姚文浩海珠区中山大学附属中学林子泓海珠区中山大学附属中学芶誉彰海珠区中山大学附属中学吴正熙天河区广州市天河外国语学校祝捷天河区广州市天河外国语学校蔡其妙天河区广州市天河外国语学校汤嘉煜天河区广州市天河中学吴骏泓天河区暨大附中三等奖：（155人）段炼省属华南师范大学附属中学董心仪省属华南师范大学附属中学庄栩然省属华南师范大学附属中学梁德麒省属华南师范大学附属中学李松陶省属华南师范大学附属中学林琪璇省属华南师范大学附属中学彭承志省属华南师范大学附属中学范惟省属华南师范大学附属中学刘成武省属华南师范大学附属中学范憧省属华南师范大学附属中学黄馨莹省属华南师范大学附属中学郑明宇省属华南师范大学附属中学范雅铭省属华南师范大学附属中学梁家铭省属华南师范大学附属中学洪乐潼省属华南师范大学附属中学郑邦宇省属华南师范大学附属中学林琳省属华南师范大学附属中学孙宇辰省属华南师范大学附属中学黄毅进省属华南师范大学附属中学范嘉瑜省属华南师范大学附属中学叶培东省属华南师范大学附属中学庄之彦省属华南师范大学附属中学申曾子省属华南师范大学附属中学唐凌峰省属华南师范大学附属中学曹焯楷省属华南师范大学附属中学许兆晖省属华南师范大学附属中学陈钇冰省属华南师范大学附属中学冯勃省属华南师范大学附属中学王瑞华省属华南师范大学附属中学洪文瑶省属华南师范大学附属中学刘静霆省属华南师范大学附属中学刘晓辉省属广东实验中学左佳毅省属广东实验中学张轩硕省属广东实验中学梁嘉惠省属广东实验中学何璐希省属广东实验中学凌云锐省属广东实验中学钟相濡省属广东实验中学吴一凡省属广东实验中学李思远市属广州大学附属中学何启元市属广州大学附属中学宁婧市属广州大学附属中学钟译霆市属广州大学附属中学何盛哲市属广州大学附属中学熊腾浩市属广州大学附属中学孙语彤市属广州大学附属中学于佳艺市属广州大学附属中学张仁泓市属广州大学附属中学方得丞市属广州大学附属中学卢思宇市属广州大学附属中学陈浩天市属广州大学附属中学庞彬市属广州大学附属中学杜思贤市属广州大学附属中学李炎豫市属广州大学附属中学李沛龙市属广州大学附属中学陈灏天市属广州大学附属中学胡宏杰市属广州大学附属中学黄浩然市属广州大学附属中学褚凯乐市属广州大学附属中学陈锐新市属广州大学附属中学罗贝尔市属广州大学附属中学林锐市属广州大学附属中学罗嘉勋市属广州大学附属中学叶弘轩市属广州大学附属中学洪逸智市属广州大学附属中学游拓寰市属广州大学附属中学杨紫玥市属广州大学附属中学郭峰市属广州大学附属中学娄卓洋市属广州大学附属中学柳迪市属广州大学附属中学苏振漩市属广州大学附属中学邱心荷市属广州大学附属中学邹园妍市属广州大学附属中学李勇毅市属广州大学附属中学蔡雅诗市属广州大学附属中学赵文博市属广州大学附属中学李林波市属广州大学附属中学曾梓轩市属广州市第二中学匡宏毅市属广州市第二中学宋胤彤市属广州市第二中学王若凡市属广州市第二中学梁智市属广州市第二中学练一纬市属广州市第二中学周宇辰市属广州市第二中学曾子欣市属广州市第二中学俞文博市属广州市第二中学王曦市属广州市第二中学卢思琪市属广州市第二中学陈晨市属广州市第二中学陈泽廷市属广州市第二中学刘聪市属广州市执信中学黎堃乐市属广州市执信中学施卓然市属广州市执信中学田正英市属广州市执信中学宋枝晓市属广州市执信中学陈嘉进市属广州市执信中学过星宇市属广州市执信中学钟淯蕾市属广州市执信中学熊知希市属广州市执信中学蔡沛轩市属广州市执信中学许昊楠市属广州市执信中学江穗悦市属广州市执信中学杨海宁市属广州外国语学校黄润华市属广州外国语学校曾维清市属广州外国语学校朱信成市属越秀区二中应元龙瀚哲市属越秀区二中应元吕卓昂市属越秀区二中应元赵天麒市属越秀区二中应元林泓宇市属越秀区二中应元谭天市属广州市铁一中学刘家轩市属广州市铁一中学王方舟越秀区广州市第七中学陈宛彤越秀区广州市第七中学林宇轩越秀区广州市第十六中学梁子东越秀区广州市第十六中学魏天岚越秀区广州市育才实验学校邓淞尹越秀区广州市育才实验学校吴泳霆越秀区广州市育才实验学校黄裕欢越秀区广州市育才实验学校郭睿越秀区广州市育才实验学校张国超越秀区广州市育才实验学校张晓霖荔湾区广州广雅实验学校沈睿哲荔湾区广州广雅实验学校赖泓宇荔湾区广州广雅实验学校刘斯哲荔湾区广州广雅实验学校吴永浩荔湾区荔湾区四中聚贤中学丁弘正荔湾区荔湾区真光实验学校杨元昊海珠区海珠区六中珠江中学曾子洋海珠区海珠区六中珠江中学廖骁海珠区海珠区六中珠江中学陈全海珠区海珠区六中珠江中学邓立桐海珠区海珠区六中珠江中学符馨滢海珠区海珠区六中珠江中学郭浩鸣海珠区海珠区六中珠江中学黄铸海珠区海珠区六中珠江中学林炜博海珠区海珠区六中珠江中学顾岚渊海珠区中山大学附属中学王天俊海珠区中山大学附属中学黄培轩海珠区中山大学附属中学袁路欣海珠区中山大学附属中学卢广治白云区广州白云广雅实验学校周引航白云区培英实验学校董逸凯天河区广东实验中学附属天河学校温俊龙天河区广州市天河外国语学校戴驰天河区广州市第47中学汇景实验学校左淳升天河区广州市天河外国语学校陈文晗天河区广州市天河外国语学校潘辰冬番禺区北师大南奥实验学校周畅黄埔区广州市第八十六中学分校彭毅林萝岗区广州市二中苏元实验学郭文龙南沙区广州市南沙鱼窝头第二中学吴冰绚花都区黄冈中学广州学校李为从化市从化市从化中学解晨东增城市凤凰城中英文学校。

全国“华罗庚金杯”决赛试卷（五年级组）

全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（五年级组）（时间：（时间： 10：00~11：30 ）一、填空题（每题10分，共80分）1、计算：)195167248(66.698.19)75.4285412375.2247816(-´´´´+´= 2、一次数学竞赛满分是100分，某班前六名同学的平均得分是95.5分，排名第六的同学的得分是89分，每人得分是互不相同的整数，那么排名第三的同学至少得至少得分。

分。

3、在下面的等式中，相同的字母表示同一数字，若abcd －dcba =□997，那么，那么 □ 中应填应填。

4、在梯形ABCD 中，上底长5厘米，下底长10厘米，20=D BOC S 平方厘米，则梯形ABCD 的面积是的面积是平方厘米。

平方厘米。

5、已知：10△3=14， 8△7=2， 43△141=，根据这几个算式找规律，如果，根据这几个算式找规律，如果85△x =1，那么x = . 6、右图中共有、右图中共有个三角形。

个三角形。

7、有一个自然数，除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，则这个数最小是，则这个数最小是。

8、A 是乘积为2007的5个自然数之和，B 是乘积为2007的4个自然数之和。

那么A 、B 两数之差的最大值是两数之差的最大值是。

装订线全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案（五年级组）一、填空题（每题10分，共80分）分）题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 3 96 2 45 8124 59 1781 1~8题答案提示：题答案提示：1、3 解：原式=÷øöçèæ-´´úûùêëé´÷øöçèæ++´÷øöçèæ+1951679666.698.19419285412819247816 =19528953419285441912819247881916´÷øöçèæ´+´+´+´=195289531515713138´÷øöçèæ+++=195289531952895´÷øöçèæ+=3 2、96 解：要想排名第三的同学得分尽量低，则其它几人的得分就要尽量的高，故第一名应为100分，第二名应为99分，因此第三、四、五名的总分为：分，因此第三、四、五名的总分为： 95.5×95.5×66－100－99－89=285(分) 故第三、四、五名的平均分为故第三、四、五名的平均分为 285÷3=95（分），因此第三名至少要得96分。

第十九届华杯赛决赛答案_初二

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案（初二组）一、填空（每题 10 分, 共80分）二、解答下列各题（每题 10分, 共40分, 要求写出简要过程）9. 答案：4323+ 解答：由已知, 原方程共有三个解:)2(41),2(41,12321-=+=-=a x a x a x . 当2>a , 它们才可能是某个直角三角形的三条边长. 下面分两种情况讨论. （1）26>>a . 在这种情形下, 312x x x >>, 2x 是斜边长. 因此,222)2(16112)2(161-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+a a a , (*) 解(*), 得到: 53±=a . 因为253<-, 仅有53+=a . 此时, 直角三角形面积为()853253161)2(161212231+=-+=-=a x x . （2）6≥a . 在这种情形下, 321x x x >>, 1x 是斜边长. 因此,222)2(161)2(16112-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a , (**) 解(**), 得到: ()322±=a . 因为()6322<-, 仅有()322+=a . 此时, 直角三角形面积为()43234324321)4(321212232+=⎪⎫ ⎝⎛-+=-=a x x . 综上, 直角三角形面积的最大值是4323+. 10. 答案： 21或者231解答. 不论比赛状况如何, 下棋的盘数等于得分总数. 假设共有2+x 个人参加比赛, 那么共下)2)(1(21++x x 盘. 设n 为除两人外其余人的平均积分, 那么 nxx x =-++11)2)(1(21. 整理可得:20)32(2=--+x n x . 由于人数为整数, 32-n 也为整数, 所以x 必为20的正约数. 又因为其中两名选手共得11分, 所以5≥x . 因此x 的取值只可能是5, 10或 20.当5=x , 7人比赛, 共计比赛21场, 总分21分, 其余人共得10分, 平均2分, 符合题意.当10=x 时, 12人比赛, 共计比赛66场, 总分66分, 其余人共得55分, 平均5.5分, 不合题意.当20=x 时, 22人比赛, 共计比赛231场, 总分231分, 其余人共得220分, 平均11分, 符合题意.因此, 参加比赛的选手人数可能为7人或者22人, 共举行的场数可能为21场或者231场.11. 答案：56解答：见右图, 连接CQ . 因为M , N 分别为AD , BC 的中点, 所以P 为AC 的中点. 令x S QBN =∆, 则x S CQN =∆. 因为P , N 分别为AC , BC 的中点, 所以421==AB PN .同理可知321==CD QN .所以31=-==∆∆QN QN PN QN PQ S S CQN CPQ . 得x S CPQ 31=∆. 在CAB∆中, x x x S S CPN ABNP 43133=⎪⎭⎫⎝⎛+==∆. 所以x S S S BNPABNP ABQP 3=-=∆. 得6=x . 所以321837=+=∆x S ABC又43==∆∆AB CD S S ABC ACD , 得2443==∆∆ABCACD S S . 最终,563224=+=ABCDS . 12. 答案：7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70解答：设这十个数为1021,,,a a a , 且1021a a a <<< . 由于 1010a a a i >+, 91≤≤i , 所以它们都不是这十个数中的成员, 因此i a a -10都是这十个数中的成员, 都小于10a , 且有1110710810910a a a a a a a a a <-<<-<-<- , 故有i i a a a -=-1010, 91≤≤i . (1) 特别地1910a a a =-. 又因为10199a a a a a i =+>+, 82≤≤i , 也都不是这十个数中的成员, 所以i a a -9都是这十个数中的成员, 都小于9a , 且有19210297989a a a a a a a a a a <<-<-<<-<- , 故有i i a a a -=-99, 82≤≤i . (2) 特别地189a a a =-.当71≤≤i 时, 由 (1) 和 (2 )得1919919110101a a a a a a a a a a a a i i i i i i i +=-++=-+=-=-----+, 综合上面的讨论得到11a a a i i =-+, 91≤≤i . 所以3)1021(11021=+++=+++ a a a a . 解得71=a . 所以这十个数是7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70. 三、解答下列各题（每题 15 分, 共30分, 要求写出详细过程） 13. 答案：2平方厘米.解答：见右图, 连接AC , 延长AD 交BC 于H . 则︒=∠90AHB , ︒=∠45CDH . 所以, BH AH =, HC DH =. 又在BHD∆与AHC ∆中, ︒=∠=∠90AHC BHD , 所以AH BHD ∆∆≌（边、角、边）. 得2==AC BD （厘米）.延长BD 交AC 于K , 由于︒=∠+∠90CAH ACH , 而KB CAH ∠=∠ 所以︒=∠+∠90CAH KBH . 因此︒=∠90BKC , 得 AC BK ⊥, 即AC BD ⊥. 最终,四边形ABCD 的面积= ABC ∆的面积ADC ∆-的面积 = )(212121DK BK AC DK AC BK AC -⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯ =2222121=⨯⨯=⨯⨯BD AC （平方厘米）. 14. 答案：10, 20解答：分别用A 1, A 2表示甲、乙两人, 他们没买同一种商品. 由任意3人中有2人买了相同的商品, 余下的(2-n )个人可分成两组: A 1组, 与A 1买有同种商品的人; A 2组, 与A 2买有同种商品的人. 注意, 同一个人可以即在A 1组也在A 2组. 两个组每组最多5人. 否则, 设有一个组有6个或6个以上的人, 不妨设是A 1. 但是A 1只买了4种商品, 由抽屉原则, 另外5个或5个以上的人中必有2人与A 1都买有同一种类商品. 这与题设“没有三个人买有同一种类的商品”矛盾. 若10>n , 由抽屉原则有一组有6个或6个以上的人, 与“两个组每组最多5人”矛盾. 所以, 10≤n .考虑10=n 的情况. 记第i 个人为A i , 用B1, B2, …, B20表示20种不同种类的商品. 购物情况可以如下:A 1买B1, B2, B3, B4; A 2买B11, B12, B13, B14; A 3买B1, B5, B6, B7; A 7买B11, B15, B16, B17; A 4买B2, B5, B8, B9; A 8买B12, B15, B18, B19; A 5买B3, B6, B8, B10; A 9买B13, B16, B18, B20; A 6买B4, B7, B9, B10; A 10买B14, B17, B19, B20.满足题目的要求, 且两组各有5人.当10=n 时, 两个组只能各有5人且无人同属两组. 同一组中, 三人有二人购有同种商品, 而无其他同组人买这种商品. 这二人可以是同组中任意二人, 所以, 一个组就至少买了1025=C 种商品. 两个组至少买了20种商品.。

第十九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛广州赛区决赛

第十九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛广州赛区决赛
天河区小学组获奖名单
一等奖：（5人）
刘明扬（天府路小学）黄旭宇（华阳小学）
马坤圻（体育东路小学）孙艺轩（龙口西小学）
伍思颖（华景小学）
二等奖：（11人）
谭立德（体育东路小学）罗一菲（天河区第一实验小学）
林海岚（龙口西小学）郑雅轩（骏景小学）
肖泽霖（骏景小学）张弘毅（骏景小学）
马延昕（旭景小学）薛乐祺（棠德南小学）
廖颢越（元岗小学）欧阳毅曦（泰安小学）
李玉冰（泰安小学）
三等奖：（35人）
黄泓睿（华阳小学）白礼杰（华阳小学）
陈允怀（华阳小学）杨赞霖（华阳小学）
吕伯翰（体育东路小学）林烨文（第一实验小学）
周灿然（龙口西小学）汪子越（龙口西小学）
龙延瑞（龙口西小学）李昱（龙口西小学）
孙志阳（华景小学）黄泓智（华景小学）
孙东方（华景小学）刘俊杰（先烈东小学）
谢北辰（骏景小学）张万千（骏景小学）
彭昱（骏景小学）赵宇辉（骏景小学）
柯嘉琪（天府路小学）徐昊辰（天府路小学）
何圳麟（天府路小学）赵冬青（员村小学）
杨俊培（员村小学）罗胤仪（五一小学）
黄剑乔（员村小学）罗政麟（泰安小学）
金志阳（五山小学）阳萌（四海小学）
戴艺梅（长湴小学）邝组钿（东圃小学）
余智健（旭景小学）郑楠（红英小学）
宋承竹（113中陶育路实验学校）李耀先（113中陶育路实验学校）刘宇杰（华颖外国语学校）。

小学数学竞赛附录3 历届获奖名单

附录3 历届获奖名单
首届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛获奖名单中学组前3名
第一名陆昱（北京市）
第二名罗小虎（武汉市）
第三名邵亦波（上海市）
小学组前5名
第一名李颖鹏（北京市）
第二名石峰（郑州市）
第三名程向荣（广州市）
第四名王临琛（福州市）
第五名孙谦（济南市）
第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛获奖名单金牌奖中学组3名
第一名王翠兰（天津市）
第二名倪静（上海市）
第三名陈建军（苏州市）
金牌奖小学组5名
第一名姚一隽（南京市）
第二名柳耸（济南市）
第三名鲍若愚（杭州市）
第四名徐建（北京市）
第五名王海栋（上海市）
第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛获奖名单
团体决赛前6名
第一名南京队（江苏）
第二名金坛队（江苏）
第三名杭州队（浙江）
第四名武汉队（湖北）
第五名广州队（广东）
第六名中电联队（能源部）金牌奖中学组4名
徐开闻（江苏·南京）
吴平（江苏·金坛）
夏云（北京）
谭金业（山东·文登）
金牌奖小学组6名
赵新华（辽宁·锦西）
洪献文（广东·广州）
严昊峰（甘肃·兰州）
朱敏（上海）
徐晶华（湖北·武汉）
易珂（河北·石家庄）。

2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组C卷)后附答案解析

2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组C卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：+=．2．（10分）在右边的算式中，每个汉字代表0至9这十个数字中的一个，相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字．则“数学竞赛”所代表的四位数是．3．（10分）如图，在直角三角形ABC中，点F在AB上且AF=2FB，四边形EBCD 是平行四边形，那么FD：EF为．4．（10分）如图是由若干块长12厘米、宽4厘米、高2厘米的积木搭成的立体的正视图，上面标出了若干个点．一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面．如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒2厘米，向下爬行的速度为每秒3厘米．水平爬行速为每秒4厘米．则蚂蚁至少爬行了秒．5．（10分）设a，b，c，d，e 均是自然数，并且a＜b＜c＜d＜e，a+2b+3c+4d+5e=300，则a+b 的最大值为．6．（10分）现有甲、乙、丙三个容量相同的水池．一台A型水泵单独向甲水池注水，一台B型水泵单独向乙水池注水，一台A型和一台B型水泵一起向丙水池注水．已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多4个小时，注满甲水池比注满乙水池所需时间多5个小时，则注满丙水池的三分之二需要个小时．7．（10分）用八块棱长为1cm的小正方块堆成一立体，其俯视图如右图所示，问共有种不同的堆法（经旋转能重合的算一种堆法）．8．（10分）如图，在三角形ABC中，AF=2BF，CE=3AE，CD=4BD．连接CF交DE于P点，求的值．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）有三个农场在一条公路边，分别在如图所示的A，B和C处．A处农场年产小麦50吨，B处农场年产小麦10吨，C处农场年产小麦60吨．要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦．假设运费从A到C方向是每吨每千米1.5 元，C到A方向是每吨每千米1元．问仓库应该建在何处才能使运费最低？10．（10分）把，，…，，中的每个分数都化成最简分数，最后得到的以2014为分母的所有分数的和是多少？11．（10分）上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见图的（a），（b）和（c）．现有 5 块一颗星，2块两颗星和1块三颗星的积木，如果用若干个这些积木组成一个五颗星的长条，那么一共有多少种不同的摆放方式？（如图（d）是其中一种摆放方式）．12．（10分）某自然数减去39是一个完全平方数，减去144也是一个完全平方数，求此自然数．三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）如图，圆周上均匀地标出十个点．将1～10这十个自然数分别放到这十个点上．用过圆心的一条直线绕圆心旋转，当线上没有标出的点时，就把1～10分成两组．对每种摆放方式，随着直线的转动有五种分组方式．对于每种分组都有一个两组数和的乘积，记五个积中最小的值为K．问所有的摆放中，K最大为多少？14．（15分）将每个最简分数（其中m，n 互质的非零自然数）染成红色或蓝色，染色规则如下：（1）将1染成红色；（2）相差为1的两个数颜色不同，（3）不为1的数与其倒数颜色不同．问：和分别染成什么颜色？2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组C卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：+=1．【分析】把繁分数的分子分母中的算式分别化简，然后根据分数的基本性质解答即可．【解答】解：+=+=+=1；故答案为：1．【点评】本题考查了繁分数的化简，关键是掌握小数的四则运算的计算法则．2．（10分）在右边的算式中，每个汉字代表0至9这十个数字中的一个，相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字．则“数学竞赛”所代表的四位数是1962．【分析】（1）如果百位不退位，四位数减四位数，差的千位、百位为0，所以“数学”=20，再看后两位，竞赛+竞赛=24，所以“竞赛”=24÷2=12，据此即可写出“数学竞赛”所代表的四位数；如何判断是否符合题意．（2）如果百位退位，则易得“数学”=19，再看后两位，则竞赛+竞赛=2024﹣1900=124，所以“竞赛”=124÷2=62，据此即可写出“数学竞赛”所代表的四位数．【解答】解：（1）如果百位不退位，因为四位数减四位数，差的千位、百位为0，所以“数学”=20；再看后两位，竞赛+竞赛=24，所以“竞赛”=24÷2=12；所以，“数学竞赛”所代表的四位数是：2012，因为有重复的数字“2”，所以不符合题意，要舍去．（2）如果百位退位，则“数学”=19，再看后两位，则竞赛+竞赛=2024﹣1900=124，所以“竞赛”=124÷2=62，所以，“数学竞赛”所代表的四位数是：1962．答：“数学竞赛”所代表的四位数1962．故答案为：1962．【点评】此题考查了凑数谜．此类型的题往往要结合数位知识和数字的特征解答，本题要从进位和不进位两方面考虑．3．（10分）如图，在直角三角形ABC中，点F在AB上且AF=2FB，四边形EBCD 是平行四边形，那么FD：EF为2：1．【分析】因为AF=2FB，所以AF：FB=2：1，因为四边形EBCD是平行四边形，所以BE∥AC，所以△ADF∽△BEF，所以FD：EF=AF：FB=2：1，据此解答即可．【解答】解：因为AF=2FB，所以AF：FB=2：1，因为四边形EBCD是平行四边形，所以BE∥AC，则∠ADF=∠BEF，∠EFB=∠DFA，所以△ADF∽△BEF，所以FD：EF=AF：FB=2：1，故答案为：2：1．【点评】本题考查了相似三角形的性质，关键是根据BE∥AC，得出△ADF∽△BEF．4．（10分）如图是由若干块长12厘米、宽4厘米、高2厘米的积木搭成的立体的正视图，上面标出了若干个点．一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面．如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒2厘米，向下爬行的速度为每秒3厘米．水平爬行速为每秒4厘米．则蚂蚁至少爬行了36秒．【分析】由图可知：先让蚂蚁向上爬一个长，然后再水平爬5个宽，再向下爬一个长，再水平爬2个长，向上爬1个长，再水平爬5个宽，最后再乡下爬1个长即可．【解答】解：所爬路线如图：（5×4×2+2×12）÷4=64÷4=16（秒）12×2÷2=12（秒）12×2÷3=8（秒）16+12+8=36（秒）答：蚂蚁至少爬行了36秒．故答案为：36．【点评】本题先找出蚂蚁所走的路线是解决问题的关键．5．（10分）设a，b，c，d，e 均是自然数，并且a＜b＜c＜d＜e，a+2b+3c+4d+5e=300，则a+b 的最大值为35．【分析】a，b，c，d，e 均是连续的自然数也符合题意，假设分别是：1、2、3、4、5，则，a+2b+3c+4d+5e=55，每个数增加1，则a+2b+3c+4d+5e的和增加15；然后看（300﹣55）看有几个15；再结合余数即可确定a、b的值．【解答】解：如果a，b，c，d，e 均是连续的自然数也符合题意，假设分别是：1、2、3、4、5，则，a+2b+3c+4d+5e=1+2×2+3×3+4×4+5×5=55如果它们都再加上1，则总和将会增加：1+2+3+4+5=15（300﹣55）÷15=16 (5)余数是5，只能加在e上，所以，a=1+16=17，b=2+16=18，所以，a+b 的最大值为：17+18=35．答：a+b 的最大值为35．故答案为：35．【点评】本题属于构造性问题，关键明确要使a+b 的和最大，就要使这五个数中最小的两个数a和b尽量大，则根据相邻两个自然数差最小是1构建五个数．6．（10分）现有甲、乙、丙三个容量相同的水池．一台A型水泵单独向甲水池注水，一台B型水泵单独向乙水池注水，一台A型和一台B型水泵一起向丙水池注水．已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多4个小时，注满甲水池比注满乙水池所需时间多5个小时，则注满丙水池的三分之二需要4个小时．【分析】首先根据题意，设注满乙水池所需时间为x小时，则注满甲水池所需时间为x+5小时，注满丙水池所需时间为x﹣4小时，再根据工作效率=工作量÷工作时间，分别用1除以x+5、x，求出一台A型水泵和一台B型水泵每小时各注水几分之几；然后根据：一台A型水泵的工作效率+一台B型水泵的工作效率=1÷注满丙水池所需时间，列出方程，求出x的值，再用x减去4，求出注满丙水池所需时间是多少，再用它乘以，求出注满丙水池的三分之二需要多少小时即可．【解答】解：设注满乙水池所需时间为x小时，则注满甲水池所需时间为x+5小时，注满丙水池所需时间为x﹣4小时，+=（+）x（x﹣4）（x+5）=•x（x﹣4）（x+5）x（x﹣4）+（x﹣4）（x+5）=x（x+5）2x2﹣3x﹣20=x2+5xx2﹣8x﹣20=0解得x=10或x=﹣2（舍去）（10﹣4）×=6×=4（小时）答：注满丙水池的三分之二需要4个小时．故答案为：4．【点评】（1）此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量=工作效率×工作时间，工作效率=工作量÷工作时间，工作时间=工作量÷工作效率．（2）此题还考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．7．（10分）用八块棱长为1cm的小正方块堆成一立体，其俯视图如右图所示，问共有10种不同的堆法（经旋转能重合的算一种堆法）．【分析】俯视图相同，均为四个方格的正方形，共有8个小正方形，最下面一层必为四个小方格，可以分层讨论，得出总的不同堆法，求得总数．【解答】解：根据分析，若分为两层堆放，为4+4堆放，有1种堆法；分为3层堆放，1+3+4时，有4种堆法，2+2+4时，有2种堆法；分为4层堆放，4+2+1+1堆放，有2种堆法；分为5层堆放，4+1+1+1+1堆放，有1种堆法，综上，共有10种堆法．故答案是：10【点评】本题考查了图形的变换和对称性，突破点是：利用图形对称性，不难求得总的不同堆法．8．（10分）如图，在三角形ABC中，AF=2BF，CE=3AE，CD=4BD．连接CF交DE于P点，求的值．【分析】连接EF，DF，则根据风筝模型，有：S△EFC ：S△FDC=EP：PD，只要求出S△EFC 和S△FDC的比即可求出EP：PD，从已知的线段之间的比例关系，可以算出面积之比，可以求得△EFC和△FDC分别与△ABC的面积比，从而最后求得EP：PD的值．【解答】解：根据分析，如图，连接EF，DF，则根据风筝模型，有：S△EFC ：S△FDC=EP：PD又∵AF=2BF ∴S △AFC ：S △BFC =AF ：BF=2：1⇒，；同理：CE=3AE ⇒S△EFC：S △AEF =EC ：AE=3：1⇒=；CD=4BD ⇒S△CDF：S △BDF =CD ：BD=4：1⇒=故：EP ：PD=S △EFC ：S △FDC=．故答案是：．【点评】本题考查了相似三角形和风筝模型，突破点是：利用风筝模型列出线段比和面积比的关系式，再求解．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）有三个农场在一条公路边，分别在如图所示的A ，B 和C 处．A 处农场年产小麦50吨，B 处农场年产小麦10吨，C 处农场年产小麦60吨．要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦．假设运费从A 到C 方向是每吨每千米1.5 元，C 到A 方向是每吨每千米1元．问仓库应该建在何处才能使运费最低？【分析】分两种情况讨论，即：（1）假设在AB 之间建立仓库；（2）假设在BC 之间建立仓库；分别列出方程解答即可．【解答】解：（1）假设在AB 之间建立仓库，设到A 的距离为x 千米．那么总费用为：50x×1.5+10×（500﹣x）×1+60×（1700﹣x）×1整理得到：5x+107000为了使这个总费用最小，由于107000一定了，所以要让5x尽量小，所以x=0，即设在A点总费用最低．（2）假设在BC之间建立仓库，设距离B点y千米处．那么总费用为：50（500+y）×1.5+1.5×10y+60（1200﹣y）×1整理得到：109500+30y，同理，y=0，最小费用为109500，此时设在B点．107000＜109000．综上所以设在A点运费最低，最低费用为107000元．答：仓库应该建在A处才能使运费最低．【点评】在运货策略中，要结合运费、质量和路程进行列方程解答，注意解题过程中要分类讨论．10．（10分）把，，…，，中的每个分数都化成最简分数，最后得到的以2014为分母的所有分数的和是多少？【分析】因为2014=2×1007=2×19×53，分别求出2、19、53、2×19、2×53、19×53、2×19×53的倍数有多少个，进而求出分母不是2014的个数，进而得解．【解答】解：2014=2×1007=2×19×53，2的倍数：1007个，19的倍数：106个，53的倍数：38个，2×19的倍数：53个，2×53的倍数：19个，19×53的倍数：2个，2×19×53的倍数：1个，分母不是2014的共有：1007+106+38﹣53﹣19﹣2+1=1078（个），不包括，那么共：1078﹣1=1077（个）．每2个和为1，分母是2014的最简分数共：2013﹣1077=936（个）和为：936÷2=468．【点评】此题咋一看，无从下手，要积极寻求灵活的方法：把2014分解质因数，分别求出这些因数的倍数有多少个，进而得出分母是2014的最简分数的个数，解决问题．11．（10分）上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见图的（a），（b）和（c）．现有 5 块一颗星，2块两颗星和1块三颗星的积木，如果用若干个这些积木组成一个五颗星的长条，那么一共有多少种不同的摆放方式？（如图（d）是其中一种摆放方式）．【分析】通过分析可知：分下列几种情况①5=1+2+2，此类为3个选一个，②5=1+1+1+1+1，此类只有1种；③5=2+3，此类为2个选一个，④5=3+1+1，此类为3个选一个；⑤5=2+1+1+1，此类为，4个选一个；把这几种情况相加，据此解答即可．【解答】解：①5=1+2+2，此类为3个选一个，有C31=3种；②5=1+1+1+1+1，此类只有1种；③5=2+3，此类为2个选一个，有C21=2种④5=3+1+1，此类为3个选一个，有C31=3种；⑤5=2+1+1+1，此类为4个选一个，有C41=4种；一共：3+1+2+3+4=13种答：一共有13种不同的摆放方式．【点评】解答此题的关键是通过题意，进行分析，然后根据分析得到的数据进行解答．12．（10分）某自然数减去39是一个完全平方数，减去144也是一个完全平方数，求此自然数．【分析】设这个自然数减去39得到a2，减去144得到b2，由题意可得a2+39=b2+144，化简可得：a2﹣b2=105，（a+b）（a﹣b）=105，把105分解质因数，105=3×5×7，然后把因数3、5、7组合，可得：（a+b）、（a﹣b）有四种对应取值，然后进一步解方程组即可．【解答】解：设这个自然数减去39得到a2，减去144得到b2，由题意可得：a2+39=b2+144，即，a2﹣b2=105，（a+b）（a﹣b）=105，105=3×5×7，所以，（a+b）、（a﹣b）有四种对应取值：，，，，相对应求得四组符合题意的解是：，，，，所以这个自然数可以是：112+39=160，132+39=208，192+39=400，532+39=2848，答：此自然数可以是160、208、400、2848．【点评】本题考查了比较复杂数字问题和平方差公式的灵活应用，关键是通过分解质因数得出四种对应取值．三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）如图，圆周上均匀地标出十个点．将1～10这十个自然数分别放到这十个点上．用过圆心的一条直线绕圆心旋转，当线上没有标出的点时，就把1～10分成两组．对每种摆放方式，随着直线的转动有五种分组方式．对于每种分组都有一个两组数和的乘积，记五个积中最小的值为K．问所有的摆放中，K最大为多少？【分析】这10个数无论怎样摆放，它们的和是不变的，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，分成两组，分成的两组数的和越接近，所要求的积就越大．【解答】解：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=5555=27+28所以只要将10个数分成和是27和28的两部分，此时的积是27×28=756答：所有的摆放中，K最大是756．【点评】这是求最值问题，在和一定的情况下，分成的两数差越大，积就越小，两数差越小，积就越大．14．（15分）将每个最简分数（其中m，n 互质的非零自然数）染成红色或蓝色，染色规则如下：（1）将1染成红色；（2）相差为1的两个数颜色不同，（3）不为1的数与其倒数颜色不同．问：和分别染成什么颜色？【分析】首先分析1是红色，那么2是蓝色，可得奇数是红色，偶数是蓝色，再根据不为1的数与其倒数颜色不同倒过来即可．【解答】解：依题意可知：数字2和1的颜色不同，那么数字2是蓝色．根据染色规律可知奇数是红色，偶数是蓝色．7涂的是红色，又知与7的颜色不同，所以是蓝色的．2014是偶数，就涂的是红色．就是红色的．综上所述．是红色的，是蓝色的．【点评】本题是对染色问题的理解和运用，关键问题是理解题中的染色规律，问题解决．。

第十九届华杯赛决赛解答_小高C

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C （小学高年级组）（时间: 2014 年4月12日）一、填空题 (每小题10分, 共80分)1. 计算: =-⨯++⨯-5213.23.0241225.095.22.3 . 【答案】1【解答】132319.06.075.025.0=+=+=原式 2. 在右边的算式中, 每个汉字代表0至9这十个数字中的一个, 相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字. 求“ 数学竞赛”所代表的四位数.【答案】1962【解答】由算式可得：4202赛竞赛竞学数+. 因为“赛”+“赛”和的个位数为4, 所以“赛”表示的数为2或7.若“赛”表示的数字为7, 则“竞”+“竞”和的个位数为1, 显然不存在满足这样的数.所以“赛”表示的数为2, “竞”+“竞”和的个位数为2, 所以“竞”表示的数字为1或6.若“竞”表示数字1, 则“学”表示的数字为0, “数”表示的数字为2; 此时, 2012=数学竞赛，但数和赛不能表示同一个数字，舍去; 若“竞”表示的数字为6, 则“学”表示的数字为9, “数”数字为1, 此时, 1962=数学竞赛.·· 3. 如右图, 在直角三角形ABC 中, 点F 在AB 上且FB AF 2=, 四边形EBCD 是平行四边形, 那么EF FD :为 .【答案】2:1【解答】连接FC , BD , 设kEF FD =, S S BFE =∆, 那么kS S BDF =∆,S k S S FBC BCD )1(+==∆∆. 由FB AF 2=可知kS S AFD 2=∆, 进而S k S A B C )41(+=∆, 得kk S S AFD ABC 2)41(+=∆∆. 又kk S S S BC FB S BC AB S S AFD FBC AFD AFD AFD ABC 2)1(33232+==⨯=⨯=∆∆∆∆∆∆, 所以)1(341k k +=+.解得, 2=k . 因此, EF FD 2=.4. 右图是由若干块长12厘米、宽4厘米、高2厘米的积木搭成的立体的正视图, 上面标出了若干个点. 一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面. 如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒2厘米, 向下爬行的速度为每秒3厘米, 水平爬行的速度为每秒4厘米, 则蚂蚁至少爬行了________秒.【答案】40【解答】蚂蚁要从立体的左侧地面经所标出的点爬到右侧的地面, 向上至少爬行6212236⨯+⨯=厘米, 需要18秒钟, 向下至少爬行36厘米, 需要12秒钟, 平行爬行40122422=⨯+⨯⨯厘米, 需要10秒钟. 因此至少需要40秒钟.5. 设a , b , c , d , e 均是自然数, 并且e d c b a <<<<, 3005432=++++e d c b a , 则b a +的最大值为________.【答案】35【解答】因为 e d c b a <<<<, 所以b b a 2<+, 并且.32)(21532)(7267)1(62614)3(5)2(4)1(325432300++>+++=+++++≥++=+++++++≥++++=b a b b a b b a a b a b b b b a e d c b a 由此得到151135+<+b a . 所以b a +最大不能超过35. 另一方面, 令 22,20,19,18,17=====e d c b a , 则35=+b a 且满足3005432=++++e d c b a .最终得到, b a +的最大值为35.6. 现有甲、乙、丙三个容量相同的水池. 一台A 型水泵单独向甲水池注水, 一台B 型水泵单独向乙水池注水, 一台A 型和一台B 型水泵一起向丙水池注水. 已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多4个小时, 注满甲水池比注满乙水池所需时间多5个小时, 则注满丙水池的三分之二需要________个小时.【答案】4【解答】A 型和B 型水泵一起向丙水池注水, 设注满水池需要t 小时, 则注满乙和甲水池需要的时间分别是 )4(+t 个小时和 )9(+t 个小时. 可列出方程:14191=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++t t t , 解得6=t , 4326=⨯. 7. 用八块棱长为1 cm 的小正方块堆成一立体, 其俯视图如右图所示, 问共有多少种不同的堆法（经旋转能重合的算一种堆法）?【答案】10【解答】底层已用了四块小方体, 考虑第二层分别有一、二、三、四块的情况. 见下图, 第二层有一块, 只有1种堆法; 第二层有两块, 有5种堆法; 第二层有三块, 有3种堆法; 第二层有四块, 只有1种堆法,总计有10种堆法.8. 如右图, 在三角形ABC 中, BF AF 2=, AE CE 3=, BD CD 4=. 连接CF 交DE 于P 点, 求DPEP 的值. 【答案】815 【解答】如右图所示, 设x SBDF =∆. 因为BD CD 4=, 所以x S FDC 4=∆,x S CFB 5=∆.因为BF AF 2=, 所以2==∆∆BF AF S S CFB CAF , 得x S CAF 10=∆. 因为31==∆∆CE AE S S EFC AFE , 所以x S EFC 215=∆. 因为DPPE S S S S CPD CEP DPF EFP ==∆∆∆∆, 所以815==∆∆FDC EFC S S DP PE . 9. 答案：A 处（1）讨论变化趋势，比较A 、B 两点设仓库可知A →B 运费越来越高，而B →A 则运费越来越低，同理可知C →B 运费越来越低，而B →C 则运费越来越高。

第10～16届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题详细解释答案

第十届全国"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛试题一、填空（每题10分，共80分）1．下表中每一列为同一年在不同历法中的年号，请完成下表：第1小题：2．计算：① 18.3×0.25+5.3÷0.4-7.13 = ( ); ②= ( )。

答案：10.695；13.计算机中最小的存储单位称为“位”，每个“位”有两种状态：0和1。

一个字节由8个“位”组成，记为B。

常用KB，MB等记存储空间的大小，其中1KB=1024B， 1MB=1024KB。

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如果当前的下载速度为每秒72KB，则下载完毕还需要（）分钟。

（精确到分钟）答案：174．a，b和c都是二位的自然数，a，b的个位分别是7与5，c的十位是1。

如果它们满足等式ab+c=2005，则a+b+c=( )。

答案：1025.一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点，沿这三条棱的三个中点，从这个正方体切下一个角，这样一共切下八个角，则余下部分的体积（图1中的阴影部分）和正方体体积的比是（）。

答案：6．某种长方体形的集装箱，它的长宽高的比是4∶3∶2，如果用甲等油漆喷涂它的表面，每平方米的费用是0.9元，如果改用乙等油漆，每平方米的费用降低为0.4元，一个集装箱可以节省6.5元，则集装箱总的表面积是（）平方米，体积是（）立方米。

答案：13：37．一列自然数0，1，2，3，…，2005，…，2004，第一个数是0，从第二个数开始，每一个都比它前一个大1，最后一个是2024。

现在将这列自然数排成以下数表：规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第（）行和第（）列。

答案：20；458．图2中，ABCD是长方形，E，F分别是AB，DA的中点，G是BF和DE的交点，四边形BCDG 的面积是40平方厘米，那么ABCD的面积是（）平方厘米。

图2答案：60二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题10分，共40分）9．图3是由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成。