【高中教育】2020(江苏专版)高考数学一轮复习专题2
(江苏专版)2020版高考数学一轮复习 等比数列教案(文)(含解析)苏教版
第三节 等比数列1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q . (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *)；(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)， 则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k，…为等比数列，公比为q k. [小题体验]1．设S n 是等比数列{}a n 的前n 项和，若a 1＝1，a 6＝32，则S 3＝________. 答案：72．在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 7＝________.解析：法一：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，所以q 2·q 4＝4(q 3－1)，即q 6－4q 3＋4＝0，q 3＝2，所以a 7＝q 6＝4.法二：设等比数列{a n }的公比为q, 由a 3a 5＝4(a 4－1)得a 24＝4(a 4－1)，即a 24－4a 4＋4＝0，所以a 4＝2，因为a 1＝1，所以q 3＝2，a 7＝q 6＝4.答案：43．(2018·南京学情调研)已知各项均为正数的等比数列{a n }，其前n 项和为S n .若a 2－a 5＝－78，S 3＝13，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －a 1q 4＝－78，a 11＋q ＋q 2＝13，两式相除得q 2－q －6＝0，即q ＝3或q ＝－2(舍去)，从而得a 1＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝ 3n －1.答案：3n －11．特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n－S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立．[小题纠偏]1．(2019·扬州质检)在等比数列{}a n 中，若a 3＝7，前3项和S 3＝21，则公比q ＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21，则1＋q ＋q2q2＝3，整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.答案：1或－122．各项均为正数的等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 10＝2，S 30＝14，则S 40＝_______. 解析：依题意有S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30仍成等比数列，则2(14－S 20)＝(S 20－2)2，解得S 20＝6.所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，即为2,4,8,16，所以S 40＝S 30＋16＝30.答案：30考点一 等比数列的基本运算重点保分型考点——师生共研 [典例引领]1．(2019·苏北四市调研)在各项均为正数的等比数列{}a n 中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．解析：设等比数列{}a n 的公比为q ，由a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4得q 6＝q 4＋2q 2，q 4－q 2－2＝0，解得q 2＝2，则a 6＝a 2q 4＝4.答案：42．(2018·南通一调)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝________. 解析：法一：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .显然q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q 21－q＝3，a11－q 41－q＝15.解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－2，a 1＝－3.所以S 6＝a 11－q 61－q ＝1×1－261－2＝63或S 6＝a 11－q 61－q ＝－3×[1－－26]1－－2＝63.法二：由S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列可得(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，所以S 6＝63. 答案：63[由题悟法]解决等比数列有关问题的2种常用思想方程的思想等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解分类讨论的思想等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q[即时应用]1．(2019·如东调研)设等比数列{}a n 的前n 项和为S n .若27a 3－a 6＝0，则S 6S 3＝________. 解析：设等比数列的公比为q ，则a 6a 3＝q 3＝27， 所以S 6S 3＝a 1＋a 2＋…＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝1＋a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝1＋q 3＋q 4＋q 51＋q ＋q2＝1＋q 3＝28.答案：282．(2018·苏北四市期末)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2a 2＋3，S 3＝2a 3＋3，则公比q ＝________.解析：显然q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q 21－q＝2a 1q ＋3，a 11－q 31－q＝2a 1q 2＋3，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q ＝3，a 11＋q －q2＝3，解得q ＝2.答案：2考点二 等比数列的判定与证明重点保分型考点——师生共研 [典例引领](2019·南京高三年级学情调研)已知数列{a n }的各项均为正数，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a 2n }的前n 项和为T n ，且3T n ＝S 2n ＋2S n ，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求证数列{a n }为等比数列，并求其通项公式；(3)若k ，t ∈N *，且S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，求k 和t 的值． 解：(1)由3T 1＝S 21＋2S 1，得3a 21＝a 21＋2a 1，即a 21－a 1＝0. 因为a 1＞0，所以a 1＝1.(2)证明：因为3T n ＝S 2n ＋2S n ， ① 所以3T n ＋1＝S 2n ＋1＋2S n ＋1， ②②－①，得3a 2n ＋1＝S 2n ＋1－S 2n ＋2a n ＋1. 因为a n ＋1＞0，所以3a n ＋1＝S n ＋1＋S n ＋2， ③ 所以3a n ＋2＝S n ＋2＋S n ＋1＋2， ④④－③，得3a n ＋2－3a n ＋1＝a n ＋2＋a n ＋1，即a n ＋2＝2a n ＋1， 所以当n ≥2时，a n ＋1a n＝2. 又由3T 2＝S 22＋2S 2，得3(1＋a 22)＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)， 即a 22－2a 2＝0.因为a 2＞0，所以a 2＝2，所以a 2a 1＝2， 所以对∀n ∈N *，都有a n ＋1a n＝2成立，故数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *.(3)由(2)可知S n ＝2n－1.因为S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，所以(S k －S 1)2＝S 1(S t －S k )，即(2k －2)2＝2t －2k， 所以2t＝(2k )2－3·2k＋4，即2t －2＝(2k －1)2－3·2k －2＋1(*)．由于S k －S 1≠0，所以k ≠1，即k ≥2. 当k ＝2时，2t＝8，得t ＝3. 当k ≥3时，由(*)，得(2k －1)2－3·2k －2＋1为奇数， 所以t －2＝0，即t ＝2，代入(*)得22k －2－3·2k －2＝0，即2k＝3，此时k 无正整数解．综上，k ＝2，t ＝3.[由题悟法]等比数列的4种常用判定方法[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．[即时应用](2018·苏州高三期中调研)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且满足a 1＝1，S n ＋1＝3S n ＋1 (n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等比数列，并求其通项公式； (2)在数列{b n }中，b 1＝3，b n ＋1－b n ＝a n ＋1a n(n ∈N *)，若不等式λa n ＋b n ≤n 2对n ∈N *有解，求实数λ的取值范围．解：(1)证明：因为S n ＋1＝3S n ＋1，所以S n ＝3S n －1＋1(n ≥2)， 两式相减得a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又当n ＝1时，由S 2＝3S 1＋1，得a 2＝3，符合a 2＝3a 1， 所以a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，通项公式为a n ＝3n －1. (2)因为b n ＋1－b n ＝a n ＋1a n＝3， 所以{b n }是以3为首项，3为公差的等差数列， 所以b n ＝3＋3(n －1)＝3n ，所以λa n ＋b n ≤n 2，即3n －1·λ＋3n ≤n 2，即λ≤n 2－3n3n －1对n ∈N *有解，设f (n )＝n 2－3n3n －1(n ∈N *)，因为f (n ＋1)－f (n )＝n ＋12－3n ＋13n －n 2－3n 3n －1＝－2n 2－4n ＋13n，所以当n ≥4时，f (n ＋1)＜f (n )，当n ＜4时，f (n ＋1)＞f (n )， 所以f (1)＜f (2)＜f (3)＜f (4)＞f (5)＞f (6)＞…， 所以f (n )max ＝f (4)＝427，所以λ≤427，即实数λ的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，427. 考点三 等比数列的性质重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2018·南京调研)已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11＝________.解析：由等差数列的性质，得a 6＋a 8＝2a 7.由a 6－a 27＋a 8＝0，可得a 7＝2，所以b 7＝a 7＝2.由等比数列的性质得b 2b 8b 11＝b 2b 7b 12＝b 37＝23＝8.2．设等比数列{}a m 的前n 项积为T n (n ∈N *)，若a m －1a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m＝________.解析：因为{}a m 为等比数列，所以a m －1·a m ＋1＝a 2m .又a m －1·a m ＋1－2a m ＝0，所以得a m ＝2.因为T 2m －1＝a 2m －1m，所以22m －1＝128，解得m ＝4.答案：43．在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________.解析：因为1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，由等比数列的性质知a 7a 10＝a 8a 9，所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝158×⎝ ⎛⎭⎪⎫－89＝－53.答案：－53[由题悟法]掌握运用等比数列性质解题的2个技巧(1)在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a 1，q 满足的方程组求解，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度，要注意挖掘已知和隐含的条件．(2)利用性质可以得到一些新数列仍为等比数列或为等差数列，例如：①若{a n }是等比数列，且a n ＞0，则{log a a n }(a ＞0且a ≠1)是以log a a 1为首项，log a q 为公差的等差数列．②若公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n.[即时应用]1．(2019·张家港调研)已知等比数列{}a n 的各项均为正数，且满足a 1a 9＝4，则数列{log 2a n }的前9项之和为________．解析：∵a 1a 9＝a 25＝4，∴a 5＝2，∴log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 9＝log 2(a 1a 2…a 9)＝log 2a 95＝9log 2a 5＝9. 答案：92．(2018·镇江调研)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以3n －6＝36，即n ＝14.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·如东中学检测)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，则a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6＝________.解析：a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6＝a 1＋a 3＋a 5q a 1＋a 3＋a 5＝a 1＋a 3＋a 5－12a 1＋a 3＋a 5＝－2.答案：－22．(2018·盐城期中)在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝2，则a 9＋a 10＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 3＋a 4＝q 2(a 1＋a 2)，所以q 2＝2，所以a 9＋a 10＝q 8(a 1＋a 2)＝16.答案：163．(2018·苏州期末)设各项均为正数的等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，已知a 2＝6，a 3－3a 1＝12，则S 5＝________.解析：∵a 2＝6，a 3－3a 1＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，a 1q 2－3a 1＝12且q ＞0，解得a 1＝2，q ＝3， ∴S 5＝21－351－3＝242.答案：2424．在等比数列{a n }中，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a 6＝________. 解析：由题意得，a 2·a 4＝a 1·a 5＝16，所以a 2＝2，所以q 2＝a 4a 2＝4，所以a 6＝a 4q 2＝32. 答案：325．(2019·南京一模)若等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 6＝3S 3，则a 7的值为________．解析：设等比数列{}a n 的公比为q ， 因为a 1＝1，S 6＝3S 3， 当q ＝1时，不满足S 6＝3S 3；当q ≠1时，可得q 6－1q －1＝3q 3－1q －1，化简得q 3＋1＝3，即q 3＝2， 所以a 7＝a 1q 6＝4. 答案：46．(2018·常州期末)已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋a 2＝49，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝40，则a 7＋a 8＋a 99的值为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝a 11＋q ＝49，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝a 1q 2＋q 3＋q 4＋q 5＝40，两式相除可得q 2＋q 4＝90，即q 2＝－10(舍)或q 2＝9.又a n ＞0，所以q ＝3，故a 1＝19，所以a 7＋a 8＋a 9＝34＋35＋36＝1 053，即a 7＋a 8＋a 99＝117.答案：117二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·徐州期末)设等比数列{}a n 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S 2是S 3与S 4的等差中项，则实数q 的值为________．解析：∵S 2是S 3与S 4的等差中项， ∴2S 2＝S 3＋S 4，∴2a 3＋a 4＝0， 解得q ＝－2. 答案：－22．(2019·如皋模拟)已知数列{}a n 是正项等比数列，满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *)，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2，则log 2(a 51＋a 52＋a 53＋a 54＋a 55)＝________.解析：∵log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，∴log 2a n ＋1a n＝1，可得q ＝ 2. ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2， ∴log 2(a 51＋a 52＋a 53＋a 54＋a 55)＝log 2[(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)q 50]＝log 2251＝51. 答案：513．设等比数列{}a n 的公比为q (0＜q ＜1)，前n 项和为S n .若存在m ∈N *，使得a m ＋a m ＋2＝52a m ＋1，且S m ＝1 022a m ＋1，则m 的值为________． 解析：∵a m ＋a m ＋2＝52a m ＋1，S m ＝1 022a m ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q m －1＋a 1q m ＋1＝52a 1q m，a 11－q m1－q ＝1 022a 1q m，解得m ＝9，q ＝12.答案：94．(2018·启东检测)数列{a n }满足a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n－1}是等比数列，则λ＝________.解析：由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －2λ.因为数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.答案：25．(2019·姜堰模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝2728，则a 5a 3＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3S 6＝2728， 得q ≠1，a 11－q 31－q a 11－q 61－q ＝2728，化简得11＋q 3＝2728，解得q ＝13. 所以a 5a 3＝q 2＝19.答案：196．(2018·海安中学测试)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m ＝________.解析：由等比数列的性质可知a m ＋1·a m －1＝a 2m ＝2a m (m ≥2)，所以a m ＝2，即数列{a n }为常数列，a n ＝2，所以T 2m －1＝22m －1＝512＝29，即2m －1＝9，所以m ＝5.答案：57．已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项和S 9＝________.解析：由已知，得a 2n ＋1＝4a n a n ＋1－4a 2n ， 即a 2n ＋1－4a n a n ＋1＋4a 2n ＝(a n ＋1－2a n )2＝0， 所以a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故S 9＝2×1－291－2＝210－2＝1 022.答案：1 0228．(2019·徐州调研)已知正项等比数列{}a n 的前n 项和为S n 且S 8－2S 4＝6，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为________．解析：因为S 8－2S 4＝6，所以S 8－S 4＝S 4＋6.由等比数列的性质可得，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列， 所以S 4(S 12－S 8)＝(S 8－S 4)2，所以a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8＝S 4＋62S 4＝S 4＋36S 4＋12≥24，当且仅当S 4＝6时等号成立．故a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为24. 答案：249．在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1＝1，a 2，a 4，a 8成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 1＋3d 2＝a 1＋d a 1＋7d ，解得d ＝1或d ＝0(舍去)， 所以a n ＝1＋(n －1)＝n . (2)由(1)得a n ＝n ， 所以b n ＝2n， 所以b n ＋1b n＝2，所以{b n }是首项为2，公比为2的等比数列， 所以T n ＝21－2n1－2＝2n ＋1－2.10．(2018·苏州高三期中调研)已知数列{a n }各项均为正数，a 1＝1，a 2＝2，且a n a n ＋3＝a n ＋1a n ＋2对任意n ∈N *恒成立，记{a n }的前n 项和为S n .(1)若a 3＝3，求a 5的值；(2)证明：对任意正实数p ，{a 2n ＋pa 2n －1}成等比数列；(3)是否存在正实数t ，使得数列{S n ＋t }为等比数列．若存在，求出此时a n 和S n 的表达式；若不存在，说明理由．解：(1)因为a 1a 4＝a 2a 3，所以a 4＝6， 又因为a 2a 5＝a 3a 4，所以a 5＝32a 4＝9.(2)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧a n a n ＋3＝a n ＋1a n ＋2，a n ＋1a n ＋4＝a n ＋2a n ＋3，两式相乘得a n a n ＋1a n ＋3a n ＋4＝a n ＋1a 2n ＋2a n ＋3， 因为a n ＞0，所以a n a n ＋4＝a 2n ＋2(n ∈N *)， 从而{a n }的奇数项和偶数项均构成等比数列，设公比分别为q 1，q 2，则a 2n ＝a 2q n －12＝2q n －12，a 2n －1＝a 1q n －11＝q n －11， 又因为a n ＋3a n ＋2＝a n ＋1a n ，所以a 4a 3＝a 2a 1＝2＝2q 2q 1，即q 1＝q 2， 设q 1＝q 2＝q ，则a 2n ＋pa 2n －1＝q (a 2n －2＋pa 2n －3)，且a 2n ＋pa 2n －1＞0恒成立， 所以数列{a 2n ＋pa 2n －1}是首项为2＋p ，公比为q 的等比数列．(3)法一：在(2)中令p ＝1，则数列{a 2n ＋a 2n －1}是首项为3，公比为q 的等比数列， 所以S 2k ＝(a 2k ＋a 2k －1)＋(a 2k －2＋a 2k －3)＋…＋(a 2＋a 1)＝⎩⎪⎨⎪⎧3k ，q ＝1，31－q k1－q ，q ≠1，S 2k －1＝S 2k －a 2k ＝⎩⎪⎨⎪⎧3k －2q k －1，q ＝1，31－q k 1－q －2q k －1，q ≠1，且S 1＝1，S 2＝3，S 3＝3＋q ，S 4＝3＋3q ， 因为数列{S n ＋t }为等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧S 2＋t 2＝S 1＋t S 3＋t ，S 3＋t2＝S 2＋tS 4＋t ，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋t2＝1＋t 3＋q ＋t ，3＋q ＋t 2＝3＋t3＋3q ＋t ，即⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋6＝q 1＋t，t ＝q －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－3，q ＝0(舍去)．所以S 2k ＝4k－1＝22k－1，S 2k －1＝22k －1－1，从而对任意n ∈N *有S n ＝2n－1， 此时S n ＋t ＝2n，S n ＋tS n －1＋t＝2为常数，满足{S n ＋t }成等比数列，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n－2n －1＝2n －1，又a 1＝1，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)，综上，存在t ＝1使数列{S n ＋t }为等比数列，此时a n ＝2n －1，S n ＝2n－1(n ∈N *)．法二：由(2)知a 2n ＝2qn －1，a 2n －1＝qn －1，且S 1＝1，S 2＝3，S 3＝3＋q ，S 4＝3＋3q ，因为数列{S n ＋t }为等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧S 2＋t 2＝S 1＋t S 3＋t ，S 3＋t2＝S 2＋tS 4＋t ，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋t2＝1＋t 3＋q ＋t ，3＋q ＋t 2＝3＋t3＋3q ＋t ，即⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋6＝q 1＋t，t ＝q －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧t ＝3，q ＝0(舍去)．所以a 2n ＝2qn －1＝22n －1，a 2n －1＝22n －2，从而对任意n ∈N *有a n ＝2n －1，所以S n ＝20＋21＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n－1， 此时S n ＋t ＝2n，S n ＋tS n －1＋t＝2为常数，满足{S n ＋t }成等比数列，综上，存在t ＝1使数列{S n ＋t }为等比数列，此时a n ＝2n －1，S n ＝2n －1(n ∈N *).三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 1≥1，a 2≤2，a 3≥3，则a 4的取值范围是________． 解析：设{a n }的公比为q ，则根据题意得q ＝a 2a 1＝a 3a 2， ∴32≤q ≤2，a 4＝a 3q ≥92，a 4＝a 2q 2≤8，∴a 4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤92，8. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤92，8 2．(2018·泰州中学高三学情调研)设正项等比数列{a n }满足2a 5＝a 3－a 4，若存在两项a n ，a m ，使得a 1＝4a n ·a m ，则m ＋n ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q .正项等比数列{a n }满足2a 5＝a 3－a 4，则2a 3q 2＝a 3(1－q )，可得2q 2＋q －1＝0，q ＞0，解得q ＝12，若存在两项a n ，a m ，使得a 1＝4a n ·a m ，可得a 1＝4a 21⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＋n －2，所以m ＋n ＝6. 答案：63．(2019·苏锡常镇调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且对任意的正整数n ，都有S n ＋1＝λS n ＋3n ＋1，其中常数λ＞0.设b n ＝a n3n (n ∈N *)．(1)若λ＝3，求数列{}b n 的通项公式； (2)若λ≠1且λ≠3，设c n ＝a n ＋2λ－3·3n (n ∈N *)，证明数列{}c n 是等比数列； (3)若对任意的正整数n ，都有b n ≤3，求实数λ的取值范围． 解：因为S n ＋1＝λS n ＋3n ＋1，n ∈N *，所以当n ≥2时，S n ＝λS n －1＋3n， 从而a n ＋1＝λa n ＋2·3n，n ≥2，n ∈N *﹒ 在S n ＋1＝λS n ＋3n ＋1中，令n ＝1，可得a 2＝λa 1＋2×31，满足上式，所以a n ＋1＝λa n ＋2·3n，n ∈N *.(1)当λ＝3时， a n ＋1＝3a n ＋2·3n，n ∈N *，从而a n ＋13n ＋1＝a n 3n ＋23，即b n ＋1－b n ＝23，又b 1＝a 13＝1，所以数列{}b n 是首项为1，公差为23的等差数列，所以b n ＝1＋(n －1)×23＝2n ＋13.(2)证明：当λ＞0且λ≠3且λ≠1时，c n ＝a n ＋2λ－3·3n ＝λa n －1＋2·3n －1＋2λ－3·3n＝λa n －1＋2λ－3·3n －1(λ－3＋3) ＝λ⎝⎛⎭⎪⎫a n －1＋2λ－3·3n －1＝λ·c n －1， 又c 1＝3＋6λ－3＝3λ－1λ－3≠0， 所以{}c n 是首项为3λ－1λ－3，公比为λ的等比数列，故c n ＝3λ－1λ－3·λn －1.(3)在(2)中，若λ＝1，则c n ＝0也可使a n 有意义，所以当λ≠3时，c n ＝3λ－1λ－3·λn－1.从而由(1)和(2)可知a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1·3n －1， λ＝3，3λ－1λ－3·λn －1－2λ－3·3n，λ≠3.当λ＝3时，b n ＝2n ＋13，显然不满足条件，故λ≠3.当λ≠3时，b n ＝λ－1λ－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫λ3n －1－2λ－3. 若λ＞3,λ－1λ－3＞0，b n ＜b n ＋1，n ∈N *，b n ∈[1，＋∞)，不符合，舍去． 若0＜λ＜1，λ－1λ－3＞0，－2λ－3＞0，b n ＞b n ＋1，n ∈N *，且b n ＞0. 所以只需b 1＝a 13＝1≤3即可，显然成立． 故0＜λ＜1符合条件；若λ＝1，b n ＝1，满足条件．故λ＝1符合条件； 若1＜λ＜3，λ－1λ－3＜0，－2λ－3＞0， 从而b n ＜b n ＋1，n ∈N *， 因为b 1＝1＞0.故b n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，－2λ－3， 要使b n ≤3恒成立，只需－2λ－3≤3即可． 所以1＜λ≤73.综上所述，实数λ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，73.。
高考总复习课程--2020年高考数学(理)第一轮复习(江苏版) 讲义： 答案 .doc
讲义参考答案第1讲 集合与简易逻辑金题精讲题一：1．题二： ①16；②29． 题三：B ． 题四：B ． 题五：C ． 题六：A ． 题七：A ．第2讲 函数及其性质经典精讲题一：[3,1];[0,2];[3,1]--- 题二：（3） 题三：2 题四：（3）（4） 题五：（3）（4） 题六：（1）(5,1) （2）2，左，1 （3）x = -1第3讲 函数及其性质2018新题赏析金题精讲 题一：C 题二：B题三：[1,3] 题四：(0,1][3,)+∞U 题五:9(,]2-∞题六：8第4讲 平面向量金题精讲题一：题二： 4， 题三：A ． 题四：6． 题五：B ． 题六：3．题七：① 1Q ；② 2p ．第5讲 三角函数与三角恒等变换经典精讲金题精讲题一：75 题二：5665-题四：A 题五：A题六：(1)6x 5π=；(2)0x =时，()f x 取得最大值为3，56x π=时，()f x 取得最小值为- 题七：2第6讲 三角函数与三角恒等变换2018新题赏析金题精讲题一：79-题二：D 题三：D 题四：A题五：(1)2；(2) 最小正周期为π，单调递增区间为[,]()63k k k π2ππ+π+∈Z第7讲 解三角形金题精讲题一：3π题二：B 题三：A 题四：75°题六：(1) 23；(2)3+ 第8讲 不等式经典精讲题一：(1)[24,)+∞ (2)(0,81]题二：(1)(,2-∞- (2)7[,)2+∞ (3)4 题三：不对，正确解法如下： 因为3ab a b =++，所以31a b a +=-， 所以2233(1)5(1)4111a a a a a ab a a a a ++-+-+===--- 495=(1)5=(1)5111a a a a a -++-++----因为9(1)1a a -+≥-，当且仅当4a =时，“=”成立， 又因为51y a =--在(4,)+∞上单调递增， 所以53y ≥-，所以5286533ab ≥+-=， 故ab 的取值范围是28[,)3+∞. 题四：(0,1)第9讲 线性规划经典精讲题一：4题二：(1，3] 题三：7题四：4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦第10讲 数列经典精讲金题精讲题一：－24． 题二：21nn +． 题三：(1)32n a n =-，2nn b =；(2)1328433n n +-⨯+．题四：(1)证明：因为{}n a 是等差数列，所以112n n n a a a -++=①；222n n n a a a -++=②；332n n n a a a -++=③，由①+②+③可得：3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=于是得到等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;(2)证明：因为数列{}n a 是“(2)P 数列”，所以21124n n n n n a a a a a --+++++=①； 又因为数列{}n a 是“(3)P 数列”，所以3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=②， 由②-①得332n n n a a a -++=，于是得到33,,n n n a a a -+是等差数列，故147,,a a a 、258,,a a a 、369,,a a a …成等差数列，设147,,a a a 的公差为13d ，258,,a a a 的公差为23d ，369,,a a a 的公差为33d ，…，当3n =时，124534a a a a a +++=④， 当4n =时，235644a a a a a +++=⑤，当5n =时，346754a a a a a +++=⑥ …将首项和公差代入上述式子可得：1212322334a a d d a +++=⑦ 2323112233412a a d d a d +++=+⑧ 1331222239412a a d d a d +++=+⑨由⑦+⑧+⑨可得：23d d =，将23d d =代入分别代入⑦、⑧、⑨整理可得13d d =， 于是有123d d d ==，将123d d d ==代入1331222239412a a d d a d +++=+ 可得到2132a a a =+，故数列123,,a a a 是等差数列，设其公差为d '，于是有2131,2a a d a a d =+=+''，将其代入⑦可得1d d ='，于是有123d d d d ==='，故数列{}n a 是等差数列.第11讲 数列2018新题赏析金题精讲 题一： 4． 题二： 3． 题三： A ． 题四： (1)221n a n =-；(2)数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为 221n n T n =+．题五： (1)12n n x -=；(2)(21)212n n n T -⨯+=．第12讲 导数及其应用经典精讲题一：4题二：题三：(1)极大值为(1)4f -=-，极小值为1112()327f -=- (2)a ≤5 题四：(1)2()ln 1f x x x x =-- (2)1-(3)证明：要证函数2()e x y f x x x =-+的图象在直线21y x =--的下方 只需证 2()e 210x f x x x x -+++<， 即要证e 20ln x x x x x +<-，所以只要证e 2ln 0x x +-<， 令e 2()ln x h x x +=-，则1e ()x xh x '=-， 根据函数1xy =和e x y =的图象，可知 0(0,1)x ∃∈，使得0001e 0()x x x h ='=-所以0()()x x h h ≤， 又因为001e x x =，所以00e x x -=，故 00000002000200e 21212(21)(1)0()ln ln x x x x x x x x x x x x h +=+=-+--+=--=<=---也就是()0x h <恒成立，此题得证.第13讲 导数及其应用2018新题赏析金题精讲 题一：①④ 题二：1[1,]2-题三：(1)()f x 在(－∞，－ln a )单调递减，在(－ln a ，+∞)单调递增；(2) (0，1)第14讲 巧用导数解决实际应用问题 题一：(1)3312m ；(2)23；题二：(1)222()S r x r x =+-(0,)r ；233. 第15讲 空间立体几何经典精讲323,24π+163 3 题三：（Ⅰ）证法一：因为E ，F 分别是P A ，PD的中点，所以EF∥AD.又因为AD∥BC，所以EF∥BC.因为E，H分别为P A，AB的中点，所以EH∥PB，又因为PB∩BC=B，EF∩EH=E，所以平面EFH∥平面PBC，又PC⊂平面PBC，所以PC∥平面EFH.证法二：连接AC，BD，设交点为O，连接HO，FO，因为O，H分别是BD，AB的中点，E，F分别是P A，PD的中点，所以EF∥AD，EF=12AD，OH∥AD，OH=12AD，所以OH∥EF，OH=EF，所以点O在平面EFH上，所以证PC∥平面EFH，即证PC∥平面EFOH.因为O，E分别是AC，AP的中点，所以EO∥PC，又因为直线PC⊄平面EFOH，所以PC∥平面EFOH.(Ⅱ)证明：因为AP=AD，点F是PD的中点，所以AF⊥PD. 因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥AB.因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD，所以AB⊥平面APD，所以AB⊥PD，即AH⊥PD，又AF⊥PD，AF∩AH=A，所以PD⊥平面AHF，又PD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面AHF.题四：（Ⅰ）证明：因为DE⊥面ACD，AF⊂面ACD，所以DE⊥AF，又因为AF⊥CD，所以AF⊥面BCDE，所以AF BE⊥.（Ⅱ）线段AB上存在点Q，使AC⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取AC AB，的中点G Q，，则GQ//BC，且GQ=12 BC，又因为DE//BC，12DE BC=，所以GQ//DE且GQ=DE，因为AD=CD，所以DG⊥AC，因为DE⊥面ACD，所以DE⊥AC，所以AC⊥面EDGQ，即AC⊥平面DEQ．第16讲空间向量法解立体几何题经典精讲题一：④题二：23题三：(1)当P为AC中点时，PF与BC所成的角是60︒ (2) 60︒题四：(1)证明：∵ABC-A1B1C1为直棱柱，∴C1C⊥面ABC，∴C1C⊥AC，C1C⊥CB，即︒=∠=∠90DCBDCA，∵底面为等腰直角三角形，且90ACB∠=︒，∴CA = CB，在△DCA和△DCB中⎪⎩⎪⎨⎧︒==∠=∠=CBCADCBDCADCDC90∴△DCA≌△DCB（SAS），∴DA=DB，又∵G为ABD∆的重心，∴DG⊥AB，∵E在面ABD上的射影为G，∴EG⊥面ABD，∴EG⊥AB，∵DG⊥AB，EG⊥AB，∴AB⊥面DEG.7第17讲空间立体几何2018新题赏析金题精讲题一：A题二：C10题四：②③题五：(1)证明：∵∠BAP =∠CDP =90°，∴PA ⊥AB ，PD ⊥CD ， ∵AB ∥CD ，∴AB ⊥PD ， 又∵PA ∩PD =P ，且PA ⊂平面PAD ， PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PAD ；(2) 第18讲 直线与圆经典精讲题一：(,[1,)-∞⋃+∞，π2π[,]43题三：(1)24 (2)24题四：(1)320x y ++= (2)22(2)8x y -+= (3)221(22x y x -=≤第19讲 椭圆经典精讲金题精讲题一：D题二：2题三：1题四：题六：(±.第20讲 双曲线与抛物线经典精讲金题精讲题一：B题二：221312x y -=；2y x =±题三：C 题四：C题六：证明：如图，设点11(,)A x y ，点22(,)B x y ，直线:AB l x my t =+， 由22x my t y px=+⎧⎨=⎩，得2220y pmy pt --=，∴2221212122,22y y y y pt x x t p p=-==g ，又∵121k k =-，∴12120x x y y +=， ∴220t pt -=，∴2t p =，（0t =舍）， ∴:2AB l x my p =+，∴AB l 恒过点(2,0)p . 题七：(1) 证明：设直线:AB l x my t =+， 由22x my ty px=+⎧⎨=⎩，得2220y pmy pt --=，∴122y y pt =-，又∵122y y p =-，∴1t =，∴:1AB l x my =+， ∴AB l 恒过点(1,0). (2)（0，4）.第21讲 解析几何2018新题赏析金题精讲题一：(0,1][9,)+∞U题二：22y x =±题三：233题四：(1) 抛物线C 的方程为y 2 = x ，焦点坐标为(14，0)，准线为x =－14； (2) 设过点(0，12)的直线方程为y = kx +12(k ≠ 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴直线OP 为y = x ，直线ON 为y =22y x x ，由题意知A (x 1，x 1)，B (x 1，122x y x )，由212y kx y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得k 2x 2+(k －1)x +14= 0，∴x 1+x 2 =21k k -，x 1x 2 =214k ， 要证A 为线段BM 的中点，只需证211122y x y x x =+，即证2111211222kx x kx x x +=++， 即证1212212111222x x kx x x kx x x =+++， 即证12121(22)()2k x x x x -=+，而12122221111222(1)(22)()(22)02244k k k k x xx x k k k k ------+=-⋅-⋅==∴ A 为线段BM 的中点．第22讲 排列、组合及二项式定理 经典精讲金题精讲题一：14 题二：C 题三：D 题四：-2 题五：10题六：710. 题七：证明：设a n =2n ，b n =n +2，∴数列{a n }是以2首项，公比为2的等比数列， ∴a 1=2．a 2=4．a 3=8，知a 1、a 2显然不是数列{b n }中的项． ∵a 3=8=3×2+2，∴a 3是数列{b n }中的第2项，设a k =2k 是数列{b n }中的第m 项，则2k =3m +2（k 、m ∈N *）， ∵a k+1=2k+1=2×2k =2（3m +2）=3（2m +1）+1， ∴a k+1不是数列{b n }中的项，∵a k +2=2k +2=4×2k =4（3m +2）=3（4m +2）+2， ∴a k +2是数列{b n }中的项，∴c 1=a 3，c 2=a 5，c 3=a 7，…，c n =a 2n +1， ∴数列{c n }的通项公式是c n =22n +1（n ∈N *）， ∴{c n }是等比数列. 题八：(1)72；432.(2) 有五位数，无六位数. (3)4012第23讲 统计与两个概型经典精讲金题精讲 题一：B 题二：（I ）1315；（II ）78题三：B题四：（1）B 地区用户满意度评分的频率分布直方图如下：B 地区用户满意度评分的频率分布直方图通过直方图比较可以看出，B 地区满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值，B 地区用户满意度评分比较集中，而A 地区用户满意度评分比较分散； （2）A 地区的满意度等级为不满意的概率大，理由略. 题五：23题六：(I) 1.2 3.6y t =+$；(II)10.8(千亿元).第24讲 离散型随机变量及 其分布列、期望经典精讲 金题精讲 题一：1.96． 题二：(1)0.3； (2)ξ的分布列如下：ξ 0 12P16 23 16E (ξ)=1；(3) 100名患者中服药者指标y 数据的方差比未服药者指标y 数据的方差大． X 0 123P14 1124 14 124E (X )=12； (2)1148． 题四：(1)518；(2)X X1234EX =2． 题五：(1)23； (2)X数学期望EX =236． 第25讲 概率统计2018新题赏析金题精讲题一：25 题二：59题三：π8题四：A 题五：B题六：(1)0.4；(2)20；(3)3:2．题七：(1)0.6；(2) Y 的所有可能值为900,300,－100；Y 大于零的概率为0.8．第26讲 几何证明选讲(选修4-1) 题一：点P 的轨迹是223(0)x y y +=≠所表示的两个半圆. 题二：题三：43题四：11第27讲 矩阵与变换(选修4-2)题一：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92－15 －1 题二：（Ⅰ）1a =，1b =-；（Ⅱ）(1,0)题三：1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦题四：（1）312221⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；（2）32223⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎣⎦题五：矩阵A ＝1120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其另一个特征值为1. 第28讲 坐标系与参数方程（选修4-4）金题精讲题二：1 题三：（1）1C ：cos 2ρθ=-， 2C ：22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）12题四：78第29讲 不等式选讲(选修4-5)金题精讲题一：(,8]-∞ 题二：1a ≤时，x ∈∅；12a <≤时，533a a x +-<<； 2a >时，5533a a x -+<<题三：（Ⅰ）2|23x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）(2,)+∞.第30讲 复数题二：(31)-， 题三：i 题四：i 题五：−3题六：1第31讲 定积分都考啥题一：2题三：3ln 22-题四：13第32讲 算法金题精讲 题一：8. 题二：②.题三：(1) {1,3,5,7,9,11,13}，a n =2n -1 （n ∈N +且n ≤7）；(2) a =2；(3) a =a +3. 题四：12na a a n+++…；样本平均数.题五：2.第33讲 高考数学一轮复习综合 验收题精讲(一)金题精讲题一：1 题二：12题三：7或8 题四：（Ⅰ）π；（Ⅱ）最大值为2，最小值为－1. 题五：（Ⅰ）2y x =； （Ⅱ）令3()()2()3x g x f x x =-+，则4222()()2(1)1x g x f x x x ''=-+=-，因为()0g x '>(01)x <<，所以()g x 在区间(0,1)上单调递增， 所以()(0)0g x g >=，(0,1)x ∈， 即当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+；（Ⅲ）2.第34讲 高考数学一轮复习综合 验收题精讲(二)金题精讲题一：3R π 题二：1a题三：2sin 4y x =+题四：7 题五：14 题六：（1）连接BD ，∵底面ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ， ∵BB 1⊥底面ABCD ，∴BB 1⊥AC ，∵BD ∩BB 1=B ，∴ AC ⊥面DBB 1，∴AC ⊥B 1D ； （2）60°.题七：（Ⅰ）37；（Ⅱ）1049；（Ⅲ）11a =或18a =. 第35讲 集合与常用逻辑用语经典回顾题一：(){2,4,8}U A B =U ð．第36讲 函数的概念及其性质经典回顾题一：-8．题二：（Ⅰ）(0)0f =，(1)0f =； （Ⅱ）()f x 是奇函数, 证明：因为2(1)[(1)](1)(1)0f f f f =-=----= 所以(1)0f -=()(1)()(1)()f x f x f x xf f x -=-⋅=-+-=- 因此()f x 是奇函数 题三：（Ⅰ）(0)1f =；（II ）证明：设1212,,x x x x <∈R ， 212111211121()()()()()()1()()1f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=-+-=-+--=--∵210x x ->∴2121()1,()10f x x f x x ->--> 所以21()()f x f x > 因此()f x 在R 上是增函数.第37讲 数列经典回顾开心自测题一：24. 题二：!2n 金题精讲 题一： 60. 题二：（Ⅰ）13n na ∴=； （Ⅱ）1(21)3344n n n S +-∴=+．题三：（Ⅰ）*65()n a n n N =-∈；（Ⅱ）10．第38讲 导数及其应用经典回顾金题精讲 题一：（Ⅰ）32()312f x x x x =-+； （Ⅱ）a 的取值范围是[]1,9．题二：(Ⅰ) ()f x 的减区间是(,ln 2)-∞， 增区间是(ln 2,)+∞，ln2()(ln 2)2ln 2222ln 22f x f e a a ==-+=-+极小(Ⅱ) 证明：设()221e R x g x x ax x =-+-∈，，∴()2e R 2x g x x a x '=-+∈，，由(Ⅰ)知当ln21a -＞时，()g x '最小值为 ()()ln221ln20g a '=-+＞，∴对任意R x ∈，都有()0g x '＞， 所以()g x 在R 内单调递增；∴当ln21a -＞时，对任意0()x ∈+∞，， 都有()()0g x g ＞，而()00g =， 从而对任意()00()x g x ∈+∞，，＞， 即221e 0x x ax -+-＞，故221e x x ax -+＞.第39讲 复数与算法初步经典回顾金题精讲题一：30． 题二：3．第40讲 推理与证明问题经典回顾开心自测 题一：81248,T T T T ． 题二：证明：假设T 为奇数,则1271,2,,7a a a ---L 均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数()()()()()1271271271027a a a a a a -+-++-+++-=+=+=+L L L ，但0≠奇数,这一矛盾说明T 为偶数.金题精讲题一：2222ABC ACD ADB BCD S S S S ++=△△△△．题二：2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-L ． 题三：1()(())n n f x f f x -==(21)2n nxx -+.题四：（1）13{,}a a 是E 的第5个子集． （2）E 的第211个子集是12578{,,,,}a a a a a ． 题五：证明：（用反证法）假设c b a ,,都不大于0，即0,0,0≤≤≤c b a ， 则有0≤++c b a ， 而222222(2)(2)(2)236(1)(1)(1)()3236a b cx y y z z x x y z ππππππ++=-++-++-+=-+-+-+++- =3)1()1()1(222-+-+-+-πz y x∴222)1(,)1(,)1(---z y x 均大于或等于0，03>-π，∴0>++c b a ，这与假设0≤++c b a 矛盾，故c b a ,,中至少有一个大于0.第41讲 选修4经典回顾开心自测题一：{11}x x -≤≤． 题二：98a ．金题精讲题一：CE题二：3)4π． 题三：（Ⅰ）2a =．（Ⅱ）m 的取值范围是(,5]-∞．。
(江苏专版)高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第五节指数与指数函数实用课件文
答案：－1967
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39
2. a 2 a－3÷ 3 a－73 a13＝________.
解析：原式＝(a
9 2
a
3 2
)
1 3
÷(a
7 3
a
13 3
)
1 2
＝(a3)
1 3
÷(a2)
1 2
＝a÷a＝1.
答案：1
4
1
3. 4b
a 3 －8a 3 b
2 3
＋23
ab＋a
2 3
÷a
2 3
3
1．指数函数的图象
函数
y＝ax(a＞0，且 a≠1)
0＜a＜1
a＞1
图象
在 x 轴_上__方_，过定点_(0_,_1_)
图象
特征 当 x 逐渐增大时，图象逐渐 当 x 逐渐增大时，图象
下___降_
逐渐_上__升_
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2.指数函数图象画法的三个关键点 画指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键 点：(1，a)，(0,1)，－1，1a. 3．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图 象，底数 a，b，c，d 与 1 之间的大小关系为 c＞d＞1＞a＞b.
2
1
2
又因为 a＝2 3 ＝4 3 ，c＝25 3 ＝5 3 ，
2
由函数 y＝x 3 在(0，＋∞)上为增函数知，a＜c.
综上得 b＜a＜c. [答案] c＞a＞b
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[方法技巧] 比较指数式大小的方法
比较两个指数式大小时，尽量化同底或同指． (1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利 用指数函数性质比较大小． (2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图 象比较大小． (3)当底数不同，指数也不同时，常借助 1,0 等中间量进行 比较．
江苏专版2020届高三数学一轮复习《数列》典型题精选精练附答案详析
3、（南京市 13 校 2019 届高三 12 月联合调研）设等比数列 {an }的前 n 项积为 Pn ，若 P12 = 32P7 ，则
a10 的值是 ▲ ．
4、（苏州市
2019
届高三上学期期中）已知等比数列an 的前 n 项和为 Sn
，S4 S2
4
，则
S8 S4
▲．
5、（徐州市 2019 届高三上学期期中）已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ， S11 132 ， a6 a9 30 ， 则 a12 的值为 ▲ ．
（3）若数列 an
的各项均为正数，且an M
，数列
4n
an
中是否存在无穷多项依次成等差数列，
若存在，给出一个数列an 的通项；若不存在，说明理由．
4、（南京市 2018 高三 9 月学情调研）已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前 n 项和为 Sn， 数列{an2}的前 n 项和为 Tn，且 3Tn＝Sn2＋2Sn，n∈N*． （1）求 a1 的值； （2）求数列{an}的通项公式； （3）若 k，t∈N*，且 S1，Sk－S1，St－Sk 成等比数列，求 k 和 t 的值．
．
11、（苏锡常镇四市 2019 届高三教学情况调查（二））已知数列an 是各项都不为 0 的无穷数列，
(江苏专版)2020版高考数学一轮复习 抛物线教案(理)(含解析)苏教版
第七节抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线2x 2＋y ＝0的准线方程为________． 解析：∵抛物线的标准方程为x 2＝－12y ，∴2p ＝12，∴ p 2＝18，故准线方程为y ＝18. 答案：y ＝182．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________． 解析：M 到准线的距离等于M 到焦点的距离， 又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，所以y ＝1516.答案：15163．若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为________．解析：由题意知，抛物线的准线为x ＝－p2.因为点P (2，y 0)到其准线的距离为4，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p 2－2＝4，所以p ＝4.所以抛物线的标准方程为y 2＝8x . 答案：y 2＝8x1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视，只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．[小题纠偏]1．平面内到点(1,1)与到直线x ＋2y －3＝0的距离相等的点的轨迹是________． 答案：一条直线2．抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________． 解析：由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .所以2p ＝18，p ＝116，所以焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，－132考点一 抛物线定义及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2019·徐州调研)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝16x 上横坐标为1的点到其焦点的距离为________．解析：抛物线y 2＝16x 中，p ＝8，∴准线方程为x ＝－4，∵抛物线y 2＝16x 上横坐标为1的点到其焦点的距离即为到其准线的距离， ∴d ＝1－(－4)＝5. 答案：52．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则PF 的最小值为________． 解析：设点P 到准线的距离为d ，则有PF ＝d ， 又抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝12y,则其准线方程为y ＝－18，所以当点P 在抛物线的顶点时，d 有最小值18，即PF 的最小值为18.答案：183．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．解析：由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于PF ，故动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.答案：2[由题悟法]应用抛物线定义的2个关键点(1)涉及抛物线的焦点和准线的有关问题，应充分利用抛物线的定义求解．由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离PF ＝|x |＋p 2或PF ＝|y |＋p2.[即时应用]1．(2018·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________．解析：由题意AF 与x 轴正半轴所成角为120°，PA ＝PF ，所以△PAF 为正三角形． 因为p ＝3，所以PF ＝AF ＝2p ＝6. 答案：62．(2019·镇江调研)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P 到焦点的距离为5，到y 轴的距离为3，则p ＝________.解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p2，由题意可得P 到准线的距离为5，又P 到y 轴的距离为3，故p2＝5－3，解得p ＝4.答案：4考点二 抛物线的标准方程与几何性质 题点多变型考点——多角探明[锁定考向]抛物线的标准方程及性质是高考的热点． 常见的命题角度有： (1)根据性质求方程； (2)抛物线的对称性；(3)抛物线性质的实际应用．[题点全练]角度一：根据性质求方程1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是________． 解析：设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .答案：y 2＝－x 或x 2＝－8y 角度二：抛物线的对称性2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)分别交于O ，A ，B 三点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________.解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ， 因为双曲线的离心率为2，所以1＋b 2a 2＝2，ba＝ 3. 由⎩⎨⎧y ＝3x ，y 2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p 3，y ＝23p 3.由曲线的对称性及△AOB 的面积得，2×12×23p 3×2p3＝3，解得p 2＝94，即p ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＝－32舍去.答案：32角度三：抛物线性质的实际应用3．如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ，水位下降1 m 后，水面宽________ m.解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设水面与拱桥的一个交点为A ，则点A 的坐标为(2，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p＞0)，则22＝－2p ×(－2)，得p ＝1.所以抛物线方程为x 2＝－2y .设水位下降1 m 后水面与拱桥的交点坐标为(x 0，－3)，则x 20＝6，解得x 0＝±6，所以水面宽为2 6 m.答案：2 6[通法在握]求抛物线标准方程的方法(1)抛物线的标准方程有四种不同的形式，要掌握焦点到准线的距离，顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数2p 的关系．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．(3)焦点到准线的距离简称为焦准距，抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点常设为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22p ，y .[提醒] 求抛物线的标准方程时，一定要先确定抛物线的焦点坐标，即抛物线标准方程的形式，否则极易发生漏解的情况．[演练冲关]1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上，则该抛物线的方程为________．解析：由题意知，抛物线的焦点在x 轴上． ∵直线3x －4y －12＝0交x 轴于点(4,0)， ∴抛物线的焦点为(4,0)． 设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由p2＝4，得p ＝8，∴该抛物线的方程为y 2＝16x . 答案：y 2＝16x2．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为________．解析：依题意设P 在抛物线准线的射影为P ′，抛物线的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，由抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离PP ′＝PF ，则点P 到点A (0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和d ＝PF ＋PA ≥AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝172. 答案：172考点三 直线与抛物线的位置关系重点保分型考点——师生共研 [典例引领]已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且OP ＝PB ，求△FAB 的面积．解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， 所以(－8)2＝2p ×8，所以2p ＝8， 所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由直线l 2与l 1垂直，且不过原点，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m ＞0，所以m ＞－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，所以x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， 所以m ＝8或m ＝0(舍去)，所以直线l 2的方程为x ＝y ＋8，M (8,0)． 故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·FM ·|y 1－y 2|＝3y 1＋y 22－4y 1y 2＝24 5.[由题悟法]解决直线与抛物线的位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝|x A |＋|x B |＋p 或AB ＝|y A |＋|y B |＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒] 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．[即时应用]已知过点(2,0)的直线l 1交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于A ，B 两点，直线l 2：x ＝－2交x 轴于点Q.(1)设直线Q A ，Q B 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)点P 为抛物线C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交直线l 2于M ，N 两点， OM ―→·ON ―→＝2，求抛物线C 的方程．解：(1)设直线l 1的方程为x ＝my ＋2，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －4p ＝0，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－4p . 由题意知，点Q(－2,0)， 所以k 1＋k 2＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1＋4＋y 2my 2＋4＝2my 1y 2＋4y 1＋y 2my 1＋4my 2＋4＝－8mp ＋8mpmy 1＋4my 2＋4＝0.(2)设点P (x 0，y 0)，直线PA ：y －y 1＝y 1－y 0x 1－x 0(x －x 1)， 当x ＝－2时，y M ＝－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0，同理y N ＝－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0.因为OM ―→·ON ―→＝2，所以4＋y N y M ＝2，即－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0·－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0＝16p 2－4py 0y 2＋y 1＋y 20y 1y 2y 2y 1＋y 0y 2＋y 1＋y 20＝16p 2－8p 2my 0－4py 20－4p ＋2pmy 0＋y 20＝－4p －4p ＋2pmy 0＋y 2－4p ＋2pmy 0＋y 2＝－2，故p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x .一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上横坐标为2的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为________．解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程x ＝－p2，由抛物线的定义可知，2＋p2＝4，则p ＝4，∴抛物线的准线方程为x ＝－2.答案：x ＝－22．(2018·扬州期末)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点也是双曲线x 2－y 2＝8的一个焦点，则p ＝________.解析：抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，双曲线x 2－y 2＝8的右焦点为(4,0)，故p2＝4，即p ＝8.答案：83．已知P 为抛物线y 2＝8x 上动点，定点A (3,1)，F 为该抛物线的焦点，则PF ＋PA 的最小值为________．解析：易知点A 在抛物线内部，抛物线的准线方程为x ＝－2，过点P 作准线的垂线，垂足为M ，则PF ＋PA ＝PM ＋PA ，当A ，P ，M 三点共线时取得最小值，所以PF ＋PA ＝3－(－2)＝5.答案：54．(2018·前黄中学检测)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为________．解析：由于抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题意得－p2＝－1，p ＝2，所以焦点坐标为 (1,0) . 答案：(1,0)5．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x Px P －－1＝12，解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2.答案：26．(2019·连云港模拟)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，BF ＝2，则S △BCFS △ACF＝________. 解析：∵抛物线方程为y 2＝2x ，∴焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线方程为x ＝－12.如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E ，N ，则BF ＝BN ＝x 2＋12＝2，∴x 2＝32，把x 2＝32代入抛物线y 2＝2x ，得y 2＝－3，∴直线AB 过点M (3，0)与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3. 则直线AB 的方程为3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3y －3＝0，与抛物线方程联立，解得x 1＝2， ∴AE ＝2＋12＝52.∵在△AEC 中，BN ∥AE ，∴BC AC ＝BN AE ＝252＝45，故S △BCF S △ACF ＝12BC ·h12AC ·h＝45. 答案：45二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·宿迁一模)抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为________．解析：∵抛物线x 2＝4y 的焦点在y 轴上，开口向上，且2p ＝4，∴p2＝1.∴抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)． 答案：(0,1)2．过抛物线x 2＝－12y 的焦点F 作直线垂直于y 轴，交抛物线于A ，B 两点，O 为抛物线的顶点，则△OAB 的面积是________．解析：由题意F (0，－3)，将y ＝－3代入抛物线方程得x ＝±6， 所以AB ＝12，所以S △OAB ＝12×12×3＝18.答案：183．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则AF BF＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知AB 所在的直线方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2得x 2－5p 3x ＋p24＝0，解得x 1＝3p 2，x 2＝p6，所以AF BF ＝32p ＋p 2p 2＋p6＝3.答案：34．(2019·南通调研)已知F 是抛物线C ：y 2＝12x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若M 是FN 的中点，则FN 的长度为________．解析：∵F (3,0)，∴由题意可得M 的横坐标为32，∴FM ＝32＋3＝92，FN ＝2FM ＝9.答案：95．已知抛物线y 2＝2x 的弦AB 的中点的横坐标为32，则AB 的最大值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3，由抛物线的定义可知，AF ＋BF ＝x 1＋x 2＋1＝4，由图可知AF ＋BF ≥AB ，AB ≤4，当且仅当直线AB过焦点F 时，AB 取得最大值4.答案：46．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________． 解析：如图，根据抛物线的对称性得∠AOx ＝30°. 直线OA 的方程y ＝33x ， 代入y 2＝2x ，得x 2－6x ＝0， 解得x ＝0或x ＝6. 即得A 的坐标为(6,23)．∴AB ＝43，正三角形OAB 的面积为12×43×6＝12 3.答案：12 37．(2018·无锡调研)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且PA ＝12AB ，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E (图略)，因为PA ＝12AB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＋2＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.答案：538．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且MF ＝4OF ，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为________．解析：设M (x ，y )，因为OF ＝p 2，MF ＝4OF ，所以MF ＝2p ，由抛物线定义知x ＋p2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p .又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x9．已知抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点P 是抛物线上的动点，点A (3,2)，求PA ＋PF 的最小值，并求取最小值时点P 的坐标．解：将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6. 因为6＞2，所以A 在抛物线内部．设抛物线上的点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知PA ＋PF ＝PA ＋d .当PA ⊥l 时，PA ＋d 最小，最小值为72，即PA ＋PF 的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，所以点P 的坐标为(2,2)．10．(2018·扬州中学检测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA ―→·OB ―→的值；(2)如果OA ―→·OB ―→＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． 解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)， 设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ， 消去x ，得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4， 所以OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3. (2)证明：设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，所以OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b . 令b 2－4b ＝－4，得b 2－4b ＋4＝0，解得b ＝2. 所以直线l 过定点(2,0)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·连云港二模)从抛物线x 2＝4y 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且PM ＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积S ＝________.解析：设P (x 0，y 0)，依题意可知抛物线的准线方程为y ＝－1， ∴y 0＝5－1＝4，∴|x 0|＝4×4＝4， ∴△MPF 的面积S ＝12PM ·|x 0|＝12×5×4＝10.答案：102．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线AB ，CD 与抛物线交于A ，B ，C ，D 四点，且AB ⊥CD ，则FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→的最大值等于________．解析：依题意可得，FA ―→·FB ―→＝－(|FA ―→|·|FB ―→|)．又因为|FA ―→|＝y A ＋1，|FB ―→|＝y B ＋1， 所以FA ―→·FB ―→＝－(y A y B ＋y A ＋y B ＋1)． 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 联立x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4＝0， 所以x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4. 所以y A y B ＝1，y A ＋y B ＝4k 2＋2. 所以FA ―→·FB ―→＝－(4k 2＋4)． 同理FC ―→·FD ―→＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋4.所以FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎪⎫4k 2＋4k2＋8≤－16.当且仅当k ＝±1时等号成立． 答案：－163.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)． 因为点P (1,2)在抛物线上， 所以22＝2p ×1， 解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB . 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)， 因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k PA ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)． 所以y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．。
【江苏高考】2020版数学名师大讲坛一轮复习教程学案全集(打包103份,含答案)
_第1课__集合及其基本运算1. 理解元素和集合之间的关系；理解集合相等的含义．2. 会求集合的交集、并集、补集.1. 阅读：阅读必修1第5～10页．2. 解悟：①集合中元素的三个性质；②常见数集的符号；③集合相等的定义；④子集、真子集的定义；⑤空集的定义．3. 践习：在教材空白处，完成第7页练习第2、5题；第10页习题第6、7题.基础诊断1. 设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝__{0，1}__．2. 已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，那么A ∪∁U B ＝__{1，2，5}__．解析：由题意得∁U B ＝{1，5}， 所以A ∪∁U B ＝{1，2，5}．3. 已知全集U ＝{1，3，5，7，9}，A ＝{1，5，9}，B ＝{3，5，9}，则∁U (A ∪B)的子集个数为__2__．解析：由题意得A ∪B ＝{1，3，5，9}， 所以∁U (A ∪B)＝{7}， 所以∁U (A ∪B)的子集个数为2.4. 已知集合A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}，若A ∪B ＝{0，1，2，3}，则实数a 的值为__2__．解析：因为A ∪B ＝{0，1，2，3}， A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}，所以a ＝2.范例导航考向❶ 利用数轴求集合的交集、并集、补集例1 设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|132≤2－x≤4，B ＝{x|x 2＋2mx －3m 2<0}，m>0.(1) 若m ＝2，求A ∩B ；(2) 若A ⊇B ，求实数m 的取值范围． 解析：由题意得，集合A ＝{x|－2≤x ≤5}， 因为m>0，所以B ＝{x|－3m<x<m}． (1) 当m ＝2时，B ＝{x|－6<x<2}， 所以A ∩B ＝{x|－2≤x<2}．(2) A ＝{x|－2≤x ≤5}，B ＝{x|－3m<x<m}，因为A ⊇B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3m ≥－2，m ≤5，所以m ≤23，所以0<m ≤23.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，23.全集I ＝R ，集合A ＝{x |y ＝2x －1}，B ＝{y |y ＝lg(x 2－2x ＋2)}，则A ∪∁I B ＝(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞． 解析：由题意得，集合A ＝{x |y ＝2x －1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12，集合B ＝{y |y ＝lg(x 2－2x ＋2)}＝{y |y ≥0}，所以∁I B ＝{y |y <0}，所以A ∪∁I B ＝(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 考向❷ 对空集的分类讨论例2 已知集合A ＝{x|－2≤x ≤7}，B ＝{x|m ＋1<x<2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解析：当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围是{}m|m ≤4.已知集合A ＝{x|x 2－2x －3＝0}，B ＝{x|mx －1＝0}，若B ⊆A ，则m 的值为__0，－1，13__．解析：由题意得，集合A＝{－1，3}．因为B⊆A，所以当B为∅时，m＝0；当B不为∅时，m＝－1或m＝13.综上，m的值为0，－1，13.例3若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，求实数a的值．解析：当a＝0时，不合题意，舍去；当a≠0时，由题意得，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.综上所述，a＝4.若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0}只有一个子集，求实数a的取值范围．解析：由题意得，集合A为空集．①若a＝0，符合题意；②若a≠0，则Δ＝a2－4a<0，解得0<a<4.综上，a的取值范围是[0，4)．自测反馈1. 设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，若A∩B＝{3}，则实数a的值为__1__．解析：因为A∩B＝{3}，所以a＋2＝3或a2＋4＝3，解得a＝1，此时B＝{3，5}，符合题意，故实数a的值为1.2. 已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1，2，…}的关系如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有__2__个．解析：由图可知，阴影部分表示的是M∩N.由M＝{x|－2≤x－1≤2}得M＝{x|－1≤x≤3}．集合N表示的是正奇数集，所以M∩N＝{1，3}，所以阴影部分所示的集合中的元素共有2个．3. 下面四个命题中，正确命题的序号为__②__．①某班个子较高的同学构成集合A；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程x 2－2x ＋1＝0的解集是{1，1}； ④∅与{∅}表示同一个集合．解析：①集合是指一定范围内某些确定的、不同的对象的全体，个子较高的同学不确定，所以①错误；②正确，集合中的元素具有无序性；③错误，集合中的元素具有互异性；④错误，∅表示不含任何元素的集合，{∅}表示集合中有一个元素∅，而不是空集．4. 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，12，集合B ＝{y|y ＝x 2，x ∈A}，则A ∩B ＝__{1}__．解析：由题意得，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，4，14，所以A ∩B ＝{1}．1. 集合中元素的性质指确定性、无序性、互异性．2. 要特别注意空集，尤其是在分类讨论中不能遗漏．3. 你还有哪些体悟，写下来：____第2课__集合及其基本运算(2)______1. 熟练掌握集合间的交、并、补集的运算以及求集合的子集．2. 能应用分类讨论的思想解决简单的分类讨论问题.1. 阅读：阅读必修1第11～14页．2. 解悟：①从A∩B＝A能得到什么结论？②从A∪B＝A能得到什么结论？3. 践习：在教材空白处，完成第13页练习第6题，第14页习题第10、13题.基础诊断1. 集合U＝{1，2}的子集个数为__4__．解析：根据子集个数的公式可得，子集的个数为22＝4.2. 已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，则集合∁U(A∪B)＝__{3}__．解析：由题意得，A∪B＝{1，2，4}，所以∁U(A∪B)＝{3}．3. (1) 已知集合A＝{y|y＝log2(x－1)}，集合B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝__(0，＋∞)__；(2) 已知集合A＝{x|y＝log2(x－1)}，集合B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝__(1，＋∞)__；(3) 已知集合A＝{(x，y)|y＝log2x}，集合B＝{(x，y)|y＝x－1}，则A∩B＝__{(1，0)，(2，1)}__．解析：(1) 由题意得，集合A＝R，集合B＝{y|y>0}，所以A∩B＝(0，＋∞)．(2) 由题意得，集合A＝{x|x>1}，集合B＝{y|y>0}，所以A∩B＝(1，＋∞)．(3) 令log2x＝x－1，解得x＝1或x＝2，所以y＝0或y＝1，所以A∩B＝{(1，0)，(2，1)}．4. 已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{－1，0，2}，则集合A∪B中所有元素之和为__5__．解析：因为A∪B＝{－1，0，1，2，3}，所以集合A∪B中所有元素之和为－1＋0＋1＋2＋3＝5.范例导航考向❶对子集的分类讨论例1已知集合A＝{2，5}，B＝{x|x2＋px＋q＝0，x∈R}．(1) 若B＝{5}，求p，q的值；(2) 若A∩B＝B，求实数p，q满足的条件．解析：(1) 因为B＝{5}，所以方程x2＋px＋q＝0有两个相等的实根5，所以5＋5＝－p ，5×5＝q ，所以p ＝－10，q ＝25. (2) 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A . 当B ＝∅时，Δ＝p 2－4q <0，即p 2<4q ； 当B ＝{2}时，可求得p ＝－4，q ＝4； 当B ＝{5}时，可求得p ＝－10，q ＝25； 当B ＝{2，5}时，可求得p ＝－7，q ＝10. 综上所述，实数p ，q 满足的条件为p 2<4q 或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－4，q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－10，q ＝25或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－7，q ＝10.已知函数f (x )＝6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1) 当m ＝3时，求A ∩∁R B ；(2) 若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值． 解析：(1) 当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}， 则∁R B ＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 又因为A ＝(－1，5]， 所以A ∩∁R B ＝[3，5]．(2) 因为A ＝(－1，5]，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，所以4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的一个根， 所以－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8. 此时集合B ＝{x |－2<x <4}，符合题意． 因此实数m 的值为8.考向❷ 对集合中元素的分类讨论例2 已知集合A ＝{y|y ＝－2x ，x ∈[2，3]}，B ＝{x|x 2＋3x －a 2－3a>0}．(1) 当a ＝4时，求A ∩B ；(2) 若A ⊆B ，求实数a 的取值范围． 解析：(1) 由题意得，A ＝[－8，－4]，当a ＝4时，B ＝(－∞，－7)∪(4，＋∞)， 所以A ∩B ＝[－8，－7)．(2) 方程x 2＋3x －a 2－3a ＝0的两根分别为a ，－a －3. ①当a ＝－a －3，即a ＝－32时，B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪(－32，＋∞)，满足A ⊆B ； ②当a<－a －3，即a<－32时，B ＝(－∞，a)∪(－a －3，＋∞)，则a>－4或－a －3<－8，解得－4<a<－32；③当a>－a －3，即a>－32时，B ＝(－∞，－a －3)∪(a ，＋∞)， 则a<－8或－a －3>－4，解得－32<a<1.综上所述，实数a 的取值范围是(－4，1)．已知集合A ＝{x|x 2＋2x －8>0}，B ＝{y|y ＝x 2－2x ＋2，x ∈R}，C ＝{x |(x －a )(x ＋4)≤0，a ∈R}.(1) 求A ∩B ；(2) 若∁R A ⊆C ，求实数a 的取值范围．解析：(1) 因为x 2＋2x －8>0，解得x >2或x <－4， 所以A ＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)． 因为y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥1， 所以B ＝[1，＋∞)， 所以A ∩B ＝(2，＋∞)． 综上所述，A ∩B ＝(2，＋∞)． (2) 因为A ＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)， 所以∁R A ＝[－4，2]．因为∁R A ⊆C ，且C ＝{x |(x －a )(x ＋4)≤0，a ∈R}，所以a ≥2，所以a 的取值范围为[2，＋∞).考向❸ 对自变量系数的分类讨论例3 已知集合A ＝{x|0<ax ＋1≤5}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12<x ≤2.(1) 若A ⊆B ，求实数a 的取值范围； (2) 若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；(3) A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由． 解析：对于不等式0<ax ＋1≤5，当a ＝0时，0<1<5恒成立，即x ∈R ，集合A ＝R ； 当a >0时，－1a <x ≤4a ，即集合A ＝{x |－1a <x ≤4a }；当a <0时，4a ≤x <－1a ，即集合A ＝{x |4a ≤x <－1a }．(1) 若A 是B 的子集，则当a ＝0时，不满足题意； 当a >0时，需要满足⎩⎨⎧－1a ≥－12，4a≤2，解得a ≥2；当a <0时，需要满足⎩⎨⎧4a >－12，－1a ≤2，解得a <－8. 综上所述，a 的取值范围是(－∞，－8)∪[2，＋∞)．(2) 若B 是A 的子集，则当a ＝0时，满足题意； 当a >0时，需要满足⎩⎨⎧－1a ≤－12，4a≥2，解得0<a ≤2；当a <0时，需要满足⎩⎨⎧－1a >2，4a ≤－12，解得－12<a <0.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－12，2. (3) 当A ＝B 时，需满足A ⊆B 且B ⊆A ，即同时满足(1)和(2)，所以a ＝2.自测反馈1. 设U 为全集，集合A 为U 的子集，则A ∩A ＝__A__；A ∪A ＝__A__；A ∩∅＝__∅__；A ∪∅＝__A__；A ∪∁U A ＝__U__；A ∩∁U A ＝__∅__．2. 满足{1，3}∪A＝{1，3，5}的集合A的个数是__4__．解析：因为{1，3}∪A＝{1，3，5}，所以A＝{5}或{1，5}或{3，5}或{1，3，5}，共有4个．3. 对于集合A，B，我们将集合{x|x∈A，且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A－B.(1) 若A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则A－B＝__{1，2，3}__；B－A ＝__{6，7，8}__；(2) 如果A－B＝∅，那么集合A与B之间的关系是__A⊆B__．4. 已知集合P＝{y＝x2＋1}，Q＝{y|y＝x2＋1}，E＝{x|y＝x2＋1}，F＝{(x，y)|y＝x2＋1}，则与G＝{x|x≥1}为同一集合的是__Q__．解析：集合P中y＝x2＋1就是这个集合中的一个元素；集合Q＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，与集合G为同一集合；集合E＝{x|y＝x2＋1}＝R；集合F是一个点集，所以与集合G为同一集合的是Q.1. 区分点集和数集在书写上的不同．2. 解题时，注意分类讨论、数形结合等思想方法的运用．3. 你还有哪些体悟，写下来：____第3课__逻辑联结词与量词____1. 能正确对含有一个量词的命题进行否定．2. 能正确判断用“或”“且”“非”联结的命题的真假.1. 阅读：阅读选修21第10～18页．2. 解悟：①含有一个量词的命题的否定分别是什么？②由简单逻辑联结词构成的命题的真假怎么判断？3. 践习：在教材空白处，完成第15页练习第2题；第18页习题第4题.基础诊断2. 命题“∃x ∈R ，2x >0”的否定是__∀x ∈R ，2x ≤0__．3. 下列四个命题：①3≤π；②1≥1；③π≤e ；④2<3或3<2.其中假命题有__1__个． 解析：①②④正确，③错误．4. 已知命题“∃x ∈[1，2]，x 2＋2x ＋a ≥0”为真命题，则实数a 的取值范围是__[－8，＋∞)__．解析：原命题的否定为∀x ∈[1，2]，x 2＋2x ＋a<0.因为y ＝x 2＋2x 在区间[1，2]上单调递增，所以x 2＋2x ≤8<－a ，所以a<－8.根据含有逻辑联结词的命题的真假判断，可知原命题中a 的取值范围是a<－8的补集，即a ≥－8，故a 的取值范围是[－8，＋∞)．范例导航考向❶ 以函数的单调性和值域为背景，求命题的真假所对应参数的取值范围 例1 设命题p ：函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫a －32x是R 上的减函数；命题q ：函数g (x )＝x 2－4x ＋3在区间[0，a ]上的值域为[－1，3]．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解析：因为“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，所以命题p ，q 中有且仅有一个命题为真命题．若命题p 为真，则0<a －32<1，所以32<a <52；若命题q 为真，则g (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1在[0，a ]上的值域为[－1，3]，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a 2－4a ＋3≤3，解得2≤a ≤4. ①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧32<a <52，a <2或a >4，所以32<a <2；②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧2≤a ≤4，a ≤32或a ≥52，所以52≤a ≤4.综上所述，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，2∪⎣⎡⎦⎤52，4.已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解析：因为函数y ＝a x 在R 上单调递增， 所以命题p ：a >1.因为不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立， 所以a >0且a 2－4a <0，解得0<a <4， 所以命题q ：0<a <4.因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真， 所以p ，q 中必是一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≥4，解得a ≥4；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，0<a <4，解得0<a ≤1.综上所述，a 的取值范围为(0，1]∪[4，＋∞).考向❷ 以函数的能成立和恒成立为背景，求命题的真假所对应参数的取值范围 例2 已知命题p ：∃x ∈R ，|sin x |>a 有解；命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋2ax ＋4>0恒成立．若命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．解析：命题p ：∃x ∈R ，|sin x |>a 有解，则a <1；由命题q 得，a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，解得0<a <4，所以命题q ：0≤a <4.因为命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，所以命题p ，q 中有且仅有一个真命题．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a ≥4或a <0，解得a <0；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，0≤a <4，解得1≤a <4.综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪[1，4)．已知m ∈R ，设命题p ：∀x ∈[－1，1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0恒成立；命题q ：∃x ∈[1，2]，log 12(x 2－mx ＋1)<－1成立，如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数m的取值范围．解析：若p 为真，则∀x ∈[－1, 1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立． 设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3， 所以f (x )在区间[－1，1]上的最小值为－3， 所以4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32，所以当p 为真时，12≤m ≤32；若q 为真，则∃x ∈[1，2], x 2－mx ＋1>2成立， 所以∃x ∈[1，2]，m <x 2－1x 成立．设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x，易知g (x )在区间[1，2]上是增函数， 所以g (x )的最大值为g (2)＝32，所以m <32，所以当q 为真时，m <32.因为“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， 所以p 与q 必是一真一假，当p 真q 假时，⎩⎨⎧12≤m ≤32，m ≥32，所以m ＝32；当p 假q 真时，⎩⎨⎧m <12或m >32，m <32，所以m <12.综上所述，m 的取值范围是{m |m <12或m ＝32}.考向❸ 以圆锥曲线为背景，求命题的真假所对应参数的取值范围例3 已知k 为实常数，命题p ：方程x 22k －1＋y 2k －1＝1表示椭圆；命题q ：方程x 24＋y 2k －3＝1表示双曲线.(1) 若命题p 为真命题，求k 的取值范围；(2) 若命题“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求k 的取值范围． 解析：(1) 若命题p 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>0，k －1>0，2k －1≠k －1，解得k>1，即k 的取值范围是(1，＋∞)． (2) 若命题q 为真命题，则k －3<0，即k<3. 因为“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题， 所以p ，q 必是一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧k>1，k ≥3， 解得k ≥3；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧k ≤1，k<3，解得k ≤1.综上所述，k 的取值范围是(－∞，1]∪[3，＋∞)．自测反馈1. 命题“∀x>0，x ＋1>x ”的否定是．2. 若命题“p 且q ”是假命题，“非q ”是假命题，则p 是__假__命题．(填“真”或“假”)解析：因为“p 且q ”为假命题，则命题p ，q 中必是一真一假．又因为“非q ”是假命题，所以q 为真命题，所以p 为假命题．3. 若命题“∃x ∈R ，x 2＋2mx ＋m ≤0”是真命题，则实数m 的取值范围是__(－∞，0)∪[1，＋∞)__．解析：由题意得Δ＝4m 2－4m ≥0，解得m ≤0或m ≥1，故实数m 的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞)．____第4课__充分条件和必要条件____1. 会分析四种命题之间的相互关系及判断命题的真假．2. 会判断充分条件、必要条件、充要条件.1. 阅读：阅读选修21第5～9页．2. 解悟：①命题的真假性一定是确定的；②四种命题之间有什么关系？③如何判断充分条件、必要条件？3. 践习：在教材空白处，完成第8～9页习题第2、4题.基础诊断1. 若a∈R，则“a＝0”是“a(a－1)＝0”的__充分不必要__条件．解析：因为a(a－1)＝0，解得a＝0或a＝1，所以“a＝0”是“a(a－1)＝0”的充分不必要条件．2. 若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的__必要不充分__条件．解析：函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0一定成立；若f(0)＝0，则函数f(x)不一定是奇函数，可能为偶函数，也可能既不是奇函数也不是偶函数．故“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的必要不充分条件．3. 已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是__若a＋b ＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3__．4. 在命题“若ac2>bc2，则a>b”及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有__2__个．解析：原命题：因为ac2>bc2，c2>0，所以a>b，所以原命题为真命题，所以原命题的逆否命题也为真命题；原命题的逆命题为“若a>b，则ac2>bc2”，当c2＝0时，a＝b，所以逆命题为假命题，所以原命题的否命题也为假命题．故真命题共有2个．范例导航考向❶对充分条件、必要条件中集合包含关系的理解例1设集合A＝{x|x2＋2x－3<0}，集合B＝{x||x＋a|<1}．(1) 若a＝3，求A∪B；(2) 设命题p：x∈A；命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解析：(1) 解不等式x2＋2x－3<0，得－3<x<1，即A＝(－3，1)．当a＝3时，由|x＋3|<1，解得－4<x<－2，即集合B＝(－4，－2)，所以A∪B＝(－4，1)．(2) 因为p是q成立的必要不充分条件，所以集合B是集合A的真子集．又集合A＝(－3，1)，B＝(－a－1，－a＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a －1≥－3，－a ＋1≤1，解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围是[0，2]．设函数y ＝lg (－x 2＋4x －3)的定义域为A ，函数y ＝2x ＋1，x ∈(0，m)的值域为B.(1) 当m ＝2时，求A ∩B ；(2) 若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解析：(1) 由－x 2＋4x －3>0，解得1<x<3， 所以A ＝(1，3)． 因为函数y ＝2x ＋1在区间(0，m)上单调递减， 所以y ∈⎝⎛⎭⎫2m ＋1，2，即B ＝⎝⎛⎭⎫2m ＋1，2，所以当m ＝2时，B ＝⎝⎛⎭⎫23，2， 所以A ∩B ＝(1，2)． (2) 由题意得m>0.因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件， 所以B A ，即⎝⎛⎭⎫2m ＋1，2(1，3)，所以2m ＋1≥1，解得0<m ≤1，故实数m 的取值范围为(0，1]. 考向❷ 对集合中元素的分类讨论例2 已知非空集合A ＝{x|x －2x －（3a ＋1）<0}，B ＝{x|x －a 2－2x －a<0}．(1) 当a ＝12时，求∁R B ∩A ；(2) 命题p ：x ∈A ；命题q ：x ∈B .若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解析：(1) 当a ＝12时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2<x <52，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <94，∁R B ＝{x |x ≤12或x ≥94}，所以∁R B ∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |94≤x <52.(2) 由q 是p 的必要条件可得A ⊆B . 由a 2＋2>a ，得B ＝{x |a <x <a 2＋2}．①当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，解得13<a ≤3－52；②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，符合题意；③当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，解得－12≤a <13.综上所述，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3－52.已知命题“∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题． (1) 求实数m 的取值集合M ；(2) 设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若“x ∈N ”是“x ∈M ”的必要条件，求实数a 的取值范围．解析：(1) 由题意知，方程x 2－x －m ＝0在区间(－1，1)上有解，即m 的取值范围即为函数y ＝x 2－x 在区间(－1，1)上的值域，易得－14≤m <2，所以M ＝⎣⎡⎭⎫－14，2. (2) 因为“x ∈N ”是“x ∈M ”的必要条件，所以M ⊆N . 当a ＝1时，集合N 为空集，不满足题意；当a >2－a ，即a >1时，此时集合N ＝{x |2－a <x <a }，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，解得a >94；当a <2－a ，即a <1时，此时集合N ＝{x |a <x <2－a }，则⎩⎪⎨⎪⎧a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，－14)∪(94，＋∞).考向❸ 对逆否命题的综合运用自测反馈1. “三个数a，b，c成等比数列”是“b2＝ac”的__充分不必要__条件．解析：若a，b，c成等比数列，根据等比数列的性质可得b2＝ac；若a＝0，b＝0，c＝2，则b2＝ac，但a，b，c不成等比数列，所以“三个数a，b，c成等比数列”是“b2＝ac”的充分不必要条件．2. “a<b”是“ln a<ln b”的__必要不充分__条件．解析：若a＝－2，b＝－1，则a<b，但ln a<ln b不成立；因为函数y＝ln x在定义域上单调递增，所以当ln a<ln b时，a<b，所以“a<b”是“ln a<ln b”的必要不充分条件．3. 给出下列三个命题：①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；②“α>β”是“cosα<cosβ”的必要不充分条件；③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2，x∈R为奇函数”的充要条件．其中正确命题的序号为__③__．解析：①因为函数y＝3x是R上的增函数，所以“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①是假命题；②若α＝3π2，β＝π2，则α>β，但cos α＝cos β，充分性不得证，若α＝3π2，β＝2π，cos α<cos β，但α<β，必要性不得证，所以“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分又不必要条件，故②是假命题；③若a ＝0，则f (x )＝x 3，x ∈R ，f (－x )＝－f (x )，且定义域关于原点对称，所以函数f (x )是奇函数，若f (x )＝x 3＋ax (x ∈R)是奇函数，则f (－x )＝－f (x )对任意的x ∈R 恒成立，即(－x )3＋a (－x )2＝－(x 3＋ax 2)，即ax 2＝－ax 2，即a ＝0，所以“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax ，x ∈R 为奇函数”的充要条件，故③是真命题，故填③.4. 记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg (x －a)的定义域为集合B.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为__(－∞，－3]__．解析：由x 2＋x －6<0得－3<x<2，即A ＝(－3，2)，由x －a>0，得x>a ，即B ＝(a ，＋∞)．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则A ⊆B ，所以a ≤－3，故实数a 的取值范围为(－∞，－3]．1. 否命题既要否定条件，又要否定结论；命题的否定只否定结论．2. 原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．3. 你还有哪些体悟，写下来：第二章 函 数____第5课__函数的概念____1. 体会函数是描述两个变量之间依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念．2. 了解构成函数的要素有定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域和值域．3. 了解映射的概念，进一步了解函数是非空数集到非空数集的映射.1. 阅读：必修1第23～27页及第46页．2. 解悟：①读懂函数定义，并思考初中的函数定义与高中课本函数的定义是否相同？《函数》这一章节为何置于《集合》章节之后？②圈画函数定义中的关键词，准确理解函数的概念，并思考式子y 2＝x 中变量y 是变量x 的函数吗？为什么？③阅读第46页，思考映射和函数有什么区别和联系？ 怎样的映射不是函数，你能举例吗？④函数的三要素有哪些？怎样才能算相同的函数？至少需要满足几个条件？3. 践习：在教材空白处，完成第26～27页练习第4、6、7题.基础诊断1. 下列对应法则f 中，不是从A 到B 的函数的序号是__③__．①A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，32，B ＝{－6，－3，1}，f ⎝⎛⎭⎫12＝－6，f(1)＝－3，f ⎝⎛⎭⎫32＝1； ②A ＝{1，2，3}，B ＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8； ③A ＝B ＝{1，2，3}，f(x)＝2x －1； ④A ＝B ＝{x|x ≥1}，f(x)＝2x ＋1；⑤A ＝Z ，B ＝{－1，1}，当n 为奇数时，f (n )＝－1；当n 为偶数时，f (n )＝1.解析：根据函数的定义，①②④⑤中，对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有唯一的元素与它对应；在③中f (3)＝5，集合B 中没有元素与集合A 中的3对应，故不是从A 到B 的函数．2. 判断下面说法是否正确．(在括号中画“√”或“”) (1) f(x)＝|x|x 与g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0，－1， x<0表示同一函数．()解析：因为函数f(x)的定义域为{x|x ≠0}，函数g(x)的定义域为R ，定义域不同，所以表示的不是同一函数，故是错误的．(2) 若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相同. ()解析：若两个函数的定义域、值域和对应法则都相同，则这两个函数相同，故是错误的．(3) 若函数f (x )的定义域为{x |1≤x <3}，则函数f (2x －1)的定义域为{x |1≤x <5}．()解析：若函数f (x )的定义域为{x |1≤x <3}，所以1≤2x －1<3，解得1≤x <2，所以函数f (2x －1)的定义域为{x |1≤x <2}，故是错误的．(4) 函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个．( √ )解析：根据函数的定义，对于定义域内的任意一个自变量x ，存在唯一的函数值y 与之对应，所以函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有一个．(5) 函数f (x )＝x 2＋4＋1的值域是[1，＋∞)．()解析：因为x 2≥0，所以x 2＋4≥4，所以x 2＋4≥2，所以f (x )＝x 2＋4＋1≥3，所以函数f (x )＝x 2＋4＋1的值域是[1，＋∞)是错误的．(6) f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数．( √ )解析：因为函数f (x )与函数g (x )的定义域、对应法则和值域都相同，故函数f (x )与函数g (x )是同一函数．3. 设一函数的解析式为f(x)＝2x ＋3，它的值域为{－1，2，5，8}，则函数f(x)的定义域为__⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－12，1，52__．解析：当f(x)＝－1时，2x ＋3＝－1，解得x ＝－2； 当f(x)＝2时，2x ＋3＝2，解得x ＝－12；当f(x)＝5时，2x ＋3＝5，解得x ＝1； 当f(x)＝8时，2x ＋3＝8，解得x ＝52，所以函数f(x)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－12，1，52.4. 函数y ＝f(x ＋1)的值域为[3，5]，则函数y ＝2f(x)的值域为__[6，10]__．解析：因为函数y ＝f(x ＋1)的值域为[3，5]，函数f(x)是将函数f(x ＋1)的图象向右平移1个单位长度得到的，所以f(x)的值域也为[3，5]，所以2f(x)的值域为[6，10]．5. 若函数y ＝ax 2＋ax ＋2的定义域为R ，则a 的取值范围是__[0，8]__．解析：由题意得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ×2≤0，解得0≤a ≤8，所以a ∈[0，8]．范例导航考向❶ 求函数的定义域 例1 求下列函数的定义域：(1) y ＝12－|x|＋x 2－1； (2) y ＝xlog 12（2－x ）.解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－|x|≠0，x 2－1≥0，解得x ≠±2或x ≥1或x ≤－1，故函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1，2)∪(2，＋∞)．(2) 由题意0<2－x<1，解得1<x<2，故函数的定义域为(1，2)．已知函数f(x)＝2x －11－x，若函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称．记y ＝g(x)的定义域为A ，不等式x 2－(2a －1)x ＋a(a －1)≤0的解集为B.若A 是B 的真子集，求实数a 的取值范围．解析：由题意得g(x)＝－－2x －11＋x， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≠0，－2x －11＋x ≥0，解得－1<x ≤－12，所以A ＝⎝⎛⎦⎤－1，－12. 解不等式x 2－(2a －1)x ＋a(a －1)≤0， 解得a －1≤x ≤a ， 即B ＝[a －1，a]． 因为A 是B 的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤－1，a ≥－12，解得－12≤a ≤0， 故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，0.考向❷ 求函数的值域 例2 求下列函数的值域：(1) y ＝x 2＋2x(x ∈[0，3])； (2) y ＝2x －3x ＋1(x ≤－2)； (3) y ＝x －1－2x ； (4) y ＝log 3x ＋log x 3－1.解析：(1) 因为y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， 所以该函数在[0，3]上单调递增，所以该函数在[0，3]上的最大值为15，最小值为0， 所以函数的值域为[0，15]． (2) 由题意得y ＝2x －3x ＋1＝2－5x ＋1. 因为x ≤－2，所以－1≤1x ＋1<0， 所以0<－5x ＋1≤5，所以2<2－5x ＋1≤7，故该函数的值域为(2，7]．(3) 令1－2x ＝t ，t ≥0，所以x ＝1－t 22，所以原函数可转化为y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，因为t ≥0，所以函数在[0，＋∞)上单调递减， 所以y ≤12，所以原函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，12. (4) y ＝log 3x ＋log x 3－1＝log 3x ＋1log 3x－1，所以若log 3x>0，则log 3x ＋1log 3x －1≥1，当且仅当log 3x ＝1log 3x ，即log 3x ＝1时取等号，此时y ≥1；若log 3x<0，则－⎝⎛⎭⎫－log 3x ＋1－log 3x －1≤－2－1＝－3，当且仅当log 3x ＝－1时等号成立，此时y ≤－3，所以原函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．求下列函数的值域： (1) y ＝x 2－xx 2－x ＋1；(2) y ＝4x 2＋8x ＋136（x ＋1）(x>－1)．解析：(1) 由题意得y ＝x 2－x x 2－x ＋1＝1－1x 2－x ＋1＝1－1⎝⎛⎭⎫x －122＋34. 因为⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34， 所以0<1⎝⎛⎭⎫x －122＋34≤43，所以－13≤y<1， 故函数的值域为⎣⎡⎭⎫－13，1. (2) 由题意得y ＝4x 2＋8x ＋136（x ＋1）＝4（x ＋1）2＋96（x ＋1）＝23(x ＋1)＋32（x ＋1）.因为x>－1，所以x ＋1>0，所以23(x ＋1)＋32（x ＋1）≥2，当且仅当23(x ＋1)＝32（x ＋1），即x ＝12时取等号，故函数的值域为[2，＋∞). 考向❸ 函数定义域和值域的综合 例3 已知函数f(x)＝1＋x ＋1－x.(1) 求函数f(x)的定义域和值域；(2) 设f(x)＝a2{[f(x)]2－2}＋f(x)(a 为实数)，当a<0时，求f(x)的最大值g(a)．解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥0，1－x ≥0，解得－1≤x ≤1，所以函数的定义域为[－1，1]．又[f(x)]2＝2＋21－x 2∈[2，4]，f(x)≥0， 所以f(x)∈[2，2]．(2) f(x)＝a2{[f(x)]2－2}＋f(x)＝a 1－x 2＋1＋x ＋1－x ，令t ＝f(x)＝1＋x ＋1－x ，则1－x 2＝12t 2－1，所以f(x)＝m(t)＝a ⎝⎛⎭⎫12t 2－1＋t ＝12at 2＋t －a ，t ∈[2，2]．由题意知g(a)即为函数m(t)＝12at 2＋t －a ，t ∈[2，2]的最大值，t ＝－1a 是抛物线m(t)＝12at 2＋t －a 的对称轴．因为a<0时，函数y ＝m(t)，t ∈[2，2]的图象是开口向下的抛物线的一段， ①若t ＝－1a ∈(0，2]，即a ≤－22，则g(a)＝m(2)＝2；②若t ＝－1a ∈(2，2]，即－22<a ≤－12，则g(a)＝m ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－a －12a ； ③若t ＝－1a ∈(2，＋∞)，即－12<a<0，则g(a)＝m(2)＝a ＋2.综上所述，g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2， －12<a<0，－a －12a ， －22<a ≤－12，2， a ≤－22.自测反馈1. 函数y ＝ln （x ＋1）－x 2－3x ＋4的定义域为(－1，1)．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x>－1，－4<x<1，所以－1<x<1，故定义域为(－1，1)． 2. 若函数f(x)＝3x －5kx 2＋4kx ＋3的定义域为R ，则实数k 的取值范围是__⎣⎡⎭⎫0，34__． 解析：由题意得kx 2＋4kx ＋3＝0无解，所以k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝16k 2－12k <0， 解得0≤k <34，故实数k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，34. 3. 若函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域为__(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤12，2__． 解析：因为函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，且在区间(－∞，1)和[2，5)上单调递减，当x ∈(－∞，1)时，y<0；当x ∈[2，5)时，12<y ≤2，即函数的值域为(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤12，2. 4. 若函数y ＝ax ＋31－2x的值域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，则实数a 的值为__4__． 解析：由题意得ax ＋31－2x ≠－2，化简得(a －4)x ≠－5，要使x 取任意值时，(a －4)x ≠－5恒成立，所以a ＝4.故实数a 的值为4.1. 初中函数是看成刻画和描述两个变量之间依赖关系的数学模型，高中将函数定义为建立在两个非空数集上的单值对应，同时高中函数的种类有所增加，如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等．2. 准确理解函数定义中的关键词(非空数集，对应法则，每一个，唯一，定义域)3. 你还有哪些体悟，写下来：____第6课__函数的表示方法____1. 了解构成函数的三要素，进一步理解函数的概念．2. 掌握函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．3. 掌握求解函数解析式的几种类型及常用方法．4. 了解简单的分段函数，并能简单地应用.1. 阅读：阅读必修1第33～34页．2. 解悟：①函数的表示方法有哪些？回顾例1并比较三种表示方法的优劣；②你能在书本中找到分段函数的定义吗？分段函数是一个函数还是多个函数？③如何求分段函数的值域或最值？④函数的解析式是函数的一种表示方法，那么求函数解析式，你知道哪些方法？3. 践习：在教材空白处，完成第35页练习第3题和习题第2、4题.基础诊断1. 已知函数f(x)＝11＋x ，g(x)＝x 2＋2，则f(2)＝__13__；g(2)＝__6__；f(g(2))＝__17__；f(g(x))＝__1x ＋3__．解析：f(2)＝11＋2＝13；g(2)＝22＋2＝6； f(g(2))＝f(6)＝11＋6＝17；f(g(x))＝11＋x 2＋2＝1x 2＋3. 2. 已知函数 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ， x>0，2x ， x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝__14__． 解析：因为f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝－2， 所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝f(－2)＝2－2＝14. 3. 若f(x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，则f(x)＝x 2＋2x －2．解析：因为f(x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，所以f(t)＝(t －1)2＋4(t －1)＋1＝t 2＋2t －2，故f(x)＝x 2＋2x －2.4. 若等腰三角形的周长是20，底边长y 是一腰长x 的函数，则y ＝__20－2x ，x ∈(5，10)__．解析：因为△ABC 是等腰三角形且周长为20，△ABC 的周长＝2×腰长＋底边长，所以20＝2x ＋y ，即y ＝20－2x.又y<2x<20，解得5<x<10，故y ＝20－20x ，x ∈(5，10)．5. 设二次函数f(x)的最大值是13，f(3)＝f(－1)＝5，则f(x)的解析式为__f(x)＝－2x 2＋4x ＋11__．解析：由题意可设f(x)＝a(x －1)2＋13，因为f(3)＝f(－1)＝5，所以a ×(－1－1)2＋13＝5，解得a ＝－2，所以f(x)＝－2(x －1)2＋13＝－2x 2＋4x ＋11.范例导航考向❶ 求函数的解析式例1 (1) 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x ＋1)－2f(x －1)＝2x ＋17，求函数f(x)的解析式；(2) 已知函数f(x)满足2f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，求函数f(x)的解析式． 解析：(1) 设f(x)＝kx ＋b ，则由题意得3[k(x ＋1)＋b]－2[k(x －1)＋b]＝2x ＋17，即kx ＋5k ＋b ＝2x ＋17，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，5k ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝7，所以f(x)＝2x ＋7.(2) 因为2f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，① 用1x 代替x ，则2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f(x)＝3x ，② 由①×2－②得，4f(x)－f(x)＝6x －3x ，即3f(x)＝6x －3x ，所以f(x)＝2x －1x.(1) 已知f(x) 为二次函数，且满足f(0)＝0，f(x ＋1)－f(x)＝x ＋1，求函数f(x)的解析式； (2) 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x 2＋x ＋2，求函数f(x)和g(x)的解析式．解析：(1) 由题意可设f(x)＝ax 2＋bx. 因为f(x ＋1)－f(x)＝x ＋1，所以a(x ＋1)2＋b(x ＋1)－(ax 2＋bx)＝x ＋1， 整理得2ax ＋a ＋b ＝x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12，所以f(x)＝12x 2＋12x.(2) 由题意可知f(x)＝f(－x)，g(－x)＝－g(x)． 因为f(x)＋g(x)＝x 2＋x ＋2，① 所以f(－x)＋g(－x)＝x 2－x ＋2， 即f(x)－g(x)＝x 2－x ＋2.②由①＋②得，2f(x)＝2x 2＋4，即f(x)＝x 2＋2， 由①－②得，2g(x)＝2x ，即g(x)＝x ， 所以f(x)＝x 2＋2，g(x)＝x. 考向❷ 分段函数的解析式例2 如图是函数f(x)的图象，OC 段是射线，曲线OBA 是抛物线的一部分，试写出f(x)的函数表达式．解析：当x ≤0时，由图象过点(－2，－2)，(0，0)可知，直线OC 的斜率为1，所以射线OC 的函数表达式为y ＝x(x ≤0)；当x>0时，f(x)是二次函数， 所以设f(x)＝a(x －1)2＋b.由图可知，则⎩⎪⎨⎪⎧a ×（1－1）2＋b ＝－1，a ×（2－1）2＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以f(x)＝(x －1)2－1＝x 2－2x.故f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x<0，x 2－2x ， x ≥0.设函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|.(1) 将f(x)写成分段函数，并作出y ＝f(x)的图象； (2) 解不等式f(x)>5，并求出f(x)的最小值． 解析：(1) 当x ＋1<0，即x<－1时，x －2<0， 所以f(x)＝－x －1－x ＋2＝－2x ＋1； 当x ＋1≥0且x －2≤0，即－1≤x ≤2时， f(x)＝x ＋1－x ＋2＝3； 当x －2>0，即x>2时， f(x)＝x ＋1＋x －2＝2x －1， 所以y ＝f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，x<－1，3， －1≤x ≤2，2x －1， x>2.函数图象为(2) 由题意可知，当x<－1时，1－2x>5，解得x<－2；当x>2时，2x －1>5，解得x>3， 所以f(x)>5的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)． 由图可知，f(x)的最小值为3. 考向❸ 由不等式恒成立求函数解析式例3 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点(－2，0)且不等式2x ≤f(x)≤12x 2＋2对∀x ∈R 恒成立．(1) 求函数f (x )的解析式；(2) 若对∀x ∈[－1，1]，不等式f (x ＋t )<f ⎝⎛⎭⎫x 3恒成立，求实数t 的取值范围． 解析：(1) 因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－2，0)， 所以4a －2b ＋c ＝0.①因为不等式2x ≤f (x )≤12x 2＋2对∀x ∈R 恒成立，所以当x ＝2时也成立，即4≤4a ＋2b ＋c ≤4， 即4a ＋2b ＋c ＝4.②由①②求得b ＝1，4a ＋c ＝2， 所以f (x )＝ax 2＋x ＋2－4a ， 所以2x ≤ax 2＋x ＋2－4a ≤12x 2＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x ＋2－4a ≥0，⎝⎛⎭⎫a －12x 2＋x －4a ≤0恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a （2－4a ）≤0，a －12<0，Δ＝1－4⎝⎛⎭⎫a －12·（－4a ）≤0，解得a ＝14，故c ＝1，即函数f (x )的解析式为f (x )＝14x 2＋x ＋1.(2) 因为对∀x ∈[－1，1]，不等式f (x ＋t )<f ⎝⎛⎭⎫x 3恒成立，即14(x ＋t ＋2)2<136(x ＋6)2恒成立，亦可化得⎝⎛⎭⎫x ＋t ＋22－x ＋66⎝⎛⎭⎫x ＋t ＋22＋x ＋66<0， 解得－4x ＋123<t <－2x 3.又因为x ∈[－1，1]，所以－83<t <－23，故实数t 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－83，－23. 自测反馈1. 已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f(x)＝33． 解析：因为f(x)＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1①，用1x 代替x 得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f(x)·1x－1②，将②代入①得f(x)＝2⎝⎛⎭⎫2f （x ）·1x －1·x －1，化简得f(x)＝4f(x)－2x －1，即f(x)＝23x ＋13. 2. 若正比例函数f(x)满足f(f(x))＝4x ，则f(x)＝__±2x__．解析：根据题意可设f(x)＝kx ，因为f(f(x))＝4x ，所以k(kx)＝4x ，即k 2x ＝4x ，所以k 2＝4，解得k ＝±2，所以f(x)＝±2x.3. 已知f(x 2－1)＝x 4＋x 2－2，则f(x)＝__x 2＋3x(x ≥－1)__．解析：令x 2－1＝t(t ≥－1)，则x 2＝t ＋1，所以f(t)＝(t ＋1)2＋t ＋1－2＝t 2＋3t ，所以f(x)＝x 2＋3x(x ≥－1)．4. 已知实数a ≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ， x<1，－x －2a ， x ≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则实数a 的值为__－34__．解析：因为a ≠0，f(1－a)＝f(1＋a)． 当a>0时，1－a<1<1＋a ， 则f(1－a)＝2(1－a)＋a ＝2－a ， f(1＋a)＝－(1＋a)－2a ＝－1－3a ， 所以2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32(舍去)；当a<0时，1＋a<1<1－a ，则f(1－a)＝－(1－a)－2a ＝－a －1，f(1＋a)＝2(1＋a)＋a ＝3a ＋2，所以－a －1＝3a ＋2，解得a ＝－34.综上所述，a 的值为－34.5. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－1≤x<0，－x ＋1，0<x ≤1，则f(x)－f(－x)>－1的解集为__⎣⎡⎭⎫－1，－12∪(0，1]__．解析：当－1≤x<0时，0<－x ≤1，所以f(x)－f(－x)＝－x －1－(x ＋1)>－1，即－2x －2>－1，解得x<－12.又因为－1≤x<0，所以－1≤x<－12；当0<x ≤1时，－1≤－x<0，所以f(x)－f(－x)＝－x ＋1－(x －1)>－1， 即－2x ＋2>－1，解得x<32.又因为0<x ≤1，所以0<x ≤1.综上所述，原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪(0，1]．1. 要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域，定义域是使式子有意义的x 的取值范围，同时也要注意变量的实际意义．2. 准确理解分段函数的定义、特点及应用．分段函数是指函数的表达式是分段表示的，它是一个函数．3. 你还有哪些体悟，写下来：___第7课__函数的性质(1)____1. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，能判断或证明一些简单函数的单调性．2. 掌握判断一些简单函数单调性的常用方法．3. 会运用函数图象理解和研究函数的单调性.1. 阅读：必修1第37～39页．2. 解悟：①圈出第37页蓝色框中关于单调函数及单调区间概念中的关键词；②如何求函数的单调区间？有哪些方法？③用定义法判断函数单调性的一般步骤和注意点；④对于基本初等函数，我们一般用什么方法求函数的最值？3. 践习：在教材空白处，完成第40页练习第1、2、5、7、8题.基础诊断1. 函数y ＝xx －1的单调减区间是__(－∞，1)，(1，＋∞)__．解析：因为y ＝x x －1＝1＋1x －1，所以该函数的单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)． 2. 已知函数y ＝f(x)在R 上是增函数，且f (m 2)>f (－m )，则实数m 的取值范围为__(－∞，－1)∪(0，＋∞)__．解析：因为y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (m 2)>f (－m )，所以m 2>－m ，即m 2＋m >0，解得m >0或m <－1，所以实数m 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，＋∞)．3. 函数y ＝12x 2－ln x 的单调减区间为__(0，1]__．解析：由题意可知x>0，y′＝x －1x ，令y′≤0，则x －1x ≤0，即x 2－1x ≤0，解得－1≤x ≤1且x ≠0.又因为x>0，所以0<x ≤1，故该函数的单调减区间为(0，1]．4. 已知函数y ＝f(x)在R 上是减函数，点A (0，－2)，B (－3，2)在其图象上，则不等式－2<f (x )<2的解集为__(－3，0)__．解析：由题意得－2＝f (0)，2＝f (－3)，所以－2<f (x )<2，即f (0)<f (x )<f (－3)．又因为函数f (x )在R 上是减函数，所以－3<x <0，故该不等式的解集为(－3，0)．。
2020江苏一轮数学文科提高版 正文答案解析 教师版
2020江苏一轮数学文科提高版高考总复习一轮复习导学案数学文科学生用书详解详析第一章集合与常用逻辑用语第1课集合的概念与运算激活思维1. {1，2}【解析】因为x2－3x＋2＝0，所以x＝1或x＝2.故集合为{1，2}．2. 7【解析】因为A＝{x|0≤x＜3且x∈N}＝{0，1，2}，所以真子集有7个．3. {0，1}【解析】由题意知A∩B＝{0，1}．4. [4，＋∞)【解析】在数轴上画出集合A，B，根据图象可知a∈[4，＋∞)．5. 3【解析】因为全集U＝A∪B＝{3，4，5，7，8，9}，A∩B＝{4，7，9}，所以∁U(A∩B)＝{3，5，8}，所以∁U(A∩B)中的元素共有3个．知识梳理1.(1) 确定的不同的集合元素(2) 确定性互异性无序性(3) 列举法描述法Venn图法(4) N N*N＋Z QR C2. (1) ∈∉(2) ⊆〓＝3. (1) 交集A∩B{x|x∈A且x∈B}(2) 并集A∪B{x|x∈A或x∈B}(3) 补集∁S A{x|x∈S且x∉A}课堂导学例1【思维引导】由分析数字1是集合B中的某个元素入手．【答案】1【解析】由题意可得1∈B，又a2＋3≥3，故a＝1，此时B＝{1，4}，符合题意．【精要点评】关于集合交集、并集、补集的基本运算是江苏高考中常见的考查题型，属于简单问题的处理．集合的基本运算中还可能涉及到元素与集合、集合与集合之间的基本运算等知识点．高频考点·题组强化1. {1，8}【解答】因为A＝{0，1，2，8}，B＝{－1，1，6，8}，所以A∩B＝{1，8}．2. {－3，－2，2}【解答】因为A＝{x|(x＋3)(x－2)＝0}＝{－3，2}，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，所以A∪B＝{－3，－2，2}．3.{1，3，5}【解析】由A∩B＝{3}，得a＋2＝3，所以a＝1，所以A∪B＝{1，3，5}．4. {－1}【解析】因为A＝{－1，1}，所以A∩B＝{－1}．5.{x|－1≤x≤2}【解答】解不等式x2－x－2>0，得x<－1或x>2，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}．例2【思维引导】认清集合元素的属性(是点集)，根据x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z判断出集合A中的元素是圆x2＋y2＝3及其内部的整数点．【答案】9【解析】由题知集合A中的元素是圆x2＋y2＝3及其内部的整数点，有(0，1)，(0，－1)，(1，0)，(－1，0)，(1，1)，(1，－1)，(－1，1)，(－1，－1)，(0，0)，共9个．【精要点评】与集合中元素有关问题的求解策略：(1) 确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集；(2) 看这些元素满足什么限制条件；(3) 根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．变式 【答案】(1) 9 (2) －32【解析】(1) 集合B 中元素有(1，1)，(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，4)，(4，1)，(4，2)，(4，4)，共9个．(2) 由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32. 当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3， 故m ＝－32. 例3 【思维引导】(1) 对于B ⊆A ，一定要分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论．(2) “不存在元素x 使得x ∈A 与x ∈B 同时成立”表示A ∩B ＝∅.【解答】(1) ①当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；②当m ＋1≤2m －1，即m ≥2 时，要使B ⊆A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3. 综上，实数m 的取值范围为{m|m ≤3}．(2) 因为x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，不存在元素x 使得x ∈A 与x ∈B 同时成立，即A ∩B ＝∅.①若B ＝∅，即m ＋1＞2m －1，得m ＜2，此时满足条件；②若B ≠∅，则需满足的条件有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得m ＞4. 综上，实数m 的取值范围为{m |m <2或m >4}．【精要点评】(1) 空集是任何集合的子集，因此，当 B ⊆A 时需考虑 B ＝∅的情形；(2) 当A ∩B ＝∅时也需考虑B ＝∅的情形，当集合B 不是空集时，要保证B ⊆A ，可以利用数轴，这样既直观又简洁；(3) 虽然本题的难度不大，但都需要分两种情况进行讨论，在(1)中解不等式组时需求交集，而最终结果又都要求两种讨论结果的并集，因此，本题综合性还是很强的．变式1 【答案】(－∞，－1]【解析】因为B ⊆(A ∩B)，所以B ⊆A.①当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32. ②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a<a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1. 由①②可知，实数a 的取值范围为(－∞，－1]．变式2 【解答】(1) 由x 2－4x －5≤0，得－1≤x ≤5，所以A ＝[－1，5]．由2x －6≥0，得x ≥3，所以B ＝[3，＋∞)，所以M ＝[3，5]．(2) 因为M ∩C ＝M ，所以M ⊆C ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3，7－a ≥5，a －1≤7－a ，解得a ≤2.故实数a 的取值范围为(－∞，2]．课堂评价1. {－2，0，3}2. {－1，0}3. [－2，2] 【解析】由已知可得∁U A ＝[－2，2]．4. {1，3} 【解析】因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1，3}．5. (－∞，1] 【解析】当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A.当m>0时，因为A ＝{x|－1<x<3}．当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m<m ，解得0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．(第5题)第2课 四种命题和充要条件激活思维1. 若ab ≠0，则a ≠0 【解析】命题的条件是p ：a ＝0，结论是q ：ab ＝0.由命题的四种形式，可知命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若非q ，则非p ”，显然非q ：ab ≠0，非p ：a ≠0，所以该命题的逆否命题是“若ab ≠0，则a ≠0”．2. 2 【解析】原命题为真，所以逆否命题为真；逆命题为“若x 2>0，则x<0”为假命题，所以否命题为假．3. (1) 真 (2) 假4. 必要不充分5. m ＝－2 【解析】若函数f(x)＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称，则m ＝－2；反之也成立．所以函数f(x)＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2.知识梳理1. 若非p 则非q 若q 则p 若非q 则非p 逆否命题 否命题2. 充分 必要 非充分 非必要3. (1) 充分不必要 (2) 必要不充分 (3) 充要 (4) 既不充分也不必要4. 充分性 必要性课堂导学例1 【思维引导】原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．【答案】①③【解析】①显然正确；②原命题的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，故②不正确；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确；④若a ＋b 是偶数，则整数a ，b 都是偶数或都是奇数，故④不正确．【精要点评】对命题真假的判断，真命题要加以论证；假命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式．在判断命题真假的过程中，要注意简单命题与复合命题之间的真假关系，要注意四种命题之间的真假关系，原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价．因此，四种命题中真命题的个数只能是0，2或4.判断命题真假的2种方法：(1) 直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(2) 间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．例2 【思维引导】明确角θ的范围，判断充分性；由三角函数的值的范围确定角的范围，注意三角函数的周期性，判断必要性．【答案】充分不必要【解析】当⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12时，0<θ<π6，即0<sin θ<12，故充分性成立；由sin θ<12可取θ＝0，但此时不满足条件⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，故必要性不成立． 【精要点评】在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个是条件，哪个是结论；其次，要从两个方面，即“充分性”与“必要性”分别考查．判定时，对于有关范围的问题也可以从集合观点看，如p ，q 对应的范围为集合A ，B ，若A ⊂B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若A ＝B ，则p ，q 互为充要条件．变式 【答案】充要【解析】当A ＝60°时，可以推得cos A ＝12；当cos A ＝12时，由于A ∈(0°，180°)，也可以推得A ＝60°，故“A ＝60°”是“cos A ＝12”的充要条件．即“A ≠60°”是“cos A ≠12”的充要条件．例3 【思维引导】求a 的取值范围使它成为M ∩P 的不同条件，可借助集合的观点，根据要求，求出成立时a 的取值范围．【解答】(1) 由M ∩P ＝{x|5<x ≤8}，得－3≤a ≤5，因此M ∩P ＝{x|5<x ≤8}的充要条件是－3≤a ≤5.(2) 在集合{a|－3≤a ≤5}中取一个值即可，如取a ＝0，此时必有M ∩P ＝{x|5<x ≤8}； 反之，M ∩P ＝{x|5<x ≤8}未必有a ＝0，故a ＝0是所求的一个充分不必要条件．(3) 即求一个集合Q ，使{a|－3≤a ≤5}是集合Q 的一个真子集．如果是{a|a ≤5}，那么未必有M ∩P ＝{x|5<x ≤8}，但是M ∩P ＝{x|5<x ≤8}时，必有a ≤5，故a ≤5是所求的一个必要不充分条件．【精要点评】解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．变式1 【答案】[4，＋∞)【解析】由题意知A ＝{x|x ＜4}，且A ⊆B ，所以a ≥4.变式2 【解答】因为y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，所以y min ＝716，y max ＝2，所以y ∈⎣⎡⎦⎤716，2，所以A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，所以集合B ＝{x|x ≥1－m 2}．因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B ，所以1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34. 所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 例4 【思维引导】证明充分性，由“ac ＜0”推出“方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根”，证明必要性是由“方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根”推出“ac ＜0”，主要根据判别式、一元二次方程的根与系数的关系进行论证．【解答】设原方程的两根分别为x 1，x 2.①充分性：由ac<0，得a ，c 异号，所以Δ＝b 2－4ac>0，且x 1x 2＝c a<0， 故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正一负两个实数根．所以ac<0是原方程有一正一负两个实数根的充分条件．②必要性：若方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根，不妨设x 1>0，x 2<0，则x 1x 2<0，即c a<0，所以a ，c 异号，即ac<0， 故ac<0是原方程有一正一负两个实数根的必要条件．综上，ac<0是原方程有一正一负两个实数根的充要条件．【精要点评】充要条件的证明应注意：(1) 一般地，条件已知，证明结论成立是充分性，结论已知，推出条件成立是必要性．(2) 有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论．课堂评价1. 若tan α≠1，则α≠π4 【解析】命题的条件是p ：α＝π4，结论是q ：tan α＝1.由命题的四种形式，可知命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若非q ，则非p ”，显然非q ：tan α≠1，非p ：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 2. 充要 【解析】当a ＝0时，f(x)＝x 3，所以函数f(x)是奇函数．当函数f(x)＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数时，f (－x )＝－x 3＋ax 2＝－f (x )＝－x 3－ax 2，所以2ax 2＝0恒成立，所以a ＝0.所以“a ＝0” 是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件．3. 充分不必要 【解析】由x 3>8，得x>2.由|x|>2，得x>2或x<－2，故x 3>8是|x|>2的充分不必要条件．4. (0，3) 【解析】令M ＝{x|a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x|x 2－4x<0}＝{x|0<x<4}．因为p 是q 的充分不必要条件，所以M N ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a>0，a ＋1<4，解得0<a<3. 5. 【解答】当x>0时，y ＝x 1＋x ＝1－11＋x ，易知y ＝x 1＋x 在(0，＋∞)上单调递增．又y ＝x 1＋|x|是奇函数，所以y ＝x 1＋|x|在(－∞，＋∞)上单调递增，从而f(x)＝x 1＋|x|＋e x 在(－∞，＋∞)上单调递增．先证充分性：因为x 1＋x 2>0，所以x 1>－x 2，又f(x)＝x 1＋|x|＋e x 在(－∞，＋∞)上为单调增函数，所以f(x 1)>f(－x 2)，同理，f(x 2)>f(－x 1)，故f(x 1)＋f(x 2)>f(－x 1)＋f(－x 2)．充分性证毕．再证必要性：记g(x)＝f(x)－f(－x)，由f(x)＝x 1＋|x|＋e x 在(－∞，＋∞)上单调递增，可知f(－x)在(－∞，＋∞)上单调递减，所以g(x)＝f(x)－f(－x)在(－∞，＋∞)上单调递增．由f(x 1)＋f(x 2)>f(－x 1)＋f(－x 2)，可得f(x 1)－f(－x 1)>f(－x 2)－f(x 2)，即g(x 1)>g(－x 2)，所以x 1>－x 2，x 1＋x 2>0.必要性证毕．第3课 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词激活思维1. 真 【解析】因为2是质数，所以p 为真命题，q 也是真命题，故p 且q 为真命题．2. ∃x ∈R ，x 2＋x ＋1≤03. ∀x ∈N ，x 2>04. 真 【解析】当a ＝0时，函数f(x)是偶函数，故为真命题．5. (－∞，－2) 【解析】∀x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，2]，所以m <－ 2.知识梳理1. 全体 全称量词 ∀x ∈M ，p(x)2. 部分 ∃ 存在量词 ∃x 0∈M ，p(x 0)3. 或 且 非4. ∃x ∈M ，非p(x)5. 真 假 假 真 假 真6. 不是 不一定是 不都是 小于或等于 大于或等于 或 一个也没有 至多有n －1个 至少有两个 存在一个x 不成立课堂导学例1 【答案】①④【解答】因为y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上为减函数，所以y ＝－2－x ＝－⎝⎛⎭⎫12x在R 上为增函数，所以y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，故p 1是真命题．又y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数是错误的，故p 2是假命题，所以①p 1∨p 2是真命题；②p 1∧p 2是假命题；③(非p 1)∧p 2是假命题；④p 1∧(非p 2)是真命题．【精要点评】判断含有逻辑联结词命题真假的步骤：(1) 先判断简单命题p ，q 的真假；(2) 再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．变式 【答案】③⑤【解析】当x ＜0时，2x ＞3x ，所以不存在x ∈(－∞，0)，使得2x ＜3x 成立，即p 为假命题；显然对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，恒有cos x ＜1，所以命题q 为真命题，所以(非p)∧q 和(非p)∨(非q)是真命题．例2 【思维引导】 本题考查命题的否定形式，要分析其是全称命题还是存在性命题，要抓住本质，然后根据其否定形式来判断其真假．【解答】(1) 非p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14＜0，假命题． (2) 非q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3) 非r ：所有的实数都有平方根，假命题．(4) 非s ：存在一个末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题．(5) 非t ：存在一个菱形，它的对角线互相不垂直或互相不平分，假命题．【精要点评】在含有一个量词的命题的否定中，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题，一般命题的否定只需直接否定结论即可．判断一个命题是全称命题还是存在性命题时，要抓住其本质含义是全部还是部分．对于存在性命题的判断，只要能找到符合要求的元素使命题成立，即可判断该命题成立，对于全称命题的判断，必须对任意元素证明这个命题为真，而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判断该命题不成立．变式 【答案】∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1例3 【思维引导】先确定命题p 与q 分别为真命题时，实数a 的取值范围，再根据“p ∧q ”为真命题，知p ，q 均为真命题，通过解不等式组确定答案．【答案】{a|a ≤－2或a ＝1}【解答】由题意知，p ：a ≤1，q ：a ≤－2或a ≥1.因为“p ∧q ”为真命题，所以p ，q 均为真命题，所以a ≤－2或a ＝1.【精要点评】根据命题真假求参数范围的步骤：(1) 先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2) 然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3) 最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．变式 【答案】(－∞，－2]∪(－1，＋∞)【解析】若命题p 是真命题，则m ≤－1；若命题q 是真命题，则Δ＝m 2－4<0，即－2<m<2，所以p ∧q 为真命题时，－2<m ≤－1，所以p ∧q 为假命题时，m ≤－2或m>－1.课堂评价1. 真 【解析】当x ＝1时，x 2－1≥0.2. ∃x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x ≥1 3. [e ，4] 【解析】因为命题“p ∧q ”是真命题，所以p ，q 同为真．因为对任意x ∈[0，1]，a ≥e x ，所以a ≥e .由存在x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，可得Δ＝16－4a ≥0，即a ≤4.综上，e ≤a ≤4.4. ⎝⎛⎦⎤0，12∪[1，＋∞) 【解析】若命题p 为真命题，则0<c<1.若命题q 为真命题，当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f(x)＝x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，则1c <2，结合c>0可得c>12.因为“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，故p 与q 一真一假．当p 真q 假时，0<c ≤12；当p 假q 真时，c ≥1，故c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，12∪[1，＋∞)． 5. [－8，＋∞) 【解析】当x ∈[1，2]时，x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1是增函数，所以3≤x 2＋2x ≤8，由题意得a ＋8≥0，所以a ≥－8.第二章 函数与基本初等函数Ⅰ第4课 函数的概念及其表示法激活思维1. ③ 【解析】对于①，当x ＝2时，集合B 中没有与之对应的元素，故①不是函数；对于②，当x ＝0时，1x 2没有意义，故②不是函数；对于④，集合A 是点集，不是数集，故④不是函数；所以只有③满足条件，是函数．2. 0或1 【解析】若1是函数定义域中的元素，则根据函数的定义可知交点个数为1，若1不是函数定义域中的元素，则交点个数为0.3. －4 【解析】由表中函数值得f(3)＝－4.4. log 32 【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3x ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x>1，－x ＝2，解得x ＝log 32. 5. f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，－12x ，0<x ≤2 【解析】观察图象，知此函数是分段函数，并且在每段上均是一次函数，利用待定系数法求出解析式．当－1≤x ≤0时，f(x)＝x ＋1；当0<x ≤2时，f(x)＝－x 2.所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，－12x ，0<x ≤2.知识梳理1. 非空 对应法则f 每一个 唯一 f ：A →B 定义域 值域2. 定义域 值域 对应法则 定义域 对应法则 值域 定义域 对应法则3. 解析法 列表法 图象法4. 非空 任意一个 唯一 f ：A →B课堂导学例1 【思维引导】判断标准：根据给出的定义域和对应法则，看自变量x 在其定义域内的每一个值是否有确定且唯一的函数值与之对应．【解答】(1) 对于任意一个实数x ，y ＝x 2＋2x ＋1都被x 唯一确定，所以当x ∈R 时，y ＝x 2＋2x ＋1是函数．(2) 对于任意一个不为零的实数x ，y ＝1x 都被x 唯一确定，所以当x ∈R 且x ≠0时，y ＝1x是函数．(3) 考虑输入值1，即当x ＝1时，y ＝±1，这时一个输入值与两个输出值对应(不是单值对应)，所以不是函数．【精要点评】由解析式判断函数关系，从三个角度入手：(1) 定义域是否为数集；(2) 定义域中每个值是否使解析式都有意义；(3) 由解析式算出的数是否唯一．变式1 【解答】(1) 对于任意一个实数x ，y ＝12x 都被x 唯一确定，所以当x ∈R 时，y ＝12x 是函数． (2) 是函数．(3) 考虑输入值1，即当x ＝1时，y ＝±1，这时一个输入值与两个输出值对应(不是单值对应)，所以不是函数．(4) 两个集合都不是数集，所以不是函数．变式2 【思维引导】对于两个函数y ＝f(x)和y ＝g(x)，当且仅当它们的定义域、值域和对应法则都相同时，y ＝f(x)和y ＝g(x)才表示同一函数．而我们一般只要先考查定义域，再考虑对应法则即可．【解答】(1) 由于f(x)＝x 2＝|x|，g(x)＝3x 3＝x ，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数．(2) 由于函数f(x)＝|x|x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x<0的定义域为R ，所以它们不是同一函数．(3) 由于函数f (x )＝x ·x ＋1的定义域为{x |x ≥0}，而g (x )＝x 2＋x 的定义域为{x |x ≤－1或x ≥0}，所以它们不是同一函数．(4) 两个函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数．【精要点评】 (1) 分析有关函数定义的问题，一定要与映射相结合，由映射中原象与象的特点解决问题．(2) 判断两个或几个函数是否为同一函数，主要从定义域、对应法则和值域这三方面进行判断．有时要对函数的解析式进行化简，然后进行分析．例2 【解答】(1) 令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，所以f(t)＝2(t －1)2＋1＝2t 2－4t ＋3，所以f(x)＝2x 2－4x ＋3.(2) 根据题意，可设f(x)＝ax ＋b(a ≠0)，则f(f(x))＝af(x)＋b ＝a(ax ＋b)＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋3，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3， 所以f(x)＝2x ＋1或f(x)＝－2x －3.(3) 因为2f(x)－f(－x)＝x ＋1，用－x 去替换等式中的x ，得2f(－x)－f(x)＝－x ＋1，联立两式消去f(－x)，得f(x)＝x 3＋1. 变式 【解答】(1) 令t ＝1x ，则x ＝1t ，所以f(t)＝1t 2＋5t， 故f(x)＝5x ＋1x 2(x ≠0)． (2) 依题意，设f(x)＝ax(x ＋2)＝ax 2＋2ax(a>0)．易知f(x)图象的对称轴是直线x ＝－1，所以f(－1)＝－1，即a －2a ＝－1，解得a ＝1，所以f(x)＝x 2＋2x.因为函数g(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，所以g(x)＝－f(－x)＝－x 2＋2x.(3) 由题意可知 f(x)－2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x(x ≠0)， ①则f ⎝⎛⎭⎫1x －2f(x)＝1x(x ≠0)， ② ①＋②×2，得－3f(x)＝x ＋2x ，所以f(x)＝－13x －23x(x ≠0)． 例3 【思维引导】把f(10)，f(－100)分别改写成f(100－90)，f(－10－90)，然后代入解析式求解．【答案】－8【解析】因为f(10)＝f(100－90)＝lg 100＝2，f(－100)＝f(－10－90)＝－(－10)＝10，所以f(10)－f(－100)＝2－10＝－8.【精要点评】分段函数的求值问题的解题思路(1) 求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2) 求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．变式 【答案】109【解析】由题意可得f ⎝⎛⎭⎫14＝log 214＝－2，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝f(－2)＝3－2＋1＝109. 例4 【思维引导】解决分段函数的基本原则是分段进行，即自变量的取值属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决．【解答】(1) 若a ≥0，则23a －1＞a ， 所以a ＜－3，不合题意，舍去；若a ＜0，则1a＞a ，所以a ＜－1. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，－1)．(2) 由f(f(b))＝－2，知f(b)＜0且1f （b ）＝－2，所以f(b)＝－12，代入，得b ＝34或－2. 【精要点评】有关分段函数的问题中，给出分段函数的解析式，常从以下三个方面考查：一是求函数值，特别是求复合函数的值，其方法是在不同的分段上代入不同的解析式；二是研究这个分段函数的单调性，方法是根据函数在各个分段上的单调性，整合为整个定义域上的单调性；三是求最值，其方法是求出函数在各个分段上的最值，这些最值中最大的是最大值，最小的是最小值．变式 【答案】(1) 8或－83(2) 2 【解析】(1) 当m>0时，2－m<2，2＋m>2，所以3(2－m)－m ＝－(2＋m)－2m ，所以m＝8；当m<0时，2－m>2，2＋m<2，所以3(2＋m)－m ＝－(2－m)－2m ，所以m ＝－83.故m的值为8或－83.(2) 当a ＞0时，f(a)＝－a 2＜0，f(f(a))＝a 4－2a 2＋2＝2，解得a ＝2(a ＝0与a ＝－2舍去)．当a ≤0时，f(a)＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1＞0，f(f(a))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解．所以a ＝ 2.课堂评价1. ④ 【解析】容易作出题中给出的四个函数的图象，对于函数y ＝4－x 2，集合A 中的2所对应的数为0，不在集合B 中．故④不是A 到B 的函数．2. g(x)＝3x 2－2x 【解析】设g(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，因为g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，所以g(x)＝3x 2－2x.3. 2 【解析】f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2.4. ⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 【解析】当x ≤0时，f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝x ＋1＋x －12＋1>1，所以x>－14，所以－14<x ≤0；当0<x ≤12时，f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋x －12＋1>1恒成立；当x>12时，f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋2x －12>1恒成立．综上，x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 5. f(x)＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2 【解析】由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2，所以f(x)＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f(x)的解析式是f(x)＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.第5课 函数的定义域与值域激活思维1. [2，3)∪(3，＋∞) 【解析】要使函数有意义，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x －3≠0，解得x ≥2且x ≠3.2. {0，2，6} 【解析】当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0；当x ＝2时，y ＝2；当x ＝3时，y ＝6.所以值域为{0，2，6}．3. 0 【解析】因为f(x)＝(x －1)2－4，所以当x ＝－1时，函数f(x)取得最大值0.4. ⎝⎛⎦⎤12，2 【解析】因为x ∈[2，5)，所以x －1∈[1，4)．当x －1∈[1，4)时，2x －1∈⎝⎛⎦⎤12，2.5. 9 【解析】定义域为两个元素有{－2，－1}，{－2，1}，{－1，2}，{1，2}；定义域为三个元素有{－2，－1，1}，{－2，－1，2}，{－1，1，2}，{－2，1，2}；定义域为四个元素有{－2，－1，1，2}．故这样的函数一共有9个．知识梳理1. (1) 有意义 (2) 不等于0 非负数 不等于0 (3) 大于0 大于0且不等于1 (4) 实际意义2. (1) 定义域与对应法则 观察法 (2) 配方法 (3) 分离常数法 判别式法 (4) 单调性 (5) 基本不等式 (6) 几何意义 (7) 导数课堂导学例1 【思维引导】(1) 偶次根式中被开方数大于等于零，分式中分母不等于零；(2) 0次幂的底数不能为0；(3) f(x)的定义域为[a ，b]，其复合函数f(x ＋1)的定义域由不等式a ≤x ＋1≤b 求出．【答案】(1) ⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 (2) ⎝⎛⎭⎫－34，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，45∪⎝⎛⎭⎫45，＋∞ (3) [0，1)∪(1，2 019] (4) ⎣⎡⎦⎤12，52【解析】(1) 由函数y ＝1－x 22x 2－3x －2，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以所求函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1. (2) 由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3>0，4x ＋3≠1，5x －4≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x>－34，x ≠－12，x ≠45，故所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎫－34，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，45∪⎝⎛⎭⎫45，＋∞. (3) 令t ＝x ＋1，由已知函数的定义域为[1，2 020]，可知1≤t ≤2 020.要使函数f(x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2 020，解得0≤x ≤2 019，故函数f(x ＋1)的定义域为[0，2 019]，所以使函数g(x)有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2019，x －1≠0，解得0≤x<1或1＜x ≤2 019，故函数g(x)的定义域为[0，1)∪(1，2 019]．(4) 对于函数f(x －1)，因为x ∈[3，7]，所以x －1∈[2，6]．对于函数f(2x ＋1)，有2x ＋1∈[2，6]，所以x ∈⎣⎡⎦⎤12，52，故所求函数的定义域为⎣⎡⎦⎤12，52. 【精要点评】函数定义域的求解策略(1) 已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2) 实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成不等式(组)求解． (3) 抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a ，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 求出；②若已知函数f(g(x))的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x ∈[a ，b]时的值域． 高频考点·题组强化1. [－2，2] 【解析】由lg (5－x 2)≥0，得5－x 2≥1，即x 2－4≤0，解得－2≤x ≤2. 2. [－3，1] 【解析】要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3，1]．3. ⎝⎛⎦⎤32，2 【解析】由题意得log 12(2x －3)≥0⇒0<2x －3≤1⇒32<x ≤2，即函数f(x)的定义域是⎝⎛⎦⎤32，2.4. (－2，2] 【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤2，故所求函数的定义域为(－2，2]．5. (－1，3) 【解析】当x ∈(0，2)时，2x －1∈(－1，3)，故f(x)的定义域为(－1，3)．微探究1·题组强化1. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ≠13 【解析】由y ＝x ＋13x ＋2，可得x ＝1－2y 3y －1，所以3y －1≠0，从而原函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ≠13.2. ⎝⎛⎦⎤－∞，12 【解析】方法一：(换元法)令1－2x ＝t ，t ≥0，x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，12. 方法二：(单调性法)函数的定义域为⎝⎛⎦⎤－∞，12，且函数y ＝x －1－2x 在⎝⎛⎦⎤－∞，12上单调递增，所以y ≤y|x ＝12，故函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，12. 3. (0，5] 【解析】因为2x 2－4x ＋3＝2(x －1)2＋1≥1，所以0<12x 2－4x ＋3≤1，所以0<y ≤5，所以函数的值域为(0，5]．4. (－∞，1] 【解析】画出f(x)的图象如图所示，由图可知函数的值域为(－∞，1]．(第4题)5. ⎣⎡⎦⎤2，103 【解析】令t ＝f(x)，则t ∈⎣⎡⎦⎤12，3，F(t)＝t ＋1t ∈⎣⎡⎦⎤2，103. 例3 【思维引导】可先求出使函数有意义的不等式(组)，再对其中的参数进行分类讨论即可．【解答】(1) ①若1－a 2＝0，即a ＝±1.当a ＝1时，f(x)＝6，定义域为R ，符合题意；当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6，定义域为[－1，＋∞)，不符合题意． ②若1－a 2≠0，则g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数． 由题意知g (x )≥0对x ∈R 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，（a －1）（11a ＋5）≤0，解得－511≤a <1.综上，实数a 的取值范围是[－511，1]．(2) 由题意知，不等式(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2，1]，显然1－a 2≠0且－2，1是方程(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2<0，－2＋1＝3（1－a ）a 2－1，－2＝61－a2，Δ＝[3（1－a ）]2－24（1－a 2）>0，解得a ＝2，即实数a 的值为2.【精要点评】解决本题的关键是理解函数的定义域是R 的意义，并会对函数式进行分类讨论，特别要注意不要遗漏对第一种情况a 2－1＝0的讨论．变式 【解答】(1) 因为f(x)的值域是[0，＋∞)，即f(x)min ＝0，所以4（2a ＋6）－（4a ）24＝0，解得a ＝－1或32.(2) 若函数f(x)≥0恒成立，则Δ＝(4a)2－4(2a ＋6)≤0，即2a 2－a －3≤0，所以－1≤a ≤32，所以g(a)＝2－a|a －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋2，－1≤a ≤1，－a 2＋a ＋2，1<a ≤32.当－1≤a ≤1时，g(a)＝a 2－a ＋2＝⎝⎛⎭⎫a －122＋74，所以g(a)∈⎣⎡⎦⎤74，4； 当1<a ≤32时，g(a)＝－a 2＋a ＋2＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋94，所以g(a)∈⎣⎡⎭⎫54，2. 综上，函数g(a)＝2－a|a －1|的值域是⎣⎡⎦⎤54，4. 课堂评价1. (1，2)∪(2，＋∞) 【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x>1，ln （x －1）≠0，解得x>1且x ≠2，所以函数的定义域为(1，2)∪(2，＋∞)．2. (0，＋∞) 【解析】因为3x ＋1>1，所以f(x)＝log 2(3x ＋1)>log 21＝0.3. (2，8] 【解析】要使函数g(x)有意义，需f(x)＞0，由f(x)的图象可知，当x ∈(2，8]时，f(x)＞0.4. [1，5] 【解析】当a －1＝0时，显然成立．当a －1≠0时，因为函数f(x)的定义域为R ，所以(a －1)x 2＋(a －1)x ＋1≥0对x ∈R 恒成立，因此有a －1＞0且Δ＝(a －1)2－4(a －1)≤0，解得1＜a ≤5.综上，1≤a ≤5.5. ⎣⎡⎦⎤32，3 【解析】因为f(x)＝x 2－3x －4＝⎝⎛⎭⎫x －322－254，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝－254.又f(0)＝f(3)＝－4，所以由二次函数图象可知32≤m ≤3.第6课 函数的单调性激活思维1. ②③ 【解析】根据单调性的定义，结合函数图象分析．2. ⎣⎡⎭⎫32，4 【解析】函数f(x)的定义域是(－1，4)，令u(x)＝－x 2＋3x ＋4，则u(x)＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋254的单调减区间为⎣⎡⎭⎫32，4.因为e >1，所以函数f(x)的单调减区间为⎣⎡⎭⎫32，4. 3. (－2，1) 【解析】因为f(x)在R 上是单调减函数，所以由f (2－a 2)＜f (a )，可得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1.4. 1 【解析】函数y ＝1x 在区间[1，3]上是单调减函数，所以当x ＝1时，y max ＝1.5. 10 【解析】函数f(x)＝5x 2＋mx ＋4的图象为开口向上，对称轴是x ＝－m10的抛物线，要使函数f(x)＝5x 2＋mx ＋4在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[－1，＋∞)上是增函数，则－m10＝－1，所以m ＝10.知识梳理1. (1) 给定区间上 任意 x 1<x 2 f(x 1)<f(x 2) f(x 1)>f(x 2) (2) 单调区间 增区间 减区间2. 单调性 增增(或减减)则增，增减(或减增)则减 课堂导学例1 【解答】任取0＜x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝e x 1－e x 2＋1e x 1－1e x 2＝(e x 2－e x 1)⎝⎛⎭⎫1e x 1＋x 2－1.因为x 2>x 1>0，所以e x 2>e x 1，e x 1＋x 2>e 0＝1， 所以e x 2－e x 1>0，1e x 1＋x 2－1<0，所以f(x 1)－f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)， 所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．【精要点评】证明函数单调性的基本步骤：(1) 设变量；(2) 作差(作商)，变形；(3) 定号；(4) 下结论．其中(2)(3)是解题的关键．在遇到其他综合问题时，也可以使用图象法、复合函数单调性规律等方法来解题．变式 【解答】设－1＜x 1＜x 2＜1，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 21－1－x 2x 22－1＝（x 2－x 1）（x 1x 2＋1）（x 21－1）（x 22－1）. 因为－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1x 2＋1＞0，(x 21－1)(x 22－1)＞0， 所以f(x 1)－f(x 2)＞0，即f(x 1)＞f(x 2)，故函数f(x)在(－1，1)上为减函数．例2 【思维引导】若函数f(x)为R 上的单调减函数，则该函数在实数集的任意子区间上也是单调减函数；对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．【答案】⎝⎛⎦⎤0，14 【解答】由题意知f (x )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a －3＜0，a 0≥（a －3）×0＋4a ，解得0<a ≤14.【精要点评】利用单调性求参数的取值范围(或值)的方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．高频考点·题组强化1. (－∞，0)∪(1，3] 【解析】当a －1>0，即a ＞1时，由题意知1<a ≤3；当a －1<0，即a<1时，要使f(x)在区间(0，1]上是减函数，则－a>0，此时a<0.故实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(1，3]．2. (0，1] 【解析】易知f(x)在[a ，＋∞)上是减函数，对于g(x)，只有当a>0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1，2]是f(x)和g(x)的减区间的子集即可，则a 的取值范围是(0，1]．3. 8 【解析】f(x)＝x|2x －a|＝⎩⎨⎧x （2x －a ），x>a2，－x （2x －a ），x ≤a2(a>0)，由f(x)的图象可得该函数的单调减区间是⎣⎡⎦⎤a 4，a 2，所以⎩⎨⎧a4≤2，a2≥4，解得a ＝8. 4. ⎣⎡⎦⎤0，14 【解析】当a ＝0时，f(x)＝－x ＋1在(－∞，2)上单调递减；当a ≠0时，要使f(x)在(－∞，2)上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a>0，12a≥2，解得0<a ≤14.综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，14.5. [0，1) 【解析】因为函数f(x)满足(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]>0，x 1≠x 2，所以函数f(x)在 [－2，2]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a 2－a ≤2，－2≤2a －2≤2，2a －2<a 2－a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤2，0≤a ≤2，a<1或a>2，所以0≤a<1.例3 【思维引导】(1) 对于抽象函数的问题，要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f(x)为单调减函数的首选方法是选用单调性的定义来证．(2) 用函数的单调性即可求最值．【解答】(1) 方法一：因为函数f(x)对于任意的x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，令x ＝y ＝0，得f (0)＝0.再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)． 因为当x >0时，f (x )<0，又x 1－x 2>0，所以f (x 1－x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)．因此函数f (x )在R 上是减函数．方法二：设x 1>x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)． 因为当x >0时，f (x )<0，又x 1－x 2>0， 所以f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在R 上为减函数． (2) 因为f (x )在R 上是减函数，所以f (x )在[－3，3]上也是减函数，所以f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值分别为f (－3)和f (3)．又f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2，所以函数f (x )在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2.【精要点评】对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2，在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或比较f （x 1）f （x 2）与1的大小．有时根据需要可作适当地变形，如x 1＝x 2·x 1x 2或x 1＝x 2＋x 1－x 2等，利用函数单调性可以求函数最值．变式 【解答】(1) 设x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，因为当x>0时，f(x)>1， 所以f(x 2－x 1)>1.又f(x 2)＝f[(x 2－x 1)＋x 1]＝f(x 2－x 1)＋f(x 1)－1， 所以f(x 2)－f(x 1)＝f(x 2－x 1)－1>0⇒f(x 1)<f(x 2)， 所以f(x)在R 上为增函数．(2) 因为m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1，所以f (1＋1)＝f (1)＋f (1)－1⇒f (2)＝2f (1)－1， f (3)＝4⇒f (2＋1)＝f (2)＋f (1)－1＝3f (1)－2＝4， 所以f (1)＝2，所以f (a 2＋a －5)<2＝f (1)．因为f (x )在R 上为增函数，所以a 2＋a －5<1⇒－3<a <2， 即不等式的解集是(－3，2)． 课堂评价1. ⎝⎛⎦⎤－∞，－12 【解析】y ＝x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34，其对称轴方程为x ＝－12，在对称轴左侧单调递减，所以所求单调减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12. 2. (－∞，2) 【解析】令u ＝x 2－5x ＋6>0，得x>3或x<2.因为函数y ＝log 0.5u 在(0，＋∞)上为减函数，函数u ＝x 2－5x ＋6在(－∞，2)上为减函数，所以原函数的单调增区间为(－∞，2)．3. f(x)＝sin x(答案不唯一) 【解析】令f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，4－x ，x ∈（0，2]，则f(x)>f(0)对任意的。
2020高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件第1讲 集合及其运算 .ppt
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第1讲 集合及其运算
双
向
固 基
2．已知集合 A＝{2a，3}，B＝{2，3}．若 A∪B＝{1，2，
础 3}，则实数 a 的值为________．
[答案] 0 [解析] 由题意知 2a＝1，解得 a＝0.
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第1讲 集合及其运算
双 向
2．集合问题中的两个难点
固
(1)1∈{x|x2＋ax＋1＝0}和{x|x2＋ax＋1＝0}＝{1}的含
基 础
义相同．(
)
(2)一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素
所组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集．这里的“或”与
生活中的“或”意思相同．( ) [答案] (1)× (2) ×
第1讲 集合及其运算
双
向
固
基
(5)集合的代表元素
础
集 合
{x|f(x)＝0}
{x|f(x)>0}
{x|y＝f(x)} {y|y＝f(x)} {(x，y)|y＝f(x)}
集 方程f(x)＝
函数y＝
合 含
0的___解__集___
不等式 f(x) >0 的解集
f_(_x)_的__定___ 义域
义
函数y＝f(x)
(3)对于含有 n 个元素的有限集合 M，其子集、真子集、
非空子集、非空真子集的个数依次为 2n，2n－1，2n－1，2n
－2.
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第1讲 集合及其运算
双
向
—— 链接教材 ——
固
基 础
1．设 A＝{(x，y)|y＝－4x＋6}，B＝{(x，y)|y＝5x－3}，
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②建模：把自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③求模：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将数学结论还原为实际问题的意义．
【重点难点突破】
考点1 一次函数与二次函数模型
【1-1】某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差_________元．
考点2 分段函数模型
【2-1】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
【2-2】某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．
(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式并化简；
(2)当x为多少平方米时，y取得最小值，最小值是多少万元？
【易错试题常警惕】
数学实际应用问题，一定要正确理解题意，选择适当的函数模型；合理确定实际问题中自变量的取值范围；必须验证答案对实际问题的合理性．
如：如图所示，在矩形中，已知，（）．在、、、上分别截取、、、都等于，当为何值时，四边形的面积最大？求出这个最大面积．
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
∴F(t)在[0,20]上是增函数，
∴F(t)在此区间上的最大值为F(20)＝6 000<6 300。
当20<t≤30时，F(t)＝60。
由F(t)＝6 300，得3 t2－160t＋2 100＝0，
解得t＝(舍去)或t＝30。
当30<t≤40时，F(t)＝60。
由F(t)在 (30,40]上是减函数，得F(t)<F(30)＝6 300。
【答案】(1) x＝1－ (2) 5．(3)15。
【3-2】某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，判定该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)。
【答案】略有亏损
【思想方法】
(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．
【思想方法】
(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；
(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；
(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
【温馨提醒】
1．易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．
2．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．
(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系；
(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．
【答案】(1) f(t)＝ g(t)＝－t2＋6t(0≤t≤40)．(2) 上市后的第30天．
(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．
(3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．
【温馨提醒】解指数不等式时，一定要化为同底，且注意对应函数的单调性．
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
2．三种函数模型性质比较
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的单调性
增函数
增函数
增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图像的变化
随x值增大，图像与y轴接近平行
随x值增大，图像与x轴接近平行
随n值变化而不同
【考点深度剖析】
解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解：(1)由已知条件得C(0)＝8，则k＝40，
因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋(0≤x≤10)．
(2)f(x)＝6x＋10＋－10≥2 －10＝70(万元)，
当且仅当6x＋10＝，
即x＝5时等号成立．
【分析】设四边形的面积为，则，
，
，由图形知函数的定义域为．，，若
，即时，，使面积取得最大值；若，即时，函数在上是增函数，此时当时，有最大值为
．综上可知，若，当时，四边形的面积取得最大值；若，当时，四边形的面积取得最大值．
【易错点】忽略实际问题中自变量的取值范围，造成与实际问题不相符合的错误结论．
【练一练】某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留宽的通道，沿前侧内墙保留宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？
(3)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．
[即时应用]
“水资源与永恒发展”是20xx年联合国世界水资源日主题，近年来，某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0。2。为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝(x≥0，k为常数)．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．
了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题。
理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题。
掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题。
【直击教材】
1．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．
考点3 指数函数模型
【3-1】一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的。
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6 300万元，为上市后的第30天．
【思想方法】
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．
(2) 分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)．
【温馨提醒】构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏．
【答案】当矩形温室的边长各为，时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是．
所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．
[由题悟法]
应用函数y＝x＋模型的关键点
(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)＝ax与反比例函数f(x)＝叠加而成的．
(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)＝ax＋的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f(x)＝ax＋的形式．
【高中教育】2020（江苏专版）高考数学一轮复习专题2
编 辑：__________________
时 间：__________________
【20xx精选】最新（江苏专版）高考数学一轮复习 专题2
【考纲解读】
内容
要求备注ABC函数概念与基本初等函数Ⅰ
函数模型及其应用
√
对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）。
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式．
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)．
【答案】(1) v(x)＝(2) 当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值．
答案：200