1990年全国高中数学联赛试题及解答

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1990年数学高考真题

1990年数学高考真题
一、填空题
1.已知函数f(x)＝x²＋2x＋1，则f(-1)＝______。

2.若180°＜A＜360°，则cosA的值为______。

3.一般三角形有______个高。

4.已知三角函数tanB＝-√3，则角B的终边在______象限。

5.若x＜y，则根式(√x+√y)²等于______。

二、计算题
1.计算(2^3⁄4)÷(2^2⁄3)
2.已知a＝2，b＝-1，则a²-b²-2ab的值为______。

3.计算√3⁄2＋√3⁄6-√2。

4.在三角形ABC中，角A＝45°，角B＝60°，则角C的大小为
______。

5.已知a＝√3＋1，b＝√3-1，则a²-b²的值为______。

三、解答题
1.证明：cos(A+B)＝cosAcosB-sinAsinB。

2.已知在三角形ABC中，角A＝30°，角B＝60°，L为BC的中点。

求L与A的夹角。

3.已知函数f(x)＝3x²-11x＋10，计算f(1)、f(-2)以及f(3)。

4.解方程组：
2x-y＝5
x+y＝3
5.在平面直角坐标系中，已知直线y＝kx-2过点A(1，7),求k的值。

以上为1990年数学高考真题，希望能够帮助大家对高考数学题目
有更加深入的理解，加深对数学知识的掌握。

祝愿大家都能够取得优
异的成绩！。

1990年高考全国卷数学试题及答案

1990年高考试题（理工农医类）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内.【】【】(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于【】(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是(A)1(B)2(C)3(D)4【】(5)【】【】(A){-2,4}(B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4}(D){-4,-2,0,4}(7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么【】(C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6【】(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线【】(B){(2,3)}(C)(2,3)(D){(x,y)│y=x+1}【】(11)如图,正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于【】(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满足│a－1│<h且│b-1│<h.那么【】(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件(C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有【】(A)24种(B)60种(C)90种(D)120种(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有【】(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是【】(A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2)二、填空题:把答案填在题中横线上.(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于.(18)已知{a n}是公差不为零的等差数列,如果S n是{a n}的前n项的和,那(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是.(20)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2＝.三、解答题.(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.(23)如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.(24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│＝a.n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围; (Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.1990年试题（理工农医类）答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)A(2)B(3)D(4)C(5)C(6)B (7)A(8)D(9)B(10)D(11)C(12)B (13)B(14)C(15)D二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.解法一:①由②式得d=12-2a.③整理得a2-13a+36=0解得a1=4,a2=9.代入③式得d1=4,d2=-6.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x①由①式得x=3y-12.③将③式代入②式得y(16-3y+12)=(12-y)2,整理得y2-13y+36=0.解得y1=4,y2=9.代入③式得x1=0,x2=15.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一:由已知得解法二:如图,不妨设0≤α≤β＜2π,且点A的坐标是（cosα,sinα）,点B的坐标是（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有解法三:由题设得4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).将②式代入①式,可得sin(α-)=sin(-β).于是α－＝(2k+1)π-(-β)(k∈Z),或α-=2kπ+(-β)(k∈Z).若α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),则α＝β＋(2k+1)π(k∈Z).于是sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.由此可知α-=2kπ+(-β)(k∈Z),即α＋β＝2+2kπ(k∈Z).所以(23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解法一:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E,∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD.而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,∴BD⊥DE,BD⊥DC.∴∠EDC是所求的二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.设SA＝a,又因为AB⊥BC,∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.解法二:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.∵DE面BDE,DC面BDC,∴∠EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.(24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解法一:设z＝x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.③(Ⅰ)令x>0,方程③变为x2＋2x=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;(Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a.⑤.由此可知:当a=0时,方程⑤无负根;当a>0时,方程⑤有负根x=1-.(Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a.由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0;当a>0时,方程⑥无零解.所以,原方程的实数解是:当a=0时,z=0;.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.⑦(Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a.⑧由此可知:当a>1时,方程⑧无实根.当a≤1时解方程⑧得y=1±,从而,当a=0时,方程⑧有正根y=2;当0<a≤1时,方程⑧有正根y=1±.(Ⅱ)令y<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即(y+1)2=1-a.⑨由此可知:当a>1时,方程⑨无实根.当a≤1时解方程⑨得y=-1±,从而,当a=0时,方程⑨有负根y=-2;当0<a≤1时,方程⑨有负根y=-1±所以,原方程的纯虚数解是:当a=0时,z=±2i;当0<a≤1时,z=±(1+)i,z=±(1-)i.而当a>1时,原方程无纯虚数解.解法二:设z=x+yi代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.即| x |2+2│x│=a.③解方程③得,所以,原方程的实数解是.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.即-│y│2 +2│y│=a.④当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2,即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i.当0<a≤1时,解方程④得,即当0<a≤1时,原方程的纯虚数解是.而当a>1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.解法三:因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y≠0).情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.情形2.若z=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形2.解法四:设z=r(cosθ+isinθ),其中r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得r2cos2θ＋2r+ir2sin2θ＝a.于是原方程等价于方程组情形1.若r=0.①式变成0=a.③由此可知:当a=0时,r=0是方程③的解.当a>0时,方程③无解.所以,当a=0时,原方程有解z=0;当a>0时,原方程无零解.考查r>0的情形.(Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为r2+2r=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;当a>0时,方程④有正根.所以,当a>0时,原方程有解.(Ⅱ)当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为-r2+2r=a,即(r-1)2=1-a,⑤由此可知:当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根;.从而,当a=0时,方程⑤有正根r=2;.所以,当a=0时,原方程有解z=±2i;当0<a≤1时,原方程有解当a>1时,原方程无纯虚数解.(25)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是其中a>b>0待定,0≤θ<2π.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则大值,由题设得,因此必有,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的参数方程是.解法二:设所求椭圆的直角坐标方程是其中a>b>0待定.,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则其中-byb.由此得,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的直角坐标方程是(26)本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.(Ⅰ)解:f(x)当x∈(-∞,1]时有意义的条件是1+2x+…(n-1)x+n x a>0x∈(-∞,1],n≥2,上都是增函数,在(-∞,1]上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值也就是a的取值范围为(Ⅱ)证法一:2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.即[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a]a∈(0,1],x≠0.②现用数学归纳法证明②式.（A）先证明当n=2时②式成立.假如0<a<1,x≠0,则(1+2x a)2=1+2·2x a+22x a2≤2(1+22x)<2(1+22x a).假如a=1,x≠0,因为1≠2x,所以因而当n=2时②式成立.（B）假如当n=k(k≥2)时②式成立,即有[1+2x+…+(k-1)x+k x a]2<k[1+22x+…+(k-1)2x a] a∈(0,1],x≠0,那么,当a∈(0,1],x≠0时[(1+2x+…+k x)+(k+1)xa]2=(1+2x+…+k x)2+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2=k(1+22x+…+k2x)+[2·1·(k+1)x a+2·2x(k+1)x a+…+2k x(k+1)x a]+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+{[1+(k+1)2x a2]+[22x+(k+1)2x a2]+…+[k2x+(k+1)2x a2]}+(k+1)2x a2]=(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a2]≤(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a],这就是说,当n=k+1时②式也成立.根据(A),(B)可知,②式对任何n≥2(n∈N)都成立.即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.证法二:只需证明n≥2时因为其中等号当且仅当a1=a2=…=a n时成立.利用上面结果知,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x].当0<a<1,x≠0时,因a2<a,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2≤n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a2]<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a].即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1),x≠0.。

1990年全国高中数学联合竞赛试题及解答

1990年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题： 1990*1．设⎪⎭⎫⎝⎛∈2,4ππα,则ααcos )(cos ，ααcos )(sin ，ααsin )(cos 的大小顺序是 A.<ααcos )(cos <ααcos )(sin ααsin )(cos B.<ααcos )(cos ααsin )(cos ααcos )(sin <C.<ααcos )(sin <ααcos )(cos ααsin )(cos D.ααsin )(cos <<ααcos )(cos ααcos )(sin◆答案：D ★解析：⎪⎭⎫⎝⎛∈2,4ππα得1sin cos 0<<<αα， ∴ <ααcos )(cos ααcos )(sin ；ααsin )(cos ααcos )(cos <；选D1990*2、设)(x f 是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当[]3,2∈x 时，x x f =)(，则当[]0,2-∈x 时，)(x f 的解析式是（） A. 4)(+=x x f B. x x f -=2)( C. 13)(+-=x x f D. 12)(++=x x f◆答案：C★解析：设[]1,2--∈x ,则[]3,24∈+x ,于是4)4(+=+x x f ，所以4)4()(+=+=x x f x f ，又设[)0,1-∈x ，则(]1,0∈-x ,故2)(+-=-x x f ，由2)()(+-=-=x x f x f . 综上可得：13)(+-=x x f 故选C ．1990*3、设双曲线的左右焦点是21,F F ，左右顶点是N M ,，若21F PF ∆的顶点P 在双曲线上，则21F PF ∆的内切圆与边21F F 的切点位置是（）A.在线段MN 内部B. 在线段M F 1内部或线段2NF 内部C.点M 或点ND.不能确定的◆答案：C★解析：设内切圆在三边上切点分别为F E D ,,，当P 在右支上时，a PF PF 221=-．又a DF DF PF PF 22121=-=-，即D 与N 重合；当P 在左支上时，同理D 与M 重合．故选C ．1990*4、点集⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=⎪⎭⎫⎝⎛++y x y x y x lg lg 9131lg |),(33中的元素个数为（） A. 0 B. 1 C.2 D.多于2◆答案：B★解析：由题意得0913133>=++xy y x ．又xy y x y x =⋅⋅≥++33333913139131，等号当且仅当913133==y x 时，即333=x ，393=y 时成立．故选B ．1990*5．设非零复数y x ,满足022=++y xy x ，则代数式19901990⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x y y x x 的值是( )A.19892-B.1-C.11D.以上答案都不对◆答案：B ★解析：记ω=yx或2ω，其中00120sin 120cos i +=ω．012=++ωω．且13=ω．若ω=y x，则得119901990-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x y y x x ．若2ω=y x ，则得119901990-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x y y x x ．选B ．1990*6．已知椭圆12222=+by a x (0>>b a )通过点)1,2(，所有这些椭圆上满足1>y 的点的集合用阴影表示是下面图中的()0)D.C.B.A.0)◆答案：C ★解析：由题意得11422=+b a ，由22b a >，故得222251411b b b b =+<<，即51<<b ．再由11422=+b a 得11422<+aa ，52>a ．故选C ．二．填空题：1990*7．设n 为自然数，b a ,为正实数，且满足2=+b a ，则nn b a +++1111的最小值是． ◆答案：1★解析：由题意得122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ，从而1≤nn b a ，故11111111≥++++++=+++nn n n n n n n b a b a b a b a ．注意以上式子的等号当且仅当1==b a 时成立．即所求最小值为1．1990*8．设)0,2(A 为平面上一定点，))602cos(),602(sin(0--t t P 为动点，则当t 由015变到045时，线段AP 扫过的面积是． ◆答案：6π ★解析：点P 在单位圆上，)2150cos()602sin(0t t -=-，)2150sin()602cos(0t t -=-.当t 由015变到045时，点P 沿单位圆从⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21运动到⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,21．线段AP 扫过的面积等于扇形面积等于6π． 1990*9．设n 为自然数，对于任意实数z y x ,,，恒有())(4442222z y x n z y x ++≤++成立，则n 的最小值是． ◆答案：3★解析：由于()2222224442222222z x z y y x z y x z y x +++++=++()()()()4444444444443z y x z x z y y x z y x ++=++++++++≤．等号当且仅当z y x ==时成立．故3=n ．1990*10．对任意正整数n ，连结原点O 与点)3,(+n n A n ，用)(n f 表示线段n OA 上的整点个数(不计端点)，则)1990()2()1(f f f ++的值为． ◆答案：1326★解析：线段n OA 的方程为x nn y 3+=(n x ≤≤0)，故)(n f 等于该线段内的格点数．若k n 3=(*∈N k )，则得x kk y 1+= (n x ≤≤0)(*∈N k )，其内有两个整点()1,+k k ，()22,2+k k ，此时2)(=n f ；若13±=k n (*∈N k )时，则由于3,+n n n 互质，故n OA 内没有格点，此时0)(=n f ．∴ 1326319902)1990()2()1(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=++f f f ．1990*11．设1990=n ，则()=++---1990995634223333121n n n n n C C C C ．◆答案：21-★解析：取19902321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-i 展开的实部即为此式．而i i 232123211990+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-．故原式21-=． 1990*12．8个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有种不同和排列方法．(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)． ◆答案：716!25!7C ⋅⋅★解析：每个女孩与其后的两个男孩组成一组，共8组，与余下9个男孩进行排列，某个女孩始终站第一个位子，其余7组在16198=-+个位子中选择7个位子，得716C 种选法．7个女孩可任意换位， 25个男孩也可任意换位，故共得716!25!7C ⋅⋅种排列方法．1990*13．已知b a ,均为正整数，且b a >，222sin b a ab +=θ，(其中20πθ<<)，θn b a A n n sin )(22+=．求证：对于一切自然数n ，n A 均为整数．★证明：由222sin ba ab +=θ，得2222cos b a b a +-=θ．记θn b a B nn sin )(22+=．当b a ,均为正整数时，ab A 21=、221b a B -=均为整数．()2224b a ab A -=，()()22222222b a b a B +--=也为整数．若θk b a A k k sin )(22+=、θk b a B kk sin )(22+=均为整数，则()()k k k k k B A B A k k b a k b a A 111221221sin cos cos sin )(1sin )(+=++=++=+++θθθθθ为整数．()()k k k k k A A B B k k b a k b a B 111221221sin sin cos cos )(1cos )(-=-+=++=+++θθθθθ也为整数．由数学归纳原理知对于一切N n ∈，n A ，n B 为整数．1990*14、2n 个正数排成n 行n 列：其中，每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比相等。

全国高中数学联赛1981-1990年

全国高中数学联赛历届真题1981第一届全国高中数学联赛试题部分一、选择题下面7个题目各提出四个答案，将你认为正确的答案的英文字母代号填写在题后的括号内. 1．条件甲：两个三角形的面积和二条边对应相等.条件乙两个三角形全等.(A)甲是乙的充分必要条件 (B)甲是乙的必要条件(C)甲是乙的充分条件 (D)甲不是乙的必要条件,也不是充分条件答( ) 2.条件甲:a =.条件乙: sincos22a θθ+=.(A)甲是乙的充分必要条件 (B)甲是乙的必要条件(C)甲是乙的充分条件 (D)甲不是乙的必要条件,也不是充分条件答( ) 3.设(0,1,2,...)2k a k π≠=±±,sin tan cos 9cot a a T a a+=+. (A)T 取负值 (B)T 取非负值(C)T 取正值 (D)T 取值可正可负答( )4.下面四个图形中,哪一个面积最大?(A)00:60,45,ABC A B AC ∠=∠== (B)梯形:夹角为075(C)圆:半径为1(D)正方形:对解线的长度为2.5答( ) 5.给出长方体''''ABCD A B C D -,下列十二条直线:',',',',',',',',,,'',''AB BA CD DC AD DA BC CB AC BD A C B D 中有多少对异面直线?(A)30对 (B)60对(C)24对 (D)48对答( )BA'C'6.在坐标平面上有两个区域M 和N.M 是由0,y y x ≥≤,和2y x ≤-这三个不等式确定的.N 是随t 变化的区域,它由不等式1t x t ≤≤+所确定的,t 的取值范围是01t ≤≤.设M 和N 的公共面积是函数()f t .则()f t 为:(A)212t t -++(B)222t t -+ (D)2112t - (D)21(2)2t -BPQ n ∠=答( ) 7.对方程||0x x px q ++=进行讨论,下面的结论中,哪能个是错误的?(A)至多有三个实根 (B)至少有一个实根(C)仅当240p q -≥才有实根 (D)当0p <和0q >时,有三个实根答( )三、在圆O 内，弦CD 平行于弦EF ，且与直径AB 交成045角.若CD 与EF 分别交直径AB于P 和Q,且圆O 的半径长为1.求证:2PC QE PD QF ⋅+⋅<.四、组装甲、乙、丙三种产品，需用A ，B ，C 三种零件.每件甲需用A,B 各2个;每件乙需用B,C 各1个;每件丙需用2个A 和1个C.用库存的A,B,C 三种零件,如组装成p 件甲产品、q 件乙产品和r 件丙产品,则剩下2个A 和1个B,但C 恰好用完.试证:无论臬改变产品甲、乙、丙的件数,也不能把库存的A,B,C 三种零件都恰好用完.五、一张台球桌开头是正六边形ABCDEF.一个球从AB 的中点P 击出,击中BC 边上的某点Q,并且依次碰击CD,DE,EF,FA 各边,最后击中AB 边上的某一点,设BPQ θ∠=,求θ的取值范围.提示:利用入射角等于反射角的原理1982 试题部分一、选择题本题共有8个小题，每一小题都有（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个答案供选择，其中有一个且只有一个答案是正确的，请把你认为正确的那个答案前的代号写在题后的括号内. 1．如果凸n 边形(4)F n ≥所有对角线都相等，那么（A ）{}F ∈四边形（B ）{}F ∈五边形（C ）{}{}F ∈⋃四边形五边形（D ）{}{}F ∈⋃各边相等的多边形内角相等的多边形答（） 2．极坐标方程11cos sin θθ-+所确定的曲线是（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线答（） 3．如果21231351523511(1)11(1)11(1)0og og og x og og og y og og og z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，那么（A ）z x y << （B ）x y z << （C ）y z x << （D ）z y x << 答（） 4．由方程|1||1|1x y -+-=确定的曲线所围成的图形的面积是（A ）1 （B ）2 （C ）π （D ）4答（） 5．对任何(0,)2πϕ∈，都有：（A ）sin sin cos cos ϕϕ<<cos ϕ （B ）sin sin cos cos ϕϕ>>cos ϕ （C ）sin cos cos cos ϕϕ>>sin ϕ （D ）sin cos cos cos ϕϕ<<sin ϕ 答（）6．已知12,x x 是方程22(2)(35)0x k x k k --+++=()k 为实数的两个实数根，2212x x +的最大值是（A ）19 （B ）18 （C ）559（D ）不存在答（） 7．设{}(,):||1,0M x y xy x ==>，{}(,):arctan arctan N x y x y π=+=，那么（A ）{}(,):||1M N x y xy ⋃== （B ）M N M ⋃= （C ）M N N ⋃=（D ）{}(,):||1,,M N x y xy x y ⋃==且不同时为负数答（）8.当,a b 是两个不相等的正数时,下列三个代数式:甲:11()()a ba b ++, 乙:2 丙:22()2a b a b+++. 答( ) 中间,值最大的一个(A)必定是甲 (B)必定是乙(C)必定是丙 (D)一般并不确定,而与,a b 的取值有关答( )二、已知四面体SABC 中,,(),(0)222ASB ASC BSC πππαθαββ∠=∠=<<∠=<<,以SC 为棱的二面角的平面角为θ. 求证: arccos(cot cot )θπαβ=-.三、已知: (1)半圆的直径AB 长为2r ;(2)半圆外的直线L 与BA 的延长线垂直,垂足为点T,||2(2)2rAT a a =<;(3)半圆上有相异两点M ，N ，它们与直线l 的距离||||MP NQ 、满足条件||||1||||MP NQ AM AN ==.求证:||||||AM AN AB +=.四、已知边长为4的正三角形ABC.D,E,F 分别是BC,CA,AB 上的点,且||||||1AE BF CD ===,连接AD,BE,CF,交成RQS .P 点在RQS 内及其边上移动,P 点到ABC 三边的距离分别记作,,x y z .(1)求证:当P 点在RQS 的顶点位置时,乘积xyz 有极小值; (2)求上述乘积xyz 的最小值.五、已知圆222(x y r r +=为奇数),交x 轴于(,0),(,0)A r B r -,交y 轴于(0,),(0,),(,)C r D r P u υ-是圆周上的点,,(,m n u p q p q υ==都是质数,,m n 都是自然数)且u υ>.点P 在x 轴和y 轴上的射影分别是M,N. 求证:|AM|、|BM|、|CN|、|DN|分别是1，9，8，2.1983试题部分第一试一、选择题本题共8个小题.每一小题都有代号（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个答案供选择，其中有一个且只有一个答案是正确的，请把你认为正确的那个答案前的代号写在题后的括号内.1.设,p q 是自然数,条件甲:33p q -是偶数;条件乙:p q +是偶数,那么,(A) 甲是乙的充分而非必要条件 (B) 甲是乙的必要而非充分条件 (C) 甲是乙的充要条件(D) 甲即不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答( ) 2.112511111133x og og =+的值是属于区间(A)(2,1)-- (B)(1,2) (C)(3,2)-- (D)(2,3)答( )3.已知等腰ABC 的底边BC 及高AD 的长都是整数,那么sin A 和cos A 中, (A) 一个是有理数,另一个是无理数 (B) 两个都是有理数 (C) 两个都是无理数(D) 是有理数还是无理数要根据BC 和AD 的数值来确定答( )4.已知{}{}222(,)|,(,)|()1M x y y x N x y x y a =≥=+-≤.那么,使M N N ⋂=成立的充要条件是:(A)114a ≥ (B)114a = (C)1a ≥ (D)01a <<答( ) 5.已知函数2()f x ax c =-满足:4(1)1,1(2)5f f -≤≤--≤≤.那么,(3)f 应满足:(A)7(3)26f ≤≤ (B)4(3)15-≤≤ (C)1(3)20f -≤≤ (D)2835(3)33f -≤≤ 答( ) 6.设,,,,,a b c d m n 都是正实数.P Q ==那么: (A)P Q ≥(B)P Q ≤ (C)P Q <(D),P Q 间的大小关系不确定,而与,m n 的大小有关答( ) 7.在正方形ABCD 所在平面上有点P,使,,,PAB PBC PCD PDA 都是等腰三角形.那么,具有这样性质的P 点个数共有:(A)9个 (B)17个 (C )1个 (D)5个答( ) 8.任间ABC ,设它周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为,l R 与r ，那么：（A ）l R r >+ （B ）l R r ≤+ （C ）166R r l <+< （D ）()()()A B C 三种关系都不对答（）二、填空题1．在ABC 中，35sin ,cos 513A B ==，那么，cos C 的值等于____________. 2．三边均为整数,且最大边长为11的三角形,共有_____________个.3．一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a 的正三角形,这样两个多面体的内切球的半径之比是一个既约分数mn.那么,积m n ⋅是______________________. 第二试一、求证：arcsin arccos 2x x π+=，其中[]1,1x ∈-.二、函数()f x 在[]0,1上有定义,(0)(1)f f =,如果对于任意不同的[]12,0,1x x ∈,都有2121|()()|||f x f x x x -<-.求证:211|()()|2f x f x -<. 三、如图,在四边形ABCD 中,,,ABD BCD ABC 的面积比是3:4:1,点M,N 分别在AC,CD 上,满足AM:AC=CN:CD,并且B,M,N 三点共线. 求证:M 与N 分别是AC 与CD 的中点.四、在六条棱分别为2，3，3，4，5，5的所有四面体中，最大的体积是多少？证明你的结论.M EB ADNC五、函数22()|cos 2sin cos sin |F x x x x x Ax B =+-++在302x π≤≤上的最大值M 与参数A,B 有关.问A,B 取什么值时M 为最小?证明你的结论.. 1984试题部分第一试一选择题本题共有8个小题每一小题都给出代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论，其中有结论是正确的，请把正确结论的代号定在题后的圆括号内.1. 集合{}2|arg ,S z z a a R ==∈在复平面的图形是(A)射线arg 2z a = (B)射线arg 2z a =- (C)射线arg z a =- (D)上述答案都不对答( ) 2. 下列四个图的阴影部分(不包括边界)满足不等式2log (log )0x x y >的是答( )3. 对所有满足15n m ≤≤≤的,m n ,极坐标方程11cos nm C ρθ=-表示的不同双曲线条数是(A)15 (B)10 (C)7 (D)6答( ) 4. 方程sin lg x x =的实根是(A)1 (B)2(C )3 (D)大于3答( ) 5. 若0,1,()a a F x >≠是奇函数,则11()()()12x G x F x a =+-是 (A) 奇函数 (B) 偶函数(C) 不是奇函数也不是偶函数 (D) 奇偶性与a 的具体数值有关答( )6. 若1()1xF x x-=+,则下列等式中正确的是 (A)(2)2()F x F x --=-- (B)1()()1xF x F x--=+ (C)1()()F x F x -= (D)(()F F x x =-答( ) 7. 若动点(,)P x y 以等角速度ω在单位圆上逆时针运动,则点22(2,)Q xy y x --的运动方程是(A) 以角速度ω在单位圆上顺时针运动 (B) 以角速度ω在单位圆上逆时针运动 (C) 以角速度2ω在单位圆上顺时针运动 (D) 以角速度2ω在单位圆上逆时针运动答( ) 8.若四面体的条棱长是x ,其余棱长都是1,体积是()F x ,则函数()F x 在其定义域上 (A)是增函数但无最大值 (B)是增函数且有最大值 (C)不是增函数且无最大值 (D)不是增函数但有最大值答( ) 二、填空题1．如图，AB 是单位圆的直径，在AB 上任取一点D ，作DC A B ⊥，交圆周于C ，若D 点的坐标为(,0)x ，则当(,)x ∈时，线段AD ，BD ，CD 可构成三角形.2.方程cos cos 4xx =的通解是( ),在(0,24)π内,不相同的解有( ).第二试一、下列命题是否正确？若正确，请给予证明.1．若P ，Q 是直线l 同侧的两个不同点，则必存在两个不同的圆，通过点P ，Q 且和直线l 相切. 2．若0,0a b >>且1,1a b ≠≠,则log log 2a b b a +≥.3．设A,B 是坐标平面上的两个点集,{}222(,)|r C x y x y r =+≤.若对任何0r ≥都有r r C A C B ⋃⊆⋃,则必有A B ⊆.二、已知两条异面直线,a b 所成的角为θ,它们的公垂线'A A 的长度为d ,在直线,ab上分别取点E,F,设',A E m AF n ==,求.('EF A a 在直线上,A 在直线b 上) 三、如图,在ABC 中,P 为边BC 上任意一点,//,//PE BA PF CA .若1ABC S = ,证明,B P F P C E S SPEAF 和S ,中至少有一个不小于49.(S 表示图形的面积)四,设n a 是22212...n +++的个位数字,1,2,3,...n =试证120.......n a a a 是有理数.五.设12,,...,n x x x 都是正数,求证:222211212231......n n n n x x x x x x x x x x x -++++≥+++.1985试题部分第一试一、选择题本题共有8个小题每一小题都给出代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论，其中有结论是正确的，请把正确结论的代号定在题后的圆括号内. 1. 假如有两个命题:甲:221(0,0)mx ny m n +=≠≠a 是大于零的实数;乙:a b >且11a b -->,那么(A) 甲是乙的充分而不必要条件 (B) 甲是乙的必要而不充分条件 (C) 甲是乙的充分必要条件(D) 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答( )2. PQ 为经过抛物线22y px =焦点的任意一条弦,MN 为PQ 的准线l 上的射影,PQ 线l 转一周所得的旋转面面积为1S ,以MN 为直径的球面面积为2S ,则下面的结论中,正确是 (A)12S S > (B)12S S <(C)12S S ≥ (D)有时12S S >,有时12S S =,有时12S S <答( )3. 已知方程44arccosarccos()arcsin 55x --=,则 (A)2425x = (B)2425x =- (C)0x = (D)这样的x 不存在答( )4. 在下列四个图形中,已知有一个是方程20mx ny +=与221(0,0)mx ny m n +=≠≠在同一坐标系中的示意图,它应是CEPBFA答( )5. 设,,Z W λ为复数，||1λ≠，关于Z 的方程Z Z W λ-=下面有四个结论：I.21||W WZ N λ+=-是这个方程的解；II.这个方程只有一个解;III.这个方程有两个解;IV .这个方程有无穷多解.则(A)只有I 和II 是正确的 (B)只有I 和III 是正确的(C)只有I 和IV 是正确的 (D)以上(A)、(B)、(C)都不正确答（） 6. 设01a <<,若112123,,,...,...n x x x n x a x a x a x a -====则数列{}n x(A)是递增的 (B)是递减的(C)奇数项是递增的,偶数项是递减的 (D)偶数项是递增的,奇数项是递减的答( ) 二、填空题1. 在ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为,,a b c .若角A,B,C 的大小成等比数列,且22b a ac -=,则角B 的孤度数等于____________________.2. 方程1234567891023x x x x x x x x x x +++++++++=的非负整数解共有_________组.3. 在已知数列1,4,8,10,16,19,21,25,30,43中,相领若干数之各能被11整除的数组共有_______. 4. 对任意实数,x y ,定义运算*x γ为*x ax b cx γγγ=++ ,其中, ,,a b c 为常数,等式右端中的运算是通常的实数加法、乘法运算,现已知1*23,2*34==，并且有一个非零实数d ，使得对于任意实数x 都有*x d x =，则d =_____________________.第二试一、在直角坐标系x ογ中,点11(,)A x γ和22(,)B x γ的坐标均为一位正整数, A ο与x 轴正方向的夹角大于45o , B ο与x 轴正方向的夹角小于45o ,B 在x 轴上的射影为',B A 在γ轴上的射影为'A ,'OB B ∆的面积比'OA A ∆的面积大33.5,1D A由1122,,,x x γγ组成四位数,并写出求解过程.二、如图,在正方体1111ABCD A BC D -中,E 是BC 的中点,F 在1AA 上,且1:1:2AF FA =,求平面1B EF 与底面1111A B C D 所成的二面角.三、某足球邀请赛有十六个城市参加,每市派出甲、乙两个队.根据比赛规则,每两队之间至多赛一场,并且同一城市的两队之间不进行比赛;比赛若干天后进行统计,发现除A 市甲队外,其它各队已比赛过的场数各不相同.问A 市乙队已赛过多少场?请证明你的结论.四、平面上任给五个相异的点,它们之间的最大距离与最小距离之比记为λ,求证:2sin 54o λ≥,并讨论等号成立的充要条件.1986试题部分第一试一、选择题本题共有6个小题,每个小题都给出了代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论，其中有结论是正确的，请把正确结论的代号定在题后的圆括号内.1. 设10,arcsin a a θ-<<=,那么不等式sin x a <的解集为(A) {}|2(21),x n x n n Z πθπθ+<+-∈(B) {}|2(21),x n x n n Z πθπθ-<++∈(C) {}|(21)2,x n x n n Z πθπθ-+<<-∈(D) {}|(21)2,x n x n n Z πθπθ--<<+∈答( )2. 为Z 为复数, {}22|(1)|1|M Z Z Z =-=-,那么(A) {}M =纯虚数 (B) {}M =实数(C) {}{}M ⊂⊂实数复数 (D) {}M =复数答( )3. 设实数,,a b c 满足{222870660a bc a b c bc a --+=++-+=,那么a 的取值范围是 (A) (,)-∞+∞ (B) [](,1)9,-∞⋃+∞(C) (0,7) (D) []1,9答( )4. 如果四面体的每一个面都不是等腰三角形,那么其长度不等的棱的条数最少为(A)3 (B)4 (C)5 (D)6答( )5. 平面上有一个点集M 和七个不同的圆127,,...C C C ,其中圆7C 恰好经过M 中的7个点,圆6C 恰好经过M 中的6个点,……,圆1C 恰好经过M 中的1个点,那么M 中的点数最少为(A)11 (B)12 (C)21 (D)28答( )6. 边长为,,a b c 的三角形,其面积等于14,而外接圆半径为1,若 111s t a b c==++,则s 与t 的大小关系是 (A) s t > (B) s t = (C) s t < (D)不确定答( )二、填空题本题共有4个小题,每个小题的答案都是000~999的某一个整数,请把你认为正确的答案填在( )上.1.在底面半径为6的圆柱内,有两个半径也为6的球面,其球心距为13.若作一平面与这二球面相切,且与圆柱面相交成一椭圆,则这个椭圆的长轴与短轴长之和是( ).2.已知[]()|12|,0,1f x x x =-∈那么方程1((()))2f f f x x =的解的个数是( ). 3．设4()42x x f x =+,那么和式1231000...1001100110011001f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值等于( ).4.设,,x y z 为非负实数,且满足方程682560-⨯+=,那么x y z ++的最大值与最小值的乘积等于( ).第二试一、已知数列012,,,...a a a 满足01a a ≠且112(1,2,3...)i i i a a a i -++==,求证:对于任何自然数0121011,()(1)(1)...(1)n n n n n n n n n n n n p x a C x a C x a C x a C x ---=-+-++-+是x 的一次多项式.二、已知锐角三角形ABC 的外接圆半径是R,点D,E,F 分别在边BC,CA,AB 上,求证:AD,BE,CF 是ABC 的三条高的充要条件是()2R S EF FD DE =++,式中S 是三角形ABC 的面积.三、平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点称为整点.请设计一种方法将所有的整点染色,每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得（1）三种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上无穷多次；（2）对任意白点A 、红点B 和黑点C ，总可以找到一个红点D ，使得ABCD 为一平行四边形.证明你设计的方法符合上述要求.1988试题部分第一试一选择题本题共有5题,每个小题都给出了代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论，其中有结论是正确的，请把正确结论的代号定在题后的圆括号内.1. 有三个函数,第一个是()y x ϕ=,它的反函数就是第二个函数,而第三个函数的图像与第二个函数的图像关于直线0x y +=对称,那么第三个函数是(A)()y x ϕ=- (B)()y x ϕ=--(C)1()y x ϕ-=- (D)1()y x ϕ-=--答( )2. 已知原点在椭圆22224210k x y kx ky k +-++-=的内部,那么参数k 的取值范围是(A)||1k > (B)||1k ≠(C)11k -<< (D)0||1k <<答( ) 3. 平面上有三个点集M,N,P:{}(,)||||1M x y x y =∣+<,(,N x y ⎧⎪=<⎨⎪⎩, {}(,)||1,||1,||1P x y x y x y =∣+<<<.则(A)M P N ⊂⊂ (B)M N P ⊂⊂(C)P N M ⊂⊂ (D)(A)、（B ）、（C ）都不成立答（）4. 已知三个平面,,αβγ,每两个平面之间的夹角都是θ,且,,a b c αββγγα⋂=⋂=⋂=.若有命题甲:3πθ>;命题乙:,,a b c 相交于一点.则(A) 甲是乙的充分条件但不必要(B) 甲是乙的必要条件但不充分(C) 甲是乙的充分必要条件(D) (A)、（B ）、（C ）都不对答( )5. 在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点叫做整点,我们有I 表示所有直线的集合,M 表示恰好通过一个数点的直线的集合,N 表示不通过任何整点的直线的集合,P 表示通过无穷多个整点的直线的集合,那么表达式(1)M N P I ⋃⋃=; (3)N ≠Φ;(2)N ≠Φ; (4)P ≠Φ.中正确的个数是(A)1 (B)2(C)3 (D)4答( )二、填空题1.设x y ≠,且两数列123,,,,x a a a y 和1234,,,,b x b b b 均为等差数列,那么4321b b a a --=____________.2.212)n +的展开式中,x 的整数次幂的各项系数之和为____________________.3.ABC 中,已知,,A a CD BE ∠=分别是AB,AC 上的高,则DE BC=_____________. 4.甲、乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直到有一方队员全被淘汰为止,另一方获胜,形成一种比赛过程,那么所有可能出现的比赛过程的种数为______________________.宽为1的矩形,以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周,求得到的旋转体体积.四、复平面上动点1z 的轨迹方程为1010||||,z z z z -=为定点,00z ≠,另一个动点z 满足11z z =-,求点z 的轨迹,指出它在复平面上的形状和位置.五、已知,a b 为正数,且111a b+=,试证:对每一个21,()22n n n n n n N a b a b +∈+--≥-. 第二试一、已QB AP R C111221153,1,2,,n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++++-⎧===⎨-⎩ 为偶数时;为奇数时.试证:对一切10,1,2,3,...n n k k n +≥=,0,n n n N a a ∈≠不是4的倍数.二、如图,在ABC 中,P,Q,R 将其周长三等分,且P,Q 在AB 边上,求证:29PQRABC S S > . 三、在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多直线12,,...,,...n l l l 的直线族,它满足条件:(1)点(1,1),1,2,3,...;n l n ∈=(2)1n n n k a b +≥-,其中1n k +是1n l +的斜率,n a 和n b 分别是n l 在x 轴和y 轴上的截距,1,2,3,...;n =(3)10,1,2,3,...n n k k n +≥=.并证明你的结论.1989试题部分第一试一选择题本题共有6,每个小题都给出了代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论，其中有结论是正确的，请把正确结论的代号定在题后的圆括号内.1. 若A,B 是锐角ABC 的两个内角,则复数(cos sin )(sin cos )z B A i B A =-+-在复平面内所对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限答( )2. 函数1()arctan arcsin 2f x x x =+的值域是 (A)(,)ππ- (B)33,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ (C)33,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (D),22ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 答( )3. 对任意的函数()y f x =,在同一个直角坐标系中,函数(1)y f x=-与函数(1)y f x =-+的图像恒(A)关于x 轴对称 (B)关于直线1x =对称(C)关于直线1x =-对称 (D)关于y 轴对称答( )4. 以长方体8个顶点中的任意3个为顶点的所有三角形中,锐角三角形的个数为(A)0 (B)6 (C)8 (D)24答( )5. 若1|,,1,01t t M z z i t R t t t t +⎧⎫==+∈≠-≠⎨⎬+⎩⎭, ]{}|cos(arcsin )cos(arccos ),,||1N z z t i t t R t ==+∈≤,则M N ⋂中元素的个数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)4答( )6. 集合{}|1284,,,M u u m n l m n l Z ==++∈其中, {}|201612,,,N u u p q r p q r Z ==++∈其中的关系为(A)M=N (B),M N N M 刎(C)M N ⊂ (D)M N ⊃答( )二、填空题1.若log 1a <,则a 的取值范围是________________________.2.已知直线:210l x y +=,过点(10,0)-作直线'l l ⊥,则'l 与l 的交点坐标为____________.3.设函数00021()||,()|()1|,()|()2|f x x f x f x f x f x ==-=-,则函数2()y f x =的图像与x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是_____________________.4.一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为______________.5.如果从数1,2,…,14中,按由小到大的顺序取出123,,a a a ,使同时满足213a a -≥与323a a -≥,那么所有符合上述要求的不同取法有__________种.6.当s 和t 取遍所有实数时,则22(53|cos |)(2|sin |)s t s t +-+-所能达到的最小值是______________.三、已知12,,...,n a a a 是n 个正数,满足12...1n a a a = .求证:12(2)(2)...(2)3n n a a a +++≥.四、已知正三棱锥S ABC -的高3SO =,底面边长为6,过A点向它所对的侧面SBC 作垂线,垂足为'O ,在'AO 上取一点P,使8'AP PO =,求经过P 点且平行于底面的截面的面积. O B S CA五、已知对任意的n N ∈,有0n a >,且3211()n nj j j j a a ===∑∑. 求证:n a n =.第二试一、在ABC 中,AB>AC,A ∠的一个外角的平分线交ABC 的外接圆于点E,过E 作EF AB ⊥,垂足为F,求证:2AF AB AC =-.二、已知(1,2,...,;2)i x R i n n ∈=≥满足11||1,0n n i i i i x x ====∑∑.求证:111||22n i n i x i =≤-∑. 三、有(4)n n n ⨯≤的一张空白方格表,在它的每一个方格内任意地填入+1与1-两数中的一个,现将表内n 个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个基本项.试证:按上述方式所填成的每一个方格表,它的全部基本项之和总能被4整除(即总能表成4k 的形式,其中k Z ∈).1990试题部分第一试一选择题本题共有6,每个小题都给出了代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论，其中有结论是正确的，请把正确结论的代号定在题后的圆括号内.1. 设,42a ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭,则cos cos sin (cos ),(sin ),(cos )a a a a a a 的大小顺序是 (A)cos cos sin (cos )(sin )(cos )a a a a a a << (B)cos sin cos (cos )(cos )(sin )a a a a a a <<; (C)cos cos sin (sin )(cos )(cos )a a a a a a <<(D)sin cos cos (cos )(cos )(sin )aa a a a a << 答( )2. 设()f x 是定义在实数集上的周期为2的周期函数,且是偶函数,已知当[]2,3x ∈时,()f x x =,则当[]2,0x ∈-时,()f x 的解析式是(A)()4f x x =+ (B)()2f x x =-(C)()3|1|f x x =-+ (D)()2|1|f x x =++答( )3. 设双曲线的左右焦点是12,F F ,左右顶点是M,N,若12PF F 的顶点P 在双曲线上,则12PF F 的内切圆与边12F F 的切点位置是(A) 在线段MN 内部(B) 在线段1F M 内部或线段2NF 内部(C) 点M 或点N(D) 不能确定的答( )4. 点集3311(,)lg()lg lg 39x y x y x y ⎧⎫∣++=+⎨⎬⎩⎭中元素的个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)多于2答( )5. 设非零数复数,x y 满足220x xy y ++=,则代数式19901990()()x y x y x y +++的值是 (A)19902-(B)1-(C)1(D)以上答案都不对答( )6. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>通过点(2,1),则这些椭圆上满足||1y >的点的集合用阴影表示是下面图中的答( )二、填空题1.设n 为自然数,a 、b 为正实数，且满足11990n i i C ==∑2a b +=，则1111n na b +++的最小值是________.2.设(2,0)A 为平面上的一定点,(sin(60),cos(260))o o P it t --为动点,则当t 由15o 变到45o 时,线段AP 所扫过的图形的面积是________________.3.设n 是自然数,对任意实数,,x y z 恒有222444()()x y z n x y z ++≤++成立,则n 的最小值是___________________.4.在坐标平面上,横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点,对任意自然数n ,连结原点O 与点(,3)n A n n +,用()f n 表示线段n OA 上除端点外的整点个数,则(1)(2)...(1990)f f f +++=_______________.5.设1990n =,则22436994198899519901(1333...33)2n n n n n n C C C C C -+-++-=___________. 6.8个女孩和25个男孩围成一圈,任意两个女孩之间至少站两个男孩,那么,共有__________种不同的排列方法(只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的).三、已知,a b 均为正整数,且222,sin ab a b a b θ>=+(其中02πθ<<),22()sin n n A a b θ=+.求证对一切自然数n ,n A 均为整数.四、2(4)n n ≥个正数排成n 行n 列, 11a 12a 13a 14a ... 1n a21a 22a 23a 24a … 2n a31a 32a 33a 34a … 3n a41a 42a 43a 44a … 4n a…1n a 2n a 3n a 4n a … nn a其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等,已知244243131,,816a a a ===,求11223344...nn a a a a a +++++. 5.设棱锥M ABCD -的底面是正方形,且,MA MD MA AB =⊥,如果AMD 的面积为1,试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.第二试一、四边形ABCD 内接于圆O,对角线AC 与BD 相交于P,设三角形ABP,BCP,CDP 和DAP 的外接圆圆心分别是1234,,,O O O O .求证:1324,,OP OO O O 三直线共点.二、设{}{}1231001,2,3,...,200,,,,...,E G a a a a E ==⊂,且G 具有下列两条性质:(I) 对任何1100i j ≤≤≤,恒有201i j a a +≠;(II) 100110080i i a==∑.试证:G 中的奇数的个数是4的倍数,且G 中所有数字的平方和为一个定数.三、某市有n 所中学,第i 所中学派出i C 名学生(139,1)i C i n ≤≤≤≤来到体育馆观看球赛,全部学生总数为11990n i i C==∑.看台上每一横排有199年座位.要求同一学校的学生必须坐在同一横排,问体育馆最少要安排多少个横排才能够保证全部学生都能坐下?。

1990年高考全国卷数学试卷与答案

1990年高考试题（理工农医类）一、选择题 :在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 ,把所选项前的字母填在题后括号内 .【】【】(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于【】(4)方程 sin2x=sinx在区间 (0,2π )内的解的个数是(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【】(5) 【】【】(A){-2,4} (B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4} (D){-4,-2,0,4}(7)如果直线 y=ax＋2与直线 y=3x－ b关于直线 y＝x对称 ,那么【】(C)a=3,b=-2 (D)a=3,b=6【】(A) 圆(B) 椭圆(C)双曲线的一支(D) 抛物线【】(B){(2,3)}(C)(2,3) (D){(x,y) │ y=x+1}【】(11)如图 ,正三棱锥 S- ABC 的侧棱与底面边长相等 ,如果 E、F分别为 SC、AB 的中点 ,那么异面直线 EF与SA所成的角等于【】(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°(12)已知 h>0.设命题甲为 :两个实数 a,b满足│ a－b│<2h;命题乙为 : 两个实数 a,b满足│ a－ 1│ <h且│ b-1 │ <h.那么【】(A)甲是乙的充分条件 ,但不是乙的必要条件(B)甲是乙的必要条件 ,但不是乙的充分条件(C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件 ,也不是乙的必要条件(13)A,B,C,D,E 五人并排站成一排 ,如果 B必须站在 A 的右边（ A,B 可以不相邻） , 那么不同的排法共有【】(A)24种 (B)60种 (C)90种 (D)120种(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有【】(A)70个 (B)64个 (C)58个 (D)52个(15)设函数 y=arctgx的图象沿 x轴正方向平移 2个单位所得到的图象为C.又设图象 C＇与 C关于原点对称 ,那么 C＇所对应的函数是【】(A)y=-arctg(x-2) (B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2) (D)y=arctg(x+2)二、填空题 :把答案填在题中横线上 .第2 页(18)已知 { an} 是公差不为零的等差数列 , 如果 Sn 是 { an} 的前 n 项的和 , 那(19)函数 y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是.(20)如图 ,三棱柱 ABC －A 1B1C1中,若E、 F分别为 AB 、AC的中点 ,平面 EB1C1F将三棱柱分成体积为 V 1、V 2的两部分 ,那么V1:V 2＝.三、解答题 .(21)有四个数 ,其中前三个数成等差数列 ,后三个数成等比数列 ,并且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和是 12.求这四个数 .(23)如图 ,在三棱锥 S- ABC 中,SA⊥底面 ABC,AB ⊥BC．DE垂直平分 SC,且分别交AC、 SC于 D、E.又 SA＝AB,SB ＝ BC.求以 BD 为棱 ,以BDE 与BDC 为面的二面角的度数 .(24)设 a≥ 0,在复数集 C中解方程 z2+2│ z│＝ a.n≥2.(Ⅰ)如果 f(x) 当x ∈(-∞ ,1]时有意义 ,求a的取值范围 ; (Ⅱ)如果 a∈(0,1],证明 2f(x)<f(2x) 当 x≠ 0时成立 .1990年试题（理工农医类）答案一、选择题 :本题考查基本知识和基本运算.(1)A (2)B (3)D (4)C (5)C (6)B(7)A(8)D(9)B(10)D (11)C (12)B (13)B (14)C (15)D二、填空题 :本题考查基本知识和基本运算.三、解答题 .(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力. 解法一 :①由②式得d=12-2a. ③整理得a2-13a+36=0解得a1=4,a2=9.代入③式得 d1=4,d2=-6.从而得所求四个数为 0,4,8,16或 15,9,3,1.解法二 :设四个数依次为 x,y,12-y,16-x ①由①式得x=3y-12. ③将③式代入②式得y(16-3y+12)=(12-y) 2,整理得y2-13y+36=0.解得y1=4,y2=9.代入③式得 x1=0,x2=15.从而得所求四个数为 0,4,8,16或 15,9,3,1.(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一 :由已知得解法二 :如图 ,不妨设 0≤α≤β＜ 2π ,且点 A 的坐标是（ cosα,sin α） , 点 B 的坐标是（ cosβ ,sin β） , 则点 A,B 在单位圆 x2+y2=1 上 . 连结连结 OC,于是 OC⊥AB, 若设点 D的坐标是（ 1,0）,再连结 OA,OB,则有解法三 :由题设得4(sinα +sinβ)=3(cosα +cosβ).将②式代入①式 ,可得sin(α-)=sin(-β ).于是α－＝ (2k+1)π -(-β)(k ∈Z),或α-=2kπ +(-β )(k∈Z).若α-=(2k+1) π-(-β )(k∈Z), 则α ＝β＋ (2k+1)π(k ∈Z).于是sinα =-sinβ ,即sinα+sinβ =0.由此可知α-=2kπ+(-β)(k ∈Z),即α＋β ＝2+2kπ(k∈Z).所以(23)本小题考查直线和平面 ,直线和直线的位置关系 ,二面角等基本知识 ,以及逻辑推理能力和空间想象能力 .解法一 :由于 SB＝BC,且 E是 SC的中点 ,因此 BE 是等腰三角形 SBC的底边 SC的中线,所以 SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE ∩DE＝E,∴SC⊥面 BDE,∴SC⊥ BD.又∵SA⊥底面 ABC,BD 在底面 ABC 上,∴SA⊥BD.而SC∩ SA＝ S,∴BD ⊥面 SAC.∵DE＝面 SAC∩面 BDE,DC ＝面 SAC∩面 BDC,∴BD ⊥DE,BD ⊥DC.∴∠ EDC是所求的二面角的平面角.∵SA⊥底面 ABC, ∴SA⊥AB,SA ⊥AC.设SA＝ a,又因为 AB ⊥ BC,∴∠ ACS＝30° .又已知 DE⊥SC,所以∠ EDC＝60° ,即所求的二面角等于 60°.解法二 :由于 SB＝BC,且 E是 SC的中点 ,因此 BE 是等腰三角形 SBC的底边 SC的中线,所以 SC⊥BE.又已知 SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面 BDE,∴SC⊥ BD.由于 SA⊥底面 ABC, 且A 是垂足 ,所以 AC 是SC在平面 ABC 上的射影 .由三垂线定理的逆定理得 BD ⊥AC; 又因 E∈SC,AC是SC在平面 ABC 上的射影 ,所以E在平面 ABC 上的射影在 AC上 ,由于 D∈AC, 所以 DE在平面 ABC 上的射影也在 AC 上,根据三垂线定理又得 BD ⊥DE.∵DE 面 BDE,DC 面BDC,∴∠ EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一 .(24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解法一 :设z＝x+yi, 代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得 y=0或x=0.由此可见 ,若原方程有解 ,则其解或为实数 ,或为纯虚数 .下面分别加以讨论 .情形 1.若y=0,即求原方程的实数解 z=x.此时 ,①式化为x2+2│x│=a. ③(Ⅰ)令 x>0,方程③变为 x2＋2x=a. ④.由此可知 :当a=0时 ,方程④无正根 ;(Ⅱ)令 x<0,方程③变为 x2-2x=a. ⑤.由此可知 :当a=0时 ,方程⑤无负根 ;当a>0时,方程⑤有负根第12 页(Ⅲ)令 x=0,方程③变为 0=a.由此可知 :当a=0时 ,方程⑥有零解 x=0;当a>0时,方程⑥无零解 .所以 ,原方程的实数解是 :当a=0时,z=0;.情形 2.若x=0,由于 y=0的情形前已讨论 ,现在只需考查 y≠ 0的情形 ,即求原方程的纯虚数解 z=yi(y ≠0).此时 ,①式化为-y2+2│ y│ =a. ⑦(Ⅰ)令 y>0,方程⑦变为 -y2+2y=a,即(y-1) 2=1-a. ⑧由此可知 :当a>1时 ,方程⑧无实根 .当a≤ 1时解方程⑧得y=1±,从而 , 当a=0时 ,方程⑧有正根 y=2;当0<a≤1时,方程⑧有正根y=1±.(Ⅱ)令 y<0,方程⑦变为 -y2-2y=a,即 (y+1)2=1-a. ⑨由此可知 :当a>1时 ,方程⑨无实根 .当a≤ 1时解方程⑨得y=-1±,从而 ,当 a=0时,方程⑨有负根 y=-2;当 0<a≤1时,方程⑨有负根y=-1±所以 ,原方程的纯虚数解是 :当 a=0时,z=±2i;当 0<a≤1时, z=±(1+ )i,z= ±(1- )i.而当 a>1时,原方程无纯虚数解 .解法二 :设z=x+yi 代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得 y=0或x=0.由此可见 ,若原方程有解 ,则其解或为实数 ,或为纯虚数 .下面分别加以讨论 .情形 1.若y=0,即求原方程的实数解 z=x.此时 ,①式化为 x2+2│x│=a.即| x |2+2│ x│ =a. ③解方程③得,所以 ,原方程的实数解是.情形 2.若x=0,由于 y=0的情形前已讨论 ,现在只需考查 y≠ 0的情形 ,即求原方程的纯虚数解 z=yi(y ≠0).此时 ,①式化为-y2+2│y│=a.即-│y│2 +2│ y│=a.④当a=0时,因 y≠0,解方程④得│ y│=2,即当 a=0时,原方程的纯虚数解是 z=±2i.当0<a≤1时,解方程④得,即当 0<a≤1时,原方程的纯虚数解是.而当 a>1时,方程④无实根 ,所以这时原方程无纯虚数解 .解法三 :因为 z2=-2│z│+a是实数 ,所以若原方程有解 ,则其解或为实数 ,或为纯虚数 ,即z=x或 z=yi(y ≠0).情形 1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形 1.情形 2.若z=yi(y ≠0).以下同解法一或解法二中的情形 2.解法四 :设z=r(cosθ+isinθ),其中 r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得r2cos2θ＋ 2r+ir2sin2θ＝a.于是原方程等价于方程组情形 1.若r=0.①式变成0=a. ③由此可知 :当a=0时 ,r=0是方程③的解 .当a>0时,方程③无解 .所以 , 当a=0时 ,原方程有解 z=0;当a>0时,原方程无零解 .考查 r>0的情形 .(Ⅰ)当 k=0,2时,对应的复数是 z=±r.因cos2θ =1,故①式.由此可知 :当a=0时 ,方程④无正根 ;当 a>0时,方程④有正根.所以 ,当 a>0时,原方程有解.(Ⅱ)当 k=1,3时,对应的复数是 z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为-r2+2r=a,即 (r-1)2=1-a, ⑤由此可知 :当a>1时 ,方程⑤无实根 ,从而无正根 ;.从而 , 当a=0时 ,方程⑤有正根 r=2;.所以 , 当a=0时 ,原方程有解 z=±2i;当0<a≤1时,原方程有解当a>1时,原方程无纯虚数解 .(25)本小题考查椭圆的性质,距离公式 ,最大值知识以及分析问题的能力. 解法一 :根据题设条件 ,可取椭圆的参数方程是其中 a>b>0待定 ,0≤θ<2π.设椭圆上的点 (x,y) 到点 P的距离为 d,则大值 ,由题设得,因此必有,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的参数方程是.解法二 :设所求椭圆的直角坐标方程是其中 a>b>0待定 .,设椭圆上的点 (x,y) 到点 P的距离为 d,则第16 页其中-byb.由此得,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的直角坐标方程是(26)本题考查对数函数 ,指数函数 ,数学归纳法 ,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力 .(Ⅰ)解 :f(x) 当 x∈ (-∞ ,1]时有意义的条件是1+2x+⋯(n-1)x+nxa>0 x∈(-∞,1],n≥2,上都是增函数 ,在 (-∞ ,1]上也是增函数 ,从而它在 x=1时取得最大值也就是 a的取值范围为(Ⅱ)证法一 :2f(x)<f(2x) a∈(0,1],x ≠ 0.即[1+2x +⋯ +(n-1)x+nxa]2<n[1+22x+⋯ +(n-1)2x+n2x a] a∈(0,1],x ≠0.②现用数学归纳法证明②式.（A）先证明当 n=2时②式成立 .假如 0<a<1,x≠ 0,则(1+2x a)2=1+22 2xa+22xa2≤ 2(1+22x)<2(1+22xa). 假如 a=1,x≠0,因为 1≠ 2x,所以因而当 n=2时②式成立 .（ B）假如当 n=k(k≥2)时②式成立 ,即有[1+2x +⋯ +(k-1)x+kxa]2<k[1+2 2x+⋯ +(k-1)2xa]a∈(0,1],x ≠0, 那么 ,当 a∈(0,1],x ≠0时[(1+2x +⋯+kx )+(k+1) xa]2=(1+2x+⋯+kx)2+2(1+2x +⋯ +kx)(k+1)xa+(k+1)2xa2 <k(1+22x+⋯ +k2x)+2(1+2x +⋯+kx )(k+1)xa+(k+1) 2xa2 =k(1+22x+⋯ +k2x)+[2212 (k+1)x a+22 2x(k+1)xa+⋯+2kx(k+1)xa]+(k+1) 2xa2<k(1+22x+⋯+k2x)+{[1+(k+1) 2xa2]+[2 2x+(k+1)2xa2]+⋯+[k2x+(k+1)2xa2]}+(k+1) 2xa2]=(k+1)[1+2 2x+⋯ +k2x+(k+1) 2xa2]≤(k+1)[1+2 2x+⋯+k2x+(k+1)2x a],这就是说 ,当n=k+1时②式也成立 .根据 (A),(B) 可知 ,②式对任何 n≥2(n∈N) 都成立 .即有2f(x)<f(2x) a∈(0,1],x ≠0.证法二 :只需证明 n≥2时第18 页--完整版学习资料分享----因为其中等号当且仅当 a1=a2=⋯ =an时成立 .利用上面结果知 ,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有[1+2x +⋯ +(n-1)x+nx] 2<n[1+22x+⋯+(n-1)2x+n2x].当0<a<1,x≠0时,因a2<a,所以有[1+2x+⋯+(n-1) x+nxa]2≤n[1+22x+⋯ +(n-1)2x+n2xa2]<n[1+2 2x+⋯+(n-1)2x+n2xa]. 即有2f(x)<f(2x) a∈ (0,1),x≠0.第19 页--完整版学习资料分享----。

1990年全国高考数学试题

1990年全国高考数学试题（理工农医类）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内.[Key]一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)A【】[Key] (2)B(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于【】[Key] (3)D(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是(A)1(B)2(C)3(D)4【】[Key] (4)C(5)【】[Key] (5)C(A){-2,4}(B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4}(D){-4,-2,0,4}【】[Key] (6)B(7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么(C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6【】[Key] (7)A(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线【】[Key] (8)D(B){(2,3)}(C)(2,3)(D){(x,y)│y=x+1}【】[Key] (9)B【】[Key] (10)D(11)如图,正三棱锥S ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°【】[Key] (11)C(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满足│a－1│<h且│b-1│<h.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件(C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件【】[Key] (12)B(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有(A)24种(B)60种(C)90种(D)120种【】[Key] (13)B(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个【】[Key] (14)C(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是(A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2)【】[Key] (15)D二、填空题:把答案填在题中横线上.(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于.(18)已知{a n}是公差不为零的等差数列,如果S n是{a n}的前n项的和,那(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是.(20)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2＝.[Key] 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.[Key] 三、解答题.(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.解法一:①由②式得d=12-2a.③整理得a2-13a+36=0解得a1=4,a2=9.代入③式得d1=4,d2=-6.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x①由①式得x=3y-12.③将③式代入②式得y(16-3y+12)=(12-y)2,整理得y2-13y+36=0.解得y1=4,y2=9.代入③式得x1=0,x2=15.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.[Key] (22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一:由已知得解法二:如图,不妨设0≤α≤β＜2π,且点A的坐标是（cosα,sinα）,点B的坐标是（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有解法三:由题设得4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).将②式代入①式,可得sin(α-)=sin(-β).于是α－＝(2k+1)π-(-β)(k∈Z),或α-=2kπ+(-β)(k∈Z).若α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),则α＝β＋(2k+1)π(k∈Z).于是sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.由此可知α-=2kπ+(-β)(k∈Z),即α＋β＝2+2kπ(k∈Z).所以(23)如图,在三棱锥S ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.[Key] (23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解法一:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E,∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD.而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,∴BD⊥DE,BD⊥DC.∴∠EDC是所求的二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.设SA＝a,又因为AB⊥BC,∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.解法二:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.∵DE面BDE,DC面BDC,∴∠EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.(24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│＝a.[Key] (24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解法一:设z＝x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.③(Ⅰ)令x>0,方程③变为x2＋2x=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;(Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a.⑤.由此可知:当a=0时,方程⑤无负根;当a>0时,方程⑤有负根x=1-.(Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a.由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0;当a>0时,方程⑥无零解.所以,原方程的实数解是:当a=0时,z=0;.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.⑦(Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a.⑧由此可知:当a>1时,方程⑧无实根.当a≤1时解方程⑧得y=1±,从而,当a=0时,方程⑧有正根y=2;当0<a≤1时,方程⑧有正根y=1±.(Ⅱ)令y<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即(y+1)2=1-a.⑨由此可知:当a>1时,方程⑨无实根.当a≤1时解方程⑨得y=-1±,从而,当a=0时,方程⑨有负根y=-2;当0<a≤1时,方程⑨有负根y=-1±所以,原方程的纯虚数解是:当a=0时,z=±2i;当0<a≤1时,z=±(1+)i,z=±(1-)i.而当a>1时,原方程无纯虚数解.解法二:设z=x+yi代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.即| x |2+2│x│=a.③解方程③得,所以,原方程的实数解是.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.即-│y│2 +2│y│=a.④当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2,即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i.当0<a≤1时,解方程④得,即当0<a≤1时,原方程的纯虚数解是.而当a>1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.解法三:因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y≠0).情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.情形2.若z=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形2.解法四:设z=r(cosθ+isinθ),其中r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得r2cos2θ＋2r+ir2sin2θ＝a.于是原方程等价于方程组情形1.若r=0.①式变成0=a.③由此可知:当a=0时,r=0是方程③的解.当a>0时,方程③无解.所以,当a=0时,原方程有解z=0;当a>0时,原方程无零解.考查r>0的情形.(Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为r2+2r=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;当a>0时,方程④有正根.所以,当a>0时,原方程有解.(Ⅱ)当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为-r2+2r=a,即(r-1)2=1-a,⑤由此可知:当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根;.从而,当a=0时,方程⑤有正根r=2;.所以,当a=0时,原方程有解z=±2i;当0<a≤1时,原方程有解当a>1时,原方程无纯虚数解.[Key] (25)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是其中a>b>0待定,0≤θ<2π.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则大值,由题设得,因此必有,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的参数方程是.解法二:设所求椭圆的直角坐标方程是其中a>b>0待定.,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则其中-byb.由此得,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的直角坐标方程是n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围;(Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.[Key] (26)本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.(Ⅰ)解:f(x)当x∈(-∞,1]时有意义的条件是1+2x+…(n-1)x+n x a>0x∈(-∞,1],n≥2,上都是增函数,在(-∞,1]上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值也就是a的取值范围为(Ⅱ)证法一:2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.即[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a]a∈(0,1],x≠0.②现用数学归纳法证明②式.（A）先证明当n=2时②式成立.假如0<a<1,x≠0,则(1+2x a)2=1+2²2x a+22x a2≤2(1+22x)<2(1+22x a).假如a=1,x≠0,因为1≠2x,所以因而当n=2时②式成立.（B）假如当n=k(k≥2)时②式成立,即有[1+2x+…+(k-1)x+k x a]2<k[1+22x+…+(k-1)2x a] a∈(0,1],x≠0,那么,当a∈(0,1],x≠0时[(1+2x+…+k x)+(k+1)xa]2=(1+2x+…+k x)2+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2=k(1+22x+…+k2x)+[2²1²(k+1)x a+2²2x(k+1)x a+…+2k x(k+1)x a]+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+{[1+(k+1)2x a2]+[22x+(k+1)2x a2]+…+[k2x+(k+1)2x a2]}+(k+1)2x a2]=(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a2]≤(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a],这就是说,当n=k+1时②式也成立.根据(A),(B)可知,②式对任何n≥2(n∈N)都成立.即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.证法二:只需证明n≥2时因为其中等号当且仅当a1=a2=…=a n时成立.利用上面结果知,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x].当0<a<1,x≠0时,因a2<a,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2≤n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a2]<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a].即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.。

⑩竞赛中的二项式定理问题

Y.P.M 数学竞赛讲座 1竞赛中的二项式定理二项式定理是数学竞赛的热点之一.1.常数项[例1]:(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)在(4x 2-2x-5)(1+21x)5的展开式中,常数项为 .[解析]:[类题]:1.①(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)(x 2-x1)6的展开式中常数项为 (用数字作答). ②(2009年全国高中数学联赛浙江初赛试题)(x-61x)2009的二项展开式中常数项是 .2.①(2012年全国高中数学联赛四川初赛试题)(x 2+x-x1)6的展开式中的常数项是 (用具体数字作答). ②(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)展开式(1+x+x1)7的常数项是_____. 3.(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)若二项式(a x -x1)6的展开式中的常数项为-160,则⎰-adx x 02)13(= .2.通项公式[例2]:(2000年全国高中数学联赛试题)设a n 是(3-x )n的展开式中x 项的系数(n=2,3,4,…),则∞→n lim (223a +333a +…+ nna 3)= . [解析]:[类题]:1.(2006年全国高中数学联赛江苏初赛试题)(x-3x 2)3的展开式中,x 5的系数为 2.①(1998年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若(x x -x 1)6展开式中第5项的值为215,则∞→n lim (x -1+x -2+…+x -n)= . ②(2000年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若(x x -x 1)6展开式中第5项的值为5,则∞→n lim (x -1+x -3+…+x -1-2n)= .3.(2010年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知 (ax+1)n=a n x n+a n-1x n-1+…+a 1x+a 0(n ∈N *),点列A i (i,a i )(i=0,1,2…,n)部分图象如图所示, 则实数a 的值为________.3.通项分析[例3]:(2002年全国高中数学联赛试题)将二项式(x +421x)n的展开式按x 的降幂排列,若前三项系数成等差数列,则该展开式中x 的幂指数是整数的项共有__________个.[解析]:[类题]:2 Y.P.M 数学竞赛讲座1.(《中等数学》.2008年第3期.数学奥林匹克高中训练题(106))在(53+35)100的展开式中共有个项为有理数.2.①(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设展开式(5x+1)n=a 0+a 1x+…+a n x n,n ≥2011,若a 2011=max{a 0,a 1,…,a n },则n= .②(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)若x ∈R +,则(1+2x)15的二项式展开式中系数最大的项为( ) (A)第8项 (B)第9项 (C)第8项和第9项 (D)第11项3.(1988年全国高中数学联赛试题)(x +2)2n+1的展开式中,x 的整数次幂的各项系数之和为_________.4.赋值方法[例4]:(2005年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设(1+x+x 2)n =a 0+a 1x+…+a 2n x 2n ,则a 2+a 4+…+a 2n 的值为 . [解析]:[类题]:1.①(2010年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)设(3+x+2x 2)n=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2n x 2n(n ∈N +)对x ∈R 恒成立,则a 1+a 2+…+a 2n-1= .②(2008年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知多项式(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n,且满足:b 0+b 1+…+b n =26,则正整数n 的一个可能值为 .③(2009年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知多项式(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n,且满足: b 0+b 1+…+b n =1013,则正整数n 的一个可能值为 .2.①(2006年全国高中数学联赛四川初赛试题)若(2x-1)8=a 8x 8+a 7x 7+…+a 1x+a 0,则a 8+a 6+a 4+a 2= .②(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)设二项式(3x-1)2n=a 2n x 2n+a 2n-1x 2n-1+…+a 2x 2+a 1x+a 0,记T n =a 0+a 2+…+a 2n ,R n =a 1+ a 3+…+a 2n-1,则∞→n limnnR T = . ③(2006年全国高中数学联赛山西初赛试题)若(2x+4)2n=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2n x 2n(n ∈N +),则a 2+a 4+…+a 2n 被3除的余数是 .2.①(2009年第20届全国希望杯高二数学邀请赛试题)已知f(x)=x 2-2x-3,f(g(x))=4x 4+4x 3-7x 2-4x,则g(x)的各项系数(包括常数项)的和等于 .②(2006年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知f(x)=3x 2-x+4,f(g(x))=3x 4+18x 3+50x 2+69x+48,那么,整系数多项式函数g(x)的各项系数的和等于 .③(2005年全国高中数学联赛试题)将关于x 的多项式f(x)=1-x+x 2-x 3+…-x 19+x 20表为关于y 的多项式g(y)=a 0+a 1y +a 2y 2+…+a 19y 19+a 20y 20,其中y=x-4,则a 0+a 1+…+a 20= .④(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)设函数f(x)=x 2+6x+8.如果f(bx+c)=4x 2+16x+15,那么,c-2b= . ⑤(2010年全国高中数学联赛北京初赛试题)满足方程f(x)+(x-2)f(1)+3f(0)=x 3+2(x ∈R)的函数f(x)= .5.微积方法[例5]:(2008年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设(x 2+2x-2)6=a 0+a 1(x+2)+a 2(x+2)2+...+a 12(x+2)12,其中a i (i=1,2, (12)为实常数,则a 0+a 1+2a 2+…+12a 12= .[解析]:[类题]:1.①(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)若x 5+3x 3+1=a 0+a 1(x-1)+a 2(x-1)2+ ⋯+a 5(x-1)5对任意实数x 都成立,则a 3的值是 (用数字作答).②(2008年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知恒等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4＝(x+1)4+b 1(x+1)3+b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4,则用a 1、a 2、a 3、a 4来表示b 3有b 3＝_______________________.③(2003年湖南高中数学夏令营试题)由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4=(x+2)4+b 1(x+2)3+b 2(x+2)2+b 3(x+2)+b 4,定义映射 f:(a 1,a 2,a 3,a 4)→(b 1,b 2,b 3,b 4),则f[(10,30,38,21)]= .2.①(2011年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)设(1+x-x 2)10=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 20x 20,则a 0+a 1+2a 2+3a 3+…+20a 20= .Y.P.M 数学竞赛讲座 3②(《中等数学》.2010年第4期.数学奥林匹克高中训练题(128))设(2+x-2x 2)1005=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2010x 2010,则a 1+3a 3+5a 5+…+2009a 2009= .3.(1998年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:1011C +2111C +3211C +…+121111C = .6.多截公式[例6]:(2001年全国高中数学联赛试题)若(1+x+x 2)100的展开式为a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a 2000x 2000,则a 0+a 3+a 6+a 9+…+a 1998的值为 .[解析]:[类题]:1.(2007年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设(1+x+x 2)n=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2n x 2n(n ∈N +),则a 0+a 3a 6+…+]32[[3n a 的值为 (其中,[x]表示不超过x 的最大整数).2.①(《中等数学》.2005年第4期.数学奥林匹克高中训练题(75))C 20040-C 20042+C 20044-C 20046+…-C 20042002+C 20042004= .解:在(1+x)2004=C 20040+xC 20041+x 2C 20042+…+x2004C 20042004中,令x=i 得:(1+i)2004=(C 20040-C 20042+C 20044-C 20046+…-C 20042002+C 20042004)+i(C 20041-C 20043+C 20045-C 20047+…+C 20042001-C 20042003).又(1+i)2004=(2i)1002=-21002⇒C 20040-C 20042+C 20044-C 20046+…-C 20042002+C 20042004=-21002.②(1990年全国高中数学联赛试题)设n=1990,则n21(1-3C n 2+32C n 4-33C n 6+…+3994C n 1988-3995C n1990)= .3.(《中等数学》.2010年第7期.数学奥林匹克高中训练题(75))设f(x)=(x+231i -)2010=∑=20100k k a x k +i ∑=2010k k b x k,其中,a k ,b k∈R,k=0,1,2,…,2010,则)(367003k k k b a +∑== .7.计数思想[例7]:(2009年全国高中数学联赛福建初赛试题)集合{1,2,3,…,2009}的元素和为奇数的非空子集的个数为 . [解析]:[类题]:1.(2005年全国高中数学联赛安徽初赛试题)在(x 2+3x+2)5的展开式中,含x 项的系数是 . 2.(《中等数学》.2011年第7期.P3例题)在(x+1)(x+2)…(x+n)的展开式中,含x n-2项的系数是 . 3.(2008年全国高中数学联赛湖南初赛试题)多项式(1+x+x 2+…+x 100)3的展开式在合并同类项后,x 150的系数为 (用数字作答).8.对偶思想[例8]:(2009年全国高中数学联赛吉林初赛试题)(2+3)2010的小数点后一位数字是 .[解析]:[类题]:1.(2010年全国高中数学联赛河南初赛试题)记M=(5+24)2n (n ∈N *),N 是M 的小数部分,则M(1-N)的值是 . 2.(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知(1+3)n=a n +b n 3,其中a n ,b n 是整数,则∞→n limnnb a = . 3.①(2009年全国高中数学联赛新疆初赛试题)数(3+8)2n (n ∈N *),且n ≥2009,设[x]为x 的整数部分,则[(3+8)2n]除以8的余数是 .②(2006年第七届北方数学奥林匹克邀请赛试题)数(3+2)4022(n ∈N +)的整数部分的个位数字是 .9.二项应用4 Y.P.M 数学竞赛讲座 [例9]:(2003年江苏省数学夏令营数学竞赛试题)x 10+1除以(x-1)2的余式是 . [解析]:[类题]:1.(1986年全国高中数学联赛上海初赛试题)21000除以13的余数是 .2.(《中等数学》.2011年第12期.数学奥林匹克高中训练题(148))整数列{a n }定义如下:a 0=0,a 1=1,a n =2a n-1+a n-2(n>1).则满足22012|a n 的最小正整数n 为 .10.逆向应用[例10]:(2006年全国高中数学联赛试题)数码a 1,a 2,a 3,…,a 2006中有奇数个9的2007位十进制数20063212a a a a ⋅⋅⋅的个数为 .[解析]:[类题]:1.(2005年全国高中数学联赛山东初赛试题)611+C 111610+C 11269+…+C 11106-1被8除所得余数是 .2.(2003年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知n 为自然数,多项式P(x)=∑=nh hn C 0x n-h(x-1)h可展开成x 的升幂排列a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n,则|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a n |= .3.(2010年全国高中数学联赛上海初赛试题)满足0<a 1<a 2<…<a n (n ≥2,n ∈N +)的2n-1位十进制正整数121121a a a a a a a n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅-- 共有个(用数值作答).11.组合等式[例11]:(2006年全国高中数学联赛安徽初赛试题)2∑=n k k 13C n k-3n ∑=nk k 12C n k +n 2∑=nk k 1C n k = .[解析]: [类题]:1.(1989年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算∑=-121111k k k C = .2.(2009年全国高中数学联赛湖南初赛试题)对于n ∈N +,计算C 4n+11+C 4n+15+…+C 4n+14n+1= .12.质数指数勒让德(Legendre)定理:n ！中含质数p 的指数k=[p n]+[2p n ]+[3pn ]+…. 推论:在C n 0,C n 1,C n 2,…,C n n中,奇数个数是)(2n S ,其中S(n)是n 的二进制数玛的和.[例12]:(2011年全国高中数学联赛试题)已知a n =C 200n (36)200-n (21)n(n=1,2,…,95),则数列{a n }中整数项的个数为 .[解析]:[类题]:1.(2008年安徽高考试题)设(1+x)8=a 0+a 1x+…+a 8x 8,则a 0,a 1…,a 8中奇数的个数为 . 2.(2008年全国高中数学联赛安徽初赛试题)(1+x)2008=a 0+a 1x+…+a 2008x 2008,则a 0,a 1…,a 2008中奇数的个数为 .3.(1991年日本数学奥林匹克试题)满足0≤r ≤n ≤63的全部数组(n,r)中,二项式系数C n r为偶数的个数是 .Y.P.M 数学竞赛讲座 1竞赛中的二项式定理高中联赛中的向量问题具有纯粹性,着重于对向量本质特征--“数形二重性”的考察,需要充分挖掘蕴含的几何本质. 二项式定理的应用有三个方面:一是通项公式T k+1=C n k a n-k b k的应用,如求某一指定的项、或其系数、常数项、有理项、系数为有理数.T k+1最大⇔T k ≤T k+1且T k+2≤T k+1等;二是赋值法,在二项式的展开式中,通常通过赋值1,0,-1,可求a 0,a n ,a 0+a 1+…+a n ,a 0+a 2+…,a 1+a 3+…;特殊情况下,求某一项的系数,我们还可以通过逐次求导,再赋值于零,来求解;三是组合数的性质.一、知识结构1.三角形的四心表示:⑴静态形式:二、典型问题1.常数项[例1]:(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)在(4x 2-2x-5)(1+21x)5的展开式中,常数项为 .[解析]:(1+21x)5展开式的通项T k+1=C 5k x -2k⇒[类题]:(2009年全国高中数学联赛浙江初赛试题)(x-61x)2009的二项展开式中常数项是 .(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)(x 2-x1)6的展开式中常数项为 (用数字作答). 1.(2012年全国高中数学联赛四川初赛试题)(x 2+x-x1)6的展开式中的常数项是 (用具体数字作答). -51.(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)展开式(1+x+x1)7的常数项是_____. 1.(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)若二项式(a x -x1)6的展开式中的常数项为-160,则⎰-adx x 02)13(= .2.通项公式[例2]:(2000年全国高中数学联赛试题)设a n 是(3-x )n的展开式中x 项的系数(n=2,3,4,…),则∞→n lim (223a +333a +…+ nna 3)= . [解析]:[类题]:1.(2006年全国高中数学联赛江苏初赛试题)(x-3x 2)3的展开式中,x 5的系数为 (1998年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若(x x -x 1)6展开式中第5项的值为215,则∞→n lim (x -1+x -2+…+x -n)= . (2000年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若(x x -x 1)6展开式中第5项的值为5,则∞→n lim (x -1+x -3+…+x -1-2n)= .3.(2010年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知 (ax+1)n=a n x n+a n-1x n-1+…+a 1x+a 0(n ∈N *),点列A i (i,a i )(i=0,1,2…,n)部分图象如图所示, 则实数a 的值为________.3.通项分析[例3]:(2002年全国高中数学联赛试题)将二项式(x +421x)n的展开式按x 的降幂排列,若前三项系数成等差数列,则该展开式中x 的幂指数是整数的项共有__________个.[解析]:[类题]:1.(《中等数学》.2008年第3期.数学奥林匹克高中训练题(106))在(53+35)100的展开式中共有个项为有理数.解:T k+1=C 100k 3)100(5153k k -为有理数⇔5|(100-k),3|k ⇔5|k,3|k ⇔15|k(0≤k ≤100)⇔k=0×15,1×15,2×15,…,6×15,计7个.3.(1988年全国高中数学联赛试题)(x +2)2n+1的展开式中,x 的整数次幂的各项系数之和为_________.解:(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设展开式(5x+1)n=a 0+a 1x+…+a n x n,n ≥2011,若a 2011=max{a 0,a 1,…,a n },则n= .1.(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)若x ∈R +,则(1+2x)15的二项式展开式中系数最大的项为( ) (A)第8项 (B)第9项 (C)第8项和第9项 (D)第11项4.赋值方法[例4]:(2005年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设(1+x+x 2)n =a 0+a 1x+…+a 2n x 2n ,则a 2+a 4+…+a 2n 的值为 . [解析]:[类题]:1.(2006年全国高中数学联赛四川初赛试题)若(2x-1)8=a 8x 8+a 7x 7+…+a 1x+a 0,则a 8+a 6+a 4+a 2= .1.(2010年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)设(3+x+2x 2)n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2n x 2n (n ∈N +)对x ∈R 恒成立,则a 1+a 2+…+a 2n-1= . 1.(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)设二项式(3x-1)2n=a 2n x 2n+a 2n-1x 2n-1+…+a 2x 2+a 1x+a 0,记T n =a 0+a 2+…+a 2n ,R n =a 1+a 3+ …+a 2n-1,则∞→n lim nnR T = .1.(2008年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知多项式(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n,且满足:b 0+ b 1+…+b n =26,则正整数n 的一个可能值为 .(2009年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知多项式(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n,且满足:b 0+b 1+…+b n =1013,则正整数n 的一个可能值为 .1.(2006年全国高中数学联赛山西初赛试题)若(2x+4)2n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2n x 2n (n ∈N +),则a 2+a 4+…+a 2n 被3除的余数是 . 解:a 0=42n,a 0+a 2+a 4+…+a 2n =21[(2+4)2n +(-2+4)2n ]=21[62n +22n ]⇒a 2+a 4+…+a 2n =21(62n +22n )-42n =22n-1(32n +1)-(3+1)2n(mod3)≡(3-1)2n-1-1(mod3)≡(-1)2n-1-1(mod3)≡-2(mod3)≡1(mod3).(2005年全国高中数学联赛试题)将关于x 的多项式f(x)=1-x+x 2-x 3+…-x 19+x 20表为关于y 的多项式g(y)=a 0+a 1y +a 2y 2+…+a 19y 19+a 20y 20,其中y=x-4,则a 0+a 1+…+a 20= .解:由题设知,f(x)和式中的各项构成首项为1,公比为-x 的等比数列,由等比数列的求和公式,得:f(x)=1((1)(21----x x = 1121++x x ,令x=y+2,得g(y)=51)4(21+++y y ,取y=1,有a 0+a 1+…+a 20=g(1)=61521+. 1.(2010年全国高中数学联赛北京初赛试题)满足方程f(x)+(x-2)f(1)+3f(0)=x 3+2(x ∈R)的函数f(x)= . 解:令x=0,1:4f(0)-2f(1)=2,3f(0)=3⇒f(0)=1,f(1)=1⇒f(x)=x 3-x+1.2.①(2009年第20届全国希望杯高二数学邀请赛试题)已知f(x)=x 2-2x-3,f(g(x))=4x 4+4x 3-7x 2-4x,则g(x)的各项系数(包括常数项)的和等于 .0或2②(2006年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知f(x)=3x 2-x+4,f(g(x))=3x 4+18x 3+50x 2+69x+48,那么,整系数多项式函数g(x)的各项系数的和等于 . 8 解:3.(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)设函数f(x)=x 2+6x+8.如果f(bx+c)=4x 2+16x+15,那么,c-2b= . 解:取x=-2,有f(c-2b)=16-16×2+15=-1.而当x 2+6x+8=-1时,有x=-3.所以,c-2b=-3.5.微积方法[例5]:(2008年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设(x 2+2x-2)6=a 0+a 1(x+2)+a 2(x+2)2+...+a 12(x+2)12,其中a i (i=1,2, (12)为实常数,则a 0+a 1+2a 2+…+12a 12= .[解析]:[类题]:(2003年湖南高中数学夏令营试题)由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4=(x+2)4+b 1(x+2)3+b 2(x+2)2+b 3(x+2)+b 4,定义映射f:(a 1,a 2, a 3,a 4)→(b 1,b 2,b 3,b 4),则f[(10,30,38,21)]= .解:x 4+10x 3+30x 2+38x+21=(x+2)4+b 1(x+2)3+b 2(x+2)2+b 3(x+2)+b 4,令x=-2⇒b 4=1,4x 3+30x 2+60x+38=4(x+2)3+3b 1(x+2)2+2b 2(x +2)+b 3⇒b 3=6,12x 2+60x+60=12(x+2)2+6b 1(x+2)+2b 2⇒b 2=1.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)若x 5+3x 3+1=a 0+a 1(x-1)+a 2(x-1)2+ ⋯+a 5(x-1)5对任意实数x 都成立,则a 3的值是 (用数字作答).在x 5+3x 3+1=[(x-1)+1]5+3[(x-1)+1]3+1的展开式中,(x-1)3项的系数为C 52+3=13.1.(2008年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知恒等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4＝(x+1)4+b 1(x+1)3+b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4,则用a 1、a 2、a 3、a 4来表示b 3有b 3＝_______________________.1.(2011年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)设(1+x-x 2)10=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 20x 20,则a 0+a 1+2a 2+3a 3+…+20a 20= . 1.(《中等数学》.2010年第4期.数学奥林匹克高中训练题(128))设(2+x-2x 2)1005=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2010x 2010,则a 1+3a 3+5a 5+…+2009a 2009= .解:(2+x-2x 2)1005=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2010x 2010⇒1005(2+x-2x 2)1004(1-4x)=a 1+2a 2x+3a 3x 2+…+a 2010x 2009.令x=1⇒a 1+2a 2+3a 3+…+2010a 2010=1005(-3);令x=1⇒a 1-2a 2+3a 3+…-2010a 2010=1005×5⇒a 1+3a 3+5a 5+…+2009a 2009=1005.1.(1998年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:1011C +2111C +3211C +…+121111C = .解:由(1+x)n=1+xC n 1+x 2C n 2+…+x nC n n⇒⎰+10)1(nx =)1(2211nn n n n C x C x xC +⋯+++⎰,注意到f(x)=x k的原函数F(x)=k+11x k+1⇒ F(1)-F(0)=k +11⇒10n C +21n C +32n C +…+1+n C nn =11+n ×2n+1-11+n . 6.多截公式[例6]:(2001年全国高中数学联赛试题)若(1+x+x 2)100的展开式为a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a 2000x 2000,则a 0+a 3+a 6+a 9+…+a 1998的值为 .[解析]:[类题]:1.(2007年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设(1+x+x 2)n=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2n x 2n(n ∈N +),则a 0+a 3a 6+…+]32[[3n a 的值为 (其中,[x]表示不超过x 的最大整数).2.(《中等数学》.2005年第4期.数学奥林匹克高中训练题(75))C 20040-C 20042+C 20044-C 20046+…-C 20042002+C 20042004= .解:在(1+x)2004=C 20040+xC 20041+x 2C 20042+…+x2004C 20042004中,令x=i 得:(1+i)2004=(C 20040-C 20042+C 20044-C 20046+…-C 20042002+C 20042004)+i(C 20041-C 20043+C 20045-C 20047+…+C 20042001-C 20042003).又(1+i)2004=(2i)1002=-21002⇒C 20040-C 20042+C 20044-C 20046+…-C 20042002+C 20042004=-21002.3.(1990年全国高中数学联赛试题)设n=1990,则n21(1-3C n 2+32C n 4-33C n 6+…+3994C n 1988-3995C n1990)= .1.(《中等数学》.2010年第7期.数学奥林匹克高中训练题(75))设f(x)=(x+231i -)2010=∑=20100k k a x k +i ∑=2010k k b x k,其中,a k ,b k∈R,k=0,1,2,…,2010,则)(367003k k k b a +∑== .解:f(x)=(x+231i -)2010=(x-ω)2010=(-ω)2010(1-ωx)2010=(1-ωx)2010=∑=-201002010)(k k k k x C ϖ=-∑=670332010i i ix C -ω136690132010+=+∑i i i x C +ω2236690232010+=+∑i i i xC ⇒∑=6703k k b =0,∑=67003k k a =-∑=67032010i iC .令g(x)=(1+x)2010=C 20100+xC 20101+x 2C 20102+x 3C 20103+…+x 2010C 20102010⇒g(1)=C 20100+C 20101+C 20102+C 20103+…+C 20102010,g(ω)=C 20100+ωC 20101+ω2C 20102+ω3C 20103+…+ω2010C 20102010,g(ω2)=C 20100+ω2C 20101+ω4C 20102+ω6C 20103+…+ω4020C 20102010⇒g(1)+g(ω)+g(ω2)=3∑=670032010i iC ,g(1)+g(ω)+g(ω2)=22010+(1+ω)2010+(1+ω2)2010=22010+(-ω2)2010+(-ω)2010=22010+2.7.计数思想[例7]:(2009年全国高中数学联赛福建初赛试题)集合{1,2,3,…,2009}的元素和为奇数的非空子集的个数为 . [解析]:令f(x)=(1+x)(1+x 2)(1+x 3)…(1+x 2009),则问题中要求的答案为f(x)的展开式中x 的奇次项的系数和.故所求的答案为21[f(1)-f(-1)]=22008. [类题]:1.(2005年全国高中数学联赛安徽初赛试题)在(x 2+3x+2)5的展开式中,含x 项的系数是 . 2.(《中等数学》.2011年第7期.P3例题)在(x+1)(x+2)…(x+n)的展开式中,含x n-2项的系数是 .解:(x+1)(x+2)…(x+n)的展开式中,含x n-2项的系数A ⇔1,2,…,n 中任意两数积的和,由(1+2+…+n)2=12+22+…+n 2+2A ⇒ A=241(n-1)n(n+1)(3n+2). 3.(2008年全国高中数学联赛湖南初赛试题)多项式(1+x+x 2+…+x 100)3的展开式在合并同类项后,x 150的系数为 (用数字作答).解:由多项式乘法法则可知,可将问题转化为求方程s+t+r=150 ①的不超过100的自然数解的组数.显然,方程①的自然数解的组数为C 1522.下面求方程①的超过100自然数解的组数.因其和为150,故只能有一个数超过100,不妨设s>100.将方程①化为(s-101)+t+r=49.记x=s-101,则方程x+s+t=49的自然数解的组数为C 512.因此,x 150的系数为C 1522-C 31C 512=7651.8.对偶思想[例8]:(2009年全国高中数学联赛吉林初赛试题)(2+3)2010的小数点后一位数字是 .[解析]:因(2+3)2010+(2-3)2010为整数,则(2+3)2010的小数部分为1-(2-3)2010,又因0<(2-3)2010<0.21005<0.008300,所以0.9<1-(2-3)2010<1,可知(2+3)2010的小数点后一位数字是9.[类题]:1.(2010年全国高中数学联赛河南初赛试题)记M=(5+24)2n (n ∈N *),N 是M 的小数部分,则M(1-N)的值是 . 解:因(5+24)2n +(5-24)2n 是整数,且0<(5-24)2n <1⇒N=1-(5-24)2n ⇒M(1-N)=(5+24)2n (5-24)2n=1. 2.(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知(1+3)n=a n +b n 3,其中a n ,b n 是整数,则∞→n limnnb a = . 解:由(1+3)n =a n +b n 3⇒(1-3)n=a n -b n 3⇒a n =21[(1+3)n +(1-3)n ],b n =321[(1+3)n +(1-3)n]⇒∞→n lim n n b a = 3.3.(2009年全国高中数学联赛新疆初赛试题)数(3+8)2n (n ∈N *),且n ≥2009,设[x]为x 的整数部分,则[(3+8)2n]除以8的余数是 .(2006年第七届北方数学奥林匹克邀请赛试题)数(3+2)4022(n ∈N +)的整数部分的个位数字是 .解:(3+2)2n =(5+26)n ,令a n =(5+26)n +(5-26)n ,由5+26,5-26是方程x 2=10x-1的根⇒a n+2=10a n+1-a n ,a 1=10⇒ a 2n+1为10的倍数,又0<(5-26)n <1⇒(3+2)4022=a 2011-(3-2)4022的个位数字是9.9.二项应用[例9]:(2003年江苏省数学夏令营数学竞赛试题)x 10+1除以(x-1)2的余式是 . [解析]:x 10+1=[(x-1)+1]10+1=[类题]:1.(1986年全国高中数学联赛上海初赛试题)21000除以13的余数是 .3.(《中等数学》.2011年第12期.数学奥林匹克高中训练题(148))整数列{a n }定义如下:a 0=0,a 1=1,a n =2a n-1+a n-2(n>1).则满足22012|a n 的最小正整数n 为 .解:由a 0=0,a 1=1,a n =2a n-1+a n-2⇒a 2=2,a 3=5,a 4=12,a 5=29,a 6=70,a 7=169,a 8=408,猜测2k|k a 2.用数学归纳法证明:①2|a 2,即n=1时,2k|k a 2;②假设2k|k a 2.由a n =42[(1+2)n -(1-2)n ]⇒a 2n =42[(1+2)2n -(1-2)2n ]=[(1+2)n +(1-2)n] 42[(1+2)n -(1-2)n ]=[(1+2)n +(1-2)n ]a n =2(C n 0+2C n 2+…)a n ⇒2k+1|12+k a ,且C n 0+2C n 2+…为奇数⇒最小正整数n 为22012.10.逆向应用[例10]:(2006年全国高中数学联赛试题)数码a 1,a 2,a 3,…,a 2006中有奇数个9的2007位十进制数20063212a a a a ⋅⋅⋅的个数为 .[解析]:出现奇数个9的十进制数个数有C 2006192005+C 2006392003+…+C 200620059.又由于(9+1)2006=∑=200602006k kC 92006-k ,以及(9-1)2006=∑=200602006k kC (-1)k 92006-k,从而得C 2006192005+C 2006392003+…+C 200620059=21(102006-82006).[类题]:1.(2005年全国高中数学联赛山东初赛试题)611+C 111610+C 11269+…+C 11106-1被8除所得余数是 . 解:2.(2003年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知n 为自然数,多项式P(x)=∑=nh hn C 0x n-h(x-1)h可展开成x 的升幂排列a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n,则|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a n |= .解:P(x)=∑=n h h n C 0x n-h(x-1)h=(2x-1)n=∑=n k k n C 0(2x)k(-1)n-k⇒|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a n |=∑=nk k n C 02k=3n.3.(2010年全国高中数学联赛上海初赛试题)满足0<a 1<a 2<…<a n (n ≥2,n ∈N +)的2n-1位十进制正整数121121a a a a a a a n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅-- 共有个(用数值作答).解:因n ≤9,满足0<a 1<a 2<…<a n (n ≥2,n ∈N +)的2n-1位十进制正整数有C 9n,共有C 92+C 93+…+C 99=(1+1)9-(C 90+C 91)=29-10=502.11.组合等式[例11]:(2006年全国高中数学联赛安徽初赛试题)2∑=n k k 13C n k-3n ∑=nk k 12C n k +n 2∑=nk k 1C n k = .[解析]:因(1+x)n =C n 0+xC n 1+x 2C n 2+…+x k C n k +…+x n C n n ⇒n(1+x)n-1=C n 1+2xC n 2+…+kx k-1C n k +…+nx n-1C n n ⇒n(n-1)(1+x)n-2=2C n 2+…+k(k-x k-2C n k+…+n(n-1)x n-2C n n⇒C n 1+2C n 2+…+kC n k+…+nC n n=n ×2n-1,2×(2-1)C n 2+…+k(k-1)C n k+…+n(n-1)C n n=n(n-1)×2n-2⇒ 12C n 1+22C n 2+…+k 2C n k+…+n 2C n n=n(n-1)×2n-2+n ×2n-1=n(n+1)×2n-2.2∑=n k k 13C n k=2∑=n k k 12nC n-1k-1=2n ∑=n k k 12C n-1k-1=2n[∑=-n k k 12)1(C n-1k-1+∑=-nk k 1)12(C n-1k-1]=2n[(n-1)n ×2n-3+2×(n-1)2n-2-2n-1]=2n 2(n+3)×2n-3.所以,2∑=nk k 13C n k-3n ∑=nk k 12C nk+n2∑=nk k 1Cn k =2n 2(n+3)×2n-3-3n ×n(n+1)×2n-2+n 2×n ×2n-1=0.[类题]:1.(1989年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算∑=-121111k k k C = . 解: (2009年全国高中数学联赛湖南初赛试题)对于n ∈N +,计算C 4n+11+C 4n+15+…+C 4n+14n+1= . 解:24n-1-(-1)n 22n-1.12.质数指数勒让德(Legendre)定理:n ！中含质数p 的指数k=[p n ]+[2p n ]+[3p n ]+…. 推论:在C n 0,C n 1,C n 2,…,C n n 中,奇数个数是)(2n S ,其中S(n)是n 的二进制数玛的和.[例12]:(2011年全国高中数学联赛试题)已知a n =C 200n (36)200-n (21)n(n=1,2,…,95),则数列{a n }中整数项的个数为 . [解析]:[类题]: 1.(2008年安徽高考试题)设(1+x)8=a 0+a 1x+…+a 8x 8,则a 0,a 1…,a 8中奇数的个数为 . 解:因8=(1000)2⇒S(8)=1,所以a i 中,共有21=2个奇数.3.(1991年日本数学奥林匹克试题)满足0≤r ≤n ≤63的全部数组(n,r)中,二项式系数C n r 为偶数的个数是 . 解:满足0≤r ≤n ≤63的二项式系数C n r 的个数是1+2+3+…+64=2080.因63=(111111)2⇒S(63)=6⇒0≤S(n)≤6,其中, S(n)=k(k=0,1,2,3,4,5,6),有C 6k 种(如k=2:(000011)2→n=3;(000101)2→n=5;(001001)→n=9;(010001)2→n=17;…,有C 62种)⇒奇数的个数为∑=6062k k k C =(1+2)6=729⇒偶数的个数是2080-729=1351.。

1990年全国高考数学(理科)试题

1990年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题:本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.1.方程3log 124x =的解是 A.19x =B.3x =C.x =9x = 2. 把复数1i +对应的向量按顺时针方向旋转23π，所得到的向量对应的复数是A.1122i -++B.1122i --+C.1122i -+D.1122i -+ 3.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于4.方程sin 2sin x x =在区间(0,2)π内的解的个数是5.已知如图是函数2sin() ()2y x πωϕϕ=+<的图象,A.10116πωϕ==， B.10116πωϕ==-， C.26πωϕ==， D.26πωϕ==-， 6.函数cos cot sin tan sin cos tan cot x x x x y x x x x=+++的值域是 A.{}2,4- B.{}2,0,4- C.{}2,0,24-， D.{}4,2,0,4--7.如果直线2y ax =+与直线3y x b =+关于直线y x =对称,那么A.1,63a b ==B.1,63a b ==- C.3,2a b ==- D.3,6a b == 8.极坐标方程24sin 52θρ=表示对曲线是1 11A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线9.设全集{}(,),I x y x y R =∈，集合3(,)12y M x y x ⎧-⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)1N x y y x =≠+，那么M N =A.∅B.{}(2,3)C.(2,3)D.{}(,)1x y y x =+10.如果实数,x y 满足等式22(2)3x y -+=，那么y x的最大值是 . A.1211.如图,正三棱锥S ABC -的侧棱与底面边长相等, 如果,E F 分别为SC 、AB 的中点,那么异面直线EF 与 SA 所成的角等于A.090B.060C.045 D.030 12.已知0h >，设命题甲为：两个实数,a b 满足2a b h -<；命题乙为：两个实数,a b 满足1a h -<且1b h -<.那么A.甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件.B.甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件.C.甲是乙的充要条件.D.甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件.13.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法共有A.24种B.60种C.90种D.120种14.以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有A.70个B.64个C.58个D.52个15.将函数y arctgx =的图像沿x 轴正方向平移2个单位所得到的图像位C ，又设图像与C '与C 关于原点对称，那么C '所对的函数是A.(2)y arctg x =--B.(2)y arctg x =-C.(2)y arctg x =-+D.(2)y arctg x =+二、填空题: 本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填在题中横线上.16.双曲线221169y x -=的准线方程是 . 17.2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中，2x 的系数等于 .18.已知{}n a 是公差不为零的等差数列，如果n S 是数列{}n a 的前项的和，那么lim n n n na S →∞= . 19.函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值为.20.如图,三棱柱111ABC A B C -中,若,E F 分别为,AB AC的中点,平面11EB C F 将三棱柱分成体积为1V 、2V 的两部分,那么1V :2V = .三、解答题. 本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.22.已知1sin sin 4αβ+=，1cos cos 3αβ+=，求tan()αβ+的值. 23.如图,在三棱锥S ABC -中, SA ⊥底面ABC , AB BC ⊥.DE 垂直平分SC ,且分别交AC 、SC于,D E .又SA AB =,SB BC =.求以BD 为棱,以 BDE 与BDC 为面的二面角的度数. 24.设0a ≥,在复数集C 中解方程22z z a +=.25.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率2e =，已知点3(0,)2P .求这个椭圆的方程.并求椭圆上到点P 的点的坐标.26.设函数12(1)()lg x x x n n a f x n+++-+=.其中a 是实数，n 为任意给定的自然A A B D C ES数，且2n ≥.（1）如果()f x 当(],1x ∈-∞时有意义，求a 的取值范围；（2）如果(]0,1a ∈，证明：2()(2)f x f x <， 0x ≠时成立.。

1990高考数学全国卷及答案理

1990高考数学全国卷及答案理1990年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是(A)1(B)2(C)3 (D)4(5)(A){-2,4}(B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4}(D){-4,-2,0,4}(7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么(C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线(B){(2,3)}(C)(2,3)(D){(x,y)│y=x+1}(11)如图,正三棱锥S ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满足│a－1│<h且│b-1│<h.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件(C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有(A)24种(B)60种(C)90种(D)120种(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是(A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2)二、填空题:把答案填在题中横线上.(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于(18)已知{a n}是公差不为零的等差数列,如果S n是{a n}的前n项的和,那(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是(20)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2三、解答题.7(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.(23)如图,在三棱锥S ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.(24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│＝a.n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围;(Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.参考答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)A (2)B (3)D (4)C (5)C(6)B (7)A(8)D (9)B (10)D(11)C(12)B (13)B(14)C（15)D二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.解法一:①由②式得d=12-2a.③整理得a2-13a+36=0解得a1=4,a2=9.代入③式得d1=4,d2=-6.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x①由①式得x=3y-12.③将③式代入②式得y(16-3y+12)=(12-y)2,整理得y2-13y+36=0.解得y1=4,y2=9.代入③式得x1=0,x2=15.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一:由已知得解法二:如图,不妨设0≤α≤β＜2π,且点A的坐标是（cosα,sinα）,点B的坐标是（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有解法三:由题设得4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).将②式代入①式,可得sin(α-)=sin(-β).于是α－＝(2k+1)π-(-β)(k∈Z),或α-=2kπ+(-β)(k∈Z).若α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),则α＝β＋(2k+1)π(k∈Z).于是sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.由此可知α-=2kπ+(-β)(k∈Z),即α＋β＝2+2kπ(k∈Z).所以(23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解法一:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E,∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD.而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,∴BD⊥DE,BD⊥DC.∴∠EDC是所求的二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.设SA＝a,又因为AB⊥BC,∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.解法二:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.∵DE面BDE,DC面BDC,∴∠EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.(24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解法一:设z＝x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.③(Ⅰ)令x>0,方程③变为x2＋2x=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;(Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a.⑤.由此可知:当a=0时,方程⑤无负根;当a>0时,方程⑤有负根x=1-.(Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a.由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0;当a>0时,方程⑥无零解.所以,原方程的实数解是:当a=0时,z=0;.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.⑦(Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a.⑧由此可知:当a>1时,方程⑧无实根.当a≤1时解方程⑧得y=1±,从而,当a=0时,方程⑧有正根y=2;当0<a≤1时,方程⑧有正根y=1±.(Ⅱ)令y<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即(y+1)2=1-a.⑨由此可知:当a>1时,方程⑨无实根.当a≤1时解方程⑨得y=-1±,从而,当a=0时,方程⑨有负根y=-2;当0<a≤1时,方程⑨有负根y=-1±所以,原方程的纯虚数解是:当a=0时,z=±2i;当0<a≤1时,z=±(1+)i,z=±(1-)i.而当a>1时,原方程无纯虚数解.解法二:设z=x+yi代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.即| x |2+2│x│=a.③解方程③得,所以,原方程的实数解是.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.即-│y│2 +2│y│=a.④当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2,即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i.当0<a≤1时,解方程④得,即当0<a≤1时,原方程的纯虚数解是.而当a>1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.解法三:因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y≠0).情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.情形2.若z=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形2.解法四:设z=r(cosθ+isinθ),其中r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得r2cos2θ＋2r+ir2sin2θ＝a.于是原方程等价于方程组情形1.若r=0.①式变成0=a.③由此可知:当a=0时,r=0是方程③的解.当a>0时,方程③无解.所以,当a=0时,原方程有解z=0;当a>0时,原方程无零解.考查r>0的情形.(Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为r2+2r=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;当a>0时,方程④有正根.所以,当a>0时,原方程有解.(Ⅱ)当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为-r2+2r=a,即(r-1)2=1-a,⑤由此可知:当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根;.从而,当a=0时,方程⑤有正根r=2;.所以,当a=0时,原方程有解z=±2i;当0<a≤1时,原方程有解当a>1时,原方程无纯虚数解.(25)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是其中a>b>0待定,0≤θ<2π.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则大值,由题设得,因此必有,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的参数方程是.解法二:设所求椭圆的直角坐标方程是其中a>b>0待定.,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则其中-byb.由此得,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的直角坐标方程是(26)本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.(Ⅰ)解:f(x)当x∈(-∞,1]时有意义的条件是1+2x+…(n-1)x+n x a>0x∈(-∞,1],n≥2,上都是增函数,在(-∞,1]上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值也就是a的取值范围为(Ⅱ)证法一:2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.即[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a]a∈(0,1],x≠0.②现用数学归纳法证明②式.（A）先证明当n=2时②式成立.假如0<a<1,x≠0,则(1+2x a)2=1+2·2x a+22x a2≤2(1+22x)<2(1+22x a).假如a=1,x≠0,因为1≠2x,所以因而当n=2时②式成立.（B）假如当n=k(k≥2)时②式成立,即有[1+2x+…+(k-1)x+k x a]2<k[1+22x+…+(k-1)2x a] a∈(0,1],x≠0,那么,当a∈(0,1],x≠0时[(1+2x+…+k x)+(k+1)xa]2=(1+2x+…+k x)2+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2=k(1+22x+…+k2x)+[2·1·(k+1)x a+2·2x(k+1)x a+…+2k x(k+1)x a]+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+{[1+(k+1)2x a2]+[22x+(k+1)2x a2]+…+[k2x+(k+1)2x a2]}+(k+1)2x a2]=(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a2]≤(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a],这就是说,当n=k+1时②式也成立.根据(A),(B)可知,②式对任何n≥2(n∈N)都成立.即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.证法二:只需证明n≥2时因为其中等号当且仅当a1=a2=…=a n时成立.利用上面结果知,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x].当0<a<1,x≠0时,因a2<a,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2≤n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a2]<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a].即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.。

90版高中数学练习题答案

90版高中数学练习题答案一、选择题1. 根据题目分析，选项A、B、C均不符合题意，只有选项D满足条件，因此答案为D。

2. 通过代入验证法，我们可以发现只有选项B能够使等式成立，故答案为B。

3. 利用排除法，首先排除明显错误的选项，再通过逻辑推理确定正确答案为C。

二、填空题1. 根据题目所给的函数关系式，我们可以计算出x的值为3，因此答案为3。

2. 通过对题目的几何图形进行分析，我们可以得出该图形的面积为25，故答案为25。

三、解答题1. 证明题：首先，我们需要根据已知条件列出相应的等式或不等式。

然后，通过代数变换或几何证明，得出结论。

例如，若要证明两直线平行，我们需要证明它们的斜率相等。

2. 计算题：对于这类题目，我们通常需要先理解题目要求，然后运用相应的数学公式或定理进行计算。

例如，求解二次方程，我们需要使用求根公式。

3. 应用题：在解答应用题时，我们首先要将实际问题转化为数学问题，然后运用数学知识进行求解。

例如，求解利润最大化问题，我们可能需要使用微积分中的导数来找到函数的最大值。

四、综合题1. 综合题通常要求我们综合运用多种数学知识来解决问题。

在解答这类题目时，我们需要仔细阅读题目，理解题目要求，并逐步分析和解答。

2. 对于复杂的综合题，我们可能需要分步骤进行解答，每一步都要确保准确无误，以便为下一步的解答打下坚实的基础。

请注意，以上答案仅为示例，具体题目的解答需要根据实际题目内容来确定。

希望这些答案能够对你的学习有所帮助。

如果你有任何疑问或需要进一步的解释，请随时向我咨询。

祝你学习进步！。

1990年全国高考数学试题

年全国高考数学试题（理工农医类）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内.[]一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.()【】[] ()()如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是,那么圆柱的体积等于【】[] ()()方程在区间(π)内的解的个数是()()()()【】[] ()()【】[] ()(){}(){}(){}(){}【】[] ()()如果直线＋与直线－关于直线＝对称,那么()()【】[] ()()圆()椭圆()双曲线的一支()抛物线【】[] ()(){()}()()(){()│}【】[] ()【】[] ()()如图,正三棱锥的侧棱与底面边长相等,如果、分别为、的中点,那么异面直线与所成的角等于()°()°()°()°【】[] ()()已知>.设命题甲为:两个实数满足│－│<;命题乙为:两个实数满足│－│<且││<.那么()甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件()甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件()甲是乙的充分条件()甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件【】[] ()()五人并排站成一排,如果必须站在的右边（可以不相邻）,那么不同的排法共有()种()种()种()种【】[] ()()以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有()个()个()个()个【】[] ()()设函数的图象沿轴正方向平移个单位所得到的图象为.又设图象＇与关于原点对称,那么＇所对应的函数是()()()()()()()()【】[] ()二、填空题:把答案填在题中横线上.()()()()()()的展开式中的系数等于.()已知{}是公差不为零的等差数列,如果是{}的前项的和,那()函数的最大值是.()如图,三棱柱－中,若、分别为、的中点,平面将三棱柱分成体积为、的两部分,那么＝.[] 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.()有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是,第二个数与第三个数的和是.求这四个数.[] 三、解答题.()本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.解法一:①由②式得.③整理得解得.代入③式得.从而得所求四个数为或.解法二:设四个数依次为①由①式得.③将③式代入②式得()(),整理得.解得.代入③式得.从而得所求四个数为或.[] ()本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一:由已知得解法二:如图,不妨设≤α≤β＜π,且点的坐标是（α,α）,点的坐标是（ββ）,则点在单位圆上.连结连结,于是⊥,若设点的坐标是（）,再连结,则有解法三:由题设得(αβ)(αβ).将②式代入①式,可得(α)(β).于是α－＝()π(β)(∈),或απ(β)(∈).若α()π(β)(∈),则α＝β＋()π(∈).于是αβ,即αβ.由此可知απ(β)(∈),即α＋β＝π(∈).所以()如图,在三棱锥中⊥底面⊥．垂直平分,且分别交、于、.又＝＝.求以为棱,以与为面的二面角的度数.[] ()本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解法一:由于＝,且是的中点,因此是等腰三角形的底边的中线,所以⊥.又已知⊥∩＝,∴⊥面,∴⊥.又∵⊥底面在底面上,∴⊥.而∩＝,∴⊥面.∵＝面∩面＝面∩面,∴⊥⊥.∴∠是所求的二面角的平面角.∵⊥底面,∴⊥⊥.设＝,又因为⊥,∴∠＝°.又已知⊥,所以∠＝°,即所求的二面角等于°.解法二:由于＝,且是的中点,因此是等腰三角形的底边的中线,所以⊥.又已知⊥∩＝∴⊥面,∴⊥.由于⊥底面,且是垂足,所以是在平面上的射影.由三垂线定理的逆定理得⊥;又因∈是在平面上的射影,所以在平面上的射影在上,由于∈,所以在平面上的射影也在上,根据三垂线定理又得⊥.∵面面,∴∠是所求的二面角的平面角.以下同解法一.()设≥,在复数集中解方程││＝.[] ()本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解法一:设＝,代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得或.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形.若,即求原方程的实数解.此时,①式化为││.③(Ⅰ)令>,方程③变为＋.④.由此可知:当时,方程④无正根;(Ⅱ)令<,方程③变为.⑤.由此可知:当时,方程⑤无负根;当>时,方程⑤有负根.(Ⅲ)令,方程③变为.由此可知:当时,方程⑥有零解;当>时,方程⑥无零解.所以,原方程的实数解是:当时;.情形.若,由于的情形前已讨论,现在只需考查≠的情形,即求原方程的纯虚数解(≠).此时,①式化为││.⑦(Ⅰ)令>,方程⑦变为,即().⑧由此可知:当>时,方程⑧无实根.当≤时解方程⑧得±,从而,当时,方程⑧有正根;当<≤时,方程⑧有正根±.(Ⅱ)令<,方程⑦变为,即().⑨由此可知:当>时,方程⑨无实根.当≤时解方程⑨得±,从而,当时,方程⑨有负根;当<≤时,方程⑨有负根±所以,原方程的纯虚数解是:当时±;当<≤时,±()±().而当>时,原方程无纯虚数解.解法二:设代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得或.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形.若,即求原方程的实数解.此时,①式化为││.即││.③解方程③得,所以,原方程的实数解是.情形.若,由于的情形前已讨论,现在只需考查≠的情形,即求原方程的纯虚数解(≠).此时,①式化为││.即││││.④当时,因≠,解方程④得││,即当时,原方程的纯虚数解是±.当<≤时,解方程④得,即当<≤时,原方程的纯虚数解是.而当>时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.解法三:因为││是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即或(≠).情形.若.以下同解法一或解法二中的情形.情形.若(≠).以下同解法一或解法二中的情形.解法四:设(θθ),其中≥≤θ<π.代入原方程得θ＋θ＝.于是原方程等价于方程组情形.若.①式变成.③由此可知:当时是方程③的解.当>时,方程③无解.所以,当时,原方程有解;当>时,原方程无零解.考查>的情形.(Ⅰ)当时,对应的复数是±.因θ,故①式化为.④.由此可知:当时,方程④无正根;当>时,方程④有正根.所以,当>时,原方程有解.(Ⅱ)当时,对应的复数是±.因θ,故①式化为,即(),⑤由此可知:当>时,方程⑤无实根,从而无正根;.从而,当时,方程⑤有正根;.所以,当时,原方程有解±;当<≤时,原方程有解当>时,原方程无纯虚数解.[] ()本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是其中>>待定≤θ<π.设椭圆上的点()到点的距离为,则大值,由题设得,因此必有,由此可得.所求椭圆的参数方程是.解法二:设所求椭圆的直角坐标方程是其中>>待定.,设椭圆上的点()到点的距离为,则其中.由此得,由此可得.所求椭圆的直角坐标方程是≥.(Ⅰ)如果()当∈(∞]时有意义,求的取值范围;(Ⅱ)如果∈(],证明()<()当≠时成立.[] ()本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.(Ⅰ)解()当∈(∞]时有意义的条件是…()>∈(∞]≥,上都是增函数,在(∞]上也是增函数,从而它在时取得最大值也就是的取值范围为(Ⅱ)证法一()<()∈(]≠.即[…()]<[…()]∈(]≠.②现用数学归纳法证明②式.（）先证明当时②式成立.假如<<≠,则()·≤()<().假如≠,因为≠,所以因而当时②式成立.（）假如当(≥)时②式成立,即有[…()]<[…()] ∈(]≠,那么,当∈(]≠时[(…)()](…)(…)()()<(…)(…)()()(…)[··()·()…()]()<(…){[()][()]…[()]}()]()[…()]≤()[…()],这就是说,当时②式也成立.根据(),()可知,②式对任何≥(∈)都成立.即有()<()∈(]≠.证法二:只需证明≥时因为其中等号当且仅当…时成立.利用上面结果知,当≠时,因≠,所以有[…()]<[…()].当<<≠时,因<,所以有[…()]≤[…()]<[…()].即有()<()∈(]≠.。

1990-2011全国高中数学联赛代数分类试题答案

11990——2011年全国数学竞赛试题分类代数部分一、填空题 1、已知82121=+-xx ，则xx12+=_____62________. （90年） 2、2223,2,1，…，1234567892的和的个位数的数字是 __5__. （90年）3、方程01)8)((=---x a x ，有两个整数根，则=a ____8__. （90年）4、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么=+ac b 32____6__.（91年）5、设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m xx x x )1(1)1(+=-+恒成立，则=++q p n m 22)2(__9__.（91年）6、若0≠x ,则xxx x 44211+-++的最大值是（92年）7、若b a ,都是正实数，且0111=+--ba b a ，则=+33)()(b a a b （92年） 8、当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是_____2______.（93年）9、放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有____7__个小球. （93年）10、若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =_____7/4_______.（93年）11、若在关于 x 的恒等式b x c a x x x N Mx --+=-++222 中，2x 2-++x x NM 为最简分式，且有a ＞b ，a+b=c 则N=____-8__. （94年）12、在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____19________个. （95年）13、已知 a 是方程 x 2 + x - 41 = 0 的根，则 234531a a a a a --+-的值等于__20___.（95年）14、设 x 为正实数，则 y = x 2 - x +x1的最小值是__1_____.（95年） 15、实数x,y 同时满足y=x1及y=|x|+1，则x+y=_____．（96年）16、当a 取遍0到5的所有实数值时,满足3b=a(3a-8)的整数b 的个数是____13_____.（97年） 17、若a,b 满足3a +5|b|=7,则S=22-3|b|的取值范围是_215⎡⎢⎣_______.（97年） 18、若正整数x,y 满足x 2+y 2=1997,则x+y 等于_____63__.（97年） 19、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a =___1,3,5________。

1990年全国高中数学联合竞赛试题及解答

D. (cos )
sin
cos
(cos ) cos (cos ) sin
(cos ) cos (sin ) cos
◆答案：D ★解析： ∴ (cos )
cos
, 得 0 cos sin 1 ， 4 2 (sin ) cos ； (cos ) sin (cos ) cos ；选 D
0
0
0
6
★解析：点 P 在单位圆上， sin( 2t 60 ) cos(150 2t ) ， cos( 2t 60 ) sin(150 2t ) .当 t 由
0
0
0
0
1 3 1 3 运动到 , 150 变到 450 时，点 P 沿单位圆从 , 2 2 2 2 ．线段 AP 扫过的面积等于扇形面积
2 2 k 2 2 k

2

2
则 Ak 1 ( a b )
2
2 k 1
sin k 1 (a 2 b 2 ) k 1 sin k cos cos k sin Ak B1 A1 Bk 为整数．
Bk 1 (a 2 b 2 ) k 1 cosk 1 (a 2 b 2 ) k 1 cos k cos sin k sin Bk B1 A1 Ak 也为整数．
1990*2、设 f ( x ) 是定义在实数集上的周期为 2 的函数，且是偶函数，已知当 x 2,3时， f ( x ) x ，则当 x 2,0 时， f ( x ) 的解析式是（ A. f ( x ) x 4 ◆答案：C ★解析：设 x 2,1 ,则 x 4 2,3 ,于是 f ( x 4) x 4 ，所以 f ( x ) f ( x 4) x 4 ，又设 x 1,0 ，则 x 0,1 ,故 f ( x ) x 2 ，由 f ( x ) f ( x ) x 2 . 综上可得： f ( x ) 3 x 1 故选 C． 1990*3、设双曲线的左右焦点是 F1 , F2 ，左右顶点是 M , N ，若 PF1 F2 的顶点 P 在双曲线上，则） PF1 F2 的内切圆与边 F1 F2 的切点位置是（ A.在线段 MN 内部 B. 在线段 F1M 内部或线段 NF2 内部 C.点 M 或点 N D.不能确定的 ◆答案：C ★解析：设内切圆在三边上切点分别为 D, E , F ，当 P 在右支上时， PF1 PF2 2a ．又 PF1 PF2 DF1 DF2 2a ，即 D 与 N 重合；当 P 在左支上时，同理 D 与 M 重合．故选 C． 1990*4、点集 ( x, y ) | lg x A. 0 ◆答案：B B. f ( x ) 2 x ） C. f ( x ) 3 x 1 D. f ( x ) 2 x 1

1990年全国高中数学联赛试卷+解析

1990年全国高中数学联赛第一试(10月14日上午8∶00—10∶00)一．选择题(本题满分30分，每小题5分)1．设α∈(π4，π2),则(cos α)cos α，(sin α)cos α，(cos α)sin α的大小顺序是A ．(cos α)cos α<(sin α)cos α<(cos α)sin αB ．(cos α)cos α<(cos α)sin α <(sin α)cos αC ．(sin α)cos α<(cos α)cos α<(cos α)sin αD ．(cos α)sin α <(cos α)cos α<(sin α)cos α 2．设f (x )是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x ∈[2,3]时，f (x )=x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )的解析式是( )A ．f (x )=x +4B ． f (x )=2-xC ． f (x )=3－|x +1|D ． f (x )=2+|x +1| 3．设双曲线的左右焦点是F 1、F 2，左右顶点是M 、N ，若△PF 1F 2的顶点P 在双曲线上，则△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点位置是( )A ．在线段MN 内部B ．在线段F 1M 内部或在线段NF 2内部C ．点M 或点ND ．不能确定的4．点集{(x ，y )|lg(x 3+13y 3+19)=lg x +lg y }中元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．多于2 5．设非零复数x 、y 满足x 2+xy +y 2=0，则代数式⎝⎛⎭⎫x x +y 1990+⎝⎛⎭⎫y x +y 1990的值是( ) A ．2－1989B ．－1C ．1D ．以上答案都不对6．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y |>1的点的集合用阴影表示是下面图中的( )二．填空题(本题满分30分，每小题5分)1．设n 为自然数，a 、b 为正实数，且满足a +b=2，则11+a n +11+b n的最小值是． 2．设A (2，0)为平面上一定点，P (sin(2t －60°)，cos(2t －60°))为动点，则当t 由15°变到45°时，线段AP 扫过的面积是．3．设n 为自然数，对于任意实数x ，y ，z ，恒有(x 2+y 2+z 2)2≤n (x 4+y 4+z 4)成立，则n 的最小值是．4．对任意正整数n ，连结原点O 与点A n (n ，n +3)，用f (n )表示线段OA n 上的整点个数(不计端点)，试求f (1)+f (2)+…+f (1990)．0)D.C.B.A.0)5．设n=1990，则12n (1－3C 2n +32C 4n －33C 6n +…+3994C 1998n －3995C 1990n = ． 6．8个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有种不同和排列方法．(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)．三．(本题满分20分)已知a ，b 均为正整数，且a >b ，sin θ=2ab a 2+b 2，(其中0<θ<π2)，A n =(a 2+b 2)n sin nθ．求证：对于一切自然数n ，A n 均为整数．四．n 2个正数排成n 行n 列其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等．已知a 24=1，a 42=18，a 43=316，求a 11+a 22+……+a nn ．五．设棱锥M —ABCD 的底面为正方形，且MA=MD ，MA ⊥AB ，如果△AMD 的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径．a 11 a 12 a 13 a 14 ……a 1na 21 a 22 a 23 a 24 ……a 2n a 31 a 32 a 33 a 34 ……a 3n a 41 a 42 a 43 a 44 ……a 4n …………………………………… a n 1 a n 2 a n 3 a n 4 ……a nnACBMD第二试(10月14日上午10∶30—12∶30)一．(本题满分35分)四边形ABCD 内接于圆O ，对角线AC 与BD 相交于P ，设三角形ABP 、BCP 、CDP 和DAP 的外接圆圆心分别是O 1、O 2、O 3、O 4．求证OP 、O 1O 3、O 2O 4三直线共点．二．(本题满分35分)设 E={1，2，3，……，200}，G={a 1，a 2，……，a 100}⊂≠E ．且G 具有下列两条性质： ⑴ 对任何1≤i <j ≤100，恒有 a i +a j ≠201； ⑵100Σi=1a i=10080．试证明：G 中的奇数的个数是4的倍数．且G 中所有数字的平方和为一个定数．三．(本题满分35分) 某市有n 所中学，第i 所中学派出C i 名代表(1≤C i ≤39，1≤i ≤n )来到体育馆观看球赛，全部学生总数为nΣi=1C i=1990．看台上每一横排有199个座位，要求同一学校的学生必须坐在同一横排，问体育馆最少要安排多少横排才能够保证全部学生都能坐下．O OABC D P1 O O O 234 F1990年全国高中数学联赛(解答)第一试一．选择题(本题满分30分，每小题5分)1．设α∈(π4，π2),则(cos α)cos α，(sin α)cos α，(cos α)sin α的大小顺序是A ．(cos α)cos α<(sin α)cos α<(cos α)sin αB ．(cos α)cos α<(cos α)sin α <(sin α)cos αC ．(sin α)cos α<(cos α)cos α<(cos α)sin αD ．(cos α)sin α <(cos α)cos α<(sin α)cos α (1990年全国高中数学联赛) 解：α∈(π4，π2)⇒0<cos α<sin α<1，∴ (cos α)cos α<(sin α)cos α；(cos α)sin α<(cos α)cos α；选D ． 2．设f (x )是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x ∈[2,3]时，f (x )=x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )的解析式是( )A ．f (x )=x +4B ． f (x )=2-xC ． f (x )=3－|x +1|D ． f (x )=2+|x +1| 解设x ∈[－2,－1],则x +4∈[2,3],于是f (x+4)=x +4，但f (x )= f (x +4)=x +4 (x ∈[－2,－1])，又设x ∈[－1,0)，则－x ∈(0,1],故f (－x )=－x +2，由f (x )= f (－x )=－x +2 (x ∈[－1，0).f (x )=3－|x +1|=⎩⎨⎧3－(－x －1)=x +4 (x ∈[－2，－1])，3－(x +1)=－x +2 (x ∈(－1，0))．故选C ．3．设双曲线的左右焦点是F 1、F 2，左右顶点是M 、N ，若△PF 1F 2的顶点P 在双曲线上，则△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点位置是( )A ．在线段MN 内部B ．在线段F 1M 内部或在线段NF 2内部C ．点M 或点ND ．不能确定的解：设内切圆在三边上切点分别为D 、E 、F ，当P 在右支上时，PF 1－PF 2=2a ．但PF 1－PF 2=F 1D －F 2D=2a ，即D 与N 重合，当P 在左支上时，D 与M 重合．故选C ．4．点集{(x ，y )|lg(x 3+13y 3+19)=lg x +lg y }中元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．多于2 解：x 3+13y 3+19=xy >0．但x 3+13y 3+19≥33x 3·13y 3·19 =xy ，等号当且仅当x 3=13y 3=19时，即x=33 3 ，y=393时成立．故选B ．5．设非零复数x 、y 满足x 2+xy +y 2=0，则代数式⎝⎛⎭⎫x x +y 1990+⎝⎛⎭⎫y x +y 1990的值是( )A ．2－1989B ．－1C ．1D ．以上答案都不对解：xy=ω或ω2，其中ω=cos120°+i sin120°．1+ω+ω2=0．且ω3=1．若x y =ω，则得(ω1+ω)1990+(1ω+1)1990=－1．若x y =ω2，则得(ω21+ω2)1990+(1ω2+1)1990=－1．选B ．6．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y |>1的点的集合用阴影表示是下面图中的( )解：4a 2+1b 2=1，由a 2>b 2，故得1b 2<1<4b 2+1b 2=5b 2，1<b <5．4a 2+1b 2=1 5a 2<1，a 2>5．故选C ．二．填空题(本题满分30分，每小题5分)1．设n 为自然数，a 、b 为正实数，且满足a +b=2，则11+a n +11+b n 的最小值是．解：ab ≤(a+b 2)2=1，从而a n b n ≤1，故11+a n +11+b n = 1+a n +1+b n 1+a n +b n +a n b n≥1．等号当且仅当a=b=1时成立．即所求最小值=1．2．设A (2，0)为平面上一定点，P (sin(2t －60°)，cos(2t －60°))为动点，则当t 由15°变到45°时，线段AP 扫过的面积是．解：点P 在单位圆上，sin(2t －60°)=cos(150°－2t )，cos(2t －60°)=sin(150°－2t ).当t 由15°变到45°时，点P 沿单位圆从(－12，32)运动到(12,32)．线段AP 扫过的面积=扇形面积=16π．3．设n 为自然数，对于任意实数x ，y ，z ，恒有(x 2+y 2+z 2)2≤n (x 4+y 4+z 4)成立，则n 的最小值是．解：(x 2+y 2+z 2)2=x 4+y 4+z 4+2x 2y 2+2y 2z 2+2z 2x 2≤x 4+y 4+z 4+(x 4+y 4)+(y 4+z 4)+(z 4+x 4)=3(x 4+y 4+z 4)．等号当且仅当x=y=z 时成立．故n=3．4．对任意正整数n ，连结原点O 与点A n (n ，n +3)，用f (n )表示线段OA n 上的整点个数(不计端点)，试求f (1)+f (2)+…+f (1990)．解线段OA n 的方程为y=n +3nx (0≤x ≤n )，故f (n )等于该线段内的格点数．若n=3k (k ∈N +)，则得y=k +1k x (0≤x ≤n )(k ∈N *)，其内有两个整点(k ，k +1)，(2k ，2k +2)，此时f (n )=2；若n=3k ±1(k ∈N +)时，则由于n 与n +3互质，故OA n 内没有格点，此时f (n )=0．∴ f (1)+f (2)+…+f (1990)=2[19903]=1326．5．设n=1990，则12n (1－3C 2n +32C 4n －33C 6n +…+3994C 1998n －3995C 1990n = ．0)D.C.B.A.0)解：取(－12+32i )1990展开的实部即为此式．而(－12+32i )1990=－12+32i ．故原式=－12．6．8个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有种不同和排列方法．(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)．解：每个女孩与其后的两个男孩组成一组，共8组，与余下9个男孩进行排列，某个女孩始终站第一个位子，其余7组在8+9－1个位子中选择7个位子，得C 78+9－1=C 716种选法．7个女孩可任意换位，25个男孩也可任意换位，故共得C 716∙7!∙25!种排列方法．三．(本题满分20分)已知a ，b 均为正整数，且a >b ，sin θ=2ab a 2+b 2，(其中0<θ<π2)，A n =(a 2+b 2)n sin nθ．求证：对于一切自然数n ，A n 均为整数．证明：由sin θ=2aba 2+b 2，得cos θ=a 2－b 2a 2+b2．记A n =(a 2+b 2)n cos nθ．当a 、b 均为正整数时，A 1=2ab 、B 1=a 2－b 2均为整数．A 2=4ab (a 2－b 2)，B 2=2(a 2－b 2)2－(a 2+b 2)2也为整数．若A k =(a 2+b 2)k sin kθ、B k =(a 2+b 2)k cos kθ均为整数，则A k +1=(a 2+b 2)k +1sin(k +1)θ=(a 2+b 2)k +1sin kθcos θ+(a 2+b 2)cos kθsin θ=A k ∙B 1+A 1B k 为整数． B k +1=(a 2+b 2)k +1cos(k +1)θ=(a 2+b 2)k +1cos kθcos θ－(a 2+b 2)k +1sin kθsin θ=B k B 1－A k A 1为整数．由数学归纳原理知对于一切n ∈N *，A n 、B n 为整数．四．n 2个正数排成n 行n 列其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等．已知a 24=1，a 42=18，a 43=316，求a 11+a 22+……+a nn ．(1990年全国高中数学联赛)分析由a 42、a 43或求a 44，由a 24，a 44可求公比．解设第一行等差数列的公差为d ，各列的公比为q ．∴ a 44=2a 43－a 42=14．由a 44=a 24∙q 2，得，q=12. ∴ a 12=a 42∙q －3=1．∴ d=a 14_x001F_－a 124－2= 12，a 11 a 12 a 13 a 14 ……a 1na 21 a 22 a 23 a 24 ……a 2n a 31 a 32 a 33 a 34 ……a 3n a 41 a 42 a 43 a 44 ……a 4n …………………………………… a n 1 a n 2 a n 3 a n 4 ……a nn∴ a 1k =a 12+(k －2)d=12k (k=1，2，3，…，n )∴ a kk =a 1k q k －1=12k ·(12)k －1=(12)k ·k ．令S n = a 11+a 22+…+a nn ．则 S －12S=n Σk=1k 2k －n +1Σk=2k －12k =12+nΣk=212k －n2n +1=12 +12 －12n －n 2n +1 =1－n +22n +1.∴ S=2－n +22n ．五．设棱锥M —ABCD 的底面为正方形，且MA=MD ，MA ⊥AB ，如果△AMD 的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径．解：取AD 、BC 中点E 、F ，则ME ⊥AD ，AB ⊥MA ，AB ⊥AD ， AB⊥平面MAD ， ∴ 平面MAD ⊥平面ABC ． ∴ ME ⊥平面ABC ． ∴ 平面MEF ⊥平面ABC ．∵ EF ∥AB ，故EF ⊥平面MAD ，∴ 平面MEF ⊥平面MAD ．∵ BC ⊥EF ，BC ⊥ME ，∴ BC ⊥平面MEF ， ∴平面MEF ⊥平面MBC ．设AB=a ，则ME= 2a，MF=a 2+4a 2．a +2a≥22，a 2+4a2≥2．取△MEF 的内切圆圆心O ，作OP ⊥EF 、OQ ⊥ME ，OR ⊥MF ，由于平面MEF 与平面MAD 、ABC 、MBC 均垂直，则OP 、OQ 、OR 分别与平面ABC 、MAD 、MBC 垂直．从而以此内切圆半径为半径的球与平面MAD 、ABC 、MBC 都相切，设此球的半径为r ，则∴ r=12(a +2a－a 2+4a 2)≤2a +2a +a 2+4a2≤12+1=2－1．等号当且仅当a=2a ，即a=2时成立．作QH ⊥MA ，由于OQ ∥AB ，故OQ ∥平面MAB ，故球心O 与平面MAB 的距离=QH ，当AB=2，ME=2，MA=102，MQ=2－(2－1)=1． ∵ △MQH ∽△MAE ，∴QH MQ =AE MA ，QH=MQ ·AE MA =1·22102=55>2－1．即O 与平面MAB 的距离>r ，同理O 与平面MCD 的距离>r ．故球O 是放入此棱锥的最大球．∴ 所求的最大球半径=2－1．HDE F M O Q P RBC A第二试(10月14日上午10∶30—12∶30)一．(本题满分35分)四边形ABCD 内接于圆O ，对角线AC 与BD 相交于P ，设三角形ABP 、BCP 、CDP 和DAP 的外接圆圆心分别是O 1、O 2、O 3、O 4．求证OP 、O 1O 3、O 2O 4三直线共点．证明 ∵O 为⊿ABC 的外心，∴ OA=OB ． ∵ O 1为⊿P AB 的外心，∴O 1A=O 1B ． ∴ OO 1⊥AB ．作⊿PCD 的外接圆⊙O 3，延长PO 3与所作圆交于点E ，并与AB 交于点F ，连DE ，则∠1=∠2=∠3，∠EPD=∠BPF ，∴ ∠PFB=∠EDP=90︒． ∴ PO 3⊥AB ，即OO 1∥PO 3．同理，OO 3∥PO 1．即OO 1PO 3是平行四边形．∴ O 1O 3与PO 互相平分，即O 1O 3过PO 的中点．同理，O 2O 4过PO 中点． ∴ OP 、O 1O 3、O 2O 4三直线共点．二．(本题满分35分)设 E={1，2，3，……，200}，G={a 1，a 2，……，a 100}⊂≠E ．且G 具有下列两条性质： ⑴ 对任何1≤i <j ≤100，恒有 a i +a j ≠201； ⑵100Σi=1a i=10080．试证明：G 中的奇数的个数是4的倍数．且G 中所有数字的平方和为一个定数．证明：⑴取100个集合：{a i ，b i }：a i =i ，b i =201－i (i=1，2，…，100)，于是每个集合中至多能取出1个数．于是至多可以选出00个数．现要求选出100个数，故每个集合恰选出1个数．把这100个集合分成两类：① {4k +1，200－4k }；② {4k －1，202－4k }．每类都有50个集合．设第①类选出m 个奇数，50－m 个偶数，第②类中选出n 个奇数，50－n 个偶数．于是1∙m +0∙(50－m )+(－1)∙n +2∙(50－n )≡10080≡0(mod 4)．即m －3n ≡0(mod 4)，即m +n ≡0(mod 4)∴ G 中的奇数的个数是4的倍数． ⑵ 设选出的100个数为x 1，x 2，…，x 100，于是未选出的100个数为201－x 1，201－x 2，…，201－x 100．故x 1+x 2+…+x 100=10080．∴ x 12+x 22+…+x 1002+(201－x 1)2+(201－x 2)2+…+(201－x 100)2=2(x 12+x 22+...+x 1002)－2×201×(x 1+x 2+...+x 100)+100×2012 =2(x 12+x 22+...+x 1002)－2×201×10080+100×2012 =12+22+32+ (2002)O OA BCDP 1O O O 234EF123∴ x 12+x 22+…+x 1002=12[(12+22+32+…+2002)+2×201×10080－100×2012]=12[16×200×201×401+201×20160－20100×201] =12×[100×67×401+201×60]=1349380．为定值．三．(本题满分35分) 某市有n 所中学，第i 所中学派出C i 名代表(1≤C i ≤39，1≤i ≤n )来到体育馆观看球赛，全部学生总数为nΣi=1C i=1990．看台上每一横排有199个座位，要求同一学校的学生必须坐在同一横排，问体育馆最少要安排多少横排才能够保证全部学生都能坐下．解：首先，199>39×5，故每排至少可坐5所学校的学生．1990=199×10，故如果没有“同一学校的学生必须坐在同一横排”的限制，则全部学生只要坐在10排就够了．现让这些学生先按学校顺序入坐，从第一排坐起，一个学校的学生全部坐好后，另一个学校的学生接下去坐，如果在某一行不够坐，则余下的学生坐到下一行．这样一个空位都不留，则坐10排，这些学生就全部坐完．这时，有些学校的学生可能分坐在两行，让这些学校的学生全部从原坐处起来，坐到第11、12排去．由于，这种情况只可能在第一行末尾与第二行开头、第二行末尾与第三行开头、……第九行末尾与第十行开头这9处发生，故需要调整的学校不超过10所，于是第11、12行至多各坐5所学校的学生，就可全部坐完．这说明12行保证够坐．其次证明，11行不能保证就此学生按条件全部入坐：199=6×33+1．1990=34×58+18．取59所学校，其中58所学校34人，1所学校18人．则对前58所学校的学生，每排只能坐5所学校而不能坐6所学校．故11排只能坐其中55所学校的学生．即11排不够坐．综上可知，最少要安排12横排才能保证全部学生都能坐下．。