高中数学必修1人教A同步训练及详解第1章1.3.2同步训练及详解

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高中数学必修一同步训练及解析
1．下列函数为偶函数的是( )
A ．f (x )＝|x |＋x
B ．f (x )＝x 2＋1x
C ．f (x )＝x 2＋x
D ．f (x )＝|x |x 2 解析：选D.只有D 符合偶函数定义．
2．f (x )＝x 3＋1x
的图象关于( ) A ．原点对称
B ．y 轴对称
C ．y ＝x 对称
D ．y ＝－x 对称
解析：选A.x ≠0，f (－x )＝(－x )3＋1－x
＝－f (x )，f (x )为奇函数，关于原点对称． 3．函数f (x )＝x 3＋ax ，f (1)＝3，则f (－1)＝________.
解析：显然f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－3.
答案：－3
4．若函数f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a ＝________.
解析：f (x )＝x 2＋(1－a )x －a 为偶函数，
∴1－a ＝0，a ＝1.
答案：1
[A 级 基础达标]
1．下列命题中，真命题是( )
A ．函数y ＝1x
是奇函数，且在定义域内为减函数 B ．函数y ＝x 3(x －1)0是奇函数，且在定义域内为增函数
C ．函数y ＝x 2是偶函数，且在(－3,0)上为减函数
D ．函数y ＝ax 2＋c (ac ≠0)是偶函数，且在(0,2)上为增函数
解析：选C.选项A 中，y ＝1x
在定义域内不具有单调性；B 中，函数的定义域不关于原点对称；D 中，当a ＜0时，y ＝ax 2＋c (ac ≠0)在(0,2)上为减函数，故选C.
2．下面四个结论：
①偶函数的图象一定与y 轴相交；
②奇函数的图象一定通过原点；
③偶函数的图象关于y 轴对称；
④既是奇函数又是偶函数的函数是f (x )＝0.
其中正确的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选A.偶函数的图象关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，如y ＝1x 2，故①错，③对；奇函数的图象不一定通过原点，如y ＝1x
，故②错；既奇又偶的函数除了满足f (x )＝0，还要满足定义域关于原点对称，④错．故选A.
3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，那么g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ( )
A ．是奇函数
B ．是偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．是非奇非偶函数
解析：选A.g (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )＝xf (x )，g (－x )＝－x ·f (－x )＝－x ·f (x )＝－g (x )，所以g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是奇函数；因为g (x )－g (－x )＝2ax 3＋2cx 不恒等于0，所以g (－x )＝g (x )不恒成立．故g (x )不是偶函数．
4．如图给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)的值是________．
解析：f (－2)＝－f (2)＝－32
. 答案：－32
5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.
解析：∵f (x )是定义域为[a －1,2a ]的偶函数，
∴a －1＝－2a ，∴a ＝13
. 又f (－x )＝f (x )，
即13x 2－bx ＋1＋b ＝13
x 2＋bx ＋1＋b . ∴b ＝0.
答案：13
0 6．判断下列函数的奇偶性．
(1)f (x )＝x －1＋1－x ；
(2)f (x )＝|x |＋x 2；
(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1 (x >0)0 (x ＝0).
x ＋1 (x <0)
解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧
x －1≥01－x ≥0.∴x ＝1.定义域为{1}， 不关于原点对称，∴函数f (x )为非奇非偶函数．
(2)f (x )＝|x |＋x 2＝2|x |，
定义域为(－∞，＋∞)，
关于原点对称．且有f (－x )＝2|－x |＝2|x |＝f (x )，
∴f (x )为偶函数．
(3)法一：显然定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．
当x >0时，－x <0，则f (－x )＝1－x ＝－f (x )，
当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－x －1＝－f (x )．
则f (－0)＝f (0)＝－f (0)＝0.
∴f (x )为奇函数．
法二：作出函数f (x )的图象，可知f (x )的图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数．
[B 级 能力提升]
7．若f (x )为偶函数，且当x ≥0时，f (x )≥2，则当x ≤0时( )
A ．f (x )≤2
B ．f (x )≥
2 C ．f (x )≤－2
D ．f (x )∈R
解析：选B.可画出f (x )的大致图象：易知当x ≤0时，有f (x )≥2.故选B.
8．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )
A ．f (π)>f (－3)>f (－2)
B ．f (π)>f (－2)>f (－3)
C ．f (π)<f (－3)<f (－2)
D ．f (π)<f (－2)<f (－3)
解析：选A.∵f (x )为偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )为增函数．
又∵f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)，
且2<3<π，
∴f (2)<f (3)<f (π)，
即f (－2)<f (－3)<f (π)．
9．若偶函数f (x )在(－∞，0]上为增函数，则满足f (1)≤f (a )的实数a 的取值范围是________． 解析：由已知偶函数f (x )在(－∞，0]上为增函数，
∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数，
∴f (1)≤f (a )⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1≥a 或⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≤0－1≤a ⇔0<a ≤1，或－1≤a ≤0. 故a ∈[－1,1]．
答案：[－1,1]
10．已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (12)＝25，求函数f (x )的解析式． 解：∵f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数．
∴f (0)＝0，即b 1＋02
＝0，∴b ＝0， 又f (12)＝12a 1＋14＝25，∴a ＝1，
∴f (x )＝x 1＋x 2
. 11．设函数f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋4x .
(1)求f (x )的表达式；
(2)证明f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数．
解：(1)当x <0时，－x >0，
∴f (－x )＝(－x )2＋4(－x )＝x 2－4x .
∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，
∴f (x )＝－f (－x )＝－(x 2－4x )＝－x 2＋4x ，
因此，f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋4x ，x ≥0－x 2＋4x ，x <0. (2)证明：设0<x 1<x 2，
则f (x 2)－f (x 1)＝(x 22＋4x 2)－(x 21＋4x 1)
＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1＋4)，
∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 2＋x 1＋4>0，
∴f (x 2)－f (x 1)>0，
∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )是(0，＋∞)上的增函数．。