支持向量机入门
(完整版)支持向量机(SVM)原理及应用概述
支持向量机（SVM ）原理及应用一、SVM 的产生与发展自1995年Vapnik(瓦普尼克)在统计学习理论的基础上提出SVM 作为模式识别的新方法之后，SVM 一直倍受关注。
同年，Vapnik 和Cortes 提出软间隔(soft margin)SVM ，通过引进松弛变量i ξ度量数据i x 的误分类(分类出现错误时i ξ大于0)，同时在目标函数中增加一个分量用来惩罚非零松弛变量(即代价函数)，SVM 的寻优过程即是大的分隔间距和小的误差补偿之间的平衡过程；1996年，Vapnik 等人又提出支持向量回归 (Support Vector Regression ，SVR)的方法用于解决拟合问题。
SVR 同SVM 的出发点都是寻找最优超平面(注：一维空间为点；二维空间为线；三维空间为面；高维空间为超平面。
)，但SVR 的目的不是找到两种数据的分割平面，而是找到能准确预测数据分布的平面，两者最终都转换为最优化问题的求解；1998年，Weston 等人根据SVM 原理提出了用于解决多类分类的SVM 方法(Multi-Class Support Vector Machines ，Multi-SVM)，通过将多类分类转化成二类分类，将SVM 应用于多分类问题的判断：此外，在SVM 算法的基本框架下，研究者针对不同的方面提出了很多相关的改进算法。
例如，Suykens 提出的最小二乘支持向量机 (Least Square Support Vector Machine ，LS —SVM)算法，Joachims 等人提出的SVM-1ight ，张学工提出的中心支持向量机 (Central Support Vector Machine ，CSVM)，Scholkoph 和Smola 基于二次规划提出的v-SVM 等。
此后，台湾大学林智仁(Lin Chih-Jen)教授等对SVM 的典型应用进行总结，并设计开发出较为完善的SVM 工具包，也就是LIBSVM(A Library for Support Vector Machines)。
支持向量机数学理论基础
支持向量机数学理论基础一、定义线性分类函数0()=+T g x w x w方程g(x)=0定义了一个判定面，它把归类于C 1的点与归类于C 2的点分开来。
当g(x)是线性函数时，这个平面被称为“超平面”(hyperplane)。
当x 1和x 2都在判定面上时，1020TT wx w w x w +=+或12()0T w x x -=这表明w 和超平面上任意向量正交，并称w 为超平面的法向量。
判别函数g(x)是特征空间中某点x 到超平面的距离的一种代数度量，由上图观察得：=+p wx x r wr 是点x 到超平面的距离。
将之代入0()=+T g x w x w 00()()()=+ =++ =++ = =T Tp TTT p g x w x w ww x r w www x w w r w w w wr w,12(())1,1,...,.+≥=Tw b T i i min w w subject to y w x b i l 二、拉格朗日对偶问题对于下面约束条件下最优化问题：()..()0≥min f x s t g x ⇔(,)()()..0λλλλ =- ≥T xmin max L x f x g x s t()0(,)()()0λλ≥+∞ <⎧ =⎨≥⎩g x max L x f x g x 拉格朗日对偶函数：(){()()}λλ=-Txh min f x g x拉格朗日对偶问题：()..0λλ ≥max h s t其他形式有：()()..()0..0λλ ≤ ⇒ ≤min f x max h s t g x s t()..()0()λ= ⇒ min f x s t g x max h三、最大距离超平面所以求SVM 中最大距离超平面的问题就转化为：2()1(,,)(()1)2..0,1,...,T i i i i L w b a w y w x b s t i lαα=-⋅+- ≥=∑ 这里,i i y α都是数值，而()i x 表示向量阵x 第i 个n 维列向量，w 是n 维横向量。
支持向量机简介与基本原理
支持向量机简介与基本原理支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种常用的机器学习算法，被广泛应用于模式识别、数据分类以及回归分析等领域。
其独特的优势在于可以有效地处理高维数据和非线性问题。
本文将介绍支持向量机的基本原理和应用。
一、支持向量机的基本原理支持向量机的基本思想是通过寻找一个最优超平面，将不同类别的数据点分隔开来。
这个超平面可以是线性的，也可以是非线性的。
在寻找最优超平面的过程中，支持向量机依赖于一些特殊的数据点，称为支持向量。
支持向量是离超平面最近的数据点，它们对于确定超平面的位置和方向起着决定性的作用。
支持向量机的目标是找到一个超平面，使得离它最近的支持向量到该超平面的距离最大化。
这个距离被称为间隔（margin），最大化间隔可以使得分类器更具鲁棒性，对新的未知数据具有更好的泛化能力。
支持向量机的求解过程可以转化为一个凸优化问题，通过求解对偶问题可以得到最优解。
二、支持向量机的核函数在实际应用中，很多问题并不是线性可分的，此时需要使用非线性的超平面进行分类。
为了解决这个问题，支持向量机引入了核函数的概念。
核函数可以将低维的非线性问题映射到高维空间中，使得原本线性不可分的问题变得线性可分。
常用的核函数有线性核函数、多项式核函数、高斯核函数等。
线性核函数适用于线性可分问题，多项式核函数可以处理一些简单的非线性问题，而高斯核函数则适用于复杂的非线性问题。
选择合适的核函数可以提高支持向量机的分类性能。
三、支持向量机的应用支持向量机在实际应用中有着广泛的应用。
在图像识别领域，支持向量机可以用于人脸识别、物体检测等任务。
在生物信息学领域，支持向量机可以用于蛋白质分类、基因识别等任务。
在金融领域，支持向量机可以用于股票市场预测、信用评估等任务。
此外，支持向量机还可以用于文本分类、情感分析、异常检测等领域。
由于其强大的分类性能和泛化能力，支持向量机成为了机器学习领域中的重要算法之一。
支持向量机的基本原理
支持向量机的基本原理
支持向量机（Support Vector Machine, SVM）是一种二分类模型，其基本原理是找到一个最优的超平面来进行数据的划分。
其基本思想是将样本空间映射到高维特征空间，找到一个超平面使得正负样本之间的间隔最大化，从而实现分类。
具体来说，SVM的基本原理包括以下几个步骤：
1. 寻找最优超平面：将样本空间映射到高维特征空间，使得样本在特征空间中线性可分。
然后寻找一个超平面来最大化两个不同类别样本的间隔（也称为“分类间隔”）。
2. 构建优化问题：SVM通过解决一个凸二次规划问题来求解最优超平面。
该优化问题的目标是最大化分类间隔，同时限制样本的分类正确性。
3. 核函数技巧：在实际应用中，数据通常是非线性可分的。
通过引入核函数的技巧，可以将非线性问题转化为高维或无限维的线性问题。
常用的核函数有线性核、多项式核、高斯核等。
4. 寻找支持向量：在求解优化问题时，只有一部分样本点对于最优超平面的确定起到决定性作用，这些样本点被称为“支持向量”。
支持向量决定了超平面的位置。
5. 分类决策函数：在得到最优超平面后，可以通过计算样本点到超平面的距离来进行分类。
对于新的样本点，根据其距离超平面的远近来判断其所属类别。
支持向量机的基本原理可以简单概括为在高维特征空间中找到一个最优超平面，使得样本的分类间隔最大化。
通过引入核函数的技巧，SVM也可以处理非线性可分的问题。
支持向量机具有理论基础牢固、分类效果好等优点，在实际应用中得到了广泛的应用。
支持向量机操作方法有哪些
支持向量机操作方法有哪些
支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种分类和回归分析的机器学习模型，常用于处理二分类问题。
以下是支持向量机的一些操作方法：
1. 数据预处理：首先，需要对数据进行预处理，包括数据清洗、特征选择、特征缩放等。
2. 选择核函数：SVM可以使用不同的核函数，如线性核函数、多项式核函数、径向基函数等。
选择适合问题的核函数可以提高SVM的性能。
3. 训练模型：使用训练数据集对SVM模型进行训练，通过找到最优的决策边界（超平面）来最大程度地分割不同类别的样本。
4. 参数调整：SVM有一些重要的参数需要设置，如正则化参数C、核函数参数等。
可以使用交叉验证等技术来选择最优的参数组合。
5. 样本分类：在训练模型之后，可以使用训练好的模型对新的样本进行分类预测。
6. 模型评估：对SVM模型进行评估，包括计算准确率、精确度、召回率、F1值等指标，以及生成混淆矩阵来分析模型的性能。
7. 超参数调优：对SVM模型的超参数进行调优，可以使用网格搜索、随机搜索等方法，以获得更好的模型性能。
8. 支持向量分析：分析支持向量的分布和权重，可以帮助了解模型的决策边界和影响预测结果的重要特征。
以上是一些常见的支持向量机操作方法，具体的应用还需要根据实际问题进行调整和优化。
支持向量机原理SVMPPT课件
回归分析
除了分类问题，SVM也可以用于 回归分析，如预测股票价格、预 测天气等。通过训练模型，SVM
能够预测未知数据的输出值。
数据降维
SVM还可以用于数据降维，通过 找到数据的低维表示，降低数据
的复杂性，便于分析和理解。
02 支持向量机的基本原理
线性可分与不可分数据
线性可分数据
在二维空间中，如果存在一条直线， 使得该直线能够将两类样本完全分开 ，则称这些数据为线性可分数据。
支持向量机原理 svmppt课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 支持向量机的基本原理 • 支持向量机的数学模型 • 支持向量机的优化问题 • 支持向量机的核函数 • 支持向量机的训练和预测 • 支持向量机的应用案例 • 总结与展望
01 引言
什么是支持向量机
定义
支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种监督学习算法， 用于分类和回归分析。它通过找到一个超平面来分隔数据集，使得分隔后的两 类数据点到该平面的距离最远。
支持向量机的优势和局限性
01
对大规模数据集效 率较低
对于大规模数据集，支持向量机 可能需要较长时间进行训练和预 测。
02
核函数选择和参数 调整
核函数的选择和参数调整对支持 向量机的性能有很大影响，需要 仔细选择和调整。
03
对多分类问题处理 不够灵活
对于多分类问题，支持向量机通 常需要采用一对一或一对多的策 略进行处理，可能不够灵活。
图像识别
• 总结词：支持向量机用于图像识别，通过对图像特征的提取和分类，实现图像 的自动识别和分类。
• 详细描述：支持向量机在图像识别中发挥了重要作用，通过对图像特征的提取 和选择，将图像数据映射到高维空间，然后利用分类器将相似的图像归为同一 类别，不相似图像归为不同类别。
支持向量机原理与应用
支持向量机原理与应用支持向量机是一种广泛应用于分类和回归问题的机器学习算法，其基本思想是通过寻找最优超平面将数据分成两类。
在这篇文章中，我们将深入探讨支持向量机的原理和应用。
一、支持向量机的原理支持向量机通过最大化间隔超平面来分类数据。
间隔是定义为支持向量（也就是最靠近分类边界的数据点）之间的距离。
因此，我们的目标是找到一个最优的超平面使得此间隔最大。
在二维空间中，最大间隔超平面是一条直线。
在高维空间中，最大间隔超平面是一个超平面。
这个超平面定义为：w\cdot x-b=0其中，w是一个向量，x是样本空间中的向量，b是偏差。
支持向量机的目标是找到一个可以将训练样本分成两个类别的最大间隔超平面，并且使得间隔为M（M是最大间隔）。
二、支持向量机的应用支持向量机是一种广泛应用于分类和回归问题的机器学习算法。
这里我们将讨论支持向量机在分类问题中的应用。
1. 图像分类支持向量机在图像分类中的应用非常广泛。
通过将图像转换为特征向量，可以用支持向量机实现图像分类。
支持向量机特别适用于图像分类，因为它可以处理高维特征空间。
2. 自然语言处理支持向量机可以通过文本分类实现在自然语言处理中的应用。
支持向量机可以学习在给定文本语料库中的所有文档的特定类别的模式（如“金融”或“体育”）。
3. 生物信息学支持向量机在生物信息学中的应用非常广泛。
生物信息学家可以使用支持向量机分类DNA，RNA和蛋白质序列。
4. 金融支持向量机在金融中的应用也很广泛。
通过识别是否存在欺诈行为，可以使用支持向量机实现信用评估。
三、总结在这篇文章中，我们深入探讨了支持向量机的原理和应用。
通过理解支持向量机的原理，我们可以更好地了解如何使用它解决分类问题。
在应用方面，支持向量机广泛应用于各种领域，包括图像分类、自然语言处理、生物信息学和金融等。
因此，支持向量机是一种非常有用的机器学习算法，对于了解它的原理和应用非常重要。
支持向量机原理
支持向量机原理支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种二分类模型，它的基本模型是定义在特征空间上的间隔最大的线性分类器。
支持向量机的学习策略是间隔最大化，可形式化为一个求解凸二次规划问题。
SVM是一种分类算法，它的基本原理是找到一个超平面，将不同类别的数据分隔开来，使得两个类别的数据点到超平面的距离最大化。
支持向量机的原理主要包括间隔、支持向量、对偶问题和核函数等几个方面。
首先，我们来看支持向量机的间隔。
在支持向量机中，间隔是指两个异类样本最近的距离，而支持向量机的目标就是要找到一个超平面，使得所有样本点到这个超平面的距离最大化。
这个距离就是间隔，而支持向量机的学习策略就是要最大化这个间隔。
其次，支持向量机的支持向量。
支持向量是指离超平面最近的那些点，它们对超平面的位置有影响。
支持向量决定了最终的超平面的位置，而其他的点对超平面的位置没有影响。
因此，支持向量是支持向量机模型的关键。
然后，我们来看支持向量机的对偶问题。
支持向量机的原始问题是一个凸二次规划问题，可以通过求解对偶问题来得到最终的分类超平面。
通过对偶问题，我们可以得到支持向量的系数，从而得到最终的分类超平面。
最后，我们来看支持向量机的核函数。
在实际应用中，很多时候样本不是线性可分的，这时就需要用到核函数。
核函数可以将原始特征空间映射到一个更高维的特征空间，使得样本在这个高维特征空间中线性可分。
常用的核函数有线性核、多项式核和高斯核等。
综上所述，支持向量机是一种非常强大的分类算法，它通过最大化间隔来得到最优的分类超平面，支持向量决定了最终的超平面的位置，对偶问题可以通过求解对偶问题来得到最终的分类超平面，而核函数可以处理非线性可分的情况。
支持向量机在实际应用中有着广泛的应用，是一种非常重要的机器学习算法。
希望本文对支持向量机的原理有所帮助，让读者对支持向量机有更深入的理解。
支持向量机作为一种经典的机器学习算法，有着重要的理论意义和实际应用价值。
支持向量机
智能信息处理实验室
6
2.1 引子
用向量空间模型简表示文档，比如
w2=(文本，5，统计学习，4，模型，0，……) w3=(文本，9，统计学习，4，模型，10，……) 这个向量表示在 w2 所代表的文本中，“文本”这个词出 现了 5 次(这个信息就叫做词频) ，“统计学习”这个词出 现了 4 次，而“模型”这个词出现了 0 次，依此类推w3。 把所有文档都要用到的词从向量中抽离出来，形成共用的 数据结构(也可以仍是向量的形式) ，这个数据结构就叫做 词典，或者特征项集合。比如
支持向量机方法是建立在统计学习理论的VC维理论和结 构风险最小原理基础上的，根据有限的样本信息在模型 的复杂性（即对特定训练样本的学习精度，Accuracy） 和学习能力（即无错误地识别任意样本的能力）之间寻 求最佳折衷，以期获得最好的推广能力（或称泛化能 力）.
智能信息处理实验室
3
小样本
并不是说样本的绝对数量少（实际上，对任何算法来说， 更多的样本几乎总是能带来更好的效果），而是说与问题的复 杂度比起来，SVM 算法要求的样本数是相对比较少的.
Remp(w)是R(w)得估计，传统概率论中的定理只说明 了(在一定条件下)当样本趋于无穷多时Remp(w)将在概
率意义上趋近于R(w)。 经验风险泛化能力很差，原因。。。
智能信息处理实验室
14
2.3.3 结构风险最小化（SRM）
根据统计学习理论中关于函数集的推广性的 界的结论，对于两类分类问题中的指示函数
智能信息处理实验室
35
3.4.2 核函数
智能信息处理实验室
36
3.4.2核函数
智能信息处理实验室
支持向量机支持向量机回归原理简述及其MATLAB实例
支持向量机支持向量机回归原理简述及其MATLAB实例支持向量机 (Support Vector Machine, SVM) 是一种在监督学习中应用广泛的机器学习算法。
它既可以用于分类问题（SVM），又可以用于回归问题（SVR）。
本文将分别简要介绍 SVM 和 SVR 的原理，并提供MATLAB 实例来展示其应用。
SVM的核心思想是找到一个最优的超平面，使得正样本和负样本之间的间隔最大化，同时保证误分类的样本最少。
这个最优化问题可以转化为一个凸二次规划问题进行求解。
具体的求解方法是通过拉格朗日乘子法，将约束优化问题转化为一个拉格朗日函数的无约束极小化问题，并使用庞加莱对偶性将原问题转化为对偶问题，最终求解出法向量和偏差项。
SVR的目标是找到一个回归函数f(x)，使得预测值f(x)和实际值y之间的损失函数最小化。
常用的损失函数包括平方损失函数、绝对损失函数等。
与SVM类似，SVR也可以使用核函数将问题转化为非线性回归问题。
MATLAB实例：下面以一个简单的数据集为例，展示如何使用MATLAB实现SVM和SVR。
1.SVM实例：假设我们有一个二分类问题，数据集包含两个特征和两类样本。
首先加载数据集，划分数据集为训练集和测试集。
```matlabload fisheririsX = meas(51:end, 1:2);Y=(1:100)';Y(1:50)=-1;Y(51:100)=1;randn('seed', 1);I = randperm(100);X=X(I,:);Y=Y(I);X_train = X(1:80, :);Y_train = Y(1:80, :);X_test = X(81:end, :);Y_test = Y(81:end, :);```然后，使用 fitcsvm 函数来训练 SVM 模型，并用 predict 函数来进行预测。
```matlabSVMModel = fitcsvm(X_train, Y_train);Y_predict = predict(SVMModel, X_test);```最后，可以计算分类准确度来评估模型的性能。
支持向量机简介及原理解析
支持向量机简介及原理解析支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种常用的机器学习算法，广泛应用于分类和回归问题。
它的原理基于统计学习理论和结构风险最小化原则，具有较强的泛化能力和鲁棒性。
本文将介绍SVM的基本概念、原理以及其在实际应用中的优势。
一、SVM的基本概念SVM是一种监督学习算法，其目标是通过构建一个最优的超平面来实现数据的分类。
在二分类问题中，SVM将数据点分为两个类别，并尽量使得两个类别之间的间隔最大化。
这个超平面被称为“决策边界”，而距离决策边界最近的样本点被称为“支持向量”。
二、SVM的原理SVM的原理可以分为线性可分和线性不可分两种情况。
对于线性可分的情况，SVM通过构建一个最优的超平面来实现分类。
最优的超平面是使得两个类别之间的间隔最大化的超平面，可以通过最大化间隔的优化问题来求解。
对于线性不可分的情况，SVM引入了“松弛变量”和“软间隔”概念。
松弛变量允许一些样本点出现在错误的一侧，软间隔则允许一定程度的分类错误。
这样可以在保持间隔最大化的同时，允许一些噪声和异常点的存在。
三、SVM的优势SVM具有以下几个优势：1. 高效性：SVM在处理高维数据和大规模数据时表现出色。
由于SVM只依赖于支持向量，而不是整个数据集，因此可以减少计算量和内存消耗。
2. 泛化能力：SVM通过最大化间隔来寻找最优的决策边界，具有较强的泛化能力。
这意味着SVM可以很好地处理未见过的数据，并具有较低的过拟合风险。
3. 鲁棒性：SVM对于噪声和异常点具有较好的鲁棒性。
通过引入松弛变量和软间隔，SVM可以容忍一定程度的分类错误，从而提高了模型的鲁棒性。
4. 可解释性：SVM的决策边界是由支持向量决定的，这些支持向量可以提供关于数据分布的重要信息。
因此，SVM具有较好的可解释性，可以帮助我们理解数据背后的规律。
四、SVM的应用SVM广泛应用于分类和回归问题，包括图像识别、文本分类、生物信息学等领域。
SVMs 详细介绍
2. SVM 之线性分类器
线性分类器，如图所示（二维空间里仅有两类样本的分类问题）：
图之解释：C1 和 C2 是要区分的两个类别，中间的直线就是一个分类函数，它可以 将两类样本完全分开。一般的，如果一个线性函数能够将样本完全正确的分开，就称这 些数据是线性可分的，否则称为非线性可分的。 线性函数： 一维空间里 一个点， 二维空间里 一条直线 三维空间里 一个平面 如果不关注空间的维数，这种线性函数还有一个统一的名称—超平面（Hyper Plane）！ 一个线性函数是一个实值函数（即函数的值是连续的实数），而我们的分类问题需 要离散的输出值，例如用 1 表示某个样本属于类别 C1，而用 0 表示不属于，这时只需 在实值函数的基础上附加一个阈值即可， 通过分类函数执行时得到的值大于还是小于这 个阈值来确定类别归属。 例如：有一个线性函数 g x = ωx + b (g ������ = 0与g ������ 的关系：g ������ 实际是以ω为法向量的一簇超平面，在二维空间表示为 一簇直线（平行），而g ������ = 0只是这么多平行线中的一条) ������ ������ = ������������ + ������的注意点： 1) 式中的 x 不是二维坐标系中的横轴，而是样本的向量表示 2) 这个形式并不局限于二维的情况，在 n 维空间中仍然可以使用这个表达式，只 是式中的 w 成为了 n 维向量 3) g ������ 不是中间那条直线的表达式，中间那条直线的表达式是 g(x)=0，即 ωx + b = 0 4) 也称此函数为分类面。
2
������������������������������������������ ������������
������������ ������������������ + ������ − 1 ≥ 0 (i = 1,2, … , l)(l 是样本数)
svm 原理
svm 原理支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种二分类模型，它的基本模型是定义在特征空间上的间隔最大的线性分类器。
SVM的基本原理是找到一个超平面，使得离该平面最近的样本点到该平面的距离尽可能远，从而实现对样本的最优分类。
在SVM中，我们首先要了解的是什么是支持向量。
支持向量是指离超平面最近的那些点，这些点在SVM中起着决定性作用。
因为超平面是由支持向量完全决定的，所以SVM的训练过程可以看作是求解支持向量的过程。
SVM的原理可以通过以下几个关键步骤来解释：1. 构建超平面，在SVM中，我们的目标是找到一个超平面，可以将不同类别的样本点分开。
这个超平面可以用一个线性方程来表示，即wx + b = 0，其中w是法向量，b是位移项，x是样本点的特征向量。
通过不断调整w和b的数值，我们可以找到一个最优的超平面，使得不同类别的样本点能够被最大化地分开。
2. 最大间隔，在构建超平面的过程中，SVM的目标是找到一个最大间隔超平面，即使得支持向量到超平面的距离最大化。
这样做的好处是可以使得模型对噪声数据具有很强的鲁棒性，同时也可以提高模型的泛化能力。
3. 引入核函数，在实际应用中，很多样本点并不是线性可分的，这时我们就需要引入核函数来将样本点映射到高维空间中，从而使得样本点在高维空间中线性可分。
常用的核函数有线性核、多项式核、高斯核等，通过选择不同的核函数，可以使得SVM模型适用于不同的数据集。
4. 求解最优化问题，在SVM中，我们需要求解一个凸优化问题来得到最优的超平面。
这个问题可以通过拉格朗日乘子法来进行求解，最终得到超平面的法向量w和位移项b。
总的来说，SVM的原理是基于最大间隔超平面的构建，通过求解最优化问题来得到最优的超平面参数，从而实现对样本的最优分类。
同时，通过引入核函数，SVM可以处理非线性可分的数据集，具有很强的泛化能力和鲁棒性。
在实际应用中，SVM作为一种强大的分类器被广泛应用于文本分类、图像识别、生物信息学等领域，取得了很好的效果。
支持向量机基本原理
支持向量机基本原理支持向量机基本原理支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种基于统计学习理论的分类器，广泛应用于模式识别、图像处理、生物信息学等领域。
SVM在处理高维数据和小样本问题时表现出色，具有较强的泛化能力和鲁棒性。
一、线性可分支持向量机1.1 概念定义给定一个训练数据集$D=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N,y_N)\}$，其中$x_i\in R^n$为输入样本，$y_i\in\{-1,1\}$为输出标记。
线性可分支持向量机的目标是找到一个超平面将不同类别的样本分开，并使得该超平面到最近的样本点距离最大。
设超平面为$x^Tw+b=0$，其中$w\in R^n$为法向量，$b\in R$为截距，则样本点$x_i$到超平面的距离为：$$r_i=\frac{|x_i^Tw+b|}{||w||}$$对于任意一个超平面，其分类效果可以用间隔来度量。
间隔指的是两个异类样本点到超平面之间的距离。
因此，最大化间隔可以转化为以下优化问题：$$\max_{w,b}\quad \frac{2}{||w||}\\s.t.\quad y_i(x_i^Tw+b)\geq1,\quad i=1,2,...,N$$其中，$y_i(x_i^Tw+b)-1$为样本点$x_i$到超平面的函数间隔。
因为函数间隔不唯一，因此我们需要将其转化为几何间隔。
1.2 函数间隔与几何间隔对于一个给定的超平面，其函数间隔定义为：$$\hat{\gamma}_i=y_i(x_i^Tw+b)$$而几何间隔定义为：$$\gamma_i=\frac{\hat{\gamma}_i}{||w||}$$可以证明，对于任意一个样本点$x_i$，其几何间隔$\gamma_i$都是该点到超平面的最短距离。
因此，我们可以将最大化几何间隔转化为以下优化问题：$$\max_{w,b}\quad \frac{2}{||w||}\\s.t.\quad y_i(x_i^Tw+b)\geq\gamma,\quad i=1,2,...,N$$其中$\gamma$是任意正数。
机器学习代码实战——SVM(支持向量机)(使用不同核函数)
机器学习代码实战——SVM（支持向量机）（使用不同核函数）支持向量机（Support Vector Machine, SVM）是一种常用的机器学习方法，它可以应用于分类和回归问题。
SVM通过构建一个超平面或决策边界来在不同类别之间进行分类，从而找到最佳的分类结果。
在SVM中，我们可以使用不同的核函数来改变超平面的形状和效果。
下面将介绍SVM 的基本原理以及如何使用不同核函数来解决分类问题。
SVM的基本原理是找到一个超平面来将不同类别的样本分割开来，最大化边界的宽度。
这个超平面的选择要求离它最近的训练点与该超平面的距离最大化，这些训练点被称为支持向量。
SVM的目标是找到一个最优的决策边界，使得其能够正确分类训练样本，并且对未知数据具有较好的泛化能力。
SVM可以使用不同的核函数来改变超平面的形状。
核函数是一种将输入空间映射到高维特征空间的函数，它可以将线性可分的样本在低维特征空间中转化为非线性可分的样本，从而提高分类的准确性。
常用的核函数有线性核函数、多项式核函数和高斯核函数。
线性核函数是最简单的核函数，它在原始特征空间上直接进行线性分割。
当数据集是线性可分的时候，使用线性核函数可以获得较好的分类效果。
线性核函数可以通过设置kernel参数为'linear'来使用。
多项式核函数可以在原始特征空间中引入高阶项，从而实现非线性分割。
多项式核函数可以通过设置kernel参数为'poly'来使用，并且可以通过degree参数来控制多项式的阶数。
高斯核函数（也称为径向基函数）将数据从原始特征空间映射到无穷维的特征空间中。
高斯核函数可以通过设置kernel参数为'rbf'来使用，并且可以通过gamma参数来控制高斯核函数的宽度。
除了上述三种常用的核函数之外，SVM还支持其他核函数，如sigmoid核函数和核对角线核函数等。
每种核函数都有不同的特点和适用场景，选择合适的核函数是SVM应用中的一项重要任务。
支持向量机入门word版本
SVM入门SVM入门（一）SVM的八股简介支持向量机(Support Vector Machine)是Cortes和Vapnik于1995年第一提出的，它在解决小样本、非线性及高维模式识别中表现出许多特有的优势，并能够推行应用到函数拟合等其他机械学习问题中[10]。
支持向量机方法是建立在统计学习理论的VC 维理论和结构风险最小原理基础上的，根据有限的样本信息在模型的复杂性（即对特定训练样本的学习精度，Accuracy）和学习能力（即无错误地识别任意样本的能力）之间寻求最佳折衷，以期获得最好的推广能力[14]（或称泛化能力）。
以上是常常被有关SVM 的学术文献引用的介绍，有点八股，我来一一分解并说明一下。
Vapnik是统计机械学习的大牛，这想必都不用说，他出版的《Statistical Learning Theory》是一本完整论述统计机械学习思想的名著。
在该书中详细的论证了统计机械学习之因此区别于传统机械学习的本质，就在于统计机械学习能够精准的给出学习成效，能够解答需要的样本数等等一系列问题。
与统计机械学习的周密思维相较，传统的机械学习大体上属于摸着石头过河，用传统的机械学习方式构造分类系统完全成了一种技术，一个人做的结果可能专门好，另一个人差不多的方式做出来却很差，缺乏指导和原那么。
所谓VC维是对函数类的一种气宇，能够简单的明白得为问题的复杂程度，VC维越高，一个问题就越复杂。
正是因为SVM关注的是VC维，后面咱们能够看到，SVM解决问题的时候，和样本的维数是无关的（乃至样本是上万维的都能够，这使得SVM很适合用来解决文本分类的问题，固然，有如此的能力也因为引入了核函数）。
结构风险最小听上去文绉绉，其实说的也无非是下面这回事。
机械学习本质上确实是一种对问题真实模型的逼近（咱们选择一个咱们以为比较好的近似模型，那个近似模型就叫做一个假设），但毫无疑问，真实模型必然是不明白的（若是明白了，咱们干吗还要机械学习？直接用真实模型解决问题不就能够够了？对吧，哈哈）既然真实模型不明白，那么咱们选择的假设与问题真实解之间究竟有多大差距，咱们就无法得知。
支持向量机简介
W Xn
N
N
b n yn n
n1
n1
线性支持向量机的求解
❖ 两类可分情况
❖ 求解过程如下：
（1）求对偶函数
L
W,
b,
A
min
WRM ,bR
L
W,
b,
A
令 WbLLWW,,bb,,AA
带入前式化简得：
L (W
, b,
A)
1 2
0 0 得到：
NN
nk yn
n1k 1
W
N
n yn Xn
• 预测输出 可表示为
• 程度。
为损失函数，用来衡量两个变量之间的不一致
• 因此，机器学习问题也可以表示为，从一组独立同分布的观 测样本出发，通过最小化风险泛函R(a)，确定学习机器的广义 参数a的过程。
❖ 最小化期望风险R(a)，必须利用联合概率F(x,y)的信息。 ❖ 在实际中，联合分布未知，只有观测样本。 ❖ 用算术平均值逼近期望风险。
❖ 两类可分情况
N
❖ （3）解出分类函数g(X)的法向矢量W： W n ynXn
n1
❖ （4）由n 0 所对应的学习样本 Xn, yn 是支持向量，它们恰好位于 分类边带线上，其余与k 0 对应的约束条件中的样本点，都位于上
边 可带求l出1 之：上或下边带 l2之下，这些点的存在并不影响分类函数的位置。
相关基础知识
1. 分类问题 2. 两类可分问题的线性分类机 3. 求解线性分类问题的优化方法（拉
格朗日乘子） 4. 对偶理论
1、分类问题
❖ 设有两类模式C1和C2，T X1, y1 X2, y2 XN , yN
是从模式 C1和C2中抽样得到的训练集，
支持向量机PPT课件
什么是支持向量机？
图A给出了一个线性可分数据集（可以在图中画一条直线将两组数据点 分开）
图B、C、D分别给出了一条分隔的直线，那么其中哪一条最好？是不是 有寻找最佳拟合直线的感觉？
支持向量机（SVM）就可以用来寻找此线性可分情形下的最优分类面。 （有人说SVM是最好的现成的分类器）
支持向量机的应用： 支持向量机已在人脸识别、文字识别、图像处理和时间序列预测等领域 获得了比较广泛的应用。
研究热点： 对支持向量机中算法的优化，包括解决SVM中二次规划求解问题 如何更好的构造基于SVM的多类分类器 如何提高SVM的归纳能力和分类速度 如何根据实际问题确定核函数
2021/6/7
27
部分资料从网络收集整 理而来，供大家参考，
第2类
第1类
m
2021/6/7
6
1、数学模型描述：
2021/6/7
7
2、支持向量机求解：
通过引入拉格朗日函数将上述最优化问题转化为其对偶问题，则可以得到
2021/6/7
8
3、解的性质
2021/6/7
9
4、几何解释
a5=0
a4=0
a9=0
第1类
第2类
a8=0.6
a10=0
a7=0 a2=0
a6=1.4
种描述， 且来自我们的先验知识 。 为了f(•) 存在， K (x,y) 需要满足 Mercer 条件。
2021/6/7
19
2021/6/7
20
非线性SVM算法
将所有的内积改为核函数 训练算法:
线性的
非线性的
2021/6/7
21
2021/6/7
22
一文看懂支持向量机
一文看懂支持向量机1 前言支持向量机（support vector machines，SVM）是我最早接触的有监督分类算法之一。
早在MIT 修统计学的时候，我用它做过一个旧金山湾区上班族通勤模式的分类研究，但当时只是很粗浅的认识。
后来由于工作的关系又非常系统的学习了一下，这其中包括认真学习了斯坦福 Andrew Ng（吴恩达）的机器学习课（吴讲的真的非常好，深入浅出），参阅了大量的关于 SVM 的理论和实际应用的文献。
对于有监督分类算法的表现，业界常用大概 10 种不同的指标来评判，包括Accuracy，LIFT，F-Score，ROC，Precision / Recall Break-Even Point，Root Mean Squared Error 等。
无论以哪种准确性的评价指标来看，SVM 的效果都不输于人工神经网络 ANN 或者高级的集合算法如随机森林。
SVM 的另一个特点是其自身可以在一定程度上防止过拟合，这对于其在量化投资上的应用格外重要。
这是因为任何人工智能算法有效的前提是：历史样本和未来样本是来自同一个（未知）的整体，满足同分布。
只有这样，基于历史样本学习出来的规律才会在未来继续有效。
但是对于金融数据来说，这个假设在很多问题上无法满足。
因此，如果机器学习算法在历史数据上过拟合的话，那么基本可以肯定这个模型对未来的数据毫无作用。
鉴于我对 SVM 的钟爱，我很早以前就打算写一篇介绍它的短文，作为对知识的一个梳理。
不过后来，我读了一篇来自 的文章，名为 Support Vector Machines: A Guide for Beginners。
作者并没有使用大量的数学公式，而是用精炼的语言和恰如其分的图例对 SVM 的基本原理进行了阐述。
平心而论，让我自己憋几天也不一定能写的比人家更清晰和生动，因此今天不如就索性把这篇文章大致翻译过来，作为对 SVM 的一个介绍。
我会跳过一些不影响理解的文字、对原文的结构做一些改动，并在一些地方加入自己的理解（在第7、8 节中，有一些该文没有的核心内容）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
SVM入门SVM入门（一）SVM的八股简介支持向量机(Support Vector Machine)是Cortes和Vapnik于1995年首先提出的，它在解决小样本、非线性及高维模式识别中表现出许多特有的优势，并能够推广应用到函数拟合等其他机器学习问题中[10]。
支持向量机方法是建立在统计学习理论的VC 维理论和结构风险最小原理基础上的，根据有限的样本信息在模型的复杂性（即对特定训练样本的学习精度，Accuracy）和学习能力（即无错误地识别任意样本的能力）之间寻求最佳折衷，以期获得最好的推广能力[14]（或称泛化能力）。
以上是经常被有关SVM 的学术文献引用的介绍，有点八股，我来逐一分解并解释一下。
Vapnik是统计机器学习的大牛，这想必都不用说，他出版的《Statistical Learning Theory》是一本完整阐述统计机器学习思想的名著。
在该书中详细的论证了统计机器学习之所以区别于传统机器学习的本质，就在于统计机器学习能够精确的给出学习效果，能够解答需要的样本数等等一系列问题。
与统计机器学习的精密思维相比，传统的机器学习基本上属于摸着石头过河，用传统的机器学习方法构造分类系统完全成了一种技巧，一个人做的结果可能很好，另一个人差不多的方法做出来却很差，缺乏指导和原则。
所谓VC维是对函数类的一种度量，可以简单的理解为问题的复杂程度，VC维越高，一个问题就越复杂。
正是因为SVM关注的是VC维，后面我们可以看到，SVM解决问题的时候，和样本的维数是无关的（甚至样本是上万维的都可以，这使得SVM很适合用来解决文本分类的问题，当然，有这样的能力也因为引入了核函数）。
结构风险最小听上去文绉绉，其实说的也无非是下面这回事。
机器学习本质上就是一种对问题真实模型的逼近（我们选择一个我们认为比较好的近似模型，这个近似模型就叫做一个假设），但毫无疑问，真实模型一定是不知道的（如果知道了，我们干吗还要机器学习？直接用真实模型解决问题不就可以了？对吧，哈哈）既然真实模型不知道，那么我们选择的假设与问题真实解之间究竟有多大差距，我们就没法得知。
比如说我们认为宇宙诞生于150亿年前的一场大爆炸，这个假设能够描述很多我们观察到的现象，但它与真实的宇宙模型之间还相差多少？谁也说不清，因为我们压根就不知道真实的宇宙模型到底是什么。
这个与问题真实解之间的误差，就叫做风险（更严格的说，误差的累积叫做风险）。
我们选择了一个假设之后（更直观点说，我们得到了一个分类器以后），真实误差无从得知，但我们可以用某些可以掌握的量来逼近它。
最直观的想法就是使用分类器在样本数据上的分类的结果与真实结果（因为样本是已经标注过的数据，是准确的数据）之间的差值来表示。
这个差值叫做经验风险Remp(w)。
以前的机器学习方法都把经验风险最小化作为努力的目标，但后来发现很多分类函数能够在样本集上轻易达到100%的正确率，在真实分类时却一塌糊涂（即所谓的推广能力差，或泛化能力差）。
此时的情况便是选择了一个足够复杂的分类函数（它的VC维很高），能够精确的记住每一个样本，但对样本之外的数据一律分类错误。
回头看看经验风险最小化原则我们就会发现，此原则适用的大前提是经验风险要确实能够逼近真实风险才行（行话叫一致），但实际上能逼近么？答案是不能，因为样本数相对于现实世界要分类的文本数来说简直九牛一毛，经验风险最小化原则只在这占很小比例的样本上做到没有误差，当然不能保证在更大比例的真实文本上也没有误差。
统计学习因此而引入了泛化误差界的概念，就是指真实风险应该由两部分内容刻画，一是经验风险，代表了分类器在给定样本上的误差；二是置信风险，代表了我们在多大程度上可以信任分类器在未知文本上分类的结果。
很显然，第二部分是没有办法精确计算的，因此只能给出一个估计的区间，也使得整个误差只能计算上界，而无法计算准确的值（所以叫做泛化误差界，而不叫泛化误差）。
置信风险与两个量有关，一是样本数量，显然给定的样本数量越大，我们的学习结果越有可能正确，此时置信风险越小；二是分类函数的VC维，显然VC维越大，推广能力越差，置信风险会变大。
泛化误差界的公式为：R(w)≤Remp(w)+Ф(n/h)公式中R(w)就是真实风险，Remp(w)就是经验风险，Ф(n/h)就是置信风险。
统计学习的目标从经验风险最小化变为了寻求经验风险与置信风险的和最小，即结构风险最小。
SVM正是这样一种努力最小化结构风险的算法。
SVM其他的特点就比较容易理解了。
小样本，并不是说样本的绝对数量少（实际上，对任何算法来说，更多的样本几乎总是能带来更好的效果），而是说与问题的复杂度比起来，SVM算法要求的样本数是相对比较少的。
非线性，是指SVM擅长应付样本数据线性不可分的情况，主要通过松弛变量（也有人叫惩罚变量）和核函数技术来实现，这一部分是SVM的精髓，以后会详细讨论。
多说一句，关于文本分类这个问题究竟是不是线性可分的，尚没有定论，因此不能简单的认为它是线性可分的而作简化处理，在水落石出之前，只好先当它是线性不可分的（反正线性可分也不过是线性不可分的一种特例而已，我们向来不怕方法过于通用）。
高维模式识别是指样本维数很高，例如文本的向量表示，如果没有经过另一系列文章（《文本分类入门》）中提到过的降维处理，出现几万维的情况很正常，其他算法基本就没有能力应付了，SVM却可以，主要是因为SVM 产生的分类器很简洁，用到的样本信息很少（仅仅用到那些称之为“支持向量”的样本，此为后话），使得即使样本维数很高，也不会给存储和计算带来大麻烦（相对照而言，kNN算法在分类时就要用到所有样本，样本数巨大，每个样本维数再一高，这日子就没法过了……）。
下一节开始正式讨论SVM。
别嫌我说得太详细哦。
SVM入门（二）线性分类器Part 1线性分类器(一定意义上,也可以叫做感知机) 是最简单也很有效的分类器形式.在一个线性分类器中,可以看到SVM形成的思路,并接触很多SVM的核心概念.用一个二维空间里仅有两类样本的分类问题来举个小例子。
如图所示C1和C2是要区分的两个类别，在二维平面中它们的样本如上图所示。
中间的直线就是一个分类函数，它可以将两类样本完全分开。
一般的，如果一个线性函数能够将样本完全正确的分开，就称这些数据是线性可分的，否则称为非线性可分的。
什么叫线性函数呢？在一维空间里就是一个点，在二维空间里就是一条直线，三维空间里就是一个平面，可以如此想象下去，如果不关注空间的维数，这种线性函数还有一个统一的名称——超平面（Hyper Plane）！实际上，一个线性函数是一个实值函数（即函数的值是连续的实数），而我们的分类问题（例如这里的二元分类问题——回答一个样本属于还是不属于一个类别的问题）需要离散的输出值，例如用1表示某个样本属于类别C1，而用0表示不属于（不属于C1也就意味着属于C2），这时候只需要简单的在实值函数的基础上附加一个阈值即可，通过分类函数执行时得到的值大于还是小于这个阈值来确定类别归属。
例如我们有一个线性函数g(x)=wx+b我们可以取阈值为0，这样当有一个样本xi需要判别的时候，我们就看g(xi)的值。
若g(xi)>0，就判别为类别C1，若g(xi)<0，则判别为类别C2（等于的时候我们就拒绝判断，呵呵）。
此时也等价于给函数g(x)附加一个符号函数sgn()，即f(x)=sgn [g(x)]是我们真正的判别函数。
关于g(x)=wx+b这个表达式要注意三点：一，式中的x不是二维坐标系中的横轴，而是样本的向量表示，例如一个样本点的坐标是(3,8)，则x T=(3,8) ，而不是x=3（一般说向量都是说列向量，因此以行向量形式来表示时，就加上转置）。
二，这个形式并不局限于二维的情况，在n维空间中仍然可以使用这个表达式，只是式中的w成为了n维向量（在二维的这个例子中，w是二维向量，注意这里的w严格的说也应该是转置的形式，为了表示起来方便简洁，以下均不区别列向量和它的转置，聪明的读者一看便知）；三，g(x)不是中间那条直线的表达式，中间那条直线的表达式是g(x)=0，即wx+b=0，我们也把这个函数叫做分类面。
实际上很容易看出来，中间那条分界线并不是唯一的，我们把它稍微旋转一下，只要不把两类数据分错，仍然可以达到上面说的效果，稍微平移一下，也可以。
此时就牵涉到一个问题，对同一个问题存在多个分类函数的时候，哪一个函数更好呢？显然必须要先找一个指标来量化“好”的程度，通常使用的都是叫做“分类间隔”的指标。
下一节我们就仔细说说分类间隔，也补一补相关的数学知识。
SVM入门（三）线性分类器Part 2上回说到对于文本分类这样的不适定问题（有一个以上解的问题称为不适定问题），需要有一个指标来衡量解决方案（即我们通过训练建立的分类模型）的好坏，而分类间隔是一个比较好的指标。
在进行文本分类的时候，我们可以让计算机这样来看待我们提供给它的训练样本，每一个样本由一个向量（就是那些文本特征所组成的向量）和一个标记（标示出这个样本属于哪个类别）组成。
如下：D i=(x i,y i)x i就是文本向量（维数很高），y i就是分类标记。
在二元的线性分类中，这个表示分类的标记只有两个值，1和-1（用来表示属于还是不属于这个类）。
有了这种表示法，我们就可以定义一个样本点到某个超平面的间隔：δi=y i(wx i+b)这个公式乍一看没什么神秘的，也说不出什么道理，只是个定义而已，但我们做做变换，就能看出一些有意思的东西。
首先注意到如果某个样本属于该类别的话，那么wx i+b>0（记得么？这是因为我们所选的g(x)=wx+b就通过大于0还是小于0来判断分类），而y i也大于0；若不属于该类别的话，那么wx i+b<0，而y i也小于0，这意味着y i(wx i+b)总是大于0的，而且它的值就等于|wx i+b|！（也就是|g(x i)|）现在把w和b进行一下归一化，即用w/||w||和b/||w||分别代替原来的w和b，那么间隔就可以写成这个公式是不是看上去有点眼熟？没错，这不就是解析几何中点x i到直线g(x)=0的距离公式嘛！（推广一下，是到超平面g(x)=0的距离，g(x)=0就是上节中提到的分类超平面）小Tips：||w||是什么符号？||w||叫做向量w的范数，范数是对向量长度的一种度量。
我们常说的向量长度其实指的是它的2-范数，范数最一般的表示形式为p-范数，可以写成如下表达式向量w=(w1, w2, w3,……w n)它的p-范数为看看把p换成2的时候，不就是传统的向量长度么？当我们不指明p的时候，就像||w||这样使用时，就意味着我们不关心p的值，用几范数都可以；或者上文已经提到了p的值，为了叙述方便不再重复指明。