【走向高考】2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题22 随机变量及其分布列理(含解析)

合集下载

【走向高考】2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题23 选择题解题技能训练(含解析)

【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题23 选择题解题技能训练（含解析）一、选择题1．(文)已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是( )A ． 3B ． 6C ．2D ．3[答案] B[解析] 由题意易知，抛物线的准线方程为x ＝－1，焦点为F (1,0)，直线x ＝－1与双曲线的交点坐标为(－1，±1－a2a )，若△FAB 为直角三角形，则只能是∠AFB 为直角，△FAB 为等腰直角三角形，所以1－a2a＝2⇒a ＝55，从而可得c ＝305，所以双曲线的离心率e ＝ca＝6，选B ．(理)(2014²中原名校联考)已知双曲线x 2a 2＋y 2b2＝1，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1 2的两部分，则双曲线的离心率为( )A ． 3B ．233C ． 5D ．52[答案] B[解析] 由条件知∠OAB ＝120°，从而∠BOA ＝30°，∴b a ＝33，∴c 2－a 2a 2＝13，∴e 2＝43，∵e>1，∴e ＝233.[方法点拨] 直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．直接法解答选择题是最基本的方法，用直接法解题的关键是掌握相关知识，熟练应用有关数学方法与技巧，准确把握题目的特点．平时应对基础知识、基本技能与方法强化记忆灵活应用．请练习下题：(2015²河南省高考适应性测试)已知椭圆C 1：x 217＋y 2＝1，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A ，B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则双曲线C 2的离心率为( )A ．4B ．41313C ． 2D ．1＋52[答案] C[解析] 双曲线的一条渐近线方程为：y ＝b ax ，设它与椭圆C 1的交点为CD ，易得|CD |＝13|AB |＝2173，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 217＋y 2＝1.得：x 217＋b 2a2x 2＝1，x ＝±17a2a 2＋17b 2， ∴|CD |＝21＋b 2a2²17a2a 2＋17b 2＝217 a 2＋b 2a 2＋17b 2＝2173，整理得：a 2＝b 2，∴e ＝ 2.2．(2015²新课标Ⅱ文，9)已知等比数列{}a n 满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1C ．12D ．18[答案] C[解析] 由题意可得a 3a 5＝a 24＝4(a 4－1)⇒a 4＝2，所以q 3＝a 4a 1＝8⇒q ＝2，故a 2＝a 1q ＝12，选C ．3．(文)如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3 1B ．2 1C ．4 1D ．3 1[答案] B[解析] 将P ，Q 置于特殊位置：使P 与A 1重合，Q 与B 重合，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有VC －AA 1B ＝VA 1－ABC ＝VABC －A 1B 1C 13，故过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成的两部分的体积之比为2 1.(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果a 、b 、c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C等于( )A ．35B ．45 C ．34 D ．43 [答案] B[解析] 解法一：取特殊值a ＝3，b ＝4，c ＝5，则cos A ＝45，cos C ＝0，cos A ＋cos C1＋cos A cos C ＝45，解法二：取特殊角A ＝B ＝C ＝60°，cos A ＝cos C ＝12，cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝45.故选B ．[方法点拨] 特例法从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数、特殊图形．其解题原理是某个结论若对某范围内的一切情形都成立，则对该范围内的某个特殊情形一定成立．请练习下题：已知椭圆E ：x 2m ＋y 24＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx ＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是( )A ．kx ＋y ＋k ＝0B ．kx －y －1＝0C ．kx ＋y －k ＝0D ．kx ＋y －2＝0[答案] D[解析] A 选项中，当k ＝－1时，两直线关于y 轴对称，两直线被椭圆截得的弦长相等；B 选项中，当k ＝1时，两直线平行，两直线被椭圆截得的弦长相等；C 选项中，k ＝1时，两直线关于y 轴对称，两直线被椭圆截得的弦长相等，故选D ．[点评] 本题充分利用椭圆的对称性及“可能相等”用特例作出判断，方便的获解，如果盲目从直线与椭圆相交求弦长，则费神耗力无收获．4．(文)A 、B 、C 是△ABC 的3个内角，且A <B <C (C ≠π2)，则下列结论中一定正确的是( )A ．sin A <sin CB ．cot A <cotC C ．tan A <tan CD ．cos A <cos C[答案] A[解析] 利用特殊情形，因为A 、B 、C 是△ABC 的3个内角，因此，存在C 为钝角的可能，而A 必为锐角，此时结论仍然正确．而cos A 、tan A 、cot A 均为正数，cos C 、tan C 、cot C 均为负数，因此B 、C 、D 均可排除，故选A ．(理)若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( )A ．1B ．－1C ．－3D ．1或－3[答案] D[解析] 令x ＝0，∴a 0＝1；令x ＝1，故(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 1＋a 2＋…＋a 6，且因a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或－3.5．已知f (x )＝14x 2＋sin(π2＋x )，则f ′(x )的图象是( )[答案] A[解析] ∵f (x )＝14x 2＋cos x ，∴f ′(x )＝12x －sin x 为奇函数，排除B 、D ．又f ′(π6)＝12³π6－sin π6＝12³(π6－1)<0，排除C ，选A ．[方法点拨] 筛选法筛选法也叫排除法(淘汰法)，它是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法．6．(文)(2015²南昌市一模)给出下列命题：①若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝32 ②α，β，γ是三个不同的平面，则“γ⊥α，γ⊥β”是“α∥β”的充分条件 ③已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝79.其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] B[解析] 对于①，由(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5得a 1<0，a 2>0，a 3<0，a 4>0，a 5<0，取x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝(1＋1)5＝25，再取x ＝0得a 0＝(1－0)5＝1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝31，即①不正确；对于②，如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ABB 1A 1⊥平面ABCD ，平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，但平面ABB 1A 1与平面ADD 1A 1不平行，所以②不正确；对于③，因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1－2³⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79，所以③正确．(理)在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是( )①平均数x ≤3；②标准差S ≤2；③平均数x ≤3且标准差S ≤2；④平均数x ≤3且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1.A ．①②B ．③④C ．③④⑤D ．④⑤[答案] D[解析] 对于⑤，由于众数为1，所以1在数据中，又极差≤1，∴最大数≤2，符合要求⑤正确；对于④，由于x ≤3，∴必有数据x 0≤3，又极差小于或等于2，∴最大数不超过5，④正确；当数据为0,3,3,3,6,3,3时，x ＝3，S 2＝187，满足x ≤3且S ≤2，但不合要求，③错，∴选D ．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为( )A ．[－12，1]B ．[－12，1)C ．(－14，0)D ．(－14，0][答案] C[解析] 由g (x )＝f (x )－m ＝0得f (x )＝m .作出函数y ＝f (x )的图象，当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝(x －12)2－14≥－14，所以要使函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，只需直线y＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个交点即可，如图只需－14<m <0.[方法点拨] 数形结合法将所研究的问题转化为函数的图象或借助代数式的几何意义，作出相应的几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合几何图形的直观特征得到正确选项的一种解题方法，其实质就是数形结合思想的运用．1．运用图解法解选择题是依靠图形的直观性进行分析的，因此要对有关的函数图象或几何图形较熟悉，作图尽可能准确才能作出正确的选择．2．讨论方程根的个数、函数的零点个数、函数图象交点个数，直线与圆锥曲线或圆锥曲线之间位置关系的题目，三角形解的讨论，立体几何中线面位置关系的判断，线性规划等等问题常借助图形处理．请练习下题：(2014²长春市三调)已知实数x 、y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0x <2x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z的取值范围是( )A ．[53，5]B ．[0,5]C ． [0,5)D ． [53，5)[答案] C[解析] 画出x ，y 约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －u ＋12，先画出直线y ＝x ，再平移直线y ＝x ，当经过点A (2，－1)，B (13，23)时，可知－53≤u <5，∴z ＝|u |∈[0,5)，故选C ．8．(2015²辽宁葫芦岛市一模)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] B[解析] 作出可行域如图平移直线2x ＋y ＝0知，当z ＝2x ＋y 经过点A (－1，－1)时取得最小值，经过点B (2，－1)时取得最大值，∴m ＝2³2－1＝3，n ＝2³(－1)－1＝－3， ∴m －n ＝3－(－3)＝6.9．(2015²安徽文，10)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b <0，c >0，d >0B ．a >0，b <0，c <0，d >0C ．a <0，b <0，c >0，d >0D ．a >0，b >0，c >0，d <0[答案] A[解析] 令x ＝0⇒d >0，又f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由函数f (x )的图象可知x 1，x 2是f ′(x )＝0的两根，由图可知x 1>0，x 2>0，x 1<x 2，f ′(x )＝3a (x －x 1)(x －x 2)＝3ax 2－3a (x 1＋x 2)x ＋3ax 1x 2，当x ∈(－∞，x 1)时，f (x )单调递增，f ′(x )>0，∴a >0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b3a >0，x 1x 2＝c3a >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧b <0，c >0.故A 正确．10．(文)已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(π2<θ<π)，则tan θ2＝( ) A ．m －39－mB ．m －3|9－m |C ．－15D ．5[答案] D[解析] 由于受条件sin 2θ＋cos 2θ＝1的制约，m 为一确定的值，因此tan θ2也为一确定的值，又π2<θ<π，所以π4<θ2<π2，故tan θ2>1，因此排除A 、B 、C ，选D ．(理)图中阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图象是( )[答案] B[解析] 由图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B ．[方法点拨] 估算法由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程，因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．当题目从正面解答比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时，如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化，几何体的表面积、体积等问题，常用此种方法确定选项．11．(文)(2014²石家庄市质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点O 为坐标原点，点P 在双曲线右支上，△PF 1F 2内切圆的圆心为Q ，圆Q 与x 轴相切于点A ，过F 2作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则|OA |与|OB |的长度依次为( )A ．a ，aB ．a ，a 2＋b 2C ．a 2，3a 2D ． a2，a[答案] A[解析] 如图，由题意知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝|PC |＋|CF 1|，|PF 2|＝|PD |＋|DF 2|，又|CF 1|＝|F 1A |，|DF 2|＝|F 2A |，∴|PF 1|－|PF 2|＝|F 1A |－|F 2A |＝|OF 1|＋|OA |－(|OF 2|－|OA |)＝2|OA |＝2a ，∴|OA |＝a ，同理可求得|OB |＝a .(理)若方程cos2x ＋3sin2x ＝a ＋1在[0，π2]上有两个不同的实数解x ，则参数a 的取值范围是( )A ．0≤a <1B ．－3≤a <1C ．a <1D ．0<a <1[答案] A[解析] cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π6)＝a ＋1，可设f (x )＝2sin(2x ＋π6)，g (x )＝a＋1，利用数形结合，如图所示，有1≤a ＋1<2，即0≤a <1，即可得出正确答案．故选A ．12．已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是( )A ．169πB ．83πC ．4πD ．649π[答案] D[解析] ∵球的半径R 不小于△ABC 的外接圆半径r ＝233，则S 球＝4πR 2≥4πr 2＝163π>5π.13．(文)各项均为正数的数列{a n }，{b n }满足：a n ＋2＝2a n ＋1＋a n ，b n ＋2＝b n ＋1＋2b n (n ∈N *)，那么( )A ．∀n ∈N *，a n >b n ⇒a n ＋1>b n ＋1 B ．∃m ∈N *，∀n >m ，a n >b n C ．∃m ∈N *，∀n >m ，a n ＝b n D ．∃m ∈N *，∀n >m ，a n b 1但a 2<b 2，排除A ；当a 1＝1，a 2＝2，b 1＝1，b 2＝2时，a 3＝5，b 3＝4，a 4＝12，b 4＝8，排除C 、D ，故选B ．(理)已知0<a <b <c 且a 、b 、c 成等比数列，n 为大于1的整数，那么log a n ，log b n ，log c n 是( )A ．成等比数列B ．成等差数列C ．即是等差数列又是等比数列D ．即不是等差数列又不是等比数列 [答案] D[解析] 方法1：可用特殊值法．令a ＝2，b ＝4，c ＝8，n ＝2，即可得出答案D 正确．方法2：∵a 、b 、c 成等比数列， ∴可设b ＝aq ，c ＝aq 2.(q >1，a >0)则：log b n ＝log (aq )n ＝log a n 1＋log a q ，log c n ＝log (aq 2)n ＝log a n 1＋2log a q，可验证，log a n ，log b n ，log c n 既不是等差数列又不是等比数列．故选D ．14．(文)某兴趣小组野外露营，计划搭建一简易帐篷，关于帐篷的形状，有三人提出了三种方案，甲建议搭建如图①所示的帐篷；乙建议搭建如②所示的帐篷；丙建议搭建如③所示的帐篷．设帐篷顶的斜面与水平面所成的角都是α，则用料最省的一种建法是( )(四根立柱围成的面积相同)A ．①B ．②C ．③D ．都一样[答案] D[解析] 由于帐篷顶与水平面所成的角都是α，则不论哪种建法，顶部在地面的射影面积都相等，由S ＝S 射cos α得，不论哪种建法，所用料的面积都相等．(理)若等比数列的各项均为正数，前n 项的和为S ，前n 项的积为P ，前n 项倒数的和为M ，则有( )A ．P ＝SMB ．P >S MC ．P 2＝(S M)nD ．P 2>(S M)n[答案] C[解析] 取等比数列为常数列：1,1,1，…，则S ＝n ，P ＝1，M ＝n ，显然P >S M和P 2>(S M)n不成立，故选项B 和D 排除，这时选项A 和C 都符合要求．再取等比数列：2,2,2，…，则S ＝2n ，P ＝2n ，M ＝n 2，这时有P 2＝(S M )n ，且P ≠SM，所以选项A 不正确．15．(文)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图象大致为( )[答案] C[解析] 由函数f (x )为奇函数，排除B ；当0≤x <π时，f (x )≥0，排除A ；又f ′(x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1，f ′(0)＝0，则cos x ＝1或cos x ＝－12，结合x ∈[－π，π]，求得f (x )在(0，π]上的极大值点为2π3，靠近π，排除D ．(理)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )[答案] D[解析] 由函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，排除B ；当x ＝π时，y ＝－π，排除A ；当x ＝π2时，y ＝1，排除C ．16．(文)(2014²浙江理，7)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )[答案] D[解析] 本题考查幂函数和对数函数图象．选项A 没有幂函数图象．选项B 中y ＝x a(a ≥0)中a >1.y ＝log a x (x >0)中0<a <1.不符合．选项C 中y ＝x a(x ≥0)中0<a <1，y ＝log a x (x >0)中a >1.不符合．选项D 中y ＝x a (x ≥a )中0<a <1，y ＝log a x (x >0)中0<a <1，符合，选D ．(理)如果函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )[答案] A[解析] 由y ＝f (x )的图象可知其单调性从左向右依次为增减增减，所以其导数y ＝f ′(x )的函数值依次为正负正负，由此可排除B 、C 、D ．[方法点拨] 解答选择题的常用方法主要分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答．因此，我们还要研究解答选择题的一些间接法的应用技巧，以节省解题时间．解答选择题的总体策略是：充分利用题干和选项所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解．17．(2015²四川文，5)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x[答案] B[解析] A 、B 、C 的周期都是π，D 的周期是2π，但A 中，y ＝cos 2x 是偶函数，C 中y ＝2sin (2x ＋π4)是非奇非偶函数．故正确答案为B ．。

【走向高考】2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题25 审题技能训练(含解析)

【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题25 审题技能训练（含解析）一、选择题1．已知向量a 、b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与向量a ＋2b 的夹角等于( )A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°[答案] D[审题要点] 弄清问题、熟悉问题和转化问题要求向量的夹角，可由cos θ＝a ² a ＋2b|a ||a ＋2b |求解，这是求向量夹角的常用方法，→由已知可求解a ²(a ＋2b )＝a 2＋2a ²b 的值． →由已知可求|a ＋2b |2＝a 2＋4a ²b ＋4b 2的值，进而可求|a ＋2b |的值． →由上述步骤可求得cos θ＝a ² a ＋2b|a ||a ＋2b |的值．[解析] |a ＋2b |2＝4＋4＋4a ²b ＝8＋8cos60°＝12， ∴|a ＋2b |＝23，记向量a 与向量a ＋2b 的夹角为θ，则a ²(a ＋2b )＝|a |²|a ＋2b |²cos θ ＝2³23cos θ＝43cos θ，又a ²(a ＋2b )＝a 2＋2a ²b ＝4＋4cos60°＝6， ∴43cos θ＝6，cos θ＝32，又θ∈[0，π]，∴θ＝π6，故选D ．2．(文)对于函数f (x )＝a sin x ＋bx ＋c (其中，a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)和f (－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和2[答案] D[审题要点] 仔细观察会发现f (x )的表达式中“a sin x ＋bx ”有其特殊性，即g (x )＝a sin x ＋bx 为奇函数，这是本题审题第一关键要素，其实从f (1)与f (－1)的提示，也应考虑是否具有奇偶性可用，由此可知f (1)＋f (－1)＝2c ；再注意观察细节可以发现c ∈Z ，从而2c 为偶数．[解析] 令g (x )＝a sin x ＋bx ，则g (x )为奇函数， ∴g (－1)＝－g (1)，∴f (x )＝g (x )＋c .∴f (1)＋f (－1)＝g (1)＋c ＋g (－1)＋c ＝2c ， ∵c ∈Z ，∴2c 为偶数， ∵1＋2＝3不是偶数，∴1和2一定不是f (1)与f (－1)的一组值，故选D ．(理)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．(0，12]C ．[12，2]D ．(0,2][答案] C[审题要点] 求a 的取值范围，需解给出的不等式，条件中的单调递增为解不等式时脱去函数符号“f ”所备，f (x )为偶函数，为化不等式为f (x 1)≤f (x 2)型而准备．解题思路步骤为：由log 12a ＝－log 2a――→偶函数f log 2a ≤f 1――→单调递增|log 2a |≤1――→隐含a >0a 的范围[解析] 因为log 12a ＝－log 2a 且f (－x )＝f (x )，则f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)⇒f (log 2a )＋f (－log 2a )≤2f (1)⇒f (log 2a )≤f (1)．又f (log 2a )＝f (|log 2a |)且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴|log 2a |≤1⇒－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2，选C ．[方法点拨] 注意发掘隐含条件有的题目条件不甚明显，而寓于概念、存于性质或含于图中，审题时，注意深入挖掘这些隐含条件和信息，就可避免因忽视隐含条件而出现的错误．3．(文)(2014²浙江理，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A ．90cm 2B ．129cm 2C ．132cm 2D ．138cm 2[答案] D[审题要点]――→分析三视图组合体――→形状特征长方体和直三棱柱――→数据特征长方体的长、宽、高为4、6、3；直棱柱底面直角三角形两直角边长4、3，棱柱高为3――――――――――――→选择表面积公式或计算方法注意公共部分表面积 [解析] 由三视图知该几何体是一个直三棱柱与长方体的组合体，长方体长、宽、高分别为4cm,6cm,3cm ，直棱柱高为3cm ，底面为直角三角形，两直角边长为3cm 、4cm ，∴几何体的表面积为S ＝2³4³6＋2³3³4＋3³6＋3³3＋3³4＋3³5＋2³12³3³4＝138cm 2，选D ．(理)若函数 f (x )＝dax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 、d ∈R )的图象如图所示，则a b c d ＝( )A ． 1 6 5 (－8)B ． 1 (－6) 5 (－8)C ． 1 (－6) 5 8D ． 1 6 5 8[答案] B[解析] ∵f (x )的图象以x ＝1和x ＝5为渐近线， ∴1和5是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－ba ＝6，c a ＝5.∴c ＝5a ，b ＝－6a ；∵图象过点(3,2)，∴d9a ＋3b ＋c＝2，∴d ＝－8a ，∴a b c d ＝a (－6a ) (5a ) (－8a )＝1 (－6) 5 (－8)．[方法点拨] 注重挖掘图形信息：在一些高考数学试题中，问题的条件往往是以图形的形式给出，或将条件隐含在图形之中，因此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊的关系、数值的特点、变化的趋势，抓住图形的特征，利用图形所提供的信息来解决问题．题目中未给出图形的，可画出图形，借助图形分析探寻解题途径．4．(文)(2014²福州市质检)函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝x ＋sin xB ．f (x )＝cos xxC ．f (x )＝x cos xD ．f (x )＝x (x －π2)(x －3π2)[答案] C[解析] 注意到题中所给曲线关于原点对称，因此相应的函数是奇函数，选项D 不正确；对于A ，f ′(x )＝1＋cos x ≥0，因此函数f (x )＝x ＋sin x 是增函数，选项A 不正确；对于B ，由于f (x )的图象过原点，因此选项B 不正确．综上所述知选C ．(理)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A ．23B ．33C ．23D ．13[答案] A[解析] 解法1：如图，连接C 1O ，过C 作CM ⊥C 1O .∵BD ⊥平面C 1CO ，∴BD ⊥CM ，∴CM ⊥平面BC 1D ∴∠CDM 即为CD 与平面BDC 1所成的角令AB ＝1，∴AA 1＝2，CO ＝22， C 1O ＝22＋222＝92＝322， CM ²C 1O ＝CC 1²CO ，即322CM ＝2²22，∴CM ＝23，∴sin ∠CDM ＝CM CD ＝23.解法2：以D 为原点DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系设AA 1＝2AB ＝2，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,2)，则DC →＝(0,1,0)，DB →＝(1,1,0)，DC 1→＝(0,1,2)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ²DB →＝0，n ²DC 1→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，则x ＝2，z ＝1，∴n ＝(2，－2,1)，设CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝|n ²DC →||n |²|DC →|＝23.5．(2015²郑州市质检)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m 、n 的比值m n＝( )A ．1B ．13 C ．29 D ．38[答案] D[解析] 由茎叶图知乙的中位数为32＋342＝33，故m ＝3，∴甲的平均数为13(27＋33＋39)＝33，∴14(n ＋2＋4＋8＋20＋30³3)＝33，解得n ＝8，∴m n ＝38.[方法点拨] 注意读图识表，挖掘图表数据：在数据题目的图表数据中包含着问题的基本信息，也往往暗示着解决问题的目标和方向．审题时认真观察分析图表、数据的特征和规律，可为问题解决提供有效的途径．6．已知函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意的x 1、x 2∈D (x 1≠x 2)，都有f (x 1＋x 22)<f x 1 ＋f x 2 2，则称y ＝f (x )为D 上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 3[答案] C[解析] 观察图象可知选C ．C 的正确性证明如下：欲证f (x 1＋x 22)<f x 1 ＋f x 22，即证(x 1＋x 22)2<x 21＋x 222，即证(x 1＋x 2)2<2x 21＋2x 22，即证(x 1－x 2)2>0.此式显然成立．故原不等式得证． [方法点拨] 注意对新定义的理解与转化：遇到新定义问题，要先弄清楚新定义的含义，将其用学过的熟知的数学知识加以转化，然后在新背景下用相应的数学知识方法解决．7．(文)设P 、Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P 、Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2B ．46＋ 2C ．7＋ 2D ．6 2[答案] D[解析] 由圆的性质可知P 、Q 两点间的最大距离为圆心A (0,6)到椭圆上的点的最大距离与圆的半径之和，设Q (x ，y )，则AQ 2＝x 2＋(y －6)2＝10－10y 2＋y 2－12y ＋36＝46－9y 2－12y ＝－9(y ＋23)2＋50，当y ＝23时，|AQ |max ＝52，∴|PQ |max ＝52＋2＝6 2.(理)(2014²福建文，11)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49[答案] C[解析] 可行域如图：圆心C (a ，b )，则|b |＝1，由图知b ＝1，而当y ＝1时，由y ＝7－x 知x ＝6，所以a 2＋b 2最大值为62＋12＝37.8．(文)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有4个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )A ．24B ．36C ．48D ．12[答案] B[解析] 正方体的一条棱对应着2个“正交线面对”，12条棱对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着一个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，一条体对角线无满足要求的平面∴共有36个．(理)定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一常数，那么这个数列叫做“等积数列”，这个常数叫做该数列的公积．如果数列{a n }既是“等和数列”，又是“等积数列”，且公和与公积是同一个非零常数m ，则( )A ．数列{a n }不存在B ．数列{a n }有且仅有一个C ．数列{a n }有无数个，m 可取任意常数D ．当m ∈(－∞，0]∪[4，＋∞)时，这样的数列{a n }存在 [答案] D[解析] 由题设a n ＋a n ＋1＝m ，a n ²a n ＋1＝m ，对任意正整数n 都成立，则a n 与a n ＋1是一元二次方程x 2－mx ＋m ＝0的两实数根，∴Δ＝m 2－4m ≥0，∴m ≥4或m ≤0，故这样的数列{a n }，当m ≥4或m ≤0时存在，但当0<m <4时不存在．二、填空题9．(文)(2014²乌鲁木齐诊断)已知数列{a n }、{b n }都是等差数列，S n 、T n 分别是它们的前n 项和，且S n T n ＝7n ＋1n ＋3，则a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16的值为________．[答案] 315[解析]a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝2 a 11＋a 12 2 b 11＋b 12 ＝a 11＋a 12b 11＋b 12＝22 a 1＋a 22222 b 1＋b 22 2＝S 22T 22＝7³22＋122＋3＝315. (理)(2014²郑州市质检)我们把各位数字之和为7的四位数称为“北斗数”(如2014是“北斗数”)，则“北斗数”中千位为2的共有________个 .[答案] 21[分析] 由北斗数的定义分类，个数、十位、百位数字之和为5，则0＋0＋5＝0＋1＋4＝0＋2＋3＝1＋1＋3＝2＋2＋1，共5类．[解析] 个、十、百位上的数字为0、0、5，共3个，个、十、百位上数字为0、1、4，共A 33＝6个；个、十、百位上数字0、2、3，共A 33＝6个；个、十、百位上数字为1、1、3，共3个；个、十、百位上数字为2、2、1，共3个，故共有21个．10．已知f (x )＝x1＋x ，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2014(x )的表达式为________．[答案]x1＋2014x[解析] 考查归纳推理．f 1(x )＝f (x )＝x1＋x，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x1＋x1＋x 1＋x ＝11＋2x ，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x1＋2x 1＋x 1＋2x＝x1＋3x，…，f 2014(x )＝x1＋2014x.三、解答题11．已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围． [审题要点](1)直线y ＝b 与曲线y ＝f x 在点 a ，f a 处相切――→导数的几何意义f ′ a ＝0，f a ＝b――→解方程组求得a ，b(2)直线y ＝b 与曲线y ＝f x 有两个不同的交点――→从y ＝f x 的图象考虑判断曲线y ＝f x 的形状――→利用导数判断y ＝f x 的单调性、极值图象先减后增――→结合图象b 只需大于y ＝f x 的最小值――→导数知识求y ＝f x 的最小值[解析] 由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝x (2＋cos x )． (1)因为曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，所以f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0，b ＝f (a )．解得a ＝0，b ＝f (0)＝1. (2)令f ′(x )＝0，得x ＝0.当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：所以函数f (x f (0)＝1是f (x )的最小值．当b ≤1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 最多只有一个交点；当b >1时，f (－2b )＝f (2b )≥4b 2－2b －1>4b －2b －1>b ，f (0)＝11时曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)．[方法点拨] 审视条件了解和转换解题信息审题时，一是对题目条件信息的挖掘整合；二是明确解题的目标要求，解题思路的确定，解题方法的选择，解题步骤的设计；三是弄清题目中是否有图表可用，是否需要画图帮助思考，列表整合数据？较复杂的问题如何进行转化．12．(文)(2014²北京文，17)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E 、F 分别为A 1C 1、BC 的中点．(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ； (3)求三棱锥E －ABC 的体积．[审题要点] (1)要证平面ABE ⊥平面B 1BCC 1，需在一个平面内找一条直线与另一个平面垂直；已知三棱柱侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，可知AB ⊥平面B 1BCC 1.(2)要证C 1F ∥平面ABE ，需在平面ABE 内找一条与C 1F 平行的直线，为此过C 1F 作平面与平面ABE 相交，考虑到C 1E 与平面ABE 相交，则平面C 1EF 与平面ABE 的交线EG 为所求(G 为AB 与平面C 1EF 的交点)．考虑条件E 、F 分别为棱的中点，猜想G 应为AB 的中点，由中位线GF 綊12AC 綊C 1E 获证．(3)要求V E －ABC ，高AA 1已知，关键求S △ABC ，由AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC 易得． [解析] (1)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，所以BB 1⊥AB ，又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1. 所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)取AB 中点G ，连接EG 、FG . 因为E 、F 分别是A 1C 1、BC 的中点．所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC ．因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1. 所以四边形FGEC 1为平行四边形．所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE .(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB ＝AC 2－BC 2＝3，所以三棱锥E －ABC 的体积V ＝13S △ABC ²AA 1＝13³12³3³1³2＝33. [方法点拨] 审题是解题的基础和关键，一切解题的思路、方法、技巧都来源于认真审题．审题就是对题目提供信息的发现、辨认和转译，并对信息进行提炼，明确题目的条件、问题和相互间的关系．能否迅速准确地理解题意，是高考中能否取得最佳成绩的关键．审题时弄清已知什么？隐含什么？数、式结构有何特点？图表有何特征？然后进行恰当的转换，归结为熟知的问题进行解答．要注意架构条件与结论之间的桥梁，要注意细节和特殊情况的审视，要注意答题的条理和语言的规范．(理)如图1，四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点．该四棱锥的侧视图和俯(左)视图如图2所示．(1)证明：BC ⊥平面PBD ； (2)证明：AM ∥平面PBC ；(3)线段CD 上是否存在点N ，使得AM 与BN 所成角的余弦值为34？若存在，找到所有符合要求的点N ，并求CN 的长；若不存在，请说明理由．[解析] 解法一：(1)证明：由俯视图可得BD 2＋BC 2＝CD 2，所以BC ⊥BD ．又因为PD ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥PD ，所以BC ⊥平面PBD ．(2)证明：取PC 上一点Q ，使PQ PC ＝1 4，连接MQ 、BQ .由俯视图知PM PD ＝1 4，所以MQ ∥CD ，MQ ＝14CD ．在△BCD 中，易得∠CDB ＝60°，所以∠ADB ＝30°. 又BD ＝2，所以AB ＝1，AD ＝ 3.又因为AB ∥CD ，AB ＝14CD ，所以AB ∥MQ ，AB ＝MQ ，所以四边形ABQM 为平行四边形，所以AM ∥BQ . 因为AM ⊄平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ，所以直线AM ∥平面PBC ．(3)线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为34. 证明如下：因为PD ⊥平面ABCD ，DA ⊥DC ，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .所以D (0,0,0)，A (3，0,0)，B (3，1,0)，C (0,4,0)，M (0,0,3)．设N (0，t,0)，其中0≤t ≤4，所以AM →＝(－3，0,3)，BN →＝(－3，t －1,0)．要使AM 与BN 所成角的余弦值为34，则有|AM →²BN →||AM →||BN →|＝34，所以|3|23²3＋ t －1 2＝34，解得t ＝0或2，均适合0≤t ≤4.故点N 位于D 点处，此时CN ＝4；或点N 位于CD 的中点处，此时CN ＝2，有AM 与BN 所成角的余弦值为34. 解法二：(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，DA ⊥DC ，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .在△BCD 中，易得∠CDB ＝60°，所以∠ADB ＝30°. 因为BD ＝2，所以AB ＝1，AD ＝ 3.由俯视图和侧视图可得D (0,0,0)，A (3，0,0)，B (3，1,0)，C (0,4,0)，M (0,0,3)，P (0,0,4)，因为BC →＝(－3，3,0)，DB →＝(3，1,0)．因为BC →²DB →＝－3³3＋3³1＋0³0＝0，所以BC ⊥BD ．又因为PD ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥PD ，所以BC ⊥平面PBD ．(2)证明：设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ²PC →＝0，n ²BC →＝0.因为BC →＝(－3，3,0)，PC →＝(0,4，－4)，所以⎩⎨⎧4y －4z ＝0，－3x ＋3y ＝0.取y ＝1，得n ＝(3，1,1)．因为AM →＝(－3，0,3)，所以AM →²n ＝3²(－3)＋1²0＋1²3＝0. 因为AM ⊄平面PBC ，所以直线AM ∥平面PBC ． (3)同解法一．[方法点拨] 注重建立条件之间、条件与结论之间的联系：审题过程中要注意由已知可知什么？条件之间有何关联，怎样体现这种关联？由待求(证)结论需知什么？条件和结论之间的衔接点是什么？解题的切入点是什么？13．(文)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：1米． (1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；(2)的概率．[审题要点] (1)读懂图表：首先理解两株作物“相近“的含义，其次明确X 与Y 的对应关系(表)，通过读图找出与其相近作物株数为1,2,3,4的作物分别有几株．(2)解题思路：Y ＝51――→读数表“相近”作物株数X 为1――→图形频数――→公式年平均收获量．年收获量至少为48kg ――→读数表Y ＝51或48――→由 1 知可求相应概率――→由事件互斥得出结果． [解析] (1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：51³2＋48³4＋45³6＋42³315＝102＋192＋270＋12615＝46.(2)由(1)知，P (Y ＝51)＝215，P (Y ＝48)＝415.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg 的概率为P (Y ≥48)＝P (Y ＝51)＋P (Y ＝48)＝215＋415＝25.(理)(2014²北京理，16)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛互相独立)：(2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x －为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较E (X )与x －的大小．(只需写出结论)[解析] (1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C ＝(A B －)∪(A －B )，A ，B 独立．根据投篮统计数据，P (A )＝35，P (B )＝25，P (C )＝P (A B －)＋P (A －B )＝35³35＋25³25 ＝1325. 所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)E (X )＝x －.14．(文)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的不同两点，抛物线C 在点A ，B 处的切线分别为l 1，l 2，且l 1⊥l 2，l 1与l 2相交于点D ．(1)求点D 的纵坐标； (2)证明：直线AB 过定点． [审题要点] (1)求点D 纵坐标――→l 1与l 2交点为Dl 1、l 2的方程――→C 在A 、B 点的切线互相垂直设A 、B ，由导数得斜率，由A 、B 在C 上得坐标关系．(2)AB 过定点――→审视图形适当猜想定点可能为焦点F ――→转化证A 、B 、F 三点共线―→用向量或斜率证 [解析] (1)如图，设点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．∵l 1、l 2分别是抛物线C 在点A ，B 处的切线， ∴直线l 1的斜率k 1＝y ′|x ＝x 1＝x 1p，直线l 2的斜率k 2＝y ′|x ＝x 2＝x 2p. ∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，得x 1x 2＝－p 2.① ∵A 、B 是抛物线C 上的点，∴y 1＝x 212p ，y 2＝x 222p.∴直线l 1的方程为y －x 212p ＝x 1p (x －x 1)，直线l 2的方程为y －x 222p ＝x 2p(x －x 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －x 212p ＝x 1px －x 1 ，y －x 222p ＝x2p x －x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝－p2.∴点D 的纵坐标为－p2.(2)证明：∵F 为抛物线C 的焦点， ∴F (0，p2)．∴AF →＝(－x 1，p 2－x 212p )＝(－x 1，p 2－x 212p)，BF →＝(－x 2，p2－x 222p )＝(－x 2，p 2－x 222p)．∵p 2－x 212p p 2－x 222p＝p 2－x 21p 2－x 22＝－x 1x 2－x 21－x 1x 2－x 22＝x 1x 2， ∴AF →∥BF →，即直线AB 过定点F .(理)(2014²沈阳市质检)已知函数f (x )＝mx －sin x ，g (x )＝ax cos x －2sin x (a >0)． (1)若过曲线y ＝f (x )上任意相异两点的直线的斜率都大于0，求实数m 的最小值； (2)若m ＝1，且对于任意x ∈[0，π2]，都有不等式f (x )≥g (x )成立，求实数a 的取值范围．[解析] (1)∵过曲线y ＝f (x )上任意相异两点的直线的斜率都大于0 ∴任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则由f x 2 －f x 1x 2－x 1>0，得f (x 1)<f (x 2)∴函数f (x )＝mx －sin x 在R 上单调递增 ∴f ′(x )＝m －cos x ≥0恒成立，即m ≥cos x ∴m min ＝1(2)∵m ＝1，∴函数f (x )＝x －sin x ∵f (x )≥g (x )，∴x ＋sin x －ax cos x ≥0对于任意x ∈[0，π2]均成立，令H (x )＝x ＋sin x －ax cos x则H ′(x )＝1＋cos x －a (cos x －x sin x )＝1＋(1－a )cos x ＋ax sin x ①当1－a ≥0，即0<a ≤1时，H ′(x )＝1＋(1－a )cos x ＋ax sin x >0 ∴H (x )在[0，π2]上为单调增函数∴H (x )≥H (0)＝0 符合题意，∴0<a ≤1②当1－a <0，即a >1时，令h (x )＝1＋(1－a )cos x ＋ax sin x 于是h ′(x )＝(2a －1)sin x ＋ax cos x∵a >1，∴2a －1>0，∴h ′(x )≥0 ∴h (x )在[0，π2]上为单调增函数∴h (0)≤h (x )≤h (π2)，即2－a ≤h (x )≤π2a ＋1∴2－a ≤H ′(x )≤π2a ＋1(ⅰ)当2－a ≥0，即1<a ≤2时，H ′(x )≥0∴H (x )在[0，π2]上为单调增函数，于是H (x )≥H (0)＝0，符合题意，∴1<a ≤2(ⅱ)当2－a <0，即a >2时，存在x 0∈(0，π2)，使得当x ∈(0，x 0)时，有H ′(x )<0此时H (x )在(0，x 0)上为单调减函数从而H (x )<H (0)＝0，不能使H (x )>0恒成立综上所述，实数a 的取值范围为0<a ≤2[方法点拨] 注意对结论的转换：问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误．因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的．审视结论，就是探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律．善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向．当结论不很明确，语句晦涩，不利于问题的解决时，可以转换角度，翻译为熟悉的数学模型加以解决．15．(文)过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1、k 2的两条不同直线l 1、l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A 、B ，l 2与E 相交于点C 、D ，以AB 、CD 为直径的圆M 、圆N (M 、N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .若k 1>0，k 2>0，证明：FM →²FN →<2p 2. [审题要点] 由已知求出l 1的方程――→l 1与E 联立方程组关于x 的一元二次方程――→根与系数关系x 1＋x 1＝2pk 1，y 1＋y 2＝2pk 21＋p ―→FM →坐标――→同理FN →的坐标――→计算FM →²FN →＝p 2(k 1k 2＋k 21k 22)；要证FM →²FN →<2p 2――→只需证k 1k 2＋k 21k 22<2――→再证－2<k 1k 2<1――→k 1>0，k 2>00<k 1k 2<1――→k 1＋k 2＝2k 1k 2<1成立．[解析] 由题意知，抛物线E 的焦点为F (0，p 2)，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋p2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则x 1、x 2是上述方程的两个实数根，从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 21＋p .所以点M 的坐标为(pk 1，pk 21＋p2)，FM →＝(pk 1，pk 21)．同理可得点N 的坐标为(pk 2，pk 22＋p 2)，FN →＝(pk 2，pk 22)，于是FM →²FN →＝p 2(k 1k 2＋k 21k 22)．因为k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2，所以0<k 1k 2<(k 1＋k 22)2＝1.故FM →²FN →b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P 、Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． [审题要点] (1)欲求E 的方程，需求a 、b ，需由条件建立a 、b 的方程组：审条件可以发现由离心率和k AF 可建立方程组获解；(2)l 与E 相交于P 、Q ，则S △OPQ ＝12|PQ |²d (d 是O 到l 的距离)，故解题步骤为：设l的方程→l 与E 的方程联立消元化为一元二次方程→由判别式确定k 的取值范围→求|PQ |(用k 表示)→求S △OPQ (用k 表示)→根据f (k )＝S △OPQ 的表达式结构选取讨论最值方法→求l 的方程．[解析] (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又ca ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1中消去y 得，(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1²4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ²|PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t ＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0.所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. [方法点拨] 本题常见错误是：①误以为O 点到直线l 的距离最大时，S △OPQ 最大； ②找不到求f (k )＝S △OPQ 的最值的切入点； ③计算失误．为避免上述错误请注意：①慢工出细活，计算时慢一点、细致一点，关键步骤及时检查，莫等完成解答后检查，浪费大量时间；②在直线运动变化过程中，观察△OPQ 面积的变化与什么相关；观察f (k )的结构特征与学过的常见函数作对比，进行化归．。

高考数学二轮复习微专题22答案

微专题221．答案：⎝⎛⎭⎫0，－35. 解析：由直线AM ，AN分别和椭圆方程联立，即可求得M 坐标为⎝⎛⎭⎫－85，－35和N 坐标为⎝⎛⎭⎫85，－35，进而可求得MN 直线方程y ＝－35，然后求得MN 与y 轴交点的坐标⎝⎛⎭⎫0，－35.2．答案：－9.解析：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x1＋x22＝－kbk2＋9，易得y M ＝9bk2＋9，从而k OM ·k ＝－9. 3．答案：()0，－2±23. 解析：设点P (x 0，y 0)，直线AP ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，易得k 1k 2＝y0－1x0·y0＋1x0＝y02－1x02＝－14.所以AP 的方程为y ＝k 1x ＋1，BP 的方程为y ＝k 2x －1＝－14k1x －1，所以M ⎝⎛⎭⎫－3k1，－2，N (4k 1，－2)，则以MN 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋3k1(x －4k 1)＋(y ＋2)2＝0.即x 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫3k1－4k1x ＋4y －8＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0x2＋y2＋4y －8＝0.所以MN 为直径的圆过定点(0，－2±23)． 4．答案：x225＋y216＝1.解析：设动点M (x ，y )，由题意（x －3）2＋y2⎪⎪⎪⎪253－x ＝35，化简得x225＋y216＝1，所以动点M 的轨迹方程是x225＋y216＝1.5．答案：13.解析：设直线MA 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题直线MA 与MB 的斜率互为相反数，直线MB 的斜率为－k ，联立直线MA 与椭圆方程：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－32kx236＋y24＝1，整理得(9k 2＋1)x 2＋182k (1－3k )x ＋162k 2－108k －18＝0，得x 1＝182（3k2－k ）9k2＋1－32，所以x 2＝182（3k2＋k ）9k2＋1－32，整理得x 2－x 1＝362k 9k2＋1，x 2＋x 1＝1082k29k2＋1－62.又y 2－y 1＝－kx 2＋2＋32k －(kx 2＋2－32k )＝－k (x 2＋x 1)＋62k .＝－108k39k2＋1＋122k ＝122k9k2＋1，所以k AB ＝y2－y1x2－x1＝122k 9k2＋1362k 9k2＋1＝13为定值． 6．答案：直线BD 过定点(a ，0)．解法1由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k1（x ＋a ），x2a2＋y2b2＝1，得x2－a2a2＋k12（x ＋a ）2b2＝0，所以x ＝－a ，或x ＝a （b2－k12a2）b2＋a2k12，因为x B ≠－a ，所以x B ＝a （b2－k12a2）b2＋a2k12，则y B ＝k 1(x B ＋a )＝2ab2k1b2＋a2k12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k2（x ＋a ），x2＋y2＝a2，得x 2－a 2＋k 22(x ＋a )2＝0，得x ＝－a ，或x ＝a （1－k22）1＋k22，同理，得x D ＝a （1－k22）1＋k22，y D＝2ak21＋k22，当k1k2＝b2a2时，x B ＝a ⎝⎛⎭⎫b2－b4a2k22b2＋b4a2k22＝a （a2－b2k22）a2＋b2k22，y B＝2ab2k2a2＋b2k22，k BD＝2ab2k2a2＋b2k22－2ak21＋k22a （a2－b2k22）a2＋b2k22－a （1－k22）1＋k22＝－1k2，所以BD ⊥AD ，因为E 2为圆，所以∠ADB 所对圆E 2的弦为直径，从而直线BD 过定点(a ，0)．解法2直线BD 过定点(a ，0)，证明如下：设P (a ，0)，B (x B ，y B )，则xB2a2＋yB2b2＝1(a ＞b ＞0)，k AD k PB ＝a2b2k 1k PB ＝a2b2·yB xB ＋a ·yBxB －a ＝a2b2·yB2xB2－a2＝a2b2⎝⎛⎭⎫－b2a2＝－1，所以PB ⊥AD ，又PD ⊥AD .所以三点P ，B ，D 共线，即直线BD 过定点P (a ，0)．7．答案：直线MN 恒过定点，且坐标为⎝⎛⎭⎫0，－23. 解析：依题设，k 1≠k 2.设M (x M ，y M )，直线AB 的方程为y －1＝k 1(x －1)，即y ＝k 1x ＋(1－k 1)，亦即y ＝k 1x ＋k 2，代入椭圆方程并化简得(2＋3k 12)x 2＋6k 1k 2x ＋3k 22－6＝0.于是，x M ＝－3k1k22＋3k12，y M ＝2k22＋3k12.同理，x N ＝－3k1k22＋3k22，y N ＝2k12＋3k22.当k 1k 2≠0时，直线MN 的斜率k ＝yM －yNxM －xN ＝4＋6（k22＋k2k1＋k12）－9k2k1（k2＋k1）＝10－6k2k1－9k2k1.直线MN 的方程为y －2k22＋3k12＝10－6k2k1－9k2k1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －－3k1k22＋3k12，即y ＝10－6k2k1－9k2k1x ＋错误!，亦即y ＝10－6k2k1－9k2k1x －23.此时直线过定点⎝⎛⎭⎫0，－23.当k 1k 2＝0时，直线MN 即为y 轴，此时亦过点⎝⎛⎭⎫0，－23.综上，直线MN 恒过定点，且坐标为⎝⎛⎭⎫0，－23. 8．答案：(1)椭圆C 的标准方程为x26＋y22＝1.(2)在x 轴上存在定点E ⎝⎛⎭⎫73，0使得EA →2＋EA →·AB →为定值，且定值为－59.解析：(1)由e ＝63，得c a＝63，即c ＝63a ，①.又以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2＋y 2＝a 2，且该圆与直线2x －2y ＋6＝0相切，所以a ＝|6|22＋（－2）2＝6，代入①得c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的标准方程为x26＋y22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x26＋y22＝1，y ＝k （x －2），得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝12k21＋3k2，x 1x 2＝12k2－61＋3k2.根据题意，假设x 轴上存在定点E (m ，0)，使得EA →2＋EA →·AB →＝(EA →＋AB →)·EA →＝EA →·EB →为定值，则EA →·EB →＝(x 1－m ，y 1)·(x 2－m ，y 2)＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋m )(x 1＋x 2)＋(4k 2＋m 2)＝错误!，要使上式为定值，即与k 无关，只需3m 2－12m ＋10＝3(m 2－6)，解得m ＝73，此时，EA →2＋EA →·AB →＝m 2－6＝－59，所以在x 轴上存在定点E ⎝⎛⎭⎫73，0使得EA →2＋EA →·AB →为定值，且定值为－59.。

【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题20 概率(含解析)

【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题20 概率（含解析）一、选择题1．(文)(2015²广东文，7)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有1件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1[答案] B[解析] 5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e)，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e)，(c ，d )，(c ，e)，(d ，e)，恰有一件次品，有6种，分别是(a ，c )，(a ，d )，(a ，e)，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e)，设事件A ＝“恰有一件次品”，则P (A )＝610＝0.6，故选B ．(理)(2015²太原市一模)某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个小球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中抽取一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是( )A ．15B ．16C ．56D ．3536 [答案] C[解析] 记甲、乙各摸一次得的编号为(x ，y )，则共有36个不同的结果，其中甲、乙摸出球的编号相同的结果有6个，故所求概率P ＝1－636＝56. [方法点拨] 1.用古典概型概率计算公式P ＝m n求概率，必须先判断事件的等可能性． 2．当某事件含有的基本事件情况比较复杂，分类较多时，可考虑用对立事件概率公式求解．3．要熟练掌握列举基本事件的方法，当古典概型与其他知识结合在一起考查时，要先依据其他知识点的要求求出所有可能的事件及基本事件数，再计算．2．(文)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，2x －y －3≤0.表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为( )A ．π12 B ．π8C ．π6D ．π3[答案] A[解析] 如图，不等式组表示的平面区域M 为△OAB ，A (1，－1)，B (3,3)，S △OAB ＝3，区域N 在M 中的部分面积为π4，∴所求概率P ＝π43＝π12.(理)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为()A ．2e 2 B ．2e C ．2e 3 D ．1e2 [答案] A[解析] ∵S 阴＝2⎠⎛01(e －e x)d x ＝2(e x －e x)|10＝2，S 正方形＝e 2，∴P＝2e2.[方法点拨] 1.当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；2．利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的测度的计算，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．3．几何概型与其他知识结合命题，应先依据所给条件转化为几何概型，求出区域的几何测度，再代入公式求解．3．(文)在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于24cm 2的概率为( )A ．16B ．13 C ．23 D ．45[答案] D[解析] 设线段AC 的长为x cm ，其中0<x<10，则线段CB 的长为(10－x)cm ，那么矩形的面积为x(10－x)cm 2，由x(10－x)<24，解得x<4或x>6.又0<x<10，所以0<x<4或6<x<10，故该矩形面积小于24cm 2的概率为4＋410＝45，故选D ．(理)在区间[1,6]上随机取一实数x ，使得2x∈[2,4]的概率为( )A ．16B ．15 C ．13 D ．25[答案] B[解析] 由2x∈[2,4]知1≤x≤2， ∴P(2x∈[2,4])＝2－16－1＝15.4．(文)甲、乙、丙、丁四人排成一行，则甲、乙都不在两端的概率为( )A ．112B ．16C ．124D ．14[答案] B[解析] 甲、乙、丙、丁四人站成一排有24种情形，其中甲、乙都不在两边有4种情形：丙甲乙丁，丙乙甲丁，丁甲乙丙，丁乙甲丙．因此所求概率为P ＝424＝16.(理)在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1,2,3，…，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为( )A ．151B ．1408C ．1306D ．168[答案] D[解析] 设选出的三人编号为a －3，a ，a ＋3，则⎩⎪⎨⎪⎧a －3≥1a ＋3≤8，∴4≤a≤15，共12种，从18人中选3人有C 318种选法，∴P＝12C 318＝168. 5．(文)扇形AOB 的半径为1，圆心角为90°.点C 、D 、E 将弧AB 等分成四份．连接OC 、OD 、OE ，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为π8的概率是( )A ．310B ．15C ．25D ．12[答案] A[解析] 所有的扇形共10个，其中面积为π8的扇形共有3个，故所求概率为P ＝310.(理)(2015²太原二模)已知实数a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤a≤4，0≤b≤4，x 1，x 2是关于x 的方程x 2－2x＋b －a ＋3＝0的两个实根，则不等式0<x 1<1<x 2成立的概率是( )A ．332B ．316C ．532 D ．916[答案] A[解析] 设f(x)＝x 2－2x ＋b －a ＋3，∵方程f(x)＝0的两实根x 1，x 2满足0<x 1<1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 0 >0，f 1 <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＋3>0，b －a ＋2<0，作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a≤4，0≤b≤4，表示的平面为正方形OABC ，其中满足⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＋3>0，b －a ＋2<0，的部分如图中阴影部分所示，阴影部分的面积S 1＝12³2³2－12³1³1＝32，正方形的面积S ＝4³4＝16，故所求概率P ＝S 1S ＝332.[易错分析] 本题易发生两个错误：一是不能对方程x 2－2x ＋b －a ＋3＝0的两根x 1，x 2满足0<x 1<1<x 2正确地进行转化；二是无法合理地求解几何概型的测度．事实上，对于几何概型的问题，关键是对测度的正确求解．纠错的方法有：①加强对几何概型测度的理解与求解；②平时注意积累解决几何概型的方法，如长度法、面积法、体积法等．6．(文)一个正方体玩具，其各面标有数字－3、－2、－1、0、1、2，随机投掷一次，将其向上一面的数字记作m ，则函数f(x)＝x 3＋mx 在(－∞，－23)上单调的概率为( )A ．34B ．13C ．12D ．23[答案] D[解析] f ′(x)＝3x 2＋m ，当m≥0时，f ′(x)≥0，f(x)单调递增；当m<0时，令f ′(x)＝0得，x ＝±－m3， ∴f(x)在(－∞，－－m3)上单调增加， ∵33<23<63，∴－63<－23<－33， ∴当m ＝－1时，f(x)在(－∞，－23)上单调递增，∴所求概率P ＝46＝23.(理)(2014²东北三省三校一模)一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a 、b 、c ，当且仅当a > b ，b < c 时称为“凹数”(如213,312等)，若a 、b 、c∈{1,2,3,4}且a 、b 、c 互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是( )A ．16B ．524C ．13D ．724[答案] C[解析] 解法1：任取3个数，共能构成24个三位数，A ＝“该数为凹数”，则A ＝{213,214,312,314,412,412,324,423}共包括8个基本事件，∴P(A)＝824＝13.解法2：从4个不同数中任取3个，这3个数字共组成6个不同三位数，其中凹数有2个，∴P＝26＝13.7．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [10.5,14.5) 2 [14.5,18.5) 4 [18.5,22.5) 9 [22.5,26.5) 18 [26.5,30.5) 11 [30.5,34.5) 12 [34.5,38.5) 8 [38.5,42.5) 2根据样本的频率分布估计，数据落在[30.5,42.5)内的概率约是( )A ．16B ．13C ．12D ．23[答案] B[解析] 由已知可得，[30.5,42.5)的数据共有22个，所以数据落在[30.5,42.5)内的概率约是2266＝13，选B ．8．(文)(2014²陕西理，6)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于．．．该正方形边长的概率为( ) A ．15B ．25 C ．35 D ．45[答案] C[解析] 如图，基本事件共有C 25＝10个，小于正方形边长的事件有OA ，OB ，OC ，OD 共4个，∴P＝1－410＝35.(理)从x 2m －y2n ＝1(m 、n∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为( )A ．12B ．47C ．23D ．34[答案] B[解析] 当m ，n∈{－1,2,3}时，x 2m －y2n ＝1所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线)共有7个，(m ，n)的取值分别为(－1，－1)，(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)，(2，－1)，(3，－1)，其中表示焦点在x 轴上的双曲线方程有4个，(m ，n)的取值分别为(3,2)，(3,3)，(2,2)，(2,3)，故所求的概率为47，选B ．二、填空题9．(文)在三棱锥的六条棱中任选两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是________．[答案] 15[解析] 从六条棱中任选两条有15种可能，其中构成异面直线的有3种情况，故所求概率为P ＝315＝15.(理)从正方体六个面的对角线中任取两条，这两条直线成60°角的概率为________． [答案]811[解析] 六个面的对角线共有12条，从中任取两条共有C 212＝66种不同的取法．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与面对角线AC 成60°角的面对角线有B 1C ，BC 1，A 1D ，AD 1，AB 1，A 1B ，DC 1，D 1C ，共8条，同理与DB 成60°角的面对角线也有8条，因此一个面上的对角线与其他四个相邻面上的对角线成60°角的情形共有16对，故6个面共有16³6＝96对，因为每对被计算了2次，因此共有12³96＝48对，∴所求概率P ＝4866＝811.[方法点拨] 解答概率与其他知识交汇的问题，要通过审题，将所要解决的问题转化为相应的概率模型，然后按相应公式计算概率，转化时要特别注意保持等价．10．(文)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________．[答案]π4[解析] 考查了几何概型．总面积2³1＝2.半圆面积12³π³12＝π2.∴p＝π22＝π4.(理)(2015²呼和浩特第二次调研)在区间(0，π2)上任取一个数x ，使得tan x<∫π2cos x d x 成立的概率是________．[答案] 12[解析] 求出定积分后结合三角函数的图象解不等式．因为∫π20cos x d x ＝sin x|π20＝1，所以原不等式即为tan x<1，x∈(0，π2)，解得0<x<π4，故所求概率为π4π2＝12.[易错分析] 考生不能正确计算定积分，或者不能正确解简单的三角不等式，都会导致几何概型计算错误，所以几何概型问题，正确运算是关键．三、解答题11．(文)(2015²太原市一模)为了考查某厂2000名工人的生产技能情况，随机抽查了该厂a 名工人某天的产量(单位：件)，整理后得到如下的频率分布直方图(产量的分组区间分别为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35])，其中产量在[20,25)的工人有6名．(1)求这一天产量不小于25的工人人数；(2)工厂规定从产量低于20件的工人中选取2名工人进行培训，求这2名工人不在同一分组的概率．[解析] (1)由题意得，产量为[20,25)的频率为0.06³5＝0.3， ∴n＝60.3＝20，∴这一天产量不小于25的工人人数为(0.05＋0.03)³5³20＝8.(2)由题意得，产量在[10,15)的工人人数为20³0.02³5＝2，记他们分别是A ，B ，产量在[15,20)的工人人数为20³0.04³5＝4，记他们为a ，b ，c ，d ，则从产量低于20件的工人中选取2位工人的结果为：(A ，B)，(A ，a)，(A ，b)，(A ，c)，(A ，d)，(B ，a)，(B ，b)，(B ，c)，(B ，d)，(a ，b)，(a ，c)，(a ，d)，(b ，c)，(b ，d)，(c ，d)共15种不同的结果，其中2位工人不在同一分组的结果为(A ，a)，(A ，b)，(A ，c)，(A ，d)，(B ，a)，(B ，b)，(B ，c)，(B ，d)，共有8种，∴所求概率为P ＝815.(理)某电视台举办“青工技能大赛”，比赛共设三关，第一、二关各有两个问题，两个问题全解决方可进入下一关，第三关有三个问题，只要解决其中的两个问题，则闯关成功．每过一关可依次获得100分、300分、500分的积分．小明对三关中每个问题正确解决的概率依次为45、34、23，且每个问题正确解决与否相互独立．(1)求小明通过第一关但未过第二关的概率； (2)用X 表示小明的最后积分，求X 的分布列和期望．[解析] (1)设事件A ＝“小明通过第一关但未过第二关”，第一关第i 个问题正确解决为事件A i (i ＝1,2)，第二关第i 个问题正确解决为事件B i (i ＝1,2)，则 P(A 1)＝P(A 2)＝45，P(B 1)＝P(B 2)＝34.又∵A＝A 1²A 2²(B 1²B 2＋B 1²B 1＋B 1²B 2)， ∴P(A)＝P(A 1)²P(A 2)²(1－P(B 1)²P(B 2)) ＝(45)2³[1－(34)2]＝725. (2)X∈{0,100,400,900}．P(X ＝0)＝1－(45)2＝925，P(X ＝100)＝725.P(X ＝400)＝(45)2³(34)2³[(13)2＋C 13³23³(13)2]＝725，P(X ＝900)＝1－925－725－725＝415.∴X 的分布列为E(X)＝0³925＋100³25＋400³75＋900³15＝3.12．(文)(2015²河南商丘市二模)某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有5名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测评，该班的A ，B 两个小组所有同学所得分数(百分制)的茎叶图如右图所示，其中B 组一同学的分数已被污损，但知道B 组学生的平均分比A 组学生的平均分高1分．(1)若在B 组学生中随机挑选1人，求其得分超过85分的概率；(2)现从A 组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为m ，n ，求|m －n|≤8的概率．[解析] (1)A 组学生的平均分为94＋88＋86＋80＋775＝85(分)，∴B 组学生平均分为86分，设被污损的分数为x ，由91＋93＋83＋x ＋755＝86，∴x ＝88，故B 组学生的分数分别为93,91,88,83,75，则在B 组学生随机选1人所得分超过85分的概率P ＝35.(2)A 组学生的分数分别是94,88,86,80,77，在A 组学生中随机抽取2名同学，其分数组成的基本事件(m ，n)有(94,88)，(94,86)，(94,80)，(94,77)，(88,86)，(88,80)，(88,77)，(86,80)，(86,77)，(80,77)共10个，随机抽取2名同学的分数m ，n 满足|m －n|≤8的事件有(94,88)，(94,86)，(88,86)，(88,80)，(86,80)，(80,77)共6个．故学生得分m ，n 满足|m －n|≤8的概率P ＝610＝35.(理)(2015²河北衡水中学一模)已知关于x 的一元二次函数f(x)＝ax 2－4bx ＋1. (1)若a ，b 分别表示将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次时第一次、第二次正面朝上出现的点数，求满足函数y ＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b)是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x>0，y>0内的随机点，求函数y ＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．[解析] (1)∵函数f(x)＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2b a.要使f(x)＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a>0且2b a ≤1，即2b≤a.基本事件共有36个；所求事件包含基本事件：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(6,3)．所求事件包含基本事件的个数是9 ∴所求事件的概率为P ＝936＝14.(2)由(1)知当且仅当2b≤ a 且a>0时，函数f(x)＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数．依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ a，b ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0a>0b>0，表示的三角形OAB ，其中，O(0,0)，A(8,0)，B(0,8)，构成所求事件的区域为三角形OAC 部分．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0b ＝a2得交点C 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫163，83.故所求事件的概率为P ＝12³8³8312³8³8＝13.13．(文)(2015²石家庄市一模)某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元．若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元，若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元．(1)若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：件，n ∈N )的函数解析式；(2)商店记录了50天该商品的日需求量n (单位：件)，整理得下表：若商店一天购进求当天的利润在区间[400,500]的概率．[解析] (1)当日需求量n ≥10时，利润为y ＝50³10＋(n －10)³30＝30n ＋200；当日需求量n <10时，利润为y ＝50³n －(10－n )³10＝60n －100 所以，y 关于日需求量n 函数关系式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧30n ＋200， n ≥10，n ∈N 60n －100， n <10，n ∈N.(2)50天内有9天获得的利润380元，有11天获得的利润为440元，有15天获得利润为500元，有10天获得的利润为530元，有5天获得的利润为560元．若利润在区间[400,550]时，日需求量为9件、10件、11件该商品，其对应的频数分别为11天、15天、10天．则利润区间[400,550]的概率为：p ＝11＋15＋1050＝1825.(理)(2014²东北三省四市联考)太阳岛公园引进了两种植物品种甲与乙，株数分别为18与12，这30株植物的株高编写成茎叶图如图所示(单位：cm)，若这两种植物株高在185cm 以上(包括185cm)定义为“优秀品种”，株高在185cm 以下(不包括185cm)定义为“非优秀品种”．(1)求乙品种的中位数；(2)在以上30株植物中，如果用分层抽样的方法从“优秀品种”和“非优秀品种”中抽取5株，再从这5株中选2株，那么至少有一株是“优秀品种”的概率是多少？(3)若从所有“优秀品种”中选3株，用X 表示3株中含甲类“优秀品种”的株数，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望．[解析] (1)乙的中间有两个数187和188，因此乙的中位数为187.5cm. (2)根据茎叶图知“优秀品种”有12株，“非优秀品种”有18株，用分层抽样的方法抽取，每株被抽中的概率是530＝16，故样本中“优秀品种”有12³16＝2(株)，“非优秀品种”有18³16＝3(株)．用事件A 表示“至少有一株‘优秀品种’被选中”，则P (A )＝1－C 23C 25＝1－310＝710，因此从5株植物中选2株，至少有一株“优秀品种”的概率是710.(3)依题意，一共有12株“优秀品种”，其中乙种植物有8株，甲种植物有4株，则X 的所有可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 38C 312＝1455；P (X ＝1)＝C 28C 14C 12＝2855；P (X ＝2)＝C 18C 24C 312＝1255；P (X ＝3)＝C 34C 312＝155.因此X 的分布列如下：所以E (X )＝0³1455＋1³55＋2³55＋3³55＝1.14．(文)某高中社团进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的称为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查分别得到如图1所示统计表和如图2所示的各年龄段人数频率分布直方图.请完成以下问题：(1)补全频率直方图，并求n ，a ，p 的值；(2)从[40,45)岁和[45,50)岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取6人参加网络时尚达人大赛，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队年龄在[40,45)岁的概率．[解析] (1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)³5＝0.3，所以高为0.35＝0.06.频率直方图如下：第一组的人数为1200.6＝200，频率为0.04³5＝0.2，所以n ＝2000.2＝1000，所以第二组的人数为1000³0.3＝300，p ＝195300＝0.65，第四组的频率为0.03³5＝0.15，第四组的人数为1000³0.15＝150，所以a ＝150³0.4＝60.(2)因为[40,45)岁与[45,50)岁年龄段的“时尚族”的比值为60 30＝2 1，所以采用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人．记a 1、a 2、a 3、a 4为[40,45)岁中抽得的4人，b 1、b 2为[45,50)岁中抽得的2人，全部可能的结果有：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)， (a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，a 4)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 4，b 1)，(a 4，b 2)，(b 1，b 2)，共15个，选取的两名领队都在[40,45)岁的有6种，所以所求概率为P ＝615＝25.(理)(2014²湖北七市联考)小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图如图所示．(1)根据图中的数据信息，写出众数x 0；(2)小明的父亲上班离家的时间y 在上午7 00至7 30之间，而送报人每天在x 0时刻前后半小时内把报纸送达(每个时间点送达的可能性相等)．①求小明的父亲在上班离家前能收到报纸(称为事件A )的概率；②求小明的父亲周一至周五在上班离家前能收到报纸的天数X 的数学期望． [解析] (1)x 0＝7 00.(2)①设报纸送达时间为x ，则小明父亲上班前能收到报纸等价于⎩⎪⎨⎪⎧6.5≤x ≤7.5，7≤y ≤7.5，x ≤y ，由图可知，所求概率为P ＝1－1812＝34.②X 服从二项分布B (5，34)，故E (X )＝5×34＝154(天)．。

(全国通用)2016高考数学二轮复习微专题强化练：全套专题(含答案)

【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题1 集合与常用逻辑用语一、选择题1．(文)(2014·新课标Ⅰ理，1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝( )A．[－2，－1] B．[－1,2)C．[－1,1] D．[1,2)[答案] A[解析] A＝{x|x≤－1或x≥3}，所以A∩B＝[－2，－1]，所以选A.(理)(2014·甘肃三诊)若A＝{x|2<2x<16，x∈Z}，B＝{x|x2－2x－3<0}，则A∩B中元素个数为( )A．0 B．1C．2 D．3[答案] B[解析] A＝{2,3}，B＝{x|－1<x<3}，∴A∩B＝{2}，故选B.[方法点拨] 1.用列举法给出具体集合，求交、并、补集时，直接依据定义求解．2．用描述法给出集合，解题时应先将集合具体化，再依据条件求解，例如方程、不等式的解集，应先解方程(不等式)求出集合，特别注意集合中的限制条件(如x∈Z)．3．解答集合间的包含与运算关系问题的思路：先正确理解各个集合的含义，弄清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的规律为：(1)若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)若给定的集合是点集，用数形结合法求解；(3)若给定的集合是抽象集合，常用V e nn图求解．2．(文)(2014·天津文，3)已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则¬p为( )A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1B．∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1C．∀x>0，总有(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤1[答案] B[解析] 由命题的否定只否定命题的结论及全称命题的否定为特称(存在性)命题，“>”的否定为“≤”知选B.(理)命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( ) A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数 B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数 C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数 D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数 [分析] 根据四种命题的关系判定． [答案] B[解析] “若p 则q ”的否命题为“若¬p 则¬q ”，故选B.3．(2015·天津理，1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩(∁U B )＝( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}[答案] A[解析] ∁U B ＝{2,5,8}，所以A ∩(∁U B )＝{2,5}，故选A.4．(文)已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝2x ，x ∈R }，则A ∩B 的元素数目为( )A ．0B ．1C ．2D ．无穷多[答案] C[解析] 函数y ＝2x与y ＝2x 的图象的交点有2个，故选C.(理)设全集U ＝R ，集合M ＝{x |y ＝3－2x }，N ＝{y |y ＝3－2x}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{x |32<x ≤3}B ．{x |32<x <3}C ．{x |32≤x <2}D ．{x |32<x <2}[答案] B[解析] M ＝{x |x ≤32}，N ＝{x |x <3}，∴阴影部分N ∩(∁U M )＝{x |x <3}∩{x |x >32}＝{x |32<x <3}．5．(文)(2014·邯郸一模)下列命题错误的是( )A．对于命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”B．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”C．若p∧q是假命题，则p、q均为假命题D．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件[答案] C[解析] p∧q是假命题时，p与q至少有一个为假命题，∴C错．[点评] 此类题目解答时，只要能选出符合题意的答案即可，因此若能快速找出答案可不必逐个判断．[方法点拨] 1.判定命题真假的方法：(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别真假．(2)四种命题真假的判断依据：一个命题和它的逆否命题同真假．(3)形如p∨q、p∧q、¬p命题真假根据真值表判定．(4)判定全称命题为真命题，必须考察所有情形，判断全称命题为假命题，只需举一反例；判断特称命题(存在性命题)真假，只要在限定集合中找到一个特例，使命题成立，则为真，否则为假．2．注意含逻辑联结词的命题的否定．3．设函数y＝f(x)(x∈A)的最大值为M，最小值为m，若∀x∈A，a≤f(x)恒成立，则a≤m；若∀x∈A，a≥f(x)恒成立，则a≥M；若∃x0∈A，使a≤f(x0)成立，则a≤M；若∃x0∈A，使a≥f(x0)成立，则a≥m.(理)(2015·安徽理，5)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行．．．与β平行的直线．．．，则在α内不存在D．若m，n不平行．．．垂直于同一平面．．．，则m与n不可能[答案] D[解析] 考查直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用．选项A中，α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A不正确；选项B 中，m，n平行于同一平面，则m，n可以平行、重合、相交、异面，故B不正确；选项C中，α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α∩β＝l时，在α平面中平行于交线l的直线；选项D中，其逆否命题为“若m与n垂直于同一平面，则m，n平行”是真命题，故D项正确．所以选D.6．(文)已知a、b、c都是实数，则命题“若a>b，则ac2>bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．4 B．2C．1 D．0[答案] B[分析] 解答本题要特别注意c2≥0，因此当c2＝0时，ac2>bc2是不成立的．[解析] a>b时，ac2>bc2不一定成立；ac2>bc2时，一定有a>b，即原命题为假，逆命题为真，故逆否命题为假，否命题为真，故选B.[点评] 原命题与其逆否命题同真同假，原命题与其逆(或否)命题无真假关系，原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假．[方法点拨] 1.要严格区分命题的否定与否命题．命题的否定只否定结论，否命题既否定条件，也否定结论．常见命题的否定形式有：2.(1)简单命题“若A则B”的否定．(2)含逻辑联结词的复合命题的否定．(3)含量词的命题的否定．3．解答复合命题的真假判断问题，先弄清命题的结构形式，再依据相关数学知识判断简单命题的真假，最后确定结论．(理)有下列四个命题：(1)若“xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；(2)“面积相等的三角形全等”的否命题；(3)“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；(4)“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为( )A．(1)(2) B．(2)(3)C．(4) D．(1)(2)(3)[答案] D[解析] (1)的逆命题：“若x 、y 互为倒数，则xy ＝1”是真命题；(2)的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；(3)的逆否命题：“若x 2－2x ＋m ＝0没有实数解，则m >1”是真命题；命题(4)是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．如A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{4,5}，显然A ⊆B 是错误的，故选D.7．(文)(2014·新课标Ⅱ文，3)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在，若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 [答案] C[解析] ∵x ＝x 0是f (x )的极值点，∴f ′(x )＝0，即q ⇒p ，而由f ′(x 0)＝0，不一定得到x 0是极值点，故p ⇒/ q ，故选C.(理)已知：p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)·(x －m －1)≤0，若¬p 是¬q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为( )A ．[2,4]B ．(－∞，4)∪(2，＋∞)C ．[1,5]D ．(－∞，0)∪(6，＋∞) [答案] A[解析] 由|x －3|≤2得，1≤x ≤5；由(x －m ＋1)·(x －m －1)≤0得，m －1≤x ≤m ＋1. ∵¬p 是¬q 的充分不必要条件， ∴q 是p 的充分不必要条件， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1≤5，∴2≤m ≤4.[方法点拨] 1.要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．2．要注意转化：如果p 是q 的充分不必要条件，那么¬p 是¬q 的必要不充分条件．同理，如果p 是q 的必要不充分条件，那么¬p 是¬q 的充分不必要条件；如果p 是q 的充要条件，那么¬p 是¬q 的充要条件．3．命题p 与q 的真假都与m 的取值范围有关，使命题p 成立的m 的取值范围是A ，使命题q 成立的m 的取值范围是B ，则“p ⇒q ”⇔“A ⊆B ”．8．(2015·安徽理，3)设p ：1＜x ＜2，q ：2x＞1，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 考查指数运算与充要条件的概念．由q ：2x>20，解得x >0，易知，p 能推出q ，但q 不能推出p ，故p 是q 成立的充分不必要条件，选A.9．(文)(2015·青岛市质检)设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若m ∥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥βB ．若m ∥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α∥βC ．若m ∥α，n ⊥β，m ∥n ，则α⊥βD ．若m ∥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β [答案] C[解析] 当m ∥α，n ⊥β，m ⊥n 时，α，β可能垂直，也可能平行，故选项A ，B 错误；如图所示，由m ∥n ，得m ，n 确定一个平面γ，设平面γ交平面α于直线l ，因为m ∥α，所以m ∥l ，l ∥n ，又n ⊥β，所以l ⊥β，又l ⊂α，所以α⊥β，故选项C 正确，D 错误，故选C.(理)(2015·潍坊市模拟)已知命题p ：∀x >0，x ＋4x≥4；命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，2x 0＝12.则下列判断正确的是( ) A ．p 是假命题 B ．q 是真命题 C ．p ∧(¬q )是真命题 D ．(¬p )∧q 是真命题 [答案] C[解析] 因为当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时等号成立，所以p 是真命题，当x >0时，2x>1，所以q 是假命题，所以p ∧(¬q )是真命题，(¬p )∧q 是假命题．10．(文)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，定义集合A ×B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y∈B}，则集合A×B中属于集合{(x，y)|log x y∈N}的元素个数是( )A．3 B．4C．8 D．9[答案] B[解析] 用列举法求解．由给出的定义得A×B＝{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)}．其中log22＝1，log24＝2，log28＝3，log44＝1，因此，一共有4个元素，故选B.(理)设S是实数集R的非空子集，如果∀a、b∈S，有a＋b∈S，a－b∈S，则称S是一个“和谐集”．下面命题中假命题是( )A．存在有限集S，S是一个“和谐集”B．对任意无理数a，集合{x|x＝ka，k∈Z}都是“和谐集”C．若S1≠S2，且S1、S2均是“和谐集”，则S1∩S2≠∅D．对任意两个“和谐集”S1、S2，若S1≠R，S2≠R，则S1∪S2＝R[答案] D[分析] 利用“和谐集”的定义一一判断即可．[解析] 对于A，如S＝{0}，显然该集合满足：0＋0＝0∈S,0－0＝0∈S，因此A正确；对于B，设任意x1∈{x|x＝ka，k∈Z}，x2∈{x|x＝ka，k∈Z}，则存在k1∈Z，k2∈Z，使得x1＝k1a，x2＝k2a，x1＋x2＝(k1＋k2)a∈{x|x＝ka，k∈Z}，x1－x2＝(k1－k2)·a∈{x|x＝ka，k∈Z}，因此对任意无理数a，集合{x|x＝ka，k∈Z}都是“和谐集”，B正确；对于C，依题意，当S1、S2均是“和谐集”时，若a∈S1，则有a－a∈S1，即0∈S1，同理0∈S2，此时S1∩S2≠∅，C正确；对于D，如取S1＝{0}≠R，S2＝{x|x＝2k，k∈Z}≠R，易知集合S1、S2均是“和谐集”，此时S1∪S2≠R，D不正确．[方法点拨] 求解集合中的新定义问题，主要抓两点：一是紧扣新定义将所叙述问题等价转化为已知数学问题，二是用好集合的概念、关系与性质．11．(文)(2015·陕西理，6)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 充分性：sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝0，所以充分性成立；必要性：cos 2α＝0⇒(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝0⇒sin α＝±cos α，必要性不成立；所以是充分不必要条件．故本题正确答案为A.(理)(2015·四川理，8)设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 若3a >3b>3，则a >b >1，从而有log a 3<log b 3，故为充分条件．若log a 3<log b 3不一定有a >b >1，比如a ＝13，b ＝3，从而3a >3b>3不成立．故选B.12．(文)设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 菱形的对角线互相垂直，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．故选A. (理)已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：x >a ，且¬p 是¬q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．a ≥1B ．a ≤1C ．a ≥－1D ．a ≤－3 [答案] A[解析] 条件p ：x >1或x <－3，所以¬p ：－3≤x ≤1；条件q ：x >a ，所以¬q ：x ≤a ，由于¬p 是¬q 的充分不必要条件，所以a ≥1，故选A. 13．(文)(2014·重庆理，6)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(¬p )∧(¬q ) C ．(¬p )∧q D ．p ∧(¬q )[答案] D[解析] 命题p 是真命题，命题q 是假命题，所以选项D 正确．判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断．(理)已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2＋1≥1”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋1≤1”；命题q ：在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充分条件，则下列命题是真命题的是( )A ．p 且qB ．p 或¬qC ．¬p 且¬qD ．p 或q[答案] D[解析] p为假命题，q为真命题，∴p且q为假命题，p或¬q为假命题，¬p且¬q为假命题，p或q为真命题．14．(2014·陕西理，8)原命题为“若z1、z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假[答案] B[解析] 若z1＝a＋b i，则z2＝a－b i.∴|z1|＝|z2|，故原命题正确、逆否命题正确．其逆命题为：若|z1|＝|z2|，则z1、z2互为共轭复数，若z1＝a＋b i，z2＝－a＋b i，则|z1|＝|z2|，而z1、z2不为共轭复数．∴逆命题为假，否命题也为假．15．(文)设a、b、c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( )A．p∨q B．p∧qC．(¬p)∧(¬q) D．p∨(¬q)[答案] A[解析] 取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)知，a·b＝0，b·c＝0，但a·c≠0，∴命题p为假命题；∵a∥b，b∥c，∴∃λ，μ∈R，使a＝λb，b＝μc，∴a＝λμc，∴a∥c，∴命题q是真命题．∴p∨q为真命题．(理)已知命题p：“∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是( ) A．(0,1) B．(0,2)C．(2,3) D．(2,4)[答案] A[解析] 由p为假命题知，∀x∈R，x2＋2ax＋a>0恒成立，∴Δ＝4a2－4a<0，∴0<a<1，故选A.16．(文)在R上定义运算⊗：x⊗y＝x2－y，若关于x的不等式(x－a)⊗(x＋1－a)>0的解集是集合{x|－2≤x≤2}的子集，则实数a的取值范围是( )A．－2≤a≤2B．－1≤a≤1C．－2≤a≤1D．1≤a≤2[答案] C[解析] 因为(x －a )⊗(x ＋1－a )>0，所以x －a1＋a －x>0，即a <x <a ＋1，则a ≥－2且a ＋1≤2，即－2≤a ≤1.(理)下列命题正确的个数是( )①“在三角形ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ”的逆命题是真命题；②命题p ：x ≠2或y ≠3，命题q ：x ＋y ≠5则p 是q 的必要不充分条件；③“∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”；④若随机变量x ～B (n ，p )，则D (X )＝np .⑤回归分析中，回归方程可以是非线性方程．A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] 在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 为△ABC 外接圆半径)．∴①为真命题；∵x ＝2且y ＝3时，x ＋y ＝5成立，x ＋y ＝5时，x ＝2且y ＝3不成立，∴“x ＋y ＝5”是“x ＝2且y ＝3”的必要不充分条件，从而“x ≠2或y ≠3”是“x ＋y ≠5”的必要不充分条件，∴②为真命题；∵全称命题的否定是特称命题， ∴③为假命题；由二项分布的方差知④为假命题． ⑤显然为真命题，故选C. 二、填空题17．(文)设p ：关于x 的不等式a x>1的解集为{x |x <0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则a 的取值范围是________．[答案] (0，12]∪[1，＋∞)[解析] p 真时，0<a <1；q 真时，ax 2－x ＋a >0对x ∈R 恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a 2<0，即a >12.若p ∨q 为真，p ∧q 为假，则p 、q 应一真一假：①当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≤12⇒0<a ≤12；②当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1，a >12⇒a ≥1.综上，a ∈(0，12]∪[1，＋∞)．(理)(2015·青岛市质检)设X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ＝{a ，b ，c }，对于下面给出的四个集合τ： ①τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}； ②τ＝{∅，{b }，{c }，{b ，c }，{a ，b ，c }}； ③τ＝{∅，{a }，{a ，b }，{a ，c }}；④τ＝{∅，{a ，c }，{b ，c }，{c }，{a ，b ，c }}；其中是集合X 上的一个拓扑的集合τ的所有序号是________． [答案] ②④[分析] 按集合τ的定义逐条验证．[解析] ①τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}，因为{a }∪{c }＝{a ，c }∉τ，故①不是集合X 上的一个拓扑；②满足集合X 上的一个拓扑的集合τ的定义；③因为{a ，b }∪{a ，c }＝{a ，b ，c }∉τ，故③不是集合X 上的一个拓扑；④满足集合X 上的一个拓扑的集合τ的定义，故答案为②④.18．(文)(2015·郑州第二次质量检测)下列说法： ①“∃x ∈R,2x >3”的否定是“∀x ∈R,2x≤3”； ②函数y ＝sin(2x ＋π3)sin(π6－2x )的最小正周期是π；③命题“函数f (x )在x ＝x 0处有极值，则f ′(x 0)＝0”的否命题是真命题；④f (x )是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，x >0时的解析式是f (x )＝2x，则x <0时的解析式为f (x )＝－2－x.其中正确的说法是________． [答案] ①④[解析] ①对，特称(存在性)命题的否定为全称命题；②错，因为化简已知函数得y ＝sin(2x ＋π3)sin(π6－2x )＝sin(2x ＋π3)·sin[π2－(2x ＋π3)]＝sin(2x ＋π3)cos(2x ＋π3)＝12sin(4x ＋2π3)，故其周期应为2π4＝π2；③错，因为原命题的逆命题“若f ′(x 0)＝0，则函数f (x )在x ＝x 0处有极值”为假命题，由逆命题、否命题同真假知否命题为假命题；④对，设x <0，则－x >0，故有f (－x )＝2－x＝－f (x )，解得f (x )＝－2－x.综上可知只有命题①④正确．[易错分析] 命题③真假的判断容易出错，导函数值为0的点不一定是极值点，这一点可以通过特例进行判断，如f (x )＝x 3等函数．(理)(2015·山东临沂二模)给出下列四个结论： ①“若am 2<bm 2，则a 0且a ≠0)的图象必过点(0,1)；④已知ξ服从正态分布N (0，σ2)，且P (－2≤ξ≤0)＝0.4，则P (ξ>2)＝0.2. 其中正确结论的序号是________(填上所有正确结论的序号)． [答案] ②③[解析] ①错，因为逆命题为“若a 4却不满足x ≥2或y ≥2，根据充分条件和必要条件的定义判断可知②正确(也可以转化为其等价的逆否命题来判断)；当x ＝0时，y ＝log a 1＋1＝1，所以恒过定点(0,1)(也可由y ＝log a x 的图象恒过定点(1,0)，将图象左移1个单位，然后向上平移1个单位，故图象恒过(0,1)点)，所以③正确；根据正态分布的对称性可知P (－2≤ξ≤0)＝P (0≤ξ≤2)，P (ξ>2)＝P (ξ<－2)，所以P (ξ>2)＝1－2P －2≤ξ2＝1－0.82＝0.1，所以④错误，综上正确的结论有②③. [易错分析] 填空题中此类开放题型出错率较高，必须正确判断每一个命题的真假.【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题2 函数的概念、图象与性质一、选择题1．(文)(2014·新课标Ⅰ文，5)设函数f (x )，g (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数 [答案] C[解析] 本题考查函数的奇偶性．由f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，得f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )．∴f (x )·g (x )是奇函数，|f (x )|g (x )是偶函数，f (x )|g (x )|是奇函数，|f (x )g (x )|是偶函数，选C.[方法点拨] 函数奇偶性判定方法：紧扣函数奇偶性的定义和函数的定义域关于坐标原点对称、函数图象的对称性等对问题进行分析转化，特别注意“奇函数若在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0，偶函数一定有f (|x |)＝f (x )”在解题中的应用．(理)(2015·安徽理，2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x D ．y ＝x 2＋1[答案] A[解析] 考查函数的奇偶性和函数零点的概念．由选项可知，B ，C 项均不是偶函数，故排除B ，C ；A ，D 项是偶函数，但D 项与x 轴没有交点，即D 项的函数不存在零点，故选A.2．(文)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1][答案] A[解析] 本题考查了定义域的求法．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x≤1，x >－3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x >－3，∴－3<x ≤0，∴f (x )定义域为(－3,0]． (理)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)[答案] C[解析] 本题考查函数定义域的求法．由题设得x 2－x >0，解得x <0或x >1，选C.[方法点拨] 1.求解函数的定义域一般应遵循以下原则：①f (x )是整式时，定义域是全体实数；②f (x )是分式时，定义域是使分母不为零的一切实数；③f (x )为偶次根式时，定义域是使被开方数为非负值时的实数的集合；④对数函数的真数大于零，且当对数函数或指数函数的底数中含变量时，底数需大于0且不等于1；⑤零指数幂的底数不能为零；⑥若f (x )是由有限个基本初等函数运算合成的函数，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集；⑦对于求复合函数定义域的问题，一般步骤是：若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f [g (x )]的定义域应由不等式a ≤g (x )≤b 解出；⑧对于含字母参数的函数求其定义域，根据具体情况需对字母参数进行分类讨论；⑨由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．2．高考中常将指数函数、对数函数与二次函数或幂函数(例如分式函数、含偶次方根的函数)等结合起来考查，这时一般应从外到内逐层剥离解决．例如，y ＝12－log 3x，从总体上看是分式，故先由分母不为0得到2－log 3x ≠0，再由偶次方根下非负得到2－log 3x >0，即log 3x <2，最后由对数函数单调性及对数函数定义域得到0<x <9.3．(2015·山东理，10)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1.)则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)[答案] C[解析] 当a ≥1时，f (a )＝2a＞1， ∴f (f (a ))＝2f (a )，当a ＜1时，f (a )＝3a －1，若f (f (a ))＝2f (a )，则f (a )≥1，即3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a ＜1，综上a ≥23.∴选C.[方法点拨] 1.分段函数求值或解不等式时，一定要依据条件分清利用哪一段求解，对于具有周期性的函数要用好其周期性．2．形如f (g (x ))的函数求值应遵循先内后外的原则． 4．(2015·湖北理，6)已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a ＞1)，则( )A ．sgn [g (x )]＝sgn xB ．sgn [g (x )]＝sgn [f (x )]C ．sgn [g (x )]＝－sgn xD ．sgn [g (x )]＝－sgn [f (x )] [答案] C[解析] 考查新定义问题及函数单调性的应用．因为f (x )是R 上的增函数，a ＞1，所以当x ＞0时，ax ＞x ，f (x )＜f (ax )，g (x )＜0；x ＝0时，ax ＝x ，f (x )＝f (ax )＝f (0)，g (0)＝0；x ＜0时，ax ＜x ，f (x )＞f (ax )，g (x )＞0.因此sgn[g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ＞0，0，x ＝0，1，x ＜0.所以sgn[g (x )]＝－sgn x .故本题正确答案为C.5．(文)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )[答案] A[解析] ∵f (－x )＝ln[(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )，∴f (x )是偶函数，排除C.∵x 2＋1≥1，则ln(x 2＋1)≥0，且当x ＝0时f (0)＝0，所以排除B 、D ，选A.(理)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1，x ≤0ln x ， x ＞0，则当k >0时，函数y ＝f [f (x )]＋1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] D[解析] 结合图象分析．当k >0时，f [f (x )]＝－1，则f (x )＝t 1∈(－∞，－1k)或f (x )＝t 2∈(0,1)．对于f (x )＝t 1，存在两个零点x 1、x 2；对于f (x )＝t 2，存在两个零点x 3、x 4，共存在4个零点，故选D.6．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)[答案] D[解析] 本题考查复合函数的单调性，f (x )＝log 12(x 2－4)由y ＝log 12u 及u ＝x 2－4复合而成，y ＝log 12u 在定义域内为减函数，而u ＝x 2－4在(－∞，－2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，所以f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间(－∞，－2)，选D.7．(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧8x －8，x ≤1，0，x >1，g (x )＝log 2x ，则f (x )与g (x )两函数图象的交点个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] C[解析] 画出两函数的图象知，当0<x <1时，有一个交点，又f (1)＝g (1)＝0；当x >1时，f (x )＝0<g (x )恒成立，故选C.(理)函数f (x )＝log 12cos x (－π2<x <π2)的图象大致是( )[答案] C[解析] 解法1：由奇偶性定义易知函数为偶函数，故其图象关于y 轴对称，排除A ，B ；又x ∈[0，π2]时，cos x ∈(0,1]，f (x )＝log 12cos x >0，排除D ，故选C.解法2：利用复合函数单调性的判断方法，由于u ＝cos x 在区间(－π2，0)、(0，π2)上分别为增函数和减函数，而y ＝log 12u 为减函数，故复合函数f (x )＝log 12cos x 在区间(－π2，0)、(0，π2)上分别为减函数和增函数，故选C.8．(文)如果我们定义一种运算：g ⊗h ＝⎩⎪⎨⎪⎧gg ≥h ，hg <h ，已知函数f (x )＝2x⊗1，那么函数f (x －1)的大致图象是( )[答案] B[解析] 由定义知，当x ≥0时，2x≥1，∴f (x )＝2x，当x <0时，2x<1，∴f (x )＝1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ，x，其图象易作，f (x －1)的图象可由f (x )的图象向右平移1个单位得到，故选B.[方法点拨] 1.新定义题型要准确理解把握新定义的含义，发掘出其隐含条件． 2．恒成立问题要注意恒成立的临界点及特值法应用． 3．分段函数的单调性和最值问题，一般是在各段上分别讨论． (理)定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝a －b2，则函数f (x )＝2⊕xx ⊗－2为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又为偶函数D ．非奇函数且非偶函数[答案] A[解析] 本题考查对新运算的理解和应用以及函数奇偶性的判断方法，难度中等．根据所给的运算定义得函数f (x )＝2⊕x x ⊗－2＝4－x2|x －2|－2，求出函数的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称，且x －2≤0，所以函数f (x )＝4－x2|x －2|－2＝4－x2－x －2＝4－x2－x，易知f (－x )＝－f (x )，所以原函数为奇函数，故选A. [易错分析] 本题中常见错误是不化简函数的解析式而直接将－x 代入，导致选择错误答案D.9．(文)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2－x ，x <0f x －，x ≥0，则f (2013)等于( )A ．－1B ．2C ．0D ．1[答案] D[解析] ∵2013＝403×5－2，∴f (2013)＝f (－2)＝log 22＝1.(理)(2014·湖南理，3)已知f (x )、g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[答案] C[解析] 本题考查函数的奇偶性．分别令x ＝1和x ＝－1可得f (1)－g (1)＝3且f (－1)－g (－1)＝1⇒f (1)＋g (1)＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧f－g ＝3，f ＋g＝1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧f＝2，g ＝－1.⇒f (1)＋g (1)＝1，故选C.10．(2015·浙江嘉兴测试一)偶函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，若不等式f (ax －1)<f (2＋x 2)恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－23，2)B ．(－2,2)C ．(－23，23)D ．(－2,23)[答案] B[解析] 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，如何利用单调性构造不等式是解答本题的关键所在，难度中等．由于函数为偶函数，故f (ax －1)＝f (|ax －1|)，因此f (ax －1)<f (2＋x 2)⇔f (|ax －1|)<f (2＋x 2)，据已知单调性可得f (|ax －1|)<f (2＋x 2)⇔|ax －1|<2＋x 2，据题意可得不等式|ax －1|<2＋x 2恒成立，即－(2＋x 2)<ax －1<2＋x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋3>0，x 2＋ax ＋1>0恒成立，据二次函数知识可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－12<0，a 2－4<0，解得－2<a <2，故选B.[易错分析] 考生多因为分类讨论而使解答过程复杂化，且讨论过程出错率也较高．利用整体思想将偶函数的条件拓展，利用整体性思想解决问题可以回避分类讨论的过程．11．(文)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间(1,2)上都是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1][答案] D[解析] 由f (x )在(1,2)上为减函数得a ≤1；由g (x )＝ax ＋1在(1,2)上为减函数得a >0，∴0<a ≤1.(理)函数f (x )＝(12)－x 2＋2mx －m 2－1的单调增区间与值域相同，则实数m 的取值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1[答案] B[解析] ∵－x 2＋2mx －m 2－1＝－(x －m )2－1≤－1， ∴(12)－x 2＋2mx －m 2－1≥2， ∴f (x )的值域为[2，＋∞)，∵y ＝(12)x 单调递减，y ＝－(x －m )2－1的单调减区间为[m ，＋∞)，∴f (x )的单调增区间为[m ，＋∞)．由条件知m ＝2.[方法点拨] 函数单调性判定方法一是紧扣定义；二是充分利用函数的奇偶性、函数的周期性和函数图象的直观性进行分析转化．函数的单调性往往与不等式的解、方程的解等问题交汇，要注意这些知识的综合运用．三是利用导数研究．对于选择、填空题若能画出图象一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数用导数法；对于抽象函数一般用定义法．12．(2015·浙江宁波期末)设函数y ＝f (x )是定义在R 上以1为周期的函数，若g (x )＝f (x )－2x 在区间[2,3]上的值域为[－2,6]，则函数g (x )在[－2012,2012]上的值域为( )A ．[－2,6]B ．[－4030,4024]C ．[－4020,4034]D ．[－4028,4016][答案] C[解析] 本题考查函数性质与归纳推理的应用，考查对抽象函数的理解和应用，难度较大．求出几个区间的值域，再进行归纳推理．当x ∈[3,4]时，x －1∈[2,3]，g (x －1)＝f (x －1)－2(x －1)，且g (x －1)∈[－2,6]，又f (x )的周期为1，所以f (x )－2x ＝f (x －1)－2x ＝g (x －1)－2∈[－4,4]，所以g (x )在[2,4]内的值域为[－4,6]．同理，当x ∈[4,5]时，g (x )的值域是[－6,2]，所以g (x )在[2,5]内的值域为[－6,6]，…，g (x )在[2,2012]内的值域为[－4020,6]．g (x )在[1,2]内的值域为[0,8]，g (x )在[1,2012]内的值域为[－4020,8]，…，所以g (x )在[－2012,2012]内的值域为[－4020,4034]，故选C.[易错分析] 抽象函数值域的求解是一个难点，尤其是与年份相关的周期函数的值域问题，难度更大．利用函数的周期性及整体思想将函数进行变换，使函数g (x )能够特殊化，从而归纳得出结论．13．(文)已知f (x ＋1)为偶函数，且f (x )在区间(1，＋∞)上单调递减，a ＝f (2)、b ＝f (log 32)、c ＝f (12)，则有 ( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．a <c <b[答案] D[解析] ∵f (x ＋1)为偶函数，∴其图象关于y 轴对称， ∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又∵函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减， ∴函数f (x )在(－∞，1)上单调递增， ∵f (2)＝f (0)，且0<12<log 32，∴f (2)<f (12)<f (log 32)，∴a <c <b .(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2－x ＋1，－1≤x <k x 5－3x ＋2，k ≤x ≤a，若存在k 使得函数f (x )的值域是[0,2]，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．[12，3]C ．(0，3]D ．{2}[答案] B[解析] 当a ＝2时，f (x )＝x 5－3x ＋2，k ≤x ≤2，f (2)＝28不合题意，∴a ≠2，排除A 、D ；当a ＝13时，∵k ≤x ≤a ，∴k ≤13 ，当k ＝13时，－1≤x <13，23<1－x ≤2，∴log 223<log 2(1－x )≤1，又log 223<0，∴不合题意，排除C ，故选B.二、填空题14．(文)设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－1，23)[解析] f (x ＋3)＝f (x )，f (－x )＝－f (x )，得f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝－f (1)，又f (1)>1，所以f (2)<－1，即2a －3a ＋1<－1，解得－1<a <23. (理)设M 是由满足下列性质的函数f (x )构成的集合：在定义域内存在x 0，使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立．已知下列函数：①f (x )＝1x；②f (x )＝2x ；③f (x )＝lg(x 2＋2)；④f (x )＝cos πx .其中属于集合M 的函数是________(写出所有满足要求的函数的序号)．[答案] ②④ [解析] 对于①，方程1x ＋1＝1x＋1，显然无实数解；对于②，由方程2x ＋1＝2x＋2，解得x ＝1；对于③，方程lg[(x ＋1)2＋2]＝lg(x 2＋2)＋lg3，也无实数解；对于④，方程cos[π(x ＋1)]＝cos πx ＋cos π，即cos πx ＝12，显然存在x 使等式成立，故填②④.15．如图所示，f (x )是定义在区间[－c ，c ](c >0)上的奇函数，令g (x )＝af (x )＋b ，并有关于函数g (x )的四个论断：①若a >0，对于[－1,1]内的任意实数m 、n (m <n )，g n －g mn －m>0恒成立；②函数g (x )是奇函数的充要条件是b ＝0； ③∀a ∈R ，g (x )的导函数g ′(x )有两个零点； ④若a ≥1，b <0，则方程g (x )＝0必有3个实数根；其中所有正确结论的序号是________． [答案] ①②③[解析] ①∵g (x )＝af (x )＋b ，∴g n －g m n －m ＝a [f n －f mn －m，由图知对于f (x )在[－1,1]上任意两点A (m ，f (m ))，B (n ，f (n ))，有k AB ＝f n －f mn －m>0，又a >0，∴g n －g mn －m>0恒成立，故①正确；②g (x )为奇函数⇔g (－x )＝－g (x )⇔af (－x )＋b ＝－af (x )－b ⇔2b ＝－a [f (－x )＋f (x )]，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0，故g (x )为奇函数⇔b ＝0，故②正确；③g ′(x )＝af ′(x )，由图知f (x )在[－c ，c ]上减、增、减，∴f ′(x )在[－c ，c ]上取值为负、正、负，从而当a ≠0时，g ′(x )＝0在[－c ，c ]上与x 轴必有两个交点，又a ＝0时，g ′(x )＝0在[－c ，c ]上恒成立，∴∀a ∈R ，g ′(x )在[－c ，c ]上有两个零点，故③正确；④取a ＝1，b ＝－5，则g (x )＝f (x )－5与x 轴无交点，∴方程g (x )＝0无实根，∴④错误．三、解答题16．已知函数f (x )的定义域为R ，对任意的实数x 、y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋12，且f (12)＝0，当x >12时，f (x )>0.(1)求f (1)；(2)判断f (x )的增减性并证明．[解析] (1)令x ＝y ＝12，得f (1)＝f (12)＋f (12)＋12＝12.(2)f (x )为增函数，证明：任取x 1、x 2∈R ，且x 2>x 1，Δx ＝x 2－x 1>0，则：Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝f (Δx )＋f (x 1)＋12－f (x 1)＝f (Δx )＋12＝f (Δx )＋f (12)＋12＝f (Δx ＋12)，又∵Δx >0，∴Δx ＋12>12，∴f (Δx ＋12)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在R 上是增函数．[方法点拨] 抽象函数的求值与性质讨论，常结合条件式通过赋值转化解决，赋值时要紧扣目标进行．如判断奇偶性要创设条件产生f (－x )与f (x )的关系式；判断单调性，则要在设出x 1<x 2的条件下，构造产生f (x 1)－f (x 2)(或f x 1f x 2)，朝着可判断正负(或可与1比较。

【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题25 审题技能训练课件

[ 解析 ]
(1) 由频率分布直方图可知： (0.004 ＋ a ＋ 0.018 ＋
0.022×2＋0.028)×10＝1，解得a＝0.006. (2) 由频率分布直方图可知，评分不低于 80 分的频率为
(0.022 ＋ 0.018)×10 ＝ 0.4 ，所以评分不低于 80 分的概率的估计
值为0.4.
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．
[立意与点拨]
考查频率分布直方图与古典概型，运算求
解能力、数据处理能力和逻辑思维能力；解答本题一要抓住频率分布直方图的性质；二要明确可用频率估计概率；三要会用列举法计数基本事件．
住“三位递增数”的含义；二要注意“将三位数字之积”被 5(或10)整除合理转化．
[解析] (1)个位数是 5 的“三位递增数”有 125,135,145, 235,245,345； (2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为 C3 9＝84，随机变量 X 的取值为：0，－1,1，因此
C3 2 8 P(X＝0)＝C3＝3， 9 C2 1 4 P(X＝－1)＝C3＝14， 9 1 2 11 P(X＝1)＝1－14－3＝42. 所以 X 的分布列为 X P 0 2 3 －1 1 14 1 11 42
[警示]
一熟记基础知识；二是注重基本方法的掌握与训
练；三是注意掌握证明否定性命题的一般方法，特别是寻找矛盾的一般规律．
(理)(2015·北京东城练习)对于数列{an}(n＝1,2，„，m)，
令bk为a1，a2，„，ak中的最大值，称数列{bn}为{an}的“创新
数列 ” ．例如数列 2,1,3,7,5 的创新数列为 2,2,3,7,7. 定义数列 {cn}：c1，c2，c3，„，cm是自然数1,2,3，„，m(m>3)的一个排

【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题17 推理与证明(含解析)

【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题17 推理与证明（含解析）一、选择题1．(文)将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是( )第第第第第一二三四五列列列列列1 3 5 715 13 11 917 19 21 2331 29 27 25…A．第一列B．第二列C．第三列D．第四列[答案] D[解析]正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列．(理)(2014·广州市综合测试)将正偶数2,4,6,8，…按下表的方式进行排列，记a ij表示第i行第j列的数，若a ij＝2014，则i＋j的值为( )A．C．254 D．253[答案] C[解析]依题意，注意到题中的数表中，奇数行空置第1列，偶数行空置第5列；且自左向右，奇数行的数字由小到大排列，偶数行的数字由大到小排列；2014是数列{2n}的第1007项，且1007＝4×251＋3，因此2014位于题中的数表的第252行第2列，于是有i＋j ＝252＋2＝254，故选C．[方法点拨] 归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这样性质的推理，叫做归纳推理，归纳是由特殊到一般的推理．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，使其具有统一的表现形式，便于观察发现其规律，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．2．(2015·广东文，6)若直线l 1与l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交[答案] D[解析] 考查空间点、线、面的位置关系．若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，假如l 与l 1、l 2都不相交，则l ∥l 1，l ∥l 2，∴l 1∥l 2，与l 1、l 2异面矛盾，因此l 至少与l 1，l 2中的一条相交，故选D ．[方法点拨] 演绎推理根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理叫做演绎推理．演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理．(1)演绎推理的特点当前提为真时，结论必然为真． (2)演绎推理的一般模式——“三段论” ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． 3．(文)若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn)也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，则数列{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n[答案] D[解析] 通过审题观察，对比分析得到：[方法点拨] 类比推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理叫做类比推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．进行类比推理时，要抓住类比对象之间相似的性质，如等差数列的和对应的可能是等比数列的和，更可能是等比数列的积，再结合其他要求进一步确定类比项．(理)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，利用倒序求和的方法，可将S n 表示成首项a 1、末项a n 与项数n 的一个关系式，即公式S n ＝n a 1＋a n2；类似地，记等比数列{b n }的前n 项积为T n ，且b n >0(n ∈N *)，试类比等差数列求和的方法，可将T n 表示成首项b 1、末项b n 与项数n 的一个关系式，即公式T n ＝( )A ．n b 1＋b n2B ． b 1＋b nn2C ．n b 1b nD ．(b 1b n )n2[答案] D[解析] 利用等比数列的性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则b m ·b n ＝b p ·b q ，利用倒序求积方法有⎩⎪⎨⎪⎧T n ＝b 1b 2·…·b n ，T n ＝b n b n －1·…·b 1，两式相乘得T 2n ＝(b 1b n )n，即T n ＝(b 1b n )n2.4．观察下图：1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10…………则第( )行的各数之和等于20112.( ) A ．2010 B ．2009 C ．1006 D ．1005[答案] C[解析] 由题设图知，第一行各数和为1；第二行各数和为9＝32；第三行各数和为25＝52；第四行各数和为49＝72；…，∴第n 行各数和为(2n －1)2，令2n －1＝2011，解得n ＝1006.[点评] 观察可见，第1行有1个数，第2行从2开始有3个数，第3行从3开始有5个数，第4行从4开始有7个数，…，第n 行从n 开始，有2n －1个数，因此第n 行各数的和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝ 2n －1 [n ＋ 3n －2 ]2＝(2n －1)2.5．已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是( )A ．正四面体的内切球的半径是其高的12B ．正四面体的内切球的半径是其高的13C ．正四面体的内切球的半径是其高的14D ．正四面体的内切球的半径是其高的15[答案] C[解析] 原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h ，类比问题的解法应为等体积法，V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是其高的14，所以应选C ．6．(文)用反证法证明命题“设a 、b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 [答案] A[解析] 至少有一个实根的否定为：没有实根．(理)①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2，②已知a 、b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下结论正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确 [答案] D[解析] 反证法的实质是命题的等价性，因为命题p 与命题的否定¬p 真假相对，故直接证明困难时，可用反证法．故选D ．[方法点拨] 1.反证法的定义一般地，由证明p ⇒q 转向证明：綈q ⇒r ⇒…⇒t ，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判断綈q 为假，推出q 为真的方法，叫做反证法．2．反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或与公认的简单事实等矛盾．7．(文)在平面直角坐标系中，设△ABC 的顶点分别为A (0，a )、B (b,0)、C (c,0)，点P (0，p )在线段AO 上(异于端点)，设a 、b 、c 、p 均为非零实数，直线BP 、CP 分别交AC 、AB 于点E 、F ，一同学已正确算出OE 的方程：(1b －1c )x ＋(1p －1a)y ＝0，则OF 的方程为：(________)x ＋(1p －1a)y ＝0.( )A ．1b －1cB ．1a －1bC ．1c －1bD ．1c －1a[答案] C[分析] 观察E ，F 两点可以发现，E 、F 两点的特征类似，E 是BP 与AC 的交点，F 是CP 与AB 的交点，故直线OE 与OF 的方程应具有类似的特征，而y 的系数相同，故只有x 的系数满足某种“对称性”，据此可作猜测．[解析] 方法1：类比法E 在AC 上，OE 的方程为(1b －1c )x ＋(1p －1a)y ＝0.F 在AB 上，它们的区别在于B 、C 互换．因而OF 的方程应为 (1c －1b )x ＋(1p －1a)y ＝0.∴括号内应填：1c －1b.方法2：画草图如右，由对称性可猜想填1c －1b.事实上，由截距式可得直线AB ：x b ＋y a＝1，直线AP ：x c ＋y p＝1，两式相减得(1c －1b)x＋(1p －1a)y ＝0，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．[方法点拨] 类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质．在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后仿照推导类比对象的性质．(理)在Rt △ABC 中，CA ⊥CB ，斜边AB 上的高为h 1，则1h 21＝1CA 2＋1CB2；类比此性质，如图，在四面体P －ABC 中，若PA 、PB 、PC 两两垂直，底面ABC 上的高为h ，则得到的正确结论为( )A ．1h 2＝1AB 2＋1AC 2＋1BC2B ．h 2＝PA 2＋PB 2＋PC 2C ．1h 3＝1AB 3＋1AC 3＋1BC3D ．1h 2＝1PA 2＋1PB 2＋1PC2[答案] D[解析] 本题考查了合情推理的能力．连接CO 并延长交AB 于点D ，连接PD ，由已知可得PC ⊥PD ，在直角三角形PDC 中，DC ·h ＝PD ·PC ，则PD 2＋PC 2·h ＝PD ·PC ，所以1h 2＝PD 2＋PC 2PD 2·PC 2＝1PC2＋1PD 2.容易知道AB ⊥平面PDC ，所以AB ⊥PD ，在直角三角形APB 中，AB ·PD ＝PA ·PB ，所以PA 2＋PB 2·PD ＝PA ·PB ，1PD 2＝PA 2＋PB 2PA 2·PB 2＝1PA 2＋1PB 2，故1h 2＝1PA 2＋1PB 2＋1PC 2.(也可以由等体积法得到)． [点评] 上述解答完整的给出了结论1h 2＝1PA 2＋1PB 2＋1PC2的证明过程，如果注意到所给结论是一个真命题，可直接用作条件，则在Rt △PAB 中，有1PD2＝1PA2＋1PB 2，在Rt △PDC 中，有1h2＝1PD2＋1PC 2，即可得出结论．8．(文)正方形ABCD 的边长是a ，依次连接正方形ABCD 各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依次得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A 点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是( )A ．10232048a 2B ．1023768a 2C ．5111024a 2D ．20474096a 2[答案] A[解析] 由题可知，这只小虫爬行的第一段长度的平方为a 21＝(12a )2＝14a 2，第二段长度的平方为a 22＝(24a )2＝18a 2，…，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可以构成以a 21＝14a 2为首项，12为公比的等比数列，所以数列的前10项和为S 10＝14a 2[1－ 12 10]1－12＝1023a22048.(理)对于大于1的自然数m 的三次幂可以用技术进行以下方式的“分裂”：23＝⎩⎪⎨⎪⎧35，33＝⎩⎪⎨⎪⎧7911，43＝⎩⎪⎨⎪⎧13151719，…，仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m ＝( )A ．7B ．8C ．9D ．10[答案] B[解析] 由23,33,43的“分裂”规律可知m 3的分裂共有m 项，它们都是连续的奇数，其第一个奇数为(m －2)(m ＋1)＋3，当m ＝8时，第一个奇数为57，故m ＝8，此时83＝57＋59＋61＋63＋65＋67＋69＋71.二、填空题9．(文)(2015·南昌市二模)观察下面数表： 1， 3,5， 7,9,11,13，15,17,19,21,23,25,27,29.设1027是该表第m 行的第n 个数，则m ＋n 等于________． [答案] 13[解析] 由数表知第P 行最后一个数为第S P 个奇数，其中S P ＝1＋2＋22＋…＋2P －1＝2P－1，易得第9行最后一个奇数为2(29－1)－1＝1021，故1027为第10行的第3个数，∴m ＋n ＝13.(理)(2015·河南八市质量监测)已知不等式1＋14<32，1＋14＋19<53，1＋14＋19＋116<74，…，照此规律，总结出第n (n ∈N *)个不等式为________．[答案] 1＋122＋132＋142＋…＋1 n ＋1 2<2n ＋1n ＋1(n ∈N *) [解析] 由于1＋14<32，1＋14＋19<53，1＋14＋19＋116<74，所以可以写为1＋122<2×2－12，1＋122＋132<2×3－13，1＋122＋132＋142<2×4－14，照此规律，所以第n 个不等式为1＋122＋132＋142＋…＋1 n ＋1 2<2n ＋1n ＋1. 10．(文)已知2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，…，若9＋b a ＝92×b a (a 、b为正整数)，则a ＋b ＝________.[答案] 89[解析] 观察前三式的特点可知，3＝22－1,8＝32－1,15＝42－1，故其一般规律为n ＋nn 2－1＝n 2×n n 2－1，此式显然对任意n ∈N ，n ≥2都成立，故当n ＝9时，此式为9＋980＝81×980，∴a ＝80，b ＝9，a ＋b ＝89.(理)观察下列等式 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， ……照此规律，第n 个等式可为________． [答案] 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n n ＋12(n ∈N *)[解析] 观察上述各式等号左边的规律发现，左边的项数每次加1，故第n 个等式左边有n 项，每项所含的底数的绝对值也增加1，依次为1,2,3，…，n ，指数都是2，符号成正负交替出现可以用(－1)n ＋1表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为(－1)n ＋1·n n ＋12，所以第n 个式子可为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n n ＋12(n ∈N *)．三、解答题11．(文)(2015·江苏，16)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.[分析] 考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理．(1)由三棱锥性质知侧面BB 1C 1C 为平行四边形，因此点E 为B 1C 的中点，从而由三角形中位线性质得DE ∥AC ，再由线面平行的判定定理得DE ∥平面AA 1C 1C ；(2)因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中BC ＝CC 1，所以侧面BB 1C 1C 为正方形，因此BC 1⊥B 1C ，又AC ⊥BC ，AC ⊥CC 1(可由直三棱柱推导)，因此由线面垂直的判定定理得AC ⊥平面BB 1C 1C ，从而AC ⊥BC 1，再由线面垂直的判定定理得BC 1⊥平面AB 1C ，进而可得BC 1⊥AB 1.[证明] (1)由题意知，E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC ．又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ，所以DE ∥平面AA 1C 1C ．(2)因为棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ．因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥CC 1.又因为AC ⊥BC ，CC 1⊂平面BCC 1B 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，BC ∩CC 1＝C ，所以AC ⊥平面BCC 1B 1.又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以B 1C ⊥AC ．因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形，因此BC 1⊥B 1C ．因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面B 1AC ．又因为AB 1⊂平面B 1AC ，所以BC 1⊥AB 1.(理)(2015·商丘市二模)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为菱形，∠BCD ＝120°，AB ＝PC ＝2，AP ＝BP ＝ 2.(1)求证：AB ⊥PC ；(2)求二面角B －PC －D 的余弦值．[解析] (1)证明：取AB 的中点O ，连接PO ，CO ，AC ． ∵AP ＝BP ，∴PO ⊥AB ．又四边形ABCD 是菱形，且∠BCD ＝120°， ∴△ACB 是等边三角形，∴CO ⊥AB ．又CO ∩PO ＝O ，∴AB ⊥平面PCO ，又PC ⊂平面PCO ，∴AB ⊥PC ．(2)由AB ＝PC ＝2，AP ＝BP ＝2，易求得PO ＝1，OC ＝3， ∴OP 2＋OC 2＝PC 2，OP ⊥OC ．以O 为坐标原点，以OC ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，则B (0,1,0)，C (3，0,0)，P (0,0,1)，D (3，－2,0)，∴BC →＝(3，－1,0)，PC →＝(3，0，－1)，DC →＝(0,2,0)．设平面DCP 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，则n 1⊥PC →，n 1⊥DC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·PC →＝3－z ＝0n 1·DC →＝2y ＝0，∴z ＝3，y ＝0，∴n 1＝(1,0，3)．设平面BCP 的一个法向量为n 2＝(1，b ，c )，则n 2⊥PC →，n 2⊥BC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PC →＝3－c ＝0n 2·BC →＝3－b ＝0，∴c ＝3，b ＝3，∴n 2＝(1，3，3)． ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝42×7＝277，∵二面角B －PC －D 为钝角，∴二面角B －PC －D 的余弦值为－277.12．(文)(2015·昆明质检)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋1n n ＋1＋1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 的前n 项和为S n ，证明：S n <n 2n ＋1.[解析] (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1＋1n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1n＝a n ＋1n n ＋1 ＋1＋1n ＋1－a n －1n＝1n n ＋1 －1n n ＋1＋1＝1.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1n 是公差为1的等差数列．又a 1＋1＝1，故a n ＋1n＝n .即数列{a n }的通项公式为a n ＝n －1n .(2)由(1)知a n ＝n －1n ，则a n n＝1－1n2，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 的前n 项和S n ＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫112＋122＋…＋1n 2∵1n 2>1n n ＋1 ＝1n －1n ＋1.∴n －⎝ ⎛⎭⎪⎫112＋122＋…＋1n 2<n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n －1＋1n ＋1＝n 2n ＋1. ∴对∀n ∈N *，S n <n 2n ＋1成立．(理)(2015·湖南文，19)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n－S n ＋1＋3，n ∈N *.(1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n .[分析] (1)依据已知等式利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)用构造法求解，然后验证当n ＝1时，命题成立即可； (2)利用(1)中的结论先求出数列{a n }的通项公式，然后通过求解数列{a n }的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前n 项和的通项公式．[解析] (1)由条件，对任意n ∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，(n ∈N *)，因而对任意n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3，(n ∈N *)，两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，(n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1，故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n . (2)由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n＝3，于是数列{a 2n －1}是首项 a 1＝1，公比为3的等比数列，数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列，所以a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1，于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1)＝3(1＋3＋…＋3n －1) ＝3 3n－12从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3 3n－1 2－2×3n －1＝32(5×3n －2－1)，综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧32 5×3n －22－1 ， n ＝2k ＋1，k ∈N *32 3n2－1 ， n ＝2k ，k ∈N *.[方法点拨] 直接证明从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性的证明称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方法．(1)综合法从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐步的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法．(2)分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知的条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法．13．(文)(2015·邯郸市二模)设函数f (x )＝ln x －a (x －2)，g (x )＝e x. (1)求f (x )的单调区间；(2)过原点分别作曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的切线l 1，l 2，且l 1，l 2的斜率互为倒数，试证明：a ＝0或12－1e <a <1－1e.(附：ln2＝0.693)．[解析] (1)f ′(x )＝1x －a ＝1－axx(x >0)①当a ≤0时，对一切x >0，恒有f ′(x )>0，f (x )的单增区间为(0，＋∞)；②当a >0时，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.∴f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞. (2)设过原点与函数f (x )，g (x )相切的直线分别为l 1：y ＝k 1x ，l 2：y ＝k 2x ，切点分别为A (x 1，ln x 1－ax 1＋2a )，B (x 2，e x 2)， ∵g ′(x )＝e x，∴k 2＝e x 2＝e x 2x 2，∴x 2＝1，k 2＝e ，∴k 1＝1e又f ′(x )＝1x －a ，∴k 1＝1x 1－a ＝ln x 1－ax 1＋2a x 1＝1e ，得a ＝1x 1－1e ，并将它代入ln x 1－ax 1＋2a x 1＝1e 中，可得ln x 1－1＋2x 1－2e＝0设h (x )＝ln x －1＋2x －2e ，则h ′(x )＝1x －2x 2＝x －2x 2∴h (x )在(0,2]上单减，在(2，＋∞)上单增若x 1∈(0,2]，∵h (1)＝1－2e >0，h (2)＝ln2－2e ≈0.693－2e <0，∴x 1∈(1,2)而a ＝1x 1－1e 在x 1∈(1,2)上单减，∴12－1e <a <1－1e，若x 1∈(2，＋∞)，h (x )在(2，＋∞)上单增，且h (e)＝0，即x 1＝e ，得a ＝0，综上所述：a ＝0或12－1e <a <1－1e.(理)(2015·安徽理，18)设n ∈N *，x n 是曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标．(1)求数列{x n }的通项公式； (2)记T n ＝x 21x 23…x 22n －1，证明：T n ≥14n.[分析] 考查1.曲线的切线方程；2.数列的通项公式；3.放缩法证明不等式；4.考查运算求解能力和推理论证能力，分析和解决问题的能力．解答本题(1)可利用导数的几何意义求解，(2)根据数列的通项公式用放缩法证明不等式．[解析] (1)y ′＝(x 2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x2n ＋1，曲线y ＝x2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n ＋2.从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1)．令y ＝0.解得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝nn ＋1.(2)由题设和(1)中的计算结果知T n ＝x 21x 23…x 22n －1＝(12)2(34)2…(2n －12n )2. 当n ＝1时，T 1＝14.当n ≥2时，因为x 22n －1＝(2n －12n )2＝ 2n －1 2 2n 2> 2n －1 2－1 2n 2＝n －1n ，所以T n >(12)2×12×23×…×n －1n ＝14n. 综上可得对任意的n ∈N *，均有T n ≥14n.14．(2015·新课标Ⅱ文，20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．[解析] (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )，把y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得，(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝kx M ＋b ＝b 2k 2＋1，于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k，即k OM ·k ＝－12，所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值．15．(文)已知点P 为y 轴上的动点，点M 为x 轴上的动点，点F (1,0)为定点，且满足PN →＋12NM →＝0，PM →·PF →＝0. (1)求动点N 的轨迹E 的方程；(2)过点F 且斜率为k 的直线l 与曲线E 交于两点A 、B ，试判断在x 轴上是否存在点C ，使得|CA |2＋|CB |2＝|AB |2成立，请说明理由．[解析] (1)设N (x ，y )，则由PN →＋12NM →＝0，得P 为MN 的中点．∴P (0，y2)，M (－x,0)．∴PM →＝(－x ，－y 2)，PF →＝(1，－y 2)．∴PM →·PF →＝－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x .∴动点N 的轨迹E 的方程为y 2＝4x . (2)设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1 ，y 2＝4x消去x 得y 2－4ky －4＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4.假设存在点C (m,0)满足条件，则CA →＝(x 1－m ，y 1)， CB →＝(x 2－m ，y 2)，∴CA →·CB →＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2 ＝(y 1y 24)2－m (y 21＋y 224)＋m 2－4＝－m4[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋m 2－3＝m 2－m (4k2＋2)－3＝0.∵Δ＝(4k2＋2)2＋12>0，∴关于m 的方程m 2－m (4k2＋2)－3＝0有解．∴假设成立，即在x 轴上存在点C ，使得|CA |2＋|CB |2＝|AB |2成立．[方法点拨] 1.在证明问题时，我们可以使用分析法，寻找解决问题的突破口，然后用综合法写出证明过程，有时分析法与综合法交替使用．2．有些命题和不等式，从正面证如果不好证，可以考虑反证法．凡是含有“至少”、“唯一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法．即“正难则反”．反证法的步骤是：(1)假设：作出与命题结论相反的假设；(2)归谬：在假设的基础上，经过合理的推理，导出矛盾的结果； (3)结论：肯定原命题的正确性．(理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1，b 、r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立． [解析] (1)由题意：S n ＝b n＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r .所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)，由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列．又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b b －1b ＋r＝b ，解得r ＝－1.(2)证明：由于b ＝2，则根据(1)得a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n >n ＋1①当n ＝1时，左式＝32，右式＝ 2.左式>右式，所以结论成立，②假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即2＋12·4＋14·2k ＋12k >k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32 k ＋1 >k ＋1·2k ＋32 k ＋1 ＝2k ＋32k ＋1 要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥ k ＋1 k ＋2 ，由基本值不等式2k ＋32＝ k ＋1 ＋ k ＋22≥ k ＋1 k ＋2 成立，所以，当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N *时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立． [方法点拨] 1.与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前n 项和等问题，都可以考虑用数学归纳法证明．2．数学归纳法的主要步骤 (1)归纳奠基证明当n 取第一个值n 0(例如n 0＝1或2等)时结论正确； (2)归纳递推假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥n 0)时结论正确(归纳假设)，证明当n ＝k ＋1时结论也正确．综合(1)(2)知，对任何n ∈N *，命题均正确．在用数学归纳法证题中，从n ＝k 到n ＝k ＋1时一定要用到归纳假设，可以对n ＝k ＋1时的情况进行适当变换，突出归纳假设，这是证题的关键．3．归纳推理可以帮助我们发现一般规律，但是其正确性需要通过证明来验证．一般情况下，有关正整数的归纳、猜想问题，都需要由不完全归纳法得到猜想，然后用数学归纳法证明猜想．。

【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题15 圆锥曲线(含解析)

【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题15 圆锥曲线一、选择题1．(2015²四川文，7)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3[答案] D[解析] 由题意，a ＝1，b ＝3，故c ＝2，渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝2代入渐近线方程，得y 1,2＝±23，故|AB |＝43，选D.2．设P 是椭圆x 29＋y 25＝1上一点，M 、N 分别是两圆：(x ＋2)2＋y 2＝1和(x －2)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值，最大值分别为( )A ．4,8B ．2,6C ．6,8D ．8,12[答案] A[解析] 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA |＋|PB |＝2a ＝6，连接PA ，PB ，分别与两圆相交于M 、N 两点，此时|PM |＋|PN |最小，最小值为|PA |＋|PB |－2R ＝4；连接PA ，PB 并延长，分别与两圆相交于M ′、N ′两点，此时|PM ′|＋|PN ′|最大，最大值为|PA |＋|PB |＋2R ＝8，即最小值和最大值分别为4、8.[方法点拨] 涉及椭圆(或双曲线)两焦点距离的问题或焦点弦问题，及到抛物线焦点(或准线)距离的问题，可优先考虑圆锥曲线的定义．3．(文)(2015²唐山一模)已知抛物线的焦点F (a,0)(a <0)，则抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝2ax B ．y 2＝4ax C ．y 2＝－2ax D ．y 2＝－4ax[答案] B[解析] 设抛物线方程为y 2＝mx ，由焦点为F (a,0)，a <0知m <0，∴m4＝a ，∴m ＝4a ，故选B.(理)(2015²河北衡水中学一模)已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，如果OA →²OB →＝－12，，那么抛物线C 的方程为( )A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x[答案] C[解析] 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p2，代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，得OA →²OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫my 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12⇒p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .[方法点拨] 求圆锥曲线标准方程时“先定型，后计算”，即先确定是何种曲线，焦点在哪个轴上，然后利用条件求a 、b 、p 的值．4．(文)(2015²南昌市一模)以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为π3，则双曲线C 的离心率为( )A ．2或 3B ．2或233C.233D ．2[答案] B[解析] (1)当双曲线的焦点在x 轴上时，由题意知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，所以b a ＝tan π3＝3，所以b ＝3a ，c ＝a 2＋b 2＝2a ，故双曲线C的离心率e ＝c a＝2aa＝2；(2)当双曲线的焦点在y 轴上时，由题意知双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±a b x ，所以a b ＝tan π3＝3，所以a ＝3b ，c ＝a 2＋b 2＝2b ，故双曲线C 的离心率e ＝ca＝2b3b＝233.综上所述，双曲线C 的离心率为2或233.(理)(2015²东北三省三校二模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为直径的圆被直线x a ＋yb＝1截得的弦长为6a ，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．2 C. 3 D. 2[答案] D[解析] 由已知得：O (0,0)到直线x a ＋y b＝1的距离为：d ＝ab a 2＋b2，由题意得：⎝ ⎛⎭⎪⎫62a 2＋d 2＝r 2即⎝ ⎛⎭⎪⎫62a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ab a 2＋b 22＝c 2整理得：c 4－52a 2c 2＋a 4＝0，即e 4－52e 2＋1＝0，解得：e 2＝2或e 2＝12(舍)，∴e ＝ 2.[方法点拨] 1.求椭圆、双曲线的离心率问题，关键是根据已知条件确定a 、b 、c 的关系，然后将b 用a 、c 代换，求e ＝ca的值；另外要注意双曲线的渐近线与离心率的关系．2．注意圆锥曲线的对称性在解题中的应用．5．(文)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |的长为( )A.23 B ．1 C.43 D.53[答案] C[解析] 由条件知，|AF 2|＋|BF 2|＝2|AB |， |AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2， ∴|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4，∴|AB |＝43.(理)(2014²河北名师名校俱乐部模拟)设抛物线x 2＝8y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的倾斜角等于60°，那么|PF |等于( )A ．2 3B ．4 3 C.83 D ．4[答案] C[解析] 在△APF 中，|PA |＝|PF |，|AF |sin60°＝4，∴|AF |＝833，又∠PAF ＝∠PFA＝30°，过P 作PB ⊥AF 于B ，则|PF |＝|BF |cos30°＝12|AF |cos30°＝83.[方法点拨] 圆锥曲线的性质常与等差、等比数列、三角函数、不等式等问题联系在一起，一般先利用条件转化为单一知识点的问题求解．6．(文)从抛物线y 2＝8x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△PFM 的面积为( )A ．5 6B ．6 5C ．10 2D ．5 2[答案] A[解析] 抛物线的焦点F (2,0)，准线方程为x ＝－2.设P (m ，n )，则|PM |＝m ＋2＝5，解得m ＝3.代入抛物线方程得n 2＝24，故|n |＝26，则S △PFM ＝12|PM |²|n |＝12³5³26＝5 6.(理)若双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)和椭圆x 2m ＋y 2n＝1(m >n >0)有共同的焦点F 1、F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|²|PF 2| ( )A ．m 2－a 2B.m －aC.12(m －a ) D. m －a[答案] D[解析] 不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 在双曲线的右支上，由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，故|PF 1|²|PF 2|＝m －a .7．(文)(2015²湖南文，6)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.53[答案] D[解析] 考查双曲线的几何性质．由题设利用双曲线的渐近线方程经过的点(3，－4)，得到a 、b 关系式，然后求出双曲线的离心率即可．因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，∴3b ＝4a ，∴9(c2－a 2)＝16a 2，∴e ＝c a ＝53，故选D.(理)(2015²重庆文，9)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 2[答案] C[解析] 考查双曲线的几何性质．由已知得右焦点F (c,0)(其中c 2＝a 2＋b 2，c >0)，A 1(－a,0)，A 2(a,0)；B (c ，－b 2a)，C (c ，b 2a )；从而A 1B ―→＝(c ＋a ，－b 2a )，A 2C →＝(c －a ，b 2a )，又因为A 1B ⊥A 2C ，所以A 1B ―→²A 2C ―→＝0，即(c －a )²(c ＋a )＋(－b 2a )²(b 2a )＝0；化简得到b 2a 2＝1⇒ba＝±1，即双曲线的渐近线的斜率为±1；故选C.8．(2015²新课标Ⅰ理，5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C的两个焦点．若MF 1→²MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233[答案] A[解析] 考查向量数量积；双曲线的标准方程．由题知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1―→²MF 2―→＝(－3－x 0，－y 0)²(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＝3y 20－1＜0，解得－33＜y 0＜33，故选A. 二、填空题9．(文)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A 、B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．[答案] a ≥1[解析] 显然a >0，不妨设A (a ，a )，B (－a ，a )，C (x 0，x 20)，则CB →＝(－a －x 0，a －x 20)，CA →＝(a －x 0，a －x 20)，∵∠ACB ＝90°.∴CA →²CB →＝(a －x 0，a －x 20)²(－a －x 0，a －x 20)＝0. ∴x 20－a ＋(a －x 20)2＝0，且x 20－a ≠0. ∴(a －x 20)(a －x 20－1)＝0，∴a －x 20－1＝0. ∴x 20＝a －1，又x 20≥0.∴a ≥1.(理)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a 、b (a 0)经过C 、F 两点，则b a＝________.[答案]2＋1[解析] 由题可得C (a 2，－a )，F (a2＋b ，b )，∵C 、F 在抛物线y 2＝2px 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝pa ，b 2＝2p a2＋b ，∴ab＝2＋1，故填2＋1.10．(文)(2015²湖南理，13)设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点．若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．[答案]5[解析] 考查双曲线的标准方程及其性质．根据对称性，不妨设F (c,0)，短轴端点为(0，b )，从而可知点(－c,2b )在双曲线上，∴c 2a 2－4b 2b 2＝1⇒e ＝ca＝ 5. (理)(2015²南昌市二模)过原点的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左右两支分别相交于A ，B 两点，F (－3，0)是双曲线C 的左焦点，若|FA |＋|FB |＝4，FA →²FB →＝0，则双曲线C 的方程是________．[答案]x 22－y 2＝1[解析] 由已知得：c ＝3，FA ⊥FB ，设右焦点为F 1，则四边形FAF 1B 为矩形，∴|AB |＝2c ＝23且|FA |2＋|FB |2＝(|FA |＋|FB |)2－2|FA |²|FB |＝16－2|FA |²|FB |，|AB |2＝|FA |2＋|FB |2，∴|FA |²|FB |＝2，∴(|FA |－|FB |)2＝(|FA |＋|FB |)2－4|FA |²|FB |＝8，∴||FA |－|FB ||＝22，即||AF |－|AF 1||＝22，∴a ＝2， ∴b 2＝1，∴双曲线标准方程为x 22－y 2＝1.三、解答题11．(文)(2015²湖南文，20)已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．[分析] 考查直线与圆锥曲线的位置关系；椭圆的性质和转化思想，设而不求、整体代换思想及运算求解能力等．(1)由F 也是椭圆C 2的一个焦点及C 1与C 2的公共弦长列方程组求解；(2) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，根据AC →＝BD →，可得，(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1，联立直线与抛物线方程、直线与椭圆方程、利用韦达定理进行计算即可得到结果．[解析] (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1 ①；又C 1与C 2的公共弦长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为：x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为(±6，32)，∴94a 2＋6b2＝1②，联立①②得a 2＝9，b 2＝8，故C 2的方程为y 29＋x 28＝1. (2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，因AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 3－x 4＝x 1－x 2，于是 (x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，由x 1，x 2是这个方程的两根， ∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4 ④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y29＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，而x 3，x 4是这个方程的两根，x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k2 ⑤ 将④、⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 29＋8k 2 2＋4³649＋8k 2.即16(k 2＋1)＝162³9 k 2＋19＋8k，所以(9＋8k 2)2＝16³9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64. (理)(2015²洛阳市期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，k OA ²k OB ＝－b 2a2，判断△AOB 的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．[解析] (1)由题意得c ＝1，又e ＝c a ＝12，所以a ＝2，从而b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m .得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，由Δ＝(8mk )2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0得m 2<3＋4k 2. ∵x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1²x 2＝4 m 2－3 3＋4k2， ∴y 1²y 2＝(kx 1＋m )²(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3 m 2－4k 23＋4k2. 由k OA ²k OB ＝－b 2a 2＝－34得y 1y 2＝－34x 1x 2，即3 m 2－4k 23＋4k 2＝－34²4 m 2－3 3＋4k 2，化简得2m 2－4k 2＝3，满足Δ>0. 由弦长公式得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2²48 4k 2－m 2＋33＋4k 22＝24 1＋k 23＋4k 2. 又点O 到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d ＝|m |1＋k2，所以S △AOB ＝12²d ²|AB |＝1224 1＋k 23＋4k 2²|m |1＋k2＝1224m23＋4k2＝3²2m23＋4k2 ＝3² 3＋4k 23＋4k2＝3，故△AOB 的面积为定值 3.12．(文)(2014²东北三校二模)已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且OA →²OB →＝－16，求证：直线AB 恒过定点．[解析] (1)⊙O 的圆心M (0,2)，半径r ＝1，设动圆圆心P (x ，y )，由条件知|PM |－1等于P 到l 的距离，∴|PM |等于P 到直线y ＝－2的距离，∴P 点轨迹是以M (0,2)为焦点，y ＝－2为准线的抛物线．方程为x 2＝8y .(2)设直线AB ：y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)将直线AB 的方程代入到x 2＝8y 中得x 2－8kx －8b ＝0，所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b ，又因为OA →²OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 21x 2264＝－8b ＋b 2＝－16⇒b ＝4所以直线BC 恒过定点(0,4)．(理)(2014²山东理，21)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， (ⅰ)证明：直线AE 过定点，并求出定点坐标；(ⅱ)△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． [解析] (1)由题意知F (p2，0)，设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为(p ＋2t4，0)．因为|FA |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p 2＝|t －p2|，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)，由p ＋2t4＝3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)(ⅰ)由(1)知F (1,0)．设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)，因为|FA |＝|FD |，得|x D －1|＝x 0＋1，由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)．故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02.因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32by 0＝0，得b ＝－2y 0，设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4，可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)，由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)，故直线AE 恒过点F (1,0)．当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)．所以直线AE 过定点F (1,0)． (ⅱ)由(ⅰ)知直线AE 过焦点F (1,0)，所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋(1x 0＋1)＝x 0＋1x 0＋2.设直线AE 的方程为x ＝my ＋1，因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0. 设B (x 1，y 1)．直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)，由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0.所以y 0＋y 1＝－8y 0，可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4.所以点B 到直线AE 的距离为 d ＝|4x 0＋x 0＋4＋m y 0＋8y 0－1|1＋m 2＝4 x 0＋1 x 0＝4(x 0＋1x 0)．则△ABE 的面积S ＝12³4(x 0＋1x 0)(x 0＋1x 0＋2)≥16，当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立．所以△ABE 的面积的最小值为16. [方法点拨] 定点问题的求解策略把直线或曲线方程中的变量x 、y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x 、y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．13．(文)(2014²甘肃省三诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且k OA ²k OB ＝－b 2a2，试判断△AOB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．[解析] (1)由题意知e ＝c a ＝12，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，即a 2＝43b 2，又b ＝61＋1＝3，∴a 2＝4，b 2＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，△＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0,3＋4k 2－m 2>0. x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1²x 2＝4 m 2－33＋4k2. y 1²y 1＝(kx 1＋m )²(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3 m 2－4k 23＋4k2. k OA ²k OB ＝－34，y 1y 2x 1x 2＝－34，y 1y 2＝－34x 1x 2，3 m 2－4k 23＋4k 2＝－34²4 m 2－33＋4k 22m 2－4k 2＝3， |AB |＝1＋k 2x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝1＋k248 4k 2－m 2＋33＋4k 2 2＝24 1＋k 23＋4k 2. d ＝|m |1＋k2＝1－14 1＋k 2≥1－14＝32， S ＝12|AB |d ＝1224 1＋k 23＋4k 2|m |1＋k2＝1224 1＋k 2m 23＋4k 2 1＋k 2＝1224m23＋4k 2＝12243＋4k 2²3＋4k22＝ 3. [方法点拨] 定值问题的求解策略(1)在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就是“定值”问题，解决这类问题常通过取特殊值，先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数，或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值．(2)求解定值问题的三个步骤①由特例得出一个值，此值一般就是定值；②证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；③得出结论．(理)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，A 、B 、D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明：2m －k 为定值．[解析] (1)因为e ＝32＝ca，所以a ＝23c ，b ＝13c .代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1.故椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)方法一：因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0，k ≠±12)．①①代入x 24＋y 2＝1，解得P (8k 2－24k 2＋1，－4k4k 2＋1)．直线AD 的方程为：y ＝12x ＋1.②①与②联立解得M (4k ＋22k －1，4k2k －1)，由D (0,1)，P (8k 2－24k 2＋1，－4k4k 2＋1)，N (x,0)三点共线知－4k4k ＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，解得N (4k －22k ＋1，0)．所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k 2k ＋1 2 2k ＋1 2－2 2k －1 2＝2k ＋14，则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．(2)方法二：设P (x 0，y 0)(x 0≠0，±2)，则k ＝y 0x 0－2，直线AD 的方程为：y ＝12(x ＋2)．直线BP 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，直线DP 的方程为：y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0，由于y 0≠1可得N (－x 0y 0－1，0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12 x ＋2 ，y ＝y0x 0－2 x －2 .解得M (4y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2，4y 02y 0－x 0＋2)，因此MN 的斜率为m ＝4y 02y 0－x 0＋24y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2＋x 0y 0－1＝4y 0 y 0－14y 20－8y 0＋4x 0y 0－x 20＋4＝4y 0 y 0－1 4y 20－8y 0＋4x 0y 0－ 4－4y 20 ＋4＝y 0－12y 0＋x 0－2，所以2m －k ＝2 y 0－1 2y 0＋x 0－2－y 0x 0－2＝2 y 0－1 x 0－2 －y 0 2y 0＋x 0－22y 0＋x 0－2 x 0－2＝2 y 0－1 x 0－2 －2y 20－y 0 x 0－2 2y 0＋x 0－2 x 0－2＝2 y 0－1 x 0－2 －124－x 20 －y 0 x 0－22y 0＋x 0－2 x 0－2＝12(定值)．14．(文)(2015²辽宁葫芦岛市一模)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠0)与椭圆C 交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线与y 轴交点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，－14，求△MON (O 为坐标原点)面积的最大值．[解析] (1)∵e ＝33，∴a 2＝3c 2＝3a 2－3b 2，∴2a 2＝3b 2将x ＝－c 代入椭圆方程得：y 2＝b 4a 2，y ＝±b 2a，由题意：2b 2a ＝433，∴2a ＝3b 2，解得：a 2＝3，b 2＝2∴椭圆C 的方程为：x 23＋y 22＝1(2)联立方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1y ＝kx ＋t消去y 整理得：(3k 2＋2)x 2＋6ktx ＋3t 2－6＝0 ①∴Δ＝36k 2t 2－4(3k 2＋2)²(3t 2－6)＝24(3k 2＋2－t 2)>0，∴3k 2＋2>t 2② 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两个解，由韦达定理得： x 1＋x 2＝－6kt 3k 2＋2， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝－6k 2t 3k 2＋2＋2t ＝4t3k 2＋2设MN 的中点为G (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3kt 3k 2＋2，y 0＝y 1＋y 22＝2t3k 2＋2∴线段MN 的垂直平分线方程为：y －2t 3k 2＋2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3kt 3k ＋2 将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14代入得：14＋2t 3k 2＋2＝3t 3k 2＋2化简得：3k 2＋2＝4t 代入②式得：4t >t 2，∴0<t <4 |MN |＝1＋k2² x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝1＋k2²26²3k 2＋2－t23k 2＋2＝1＋k 2²26²4t －t24t＝1＋k 2²6²4t －t22t设O 到直线MN 的距离为d ，则d ＝t1＋k2∴S △NOM ＝12²|MN |²d ＝12²1＋k 2²6²4t －t22t²t1＋k2＝64²4t －t 2＝64²－ t －2 2＋4≤62(当且仅当t ＝2，k ＝±2时取“＝”号) ∴△MON 面积的最大值为62，此时直线l 的方程为：y ＝±2x ＋2. (理)(2015²浙江理，19)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．[分析] 考查直线与椭圆的位置关系；点到直线的距离公式；求函数的最值及运算求解能力、函数与方程的思想．(1)可设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立消元化为一元二次方程，由AB 的中点在已知直线上知方程有两个不同的解，由此可得到关于m 的不等式，从而求解；(2)令t ＝1m，可将△AOB 表示为t 的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值，从而获解．[解析] (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b消去y ，得(12＋1m 2)x 2－2b m x ＋b 2－1＝0，∵直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，∴Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，①，将AB 中点M (2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2)代入直线方程y ＝mx ＋12解得b＝－m 2＋22m2，②.由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈(－62，0)∪(0，62)，则|AB |＝t 2＋1²－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1，设△AOB 的面积为S (t )，∴S (t )＝12|AB |²d ＝12－2 t 2－12 2＋2≤22，当且仅当t 2＝12时，等号成立，故△AOB 面积的最大值为22.15．(2014²福建理，19)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1、l 2于A ，B 两点(A 、B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．[解析] (1)∵双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，∴b a＝2，∴c 2－a 2a＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝c a＝ 5.(2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C ，当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 只有一个公共点，则|OC |＝a ，|AB |＝4a ，又∵△OAB 的面积为8，∴12|OC |²|AB |＝8，因此12a ²4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y216＝1，若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能是x 24－y 216＝1.以下证明：当直线l 与x 轴不垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意得k >2或k <－2，则C (－mk，0)，记A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m y ＝2x 得y 1＝2m 2－k ，同理得y 2＝2m2＋k.由S △OAB ＝12|OC |²|y 1－y 2|得12|－m k |²|2m 2－k －2m2＋k|＝8，即m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24－y 216＝1得，(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0，∵4－k 2<0∴Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16)＝－16(4k 2－m 2－16)，又∵m 2＝4(k 2－4)，∴Δ＝0，即直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.[方法点拨] 1.求曲线的轨迹方程时，先看轨迹的形状是否预知，若能依据条件确定其形状，可用定义法或待定系数法求解；若动点P与另一动点Q有关，Q在已知曲线上运动，可用代入法求动点P的轨迹方程；否则用直译法求解．2．存在性问题主要体现在以下几方面：(1)点是否存在；(2)曲线是否存在；(3)命题是否成立．解决这类问题的一般思路是先假设存在满足题意的元素，经过推理论证，如果可以得到成立的结果，就可以作出存在的结论；若得到与已知条件、定义、公理、定理、性质相矛盾的结论，则说明假设不存在，其一般步骤为：。

【走向高考】2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题27转化与化归思想、数形结合思想(含解析

ax＋b( 理)(2021 ·XX理，9) 函数f ( x)＝2的图象如下列图，那么以下结论成立的是x＋c()A．a＞0，b＞ 0，c＜ 0B．a＜ 0，b＞ 0，c＞0C．a＜0，b＞ 0，c＜ 0D．a＜ 0，b＜ 0，c＜0[答案]C[解析]考察函数的图象与应用．ax＋ b b 由 f ( x)＝x＋c2及图象可知，x≠－c，－c>0，那么c<0；当x＝0时，f(0)＝c2>0，所b以 b>0；当 y＝0， ax＋ b＝0，所以 x＝－a>0，所以 a<0.故 a<0， b>0， c<0，选C．[ 方法点拨 ]1. 给出解析式判断函数图象的题目，一般借助于平移、伸缩、对称变换，结合特殊点 ( 与坐标轴的交点、最高( 低) 点、两图象的交点等) 作出判断．2．由函数图象求解析式或求解析式中的参数值( 或取值X围 ) 时，应注意观察图象的单调性、对称性、特殊点、渐近线等然后作出判断．3．数形结合的途径(1) 通过坐标系“形〞题“数〞解借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化．在高考中主要以解析几何作为知识载体来考察．值得强调的是，“形〞“题〞“数〞解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧( 这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理) ．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的构造含有明显的几何意义．如等式( x－ 2) 2＋( y－ 1) 2＝ 4.(2) 通过转化构造“数〞题“形〞解许多代数构造都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进展巧妙地转化．例如，将>0 与距离互化，将 2 与面积互化，将a 2＋b2＋＝2＋2－ 2|a|||cos θ( θ＝60°) 与余a a ab a b b弦定理沟通，将a≥ b≥c>0且 b＋ c>a 中的 a、b、c 与三角形的三边沟通，将有序实数对( 或复数 ) 和点沟通，将二元一次方程与直线对应，将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等．这种代数构造向几何构造的转化常常表现为构造一个图形( 平面的或立体的 ) ．另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常相伴而充分地发挥作用．4．( 文 ) 函数f ( x )满足下面关系：① f ( x ＋1)＝ f ( x －1)；②当 x ∈[－1,1]时， f ( x )＝x 2，那么方程 f ( x )＝lg x 解的个数是()A ．5B ． 7C ．9D ． 10[答案]C[ 分析 ]由 f (x ＋ 1) ＝f (x － 1) 可知 f (x ) 为周期函数，结合f ( x )在[－1,1]上的解析式可画出 f ( x )的图象，方程 f ( x )＝lg x 的解的个数就是函数y ＝f ( x )与 y ＝lg x 的图象的交点个数．[ 解析 ]由题意可知，f ( x )是以2为周期，值域为[0,1]的函数．由方程 f ( x )＝lg x 知 x ∈(0,10]时方程有解，画出两函数y ＝ f ( x )与 y ＝lg x 的图象，那么交点个数即为解的个数．又∵lg10 ＝ 1，故当x >10 时，无交点．∴由图象可知共9 个交点．[ 方法点拨 ]数形结合在函数、方程、不等式中的应用(1) 用函数的图象讨论方程( 特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程) 的解的个数是一种重要的解题思路，其根本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式 ( 不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数) ，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．(2) 解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个 ( 或多个 ) 函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以防止繁琐的运算，获得简捷的解答．(3) 函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值( 值域 ) 经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标．(理)、是三次函数f ( x ) ＝ 1 3＋ 12＋ 2 ( 、∈ R) 的两个极值点，且 ∈(0,1) ，m n3x2axbx a bmb ＋3n ∈(1,2)，那么a ＋2 的取值X 围是 ()2A ． ( －∞，5) ∪ (1 ，＋∞)2B ．( ， 1)C ． ( －4,3)D ． ( －∞，－ 4) ∪ (3 ，＋∞)[答案] D[解析]′()＝x 2＋＋2，fx axbf>0，b由题意知f ∴ a ＋2b ＋1<0，(*)f＋＋ 2>0.a bb ＋3 表示的平面区域内的点与点( － 2，－ 3) 连线的斜率，由图形易知＋2表示不等式组 (*)a选 D ．5．( 文) 直线x ＋3y －m ＝ 0 与圆 x 2＋ y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，那么 m 的取值X 围是 ()A ． 1<m <2B ． 3<m <3C ． 1<m < 3D ． 3<m <2[答案] D[分析]动直线x ＋ 3 －＝ 0 是一族平行直线，直线与圆在第一象限内有两个不同交y m点，可通过画图观察找出临界点，求出m 的取值X 围．k ＝－3A (0,1)时， m ＝[解析] 直线斜率为定值 3 . 如图，平移直线到过点 3，到相切时，| m |＝1，2∴ m ＝2，∴3<m <2.( 理 ) 假设直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝ 3－ 4x －x 2有公共点，那么b 的取值X 围是 () A ．[1 － 2 2，1＋ 2 2] B ．[1 － 2，3] C ．[ －1,1 ＋2 2] D ． [1 －2 2，3][答案] D[ 解析 ]此题考察了直线与圆的位置关系问题，考察数形结合思想的应用．曲线 y ＝3－4x －x 2对应的图象如下列图，为圆( x － 2)2＋ ( y －3) 2＝ 4 的下半圆，假设直线y ＝x ＋b 与此半圆相切，2点，故应选D ．[ 点评 ]对于曲线y ＝3－4x －x 2，在转化过程中易被看作是一个完整的圆而致误．[ 方法点拨 ]数形结合法在解析几何中的应用数形结合包括“以形助数〞和“以数辅形〞两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比方应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的准确性和标准严密性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来准确地说明曲线的几何性质．解析几何中，常利用一些表达式的几何意义用图形直观助解．或将几何问题转化为方程或函数问题求解．解析几何是数形结合的典X ．→ →→AB 6．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP ＝ OA ＋λ(| → |AB→＋ AC ) ，λ∈ [0 ，＋∞ ) ，那么点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ()→| AC |A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[答案]B→→→AB →ABAC[分析]因为→是 AB 的单位向量，故 λ(| →＋→ ) 对应向量假设以A 为起点，那么终| AB |AB | | AC |点在∠的平分线上，结合 →－→＝→可知点P 的轨迹．BACOP OA AP→＝λ ( → → →→[解析]如下列图，易知 AB ＋AC )，而 AB 与AC是单位向量，故点P 在∠AP→→→→| AB | | AC || AB | | AC |BAC 的平分线上，所以点 P 的轨迹通过△ ABC 的内心，应选B ．[ 方法点拨 ] 数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具．7． ( 文) 点P 在抛物线x 2＝－2y 上，抛物线的焦点为F ，那么点 P 到点 Q (－1，－2)与点 F 距离之和的最小值为()2点，故应选D ．[ 点评 ]对于曲线y ＝3－4x －x 2，在转化过程中易被看作是一个完整的圆而致误．[ 方法点拨 ]数形结合法在解析几何中的应用数形结合包括“以形助数〞和“以数辅形〞两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比方应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的准确性和标准严密性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来准确地说明曲线的几何性质．解析几何中，常利用一些表达式的几何意义用图形直观助解．或将几何问题转化为方程或函数问题求解．解析几何是数形结合的典X ．→ →→AB 6．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP ＝ OA ＋λ(| → |AB→＋ AC ) ，λ∈ [0 ，＋∞ ) ，那么点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ()→| AC |A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[答案]B→→→AB →ABAC[分析]因为→是 AB 的单位向量，故 λ(| →＋→ ) 对应向量假设以A 为起点，那么终| AB |AB | | AC |点在∠的平分线上，结合 →－→＝→可知点P 的轨迹．BACOP OA AP→＝λ ( → → →→[解析]如下列图，易知 AB ＋AC )，而 AB 与AC是单位向量，故点P 在∠AP→→→→| AB | | AC || AB | | AC |BAC 的平分线上，所以点 P 的轨迹通过△ ABC 的内心，应选B ．[ 方法点拨 ] 数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具．7． ( 文) 点P 在抛物线x 2＝－2y 上，抛物线的焦点为F ，那么点 P 到点 Q (－1，－2)与点 F 距离之和的最小值为()2点，故应选D ．[ 点评 ]对于曲线y ＝3－4x －x 2，在转化过程中易被看作是一个完整的圆而致误．[ 方法点拨 ]数形结合法在解析几何中的应用数形结合包括“以形助数〞和“以数辅形〞两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比方应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的准确性和标准严密性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来准确地说明曲线的几何性质．解析几何中，常利用一些表达式的几何意义用图形直观助解．或将几何问题转化为方程或函数问题求解．解析几何是数形结合的典X ．→ →→AB 6．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP ＝ OA ＋λ(| → |AB→＋ AC ) ，λ∈ [0 ，＋∞ ) ，那么点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ()→| AC |A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[答案]B→→→AB →ABAC[分析]因为→是 AB 的单位向量，故 λ(| →＋→ ) 对应向量假设以A 为起点，那么终| AB |AB | | AC |点在∠的平分线上，结合 →－→＝→可知点P 的轨迹．BACOP OA AP→＝λ ( → → →→[解析]如下列图，易知 AB ＋AC )，而 AB 与AC是单位向量，故点P 在∠AP→→→→| AB | | AC || AB | | AC |BAC 的平分线上，所以点 P 的轨迹通过△ ABC 的内心，应选B ．[ 方法点拨 ] 数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具．7． ( 文) 点P 在抛物线x 2＝－2y 上，抛物线的焦点为F ，那么点 P 到点 Q (－1，－2)与点 F 距离之和的最小值为()2点，故应选D ．[ 点评 ]对于曲线y ＝3－4x －x 2，在转化过程中易被看作是一个完整的圆而致误．[ 方法点拨 ]数形结合法在解析几何中的应用数形结合包括“以形助数〞和“以数辅形〞两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比方应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的准确性和标准严密性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来准确地说明曲线的几何性质．解析几何中，常利用一些表达式的几何意义用图形直观助解．或将几何问题转化为方程或函数问题求解．解析几何是数形结合的典X ．→ →→AB 6．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP ＝ OA ＋λ(| → |AB→＋ AC ) ，λ∈ [0 ，＋∞ ) ，那么点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ()→| AC |A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[答案]B→→→AB →ABAC[分析]因为→是 AB 的单位向量，故 λ(| →＋→ ) 对应向量假设以A 为起点，那么终| AB |AB | | AC |点在∠的平分线上，结合 →－→＝→可知点P 的轨迹．BACOP OA AP→＝λ ( → → →→[解析]如下列图，易知 AB ＋AC )，而 AB 与AC是单位向量，故点P 在∠AP→→→→| AB | | AC || AB | | AC |BAC 的平分线上，所以点 P 的轨迹通过△ ABC 的内心，应选B ．[ 方法点拨 ] 数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具．7． ( 文) 点P 在抛物线x 2＝－2y 上，抛物线的焦点为F ，那么点 P 到点 Q (－1，－2)与点 F 距离之和的最小值为()2点，故应选D ．[ 点评 ]对于曲线y ＝3－4x －x 2，在转化过程中易被看作是一个完整的圆而致误．[ 方法点拨 ]数形结合法在解析几何中的应用数形结合包括“以形助数〞和“以数辅形〞两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比方应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的准确性和标准严密性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来准确地说明曲线的几何性质．解析几何中，常利用一些表达式的几何意义用图形直观助解．或将几何问题转化为方程或函数问题求解．解析几何是数形结合的典X ．→ →→AB 6．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP ＝ OA ＋λ(| → |AB→＋ AC ) ，λ∈ [0 ，＋∞ ) ，那么点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ()→| AC |A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[答案]B→→→AB →ABAC[分析]因为→是 AB 的单位向量，故 λ(| →＋→ ) 对应向量假设以A 为起点，那么终| AB |AB | | AC |点在∠的平分线上，结合 →－→＝→可知点P 的轨迹．BACOP OA AP→＝λ ( → → →→[解析]如下列图，易知 AB ＋AC )，而 AB 与AC是单位向量，故点P 在∠AP→→→→| AB | | AC || AB | | AC |BAC 的平分线上，所以点 P 的轨迹通过△ ABC 的内心，应选B ．[ 方法点拨 ] 数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具．7． ( 文) 点P 在抛物线x 2＝－2y 上，抛物线的焦点为F ，那么点 P 到点 Q (－1，－2)与点 F 距离之和的最小值为()2点，故应选D ．[ 点评 ]对于曲线y ＝3－4x －x 2，在转化过程中易被看作是一个完整的圆而致误．[ 方法点拨 ]数形结合法在解析几何中的应用数形结合包括“以形助数〞和“以数辅形〞两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比方应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的准确性和标准严密性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来准确地说明曲线的几何性质．解析几何中，常利用一些表达式的几何意义用图形直观助解．或将几何问题转化为方程或函数问题求解．解析几何是数形结合的典X ．→ →→AB 6．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP ＝ OA ＋λ(| → |AB→＋ AC ) ，λ∈ [0 ，＋∞ ) ，那么点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ()→| AC |A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[答案]B→→→AB →ABAC[分析]因为→是 AB 的单位向量，故 λ(| →＋→ ) 对应向量假设以A 为起点，那么终| AB |AB | | AC |点在∠的平分线上，结合 →－→＝→可知点P 的轨迹．BACOP OA AP→＝λ ( → → →→[解析]如下列图，易知 AB ＋AC )，而 AB 与AC是单位向量，故点P 在∠AP→→→→| AB | | AC || AB | | AC |BAC 的平分线上，所以点 P 的轨迹通过△ ABC 的内心，应选B ．[ 方法点拨 ] 数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具．7． ( 文) 点P 在抛物线x 2＝－2y 上，抛物线的焦点为F ，那么点 P 到点 Q (－1，－2)与点 F 距离之和的最小值为()2点，故应选D ．[ 点评 ]对于曲线y ＝3－4x －x 2，在转化过程中易被看作是一个完整的圆而致误．[ 方法点拨 ]数形结合法在解析几何中的应用数形结合包括“以形助数〞和“以数辅形〞两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比方应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的准确性和标准严密性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来准确地说明曲线的几何性质．解析几何中，常利用一些表达式的几何意义用图形直观助解．或将几何问题转化为方程或函数问题求解．解析几何是数形结合的典X ．→ →→AB 6．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP ＝ OA ＋λ(| → |AB→＋ AC ) ，λ∈ [0 ，＋∞ ) ，那么点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ()→| AC |A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[答案]B→→→AB →ABAC[分析]因为→是 AB 的单位向量，故 λ(| →＋→ ) 对应向量假设以A 为起点，那么终| AB |AB | | AC |点在∠的平分线上，结合 →－→＝→可知点P 的轨迹．BACOP OA AP→＝λ ( → → →→[解析]如下列图，易知 AB ＋AC )，而 AB 与AC是单位向量，故点P 在∠AP→→→→| AB | | AC || AB | | AC |BAC 的平分线上，所以点 P 的轨迹通过△ ABC 的内心，应选B ．[ 方法点拨 ] 数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具．7． ( 文) 点P 在抛物线x 2＝－2y 上，抛物线的焦点为F ，那么点 P 到点 Q (－1，－2)与点 F 距离之和的最小值为()2点，故应选D ．[ 点评 ]对于曲线y ＝3－4x －x 2，在转化过程中易被看作是一个完整的圆而致误．[ 方法点拨 ]数形结合法在解析几何中的应用数形结合包括“以形助数〞和“以数辅形〞两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比方应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的准确性和标准严密性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来准确地说明曲线的几何性质．解析几何中，常利用一些表达式的几何意义用图形直观助解．或将几何问题转化为方程或函数问题求解．解析几何是数形结合的典X ．→ →→AB 6．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP ＝ OA ＋λ(| → |AB→＋ AC ) ，λ∈ [0 ，＋∞ ) ，那么点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ()→| AC |A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[答案]B→→→AB →ABAC[分析]因为→是 AB 的单位向量，故 λ(| →＋→ ) 对应向量假设以A 为起点，那么终| AB |AB | | AC |点在∠的平分线上，结合 →－→＝→可知点P 的轨迹．BACOP OA AP→＝λ ( → → →→[解析]如下列图，易知 AB ＋AC )，而 AB 与AC是单位向量，故点P 在∠AP→→→→| AB | | AC || AB | | AC |BAC 的平分线上，所以点 P 的轨迹通过△ ABC 的内心，应选B ．[ 方法点拨 ] 数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具．7． ( 文) 点P 在抛物线x 2＝－2y 上，抛物线的焦点为F ，那么点 P 到点 Q (－1，－2)与点 F 距离之和的最小值为()2点，故应选D ．[ 点评 ]对于曲线y ＝3－4x －x 2，在转化过程中易被看作是一个完整的圆而致误．[ 方法点拨 ]数形结合法在解析几何中的应用数形结合包括“以形助数〞和“以数辅形〞两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比方应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的准确性和标准严密性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来准确地说明曲线的几何性质．解析几何中，常利用一些表达式的几何意义用图形直观助解．或将几何问题转化为方程或函数问题求解．解析几何是数形结合的典X ．→ →→AB 6．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP ＝ OA ＋λ(| → |AB→＋ AC ) ，λ∈ [0 ，＋∞ ) ，那么点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ()→| AC |A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[答案]B→→→AB →ABAC[分析]因为→是 AB 的单位向量，故 λ(| →＋→ ) 对应向量假设以A 为起点，那么终| AB |AB | | AC |点在∠的平分线上，结合 →－→＝→可知点P 的轨迹．BACOP OA AP→＝λ ( → → →→[解析]如下列图，易知 AB ＋AC )，而 AB 与AC是单位向量，故点P 在∠AP→→→→| AB | | AC || AB | | AC |BAC 的平分线上，所以点 P 的轨迹通过△ ABC 的内心，应选B ．[ 方法点拨 ] 数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具．7． ( 文) 点P 在抛物线x 2＝－2y 上，抛物线的焦点为F ，那么点 P 到点 Q (－1，－2)与点 F 距离之和的最小值为()2点，故应选D ．[ 点评 ]对于曲线y ＝3－4x －x 2，在转化过程中易被看作是一个完整的圆而致误．[ 方法点拨 ]数形结合法在解析几何中的应用数形结合包括“以形助数〞和“以数辅形〞两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比方应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的准确性和标准严密性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来准确地说明曲线的几何性质．解析几何中，常利用一些表达式的几何意义用图形直观助解．或将几何问题转化为方程或函数问题求解．解析几何是数形结合的典X ．→ →→AB 6．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP ＝ OA ＋λ(| → |AB→＋ AC ) ，λ∈ [0 ，＋∞ ) ，那么点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ()→| AC |A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[答案]B→→→AB →ABAC[分析]因为→是 AB 的单位向量，故 λ(| →＋→ ) 对应向量假设以A 为起点，那么终| AB |AB | | AC |点在∠的平分线上，结合 →－→＝→可知点P 的轨迹．BACOP OA AP→＝λ ( → → →→[解析]如下列图，易知 AB ＋AC )，而 AB 与AC是单位向量，故点P 在∠AP→→→→| AB | | AC || AB | | AC |BAC 的平分线上，所以点 P 的轨迹通过△ ABC 的内心，应选B ．[ 方法点拨 ] 数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具．7． ( 文) 点P 在抛物线x 2＝－2y 上，抛物线的焦点为F ，那么点 P 到点 Q (－1，－2)与点 F 距离之和的最小值为()2点，故应选D ．[ 点评 ]对于曲线y ＝3－4x －x 2，在转化过程中易被看作是一个完整的圆而致误．[ 方法点拨 ]数形结合法在解析几何中的应用数形结合包括“以形助数〞和“以数辅形〞两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比方应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的准确性和标准严密性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来准确地说明曲线的几何性质．解析几何中，常利用一些表达式的几何意义用图形直观助解．或将几何问题转化为方程或函数问题求解．解析几何是数形结合的典X ．→ →→AB 6．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP ＝ OA ＋λ(| → |AB→＋ AC ) ，λ∈ [0 ，＋∞ ) ，那么点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ()→| AC |A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[答案]B→→→AB →ABAC[分析]因为→是 AB 的单位向量，故 λ(| →＋→ ) 对应向量假设以A 为起点，那么终| AB |AB | | AC |点在∠的平分线上，结合 →－→＝→可知点P 的轨迹．BACOP OA AP→＝λ ( → → →→[解析]如下列图，易知 AB ＋AC )，而 AB 与AC是单位向量，故点P 在∠AP→→→→| AB | | AC || AB | | AC |BAC 的平分线上，所以点 P 的轨迹通过△ ABC 的内心，应选B ．[ 方法点拨 ] 数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具．7． ( 文) 点P 在抛物线x 2＝－2y 上，抛物线的焦点为F ，那么点 P 到点 Q (－1，－2)与点 F 距离之和的最小值为()。

【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习第一部分微专题强

【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习第一部分微专题强专题14 直线与圆一、选择题1．(文)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为( )A.2B.823833C.3 [答案] BD.[解析] 由l1∥l2知3＝a(a－2)且2a≠6(a－2)，2a≠18，求得a＝－1，2∴l1：x－y＋6＝0，l2：x－y0，两条平行直线l1与l2间的距离为d＝2231＋－1 82＝.故选B.3(理)已知直线l过圆x＋(y－3)＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )A．x＋y－2＝0 C．x＋y－3＝0 [答案] D[解析] 圆心(0,3)，又知所求直线斜率为1，∴直线方程为x －y＋3＝0. [方法点拨] 1.两直线的位置关系B．x－y＋2＝0 D．x－y＋3＝02222|6－312.与直线y＝kx＋b平行的直线设为y＝kx＋b1，垂直的直线设为y＝－＋m(k≠0)；k与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线设为Ax＋By＋C1＝0，垂直的直线设为Bx－Ay＋C1＝0.求两平行直线之间的距离可直接代入距离公式，也可在其中一条直线上取一点，求其到另一条直线的距离．2．(文)(2022年安徽文，8)直线3x＋4y＝b与圆x＋y－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )A．－2或12 C．－2或－12 [答案] D[解析] 考查1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式．∵直线3x＋4y＝b与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切，∴|3＋4－b|＝1 b＝2或12，故选D. 3＋4B．2或－12 D．2或1222(理)(2022年辽宁葫芦岛市一模)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( ) A．(x＋1)＋(y－1)＝2 B．(x－1)＋(y＋1)＝2 C．(x－1)＋(y－1)＝2 D．(x＋1)＋(y＋1)＝2 [答案] B[解析] 由题意知，圆心C既在与两直线x－y＝0与x－y－4＝0平行且距离相等的直|2a||2a－4|线上，又在直线x＋y＝0上，设圆心C(a，－a)，半径为r，则由已知得22得a＝1，∴r＝2，故选B.[方法点拨] 1.点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d与半径r的关系判断：dr 点在圆外，d＝r 点在圆上；dr 点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r(或0)作比较，大于r(或0)时，点在圆外；等于r(或0)时，点在圆上；小于r(或0)时，点在圆内．2．直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0(A＋B≠0)与圆：(x－a)＋(y－b)＝r(r0)的位置关系如下表.2222222222222222关系，进而求得圆的半径和圆心，得出圆的方程；(2)代数法，求圆的方程必须具备三个独立条件，利用“待定系数法”求出圆心和半径．3．(文)(2022年安徽文，6)过点P(3，－1)的直线l与圆x＋y ＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )πA. (0，]6πC. [0，]6[答案] D[解析] 由题意可画出示意图：易知过点P的圆的两切线为PA与PM.PA处倾斜角为0，ππ在Rt△POM中易知PO＝2，OM＝1，∴∠OPM＝，∠OPA66πB．(0，]3πD．[0，]322∴∠MPA＝，∵直线l倾斜角的范围是[0．33[方法点拨] 本题还可以设出直线l的方程y＝kx＋b，将P点代入得出k与b的关系，消去未知数b，再将直线代入圆方程，利用Δ0求出k的范围，再求倾斜角的范围．1．求直线的方程常用待定系数法．2．两条直线平行与垂直的判定可用一般式进行判定，也可以用斜率判定．(理)(2022年山东理，9)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x＋3)＋(y－2)＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )53A3532B．－或－232254C45[答案] DD．－或－34[解析] 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则其直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0，∵光线与圆(x＋|－3k－2－2k－3|42223)＋(y－2)＝1相切，∴1，∴12k＋25k＋12＝0，解得kk＝3k2＋13－故选D. 44．(文)(2022年湖南文，6)若圆C1：x＋y＝1与圆C2：x＋y －6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )A．21 C．9 [答案] C[解析] 本题考查了两圆的位置关系．由条件知C1：x＋y＝1，C2：(x－3)＋(y－4)＝25－m，圆心与半径分别为(0,0)，(3,4)，2222222B．19 D．－11r1＝1，r225－m，由两圆外切的性质知，5＝1＋25－m，∴m ＝9.[方法点拨] 圆与圆的位置关系2(理)一动圆过点A(0,1)，圆心在抛物线y＝x上，且恒与定直线l相切，则直线l的4方程为( )A．x＝1 1C．y＝－32[答案] D[解析] ∵A(0,1)是抛物线x＝4y的焦点，又抛物线的准线为y ＝－1，∴动圆过点A，圆心C在抛物线上，由抛物线的定义知|CA|等于C到准线的距离，等于⊙C的半径，∴⊙C21B．x＝32D．y＝－1与定直线l：y＝－1总相切．5．(文)(2022年哈三中一模)直线x＋y2＝0截圆x＋y＝4所得劣弧所对圆心角为( )A.C.π 62π3B.D.π35π622[答案] D|2|[解析] 弦心距d＝1，半径r＝2，22π∴劣弧所对的圆心角为3(理)(2022年福建理，6)直线l：y＝kx＋1与圆O：x＋y＝1相交于A，B两点，则“k1＝1”是“△OAB的面积为”的( )2A．充分而不必要条件C．充分必要条件[答案] A[解析] 圆心O(0,0)到直线l：kx－y＋10＝0的距离d＝＝2|k|1＋k，11＋k222B．必要而不充分条件D．既不充分又不必要条件弦长为|AB|＝1－d21|k|1∴S△OAB＝|AB|d＝2，∴k＝±1，2k＋121因此当“k＝1”时，“S△OAB”，故充分性成立．21“S△OAB＝”时，k也有可能为－1，2∴必要性不成立，故选A.[方法点拨] 1.直线与圆相交时主要利用半弦、半径、弦心距组成的直角三角形求解．2．直线与圆相切时，一般用几何法体现，即使用d＝r，而不使用Δ＝0.6．(2022年太原市一模)已知在圆x＋y－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A．5 C．15 [答案] DB．65 D．21522[解析] 圆的方程为(x－2)＋(y＋1)＝5，圆的最长弦AC为直径25；设圆心M(2，－1)，圆的最短弦BD⊥ME，∵ME＝2－1 ＋－1－0 ＝2，∴BD＝R－ME＝3，11故S四边形ABCD＝ACBD＝53＝215.227．(2022年重庆理，8)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x＋y－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )A．2 C．6 [答案] C[解析] 易知圆的标准方程C：(x－2)＋(y－1)＝4，圆心O(2,1)，又因为直线l：x＋ay－1＝0是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心，得知a＝－1，A(－4，－1)，又因为直线AB与圆相切，则△OAB为直角三角形，|OA|＝2＋4 ＋1＋1 ＝210，|OB|＝2，|AB|＝OA－OB＝6.8．过点P(－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线共有( ) A．1条C．3条[答案] D[解析] 过P(－2,3)与x轴负半轴和y轴正半轴围成的三角形面积的最小值是12，所以过一、二、三象限可作2条，过一、二、四象限可作一条，过二、三、四象限可作一条，共4条．9．(文)(2022年江西理，9)在平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为( )4A.π 5C．(6－25)π [答案] A[解析] 本题考查直线与圆的位置关系、抛物线的定义及数形结合求最值的数学思想．依题意，∠AOB＝90°，∴原点O在⊙C 上，又∵⊙C与直线2x＋y－4＝0相切，设切点为D，则|OC|＝|CD|，∴圆C的圆心C的轨迹是抛物线，其中焦点为原点O，准线为直线2x＋y－4＝0.要使圆C的面积有最小值，当且仅当O、C、D三点共线，即圆C的直径等于O点到直线的距离，∴2R＝4242R＝S＝πR＝π.选A.5553B. 45D. 4B．2条D．4条222222222222B．42 D．210(理)两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l1：2x－y＋a＝0，l2：2x－y＋a＋1＝0和圆：x＋y＋2x－4＝0相切，则222a的取值范围是( )A．a7或a－3 B．a6或a－6C．－3≤a66≤a≤7 D．a≥7或a椋3 [答案] C[解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力．两条平行线与圆都相交时，|2 －1 ＋a|5 5由|2 －1 ＋a＋1|525得－6a6，两条直线都和圆相离时，|2 －1 ＋a|5 5由|2 －1 ＋a＋1|52得a－3，或a7，所以两条直线和圆“相切”时a5的取值范围－3≤a≤－6或6≤a≤7，故选C.[方法点拨] 与圆有关的最值问题主要题型有：1．圆的半径最小时，圆面积最小．2．圆上点到定点距离最大(小)值问题，点在圆外时，最大值d＋r，最小值d－r(d是圆心到定点距离)；点在圆内时，最大值d＋r，最小值r－d.3．圆上点到定直线距离最值，设圆心到直线距离为d，直线与圆相离，则最大值d＋r，最小值d－r；直线与圆相交，则最大值d＋r，最小值0.4．P(x，y)为⊙O上一动点，求x、y的表达式(如x＋2y，x ＋y等)的取值范围，一段利用表达式的几何意义转化．二、填空题10．(文)设直线mx－y＋3＝0与圆(x－1)＋(y－2)＝4相交于A、B两点，且弦长为3，则m＝________.[答案] 02222[解析] 圆的半径为2，弦长为23，∴弦心距为1，即得d|m ＋1|m＋1＝1，解得m＝0.1222(理)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sinA ＋sinB＝sinC，则直线2ax－by＋c＝0被圆x2＋y2＝9所截得弦长为________．[答案] 271222[解析] 由正弦定理得a＋b＝c，2∴圆心到直线距离d＝|c|a＋b22＝c2，12c2∴弦长l＝r－d＝29－2＝7.11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x＋y＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．[答案] (－13,13)[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系，利用数形结合可解决此题，属中档题．要使圆x＋y＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，只需满足圆心到直线的距离小于1即可．222即|c|12＋522，解|c|13，∴－13c13.12．已知过点P(2,1)有且只有一条直线与圆C：x＋y＋2ax＋ay＋2a＋a－1＝0相切，则实数a＝________.[答案] －1[解析] 由条件知点P在⊙C上，∴4＋1＋4a＋a＋2a＋a－1＝0，∴a＝－1或－2. 当a＝－1时，x＋y－2x－y＝0表示圆，当a＝－2时，x＋y－4x－2y＋5＝0不表示圆，∴a＝－1.三、解答题13．(2022年福建文，19)已知点F为抛物线E：y＝2px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3. 22222222(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．[分析] 考查：1.抛物线标准方程；2.直线和圆的位置关系．(1)利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化；(2)欲证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．可证明点F到直线GA和直线GB的距离相等(此时需确定两条直线方程)；也可以证明∠AGF＝∠BGF，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数．[解析] 法一：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋.2因为|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，所以抛物线E的方程为y＝4x.2(2)因为点A(2，m)在抛物线E：y＝4x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)．由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．由2p2y＝22 x－1 ，y2＝4x，得2x－5x＋2＝0，211解得x＝2或x＝，从而B(2)．22又G(－1,0)，2－022－2－022所以kGA＝kGB＝＝－，2－－1 313－－1 2所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．法二：(1)同法一．(2)设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r. 因为点A(2，m)在抛物线E：y＝4x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)．由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．由y＝22 x－1 ，y2＝4x，得2x－5x＋2＝0.21 1 解得x＝2或x＝，从而B2 . 2 2又G(－1,0)，故直线GA的方程为2x－3y＋22＝0，|22＋22|42从而r＝ .8＋917又直线GB的方程为2x＋3y＋22＝0，2＋2|2所以点F到直线GB的距离d＝＝r.8＋917这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．14．(文)已知圆C：x＋y＝r(r0)经过点(13)．(1)求圆C的方程；→(2)是否存在经过点(－1,1)的直线l，它与圆C相交于A、B两个不同点，且满足关系OM1→3→＝＋(O为坐标原点)的点M也在圆C上，如果存在，求出直线l的方程；如果不存22在，请说明理由．[解析] (1)由圆C：x＋y＝r，再由点(13)在圆C上，得r＝1＋(3)＝4，所以圆C的方程为x＋y＝4.(2)假设直线l存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．①若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－1＝k(x＋1)，y＝k x＋1 ＋1，联立22x＋y－4＝0.22222222222222消去y得，(1＋k)x＋2k(k＋1)x＋k＋2k－3＝0，2k k＋1 2－2k由韦达定理得x1＋x2＝－＝－2＋221＋k1＋kk2＋2k－32k－4x1x2＝＝1＋221＋k1＋ky1y2＝k2x1x2＋k(k＋1)(x1＋x2)＋(k＋1)2＝因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在圆C上，因此，得x1＋y1＝4，x2＋y2＝4，3x1＋3x2y1＋3y2→1由OM＝＋得，x0＝，y0＝，222222222k＋42－3，1＋k由于点M也在圆C上，则(整理得2x21＋y1x1＋3x222y1＋3y22＝4，242x22＋y2433x1x2y1y2＝4，222k－42k＋4即x1x2＋y1y2＝0，所以1＋(3)＝0，1＋k1＋k从而得，k－2k＋1＝0，即k＝1，因此，直线l的方程为2y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.②若直线l的斜率不存在，－1－33－3则A(－1，3)，B(－1，－3)，M()－1323－32)＋)＝4－3≠4，22故点M不在圆上与题设矛盾，综上所知：k＝1，直线方程为x－y＋2＝0.(理)已知圆O：x＋y＝2交x轴于A、B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为2222椭圆，其左焦点为F.若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交直线x＝－2于点Q.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(1,1)，求证：直线PQ与圆O相切；(3)试探究：当点P在圆O上运动时(不与A，B重合)，直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．[解析] (1)因为a2，e＝2c＝1，2则b＝1，即椭圆C＋y＝1.21(2)因为P(1,1)，F(－1,0)，所以kPF＝2∴kOQ＝－2，所以直线OQ的方程为y＝－2x. 又Q在直线x＝－2上，所以点Q(－2,4)．x22∴kPQ＝－1，kOP＝1，∴kOPkPQ＝－1，即OP⊥PQ，故直线PQ与圆O相切．(3)当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆P保持相切的位置关系，设P(x0，y0)，(x0≠±2)，则y0＝2－x0，kPF＝22x0＋1kOQ＝－，x0＋1y0x0＋1x，y0y0∴直线OQ的方程为y＝－2x0＋2∴点Q(－2)，y0y0－∴kPQ＝22x0＋2y0x0＋2y20－2x0＋2x0＋2 y0－x0－2x0x0y0＝，又kOP＝x0＋2 y0y0x0∴kOPkPQ＝－1，即OP⊥PQ(P不与A、B重合)，直线PQ 始终与圆O相切．15．(文)(2022年石家庄市质检)已知动圆C过定点M(0,2)，且在x轴上截得弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C.(1)求曲线C方程；(2)设点A为直线l：x－y－2＝0上任意一点，过A作曲线C 的切线，切点分别为P、Q，求△APQ面积的最小值及此时点A 的坐标．[解析] (1)设动圆圆心坐标为C(x，y)，根据题意得x2＋y－2 2＝y2＋4，化简得x＝4y.(2)解法一：设直线PQ的方程为y＝kx＋b，y＝kx＋b22消去y得x－4kx－4b＝0.2x1＋x2＝4k设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2＝－4b，且Δ＝16k＋16b211以点P为切点的切线的斜率为y′11，其切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，__即y＝1x－x1.24112同理过点Q的切线的方程为y＝x2x2.24两条切线的交点A(xA，yB)在直线x－y－2＝0上，x＋xx＝2k 2解得__12A12A2，即A(2k，－b)．则：2k＋b－2＝0，即b＝2－2k，代入Δ＝16k＋16b＝16k＋32－32k＝16(k－1)＋160，|PQ|1＋k|x1－x2|＝1＋k2222k2＋b，2|2k＋2b|A(2k，－b)到直线PQ的距离为d＝k2＋1S△APQ＝PD|d＝4|k2＋b|k2＋b＝4(k2＋b)3322＝4(k－2k＋2)＝4[(k－1)＋1].当k＝1时，S△APQ最小，其最小值为4，此时点A的坐标为(2,0)．解法二：设A(x0，y0)在直线x－y－2＝0上，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在抛物线x＝4y11上，则以点P为切点的切线的斜率为y11，其切线方程为y －y1＝x1(x－x1)，221即y＝1x－y1，21同理以点Q为切点的方程为y＝x2x－y2.21y＝__－y，2设两条切线均过点A(x，y)，则1y＝2__－y.1012021232点P，Q的坐标均满足方程y0＝__0－y，即直线PQ的方程为：y＝0x－y0，代入抛物线方程x＝4y消去y可得：21212x2－2x0x＋4y0＝0|PQ|＝1210|x1－x2| 41221＋x04x0－16y0 412|x0－2y0|2A(x0，y0)到直线PQ的距离为d＝12x0＋14S△APQ＝PQ|d＝x20－4y0x0－4y01212312＝(x0－4y0) 2 2331212＝(x0－4x0＋8) 2 ＝[(x0－2)＋4] 2 22当x0＝2时，S△APQ最小，其最小值为4，此时点A的坐标为(2,0)．3(理)已知点A(－2,0)，B(2,0)，直线PA与直线PB斜率之积为－，记点P的轨迹为曲4线C.(1)求曲线C的方程；→→→→(2)设M、N是曲线C上任意两点，且|OM－ON|＝|OM＋ON|，是否存在以原点为圆心且与MN总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设P(x，y)，3则由直线PA与直线PB斜率之积为－得，4y3x≠±2)，x＋2x－24整理得曲线C＋＝1(x≠±2)．43→→→→→→(2)若|OM－ON|＝|OM＋ON|，则OM⊥ON. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)．若直线MN斜率不存在，则y2＝－y1，N(x1，－y1)．yx2y2x1y1→→y1－y1由OM⊥ON得＝－1，又＋1.x1x143解得直线MN方程为x＝±12.原点O到直线MN的距离d＝712. 722若直线MN斜率存在，设方程为y＝kx＋m.y＝kx＋m 22由xy＋＝1 43得(4k＋3)x＋8kmx＋4m－12＝0.222－8km4m－12∴x1＋x2＝2，x1x2＝2(*)4k＋34k＋3→→y1y222由OM⊥ON得＝－1，整理得(k＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m ＝0.2x1x2代入(*)式解得7m＝12(k＋1)．此时(4k＋3)x＋8kmx＋4m－12＝0中Δ0. 此时原点O到直线MN的距离22222。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题22 随机变量及其分布列理（含解析）一、解答题1．(2014·安徽理，17)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率；(2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．[分析] ①甲在四局内赢得比赛，即甲前两局胜，或第一局败，二、三局胜，或第一局胜，第二局败，第三、四局胜．②比赛总局数最少2局，最多5局，求概率时，既要考虑甲胜结束，又要考虑乙胜结束． ③由于各局比赛结果相互独立，故按独立事件公式计算积事件的概率．[解析] 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＝(23)2＋13×(23)2＋23×13×(23)2＝5681. (2)X 的可能取值为2,3,4,5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081，P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的分布列为E (X )＝2×59＋3×29＋4×81＋5×81＝81.[方法点拨] 1.求复杂事件的概率的一般步骤： 1°列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示； 2°理清各事件之间的关系，列出关系式；3°根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．2．直接计算符合条件的事件的概率较繁时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．3．要准确理解随机变量取值的意义，准确把握每一个事件所包含的基本事件，然后依据类型代入概率公式进行计算．4．概率与统计知识结合的问题，先依据统计知识明确条件，求出有关统计的结论，再将所求问题简化为纯概率及其分布的问题，依据概率及其分布列、期望、方差的知识求解．5．离散型随机变量的分布列的性质：设离散型随机变量X 的分布列为：则①p i ≥0，i ＝②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝1.2．(2015·重庆理，17)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．[分析] 考查了古典概型的概率以及分布列、数学期望，属于简单题型．(1)由古典概型概率公式计算；(2)从含有2个豆沙粽的10个粽子中取3个，据此可得出X 的可能取值及其概率，列出分布列求得期望．[解析] (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有 P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的可能取值为0,1,2，且 P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115综上知，X 的分布列为：故E (X )＝0×715＋1×715＋2×15＝5(个)[方法点拨] 如果题目条件是从含A 类物品M 件，总数为N 的A 、B 两类物品中，抽取n 件，其中含有A 类物品件数X 为随机变量，则按超几何分布公式直接计算．请练习下题：一盒中有12个零件，其中有3个次品，从盒中每一次取出一个零件，取后不放回，求在取到正品前已取次数X 的分布列和期望．[分析] 由于题设中要求取出次品不再放回，故应仔细分析每一个X 所对应的事件的准确含义．据此正确地计算概率p .[解析] X 可能的取值为0、1、2、3这四个数，而X ＝k 表示，共取了k ＋1次零件，前k 次取得的是次品，第k ＋1次取得正品，其中k ＝0、1、2、3.(1)当X ＝0时，第1次取到正品，试验中止，此时 P (X ＝0)＝C 19C 112＝34.(2)当X ＝1时，第1次取到次品，第2次取到正品， P (X ＝1)＝C 13C 112×C 19C 111＝944.(3)当X ＝2时，前2次取到次品，第3次取到正品， P (X ＝2)＝C 13C 112×C 12C 111×C 19C 110＝9220.当X ＝3时，前3次将次品全部取出， P (X ＝3)＝C 13C 112×C 12C 111×C 11C 110＝1220.所以X 的分布列为：E (X )＝0×34＋1×944＋2×220＋3×220＝10.3．(2014·石家庄质检)某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品(每人一件)．(注：视频率为概率)(1)试确定m、n的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；(2)现有4人去该商场购物，求获得纪念品的人数ξ的分布列与数学期望．[解析](1)由已知，100位顾客中购物款不低于100元的顾客有n＋40＝100×60%，n＝20；m＝100－(20＋30＋20＋10)＝20.该商场每日应准备纪念品的数量大约为5000×60100＝3000件．(2)由(1)可知1人购物获得纪念品的频率即为概率p＝60100＝35.故4人购物获得纪念品的人数ξ服从二项分布B(4，35 )．P(ξ＝0)＝C04(35)0(25)4＝16625，P(ξ＝1)＝C14(35)1(25)3＝96625，P(ξ＝2)＝C24(35)2(25)2＝216625，P(ξ＝3)＝C34(35)3(25)1＝216625，P(ξ＝4)＝C44(35)4(25)0＝81625，ξ的分布列为ξ数学期望为E(ξ)＝0×625＋1×625＋2×625＋3×625＋4×625＝125.或由E (ξ)＝4×35＝125.[方法点拨] 1.独立重复试验与二项分布一般地，如果在一次试验中事件A 发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )．称事件A 发生的次数X 服从参数为n 、p 的二项分布．若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．2．离散型随机变量的期望：设离散型随机变量X 的分布列为则E (X )＝x 1p 1＋x 22i i n n 11＋(x 2－E (X ))2p 2＋…＋(x n －E (X ))2p n .3．准确辨别独立重复试验的基本特征(①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同)，牢记公式P n (k )＝C k n p k(1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n ，并深刻理解其含义，是解二项分布问题的关键．4．对于复杂事件，要先辨析其构成，依据互斥事件，或者相互独立事件按事件的和或积的概率公式求解，还要注意含“至多”，“至少”类词语的事件可转化为对立事件的概率求解．请练习下题：为了了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1 2 3，其中第2小组的频数为12.(1)求该校报考飞行员的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选3人，设X 表示体重超过60kg 的学生人数，求X 的分布列和数学期望．[分析] 先由频率直方图中前三组频率的比及第2小组频数及频率分布直方图的性质求出n 的值和任取一个报考学生体重超过60kg 的概率．再由从报考飞行员的学生中任选3人知，这是三次独立重复试验，故X 服从二项分布．[解析] (1)设报考飞行员的人数为n ，前3个小组的频率分别为p 1，p 2，p 3，则由条件可得：⎩⎪⎨⎪⎧p 2＝2p 1，p 3＝3p 1，p 1＋p 2＋p 3＋ 0.037＋0.013 ×5＝1.解得p 1＝0.125，p 2＝0.25，p 3＝0.375. 又因为p 2＝0.25＝12n，故n ＝48.(2)由(1)可得，一个报考学生体重超过60kg 的概率为P ＝p 3＋(0.037＋0.013)×5＝58，由题意知X 服从二项分布B (3，58)，P (x ＝k )＝C k 3(58)k (38)3－k(k ＝0,1,2,3)，所以随机变量X 的分布列为E (X )＝0×27512＋1×512＋2×512＋3×512＝8. 4．(2015·江西省质量监测)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：老板根据销售量给予店员奖励，具体奖励规定如下表(2)记未来连续2天，店员获得奖励X 元，求随机变量X 的分布列及数学期望E (X )． [解析] (1)由频率分布直方图得店员一天获得50元、100元、150元的概率分别是0.3,0.2,0.1，不得奖励的概率是0.4，所以未来连续3天里，店员共获得奖励150元的概率P ＝0.33＋A 33×0.3×0.2×0.4＋C 13×0.42×0.1＝0.219；(2)X 可能取值有0,50,100,150,200,250,300.P (X ＝0)＝0.42＝0.16，P (X ＝50)＝2×0.4×0.3＝0.24.P (X ＝100)＝0.32＋2×0.4×0.2＝0.25，P (X ＝150)＝2×0.4×0.1＋2×0.3×0.2＝0.20.P (X ＝200)＝0.22＋2×0.3×0.1＝0.10， P (X ＝250)＝2×0.2×0.1＝0.04， P (X ＝300)＝0.12＝0.01，所以随机变量X 的分布列是：E (X )＋300×0.01＝100(或E (X )＝2(0×0.4＋50×0.3＋100×0.2＋150×0.1)＝100)[方法点拨] 概率与统计知识相结合是高考主要命题方式之一．一般先解答统计问题，最后依据条件确定随机变量的取值及其概率，再列出分布列求期望．请练习下题：(2015·江西上饶市三模)对某校高二年级学生暑期参加社会实践次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社会实践的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：(1)求出表中M ，p 及图中a 的值；(2)在所取样本中，从参加社会实践的次数不少于20次的学生中任选3人，记参加社会实践次数在区间[25,30)内的人数为X ，求X 的分布列和期望．[解析] (1)由频率分布表和频率分布直方图的知识与性质知，20M ＝0.25，48M＝n,0.25＋n ＋p ＋0.05＝1，n5＝a ，解之可得M ＝80，p ＝0.1，a ＝0.12.(2)参加社会实践次数分别在[20,25]和[25,30)的人数依次为0.1×80＝8人，0.05×80＝4人，从这12人中随机抽取3人，随机变量X 的取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 38C 312＝56220＝1455，P (X ＝1)＝C 28C 14C 312＝112220＝2855，P (X ＝2)＝C 18C 24C 312＝48220＝1255，P (X ＝3)＝C 34C 12＝4220＝155.分布列如下：可得E (X )＝1.5．(2015·河南八市质量监测)某市在2015年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N (115,25)，现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间．现将结果按如下方式分为6组，第一组[80,90)，第二组[90,100)，……，第六组[130,140]，得到如下图所示的频率分布直方图．(1)试估计该校数学的平均成绩(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)； (2)这50名学生中成绩在120分(含120分)以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X ，求X 的分布列和期望．附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.9974.[解析] (1)由频率分布直方图可知[120,130)的频率为：1－(0.01×10＋0.024×10＋0.03×10＋0.016×10＋0.008×10)＝1－0.88＝0.12，所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为85×0.1＋95×0.24＋105×0.3＋115×0.16＋125×0.12＋135×0.08 ＝8.5＋22.8＋31.5＋18.4＋15＋10.8＝107，所以该校的平均成绩为107.(2)由于1310000＝0.0013，根据正态分布：∵P (115－3×5<X <115＋3×5)＝0.9974，∴P (X ≥130)＝1－0.99742＝0.0013，即0.0013×10000＝13，所以前13名的成绩全部在130分以上，根据频率分布直方图这50人中成绩在130分以上(包括130分)的有0.08×50＝4人，而在[120,140]的学生共有0.12×50＋0.08×50＝10，所以X 的取值为0,1,2,3，所以P (X ＝0)＝C 36C 310＝20120＝16，P (X ＝1)＝C 25C 14C 310＝60120＝12，P (X ＝2)＝C 14C 24C 410＝36120＝310，P (X ＝3)＝C 34C 210＝4120＝130.所以X 的分布列为E (X )＝0×16＋1×12＋2×10＋3×30＝1.2.[方法点拨] 1.正态分布数学期望为μ，标准差为σ的正态随机变量概率密度函数为f (x )＝12πσe －x －μ22σ2，x ∈R . 2．正态曲线的特点①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图①所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②所示．3．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率为68.3%；正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率为95.4%；正态变量在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率为99.7%. 4．期望、方差的性质E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；D (aX ＋b )＝a 2D (X )．6．(2015·石家庄市一模)集成电路E 由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为12，12，23，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E 能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E 所需费用为100元．(1)求集成电路E 需要维修的概率；(2)若某电子设备共由2个集成电路E 组成，设X 为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X 的分布列和期望．[解析] (1)三个电子元件能正常工作分别记为事件A ，B ，C ，则P (A )＝12，P (B )＝12，P (C )＝23.依题意，集成电路E 需要维修有两种情形： ①3个元件都不能正常工作，概率为P 1＝P (A － B － C －)＝P (A －)P (B －)P (C －)＝12×12×13＝112；②3个元件中的2个不能正常工作，概率为P 2＝P (A B － C －＋A －B C －＋A － B －C )＝P (A B －C －)＋P (A －B C －)＋P (A － B －C )＝12×12×13＋12×12×13＋12×12×23＝13所以，集成电路E 需要维修的概率为P 1＋P 2＝112＋13＝512.(2)设ξ为维修集成电路的个数，则ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，512，而X ＝100ξ，P (X ＝100k )＝P (ξ＝k )＝C k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫512k ⎝ ⎛⎭⎪⎫7122－k，k ＝0,1,2. X 的分布列为：∴E (X )＝0×49144＋100×72＋200×144＝3或E (X )＝100E (ξ)＝100×2×512＝2503.7．(2014·郑州市质检)为了迎接2014年3月30日在郑州举行的“中国郑州国际马拉松赛”，举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动. 抽奖盒中装有6个大小相同的小球，分别印有“郑开马拉松”和“美丽绿城行”两种标志. 摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球(取出后不再放回)，若抽到两个球都印有“郑开马拉松”标志即可获奖，并停止取球；否则继续抽取．第一次取球就抽中获一等奖，第二次取球抽中获二等奖，第三次取球抽中获三等奖，没有抽中不获奖．活动开始后，一位参赛者问：“盒中有几个印有‘郑开马拉松’的小球？”主持人说“我只知道第一次从盒中同时抽两球，不都是‘美丽绿城行’标志的概率是45.”(1)求盒中印有“郑开马拉松”小球的个数；(2)若用η表示这位参加者抽取的次数，求η的分布列及期望．[解析] (1)设印有“美丽绿城行”的球有n 个，同时抽两球不都是“美丽绿城行”标志为事件A,则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是P (A )＝C 2nC 26，由对立事件的概率知P (A )＝1－P (A )＝45.即P (A )＝C 2n C 26＝15，解得n ＝3.(2)由已知，两种球各三个，η可能取值分别为1、2、3，则η＝2的含义是第一次取到两球都印有“美丽绿城行”，第二次取球中奖；或第一次取到两类球各一个，第二次取球中奖，∴P (η＝1)＝C 23C 26＝15，P (η＝2)＝C 23C 26·C 23C 24＋C 13C 13C 26·C 22C 24＝15，P (η＝3)＝1－P (η＝1)－P (η＝2)＝35，则η的分布列为：所以E (η)＝1×15＋2×15＋3×5＝5.[方法点拨] 解决概率的实际应用问题，先通过审题，将条件翻译为解题需要的数学语言，再依据条件判明概率类型、弄清随机变量取值时所表示事件的含义，并把复杂事件进行合理的分拆，转化为简单事件，最后代入对应公式进行计算．请再练习下题：(2014·福建理，18)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．[解析] (1)设顾客所获的奖励额为X ， (ⅰ)依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，顾客所获的奖励额为60元的概率为12；(ⅱ)依题意，得X 的所有可能取值为20,60， P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12.即X 的分布列为∴顾客所获的奖励额的期望E 40(元)．(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元，所以先寻找期望为60的可能方案，对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能是60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面积之和最小值，所以期望也不可能是60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)记为方案1，对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2，以下是对两个方案的评价：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1的期望为E (X 1)＝20×16＋60×3＋100×6＝60，X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝16003. 对于方案2，即方案(20,20,40,40)设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的分布列为X 2的期望为E (X 2)＝40×16＋60×3＋80×6＝60，X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003. 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应选择方案2.。

【走向高考】2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题22 随机变量及其分布列 理(含解析)

【走向高考】2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题23 选择题解题技能训练(含解析)

【走向高考】2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题25 审题技能训练(含解析)