金属的杨氏模量的测量

金属的杨氏模量的测量
当固体受外力作用时，它的体积和形状将要发生变化，这种变化，称为形变。

当外力不太大时，物体的形变与外力成正比，且外力停止作用物体立即恢复原来的形状和体积，这种形变称为弹性形变。

当外力较大时，物体的形变与外力不成比例，且外力停止作用，物体形变不能恢复原来的形状和体积，这种形变称为范性形变。

范性形变的产生，是由于物体形变而产生的内应力超过了物体的弹性限度的缘故。

如果再继续增大外力，物体内产生的内应力将会超过物体的强度极限时，物体便被破坏了。

固体材料的弹性形变可以分为纵向、切变、扭转、弯曲等，对于纵向弹性形变可以引入杨氏模量来描述材料抵抗形变的能力。

杨氏模量是反映材料形变与内应力关系的一个重要的物理量。

杨氏模量越大，越不易发生形变。

杨氏模量一般只与材料的性质和温度有关，与其几何形状无关。

材料杨氏模量测量方法很多，有静态法和动态法。

对于静态法来说，又可分为拉伸法和弯曲法。

Ⅰ. 拉伸法测定钢丝的杨氏弹性模量
【实验目的】
1. 学会用拉伸法测定钢丝的杨氏弹性模量。

2. 掌握几种长度测量工具的使用方法及其不确定度的分析和计算。

3. 进一步掌握逐差法、作图法和最小二乘法的数据处理方法。

【实验仪器】
杨氏模量测量仪、螺旋测微器、钢卷尺、读数显微镜装置等。

【实验原理】
一、拉伸法测金属丝的杨氏弹性模量
设有一根粗细均匀的金属丝，长度为L ，截面积为S ，将其上端紧固，下端悬挂质量为m 的砝码。

当金属丝受外力F mg =作用而发生形变∆L 时，金属丝受外力作用发生形变而产生的内应力S F ，其应变为L L ∆，根据虎克
定律有：在弹性限度内，物体的应力S F 与产生的应变成正比，即
L
L E S F ∆⋅= （Ⅰ.1） 式中E 为比例恒量，将上式改写为
E L S
F L
=⋅∆ （Ⅰ.2） 其中E 为该材料的杨氏弹性模量（又称杨氏模量），在数值上等于产生单位应变的应力。

实验证明，杨氏模量E 与外力F 、金属丝的长度L 、横截面积S 的大小无关，它只与制成金属丝的材料有关。

若金属丝的直径为d ，则241d S ⋅⋅=
π，将其代入（Ⅰ.2）式中可得 L
d L F E ∆=24π （Ⅰ.3） （Ⅰ.3）式表明，在长度、直径和所加外力相同的情况下，杨氏模量大的金属丝伸长量较小，杨氏模量小的金属丝伸长量较大。

因此，杨氏模量反映了材料抵抗外力引起的拉伸（或压缩）形变的能力。

实验中，测量出F 、L 、d 和L ∆值就可以计算出金属丝的杨氏模量E 。

其中F 、L 、d 都可用一般方法测得，唯有L ∆是一个微小的变化量，约mm 110-数量级，用普通量具如钢尺或游标卡尺是难以测准的。

因此，实验的核心问题是对微小变化量L ∆的测量。

在本实验中用读数显微镜测量（也可利用光杠杆法或其他方法测量）
二、杨氏模量测量仪
杨氏模量测量仪的基本结构如图1所示。

在一个较重的三脚底座上固定有两根立柱，支柱上端有横梁，中部紧固一个平台，构成一个刚度极好的支架。

整个支架受力后变形极小，可以忽略。

通过调节三角底座的水平调节螺母13使整个支架铅直。

待测样品是一根粗细均匀的金属丝（长约90cm ）。

金属丝上端用上端紧固座2夹紧并固定在上横梁上，钢丝下端也用一个钳形平台5夹紧并穿过平台的中心孔，使金属丝自由悬挂。

钢丝的总长度L 就是从上端固定座2的下端面至钳形平台5的上端面之间的长度。

钳形平台5下方的挂钩上挂一个砝码盘，当盘上逐次加上一定质量的砝码后，钢丝就被拉伸，标尺刻线6也跟着下降。

读数标尺9相对
钳形平台5的下降量，即是钢丝的伸长量L。

读数显微镜装置由测微目镜（详见附件）、带有物镜的镜筒以及可以在导轨上前后移动的底座组成。

1. 金属丝上端锁紧螺母；
2. 上端固定座；
3. 待测金属丝；
4. 测量仪立柱；
5. 钳形平台；
6. 限位螺钉；
7. 金属丝下端锁紧螺母；
8. 砝码盘；
9. 读数标尺；
10. 读数显微镜；11. 测微目镜支架锁紧螺钉； 12. 导轨； 13. 测量仪水平调节螺母。

图Ⅰ.1 杨氏模量测量仪
【实验内容】
一、仪器的调整
1．调节底脚螺母，使仪器底座水平（可用水准器），测试仪立柱铅直，使金属丝下端的小圆柱与钳形平台无摩擦地上下自由移动，旋紧金属丝上端的固定座，使圆柱两侧刻槽对准钳形平台两侧的限位螺钉，两侧同时对称地将限位螺钉旋入刻
槽中部，在减小摩擦的同时，又能避免发生扭转和摆动现象。

2. 在砝码盘上加100g砝码，使金属丝被拉直（这些重量不计算在外力内，此时钢丝为原长L）；
3. 调节测微目镜，使眼睛能够看到清晰的分划板像。

再将物镜对准小圆柱平面中部刻线，调节显微镜前后距离，直到看清小圆柱平面中部刻线的像。

同时，稍微旋转显微镜，确保分划板中读书标尺线与刻线像完全平行，并消除视差（详见实验3.15 附件2），最后锁定显微镜底座。

注意：因读数显微镜成倒像，所以待测金属丝受力伸长时，视场内的十字叉丝像向上移动，金属丝回缩时，十字叉丝向下移动。

二、测量
；然后逐次加质量为50g 1．先记下未加砝码时水平叉丝对准的标尺刻度n
砝码，直到450g。

每加一个砝码后，要等系统稳定下来再记录显微镜中的读n；然后逐次取下砝码，直至取完所加砝码，每取下一个砝码时等稳定后数
i
n 。

记下望远镜中每次相应的读数
i
2. 用螺旋测微器测量钢丝直径d，在不同部位测量五次。

3. 用钢卷尺分别测量钢丝原长L，测量一次。

【注意事项】
1. 不能用手触摸显微镜的镜面。

调节显微镜时一定要消除视差，否则会影响读数的正确性；
2. 实验系统调节好后，在实验过程中绝对不能对系统的任一部分进行任何调整。

否则，所有数据将得重新测量；
3. 加减砝码时，要轻拿轻放以免钢丝摆动；同时，应注意砝码的各槽口，应相互错开，防止因受力不均，而使砝码掉落；
4. 待测钢丝不能扭折。

实验完毕后，应将砝码取下，以防止钢丝疲劳。

【数据记录及处理】
1. 数据测量记录
单次测量量L 的记录：
钢丝的原长L =
注：mm L ins 50.0)(=∆。

表Ⅰ.1 钢丝直径测量数据
螺旋测微器零点读数=
注：mm d ins 004.0)(=∆。

表Ⅰ.2 加外力后标尺的读数
其中，)(2
i i i n n n '+=，i n 是每次增加50g 砝码时标尺的读数，i n '是每次减少50g 砝码时标尺的读数。

2. 数据处理
（1）用隔项逐差法（组差法）处理数据，求C 及其不确定度。

∑=i C C 5
1，而i i i n n C -=+5。

注：mm C ins 004.0)(=∆。

（2）由公式C
d FL E 24π=和g M F ⋅∆=，计算钢丝的杨氏模量及其不确定度，并写出结果表达式。

注意：由于采用了逐差法，此处g 250=∆M 。

由公式（3）可推导出杨氏模量的相对不确定度的公式为
222))(())(2())(()(C
C u d d u L L u E E u +⋅+= （Ⅰ.4） （3）将实验测得的E 与公认值21101000.2-⋅⨯=m N E 进行比较，求其百分差。

（4）用图解法和最小二乘法对数据进行处理，并与逐差法进行比较。

Ⅱ.霍尔传感器的定标和弯梁法测量杨氏模量
【实验目的】
1. 熟悉霍尔位置传感器的特性，掌握微小位移的非电量测量方法；
2. 用弯梁法测量金属的杨氏模量；
3. 掌握几种长度测量工具的使用方法及其不确定度的分析和计算。

4. 进一步掌握逐差法、作图法和最小二乘法的数据处理方法。

【实验仪器】
霍尔位置传感器测杨氏模量装置，霍尔位置传感器输出信号测量仪，米尺，游标卡尺，螺旋测微器，砝码，待测材料等。

【实验原理】
随着科学技术的发展，微小位移量的测量方法和技术越先进，本实验通过霍尔位置传感器的输出电压与位移量线形关系的定标从而实现对于微小位移量的测量。

1. 霍尔位置传感器
霍尔元件置于磁感应强度为B 的磁场中，在垂直于磁场方向通以电流I ，则与这二者相垂直的方向上将产生霍尔电势差H U ：
B I K U H ⋅⋅= （Ⅱ.1）
式（1）中K 为元件的霍尔灵敏度。

如果保持霍尔元件的电流I 不变，而使其在一个均匀梯度的磁场中位移Z ∆时，则输出的霍尔电势差变化量为：
Z dZ dB I K U H ∆⋅⋅
⋅=∆ （Ⅱ.2）
式（2）中Z ∆为位移量，此式说明若dZ dB 为常数时，H U ∆与Z ∆成正比。

为实现均匀梯度的磁场，可以如图Ⅱ.1所示，
两个结构相同的直流磁路系统共同形成一个沿
Z 轴的梯度磁场。

为使磁隙中的磁场得到较好的
线性分布，一般采用两块相同的磁铁（磁铁截
面积及表面磁感应强度相同）相对放置，即N 极
与N 极相对，在磁极端面装有特殊形式的
极靴。

两磁铁之间留一等间距间隙，霍尔元件平 图Ⅱ.1 霍尔传感器工作原理图 行于磁铁放在该间隙的中轴上。

间隙大小要根据测量范围和测量灵敏度要求而定，间隙越小，磁场梯度就越大，灵敏度就越高。

磁铁截面要远大于霍尔元件，以尽可能的减小边缘效应影响，提高测量精确度。

若磁铁间隙内中心截面处的磁感应强度为零，霍尔元件处于该处时，输出的霍尔电势差应该为零。

当霍尔元件偏离中心沿Z 轴发生位移时，由于磁感应强度不再为零，霍尔元件也就产生相应的电势差输出。

霍尔电势V 取决于其在磁场中的位移量Z ，其大小可以用电压表测量。

因此，测得霍尔电势的大小便可获知霍尔元件的静位移。

霍尔电势差与位移量之间存在一一对应关系，当位移量较小（mm 2<），这一对应关系具有良好的线性，由此可以将霍尔电势差为零时元件所处的位置作为位移参考零点。

2、弯梁法测量杨氏模量
一段金属棒，在其两端沿轴方向施加外力F ，其长度L 发生形变∆L ，以S 表示横截面面积，称S F 为应力，相对长变L L ∆为应变。

在弹性限度内，根据胡克定律有：
L
L E S F ∆⋅= 其中E 为该材料的杨氏弹性模量（又称杨氏模量），在数值上等于产生单位应变的应力。

实验证明，杨氏模量E 与外力F 、金属棒的长度L 、横截面积S 的大小无关，它只与制成金属棒的材料性质有关。

图Ⅱ.2 弯梁法示意图
如图Ⅱ.2（a ）所示，若将厚度为a ，宽度为b 的金属材料置于相距为d 的两刀口上，在材料中点处挂上质量为M 的砝码，则材料将被弯曲，材料中点处将下降Z ∆。

在横梁发生微小弯曲时，对于材料中相距x d 的1O 和2O 两点的横断面而言，在材料弯曲前两者是相互平行的，弯曲后则形成一小角度θd ，如图Ⅱ.2（b ）所示。

显然，在弯曲后，材料的上半部分呈压缩状态，下半部分呈拉伸状态。

所以整体说来，可以理解横梁发生了长度变化，即可以用杨氏模量来描写材料的性质。

图Ⅱ.3 弯梁法测量杨氏模量的原理图
如图Ⅱ.3（a ）所示，虚线表示弯曲梁的中性层，易知其既不拉伸也不压缩，取与中性层相距为y 、厚为dy 、形变前长度为dx 的层面为研究对象。

此层面的曲率半径为)(x R ，所对应的张角为θd ，即θ
d x d x R =
)(。

梁弯曲后，其长度变化量为θd y
所以材料的应变为： )(x R y x d d y ==θε； 因此，根据胡克定律)
(x R y E dS dF ⋅-=；以及形变层的横截面积dy b dS ⋅=，可得 dy x R y b E x dF )
()(⋅⋅-= （Ⅱ.3） 此力对于中间层的转动力矩为
dy y x R b E y x dF x dM ⋅⋅=⋅=2)
()()( 积分可得：
x
d d a b E a b E x R dy y x R b E x M a
a θ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⎰-12)(121)()(32232 （Ⅱ.4） 如图Ⅱ.3（
b ）所示，如果将梁的中点固定，在中心两侧各为
2d 处分别施加向上的力Mg 2
1，则梁上距中心为x 、长度为x d 的小段因弯曲而产生的下降量为 θd x d Z d ⋅-=∆)2
()( （Ⅱ.3） 当梁处于平衡状态时，由外力Mg 21对该处产生的力矩)2
(21x d Mg -应当等于式（Ⅱ.2）求出的力矩，即
x
d d a b E x d Mg θ⋅⋅⋅=-12)2(213 （Ⅱ.5） 由此式求出θd ，代入式Ⅱ.3并积分，可得
3
320234)2(6a b E d Mg x d x d a b E Mg Z d ⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅=∆⎰
所以，杨氏模量为： Z b a Mg d E ∆⋅⋅⋅=334 （Ⅱ.6）
3. 杨氏模量测定仪
图Ⅱ.3 杨氏模量测定仪装置图
1.铜刀口上的基线；
2.读数显微镜；
3.刀口；
4.横梁；
5.铜杠杆；
6.磁铁盒；
7.磁铁（N 极相对放置）；8.调节支架；9.水准仪；10.砝码
杨氏模量测定仪主体装置如图Ⅱ.3所示。

横梁（黄铜板或冷扎板）穿在砝码铜刀口内，安放在两立柱刀口的正中央位置。

铜杠杆的有传感器的一端插入两立柱刀口中间，该杠杆中间的铜刀口放在刀座上。

铜杠杆上的三眼插座插在立柱的三眼插针上，用仪器电缆一端连接测量仪器，另一端插在立柱另外三眼插针上；接通电源，调节磁铁或仪器上调零电位器使在初始负载的条件下仪器指示处于零值。

大约预热十分钟左右，指示值即可以稳定。

调节读数显微镜（手柄朝上），直到眼睛观察镜内的十字线和数字清晰，然后移动读数显微镜使通过其能够清楚
看到铜刀口上的直线，再转动读数旋纽使刀口的基线与读数显微镜内十字刻线吻合。

当横梁所受外力发生改变时，相应地就可以从读数显微镜上读出梁的弯曲位移Zi
及数字电压表相应的读数值Ui（单位mV）。

【实验内容和步骤】
1.霍尔位置传感器的定标
（1）调节底座水平螺丝，将杨氏模量测定仪调节到水平状态。

（2）调节磁铁盒下方的固定螺丝使磁铁上下移动，目测集成霍尔位置传感器探测元件处于磁铁中间的位置。

（3）调节调节支架的上下的调节旋钮，直至毫伏表读数值接近于零。

然后，调节调零电位器使毫伏表读数为零。

（4）调节读数显微镜的目镜，使眼睛能清晰地观察到十字线及分划板刻度线和数字。

然后移动读数显微镜前后距离，使能清晰看到铜刀上的基线。

转动读数显微镜的鼓轮使刀口架的基线与读数显微镜内十字刻度线吻合，记下初始读数值。

（参阅附件）
（5）逐次增加砝码Mi（每次增加10g），使梁弯曲产生位移。

精确测量并记录用测微目镜测量到的砝码架的位置读数Z以及传感器信号输出端的数值U；再逐次减少砝码Mi（每次减少10g），并记录Z＇和U＇。

最后，求出Z和U的平均值，如表Ⅱ.1所示。

表Ⅱ.1霍尔位置传感器静态特性测量
（6）根据表1的数据，运用图解法求出霍尔传感器的灵敏度Zi Ui ∆∆/。

（7）运用最小二乘法直线拟合得到霍尔传感器的灵敏度。

K= mV/mm ， 相关系数2R =γ= 。

2. 黄铜样品的杨氏模量的测量
（1）用米尺测量横梁两刀口间的长度d ，测5次； （2）用游标卡尺测量不同位置横梁宽度b ，测5次； （3）用螺旋测微器测量横梁厚度a ，测5次；
（4）利用表1已经标定的数值，在表2中列出黄铜样品在重物作用下的位移：
表Ⅱ.2 黄铜样品的位移测量
用逐差法对表Ⅱ.2的数据进行数据处理，算出样品在g M 00.50=的作用下产生的位移量Z ∆，代入公式（Ⅱ.6）得到黄铜的杨氏模量黄铜E 。

并将测量结果与公认值（-211m N 1006.1E ⋅⨯=黄铜）进行比较，求其百分差。

（5）由公式Z
b a Mg
d E ∆⋅⋅⋅=334可推导出杨氏模量的相对不确定度的公式为
2
222)()()(3)(3)
(⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∆∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=Z Z u b b u a a u d d u E E u 最后写出结果 )(E u E E ±=
3. 测量可铸锻铁的杨氏模量（选做）
方法和内容同2。

【注意事项】
1. 用千分尺待测样品厚度必须不同位置多点测量取平均值。

测量黄铜样品时，因黄铜比钢软，旋紧千分尺时，用力适度，不宜过猛。

2. 霍尔位置传感器定标前，应先将霍尔位置传感器调整到零输出位置，这时可调节永磁铁盒下的升降杆上的旋纽，达到零输出的目的，另外应使霍尔位置传感器的探头处于两块磁铁的正中间（磁铁上有十字标线）稍偏下的位置，这样测量数据更可靠一些。

3. 加砝码时，应该轻拿轻放，尽量减小中间的砝码架的晃动，这样可以使电压值在较短的时间内达到稳定值，节省了实验时间。

4. 读数显微镜的准丝对准铜挂件（有刀口）的标志刻度线时，注意要区别是黄铜梁的边沿，还是标志线；
5. 实验开始前，必须检查横梁是否有弯曲，如有应矫正。

【附件】
测微目镜可用来测量微小长度，其结构如附图(a)所示。

目镜焦平面的内侧装有一块量程为9mm的刻线玻璃标尺，其分度值为1mm，在该尺下方0.1mm处平行地放置一块由薄玻璃片制成的活动分划板，上面刻有十字准线，其移动方向垂直于目镜的光轴。

旋转鼓轮推动分划板左右移动，同时读数鼓轮的示数发生相应的改变。

测微目镜的读数方法与螺旋测微计类似。

测量精度为0.01毫米，可估读到0.001毫米。

例如在附图(b)中，分划板平面的读数叉丝线位于4和5之间，即主尺的读数为4毫米；同时鼓轮上的读数0.823毫米，因此，此时的读数是4.823毫米。

在使用时，应先调节目镜看清楚叉丝，使叉丝与像无视差。

然后转动鼓轮，推动分划板，使叉丝的交点与被测物象一端重合，读出读数，转动鼓轮，使叉丝交点移到被测物象的另一端，再读出一个读数，这两次读数之差即待测物体的像的大小。

附图测微目镜结构示意图
注意：
1. 测量时，应缓慢转动鼓轮。

由于是螺纹推动，阴阳螺纹间有空隙，因此推拉开始时将有空程存在。

为避免因空程产生的误差，在单次测量过程中，鼓轮只能沿一个方向转动，中途
不能反转。

2. 移动活动分划板时，要注意观察鼓轮的位置，不能移出毫米刻度线所示的范围（通常为1～9毫米）。

【附录】
Excell 中自动拟合曲线的方法
1. 在Excell 中将选中需要拟合的正向电压和正向电流数据，依次点击Excell 程序菜单插入——图表——标准类型——xy 散点图——子表类型——无数据点平滑散点图——下一步，出现数据区域、系列的选项，在数据区域选项中，可根据实际的数据区域的排列，选择行或列；在系列选项中可填入不同系列的代号，如该曲线测量时的温度值；点击下一步，出现图表选项，在标题项中，可填入图表标题、数值（X ）轴、数值（Y ）轴的内容，如霍尔传感器的特性、砝码架位置（Z ）、传感器信号输出（U ），在网格线选项中，可选择主要网格线、次要网格线；点击下一步，可完成曲线的图表绘制。

如果需要更改已经完成好的图表，还可以继续设置。

双击图表区域，在弹出的绘图区格式中，可以选择绘图区的背景色；双击坐标轴，在弹出的坐标轴格式框中，可以根据需要自行设置坐标轴的刻度、起始值等。

2. 完成以上设置后，在已产生的图表中，右键单击数据曲线，在右键菜单中，选择添加趋势线，在类型菜单中选择要生成曲线的类型。

在本实验中，对于表1的数据，用Excell 对Z U ~数据按公式B Z A U +⋅=进行直线拟合，该曲线的斜率就是传感器的灵敏度K 。

具体操作流程同上，参数可重新设定。

在添加趋势线时，在类型菜单中选择线性（L ），根据得到的公式即可求出：
A= ，B= ，相关系数2R =γ= 。

传感器灵敏度K =A= mV/mm ；。