《高等数学Ⅰ-2》(《微积分》)教学大纲

《高等数学Ⅰ-2》(《微积分》)教学大纲

最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·Ｆ·斯特利

《高等数学Ⅰ-2》（《微积分》）教学大纲

（经济管理学院本科各专业适用）

参考学时：164 学分：9 课程编号：110108（A、B）

一、本课程的性质和任务

《微积分》课程是经济管理学院各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养

我国社会主义现代化建设所需要的高质量的专门人才服务的。

通过本课程的学习，要使学生获得：

１．一元函数微积分

２．向量代数与空间解析几何

３．多元函数微积分

４．无穷级数

5．常微分方程与差分方程

等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取知识奠定必要的数学基础。

在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、自学能力和创新能力，还要

特别注意培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。

二、本课程的基本内容

(一)函数、极限、连续

1．函数：函数的定义，函数的几种简单性质（有界性、单调性、奇偶性和周期性），反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数。

2．极限：数列极限的定义，函数极限的定义和定义，极限的性质，左右极限，无穷小与无穷大的概念，无穷小与无穷大、无穷小与一般极限的关系，无穷小的阶，极限运算法则，极限存在法则，两个重要极限。

3．函数的连续性：函数连续的定义，间断点及其分类，连续函数的运算法则，反函数的连续性，复合函数的连续性，基本初等函数与初等函数的连续性，闭区间上连续函数的最值性定理、有界性定理及介值性定理。

(二)一元函数微分学

1．导数与微分：导数的定义、几何意义，平面曲线的切线和法线方程，可导性与连续性之间的关系，导数基本公式与运算法则（求导四则运算法则，反函数的导数，复合函数的导数，基本导数公式），高阶导数，隐函数的导数，利用对数求导法，参数函数的导数，微分的定义、几何意义，微分运算法则，一阶微分的形式不变性，微分在近似计算方面的简单应用。

2．中值定理与导数应用：罗尔定理，拉格朗尔定理，柯西定理，泰勒定理，洛必达法则，函数和曲线性态的研究（单调性判定，极值

及其求法，最值问题，凹凸性与拐点），变化率及相对变化率在经济中的简单应用。

(三)一元函数积分学

1．不定积分：原函数与不定积分的定义，不定积分的性质，基本积分公式，直接积分法，换元积分法及特殊函数（有理函数、三角函数有理式、简单无理函数）的积分法，分部积分法。

2．定积分及其应用：定积分的定义、性质，变上限定积分函数及其求导公式，牛顿-莱布尼兹公式，定积分的直接积分法，定积分的换元积分法，定积分的分部积分法，无限区间上的广义积分和无界函数的广义积分，定积分在几何上的应用（求平面图形的面积、旋转体的体积、平行截面面积已知的立体的体积），定积分在经济方面的简单应用。

(四)向量代数与空间解析几何

1．向量代数：向量的概念，向量的几何表示、坐标表示和分向量形式的表示，向量的模与方向角，向量的线性运算，向量的数量积、向量积和混合积。

2．空间解析几何：空间直角坐标系，空间两点间的距离，平面与直线方程，曲面（柱面、旋转曲面、二次曲面）及其方程，空间曲线及其方程，空间曲线在坐标面上的投影。

(五)多元函数微分学

1．多元函数：多元函数的定义，区域的概念，二元函数的几何意义。

2．多元函数的极限与连续性：多元函数极限的定义，多元函数连续的概念，有界闭域上二元连续函数的性质。

3．偏导数与全微分：偏导数的定义，二元函数偏导数的几何意义，高阶偏导数，求高阶混合偏导数与次序无关的条件，多元函数的求导法则，多元隐函数的求导公式，全微分的定义及可微的条件。

4．偏导数和全微分的应用：多元函数极值、最值及其求法，条件极值与拉格朗尔乘数法，全微分在近似计算方面的简单应用。

(六)多元函数积分学

1．二重积分：二重积分的定义、性质、计算方法（直角坐标系和极坐标系下的计算），无界区域上的广义二重积分及其计算方法。

2．二重积分的应用：求平面图形的面积和立体的体积。

(七)常微分方程与差分方程

1．微分方程的基本概念：微分方程的定义，常微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解、积分曲线的定义。

2．特殊类型的一阶微分方程及其应用：一阶可分离变量、齐次、线性微分方程的求解方法及它们在经济方面的简单应用。

3．可降阶的二阶微分方程：，，。

4．高阶线性微分方程：线性微分方程解的结构，特征根法求二阶常系数齐次线性微分方程的通解，待定系数法求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

5．差分方程的概念：差分的定义，差分方程的定义，差分方程的阶、解、通解、初始条件、特解的定义。

6．常系数线性差分方程及其应用：一阶常系数齐次和非齐次线性差分方程的求解方法，二阶常系数齐次和非齐次线性差分方程的求解方法，差分方程在经济方面的简单应用。

(八)无穷级数

1．常数项级数：无穷级数及其敛散性的概念，无穷级数的基本性质，等比级数、调和级数和P-级数的敛散性，正项级数收敛的充要条件，正项级数的比较审敛法、比较审敛法的极限形式、达朗贝尔审敛法，交错级数的莱布尼兹审敛法，任意项级数的绝对收敛和条件收敛。

2．泰勒级数与幂级数：泰勒级数、麦克劳林级数、幂级数的概念，幂级数的收敛半径和收敛区间，幂级数的四则运算、和函数的连续性、逐项微分与逐项积分，函数的幂级数展开式，将函数展开成泰勒级数的直接展开法和间接展开法，幂级数展开式在近似计算方面的应用。

三、本课程的基本要求

(九)函数、极限、连续

1．理解函数的概念。

2．了解函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性。

3．理解复合函数和反函数的概念。

4．掌握基本初等函数的性质和图形。

5．理解极限的概念（对极限的定义可在学习过程中逐步加深理解，对于利用极限的定义去证明极限不作过高要求）。