有限差分法(张海编写—新版)
有限元法与有限差分法的主要区别
有限元法与有限差分法的主要区别有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
有限差分法
班级：通信13-4 姓名：学号：指导教师：**成绩：电子与信息工程学院信息与通信工程系求解金属槽的电位分布1.实验原理利用有限差分法和matlab软件解决电位在金属槽中的分布。
有限差分法基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替,这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似,积分用积分和来近似,于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组,即有限差分方程组,解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解.然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解.在采用数值计算方法求解偏微分方程时,若将每一处导数由有限差分近似公式替代,从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题。
2.有限差分法方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。
在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。
如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。
不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题。
与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。
同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。
定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。
所以要采用可行的数值解法。
有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。
此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解（即收敛性），等等。
有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。
2.1有限差分法原理图1-1 有限差分法的网格划分导体槽中静电场的边值问题的拉普拉斯方程为：22220x y ϕϕ∂∂+=∂∂ (1-1) 为简单起见，将场域分成足够小的正方形网格，网格线之间的距离为h ，0h →。
有限差分：1 第一章 有限差分法 基础
（4.1-19）
对应的函数值为 f (xi jx) ，则 f(x)在 xi 处的 n 阶差分可表达为
J2
n f (xi ) c j f (xi jx) j J1
（4.1-20）
式中 cj 为给定系数，J1 和 J2 是两个正整数。当 J1=0 时，称为向前差分；当 J2=0 时，称为向后差分；当 J1=J2 且| c j || c j | 时，称为中心差分。函数的 n 阶差分与
差商。
在导数的定义中 x 是以任意方式趋近于零的，因而 x 是可正可负的。在差
分方法中， x 总是取某一小的正数。这样一来，与微分对应的差分可以有 3 种
形式：
向前差分
y f (x x) f (x)
（4.1-2）
向后差分
y f (x) f (x x)
（4.1-3）
中心差分
y f (x 1 x) f (x 1 x)
以及 有关，当 x 和 为常数时， t 也取常数。直线 t=tn 称为第 n 层。网格交 叉点称为结点。
图 4.1-2 差分网格
网格划定后，就可针对某一结点，例如图 4.1-2 中的结点 (xi ,tn ) ，用差商近
似代替导数。现用
(
)
n i
表示（）内函数在
(xi
,
tn
)
点的值（有时括号可省略），则对
可以预见，随着计算机技术的飞速发展，有限差分法将得到更为广泛的应用， 可以为材料成形过程提供全面的、有效的指导。
本章主要讲述有限差分的一些基本知识,包括差分原理及逼近误差，差分方 程，截断误差和相容性，收敛性与稳定性以及 Lax 等价定理等，这些仅仅是有限 差分的入门知识，为后续章节的学习奠定基础。
有限差分法
有限差分法——傅立叶稳定性分析分析差分格式稳定性的方法很多，大部份应用于线性方程，这里只介绍其中最常用的一种：傅立叶稳定性分析法。
傅立叶稳定分析法由V on Neumann 于20世纪40年代提出，所以又称为V on Neumann 稳定性分析法。
该方法的基本思想是，将解的误差作周期延拓并用傅立叶级数表示出来，然后考察每一个傅立叶级数分量的增大和衰减情况。
如果每一分量的强度（或振幅）是随时间的推移而增大的，则所讨论的差分格式是不稳定的；反之，若每一分量的振幅是随时间的推移而衰减或保持不变，则格式是稳定的。
为了进行这种分析，可以把某一分量的表达式代入到误差传播方程中，得出相邻二时间层间该分量的振幅比，通常称为放大因子。
稳定性的条件要求放大因子的绝对值（或模）小于或等于1。
当放大因子等于1时，称为中性稳定，在这种情况下任何时刻引进的误差都不会衰减或放大。
【例11.1E 】讨论逼近以下一维对流方程的FTCS 格式的稳定性：0=∂∂+∂∂xu t u α α> 0 (11.1.51)该方程的FTCS 格式为 02111=∆-+∆--++xu u t u u n i n i n i n i α (11.1.52) 将式(11.1.52)改写成易于递推计算的差分格式，有()n i n i n i n i u u u u 1112-++--=λα式中，)/(x t ∆∆λ=为网格比。
相应于上式的误差传播方程为()n i n i n i n i 1112-++--=εελαεε (11.1.53) 式中，ε是各节点上的离散量。
如果对ε在正负方向上作周期延拓，即把ε看作是以某一定值为周期的周期函数，则n ε、1+n ε可以展开为以下的傅立叶级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∑∑∞-∞=++∞-∞=k kx n k n k kx n k n e C x e C x I 11I )()(εε 于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====∑∑∞-∞=+++∞-∞=k kx n k i n n i k kx n k i n n i i i e C x e C x I 111I )()(εεεε (11.1.54) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=±==±=∑∑∞-∞=±+++±∞-∞=±±k x x k n k i n n i k x x k n k i n n i i i e C x x e C x x )(I 1111)(I 1)()(∆∆∆εε∆εε (11.1.55) 其中，1I -=。
《物探化探计算技术》2015年1~6期总要目
《物探化探计算技术》2015年1~6期总要目佚名【期刊名称】《物探化探计算技术》【年(卷),期】2015(000)006【总页数】8页(P797-804)【正文语种】中文联用高斯求积与连分式求和计算Hankel变换及在地球物理上的应用……… 胡瑞华，林君，孙彩堂，刘长胜，周逢道（1 ）沥青混凝土机场跑道面层脱空探地雷达图像模拟及应用研究…………………………………………………… 肖都（10）细胞神经网络在重力异常分异中的研究及应用…………………………… 李超，江玉乐，胡明科，蒋亚东，郑成（16）中梯装置相位激电电磁耦合研究…………………………………………………………………………………… 郭鹏（22）AMT勘查贵州铁（稀土）多金属矿效果分析…………………………………………… 张西君，杨胜发，张海，李家斌（27）基于cole－cole复电阻率模型的线源可控源有限元数值模拟……… 王珺璐，刘明文，李荡，李建华，林品荣，王萌（32）高阶导数在分离重力叠加异常中的研究及应用………………………………………… 谭建秋，江玉乐，黎莎，李超（40）瞬变电磁中两种发射源的响应特征研究……………………………………… 张扬，雷宛，杨武，刘家福，苏鹏（45）地面高精度磁法在青海尕林格矿区磁铁矿勘查中的应用……………………………………… 武明贵，陈健，钟皓（51）措勤盆地色林错－申扎北剖面电性特征分析……………… 卢景奇，何梅兴，方慧，白大为，裴发根，杜炳锐，张小博（56）使用1∶1万数字地形图进行重力近区地形改正方法试验研究…………………………………… 高智超，王晨阳，李玉涛（61）泊松阻抗地震属性在刚果A区块油气检测中的应用……………………………………………………… 解吉高，崔维，刘春成，刘志斌，张益明，王志红，牛聪，叶云飞（65）不整合面下隐伏逆冲断层反射地震成像模拟研究…………………………… 原健龙，丘斌煌，刘洪星，周武，余嘉顺（70）低频信息对阻抗反演的影响分析……………………………………… 许艳秋，文晓涛，郝亚炬，刘开元，刘佳乐，曾驿（78）叠前同步反演在M地区储层预测中的应用…………………………………… 陈利，方中于，但志伟，杨平华，梁立锋（83）钢管混凝土叠合柱弹性波CT空洞与脱空缺陷检测分析…………………… 高远富，王仲刚，周凌，黄晓寒，江正（89）基于分形先验信息的非线性反演………………………………………………………… 孙瑞莹，印兴耀，王保丽，浦义涛（97）基于ETM数据的北衙地区找矿应用效果………………………………………………………… 杨剑，薛廉，张景华（106）青藏大陆北缘盆山耦合带断裂构造的遥感信息特征分析——以西昆仑库斯拉甫地区为例… 夏清，杨武年，程绍萍（115）基于无向图的二维地质建模设计与应用研究…………………………………………… 何畏，吴文鹂，陈实，冯斌（123）自贡市旭水河流域土地利用／覆被对非点源污染负荷的影响…………………………………………… 邓琮，杨武年（130）海洋可控源电磁场视电阻率计算方法…………………………………………………… 刘颖，蔡骥，李予国，柳建新（135）超宽带搜救雷达的编码信号探测方法研究………………………………………………………………… 祝忠明，王绪本（141）水平磁偶极子电磁场特征研究…………………………… 黄业中，熊彬，CAI Hong－zhu，罗天涯，刘云龙（145）基于SQMR方法的三维CSAMT有限差分法数值模拟……………………………… 秦策，王绪本，赵宁，徐玉聪（153）基于重磁欧拉3D反褶积的相山基底起伏研究……………………………… 林万里，方根显，戴清峰，谈顺佳，周阳权（158）时间域电法测量地形响应研究…………………………………………………………… 蒋首进，陈永凌，李振钦，秦策（164）直方图均衡化技术在矢量等值填充图中的算法及实现…………………………………………………… 胥值礼，崔志强（171）东昆仑夏日哈木铜镍硫化物矿的岩矿石极化率特征及其找矿意义……………………………………… 吕琴音，敬荣中（177）基于面积分的重力地形改正方法研究及应用…………………………………………… 胡明科，江玉乐，李超，黎莎（182）几种大地电磁测深资料静态位移校正方法的研究与应用……………………………… 杨婧，肖宏跃，蒋亚东，杨武（187）等效源反演成像在激发极化法中的研究及应用……………………………… 李晓娟，江玉乐，张宪政，邵洋，谭建秋（193）旋转交错网格VTI介质波场模拟与波场分解…………………………………………………… 王亚妮，李长江，李庆春（198）高灵敏度流体因子的构建原则及影响因素分析………………………………………………… 何玲，马林，贾艳雨（203）瑞利波频散成像方法的实现及成像效果对比研究………………………………………………………………… 李子伟（208）基于改进的L1范数非因果滤波器多次波自适应减方法………………………………………… 熊繁升，李荣贤，高孝巧（215）地下空洞地震瑞雷波的旋转交错网格有限差分数值模拟……………………………………… 李长江，李庆春，邵广周（224）同步可控震源地震采集技术新进展…………………………………………… 杨丽，毕进娜，周中彪，佘德平，蔡瑞（229）地质统计学反演在什邡气田A区块储层预测中的应用………………………………… 叶艳，王元君，周怀来，叶泰然（236）井震资料尺度匹配过程中声测井数据的精细分层方法研究…………………………………… 周建科，印兴耀，曹丹平（242）走滑断裂和裂缝发育带的地震地质综合识别——以准噶尔盆地西北缘玛南地区为例…………………………………………………………………………………………… 周卿，阎建国，黄立良，郑愈晟（249）盲源分离技术在化探数据处理中的思考与探索………………………………………… 魏友华，郭科，柳炳利，董跃华（258）攀枝花巴关河渣场浅层地下水中钒的赋存形态及影响因素………………… 钟礼春，黄艺，倪师军，卢慧林，刘再冬（263）大地电磁二维正演中的无网格局部径向基点插值法…………………………………………… 何建设，李俊杰，严家斌（267）基于TV井地2.5D直流电阻率正则化反演…………………………………… 蓝泽鸾，张志勇，邓居智，周峰，李曼（273）水平层状电各向异性介质大地电磁正演研究……………………………………………………………… 刘鸿洲，安亚婷（280）沽源盆地西湾地区地面伽玛能谱异常特征及控制因素研究………… 卢辉雄，张景训，李名松，汪冰，张恩，董双发（287）大地电磁测深中薄层响应特征与地质目标体拾取的探讨…………………… 蒋亚东，雷宛，刘倩，李超，凌飞（292）重磁二维正演中的无单元法研究……………………………………………… 李小东，金胜，王阳玲，张加洪，程励辉（300）航空物探综合站在大兴安岭中南段找矿中的应用…………………… 丁志强，李飞，崔志强，孟庆敏，路宁，郑红闪（306）CSAMT结合高密度电阻率法在铁路深埋隧道勘探中的应用……………………………………………………… 张军（313）瞬变电磁法在煤下铝采空区探测中的应用研究……………………………… 梁芳敏，潘岩，魏继祖，赵锡岩，胡书礼（319）匹配滤波方法在场源分离上的应用………………………………………………………………张翔，常树帅，李兵海（325）泥砂速度比对小断层分辨率影响特征分析…………………………… 周路，刘志敏，廖伟，王玉，白伟，袁兵（330）基于地质统计先验信息的随机地震反演………………………………………………… 叶端南，印兴耀，孙瑞莹，王保丽（341）基于神经网络的井间地震数据外推及多尺度反演……………………………………………… 刘汉卿，张繁昌，代荣获（348）百分比速度扫描剖面在速度提取中应用…………………… 熊晶璇，张华，李振，张恩嘉，朱晨，金德刚，陈三平（355）莫桑比克楠普拉省某地土壤地球化学特征………………… 梁胜跃，薛怀友，刘建东，徐明钻，祁超，金志鹏，胡东泉（361）西藏甲玛铜多金属矿床储量的协同克立格估值………………………………………… 蒋鑫，庹先国，柳炳琦，李怀良（372）鄂尔多斯盆地东缘北段晚古生代沉积相研究——以X区块为例……………………………… 刘子玉，吕明，刘铁树（379）硫酸盐还原作用对巴什托地区巴楚组生屑灰岩段储层的改造……………… 张斯杨，李映涛，伏美燕，袁晓宇，叶宁（388）巧用等值线追踪法求取地震采集设计区域边界………………………………………………… 钟家均，李华科，唐雪梅（397）基于GIS的四川省农业土地适宜性评价研究………………………………… 姚丹丹，苗放，杨文晖，陈军，卢涵宇（403）海洋可控源电磁法数值滤波解及算例…………………………………………………… 郑凯，严良俊，谢兴兵，王志刚（409）2.5维复电阻率反演并行算法设计……………………………………………………… 陈实，吴文鹂，顾观文，梁萌（416）基于磁偶极子模型水平钻进目标定位的算法研究……………………………………………… 彭海蛟，丁红胜，白世武（422）基于Cokriging的三维重力张量随机反演……………………………………………… 黄天统，朱自强，鲁光银，曹书锦（428）现行三类平台航磁勘查系统特点及勘查效果评述……………………………………… 崔志强，胥值礼，孟庆敏，高卫东（437）多功能电法数据处理解释软件系统及其应用效果……………………………………………… 刘明文，顾观文，吴文鹂（444）国内外多功能电法仪的对比试验研究………………………………………… 李建华，林品荣，丁卫忠，李荡，王珺璐（452）地球物理野外实验场候选地遴选方法研究………………………………………………………………… 龚胜平，王明明（459）高密度宽方位地震资料处理技术研究进展………………… 王兆磊，公亭，李隆梅，李国生，赵志强，顾小弟，孟晓梦（465）一种基于叠前反演的孔隙度预测方法…………………………………………………… 周单，朱童，胡华锋，唐金良（472）基于微分格式的微地震走时反演方法研究………………………………………………………………… 胡飞，苏奥（478）模型正演技术在巴中地区须四段主河道砂体识别中的应用…………………………………… 肖伟，王明飞，何志勇（488）松辽盆地葡南油田西缘薄砂体储层地震预测…………………………………………………… 尹兵祥，邱长星，刘洪涛（494）准噶尔盆地地震速度场的建立……………………………………………………………………………………… 徐群洲（502）文昌A凹陷油气勘探中的频率域信息应用与探索……………………………………… 刘仕友，李辉，杨振建，闫安菊（508）信息化背景下地震处理技术的一些发展趋势及对策探讨…………………… 邱铁成，焦叙明，李欣，谢涛，李永超（512）西昆仑甜水海铅锌矿地质地球化学特征及找矿标志………………… 谢渝，陶玲，李美英，赵森，李惠，赵同寿（517）北部湾东部海域表层沉积物常量元素地球化学特征及其物源指示意义………………崔振昂，甘华阳，刘文涛，张亮（522）Mallat小波滤波器系数的计算与地质应用………………………………………………………… 赵应权，沈忠民，周爱芬（532）对地球化学图编制过程的深层探究……………………………………………………… 高艳芳，陈军威，张玉领，王文君（538）接地电阻稳定性对音频大地电磁法测量的影响………………………………………………… 汤井田，胡双贵，肖晓（547）航空磁测中正常地磁场校正………………………………………………… 骆遥，罗锋，王明，何辉，王林飞（552）层状大地表面中心回线瞬变电磁响应特征…………………………………………… 吴琼，李永博，李貅，晋达（560）地下瞬变电磁法一维反演…………………………………………… 智庆全，武军杰，邓晓红，张杰，王兴春，杨毅（566）天津市重力数据三维可视化反演建模研究……………… 郑国磊，徐新学，李世斌，马为，王茜，袁航，曹朋军（571）高原深切割地区寻找铜多金属矿的物探方法的选择与实践——以四川里伍矿田找矿为例……………………………………………………………………………… 陈道前，唐高林，胡如权，严利伟，刘琪（578）摩天岭岩体北部俾门断裂带深部电性特征及其与铀成矿关系…… 孙栋华，汪冰，朱琳，宁媛丽，段晨宇，牛家骥（584）地面高精度磁测在寻找隐伏铜铁矿的应用………………………… 柳康伟，曹礼刚，吴兴，邱林，彭江英，罗方兵（592）基于磁法数据的边缘识别方法研究——以内蒙古某地区为例…………… 安百州，冯志民，李宁生，张代磊，白亚东（599）CSAMT法在祁漫塔格隐盲矿勘查中的应用效果——以卡而却卡矿区为例……………………………………………………………………………… 白国龙，何书跃，赵勇，张勇，张鹏（606）三参数小波多尺度蚂蚁追踪技术研究与应用……………………………… 乐友喜，赵迎，张会娟，刘兵卿，黄健良（610）基于时间和空间方向差分稀疏约束的叠前AVO反演………………………………………… 马彦彦，周辉，张洪礼（616）基于OpenMP的一阶声波方程波场并行算法…………………………………………………… 方金伟，白洪涛，孙惠敏（622）歧北斜坡滩坝砂体地震预测技术…………………………………………… 郭淑文，吴雪松，祝文亮，邢兴，国春香（628）叠前逆时深度偏移技术在江苏高陡构造地区的应用……………………… 王丽，王芳琳，赵传雪，陈海洋，秦艳艳（634）南方复杂山前带观测系统压噪研究…………………………………………………… 彭代平，邓飞，常鉴，肖云飞（639）叠前去噪技术在鄂尔多斯黄土塬区地震资料的应用………………………………… 秦婕，李辉峰，王宏伟，丁相虎（644）哈拉哈塘地区火成岩弧形断裂成因分析与消除………… 杨洋，安海亭，但光箭，张亮亮，肖江，路鹏程，李相文（651）基于GIS的四川省植被类型分布与地质背景的关系研究…………………………… 管磊，王华军，王玉宽，彭培好（656）Mapgis结合RGMap在地球化学原生晕分析中的应用………………………………………… 迟宝泉，高原，张明阳（662）克里金插值参数设置对网格化结果的影响………………………………… 李增涛，高鹏，张三敏，张旭，于峰丹（666）航空瞬变电磁正演中频时转换方法分析及系数的选取…………………………………………………… 杜兴忠，朱海东（671）利用阻尼型高斯牛顿法的激发极化数据聚焦反演……………………………………… 叶益信，李泽林，付宸，丁尚见（680）一维大地电磁Occam反演拉格朗日乘子的搜索……………………………… 张君涛，周军，王绪本，夏时斌，钟红梅（687）基于磁测资料的六盘山地区构造体系新认识…………………………………………………… 冯志民，李宁生，安百州（693）分布式电法采集站控制系统的设计与实现…………………………………… 宋杰，陈儒军，仇洁婷，申瑞杰，何馨（699）串联电极法聚焦电流隧道前探效果的仿真分析…………………………………………………………… 张宇，赵斌（705）交错网格高阶差分算法的改进…………………………………………………………………… 白亚东，冯志民，杨庆节（709）云南香格里拉、德钦－四川得荣交界5.9级地震加速度记录的时频分析…………………………………………………………… 李大虎，李军，邓艳，严媚，安东妮，黄成程，汤才成（716）基于伪阻抗体波形聚类的贝壳灰岩储层预测方法……………… 白博，舒梦珵，康洪全，骆宗强，程涛，贾怀存（724）斜井VSP共反射点交互叠加成像方法…………………………………………………… 杨飞龙，刘东明，秦民君，苏志东（728）一种提高稀疏观测数据区反演精度的策略……………………………………………… 杨克思，朱培民，赵娜，徐阳（735）元坝气田地应力测井计算研究……………………………………………………………………………… 智慧文，胡永章（743）VSP井控Q值提取和补偿方法在玛湖地区的应用…………………………………… 程志国，娄兵，姚茂敏，谭佳（749）子波分解重构与EEMD在火山机构地震精细刻画中的应用研究……………………………… 谢兴隆，刘学清，查恩来（754）f－x域预测反褶积在多次波衰减中的应用……………………………………………… 徐云霞，文鹏飞，李福元，张宝金（761）调谐AVO的存在条件及其识别………………………………………………………………… 刘仕友，陈殿远，周家雄（768）库车复杂地表区伪三维表层建模与静校正技术………………………………………………… 吕景峰，周冰峰，邸江伟（773）哈拉哈塘油田缝洞型碳酸盐岩储层三维地质建模与应用………………… 李相文，刘永雷，张亮亮，安海亭，但光箭（778）面向海量空间数据的分级存储模型研究…………………………………………………………杨文晖，袁进俊，苗放（783）遥感技术在格咱岛弧地区斑岩铜矿勘查中的应用……………………………………………… 刘峻杉，胡滨，何政伟（790）★《物探化探计算技术》2015年总要目 (797)。
第1篇-有限差分法2014-05
§7.1 边界条件
第
1．直固壁滑移边界条件
七
1
章
vn vi,0 2 (vi,1 vi,1) 0
有
限
得边界条件为
差
分
水平速度 ui,1 ui,1
法 的
垂向速度 vi,1 vi,1
有 关 问 题
压力 密度
pi,1 pi,1
i,1 i,1
1
()
2．直固壁无滑移边界条件
第
ui,1 ui,1
破开算子法算子分裂法operatorsplittingmethod基本思想是算子的分裂其目的是将一个复杂的算子分裂成一系列较简单的问题来求解从算子各分量所反映的不同性质来分裂如按扩散相与对流项分裂或按大尺度量与小尺度量分按算子各分量的不同数学性质来分裂如按线性项与非线性项来分裂等将其按xy方向分裂成如下两个方程
2 1,
j
2
u u n i3, j
n i1, j
2
2
2x
vn i
1
,
j
2
u u n i 1 , j 1
n i 1 , j 1
2
2
2y
fvn i
1
,
j
2
2
n 1
n 1
g
2 i1, j
i, j
2
x
guik1/ 2, j
u v n
2
i1/ 2, j
n
2
i1/ 2, j
hn i1/ 2, j
,
j
2
t 2
Ny
un i 1 , j1 2
2u n i
1
,
j
2
y 2
un i 1 , j1 2
有限差分法
第三章 静电场的解法 球面上感应电荷密度
q1 (d12 a 2 ) s 0 | r a r 4a(d12 a 2 2ad1 cos ) 3 / 2
球面上总的感应电荷量为
q1 (d12 a 2 )a 2 sin dd qin s dS q2 2 2 3/ 2 4a(d1 a 2ad1 cos ) 0 0
q ' q "
q"
0
0
q1
第三章 静电场的解法 于是在Z﹥0的空间中
1 q1 4 0 [ 1 x 2 y 2 ( z h) 2
0 0
1 x 2 y 2 ( z h) 2
在Z﹤0的空间中 q1 2 2 ( 0 ) x 2 y 2 ( z Hh) 2 总结： 镜像法是用假想的镜像电荷来代替导体上感应电荷 或介质分界面上束缚电荷的作用，镜像法的关键是根据边 界条件确定镜像电荷的位置及大小。 注意： 1、镜像电荷不能放在要计算电位的区域内，否则，所得 电位就不会满足原来的电位方程； 2、电位函数必须满足原来的边界条件。
1 4 4 ( x x ) 0 4 4! x 0
在节点1 ，X =X0+h ，这一点的电位为
1 2 2 1 3 3 1 4 4 h h h 1 0 h 2 3 4 2! x 0 3! x 0 4! x 0 x 0
q1 1 q' 1 2 2 2 2 2 2 4 0 x y ( z h) x y ( z h )
当Z﹤0时，空间任一点M(x，y，z)的电位为： q1 q " 1 2 4 x 2 y 2 ( z h) 2 1 2 在Z＝0的介质分界面上，其边界条件为： 1 2 0 z z 0 ' q1 q ' q q" q q1 0 0 联立上式求解可得：
二、有限差分法
二、有限差分法（FDM）
（3）稳定性分析
∆x 和 ∆t 的选择原则是
不是独立的，是相互影响
E (i ) =
n z m =∞ m = −∞
c 1 λ= = f f µε
1 T= f
∑A
n z
n m
e
jk m i∆x
E
n +1 z
m=∞
∆t (i ) = E (i ) + E zn (i + 1) − 2 E zn (i ) + E zn (i − 1) µσ∆x 2
∆t r= 2 µσ∆x
γ
min
= 1 − 4r
γ ≤1
γ
max
1 − 4 r ≥ −1
∆t 1 ≤ 2 2 µσ∆x
1 ∆t ≤ µσ∆x 2 2
=1
1 r≤ 2
二、有限差分法（FDM）
不稳定差分格式的举例
∂ 2 Ez ∂ − µσ E z = 0 2 ∂t ∂x
E zn (i + 1) − 2 E zn (i ) + E zn (i − 1)
[J 2∆t
µ
(i, j ) − J
n −1 z
1 (i, j ) + 2 Ezn (i + 1, j ) + Ezn (i − 1, j ) (∆x )
]
[
]
1 + E zn (i, j + 1) + E zn (i, j − 1) 2 (∆y )
[
]
二、有限差分法（FDM）
E
n +1 z
µε ij µσ ij (i, j ) = 2 + (∆t ) 2∆t
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电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
4
3.7.1 有限差分方程的推导 一、问题引出
求解二维空间内，电位函数 ( x, y ) 的空间分布 以第一类边值问题为例
y
U0
2 2 0 x 2 y 2
b
2 2 2 0 2 x y
i , j 1 2i , j i , j 1 2 2 y i , j h2
（3.7.8） 可得： （3.7.9）
将以上两式代入（3.7.1）：
2 2 2 0 2 x y
i , j
1 i 1, j i , j 1 i 1, j i , j 1 4
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第3章 静态电磁场及其边值问题的解
13
2. 高斯-塞德尔迭代法(松弛法)
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第3章 静态电磁场及其边值问题的解
7
将式（3.7.3）与式（3.7.4）相加，并略去h2的更高阶项：
i 1, j 2i , j i 1, j 2 2 x i , j h2
（3.7.7）
将式（3.7.5）与式（3.7.6）相加，并略去h2的更高阶项：
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第3章 静态电磁场及其边值问题的解
10
三点注意：
初始值的赋予是任意的； 赋予初始值后，请按“从左到右、从下到上”的固定 顺序依次计算各节点值； 当所有节点都算完一遍后，再用它们的新值代替旧值， 即完成一次迭代。
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分布型问题 ：已知场源，求场或求位。 分离变量法（直接法） 静态场问题
解析法
镜像法（间接法） 边值问题 数值法 有限差分法 有限元法 矩量法 边界元法
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3
解析法特点：结果是电磁场在空间分布的解析表达式（精确解）
数值法特点：实际问题中由于边界过于复杂，无法用解析法求
解，因此只能用数值计算方法；其所得结果为电 磁场在空间离散点上的数值的集合（近似解） 有限差分法的基本思想 将计算场域划分成网格，把求解场域内连续的场分布用求解
网格节点上的离散数值解来代替；即用网格节点的差分方程
近似代替场域内的偏微分方程来求解。
h 2 2 h3 3 ( xi h, y j ) i , j h ... x i , j 2! x 2 i , j 3! x 3 i , j
（3.7.3） （3.7.4） （3.7.5） （3.7.6）
2 1 sin( ) p 1
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i , j
3. 超松弛法
k 1
(k ) i 1, j
i , j 1 i 1, j i , j 1 / 4
k
k 1
k 1
i,kj1
松弛因子
k k i1, j i,kj1 i1, 1j i,kj1 1 k k i , j i , j 4
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6
三、差分方程推导 利用二元函数的泰勒展开公式，可将于节点 ( xi , y j ) 直接相邻
的节点上的电位值表示为：
i 1, j
h 2 2 h3 3 ( xi h, y j ) i , j h 2 3 ... x i , j 2! x i , j 3! x i , j
h 2 2 h3 3 i , j 1 ( xi , y j h) i , j h 2 3 ... y i , j 2! y i , j 3! y i , j
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i 1, j
h 2 2 h3 3 i , j 1 ( xi , y j h) i , j h 2 3 ... y i , j 2! y i , j 3! y i , j
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第3章 静态电磁场及其边值问题的解9ຫໍສະໝຸດ 3.7.2 差分方程的求解
1. 简单迭代法
i(0) ，这里上标（0）表示第 先对场域内的节点赋予初始值 , j
0次近似值，即初始值。然后再按照：
( k 1)
i, j
1 (k ) [ i1, j i(,kj)1 i(k ) j i(,kj)1 ] 1, 4
(i, j 1, 2,......)
（3.7.10）
(k 0,1, 2,......)
进行反复迭代。若当第N次迭代结束后，所有内节点相邻两 次迭代值之间的绝对误差小于事先给定的精度，则迭代停止。
MAX i(,N ) i(,N 1) W j j
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（3.7.11）
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1
3.7 有限差分法
本节内容
3.7.0 有限差分法的基本思想 3.7.1 有限差分方程的推导 3.7.2 差分方程的求解方法
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2
3.7.0 有限差分法的基本思想
（3.7.1）
|S f1 ( S )
a
O
x
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第3章 静态电磁场及其边值问题的解
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二、网格划分
正方形网格剖分法 节点： ( xi , y j ) 步距： h
用 i , j 表示节点 ( xi , y j ) 处的电位值
节点（xi, yj）处的差分方程
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第3章 静态电磁场及其边值问题的解
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四、差分方程意义
i , j
1 i 1, j i , j 1 i 1, j i , j 1 4
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