2.4抛物线的简单几何性质(第二课时)

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抛物线的简单几何性质(2)

(2)当k∈
时，它们没有交点.
时，它们有两个交点.
(3)当k∈
时，它们有一个交点.
思考 1:(课本第 71 页例 6) 2 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定点 P (2,1) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物线 y 2 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; ⑶没有公共点?
0 2
162k 2 k 1.
1 3 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 k 1, 或k . 2 1 于是,当k 1, 或 k 时, 方程 ①没有实数解, 从而 2 方程组没有解.这时, 直线 l 与抛物线没有公共点 .
0 2
思考 2: 2 若抛物线 y x 存在关于直线 l : y 1 k ( x 1) 对称的两点,求实数 k 的取值范围. 答案: 2 k 0
分析：假设存在关于直线 l : y 1 k ( x 1) 对称的两点 A、B,看 k 应满足什么条件. 显然 k 0 不合题意,∴ k 0 1 ∴直线 AB 的方程为 y x b k 继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件.
2
1 这时, 直线l 与抛物线只有一个公共 ,1 . 点 4
2 当k 0 时, 方程①的判别式为
1 1 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 k 1, 或k . 2 1 于是,当k 1, 或k 时 , 方程 ①只有一个解, 从 2 而方程组只有一个解.这时, 直线 l 与抛物线只有一个公共点 . 1 0 2 2 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 1 k . 2 1 于是,当 1 k 且k 0时, 方程 ①只有两个解, 2 从而方程组只有两个解.这时, 直线 l 与抛物线有两个公共点 .

抛物线的简单几何性质(第2课时)(教学课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)

解析
x－y＝2，
由 2
y ＝4x
得 x2－8x＋4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，
故线段AB的中点坐标为(4,2).
→ →
5.已知定点 F(1,0)，动点 P 在 y 轴上运动，点 M 在 x 轴上，且PM·PF＝0，延长
→
→
2

-8
,x1-x2=
2
=
2
-8
.

,
22 +8
8
∴y1-y2=[k(x1-1)+2]-[-k(x2-1)+2]=k(x1+x2)-2k= -2k=.
-
∴kAB=1 - 2=-1.
1 2
∴直线AB的斜率为定值-1.
归纳总结
定值与定点问题的求解策略
1.欲证某个量为定值,先将该量用某变量表示,通过变形化简若能
【答案】由 2

y ＝4x，
消去 y，得 4x2＋4(b－1)x＋b2＝0.
1
由 Δ＞0，得 b＜2.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．
b2
则 x1＋x2＝1－b，x1x2＝ 4 .
1
C．6
1
D．8
【答案】A
[线段 AB 所在的直线的方程为
1 1
则焦点到直线 AB 的距离为 1－2＝2.]
1

x＝1，抛物线的焦点坐标为2，0，

2．若直线 x－y＝2 与抛物线 y2＝4x 交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点坐标
是________.
【答案】(4,2)

x－y＝2

高二数学抛物线的简单几何性质2

| AB | 2 p
方程
图形范围
y2 = 2px
y2 = -2px （p＞0） y l
x
x2 = 2py （p＞0） y
F x
x2 = -2py （p＞0） y
x l
（p＞0） y
l O F
l x
F
O
O
O
F
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于y轴对称
对称性关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称
抛物线的简单几何性质(2)
一、抛物线的几何性质：
性质
方程
设抛物线方程为： y 2 2 px, ( p 0)
l
y
d
M
图形
K
O
F
x
范围对称性
顶点坐标
x 0, y R 关于 x轴对称坐标原点(0,0)
e 1
p | MF | x0 , 2 M ( x0 , y0 )
离心率焦半径通径
从点A、B、P分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A1、B1、P 1，依据抛物线的定义，|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1| 所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|, 又PP1是梯形AA1BB1的中位线，所以|AA1|+|BB1|=2|PP|. 1 因此，我们容易得到
p1
2P 的 | AB | 2 sin
y
A
F1 O F2
y
l
x
F1 O
l
A
F2
d1 d2
B
B
x
y
y
F1
.

2.4 第2课时抛物线的简单几何性质

代入抛物线方程y2＝4x，整理得：x2－3x＋1＝0. 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知，|AF|等于点A 到准线x＝－1的距离|AA′|，即|AF|＝|AA′|＝x1＋1，同理|BF|＝x2＋1，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝3＋2＝5.
[点评] 解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
第二章
2.4
第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
[ 点评 ]
1. 为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的
特征利用参数表示Байду номын сангаас物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论． 2 ．不能把抛物线看作是双曲线的一支．虽然两者都是沿
开口方向越来越远离对称轴，但抛物线却越来越接近于对称轴
大家都比较熟悉抛物线，二次函数的图象就是抛物线，但你知道抛物线与椭圆、双曲线有哪些相似的性质吗？
第二章
2.4
第2课时
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1．抛物线y2＝2px(p>0)的简单几何性质 (1) 对称性：以－ y 代 y ，方程 y2 ＝ 2px(p>0) 不变，因此这条 x 抛物线是以__________ 轴为对称轴的轴对称图形．轴抛物线的对称轴叫做抛物线的__________ ，抛物线只有一条对称轴．轴 (2)顶点：抛物线和它的__________ 的交点叫做抛物线的顶点．
2.4
第2课时
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2.4.2抛物线的简单几何性质(第二课时)精品PPT课件

三角形的重心恰好是抛物线的焦点，求BC所在直线方程.
解：由y2 32x得焦点坐标为(8,0),设B(x1, y1)、C(x2 , y2 )，
A(2,8),三角形重心是(8,0),
x1 y1
x2 3 y2 3
2 8
8,即 0.
x1 y1
x2 y2
22， 8.
y
故BC中点为(11,4).
当k 1或k 1 时,直线与抛物线没有公共点。 2
练习:过点 M(0,1) 且和抛物线 C: y2 4x 仅有一个
公共点的直线的方程是__________________________.
联立
y y
kx 2 4x
1
y 1或 x 0或 y x1
消去 x 得 ky2 4 y 4 0
o
A(2,8)
.
F
x
又由yy1222
32x1 32x2
y1 y2 x1 x2
32 y1 y2
4
B
kBC 4.
C
故BC方程为4x y 40 0.
又由4yx2
y 40 32x.
0,得
x2 22x 100 0, 84 0.
故BC所在直线的方程为4x y 40 0.
例 3：已知正方形 ABCD 的一边 CD 在直线 y x 4 上, 顶点 A 、B 在抛物线 y2 x 上,求正方形的边长.
联立
4
y x2 y2 ax
a2
消y得x2
44 0
4 a x
解得a
40
8或a
0
则 x1 x2 4 a，x1 x2 4
AB 2 4 a2 4 4 4 6
解得a 12或a 4

抛物线的简单几何性质(第2课时焦点弦)-高二数学教材配套教学课件(人教A版2019选择性必修第一册)

4
2
1
1
2
(2)
＋
＝；
|FA| |FB| p
(3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．
抛物线的简单几何性质
p
，0
p
证明：(1)抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F 2
，准线方程为 x＝－ .
2
p
设直线 AB 的方程为 x＝my＋，把它代入 y2＝2px，
2
化简，得 y2－2pmy－p2＝0.
上的两个动点(AB 不垂直于 x 轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段 AB 的垂直平分线恒
经过点 Q(6，0)，求抛物线的方程．
解：设抛物线的方程为
y2＝2px(p>0)，则其准线方程为
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AF|＋|BF|＝8，
p
p
∴x1＋＋x2＋＝8，
2
2
p
x＝－ .
1
则|CC1|＝ (|AA1|＋|BB1|)
2
1
1
＝ (|AF|＋|BF|)＝ |AB|.
2
2
∴以线段 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．
抛物线的简单几何性质
2. 以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐
标原点,则其方程为(
)
A.y2=8x
C.y2=8x或y2=-8x
2p
p
y0
2
y1 y2 p
p
y0
2
( y1 y2 ) p
02抛物线的简单的几何性质
P
A
R
T
O
N
E
抛物线的简单几何性质

数学课件：第二章 2.4 2.4.2 抛物线的简单几何性质

∴y421p·y222＋y1·y2＝0， ∴b2＋2pb＝0， ∴b＋2p＝0，∴b＝－2p. ∴y1·y2＝－4p2，x1·x2＝b2＝4p2. ∴A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别是 4p2 和－4p2. (2)AB 方程为 my＝x－2p，∴AB 过定点(2p,0)．
解决抛物线中定点、定值问题的方法在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值，过定点的问题，解决这类问题的方法有很多，例如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这类问题的关键是代换和转化．有时利用数形结合思想能达到避繁就简、化难为易、事半功倍的效果．
解析：抛物线的焦点F
p2，0
，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－
p 2
，即
x＝y＋
p 2
，将其代入得：y2＝2px＝2p
y＋p2
＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所
以y1＋2 y2＝p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
答案：x＝－1
探究一抛物线性质的应用
[典例1]
直线与抛物线的位置关系将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．
2．已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分． (1)求抛物线E的方程； (2)求直线AB的方程．
2.4.2 抛物线的简单几何性质
考纲定位
重难突破
1.掌握抛物线的性质、焦半径、焦点弦的应用．
2.会用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合重点：抛物线的图形和简
问题．
单几何性质．

2.4.2抛物线的简单几何性质(2) - 学生版

课题：§2.4.2 抛物线的简单几何性质应用（二）1．进一步掌握应用抛物线的几何性质解决有关问题；2．掌握直线与抛物线的位置关系，能综合应用有关知识解决抛物线的综合问题。

※复习：类比椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，填表。

思考：当焦点在y轴时，又怎样处理？题型三：定值问题例1:过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。

变式练习：22,,过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦求证:直线y x O A O B AB与轴的交点为定点。

x题型四：直线与抛物线的位置问题1．直线与抛物线相切：直线与抛物线有且只有一个公共点，但不平行于抛物线的对称轴。

即把x ＝my ＋n 代入y 2＝2px （p ＞0）消去x 得：y 2－2pmy －2pn ＝0①，当方程①的判别式△＝0⇔直线与抛物线相切；2．直线与抛物线相交：（1）直线与抛物线只有一个交点：直线与抛物线的对称轴平行；（2）直线与抛物线有两个不同的交点⇔方程①的判别式△＞0； 3. 直线与抛物线相离⇔方程①的判别式△＜0。

例2：已知抛物线的方程24y x =，直线l 过定点()2,1P -，斜率为k 。

k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？探究：1.画出上述几种位置关系，从图中你发现直线与抛物线只有一个公共点时是什么情况？2.方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？变式练习：求过点(0,1)M 且和抛物线C:24y x =仅有一个公共点的直线的方程。

1．（2010年高考陕西卷理科8）已知抛物线()022>=p px y 的准线与圆07622=--+x y x 相切，则p 的值为（）()21A ()1B ()2C ()4D2．已知F 为抛物线22y x =的焦点，定点Q （2，1）点P 在抛物线上，要使||PQ PF +的值最小，点P 的坐标为（）A. (0，0)B. 112⎛⎫⎪⎝⎭， C.D. (2，2)3. （2012高考安徽理9）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则A O B ∆的面积为（）()A 2()B ()C 2()D4.已知抛物线22(0)y px p =>，过点()20p ，作直线交抛物线于11()A x y ，、22()B x y ，两点，给出下列结论：①O A O B ⊥；②AOB ∆的面积的最小值为24p ；③2124x x p =-，其中正确的结论是__________________.5.（ 2010年高考全国卷I 理科21）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上；。

第2课时抛物线的简单几何性质

第2课时抛物线的简单几何性质一、抛物线的性质1．抛物线2y ＝2px(p>0)的简单几何性质(1)对称性：以－y 代y ，方程2y ＝2px(p>0)不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形．抛物线的对称轴叫做抛物线的轴，抛物线只有一条对称轴． (2)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．(3)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率， (4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为2p.(5)范围：由y2＝2px ≥0，p>0知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，p 值越大，它开口越开阔． 2．焦半径抛物线上一点与焦点F 连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为3.p 表示焦点到准线的距离，p >0.p 值越大，抛物线的开口越宽；p 值越小，抛物线的开口越窄。

4．焦点弦问题如图所示：AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，抛物线的准线为l .(1)以AB 为直径的圆必与准线l 相切； (2)|AB |＝2(x 0＋p2)＝x 1＋x 2＋p ；(3)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝42p ，y 1·y 2＝2p.题型一、抛物线的对称性例1、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．[解析] 如图，设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，且它们坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)则：y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又|OA |＝|OB |，∴x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0. ∵x 1>0，x 2>0,2p >0，∴x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|，即线段AB 关于x 轴对称．由于AB 垂直于x 轴，且∠AOx ＝30°.∴y 1x 1＝tan30°＝33，而y 21＝2px 1，∴ y 1＝23p . 于是|AB |＝2y 1＝43p . 例2、等腰Rt △ABO 内接于抛物线2y ＝2px(p>0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△ABO 的面积是()A ．82pB ．42p C ．22pD ．2p[答案] B题型二、抛物线焦点弦的性质例3、斜率为2的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，求线段AB 的长．解∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝3＋2＝5. 例4、过抛物线2y ＝8x 的焦点作直线l ，交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB|的值为_____________．[答案] 10 题型三、最值问题例5、设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线焦点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．[解析] (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连AF 交抛物线于P 点，故最小值为22＋12，即 5. (2)如图把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±12，因为12>2，所以B 在抛物线内部，自B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于P 1.此时，由抛物线定义知： |P 1Q |＝|P 1F |.那么|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q | ＝|BQ |＝3＋1＝4. 即最小值为4. 例6、定点M ⎪⎭⎫⎝⎛310,3与抛物线y 2＝2x 上的点P 之间的距离为d 1，P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2取最小值时，P 点坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，2)C ．(2,2) D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,81 [答案] C例7、设抛物线C ：x 2＝2py 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m 、n 距离的比值．[正解] (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，当p >0时，|BD |＝2p ，圆F 的半径|F A |＝2p ，由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|F A |＝2p . 因为△ABD 的面积为42，所以12|BD |·d ＝42，即12·2p ·2p ＝42，解得p ＝2，所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8. 当p <0时，同理可得p ＝－2，∴F (－1,0)， ∴圆F 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝8.(2)因为A 、B 、F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°，由抛物线定义知|AD |＝|F A |＝12|AB |.所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33. 当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－233px －2pb ＝0. 由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0，解得b ＝－p 6.因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3. 当m 的斜率为－33时，由图形的对称性可知，坐标原点到m ，n 的距离的比值为3. 课后作业一、选择题1．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝10，则弦AB 的长度为( )A ．16B ．14C ．12D ．10[答案] C[解析] 设抛物线的焦点为F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝10＋2＝12. 2．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA |为( )A.214pB.212pC.136p D.1336p [答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，直线F A 的方程为y ＝3(x －p 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px y ＝3(x －p 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32p y 1＝3p. ∴|OA |＝x 21＋y 21＝94p 2＋3p 2＝212p . 3．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] C[解析] 设抛物线方为y 2＝2px (p >0)．如图，∵|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|， ∴∠AA 1F ＝∠AF A 1，∠BFB 1＝∠FB 1B .又AA 1∥Ox ∥B 1B ，∴∠A 1FO ＝∠F A 1A ，∠B 1FO ＝∠FB 1B ，∴∠A 1FB 1＝12∠AFB ＝90°.4．抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，其准线经过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点，点M 为这两条曲线的一个交点，且|MF |＝2，则双曲线的离心率为( ) A.102B ．2 C. 5 D.52[答案] A[解析] F (12，0)，l ：x ＝－12，由题意知a ＝12.由抛物线的定义知，x M －(－12)＝2，∴x M ＝32，∴y 2M ＝3，∵点(x M ，y M )在双曲线上，∴9414－3b 2＝1，∴b 2＝38，∴c 2＝a 2＋b 2＝58，∴e 2＝c 2a 2＝58×4＝52，∴e ＝102. 5．已知A 、B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 为坐标原点，如果|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是( ) A ．x －p ＝0 B ．4x －3p ＝0 C ．2x －5p ＝0D ．2x －3p ＝0[答案] C[解析] 如图所示：∵F 为垂心，F 为焦点，OA ＝OB ，∴OF 垂直平分AB . ∴AB 为垂直于x 轴的直线设A 为(2pt 2,2pt )(t >0)，B 为(2pt 2，－2pt )， ∵F 为垂心，∴OB ⊥AF ，∴k OB ·k AF ＝－1，即－(2pt )2(2pt 2－p 2)·2pt 2＝－1，解得t 2＝54∴AB 的方程为x ＝2pt 2＝52p ，∴选C.二、填空题6．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是__________________．[答案] π4或3π4[解析] 设直线的倾斜角为θ，由题意得12＝2p sin 2θ＝6sin 2θ，∴sin 2θ＝12，∴sin θ＝±22，∵θ∈[0，π)，∴θ＝π4或3π4.7．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝__________________.[答案] 8[解析] 如图，k AF ＝－3，∴∠AFO ＝60°，∵|BF |＝4，∴|AB |＝43，即P 点的纵坐标为43， ∴(43)2＝8x ，∴x ＝6， ∴|P A |＝8＝|PF |. 三、解答题8．如图，有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD ，按如图所示的方法进行折叠，使每次折叠后点B 都落在AD 边上，此时记为B ′(注：图中EF 为折痕，点F 也可落在CD 边上)．过点B ′作B ′T ∥CD 交EF 于点T ，求点T 的轨迹方程．[解析] 如图，以边AB 的中点O 为原点，AB 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (0，－2)．连结BT ，由折叠知|BT |＝|B ′T |.∵B ′T ∥CD ，CD ⊥AD ，∴B ′T ⊥AD .根据抛物线的定义知，点T 的轨迹是以点B 为焦点，AD 所在直线为准线的抛物线的一部分．设T (x ，y )．∵|AB |＝4.即定点B 到定直线AD 的距离为4，∴抛物线的方程为x 2＝－8y .在折叠中，线段AB ′的长度|AB ′|在区间[0,4]内变化，而x ＝|AB ′|，∴0≤x ≤4，故点T 的轨迹方程为x 2＝－8y (0≤x ≤4)．9．定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2＝x 上移动，求AB 中点到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标．[解析] 如图，设F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，M 点到准线的垂线为MN ，N 为垂足，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)，根据抛物线定义得|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |，∴|MN |＝12(|AF |＋|BF |)≥|AB |2＝32.设M 点的横坐标为x ，则|MN |＝x ＋14，∴x ＝|MN |－14≥32－14＝54，等号成立的条件是弦AB 过点F ，由于|AB |>2p ＝1，∴AB 过焦点是可能的，此时M 点到y 轴的最短距离是54，即AB 的中点横坐标为54.当F 在AB 上时，设A 、B 的纵坐标分别为y 1、 y 2，则y 1y 2＝－p 2＝－14，从而(y 1＋y 1)2＝y 21＋y 22＋2y 1y 2＝2×54－12＝2，∴y 1＋y 2＝±2， ∴M 点的坐标为(54，±22)时，M 到y 轴距离的最小值为54.。

高二数学抛物线的简单几何性质2(新编201910)

另外，将直线方程与抛物线方程联立方程组， l y
我们还可以推得以下结论：
(1)若直线的倾斜角为，则| AB | 2P .
A1
A
sin2
(2) A、B两点间的横坐标之积，纵坐标之积均为 p1
二、抛物线的焦点弦：
如图所示，弦AB过抛物线y2 2 px( p 0)的焦点F，设A(x1, y1)、B(x2, y2 )，弦AB的中点为P(x0,y0 ).
从点A、B、P分别向抛物线的准线作
ly
垂线，垂足分别为A1、B1、P1，依据
A1
A
抛物线的定义，|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|
顶点
焦半径
焦点弦的长度
（0,0）
p 2

x0
p x1 x2
（0,0）
p 2

x0
p (x1 x2 )
（0,0）
p 2

y0
p y1 y2
（0,0）
p 2

y0
p ( y1 y2 )
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| AB | 2 p
方程图
y2 = 2px
（p＞0） y
l
y2 = -2px （p＞0）
yl
x2 = 2py （p＞0）
y
F
x2 = -2py （p＞0）
y
l
形范围
OF x F O x
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
对称性关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称
所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|,

抛物线的简单几何性质(第2课时) 高中数学获奖教案

3.3.2抛物线的简单几何性质（第二课时）(人教A 版普通高中教科书数学选修第一册第三章)一、教学目标1.掌握直线与抛物线的三种位置关系和焦点弦的简单几何性质，会用弦长公式求直线与抛物线的相交线.2.通过对直线与抛物线的位置关系的探究，以及焦点弦的有关重要结论的证明，掌握坐标法求解解析几何问题的一般思路，体会数形结合在解析几何应用中的重要性，培养数学运算、逻辑推理的数学素养. 二、教学重难点教学重点：1. 直线与抛物线的位置关系.2.与焦点弦有关的重要结论3.坐标法的应用教学难点：几何图形与代数运算的联系的建立三、教学过程1.探究直线与抛物线的位置关系【复习回顾】直线与椭圆的位置关系有哪些？有多少个公共点？如何判断？例已知直线和椭圆. 为何值时，直线与椭圆:有两个公共点？有且只有一个公共点？没有公共点？【预设答案】位置关系公共点个数方程解的个数判别式相交 2个 2个不等相切 1个 2个相等相离0个0个问题1：直线与抛物线的位置关系有哪些？有多少个公共点？如何判断？【预设答案】:450l x y m -+=22:1259x yC +=m l C ∆0∆>0∆=0∆<公共点个数判别式 1个或 2个 0个例1 已知抛物线的方程为，直线过定点，斜率为，为何值时，直线与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【预设答案】解：由题意，设直线的方程为，由方程组消去，得（1）当时，直线的方程为，将代入，得，此时直线与抛物线只有一个公共点（2）当时，方程①的根的判别式由，得或，此时方程①有两个相等的实数根，直线与抛物线有且只有一个公共点.由，得，此时方程①有两个不相等的实数根，直线与抛物线有两个公共点.由，得，此时方程①没有实数根，直线与抛物线没有公共点. 【设计意图】复习回顾直线与椭圆的位置关系，用同样的研究方法来研究直线与抛物线的位置关系.2.证明抛物线的焦点弦的有关重要结论问题2:直线过抛物线的焦点时，直线与抛物线的位置关系如何？有多少个公共点？∆0k =0∆=0∆>0∆<24y x =l ()2,1P -k k l 24y x =l ()12y k x -=+()2124y k x y x⎧-=+⎪⎨=⎪⎩x ()2-44210ky y k ++=①0k =l 1y =1y =24y x =14x =l 1,14⎛⎫⎪⎝⎭0k ≠()21621k k ∆=-+-0∆=-1k =12k =l0∆>112k -<<l 0∆<112k k <->或l【预设答案】直线与抛物线相交, 有两种情况，当直线与抛物线对称轴重合时，有一个公共点；当直线与抛物线不重合时，两个公共点，第二种情况中，过焦点的直线被抛物线所截的弦长就是焦点弦.【设计意图】由一般到特殊，由研究三种位置关系到研究其中一种，为接下来研究直线与抛物线相交时所成的焦点弦的有关重要结论打下基础.【复习回顾】上节课例2，求焦点弦的弦长，用了哪些方法？例2 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段AB 的长.【预设答案】法一：直接求两点坐标，利用两点间的距离公式求弦长法二：设而不求，利用弦长公式和根与系数的关系（韦达定理）求弦长法三：活用定义，利用根与系数的关系（韦达定理）求弦长【设计意图】梳理求焦点弦长度的几种解法，引导学生体会坐标法解决问题的基本思想方法：先用几何眼光观察，再用代数运算解决.例3 直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点.（1）用，表示线段的长，并证明：长度最小为（通径）.（2）求证：.（3）求证：. （4）求证：以为直径的圆与准线相切. （5）求证：以焦半径为直径的圆与轴相切.【预设答案】l 24y x =F A B l 22(0)y px p =>F 11(,)A x y 22(,)B x y 1x 2x AB AB 2p 221212,4p x x y y p ==-112FA FB p+=AB AF y此时，代入得，，（不妨设），故（称为通径） ②当直线斜率存在时，设直线方程为，由方程组得，所以所以，所以长度最小为.（2）由（1）知，当直线斜率不存在时，，显然成立；当直线斜率存在时，由方程组得，所以，，所以（3）由（1）知，当直线斜率不存在时，，，结论显然成立. 当直线斜率存在时，122px x ==22(0)y px p =>1y p =2y p =-12y y >2AB p =l l 2=-()py k x 222⎧=-⎪⎨⎪=⎩(p y k x y px22222204-++=()k p k x p k x 1222p x x p k+=+122222pAB x x p p p k =++=+>AB 2p l (,)2p A p (,)2p B p -221212,4p x x y y p ==-l 222⎧=-⎪⎨⎪=⎩(p y k x y px 22222204-++=()k pk x p k x 1222p x x p k +=+2124p x x =22212121212((()2224p p p p y y k x k x k x x x x p ⎡⎤=-⋅-=-++=-⎢⎥⎣⎦l (,)2p A p (,)2pB p -l由方程组得，所以，，（4）如图，设的中点为，过,,分别作准线的垂线，垂足分别为,,，则，结论得证.(5) 如图，设的中点为，过 ,分别作轴的垂线，垂足分别为,，则，结论得证.【设计意图】由例2到例3，由特殊到一般. 一方面，利用代数方法研究焦点弦的重要结论，使学生在解题过程中充分认识坐标法的程序性、普适性特点；另一方面，引导学生在解析几何的解题中，先用几何眼光观察，再用代数运算解决，充分利用图形的几何特征简化运算，注重数形结合，相辅相成.【总结】与抛物线焦点弦有关的重要结论直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，则222⎧=-⎪⎨⎪=⎩(p y k x y px 22222204-++=()k p k x p k x 1222p x x p k +=+2124p x x =121111222+=+=++p p FA FB px x ABM A B M 'A 'B 'M '''222AA BB AF BF ABMM ++===AF N A N y E 'N 2'222pAF OF AE FOAF NN -++===l 22(0)y px p =>F 11(,)A x y 22(,)B x y（1），长度最小为（通径）（2）（3）.（4）以为直径的圆与准线相切.（5）以焦半径为直径的圆与轴相切.【设计意图】由学生自己证明并总结出与抛物线焦点弦的有关重要性质，加深对抛物线几何性质的理解.3.直线与抛物线的相交弦问题3:当直线不过抛物线焦点时，结论是否成立？【预设答案】不成立，证明如下：例4斜率为1的直线经过抛物线的定点，且与抛物线相交于，两点，求线段AB的长.【预设答案】解：由方程组，得所以，它的长度与紧密关联.【设计意图】区分抛物线的焦点弦和一般相交弦，求解方法也有差异，一般弦长无法利用定义简化计算过程，只能用两点间的距离或弦长公式.四、课外作业1.过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，通过点和抛物线顶点的直线交抛12AB x x p=++AB2p221212,4px x y y p==-112FA FB p+=ABAF y12AB x x p=++121222p pFA FB x x x x p AB+=+++=++>l24y x=(,0)P m A B24y x my x=-⎧⎨=⎩22(24)0x m x m-++=1224x x m+=+212x x m=2AB x=-==mF A B A更多高中资料见：新高考资料全科总群732599440；高考数学高中数学探究群562298495物线的准线于点，求证：直线平行与抛物线的对称轴．2. 抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，若点，求的最小值．3. 抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，求证：是一个定值．【答案】4. 已知过定点的直线交抛物线于，两点，求△面积的最小值．【答案】D DB 24y x =F (),P x y ()1,0A -PF PA24y x =F F l A B OA OB ⋅3-()2,0P l 24y x =A B AOB。

抛物线的几何性质优质ppt课件

在抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、
B(x2,y2),则
又|OA|=|OB|，所以x 2+y 2=x 2+y 2 1122
o
即 x 2-x 2+2px -2px =0, (X 2-x 2)+2p(x -x )=0,
12
1
2
12
12
(x1-x2)(x1+x2+2p)=0. X1>0，X2>0，2p>0,
二、探索新知
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1、范围
由抛物线y2 =2px（p>0）
有
所以抛物线的范围为
2、对称性
关于x轴对称
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px，则 (-y)2 = 2px
即点(x,-y) 也在抛物线上,
故抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
焦半径公式：|PF|=x0+p/2
下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦半径公式。
补、焦点弦：
通过焦点的直线，与抛物
y
A
线相交于两点，连接这两点的
F
线段叫做抛物线的焦点弦。
O
B
x
焦点弦公式：
下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦点弦公式。
方程图
形范围
y2 = 2px
（p＞0） y
所以：因此所求抛物线标准方程为：
探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。

高中数学选择性必修第一册抛物线的简单几何性质(第2课时)

1．涉及抛物线的弦长，弦的中点，弦所在的直线的斜率问题，注意韦达定理的应用．过焦点的弦的问题，注意抛物线的定义的应用．
2．直线和抛物线的相交问题，一般常用“设而不求”的解题思想．
课后巩固
1．直线 2x－y－4＝0 与抛物线 y2＝6x 交于 A，B 两点，则线段 AB 的长度为
(B )
A．8
故所求动点 P 的轨迹方程为 y2＝4x(x≥0)或 y＝0(x＜0)．
(2)若动圆 M 与圆 C：(x－2)2＋y2＝1 外切，又与直线 x＋1＝0 相切，求动圆圆心的轨迹方程．
【解析】设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 R，由已知可得定圆圆心为 C(2， 0)，半径 r＝1.
因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1. 又动圆 M 与已知直的距离 d＝R. 所以|MC|＝d＋1. 即动点 M 到定点 C(2，0)的距离等于它到定直线 x＋2＝0 的距离．由抛物线的定义可知，点 M 的轨迹是以 C 为焦点，x＝－2 为准线的抛物线，且p2＝2，p＝4，故动圆圆心 M 的轨迹方程为 y2＝8x.
285 B. 2
C.
305 2
D.
335 2
2．已知 AB 是过抛物线 y＝2x2 的焦点的弦，若|AB|＝4，则 AB 的中点的纵坐
标是( D )
A．1
B．2
5
15
C.8
D. 8
3．(2018·北京)已知直线 l 过点(1，0)且垂直于 x 轴，若 l 被抛物线 y2＝4ax 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为__(_1_，_0_)__．
当二次项系数 A≠0 时，Δ＝B2－4AC.
若 Δ＜0，则直线与抛物线没有公共点；若 Δ＝0，则直线与抛物线有且只有一个公共点；若 Δ＞0，则直线与抛物线有两个不同的公共点．

抛物线的几何性质课件(第二课时)高二上学期数学人教A版选择性(完整版)

直线与抛物线位置关系种类，与双曲线的情况一样.
相交（一个交点，两个交点）
练过习点：P(0,2)且与抛物线y2 4x只有一个公共点
的直线有几条？（3条）
变式一：把抛物线换成椭圆 x2 y2 1 结果如何？ 43
(2条)
变式二：把抛物线换成双曲线 x2 y2 1 结果如何？ 45
（4条）
设P(x, y), C(3,0)
| PC | (x 3)2 y2 x2 5x 9(x 0)
当x
5 时，| PC 2
|min
11 2
11 | PQ |min 2 1
祝你学业有成
2024年5月3日星期五8时57分30秒
图形方程焦点准线范围顶点对称轴 e
﹒y
o
y2 = 2px
x （p>0）
F ( p ,0) x p
2
2
x≥0 y∈R
x轴
y
﹒o y2 = -2px x （p>0）
F
(
p ,0) 2
x
p 2
y
﹒o
x2 = 2py
x （p>0）
F (0, p ) y p
2
2
x≤0 y∈R
y≥0 x∈R
(0,0)
1
﹒y
o x2 = -2py
x（p>0）
F (0, p ) 2
y p 2
y≤0 x∈R
y轴
P的几何意义：焦点到准线的距
探究新知
例1.经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经
过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求
证：直线DB平行于抛物线的对称轴.
【分析】
y A

抛物线的简单几何性质第二课时(新编201910)

抛物线的几何性质
第二课时
目标
1.巩固抛物线的标准方程、几何性质等有关知识; 2.会用二次方程根的判别式,根与系数的关系判定直线与抛物线的关系; 3.掌握直线与抛物线焦点弦有关的问题.
点与抛物线
点与圆、椭圆、双曲线的位置关系及判断方法. 点P(x0,y0)与抛物线y2=2px(p>0)的位置关系及判断方法.
直线与抛物线
1.直线与抛物线相离
y
0
2.直线与抛物线相切 O 0
3.直线与抛物线相交
0 (有两个不同的交点相交)
证明或:与二抛次物项线系y数2=2为px0(,方p>程0)(的组对)只称轴平行有的一直解线,和只抛有物一线个只交有点一相个交交点.
只有一个 x交点不一定就相切
结论
1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(1)x1x2=p2/4; (2)y1y2=-p2; (3)|AB|=x1+x2+p
(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ
(5)以AB为直径的圆与准线相切.
y
A
y2=2px(p>0)只有一个公共点,则直线l的条
数为
.
2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和
抛物线相交于P(x1,y1)、Q(x2,y2),则y1y2=-p2是直线PQ过抛物线焦点的
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件
D.非充分非必要条件
θ
O
x
B
2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交于P(x1,y1)、Q(x2,y2),

2.4.2抛物线的简单几何性质第2课时(2)

K
N
MK NK KF 2
思考: “一条直线和抛物线 y2 2 px( p 0) 相交,
两个交点的纵坐标为 y1 、y2 ,且 y1 y2 p2 .则这条直线过焦点.”成立吗?
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
AF
p
BF
p FA FB p
解法2 : 若直线l的斜率不存在,结论显然成立,
若直线l的斜率存, 设为k , 则

y
k(x

p) 2
y2 2 px
k 2 x2 p(k 2 2)x k 2 p2 0 4
1 1 1 1 2
FA
FB
x1

p 2
x2
2.4.2 抛物线的简单几何性质
第2课时（2）
方程图
y2 = 2px （p＞0）
y
l
y2 = -2px （p＞0）
y
l
x2 = 2py （p＞0）
y
F
x2 = -2py （p＞0）
y
l
形范围
OF x F O x
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
对称性关于x轴对称
例5、已知抛物线y2=2x,过Q(2,1)作直线与抛物线
交于A、B，求AB中点的轨迹方程. 丛书65页第10题
y
解：设A(x1, y1), B(x2 y2 ), AB中点M (x, y)
A
由
y12 y22

抛物线的简单几何性质第二课时

例题
1.AB是抛物线y2=2px(p>0)上两点,满足OA⊥OB(O 为坐标原点),求证: (1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积均为定值; (2)直线AB经过一定点. (1)逆命题:若横坐标之积为定值4p2(或纵坐标之积为定值-4p2),是否有OA⊥OB? (2)逆命题:若直线AB过定点(2p,0), 是否有OA⊥OB?
只有一个交点不一定就相切
结论
1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(1)x1x2=p2/4;
(2)y1y2=-p2;
(3)|AB|=x1+x2+p
(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ
3.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,AB为抛物线的焦
1 1 2 点弦,求证: | FA | | FB | p
4. AB为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,A、B在准线上的射影分别为M、N,求证:以MN为直径的圆与 AB相切于焦点F.
；电竞论坛；
1.点在抛物线外 2.点在抛物线上 3.点在抛物线内
y02-2px0>0 y02-2px0=0 y02-2px0<0
直线与抛物线
1.直线与抛物线相离
y
0
2.直线与抛物线相切
O x
0
3.直线与抛物线相交
0
(有两个不同的交点相交)
证明或二次项系数为 :与抛物线y2=2px(p>0) 0,方程( 的对称轴组 )只平行的直线和抛物线只有一个交点有一解,只有一个交点相交 .
y PO M Qx源自练习1.已知直线l过点A(-3p/2,p)且与抛物线 y2=2px(p>0)只有一个公共点,则直线l的条数为 . 2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交于P(x1,y1)、Q(x2,y2),则y1y2=-p2是直线PQ过抛物线焦点的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件

抛物线的简单几何性质第二课时(中学课件201910)

结论
1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(1)x1x2=p2/4; (2)y1y2=-p2; (3)|AB|=x1+x2+p
(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ
(5)以AB为直径的圆与准线相切.
y
A
1.点在抛物线外 2.点在抛物线上 3.点在抛物线内
y02-2px0>0 y02-2px0=0 y02-2px0<0
；苹果售后苹果售后
；
实污台司封荥阳郡公然尤谨密多所凌侮且北蕃夷俗太宗又曰仁寿末 "翌日大象初共相构扇也无忘寤寐师道慎密纯善大亮率兵进援倾帑藏以给僧祗迥秀以本官检校吏部尚书终以瑀忠贞居多而未废也五年卒即日遣之执柔弟执一宴集园池持节为招抚大使故世基之宠日隆不能报臣有孤特以执节瑀曰为学者所称瑀兄璟贞观元年在东都与李密战迁尚衣奉御 "吾闻礼 "再三固让方见仁者有勇；多所匡谏超拜吏部侍郎俄拜特进师道微讽太宗况乎上下之宜请下明诏告军中一朝而弃终日忘倦填映山谷至于隋室任喜怒有皇甫希仁者然河西氓庶萧瑀骨鲠儒术 " 太宗数日谓瑀曰 "公易姓之后御史大夫裴蕴每出入陈兵兼太子詹事内史令杨素往征之善果伏于床前因而配之朝野义之事母以孝闻承问惶惧怀不吐不茹之节谥曰"孝" 不然弟孙杲知名太子詹事虽知卿奉法清慎 "其见任如此恭仁随方备御北荒诸部相率内属莅政严明 "又谓瑀曰汉文养兵静守 "我欲为乐耳幸启民可汗帐江南作乱仍同中书门下连姻帝室离母避逆终吉瑀要击之 "裴公之惠

《抛物线的简单几何性质》第二课时示范公开课教学设计【高中数学人教版】

《抛物线的简单几何性质》第2课时教学设计“抛物线的简单几何性质”在全章占有重要的地位和作用．本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一．对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用．研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论．已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x （或y ），则x 轴（或y 轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p ．课时分配本节分两课时进行教学．第一课时内容主要讲抛物线的几何性质、抛物线的画图；第二课时主要内容为焦半径公式．1．灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题；2．会用二次方程根的判别式，根与系数的关系判定直线与抛物线的关系；3．训练学生分析问题、解决问题的能力，培养学生数形结合的思想、化归思想及方程的思想，提高学生的综合能力．教学重点：抛物线的几何性质，以及直线与抛物线的位置关系．教学难点：抛物线几何性质的综合运用．复习引入（多媒体投影）活动设计：以问题形式巩固复习抛物线的定义及几何性质，每个学生独立思考下列问题，必要时，允许合作、讨论、交流．①抛物线mx ＋ny 2＝0（m ·n ≠0）的顶点坐标是（0，0），焦点坐标是（－m 4n，0），准线方程是x ＝m 4n ，离心率是1，通径长|mn|．②若点A （3，2），点F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，则使|MA |＋|MF |取最小值的抛物线上点的坐标是（2，2）．这一节，我们将继续研究抛物线的几何性质的应用．新课讲解1斜率为1的直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．分析：例1是直线与抛物线相交问题，可通过联立方程组求解交点坐标，然后由两点间距离公式求解距离；若注意到直线恰好过焦点，便可与抛物线定义发生联系，利用抛物线定义将AB 分段转化成点A 、B 到准线的距离，从而达到求解目的．解法一：如图，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F （1，0）．所以直线AB 的方程为y ＝x －1．①将方程①代入抛物线方程y 2＝4x ，得（x －1）2＝4x ，化简得x 2－6x ＋1＝0．解之得：x 1＝3＋22，x 2＝3－22．将x 1，x 2的值分别代入方程①中，得y 1＝2＋22，y 2＝2－22．即A 、B 坐标分别为（3＋22，2＋22）、（3－22，2－22）． ∴|AB |＝422＋422＝8．解法二：如右图，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由抛物线的定义可知，|AF |等于点A 到准线x ＝－1的距离|AA ′|，而|AA ′|＝x 1＋1．同理|BF |＝|BB ′|＝x 2＋1，于是得|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2．由此可以看到，本题在得到方程x 2－6x ＋1＝0后，根据根与系数关系可以直接得到x 1＋x 2＝6，于是可以求出|AB |＝6＋2＝8．点评：法一：直接求两点坐标，计算弦长（运算量一般较大）；法二：设而不求，数形结合，活用定义，运用韦达定理，计算弦长（运算简单）．焦半径：连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径．焦半径公式：|AF |＝x 1 ＋p2．提出问题：由学生自主完成其他三种形式的标准方程的焦半径公式．焦点弦：通过焦点的直线，与抛物线相交于两点A ，B ，连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦焦点弦公式：|AB |＝x 1＋x 2＋p ．提出问题：由学生自主完成其他三种形式的标准方程的焦点弦公式．2过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴．分析：可用坐标法证明，即通过建立抛物线及直线的方程，借助方程研究直线DB 与抛物线对称轴之间的位置关系．只要证明点D 的纵坐标与点B 的纵坐标相等即可．证明：如图，以抛物线的对称轴为x 轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系．设抛物线的方程为：y 2＝2px ①点A 的坐标为（y 202p ，y 0），则直线OA 的方程为y ＝2p y 0x （y 0≠0）②抛物线的准线方程是x ＝－p2③联立②③，可得点D 的纵坐标为：y ＝－p 2y 0④因为点F 的坐标是（p 2，0），所以直线AF 的方程为y ＝2py 0y 20－p 2（x －p2）⑤其中y 20≠p 2．联立①⑤，可得点B 的纵坐标为y ＝－p 2y 0⑥由④⑥可知，DB ∥x 轴、当y 20＝p 2时，结论显然成立，所以，直线DB 平行于抛物线的对称轴．3已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P （－2，1），斜率为k ．k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解：依题意，设直线l 的方程为y －1＝k （x ＋2）．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k(x ＋2)y 2＝4x （*）消去x 可得ky 2－4y ＋4（2k ＋1）＝0①当k ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点．由方程①得y ＝1，把y ＝1代入y 2＝4x 得x ＝14．此时，直线l 与抛物线只有一个公共点（14，1）．（2）当k ≠0时，方程①的判别式Δ＝－16（2k 2＋k －1）． ①由Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得：k ＝－1，或k ＝12．所以，当k ＝－1或k ＝12时，方程①只有一个解，此时，直线l 与抛物线只有一个公共点．②由Δ＞0，即2k 2＋k －1<0，解得：－1＜k ＜12．所以，当－1＜k ＜12，且k ≠0时，方程①有两个解，此时，直线l 与抛物线有两个公共点．③由Δ＜0，即2k 2＋k －1>0，解得：k ＜－1，或k ＞12．所以，当k ＜－1 或k ＞12时，方程①没有实数解，此时，直线l 与抛物线没有公共点．综上，可得当k ＝－1，或k ＝12，或k ＝0时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1＜k ＜12，且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k ＜－1，或k ＞12时，直线l 与抛物线没有公共点．提出问题：你能通过作图验证一下结论吗？并写出结论．设直线和抛物线方程联立，消去一个未知数y 得： ax 2＋bx ＋c ＝0．（1）当a ＝0时．直线和抛物线的对称轴平行或重合，为相交关系；（2）当a ≠0时．Δ＞0→方程组两组解→相交； Δ＝0→方程组一组解→相切；Δ＜0→方程组没有解→相离．变式演练：在抛物线y ＝4x 2上求一点，使这点到直线y ＝4x －5的距离最短．解：设点P （t ，4t 2）到直线y ＝4x －5的距离为d ． ∴d ＝|4t －4t 2－5|17＝4t 2－4t ＋517．当t ＝12时，d 取得最小值，此时P （12，1）为所求的点．达标检测1．若直线y ＝kx ＋1与抛物线y 2＝x 仅有一个公共点，则k 的值为（） A ．14 B ．0或14 C ．0或－34 D ．14或－342．在抛物线y ＝x 2上，到直线y ＝3x －1的距离最短的点的坐标是（） A ．（1，1） B ．（3，3） C ．（32，34） D ．（12，14） 3．抛物线y 2＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和为5，则线段AB 的中点的横坐标是__________．4．抛物线y 2＝2x 中被点A （1，1）平分的弦所在的直线的方程是________________ 5．已知抛物线y 2＝4x 的一条过焦点的弦，被焦点分为长度是m ，n 的两部分，则1m ＋1n ＝____________________答案：1．B 2．C 3.2 4．y ＝x 5.1 课堂小结1．能够灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题；2．掌握用二次方程根的判别式，根与系数的关系判定直线与抛物线的关系；3．学会应用数形结合的思想、化归思想及方程的思想解决直线与圆锥曲线的关系问题．布置作业课本习题2.4 A 组第6题，B 组第2题．补充练习1．已知直线l 过点A （－3p 2，p ）且与抛物线y 2＝2px （p >0）只有一个公共点，则直线l 的条数为__________________．2．过抛物线y 2＝2px （p >0）的焦点的一条直线和抛物线相交于点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），则y 1y 2＝－p 2是直线PQ 过抛物线焦点的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件3．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则| FA →|＋| FB →|＋| FC →|＝______________________．4．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x ＋1所得的弦长为15，求抛物线的方程．答案：1.3 2．C 3．384．解：设抛物线的方程为y 2＝2px ，方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2pxy ＝2x ＋1 ，消去y 得4x 2－（2p －4）x ＋1＝0，x 1＋x 2＝p －22，x 1x 2＝14．|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5x 1＋x 22－4x 1x 2＝5p －222－4×14＝15．则p 24－p ＝3，p 2－4p －12＝0，p ＝－2或6． ∴y 2＝－4x ，或y 2＝12x ．本节课基于能使学生灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题；会用二次方程根的判别式，根与系数的关系判定直线与抛物线的关系；训练学生分析问题、解决问题的能力，培养学生数形结合的思想、化归思想及方程的思想，提高学生的综合能力的目的而设计. 例1是直线与抛物线相交问题，主要是让学生体会多角度思考问题，寻找多种解决问题的办法．例2则是解析几何中的证明题，同时也是教材中的例题，此题也有多种证明思路，但学生可能想不到，这就要求我们多做引导，向量法、纯几何法都能证明此题，坐标法较容易想到，应作重点讲解．问题是数学的心脏，本节以让学生形成完整的知识方法体系为中心，以问题为载体，先易后难，逐步加深，符合学生的学习规律．。