2020-2021学年高考理科数学全国ⅲ卷模拟试题及答案解析

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2020年高考理科数学及答案解析(全国Ⅲ卷)

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（含答案解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A 【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解. 2．若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1+i -C ．1i -D ．1+i【答案】D 【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。

在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。

3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C 【难度】容易【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅲ)数学(理)试题(解析版)

绝密★启用前考试时间：2020年7月7日15:00-17:002020年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅲ)数学(理科)试题 (解析版)试卷总分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】【分析】采用列举法列举出AB 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故AB 中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2.复数113i-的虚部是（） A. 310-B. 110-C.110D.310【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（） A. 14230.1,0.4p p p p ==== B. 14230.4,0.1p p p p ==== C. 14230.2,0.3p p p p ==== D. 14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差,由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A 选项,该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项,该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项,该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=,。

2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)(解析版)

.10 D.310 C.12020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A B中元素的个数为（）A.2【答案】C【解析】【分析】采用列举法列举出AB.3C.4B中元素的即可.D.6⎧y≥x【详解】由题意，A B中的元素满足⎨，且x,y∈N*，⎩x+y=8由x+y=8≥2x，得x≤4，所以满足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A B中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题2.复数11-3i的虚部是（）A.-310 B.-110【答案】D 【解析】【分析】【详解】因为 z = 1 3.在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为 p , p , p , p ，且 ∑ p = 1 ，则下面四种情形中，对应 ...利用复数的除法运算求出 z 即可.1 + 3i 1 3= = + i ，1 - 3i (1- 3i)(1+ 3i) 10 10 所以复数 z = 1 3的虚部为 .1 - 3i 10故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题41 2 3 4 ii =1样本的标准差最大的一组是（）A. p = p = 0.1, p = p = 0.41423C. p = p = 0.2, p = p = 0.31423B. p = p = 0.4, p = p = 0.11 42 3D. p = p = 0.3, p = p = 0.21 42 3【答案】B【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组【详解】对于 A 选项，该组数据的平均数为 x = (1 + 4)⨯ 0.1+ (2 + 3)⨯ 0.4 = 2.5 ，A方差为 s 2 = (1 - 2.5)2 ⨯ 0.1+ (2 - 2.5)2 ⨯ 0.4 + (3 - 2.5)2 ⨯ 0.4 + (4 - 2.5)2 ⨯ 0.1 = 0.65 ； A对于 B 选项，该组数据的平均数为 x = (1 + 4)⨯ 0.4 + (2 + 3)⨯ 0.1 = 2.5 ，B方差为 s 2 = (1 - 2.5)2 ⨯ 0.4 + (2 - 2.5)2 ⨯ 0.1+ (3 - 2.5)2 ⨯ 0.1+ (4 - 2.5)2 ⨯ 0.4 = 1.85 ； B对于 C 选项，该组数据的平均数为 x = (1 + 4)⨯ 0.2 + (2 + 3)⨯ 0.3 = 2.5 ，C方差为 s 2 = (1 - 2.5)2 ⨯ 0.2 + (2 - 2.5)2 ⨯ 0.3 + (3 - 2.5)2 ⨯ 0.3 + (4 - 2.5)2 ⨯ 0.2 = 1.05 ； C对于 D 选项，该组数据的平均数为 x = (1 + 4)⨯ 0.3 + (2 + 3)⨯ 0.2 = 2.5 ，D方差为 s 2 = (1 - 2.5)2 ⨯ 0.3 + (2 - 2.5)2 ⨯ 0.2 + (3 - 2.5)2 ⨯ 0.2 + (4 - 2.5)2 ⨯ 0.3 = 1.45 .D因此，B 选项这一组标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题 4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎1 + e -0.23(t -53) ，其中 K 为最大确诊病例数．当），所以 I t * = K ) = 0.95K ，则 e 0.23 t *-53 = 19 ， t t = ln19 ≈ 3 ，解得 t * ≈ .,0 ⎪ ⎭B. ,0 ⎪⎭C.(1,0)⎝ 4 ⎝ 2 4，所以 D (2,2 )，代入抛物线方程 4 = 4 p ，求得 p = 1 ，所以其焦点坐标为 ( ,0) ，累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型： I (t )=KI( t * )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t * 约为（）（ln19≈3A. 60 【答案】C【解析】【分析】B. 63C. 66D. 69将 t = t * 代入函数 I (t ) =1 + eK ()【详解】I (t ) =K1 + e-0.23(t -53)( )1 + e -0.23( *-53( )所以， 0.23 (* - 53)30.23+ 53 ≈ 66 .故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题 5.设 O 为坐标原点，直线 x = 2 与抛物线 C ： y 2 = 2 px( p > 0)焦点坐标为（）⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫A.【答案】B【解析】【分析】交于 D ， E 两点，若 O D ⊥ OE ，则 C 的D. (2,0)根据题中所给的条件 O D ⊥ OE ，结合抛物线的对称性，可知∠DOx = ∠EOx =π4，从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得 p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线 x = 2 与抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 交于 E, D 两点，且 O D ⊥ OE ，根据抛物线的对称性可以确定 ∠DOx = ∠EOx =π12故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，35B.-35C.17D.19 ()(a+b)==193 D.22点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6.已知向量a，b满足|a|=5，|b|=6，a⋅b=-6，则cos a,a+b=（）A.-311935【答案】D【解析】【分析】计算出a⋅a+b、a+b的值，利用平面向量数量积可计算出c os<a,a+b>的值.【详解】a=5，b=6，a⋅b=-6，∴a⋅(a+b)=a2+a⋅b=52-6=19.a+b=2a2+2a⋅b+b2=25-2⨯6+36=7，因此，cos<a,a+b>=a⋅(a+b)a⋅a+b19=.5⨯735故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.7.△在ABC中，cosC=A.1923，AC=4，BC=3，则cosB=（）11B. C.23【答案】A【解析】【分析】AB+B C2-AC2根据已知条件结合余弦定理求得AB，再根据c osB=，即可求得答案.2AB⋅B C【详解】在ABC中，cos C=2，AC=4，BC=3 3根据余弦定理：AB2=AC2+BC2-2A C⋅BC⋅cos CAB2=42+32-2⨯4⨯3⨯可得AB2=9，即AB=32 3..△S ABC=△S ADC=S由AB2+BC2-AC29+9-161cos B===2A B⋅BC2⨯3⨯391故cos B=.9故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.6+42B.4+42C.6+23D.4+23【答案】C【解析】【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：1△CDB=2⨯2⨯2=2根据勾股定理可得：AB=AD=DB=22∴△A DB是边长为22的等边三角形根据三角形面积公式可得：△S ADB =1.2 tan θ - tan θ + ⎪ = 7 ，∴ 2 tan θ - = 7 ，.B. y =2x +1 2C. y = 2D. y = ( )，则x> 0 ，2 x ，则直线 l 的斜率 k = 2 x1 3 AB ⋅ AD ⋅ s in 60︒ = (2 2) 2 ⋅ = 2 32 2 2∴ 该几何体的表面积是： 3 ⨯ 2 + 23 = 6 + 2 3 .故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.9.已知 2tan θ–tan(θ+A. –2π)=7，则 tan θ=（）4B. –1C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案【详解】⎛ π ⎫ t an θ + 1 ⎝ 4 ⎭ 1 - t an θ令 t = tan θ , t ≠ 1，则 2t -1 + t1 - t= 7 ，整理得 t 2 - 4t + 4 = 0 ，解得 t = 2 ，即 tan θ = 2 .故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题10.若直线 l 与曲线 y = x 和 x 2+y 2= 1 5都相切，则 l 的方程为（）A. y =2x +1 1x +1 1 1x + 2 2【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线 l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线 l 在曲线 y =x 上的切点为 x ,x0 0函数 y =x 的导数为 y ' =11 2 x，设直线 l 的方程为 y - x =1 (x - x )，即 x - 2x y + x = 0 ，0 0由于直线 l 与圆 x + y = 相切，则，5..= 5 ，∴ c = 5a ，根据双曲线的定义可得 PF - PF = 2a ， | ) + 2 PF1x 1 2 2 0 = 51 + 4 x 5 01两边平方并整理得 5x 2 - 4x -1 = 0 ，解得 x = 1 ， x = - （舍），0 0 0 0则直线 l 的方程为 x - 2 y + 1 = 0 ，即 y =1 1 x + .2 2故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题11.设双曲线 C ： x 2 y 2 - a 2 b 2= 1 （a >0，b >0）的左、右焦点分别为 F 1，F 2，离心率为 5 ．P 是 C 上一点，且F 1P ⊥F 2△P ．若 PF 1F 2 的面积为 4，则 a =（）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案【详解】c a1 2△S PF 1F 2 = 12| PF | ⋅ PF = 4 ，即 | PF | ⋅ PF = 8 ，1 2 1 2F P ⊥ F P ，∴ PF |2 + PF12122= (2c )2 ，∴ ( PF - PF1221⋅ PF = 4c 2 ，即 a 2 - 5a 2 + 4 = 0 ，解得 a = 1 ，2故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知 55<84，134<85．设 a=log 53，b =log 85，c=log 138，则（）A. a <b <c 【答案】A【解析】【分析】B. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b结合 55< 84 可得出b < 45 5 b c b ⎪ = ⎪ < 1 ，∴ a < b ； = = ⋅ < ⋅ ⎪ = b log 5 lg 5 lg 5 (lg 5) ⎝2 ⎭ ⎝ 2lg 5 ⎭ ⎝ lg 25 ⎭ 5 13.若 x ，y 满足约束条件 ⎨2 x - y ≥ 0，，则 z =3x +2y 的最大值为_________．由题意可得 a 、、 ∈ (0,1) ，利用作商法以及基本不等式可得出 a 、的大小关系，由 b = log 5 ，得 8b = 5 ， 84，由 c = log 8 ，得13c = 8 ，结合134 < 85 ，可得出 c > ，综合可得出 a 、 b 、13c 的大小关系.【详解】由题意可知 a、b 、c ∈ (0,1) ，a log 3 lg 3 lg8 1 ⎛ lg 3 + lg8 ⎫2⎛ lg 3 + lg8 ⎫2 ⎛ lg 24 ⎫25 2 84由 b = log 5 ，得 8b = 5 ，由 55 < 84 ，得 85b < 84 ，∴ 5b < 4 ，可得 b < ；8由 c = log 13 8 ，得13c = 8 ，由134 < 85 ，得134 < 135c ，∴ 5c > 4 ，可得 c > 4 5.综上所述， a < b < c .故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.⎧ x + y ≥ 0, ⎪⎪ ⎩x ≤ 1,【答案】7【解析】【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.【详解】不等式组所表示的可行域如图因为 z = 3x + 2 y ，所以 y = - 3x z z+ ，易知截距越大，则 z 越大，2 2 23x 3x z平移直线 y =- ，当 y =-+ 经过 A 点时截距最大，此时 z 最大， 2 2 2⎧ y = 2 x ⎧ x = 1由 ⎨ ，得 ⎨ ， A(1,2) ，⎩ x = 1 ⎩ y = 2所以 zmax = 3 ⨯ 1 + 2 ⨯ 2 = 7 .⎛ 2 写出 x + ⎪ 二项式展开通项，即可求得常数项.⎛ 2 2 ⎫6x + ⎪ 6-r⎛ ⎪⎛ 2 x + ⎪ 的展开式中常数项是： C 64 ⋅ 24 = C 62 ⋅16 = 15 ⨯16 = 240 .故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.2 14. (x 2 + )6 的展开式中常数项是__________（用数字作答）．x【答案】 240【解析】【分析】2 ⎫6⎝x ⎭【详解】⎝ x ⎭其二项式展开通项：T r +1= C r 6⋅ (x 2 ) ⋅ 2 ⎫r ⎝ x ⎭= C r ⋅ x 12-2r (2) r ⋅ x -r6= C r (2) r ⋅ x 12-3r6当12 - 3r = 0 ，解得 r = 4∴ 2 ⎫6⎝ x ⎭故答案为： 240 .【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握(a + b )n 的展开通项公式 Tr +1= C r a n -r b r ，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.n.△S ABC=△AOC=⨯AB⨯r+⨯BC⨯r+⨯AC⨯r=⨯(3+3+2)⨯r=22，15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【答案】23π【解析】【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中BC=2,AB=AC=3，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为O，由于AM=32-12=22，故设内切圆半径为r，则：12⨯2⨯22=22，S△ABC=S△AOB+S△BOC+S11122212解得：r242，其体积：V=πr3=π.233故答案为：23π.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16.关于函数f（x）=sin x+1sin x①f（x）的图像关于y轴对称．②f（x）的图像关于原点对称．有如下四个命题：【详解】对于命题①，f ⎛π⎫1⎛π⎫f -=+2=，⎝6⎭2⎝6⎭2f -⎪≠f ⎪，f(-x)=sin(-x)+1=-sin x-=- sin x+⎪=-f(x)，⎝2⎭⎝2⎭sin⎛π-x⎫f -x⎪=sin -x⎪+=cos x+⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭sin⎛π+x⎫f +x⎪=sin +x⎪+=cos x+⎝2⎭f -x⎪=f +x⎪，.③f（x）的图像关于直线x=π2对称．④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取-π<x<0可判断命题④的正误.综合可得出结论.⎪⎪15=--2=-，则22⎛π⎫⎛π⎫⎝6⎭⎝6⎭所以，函数f(x)的图象不关于y轴对称，命题①错误；对于命题②，函数f(x)的定义域为{x x≠kπ,k∈Z}，定义域关于原点对称，1⎛1⎫sin(-x)sin x⎝sin x⎭所以，函数f(x)的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，⎛π⎫⎛π⎫11cos x，⎪⎛π⎫⎛π⎫11cos x，则⎪⎛π⎫⎛π⎫⎝2⎭⎝2⎭所以，函数f(x)的图象关于直线x=π2对称，命题③正确；对于命题④，当-π<x<0时，sin x<0，则f(x)=sin x+1sin x<0<2，命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.（ .17.设数列{a n }满足 a 1=3， a n +1 = 3a n - 4n ．（1）计算 a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前 n 项和 S n ．【答案】 1） a 2 = 5 ， a 3 = 7 ， a n = 2n + 1，证明见解析；（2） S n = (2n - 1)⋅ 2n +1 + 2 .【解析】【分析】（1）利用递推公式得出 a , a ，猜想得出{a23n}的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得 a 2 = 3a 1 - 4 = 9 - 4 = 5 ， a 3 = 3a 2 - 8 = 15 - 8 = 7 ，由数列 {a n}的前三项可猜想数列{a }是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，即 a nn= 2n + 1，证明如下：当 n = 1 时， a 1 = 3 成立；假设 n = k 时， a k = 2k + 1 成立.那么 n = k +1 时， a k +1 = 3a k - 4k = 3(2k + 1) - 4k = 2k + 3 = 2(k + 1) + 1 也成立.则对任意的 n ∈ N * ，都有 a n = 2n + 1成立；（2）由（1）可知， a ⋅ 2n = (2n + 1)⋅ 2nnS = 3 ⨯ 2 + 5 ⨯ 22 + 7 ⨯ 23 +n2S = 3 ⨯ 22 + 5 ⨯ 23 + 7 ⨯ 24 +n+ (2n - 1)⋅ 2n -1 + (2n + 1)⋅ 2n ，①+ (2n - 1)⋅ 2n + (2n + 1)⋅ 2n +1 ，②由① - ②得： -S = 6 + 2 ⨯ (22 + 23 +n+ 2n )- (2n + 1)⋅ 2n +1= 6 + 2 ⨯ 22⨯ (1 - 2n -1)1 - 2- (2n + 1)⋅ 2n +1= (1- 2n) ⋅ 2n +1 - 2 ，即 S = (2n - 1)⋅ 2n +1 + 2 .n【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题18.某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：高考数学；（（锻炼人次 [0，200] (200，400] (400，600]空气质量等级1（优） 2（良）3（轻度污染）4（中度污染）2567 161072 25128（1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（3）若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3 或 4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的 2×2 列联表，并根据列联表，判断是否有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好n(ad - b c)2附： K 2 = ，(a + b )(c + d )(a + c)(b + d )P(K 2≥k)k0.0503.841 0.0106.635 0.00110.828【答案】 1）该市一天的空气质量等级分别为1、2 、3 、4 的概率分别为 0.43 、 0.27 、 0.21、 0.09 ；（2）350 ； 3）有，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、 2 、 3 、 4 的概率；概率为 5 + 10 + 12 .（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100 可得结果；（3）根据表格中的数据完善 2 ⨯ 2 列联表，计算出 K 2的观测值，再结合临界值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1 的概率为 2 + 16 + 25= 0.43 ，等级为 2 的1006 +7 +8 7 + 2 + 0= 0.27 ，等级为 3 的概率为 = 0.21 ，等级为 4 的概率为 = 0.09 ；100 100 100100 ⨯ 20 + 300 ⨯ 35 + 500 ⨯ 45（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100（3） 2 ⨯ 2 列联表如下：人次 ≤ 400人次 > 400= 350空气质量不好空气质量好3322 378100 ⨯ (33⨯ 8 - 37 ⨯ 22)2K 2 =≈ 5.820 > 3.841 ，55 ⨯ 45 ⨯ 70 ⨯ 30因此，有 95% 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，点 E, F 分别在棱 DD 1, BB 1 上，且 2DE = ED 1 ， BF = 2FB 1 ．（1）证明：点 C 1 在平面 AEF 内；（2）若 AB = 2 ， AD = 1 ， AA 1 = 3 ，求二面角 A - EF - A 1 的正弦值．（2的C G=CG，BF=2FB，∴CG=CC=BB=BF且CG=BF，233【答案】1）证明见解析；（2）427.【解析】【分析】（1）连接C1E、C1F，证明出四边形AEC1F为平行四边形，进而可证得点C1在平面AEF内；（2）以点C1为坐标原点，C1D1、C1B1、C1C所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系C1-xyz，利用空间向量法可计算出二面角A-EF-A1余弦值，进而可求得二面角A-EF-A的正弦值.11【详解】（1）在棱CC上取点G，使得C G=CG，连接DG、FG、C E、C F，1111在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD//BC且AD=BC，BB1//CC1且BB1=CC1，1221111所以，四边形BCGF为平行四边形，则AF//DG且AF=DG，同理可证四边形DEC1G为平行四边形，∴C1E//DG且C1E=DG，∴C E//AF且C E=AF，则四边形AEC F为平行四边形，111因此，点C1在平面AEF内；（2）以点C1为坐标原点，C1D1、C1B1、C1C所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系C1-xyz，由 ⎨ ，得 ⎨ 取 z = -1，得 x = y = 1 ，则 m = (1,1,-1)，⎩-2 x 1 - 2 z 1 = 0 ⎪⎩m ⋅ AF = 0 ⎪由 ⎨，得 ⎨ ⎪ m ⋅ n =7，因此，二面角 A - EF - A 1 的正弦值为 42 20.已知椭圆 C : ， A ， B 分别为 C 的左、右顶点．则 A (2,1,3 )、 A (2,1,0 )、 E (2,0,2 )、 F (0,1,1)，1AE = (0, -1, -1) ， AF = (-2,0, -2)， A E = (0, -1,2 ) ， A F = (-2,0,1)，1 1设平面 AEF 的法向量为 m = (x , y , z 111) ，⎧m ⋅ AE = 0 ⎧- y - z = 0 1 1 11 1设平面 A 1EF 的法向量为 n = (x 2 , y 2 , z2) ， ⎧n ⋅ A E = 0 ⎧- y + 2z = 01 2 2⎪⎩n ⋅ A 1F = 0⎩-2x 2 + z 2 = 0 ，取 z 2 = 2 ，得 x 2 = 1 ， y 2 = 4 ，则 n = (1,4,2 )，cos < m , n >= m ⋅ n3 7=3 ⨯ 21设二面角 A - EF - A 1 的平面角为θ ，则 cos θ =.77 42，∴ s in θ = 1 - cos 2θ =7 7. 【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.x 2 y 2 15+ = 1(0 < m < 5) 的离心率为高考数学+ = 1(0 < m < 5) ，可得 a = 5 ， b = m ，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（（根据离心率 e = = 1 - ⎪ = 1 - ⎪ = ， ⎝ 4 ⎭（1）求 C 的方程；（2）若点 P 在 C 上，点 Q 在直线 x = 6 上，且 | BP |=| BQ | ， BP ⊥ BQ ，求 APQ 的面积．【答案】 1）【解析】【分析】（1）因为 C : x 2 16 y 2 5+ = 1 ； 2） . 25 25 2x 2 y 225 m 2（2）点 P 在 C 上，点 Q 在直线 x = 6 上，且| BP |=| BQ | ， BP ⊥ BQ ，过点 P 作 x 轴垂线，交点为 M ，设x = 6 与 x 轴交点为 N ，可得 △PMB ≥? BNQ ，可求得 P 点坐标，求出直线 AQ直线距离公式和两点距离公式，即可求得 APQ 的面积. 直线方程，根据点到的【详解】（1）x 2 y 2C : + = 1(0 < m < 5)25 m 2∴ a = 5 ， b = m ，c ⎛ b ⎫2 ⎛ m ⎫215 a ⎝ a ⎭ ⎝ 5 ⎭4 解得 m =5 5或 m =- (舍)，4 4x 2 y 2+ = 1∴ C 的方程为： 25 ⎛ 5 ⎫2 ， ⎪x 2 16 y 2即 + = 1 ；25 25（2）不妨设 P , Q 在 x 轴上方点 P 在 C 上，点 Q 在直线 x = 6 上，且 | BP |=| BQ | ， BP ⊥ BQ ，过点 P 作 x 轴垂线，交点为 M ，设 x = 6 与 x 轴交点为 N根据题意画出图形，如图可得 P 点纵坐标为 y = 1 ，将其代入 + = 1 ，25 25| BP |=| BQ | ， BP ⊥ BQ ， ∠PMB = ∠QNB = 90︒ ，又∠PBM + ∠QBN = 90︒ ， ∠BQN + ∠QBN = 90︒ ，∴ ∠PBM = ∠BQN ，根据三角形全等条件“ AAS ”，可得： △PMB ≥?BNQ ，x 2 16 y 2+ = 1 ， 25 25∴ B(5,0) ，∴ PM = BN = 6 - 5 = 1 ，设 P 点为 ( x P , y P ) ，x 2 16 y 2Px 2 16可得： P + = 1，25 25解得： x P = 3 或 x P = -3 ，∴ P 点为 (3,1)或 (-3,1) ，①当 P 点为 (3,1)时，故 MB = 5 - 3 = 2 ，△PMB ≥? BNQ ，∴ | MB |=| NQ |= 2 ，22+112=可得：Q点为(6,2)，画出图象，如图A(-5,0),Q(6,2)，可求得直线AQ的直线方程为：2x-11y+10=0，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：d=2⨯3-11⨯1+10根据两点间距离公式可得：AQ=(6+5)2+(2-0)2=55，APQ面积为：1⨯55⨯5=5；∴2525125=55，②当P点为(-3,1)时，故MB=5+3=8，△PMB≥?BNQ，∴|MB|=|NQ|=8，可得：Q点为(6,8)，画出图象，如图A(-5,0),Q(6,8)，高考数学根据点到直线距离公式可得 P 到直线 AQ 的距离为： d = 8 ⨯ (-3)- 11⨯1 + 40 .（ 1 1 f ' ( ) = 0，即 3⨯ ⎛ ⎫⎪ + b = 0可求得直线 AQ 的直线方程为： 8x -11y + 40 = 0 ，根据两点间距离公式可得： AQ =(6 + 5)2 + (8 - 0 )282 + 112== 185 ，5 185 = 5185 ，1 5 5∴ APQ 面积为： ⨯ 185 ⨯= ， 2 185 2综上所述， APQ 面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题21.设函数 f ( x ) = x 3 + bx + c ，曲线 y = f ( x ) 在点(1 1，f( ))处的切线与 y 轴垂直． 2 2（1）求 b ．（2）若 f ( x ) 有一个绝对值不大于 1 的零点，证明： f ( x ) 所有零点的绝对值都不大于 1．【答案】 1） b = -3 4；（2）证明见解析【解析】【分析】1（1）利用导数的几何意义得到 f ' ( ) = 0 ，解方程即可；2 （2）由（1）可得 f ' ( x ) = 3x 2 -3 1 1 1= 2( x + )( x - ) ，易知 f ( x ) 在 (- , ) 上单调递减，在 (-∞, - ) ，4 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1( , +∞) 上单调递增，且 f (-1) = c - , f (- ) = c + , f ( ) = c - , f (1) = c + ，采用反证法，推出 2 4 2 4 2 4 4矛盾即可.【详解】（1）因为 f ' ( x ) = 3x 2 + b ，由题意， 1 1 2 2 ⎝ 2 ⎭3则 b =- ；4（2）由（1）可得 f ( x ) = x 3- 3x + c ，43 1 1f ' ( x ) = 3x 2 - = 3(x + )( x - ) ，4 2 22令 f '( x ) > 0 ，得 x > 1 1 1 1或 x <- ；令 f ' ( x ) < 0 ，得 - < x < ，2 2 2 21 1 11 所以 f ( x ) 在 (- , ) 上单调递减，在 (-∞, - ) ， ( , +∞) 上单调递增，2 2 21 1 1 1 1 1且 f (-1) = c - , f (- ) = c + , f ( ) = c - , f (1) = c + ，4 2 4 2 4 4若 f ( x ) 所有零点中存在一个绝对值大于 1零点 x ，则 f (-1) > 0 或 f (1) < 0 ，即 c > 1 1或 c < - .4 4的1 1 1 1 1 1 1当 c > 时， f (-1) = c - > 0, f (- ) = c + > 0, f ( ) = c - > 0, f (1) = c + > 0 ，4 4 2 4 2 4 4又 f (-4c) = -64c 3 + 3c + c = 4c(1- 16c 2 ) < 0 ，由零点存在性定理知 f ( x ) 在 (-4c, -1) 上存在唯一一个零点 x ，即 f ( x ) 在 (-∞, -1) 上存在唯一一个零点，在 (-1,+∞) 上不存在零点，此时 f ( x ) 不存在绝对值不大于 1 的零点，与题设矛盾；1 1 1 1 1 1 1当 c < - 时， f (-1) = c - < 0, f (- ) = c + < 0, f ( ) = c - < 0, f (1) = c + < 0 ，4 4 2 4 2 4 4又 f (-4c) = 64c 3 + 3c + c = 4c(1 - 16c 2 ) > 0 ，由零点存在性定理知 f ( x ) 在 (1,-4c) 上存在唯一一个零点 x ' ，即 f ( x ) 在 (1, +∞) 上存在唯一一个零点，在 (-∞,1) 上不存在零点，此时 f ( x ) 不存在绝对值不大于 1 的零点，与题设矛盾；综上， f ( x ) 所有零点的绝对值都不大于 1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）⎧ x = 2 - t - t 222.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ⎨（t 为参数且 t ≠1），C 与坐标轴交于 A 、B 两 ⎩ y = 2 - 3t + t 2点．（1）求 | AB | ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程．（0 - ( 0 .3 （ max{a, b , c } = a ，由题意得出 a > 0,b , c < 0 ，由 a 3 = a 2 ⋅ a = b + c【答案】 1） 4 10 （2）3ρ cos θ - ρ sin θ + 12 = 0【解析】【分析】（1）由参数方程得出 A, B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出 AB 的值；（2）由 A, B 的坐标得出直线 AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令 x = 0 ，则 t 2 + t - 2 = 0 ，解得 t = -2 或 t =1（舍），则 y = 2 + 6 + 4 = 12 ，即 A(0,12) . 令 y = 0 ，则 t 2 - 3t + 2 = 0 ，解得 t = 2 或 t =1（舍），则 x = 2 - 2 - 4 = -4 ，即 B(-4,0) .∴ AB = (0 + 4)2 + (12 - 0)2 = 4 10 ；（2）由（1）可知 k AB = 12 - 4)= 3 ，则直线 AB 的方程为 y = 3(x + 4) ，即 3x - y + 12 = 0 .由 x = ρ cos θ, y = ρ sin θ 可得，直线 AB 的极坐标方程为 3ρ cos θ - ρ sin θ + 12 = 0 .【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题 [选修 4—5：不等式选讲]（10 分）23.设 a ，b ，c ∈ R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用 max{a ，b ，c }表示 a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c }≥ 4 ．【答案】 1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由 (a + b + c)2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = 0 结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设( bc)2 b 2 + c 2 + 2bc =bc，结合基本不等式，即可得出证明.【详解】（1）(a + b + c)2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = 0 ，∴ a b + bc + ca = - 1 (a 2 + b 2 + c 2 ) 21(b + c )2b 2 +c 2 + 2bc2bc + 2bca = -b - c, a = ，∴ a 3 = a 2 ⋅ a ==≥= 4 .bc .abc = 1,∴ a, b , c 均不为 0 ，则 a 2 + b 2 + c 2 > 0 ，∴ a b + bc + ca = - 1 (a 2 + b 2 + c 2 )< 0 ； 2（2）不妨设 max{a, b , c } = a ，由 a + b + c = 0, a bc = 1可知， a > 0, b < 0, c < 0 ，bcbcbc当且仅当 b = c 时，取等号，∴ a ≥ 3 4 ，即 max{a, b , c } 3 4 .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题。

2020年高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅲ卷)及答案

绝密★启用前2020年高考数学（理科）（全国新课标Ⅲ）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A=(){}*,,,x y x y N y x ∈≥，B=(){},8x y x y +=，则A B 中元素个数为（）A.2B.3C.4D.62.复数113i -的虚部是（）A.310- B.110-C.110D.3103.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且411ii p==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A.14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531t K I t e--=+，其中K 为的最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln19≈3）（）A.60B.63C.66D.695.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（）A.（41，0） B.（12，0） C.（1，0） D.（2，0）6.已知向量，a b 满足5||=a ，6||=b ，6-=⋅b a ，则>+<b a a ，cos =（）A.3135-B.1935-C.1735D.19357.在△ABC 中，2cos =3C ，4AC =，3BC =，则cos B =（）A.91 B.31 C.21 D.328.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.6+42B.442+C.623+D.423+9.已知7)4tan(tan 2=--πθθ，则tan θ=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.210.若直线l 与曲线y x =和圆2215x y +=都相切，则l 的方程为（）A.12+=x yB.212+=x y C.121+=x y D.2121+=x y11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上的一点，且12F P F P ⊥.若△12PF F 的面积为4，则a =（）A ．1B ．2C ．4D ．812.已知5458<，45138<，设，，，8log 5log 3log 1385===c b a 则（）A.cb a ＜＜ B.ca b ＜＜ C.ac b ＜＜ D.ba c ＜＜二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年全国ⅲ卷数学(理)高考试题及答案解析

普通高等学校招生全国统一考试（全国III ）理科数学（试题及答案解析）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则AB 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故A B 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B 元素的个数为2，故选B.2．设复数z 满足(1i)2i z +=，则z =（）A ．12B C D ．2【答案】C【解析】由题，()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2z -+====+++-，则z C.3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．2014年 2015年 2016年根据该折线图，下列结论错误的是（） A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误，故选A.4．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（）A ．-80B ．-40C ．40D ．80【答案】C【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为()()()()2332233355C 2C 240x x y y x y x y ⋅-+⋅-=，则33x y 的系数为40，故选C.5．已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为5y =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -= 【答案】B【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为52y x =，则52b a =①又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①②解得2,5a b ==，则双曲线C 的方程为22145x y -=，故选B.6．设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【答案】D【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π23π53-π36πxyO7．执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（） A ．5 B ．4C ．3D ．2 【答案】D【解析】程序运行过程如下表所示：S Mt初始状态 0 100 1 第1次循环结束 100 10-2 第2次循环结束9013此时9091S =<首次满足条件，程序需在3t =时跳出循环，即2N =为满足条件的最小值，故选D.8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ．πB ．3π4C ．π２D ．π4【答案】B【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径r =则圆柱体体积23ππ4V r h ==，故选B.9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（）A ．24-B ．3-C ．3D ．8【答案】A【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d .则2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++又∵11a =，代入上式可得220d d += 又∵0d ≠，则2d =-∴()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A.10．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段1A 2A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（） ABC３D ．13【答案】A【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴d a ==又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b = ∵222b ac =-，可得()2223a a c=-，即2223c a =∴c e a == A11．已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =（）A ．1-２B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得：221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )4442(e e )2(e e )x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴，由题意，()f x 有唯一零点，∴()f x 的零点只能为1x =，即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=，解得12a =．12．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）A ．3 B． CD ．2【答案】A【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ．以A 为原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．∴BD = ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD ．∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．12||||22||||||BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即C． ∵P 在C 上． ∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下：()A O DxyBPCE0021x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩而00(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =． ∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=∴0112x μθ==+，01y λθ==+．两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=++=++≤ (其中sin ϕcos ϕ=)当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x ，y 满足约束条件0,20,0,-⎧⎪+-⎨⎪⎩x y x y y ≥≤≥则34z x y =-的最小值为________．【答案】1-【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为34z x y =-，则直线344zy x =-纵截距越大，z 值越小．由图可知：z 在()1,1A 处取最小值，故min 31411z =⨯-⨯=-．14．设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =________．【答案】8- 【解析】{}n a 为等比数列，设公比为q ．121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即1121113a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②，显然1q ≠，10a ≠，②①得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =， ()3341128a a q ∴==⨯-=-．15．设函数1,0,()2,0,+⎧=⎨>⎩x x x f x x ≤则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________．【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】()1,02 ,0+⎧=⎨>⎩x x x f x x ≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭由图象变换可画出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图象如下：1-1)41)2-)由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角； ②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60︒．其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）【答案】②③【解析】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1，故||1AC =，2AB =，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD 为x 轴正方向，CB 为y 轴正方向，CA 为z 轴正方向建立空间直角坐标系．则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直线a 的方向单位向量(0,1,0)a =，||1a =．B 点起始坐标为(0,1,0)，直线b 的方向单位向量(1,0,0)b =，||1b =．设B 点在运动过程中的坐标(cos ,sin ,0)B θθ'，其中θ为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈．那么'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--，||2AB '=．设AB '与a 所成夹角为π[0,]2α∈，则(cos ,sin ,1)(0,1,0)cos sin |a AB θθαθ--⋅=∈'．故ππ[,]42α∈，所以③正确，④错误．设AB '与b 所成夹角为π[0,]2β∈，cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)cos |AB b b AB b AB βθθθ'⋅='-⋅='.当AB '与a 夹角为60︒时，即π3α=， sin3πθα==． ∵22cos sin 1θθ+=， ∴|cos |θ= ∴1cos cos |2βθ==． ∵π[0,]2β∈．∴π=3β，此时AB '与b 夹角为60︒． ∴②正确，①错误．三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分． 17．（12分）ABC∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 0A A =，a =，2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．【解析】（1）由sin 0A A +=得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈， ∴ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,4AC BC AB ===，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-==.∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD =由勾股定理AD =又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=， 1πsin 26ABD S AD AB =⋅⋅=△18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)2025，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【解析】⑴易知需求量x 可取200,300,500 ()21612003035P X +===⨯ ()3623003035P X ===⨯ ()257425003035P X ++===⨯.则分布列为：⑵①当时：，此时max 400Y =，当200n =时取到.②当200300n <≤时：()()4122002200255Y n n =⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣⎦ 880026800555n n n -+=+= 此时max 520Y =，当300n =时取到.③当300500n <≤时，()()()()12220022002300230022555Y n n n =⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 320025n-=此时520Y <.④当500n ≥时，易知Y 一定小于③的情况.综上所述：当300n =时，Y 取到最大值为520.19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，DBCE△ACD 是直角三角形．ABD CBD ，AB BD ．（1）证明：平面ACD 平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D AEC 的余弦值．【解析】⑴取AC 中点为O ，连接BO ，DO ；ABC ∆为等边三角形 ∴BO AC ⊥ ∴AB BC =AB BC BD BDABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD CBD ∴∆≅∆. ∴AD CD =,即ACD ∆为等腰直角三角形，ADC ∠ 为直角又O 为底边AC 中点 ∴DO AC ⊥令AB a =，则AB AC BC BD a ====易得：2OD =，OB = ∴222OD OB BD +=由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=即OD OB ⊥OD ACOD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩平面平面OD ABC ∴⊥平面又∵OD ADC ⊂平面由面面垂直的判定定理可得ADC ABC ⊥平面平面 ⑵由题意可知V V D ACE B ACE --=DBC EO即B ,D 到平面ACE 的距离相等即E 为BD 中点以O 为原点，OA 为x 轴正方向，OB 为y 轴正方向，OD 为z 轴正方向，设AC a =，建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,4a E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭易得：,24a a AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设平面AED 的法向量为1n ，平面AEC 的法向量为2n ，则110AE n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(13,1,n =2200AE n OA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(20,1,n = 若二面角D AE C --为θ，易知θ为锐角，则12127cos 7n n n n θ⋅==⋅20．（12分）已知抛物线2:2C yx ，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，2），求直线l 与圆M 的方程．【解析】⑴显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立：222y x x my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-． 1212OA OBx x y y ⋅=+12(2)(2)my my =++21212(1)2()4m y y m y y =++++ 24(1)2(2)4m m m =-+++0=∴OA OB ⊥，即O 在圆M 上． ⑵若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅= 1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++= 1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=21212(1)(22)()80m y y m y y +--++= 化简得2210m m --=解得12m =-或1①当12m =-时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ，120122y y y +==-，0019224x y =-+=，半径||r OQ ==则圆229185:()()4216M x y -++=②当1m =时，:20l x y --=圆心为00(,)Q x y ， 12012y y y +==，0023x y =+=，半径||r OQ ==则圆22:(3)(1)10M x y -+-=21．（12分）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm ，求m 的最小值．【解析】⑴ ()1ln f x x a x =--，0x >则()1a x af x x x-'=-=，且(1)0f = 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调增，所以01x <<时，()0f x <，不满足题意；当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,)a 上单调递减；当x a >时，()0f x '>，则()f x 在(,)a +∞上单调递增．①若1a <，()f x 在(,1)a 上单调递增∴当(,1)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ②若1a >，()f x 在(1,)a 上单调递减∴当(1,)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾③若1a =，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增∴()(1)0f x f =≥满足题意综上所述1a =．⑵ 当1a =时()1ln 0f x x x =--≥即ln 1x x -≤则有ln(1)x x +≤当且仅当0x =时等号成立 ∴11ln(1)22k k+<，*k ∈N 一方面：221111111ln(1)ln(1)...ln(1)...112222222n n n ++++++<+++=-<，即2111(1)(1)...(1)e 222n +++<．另一方面：223111111135(1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264n +++>+++=>当3n ≥时，2111(1)(1)...(1)(2,e)222n +++∈∵*m ∈N ，2111(1)(1)...(1)222n m +++<，∴m 的最小值为3．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为,,x t y kt =2+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为,,x m m y k =-2+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设:(cos sin )l ρθθ3+=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．【解析】⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ……① ()21:2l y x k=+ ……② ①⨯②消k 可得：224x y -= 即P 的轨迹方程为224x y -=；⑵将参数方程转化为一般方程3:0l x y +-= ……③联立曲线C 和3l 2204x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩解得ρ=即M．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()||||f x x x =+1--2．（1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空，求m 的取值范围．【解析】⑴()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--⎧⎪=--<<⎨⎪⎩x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得：①当1-x ≤时显然不满足题意；②当12x -<<时，211-x ≥，解得1x ≥；③当2x ≥时，()31=f x ≥恒成立.综上，()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥.⑵不等式()2-+f x x x m ≥等价为()2-+f x x x m ≥，令()()2g x f x x x =-+，则()g x m ≥解集非空只需要()max ⎡⎤⎣⎦g x m ≥.而()2223,131,123,2⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩x x x g x x x x x x x ≤≥.①当1-x ≤时，()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦； ②当12x -<<时，()2max3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭；③当2x ≥时，()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦.综上，()max 54g x =⎡⎤⎣⎦，故54m ≤.。

2020学年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ卷)数学理及答案解析

2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ卷)数学理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1，2}D.{0，1，2}解析：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}.答案：C2.(1+i)(2﹣i)=( )A.﹣3﹣iB.﹣3+iC.3﹣iD.3+i解析：(1+i)(2﹣i)=3+i.答案：D3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )A.B.C.D.解析：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A.答案：A4.若sinα=13，则cos2α=( ) A.89 B.79C.﹣79D.﹣89解析：∵sinα=13，∴cos2α=1﹣2sin 2α=192719-⨯=. 答案：B5.(x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为( )A.10B.20C.40D.80解析：由二项式定理得(x 2+2x )5的展开式的通项为：()()5210315522rrr rr rr xT Cx C x--+==，由10﹣3r=4，解得r=2，∴(x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为5222C =40.答案：C6.直线x+y+2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x ﹣2)2+y 2=2上，则△ABP 面积的取值范围是( ) A.[2，6] B.[4，8]232，D.[2232，] 解析：∵直线x+y+2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， ∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2，∴A(﹣2，0)，B(0，﹣2)，4+4=22∵点P 在圆(x ﹣2)2+y 2=2上，∴设P ()2co 2s sin 2θθ+，，∴点P 到直线x+y+2=0的距离：()2sin 42cos sin 242222d πθθθ+++++==，∵()sin 4πθ+∈[﹣1，1]，∴d= ()22sin 44πθ++∈[232，]， ∴△ABP 面积的取值范围是：[11222223222⨯⨯⨯⨯，，6].答案：A7.函数y=﹣x 4+x 2+2的图象大致为( )A.B.C.D.解析：函数过定点(0，2)，排除A ，B.函数的导数f′(x)=﹣4x 3+2x=﹣2x(2x 2﹣1)，由f′(x)＞0得2x(2x 2﹣1)＜0，得x ＜﹣或0＜x ＜，此时函数单调递增，排除C.答案：D8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P(x=4)＜P(X=6)，则p=( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 解析：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，看做是独立重复事件，满足X ～B(10，p)，P(x=4)＜P(X=6)，可得()()644466101011C p p C p p --＜，可得1﹣2p ＜0.即12p ＞. 因为DX=2.4，可得10p(1﹣p)=2.4，解得p=0.6或p=0.4(舍去). 答案：B9.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若△ABC 的面积为2224a b c +-，则C=( )A.2πB.3πC.4πD.6π解析：∵△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.△ABC 的面积为2224a b c +-，∴S △ABC =222s 1in 42a b c ab C +-=，∴sinC=2222a b c bc +-=cosC ，∵0＜C ＜π，∴C=4π.答案：C10.设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且面积为则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为( )A.B.C.D.543解析：△ABC 为等边三角形且面积为93，可得2393AB ⨯＝，解得AB=6，球心为O ，三角形ABC 的外心为O′，显然D 在O′O 的延长线与球的交点如图：()222362342323O C OO '=='=-=，，则三棱锥D ﹣ABC 高的最大值为：6，则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为：31361833=答案：B11.设F 1，F 2是双曲线C ：22221y x a b -=(a ＞0.b ＞0)的左，右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若|PF 1|=6|OP|，则C 的离心率为( )A.5B.2C.3D.2解析：双曲线C ：22221y x a b -=(a ＞0.b ＞0)的一条渐近线方程为b y x a =， ∴点F 2到渐近线的距离22bcd b a b ==+，即|PF 2|=b ，∴2222222cos bOP OF PF c b a PF O c =-=-=∠=，， ∵|PF 16|OP|，∴|PF 16a ，在三角形F 1PF 2中，由余弦定理可得|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2﹣2|PF 2|·|F 1F 2|COS ∠PF 2O ，∴6a 2=b 2+4c 2﹣2×b ×2c ×bc =4c 2﹣3b 2=4c 2﹣3(c 2﹣a 2)，即3a 2=c 2，即3a=c ，∴3c e a ==.答案：C12.设a=log 0.20.3，b=log 20.3，则( ) A.a+b ＜ab ＜0 B.ab ＜a+b ＜0 C.a+b ＜0＜ab D.ab ＜0＜a+b解析：∵a=log 0.20.3=lg 0.3lg 5-，b=log 20.3=lg 0.3lg 2，∴()5lg 0.3lg lg 0.3lg 5lg 2lg 0.3lg 0.32lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2lg 5a b -+-=＝＝，10lg 0.3lg lg 0.3lg 0.33lg 2lg 5lg 2lg 5ab ⋅-⋅＝＝，∵105lg lg 32＞，lg 0.3lg 2lg 5＜，∴ab ＜a+b ＜0.答案：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a =(1，2)，b =(2，﹣2)，c =(1，λ).若c ∥(2a b +)，则λ=____. 解析：∵向量a =(1，2)，b =(2，﹣2)， ∴2a b +=(4，2)，∵c =(1，λ)，c ∥(2a b +)，∴142λ＝，解得λ=12.答案： 1214.曲线y=(ax+1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为﹣2，则a=____.解析：曲线y=(ax+1)e x ，可得y′=ae x +(ax+1)e x，曲线y=(ax+1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为﹣2，可得：a+1=﹣2，解得a=﹣3. 答案：﹣315.函数f(x)=cos(3x+6π)在[0，π]的零点个数为____.解析：∵f(x)=cos(3x+6π)=0， ∴362x k πππ+=+，k ∈Z ，∴x=193k ππ+，k ∈Z ，当k=0时，x=9π，当k=1时，x=49π，当k=2时，x=79π，当k=3时，x=109π，∵x ∈[0，π]，∴x=9π，或x=49π，或x=79π，故零点的个数为3. 答案：316.已知点M(﹣1，1)和抛物线C ：y 2=4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点.若∠AMB =90°，则k=____.解析：∵抛物线C ：y 2=4x 的焦点F(1，0)， ∴过A ，B 两点的直线方程为y=k(x ﹣1)，联立()241y x y k x ⎪-⎧⎪⎨⎩＝＝可得，k 2x 2﹣2(2+k 2)x+k 2=0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则212242k x x k ++=，x 1x 2=1， ∴y 1+y 2=k(x 1+x 2﹣2)=4k ，y 1y 2=k 2(x 1﹣1)(x 2﹣1)=k 2[x 1x 2﹣(x 1+x 2)+1]=﹣4，∵M(﹣1，1)，∴MA =(x 1+1，y 1﹣1)，MB =(x 2+1，y 2﹣1)， ∵∠AMB=90°=0，∴0MA MB ⋅= ∴(x 1+1)(x 2+1)+(y 1﹣1)(y 2﹣1)=0，整理可得，x 1x 2+(x 1+x 2)+y 1y 2﹣(y 1+y 2)+2=0，∴24124420k k ++--+=，即k 2﹣4k+4=0，∴k=2. 答案：2三、解答题：共70分。

2020-2021学年高考数学理科第三次联考检测试题及答案解析

最新度高三年级第三次联考数学试题(理科)第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若集合{}{}2|x 10,|0x 4A x B x =-<=<<，则A B U 等于A. {}|0x 1x <<B. {}|1x 1x -<<C. {}|1x 4x -<<D. {}|1x 4x << 2.设复数2z i =+，则复数()1z z -的共轭复数为A. 13i --B. 13i -+C. 13i +D. 13i -3.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，且DE x AB y AD =+u u u r u u u r u u u r，则A. 11,2x y =-=-B. 11,2x y ==C. 11,2x y =-=D.11,2x y ==-4.若,21,45x x x ++是等比数列{}n a 的前三项，则n a 等于 A. 12n - B. 13n - C. 2nD. 3n5.已知函数()()2303f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则函数()2cos 3g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程为 A. 12x π=B. 6x π=C. 3x π=D. 2x π=6.已知11eea dx x =⎰，则二项式51a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x -的系数为 A. 160 B. 80 C. -80 D. -1607.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线与直线1x =-的一个交点的纵坐标为0y ，若02y <，则双曲线C 的离心率的取值范围是 A. (3 B. (5 C.()3,+∞ D.()5,+∞8.执行如图所示的程序框图，则输出的S 等于 A.12 B. 35 C. 56 D.679.设命题()000:0,,.xp x e x e ∃∈+∞+=，命题:q ，若圆2221:C x y a +=与圆()()2221:C x b y c a -+-=相切，则2222b c a +=.那么下列命题为假命题的是A. q ⌝B.p ⌝C. ()()p q ⌝∨⌝D.()p q ∧⌝ 10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A. 72 B. 80 C. 86 D. 92 11.设函数()()1232,2x f x x a g x x -=-+=-，若在区间()0,3上，()f x 的图象在()g x 的图象的上方，则实数a 的取值范围为A. ()2,+∞B. [)2,+∞C. ()3,+∞D.[)3,+∞12.若一个四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球的体积最小时，它的高为A. 3B. 22C. 23D. 33第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知实数,y x 满足1218y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，则z x y =+的最小值为.14.椭圆()2211mx y m +=>的短轴长为22m ，则m =. 15.若函数()21ax f x x-=在()2,3上为增函数，则实数a 的取值范围是.16.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若()2sin2cos 2n n a n n ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且2n S an bn =+，则a b -=.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分) 如图，在四边形ABCB '中，ABC AB C '≅V V ,3,cos ,2 2.4AB AB BCB BC ''⊥∠==（1）求sin ;BCA ∠ （2）求BB '及AC 的长.18.(本小题满分12分)在如图所示的四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，,PA CD BC ⊥⊥平面PAB ，且,,E M N 分别为,,PD CD AD 的中点,3PF FD =u u u r u u u r.（1）证明：//PB 平面FMN ；（2）若PA AB =，求二面角E AC B --的余弦值.19.(本小题满分12分)在一次全国高中生五省大联考中，有90万名学生参加，考后对所有学生成绩统计发现，应用成绩服从正态分布()2,N μδ，右表用茎叶图列举了20名学生的英语成绩，巧合的是这20个数据的平均数和方差恰好比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9. （1）求,;μδ(P X μδμ-<<+（2）给出正态分布的数据：（ⅰ）若从这90万名学生中随机抽取1名，求该生英语成绩在()82.1,103.1内的概率；（ⅱ）如从这90万名学生中随机抽取1万名，记X 为这1万名学生中英语成绩在()82.1,103.1内的人数，求X 的数学期望.20.(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线22(0)y px p =>的准线l 与x 轴交于点M ，过点M的直线与抛物线交于A,B 两点，设()11,A x y 到准线l 的距离()20.d p λλ=> （1）若13,y d ==求抛物线的标准方程；（2）若0AM AB λ+=u u u u r u u u r r，求证：直线AB 的斜率的平方为定值.21.(本小题满分12分) 已知函数()ln 1mf x n x x =++（,m n 为常数）的图象在1x =处的切线方程为20x y +-= （1）判断函数()f x 的单调性；（2）已知()0,1p ∈，且()2f p =，若对任意(),1x p ∈，任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()3222f x t t at ≥--+与()3222f x t t at ≤--+中恰有一个恒成立，求实数a 的取值范围.请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，解答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，ABO V 三边上的点,,C D E 都在O e 上，已知//,.AB DE AC CB = （1）求证：直线AB 与O e 相切；（2）若2AD =，且1tan 3ACD ∠=，求AO 的长.23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的方程为()3cos 4sin 2,ρθθ-=，曲线C 的方程为()0.m m ρ=> （1）求直线l 与极轴的交点到极点的距离；（2）若曲线C 上恰好存在两个点到直线l 的距离为15，求实数m 的取值范围.24.(本小题满分10分)不等式选讲已知不等式2210x x ++-<的解集为A. （1）求集合A ；（2）若,a b A ∀∈，x R ∈，不等式()149a b x m x ⎛⎫+>--+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.。

2020-2021学年四川省成都市高考数学三诊试卷(理科)及答案解析

四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知田径队有男运动员56人，女运动员42人，若按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出14人参加比赛，则抽到女运动员的人数为（）A．2 B．4 C．6 D．82．命题“∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x”的否定是（）A．∀x∉（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x B．∀x0∉（﹣1，+∞），ln（x0+1）＜x0C．∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）≥x D．∃x0∈（﹣1，+∞），ln（x0+1）≥x03．已知复数z=﹣i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A．3 B．C．2 D．14．已知α，β是空间中两个不同的平面，m为平面β内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知向量，满足=2，•=﹣3，则在方向上的投影为（）A．B． C．D．6．某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品需用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8h．若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为（）A．24万元B．22万元C．18万元D．16万元7．执行如图所示的程序框图，若依次输入m=，n=0.6﹣2，p=，则输出的结果为（）A．B．C．0.6﹣2 D．8．某学校食堂旱餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择．已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为（）A．144 B．132 C．96 D．489．定义在（1，+∞）上的函数f（x）同时满足：①对任意的x∈（1，+∞）恒有f（3x）=3f（x）成立；②当x∈（1，3]时，f（x）=3﹣x．记函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），若函数g（x）恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．（2，3）B．[2，3）C．D．10．已知O为坐标原点，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0）（c＞0），以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A，B，O三点，且（+）=0，若关于x的方程ax2+bx﹣c=0的两个实数根分别为x1和x2，则以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形二、填空题：（大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°= ．12．一块边长为8cm的正方形铁板按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足为底面中心的四棱锥）形容器，O为底面ABCD的中心，则侧棱SC与底面ABCD所成角的余弦值为．13．已知椭圆C：+=1（0＜n＜16）的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为10，则n的值为．14．若直线2ax+by﹣1=0（a＞﹣1，b＞0）经过曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心，则+的最小值为．15．函数f（x）=（a＞0，b＞0），因其图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，我们把函数f（x）的图象与y轴的交点关于原点的对称点称为函数f（x）的“囧点”，以函数f（x）的“囧点”为圆心，与函数f （x）的图象有公共点的圆，皆称函数f（x）的“囧圆”，则当a=b=1时，有下列命题：①对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞成立；∈（，），使f（x0）＜tanx0成立；②存在x③函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是；④函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2π．其中的正确命题有（写出所有正确命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A满足f（A）=1+，若a=3，sinB=2sinC，求b的值．17．如图，在三棱台DEF﹣ABC中，已知底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：平面ABED∥平面GHF；（2））若BC=CF=AB=1，求二面角A﹣DE﹣F的余弦值．18．某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如表：语言表达能力一般良好优秀人数逻辑思维能力一般 2 2 1良好 4 m 1优秀 1 3 n由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为．（1）从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；（2）从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列及其均值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且3S n+a n﹣3=0，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，求T n=，求使T n≥成立的n 的最小值．20．已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；②求|PQ|的最小值．21．已知函数f（x）=e x，其中e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设函数g（x）=（x2+ax﹣2a﹣3）f（x），a∈R．试讨论函数g（x）的单调性；（2）设函数h（x）=f（x）﹣mx2﹣x，m∈R，若对任意，且x1＞x2都有x2h（x1）﹣x1h （x2）＞x1x2（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围．四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知田径队有男运动员56人，女运动员42人，若按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出14人参加比赛，则抽到女运动员的人数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】分层抽样方法．【分析】先求出每个个体被抽到的概率，再用女运动员的人数乘以此概率，即得所求．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，则样本中女运动员的人数为42×=6．故选：C．2．命题“∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x”的否定是（）A．∀x∉（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x B．∀x0∉（﹣1，+∞），ln（x0+1）＜x0C．∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）≥x D．∃x0∈（﹣1，+∞），ln（x0+1）≥x0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x”的否定是：“∃x0∈（﹣1，+∞），ln（x0+1）≥x0”，故选：D．3．已知复数z=﹣i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A．3 B．C．2 D．1【考点】复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的公式得答案．【解答】解：∵z=﹣i=，∴|z|=．故选：A．4．已知α，β是空间中两个不同的平面，m为平面β内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面β内的一条直线，且m⊥α，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥α，所以不一定能得到m⊥α，所以“α⊥β”是“m⊥α”的必要不充分条件．故选B．5．已知向量，满足=2，•=﹣3，则在方向上的投影为（）A．B． C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可．【解答】解：∵||=2，•（﹣）=﹣3，∴•﹣=•﹣22=﹣3，∴•=1，∴向量在方向上的投影为=．故选：C．6．某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品需用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8h．若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为（）A．24万元B．22万元C．18万元D．16万元【考点】简单线性规划．【分析】根据条件建立不等式组即线性目标函数，利用图象可求该厂的日利润最大值．【解答】解：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，工厂获得的利润为z又已知条件可得二元一次不等式组：目标函数为z=3x+4y，由，可得，利用线性规划可得x=6，y=1时，此时该厂的日利润最大为z=3×6+4=22万元，故选：B．7．执行如图所示的程序框图，若依次输入m=，n=0.6﹣2，p=，则输出的结果为（）A．B．C．0.6﹣2 D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得该流程图的作用是求出m、n、p中的最小数，化简比较三个数即可得解．【解答】解：根据题意，该流程图的作用是求出m、n、p中的最小数，并将此最小的数用变量x表示并输出，由于，m==，n=0.6﹣2=，p==，可得，＞＞，即：n＞m＞p．故选：A．8．某学校食堂旱餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择．已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为（）A．144 B．132 C．96 D．48【考点】计数原理的应用．【分析】分类讨论：甲选花卷，则有2人选同一种主食，剩下2人选其余主食；甲不选花卷，其余4人中1人选花卷，方法为4种，甲包子或面条，方法为2种，其余3人，有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，或没有人选甲选的主食，相加后得到结果【解答】解：分类讨论：甲选花卷，则有2人选同一种主食，方法为C42C31=18，剩下2人选其余主食，方法为A22=2，共有方法18×2=36种；甲不选花卷，其余4人中1人选花卷，方法为4种，甲包子或面条，方法为2种，其余3人，若有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，方法为3A22=6；若没有人选甲选的主食，方法为C32A22=6，共有4×2×（6+6）=96种，故共有36+96=132种，故选：B．9．定义在（1，+∞）上的函数f（x）同时满足：①对任意的x∈（1，+∞）恒有f（3x）=3f（x）成立；②当x∈（1，3]时，f（x）=3﹣x．记函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），若函数g（x）恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．（2，3）B．[2，3）C．D．【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=3m+1﹣x，x∈（3m，3m+1]，在直角坐标系中画出f（x）的图象和直线y=k（x﹣1），根据函数的图象、题意、斜率公式求出实数k的范围．【解答】解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（3x）=3f（x）成立，所以f（t）=3f（），取x∈（3m，3m+1]，则∈（1，3]，因为当x∈（1，3]时，f（x）=3﹣x，所以f（）=3﹣，则f（x）=…=3m f（）=3m+1﹣x，且y=k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，在直角坐标系中画出f（x）的图象和直线y=k（x﹣1）：因为函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），且函数g（x）恰好有两个零点，所以f（x）的图象和直线y=k（x﹣1）恰好由两个交点，由图得，直线y=k（x﹣1）处在两条红线之间，且过（3，6）的直线取不到，因，，所以k的范围是[，3），故选：D．10．已知O为坐标原点，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0）（c＞0），以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A，B，O三点，且（+）=0，若关于x的方程ax2+bx﹣c=0的两个实数根分别为x1和x2，则以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用向量的加减运算和数量积的性质可得|AF|=|AO|，△AOF为等腰直角三角形，求得渐近线的斜率，进而得到c=a，方程ax2+bx﹣c=0即为x2+x﹣=0，求得两根，求得平方，运用余弦定理，即可判断三角形的形状．【解答】解：由（+）=0，可得（+）•（﹣）=0，即有2﹣2=0，即|AF|=|AO|，△AOF为等腰直角三角形，可得∠AOF=45°，由渐近线方程y=±x，可得=1，c=a，则关于x的方程ax2+bx﹣c=0即为x2+x﹣=0，即有x1x2=﹣，x1+x2=﹣1，即有x12+x22=1+2＜4，可得以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是钝角三角形．故选：A．二、填空题：（大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°= ．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用诱导公式、两角而和的余弦公式，求得所给式子的值．【解答】解：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°=cos25°cos35°﹣sin25°sin35°=cos（25°+35°）=cos60°=，故答案为：．12．一块边长为8cm的正方形铁板按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足为底面中心的四棱锥）形容器，O为底面ABCD的中心，则侧棱SC与底面ABCD所成角的余弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】连接OC，则∠SCO为侧棱SC与底面ABCD所成角，根据图1可知棱锥底面边长为6，斜高为4，从而棱锥的侧棱长为5．于是cos∠SCO=．【解答】解：由图1可知四棱锥的底面边长为6，斜高为4．∴棱锥的侧棱长为5．连接OC，∵SO⊥平面ABCD，∴∠SCO为侧棱SC与底面ABCD所成的角．∵AB=BC=6，∴OC=AC=3．∴cos∠SCO==．故答案为：．13．已知椭圆C：+=1（0＜n＜16）的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为10，则n的值为12 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|=16﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值，代入|BF2|+|AF2|=16﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于10，列式求n的值．【解答】解：由0＜n＜16可知，焦点在x轴上，由过F1的直线l交椭圆于A，B两点，由椭圆的定义可得|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=16，即有|BF2|+|AF2|=16﹣|AB|．当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|===，即为10=16﹣，解得n=12．故答案为：12．14．若直线2ax+by﹣1=0（a＞﹣1，b＞0）经过曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心，则+的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心为，可得：a+b=1．（a＞﹣1，b＞0）．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心为，∴+b﹣1=0，化为：a+b=1（a＞﹣1，b＞0）．∴+=（a+1+b）=≥=，当且仅当a=2﹣3，b=4﹣2时取等号．故答案为：．15．函数f（x）=（a＞0，b＞0），因其图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，我们把函数f（x）的图象与y轴的交点关于原点的对称点称为函数f（x）的“囧点”，以函数f（x）的“囧点”为圆心，与函数f （x）的图象有公共点的圆，皆称函数f（x）的“囧圆”，则当a=b=1时，有下列命题：①对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞成立；∈（，），使f（x0）＜tanx0成立；②存在x③函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是；④函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2π．其中的正确命题有②③④（写出所有正确命题的序号）．【考点】函数的图象．【分析】利用特殊值法，研究函数的值域，单调性，和零点问题，以及导数的几何意义，利用数形结合的方法进行判断．【解答】解：当a=1，b=1时，函数f（x）=，①当x=时，f（）==﹣2，=2，故f（x）＞不成立，故①不正确；=时，f（）=＜0，tan=1，故存在x0∈（，），使f（x0）＜tanx0成立，故②正②当x确；③则函数f（x）=与y轴交于（0，﹣1）点，则“囧点”坐标为（0，1），设y=lnx，则y′=，设切点为（x0，lnx0），∴切线的斜率k=，当“囧点”与切点的连线垂直切线时，距离最短，∴•=﹣1，解得x0=1，∴切点坐标为（1，0），故函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是=，故③正确，④令“囧圆”的标准方程为x2+（y﹣1）2=r2，令“囧圆”与f（x）=图象的左右两支相切，则切点坐标为（，）、（﹣，）、此时r=；令“囧圆”与f（x）=图象的下支相切则切点坐标为（0，﹣1）此时r=2，故函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2π，故④正确，综上所述：其中的正确命题有②③④，故答案为：②③④三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A满足f（A）=1+，若a=3，sinB=2sinC，求b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【分析】（1）由诱导公式与辅助角公式得到f（x）的解析式，由此得到单调增区间．（2）由f（A）=1+，得A=，由恒等式得到B=，所以得到b．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+．=sin2x+sin（2x+）+．=2sin（2x+）+，由﹣+2kπ≤2x+≤2kπ+，得：﹣+kπ≤x≤kπ+，（k∈Z），∴函数f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，kπ+]，（k∈Z）．（2）∵f（A）=1+，∴A=，∵sinB=2sinC=2sin（﹣B），∴cosB=0，即B=，∴由正弦定理得：=，∴b=．17．如图，在三棱台DEF﹣ABC中，已知底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：平面ABED∥平面GHF；（2））若BC=CF=AB=1，求二面角A﹣DE﹣F的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面平行的判定．【分析】（1）推导出四边形BHFE是平行四边形，从而BE∥HF，从而∥平面GHF，BE∥平面GHF，由此能证明平面ABED∥平面GHF．（2）以C为原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）由已知得三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，∴，∵G，H分别为AC，BC的中点．，∴AB∥GH，EF∥BH，EF=BH，∴四边形BHFE是平行四边形，∴BE∥HF，∵AB⊄平面GHF，HF⊂平面GHF，∴AB∥平面GHF，BE∥平面GHF，又AB∩BE=B，AB，BE⊂平面ABED，∴平面ABED∥平面GHF．解：（2）由已知，底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，即AC⊥BC，又FC⊥底面ABC，∴以C为原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，取AB=2，由BC=CF=，得BC=CF=1，AC=，则A（），C（0，0，0），B（0，1，0），F（0，0，1），E（0，，1），D（，0，1），平面DEF的一个法向量=（0，0，1），设平面ABED的法向量=（x，y，z），，=（﹣，），由，取x=2，得=（2，2），cos＜＞===，由图形得二面角A﹣DE﹣F的平面角是钝角，∴二面角A﹣DE﹣F的余弦值为﹣．18．某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如表：语言表达能力一般良好优秀人数逻辑思维能力一般 2 2 1良好 4 m 1优秀 1 3 n由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为．（1）从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；（2）从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列及其均值．【考点】离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有（6+n）名，由题意得，从而n=2，m=4，由此利用对立事件概率计算公式能求出从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑能力优秀的学生．（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及E（X）．【解答】解：（1）用A表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”，∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有（6+n）名，∴P（A）=，解得n=2，∴m=4，用B表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑能力优秀的学生”，∴P（B）=1﹣=．（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，∵20名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有名，∴P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：X 0 1 2PE（X）==．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且3S n+a n﹣3=0，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，求T n=，求使T n≥成立的n 的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过3S n+a n﹣3=0与3S n﹣1+a n﹣1﹣3=0作差，进而可知数列{a n}是首项为、公比为的等比数列，利用公式计算即得结论；（2）通过（1）及3S n+a n﹣3=0计算可知b n=﹣n﹣1，裂项可知=﹣，进而并项相加即得结论．【解答】解：（1）∵3S n+a n﹣3=0，∴当n=1时，3S1+a1﹣3=0，即a1=，又∵当n≥2时，3S n﹣1+a n﹣1﹣3=0，∴3a n+a n﹣a n﹣1=0，即a n=a n﹣1，∴数列{a n}是首项为、公比为的等比数列，故其通项公式a n=•=3•；（2）由（1）可知，1﹣S n+1=a n+1=，∴b n==﹣n﹣1，∵==﹣，∴T n==﹣+﹣+…+﹣=﹣，由T n≥可知，﹣≥，化简得：≤，解得：n≥2016，故满足条件的n的最小值为2016．20．已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；②求|PQ|的最小值．【考点】轨迹方程．【分析】（1）利用一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，建立方程，即可求曲线C的方程；（2）①设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），与抛物线方程联立，利用韦达定理可求点P，Q的坐标，进而可确定直线PQ的方程，即可得到结论．②由①|PQ|2=（2k﹣）2+（2k+）2=4[（k2+）2+（k2+）﹣2]，换元利用基本不等式求|PQ|的最小值．【解答】解：（1）设圆心C（x，y），则x2+4=（x﹣2）2+y2，化简得y2=4x，∴动圆圆心的轨迹的方程为y2=4x．（2）①设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题意可设直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），与y2=4x联立得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．△=（2k2+4）2﹣4k4=16k2+16＞0，x1+x2=2+，y1+y2=k（x1+x2﹣2）=．所以点P的坐标为（1+，）．由题知，直线l2的斜率为﹣，同理可得点Q的坐标为（1+2k2，﹣2k）．当k≠±1时，有1+≠1+2k2，此时直线PQ的斜率k PQ=．所以，直线PQ的方程为y+2k=（x﹣1﹣2k2），整理得yk2+（x﹣3）k﹣y=0，于是，直线PQ恒过定点E（3，0）；当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点E（3，0）．综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）．②由①|PQ|2=（2k﹣）2+（2k+）2=4[（k2+）2+（k2+）﹣2]，记k2+=t∵k2+≥2，∴t≥2，∴|PQ|2=4[（t+）2﹣]，∴t=2，即k=±1时，|PQ|的最小值为4．21．已知函数f（x）=e x，其中e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设函数g（x）=（x2+ax﹣2a﹣3）f（x），a∈R．试讨论函数g（x）的单调性；（2）设函数h（x）=f（x）﹣mx2﹣x，m∈R，若对任意，且x1＞x2都有x2h（x1）﹣x1h （x2）＞x1x2（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）先求函数g（x）的解析式，求导，根据a的取值，分别解关于x的不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0即可；（2）根据已知条件将其转化成，+x1＞+x2，且x1＞x2，构造辅助函数F（x）=﹣（m﹣1）x﹣1，求导，分离变量求得m≤+1，在x∈[，2]上恒成立，构造辅助函数，求导，利用函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得m的取值范围．【解答】解：（1）g（x）=e x（x2+ax﹣2a﹣3），a∈R．∴g′（x）=e x[x2+（a+2）x﹣a﹣3]，=a（x﹣1）（x+a+3），当a=﹣4时，g′（x）=a（x﹣1）2≥0，∴g（x）在R上单调递减，当a＞﹣4时，由g′（x）＞0，解得x＜﹣a﹣3或x＞1，∴g（x）在（﹣∞，﹣a﹣3），（1，+∞）上单调递增，由g′（x）＞0，解得﹣a﹣3＜x＜1，∴g（x）在（﹣a﹣3，1）上单调递减；当a＜﹣4时，由g′（x）＞0，解得x＜1或x＞﹣a﹣3，∴g（x）在（﹣∞，1），（﹣a﹣3，+∞）上单调递增，由g′（x）＞0，解得1＜x＜﹣a﹣3，∴g（x）在（1，﹣a﹣3）上单调递减，综上所述：当a=﹣4时，g（x）在R上单调递减；当a＞﹣4时，g（x）在（﹣∞，﹣a﹣3），（1，+∞）上单调递增，在（﹣a﹣3，1）上单调递减；当a＜﹣4时，g（x）在（﹣∞，1），（﹣a﹣3，+∞）上单调递增，在（1，﹣a﹣3）上单调递减．（2）h（x）=f（x）﹣mx2﹣x=e x﹣mx2﹣x，，∴x2h（x1）﹣x1h（x2）＞x1x2（x2﹣x1），∴﹣＞x2﹣x1，不等式﹣＞x2﹣x1，等价于+x1＞+x2，且x1＞x2，记F（x）==﹣（m﹣1）x﹣1，∴F（x）在[，2]上单调递增，F′（x）=﹣（m﹣1）≥0在x∈[，2]上恒成立，m≤+1，在x∈[，2]上恒成立，记P（x）=+1，∴P′（x）=＞0，∴P（x）在[，2]上单调递增，P（x）min=P（）=1﹣2．∴实数m的取值范围为（﹣∞，1﹣2]．。

2020-2021学年江苏省三市联考高考数学三模试卷及答案解析

江苏省徐州市、连云港市、宿迁市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1．已知集合A={x|x=2k+1，k∈Z}，B={x|0＜x＜5}，则A∩B= ．2．已知复数z满足（3+i）z=10i（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数是．3．如图是一次摄影大赛上7位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是．4．甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏：甲、乙、丙三人每次都随机出“手心（白）”、“手背（黑）”中的某一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时，这个人胜出；其他情况，不分胜负．则一次游戏中甲胜出的概率是．5．执行如图所示的算法流程图，则输出k的值为．6．已知点F为抛物线y2=4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为．7．已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则= ．8．已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为60πcm2，则此圆锥的体积为cm3．9．若实数x，y满足约束条件，则|3x﹣4y﹣10|的最大值为．10．已知函数f（x）=sinx（x∈[0，π]）和函数g（x）=tanx的图象交于A，B，C三点，则△ABC 的面积为．11．若点P，Q分别是曲线y=与直线4x+y=0上的动点，则线段PQ长的最小值为．12．已知，，是同一平面内的三个向量，其中，是相互垂直的单位向量，且（）•（﹣）=1，||的最大值为．13．已知对满足x+y+4=2xy的任意正实数x，y，都有x2+2xy+y2﹣ax﹣ay+1≥0，则实数a的取值范围为．14．已知经过点P（1，）的两个圆C1，C2都与直线l1：y=x，l2：y=2x相切，则这两圆的圆心距C1C2等于．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．15．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=1，BD=2，∠CAD=，tan∠ADC=﹣2，求：（1）CD的长；（2）△BCD的面积．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC，M，N，P分别为BC，CC1，BB1的中点．求证：（1）平面AMP⊥平面BB1C1C；（2）A1N∥平面AMP．17．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，）在椭圆C：=1（a＞b＞0）上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）若点M，N是椭圆C上的两点，且四边形POMN是平行四边形，求点M，N的坐标．18．经市场调查，某商品每吨的价格为x（1＜x＜14）百元时，该商品的月供给量为y1万吨，y1=ax+a2﹣a（a＞0）；月需求量为y2万吨，y2=﹣x2﹣x+1．当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量．该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．（1）若a=，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）=，g（x）=ax﹣2lnx﹣a （a∈R，e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的极值；（2）在区间（0，e]上，对于任意的x0，总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求a的取值范围．20．在数列{a n}中，已知a1=1，a2=2，a n+2=（k∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求满足2a n+1=a n+a n+2的正整数n的值；（3）设数列{a n}的前n项和为S n，问是否存在正整数m，n，使得S2n=mS2n﹣1？若存在，求出所有的正整数对（m，n）；若不存在，请说明理由．三．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F．求证：AB2=BE•BD﹣AE•AC．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）22．已知矩阵A=，向量=，计算A5．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为（α为参数），求直线l与曲线C 的交点P的直角坐标．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．已知a、b∈R，a＞b＞e（其中e是自然对数的底数），求证：b a＞a b．（提示：可考虑用分析法找思路）四.[必做题]第22、23题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．25．已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球．若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖．每次摸球结束后将球放回原箱中．（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若连续摸奖2次，求获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．26．在集合A={1，2，3，4，…，2n}中，任取m（m≤n，m，n∈N*）个元素构成集合A m．若A m 的所有元素之和为偶数，则称A m为A的偶子集，其个数记为f（m）；若A m的所有元素之和为奇数，则称A m为A的奇子集，其个数记为g（m）．令F（m）=f（m）﹣g（m）．（1）当n=2时，求F（1），F（2），F（3）的值；（2）求F（m）．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1．已知集合A={x|x=2k+1，k∈Z}，B={x|0＜x＜5}，则A∩B= {1，3} ．【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|x=2k+1，k∈Z}，B={x|0＜x＜5}，∴A∩B={1，3}，故答案为：{1，3}．2．已知复数z满足（3+i）z=10i（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数是1﹣3i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵（3+i）z=10i，∴（3﹣i）（3+i）z=10i（3﹣i），∴10z=10（3i+1），化为：z=1+3i，则复数z的共轭复数是1﹣3i．故答案为：1﹣3i．3．如图是一次摄影大赛上7位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是 1 ．【考点】茎叶图．【分析】根据讨论x＞4时，求出平均分不是91分，显然x≤4，表示出平均分，得到关于x的方程，解出即可．【解答】解：若x＞4，去掉一个最高分（90+x）和一个最低分86后，平均分为（89+91+92+92+94）=91.6分，不合题意，故x≤4，最高分是94，去掉一个最高分94和一个最低分86后，故平均分是（89+92+90+x+91+92）=91，解得x=1，故答案为：1．4．甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏：甲、乙、丙三人每次都随机出“手心（白）”、“手背（黑）”中的某一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时，这个人胜出；其他情况，不分胜负．则一次游戏中甲胜出的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】根据题意，分析可得甲、乙、丙出的方法种数都有2种，由分步计数原理可得三人进行游戏的全部情况数目，进而可得甲胜出的情况数目，由等可能事件的概率，计算可得答案．【解答】解：一次游戏中，甲、乙、丙出的方法种数都有2种，所以总共有23=8种方案，而甲胜出的情况有：“甲黑乙白丙白”，“甲白乙黑丙黑”，共2种，所以甲胜出的概率为=，故答案为：．5．执行如图所示的算法流程图，则输出k的值为 3 ．【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件n=1，跳出循环，确定输出k的值．【解答】解：n=13是奇数，n==6＞1，不符，此时k=1，n=6是偶数，n=3＞1，不符，此时k=2，n=3是奇数，n=1=1，符合，此时k=3，故答案为：3．6．已知点F为抛物线y2=4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，设出A，利用抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，求出A的横坐标，然后求解斜率．【解答】解：由题可知焦点F（1，0），准线为x=﹣1设点A（x A，y A），∵抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，∴x A+=5，∴x A=4，∴y A=4，∴点A（4，4），∴直线AF的斜率为=，故答案为：．7．已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则= ．【考点】等差数列的前n项和．【分析】设出等差数列的首项，由=3得到首项和公差的关系，代入等差数列的通项公式可得．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，则，由=3，得，即d=4a1，∴=．故答案为：．8．已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为60πcm2，则此圆锥的体积为96πcm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据侧面积计算圆锥的底面半径，根据勾股定理得出圆锥的高，代入圆锥的体积公式计算体积．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则S侧=π×r×10=60π，解得r=6．∴圆缀的高h==8，∴圆锥的体积V===96π．故答案为：96π．9．若实数x，y满足约束条件，则|3x﹣4y﹣10|的最大值为．【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，而根据点到直线的距离公式可知转化为求阴影内的点到直线l的距离最大，从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，直线l的方程为3x﹣4y﹣10=0，点A到直线l的距离最大，由解得，A（，），故点A到直线l的距离d==，故|3x﹣4y﹣10|的最大值为×5=；故答案为：．10．已知函数f（x）=sinx（x∈[0，π]）和函数g（x）=tanx的图象交于A，B，C三点，则△ABC 的面积为π．【考点】正切函数的图象；正弦函数的图象．【分析】根据题意，令sinx=tanx，结合x∈[0，π]求出x的值，得出三个点A、B、C的坐标，即可计算△ABC的面积．【解答】解：根据题意，令sinx=tanx，即sinx（1﹣）=0，解得sinx=0或1﹣=0，即sinx=0或cosx=；又x∈[0，π]，所以x=0或x=π或x=；所以点A（0，0），B（π，0），C（，）；所以△ABC的面积为S=|AB|h=×π×=π．故答案为：π．11．若点P，Q分别是曲线y=与直线4x+y=0上的动点，则线段PQ长的最小值为．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】求出原函数的导函数，得到与直线4x+y=0平行的曲线的切线方程，由平行线间的距离公式求得线段PQ长的最小值．【解答】解：由y==1+，得y′=，由，得x2=1，∴x=±1．当x=1时，y=5，则与4x+y=0且与曲线y=相切的直线方程为y﹣5=﹣4（x﹣1），即4x+y﹣9=0．此时两平行线间的距离为；当x=﹣1时，y=﹣3，则与4x+y=0且与曲线y=相切的直线方程为y+3=﹣4（x+1），即4x+y+7=0．此时两平行线间的距离为．∴曲线y=与直线4x+y=0上两动点PQ距离的最小值为．故答案为：．12．已知，，是同一平面内的三个向量，其中，是相互垂直的单位向量，且（）•（﹣）=1，||的最大值为1+．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】不妨设=（1，0），=（0，1），设=（x，y），根据向量的坐标运算和数量积运算得到（x﹣）2+（y﹣）2=2，结合图形即可求出最大值．【解答】解：∵，是相互垂直的单位向量，不妨设=（1，0），=（0，1），设=（x，y），∴=（1﹣x，﹣y），﹣=（﹣x，﹣y），∵（）•（﹣）=1，∴﹣（1﹣x）x﹣y（﹣y）=1，∴x2﹣x+y2﹣y=1，∴（x﹣）2+（y﹣）2=2，∴向量的轨迹为以（，）为圆心，以为半径的圆，∴圆心到原点的距离为1，∴||的最大值为1+故答案为：1+13．已知对满足x+y+4=2xy的任意正实数x，y，都有x2+2xy+y2﹣ax﹣ay+1≥0，则实数a的取值范围为（﹣∞，] ．【考点】基本不等式．【分析】依题意，由正实数x，y满足x+y+4=2xy，可求得x+y≥4，由x2+2xy+y2﹣ax﹣ay+1≥0恒成立可求得a≤x+y+恒成立，利用双钩函数的性质即可求得实数a的取值范围．【解答】解：因为正实数x，y满足x+y+4=2xy，而4xy≤（x+y）2，代入原式得（x+y）2﹣2（x+y）﹣8≥0，解得（x+y）≥4或（x+y）≤﹣2（舍去）由x2+2xy+y2﹣ax﹣ay+1≥0可得a（x+y）≤（x+y）2+1，即a≤x+y+令t=x+y∈[4，+∞），则问题转化为a≤t+，因为函数y=t+在[4，+∞）递增，所以y min=4+=，所以a≤故答案为：（﹣∞，]．14．已知经过点P（1，）的两个圆C1，C2都与直线l1：y=x，l2：y=2x相切，则这两圆的圆心距C1C2等于．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设圆心坐标为（x，y），由于圆与直线l1：y=x，l2：y=2x都相切，根据点到直线的距离公式得圆心只能在直线y=x上，设C1（a，a），C2（b，b），推导出a，b是方程（1﹣x）2+（）2=的两根，由此能求出．这两圆的圆心距CC2．1【解答】解：设圆心坐标为（x，y），由于圆与直线l1：y=x，l2：y=2x都相切，根据点到直线的距离公式得：，解得y=x，∴圆心只能在直线y=x上，设C1（a，a），C2（b，b），则圆C1的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2=，圆C2的方程为（x﹣b）2+（y﹣b）2=，将（1，）代入，得：，∴a，b是方程（1﹣x）2+（）2=，即=0的两根，∴，ab=，∴|C1C2|==•=•=．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．15．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=1，BD=2，∠CAD=，tan∠ADC=﹣2，求：（1）CD的长；（2）△BCD的面积．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）根据tan∠ADC=﹣2计算sin∠ADC，得出sin∠ACD，在△ACD中使用正弦定理求出CD；（2）根据∠ADC+∠BCD=180°求出sin∠BCD，cos∠BCD，在△BCD中使用余弦定理解出BC，则=．S△BCD【解答】解：（1）∵tan∠ADC=﹣2，∴sin∠ADC=，cos∠ADC=﹣．∴sin∠ACD=sin（∠CAD+∠ADC）=sin∠CADcos∠ADC+cos∠CADsin∠ADC==．在△ACD中，由正弦定理得，即，解得CD=．（2）∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴sin∠BCD=sin∠ADC=，cos∠BCD=﹣cos∠ADC=．在△BCD中，由余弦定理得BD2=CD2+BC2﹣2BC•CDcos∠BCD，即40=5+BC2﹣2BC，解得BC=7或BC=﹣5（舍）．=BC•CDsin∠BCD==7．∴S△BCD16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC，M，N，P分别为BC，CC1，BB1的中点．求证：（1）平面AMP⊥平面BB1C1C；（2）A1N∥平面AMP．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知条件推导出AM⊥BC，AM⊥BB1，从而AM⊥平面BB1C1C，由此能证明平面AMP⊥平面BB1C1C．（2）取B1C1中点E，连结A1E、NE、B1C，推导出平面A1NE∥平面APM，由此能证明A1N∥平面AMP．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，M是BB1的中点，∴AM⊥BC，AM⊥BB1，∵BC∩BB1=B，∴AM⊥平面BB1C1C，∵AM⊂平面AMP，∴平面AMP⊥平面BB1C1C．（2）取B1C1中点E，连结A1E、NE、B1C，∵M，N，P分别为BC，CC1，BB1的中点，∴NE∥BC1∥PM，A1E∥AM，∵PM∩AM=M，A1E∩NE=E，PM、AM⊂平面APM，A1E、NE⊂平面A1EN，∴平面A1NE∥平面APM，∵A1N⊂平面A1NE，∴A1N∥平面AMP．17．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，）在椭圆C：=1（a＞b＞0）上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）若点M，N是椭圆C上的两点，且四边形POMN是平行四边形，求点M，N的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由点P（1，）在椭圆上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）由题意设直线AB：y=，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y，得：3x2+3mx+m2﹣3=0，由此利用韦达定理、弦长公式、平行四边形性质，结合已知条件能求出M、N的坐标．【解答】解：（1）∵点P（1，）在椭圆C：=1（a＞b＞0）上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4，∴，解得a=2，b=，∴椭圆C的方程为．（2）由题意设直线MN：y=，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，消去y，得：3x2+3mx+m2﹣3=0，△＞0，，∵四边形POMN是平行四边形，∴|MN|==，解得m=±3，当m=3时，解方程：3x2+9x+6=0，得M（﹣1，），N（﹣2，0）；当m=﹣3时，解方程：3x2﹣9x+6=0，得M（1，），N（2，6）．18．经市场调查，某商品每吨的价格为x（1＜x＜14）百元时，该商品的月供给量为y1万吨，y1=ax+ a2﹣a（a＞0）；月需求量为y2万吨，y2=﹣x2﹣x+1．当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量．该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．（1）若a=，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积，分类讨论，即可求解商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？（2）设f（x）=y1﹣y2=ax+a2﹣a﹣（﹣x2﹣x+1）=x2+（+a）x+a2﹣a﹣1，因为a＞0，所以f（x）在区间（1，14）上是增函数，若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f（x）在区间[6，14）上有零点，即可得出结论．【解答】解：（1）若a=，y1=x﹣，y2＞y1，即﹣x2﹣x+1＞x﹣，∵1＜x＜14，∴1＜x＜6，月销售量为y1=x﹣，商品的月销售额等于（x﹣）x，在（1，6）上单调递增，（x﹣）x＜；y2≤y1，即﹣x2﹣x+1≤x﹣，∵1＜x＜14，∴6≤x＜14，月销售量为y2=﹣x2﹣x+1，商品的月销售额等于y=（﹣x2﹣x+1）x，y′=﹣（x﹣8）（3x+28），∴函数在（6，8）上单调递增，（8，14）上单调递减，x=8时，取得最大值＞，∴商品的价格为8元时，该商品的月销售额最大；（2）设f（x）=y1﹣y2=ax+a2﹣a﹣（﹣x2﹣x+1）=x2+（+a）x+a2﹣a﹣1因为a＞0，所以f（x）在区间（1，14）上是增函数，若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f（x）在区间[6，14）上有零点，所以f（6）≤0，f（14）＞0，所以0＜a≤．19．已知函数f（x）=，g（x）=ax﹣2lnx﹣a （a∈R，e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的极值；（2）在区间（0，e]上，对于任意的x0，总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出当x∈（0，e]时，函数f（x）的值域，通过讨论a的范围结合g（x）的单调性，求出a的具体范围即可．【解答】解：（1）因为f（x）=，所以f′（x）=，…令f′（x）=0，得x=1．…当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．所以f（x）在x=1时取得极大值f（1）=1，无极小值．…（2）由（1）知，当x∈（0，1）时，f（x）单调递增；当x∈（1，e]时，f（x）单调递减．又因为f（0）=0，f（1）=1，f（e）=e•e1﹣e＞0，所以当x∈（0，e]时，函数f（x）的值域为（0，1]．…当a=0时，g（x）=﹣2lnx在（0，e]上单调，不合题意；…当a≠0时，g′（x）=，x∈（0，e]，故必须满足0＜＜e，所以a＞．…此时，当x 变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下：x （0，）（，e]g′（x）﹣0 +g（x）单调减最小值单调增所以x→0，g（x）→+∞，g（）=2﹣a﹣2ln，g（e）=a（e﹣1）﹣2，所以对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的x1，x2使得g（x1）=g（x2）=f（x0），当且仅当a满足下列条件，即，…令m（a）=2﹣a﹣2ln，a∈（，+∞），m′（a）=﹣，由m′（a）=0，得a=2．当a∈（2，+∞）时，m′（a）＜0，函数m（a）单调递减；当a∈（，2）时，m′（a）＞0，函数m（a）单调递增．所以，对任意a∈（，+∞）有m（a）≤m（2）=0，即2﹣a﹣2ln≤0对任意a∈（，+∞）恒成立．由a（e﹣1）﹣2≥1，解得a≥，综上所述，当a∈[，+∞）时，对于任意给定的x0（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0）．…20．在数列{a n}中，已知a1=1，a2=2，a n+2=（k∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求满足2a n+1=a n+a n+2的正整数n的值；（3）设数列{a n}的前n项和为S n，问是否存在正整数m，n，使得S2n=mS2n﹣1？若存在，求出所有的正整数对（m，n）；若不存在，请说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由题意可得数列{a n}的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列；偶数项是以2为首项，公比为3的等比数列．分别利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）①当n为奇数时，由2a n+1=a n+a n+2可得：=n+n+2，化为：=n+1，令f（x）=2×﹣x﹣1（x≥1），利用导数研究函数的单调性即可得出．②当n为偶数时，由2a n+1=a n+a n+2可得：2（n+1）=2+2×，化为：n+1=+，即可判断出不成立．（3）S2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n）=3n+n2﹣1，n∈N*．S2n﹣1=S2n﹣a2n=3n﹣1+n2﹣1．假设存在正整数m，n，使得S2n=mS2n﹣1，化为3n﹣1（3﹣m）=（m﹣1）（n2﹣1），可得1，2，3．分类讨论即可得出．【解答】解：（1）由a1=1，a2=2，a n+2=（k∈N*）．可得数列{a n}的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列；偶数项是以2为首项，公比为3的等比数列．∴对任意正整数k，a2k﹣1=1+2（k﹣1）=2k﹣1；a2k=2×3k﹣1．∴数列{a n}的通项公式a n=，k∈N*．（2）①当n为奇数时，由2a n+1=a n+a n+2可得：=n+n+2，化为：=n+1，令f（x）=2×﹣x﹣1（x≥1），由f′（x）=××ln﹣1≥﹣1=ln3﹣1＞0，可知f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f（x）≥f（1）=0，∴当且仅当n=1时，满足=n+1，即2a2=a1+a3．=a n+a n+2可得：2（n+1）=2+2×，②当n为偶数时，由2an+1化为：n+1=+，上式左边为奇数，右边为偶数，因此不成立．综上，满足2a n+1=a n+a n+2的正整数n的值只有1．（3）S2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n）=+=3n+n2﹣1，n∈N*．S2n﹣1=S2n﹣a2n=3n﹣1+n2﹣1．假设存在正整数m，n，使得S2n=mS2n﹣1，则3n+n2﹣1=m（3n﹣1+n2﹣1），∴3n﹣1（3﹣m）=（m﹣1）（n2﹣1），（*）从而3﹣m≥0，∴m≤3，又m∈N*，∴m=1，2，3．①当m=1时，（*）式左边大于0，右边等于0，不成立．②当m=3时，（*）式左边等于0，∴2（n2﹣1）=0，解得n=1，∴S2=3S1．③当m=2时，（*）式可化为3n﹣1=（n+1）（n﹣1），则存在k1，k2∈N*，k1＜k2，使得n﹣1=，n+1=，且k1+k2=n﹣1，从而==2，∴﹣=2，=1，∴k1=0，k2﹣k1=1，于是n=2，S4=2S3．综上可知，符合条件的正整数对（m，n）只有两对：（2，2），（3，1）．三．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F．求证：AB2=BE•BD﹣AE•AC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆知，BD•BE=BA•BF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE•BD ﹣AE•AC．【解答】证明：连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠AFE=90°，则A，D，E，F四点共圆，∴BD•BE=BA•BF，又△ABC∽△AEF，∴，即AB•AF=AE•AC∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•（BF﹣AF）=AB2．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）22．已知矩阵A=，向量=，计算A5．【考点】特征向量的意义．【分析】令f（λ）==λ2﹣5λ+6=0，解得λ=2或3．分别对应的一个特征向量为；．设=m++n．解得m，n，即可得出．【解答】解：∵f（λ）==λ2﹣5λ+6，由f（λ）=0，解得λ=2或3．当λ=2时，对应的一个特征向量为α1=；当λ=3时，对应的一个特征向量为α2=．设=m++n．解得．∴A5=2×25+1×35=．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为（α为参数），求直线l与曲线C 的交点P的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换将极坐标方程化成直角坐标方程．再利用消去参数的方法化参数方程为直角坐标方程，通过直角坐标方程求出交点即可．【解答】解：因为直线l的极坐标方程为所以直线l的普通方程为，又因为曲线C的参数方程为（α为参数）所以曲线C的直角坐标方程为，联立解方程组得或，根据x的范围应舍去，故P点的直角坐标为（0，0）．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．已知a、b∈R，a＞b＞e（其中e是自然对数的底数），求证：b a＞a b．（提示：可考虑用分析法找思路）【考点】分析法和综合法．【分析】直接利用分析法的证明步骤，结合函数的单调性证明即可．【解答】证明：∵b a＞0，a b＞0，∴要证：b a＞a b只要证：alnb＞blna只要证．（∵a＞b＞e）取函数，∵∴当x＞e时，，∴函数在上是单调递减．∴当a＞b＞e时，有，即．得证．四.[必做题]第22、23题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．25．已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球．若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖．每次摸球结束后将球放回原箱中．（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若连续摸奖2次，求获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A，利用互斥事件概率计算公式能求出在1次摸奖中，获得二等奖的概率．（2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B，先求出P（B），由题意可知X的所有可能取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A，则P（A）==．…（2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B，则获得一等奖的概率为=，获得三等奖的概率为P3==，所以P（B）==．…由题意可知X的所有可能取值为0，1，2．P（X=0）=（1﹣）2=，P（X=1）==，P（X=2）=（）2=．所以X的分布列是X 0 1 2P所以E（X）=0×+2×=．…26．在集合A={1，2，3，4，…，2n}中，任取m（m≤n，m，n∈N*）个元素构成集合A m．若A m 的所有元素之和为偶数，则称A m为A的偶子集，其个数记为f（m）；若A m的所有元素之和为奇数，则称A m为A的奇子集，其个数记为g（m）．令F（m）=f（m）﹣g（m）．（1）当n=2时，求F（1），F（2），F（3）的值；（2）求F（m）．【考点】子集与真子集；元素与集合关系的判断．【分析】（1）根据已知条件利用列举法能F（1），F（2），F（3）；（2）分m为奇数和m为偶数两种情况，再根据二项式定理和排列组合的知识即可求出答案．【解答】解：（1）当n=2时，集合为{1，2，3，4}，当m=1时，偶子集有{2}，{4}，奇子集有{1}，{3}，f（1）=2，g（1）=2，F（1）=0；当m=2时，偶子集有{2，4}，{1，3}，奇子集有{1，2}，{1，4}，{2，4}，{3，4}，f（2）=2，g（2）=4，F（2）=﹣2；当m=3时，偶子集有{1，2，3}，{1，3，4}，奇子集有{1，2，4}，{2，3，4}，f（3）=2，g（3）=2，F（3）=0；（2）当m为奇数时，偶子集的个数f（m）=C n0C n m+C n2C n m﹣2+C n4C n m﹣4+…+C n m﹣1C n1，奇子集的个数g（m）=C n1C n m﹣1+C n3C n m﹣3+…+C n m C n0，所以f（m）=g（m），F（m）=f（m）﹣g（m）=0．当m为偶数时，偶子集的个数f（m）=C n0C n m+C n2C n m﹣2+C n4C n m﹣4+…+C n m C n0，奇子集的个数g（m）=C n1C n m﹣1+C n3C n m﹣3+…+C n m﹣1C n1，所以F（m）=f（m）﹣g（m）=C n0C n m﹣C n1C n m﹣1+C n2C n m﹣2﹣C n3C n m﹣3+…﹣C n m﹣1C n1+C n m C n0，一方面，（1+x）m（1﹣x）m=（C m0+C m1x+C m2x2+…+C m m x m）[C m0﹣C m1x+C m2x2+…+（﹣1）m C m m x m]所以，（1+x）m（1﹣x）m中x m的系数为C m0C m m﹣C m1C m m﹣1+C m2C m m﹣2﹣C m3C m m﹣3+…﹣C m m﹣1C m1+C m m C m0，另一方面，（1+x）m（1﹣x）m=（1﹣x2）m，（1﹣x2）m中x m的系数为（﹣1），故f（m）=（﹣1），综上，F（m）=。

2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)及答案解析

试题第1页，总21页绝密★启用前2020年全国统一高考数学试题（理科)（新课标Ⅲ)试题副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ⋂=（）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】先求出集合B 再求出交集. 【详解】21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B ⋂=-，故选A ．【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 2．若(1i)2i z +=，则z =（） A ．1i -- B ．1+i - C ．1i - D ．1+i【答案】D 【解析】【分析】根据复数运算法则求解即可.试题第2页，总21页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【详解】()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ．【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题． 3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（） A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解. 【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ．【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．4．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24【答案】A 【解析】【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．试题第3页，总21页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（） A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C 【解析】【分析】利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值．【详解】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩，解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键。

全国Ⅲ卷2021届高三高考模拟卷数学(理)试题(含答案解析)

设双曲线的一条渐近线方程为，
可得直线的方程为，与双曲线联立，
可得，，
设，，
由三角形的等面积法可得，
化简可得，①
由双曲线的定义可得，②
在三角形中，为直线的倾斜角），
由，，可得，
可得，③
由①②③化简可得，
即为，
可得，则．
故选：A．
【点睛】
本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、坐标求解、离心率求解，考查方程思想的运用及三角形等面积法．双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的关系．
【详解】
因为圆心坐标为，直线与圆相切于点
根据圆心和切点的连线与直线垂直，所以，解得，
根据两点间的距离公式，可得圆的半径
故圆的标准方程为．
故答案为：
16．
【分析】
依题意知的中点为外接圆的圆心，设三棱锥外接球的球心为，则平面，设外接球的半径为，则，代入数据即可求解半径，从而得球表面积．
故选：C.
5．D
【分析】
通过函数的性质依次分析选项中的奇偶性和值域即可.
【详解】
解：对于A：，为偶函数，但值域为，故A不正确；
对于B：定义域不对称，为非奇非偶函数函数，故B不正确；
对于C：定义域不对称，为非奇非偶函数函数，故C不正确；
对于D：为偶函数，且值域为，故D正确；
故选：D.
6．A
全国Ⅲ卷2021届高三高考模拟卷数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

2020-2021学年安徽省合肥市高考数学三模试卷(理科)及答案解析

安徽省高考数学三模试卷（理科）一、选择题（每题5分）1．若集合M={x∈R|x2﹣4x＜0}，集合N={0，4}，则M∪N=（）A．[0，4] B．[0，4）C．（0，4] D．（0，4）2．设i为虚数单位，复数z=，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i3．在正项等比数列{a n}中，a1008•a1009=，则lga1+lga2+…+lga2016=（）A．2015 B．2016 C．﹣2015 D．﹣20164．已知双曲线﹣=1的焦距为10，一条渐近线的斜率为2，则双曲线的标准方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=15．直线m：x+（a2﹣1）y+1=0，直线n：x+（2﹣2a）y﹣1=0，则“a=﹣3”是“直线m、n关于原点对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．执行如图的程序框图，若输入的m，n分别为204，85，则输出的m=（）A．2 B．7 C．34 D．857．若等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，若∀n∈N*，都有S n≤S10，则（）A．∀n∈N*，都有a n＜a n﹣1B．a9•a10＞0C．S2＞S17D．S19≥08．设不等式组表示的平面区域为Ω，则当直线y=k（x﹣1）与区域Ω有公共点时，k的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，0] C．[﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）9．（1﹣）（2+）6的展开式中，x项的系数是（）A．58 B．62 C．238 D．24210．某品牌饮料瓶可以近似看作是由一个半球和一个圆台组成，其三视图如图所示，该饮料瓶的表面积为（）A．81πB．125πC．（41+7）πD．（73+7）π11．甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率等于（）A．B．C．D．12．关于x的不等式（x2+2x+2）sin≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），实数a的取值范围是（）A．[1，+∞） B．[2，+∞） C．[3，+∞） D．[4，+∞）二、填空题（每题5分）13．已知=（1，t），=（t，4），若∥，则t=______．14．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为______．15．已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞2的解集是______．16．已知数列{a n}满足：a1=2，（4a n+1﹣5）（4a n﹣1）=﹣3，则+++…+=______．三、解答题17．如图，在△ABC中，∠B=，AC=2．（1）若∠BAC=θ，求AB和BC的长．（结果用θ表示）；（2）当AB+BC=6时，试判断△ABC的形状．18．从某校的一次学料知识竞赛成绩中，随机抽取了50名同学的成绩，统计如下：组别[30，40][40，50] [50，60] [60，70] [70，80] [80，90] [90，100] 频数 3101215622（Ⅰ）求这50名同学成绩的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z 服从正态分布N （μ，196），其中μ近似为样本平均数．①利用该正态分布．求P （Z ＞74）；②某班级共有20名同学参加此次学科知识比赛，记X 表示这20名同学中成绩超过74分的人数，利用①的结果，求EX ．附：若Z ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜Z ＜+σ）=0.6826，P （μ﹣2＜Z ＜μ+2σ）=0.9544．19．如图，直角三角形ABC 中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E 为线段BC 上一点，且BE=BC ，沿AC 边上的中线BD 将△ABD 折起到△PBD 的位置．（1）求证：PE ⊥BD ；（2）当平面PBD ⊥平面BCD 时，求二面角C ﹣PB ﹣D 的余弦值．20．已知椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，短轴长为2，过圆C ：x 2+y 2=r 2（0＜r＜b ）上任意一点作圆C 的切线与椭圆E 交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（1）当r 为何值时，OA ⊥OB ；（2）过椭圆E上任意一点P作（1）中所求圆的两条切线分别交椭圆于M，N，求△PMN面积的取值范围．21．已知函数f（x）=+alnx有极值点，其中e为自然对数的底数．（1）求a的取值范围；（2）若a∈（0，]，求证：∀x∈（0，2]，都有f（x）＜．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上的一点，=，DE交AB于点F．（1）求证：PF•PO=PA•PB；（2）若PD=4，PB=2，DF=，求弦CD的弦心距．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C：（α为参数），直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C的极坐标方程，直线l的普通方程；（2）点A在曲线C上，B点在直线l上，求A，B两点间距离|AB|的最小值．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+m|+|2x+1|．（1）当m=﹣1时，解不等式f（x）≤3；（2）若m∈（﹣1，0]，求函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值．高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．若集合M={x∈R|x2﹣4x＜0}，集合N={0，4}，则M∪N=（）A．[0，4] B．[0，4）C．（0，4] D．（0，4）【考点】并集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：集合M={x∈R|x2﹣4x＜0}=（0，4），集合N={0，4}，则M∪N=[0，4]，故选：A．2．设i为虚数单位，复数z=，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z的共轭复数可求．【解答】解：z==，则=﹣1+3i．故选：C．3．在正项等比数列{a n}中，a1008•a1009=，则lga1+lga2+…+lga2016=（）A．2015 B．2016 C．﹣2015 D．﹣2016【考点】等比数列的通项公式．【分析】由正项等比数列{a n}的性质可得：a1•a2016=a2•a2015=…=a1008•a1009，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：由正项等比数列{a n}的性质可得：a1•a2016=a2•a2015=…=a1008•a1009=，则lga1+lga2+…+lga2016=lg（a1a2•…•a2015•a2016）==﹣2016．故选：D．4．已知双曲线﹣=1的焦距为10，一条渐近线的斜率为2，则双曲线的标准方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】由题意可得2c=10，即c=5，由一条渐近线的斜率为2，可得=2，可得a，b的方程组，解得a，b，即可得到所求双曲线的标准方程．【解答】解：由题意可得2c=10，即c=5，由一条渐近线的斜率为2，可得=2，又a2+b2=25，解得a=，b=2，即有双曲线的方程为﹣=1．故选：A．5．直线m：x+（a2﹣1）y+1=0，直线n：x+（2﹣2a）y﹣1=0，则“a=﹣3”是“直线m、n关于原点对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在直线m：x+（a2﹣1）y+1=0上任取点P（x，y），则点P关于原点对称的点Q（﹣x，﹣y）在直线n上，代入比较即可得出．【解答】解：在直线m：x+（a2﹣1）y+1=0上任取点P（x，y），则点P关于原点对称的点Q（﹣x，﹣y）在直线n上，∴﹣x+（2﹣2a）（﹣y）﹣1=0，化为x+（2﹣2a）y+1=0，与x+（a2﹣1）y+1=0比较，可得：a2﹣1=2﹣2a，解得a=﹣3或a=1．则“a=﹣3”是“直线m、n关于原点对称”的充分不必要条件．故选：A．6．执行如图的程序框图，若输入的m，n分别为204，85，则输出的m=（）A．2 B．7 C．34 D．85【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，是利用辗转相除法求m，n的最大公约数，根据输入的m、n的值即可求出输出的值．【解答】解：执行如图的程序框图，是利用辗转相除法求m，n的最大公约数，当输入m=204，n=85时，输出的m=17．故选：B．7．若等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，若∀n∈N*，都有S n≤S10，则（）A．∀n∈N*，都有a n＜a n﹣1B．a9•a10＞0C．S2＞S17D．S19≥0【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．【分析】由∀n∈N*，都有S n≤S10，a10≥0，a11≤0，再根据等差数列的性质即可判断．【解答】解：∵∀n∈N*，都有S n≤S10，∴a10≥0，a11≤0，∴a9+a11≥0，∴S2≥S17，S19≥0，故选：D．8．设不等式组表示的平面区域为Ω，则当直线y=k（x﹣1）与区域Ω有公共点时，k的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，0] C．[﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出k的范围即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得B（2，0），显然y=k（x﹣1）恒过（1，0），k=0时，直线是AB，k＞0时，k→+∞，k＜0时，k的最大值是直线AC的斜率﹣2，故k∈（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞），故选：D．9．（1﹣）（2+）6的展开式中，x项的系数是（）A．58 B．62 C．238 D．242【考点】二项式系数的性质．【分析】（2+）6的展开式中，T r+1==26﹣r．分别令=1，=3，进而得出．【解答】解：（2+）6的展开式中，T r+1==26﹣r．分别令=1，=3，解得r=2或r=6．∴（1﹣）（2+）6的展开式中，x项的系数是×1﹣2×=238．故选；C．10．某品牌饮料瓶可以近似看作是由一个半球和一个圆台组成，其三视图如图所示，该饮料瓶的表面积为（）A．81πB．125πC．（41+7）πD．（73+7）π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，上面是一个半球，下面是一个圆台．利用表面积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，上面是一个半球，下面是一个圆台．该饮料瓶的表面积=++π×32=π．故选：C．11．甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率等于（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同包含的基本事件个数，由此能求出甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率．【解答】解：甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则基本事件总数n=4×4=16，甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同包含的基本事件个数：m=1×3+2×2=7，∴甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率p=．故选：D．12．关于x的不等式（x2+2x+2）sin≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），实数a的取值范围是（）A．[1，+∞） B．[2，+∞） C．[3，+∞） D．[4，+∞）【考点】其他不等式的解法．【分析】根据极限的思想=1，分离参数，即可得到a≥2×，即可求出答案．【解答】解：由于=1，∵x2+2x+2≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），∴a≥2×≥2，∴实数a的取值范围为[2，+∞），故选：B．二、填空题（每题5分）13．已知=（1，t），=（t，4），若∥，则t= ±2 ．【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标表示与共线定理，列出方程即可求出结果．【解答】解：∵=（1，t），=（t，4），且∥，∴1×4﹣t2=0，解得t=±2．故答案为：±2．14．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据已知中函数的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（，）代入解析式，结合，可求出ϕ值，进而求出函数的解析式．【解答】解：由图可得：函数函数y=Asin（ωx+ϕ）的最小值﹣|A|=﹣，令A＞0，则A=又∵，ω＞0∴T=π，ω=2∴y=sin（2x+ϕ）将（，）代入y=sin（2x+ϕ）得sin（+ϕ）=﹣1即+ϕ=+2kπ，k∈Z即ϕ=+2kπ，k∈Z∵∴∴故答案为：15．已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞2的解集是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x≥1和x＜1，进行求解即可．【解答】解：若x≥1，由f（x）＞2得log2（x+1）＞2，得x+1＞4，即x＞3．若x＜1，则﹣x＞﹣1，2﹣x＞1，则由f（x）＞2得f（2﹣x）＞2，即log2（2﹣x+1）＞2，得log2（3﹣x）＞2，得3﹣x＞4，即x＜﹣1．综上不等式的解为x＞3或x＜﹣1，即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）16．已知数列{a n}满足：a1=2，（4a n+1﹣5）（4a n﹣1）=﹣3，则+++…+= （3n﹣1）﹣2n ．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】化简可得[4（a n+1﹣1）﹣1][4（a n﹣1）+3]=﹣3，从而可得16+﹣=0，即+2=3（+2），从而求得数列{+2}是以3为首项，3为公比的等比数列，从而求和即可．【解答】解：∵（4a n+1﹣5）（4a n﹣1）=﹣3，∴[4（a n+1﹣1）﹣1][4（a n﹣1）+3]=﹣3，∴16（a n+1﹣1）（a n﹣1）+12（a n+1﹣1）﹣4（a n﹣1）=0，∴16+﹣=0，∴+2=3（+2），又∵+2=3，∴数列{+2}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴+2=3n，故=3n﹣2；故+++…+=3﹣2+9﹣2+…+3n﹣2=﹣2n=（3n﹣1）﹣2n；故答案为：（3n﹣1）﹣2n．三、解答题17．如图，在△ABC中，∠B=，AC=2．（1）若∠BAC=θ，求AB和BC的长．（结果用θ表示）；（2）当AB+BC=6时，试判断△ABC的形状．【考点】三角形的形状判断．【分析】（1）根据正弦定理来求边AB、BC的长度；（2）由AB+BC=6得到：4sin（+θ）+4sinθ=6，结合和差化积公式得到θ的值，由此可以判定△ABC的形状为钝角三角形．【解答】解：（1）由正弦定理得：=，即=，所以BC=4sinθ．又∵∠C=π﹣﹣θ，∴sinC=sin（π﹣﹣θ）=sin（+θ）．∴=即=，∴AB=4sin（+θ）．（2）由AB+BC=6得到：4sin（+θ）+4sinθ=6，所以，8sin（+θ）×=6，整理，得sin（+θ）=．∵0＜+θ＜π，∴+θ=或+θ=，∴θ=，或θ=．∴△ABC是直角三角形．18．从某校的一次学料知识竞赛成绩中，随机抽取了50名同学的成绩，统计如下：组别[30，40][40，50][50，60][60，70][70，80][80，90][90，100]频数 3 10 12 15 6 2 2（Ⅰ）求这50名同学成绩的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z服从正态分布N（μ，196），其中μ近似为样本平均数．①利用该正态分布．求P（Z＞74）；②某班级共有20名同学参加此次学科知识比赛，记X表示这20名同学中成绩超过74分的人数，利用①的结果，求EX．附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜+σ）=0.6826，P（μ﹣2＜Z＜μ+2σ）=0.9544．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；众数、中位数、平均数．【分析】（Ⅰ）利用同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，即可求这50名同学成绩的样本平均数；（Ⅱ）①由（I）知，Z～N（60，196），从而P（60﹣14＜Z＜60+14）=0.6826，即可得出结论；②设依题意知X～B（20，0.1587），即可求得EX．【解答】解：（Ⅰ）由所得数据列成的频数分布表，得：样本平均数=×（35×3+45×10+55×12+65×15+75×6+85×2+95×2）=60；（Ⅱ）①由（I）知，Z～N（60，196），从而P（60﹣14＜Z＜60+14）=0.6826，∴P（Z＞74）=（1﹣0.6826）=0.1587，②由①知，成绩超过74分的概率为0.1587，依题意知X～B（20，0.1587），∴EX=20×0.1587=3.174．19．如图，直角三角形ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E为线段BC上一点，且BE=BC，沿AC边上的中线BD将△ABD折起到△PBD的位置．（1）求证：PE⊥BD；（2）当平面PBD⊥平面BCD时，求二面角C﹣PB﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取BD中点O，连结OE，PO，推导出OE⊥BD，PO⊥BD，从而BD⊥平面POE，由此能证明PE⊥BD．（2）以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣PB﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）∵直角三角形ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E为线段BC上一点，且BE=BC，∴DC=PD=PB=BD=2，BC=2，取BD中点O，连结OE，PO，∵OB=1，BE=，∴OE=，∴OE⊥BD，∵PB=PD，O为BD中点，∴PO⊥BD，又PO∩OE=O，∴BD⊥平面POE，∴PE⊥BD．解：（2）∵平面PBD⊥平面BCD，∴PO⊥平面BCD，如图，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，1，0），P（0，0，），C（），=（0，﹣1，），=（），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（3，），平面图PBD的法向量=（1，0，0），cos＜＞==，由图形知二面角C﹣PB﹣D的平面角是锐角，∴二面角C﹣PB﹣D的余弦值为．20．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，过圆C：x2+y2=r2（0＜r ＜b）上任意一点作圆C的切线与椭圆E交于A，B两点，O为坐标原点．（1）当r为何值时，OA⊥OB；（2）过椭圆E上任意一点P作（1）中所求圆的两条切线分别交椭圆于M，N，求△PMN面积的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由椭圆的离心率为，短轴长为2，列出方程组，求出a，b，从而求出椭圆E的方程，当直线AB的斜率不存在时，直线AB：x=±r，得到当r=时，OA⊥OB；当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+n，由，得（1+4k2）x2+8knx+4n2﹣4=0，由此利用韦达定理、向量的数量积、直线与圆相切，结合已知条件能求出r的值．（2）OP⊥OM，OP⊥ON，OP⊥MN，且MN过原点O，当MN的斜率存在且不为0时，设MN：y=k1x，（k1≠0），由，得|MN|=2OM=4，同理，|OP|=，由此能求出△PMN面积的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆E的方程为．设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率不存在时，直线AB：x=±r，即x1=x2=±r，代入椭圆方程，得，=x1x2+y1y2==r2﹣（1﹣）=，∵0＜r＜1．∴当r=时，，即OA⊥OB，当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+n，由，得（1+4k2）x2+8knx+4n2﹣4=0，则，，∴=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+n）（kx2+n）=（1+k2）x1x2+kn（x1+x2）+n2==，∵直线l与圆C相切，∴=r，即n2=r2（1+k2），∴=，∵0＜r＜1，∴当r=时，=0，即OA⊥OB，综上，r=．（2）由（1）知OP⊥OM，OP⊥ON，∴OP⊥MN，且MN过原点O，当MN的斜率存在且不为0时，设MN：y=k1x，（k1≠0），由，得，，∴|MN|=2OM=2=4，同理，|OP|=2=2，∴S△PMN=|OP|•|MN|=4=4∈[，2），当MN与坐标轴垂直时，S△PMN=2，∴△PMN面积的取值范围是[，2]．21．已知函数f（x）=+alnx有极值点，其中e为自然对数的底数．（1）求a的取值范围；（2）若a∈（0，]，求证：∀x∈（0，2]，都有f（x）＜．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，得到ae x﹣x2=0有解，显然a＞0，令m（x）=ae x﹣x2，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）求出函数的导数，令h（x）=ae x﹣x2，根据函数的单调性得到f（x）在（a，1）内有唯一极大值点x0，从而f（x）max≤max{f（1），f（x0）}，结合函数的单调性，证出结论即可．【解答】解：（1）f（x）=+alnx，f′（x）=，若函数f（x）=+alnx有极值点，则ae x﹣x2=0有解，显然a＞0，令m（x）=ae x﹣x2，（a＞0），则m′（x）=ae x﹣2x，m″（x）=ae x﹣2，令m″（x）＞0，解得：x＞ln，令m″（x）＜0，解得：x＜ln，∴m′（x）在（﹣∞，ln）递减，在（ln，+∞）递增，∴m′（x）min=m′（ln）=2﹣2ln＜0，解得：a＜，故0＜a＜；（2）f（x）=+alnx，f′（x）=，令h（x）=ae x﹣x2，则h′（x）=ae x﹣2x，0＜x≤1时，h′（x）≤ae﹣2＜0，由于h（a）=a（e a﹣a）＞0，h（1）=ae﹣1≤0，∴f（x）在（a，1）内有唯一极大值点x0，当a=时，f（x）有极大值点x=1，∴x∈（0，2]时，f（x）max≤max{f（1），f（x0）}，f（x0）=（a＜x0＜1），令ω（x）=，（a＜x＜1），则ω′（x）=﹣e﹣x（x﹣2）xlnx＜0，∴ω（x）＜ω（a）=＜，又f（1）=，∴max{f（1），f（x0）}＜．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上的一点，=，DE交AB于点F．（1）求证：PF•PO=PA•PB；（2）若PD=4，PB=2，DF=，求弦CD的弦心距．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）先证明△PDF∽△POC，再利用割线定理，即可证得结论；（2）设圆的半径为r，由△PDF∽△POC，可得半径为5，由切割线定理可得，PD•PC=PB•PA•解得CD=2，再由垂径定理和勾股定理，计算可得弦CD的弦心距．【解答】解：（1）证明：连接OC、OE，则∠COE=2∠CDE，∵=，∴∠AOC=∠AOE，∴∠AOC=∠CDE，∴∠COP=∠PDF，∵∠P=∠P，∴△PDF∽△POC∴=，∴PF•PO=PD•PC，由割线定理可得PC•PD=PA•PB，∴PF•PO=PA•PB．（2）设圆的半径为r，PD=4，PB=2，DF=，由△PDF∽△POC，可得=，即有PD•OC=PO•DF，即4r=（2+r），解得r=5．由切割线定理可得，PD•PC=PB•PA•即为4（4+CD）=2（2+2r），即有CD=r﹣3=5﹣3=2，则弦CD的弦心距为OH===2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C：（α为参数），直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C的极坐标方程，直线l的普通方程；（2）点A在曲线C上，B点在直线l上，求A，B两点间距离|AB|的最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C：（α为参数），利用cos2α+sin2α=1可得直角坐标方程，．利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，即可化为直角坐标方程．直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2）利用点到直线的距离公式圆心C（0，2）到直线l的距离d．可得A，B两点间距离|AB|的最小值=d﹣r．【解答】解：（1）曲线C：（α为参数），可得直角坐标方程：x2+（y﹣2）2=4，展开可得：x2+y2﹣4y=0，可得极坐标方程：ρ2﹣4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ．直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：x﹣y﹣3=0．（2）圆心C（0，2）到直线l的距离d==．∴A，B两点间距离|AB|的最小值为﹣2．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+m|+|2x+1|．（1）当m=﹣1时，解不等式f（x）≤3；（2）若m∈（﹣1，0]，求函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的几何意义，分类讨论解不等式f（x）≤3；（2）由题意，m=0时，函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积取得最大值．【解答】解：（1）当m=﹣1时，不等式f（x）≤3，可化为|x﹣1|+|2x+1|≤3，x时，﹣x+1﹣2x﹣1≤3，∴x≥﹣1，∴﹣1≤x；﹣时，﹣x+1+2x+1≤3，∴x≤1，∴﹣；x≥1时，x﹣1+2x+1≤3，∴x≤1，∴x=1；综上所述，﹣1≤x≤1；（2）由题意，m=0时，函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积取得最大值．图象最低点的坐标是（﹣，），f（x）=1时，x=0或﹣，f（x）=3时，x=﹣或，∴函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值为=．。

2021全国卷Ⅲ高考理科数学试卷与答案(word版)(Word最新版)

2021全国卷Ⅲ高考理科数学试卷与答案(word版)通过整理的2021全国卷Ⅲ高考理科数学试卷与答案(word版)相关文档，希望对大家有所帮助，谢谢观看！2021年普通高等学校招生全统一考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合，，则(A) [2，3] (B)（- ，2] [3,+）(C) [3,+）(D)（0，2] [3,+）（2）若，则（A）（B）（C）（D）（3）已知向量BA，BC，则（A）30° （B）45° （C）60° （D）120° （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是（A）各月的平均最低气温都在0℃以上（B）七月的平均温差比一月的平均温差大（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个（5）若，则（A）（B）（C）（D）（6）已知，，，则（A）（B）（C）（D）（7）执行右面的程序框图，如果输入的，那么输出的（A）3 否是n=0，s=0 输入a,b 输出n 开始结束a=b-a b=b-a a=b+a s=s+a,n=n+1 s>16 （B）4 （C）5 （D）6 （8）中，，边上的高等于，则（A）（B）（C）（D）（9）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）（B）（C）（D）（10）在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球．若，，，，则的最大值是（A）（B）（C）（D）（11）已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左,右顶点．为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为（A）（B）（C）（D）（12）定义“规范01数列”如下：共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数 . 若m=4，则不同的“规范01数列”共有（A）18个（B）16个（C）14个（D）12个第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2020年高考理科数学全国卷3(附答案与解析)

2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅲ卷理科数学答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.由题意，A B 中的元素满足8y x x y ⎧⎨+=⎩≥，且x ，*y ∈N ，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有()17，，()26，，()35，，()44，，故A B 中元素的个数为4.故选：C .【考点】集合的交集运算，交集定义的理解 2.【答案】D【解析】利用复数的除法运算求出z 即可.因为()()113131313131010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i=-的虚部为310.故选：D . 【考点】复数的除法运算，复数的虚部的定义 3.【答案】B【解析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组的标准差最大.故选：B . 【考点】标准差的大小比较，方差公式的应用 4.【答案】C【解析】将t t *=代入函数()()0.23531t K I t e --=+结合()0.95I t K *=求得t *即可得解.()()0.23531t K I t e --=+，所以()()0.23530.951t KI t K e**--==+，则()*0.235319t e -=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *+≈≈.故选：C .【考点】对数的运算，指数与对数的互化 5.【答案】B【解析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4DOx EOx π∠=∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.因为直线2x =与抛物线()220y px p =＞交于E ，D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()22D ，，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为102⎛⎫⎪⎝⎭，，故选：B .【考点】圆锥曲线，直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标 6.【答案】D【解析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos a a b +，的值.5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-，因此，()1919cos 5735a a ba ab a a b⋅++===⨯⋅+，.故选：D . 【考点】平面向量夹角余弦值的计算，平面向量数量积的计算，向量模的计算 7.【答案】A【解析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案.在ABC △中，2cos 3C =，4AC =，3BC =.根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅，2224322433AB =+-⨯⨯⨯，可得29AB =，即3AB =.由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯，故1cos 9B =.故选：A . 【考点】余弦定理解三角形8.【答案】C【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△,根据勾股定理可得：AB AD DB ===ADB ∴△是边长为,根据三角形面积公式可得：(211sin 6022ADBS AB AD =⋅⋅==△∴该几何体的表面积是：632=⨯++ 故选：C .【考点】根据三视图求立体图形的表面积，根据三视图画出立体图形 9.【答案】D【解析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan t θ=，1t ≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=.故选：D .【考点】利用两角和的正切公式化简求值 10.【答案】D【解析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.设直线l 在曲线y =(0x，则00x ＞，函数y导数为y '=，则直线l 的斜率k =，设直线l 的方程为)0y x x =-，即00xx -+=，由于直线l 与圆2215x y +=相切，则=，两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x=，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.故选：D .【考点】导数的几何意义的应用，直线与圆的位置的应用 11.【答案】A【解析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.5ca=，c ∴，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=，1212142PF F PF S PF =⋅=△，即128PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()222122PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A .【考点】双曲线的性质以及定义的应用，勾股定理，三角形面积公式的应用 12.【答案】A【解析】由题意可得a 、b 、()01c ∈，，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458＜可得出45b ＜，由13log 8c =，得138c =，结合45138＜，可得出45c ＞，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.由题意可知a 、b 、()01c ∈，， ()222528log 3lg3lg81lg3lg8lg3lg8lg 241log 5lg5lg522lg5lg 25lg5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅⋅==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＜＜，a b ∴＜；由8log 5b =，得85b =，由5458＜，得5488b ＜，54b ∴＜，可得45b ＜；由13log 8c =，得138c =，由45138＜，得451313c ＜，54c ∴＞，可得45c ＞.综上所述，a b c ＜＜.故选：A .【考点】对数式的大小比较，基本不等式、对数式与指数式的互化，指数函数单调性的应用二、填空题 13.【答案】7【解析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.不等式组所表示的可行域如图.因为32z x y =+，所以322x z y =-+，易知截距2z 越大，则z 越大，平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大，由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，()12A ，，所以max 31227z =⨯+⨯=.故答案为：7.【考点】简单线性规划的应用，求线性目标函数的最大值 14.【答案】240【解析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项.622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭其二项式展开通项：()()()621221236661222rrr r r r r r r r r C xC x C x x T x ---+-⎛⎫⋅⋅⋅⋅=⋅⎭= ⎝=⎪，当1230r -=，解得4r =，622x x ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为：240.【考点】二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项15. 【解析】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2BC =，3AB AC ==，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于AM ==122S =⨯⨯=△ABC r ，则：()11113322222ABC AOB BOC AOC S S S S AB r BC r AC r r =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯++⨯=△△△△r，其体积：343V r π=.. 16.【答案】②③【解析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-＜＜可判断命题④的正误.综合可得出结论.对于命题①，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622fπ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{}x x k k π≠∈Z ，，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-＜＜时，sin 0x ＜，()1sin 02sin f x x x=+＜＜，命题④错误.故答案为：②③.【考点】正弦型函数的奇偶性、对称性，最值的求解三、解答题17.【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，当1n =时，13a =成立；假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，()()134321423211k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立.则对任意的*n ∈N ，都有21n a n =+成立.（2）()12122n n S n +=-⋅+【解析】（1）利用递推公式得出2a ，3a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可.由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+，证明如下：当1n =时，13a =成立；假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，()()134321423211k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立.则对任意的*n ∈N ，都有21n a n =+成立；（2）由错位相减法求解即可.由（1）可知，()2212n nn a n ⋅=+⋅，()()231325272212212n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，①()()23412325272212212n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②，由-①②得：()()()()()21231112126222221262212122212n n n n n n S n n n -+++--=+⨯+++-+⋅=+⨯-+⋅=⋅⨯---，即()12122n n S n +=-⋅+.【考点】求等差数列的通项公式，利用错位相减法求数列的和18.【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09 （2）350（3()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈＞，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【解析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率.由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=. （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果.由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=.（3）根据表格中的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，再结合临界值表可得结论.22⨯列联表如下：()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈＞，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【考点】利用频数分布表计算频率和平均数，独立性检验的应用19.【答案】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，长方体1111ABCD A B C D -中，AD BC ∥且AD BC =，11BB CC ∥且11BB CC =，112C G CG=12BF FB =，112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =，所以，四边形BCGF 平行四边形，则AF DG∥且AF DG =，同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1C E DG ∴∥且1C E DG =，1C E AF ∴∥且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内.（2）7【解析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内.在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，长方体1111ABCD A B C D -中，AD BC ∥且AD BC =，11BB CC ∥且11BB CC =，112C G CG=12BF FB =，112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =，所以，四边形BCGF 平行四边形，则AF DG∥且AF DG =，同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1C E DG ∴∥且1C E DG =，1C E AF ∴∥且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值.以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -，则()213A ，，、()1210A ，，、()202E ，，、()011F ，，，()011AE =--，，，()202AF =--，，，()1012A E =-，，，()1201A F =-，，，设平面AEF 的法向量为()111m x y z =，，，由00m AE m AF ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩=，得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-，得111x y ==，则()111m =-，，，设平面1A EF 的法向量为()222n x y z =，，，由1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取22z =，得21x =，24y =，则()142n =，，，3cos 3m n m n m n⋅===⨯⋅，，设二面角1A EF A--的平面角为θ，则cos θ=，sinθ∴==.因此，二面角1A EF A --.【考点】点在平面的证明，利用空间向量法求解二面角20.【答案】（1）221612525x y +=（2）52【解析】（1）因为()222:10525x y C m m+=＜＜，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案.()222:10525x y C m m +=＜＜，5a∴=，b m =，根据离心率4c e a ====，解得54m =或54m =-（舍），C ∴的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=. （2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ △的面积.点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N .根据题意画出图形，如图BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=，又90PBM QBN ∠+∠=，90BQN QBN ∠+∠=，PBM BQN ∴∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ()50B ∴，，651PM BN ∴==-=，设P 点为()P P x y ，，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，P ∴点为()31，或()31-，， ①当P 点为()31，时，故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，2MB NQ ∴==，可得：Q 点为()62，，画出图象，如图()50A -，，()62Q ，，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d ===，根据两点间距离公式可得：AQ =，APQ ∴△面积为：1522⨯=；②当P 点为()31-，时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，8MB NQ ∴==，可得：Q 点为()68，，画出图象，如图()50A -，，()68Q ，，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ 的距离为：d ===AQ ==APQ ∴△面积为：1522=，综上所述，APQ △面积为：52. 【考点】椭圆标准方程，三角形面积，椭圆的离心率定义，数形结合求三角形面积 21.【答案】（1）34b =-（2）由（1）可得()334f x x x c =-+，()231133422f x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，令()0f x '＞，得12x ＞或12x -＜；令()0f x '＜，得1122x -＜＜，所以()f x 在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，且()114f c -=-，1124f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，1124f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()114f c =+，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则()10f -＞或()10f ＜，即14c ＞或14c -＜.当14c ＞时，()1104f c -=-＞，11024f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭＞，11024f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞，()1104f c =+＞，又()()32464341160f c c c c c c -=-++=-＜，由零点存在性定理知()f x 在()41c --，上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在()1-∞-，上存在唯一一个零点，在()1-+∞，上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c -＜时，()1104f c -=-＜，11024f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭＜，11024f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜，()1104f c =+＜，又()()32464341160f c c c c c c -=++=-＞，由零点存在性定理知()f x 在()14c -，上存在唯一一个零点0x '，即()f x 在()1+∞，上存在唯一一个零点，在()1-∞，上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【解析】（1）利用导数的几何意义得到102f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，解方程即可.因为()23f x x b '=+，由题意，102f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，即21302b ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，则34b =-；（2）由（1）可得()231132422f x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，易知()f x 在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，且()114f c -=-，1124f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，1124f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()114f c =+，采用反证法，推出矛盾即可.由（1）可得()334f x x x c =-+，()231133422f x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，令()0f x '＞，得12x ＞或12x -＜；令()0f x '＜，得1122x -＜＜，所以()f x 在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，且()114f c -=-，1124f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，1124f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()114f c =+，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则()10f -＞或()10f ＜，即14c ＞或14c -＜.当14c ＞时，()1104f c -=-＞，11024f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭＞，11024f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞，()1104f c =+＞，又()()32464341160f c c c c c c -=-++=-＜，由零点存在性定理知()f x 在()41c --，上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在()1-∞-，上存在唯一一个零点，在()1-+∞，上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c -＜时，()1104f c -=-＜，11024f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭＜，11024f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜，()1104f c =+＜，又()()32464341160f c c c c c c -=++=-＞，由零点存在性定理知()f x 在()14c -，上存在唯一一个零点0x '，即()f x 在()1+∞，上存在唯一一个零点，在()1-∞，上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1. 【考点】利用导数研究函数的零点，导数的几何意义，反证法22.【答案】（1）（2）3cos sin 120ρθρθ-+=【解析】（1）由参数方程得出A ，B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值.令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即()012A ，.令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即()40B -，.AB ∴=（2）由A ，B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.由（1）可知()120304AB k -==--，则直线AB 的方程为()34y x =+，即3120x y -+=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【考点】利用参数方程求点的坐标，直角坐标方程化极坐标方程 23.【答案】（1）()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. a ，b ，c 均不为0，则2220a b c ++＞，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++＜. （2）不妨设{}max a b c a =，，，由0a b c ++=，1abc =可知，0a ＞，0b ＜，0c ＜，a b c =--，1a bc=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc ++++∴=⋅===≥.当且仅当b c =时，取等号，a ∴ {}3max 4a b c ，，.【解析】（1）由()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明.()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++.a ，b ，c 均不为0，则2220a b c ++＞，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++＜. （2）不妨设{}max a b c a =，，，由题意得出0a ＞，b ，0c ＜，由()222322b c b c bca aa bcbc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明.不妨设{}max a b c a =，，，由0a b c ++=，1abc =可知，0a ＞，0b ＜，0c ＜，a b c =--，1a bc=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc ++++∴=⋅===≥.当且仅当b c =时，取等号，a ∴{}3max 4a b c ，，.【考点】不等式的基本性质，基本不等式的应用2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅲ卷理科数学答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.由题意，A B 中的元素满足8y x x y ⎧⎨+=⎩≥，且x ，*y ∈N ，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有()17，，()26，，()35，，()44，，故A B 中元素的个数为4.故选：C .【考点】集合的交集运算，交集定义的理解 2.【答案】D【解析】利用复数的除法运算求出z 即可.因为()()113131313131010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i=-的虚部为310.故选：D . 【考点】复数的除法运算，复数的虚部的定义 3.【答案】B【解析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组的标准差最大.故选：B . 【考点】标准差的大小比较，方差公式的应用 4.【答案】C【解析】将t t *=代入函数()()0.23531t K I t e --=+结合()0.95I t K *=求得t *即可得解.()()0.23531t K I t e --=+，所以()()0.23530.951t KI t K e**--==+，则()*0.235319t e -=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *+≈≈.故选：C .【考点】对数的运算，指数与对数的互化 5.【答案】B【解析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4DOx EOx π∠=∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.因为直线2x =与抛物线()220y px p =＞交于E ，D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()22D ，，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为102⎛⎫⎪⎝⎭，，故选：B .【考点】圆锥曲线，直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标 6.【答案】D【解析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos a a b +，的值.5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-，因此，()1919cos 5735a a ba ab a a b⋅++===⨯⋅+，.故选：D . 【考点】平面向量夹角余弦值的计算，平面向量数量积的计算，向量模的计算 7.【答案】A【解析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案.在ABC △中，2cos 3C =，4AC =，3BC =.根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅，2224322433AB =+-⨯⨯⨯，可得29AB =，即3AB =.由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯，故1cos 9B =.故选：A . 【考点】余弦定理解三角形8.【答案】C【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△,根据勾股定理可得：AB AD DB ===ADB ∴△是边长为,根据三角形面积公式可得：(211sin 6022ADBS AB AD =⋅⋅==△∴该几何体的表面积是：632=⨯++ 故选：C .【考点】根据三视图求立体图形的表面积，根据三视图画出立体图形 9.【答案】D【解析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan t θ=，1t ≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=.故选：D .【考点】利用两角和的正切公式化简求值 10.【答案】D【解析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.设直线l 在曲线y =(0x，则00x ＞，函数y =导数为y '=l 的斜率k =，设直线l 的方程为)0y x x =-，即00xx -+=，由于直线l 与圆2215x y +=相切，则=，两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x=，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.故选：D .【考点】导数的几何意义的应用，直线与圆的位置的应用 11.【答案】A【解析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.5ca=，c ∴，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=，1212142PF F PF S PF =⋅=△，即128PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()222122PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A .【考点】双曲线的性质以及定义的应用，勾股定理，三角形面积公式的应用 12.【答案】A【解析】由题意可得a 、b 、()01c ∈，，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458＜可得出45b ＜，由13log 8c =，得138c =，结合45138＜，可得出45c ＞，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.由题意可知a 、b 、()01c ∈，， ()222528log 3lg3lg81lg3lg8lg3lg8lg 241log 5lg5lg522lg5lg 25lg5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅⋅==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＜＜，a b ∴＜；由8log 5b =，得85b =，由5458＜，得5488b ＜，54b ∴＜，可得45b ＜；由13log 8c =，得138c =，由45138＜，得451313c ＜，54c ∴＞，可得45c ＞.综上所述，a b c ＜＜.故选：A .【考点】对数式的大小比较，基本不等式、对数式与指数式的互化，指数函数单调性的应用二、填空题 13.【答案】7【解析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.不等式组所表示的可行域如图.因为32z x y =+，所以322x z y =-+，易知截距2z 越大，则z 越大，平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大，由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，()12A ，，所以max 31227z =⨯+⨯=.故答案为：7.【考点】简单线性规划的应用，求线性目标函数的最大值 14.【答案】240【解析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项.622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭其二项式展开通项：()()()621221236661222rrr r r r r r r r r C xC x C x x T x ---+-⎛⎫⋅⋅⋅⋅=⋅⎭= ⎝=⎪，当1230r -=，解得4r =，622x x ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为：240.【考点】二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项15. 【解析】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2BC =，3AB AC ==，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于AM ==122S =⨯⨯=△ABC r ，则：()11113322222ABC AOB BOC AOC S S S S AB r BC r AC r r =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯++⨯=△△△△r，其体积：343V r π=.. 16.【答案】②③【解析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-＜＜可判断命题④的正误.综合可得出结论.对于命题①，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622fπ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{}x x k k π≠∈Z ，，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-＜＜时，sin 0x ＜，()1sin 02sin f x x x=+＜＜，命题④错误.故答案为：②③.【考点】正弦型函数的奇偶性、对称性，最值的求解三、解答题17.【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，当1n =时，13a =成立；假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，()()134321423211k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立.则对任意的*n ∈N ，都有21n a n =+成立.（2）()12122n n S n +=-⋅+【解析】（1）利用递推公式得出2a ，3a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可.由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+，证明如下：当1n =时，13a =成立；假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，()()134321423211k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立.则对任意的*n ∈N ，都有21n a n =+成立；（2）由错位相减法求解即可.由（1）可知，()2212n nn a n ⋅=+⋅，()()231325272212212n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，①()()23412325272212212n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②，由-①②得：()()()()()21231112126222221262212122212n n n n n n S n n n -+++--=+⨯+++-+⋅=+⨯-+⋅=⋅⨯---，即()12122n n S n +=-⋅+.【考点】求等差数列的通项公式，利用错位相减法求数列的和18.【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09 （2）350（3()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈＞，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【解析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率.由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=. （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果.由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=.（3）根据表格中的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，再结合临界值表可得结论.22⨯列联表如下：()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈＞，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【考点】利用频数分布表计算频率和平均数，独立性检验的应用19.【答案】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，长方体1111ABCD A B C D -中，AD BC ∥且AD BC =，11BB CC ∥且11BB CC =，112C G CG=12BF FB =，112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =，所以，四边形BCGF 平行四边形，则AF DG∥且AF DG =，同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1C E DG ∴∥且1C E DG =，1C E AF ∴∥且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内.（2）7【解析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内.在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，长方体1111ABCD A B C D -中，AD BC ∥且AD BC =，11BB CC ∥且11BB CC =，112C G CG=12BF FB =，112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =，所以，四边形BCGF 平行四边形，则AF DG∥且AF DG =，同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1C E DG ∴∥且1C E DG =，1C E AF ∴∥且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值.以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -，则()213A ，，、()1210A ，，、()202E ，，、()011F ，，，()011AE =--，，，()202AF =--，，，()1012A E =-，，，()1201A F =-，，，设平面AEF 的法向量为()111m x y z =，，，由00m AE m AF ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩=，得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-，得111x y ==，则()111m =-，，，设平面1A EF 的法向量为()222n x y z =，，，由1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取22z =，得21x =，24y =，则()142n =，，，3cos 3m n m n m n⋅===⨯⋅，，设二面角1A EF A--的平面角为θ，则cos θ=，sinθ∴==.因此，二面角1A EF A --.【考点】点在平面的证明，利用空间向量法求解二面角20.【答案】（1）221612525x y +=（2）52【解析】（1）因为()222:10525x y C m m+=＜＜，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案.()222:10525x y C m m +=＜＜，5a∴=，b m =，根据离心率4c e a ====，解得54m =或54m =-（舍），C ∴的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=. （2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ △的面积.点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N .根据题意画出图形，如图BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=，又90PBM QBN ∠+∠=，90BQN QBN ∠+∠=，PBM BQN ∴∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ()50B ∴，，651PM BN ∴==-=，设P 点为()P P x y ，，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，P ∴点为()31，或()31-，， ①当P 点为()31，时，故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，2MB NQ ∴==，可得：Q 点为()62，，画出图象，如图()50A -，，()62Q ，，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d ===，根据两点间距离公式可得：AQ =，APQ ∴△面积为：1522⨯=；②当P 点为()31-，时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，8MB NQ ∴==，可得：Q 点为()68，，画出图象，如图()50A -，，()68Q ，，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ 的距离为：d ===AQ ==APQ ∴△面积为：1522=，综上所述，APQ △面积为：52. 【考点】椭圆标准方程，三角形面积，椭圆的离心率定义，数形结合求三角形面积 21.【答案】（1）34b =-（2）由（1）可得()334f x x x c =-+，()231133422f x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，令()0f x '＞，得12x ＞或12x -＜；令()0f x '＜，得1122x -＜＜，所以()f x 在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，且()114f c -=-，1124f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，1124f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()114f c =+，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则()10f -＞或()10f ＜，即14c ＞或14c -＜.当14c ＞时，()1104f c -=-＞，11024f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭＞，11024f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞，()1104f c =+＞，又()()32464341160f c c c c c c -=-++=-＜，由零点存在性定理知()f x 在()41c --，上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在()1-∞-，上存在唯一一个零点，在()1-+∞，上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c -＜时，()1104f c -=-＜，11024f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭＜，11024f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜，()1104f c =+＜，又()()32464341160f c c c c c c -=++=-＞，由零点存在性定理知()f x 在()14c -，上存在唯一一个零点0x '，即()f x 在()1+∞，上存在唯一一个零点，在()1-∞，上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【解析】（1）利用导数的几何意义得到102f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，解方程即可.因为()23f x x b '=+，由题意，102f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，即21302b ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，则34b =-；（2）由（1）可得()231132422f x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，易知()f x 在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，且()114f c -=-，1124f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，1124f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()114f c =+，采用反证法，推出矛盾即可.由（1）可得()334f x x x c =-+，()231133422f x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，令()0f x '＞，得12x ＞或12x -＜；令()0f x '＜，得1122x -＜＜，所以()f x 在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，且()114f c -=-，1124f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，1124f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()114f c =+，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则()10f -＞或()10f ＜，即14c ＞或14c -＜.当14c ＞时，()1104f c -=-＞，11024f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭＞，11024f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞，()1104f c =+＞，又()()32464341160f c c c c c c -=-++=-＜，由零点存在性定理知()f x 在()41c --，上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在()1-∞-，上存在唯一一个零点，在()1-+∞，上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c -＜时，()1104f c -=-＜，11024f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭＜，11024f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜，()1104f c =+＜，又()()32464341160f c c c c c c -=++=-＞，由零点存在性定理知()f x 在()14c -，上存在唯一一个零点0x '，即()f x 在()1+∞，上存在唯一一个零点，在()1-∞，上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1. 【考点】利用导数研究函数的零点，导数的几何意义，反证法22.【答案】（1）（2）3cos sin 120ρθρθ-+=【解析】（1）由参数方程得出A ，B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值.令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即()012A ，.令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即()40B -，.AB ∴=（2）由A ，B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.由（1）可知()120304AB k -==--，则直线AB 的方程为()34y x =+，即3120x y -+=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【考点】利用参数方程求点的坐标，直角坐标方程化极坐标方程 23.【答案】（1）()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. a ，b ，c 均不为0，则2220a b c ++＞，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++＜. （2）不妨设{}max a b c a =，，，由0a b c ++=，1abc =可知，0a ＞，0b ＜，0c ＜，a b c =--，1a bc=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc ++++∴=⋅===≥.当且仅当b c =时，取等号，a ∴ {}3max 4a b c ，，.【解析】（1）由()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明.()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++.a ，b ，c 均不为0，则2220a b c ++＞，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++＜. （2）不妨设{}max a b c a =，，，由题意得出0a ＞，b ，0c ＜，由()222322b c b c bca aa bcbc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明.不妨设{}max a b c a =，，，由0a b c ++=，1abc =可知，0a ＞，0b ＜，0c ＜，a b c =--，1a bc=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc ++++∴=⋅===≥.当且仅当b c =时，取等号，a ∴{}3max 4a b c ，，.【考点】不等式的基本性质，基本不等式的应用。

2020—2021年新高考总复习数学(理)第三次高考模拟试题及答案解析二.docx

2018年全国大联考高考数学三模试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1．设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N= ．2．已知数列{a n}为等差数列，其前9项和为S9=54，则a5= ．3．用12米的绳子围成一个矩形，则这个矩形的面积最大值为．4．在等比数列{a n}中，a1=2，若a1，2a2，a3+6成等差数列，则a n= ．5．若tanθ=1，则cos2θ= ．6．已知在等比数列{a n}中，a3+a6=4，a6+a9=，则a10+a13= ．7．若a＞0，b＞0，ab=4，当a+4b取得最小值时，= ．8．已知平面向量、，||=3，||=2且﹣与垂直，则与的夹角为．9．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值与最大值的和为．10．若对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为．11．已知在各项为正的等比数列{a n}中，a2与a8的等比中项为8，则4a3+a7取最小值时首项a1= ．12．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第16个图形中小正方形的个数是．13．在数列{a n}中，若存在一个确定的正整数T，对任意n∈N*满足a n+T=a n，则称{a n}是周期数列，T叫做它的周期．已知数列{x n}满足x1=1，x2=a（a≤1），x n+2=|x n+1﹣x n|，若数列{x n}的周期为3，则{x n}的前100项的和为．14．当x，y满足条件|x﹣1|+|y+1|＜1时，变量u=的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数f（x）=x2+ax+6．（1）当a=5时，解不等式f（x）＜0；（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．16．已知等差数列{a n}满足a2=3，a4+a5=16．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．17．已知向量=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），函数f（x）=•．①求f（x）的解析式和函数图象的对称轴方程；②在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，满足a+c≥2b，求f（B）的范围．18．某公司新研发了甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲种型号的机器需资金30万元，劳动力5人，可获利润6万元，生产一台乙种型号的机器需资金20万元，劳动力10人，可获利润8万元．若该公司每周有300万元的资金和110个劳动力可供生产这两种机器，那么每周这两种机器各生产多少台，才能使周利润达到最大，最大利润是多少？19．已知函数f（x）=（ax2﹣1）•e x，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1时取得极值，求a的值；（Ⅱ）当a≤0时，求函数f（x）的单调区间．20．已知等差数列{a n}、等比数列{b n}满足a1+a2=a3，b1b2=b3，且a3，a2+b1，a1+b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列．（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（2）按如下方法从数列{a n}和数列{b n}中取项：第1次从数列{a n}中取a1，第2次从数列{b n}中取b1，b2，第3次从数列{a n}中取a2，a3，a4，第4次从数列{b n}中取b3，b4，b5，b6，…第2n﹣1次从数列{a n}中继续依次取2n﹣1个项，第2n次从数列{b n}中继续依次取2n个项，由此构造数列{c n}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{c n}的前n项和为S n，求满足S n＜22014的最大正整数n．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1．设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N= [1，2）．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】求出集合M中不等式的解集，确定出集合M，找出M与N 解集的公共部分，即可求出两集合的交集．【解答】解：由集合M中不等式x2+x﹣6＜0，分解因式得：（x﹣2）（x+3）＜0，解得：﹣3＜x＜2，∴M=（﹣3，2），又N={x|1≤x≤3}=[1，3]，则M∩N=[1，2）．故答案为：[1，2）【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知数列{a n}为等差数列，其前9项和为S9=54，则a5= 6 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的求和公式以及等差数列的性质可得S9=9a5=54，解方程可得．【解答】解：由题意和等差数列的求和公式以及等差数列的性质可得前9项和S9===9a5=54，∴a5=6．故答案为：6．【点评】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题．3．用12米的绳子围成一个矩形，则这个矩形的面积最大值为9 ．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】设矩形的一边长为x，则临边长为6﹣x，其中0＜x＜6，矩形面积S=x（6﹣x），由基本不等式求最值可得．【解答】解：设矩形的一边长为x，则临边长为6﹣x，其中0＜x＜6，则矩形面积S=x（6﹣x）≤=9，当且仅当x=6﹣x即x=3时取等号．故答案为：9【点评】本题考查基本不等式简单实际应用，属基础题．4．在等比数列{a n}中，a1=2，若a1，2a2，a3+6成等差数列，则a n= 2n．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a1，2a2，a3+6成等差数列，可得4a2=a1+a3+6，运用等比数列的通项公式，计算即可得到．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1，2a2，a3+6成等差数列，可得4a2=a1+a3+6，即有8q﹣8﹣2q2=0，解得q=2，则a n=2×2n﹣1=2n．故答案为：2n．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题．5．若tanθ=1，则cos2θ= 0 ．【考点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】cos2θ==，代入计算可得结论．【解答】解：∵tanθ=1，∴cos2θ===0．故答案为：0【点评】本题考查二倍角的余弦公式，考查同角三角函数关系的运用，比较基础．6．已知在等比数列{a n}中，a3+a6=4，a6+a9=，则a10+a13= ．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知条件利用等比数列的通项公式求解．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，a3+a6=4，a6+a9=，∴==q3=，解得q=，∴a10+a13=（a6+a9）q4==．故答案为：．【点评】本题考查等比数列中的两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的通项公式的合理运用．7．若a＞0，b＞0，ab=4，当a+4b取得最小值时，= 4 ．【考点】基本不等式．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】由于a＞0，b＞0，ab=4，则a=，a+4b=+4b，运用基本不等式，即可得到最小值，求出等号成立的条件，即可得到．【解答】解：由于a＞0，b＞0，ab=4，则a=，a+4b=+4b≥2=8，当且仅当b=1，a=4，即=4时，取得最小值8．故答案为：4．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．8．已知平面向量、，||=3，||=2且﹣与垂直，则与的夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】首先利用向量垂直得到两个向量的关系，然后利用平面向量的数量积的个公式求向量的夹角．【解答】解：因为平面向量、，||=3，||=2且﹣与垂直，所以（）•=0，所以，所以cos＜＞====，所以＜＞=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量垂直的性质运用以及平面向量数量积的应用求向量的夹角．9．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值与最大值的和为30 ．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出可行域，如图所示：由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过x+y=3与2x﹣y=3的交点（2，1）时，有最小值2×2+3=7，经过x﹣y+1=0与2x﹣y=3的交点（4，5）时，有最大值2×4+3×5=23，则最小值与最大值的和为7+23=30．故答案为：30．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10．若对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为[，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由x＞0，=，运用基本不等式可得最大值，由恒成立思想可得a的范围．【解答】解：由x＞0，=≤=，当且仅当x=2时，取得最大值．所以要使不等式≤a恒成立，则a≥，即实数a的取值范围为[，+∞）．故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查函数的恒成立问题的解法，注意运用基本不等式求得最值，考查运算能力，属于中档题．11．已知在各项为正的等比数列{a n}中，a2与a8的等比中项为8，则4a3+a7取最小值时首项a1= 2 ．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a5=8，可得4a3+a7=+8q2，由基本不等式和等比数列的通项公式可得．【解答】解：由题意知a2a8=82=，∴a5=8，设公比为q（q＞0），则4a3+a7=+a5q2=+8q2≥2=32，当且仅当=8q2，即q2=2时取等号，此时a1==2．故答案为：2．【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及基本不等式求最值，属基础题．12．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第16个图形中小正方形的个数是136 ．【考点】归纳推理．【专题】计算题；推理和证明．【分析】由a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，a4﹣a3=4，可推测a n﹣a n﹣1=n，以上式子累加，结合等差数列的求和公式可得答案．【解答】解：a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，所以a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，a4﹣a3=4，…，a n﹣a n﹣1=n，等式两边同时累加得a n﹣a1=2+3+…+n，即a n=1+2+…+n=，所以第16个图形中小正方形的个数是136．故答案为：136．【点评】本题考查归纳推理，由数列的前几项得出a n﹣a n﹣1=n是解决问题的关键，属基础题．13．在数列{a n}中，若存在一个确定的正整数T，对任意n∈N*满足a n+T=a n，则称{a n}是周期数列，T叫做它的周期．已知数列{x n}满足x1=1，x2=a（a≤1），x n+2=|x n+1﹣x n|，若数列{x n}的周期为3，则{x n}的前100项的和为67 ．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知条件推导出x3=1﹣a，x4=|1﹣2a|，且x4=x1，从而得a=0或a=1．由此能求出{x n}的前100项的和．【解答】解：由x n+2=|x n+1﹣x n|，得x3=|x2﹣x1|=|a﹣1|=1﹣a，x4=|x3﹣x2|=|1﹣2a|，∵数列{x n}的周期为3，∴x4=x1，即|1﹣2a|=1，解得a=0或a=1．当a=0时，数列为1，0，1，1，0，1，…，∴S100=2×33+1=67．当a=1时，数列为1，1，0，1，1，0，…，∴S100=2×33+1=67．综上：{x n}的前100项的和为67．故答案为：67．【点评】本题考查数列的前100项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的周期性和分类讨论思想的合理运用．14．当x，y满足条件|x﹣1|+|y+1|＜1时，变量u=的取值范围是（﹣，）．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据分式的性质，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式|x﹣1|+|y+1|＜1对应的区域如图：u==，则u的几何意义表示点M（1，2）与点P（x，y）两点连线的斜率的倒数．画出可行域如图，当点P为区域内的点（0，﹣1）时，u max=，当点P为区域内的点（2，﹣1）时，u min=，故u的取值范围是（﹣，），故答案为：（﹣，）．【点评】本题主要考查线性规划好斜率的几何意义的应用，作出不等式组对应的平面区域是解决本题的关键．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数f（x）=x2+ax+6．（1）当a=5时，解不等式f（x）＜0；（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】（1）首先把一元二次不等式变为x2+5x+6＜0，然后运用因式分解即可解得不等式的解集；（2）要使一元二次不等式x2+ax+6＞0的解集为R，只需△＜0，求出实数a的取值范围即可．【解答】解：（1）∵当a=5时，不等式f（x）＜0即x2+5x+6＜0，∴（x+2）（x+3）＜0，∴﹣3＜x＜﹣2．∴不等式f（x）＜0的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}（2）不等式f（x）＞0的解集为R，∴x的一元二次不等式x2+ax+6＞0的解集为R，∴△=a2﹣4×6＜0⇒﹣2＜a＜2∴实数a的取值范围是（﹣2，2）【点评】本题主要考查一元二次不等式，以及恒成立问题，同时考查了转化的思想，属于基础题．16．已知等差数列{a n}满足a2=3，a4+a5=16．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知条件利用等差数列的通项公式列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出{a n}的通项公式．（2）由已知条件推导出数列{b n}是以1为首项，4为公比的等比数列，由此能求出数列{b n}的前n项和．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，∵等差数列{a n}满足a2=3，a4+a5=16．∴由题意得，解得a1=1，d=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1，即{a n}的通项公式为a n=2n﹣1．（2）由（1）知b n=22n﹣2，b1=1，∴=4，∴数列{b n}是以1为首项，4为公比的等比数列，∴数列{b n}的前n项和T n==．【点评】本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．17．已知向量=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），函数f（x）=•．①求f（x）的解析式和函数图象的对称轴方程；②在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，满足a+c≥2b，求f（B）的范围．【考点】平面向量数量积的运算；余弦定理．【专题】三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】①利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得：函数f（x）=•=，由，即可解得函数图象的对称轴方程．②由余弦定理可得：，再利用基本不等式可得，可得，∈.．即可得出函数f（B）的值域．【解答】解：①函数f（x）=•===，由，解得，即（k∈Z）．∴函数图象的对称轴方程为（k∈Z）．②由余弦定理可得：=，当且仅当a=c时取等号．∴．∴∈．∴．∴f（B）=+1∈[2，3]．【点评】本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的图象与性质、基本不等式的性质、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．18．某公司新研发了甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲种型号的机器需资金30万元，劳动力5人，可获利润6万元，生产一台乙种型号的机器需资金20万元，劳动力10人，可获利润8万元．若该公司每周有300万元的资金和110个劳动力可供生产这两种机器，那么每周这两种机器各生产多少台，才能使周利润达到最大，最大利润是多少？【考点】简单线性规划的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】首先由题意设每周生产甲种机器x台，乙种机器y台，周利润z万元，列出可行域以及目标函数，求目标函数的最值．【解答】解：设每周生产甲种机器x台，乙种机器y台，周利润z万元，则目标函数为z=6x+8y．作出不等式组表示的平面区域，且作直线l：6x+8y=0，即3x+4y=0，如图：把直线l：3x+4y=0向右上方平移至l3的位置时，直线l3过可行域上的点M时直线的截距最大，即z取最大值，解方程组（x≥0，y≥0，x，y∈Z）得，所以点M坐标为（4，9），将x=4，y=9代入目标函数z=6x+8y得最大值z=6×4+8×9=96（万元）．所以每周应生产甲种机器4台、乙种机器9台时，公司可获得最大利润为96万元．【点评】本题考查了线性规划问题的应用；关键是由题意抽象数学模型，正确建立约束条件和目标函数，画出可行域，求最优解．19．已知函数f（x）=（ax2﹣1）•e x，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1时取得极值，求a的值；（Ⅱ）当a≤0时，求函数f（x）的单调区间．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】（I）对函数f（x）进行求导，令导函数在x=1处的值为0，列出方程，求出a，（II）求出导函数，设g（x）=ax2+2ax﹣1，对a的值进行分类讨论结合二次函数的性质研究f′（x）；最后令f′（x）＞0求出递增区间，令f′（x）＜0求出递减区间．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=（ax2+2ax﹣1）•e x．x∈R…依题意得f'（1）=（3a﹣1）•e=0，解得．经检验符合题意．…（Ⅱ）f'（x）=（ax2+2ax﹣1）•e x，设g（x）=ax2+2ax﹣1，（1）当a=0时，f（x）=﹣e x，f（x）在（﹣∞，+∞）上为单调减函数．…（2）当a＜0时，方程g（x）=ax2+2ax﹣1=0的判别式为△=4a2+4a，令△=0，解得a=0（舍去）或a=﹣1．1°当a=﹣1时，g（x）=﹣x2﹣2x﹣1=﹣（x+1）2≤0，即f'（x）=（ax2+2ax﹣1）•e x≤0，且f'（x）在x=﹣1两侧同号，仅在x=﹣1时等于0，则f（x）在（﹣∞，+∞）上为单调减函数．…2°当﹣1＜a＜0时，△＜0，则g（x）=ax2+2ax﹣1＜0恒成立，即f'（x）＜0恒成立，则f（x）在（﹣∞，+∞）上为单调减函数．…3°a＜﹣1时，△=4a2+4a＞0，令g（x）=0，方程ax2+2ax﹣1=0有两个不相等的实数根，，作差可知，则当时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）在上为单调减函数；当时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）在上为单调增函数；当时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）在上为单调减函数．…综上所述，当﹣1≤a≤0时，函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，+∞）；当a＜﹣1时，函数f（x）的单调减区间为，，函数f（x）的单调增区间为．…【点评】本题考查利用导函数的符号判断函数的单调性、考查函数在某点取得极值的条件、考查等价转化的数学思想方法．20．已知等差数列{a n}、等比数列{b n}满足a1+a2=a3，b1b2=b3，且a3，a2+b1，a1+b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列．（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（2）按如下方法从数列{a n}和数列{b n}中取项：第1次从数列{a n}中取a1，第2次从数列{b n}中取b1，b2，第3次从数列{a n}中取a2，a3，a4，第4次从数列{b n}中取b3，b4，b5，b6，…第2n﹣1次从数列{a n}中继续依次取2n﹣1个项，第2n次从数列{b n}中继续依次取2n个项，…由此构造数列{c n}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{c n}的前n项和为S n，求满足S n＜22014的最大正整数n．【考点】数列的应用；等比数列的性质．【专题】综合题；等差数列与等比数列；不等式．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，根据题意，求出a1与d以及b1与q的值，即可得出{a n}与{b n}的通项公式；（2）分析数列{c n}项的特征：第n组中，有2n﹣1项选取于数列{a n}，有2n项选取于数列{b n}，前n组共有n2项选取于数列{a n}，有n2+n项选取于数列{b n}，它们的总和P n=+﹣2；求出符合不等式S n＜22014的最大n值即可．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，依题意，得；解得a1=d=1，b1=q=2；故a n=n，b n=2n；（2）将a1，b1，b2记为第1组，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6记为第2组，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12记为第3组，…；以此类推，则第n组中，有2n﹣1项选取于数列{a n}，有2n项选取于数列{b n}，前n组共有n2项选取于数列{a n}，有n2+n项选取于数列{b n}，记它们的总和为P n，并且有P n=+﹣2；则P45﹣22014=+22071﹣22014﹣2＞0，P44﹣22014=﹣21981（233﹣1）﹣2＜0；当S n=+（2+22+…+22012）时，S n﹣22014=﹣22013﹣2+＜0；当S n=+（2+22+…+22013）时，S n﹣22014=﹣2+＞0；可得到符合S n＜22014的最大的n=452+2012=4037．【点评】本题考查了等差与等比数列的综合应用问题，也考查了不等式的性质与应用问题，考查了阅读理解与分析、综合能力的应用问题，是较难的题目．。

2020-2021学年高三数学（理科）第一次高考模拟考试试题及答案解析

2020-2021学年⾼三数学（理科）第⼀次⾼考模拟考试试题及答案解析@学⽆⽌境！@绝密★启⽤前试卷类型：A 最新第⼀次⾼考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和⾮选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考⽣要务必填写答题卷上的有关项⽬。

2．选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。

3．⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题⽬指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案⽆效。

4．考⽣必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）⼀.选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数⼜是减函数的是（）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（）@学⽆⽌境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ?∈R ，”，则?p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ?∈++的否定是：“210x x x ?∈++D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的⼀条对称轴⽅程可以为（） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年⾼中⽣技能⼤赛中三所学校分别有3名、2名、1名学⽣获奖，这6名学⽣要排成⼀排合影，则同校学⽣排在⼀起的概率是（）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执⾏如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某⼏何体的三视图(单位：cm )如图所⽰，则该⼏何体的体积（）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ??? ?-321的展开式中存在常数项，则n 可以为（） A ．8 9 C ．10 D. 11 11．=∠=?==?C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （）A ．?60B ．C ．?150D ．?120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其⽣动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最⼩值，则当,c b 的值分别为⽅程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（⾮选择题，共90分）⼆.填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题 5分，共20分.13．⼀个长⽅体⾼为5，底⾯长⽅形对⾓线长为12，则它外接球的表⾯积为@学⽆⽌境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截⾯是抛物线的⼀部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯⼝直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ，则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满⾜条件>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===?且的⼀个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本⼤题共5⼩题，每题12分共60分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.17．（本⼩题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满⾜n b n n a a a a 2222233221=++++(1)求数列{}n b 的通项； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。

2020年全国卷Ⅲ数学(理科)(解析版)

2020年全国卷Ⅲ数学(理科)（解析版）本试卷共23题(含选考题)．全卷满分150分．考试用时120分钟．一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析选C.A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，y ≥x }＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}．故选C. 2．复数11－3i 的虚部是( )A ．－310B ．－110C.110D ．310解析选D.z ＝11－3i＝1＋3i 10＝110＋310i ，虚部为310.故选D.3．在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p 1，p 2，p 3，p 4，且∑i ＝14p i ＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( ) A ．p 1＝p 4＝0.1，p 2＝p 3＝0.4 B ．p 1＝p 4＝0.4，p 2＝p 3＝0.1 C ．p 1＝p 4＝0.2，p 2＝p 3＝0.3 D ．p 1＝p 4＝0.3，p 2＝p 3＝0.2解析选B.X 的可能取值为1,2,3,4，四种情形的数学期望E (X )＝1×p 1＋2×p 2＋3×p 3＋4×p 4都为2.5，方差D (X )＝[1－E (X )]2×p 1＋[2－E (X )]2×p 2＋[3－E (X )]2×p 3＋[4－E (X )]2×p 4，标准差为D (X ).A 选项的方差D (X )＝0.65；B 选项的方差D (X )＝1.85；C 选项的方差D (X )＝1.05；D 选项的方差D (X )＝1.45.可知选项B 的情形对应样本的标准差最大．故选B.4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K1＋e－0.23(t －53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( ) A ．60 B ．63 C ．66D ．69解析选C.因为I (t )＝K 1＋e －0.23(t －53)，所以当I (t *)＝0.95K 时，K 1＋e －0.23(t *－53)＝0.95K ⇒11＋e －0.23(t *－53)＝0.95⇒1＋e －0.23(t *－53)＝10.95⇒e －0.23(t *－53)＝10.95－1⇒e0.23(t *－53)＝19⇒0.23(t *－53)＝ln 19⇒t *＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.故选C. 5．设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，0 B ．⎝⎛⎭⎫12，0 C ．(1,0)D ．(2,0)解析选B.方法1：∵抛物线C 关于x 轴对称，∴D ，E 两点关于x 轴对称．可得出直线x ＝2与抛物线的两交点的坐标分别为(2,2p )，(2，－2p )．不妨设D (2,2p )，E (2，－2p )，则OD →＝(2,2p )，OE →＝(2，－2p )．又∵OD ⊥OE ，∴OD →·OE →＝4－4p ＝0，解得p ＝1，∴C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0.故选B.方法2：∵抛物线C 关于x 轴对称，∴D ，E 两点关于x 轴对称．∵OD ⊥OE ，∴D ，E 两点横、纵坐标的绝对值相等．不妨设点D (2,2)，将点D 的坐标代入C ：y 2＝2px ，得4＝4p ，解得p ＝1，故C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0.故选B.6．已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉＝( ) A ．－3135B ．－1935C.1735D ．1935解析选D.∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49，∴|a ＋b |＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935.故选D.7．在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B ＝( )A.19 B ．13C.12D ．23解析选A.由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，所以AB ＝3，所以cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19.故选A.8．右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( ) A ．6＋42 B ．4＋42 C ．6＋23 D ．4＋23解析选C.如图，该几何体为其中三个面是腰长为2的等腰直角三角形、第四个面是边长为22的等边三角形的三棱锥，所以该几何体的表面积为3×12×2×2＋12×22×22×32＝6＋2 3.故选C.9．已知2tan θ－tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝7，则tan θ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析选D.2tan θ－tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2tan θ－1＋tan θ1－tan θ＝7，解得tan θ＝2.故选D.10．若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x ＋12C ．y ＝12x ＋1D ．y ＝12x ＋12解析选D.圆x 2＋y 2＝15的圆心为原点，半径为55，经检验原点与选项A ，D 中的直线y ＝2x ＋1，y ＝12x ＋12的距离均为55，即两直线与圆x 2＋y 2＝15均相切，原点与选项B ，C 中的直线y ＝2x ＋12，y ＝12x ＋1的距离均不是55，即两直线与圆x 2＋y 2＝15均不相切，所以排除B ，C.将直线方程y ＝2x ＋1代入y ＝x ，得2(x )2－x ＋1＝0，判别式Δ<0，所以直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 不相切，所以排除A.故选D.11．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为 5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析选A.由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝5，c 2＝a 2＋b 2，得⎩⎨⎧c ＝5a ，b ＝2a ，∴|F 1F 2|＝2c ＝2 5 a ．∵△PF 1F 2中，F 1P ⊥F 2P ，∴|F 1P |2＋|F 2P |2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝20a 2.不妨设P 在C 的右支上，则|F 1P |－|F 2P |＝2a . ∵△PF 1F 2的面积为4，∴12|F 1P ||F 2P |＝4，即|F 1P |·|F 2P |＝8.∴(|F 1P |－|F 2P |)2＝|F 1P |2＋|F 2P |2－2|F 1P ||F 2P |＝20a 2－2×8＝4a 2，解得a ＝1.故选A.12．已知55<84,134<85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <aD ．c <a <b解析选A.∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58<⎝⎛⎭⎫log 53＋log 5822－1log 58＝⎝⎛⎭⎫log 52422－1log 58<⎝⎛⎭⎫log 52522－1log 58＝0，∴log 53<log 85.∵55<84,134<85，∴5log 85<4,4<5log 138，∴log 85<log 138，∴log 53<log 85<log 138，即a <b <c .故选A.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，2x －y ≥0，x ≤1，则z ＝3x ＋2y 的最大值为__________．解析作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．z ＝3x ＋2y 可化为y ＝－32x ＋12z .作直线y ＝－32x ，并平移该直线，易知当直线经过点A (1,2)时，z 最大，z max ＝7. 答案 714.⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是__________(用数字作答)．解析 ⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·⎝⎛⎭⎫2x r ＝C r 62r x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4，得常数项为C 4624＝240.答案 24015．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为__________．解析圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r .作出圆锥的轴截面P AB ，如图所示，则△P AB 的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△P AB 中，P A ＝PB ＝3，D 为AB 的中点，AB ＝2，E 为切点，则PD ＝22，△PEO ∽△PDB ，故PO PB ＝OE DB ，即22－r 3＝r 1，解得r ＝22，故内切球的体积为43π⎝⎛⎭⎫223＝23π. 答案23π 16．关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题：①f (x )的图象关于y 轴对称． ②f (x )的图象关于原点对称． ③f (x )的图象关于直线x ＝π2对称．④f (x )的最小值为2.其中所有真命题的序号是__________．解析 ∵f (x )＝sin x ＋1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，f (－x )＝sin(－x )＋1sin (－x )＝－f (x )，而f (－x )≠f (x )，∴f (x )为奇函数，不是偶函数，①错误，②正确．∵f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x ＋1cos x ，f ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos x ＋1cos x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＋x ，∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，③正确．当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0时，f (x )<0，④错误．故选②③. 答案 ②③三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答) (一)必考题：共60分．17．(12分)设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n . (1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； (2)求数列{2n a n }的前n 项和S n .解析 (1)解：a 2＝5，a 3＝7.猜想a n ＝2n ＋1. 证明：由已知可得a n ＋1－(2n ＋3)＝3[a n －(2n ＋1)]， a n －(2n ＋1)＝3[a n －1－(2n －1)]， …，a 2－5＝3(a 1－3)．因为a 1＝3，所以a n ＝2n ＋1. (2)解：由(1)得2n a n ＝(2n ＋1)2n ，所以S n＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n.①从而2S n＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1.②①－②得－S n＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)×2n＋1，所以S n＝(2n－1)2n＋1＋2.18．(12分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：(1)(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，.解析(1)解：由所给数据，得该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表：(2)1100(100×20＋300×35＋500×45)＝350.(3)解：根据所给数据，可得2×2列联表：人次≤400人次>400空气质量好 33 37 空气质量不好228根据列联表得 K 2的观测值k ＝100×(33×8－22×37)255×45×70×30≈5.820.由于5.820>3.841，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．19.(12分)如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱DD 1，BB 1上，且2DE ＝ED 1，BF ＝2FB 1. (1)证明：点C 1在平面AEF 内；(2)若AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，求二面角A EF A 1的正弦值．解析设AB ＝a ，AD ＝b ，AA 1＝c ，如图，以C 1为坐标原点，C 1D 1→的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系C 1xyz .(1)证明：连接C 1F .C 1(0,0,0)，A (a ，b ，c )，E ⎝⎛⎭⎫a ，0，23c ，F ⎝⎛⎭⎫0，b ，13c ，EA →＝⎝⎛⎭⎫0，b ，13c ，C 1F →＝⎝⎛⎭⎫0，b ，13c ，得EA →＝C 1F →，因为EA ∥C 1F ，即A ，E ，F ，C 1四点共面，所以点C 1在平面AEF 内．(2)解：由已知得A (2,1,3)，E (2,0,2)，F (0,1,1)，A 1(2,1,0)，AE →＝(0，－1，－1)，AF →＝(－2,0，－2)，A 1E →＝(0，－1,2)，A 1F →＝(－2,0,1)．设n 1＝(x ，y ，z )为平面AEF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AE →＝0，n 1·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y －z ＝0，－2x －2z ＝0，可取n 1＝(－1，－1,1)．设n 2为平面A 1EF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1E →＝0，n 2·A 1F →＝0，同理可取n 2＝⎝⎛⎭⎫12，2，1. 因为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－77，所以二面角A EF A 1的正弦值为427. 20．(12分)已知椭圆C ：x 225＋y 2m 2＝1(0<m <5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x ＝6上，且|BP |＝|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积．解析 (1)解：由题设可得25－m 25＝154，得m 2＝2516，所以C 的方程为x 225＋y 22516＝1.(2)解：设P (x P ，y P )，Q (6，y Q )，根据对称性可设y Q >0，由题意知y P >0.由已知可得B (5,0)，直线BP 的方程为y ＝－1y Q(x －5)，所以|BP |＝y P 1＋y 2Q ，|BQ |＝1＋y 2Q .因为|BP |＝|BQ |，所以y P ＝1.将y P ＝1代入C 的方程，解得x P ＝3或－3.由直线BP 的方程得y Q ＝2或8，所以点P ，Q 的坐标分别为P 1(3,1)，Q 1(6,2)；P 2(－3,1)，Q 2(6,8)．所以|P 1Q 1|＝10，直线P 1Q 1的方程为y ＝13x ，点A (－5,0)到直线P 1Q 1的距离为102，故△AP 1Q 1的面积为12×102×10＝52；|P 2Q 2|＝130，直线P 2Q 2的方程为y ＝79x ＋103，点A 到直线P 2Q 2的距离为13026，故△AP 2Q 2的面积为12×13026×130＝52.综上，△APQ 的面积为52.21．(12分)设函数f (x )＝x 3＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线与y 轴垂直．(1)求b ；(2)若f (x )有一个绝对值不大于1的零点，证明：f (x )所有零点的绝对值都不大于1. 解析 (1)解：f ′(x )＝3x 2＋b .依题意得f ′⎝⎛⎭⎫12＝0，即34＋b ＝0，故b ＝－34. (2)证明：由(1)知f (x )＝x 3－34x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－34.令f ′(x )＝0，解得x ＝－12或x ＝12.f ′(x )与f (x )的情况为：因为f (1)＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝c ＋14，所以当c <－14时，f (x )只有大于1的零点．因为f (－1)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝c －14，所以当c >14时，f (x )只有小于－1的零点．由题设可知－14≤c ≤14.当c ＝－14时，f (x )只有两个零点－12和1.当c ＝14时，f (x )只有两个零点－1和12.当－14<c <14时，f (x )有三个零点x 1，x 2，x 3，且x 1∈⎝⎛⎭⎫－1，－12，x 2∈⎝⎛⎭⎫－12，12，x 3∈⎝⎛⎭⎫12，1. 综上，若f (x )有一个绝对值不大于1的零点，则f (x )所有零点的绝对值都不大于1.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t －t 2，y ＝2－3t ＋t 2(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点． (1)求|AB |；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．解析 (1)解：因为t ≠1，由2－t －t 2＝0得t ＝－2，所以C 与y 轴的交点为(0,12)．由2－3t ＋t 2＝0得t ＝2，所以C 与x 轴的交点为(－4,0)．故|AB |＝410.(2)解：由(1)可知，直线AB 的直角坐标方程为x －4＋y12＝1，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得直线AB 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ＋12＝0. 23．[选修4－5：不等式选讲](10分) 设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1.(1)证明：ab ＋bc ＋ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 的最大值，证明：max{a ，b ，c }≥34. 解析 (1)证明：由题设可知a ，b ，c 均不为零，所以ab ＋bc ＋ca ＝12[(a ＋b ＋c )2－(a 2＋b 2＋c 2)]＝－12(a 2＋b 2＋c 2)<0.(2)证明：不妨设max{a ，b ，c }＝a .因为abc ＝1，a ＝－(b ＋c )，所以a >0，b <0，c <0. 由bc ≤(b ＋c )24，可得abc ≤a 34，当且仅当b ＝c ＝－a 2时取等号，故a ≥34，所以max{a ，b ，c }≥34.。

2020-2021学年度高考理科数学测试卷新课标全国卷Ⅲ卷(含答案)

1【原创】2020-2021学年度高考理科数学测试卷新课标全国卷III 卷【满分：150分】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，则集合中元素的个数为( )A.2B.3C.4D.52.复数为虚数单位)的共轭复数为，则的虚部是( )A.-1B.1C.-iD.i3.已知随机变量X 的分布列如下表，则X 的标准差为( )X 1 3 5P0.40.1xA.3.56B.C.3.2D.4.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年5.已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，为坐标原点，若，则抛物线的方程为( )A.B .C.D.6.已知均为单位向量，，则a 与b 的夹角为( )A.30° B .45° C.135° D.150°7.在中，角所对的边分别为，则的周长为( )A. B. C. D.8.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )A. 46B. 48C. 36D. 329.已知，则( )A.B. C. D.10.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是( ) A.B.C.D.11.已知点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为( ) A.9B.8C.D.12.函数的定义域为，若满足如下两个条件：(1)在内是单调函数；(2)存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“希望函数”.若函数是“希望函数”，则的取值范围是( )A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若实数满足约束条件，则目标函数的取值范围为____________.14.在的二项展开式中，常数项的值为_____________.15.已知底面为正方形的四棱锥的五个顶点在同一个球面上，，则四棱锥外接球的体积为________.16.若将函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为_______________.三、解答题：共70分。

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