1.2 散度-旋度-梯度

三度、三定理
1. 标量场、梯度 2. 矢量的通量、散度、高斯定理 3. 矢量的环流、旋度、斯托克斯定理 4. 亥姆霍兹定理
——“三度”、“三定 1
1. 标量场、梯度（1.7节）
标量场在空间的分布和变化规律 ——等值面，方向导数，梯度
等值面
标量场可以用一个标量函数表示：
u u(x, y, z) u(r)
——Stokes’s Law

( A) • dS A• dl
S
C
矢量场旋度在以曲线C为周界的曲面的面积分
＝该矢量沿包围该曲面的封闭曲线的线积分
31
小结： 谈谈梯度、散度和旋度
• 梯度：描述标量场，自身是矢量 • 散度：描述矢量场，自身是标量
– 描述矢量场的分量沿其自身方向的变化 – 表征场的发散特性
r
( • A)dv (3r 2)rdrddz
V
V

2
d
4
dz
5 (3r2 2r)dr
0
0
0
8 (r3 r2 ) |50 1200

A • ds A • ds A • ds A • ds
侧面
作业：1.10, 1.12, 1.14, 1.19, 1.18,1.21, 1.22
37

C
A • dl S


n
max
A
旋度的定义


rotA A
0
M
28
不同坐标系中旋度表示式
直角坐标系
v rotA
v ex
(
Az

Ay
)

v ey
(
Ax

Az
)

v ez
(
Ay

Ax
)
y z
z x
x y
v
A
evx evy evz
v A

R
r

P(x, y, z)
o
r
y
x
( 1 ) R
11
与场点
• 源点： (x, y, z) • 场点： (x, y, z)
源点 r'
O
R
r 场点
12
例题
距离矢量
R
r，求r 标量场
的梯1度
R
( 1 ) R
z
Q( x, y, z)

u ?
R
o
r
r
P(x, y, z)
33
4.亥姆霍兹定理(公理)
——Helmholtz Theorem
两个恒等式(可逆)
(1)标量场梯度的旋度为零
U 0 r
F无旋 0
(2)矢量场旋度的散度为零

• ( A) 0
• F无散 0
34
亥姆霍兹定理
定理的本质：
在空间有效区域τ内的任一矢量场F，由它的散度，旋度



x y z
Ax Ay Az
29
柱、球坐标系旋度
柱坐标系
ev ev evz
v A
1



z
A A Az
球坐标系
evR Rev R sin ev

v A

R2
1
sin
R




AR RA R sin A
30
斯托克斯定理（1.6节）
高斯定理也称为散度定理
23
例题（答案1200 )
在 矢由量r＝A(5，e•zrAr＝2)0dv，ezz＝2zA4围验• d成证s的散圆度柱定形理区域，对
V
•
A
1 r r
S
(r Ar )
1 A
r

Az z
3r 2
24
例题（答案1200 )
高斯定理 （1.4节）
散度定义

•
r A

r divA

lim V
0



r
Ñ A•
S
V
dsr





含义：单位体积的净流出通量
那么：

(
•
A)dv


A•
ds
V
S
22
高斯定理 —Gauss’s Law

(
•
A)dv


A•
ds
V
S
矢量场散度的体积分
＝该矢量穿过包围该体积的封闭曲面的总通量
• 旋度：描述矢量场，自身是矢量 - 描述矢量场的分量沿与其垂直方向的变化 - 表征场的旋转特性
32
微分算子及恒等式
u 0
uv • ( F ) 0
• u

2u x2

2u y 2

2u z 2

2u
uv
uv
uv
2 F ( • F ) F
0
负源
0
无源
17
散度
通量 描述整个体积“流量”的情况，
场中某一点附近的“流量”？
定义：单位体积的净流出的通量，称为散度

lim


A•
ds

divA
S


V

0

V

divA • A
18
散度的意义
1.矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的 函数
2.散度代表矢量场的通量源的分布特性
ex
x
y
o
x
M( x0 x, y0 y, z0 z)

l : l0 (cos ,cos ,cos )

ey
u l
M0
lim u(M ) u(M0 )
l 0
l
y u u cos u cos u cos
l x
y
z
vv
G l0
和边界条件唯一的确定，矢量场F可以表示成一个无源场
和一个无旋场之和
r
rr
F 两个特殊的场量之和＝F无旋＋F无散

＝ U＋ A
35
r
rr
F 两个特殊的场量之和＝F无散＋F无旋
矢场的基本微分方程 ——散度方程和旋度方程
r
rr
r

•
F r


• (Fr无散＋Fr无旋)


•
Fr无旋

直角坐标系中：
•
A
Ax

Ay

Az
x y z
柱面坐标系中： •
r A
1



( A )
1

A


Az z
球坐标系中：
•
A

1 R2

R
(R2

AR )

R
1
wk.baidu.com sin



( A
sin )

1
R sin

A

21
ev
(
d)

evzdz


ev


ev
1



evz
z
7
球坐标系：
dl ?
r dl

evRdR

ev
(R d)
ev
(R sin
d)
evR
R
ev
1 R


ev
1
R sin


8
不同坐标系下 U 的表示
直角坐标系中：
u

ex
u x

ey
u y

ez
u z
柱面坐标系中： u

ev
u

ev
1

u

evz
u z
球坐标系中：u
evR
u R
ev
1 R
u

ev
1
R sin
u

9
例题
已令知：：EV
V (R,
V
)

ery
y
'

erz
z
'
( 1 ) R
( 1 ) R
14
2.矢量的通量和散度 （1.3节）
矢量线（通量线）---线上每一点的切线方向与该点矢 量场的方向相同 单位空间内矢量线的个数代表该点场的大小
vv F dl 0
15
2.矢量的通量和散度
矢量场在某一有向曲面的面积分称为通过该面的通量。
不同坐标系下 的表示
直角坐标系中：


ex
x

ey
y

ez
z
柱面坐标系中：


ev


ev
1



evz
z
球坐标系中：

evR
R
ev
1 R


ev
1
R sin


6
柱面坐标系：
dl ?
r dl

ev d

A•dl 0

A•dl 0
C
C
A
无旋场
有旋场
27
矢量的 “旋度”
环量描述的是有向闭合曲线所围的区间环流
状态，是一个宏观量，场中某点
的环流状态？

lim
A• dl
C

S 0 S


rr
Ñ
r rotA

lim S
0

arn
等值面?
u u(x, y, z) u(r) C
b a
等值面
d c
2
方向导数
b
d
a
等值面 c
如何了解标量场 中某一点的标量 函数U沿某一方 向的变化情况？
方向导数：标量函数在给定点沿
U
某一方向对距离的变化率 l 3
方向导数 U
l

z
ez
z
l
M0 (x0 , y0 , z0 )
y
u

ex
u x

ey
u y

ez
u z
x
v R

rv

rv

evx
(x

x)

evy
(
y

y)

evz
(z

z)
vv
1
R
R0
( ) R


R3


R2
v R0
是
R
r单 r位 矢量
13
特例
( 1 ), R
( 1 ) ? R


erx
x '


r
F (F无散＋F无旋) F无散 J
矢场的基本积分方程 ——闭合面通量和闭合线环流
r Ñ F
•
dsr



•
r F无旋dv
Ñ S
rr F • dl
V

(

r F无散
)
•
dsr
36
C
S
本章总结
“三度”“三定理” Grad, Div,Curl
Gauss’s Law, Stokes’s Law Helmholtz Theorem
u l
|max
v G
grad
u

v G

evx
u x
evy
u y
evz
u z
4
标量的“梯度”
方向导数中沿那个方向 标量函数对距离的 变化率最大？
？“爬山”
b
d
a
等值面 c
同样的增量情况下，沿什么方向最陡”？
引入算子


evx
x

evy
y
evz
z
U gradU 哈密顿算符： Hamiltonian5
r
divA 0
有源
r
divA 0
有洞
r
divA 0
无源(无散)
19
直角坐标系中散度表达式
r divA

Ax

Ay

Az
x y z

(evx
x

evy
y

evz
z
)

(evx
Ax

evy Ay

evz
Az )
v
A
20
不同坐标系下散度的表示
V0

R

cos
求： E ?
直接法——球坐标系梯度公式！

E V ?
?


evR
R
ev
1 R


ev
1
R sin


E
V

eRV0
cos

eV0
s in
10
例题
距离矢量
R
r， 求r 标量场
的梯1度
R
z
Q( x, y, z)
上表面
下表面
S
r 2 2r * 4 |r5 2z * 25 |z4 0
1200 25
3.矢量的环量和旋度（1.5节）
矢量的环量(流)：矢量沿闭合曲线的标量线积分
矢量 A沿闭合路径 的C 环流＝
A

A•dl
C

dl

al dl
C
26
环流的应用
• 环流是描述场的性质的另外一个重要量


数学描述：矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分
通量(Flux)

vv A dS
s
s
v A
evndS

A cos θdS
s
dS
en dS
S
有向曲面：开表面， 右螺旋
C
闭合曲面，外法线
通量：穿过曲面s的矢量线的总数
16
通量的应用
• 判断闭合曲面内源的性质
0
正源