《函数的最大(小)值与导数》导学案

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《函数的最大(小)值与导数》教案完美版

《函数的最大（小）值与导数》教案§1.3.3 函数的最大(小)值与导数（1）【教学目标】1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤．【教学重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法．【教学难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．【教学过程】一、复习引入：1．极大值：一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点．2．极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点．3．极大值与极小值统称为极值注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．4．判别f (x 0)是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值．5．求可导函数f (x )的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x )；（2）求方程f ′(x )=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值．二、讲解新课：1．函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数x x f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．⒉利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4．例2 已知23()log x ax b f x x++=,x ∈(0,+∞)．是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由．解：设g (x )=xb ax x ++2 ∵f (x )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数∴g (x )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数．∴⎩⎨⎧==3)1(0)1('g g ∴⎩⎨⎧=++=-3101b a b 解得⎩⎨⎧==11b a 经检验，a =1,b =1时，f (x )满足题设的两个条件．四、课堂练习：1．下列说法正确的是( )A ．函数的极大值就是函数的最大值B ．函数的极小值就是函数的最小值C ．函数的最值一定是极值D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值2．函数y =f (x )在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′(x ) ( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．以上都有可能3．函数y =234213141x x x ++，在［－1，1］上的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－1 D ．1213 4．函数y =122+-x x x 的最大值为( ) A ．33 B ．1 C ．21 D ．23 5．设y =|x |3,那么y 在区间［－3，－1］上的最小值是( )A ．27B ．－3C ．－1D ．16．设f (x )=ax 3－6ax 2+b 在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a >b ,则( )A ．a =2,b =29B ．a =2,b =3C ．a =3,b =2D ．a =－2,b =－3答案：1．D 2．A 3．A 4．A 5．D 6．B五、小结：⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；⑵函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；⑶闭区间[]b a ,上的连续函数一定有最值；开区间),(b a 内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．六、课后作业：§1.3.3 函数的最大(小)值与导数（2）【教学目标】1．进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；2．初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题．【教学重点】解有关函数最大值、最小值的实际问题．【教学难点】解有关函数最大值、最小值的实际问题．【教学过程】一、复习引入：1．极大值：一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点．2．极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点．3．极大值与极小值统称为极值．4．判别f (x 0)是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值．5．求可导函数f (x )的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) ；（2）求方程f ′(x )=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值．6．函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．（1）在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．7．利用导数求函数的最值步骤：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．二、讲解范例：例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为xcm ，则箱高602x h -=cm ，得箱子容积 260)(322x x h x x V -== )600(<<x ．令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x =0（舍去），x =40，并求得 V(40)=16000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值．答：当x =40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16000cm 3解法二：设箱高为xcm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积 x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略）由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值．例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πR h +2πR 2由V=πR 2h ，得2V h Rπ=，则 S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R+2πR 2 令 22()V s R R '=-+4πR=0 解得，R=32V π，从而h =2V R π=23()2V ππ=34V π=23V π即h =2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值．答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所x x xx6060x 60-2x 60-2x 60-2x x60-2x 6060用材料最省？提示：S =2Rh π+22R π⇒h =R R S ππ222- ⇒V (R )=R R S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭，利润221125(1004)2110088L R C q q q q q ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭(0100)q << 1214L q '=-+，令0L '=，即12104q -+=，求得唯一的极值点84q =．答：产量为84时，利润L 最大．三、课堂练习：1．函数y =2x 3－3x 2－12x +5在［0，3］上的最小值是___________．2．函数f (x )=sin 2x －x 在［－2π,2π］上的最大值为_____；最小值为_______． 3．将正数a 分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成______和___．4．使内接椭圆2222by a x +=1的矩形面积最大，矩形的长为_____，宽为_____． 5．在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为___时，它的面积最大．答案：1．－15 2．2π －2π 3．2a 2a 4．2a 2b 5．23R 四、小结：（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单．五、课后作业：1．有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？解：（1）正方形边长为x ,则V =（8－2x )·(5－2x )x =2(2x 3－13x 2+20x )(0<x <25) V ′=4(3x 2－13x +10)(0<x <25),V ′=0得x =1 根据实际情况，小盒容积最大是存在的，∴当x =1时，容积V 取最大值为18． 2．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得湿周l =AB +BC +CD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b ．解：由梯形面积公式，得S =21 (AD +BC )h ,其中AD =2DE +BC ，DE =33h ,BC =b ，∴AD =332h +b , ∴S =h b h h b h )33()2332(21+=+ ① ∵CD =h h 3230cos =︒,AB =CD ．∴l =h 32×2+b ②由①得b =33-h S h ,代入②,∴l =hS h h h S h +=-+333334 l ′=23h S -=0,∴h =43S , 当h <43S 时，l ′<0,h >43S 时，l ′>0． ∴h =43S 时，l 取最小值，此时b =S 3324．六、板书设计（略）七、教学后记：b。

导数与函数的极值、最值(经典导学案及练习答案详解)

§3.3导数与函数的极值、最值学习目标1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．知识梳理1．函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．(×)(2)函数的极小值一定是函数的最小值．(×)(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．(√)(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(×)教材改编题1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析由题意知只有在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．2．函数f (x )＝x 3－ax 2＋2x －1有极值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－6]∪[6，＋∞)B ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)C ．(－6，6)D ．[－6，6]答案 B解析 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋2，由题意知f ′(x )有变号零点，∴Δ＝(－2a )2－4×3×2>0，解得a >6或a <－ 6.3．若函数f (x )＝13x 3－4x ＋m 在[0,3]上的最大值为4，则m ＝________. 答案 4解析 f ′(x )＝x 2－4，x ∈[0,3]，当x ∈[0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0，所以f (x )在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f (0)＝m ，f (3)＝－3＋m .所以在[0,3]上，f (x )max ＝f (0)＝4，所以m ＝4.题型一利用导数求函数的极值问题命题点1 根据函数图象判断极值例1 (2022·广州模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(x －1)f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A ．函数f (x )有极大值f (－3)和f (3)B ．函数f (x )有极小值f (－3)和f (3)C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)答案 D解析由题图知，当x∈(－∞，－3)时，y>0，x－1<0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－3,1)时，y<0，x－1<0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,3)时，y>0，x－1>0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－1>0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减．所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．命题点2求已知函数的极值例2已知函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．解(1)因为f(x)＝x－1＋ae x，所以f′(x)＝1－ae x，又因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝0，即1－ae1＝0，所以a＝e.(2)由(1)知f′(x)＝1－ae x，当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，因此f(x)无极大值与极小值；当a>0时，令f′(x)>0，则x>ln a，所以f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，令f′(x)<0，则x<ln a，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且f(ln a)＝ln a，但是无极大值，综上，当a≤0时，f(x)无极大值与极小值；当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，但是无极大值．命题点3已知极值(点)求参数例3(1)(2022·大庆模拟)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＋b等于()A ．－7B ．0C ．－7或0D ．－15或6答案 A 解析由题意知，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f (x )在x ＝1处取得极值10，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3，检验知，当a ＝－3，b ＝3时，可得f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，此时函数f (x )单调递增，函数无极值点，不符合题意；当a ＝4，b ＝－11时，可得f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)，当x <－113或x >1时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－113<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ＝1时，函数f (x )取得极小值，符合题意．所以a ＋b ＝－7.(2)(2022·南京模拟)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )在区间(0，＋∞)上有两个极值，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，e)B.⎝⎛⎭⎫0，1eC.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫0，13 答案 C解析 f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎝⎛⎭⎫1x －a＝ln x ＋1－2ax ，由题意知ln x ＋1－2ax ＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实根，2a ＝ln x ＋1x，设g (x )＝ln x ＋1x，则g ′(x )＝1－(ln x ＋1)x 2＝－ln x x 2.当0<x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以g (x )的极大值为g (1)＝1，又当x >1时，g (x )>0，当x →＋∞时，g (x )→0，当x →0时，g (x )→－∞，所以0<2a <1，即0<a <12. 教师备选 1．(2022·榆林模拟)设函数f (x )＝x cos x 的一个极值点为m ，则tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4等于( ) A.m －1m ＋1B.m ＋1m －1C.1－m m ＋1D.m ＋11－m 答案 B解析由f ′(x )＝cos x －x sin x ＝0，得tan x ＝1x ，所以tan m ＝1m，故tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4＝1＋tan m 1－tan m ＝m ＋1m －1. 2．已知a ，b ∈R ，若x ＝a 不是函数f (x )＝(x －a )2(x －b )·(e x －1－1)的极小值点，则下列选项符合的是( )A ．1≤b <aB ．b <a ≤1C ．a <1≤bD ．a <b ≤1 答案 B解析令f (x )＝(x －a )2(x －b )(e x －1－1)＝0，得x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝1.下面利用数轴标根法画出f (x )的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析．对选项A ，若1≤b <a ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意；对选项B ，若b <a ≤1，由图可知x ＝a 不是f (x )的极小值点，符合题意；对选项C ，若a <1≤b ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意；对选项D ，若a <b ≤1，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意．思维升华根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1 (1)(2022·长沙模拟)若x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极大值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1 答案 C解析因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，故可得f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝e x －1[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]，因为x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，故可得f ′(1)＝0，即2a ＋2＝0，解得a ＝－1.此时f ′(x )＝e x －1(x 2＋x －2)＝e x －1(x ＋2)(x －1)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝1，由f ′(x )>0可得x <－2或x >1；由f ′(x )<0可得－2<x <1，所以f (x )在区间(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f (x )的极大值点为x ＝－2.则f (x )的极大值为f (－2)＝(4＋2－1)e －3＝5e －3.(2)(2022·芜湖模拟)函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫52，103B.⎣⎡⎭⎫52，103C.⎝⎛⎦⎤52，103D.⎣⎡⎦⎤2，103 答案 B解析 ∵f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)， ∴f ′(x )＝1x＋x －a ， ∵函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点， ∴y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点．令f ′(x )＝1x ＋x －a ＝0，得a ＝1x＋x . 设g (x )＝1x ＋x ，则g (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，在[1,3]上单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝2，又g ⎝⎛⎭⎫12＝52，g (3)＝103， ∴当52≤a <103时，y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点． ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫52，103.题型二利用导数求函数最值例4 已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )．(1)若a ＝1，求g (x )在区间[1，e]上的最大值；(2)求g (x )在区间[1，e]上的最小值h (a )．解 (1)∵a ＝1，∴g (x )＝ln x ＋x 2－3x ，∴g ′(x )＝1x ＋2x －3＝(2x －1)(x －1)x， ∵x ∈[1，e]，∴g ′(x )≥0，∴g (x )在[1，e]上单调递增，∴g (x )max ＝g (e)＝e 2－3e ＋1.(2)g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝a x ＋2x －(a ＋2)＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x＝(2x －a )(x －1)x. ①当a 2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上单调递增，h (a )＝g (1)＝－a －1； ②当1<a 2<e ，即2<a <2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上单调递增，h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a 2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上单调递减，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e. 综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.教师备选已知函数f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )有最大值M ，且M >a －4，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)可得f ′(x )＝1x－a ，当a <0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，综上所述，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无最大值，当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减，所以当x ＝1a时，f (x )取得最大值，即f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －a ×1a－2 ＝ln 1a－3＝－ln a －3，因此有－ln a －3>a －4，得ln a ＋a －1<0，设g (a )＝ln a ＋a －1，则g ′(a )＝1a＋1>0，所以g (a )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝0，所以g (a )<g (1)，得0<a <1，故实数a 的取值范围是(0,1)．思维升华 (1)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．(2)若所给的闭区间[a ，b ]含参数，则需对函数f (x )求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x )的最值．跟踪训练2 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径为r米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.解 (1)∵蓄水池的侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元，∴蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．由题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π，∴h ＝15r (300－4r 2)．从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．由h >0，且r >0，可得0<r <5 3.故函数V (r )的定义域为(0,53)．(2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)，令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上单调递增；当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上单调递减．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．课时精练1．若函数f (x )＝x 2＋2xe x 的极大值点与极小值点分别为a ，b ，则a ＋b 等于() A ．－4 B. 2C ．0D ．2答案 C解析 f ′(x )＝2－x 2e x ，当－2<x <2时，f ′(x )>0；当x <－2或x >2时，f ′(x )<0.故f (x )＝x 2＋2x ex 的极大值点与极小值点分别为2，－2，则a ＝2，b ＝－2，所以a ＋b ＝0.2．如图是函数y ＝f (x )的导函数的图象，下列结论中正确的是( )A ．f (x )在[－2，－1]上单调递增B ．当x ＝3时，f (x )取得最小值C ．当x ＝－1时，f (x )取得极大值D ．f (x )在[－1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减答案 D解析根据题图知，当x ∈(－2，－1)，x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(－1,2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以y ＝f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，故选项A 不正确，选项D 正确；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，选项C 不正确；当x ＝3时，f (x )不是取得最小值，选项B 不正确．3．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 2 答案 B解析由题意得，f ′(x )＝2x＋2ax －3， ∵f (x )在x ＝2处取得极小值，∴f ′(2)＝4a －2＝0，解得a ＝12， ∴f (x )＝2ln x ＋12x 2－3x ， f ′(x )＝2x ＋x －3＝(x －1)(x －2)x ，∴f (x )在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，∴f (x )的极大值为f (1)＝12－3＝－52. 4．(2022·重庆联考)函数f (x )＝x ＋2cos x 在[0，π]上的最大值为( )A ．π－2B.π6 C ．2D.π6＋ 3 答案 D解析由题意得，f ′(x )＝1－2sin x ，∴当0≤sin x ≤12，即x 在⎣⎡⎦⎤0，π6和⎣⎡⎦⎤5π6，π上时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增；当12<sin x ≤1，即x 在⎝⎛⎭⎫π6，5π6上时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴f (x )有极大值f ⎝⎛⎭⎫π6＝π6＋3，有极小值f ⎝⎛⎭⎫5π6＝5π6－3，而端点值f (0)＝2，f (π)＝π－2，则f ⎝⎛⎭⎫π6>f (0)>f (π)>f ⎝⎛⎭⎫5π6， ∴f (x )在[0，π]上的最大值为π6＋ 3. 5．(多选)已知x ＝1和x ＝3是函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x ＋k (a ，b ∈R )的两个极值点，且函数f (x )有且仅有两个不同零点，则k 值为( )A ．－43B.43 C ．－1D ．0 答案 BD解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意1,3是f ′(x )＝0的两个根，所以⎩⎨⎧ 1＋3＝－2b 3a ，1×3＝－33a，解得a ＝－13，b ＝2. 故f (x )＝－13x 3＋2x 2－3x ＋k . 易求得函数f (x )的极大值为f (3)＝k 和极小值为f (1)＝－43＋k .要使函数f (x )有两个零点，则f (x )极大值k ＝0或f (x )极小值－43＋k ＝0，所以k ＝0或k ＝43. 6．(多选)已知函数f (x )＝x ＋sin x －x cos x 的定义域为[－2π，2π)，则( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )在[0，π)上单调递增C ．f (x )恰有4个极大值点D ．f (x )有且仅有4个极值点答案 BD解析因为f (x )的定义域为[－2π，2π)，所以f (x )是非奇非偶函数，故A 错误；因为f (x )＝x ＋sin x －x cos x ，所以f ′(x )＝1＋cos x －(cos x －x sin x )＝1＋x sin x ，当x ∈[0，π)时，f ′(x )>0，则f (x )在[0，π)上单调递增，故B 正确；显然f ′(0)≠0，令f ′(x )＝0，得sin x ＝－1x，分别作出y ＝sin x ，y ＝－1x在区间[－2π，2π)上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f (x )在区间[－2π，2π)上的极值点的个数为4，且f (x )只有2个极大值点，故C 错误，D 正确．7．(2022· 潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f (x )＝________.答案 sin x (答案不唯一)解析正弦函数f (x )＝sin x 为奇函数，且存在极值．8．(2021·新高考全国Ⅰ)函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的最小值为________．答案 1解析函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的定义域为(0，＋∞)．①当x >12时，f (x )＝2x －1－2ln x ，所以f ′(x )＝2－2x ＝2(x －1)x，当12<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )min ＝f (1)＝2－1－2ln 1＝1；②当0<x ≤12时，f (x )＝1－2x －2ln x 在⎝⎛⎦⎤0，12上单调递减，所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－2ln 12＝2ln 2＝ln 4>ln e ＝1.综上，f (x )min ＝1. 9．已知函数f (x )＝ln x －2x －2x ＋1. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝f (x )－4＋a x ＋1＋2(a ∈R )，若x 1，x 2是函数g (x )的两个极值点，求实数a 的取值范围．解 (1)由题知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2(x ＋1)－2(x －1)(x ＋1)2＝(x －1)2x (x ＋1)2≥0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，当且仅当x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．(2)因为g (x )＝f (x )－4＋a x ＋1＋2＝ln x －a x ＋1，所以g ′(x )＝1x ＋a (x ＋1)2＝x 2＋(2＋a )x ＋1x (x ＋1)2(x >0)．由题意知x 1，x 2是方程g ′(x )＝0在(0，＋∞)内的两个不同的实数解．令h (x )＝x 2＋(2＋a )x ＋1，又h (0)＝1>0，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧－2－a >0，Δ＝(2＋a )2－4>0，解得a <－4，即实数a 的取值范围为(－∞，－4)． 10．(2022·珠海模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，其中e 为自然对数的底数．(1)若x ＝1为f (x )的极值点，求f (x )的单调区间和最大值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )的最大值是－3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解 (1)∵f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，∴f ′(x )＝1－ax x，由f ′(1)＝0，得a ＝1.∴f ′(x )＝1－x x， ∴x ∈(0,1)，f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]；f (x )的极大值为f (1)＝－1，也即f (x )的最大值为f (1)＝－1.(2)∵f (x )＝ln x －ax ，∴f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ， ①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )的最大值是f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >0，舍去；②当a >0时，由f ′(x )＝1x －a ＝1－axx ＝0，得x ＝1a ，当0<1a <e ，即a >1e 时，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，e 时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫1a ，e ，又f (x )在(0，e]上的最大值为－3，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－1－ln a ＝－3，∴a ＝e 2；当e ≤1a ，即0<a ≤1e 时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >1e ，舍去．综上，存在a 符合题意，此时a ＝e 2.11．若函数f (x )＝(x 2－a )e x 的两个极值点之积为－3，则f (x )的极大值为() A.6e 3 B ．－2eC ．－2e D.4e 2答案 A解析因为f (x )＝(x 2－a )e x ，所以f ′(x )＝(x 2＋2x －a )e x ，由f′(x)＝(x2＋2x－a)e x＝0，得x2＋2x－a＝0，由函数f(x)＝(x2－a)e x的两个极值点之积为－3，则由根与系数的关系可知，－a＝－3，即a＝3，所以f(x)＝(x2－3)e x，f′(x)＝(x2＋2x－3)e x，当x<－3或x>1时，f′(x)>0；当－3<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－3)上单调递增，在(－3,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极大值为f(－3)＝6 e3.12．函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29(a>0)，则a，b的值为()A．a＝2，b＝－29 B．a＝3，b＝2C．a＝2，b＝3 D．以上都不对答案 C解析函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，因为a>0，所以由f′(x)<0，计算得出0<x<4，此时函数单调递减，由f′(x)>0，计算得出x>4或x<0，此时函数单调递增，即函数在[－1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，即函数在x＝0处取得极大值同时也是最大值，则f(0)＝b＝3，则f(x)＝ax3－6ax2＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，则f(－1)>f(2)，即函数的最小值为f(2)＝－16a＋3＝－29，计算得出a＝2，b＝3.13．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则() A．a<b B．a>bC．ab<a2D．ab>a2答案 D解析当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知b>a.图1当a <0时，根据题意画出函数f (x )的大致图象，如图2所示，观察可知a >b .图2综上，可知必有ab >a 2成立．14．(2022·河南多校联考)已知函数f (x )＝2ln x ，g (x )＝x ＋2，若f (x 1)＝g (x 2)，则x 1－x 2的最小值为______．答案 4－2ln 2解析设f (x 1)＝g (x 2)＝t ，即2ln x 1＝t ，x 2＋2＝t ，解得x 1＝2e t ，x 2＝t －2，所以x 1－x 2＝2e t －t ＋2，令h (t )＝2e t －t ＋2，则h ′(t )＝21e 2t －1，令h ′(t )＝0，解得t ＝2ln 2，当t <2ln 2时，h ′(t )<0，当t >2ln 2时，h ′(t )>0，所以h (t )在(－∞，2ln 2)上单调递减，在(2ln 2，＋∞)上单调递增，所以h (t )的最小值为h (2ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2＝4－2ln 2，所以x 1－x 2的最小值为4－2ln 2.15．(多选)已知函数f (x )＝x ln x ＋x 2，x 0是函数f (x )的极值点，以下几个结论中正确的是( )A ．0<x 0<1eB ．x 0>1eC ．f (x 0)＋2x 0<0D ．f (x 0)＋2x 0>0答案 AD解析函数f (x )＝x ln x ＋x 2(x >0)，∴f ′(x )＝ln x ＋1＋2x ，∵x 0是函数f (x )的极值点，∴f ′(x 0)＝0，即ln x 0＋1＋2x 0＝0，∴f ′⎝⎛⎭⎫1e ＝2e >0，当x >1e时，f ′(x )>0， ∵当x →0时，f ′(x )→－∞，∴0<x 0<1e，即A 正确，B 不正确； f (x 0)＋2x 0＝x 0ln x 0＋x 20＋2x 0＝x 0(ln x 0＋x 0＋2)＝x 0(1－x 0)>0，即D 正确，C 不正确．16．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a ln x (a >0)．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2，不等式f (x 1)≥mx 2恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝2x －2＋a x ＝2x 2－2x ＋a x，x >0，一元二次方程2x 2－2x ＋a ＝0的Δ＝4(1－2a )，①当a ≥12时，f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当0<a <12时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1－1－2a 2>0，x 2＝1＋1－2a 2>0，所以当0<x <1－1－2a 2时， f ′(x )>0，f (x )单调递增，当1－1－2a 2<x <1＋1－2a 2时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >1＋1－2a 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．综上所述，当a ≥12时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当0<a <12时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－2a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－2a 2，＋∞. (2)由(1)知，0<a <12，x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝a 2，则0<x 1<12<x 2，由f (x 1)≥mx 2恒成立，得x 21－2x 1＋a ln x 1≥mx 2，即(1－x 2)2－2(1－x 2)＋2(1－x 2)x 2ln(1－x 2)≥mx 2，即m ≤x 2－1x 2＋2(1－x 2)ln(1－x 2)，记h (x )＝x －1x＋2(1－x )ln(1－x )， 1>x >12，则h ′(x )＝1x 2－2ln(1－x )－1>0⎝⎛⎭⎫1>x >12，故h (x )在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递增，h ⎝⎛⎭⎫12＝－32－ln 2，故m ≤－32－ln 2.。

《函数的最大(小)值与导数》参考教案

《函数的最大(小)值与导数》参考教案一、教学目标1. 让学生理解函数的最大值和最小值的概念，并掌握求解函数最大值和最小值的方法。

2. 让学生掌握导数的定义和性质，并能运用导数求解函数的极值。

3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 函数的最大值和最小值的概念。

2. 求解函数最大值和最小值的方法。

3. 导数的定义和性质。

4. 运用导数求解函数的极值。

5. 实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的最大值和最小值的求解方法，导数的定义和性质，运用导数求解函数的极值。

2. 教学难点：导数的运算规则，运用导数求解复杂函数的最大值和最小值。

四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的教学方法。

2. 使用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。

3. 引导学生通过合作、探究、实践等方式，提高解决问题的能力。

五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引入函数的最大值和最小值的概念。

2. 讲解：讲解求解函数最大值和最小值的方法，并举例演示。

3. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

4. 讲解：讲解导数的定义和性质，并举例演示。

5. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

6. 讲解：讲解如何运用导数求解函数的极值，并举例演示。

7. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

8. 讨论：分组讨论实际问题，运用所学知识解决问题。

9. 总结：对本节课的内容进行总结，回答学生提出的问题。

10. 作业：布置作业，巩固所学知识。

六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 练习题：评估学生在练习题中的表现，检验学生对知识的掌握程度。

3. 实际问题解决：评估学生在讨论实际问题时的表现，检验学生运用知识解决问题的能力。

4. 作业：评估学生的作业完成情况，检验学生对知识的掌握程度。

七、教学资源1. 教材：《数学分析》2. 多媒体课件3. 练习题4. 实际问题案例八、教学进度安排1. 第一课时：介绍函数的最大值和最小值的概念，讲解求解方法。

高二数学函数最大(小)值与导数导学案

课题1．函数的最大(小)值与导数（理科）课型：新讲课编号08姓名等级时间 2015-3-09主备人：二年级数学组备课组长段长署名使用说明及方法指导：1、课前达成预习教案，掌握基此题型；2、仔细限时规范书写，课上小组合作商讨，答疑解惑。

3、 A、 B 层所有掌握， C 层选做。

学习目标：1.理解最值的观点，认识函数的最值与极值的差别和联系．2．会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值．学习重、难点：1.相关函数的最值问题． (要点 )2.最值常与函数的极值以及函数的值域等联合考察．3.最值与函数的极值． (易混点 )使用说明及方法指导：1、预习课本 P29—31,联合函数极值弄清两则的差别与联系2、把课本记好此后在做本教案，不理解的部分做好标志温故夯基. 求函数f(x)的极值第一解方程f′ (x)＝ 0.当 f′ (x0)＝ 0 时，(1) 假如在 x0邻近的左边 ____________ ，右边 ___________，那么 f( x0)是函数的 _________；(2) 假如在x0邻近的左边 ____________ ，右边 __________ ，那么f( x0)是函数的 _________知新益能函数 f (x)在闭区间 [a， b]上的最值假如在区间 [a， b]上函数 y＝ f(x)的图象是一条连续不停的曲线，则该函数在[a ， b] 上一定能够取得 _________ 和 _________ ，并且函数的最值必在_________或 _______处获得．问题研究在区间 [ a， b]上，函数y＝ f(x)的图象是一条连续不停的曲线，在[a， b]上一定存在最值和极值吗？合作研究：研究一：求已知函数的最值求函数 y＝ f(x)在 [a， b]上的最值的步骤以下：(1)求函数 y＝ f(x)在 (a， b)内的极值；(2)将函数y＝ f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)， f(b)比较，此中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．例 1、求以下函数在给定区间上的最值：(1)f(x)＝ 2x3－ 3x2－ 12x＋ 5， x∈ [－ 2,3]；ππ(2)f(x)＝ sin2x－ x， x∈ [－2，2]．. 【思路点拨】要求区间[a，b]上函数的最值，只需求出函数在(a，b)内的极值，最后与端点处函数值比较大小即可．【解】(1)f′ (x)＝ 6x2－ 6x－ 12，令 f′ (x)＝ 0，则 6x2－ 6x－ 12＝ 0，即 x2－ x－ 2＝ 0，解得 x1＝－ 1， x2＝ 2.∵f(－ 1)＝ 12， f(2)＝－ 15， f(－ 2)＝ 1， f(3)＝－ 4，∴函数 f(x)＝ 2x3－ 3x2－ 12x＋ 5在 x∈ [－ 2,3]上的最大值为12，最小值为－ 15.2)f′ (x)＝ 2cos2x－ 1，令 f′ ( x)＝0，π πππ3ππ3π又 x∈ [－，]，得 x＝±，∵ f()＝－， f(－)＝－＋，226626626ππππππ又 f( )＝－， f (－ )＝，∴ [f(x)] max＝， [ f(x)]min＝－ .222222【思想总结】求解函数在固定区间上的最值，在娴熟掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几点：(1)对函数进行正确求导；(2)研究函数的单一性，正确确立极值和端点函数值；(3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类议论．变式训练1求以下各函数的最值．(1)f(x)＝－ x4＋ 2x2＋ 3， x∈ [－ 3,2]；－x x(2)f(x)＝ e－e，x∈ [0，a]，a为正常数．研究二、已知函数的最值求参数已知函数的最大值或最小值，也可利用导数，采纳待定系数法，列出字母系数的方程或方程组，解出字母系数，从而求出函数的分析式，从而能够研究函数的其余性质．例 2、 f(x)＝ ax3－ 6ax2＋ b(a>0) ， x∈ [ － 1,2]的最大值为 3，最小值是－ 29，求 a、 b 的值．【思路点拨】可先对 f(x)求导，确立 f(x)在 [－1,2]上的单一性及最值，再成立方程从而求得a， b 的值．【解】f′ (x)＝ 3ax2－ 12ax＝ 3a(x2－ 4x)．令 f ′ (x)＝ 0，得 x＝ 0， x＝ 4，∵ x∈ [－ 1,2]，∴ x＝ 0.∵a>0，∴ f(x)， f′ (x)随 x 变化状况以下表：x(－ 1,0)0(0,2)f′ (x)＋0－f(x)↗最大值 3↘∴当 x＝ 0时， f(x)取最大值，∴ b＝ 3.又 f (2)＝ 8a－ 24a＋ 3＝－ 16a＋ 3，f(－ 1)＝－ 7a＋ 3>f(2) ，∴当 x＝ 2 时，f(x)取最小值，－ 16a＋ 3＝－ 29，∴a＝ 2，∴ a＝ 2， b＝ 3.【思想总结】此题属于逆向研究题型．解这类问题的基本方法是待定系数法．从逆向思想出发，实现由已知向未知的转变，最后落脚在比较极值与端点值大小上，从而解决问题．变式训练2设2<a<1，函数 f(x)＝ x3－3ax2＋ b(－ 1≤ x≤ 1)32的最大值为1，最小值为－6，求常数 a， b. 2研究 3、与最值相关的恒成立问题不等式恒成即刻求参数的取值范围问题是一种常有的题型，这类题型的解法有多种，此中最常用的方法就是分别参数，而后转变为求函数的最值问题，在求函数最值时，能够借助导数求解．（ C ）例 3、已知 f(x)＝ x 3－ 1x 2－ 2x ＋ 5，当 x ∈ [－ 1,2]时， f(x)<m 恒成2立，务实数 m 的取值范围．【思路点拨】把 m>f(x)恒成立，转变为求f(x)在 [－ 1,2]上的最大值，只需m 大于此最大值即可．【解】∵ f(x)＝ x 3－ 1 x 2－ 2x ＋ 5，∴ f ′ (x)＝ 3x 2－ x － 2.2令 f ′ (x)＝ 0，即 3x 2－ x －2＝ 0，∴ x ＝1，或 x ＝－ 2. 3x－ 22 (－2， 1) 1(1,2)21(－ 1，－ 3)－ 3 3f ′ (x)＋ 0 －0 ＋ f(x)11 ↗157 ↘ 7 ↗72272∴当 x ＝－2时， f(x)获得极大值 f － 2 ＝522；3 3 27当 x ＝ 17 ＝ 11 ＝ 7.时， f(x)获得极小值 f(1) ＝ .又 f( －1) ， f(2)2 2∴ f(x)在 x ∈ [－ 1,2]上的最大值为 f (2)＝ 7， ∴要使 f(x)<m 恒成立，需 f(x)max <m ，即 m>7. ∴所务实数 m 的取值范围是 (7，＋∞ )．【思想总结】相关恒成立问题，一般是转变为求函数的最值问题．求解时要确立这个函数，看哪一个变量的范围已知，即函数是以已知范围的变量为自变量的函数．一般地， λ≥ f(x)恒成立 ? λ≥ [f(x)]max ； λ≤ f(x)恒成立 ? λ≤ [f(x)] min .变式训练 3、已知函数 f(x)＝ ax 4ln x ＋ bx 4 －c( x>0) 在 x ＝ 1 处获得极值－ 3－ c ，此中 a ， b ， c 为常数．若对随意 x>0，不等式 f(x) ≥－ 2c 2 恒成立，求 c 的取值范围．当堂检测：1．函数 f(x)＝ x 3－3x ＋ 3，当 x ∈ － 3， 5 时，函数 f( x)的最小值是 ()2 233B ．－ 5C ． 1D.89A. 882．函数 f(x)＝ 1x 3－ 2x 2 在 [－ 1,5] 上()332A ．有最大值 0，无最小值B ．有最大值 0，最小值－ 332D ．既无最大值也无最小值C ．有最小值－ 3 ，无最大值你3．若函数 f(x) ＝－ x 3＋ 3x 2＋ 9x ＋ a 在区间 [ － 2，－ 1]上的最大值为 2，则它在该区间上的最小值为()A ．－ 5B ． 7C ． 10D ．－194．已知函数 f(x)、g(x)均为 [a ，b] 上的可导函数，在[a ，b]上连续且 f ′ (x)<g ′ (x)，则 f(x)－g(x)的最大值为 ( )A ． f(a)－ g(a)B ． f(b)－ g(b)C ．f(a)－ g(b)D ．f(b)－ g(a)5．设函数f(x)＝ ax 3－ 3x ＋ 1(x ∈ R )，若关于随意的 x ∈ (0,1] 都有f(x) ≥ 0 成立，则实数 a 的取值范围为 ________．6．设 a ∈ R ，函数 f(x)＝ ax 3－ 3x 2，若函数 g(x)＝f(x)＋ f ′ (x) ，x∈ [0,2] 在 x ＝ 0 处获得最大值，则 a 的取值范围是 ________．（ B ）7．若方程 3x 4－ 4mx 3＋ 1＝ 0 没有实数根，务实数 m 的取值范围．（ C ） 8．已知函数 f(x)＝1＋ln x1x ，若函数在区间a ， a ＋2 (此中a>0)上存在最大值，务实数a 的取值范围．你曾落的泪，最都会成阳光，照亮脚下的路。

《函数的最大(小)值与导数》导学案

§1.3.3函数的最大（小）值与导数【学习目标】1．借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念。

2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件。

3．掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤。

【学习过程】（一）情景问题：极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果0x 是函数()y f x =的极大（小）值点，那么在点0x 附近找不到比()0f x 更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小．如果0x 是函数的最大（小）值点，那么()0f x 应满足什么条件呢？探究1：“最值”与“极值”的又有怎样的区别和联系呢？（二）合作探究、精讲点拨例题：求()31443f x x x =-+在[]0,3的最大值与最小值探究2：你能总结一下，连续函数在闭区间上求最值的步骤吗？变式训练：求下列函数的最值：（1）已知]1,31[,126)(3-∈+-=x x x x f ，则函数的最大值为______，最小值为______。

（2）已知]2,1[,26)(2∈--=x x x x f ，则函数的最大值为______，最小值为______。

（3）已知]3,3[,27)(3-∈-=x x x x f ，则函数的最大值为______，最小值为______。

课后练习与提高1．下列说法中正确的是（）A.函数若在定义域内有最值和极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B.闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C.若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D.若函数在定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值2．函数a ax x x f --=3)(3在)1,0(内有最小值，则a 的取值范围是（）A.10<≤aB.10<<aC.11<<-aD.210<<a 3．已知函数a x x x f +-=2362)(在[－2，2]上有最小值－37，（1）求实数a 的值；（2）求)(x f 在[－2，2]上的最大值。

高中数学 1.3.3 函数的最大(小)值与导数导学案新人教A版选修2-2

§1.3.2 函数的极值与导数学习目标：1、能够区分极值与最值两个不同的概念；2、会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。

一、主要知识：1、函数()f x 在闭区间[],a b 上的最值：如果在闭区间[],a b 上函数()y f x =的图象是一条的曲线，则该函数在[],a b 上一定能取得和，并且函数的最值必在或取得。

2、求函数()y f x =在闭区间[],a b 上的最值的步骤：（1）求函数()y f x =在(),a b 的；（2）将函数()y f x =的与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

二、典例分析：〖例1〗：求下列各函数的最值：（1）()[]32362,1,1f x x x x x =-+-∈-；（2）()[]0,4f x x x =+∈。

〖例2〗：设213a <<，函数()3232f x x ax b =-+在区间[]1,1-上的最大值为1，最小值为的解析式。

〖例3〗：设函数()22()21,0f x tx t x t x R t =++-∈>。

（1）求()f x 的最小值()h t ；（2）若()2h t t m <-+对()0,2t ∈恒成立，求实数m 的取值范围。

三、课后作业：1、函数()3223125f x x x x =--+在区间[]0,3上的最大值和最小值分别是（）A 、5,15-B 、5,4-C 、4,15--D 、5,15--2、函数()[],0,4x f x x e x -=⋅∈的最大值为（）A 、0B 、1eC 、44eD 、22e 3、已知函数()223f x x x =--+在[],2a 上的最大值为154，则a =（） A 、32- B 、12 C 、12- D 、12-或32- 4、若函数()1sin sin 33f x a x x =+在3x π=处有最值，则a =（）A 、2B 、1CD 、0 5、当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()()sin f x tx x t R =-∈的值恒小于零，则t 的取值范围是（） A 、2t π≤ B 、2t π≤ C 、2t π≥ D 、2t π< 6、点P 是曲线2ln 2y x =-上任意一点，则点P 到直线y x =-的最小距离为（）A 、4 B 、4 C D 7、函数()3243365f x x x x =+-+在)2,-+∞上的最大值为，最小值为。

函数的最大(小)值与导数学案

高二数学选修2-2 导数及其应用主备人：杨美霞审核：高二数学组1.3.2函数的最大（小）值与导数【课标要求】会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值。

【学习目标】理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.弄请函数极值与最值的区别与联系.养成“整体思维”的习惯，提高应用知识解决实际问题的能力【学习重、难点】教学重点：求函数的最值.教学难点：掌握求最值的方法关键是严格套用求最值的步骤，突破难点要把实际问题“数学化”，即建立数学模型.【问题探究】请认真阅读教材P29—P31例1的内容，完成下列问题：问题1：观察函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象，找出函数在此区间上的极大值、极小值和最大值、最小值．问题2：观察函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象，找出函数在此区间上的极大值、极小值和最大值、最小值．（见教材P30面图1．3－14与１．３－15）思考：⑴ 极值与最值有何关系？ ⑵ 最大值与最小值可能在何处取得？ ⑶ 怎样求最大值与最小值？问题3：导学案P28问题2？问题4：导学案P28问题3？问题5：完成P30例5，总结出求函数最大（小）值的基本步骤。

【自主测评】教材P31练习【能力提升】（2012年高考（北京理））已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值;(2)当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.【本节收获】通过本节的学习，你有哪些收获？还有什么疑问？【作业布置】习题1.3A 组 6 y x b x 2y=f (x )O a x 1。

《函数的最大(小)值与导数》参考教案

《函数的最大(小)值与导数》参考教案章节一：函数的导数与最大值1. 教学目标：让学生理解导数的定义和性质。

让学生学会使用导数来求函数的最大值。

2. 教学内容：导数的定义和性质。

利用导数求函数的最大值。

3. 教学步骤：引入导数的定义和性质，进行讲解和示例。

介绍利用导数求函数的最大值的方法，并进行讲解和示例。

章节二：函数的导数与最小值1. 教学目标：让学生理解导数的定义和性质。

让学生学会使用导数来求函数的最小值。

2. 教学内容：导数的定义和性质。

利用导数求函数的最小值。

3. 教学步骤：引入导数的定义和性质，进行讲解和示例。

介绍利用导数求函数的最小值的方法，并进行讲解和示例。

章节三：函数的单调性与最大值1. 教学目标：让学生理解函数的单调性。

让学生学会利用函数的单调性来求函数的最大值。

2. 教学内容：函数的单调性。

利用函数的单调性来求函数的最大值。

3. 教学步骤：引入函数的单调性，进行讲解和示例。

介绍利用函数的单调性来求函数的最大值的方法，并进行讲解和示例。

章节四：函数的单调性与最小值1. 教学目标：让学生理解函数的单调性。

让学生学会利用函数的单调性来求函数的最小值。

2. 教学内容：函数的单调性。

利用函数的单调性来求函数的最小值。

3. 教学步骤：引入函数的单调性，进行讲解和示例。

介绍利用函数的单调性来求函数的最小值的方法，并进行讲解和示例。

章节五：实际问题中的最大(小)值问题1. 教学目标：让学生学会将实际问题转化为函数的最大(小)值问题。

让学生学会利用导数和函数的单调性来解决实际问题中的最大(小)值问题。

2. 教学内容：实际问题转化为函数的最大(小)值问题的方法。

利用导数和函数的单调性来解决实际问题中的最大(小)值问题。

3. 教学步骤：介绍实际问题转化为函数的最大(小)值问题的方法，并进行讲解和示例。

介绍利用导数和函数的单调性来解决实际问题中的最大(小)值问题的方法，并进行讲解和示例。

章节六：利用导数求函数的最大值和最小值1. 教学目标：让学生能够熟练运用导数求解函数的最大值和最小值。

2019-2020年高中数学 1.3.3 函数的最大(小)值与导数导学案新人教A版选修2-2

2019-2020年高中数学 1.3.3 函数的最大（小）值与导数导学案新人教A 版选修2-2学习目标：1、能够区分极值与最值两个不同的概念；2、会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。

一、主要知识：1、函数在闭区间上的最值：如果在闭区间上函数的图象是一条的曲线，则该函数在上一定能取得和，并且函数的最值必在或取得。

2、求函数在闭区间上的最值的步骤：（1）求函数在的；（2）将函数的与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

二、典例分析：〖例1〗：求下列各函数的最值：（1）()[]32362,1,1f x x x x x =-+-∈-；（2）()[]0,4f x x x =+∈。

〖例2〗：设，函数在区间上的最大值为，最小值为，求函数的解析式。

〖例3〗：设函数()22()21,0f x tx t x t x R t =++-∈>。

（1）求的最小值；（2）若对恒成立，求实数的取值范围。

三、课后作业：1、函数()3223125f x x x x =--+在区间上的最大值和最小值分别是（）A 、B 、C 、D 、 2、函数的最大值为（）A 、B 、C 、D 、3、已知函数在上的最大值为，则（）A 、B 、C 、D 、或 4、若函数在处有最值，则（）A 、B 、C 、D 、5、当时，函数的值恒小于零，则的取值范围是（）A 、B 、C 、D 、6、点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（）A 、B 、C 、D 、7、函数()3243365f x x x x =+-+在上的最大值为，最小值为。

8、若函数在上的最大值为，则。

9、（09江苏）设函数对于任意，都有成立，则。

10、已知，若，求在上的最大值和最小值。

11、已知，函数。

（1）设曲线在点处的切线为，若与圆相切，求的值；（2）求的单调区间；（3）求函数在上的最大值。

2019-2020年高中数学 1.3.3 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象教案苏教版必修4●三维目标 1．知识与技能(1)了解φ，ω，A 对函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响，并会由y ＝sin x 的图象得到f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象．(2)明确函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)中常数A ，ω，φ的物理意义，理解振幅、频率、相位、初相的概念．2．过程与方法通过图象变换的学习，培养运用数形结合思想分析、解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观通过本节知识的学习，了解从特殊到一般，从一般到特殊的辩证思想方法和分析、探索、化归、类比的科学研究方法在解决数学问题中的应用．●重点难点重点：由函数y ＝sin x 的图象变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象．难点：对图象变换过程的理解．(教师用书独具)●教学建议关于函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的教学建议(1)注重由特殊到一般的探究原则，让学生先画出函数y＝sin x的图象和课本给出的三个函数的图象，让学生观察、归纳参数φ，A，ω对函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的影响，教师及时地引导、纠正、提高．(2)注重现代化教学手段的应用，加强直观性教学，提高课堂效率．●教学流程创设问题情境，引导学生明确函数f x ＝A ωx ＋φ中常数A ，ω，φ的物理意义，介绍振幅、频率、相位、初相的概念.⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!【问题导思】一个弹簧振子作简谐振动，如图所示，该弹簧振子离开平衡位置的位移随时间t 变化的图象如下：1．做简谐振动的物体离开平衡位置的位移s 与时间t 满足s ＝2sin πt2，图象中纵坐标2和横坐标4各具有怎样的物理意义？【提示】 2表示振幅，周期T ＝2ππ2＝4.2．将上述实例中的函数记为y ＝A sin(ωx ＋φ)，则该函数的图象是由y ＝sin x 的图象如何变换得到？【提示】 y ＝sin x 的图象经过平移和伸缩变换可以得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象． 1．有关概念设物体做简谐运动时，位移s 与时间t 的关系为s ＝A sin(ωt ＋φ)(A ＞0，ω＞0)．其中A 是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需的时间T ＝2πω称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f ＝1T ＝ω2π称为振动的频率；ωt ＋φ称为相位，t ＝0时的相位φ称为初相．2．图象变换(1)φ对函数y ＝sin(x ＋φ)的图象的影响(相位变换)y ＝sin x 图象――→向左φ＞或向右φ＜平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ)图象． (2)A 对函数y ＝A sin x 图象的影响(振幅变换)y ＝sin x 图象――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin x 图象． (3)ω对函数y ＝sin ωx 的图象的影响(周期变换)①y ＝sin x 图象横坐标变为原来的1ω倍,(纵坐标不变)y ＝sin ωx 图象．②y ＝sin ωx 的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0),平移|φω|个单位长度y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．作出函数y ＝2sin(x 2＋π6)在长度为一个周期的闭区间上的图象．【思路探究】将x 2＋π6看成整体，确定一个周期内的五个关键点，然后描点，用光滑的曲线连结各点即可．【自主解答】1．用五点法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，应先令ωx ＋φ分别为0，π2，π，32π，2π，然后解出自变量x 的对应值，作出一周期内的图象．2．若在一个定区间内作图象，则要首先确定该区间端点处的相位，再确定两个端点之间的最值点、零点．作出函数y ＝12cos(12x ＋π3)在一个周期内的图象．【解】描点，连线得函数y ＝2cos(2x ＋3)在一个周期内的图象，如图．如何将函数y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝2sin(12x ＋π6)的图象？【思路探究】方法一：先相位变换→周期变换→振幅变换．方法二：先周期变换→相位变换→振幅变换．【自主解答】法一 y ＝sin x 向左平移π6个单位y ＝sin(x ＋π6)――→各点横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变y ＝sin(12x ＋π6)――→各点纵坐标伸长为原来的2倍横坐标不变y ＝2sin(12x ＋π6)的图象．法二 y ＝sin x ――→各点横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变y ＝sin 12x 错误!y ＝sin 错误!(x ＋错误!)――→各点纵坐标伸长为原来的2倍横坐标不变 y ＝2sin(12x ＋π6)的图象．1．由函数y ＝sin x 的图象到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换通常需要三个变换：相位变换、周期变换、振幅变换，并且也常是这个顺序．当然也可以先周期变换，再相位变换，最后振幅变换，只是平移的单位量不同罢了．2．由y ＝A sin ωx 的图象变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，可将y ＝A sin(ωx ＋φ)化为y ＝A sin[ω(x ＋φω)]，由x ＋φω与x 的关系确定左右平移的单位，此时φω>0时，向左平移φω个单位，φω<0时，向右平移|φω|个单位．如何由函数y ＝sin x 的图象得到函数y ＝3sin(2x －π3)的图象？【解】法一 y ＝sin x ――——————→向右平移π3个单位长度y ＝sin(x －π3)―————————————―→将各点的横坐标缩短为原来的12y ＝sin(2x －π3)――——————————→将各点的纵坐标伸长为原来的3倍y ＝3sin(2x －π3)．法二 y ＝sin x ―————————————―→将各点的横坐标缩短为原来的12y ＝sin 2x ―————————————―→向右平移π6个单位长度y＝sin[2(x －π6)]――——————————→将各点的纵坐标伸长为原来的3倍y ＝3sin[2(x －π6)]＝3sin(2x －π3).图1－3－4(xx·吉林高一检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)，在一个周期内的图象如图1－3－4所示，求函数的解析式．【思路探究】由最值求A ，由过点(0,1)求φ，由点(11π12，0)求ω.【自主解答】显然A ＝2，又图象过(0, 1)点，∴f (0)＝1，∴sin φ＝12，又∵|φ|＜π2，∴φ＝π6.由图象结合“五点法”可知，(11π12，0)对应五点中的点(2π，0)．∴11π12·ω＋π6＝2π，∴ω＝2. 所以所求函数解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．1．一般可由函数图象上的最大值、最小值来确定|A |.2．因为T ＝2πω，所以往往通过求周期T 来确定ω.3．从寻找“五点法”中的第一个“零点”(－φω，0)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”的位置来确定φ.图1－3－5函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)中，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2且图象如图1－3－5，求其解析式．【解】法一由图象知，振幅A ＝3，T ＝5π6－(－π6)＝π，∴ω＝2.又由点(－π6，0)，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)，所以－π6×2＋φ＝0，得φ＝π3，∴f (x )＝3sin(2x ＋π3)．法二由图象知，振幅A ＝3， T ＝5π6－(－π6)＝π，∴ω＝2.又图象过点(－π6，0)，有f (－π6)＝3sin[2(－π6)＋φ]＝0，∴sin(－π3＋φ)＝0，－π3＋φ＝k π(k ∈Z )．又|φ|＜π2，所以k ＝0，φ＝π3，∴f (x )＝3sin(2x ＋π3)．数形结合思想在三角函数问题中的应用设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是________．①[－4，－2]；②[－2,0]；③[0,2]；④[2,4]【思路点拨】将f(x)的零点问题转化为函数g(x)＝4sin(2x＋1)与h(x)＝x图象的交点问题．由数形结合的思想，画出g(x)与h(x)的图象解决．【规范解答】在同一坐标系中画出函数g(x)＝4sin(2x＋1)与h(x)＝x的图象，如图，观察可知在[－4，－2]内无交点．【答案】①解答此类题目的关键在于等价转化问题中的曲线，然后准确作图，在解答过程中充分利用数形结合思想及函数与方程的思想，即可解决问题．1．准确理解“图象变换法”(1)由y＝sin x到y＝sin(x＋φ)的图象变换称为相位变换；由y＝sin x到y＝sin ωx图象的变换称为周期变换；由y ＝sin x 到y ＝A sin x 图象的变换称为振幅变换．(2)由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，其变换途径有两条：①y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．②y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：①是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．②是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．2．确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A ，ω已知)或代入图象与x 轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点(－φω，0)作为突破口．“五点”的ωx ＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.1．把y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的14倍(纵坐标不变)得________的图象．【解析】 y ＝sin x ――→横坐标缩短到原来的14倍y ＝sin 4x .【答案】 y ＝sin 4x2．将y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位，得到的曲线对应的解析式为________．【解析】将y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位，得y ＝sin 2(x ＋π3)＝sin(2x ＋2π3)．【答案】 y ＝sin(2x ＋2π3)图1－3－63．(xx·大纲全国卷改编)若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图1－3－6，则ω＝________.【解析】设函数的最小正周期为T ，由函数图象可知T2＝(x 0＋π4)－x 0＝π4，所以T ＝π2.又因为T ＝2πω，可解得ω＝4. 【答案】 44．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图1－3－7所示，求其解析式．图1－3－7【解】由图象可知14T ＝7π12－π3，得T ＝π，∴ω＝2πT＝2.又(π3，1)在图象上，∴2×π3＋φ＝π2＋2k π.又|φ|＜π2，∴φ＝－π6，∴y ＝sin(2x －π6)．一、填空题1．函数y ＝3sin(π2x ＋π4)的振幅是________，周期是________．【解析】由于函数y ＝3sin(π2x ＋π4)，∴振幅是3，周期是T ＝2ππ2＝4.【答案】 3 42．(xx·长沙高一检测)将y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位，得y ＝sin(4x ＋φ)(0<φ<π2)的图象，则φ等于________．【解析】将y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位得到函数y ＝sin 4(x ＋π12)＝sin(4x＋π3)，由sin(4x ＋φ)＝sin(4x ＋π3)及0＜φ＜π2，知φ＝π3.【答案】 π33．(xx·临沂高一检测)把函数y ＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移π8个单位长度，再把各点的纵坐标扩大为原来的2倍，所得图象的函数解析式为________．【解析】将函数y ＝sin(2x ＋π4)图象右移π8个单位得函数y ＝sin[2(x －π8)＋π4]的图象，再将纵坐标伸长到原来的2倍得到函数y ＝2sin 2x 的图象．【答案】 y ＝2sin 2x4．(xx·沙市高一检测)要得到函数y ＝－cos 2x 的图象，可以将y ＝sin 2x 的图象向________平移3π4个单位长度即可．【解析】 y ＝－cos 2x ＝sin(2x ＋3π2)＝sin[2(x ＋3π4)]，所以将y ＝sin 2x 的图象向左平移3π4个单位长度即可．【答案】左5．下列表示函数y ＝sin(2x －π3)在区间[－π2，π]上的简图正确的是________．图1－3－8【解析】将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，再将所有点向右平移π6个单位长度即得y ＝sin(2x －π3)的图象，依据此变换过程可得到①中图象是正确的．也可以分别令2x －π3＝0，π2，π，3π2，2π得到五个关键点，描点连线即得函数y ＝sin(2x－π3)的图象．【答案】 ①图1－3－96．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图1－3－9所示，f (π2)＝－23，则f (0)＝________.【解析】由图象可得最小正周期为23π，于是f (0)＝f (2π3)，注意到23π与π2关于7π12对称，所以f (2π3)＝－f (π2)＝23.【答案】 237．设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值为________．【解析】由题意知4π3是函数周期的整数倍，又ω>0，∴2πω·k ＝43π，∴ω＝32k (k ∈Z )，∴ω的最小值为32. 【答案】 328．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图1－3－10所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)的值等于________．图1－3－10【解析】由图可知该函数的周期为8，得ω＝π4，A ＝2，代入点(2,2)，得sin(π4×2＋φ)＝1，π2＋φ＝π2，得φ＝0，∴y ＝2sin π4x .根据对称性有f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (8)＝0，从而f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＝251×[f (1)＋f (2)＋…＋f (8)]＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝251×0＋2sin π4＋2sin π2＋2sin 34π＋2sin π＋2sin 54π＝2＋2.【答案】 2＋ 2 二、解答题9．已知函数y ＝2sin(2x ＋π3)． (1)求它的振幅、频率和初相．(2)说明y ＝2sin(2x ＋π3)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到？【解】 (1)由题意可知，振幅是2，因为周期为2π2＝π，所以频率是1π，初相是π3.(2)把函数y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin(x ＋π3)的图象；再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x ＋π3)的图象；再将所得图象上每个点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，就得到函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象．10．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的一段图象如图1－3－11所示．图1－3－11(1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？【解】 (1)A ＝3，2πω＝43×(4π－π4)＝5π，故ω＝25.由f (x )＝3sin(25x ＋φ)过点(π4，0)，得sin(π10＋φ)＝0，又|φ|＜π2，故φ＝－π10，∴f (x )＝3sin(25x －π10)．(2)由f (x ＋m )＝3sin[25(x ＋m )－π10]＝3sin(25x ＋2m 5－π10)为偶函数(m ＞0)，知2m 5－π10＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝52k π＋3π2(k ∈Z )．∵m ＞0，∴m min ＝3π2. 故至少把f (x )的图象向左平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．11．(xx·济南高一检测)已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为(π8，2)，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点(38π，0)(如图1－3－12)，若φ∈(－π2，π2)．图1－3－12(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．【解】 (1)∵曲线上的一个最高点的坐标为(π8，2)，∴A ＝ 2.又此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点(3π8，0)，∴T 4＝3π8－π8，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2. 取点(π8，2)作为“五点法”中函数的第二个点．∴2×π8＋φ＝π2，∴φ＝π4.且π4∈(－π2，π2)．故这条曲线的函数表达式为：y ＝2sin(2x ＋π4)．(2)列出x ，作图如下：(教师用书独具)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)图象的对称性 1．对称轴与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x 轴．y ＝A sin(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝k π＋π2(k∈Z )，则x ＝k ＋π－2φ2ω(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程为x ＝k ＋π－2φ2ω(k ∈Z )；y ＝A cos(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π－φω(k ∈Z )，所以函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程为x ＝k π－φω(k ∈Z )．2．对称中心与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称中心即函数图象与x 轴的交点．y ＝A sin(ωx ＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π－φω(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(k π－φω，0)(k ∈Z )成中心对称；y ＝A cos(ωx ＋φ)对称中心的求法：令cos(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k ＋π－2φ2ω(k ∈Z )，所以函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象关于点(k ＋π－2φ2ω，0)(k ∈Z )成中心对称．。

函数最大(小)值与导数教案

函数最大(小)值与导数教案一、教学目标：1. 让学生理解函数最大值和最小值的概念，并能运用导数求解一些简单函数的最大值和最小值。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 让学生掌握利用导数研究函数的单调性，从而求解函数的最值。

二、教学内容：1. 函数最大值和最小值的概念。

2. 利用导数求解函数的最大值和最小值。

3. 利用导数研究函数的单调性。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：利用导数求解函数的最大值和最小值，以及利用导数研究函数的单调性。

2. 教学难点：如何判断函数在某个区间内的单调性，以及如何求解分段函数的最大值和最小值。

四、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解函数最大值和最小值的概念，以及利用导数求解最值的方法。

2. 利用多媒体课件，展示函数图像，帮助学生直观地理解函数的最值和单调性。

3. 采用案例分析法，分析实际问题，引导学生运用数学知识解决实际问题。

五、教学过程：1. 导入新课：回顾导数的基本概念，引导学生思考如何利用导数求解函数的最值。

2. 讲解函数最大值和最小值的概念，解释其在实际应用中的意义。

3. 讲解利用导数求解函数最值的方法，引导学生掌握判断函数单调性的技巧。

4. 利用多媒体课件，展示函数图像，让学生直观地理解函数最值和单调性之间的关系。

5. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用导数求解函数最值，巩固所学知识。

6. 课堂练习：布置一些有关函数最值的练习题，让学生独立完成，检测学习效果。

8. 布置作业：布置一些有关函数最值的课后作业，巩固所学知识。

六、教学案例与分析：1. 案例一：求函数f(x) = x^2 4x + 5 的最大值和最小值。

分析：求导数f'(x) = 2x 4，令f'(x) = 0，得到x = 2。

将x = 2 代入原函数，得到f(2) = 1。

函数在x = 2 处取得最小值1。

2. 案例二：求函数g(x) = (x 1)^2 在区间[0, 3] 上的最大值和最小值。

《函数的最大(小)值与导数》参考教案

一、教学目标1. 让学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握函数的最大值和最小值的求解方法。

2. 让学生掌握导数的定义，了解导数在研究函数单调性、极值等方面的应用。

3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 函数的最大值和最小值的概念。

2. 利用导数求函数的最大值和最小值。

3. 函数的单调性及其与导数的关系。

4. 函数的极值及其与导数的关系。

5. 实际问题中的最大值和最小值问题。

三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的最大值和最小值的求解方法，导数在研究函数单调性、极值等方面的应用。

2. 教学难点：利用导数求函数的最大值和最小值的具体步骤，理解导数与函数单调性、极值之间的关系。

四、教学方法与手段1. 采用讲解、例题、练习、讨论相结合的教学方法。

2. 使用多媒体课件，直观展示函数图像，帮助学生理解函数的最大值、最小值和导数之间的关系。

五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，如购物、optimization problems等，引导学生思考函数的最大值和最小值问题。

2. 讲解：讲解函数的最大值和最小值的概念，介绍利用导数求函数最大值和最小值的方法。

3. 例题：挑选典型例题，引导学生运用导数求解函数的最大值和最小值。

4. 练习：学生自主练习，巩固求解函数最大值和最小值的方法。

5. 讨论：分组讨论，分享解题心得，互相学习。

6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数在研究函数单调性、极值等方面的重要性。

7. 作业：布置相关作业，让学生进一步巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂练习：监测学生在课堂上的学习效果，通过练习题目的完成情况了解学生对函数最大值和最小值概念以及导数应用的掌握程度。

2. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的吸收情况，作业应包括不同难度的题目，以检测学生的理解力和应用能力。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与程度和合作能力，以及他们能否运用所学知识解决实际问题。

《函数的最大(小)值与导数》参考教案

《函数的最大(小)值与导数》参考教案第一章：函数的导数与最大值1.1 复习导数的定义与性质引入导数的定义，即函数在某一点的切线斜率。

复习导数的性质，如单调性、连续性等。

1.2 导数与函数的单调性解释导数与函数单调性的关系，即导数大于0表示函数单调递增，导数小于0表示函数单调递减。

举例说明导数与单调性的应用。

1.3 利用导数求函数的最大值引入函数的最大值的定义，即函数在某一区间内的最大值。

讲解利用导数求函数最大值的方法，即先求导数，令导数为0，解出临界点，再判断临界点的单调性。

第二章：函数的导数与最小值2.1 复习导数的定义与性质引入导数的定义，即函数在某一点的切线斜率。

复习导数的性质，如单调性、连续性等。

2.2 导数与函数的单调性解释导数与函数单调性的关系，即导数大于0表示函数单调递增，导数小于0表示函数单调递减。

举例说明导数与单调性的应用。

2.3 利用导数求函数的最小值引入函数的最小值的定义，即函数在某一区间内的最小值。

讲解利用导数求函数最小值的方法，即先求导数，令导数为0，解出临界点，再判断临界点的单调性。

第三章：函数的极值与导数3.1 复习导数的定义与性质引入导数的定义，即函数在某一点的切线斜率。

复习导数的性质，如单调性、连续性等。

3.2 极值的定义与判定引入极值的定义，即函数在某一点的局部最大值或最小值。

讲解极值的判定条件，即导数为0且在导数为0的两侧符号相反。

3.3 利用导数求函数的极值引入利用导数求函数极值的方法，即先求导数，令导数为0，解出临界点，再判断临界点的单调性。

举例说明导数与极值的應用。

第四章：函数的最大值与最小值的判定4.1 利用导数判断函数的最大值与最小值讲解利用导数判断函数最大值与最小值的方法，即导数为0的点可能是最大值或最小值，还需判断两侧的单调性。

举例说明导数与最大值、最小值的判断应用。

4.2 利用二阶导数判断函数的最大值与最小值引入二阶导数的定义，即函数的一阶导数的导数。

高中数学《函数的最大(小)值与导数》导学案

1.3.3函数的最大(小)值与导数1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得□01最大值和□02最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的□03极值；(2)将函数y＝f(x)的□04各极值与□05端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．函数f(x)在区间(a，b)上的最值在区间(a，b)上函数f(x)的图象是一条连续的曲线时，f(x)在(a，b)内不一定有最值．常见的有以下几种情况：如图，图①中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最大值而无最小值；图②中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最小值而无最大值；图③中的函数y＝f(x)在(a，b)上既无最大值也无最小值；图④中的函数y＝f(x)在(a，b)上既有最大值又有最小值．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做(1)设函数f (x )＝e 2x ＋3x (x ∈R )，则f (x )________(填“有”或“无”)最值． (2)已知函数y ＝x 3－x 2－x ，该函数在区间[0,3]上的最大值是________． (3)已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋m (x ∈[－2,2])，f (x )的最小值为1，则m ＝________.答案 (1)无 (2)15 (3)1探究1 求已知函数的最值例1 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )．(1)若f ′(1)＝3，求a 的值及曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )在区间[0,2]上的最大值．[解] (1)f ′(x )＝3x 2－2ax .因为f ′(1)＝3－2a ＝3，所以a ＝0. 又当a ＝0时，f (1)＝1，f ′(1)＝3.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为3x －y －2＝0. (2)令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a3.当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增，从而f (x )max ＝f (2)＝8－4A ．当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减，从而f (x )max ＝f (0)＝0. 当0<2a 3<2，即0<a <3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 3，2上单调递增，从而f (x )max ＝⎩⎨⎧8－4a (0<a ≤2)，0(2<a <3).综上所述，f (x )max ＝⎩⎨⎧8－4a (a ≤2)，0(a >2).[条件探究] 将本例(2)中区间[0,2]改为[－1,0]，结果如何？ [解] 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝23a ．当23a ≥0，即a ≥0时，f (x )在[－1,0]上单调递增，从而f (x )max ＝f (0)＝0；当23a ≤－1，即a ≤－32时，f (x )在[－1,0]上单调递减，从而f (x )max ＝f (－1)＝－1－a ；当－1<23a <0，即－32<a <0时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23a ，0上单调递减，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＝－427a 3.综上所述，f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－a ，a ≤－32，－427a 3，－32<a <0，0，a ≥0.拓展提升常见结论(1)当f (x )的图象连续不断且在[a ，b ]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得．(2)当图象连续不断的函数f (x )在(a ，b )内只有一个极大(或极小)值，则可以断定f (x )在该点处取到最大(或最小)值，这里(a ，b )也可以是无穷区间．【跟踪训练1】 (1)求函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值；(2)求函数f (x )＝12x ＋sin x 在区间[0,2π]上的最大值与最小值．解 (1)因为f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，所以f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－23，x 2＝1.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝15727，f (1)＝72，又f (－2)＝－1，f (2)＝7，所以函数f (x )在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1.(2)f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝2π3或x ＝4π3.因为f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝π3＋32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝2π3－32，f (2π)＝π，所以函数f (x )在[0,2π]上的最大值是π，最小值是0. 探究2 由函数的最值确定参数的值例2 已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．[解] 由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾． f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)，令f ′(x )＝0，得 x 1＝0，x 2＝4(舍去)．(1)当a >0，且x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f (0)＝3，即b ＝3.又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.(2)当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f (0)＝－29，即b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)， ∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29. 拓展提升由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而求出参数的值，这也是方程思想的应用．【跟踪训练2】已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋A．(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)<0，解得x<－1，或x>3，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝2＋a，f(2)＝22＋a，∴f(2)>f(－2)．∵在(－1,3)上f′(x)>0，∴在(－1,3)上f(x)单调递增，又∵f(x)在[－2，－1]上单调递减，∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值．于是有22＋a＝20，解得a＝－2，∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2，∴f(－1)＝－7，即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.探究3与函数最值有关的综合问题例3设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．(1)求函数f(x)的最小值h(t)；(2)在(1)的条件下，若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．[解](1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，∴当x＝－t时，f(x)的最小值为f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t)＝－t3＋3t－1.由g′(t)＝－3t2＋3＝0及t＞0，得t＝1，当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：又在定义域(0,2)内，g(t)有唯一的极值点，∴函数g(t)的极大值也就是g(t)在定义域(0,2)内的最大值，即g(t)max＝1.h(t)＜－2t＋m在(0,2)内恒成立，即g(t)＜m在(0,2)内恒成立，当且仅当g (t )max ＝1＜m ，即m ＞1时上式成立， ∴实数m 的取值范围是(1，＋∞)．拓展提升(1)涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决．若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论．(2)不等式恒成立、能成立常见的转化策略①a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ，a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min ； ②f (x )＞g (x )＋k 恒成立⇔k ＜[f (x )－g (x )]min ； ③f (x )＞g (x )恒成立⇔[f (x )－g (x )]min ＞0；④a ＞f (x )能成立⇔a ＞f (x )min ，a ＜f (x )能成立⇔a ＜f (x )max .【跟踪训练3】设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．解 (1)f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a3，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3上单调递增． (2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0.①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减，因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处同时取得最小值；当1<a<4时，f(x)在x＝0处取得最小值．1.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值.2.求含参数的函数最值，可分类讨论求解.3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.1．设在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且在区间[a，b]上存在导数，有下列三个命题：①若f(x)在[a，b]上有最大值，则这个最大值必是[a，b]上的极大值；②若f(x)在[a，b]上有最小值，则这个最小值必是[a，b]上的极小值；③若f(x)在[a，b]上有最值，则最值必在x＝a或x＝b处取得．其中正确的命题个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案 A解析由于函数的最值可能在区间[a，b]的端点处取得，也可能在区间[a，b]内取得，而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此3个命题都是假命题．2．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是()A．12，－8 B．1，－8 C．12，－15 D．5，－16答案 A解析y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．当x＝－2时y ＝1，当x＝－1时y＝12，当x＝1时y＝－8.所以y max＝12，y min＝－8.故选A．3．函数f(x)＝12x－x3在区间[－3,3]上的最小值是________．答案－16解析由f′(x)＝12－3x2＝0，得x＝2或x＝－2，又f(－2)＝－16，f(－3)＝－9，f(2)＝16，f(3)＝9.故最小值为－16.4．当x＝________时，函数f(x)＝x·e x取得最小值．答案－1解析由f ′(x )＝e x (1＋x )＝0，得x ＝－1，当x <－1时，f ′(x )<0；当x >－1时，f ′(x )>0，所以当x ＝－1时，f (x )取得最小值f (－1)．5．已知f (x )＝x 3－x 2－x ＋3，x ∈[－1,2]，f (x )－m <0恒成立，求实数m 的取值范围．解由f (x )－m <0，即m >f (x )恒成立，知m >f (x )max ，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13或x ＝1.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝8627，f (1)＝2，f (－1)＝2，f (2)＝5.所以f (x )的最大值为5，故m 的取值范围为(5，＋∞)．A 级：基础巩固练一、选择题1．函数f (x )＝x 3－12x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是( ) A ．1，－1 B ．1，－17 C ．17,1 D ．9，－19 答案 C解析令f ′(x )＝3x 2－12＝0，得x ＝±2，f (－2)＝17，f (－3)＝10，f (0)＝1，所以最大值为17，最小值为1，故选C ．2．函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取最大值时，x 的值为( )A ．0B ．π6C ．π3D ．π2 答案 B解析 f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )＝0解得x ＝π6，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，f ′(x )>0，f (x )为单调增函数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2时，f ′(x )<0，f (x )为单调减函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的极大值，也是最大值．故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取最大值时，x 的值为π6.3．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( )A．0≤a＜1 B．0<a<1C．－1<a<1 D．0<a<1 2答案 B解析令f′(x)＝3x2－3a＝0，解得x＝±a，∵f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，∴0<a<1，∴0<a<1.4．函数f(x)＝－x3＋3x在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是()A．(－1，11) B．(－1,2)C．(－1,2] D．(1,4)答案 C解析∵f′(x)＝－3x2＋3，当x∈(－1,1)时f′(x)>0，当x∈(－∞，－1)或(1，＋∞)时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴当x＝－1时f(x)取极小值－2.由题意知f(x)在(a2－12，a)端点处函数值不能取到，∴a2－12<－1<a，解得－1<a<11.又f(2)＝－2，即x＝2时，与x＝－1处极小值相等．为保证最小值在x＝－1 处取到，则a≤2，即－1<a≤2.5．已知函数f(x)＝12x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则m的取值范围是()A．m≥32B．m>32C．m≤32D．m<32答案 A解析f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0得x＝0或x＝3，验证可知x＝3是函数的最小值点，故f(x)min＝f(3)＝3m－272，由f(x)＋9≥0恒成立得f(x)≥－9恒成立，即3m－272≥－9，所以m≥3 2.6．若函数f(x)＝1e x－x＋m的定义域为R，则实数m的取值范围是()A．m＞－1 B．m≥－1 C．m＜－1 D．m≤－1 答案 A解析因为f(x)＝1e x－x＋m的定义域为R，所以e x－x＋m≠0恒成立．令g(x)＝e x －x ，则g ′(x )＝e x －1，所以g (x )在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增．所以g (x )min ＝g (0)＝e 0－0＝1.因为∀x ∈R ，g (x )≥1恒成立，即g (x )－1≥0恒成立，所以m ＞－1.二、填空题7．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M ，N ，则M －N 的值为________．答案 20解析 f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，得x ＝1，x ＝－1(舍去)．因为f (0)＝－a ，f (1)＝－2－a ，f (3)＝18－a ，所以M ＝18－a ，N ＝－2－a ，所以M －N ＝20.8．函数f (x )＝1x ＋1＋x (x ∈[1,3])的值域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，134解析 f ′(x )＝－1(x ＋1)2＋1＝x 2＋2x (x ＋1)2，所以在[1,3]上f ′(x )>0恒成立，即f (x )在[1,3]上单调递增，所以f (x )的最大值是f (3)＝134，最小值是f (1)＝32.故函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，134.9．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2(a >0)．若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 [e ，＋∞)解析 f (x )≥2即a ≥2x 2－2x 2ln x . 令g (x )＝2x 2－2x 2ln x ，x >0，则g ′(x )＝2x (1－2ln x )．由g ′(x )＝0得x ＝e12 ，且0<x <e12时，g ′(x )>0；当x >e 12时，g ′(x )<0，∴x ＝e12 时，g (x )取最大值g (e12)＝e ，∴a ≥e.三、解答题10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)求a ，b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值．解 (1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4，所以f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2.又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，而由切线方程y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3，所以3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－2，2a ＋b ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，所以a ＝2，b ＝－4. (2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如表：所以f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝9527，又f (－3)＝8，f (1)＝4，所以f (x )在[－3,1]上的最大值为13.B 级：能力提升练11．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －A ．若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)单调递增．若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a 取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，g ′(a )＝1a ＋1>0，则g (a )在(0，＋∞)单调递增，g (1)＝0.于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0.因此，a 的取值范围是(0,1)．12．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．解 (1)f ′(x )＝1x －a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a .当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞. (2)①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2 a ．②当1a≥2，即0<a≤12时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)＝－A．③当1<1a<2，即12<a<1时，函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，2上是减函数．又f(2)－f(1)＝ln 2－a，所以当12<a<ln 2时，最小值是f(1)＝－a；当ln 2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln 2－2 a．综上可知，当0<a<ln 2时，函数f(x)的最小值是－a；当a≥ln 2时，函数f(x)的最小值是ln 2－2a．。

第十四高中数学函数的最大(小)值导学案必修

芯衣州星海市涌泉学校1．3．1函数的最大〔小〕值一．教学目的1．知识与技能：理解函数的最大〔小〕值及其几何意义．学会运用函数图象理解和研究函数的性质．2．过程与方法：通过实例，使学生体会到函数的最大〔小〕值，实际上是函数图象的最高〔低〕点的纵坐标，因此借助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识．3．情态与价值利用函数的单调性和图象求函数的最大〔小〕值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极性．二．教学重点和难点教学重点：函数的最大〔小〕值及其几何意义教学难点：利用函数的单调性求函数的最大〔小〕值．三．学法学法：学生通过画图、观察、考虑、讨论，从而归纳出求函数的最大〔小〕值的方法和步骤．四．学习流程(一)、知识连线：1、函数的最值：(二)、知识演练： 2、函数y=-x2+2x 在[1，2]上的最大值为〔〕A 、1B 、2C 、-1D 、不存在3、函数y=x2+mx+2在[2,+∞〕上为增函数，那么m 的取值范围是___________；在定义域上该函数有最〔〕值(三)、知识提升4、先用定义判断函数121)(-+=x x f 在区间[2，6]上的单调性，再求该函数在区间[2，6]上的最大值和最小值。

5、求函数f 〔x 〕=2x2-4x+1在区间[0，3]上的最值。

6、某公司每月最多消费100台报警系统装置，消费x 台的收入为R(x )=2203000x x -〔单位：元〕，其本钱为C(x )=4000600+x 〔单位：元〕，〔1〕求利润P 关于x 的函数；(2)每月消费多少台报警系统装置可使得利润最大，最大利润是多少？7、求函数xx x f 2)(+=在区间〔0，+∞〕上的最小值 (四)、归纳总结1、请同学们谈谈本节课的收获？2、求最值最需要注意哪些事项？。

《3.3.3函数的最大(小)值与导数》导学案(新部编)3

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校3.3.3《函数的最值与导数》导学案【学习目标】理解函数的最大值、最小值的概念；了解函数的极值与最值的区别与联系；会用导数求在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.【自主学习】1.观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．在[]b a ,上找出谁是极小值，谁是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是多少？最小值是多少？2.函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系是什么？能列表的应采用列表的方法.3.利用导数求函数的最大值和最小值的方法是什么？4.利用导数求函数的最值步骤是什么？5.不等式恒成立问题，常常转化为求函数的最值，f (x )≥c 对x ∈R 恒成立，常怎么转化？f (x )≤c 对x ∈R 恒成立，常怎么转化？【自主检测】1．下列说法正确的是( )A .函数的极大值就是函数的最大值B .函数的极小值就是函数的最小值C .函数的最值一定是极值D .在闭区间上的连续函数一定存在最值2．函数y =f (x )在区间［a ，b ］上的最大值是M ，最小值是m ，若M =m ，则f ′(x ) ( )A .等于0B .大于0C .小于0D .以上都有可能例1(1)求()31443f x x x =-+在[]0,3的最大值与最小值； (2)求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值；(3)求函数x x x y -+=23在闭区间]1,2[-上的最大值与最小值．例2.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值 (1)求a 、b 的值与函数f (x )的单调区间；(2)若对x[]12－，，不等式f (x )c 2恒成立，求c 的取值范围.x 3x 2x 1b a xO y【课堂检测】1.设()326f x ax ax b =+－在区间12［－，］上的最大值为3，最小值为29-，且a >b ，则 ( )A ．2,29a b =-=-B ．2,3a b ==C ．3,2a b ==D ．2,3a b =-=-2. 已知f (x )=2x 3－6x 2+m (m 为常数)在［－2，2］上有最大值3，求此函数在［－2，2］上的最小值__________________.3．求函数23422x x x y --=在区间[]2,2-上的最大值与最小值，并画出函数的图像．【总结提升】函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点。

人教版高中数学全套教案导学案§1.3.1函数的最大(小)值

§1．3．1函数的最大（小）值一．教学目标1．知识与技能：理解函数的最大（小）值及其几何意义．学会运用函数图象理解和研究函数的性质． 2．过程与方法：通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识．3．情态与价值利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极性．二．教学重点和难点教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．三．学法与教学用具1．学法：学生通过画图、观察、思考、讨论，从而归纳出求函数的最大（小）值的方法和步骤． 2．教学用具：多媒体手段四．教学思路（一）创设情景，揭示课题．画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ①()3f x x =-+ ②()3[1,2]f x x x =-+∈-③2()21f x x x =++ ④2()21[2,2]f x x x x =++∈-（二）研探新知1．函数最大（小）值定义最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，称M 是函数()y f x =的最大值．思考：依照函数最大值的定义，结出函数()y f x =的最小值的定义．注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =；②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有()(())f x M f x m ≤≥．2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．①配方法 ②换元法 ③数形结合法（三）质疑答辩，排难解惑．例1．（教材P 30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．解（略）例2．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？解：设利润为y 元，每个售价为x 元，则每个涨（x －50）元，从而销售量减少10(50),x -个共售出500-10(x-50)=100-10x(个)∴y=(x-40)(1000-10x)9000(50x +≤2=-10(x-70)＜100）∴max 709000x y ==时答：为了赚取最大利润，售价应定为70元．例3．求函数21y x =-在区间[2，6] 上的最大值和最小值．解：（略）例4．求函数1y x x =+-的最大值．解：令2101t x x t =-≥=-+有则22151()024y t t t t =-++=--+≥21()02t ∴--≤2155()244t ∴--+≤.∴5原函数的最大值为4（四）巩固深化，反馈矫正．（1）求函数|3||1|y x x =--+的最大值和最小值．（2）如图，把截面半径为25cm 的图形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x ，面积为y ，试将y 表示成x 的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？（五）归纳小结求函数最值的常用方法有：（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值．（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值．（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值．（六）设置问题，留下悬念．1．课本P 39（A 组） 5.2．求函数21y x x =+-的最小值．3．求函数223y x x x =-+当自变量在下列范围内取值时的最值． ①10x -≤≤ ② 03x ≤≤ ③(,)x ∈-∞+∞ A 组一、选择题：1．若一次函数),()0(+∞-∞≠+=在k b kx y 上是单调减函数，则点),(b k 在直角坐标平面的（）A ．上半平面B ．下半平面C ．左半平面D ．右半平面2．函数y=x 2+x+2单调减区间是( )A ．[－21,+∞] B ．（－1，+∞） C ．（－∞，－21） D ．（－∞，+∞） 3．下列函数在（0，3）上是增函数的是（）A ．xy 1=B ．2x y +=C ．2x y -=D ．122--=x x y 4．已知函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间（-∞，4）上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．a ≥3B ．a ≤-3C ．a ≥-3D ．a ≤5 5．设A=[1，b]（b ＞1），)(1)1(21)(2A x x x f ∈+-=，若f （x ）的值域也是A ，则b 值是（） A ．23 B ．2 C ．3 D ．276．定义在R 上的f （x ）满足f （－x ）＝f （x ），且在（－∞，0）上是增函数，若)1()1(2f a f <-，则a251yx23412345-1-2-3-4-5-1-2-3-4-5o的取值范围是（） A ．2||<a B ．|a|>2 C ．1|1|2<-a D ．2||>a二、填空题：7．若函数f(x)=(-k 2+3k+4)x+2是增函数，则k 的范围是 8．定义在区间[a 、b]上的增函数f （x ），最大值是________，最小值是________。

《函数的最大(小)值与导数》参考教案

函数的最大（小）值与导数教案
教学反思：
对于这次公开课，我充分考虑学生的基础，对复习的内容，课题的引入，例题与练习，我都作了认真的选择。

在课堂上力争作到以学生为主体，教师为主导的授课模式，学生的课堂反应及掌握情况都达到了预期效果。

当然，这次公开课也存在许多不足，在听取了于老师、李老师和其他几位老师的点评后，收获很多：
1、引入课题时图象缺少端点大小的变化
2、例2用时过少，没有给学生充足的思考与整理时间；
3、求最值时，对x代导函数还是原函数强调不到位；
4、在例题或练习讲解完后应给学生消化知识和整理答案的时间；
5、在课后练习的设置上可适当增加含参和指数、对数题目，以提升学生解题能力
在以后的教学中，我要多汲取老教师的教学经验，多听课，多向其他老师学习。

在平时上课时也要多请有经验的老教多听自己的课，更好的改正自己上课中出现的不足，使自己的教育教学水平更上一个台阶。

《函数的最大(小)值与导数》导学案

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导数与函数的极值、最值(经典导学案及练习答案详解)

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