2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖北卷,无答案)

合集下载

2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(湖北卷)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）本试题卷共5页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}A =，{2,3,4}B =，则U B A = ðA ．{2}B ．{3,4}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4,5}2．已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=的 A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()p ⌝∨()q ⌝ B ．p ∨()q ⌝C ．()p ⌝∧()q ⌝D ．p ∨q4．四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：① y 与x 负相关且 2.347 6.423y x =-； ② y 与x 负相关且 3.476 5.648y x =-+； ③ y 与x 正相关且 5.4378.493y x =+； ④ y 与x 正相关且 4.326 4.578y x =--. 其中一定不．正确．．的结论的序号是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ． ①④5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是6．将函数sin ()y x x x +∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A ．π12B ．π6C ．π3 D ．5π67．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD方向上的投影为ABC． D． 8．x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为 A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数9．某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为A ．31200元B ．36000元C ．36800元D ．38400元 10．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．i 为虚数单位，设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，若123i z =-，则2z = .12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为；（Ⅱ）命中环数的标准差为 .13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入m 的值为2，则输出的结果i = .14．已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = . 15．在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为56，则m = .16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）17．在平面直角坐标系中，若点(,)P x y 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L . 例如图中△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别是；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++，其中a ，b ，c 为常数.若某格点多边形对应的71N =，18L =，则S = （用数值作答）.第13题图第17题图三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos23cos()1A B C -+=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积S =5b =，求sin sin B C 的值. 19．（本小题满分13分）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<. 过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中．（Ⅰ）证明：中截面DEFG 是梯形；（Ⅱ）在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h=⋅估中来估算. 已知1231()3V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.第20题图21．（本小题满分13分）设0a >，0b >，已知函数()1ax bf x x +=+. （Ⅰ）当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数.（i ）判断(1)f, f ,()bf a是否成等比数列，并证明()b f f a ≤；（ii ）a 、b 的几何平均数记为G . 称2aba b+为a 、b 的调和平均数，记为H . 若()H f x G ≤≤，求x 的取值范围.22．（本小题满分14分）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S . （Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．第22题图2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：1．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．B 7．A 8．D 9．C 10．B 二、填空题：11．23i -+ 12．（Ⅰ）7 （Ⅱ）2 13．414．4 15．3 16．3 17．（Ⅰ）3, 1, 6 （Ⅱ）79 三、解答题： 18．（Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=,即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A = 或cos 2A =-（舍去）.因为0πA <<，所以π3A =.（Ⅱ）由11sin 22S bc A bc ====得20bc =. 又5b =，知4c =. 由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a .又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=.19．（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，则10a ≠，0q ≠. 由题意得 2432234,18,S S S S a a a -=-⎧⎨++=-⎩ 即23211121,(1)18,a q a q a q a q q q ⎧--=⎪⎨++=-⎪⎩ 解得13,2.a q =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为13(2)n n a -=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）有 3[1(2)]1(2)1(2)n n n S ⋅--==----. 若存在n ，使得2013n S ≥，则1(2)2013n --≥，即(2)2012.n -≤- 当n 为偶数时，(2)0n ->，上式不成立；当n 为奇数时，(2)22012n n -=-≤-，即22012n ≥，则11n ≥.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{21,,5}n n k k k =+∈≥N . 20．（Ⅰ）依题意12A A ⊥平面ABC ，12B B ⊥平面ABC ，12C C ⊥平面ABC ，所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2. 又121A A d =，122B B d =，123C C d =，且123d d d << . 因此四边形1221A A B B 、1221A A C C 均是梯形.由2AA ∥平面MEFN ，2AA ⊂平面22AA B B ，且平面22AA B B 平面MEFN ME =，可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE . 同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG . 又M 、N 分别为AB 、AC 的中点，则D 、E 、F 、G 分别为11A B 、22A B 、22A C 、11AC 的中点，即DE 、FG 分别为梯形1221A A B B 、1221A A C C 的中位线.因此 12121211()()22DE A A B B d d =+=+，12121311()()22FG A A C C d d =+=+，而123d d d <<，故DE FG <，所以中截面DEFG 是梯形. （Ⅱ）V V <估. 证明如下：由12A A ⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得12A A MN ⊥. 而EM ∥A 1A 2，所以EM MN ⊥，同理可得FN MN ⊥. 由MN 是△ABC 的中位线，可得1122MN BC a ==即为梯形DEFG 的高，因此13121231()(2)22228DEFG d d d d a a S S d d d ++==+⋅=++中梯形，即123(2)8ahV S h d d d =⋅=++估中. 又12S ah =，所以1231231()()36ahV d d d S d d d =++=++.于是1231232131()(2)[()()]6824ah ah ahV V d d d d d d d d d d -=++-++=-+-估.由123d d d <<，得210d d ->，310d d ->，故V V <估.（Ⅰ）()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞ ，22(1)()()(1)(1)a x ax b a bf x x x +-+-'==++.当a b >时，()0f x '>，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递增；当a b <时，()0f x '<，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递减.（Ⅱ）（i ）计算得(1)02a b f +=>，2()0b abf a a b=>+，0f =.故22(1)()[2b a b ab f f ab f aa b +=⋅==+, 即2(1)()[b f f f a =. ①所以(1),()bf f f a成等比数列.因2a b+(1)f f ≥. 由①得()b f f a ≤.（ii ）由（i ）知()bf H a=，f G =.故由()H f x G ≤≤，得()()b f f x f a ≤≤. ②当a b =时，()()b f f x f a a ===.这时，x 的取值范围为(0,)+∞；当a b >时，01ba <<，从而b a <()f x 在(0,)+∞上单调递增与②式，得bx a≤≤x 的取值范围为,b a ⎡⎢⎣；当a b <时，1ba>，从而b a >()f x 在(0,)+∞上单调递减与②式，bx a ≤≤，即x 的取值范围为b a ⎤⎥⎦.依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m+=，2C ：22221x y a n +=. 其中0a m n >>>， 1.mn λ=>（Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-，于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=. 解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=. 所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--.若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=.（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d =，2d ==12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=. 由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-， ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是第22题解答图1第22题解答图2||1||1AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =，B x =.根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A B x AD BC x = ② 从而由①和②式可得1(1)λλλ+-. ③ 令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠，所以20k >. 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-，等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>+l 使得12S S λ=. 解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d =，2d ==12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==.因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+===-，所以11A B x x λλ+=-. 由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n+=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=，依题意0A B x x >>，所以22AB x x >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-. 因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1A Bx x λ<<.从而111λλλ+<<-，解得1λ>+当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>+l 使得12S S λ=.。

2013高考数学(文)真题专业解析(湖北卷)(精)

A．奇函数
B．偶函数
C．增函数
D．周期函数
答案：D
思路分析：
考点解剖：本题主要考查新知识的接收及使用能力，及数形结合的思想方法．
解题思路：作出函数的大致图象，利用图形直观判断．
解答过程：作出函数的大致图象如下：
观察图象，易知函数是周期函数．
故选D．
规律总结：当通过函数的解析式不好判断函数的奇偶性、单调性、周期性等基本性质时，可通过数形结合作出函数的图象，通过图象来直观判断，既方便又快捷，一目了然．
主题9．
某旅行社租用、两种型号的客车安排900名客人旅行，、两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且型车不多于型车7辆．则租金最少为（）
A．31200元
B．36000元
C．36800元
D．38400元
答案：C
思路分析：
解题思路：先求出平移后函数的解析式，再根据奇偶性列式求解．
解答过程：将函数的图象向左平移个单位后，
得到函数的图象，
由题意，函数关于轴对称，
所以函数为偶函数，
故，
解得．
故当时，取得最小正值．
故选B．
规律总结：若三角函数为偶函数，则；若三角函数为奇函数，则．
主题7．
已知点，则向量在方向上的投影为（）
考点解剖：本题主要考查线性规划的实际应用．
解题思路：将文字语言翻译成数学语言，再利用线性规划知识求解．
解答过程：设分别租两种型号的客车辆，
则即
则租金为．
作横坐标、纵坐标分别为整数的点）所示．
易知当直线经过点时，取得最小值，

2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)

2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则B ∩∁U A ＝( )A ．{2}B ．{3，4}C ．{1，4，5}D ．{2，3，4，5}2．已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q ) B. p ∨(綈q ) C. (綈p )∧(綈q ) D ．p ∨q4．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：① y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423；②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648；③ y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493；④ y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D. ①④5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是( )6．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R)的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π12 B.π6 C.π3 D.5π67．已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C ．－322D ．－31528．x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数 D. 周期函数9．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( ) A ．31 200元 B ．36 000元 C ．36 800元 D ．38 400元10．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0，1)D ．(0，＋∞)第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在题中横线上)11．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________．12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________．13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m 的值为2，则输出的结果i ＝________．14．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝⎛⎭⎫0<θ<π2.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________．15．在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________．16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)17．在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L . 例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数. 若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝________(用数值作答)．三、解答题(本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos 2A －3cos (B ＋C )＝1. (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．19．(本小题满分13分)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式．(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．20．(本小题满分13分)如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为A 1A 2＝d 1，同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为B 1B 2＝d 2，C 1C 2＝d 3，且d 1<d 2<d 3，过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线AA 2平行的平面截多面体A 1B 1C 1－A 2B 2C 2所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S中．(1)证明：中截面DEFG 是梯形．(2)在△ABC 中，记BC ＝a ，BC 边上的高为h ，面积为S .在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量(即多面体A 1B 1C 1－A 2B 2C 2的体积V )时，可用近似公式V 估＝S 中·h 来估算．已知V ＝13(d 1＋d 2＋d 3)S ，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明．21．(本小题满分13分)设a >0，b >0，已知函数f (x )＝ax ＋bx ＋1. (1)当a ≠b 时，讨论函数f (x )的单调性．(2)当x >0时，称f (x )为a 、b 关于x 的加权平均数． ①判断f (1)，f ⎝⎛⎭⎫b a ，f ⎝⎛⎭⎫b a 是否成等比数列，并证明f ⎝⎛⎭⎫b a ≤f ⎝⎛⎭⎫b a ； ②a 、b 的几何平均数记为G ，称2aba ＋b为a 、b 的调和平均数，记为H ，若H ≤f (x )≤G ，求x 的取值范围．22．(本小题满分14分)如图，已知椭圆C 1与C 2的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2n (m >n )，过原点且不与x 轴重合的直线l 与C 1，C 2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .记λ＝mn ，△BDM 和△ABN 的面积分别为S 1和S 2.(1)当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，求λ的值；(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2？并说明理由．湖北卷(文史类)1．解析：先求∁U A ，再找公共元素．∵U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2}， ∴∁U A ＝{3，4，5}，∴B ∩∁U A ＝{2，3，4}∩{3，4，5}＝{3，4}．答案：B2．解析：先确定实半轴和虚半轴的长，再求出半焦距．双曲线C 1和C 2的实半轴长分别是sin θ和cos θ，虚半轴长分别是cos θ和sin θ，则半焦距c 都等于1，故选D. 答案：D3．解析：根据逻辑联结词“或”“且”“非”的含义判断．依题意，綈p ：“甲没有降落在指定范围”，綈q ：“乙没有降落在指定范围”，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p )∨(綈q )．答案：A4．解析：根据正负相关性的定义作出判断．由正负相关性的定义知①④一定不正确．答案：D5．解析：先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断．距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C. 答案：C6．解析：先将函数解析式化简，再写出平移后的解析式，然后根据函数为偶函数求得m 的值．由于y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，向左平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋m －π6的图象．由于该图象关于y 轴对称，所以m －π6＝k π(k ∈Z)，于是m ＝kπ＋π6(k ∈Z)，又m >0，故当k ＝0时，m 取最小值π6.答案：B7．解析：首先求出AB →，CD →的坐标，然后根据投影的定义进行计算．由已知得AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，因此AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.答案：A8．解析：首先理解题意，画出函数的图象．函数的图象(图象略)在两个整数之间都是斜率为1的线段(不含终点)，故选D. 答案：D9．解析：先根据题意列出约束条件和目标函数，通过平移目标函数加以解决，设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ，y ∈N ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5，12)时，有最小值z min ＝36800(元)．答案：C10．解析：由已知得f ′(x )＝0有两个正实数根x 1，x 2(x 1<x 2)，即f ′(x )的图象与x 轴有两个交点，从而得a 的取值范围．f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，依题意ln x ＋1－2ax ＝0有两个正实数根x 1，x 2(x 1<x 2)．设g (x )＝ln x ＋1－2ax ，函数g (x )＝ln x ＋1－2ax 有两个零点，显然当a ≤0时不合题意，必有a >0；g ′(x )＝1x －2a ，令g ′(x )＝0，得x ＝12a ，于是g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞上单调递减，所以g (x )在x ＝12a 处取得极大值，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝ln12a >0，12a >1，所以0<a <12. 答案：B11．解析：根据复平面内点的对称性，找出z 2的实部和虚部．(2，－3)关于原点的对称点是(－2，3)，∴z 2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i12．解析：利用平均值和标准差公式求解．(1)x －＝7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋410＝7.(2)s 2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s ＝2. 答案：(1)7 (2)213．解析：根据循环结构找出i 的值．m ＝2，A ＝1，B ＝1，i ＝0.第一次：i ＝0＋1＝1，A ＝1×2＝2，B ＝1×1＝1，A >B ；第二次：i ＝1＋1＝2，A ＝2×2＝4，B ＝1×2＝2，A >B ；第三次：i ＝2＋1＝3，A ＝4×2＝8，B ＝2×3＝6，A >B ；第四次：i ＝3＋1＝4，A ＝8×2＝16，B ＝6×4＝24，A <B . 终止循环，输出i ＝4. 答案：414．解析：先求出圆心到直线的距离，再进行判断．∵圆心(0，0)到直线的距离为1，又∵圆O 的半径为5，故圆上有4个点符合条件．答案：415．解析：根据几何概型，在线性问题中用长度之比表示概率，求m 的值．由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2<m <4时，由题意得m －（－2）6＝56，解得m ＝3.即m 的值为3. 答案：316．解析：求出水面的半径，根据圆台的体积公式求出雨水的体积，除以盆口面积即得．圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，∴降水量为π3（102＋10×6＋62）×9π×142＝3(寸)．答案：317．解析：(1)观察图形得出结论；(2)由条件及(1)，同时再找一格点多边形确定出a ，b ，c 的值，再求S .(1)由图可知四边形DEFG 是直角梯形，高为2，下底为22，上底为2，所以梯形面积S ＝（2＋22）×22＝3.由图知N ＝1，L ＝6.(2)取相邻四个小正方形组成一个正方形，其面积S ＝4，N ＝1，L ＝8，结合△ABC ，四边DEFG 可列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧4b ＋c ＝1，a ＋6b ＋c ＝3，a ＋8b ＋c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12，c ＝－1，S ＝1×71＋12×18－1＝79.答案：(1)3，1，6 (2)7918．解：(1)由cos 2A －3cos (B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20，又b ＝5，所以c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，所以a ＝21.从而由正弦定理得sin B sin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57.19．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q （1＋q ＋q 2）＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1.(2)由(1)有S n ＝3[1－（－2）n]1－（－2）＝1－(－2)n.假设存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n≥2 013，即(－2)n≤－2 012.当n 为偶数时，(－2)n>0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2 012，即2n≥2 012，即n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}． 20．(1)证明：依题意A 1A 2⊥平面ABC ，B 1B 2⊥平面ABC ，C 1C 2⊥平面ABC ，所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2.又A 1A 2＝d 1，B 1B 2＝d 2，C 1C 2＝d 3，且d 1<d 2<d 3，所以四边形A 1A 2B 2B 1、A 1A 2C 2C 1均是梯形．由AA 2∥平面MEFN ，AA 2⊂平面AA 2B 2B ，且平面AA 2B 2B ∩平面MEFN ＝ME ，可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE . 同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG . 又点M 、N 分别为AB 、AC 的中点，则点D 、E 、F 、G 分别为A 1B 1、A 2B 2、A 2C 2、A 1C 1的中点，即DE 、FG 分别为梯形A 1A 2B 2B 1、A 1A 2C 2C 1的中位线，因此DE ＝12(A 1A 2＋B 1B 2)＝12(d 1＋d 2)，FG ＝12(A 1A 2＋C 1C 2)＝12(d 1＋d 3)，而d 1<d 2<d 3，故DE <FG ，所以中截面DEFG 是梯形． (2)解：V 估<V .证明如下：由A 1A 2⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得A 1A 2⊥MN . 而EM ∥A 1A 2，所以EM ⊥MN ，同理可得FN ⊥MN .由MN 是△ABC 的中位线，可得MN ＝12BC ＝12a ，即为梯形DEFG 的高，因此S 中＝S 梯形DEFG＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫d 1＋d 22＋d 1＋d 32·a 2＝a8(2d 1＋d 2＋d 3)，即V 估＝S 中·h ＝ah8(2d 1＋d 2＋d 3)．又S ＝12ah ，所以V ＝13(d 1＋d 2＋d 3)S ＝ah6(d 1＋d 2＋d 3)．于是V －V 估＝ah6(d 1＋d 2＋d 3)－ah8(2d 1＋d 2＋d 3)＝ah24[(d 2－d 1)＋(d 3－d 1)]．由d 1<d 2<d 3，得d 2－d 1>0，d 3－d 1>0，故V 估<V .21．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，f ′(x )＝a （x ＋1）－（ax ＋b ）（x ＋1）2＝a －b（x ＋1）2.当a >b 时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递增；当a 0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a＝2ab a ＋b >0，f ⎝⎛⎭⎪⎫b a ＝ab >0，故f (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝a ＋b 2·2aba ＋b ＝ab ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫b a 2，① 所以f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 成等比数列．因为a ＋b2≥ab ，即f (1)≥f ⎝⎛⎭⎪⎫b a .由①得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤f ⎝⎛⎭⎪⎫b a . ②由①知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a＝H ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝G ，故由H ≤f (x )≤G ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a .② 当a ＝b 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＝f (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫b a ＝a . 这时，x 的取值范围为(0，＋∞)；当a >b 时，01，从而b a>b a，由f (x )在(0，＋∞)上单调递减与②式，得b a ≤x ≤b a ，即x 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤b a ，b a . 22．解：依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1：x 2a 2＋y 2m 2＝1，C 2：x 2a 2＋y 2n 2＝1，其中0<n <m <a ，λ＝m n>1.(1)方法一：如图(1)，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为x ＝0，则S 1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |，S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |，所以S 1S 2＝|BD ||AB |. 在C 1和C 2的方程中分别令x ＝0，可得y A ＝m ，y B ＝n ，y D ＝－m ，于是|BD ||AB |＝|y B －y D ||y A －y B |＝m ＋n m －n ＝λ＋1λ－1.若S 1S 2＝λ，则λ＋1λ－1＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ>1，可解得λ＝2＋1.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ＝2＋1. 方法二：如图(1)，若直线l 与y 轴重合，则 |BD |＝|OB |＋|OD |＝m ＋n ；|AB |＝|OA |－|OB |＝m －n ；S 1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |，S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |.所以S 1S 2＝|BD ||AB |＝m ＋n m －n ＝λ＋1λ－1.若S 1S 2＝λ，则 λ＋1λ－1＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ>1，可解得λ＝2＋1.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ＝2＋1.(2)方法一：如图(2)，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2，根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k >0)，因为点M (－a ，0)，N (a ，0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，因为d 1＝|－ak －0|1＋k 2＝ak 1＋k 2，d 2＝|ak －0|1＋k 2＝ak 1＋k2，所以d 1＝d 2.又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以S 1S 2＝|BD ||AB |＝λ，即|BD |＝λ|AB |.由对称性可知|AB |＝|CD |，所以|BC |＝|BD |－|AB |＝(λ－1)|AB |， |AD |＝|BD |＋|AB |＝(λ＋1)|AB |，于是|AD ||BC |＝λ＋1λ－1.①将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得x A ＝am a 2k 2＋m 2，x B＝ana 2k 2＋n 2. 根据对称性可知x C ＝－x B ，x D ＝－x A ，于是 |AD ||BC |＝1＋k 2|x A －x D |1＋k 2|x B －x C |＝2x A 2x B ＝m n a 2k 2＋n 2a 2k 2＋m 2.②从而由①和②式可得a 2k 2＋n 2a 2k 2＋m 2＝λ＋1λ（λ－1）.③ 令t ＝λ＋1λ（λ－1），则由m >n ，可得t ≠1，于是由③可解得k 2＝n 2（λ2t 2－1）a 2（1－t 2）.因为k ≠0，所以k 2>0.于是③式关于k 有解，当且仅当n 2（λ2t 2－1）a 2（1－t 2）>0，等价于(t 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－1λ2<0. 由λ>1，可解得1λ<t <1，即1λ<λ＋1λ（λ－1）<1，由λ>1，解得λ>1＋ 2.所以当1<λ≤1＋2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2；当λ>1＋2时，存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.方法二：如图(2)，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2，根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k >0)，点M (－a ，0)，N (a ，0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，因为d 1＝|－ak －0|1＋k2＝ak1＋k2，d 2＝|ak －0|1＋k2＝ak1＋k2，所以d 1＝d 2.又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以S 1S 2＝|BD ||AB |＝λ.因为|BD ||AB |＝1＋k 2|x B －x D |1＋k 2|x A －x B |＝x A ＋x B x A －x B＝λ，所以x A x B ＝λ＋1λ－1. 由点A (x A ，kx A )，B (x B ，kx B )分别在C 1，C 2上，可得x 2A a 2＋k 2x 2A m 2＝1，x 2B a 2＋k 2x 2Bn2＝1，两式相减可得x 2A －x 2B a 2＋k 2（x 2A －λ2x 2B ）m 2＝0. 依题意x A >x B >0，所以x 2A >x 2B .所以由上式解得k 2＝m 2（x 2A －x 2B ）a 2（λ2x 2B －x 2A ）. 因为k 2>0，所以由m 2（x 2A －x 2B ）a 2（λ2x 2B －x 2A ）>0，可解得1<x A x B<λ. 从而1<λ＋1λ－1<λ，解得λ>1＋2，所以当1<λ≤1＋2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2；当λ>1＋2时，存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(新课标I卷)Word版无答案

绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n2，n∈A｝,则A∩B= ( ) （A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1} （D）｛-1，,0，1}（2） = ( )（A）-1 - i（B）-1 + i（C）1 + i（D）1 - i（3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A）（B）（C）（D）（4）已知双曲线C： = 1（a>0,b>0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）（A）y=±x （B）y=±x （C）y=±x （D）y=±x（5）已知命题p：，则下列命题中为真命题的是：（）（A） p∧q （B）￢p∧q （C）p∧￢q （D）￢p∧￢q（6）设首项为1，公比为的等比数列｛an ｝的前n项和为Sn，则（）（A）Sn =2an-1 （B）Sn=3an-2 （C）Sn=4-3an（D）Sn=3-2an（7）执行右面的程序框图，如果输入的t∈[-1，3]，则输出的s属于（A）[-3,4]（B）[-5,2]（C）[-4,3]（D）[-2,5]（8）O为坐标原点，F为抛物线C：y²=4x的焦点，P为C上一点，若丨PF丨=4，则△POF的面积为（A）2 （B）2（C）2（D）4（9）函数f（x）=（1-cosx）sinx在[-π，π]的图像大致为（10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b= （A）10 （B）9 （C）8 （D）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（A）18+8π（B）8+8π（C）16+16π（D）8+16π（12）已知函数f（x）= 若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（A）（-∞] （B）（-∞] (C)[-2,1] (D)[-2,0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2013年全国高考文科数学试题及答案-湖北卷

2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(无误版)

绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n2，n∈A｝,则A∩B= ( ) （A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1} （D）｛-1，,0，1} （2）错误！未找到引用源。

=( )（A）-1 - 错误！未找到引用源。

i（B）-1 + 错误！未找到引用源。

i （C）1 + 错误！未找到引用源。

i（D）1 - 错误！未找到引用源。

i（3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A）错误！未找到引用源。

（B）错误！未找到引用源。

（C）错误！未找到引用源。

（D）错误！未找到引用源。

（4）已知双曲线C：错误！未找到引用源。

= 1（a>0,b>0）的离心率为错误！未找到引用源。

，则C的渐近线方程为（）（A）y=±错误！未找到引用源。

x （B）y=±错误！未找到引用源。

x （C）y=±错误！未找到引用源。

x （D）y=±x（5）已知命题p：，则下列命题中为真命题的是：（）（A） p∧q （B）￢p∧q （C）p∧￢q （D）￢p∧￢q （6）设首项为1，公比为错误！未找到引用源。

的等比数列｛an｝的前n项和为Sn，则（）（A）Sn =2an-1 （B）Sn=3an-2 （C）Sn=4-3an（D）Sn=3-2an（7）执行右面的程序框图，如果输入的t∈[-1，3]，则输出的s属于（A）[-3,4]（B）[-5,2]（C）[-4,3]（D）[-2,5]（8）O为坐标原点，F为抛物线C：y²=4x的焦点，P为C上一点，若丨PF丨=4，则△POF的面积为（A）2 （B）2（C）2（D）4（9）函数f（x）=（1-cosx）sinx在[-π，π]的图像大致为（10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（A）10 （B）9 （C）8 （D）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（A）18+8π（B）8+8π（C）16+16π（D）8+16π（12）已知函数f（x）= 若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（A）（-∞] （B）（-∞] (C)[-2,1] (D)[-2,0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题湖北卷(文)

湖北卷(文)一、选择题1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则B ∩∁U A 等于( ) A ．{2}B ．{3,4}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4,5}答案 B解析 ∁U A ＝{3,4,5}，∴B ∩∁U A ＝{2,3,4}∩{3,4,5}＝{3,4}．2．已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等答案 D解析双曲线C 1、C 2的焦距均为sin 2θ＋cos 2θ＝1.3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A ．(綈p )∨(綈q ) B ．p ∨(綈q ) C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q答案 A解析 “至少有一位学生没有落在指定范围”＝“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围”＝(綈p )∨(綈q )．4．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2 347x －6 423；②y 与x 负相关且y ^＝－3 476x ＋5 648；③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493；④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④答案 D解析 ①中，回归方程中x 的系数为正，不是负相关；④方程中的x 的系数为负，不是正相关，∴①④一定不正确．5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是( )答案 C解析开始匀速行驶时小明距学校距离应匀速减小，停留时不变，加快速度行驶时距离学校的距离应快速减小．6．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )它关于y 轴对称可得 sin(π3＋m )＝±1， ∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.7．已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322B.3152C ．－322D ．－3152答案 A解析 AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)∴AB →在CD →方向上的投影＝AB →·CD →|CD →|＝2×5＋1×552＋52＝1552＝322.8．x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数D ．周期函数答案 D解析 f (x )最小正周期T ＝1.9．某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为( ) A ．31 200元 B ．36 000元 C ．36 800元D ．38 400元答案 C解析设租A 型车x 辆，B 型车y 辆时租金为z 元则z ＝1 600x ＋2 400y画出可行域如图直线y ＝－23x ＋z2 400过点A (5,12)时纵截距最小，∴z min ＝5×1 600＋2 400×12＝36 800，故租金最少为36 800元．10．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，12)C ．(0,1)D ．(0，＋∞)答案 B解析 f ′(x )＝(ln x －ax )＋x (1x －a )＝ln x ＋1－2ax (x >0) 令f ′(x )＝0得2a ＝ln x ＋1x ，设φ(x )＝ln x ＋1x ，则φ′(x )＝－ln xx2易知φ(x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，大致图象如下若f (x )有两个极值点，则y ＝2a 和y ＝φ(x )图象有两个交点， ∴0<2a <1，∴0<a <12.二、填空题11．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若 z 1＝2－3i ，则z 2＝________.答案－2＋3i 解析 ∵z 1＋z 2＝0， ∴z 2＝－z 1＝－2＋3i.12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4则(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________．答案 (1)7 (2)2解析 (1)X ＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7010＝7.(2)D (X )＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4， ∴命中环数标准差为2.13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入m 的值为2，则输出的结果i ＝________.答案 4解析第一次循环：i ＝1，A ＝2，B ＝1；第二次循环：i ＝2，A ＝4，B ＝2；第三次循环；i ＝3，A ＝8，B ＝6；第四次循环：i ＝4，A ＝16，B ＝24，终止循环，输出i ＝4. 14．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1(0<θ<π2)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________.答案 4解析圆心O 到直线l 的距离d ＝1cos 2θ＋sin 2θ＝1，而圆O 半径为5，∴圆O 上到l 的距离等于1的点有4个．15．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.答案 3解析当m ≤2时，当然不适合题意，当m >2时，由m ＋24－(－2)＝56得m ＝3.16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸) 答案 3解析天池盆中水的形状是以上底半径10寸，下底半径6寸，高9寸的圆台， ∴平均降雨量＝13×9×π(102＋10×6＋62)π×142＝3.17．在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L .例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是__________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数．若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝________(用数值作答)．答案 (1)3,1,6 (2)79 解析 (1)由图观察知．(2)再取一组数据S ＝2，N ＝0，L ＝6，由题意，列方程⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ×0＋4b ＋c 3＝a ×1＋6b ＋c2＝6b ＋c可得a ＝1，b ＝12，c ＝－1∴所求＝71a ＋18b ＋c ＝71＋9－1＝79. 三、解答题18．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．解 (1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A <π，所以A ＝π3，(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20.又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21. 又由正弦定理得sin B sin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57.19．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．解 (1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得故数列{a n }的通项公式为a n ＝3(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝3·[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012. 当n 为偶数时，(－2)n >0.上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，则n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．20．如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为A 1A 2＝d 1，同样可得在B 、C 处正下方的矿层厚度分别为B 1B 2＝d 2，C 1C 2＝d 3，且d 1<d 2<d 3，过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线AA 2平行的平面截多面体A 1B 1C 1—A 2B 2C 2所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中．(1)证明：中截面DEFG 是梯形；(2)在△ABC 中，记BC ＝a ，BC 边上的高为h ，面积为S .在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量(即多面体A 1B 1C 1－A 2B 2C 2的体积V )时，可用近似公式V 估＝S 中·h 来估算. 已知V ＝13(d 1＋d 2＋d 3)S ，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明．(1)证明依题意A 1A 2⊥平面ABC ，B 1B 2⊥平面ABC ，C 1C 2⊥平面ABC ，所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2，又A 1A 2＝d 1，B 1B 2＝d 2，C 1C 2＝d 3，且d 1<d 2<d 3. 因此四边形A 1A 2B 2B 1，B 1B 2C 2C 1，A 1A 2C 2C 1均是梯形．由AA 2∥平面MEFN ，AA 2⊂平面AA 2B 2B ，且平面AA 2B 2B ∩平面MEFN ＝ME ，可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE ，同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG . 又M 、N 分别为AB 、AC 的中点，则D 、E 、F 、G 分别为A 1B 1、A 2B 2、A 2C 2、A 1C 1的中点，即DE 、FG 分别为梯形A 1A 2B 2B 1，A 1A 2C 2C 1的中位线，因此DE ＝12(A 1A 2＋B 1B 2)＝12(d 1＋d 2)，FG ＝12(A 1A 2＋C 1C 2)＝12(d 1＋d 3)，而d 1<d 2<d 3，故DE <FG ，所以中截面DEFG 是梯形． (2)解 V 估<V ，证明如下：由A 1A 2⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得A 1A 2⊥MN ，而EM ∥A 1A 2，所以EM ⊥MN ，同理可得FN ⊥MN ，由MN 是△ABC 的中位线，可得MN ＝12BC ＝12a 即为梯形DEFG 的高．因此S 中＝S 梯形DEFG ＝12(d 1＋d 22＋d 1＋d 32)·a 2＝a 8(2d 1＋d 2＋d 3)．即V 估＝S 中·h ＝ah 8(2d 1＋d 2＋d 3)．又S ＝12ah ，所以V ＝13(d 1＋d 2＋d 3)S ＝ah 6(d 1＋d 2＋d 3)．于是V －V 估＝ah 6(d 1＋d 2＋d 3)－ah 8(2d 1＋d 2＋d 3) ＝ah 24[(d 2－d 1)＋(d 3－d 1)]．由d 1<d 2<d 3，得d 2－d 1>0，d 3－d 1>0，故V 估<V .21．设a >0，b >0，已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋1. (1)当a ≠b 时，讨论函数f (x )的单调性；(2)当x >0时，称f (x )为a 、b 关于x 的加权平均数．①判断f (1)，f (b a )，f (b a )是否成等比数列，并证明f (b a )≤f (b a)； ②a 、b 的几何平均数记为G .称2ab a ＋b为a 、b 的调和平均数，记为H .若H ≤f (x )≤G ，求x 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，f ′(x )＝a (x ＋1)－(ax ＋b )(x ＋1)2＝a －b (x ＋1)2. 当a >b 时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递增；当a 0，f (b a )＝2ab a ＋b>0，f (b a )＝ab >0. 故f (1)f (b a )＝a ＋b 2·2ab a ＋b＝ab ＝[f (b a )]2，即f (1)f (b a)＝[f (b a )]2.* 所以f (1)，f (b a )，f (b a )成等比数列．因a ＋b 2≥ab ，即f (1)≥f (b a)，由*得f (b a )≤f (b a )． ②由*知f (b a)＝H ，f (b a )＝G .故由H ≤f (x )≤G ，得 f (b a )≤f (x )≤f (b a)．** 当a ＝b 时，f (b a)＝f (x )＝f (b a )＝a . 这时，x 的取值范围为(0，＋∞)；当a >b 时，01，从而b a>b a ，由f (x )在[0，＋∞)上单调递减与**式，得b a ≤x ≤b a ，即x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤b a ，b a . 22．如图，已知椭圆C 1与C 2的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m,2n (m >n )，过原点且不与x 轴重合的直线l 与C 1，C 2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .记λ＝m n，△BDM 和△ABN 的面积分别为S 1和S 2.(1)当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，求λ的值；(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2？并说明理由．解依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1：x 2a 2＋y 2m 2＝1；C 2：x 2a 2＋y 2n2＝1. 其中a >m >n >0，λ＝m n>1. (1)方法一如图，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为x ＝0，则S 1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |， S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |，所以S 1S 2＝|BD ||AB |. 在C 1和C 2的方程中分别令x ＝0，可得y A ＝m ，y B ＝n ，y D ＝－m ，于是|BD ||AB |＝|y B －y D ||y A －y B |＝m ＋n m －n ＝λ＋1λ－1. 若S 1S 2＝λ，则λ＋1λ－1＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0，由λ>1，可解得λ＝2＋1.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ＝2＋1.方法二如图，若直线l 与y 轴重合，则|BD |＝|OB |＋|OD |＝m ＋n ，|AB |＝|OA |－|OB |＝m －n ；S 1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |， S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |. 所以S 1S 2＝|BD ||AB |＝m ＋n m －n ＝λ＋1λ－1. 若S 1S 2＝λ，则λ＋1λ－1＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0.由λ>1，可解得λ＝2＋1，故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ＝2＋1.(2)方法一如图，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2，根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k >0)，点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，因为d 1＝|－ak －0|1＋k2＝ak 1＋k 2， d 2＝|ak －0|1＋k 2＝ak 1＋k 2，所以d 1＝d 2.又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以S 1S 2＝|BD ||AB |＝λ，即|BD |＝λ|AB |. 由对称性可知|AB |＝|CD |，所以|BC |＝|BD |－|AB |＝(λ－1)|AB |， |AD |＝|BD |＋|AB |＝(λ＋1)|AB |，于是|AD ||BC |＝λ＋1λ－1.① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得x A ＝ama 2k 2＋m 2，x B ＝ana 2k 2＋n 2.根据对称性可知x C ＝－x B ，x D ＝－x A ，于是|AD ||BC |＝1＋k 2|x A －x D |1＋k 2|x B －x C |＝2x A 2x B ＝m n a 2k 2＋n 2a 2k 2＋m 2② 从而由①和②式可得a 2k 2＋n 2a 2k 2＋m 2＝λ＋1λ(λ－1).③令t ＝λ＋1λ(λ－1)，则由m >n ，可得t ≠1，于是由③可解得k 2＝n 2(λ2t 2－1)a 2(1－t 2). 因为k ≠0，所以k 2>0.于是③式关于k 有解，当且仅当n 2(λ2t 2－1)a 2(1－t 2)>0，等价于(t 2－1)⎝⎛⎭⎫t 2－1λ2<0. 由λ>1，可解得1λ<t <1.即1λ<λ＋1λ(λ－1)<1，由λ>1，解得λ>1＋2，所以当1<λ≤1＋2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2；当λ>1＋2时，存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2. 方法二如图，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2. 根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k >0)．点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1、d 2，则因为d 1＝|－ak －0|1＋k2＝ak 1＋k 2， d 2＝|ak －0|1＋k 2＝ak 1＋k 2，所以d 1＝d 2.又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以S 1S 2＝|BD ||AB |＝λ. 因为|BD ||AB |＝1＋k 2|x B －x D |1＋k 2|x A －x B |＝x A ＋x B x A －x B＝λ，所以x A x B ＝λ＋1λ－1.由点A (x A ，kx A )，B (x B ，kx B )分别在C 1，C 2上，可得x 2A a 2＋k 2x 2A m 2＝1，x 2B a 2＋k 2x 2B n 2＝1，两式相减可得x 2A －x 2B a 2＋k 2(x 2A －λ2x 2B )m 2＝0，依题意x A >x B >0，所以x 2A >x 2B .所以由上式解得k 2＝m 2(x 2A －x 2B )a 2(λ2x 2B －x 2A ). 因为k 2>0，所以由m 2(x 2A －x 2B )a 2(λ2x 2B －x 2A )>0，可解得1<x A x B <λ. 从而1<λ＋1λ－1<λ，解得λ>1＋2，所以当1<λ≤1＋2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2；当λ>1＋2时，存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(新课标II卷,解析版1)

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学 (文科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，则M N = （）（A ）{2,1,0,1}-- （B ）{3,2,1,0}--- （C ）{2,1,0}-- （D ）{3,2,1}--- 【答案】C【解析】因为{31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---,所以M N {2,1,0}=--，选C.2、21i=+（）（A）（B ）2 （C（D ）1 【答案】C 【解析】22(1)2(1)11(1)(1)2i i i ii i --===-+-+，所以21i=+ C.3、设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（）（A ）7- （B ）6- （C ）5- （D ）3- 【答案】B【解析】由z=2x-3y 得3y=2x-z ，即233z y x =-。

作出可行域如图,平移直线233z y x =-，由图象可知当直线233z y x =-经过点B 时，直线233z y x =-的截距最大，此时z 取得最小值，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B ,代入直线z=2x-3y 得32346z =⨯-⨯=-，选B.4、A B C ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则A B C ∆的面积为（）（A）2 （B1 （C）2 （D1 【答案】B 【解析】因为,64B C ππ==,所以712A π=.由正弦定理得sinsin64b c ππ=，解得c =所以三角形的面积为117sin 22212b c A π=⨯⨯.因为7231si n s i ()()12342222222ππ=+⨯+=+，所以1231s 22()32222b c =+=+，选B. 5、设椭圆2222:1x y C ab+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212P F F F ⊥，1230P F F ∠=，则C 的离心率为（）（A6（B ）13（C ）12（D3【答案】D【解析】因为21212,30P F F F P F F ⊥∠=,所以212tan 30,33P F c P F ===。

2013年普通高等学校招生全国统一考试全国卷新课标1数学文科

绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n2，n∈A｝,则A∩B= ( ) （A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1} （D）｛-1，,0，1}（2） =( )（A）-1 - i（B）-1 + i（C）1 + i（D）1 - i（3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A）（B）（C）（D）（4）已知双曲线C： = 1（a>0,b>0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）（A）y=±x （B）y=±x （C）y=±x （D）y=±x（5）已知命题p：，则下列命题中为真命题的是：（）（A） p∧q （B）￢p∧q （C）p∧￢q （D）￢p∧￢q（6）设首项为1，公比为的等比数列｛an ｝的前n项和为Sn，则（）（A）Sn =2an-1 （B）Sn=3an-2 （C）Sn=4-3an（D）Sn=3-2an（7）执行右面的程序框图，如果输入的t∈[-1，3]，则输出的s属于（A）[-3,4]（B）[-5,2]（C）[-4,3]（D）[-2,5]（8）O为坐标原点，F为抛物线C：y²=4x的焦点，P为C上一点，若丨PF丨=4，则△POF的面积为（A）2 （B）2（C）2（D）4（9）函数f（x）=（1-cosx）sinx在[-π，π]的图像大致为（10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（A）10 （B）9 （C）8 （D）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（A）18+8π（B）8+8π（C）16+16π（D）8+16π（12）已知函数f（x）= 若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（A）（-∞] （B）（-∞] (C)[-2,1] (D)[-2,0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2013高考湖北数学真题及答案

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(文史类)本试题卷共5页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则A. B. C. D.2.已知，则双曲线：与：的A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等3.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A.∨B.∨C.∧D.∨4.四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：① y与x负相关且; ② y与x负相关且;③ y与x正相关且; ④ y与x正相关且.其中一定不正确的结论的序号是A.①②B.②③C.③④D. ①④5.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是6.将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是A. B. C. D.7.已知点、、、，则向量在方向上的投影为A. B. C. D.8.x为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为A.奇函数B.偶函数C.增函数D. 周期函数9.某旅行社租用、两种型号的客车安排900名客人旅行，、两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且型车不多于型车7辆.则租金最少为A.31200元B.36000元C.36800元D.38400元10.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是A. B. C. D.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.为虚数单位，设复数，在复平面内对应的点关于原点对称，若，则 .12.某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则(Ⅰ)平均命中环数为 ;(Ⅱ)命中环数的标准差为 .13.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入的值为2，则输出的结果 .14.已知圆：，直线：().设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则 .15.在区间上随机地取一个数x，若x满足的概率为，则 .16.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸.(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)17.在平面直角坐标系中，若点的坐标，均为整数，则称点为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点数记为. 例如图中△是格点三角形，对应的，，.(Ⅰ)图中格点四边形DEFG对应的分别是 ;(Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为，其中a，b，c为常数.若某格点多边形对应的，，则 (用数值作答).三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本小题满分12分)在△中，角，，对应的边分别是，，. 已知.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若△的面积，，求的值.19.(本小题满分13分)已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)是否存在正整数，使得?若存在，求出符合条件的所有的集合;若不存在，说明理由.20.(本小题满分13分)如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为.同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为，，且. 过，的中点，且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面，其面积记为.(Ⅰ)证明：中截面是梯形;(Ⅱ)在△ABC中，记，BC边上的高为，面积为. 在估测三角形区域内正下方的矿藏储量(即多面体的体积)时，可用近似公式来估算. 已知，试判断与V的大小关系，并加以证明.21.(本小题满分13分)设，，已知函数.(Ⅰ)当时，讨论函数的单调性;(Ⅱ)当时，称为、关于的加权平均数.(i)判断, ,是否成等比数列，并证明;(ii)、的几何平均数记为G. 称为、的调和平均数，记为H.若，求的取值范围.22.(本小题满分14分)如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.记，△和△的面积分别为和.(Ⅰ)当直线与轴重合时，若，求的值;(Ⅱ)当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得?并说明理由.。

2013年湖北高考数学试题及答案(文科)

2013年湖北高考数学试题及答案(文科)一、选择题1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则B ∩(∁U A)＝( )A ．{2}B ．{3，4}C ．{1，4，5}D ．{2，3，4，5}1．B [解析] ∁U A ＝{3，4，5}，B ∩(∁U A)＝{3，4}．2．已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等2．D [解析] c 1＝c 2＝sin 2 θ＋cos 2 θ＝1，故焦距相等． 3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(⌝p)∨(⌝q)B ．p ∨(⌝q)C ．(⌝p)∧(⌝q)D ．p ∨q3．A [解析] “至少一位学员没降落在指定区域”即为“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.4．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ︿＝2.347x －6.423；②y 与x 负相关且y ︿＝－3.476x ＋5.648；③y 与x正相关且y ︿＝5.437x ＋8.493；④y 与x 正相关且y ︿＝－4.326x －4.578.其中一定不正确．．．的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④4．D [解析] r 为正时正相关，r 为负时负相关，r 与k 符号相同，故k>0时正相关，k<0时负相关．5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是( )图1－15．C [解析] 由题意可知函数图像最开始为“斜率为负的线段”，接着为“与x 轴平行的线段”，最后为“斜率为负值，且小于之前斜率的线段”．观察选项中图像可知，C 项符合，故选C.6．将函数y ＝3cos x ＋sin x(x ∈)的图像向左平移m(m ＞0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π66．B [解析] 结合选项，将函数y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像向左平移π6个单位得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝2cos x ，它的图像关于y 轴对称，选B.7．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.3 22B.3 152C ．－3 22D ．－3 1527．A [解析] AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，|AB →|·cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝3 22.8． x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，则函数f(x)＝x －[x]在上为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数 D ．周期函数 8．D [解析] 作出函数f(x)＝x －[x]的大致图像如下：观察图像，易知函数f(x)＝x －[x]是周期函数．9．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元9．C [解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧36A ＋60B ≥900，A ＋B ≤21，B －A ≤7，其可行域如图中阴影部分，令z ＝1 600A ＋2400BB ＝－23A ＋z2 400，过点M(5，12)时，z min ＝1 600×5＋2 400×12＝36 800.10．已知函数f(x)＝x(ln x －ax)有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0，1) D ．(0，＋∞)10．B [解析] f′(x)＝ln x －ax ＋x(1x－a)＝ln x －2ax ＋1，函数f(x)有两个极值点等价于方程ln x －2ax ＋1＝0有两个大于零的不相等的实数根．令y 1＝ln x ，y 2＝2ax －1，在同一坐标系中作出这两个函数的图像，显然a ≤0时，两个函数图像只有一个公共点，故a>0，此时当直线的斜率逐渐变大直到直线y ＝2ax －1与曲线y ＝ln x 相切时，两函数图像均有两个不同的公共点，y ′1＝1x ，故曲线y ＝ln x 上的点(x 0，ln x 0)处的切线方程是y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，该直线过点(0，－1)，则－1－ln x 0＝－1，解得x 0＝1，故过点(0，－1)的曲线y ＝ln x的切线斜率是1，故2a ＝1，即a ＝12，所以a 的取值范围是(0，12)．11． i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________．11．－2＋3i [解析] 由z 2与z 1对应的点关于原点对称知：z 2＝－2＋3i. 12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下： 7，8，7，9，5，4，9，10，7，4 则(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________．12．(1)7 (2)2 [解析] x ＝7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋410＝7，标准差σ＝110[（7－7）2＋（8－7）2＋…＋（4－7）2]＝2. 13．阅读如图1－2所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m 的值为2，则输出的结果i ＝________．图1－213．4 [解析] 逐次运行结果是i ＝1，A ＝2，B ＝1；i ＝2，A ＝4，B ＝2；i ＝3，A ＝8，B ＝6；i ＝4，A ＝16，B ＝24，此时Ad ，所以圆O 上共有4个点到直线的距离为1，k ＝4.15．在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为56，则m ＝________．15．3 [解析] 由题意知m>0，当0<m<2时，－m ≤x ≤m ，此时所求概率为m －（－m ）4－（－2）＝56，得m ＝52(舍去)；当2≤m<4时，所求概率为m －（－2）4－（－2）＝56，得m ＝3；当m ≥4时，概率为1，不合题意，故m ＝3.16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)16．3 [解析] 积水深度为盆深的一半，故此时积水部分的圆台上底面直径为二尺，圆台的高为九寸，故此时积水的体积是13π(102＋62＋10×6)×9＝196×3π(立方寸)，盆口的面积是π×142＝196π，所以平均降雨量是196×3π196π＝3寸．图1－317．在平面直角坐标系中，若点P(x ，y)的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L.例如图1－3中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数，若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝________(用数值作答)．17．(1)3，1，6 (2)79 [解析] (1)把四边形面积分割，其中四个面积为12的三角形，一个面积为1的正方形，故其面积为S ＝3；四边形内部只有一个格点；边界上有6个格点，故答案为3，6，1.(2)根据图中的格点三角形和四边形可得1＝4b ＋c ，3＝a ＋6b ＋c ，再选顶点为(0，0)，(2，0)，(2，2)，(0，2)的格点正方形可得4＝a ＋8b ＋c ，由上述三个方程组解得a ＝1，b ＝12，c ＝－1，所以S ＝N ＋12L －1，将已知数据代入得S ＝71＋9－1＝79.18．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c.已知cos 2A －3cos(B ＋C)＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝5 3，b ＝5，求sinB sin C 的值．18．解：(1)由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝5 3，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc·cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21.又由正弦定理得sin Bsin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57.19．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．19．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q （1＋q ＋q 2）＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3(－2)n －1.(2)由(1)有S n ＝3[1－（－2）n ]1－（－2）＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时，(－2)n ＞0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，则n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n|n ＝2k ＋1，k ∈，k ≥5}． 20．如图1－4所示，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为A 1A 2＝d 1.同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为B 1B 2＝d 2，C 1C 2＝d 3，且d 1＜d 2＜d 3.过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线AA 2平行的平面截多面体A 1B 1C 1－A 2B 2C 2所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中．(1)证明：中截面DEFG 是梯形；(2)在△ABC 中，记BC ＝a ，BC 边上的高为h ，面积为S.在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量(即多面体A 1B 1C 1－A 2B 2C 2的体积V)时，可用近似公式V 估＝S 中·h 来估算，已知V ＝13(d 1＋d 2＋d 3)S ，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明．图1－420．解：(1)证明：依题意A 1A 2⊥平面ABC ，B 1B 2⊥平面ABC ，C 1C 2⊥平面ABC ，所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2.又A 1A 2＝d 1，B 1B 2＝d 2，C 1C 2＝d 3，且d 1＜d 2＜d 3，因此四边形A 1A 2B 2B 1，A 1A 2C 2C 1均是梯形，由AA 2∥平面MEFN ，AA 2平面AA 2B 2B ，且平面AA 2B 2B ∩平面MEFN ＝ME ，可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE.同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG . 又M ，N 分别为AB ，AC 的中点．则D ，E ，F ，G 分别为A 1B 1，A 2B 2，A 2C 2，A 1C 1的中点，即DE ，FG 分别为梯形A 1A 2B 2B 1，A 1A 2C 2C 1的中位线．因此DE ＝12(A 1A 2＋B 1B 2)＝12(d 1＋d 2)，FG ＝12(A 1A 2＋C 1C 2)＝12(d 1＋d 3)，而d 1<d 2<d 3，故DE<FG ，所以中截面DEFG 是梯形． (2)V 估<V ，证明如下：由A 1A 2⊥平面ABC ，MN 平面ABC ，可得A 1A 2⊥MN. 而EM ∥A 1A 2，所以EM ⊥MN ，同理可得FN ⊥MN.由MN 是△ABC 的中位线，可得MN ＝12BC ＝12a 即为梯形DEFG 的高，因此S 中＝S 梯形DEFG ＝12⎝⎛⎭⎫d 1＋d 22＋d 1＋d 32·a 2＝a8(2d 1＋d 2＋d 3)．即V 估＝S 中h ＝ah8(2d 1＋d 2＋d 3)，又S ＝12ah ，所以V ＝13(d 1＋d 2＋d 3)S ＝ah6(d 1＋d 2＋d 3)．于是V －V 估＝ah 6(d 1＋d 2＋d 3)－ah 8(2d 1＋d 2＋d 3)＝ah24[(d 2－d 1)＋(d 3－d 1)]．由d 1<d 2<d 3，得d 2－d 1>0，d 3－d 1>0，故V －V 估>0，即V 估<V .21．，设a>0，b>0，已知函数f(x)＝ax ＋bx ＋1.(1)当a ≠b 时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当x>0时，称f(x)为a ，b 关于x 的加权平均数．(i)判断f(1)，f(b a )，f(b a )是否成等比数列，并证明f(b a )≤f(ba)；(ii)a ，b 的几何平均数记为G ，称2aba ＋b为a ，b 的调和平均数，记为H.若H ≤f(x)≤G ，求x 的取值范围．21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，f ′(x)＝a （x ＋1）－（ax ＋b ）（x ＋1）2＝a －b（x ＋1）2.当a ＞b 时，f ′(x)＞0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递增；当a ＜b 时，f ′(x)＜0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递减．(2)(i)计算得f(1)＝a ＋b 2＞0，f ⎝⎛⎭⎫b a ＝2aba ＋b ＞0， f ⎝⎛⎭⎫b a ＝ab ＞0. 故f(1)f ⎝⎛⎭⎫b a ＝a ＋b 2·2ab a ＋b ＝ab ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫b a 2，即f(1)f ⎝⎛⎭⎫b a ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫b a 2.①所以f(1)，f ⎝⎛⎭⎫b a ，f ⎝⎛⎭⎫b a 成等比数列．因a ＋b 2≥ab ，即f(1)≥f ⎝⎛⎭⎫b a ，结合①得f ⎝⎛⎭⎫b a ≤f ⎝⎛⎭⎫b a . (ii)由(i)知f(b a )＝H ，f(ba)＝G ，故由H ≤f(x)≤G ，得f ⎝⎛⎭⎫b a ≤f(x)≤f ⎝⎛⎭⎫b a .② 当a ＝b 时，f ⎝⎛⎭⎫b a ＝f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫b a ＝a. 这时，x 的取值范围为(0，＋∞)；当a ＞b 时，0＜b a ＜1，从而b a ＜b a ，由f(x)在(0，＋∞)上单调递增与②式，得b a ≤x ≤ba ，即x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤b a，b a ；当a ＜b 时，b a ＞1，从而b a ＞ba，由f(x)在(0，＋∞)上单调递减与②式，得b a ≤x ≤b a ，即x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤b a ，b a .22．，如图1－5所示，已知椭圆C 1与C 2的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2n(m>n)，过原点且不与x 轴重合的直线l 与C 1，C 2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D.记λ＝mn，△BDM 和△ABN 的面积分别为S 1和S 2.(1)当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，求λ的值；(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2？并说明理由．图1－522．解：依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1：x 2a 2＋y 2m 2＝1，C 2：x 2a 2＋y 2n 2＝1，其中a>m>n>0，λ＝m n>1.(1)方法一：如图①，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为x ＝0.则S 1＝12|BD|·|OM|＝12a|BD|，S 2＝12|AB|·|ON|＝12a|AB|，所以S 1S 2＝|BD||AB|. 在C 1和C 2的方程中分别令x ＝0，可得y A ＝m ，y B ＝n ，y D ＝－m ，于是|BD||AB|＝|y B －y D ||y A －y B |＝m ＋n m －n ＝λ＋1λ－1.若S 1S 2＝λ，则λ＋1λ－1＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ＞1，可解得λ＝2＋1.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ＝2＋1.方法二：如图①，若直线l 与y 轴重合，则|BD|＝|OB|＋|OD|＝m ＋n ，|AB|＝|OA|－|OB|＝m －n.S 1＝12|BD|·|OM|＝12a|BD|，S 2＝12|AB|·|ON|＝12a|AB|.所以S 1S 2＝|BD||AB|＝m ＋n m －n ＝λ＋1λ－1.若S 1S 2＝λ，则λ＋1λ－1＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0，由λ>1，可解得λ＝2＋1. 故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ＝2＋1.(2)方法一：如图②，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2，根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx(k>0)，点M(－a ，0)，N(a ，0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则因为d 1＝|－ak －0|1＋k 2＝ak1＋k 2，d 2＝|ak －0|1＋k 2＝ak 1＋k 2，所以d 1＝d 2.又S 1＝12|BD|d 1，S 2＝12|AB|d 2，所以S 1S 2＝|BD||AB|＝λ，即|BD|＝λ|AB|.由对称性可知|AB|＝|CD|，所以|BC|＝|BD|－|AB|＝(λ－1)|AB|，|AD|＝|BD|＋|AB|＝(λ＋1)|AB|，于是|AD||BC|＝λ＋1λ－1，①将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得x A ＝am a 2k 2＋m 2，x B＝ana 2k 2＋n 2. 根据对称性可知x C ＝－x B ，x D ＝－x A ，于是|AD||BC|＝1＋k 2|x A －x D |1＋k 2|x B －x C |＝2x A 2x B ＝m n a 2k 2＋n 2a 2k 2＋m 2.②从而由①和②式可得a 2k 2＋n 2a 2k 2＋m 2＝λ＋1λ（λ－1）.③令t ＝λ＋1λ（λ－1），则由m>n ，可得t ≠1，于是由③可解得k 2＝n 2（λ2t 2－1）a 2（1－t 2）. 因为k ≠0，所以k 2>0，于是③式关于k 有解，当且仅当n 2（λ2t 2－1）a 2（1－t 2）>0，等价于(t 2－1)(t 2－1λ2)<0.由λ>1，可解得1λ<t<1，即1λ<λ＋1λ（λ－1）<1，由λ>1，解得λ>1＋2，所以当1<λ≤1＋2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2；当λ>1＋2时，存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.方法二：如图②，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx(k>0)，点M(－a ，0)，N(a ，0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则因为d 1＝|－ak －0|1＋k 2＝ak 1＋k 2，d 2＝|ak －0|1＋k 2＝ak1＋k 2，所以d 1＝d 2. 又S 1＝12|BD|d 1，S 2＝12|AB|d 2，所以S 1S 2＝|BD||AB|＝λ.因为|BD||AB|＝1＋k 2|x B －x D |1＋k 2|x A －x B |＝x A ＋x B x A －x B＝λ，所以x A x B ＝λ＋1λ－1.由点A(x A ，kx A )，B(x B ，kx B )分别在C 1，C 2上，可得x 2A a 2＋k 2x 2A m 2＝1，x 2B a 2＋k 2x 2Bn2＝1，两式相减可得x 2A －x 2B a 2＋k 2（x 2A －λ2x 2B ）m 2＝0，依题意x A >x B >0，所以x 2A >x 2B ，所以由上式解得k 2＝m 2（x 2A －x 2B ）a 2（λ2x 2B －x 2A ）.因为k 2>0，所以由m 2（x 2A －x 2B ）a 2（λ2x 2B －x 2A ）>0，可解得1<x A x B <λ. 从而1<λ＋1λ－1<λ，解得λ>1＋2，所以当1<λ≤1＋2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2；当λ>1＋2时，存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.。

2013年湖北卷数学试题及答案(文)

2013·湖北卷(文科数学)1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则B ∩(∁U A)＝( )A ．{2}B ．{3，4}C ．{1，4，5}D ．{2，3，4，5}1．B [解析] ∁U A ＝{3，4，5}，B ∩(∁U A)＝{3，4}．2．已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等2．D [解析] c 1＝c 2＝sin 2 θ＋cos 2 θ＝1，故焦距相等． 3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(⌝p)∨(⌝q)B ．p ∨(⌝q)C ．(⌝p)∧(⌝q)D ．p ∨q3．A [解析] “至少一位学员没降落在指定区域”即为“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.4．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ︿＝2.347x －6.423；②y 与x 负相关且y ︿＝－3.476x ＋5.648；③y 与x正相关且y ︿＝5.437x ＋8.493；④y 与x 正相关且y ︿＝－4.326x －4.578.其中一定不正确．．．的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④4．D [解析] r 为正时正相关，r 为负时负相关，r 与k 符号相同，故k>0时正相关，k<0时负相关．5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是( )图1－15．C [解析] 由题意可知函数图像最开始为“斜率为负的线段”，接着为“与x 轴平行的线段”，最后为“斜率为负值，且小于之前斜率的线段”．观察选项中图像可知，C 项符合，故选C.6．将函数y ＝3cos x ＋sin x(x ∈)的图像向左平移m(m ＞0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π66．B [解析] 结合选项，将函数y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像向左平移π6个单位得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝2cos x ，它的图像关于y 轴对称，选B.7．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.3 22B.3 152C ．－3 22D ．－3 1527．A [解析] AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，|AB →|·cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝3 22.8． x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，则函数f(x)＝x －[x]在上为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数 D ．周期函数 8．D [解析] 作出函数f(x)＝x －[x]的大致图像如下：观察图像，易知函数f(x)＝x －[x]是周期函数．9．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元9．C [解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧36A ＋60B ≥900，A ＋B ≤21，B －A ≤7，其可行域如图中阴影部分，令z ＝1 600A ＋2400BB ＝－23A ＋z 2 400，过点M(5，12)时，z min ＝1 600×5＋2 400×12＝36 800.10．已知函数f(x)＝x(ln x －ax)有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0，1) D ．(0，＋∞)10．B [解析] f′(x)＝ln x －ax ＋x(1x－a)＝ln x －2ax ＋1，函数f(x)有两个极值点等价于方程ln x －2ax ＋1＝0有两个大于零的不相等的实数根．令y 1＝ln x ，y 2＝2ax －1，在同一坐标系中作出这两个函数的图像，显然a ≤0时，两个函数图像只有一个公共点，故a>0，此时当直线的斜率逐渐变大直到直线y ＝2ax －1与曲线y ＝ln x 相切时，两函数图像均有两个不同的公共点，y ′1＝1x ，故曲线y ＝ln x 上的点(x 0，ln x 0)处的切线方程是y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，该直线过点(0，－1)，则－1－ln x 0＝－1，解得x 0＝1，故过点(0，－1)的曲线y ＝ln x的切线斜率是1，故2a ＝1，即a ＝12，所以a 的取值范围是(0，12)．11． i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________．11．－2＋3i [解析] 由z 2与z 1对应的点关于原点对称知：z 2＝－2＋3i. 12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下： 7，8，7，9，5，4，9，10，7，4 则(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________．12．(1)7 (2)2 [解析] x ＝7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋410＝7，标准差σ＝110[（7－7）2＋（8－7）2＋…＋（4－7）2]＝2. 13．阅读如图1－2所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m 的值为2，则输出的结果i ＝________．图1－213．4 [解析] 逐次运行结果是i ＝1，A ＝2，B ＝1；i ＝2，A ＝4，B ＝2；i ＝3，A ＝8，B ＝6；i ＝4，A ＝16，B ＝24，此时Ad ，所以圆O 上共有4个点到直线的距离为1，k ＝4.15．在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为56，则m ＝________．15．3 [解析] 由题意知m>0，当0<m<2时，－m ≤x ≤m ，此时所求概率为m －（－m ）4－（－2）＝56，得m ＝52(舍去)；当2≤m<4时，所求概率为m －（－2）4－（－2）＝56，得m ＝3；当m ≥4时，概率为1，不合题意，故m ＝3.16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)16．3 [解析] 积水深度为盆深的一半，故此时积水部分的圆台上底面直径为二尺，圆台的高为九寸，故此时积水的体积是13π(102＋62＋10×6)×9＝196×3π(立方寸)，盆口的面积是π×142＝196π，所以平均降雨量是196×3π196π＝3寸．图1－317．在平面直角坐标系中，若点P(x ，y)的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L.例如图1－3中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数，若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝________(用数值作答)．17．(1)3，1，6 (2)79 [解析] (1)把四边形面积分割，其中四个面积为12的三角形，一个面积为1的正方形，故其面积为S ＝3；四边形内部只有一个格点；边界上有6个格点，故答案为3，6，1.(2)根据图中的格点三角形和四边形可得1＝4b ＋c ，3＝a ＋6b ＋c ，再选顶点为(0，0)，(2，0)，(2，2)，(0，2)的格点正方形可得4＝a ＋8b ＋c ，由上述三个方程组解得a ＝1，b ＝12，c ＝－1，所以S ＝N ＋12L －1，将已知数据代入得S ＝71＋9－1＝79.18．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c.已知cos 2A －3cos(B ＋C)＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝5 3，b ＝5，求sinB sin C 的值．18．解：(1)由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝5 3，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc·cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21.又由正弦定理得sin Bsin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57.19．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．19．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q （1＋q ＋q 2）＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3(－2)n －1.(2)由(1)有S n ＝3[1－（－2）n ]1－（－2）＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时，(－2)n ＞0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，则n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n|n ＝2k ＋1，k ∈，k ≥5}． 20．如图1－4所示，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为A 1A 2＝d 1.同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为B 1B 2＝d 2，C 1C 2＝d 3，且d 1＜d 2＜d 3.过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线AA 2平行的平面截多面体A 1B 1C 1－A 2B 2C 2所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中．(1)证明：中截面DEFG 是梯形；(2)在△ABC 中，记BC ＝a ，BC 边上的高为h ，面积为S.在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量(即多面体A 1B 1C 1－A 2B 2C 2的体积V)时，可用近似公式V 估＝S 中·h 来估算，已知V ＝13(d 1＋d 2＋d 3)S ，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明．图1－420．解：(1)证明：依题意A 1A 2⊥平面ABC ，B 1B 2⊥平面ABC ，C 1C 2⊥平面ABC ，所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2.又A 1A 2＝d 1，B 1B 2＝d 2，C 1C 2＝d 3，且d 1＜d 2＜d 3，因此四边形A 1A 2B 2B 1，A 1A 2C 2C 1均是梯形，由AA 2∥平面MEFN ，AA 2平面AA 2B 2B ，且平面AA 2B 2B ∩平面MEFN ＝ME ，可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE.同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG. 又M ，N 分别为AB ，AC 的中点．则D ，E ，F ，G 分别为A 1B 1，A 2B 2，A 2C 2，A 1C 1的中点，即DE ，FG 分别为梯形A 1A 2B 2B 1，A 1A 2C 2C 1的中位线．因此DE ＝12(A 1A 2＋B 1B 2)＝12(d 1＋d 2)，FG ＝12(A 1A 2＋C 1C 2)＝12(d 1＋d 3)，而d 1<d 2<d 3，故DE<FG ，所以中截面DEFG 是梯形． (2)V 估<V ，证明如下：由A 1A 2⊥平面ABC ，MN 平面ABC ，可得A 1A 2⊥MN. 而EM ∥A 1A 2，所以EM ⊥MN ，同理可得FN ⊥MN.由MN 是△ABC 的中位线，可得MN ＝12BC ＝12a 即为梯形DEFG 的高，因此S 中＝S 梯形DEFG ＝12⎝⎛⎭⎫d 1＋d 22＋d 1＋d 32·a 2＝a8(2d 1＋d 2＋d 3)．即V 估＝S 中h ＝ah8(2d 1＋d 2＋d 3)，又S ＝12ah ，所以V ＝13(d 1＋d 2＋d 3)S ＝ah6(d 1＋d 2＋d 3)．于是V －V 估＝ah 6(d 1＋d 2＋d 3)－ah 8(2d 1＋d 2＋d 3)＝ah24[(d 2－d 1)＋(d 3－d 1)]．由d 1<d 2<d 3，得d 2－d 1>0，d 3－d 1>0，故V －V 估>0，即V 估<V.21．，设a>0，b>0，已知函数f(x)＝ax ＋bx ＋1.(1)当a ≠b 时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当x>0时，称f(x)为a ，b 关于x 的加权平均数．(i)判断f(1)，f(b a )，f(b a )是否成等比数列，并证明f(b a )≤f(ba)；(ii)a ，b 的几何平均数记为G ，称2aba ＋b为a ，b 的调和平均数，记为H.若H ≤f(x)≤G ，求x 的取值范围．21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，f ′(x)＝a （x ＋1）－（ax ＋b ）（x ＋1）2＝a －b（x ＋1）2.当a ＞b 时，f ′(x)＞0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递增；当a ＜b 时，f ′(x)＜0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递减．(2)(i)计算得f(1)＝a ＋b 2＞0，f ⎝⎛⎭⎫b a ＝2aba ＋b ＞0， f ⎝⎛⎭⎫b a ＝ab ＞0. 故f(1)f ⎝⎛⎭⎫b a ＝a ＋b 2·2ab a ＋b ＝ab ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫b a 2，即f(1)f ⎝⎛⎭⎫b a ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫b a 2.①所以f(1)，f ⎝⎛⎭⎫b a ，f ⎝⎛⎭⎫b a 成等比数列．因a ＋b 2≥ab ，即f(1)≥f ⎝⎛⎭⎫b a ，结合①得f ⎝⎛⎭⎫b a ≤f ⎝⎛⎭⎫b a . (ii)由(i)知f(b a )＝H ，f(ba)＝G ，故由H ≤f(x)≤G ，得f ⎝⎛⎭⎫b a ≤f(x)≤f ⎝⎛⎭⎫b a .② 当a ＝b 时，f ⎝⎛⎭⎫b a ＝f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫b a ＝a. 这时，x 的取值范围为(0，＋∞)；当a ＞b 时，0＜b a ＜1，从而b a ＜b a ，由f(x)在(0，＋∞)上单调递增与②式，得b a ≤x ≤ba ，即x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤b a，b a ；当a ＜b 时，b a ＞1，从而b a ＞ba，由f(x)在(0，＋∞)上单调递减与②式，得b a ≤x ≤b a ，即x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤b a ，b a .22．，如图1－5所示，已知椭圆C 1与C 2的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2n(m>n)，过原点且不与x 轴重合的直线l 与C 1，C 2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D.记λ＝mn，△BDM 和△ABN 的面积分别为S 1和S 2.(1)当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，求λ的值；(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2？并说明理由．图1－522．解：依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1：x 2a 2＋y 2m 2＝1，C 2：x 2a 2＋y 2n 2＝1，其中a>m>n>0，λ＝m n>1.(1)方法一：如图①，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为x ＝0.则S 1＝12|BD|·|OM|＝12a|BD|，S 2＝12|AB|·|ON|＝12a|AB|，所以S 1S 2＝|BD||AB|. 在C 1和C 2的方程中分别令x ＝0，可得y A ＝m ，y B ＝n ，y D ＝－m ，于是|BD||AB|＝|y B －y D ||y A －y B |＝m ＋n m －n ＝λ＋1λ－1.若S 1S 2＝λ，则λ＋1λ－1＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ＞1，可解得λ＝2＋1.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ＝2＋1.方法二：如图①，若直线l 与y 轴重合，则|BD|＝|OB|＋|OD|＝m ＋n ，|AB|＝|OA|－|OB|＝m －n.S 1＝12|BD|·|OM|＝12a|BD|，S 2＝12|AB|·|ON|＝12a|AB|.所以S 1S 2＝|BD||AB|＝m ＋n m －n ＝λ＋1λ－1.若S 1S 2＝λ，则λ＋1λ－1＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0，由λ>1，可解得λ＝2＋1. 故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ＝2＋1.(2)方法一：如图②，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2，根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx(k>0)，点M(－a ，0)，N(a ，0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则因为d 1＝|－ak －0|1＋k 2＝ak1＋k 2，d 2＝|ak －0|1＋k 2＝ak 1＋k 2，所以d 1＝d 2.又S 1＝12|BD|d 1，S 2＝12|AB|d 2，所以S 1S 2＝|BD||AB|＝λ，即|BD|＝λ|AB|.由对称性可知|AB|＝|CD|，所以|BC|＝|BD|－|AB|＝(λ－1)|AB|，|AD|＝|BD|＋|AB|＝(λ＋1)|AB|，于是|AD||BC|＝λ＋1λ－1，①将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得x A ＝am a 2k 2＋m 2，x B ＝ana 2k 2＋n 2. 根据对称性可知x C ＝－x B ，x D ＝－x A ，于是|AD||BC|＝1＋k 2|x A －x D |1＋k 2|x B －x C |＝2x A 2x B ＝m n a 2k 2＋n 2a 2k 2＋m 2.② 从而由①和②式可得a 2k 2＋n 2a 2k 2＋m 2＝λ＋1λ（λ－1）.③ 令t ＝λ＋1λ（λ－1），则由m>n ，可得t ≠1，于是由③可解得k 2＝n 2（λ2t 2－1）a 2（1－t 2）.因为k ≠0，所以k 2>0，于是③式关于k 有解，当且仅当n 2（λ2t 2－1）a 2（1－t 2）>0，等价于(t 2－1)(t 2－1λ2)<0.由λ>1，可解得1λ<t<1，即1λ<λ＋1λ（λ－1）<1，由λ>1，解得λ>1＋2，所以当1<λ≤1＋2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2；当λ>1＋2时，存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.方法二：如图②，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx(k>0)，点M(－a ，0)，N(a ，0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则因为d 1＝|－ak －0|1＋k 2＝ak 1＋k 2，d 2＝|ak －0|1＋k 2＝ak1＋k 2，所以d 1＝d 2. 又S 1＝12|BD|d 1，S 2＝12|AB|d 2，所以S 1S 2＝|BD||AB|＝λ.因为|BD||AB|＝1＋k 2|x B －x D |1＋k 2|x A －x B |＝x A ＋x B x A －x B＝λ，所以x A x B ＝λ＋1λ－1.由点A(x A ，kx A )，B(x B ，kx B )分别在C 1，C 2上，可得x 2A a 2＋k 2x 2A m 2＝1，x 2B a 2＋k 2x 2Bn2＝1，两式相减可得x 2A －x 2B a 2＋k 2（x 2A －λ2x 2B ）m 2＝0，依题意x A >x B >0，所以x 2A >x 2B，所以由上式解得k 2＝m 2（x 2A －x 2B ）a 2（λ2x 2B －x 2A ）. 因为k 2>0，所以由m 2（x 2A －x 2B ）a 2（λ2x 2B －x 2A ）>0，可解得1<x A x B <λ. 从而1<λ＋1λ－1<λ，解得λ>1＋2，所以当1<λ≤1＋2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2；当λ>1＋2时，存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题 (文科) word解析版

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）本试题卷共5页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5}U=，集合{1,2}A=，{2,3,4}B=，则B∩∁U A=A．{2} B．{3,4}C．{1,4,5}D．{2,3,4,5}解析∁U A＝{3,4,5}，∴B∩∁U A＝{2,3,4}∩{3,4,5}＝{3,4}．故选B2．已知π4θ<<，则双曲线1C：22221sin cosx yθθ-=与2C：22221cos siny xθθ-=的A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析双曲线C1、C2的焦距均为sin2θ＋cos2θ＝1. 答案 D3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A．()p⌝∨()q⌝B．p∨()q⌝C．()p⌝∧()q⌝D．p∨q答案 A解析“至少有一位学生没有落在指定范围”＝“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围”＝()p⌝∨()q⌝．4．四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且$ 2.347 6.423y x=-；②y与x负相关且$ 3.476 5.648y x=-+；③y与x正相关且$ 5.4378.493y x=+；④y与x正相关且$ 4.326 4.578y x=--.其中一定不正确．．．的结论的序号是A．①②B．②③C．③④D．①④答案 D解析①中，回归方程中x的系数为正，不是负相关；④方程中的x的系数为负，不是正相关，∴①④一定不正确．5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是答案 C解析开始匀速行驶时小明距学校距离应匀速减小，停留时不变，加快速度行驶时距离学校的距离应快速减小．6．将函数sin()y x x x=+∈R的图象向左平移(0)m m>个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是A．π12B．π6C．π3D．5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ， ∵m >0，∴m 的最小值为π6.7．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB u u u r 在CD u u u r方向上的投影为A ．322 B ．3152C ．322-D ．3152-答案 A解析 AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)∴AB →在CD →方向上的投影＝AB →·CD →|CD →|＝2×5＋1×552＋52＝1552＝322.8．x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为 A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数 D ．周期函数答案 D解析 f (x )最小正周期T ＝1.9．某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为A ．31200元B ．36000元C ．36800元D ．38400元答案 C解析设租A 型车x 辆，B 型车y 辆时租金为z 元则z ＝1 600x ＋2 400y画出可行域如图直线y ＝－23x ＋z2 400过点A (5,12)时纵截距最小，∴z min ＝5×1 600＋2 400×12＝36 800，故租金最少为36 800元．10．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞答案 B解析 f ′(x )＝(ln x －ax )＋x (1x－a )＝ln x ＋1－2ax (x >0)令f ′(x )＝0得2a ＝ln x ＋1x ，设φ(x )＝ln x ＋1x ，则φ′(x )＝－ln xx 2易知φ(x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，大致图象如下若f (x )有两个极值点，则y ＝2a 和y ＝φ(x )图象有两个交点， ∴0<2a <1，∴0<a <12.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．i 为虚数单位，设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，若123i z =-，则2z = .答案－2＋3i 解析 ∵z 1＋z 2＝0， ∴z 2＝－z 1＝－2＋3i.12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为；（Ⅱ）命中环数的标准差为 . 答案 (1)7 (2)2解析 (1)X ＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7010＝7.(2)D (X )＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4， ∴命中环数标准差为2.13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入m 的值为2，则输出的结果i = . 答案 4解析第一次循环：i ＝1，A ＝2，B ＝1；第二次循环：i ＝2，A ＝4，B ＝2；第三次循环；i ＝3，A ＝8，B ＝6；第四次循环：i ＝4，A ＝16，B ＝24，终止循环，输出i ＝4.14．已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = . 答案 4解析圆心O 到直线l 的距离d ＝1cos 2θ＋sin 2θ＝1，而圆O 半径为5，∴圆O 上到l 的距离等于1的点有4个．15．在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为56，则m = . 答案 3解析当m ≤2时，当然不适合题意，当m >2时，由m ＋24－(－2)＝56得m ＝3.16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）答案 3解析天池盆中水的形状是以上底半径10寸，下底半径6寸，高9寸的圆台， ∴平均降雨量＝13×9×π(102＋10×6＋62)π×142＝3.17．在平面直角坐标系中，若点(,)P x y 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L . 例如图中△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别是；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++，其中a ，b ，c 为常数.若某格点多边形对应的71N =，18L =，则S = （用数值作答）.答案(1)3,1,6(2)79 解析 (1)由图观察知．(2)再取一组数据S ＝2，N ＝0，L ＝6，由题意，列方程⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ×0＋4b ＋c 3＝a ×1＋6b ＋c 2＝6b ＋c可得a ＝1，b ＝12，c ＝－1， ∴所求＝71a ＋18b ＋c ＝71＋9－1＝79.三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos 23cos()1A B C -+=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积53S =，5b =，求sin sin B C 的值.解 (1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A <π，所以A ＝π3，(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20.又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21. 又由正弦定理得sin B sin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57.第17题图19．（本小题满分13分）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．解 (1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得故数列{a n }的通项公式为a n ＝3(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝3·[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012. 当n 为偶数时，(－2)n >0.上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，则n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}．20．（本小题满分13分）如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<. 过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中．（Ⅰ）证明：中截面DEFG 是梯形；（Ⅱ）在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =⋅估中来估算. 已知1231()3V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.(1)证明依题意A 1A 2⊥平面ABC ，B 1B 2⊥平面ABC ，C 1C 2⊥平面ABC ，所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2，又A 1A 2＝d 1，B 1B 2＝d 2，C 1C 2＝d 3，且d 1<d 2<d 3. 因此四边形A 1A 2B 2B 1，B 1B 2C 2C 1，A 1A 2C 2C 1均是梯形．由AA 2∥平面MEFN ，AA 2⊂平面AA 2B 2B ，且平面AA 2B 2B ∩平面MEFN ＝ME ，可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE ，同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG . 又M 、N 分别为AB 、AC 的中点，则D 、E 、F 、G 分别为A 1B 1、A 2B 2、A 2C 2、A 1C 1的中点，即DE 、FG 分别为梯形A 1A 2B 2B 1，A 1A 2C 2C 1的中位线，因此DE ＝12(A 1A 2＋B 1B 2)＝12(d 1＋d 2)，FG ＝12(A 1A 2＋C 1C 2)＝12(d 1＋d 3)，而d 1<d 2<d 3，故DE <FG ，所以中截面DEFG 是梯形． (2)解 V 估<V ，证明如下：由A 1A 2⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得A 1A 2⊥MN ，而EM ∥A 1A 2，所以EM ⊥MN ，同理可得FN ⊥MN ，由MN 是△ABC 的中位线，可得MN ＝12BC ＝12a 即为梯形DEFG 的高．因此S 中＝S 梯形DEFG ＝12(d 1＋d 22＋d 1＋d 32)·a 2＝a8(2d 1＋d 2＋d 3)．即V 估＝S 中·h ＝ah8(2d 1＋d 2＋d 3)．又S ＝12ah ，所以V ＝13(d 1＋d 2＋d 3)S ＝ah6(d 1＋d 2＋d 3)．于是V －V 估＝ah 6(d 1＋d 2＋d 3)－ah8(2d 1＋d 2＋d 3)＝ah24[(d 2－d 1)＋(d 3－d 1)]．由d 1<d 2<d 3，得d 2－d 1>0，d 3－d 1>0，故V 估<V .21．（本小题满分13分）设0a >，0b >，已知函数()1ax bf x x +=+. （Ⅰ）当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数.（i ）判断(1)f , f ,()bf a是否成等比数列，并证明()b f f a ≤；（ii ）a 、b 的几何平均数记为G . 称2aba b+为a 、b 的调和平均数，记为H . 若()H f x G ≤≤，求x 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， f ′(x )＝a (x ＋1)－(ax ＋b )(x ＋1)2＝a －b(x ＋1)2.当a >b 时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递增；当a 0，f (b a )＝2aba ＋b >0，f (ba)＝ab >0. 故f (1)f (b a )＝a ＋b 2·2aba ＋b ＝ab ＝[f (b a)]2，即f (1)f (ba )＝[f (b a)]2.* 所以f (1)，f (b a )，f (ba)成等比数列．因a ＋b2≥ab ，即f (1)≥f (ba)，由*得f (ba)≤f (b a)． ②由*知f (ba )＝H ，f (ba)＝G .故由H ≤f (x )≤G ，得 f (ba)≤f (x )≤f (ba)．** 当a ＝b 时，f (ba)＝f (x )＝f (ba)＝a . 这时，x 的取值范围为(0，＋∞)；当a >b 时，01，从而ba>ba，由f (x )在[0，＋∞)上单调递减与**式，得b a ≤x ≤ba ，即x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤b a ，b a .22．（本小题满分14分）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S . （Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．22．依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n +=. 其中0a m n >>>， 1.mnλ=>（Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-，于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=. 解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=. 所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=.由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12SS λ=，则1λ=.第22题图（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d ==，所以12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=. 由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-， ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x =.根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A Bx AD BC x === ② 从而由①和②式可得1(1)λλλ+-. ③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠，所以20k >. 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-，等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>当11λ<≤l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=.第22题解答图1第22题解答图2解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d ==，所以12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==.因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+===-，所以11A B x x λλ+=-. 由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n +=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=，依题意0A B x x >>，所以22AB x x >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-.因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1ABx x λ<<.从而111λλλ+<<-，解得1λ>当11λ<≤l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷数学文

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学文一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，4}，则B∩C∪A=( )A. {2}B. {3，4}C. {1，4，5}D. {2，3，4，5}解析：全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，4}，则C U A={3，4，5}，又因为B={2，3，4}，则(C U A)∩B={3，4}.答案：B.2.(5分)已知，则双曲线C1：与C2：的( )A. 实轴长相等B. 虚轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等解析：双曲线C1：可知a=sinθ，b=cosθ，2c=2(sin2θ+cos2θ)=2；双曲线C2：可知，a=cosθ，b=sinθ，2c=2(sin2θ+cos2θ)=2；所以两条双曲线的焦距相等.答案：D.3.(5分)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A. (￢p)∨(￢q)B. p∨(￢q)C. (￢p)∧(￢q)D. p∨q解析：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(￢p)V(￢q).答案：A.4.(5分)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且=2.347x-6.423；②y与x负相关且=-3.476x+5.648；③y与x正相关且=5.437x+8.493；④y与x正相关且=-4.326x-4.578.其中一定不正确的结论的序号是( )A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④解析：①y与x负相关且=2.347x-6.423；此结论误，由线性回归方程知，此两变量的关系是正相关；②y与x负相关且；此结论正确，线性回归方程符合负相关的特征；③y与x正相关且；此结论正确，线性回归方程符合正相关的特征；④y与x正相关且.此结论不正确，线性回归方程符合负相关的特征.综上判断知，①④是一定不正确的答案：D5.(5分)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )A.B.C.D.解析：考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与X轴平行，由此排除D，后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确.答案：C6.(5分)将函数的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( )A.B.C.D.解析：y=cosx+sinx=2(cosx+sinx)=2sin(x+)，∴图象向左平移m(m＞0)个单位长度得到y=2sin[(x+m)+]=2sin(x+m+)，∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+(k∈Z)，则m的最小值为.答案：B7.(5分)已知点A(-1，1)，B(1，2)，C(-2，-1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为( )A.B.C.D.解析：，，则向量方向上的投影为：·cos＜＞=·= ==，答案：A.8.(5分)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)=x-[x]在R上为( )A. 奇函数B. 偶函数C. 增函数D. 周期函数解析：∵f(x)=x-[x]，∴f(x+1)=(x+1)-[x+1]=x+1-[x]-1=x-[x]=f(x)，∴f(x)=x-[x]在R 上为周期是1的函数.答案：D.9.(5分)某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆.则租金最少为( )A. 31200元B. 36000元C. 36800元D. 38400元解析：设分别租用A、B两种型号的客车x辆、y辆，所用的总租金为z元，则z=1600x+2400y，其中x、y满足不等式组，(x、y∈N)∵A型车租金为1600元，可载客36人，∴A型车的人均租金是≈44.4元，同理可得B型车的人均租金是=40元，由此可得，租用B型车的成本比租用A型车的成本低，因此，在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低，由此进行验证，可得当x=5、y=12时，可载客36×5+60×12=900人，符合要求，且此时的总租金z=1600×5+2400×12=36800，达到最小值.答案：C10.(5分)已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A. (-∞，0)B. (0，)C. (0，1)D. (0，+∞)解析：函数f(x)=x(lnx-ax)，则f′(x)=lnx-ax+x(-a)=lnx-2ax+1，令f′(x)=lnx-2ax+1=0得lnx=2ax-1，函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点，等价于f′(x)=lnx-2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)，当a=时，直线y=2ax-1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点.则实数a的取值范围是(0，).答案：B.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.11.(5分)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=2-3i，则z2= .解析：设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，复数z1，z2的实部相反，虚部相反，z1=2-3i，所以z2=-2+3i.答案：-2+3i.12.(5分)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则(Ⅰ)平均命中环数为；(Ⅱ)命中环数的标准差为.解析：(I)根据条件中的数据，得学员在一次射击测试中命中环数的平均数是=(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7，(II)可得学员在一次射击测试中命中环数的方差是s2=[(7-7)2+(8-7)2+…+(4-7)2]=4. 答案：7，2.13.(5分)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输入m的值为2，则输出的结果i= .解析：框图首先给累积变量A，B赋值1，1，给循环变量i赋值0.若输入m的值为2，执行i=1+1，A=1×2=2，B=1×1=1；判断2＜1不成立，执行i=1+1=2，A=2×2=4，B=1×2=2；判断4＜2不成立，执行i=2+1=3，A=4×2=8，B=2×3=6；判断8＜6不成立，执行i=3+1=4，A=8×2=16，B=6×4=24；判断16＜24成立，跳出循环，输出i的值为4.答案：4.14.(5分)已知圆O：x2+y2=5，直线l：xcosθ+ysinθ=1(0).设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则 k= .解析：由圆的方程得到圆心O(0，0)，半径r=，∵圆心O到直线l的距离d==1＜，且r-d=-1＞1=d，∴圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为4，即k=4.答案：415.(5分)在区间[-2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m= . 解析：如图区间长度是6，区间[-2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，所以m=3.答案：3.16.(5分)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸.(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)解析：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸.因为积水深9寸，所以水面半径为寸.则盆中水的体积为(立方寸).所以则平地降雨量等于(寸).答案：3.17.(5分)在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4.(Ⅰ)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是；(Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c其中a，b，c为常数.若某格点多边形对应的N=71，L=18，则S= (用数值作答).解析：(Ⅰ)观察图形，可得S=3，N=1，L=6；(Ⅱ)不妨设某个格点四边形由两个小正方形组成，此时，S=2，N=0，L=6，∵格点多边形的面积S=aN+bL+c，∴结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG可得，∴，∴S=N+-1，将N=71，L=18代入可得S=79.答案：(Ⅰ)3，1，6；(Ⅱ)79.三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(12分)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A-3cos(B+C)=1. (Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值.解析：(I)利用倍角公式和诱导公式即可得出；(II)由三角形的面积公式即可得到bc=20.又b=5，解得c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=25+16-20=21，即可得出a.又由正弦定理得即可得到即可得出.答案：(Ⅰ)由cos2A-3cos(B+C)=1，得2cos2A+3cosA-2=0，即(2cosA-1)(cosA+2)=0，解得(舍去).因为0＜A＜π，所以. (Ⅱ)由S===，得到bc=20.又b=5，解得c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=25+16-20=21，故.又由正弦定理得.19.(13分)已知S n是等比数列{a n}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4=-18. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)是否存在正整数n，使得S n≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由.解析：(Ⅰ)设数列{a n}的公比为q，依题意，列出关于其首项a1与公办q的方程组，解之即可求得数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)依题意，可求得1-(-2)n≥2013，对n的奇偶性分类讨论，即可求得答案.答案：(Ⅰ)设数列{a n}的公比为q，显然q≠1，由题意得，解得q=-2，a3=12，故数列{a n}的通项公式为a n=a3·q n-3=12×(-2)n-3=(-)×(-2)n.(Ⅱ)由(Ⅰ)有a n=(-)×(-2)n.若存在正整数n，使得S n≥2013，则S n==1-(-2)n，即1-(-2)n≥2013，当n为偶数时，2n≤-2012，上式不成立；当n为奇数时，1+2n≥2013，即2n≥2012，则n≥11.综上，存在符合条件的正整数n=2k+1(k≥5)，且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1(k≥5)}.20.(13分)如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1.同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2，C1C2=d3，且d1＜d2＜d3.过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1-A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中.(Ⅰ)证明：中截面DEFG是梯形；(Ⅱ)在△ABC中，记BC=a，BC边上的高为h，面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1-A2B2C2的体积V)时，可用近似公式V估=S中-h来估算.已知V=(d1+d2+d3)S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明.解析：(Ⅰ)首先利用线面垂直、线面平行的性质及平行公理证出四边形DEFG的一组对边相互平行，然后由梯形中位线知识证明一组对边不相等，则可证明中截面DEFG是梯形；(Ⅱ)由题意可证得MN是中截面梯形DEFG的高，根据四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形，利用梯形的中位线公式吧DE，FG用d1，d2，d3表示，这样就能把V估用含有a，h，d1，d2，d3的代数式表示，把V=(d1+d2+d3)S与V估作差后利用d1，d2，d3的大小关系可以判断出差的符号，及能判断V估与V的大小关系.答案：(Ⅰ)依题意A1A2⊥平面ABC，B1B2⊥平面ABC，C1C2⊥平面ABC，所以A1A2∥B1B2∥C1C2，又A1A2=d1，B1B2=d2，C1C2=d3，且d1＜d2＜d3.因此四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形.由AA2∥平面MEFN，AA2⊂平面AA2B2B，且平面AA2B2B∩平面MEFN=ME，可得AA2∥ME，即A1A2∥DE.同理可证A1A2∥FG，所以DE∥FG.又M，N分别为AB，AC的中点，则D，E，F，G分别为A1B1，A2B2，A2C2，A1C1的中点，即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线.因此DE=，FG=，而d1＜d2＜d3，故DE＜FG，所以中截面DEFG是梯形.(Ⅱ)V估＜V.证明：由A1A2⊥平面ABC，MN⊂平面ABC，可得A1A2⊥MN.而EM∥A1A2，所以EM⊥MN，同理可得FN⊥MN.由MN是△ABC的中位线，可得MN=BC=a，即为梯形DEFG的高，因此，即.又S=ah，所以.于是=.由d1＜d20，d3-d1＞0，故V估＜V.21.(13分)设a＞0，b＞0，已知函数f(x)=.(Ⅰ)当a≠b时，讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当x＞0时，称f(x)为a、b关于x的加权平均数.(i)判断f(1)，f()，f()是否成等比数列，并证明f()≤f()；(ii)a、b的几何平均数记为G.称为a、b的调和平均数，记为H.若H≤f(x)≤G，求x的取值范围.解析：(Ⅰ)确定函数的定义域，利用导数的正负，结合分类讨论，即可求得数f(x)的单调性；(Ⅱ)(i)利用函数解析式，求出f(1)，f()，f()，根据等比数列的定义，即可得到结论；(ii)利用定义，结合函数的单调性，即可确定x的取值范围.答案：(Ⅰ)函数的定义域为{x|x≠-1}，∴当a＞b＞0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(-∞，-1)，(-1，+∞)上单调递增；当0＜a＜b时，f′(x)＜0，函数f(x)在(-∞，-1)，(-1，+∞)上单调递减.(Ⅱ)(i)计算得f(1)=，f()=，f()=.∵，∴f(1)，f()，f()成等比数列，∵a＞0，b＞0，∴≤，∴f()≤f()；(ii)由(i)知f()=，f()=，故由H≤f(x)≤G，得f()≤f(x)≤f().当a=b时，f()=f(x)=f()=f(1)=a，此时x的取值范围是(0，+∞)，当a＞b时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，这时有≤x≤，即x的取值范围为≤x≤；当a＜b时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，这时有≤x≤，即x的取值范围为≤x≤.22.(14分)如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n(m＞n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.(Ⅰ)当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；(Ⅱ)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由.解析：(Ⅰ)设出两个椭圆的方程，当直线l与y轴重合时，求出△BDM和△ABN的面积S1和S2，直接由面积比=λ列式求λ的值；(Ⅱ)假设存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出M和N到直线l的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到，换元后利用非零的k值存在讨论λ的取值范围.答案：以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为，.其中a＞m ＞n＞0，.(Ⅰ)如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则，，所以.在C1和C2的方程中分别令x=0，可得y A=m，y B=n，y D=-m，于是.若，则，化简得λ2-2λ-1=0，由λ＞1，解得.故当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，则.(Ⅱ)如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，不妨设直线l：y=kx(k＞0)，点M(-a，0)，N(a，0)到直线l的距离分别为d1，d2，则，所以d1=d2.又，所以，即|BD|=λ|AB|.由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|-|AB|=(λ-1)|AB|，|AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|，于是.将l的方程分别与C1和C2的方程联立，可求得根据对称性可知x C=-x B，x D=-x A，于是②从而由①和②可得③令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得. 因为k≠0，所以k2＞0.于是③关于k有解，当且仅当，等价于，由λ＞1，解得，即，由λ＞1，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2；当时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2.。

2013湖北文科高考试题(含答案)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖北卷)本试题卷共5页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013湖北，文1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则B ∩＝( )．A ．{2}B ．{3,4}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4,5} 答案：B解析：∵＝{3,4,5}，B ＝{2,3,4}，故B ∩＝{3,4}．故选B.2．(2013湖北，文2)已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：2222=1sin cos x y θθ-与C 2：22221cos sin y x θθ-=的( )． A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等答案：D解析：对于θ∈π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，sin 2θ＋cos 2θ＝1，因而两条双曲线的焦距相等，故选D. 3．(2013湖北，文3)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )．A ．(⌝p )∨(⌝q )B ．p ∨(⌝q )C ．(⌝p )∧(⌝q )D ．p ∨q 答案：A解析：至少有一位学员没有降落在指定范围，即p ∧q 的对立面，即⌝(p ∧q )＝(⌝p )∨(⌝q )，故选A.4．(2013湖北，文4)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确．．．的结论的序号是( )． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 答案：D解析：正相关指的是y 随x 的增大而增大，负相关指的是y 随x 的增大而减小，故不正确的为①④，故选D.5．(2013湖北，文5)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( )．答案：C解析：根据题意，刚开始距离随时间匀速减小，中间有一段时间距离不再变化，最后随时间变化距离变化增大，故选C.6．(2013湖北，文6)将函数ycos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )．A ．π12 B ．π6 C ．π3 D ．5π6答案：B解析：y＝cos x ＋sin x ＝2πsin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象向左平移m 个单位长度后得y ＝2πsin 3x m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象．又平移后的图象关于y 轴对称，即y ＝2πsin 3x m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为偶函数，根据诱导公式m 的最小正值为π6，故选B.7．(2013湖北，文7)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB 在CD方向上的投影为( )．A．2 B．2 C．2- D．2-答案：A解析：因为AB ＝(2,1)，CD ＝(5,5)，所以向量AB 在CD 方向上的投影为|AB |cos 〈AB，CD〉＝2AB CD AB CD AB AB CD CD ⋅⋅⋅===.故选A. 8．(2013湖北，文8)x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( )．A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数答案：D解析：由题意f (1.1)＝1.1－[1.1]＝0.1，f (－1.1)＝－1.1－[－1.1]＝－1.1－(－2)＝0.9，故该函数不是奇函数，也不是偶函数，更不是增函数．又对任意整数a ，有f (a ＋x )＝a ＋x －[a ＋x ]＝x －[x ]＝f (x )，故f (x )在R 上为周期函数．故选D.9．(2013湖北，文9)某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )．A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元答案：C解析：设需A ，B 型车分别为x ，y 辆(x ，y ∈N )，则x ，y 需满足3660900,7,,,x y y x x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪∈∈⎩N N 设租金为z ，则z ＝1 600x ＋2 400y ，画出可行域如图，根据线性规划中截距问题，可求得最优解为x ＝5，y ＝12，此时z 最小等于36 800，故选C.10．(2013湖北，文10)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0)B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(0,1)D ．(0，＋∞) 答案：B解析：f ′(x )＝ln x －ax ＋1x a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝ln x －2ax ＋1，函数f (x )有两个极值点，即ln x －2ax ＋1＝0有两个不同的根(在正实数集上)，即函数g (x )＝ln 1x x+与函数y ＝2a 在(0，＋∞)上有两个不同交点．因为g ′(x )＝2ln xx -，所以g (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，所以g (x )max＝g (1)＝1，如图．若g(x)与y＝2a有两个不同交点，须0＜2a＜1.即0＜a＜12，故选B.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．(2013湖北，文11)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝__________.答案：－2＋3i解析：z1在复平面上的对应点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)，故z2＝－2＋3i.12．(2013湖北，文12)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4则(1)平均命中环数为__________；(2)命中环数的标准差为__________．答案：(1)7(2)2解析：平均数为78795491074710+++++++++=，标准差为＝2.13．(2013湖北，文13)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入m的值为2，则输出的结果i＝__________.答案：4解析：由程序框图，i＝1后：A＝1×2，B＝1×1，A＜B？否；i＝2后：A＝2×2，B＝1×2，A＜B？否；i＝3后：A＝4×2，B＝2×3，A＜B？否；i＝4后：A＝8×2，B＝6×4，A＜B？是，输出i＝4.14．(2013湖北，文14)已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：x cos θ＋y sin θ＝1π2θ⎛⎫<<⎪⎝⎭.设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k＝__________.答案：4解析：由题意圆心到该直线的距离为12，故圆上有4个点到该直线的距离为1.15．(2013湖北，文15)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为56，则m＝__________.答案：3解析：由题意[－2,4]的区间长度为6，而满足条件的x取值范围的区间长度为5，故m 取3，x∈[－2,3]．16．(2013湖北，文16)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是__________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)答案：3解析：由题意盆内所盛水的上底面直径为28122+＝20(寸)，下底面半径为6寸，高为9寸，故体积为V＝13·9·(π·102＋π·62＋π·10·6)＝588π，而盆上口面积为π·142＝196π，故平地降雨量为588π196π＝3(寸)．17．(2013湖北，文17)在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是__________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝__________(用数值作答)．答案：(1)3,1,6(2)79解析：由图形可得四边形DEFG对应的S，N，L分别是3,1,6.再取两相邻正方形可计算S，N，L的值为2,0,6.加上已知S＝1时N＝0，L＝4，代入S＝aN＋bL＋c可计算求出a＝1，b＝12，c＝－1，故当N＝71，L＝18时，S＝71＋12×18－1＝79.三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(2013湖北，文18)(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝b＝5，求sin B sin C的值．解：(1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A＝12或cos A＝－2(舍去)．因为0＜A＜π，所以π3 A=.(2)由S＝12bc sin A＝12bc==，得bc＝20.又b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝25＋16－20＝21，故a=又由正弦定理得sin B sin C＝basin A·casin A＝2bcasin2A＝20352147⨯=.19．(2013湖北，文19)(本小题满分13分)已知S n是等比数列{a n}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得2432234,18,S S S S a a a -=-⎧⎨++=-⎩即23211121,118,a q a q a q a q q q ⎧--=⎨(++)=-⎩ 解得13,2.a q =⎧⎨=-⎩故数列{a n }的通项公式为a n ＝3(－2)n －1.(2)由(1)有S n ＝3[12]12n ⋅-(-)-(-)＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时，(－2)n ＞0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，则n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}． 20．(2013湖北，文20)(本小题满分13分)如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为A 1A 2＝d 1.同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为B 1B 2＝d 2，C 1C 2＝d 3，且d 1＜d 2＜d 3.过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线AA 2平行的平面截多面体A 1B 1C 1-A 2B 2C 2所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中．(1)证明：中截面DEFG 是梯形；(2)在△ABC 中，记BC ＝a ，BC 边上的高为h ，面积为S .在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量(即多面体A 1B 1C 1-A 2B 2C 2的体积V )时，可用近似公式V 估＝S 中·h 来估算．已知V ＝13(d 1＋d 2＋d 3)S ，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明． (1)证明：依题意，A 1A 2⊥平面ABC ，B 1B 2⊥平面ABC ，C 1C 2⊥平面ABC ，所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2.又A 1A 2＝d 1，B 1B 2＝d 2，C 1C 2＝d 3，且d 1＜d 2＜d 3. 因此四边形A 1A 2B 2B 1，A 1A 2C 2C 1均是梯形．由AA 2∥平面MEFN ，AA 2⊂平面AA 2B 2B ，且平面AA 2B 2B ∩平面MEFN ＝ME ，可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE .同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG .又M ，N 分别为AB ，AC 的中点，则D ，E ，F ，G 分别为A 1B 1，A 2B 2，A 2C 2，A 1C 1的中点，即DE ，FG 分别为梯形A 1A 2B 2B 1，A 1A 2C 2C 1的中位线．因此DE ＝12(A 1A 2＋B 1B 2)＝12(d 1＋d 2)，FG ＝12(A 1A 2＋C 1C 2)＝12(d 1＋d 3)，而d 1＜d 2＜d 3，故DE ＜FG ，所以中截面DEFG 是梯形．(2)解：V 估＜V .证明如下：由A 1A 2⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得A 1A 2⊥MN . 而EM ∥A 1A 2，所以EM ⊥MN ，同理可得FN ⊥MN .由MN 是△ABC 的中位线，可得MN ＝1122BC a =即为梯形DEFG 的高，因此S 中＝S 梯形DEFG ＝13121231(2)22228d d d d a ad d d ++⎛⎫+⋅=++ ⎪⎝⎭，即V 估＝S 中·h ＝8ah(2d 1＋d 2＋d 3)．又12S ah =，所以V ＝13(d 1＋d 2＋d 3)S ＝6ah (d 1＋d 2＋d 3)．于是V －V 估＝6ah (d 1＋d 2＋d 3)－8ah (2d 1＋d 2＋d 3)＝24ah[(d 2－d 1)＋(d 3－d 1)]．由d 1＜d 2＜d 3，得d 2－d 1＞0，d 3－d 1＞0，故V 估＜V .21．(2013湖北，文21)(本小题满分13分)设a ＞0，b ＞0，已知函数f (x )＝1ax bx ++. (1)当a ≠b 时，讨论函数f (x )的单调性；(2)当x ＞0时，称f (x )为a ，b 关于x 的加权平均数．①判断f (1)，f ，b f a ⎛⎫⎪⎝⎭是否成等比数列，并证明b f f a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭； ②a ，b 的几何平均数记为G .称2aba b+为a ，b 的调和平均数，记为H .若H ≤f (x )≤G ，求x 的取值范围．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，f ′(x )＝22111a x ax b a bx x (+)-(+)-=(+)(+). 当a ＞b 时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递增；当a ＜b 时，f ′(x )＜0，函数f (x )在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递减．(2)①计算得f (1)＝2a b+＞0，20b ab f a a b⎛⎫=> ⎪+⎝⎭，0f =>，故22(1)2b a b abf f ab f a a b ⎡⎤+⎛⎫=⋅==⎢⎥⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即2(1)b f f fa ⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，(*)所以f (1)，f ，b f a ⎛⎫⎪⎝⎭成等比数列．因2a b+≥，即(1)f f ≥，由(*)得b f f a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.②由①知b f H a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，f G =.故由H ≤f (x )≤G ，得()b f f x f a ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭.(**)当a ＝b 时，()b f f x f a a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 这时，x 的取值范围为(0，＋∞)；当a ＞b 时，0<<1ba ，从而b a <由f (x )在(0，＋∞)上单调递增与(**)式，得b x a ≤≤即x 的取值范围为b a ⎡⎢⎣；当a ＜b 时，>1ba ，从而b a >由f (x )在(0，＋∞)上单调递减与(**)式，bx a ≤≤，即x 的取值范围为b a ⎤⎥⎦. 22．(2013湖北，文22)(本小题满分14分)如图，已知椭圆C 1与C 2的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m,2n (m ＞n )，过原点且不与x 轴重合的直线l 与C 1，C 2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ，记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为S 1和S 2.(1)当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，求λ的值；(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2？并说明理由．解：依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1：2222=1x y a m+，C 2：2222=1x y a n +.其中a＞m＞n＞0，mnλ=＞1.(1)解法1：如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x＝0，则S1＝12|BD|·|OM|＝12a|BD|，S2＝12|AB|·|ON|＝12a|AB|，所以12||||S BDS AB=.在C1和C2的方程中分别令x＝0，可得y A＝m，y B＝n，y D＝－m，于是||||1 ||||1B DA By yBD m nAB y y m nλλ-++===---.若12=S S λ，则11λλλ+=-，化简得λ2－2λ－1＝0.由λ＞1，可解得λ.故当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，则λ.图1解法2：如图1，若直线l与y轴重合，则|BD|＝|OB|＋|OD|＝m＋n，|AB|＝|OA|－|OB|＝m－n；S1＝12|BD|·|OM|＝12a|BD|，S2＝12|AB|·|ON|＝12a|AB|.所以12||1 ||1S BD m n S AB m n λλ++ ===--.若12=S S λ，则11λλλ+=-，化简得λ2－2λ－1＝0.由λ＞1，可解得λ.故当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，则λ.(2)解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2.图2根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k ＞0)，点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则因为1d ==，2d ==d 1＝d 2. 又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以12||||S BD S AB =＝λ，即|BD |＝λ|AB |. 由对称性可知|AB |＝|CD |，所以|BC |＝|BD |－|AB |＝(λ－1)|AB |，|AD |＝|BD |＋|AB |＝(λ＋1)|AB |，于是||1||1AD BC λλ+=-.① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x =根据对称性可知x＝－x ，x D ＝－x A ，于是2||||2A Bx AD BC x ==.② 从而由①和②式可得11λλλ+=(-).③ 令1=1t λλλ+(-)，则由m ＞n ，可得t ≠1，于是由③可解得22222211n t k a t λ(-)=(-). 因为k ≠0，所以k 2＞0.于是③式关于k 有解，当且仅当222221>01n t a t λ(-)(-)，等价于2221(1)<0t t λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 由λ＞1，可解得1λ＜t ＜1，即11<11λλλλ+<(-)，由λ＞1，解得λ＞，所以当1＜λ≤时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2；当λ＞l 使得S 1＝λS 2.解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k ＞0)，点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则因为1d ==，2d ==d 1＝d 2. 又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以12||=||S BD S AB λ=.因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+===-，所以11A B x x λλ+=-. 由点A (x A ，kx A )，B (x B ，kx B )分别在C 1，C 2上，可得 22222=1A A x k x a m +，22222=1B B x k x a n+，两式相减可得22222222=0A B A B x x k x x a mλ-(-)+，依题意x A ＞x B ＞0，所以22A B x x >. 所以由上式解得22222222A B B A m x x k a x x λ(-)=(-). 因为k 2＞0，所以由2222222>0A B B A m x x a x x λ(-)(-)，可解得<1A Bx x λ<. 从而11<<λλλ+，解得λ＞当1＜λ≤时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2；当λ＞l 使得S 1＝λS 2.。

2013年湖北省高考数学试卷(文科)

2013年湖北省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，4}，则B ∩∁∪A=（）A ．{2}B ．{3，4}C ．{1，4，5}D ．{2，3，4，5}2．（5分）已知，则双曲线C 1：与C 2：的（）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等3．（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（） A ．（￢p ）∨（￢q ）B ．p ∨（￢q ）C ．（￢p ）∧（￢q ）D ．p ∨q4．（5分）四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： ①y 与x 负相关且=2.347x ﹣6.423； ②y 与x 负相关且=﹣3.476x+5.648； ③y 与x 正相关且=5.437x+8.493； ④y 与x 正相关且=﹣4.326x ﹣4.578．其中一定不正确的结论的序号是（） A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5．（5分）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（）A．B．C． D．6．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．7．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．8．（5分）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R 上为（）A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数9．（5分）某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为（）A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元10．（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B．（0，）C．（0，1）D．（0，+∞）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．（5分）i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1=2﹣3i，则z2= ．12．（5分）某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为；（Ⅱ）命中环数的标准差为．13．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入m的值为2，则输出的结果i= ．14．（5分）已知圆O：x2+y2=5，直线l：xcosθ+ysinθ=1（0）．设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则 k= ．15．（5分）在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m= ．16．（5分）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）17．（5分）在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N=71，L=18，则S= （用数值作答）．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos （B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．19．（13分）已知Sn 是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4=﹣18．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得Sn≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．20．（13分）如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2，C 1C2=d3，且d1＜d2＜d3．过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A 1B1C1﹣A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中．（Ⅰ）证明：中截面DEFG是梯形；（Ⅱ）在△ABC中，记BC=a，BC边上的高为h，面积为S．在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体A1B1C1﹣A2B2C2的体积V）时，可用近似公式V估=S中•h来估算．已知V=（d1+d2+d3）S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明．21．（13分）设a＞0，b＞0，已知函数f（x）=．（Ⅰ）当a≠b时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当x＞0时，称f（x）为a、b关于x的加权平均数．（i）判断f（1），f（），f（）是否成等比数列，并证明f（）≤f（）；（ii）a、b的几何平均数记为G．称为a、b的调和平均数，记为H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范围．22．（14分）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．2013年湖北省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，4}，则B ∩∁∪A=（）A ．{2}B ．{3，4}C ．{1，4，5}D ．{2，3，4，5}【分析】根据全集U 和集合A 先求出集合A 的补集，然后求出集合A 的补集与集合B 的交集即可【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，4}，则C U A={3，4，5}，又因为B={2，3，4}，则（C U A ）∩B={3，4}．故选：B ．【点评】此题考查了补集及交集的运算，是一道基础题，学生在求补集时应注意全集的范围．2．（5分）已知，则双曲线C 1：与C 2：的（）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【分析】通过双曲线的方程求出双曲线的实半轴的长，虚半轴的长，焦距即可得到结论．【解答】解：双曲线C 1：可知a=sinθ，b=cosθ，2c=2（sin 2θ+cos 2θ）=2；双曲线C：可知，a=cosθ，b=sinθ，2c=2（sin2θ+cos2θ）2=2；所以两条双曲线的焦距相等．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．3．（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．故选：A．【点评】本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．4．（5分）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且=2.347x﹣6.423；②y与x负相关且=﹣3.476x+5.648；③y与x正相关且=5.437x+8.493；④y与x正相关且=﹣4.326x﹣4.578．其中一定不正确的结论的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【分析】由题意，可根据回归方程的一次项系数的正负与正相关或负相关的对应对四个结论作出判断，得出一定不正确的结论来，从而选出正确选项．【解答】解：①y与x负相关且=2.347x﹣6.423；此结论误，由线性回归方程知，此两变量的关系是正相关；②y与x负相关且；此结论正确，线性回归方程符合负相关的特征；③y与x正相关且；此结论正确，线性回归方程符合正相关的特征；④y与x正相关且．此结论不正确，线性回归方程符合负相关的特征．综上判断知，①④是一定不正确的故选：D．【点评】本题考查线性回归方程，正确理解一次项系数的符号与正相关还是负相关的对应是解题的关键，本题是记忆性的基础知识考查题，较易5．（5分）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（）A．B．C． D．【分析】解答本题，可先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项【解答】解：考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．故选：C．【点评】本题考查函数的表示方法﹣﹣图象法，正确解答本题关键是理解坐标系的度量与小明上学的运动特征6．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选：B．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．【分析】先求出向量、，根据投影定义即可求得答案．【解答】解：，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，故选：A．【点评】本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键．8．（5分）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R 上为（）A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数【分析】依题意，可求得f（x+1）=f（x），由函数的周期性可得答案．【解答】解：∵f（x）=x﹣[x]，∴f（x+1）=（x+1）﹣[x+1]=x+1﹣[x]﹣1=x﹣[x]=f（x），∴f（x）=x﹣[x]在R上为周期是1的函数．故选：D．【点评】本题考查函数的周期性，理解题意，得到f（x+1）=f（x）是关键，属于基础题．9．（5分）某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为（）A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元【分析】设分别租用A、B两种型号的客车x辆、y辆，总租金为z元．可得目标函数z=1600x+2400y，结合题意建立关于x、y的不等式组，计算A、B型号客车的人均租金，可得租用B型车的成本比A型车低，因此在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低．由此设计方案并代入约束条件与目标函数验证，可得当x=5、y=12时，z达到最小值36800．【解答】解：设分别租用A、B两种型号的客车x辆、y辆，所用的总租金为z 元，则z=1600x+2400y，其中x、y满足不等式组，（x、y∈N）∵A型车租金为1600元，可载客36人，∴A型车的人均租金是≈44.4元，同理可得B型车的人均租金是=40元，由此可得，租用B型车的成本比租用A型车的成本低因此，在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低由此进行验证，可得当x=5、y=12时，可载客36×5+60×12=900人，符合要求且此时的总租金z=1600×5+2400×12=36800，达到最小值故选：C．【点评】题给出实际应用问题，要求我们建立目标函数和线性约束条件，并求目标函数的最小值，着重考查了简单的线性规划的应用的知识，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B．（0，）C．（0，1）D．（0，+∞）【分析】先求导函数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx ﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选：B．【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．（5分）i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1=2﹣3i，则z2= ﹣2+3i ．【分析】直接利用复数对应的点的坐标，求出对称点的坐标，即可得到复数z2．【解答】解：设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，复数z1，z2的实部相反，虚部相反，z1=2﹣3i，所以z2=﹣2+3i．故答案为：﹣2+3i．【点评】本题考查复数的几何意义，对称点的坐标的求法，基本知识的应用．12．（5分）某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为7 ；（Ⅱ）命中环数的标准差为 2 ．【分析】根据题中的数据，结合平均数、方差的计算公式，不难算出学员在一次射击测试中射击命中环数的平均数和方差，从而得到答案．【解答】解：（I）根据条件中的数据，得学员在一次射击测试中命中环数的平均数是=（7+8+7+9+5+4+9+10+7+4）=7，（II）可得学员在一次射击测试中命中环数的方差是s2=[（7﹣7）2+（8﹣7）2+…+（4﹣7）2]=4．故答案为：7，2．【点评】本题以求两人射击命中环数的平均数和方差为载体，考查了样本平均数、方差的计算公式和对特征数的处理等知识，属于基础题．13．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入m的值为2，则输出的结果i= 4 ．【分析】框图输入m的值后，根据对A，B，i的赋值执行运算i=i+1，A=A×m，B=B×i，然后判断A＜B是否成立不成立继续执行循环，成立则跳出循环，输出i的值．【解答】解：框图首先给累积变量A，B赋值1，1，给循环变量i赋值0．若输入m的值为2，执行i=1+1，A=1×2=2，B=1×1=1；判断2＜1不成立，执行i=1+1=2，A=2×2=4，B=1×2=2；判断4＜2不成立，执行i=2+1=3，A=4×2=8，B=2×3=6；判断8＜6不成立，执行i=3+1=4，A=8×2=16，B=6×4=24；判断16＜24成立，跳出循环，输出i的值为4．故答案为4．【点评】本题考查了循环结构中的直到型结构，即先执行后判断，不满足条件执行循环，直到满足条件跳出循环，算法结束，是基础题．14．（5分）已知圆O：x2+y2=5，直线l：xcosθ+ysinθ=1（0）．设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则 k= 4 ．【分析】找出圆O的圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心O到直线l的距离d，根据d与r的大小关系及r﹣d的值，即可作出判断．【解答】解：由圆的方程得到圆心O（0，0），半径r=，∵圆心O到直线l的距离d==1＜，且r﹣d=﹣1＞1=d，∴圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为4，即k=4．故答案为：4【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，弄清题意是解本题的关键．15．（5分）在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m= 3 ．【分析】画出数轴，利用x满足|x|≤m的概率为，直接求出m的值即可．【解答】解：如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，所以m=3．故答案为：3．【点评】本题考查几何概型的求解，画出数轴是解题的关键．16．（5分）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 3 寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上地面面积即可得到答案．【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．因为积水深9寸，所以水面半径为寸．则盆中水的体积为（立方寸）．所以则平地降雨量等于（寸）．故答案为3．【点评】本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是基础题．17．（5分）在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是3，1，6 ；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N=71，L=18，则S= 79 （用数值作答）．【分析】（Ⅰ）利用新定义，观察图形，即可求得结论；（Ⅱ）根据格点多边形的面积S=aN+bL+c，结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG，建立方程组，求出a，b，c即可求得S．【解答】解：（Ⅰ）观察图形，可得S=3，N=1，L=6；（Ⅱ）不妨设某个格点四边形由两个小正方形组成，此时，S=2，N=0，L=6∵格点多边形的面积S=aN+bL+c，∴结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG可得∴，∴S=N+﹣1将N=71，L=18代入可得S=79．故答案为：（Ⅰ）3，1，6；（Ⅱ）79．【点评】本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，注意区分多边形内部格点数和边界格点数是关键．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos （B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．【分析】（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a．又由正弦定理得即可得到即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．因为0＜A＜π，所以．（Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．又由正弦定理得．【点评】熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键．19．（13分）已知Sn 是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4=﹣18．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得Sn≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）设数列{an }的公比为q，依题意，列出关于其首项a1与公办q的方程组，解之即可求得数列{an}的通项公式；（Ⅱ）依题意，可求得1﹣（﹣2）n≥2013，对n的奇偶性分类讨论，即可求得答案．【解答】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，显然q≠1，由题意得，由，解得q=﹣2，a3=12，故数列{an }的通项公式为an=a3•q n﹣3=12×（﹣2）n﹣3=3×（﹣2）n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）有an =（﹣）×（﹣2）n．若存在正整数n，使得Sn≥2013，则Sn==1﹣（﹣2）n，即1﹣（﹣2）n≥2013，当n为偶数时，2n≤﹣2012，上式不成立；当n为奇数时，1+2n≥2013，即2n≥2012，则n≥11．综上，存在符合条件的正整数n=2k+1（k≥5），且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1（k≥5）}．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查等比数列的求和，考查分类讨论思想与方程思想，考查综合分析与推理运算能力，属于难题．20．（13分）如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2，C 1C2=d3，且d1＜d2＜d3．过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A 1B1C1﹣A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中．（Ⅰ）证明：中截面DEFG是梯形；（Ⅱ）在△ABC中，记BC=a，BC边上的高为h，面积为S．在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体A1B1C1﹣A2B2C2的体积V）时，可用近似公式V估=S中•h来估算．已知V=（d1+d2+d3）S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明．【分析】（Ⅰ）首先利用线面垂直、线面平行的性质及平行公理证出四边形DEFG 的一组对边相互平行，然后由梯形中位线知识证明一组对边不相等，则可证明中截面DEFG是梯形；（Ⅱ）由题意可证得MN是中截面梯形DEFG的高，根据四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形，利用梯形的中位线公式吧DE，FG用d1，d2，d3表示，这样就能把V估用含有a，h，d1，d2，d3的代数式表示，把V=（d1+d2+d3）S与V估作差后利用d 1，d2，d3的大小关系可以判断出差的符号，及能判断V估与V的大小关系．【解答】（Ⅰ）依题意A1A2⊥平面ABC，B1B2⊥平面ABC，C1C2⊥平面ABC，所以A1A2∥B1B2∥C1C2，又A1A2=d1，B1B2=d2，C1C2=d3，且d1＜d2＜d3．因此四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形．由AA2∥平面MEFN，AA2⊂平面AA2B2B，且平面AA2B2B∩平面MEFN=ME，可得AA2∥ME，即A1A2∥DE．同理可证A1A2∥FG，所以DE∥FG．又M，N分别为AB，AC的中点，则D，E，F，G分别为A1B1，A2B2，A2C2，A1C1的中点，即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线．因此DE=，FG=，而d1＜d2＜d3，故DE＜FG，所以中截面DEFG是梯形；（Ⅱ）V估＜V．证明：由A1A2⊥平面ABC，MN⊂平面ABC，可得A1A2⊥MN．而EM∥A1A2，所以EM⊥MN，同理可得FN⊥MN．由MN是△ABC的中位线，可得MN=BC=a，即为梯形DEFG的高，因此，即．又S=ah，所以．于是=．由d1＜d20，d3﹣d1＞0，故V估＜V．【点评】本题考查直三棱柱的性质，体积，线面关系及空间想象能力，解答该题的关键是要有较强的空间想象能力，避免将各线面间的关系弄错，此题是中高档题．21．（13分）设a＞0，b＞0，已知函数f（x）=．（Ⅰ）当a≠b时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当x＞0时，称f（x）为a、b关于x的加权平均数．（i）判断f（1），f（），f（）是否成等比数列，并证明f（）≤f（）；（ii）a、b的几何平均数记为G．称为a、b的调和平均数，记为H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范围．【分析】（Ⅰ）确定函数的定义域，利用导数的正负，结合分类讨论，即可求得数f（x）的单调性；（Ⅱ）（i）利用函数解析式，求出f（1），f（），f（），根据等比数列的定义，即可得到结论；（ii）利用定义，结合函数的单调性，即可确定x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为{x|x≠﹣1}，∴当a＞b＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递增；当0＜a＜b时，f′（x）＜0，函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递减．（Ⅱ）（i）计算得f（1）=，f（）=，f（）=．∵∴f（1），f（），f（）成等比数列，∵a＞0，b＞0，∴≤∴f（）≤f（）；（ii）由（i）知f（）=，f（）=，故由H≤f（x）≤G，得f（）≤f（x）≤f（）．当a=b时，f（）=f（x）=f（）=f（1）=a，此时x的取值范围是（0，+∞），当a＞b时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，这时有≤x≤，即x的取值范围为≤x≤；当a＜b时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，这时有≤x≤，即x的取值范围为≤x≤．【点评】本题考查函数的单调性，考查等比数列，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（14分）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．【分析】（Ⅰ）设出两个椭圆的方程，当直线l与y轴重合时，求出△BDM和△ABN的面积S1和S2，直接由面积比=λ列式求λ的值；（Ⅱ）假设存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出M和N到直线l的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到，换元后利用非零的k值存在讨论λ的取值范围．【解答】解：以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为，．其中a＞m＞n＞0，＞1．（Ⅰ）如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则，，所以．在C1和C2的方程中分别令x=0，可得yA=m，yB=n，yD=﹣m，于是．若，则，化简得λ2﹣2λ﹣1=0，由λ＞1，解得．故当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，则．（Ⅱ）如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，不妨设直线l：y=kx（k＞0），点M（﹣a，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d1，d2，则，所以d1=d2．又，所以，即|BD|=λ|AB|．由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|﹣|AB|=（λ﹣1）|AB|，|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是．将l的方程分别与C1和C2的方程联立，可求得根据对称性可知xC =﹣xB，xD=﹣xA，于是②从而由①和②可得③令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得．因为k≠0，所以k2＞0．于是③关于k有解，当且仅当，等价于，由λ＞1，解得，即，由λ＞1，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2；当时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2．【点评】本题考查了三角形的面积公式，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，该题重点考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，（Ⅱ）中判断λ的存在性是该题的难题，考查了灵活运用函数和不等式的思想方法．。