一次函数讲义(解析式和面积)

一次函数（解析式和面积）
一、函数
1.定义 （1）在变化过程中有两个变量；
（2）一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；
（3）自变量的每一个确定值，函数有且只有一个值与之对应，即单值对应。

2.自变量的取值范围
（1）整式时，自变量取全体实数； （2）分式时，自变量使分母不为零；
（3）有偶次根式时，自变量必须使被开方数是非负数； （4）实际问题中，要使实际问题有意义；
（5）在有些函数关系式中，自变量的取值范围应是其公共解。

二、一次函数（——正比例函数）
1.定义
（1）函数为一次函数⇔其解析式可化为y kx b =+（,k b 为常数，0k ≠）的形式。

（2）一次函数y kx b =+结构特征：0k ≠；自变量x 次数为1；常数b 可为任意实数。

（3）一般情况下，一次函数中自变量的取值范围是全体实数。

（4）若0k =，则y b =（b 为常数），这样的函数叫做常函数，它不是一次函数； 若0b =，则y=kx （k 为常数），这样的函数叫做正比例函数。

2.图像
一次函数的图像是一条直线，确定两点，便能确定其图像。

3.性质
（1）增减性：0k >时，y 随着x 的增大而增大；0k <时，y 随着x 的增大而减小。

（2）图像位置：直线y kx b =+过两个象限或三个象限，由,k b 的符号共同决定。

回忆巩固：
1. 求出下列函数中自变量x 的取值范围
（1）
1
1
2y x =
+ （2）
y = （3）y = （4）5
21
y x -=
-
2. 已知
2
3
(2)3
m
y m x -=-+，当m 为何值时，y 是x 的一次函数？
3.
已知一次函数(2)(1)y m x m =++-，若y 随x 的增大而减小，且该函数图象与
x 轴的交点在原点右侧，求m 的取值范围。

4. 若正比例函数y ＝(1－2m)x 的图象经过点A(x 1，y 1)和点B(x 2，y 2)，当x 1<x 2
时，y 1>y 2，则求m 的取值范围。

（一） 求一次函数的解析式
用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 设：设一般式y=kx+b (k≠0)；
列：根据已知条件，列出关于k 、b 的方程（组）； 解：解出k 、b ；
写：写出一次函数的解析式.
例、已知一次函数的图象经过点Ａ（－３，－２）和点Ｂ（１，６）； （1）求此一次函数解析式；
（2） 分别求出此函数图象与x 轴和y 轴的交点坐标。

例、已知一次函数的图象平行于直线y =-3x +4，且经过点Ａ（1，-２）。

（1）求此一次函数解析式；
（2）分别求出此函数图象与x 轴和y 轴的交点坐标。

1
2
跟踪训练1：
1. 已知一次函数y=kx-3的图像过点（2，-1），求这个函数的解析式
2.已知直线y=kx+b 经过点（9, 0）和（24, 20），求k ，b 的值。

跟踪训练2：
已知直线 1y kx b =+与 2y 2x =-平行，且直线1y 在y 轴上的截距为2，求直线 1y 的解析式。

练习巩固：
1. 已知直线:32L y x =-+，现有4个命题：
①点3
(,0)2
P -在直线L 上；
②直线L 可以由直线31y x =-+向上平行移动1个单位长度得到；
③若点1(,1)3M 、(,)N a b 都在直线L 上，且1
3
a >，则1
b <；
④若点Q 到两坐标轴的距离相等，且点Q 在直线L 上，则点Q 在第一或第四象限。

其中正确的命题是__________________。

2. 已知一次函数(8)(6)y m x n =++-，求： （1）,m n 为何值时，y 随x 的增大而增大？ （2）,m n 为何值时，函数与y 轴的交点在x 轴上方？ （3）,m n 为何值时，图象过原点？
（4）若图象经过第一、二、三象限，求,m n 的取值范围。

（5）分别求出函数与x轴、y轴的交点坐标。

（二）、面积计算
一、知识点睛
1.处理面积问题的三种思路：
①_________（规则图形）；
②_________（分割求和、补形作差）；
③_________（例：同底等高）；
如图，满足S
△ABP =S
△ABC
的点P都在直线
．．l．1．，．l．2．上．
2.函数背景下处理面积问题，要利用_______________的特点．
二、精讲精练
1.如图，直线
5
3
y kx
=+经过点A（-2，m），
B（1，3）．
（1）求k，m的值；（2）求△AOB的面积．
2.如图，直线
1
1
2
y x
=+经过点A（1，m），B（4，n），
点C（2，5），求△ABC的面积．
3.如图，直线y=kx-2与x轴交于点B，直线y=1
2
x+1
与y轴交于点C，这两条直线交于点A（2，a），求四边形ABOC的面积．
4.如图，直线
1
1
2
y x
=-+与x轴、y轴分别交于A，B两点，
C（1，2），坐标轴上是否存在点P，使S△ABP=S△ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5.
如图，直线1
3
y x
=-+与x轴、y轴分别交于点A，B两点，以AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，点P为直线x=1上的动点．
（1）求Rt△ABC的面积；
（2）若S △ABP =S △ABC ，求点P 的坐标．
6. 如图，直线P A ：y =x +2与x 轴、y 轴分别交于A ，
Q 两点，
直线PB ：y =-2x +8与x 轴交于点B ． （1）求四边形PQOB 的面积；
（2）直线P A 上是否存在点M ，使得△PBM 的面积等于四边形PQOB 的面积？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
面积专题（随堂测试）
1．如图，直线y =-2x +2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt △ABC ，且∠BAC =90°，坐标轴上是否存在一点P ，使S △ABP =S △ABC ？若存在，求出点P 的坐标；
面积专题
1．如图，直线26y x =+经过点A （-4，m ），B （1
2-，n ），
点C （-2，10），求△ABC 的面积．
2．如图，直线l 1：y =-2x +4与x 轴、y 轴分别交于
A ，
B 两点，直线l 2：1
32y x =--与x 轴、y 轴
分别交于C ，D 两点． （1）求四边形ABCD 的面积；
（2）设直线l 1，l 2交于点P ，求△P AD 的面积．
4. 如图，
直线1y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ， B 两点，以线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ． （1）求△ABC 的面积；
（2）如果点P 是直线1
2y =
上的动点，当S △ABP =S △ABC 时，求点P 的坐标．
3. 如图，直线6y kx =+与x 轴、y 轴分别交于点,E F ，点E 的坐标为(8,0)-，点A 的坐标为(6,0)-。

（1）求k 的值；
（2）若点(,)P x y 是第二象限内直线上的一个动点，在点P 运动过程中，试写出OPA ∆的
面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）当点P 运动到什么位置时，OPA ∆的面积为27
8
，并说明理由。

5.
23y x =-+与x 轴交于点A ，直线3y x =-与x 轴交于点B ，且两直线直线
的交点为点C,求△ABC 的面积。

6. 已知正比例函数y=k 1x 的图像与一次函数y=k 2x-9的图像交于点P （3，-6）。

（1）求k 1和k 2的值；（2）如果一次函数y=k 2x-9的图像与x 轴交于点A ，求AOP 的面积。