4.4确定一次函数表达式的六种类型1
湘教版八下数学4.4《用待定系数法确定一次函数表达式》教学设计
湘教版八下数学4.4《用待定系数法确定一次函数表达式》教学设计一. 教材分析湘教版八下数学4.4《用待定系数法确定一次函数表达式》一节，是在学生学习了函数的基本概念、一次函数的性质等知识的基础上进行授课的。
本节课的主要内容是用待定系数法确定一次函数的表达式，通过待定系数法，让学生体会数学建模的思想，提高解决问题的能力。
教材中给出了详细的例题和大量的练习题，有助于学生巩固所学知识。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一次函数的基本知识，对函数的概念、性质有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，还不能很好地将所学的知识运用到实际问题中，需要通过本节课的学习，提高学生运用一次函数解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握用待定系数法确定一次函数表达式的方法，能熟练地运用待定系数法解决实际问题。
2.过程与方法：通过待定系数法的学习，培养学生的数学建模思想，提高学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：让学生体验到数学在实际生活中的应用，激发学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.教学重点：用待定系数法确定一次函数表达式的方法。
2.教学难点：如何将实际问题转化为一次函数问题，并运用待定系数法求解。
五. 教学方法本节课采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生主动探究；通过案例分析，让学生了解待定系数法的应用；通过小组合作，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作精美的PPT，展示教学内容、例题和练习题。
2.教学案例：准备一些实际问题，用于引导学生运用待定系数法解决问题。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，如测量身高、测定速度等，引导学生思考如何将这些实际问题转化为一次函数问题。
2.呈现（10分钟）通过PPT呈现待定系数法的基本原理和方法，让学生了解待定系数法在确定一次函数表达式中的应用。
一次函数的函数表达式和方程
一次函数的函数表达式和方程一次函数是数学中的基础概念之一，它在实际生活中有着广泛的应用。
本文将介绍一次函数的函数表达式和方程，并探讨其特点和求解方法。
一、一次函数的定义和表达式一次函数又称为线性函数，其定义为y = mx + b，其中m和b是常数，m代表直线的斜率，b代表直线与y轴的截距。
一次函数的图像是一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与y轴的位置。
例如，y = 2x + 3就是一个一次函数的函数表达式，其中斜率为2，截距为3。
根据这个函数表达式，我们可以确定一次函数的图像和性质。
二、一次函数的特点1. 直线特征：一次函数的图像是一条直线。
通过斜率和截距可以确定直线的位置和倾斜程度。
2. 斜率决定变化率：一次函数的斜率代表了函数值随自变量变化的速率。
当斜率为正数时，随着自变量增大，函数值也增大；当斜率为负数时，随着自变量增大，函数值减小。
3. 截距决定初始值：一次函数的截距代表了当自变量为0时，函数值的大小。
截距为正数时，表示直线与y轴交点在y轴的正半轴上；截距为负数时，表示直线与y轴交点在y轴的负半轴上。
三、一次函数的方程和解法在实际问题中，我们常常需要确定一个一次函数的方程，并根据方程求解问题。
下面介绍一些常见的求解方法。
1. 已知斜率和截距：如果已知直线的斜率m和截距b，可以直接写出一次函数的方程y = mx + b。
例如，已知一条直线的斜率为2，截距为3，那么该直线的函数表达式为y = 2x + 3。
2. 已知两点坐标：如果已知一条直线上的两个点的坐标(x1, y1)和(x2, y2)，可以通过斜率公式来求解一次函数的方程。
首先计算斜率m = (y2 - y1) / (x2 - x1)，然后选择其中一个点，代入斜率和点的坐标，即可得到一次函数的方程。
例如，已知直线上的两个点坐标分别为(1, 3)和(4, 9)，可以计算斜率m = (9 - 3) / (4 - 1) = 2。
4.4 一次函数的应用 第1课时 借助一次函数表达式解决一些简单问题 北师大版八年级上册数学习题课件
7．已知某一次函数的图象与直线y＝－x＋1平行，且过点(8，2)，则这个一次函数的 表达式为____y_＝__－__x_＋__1_0___．
8．已知一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交点的纵坐标为－2，且当x＝2时，y＝1，那 么此函数的表达式为_____y_＝__32__x_－__2___．
9．如图，一次函数y＝kx＋3的图象经过点A(1，4). (1)求这个一次函数的表达式； (2)试判断点B(－1，5)，C(0，3)，D(2，1)是否在这个一次函数的图象上．
解：(1)将点A(1，4)代入表达式y＝kx＋3，得k＋3＝4，k＝1.∴这个一次函数的表达 式为y＝x＋3
(2)将各点的横坐标代入表达式y＝x＋3得：点B：y＝－1＋3＝2≠5，不在函数图象上； 点C：y＝0＋3＝3，在函数图象上；Leabharlann D：y＝2＋3＝5≠1，不在函数图象上
10．某天晚上，一休闲广场举行了盛大的焰火晚会，场面壮观．已知声音在空气中的
知识点二 确定一次函数的表达式 3．直线y＝kx－4经过点(－2，2)，则该直线的函数表达式是( A ) A.y＝－3x－4 B．y＝－x－4 C.y＝x－4 D．y＝3x－4
4．已知直线y＝kx＋b经过点(2，4)和点(0，－2)，那么这条直线的表达式是( B ) A.y＝－2x＋3 B．y＝3x－2 C.y＝－3x＋2 D．y＝2x－3
16．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝－1 2
x＋5 的图象 l1 分别与 x，
y 轴交于 A，B 两点，正比例函数的图象 l2 与 l1 交于点 C(m，4).
(1)求 m 的值及 l2 的表达式；
(2)求 S△AOC－S△BOC 的值；
(3)一次函数 y＝kx＋1 的图象为 l3，且 l1，l2，l3 不能围成三角形，直接写出 k 的值．
确定一次函数解析式的五种方法
五种类型一次函数解析式的确定确定一次函数的解析式，是一次函数学习的重要内容。
下面就确定一次函数的解析式的题型作如下的归纳，供同学们学习时参考。
一、根据直线的解析式和图像上一个点的坐标，确定函数的解析式例1、若函数y=3x+b经过点（2，-6），求函数的解析式。
分析：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），所以，点的坐标一定满足函数的关系式，所以，只需把x=2，y=-6代入解析式中，就可以求出b的值。
函数的解析式就确定出来了。
解：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），所以，把x=2，y=-6代入解析式中，得：-6=3×2+b，解得：b=-12，所以，函数的解析式是：y=3x-12.二、根据直线经过两个点的坐标，确定函数的解析式例2、直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），求函数的表达式。
分析：把点的坐标分别代入函数的表达式，用含k的代数式分别表示b，因为b是同一个，这样建立起一个关于k的一元一次方程，这样就可以把k的值求出来，然后，就转化成例1的问题了。
解：因为，直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），所以，4=3k+b，7=2k+b，所以，b=4-3k，b=7-2k，所以，4-3k=7-2k，解得：k=-3，所以，函数变为：y=-3x+b，把x=3，y=4代入上式中，得：4=-3×3+b，解得：b=13，所以，一次函数的解析式为：y=-3x+13。
三、根据函数的图像，确定函数的解析式例3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系．求油箱里所剩油y（升）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x的取值范围。
分析：根据图形是线段，是直线上的一部分，所以，我们可以确定油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，明白这些后，就可以利用设函数解析式的方法去求函数的解析式。
解：因为，函数的图像是直线，所以，油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，设：一次函数的表达式为：y=kx+b，因为，图像经过点A（0，40），B（8，0），所以，把x=0，y=40，x=8，y=0，分别代入y=kx+b中，得：40=k×0+b，0=8k+b解得：k=-5，b=40，所以，一次函数的表达式为：y=-5x+40。
4.4确定一次函数表达式教案
4.4确定一次函数的表达时间教学目标知识与技能1、根据函数的图像确定一次函数的表达式2、会运用一次函数的思想解决实际问题过程与方法让学生经历观察、操作、合作、探究、交流、推理等活动，体会数学的建模、数形结合思想，进一步发展推理能力及有条理表达能力情感态度与价值观使学生经历探索、合作、交流的学习过程，激发学生对数学的兴趣，获得成功的体验。
教学重点根据所给信息确定一次函数的表达式。
教学难点体会数学的建模、数形结合思想。
教学过程一、复习：1.复习提问：（1）什么是一次函数？（2）一次函数的图象是什么？（3）一次函数具有什么性质？（4）一次函数和正比例函数有怎样的关系？学生回答…….2.预习：1.怎样确定一次函数的表达式?2.确定一次函数表达式的步骤有哪些？二、引入新课：(5分钟)v(米/秒)与其下滑时间t(秒 )的关系如图所示．1）写出v与t之间的关系式？2）下滑3秒时物体的速度是多少？t三、讲授新课：1、想一想（1）确定正比例函数的表达式需要几个点的坐标？（一个）（2）确定一次函数的表达式需要几个点的坐标？（两个）。
总结：在确定函数表达式时，要求几个系数就需要知道几个点的坐标2、例题讲解：例1 ：在弹性限度内，弹簧的长度 y（厘米）是所挂物体质量 x（千克）的一次函数。
一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米。
请写出 y 与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度。
解：设y=kx+b(k≠0)由题意得：14.5=b,16=3k+b,解得：b=14.5 ; k=0.5.所以在弹性限度内，当x=4时，y＝０.５×４＋14.5=16.5（厘米）.即物体的质量为４千克时，弹簧长度为１６.５厘米.总结规律：求一次函数表达式的步骤：（1）设——设函数表达式y=kx+b（2）代——将点的坐标代入y=kx+b中，列出关于k,b的方程。
（3）求——解方程，求k,b。
一次函数的一般表达形式
一次函数的一般表达形式一、函数1. 函数的概念：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x 的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x 叫自变量。
2. 函数关系式：用来表示函数关系的等式叫做函数解析式或函数关系式。
3. 函数的表示方法：常用的有解析式法和图象法。
4. 函数值：自变量x对应的函数值叫做函数值。
二、函数的三种表达方式1. 解析式法：用等式表示两个变量间的函数关系，如y＝kx＋b。
这种表示法最为普遍，人们经常用这种形式来讨论函数问题。
2. 列表法：用列表的方法来表示两个变量之间的函数关系，如上表；或者列出x在某一范围内的函数值，从中得知函数的增减性等。
3. 图象法：用图象来表示两个变量之间的函数关系。
从图象可以看出函数的大致情况，便于对函数进行分析，作出判断。
三、正比例函数的表示方法1. 用解析式表示：y＝kx（k为常数，k≠0）。
如y＝4x。
2. 用图象表示：图象是一条直线。
它经过原点（0，0），斜向右上（或左下），倾斜角为α（α＝kπ），图上每一点（x，y）满足函数关系y＝kx。
当k>0时，直线落在第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，直线落在第二、四象限，y随x的增大而减小。
3. 用列表表示：表中列举了一组x与y的对应值，这种列表法也可从图象上直接看出函数的增减性。
四、一次函数的表示方法1. 一次函数的解析式形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）。
特别地当b＝0时，y＝kx（k为常数，k≠0），称y是x的正比例函数。
2. 图象是一条直线。
直线通过原点时，截距为0。
直线上任一点（x，y）满足函数关系y＝kx＋b。
当k>0时，直线y＝kx＋b在第一、三象限；当k<0时，直线在第二、四象限。
3. 列表法：表中列举了一组x与y的对应值，从表中可以知道当x增大时，y的变化情况。
五、二次函数的表示方法1. 解析式：（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a ≠0）。
北师大版八年级数学上册4.4__确定一次函数表达式
V/(米/秒)
(1)请写出 v 与 t 的
关系式； (V=2.5t) O
t/秒
(2)下滑3秒时物体的 速度是多少？
引例
V/(米/秒)
某物体沿一个斜坡
下滑，它的速度v (米/ 秒)与其下滑时间t (秒) 的关系如右图所示：
(1)请写出 v 与 t 的
关系式；(V=2.5t)
O
t/秒
(2)下滑3秒时物体的 速度是多少?(7.5米/秒)
2、一次函数的图像是什么形状？
答：是一条直线.
3、如何根据一次函数y=kx+b(k≠0)中k、b的正负
来确定函数图象所在的象限？
一次函数 y kx b（k 0）
b 0
k 0
b 0 b 0
k 0
b0 b 0
图
y
y
y
y
y
象
ox
ox o x
ox
ox
b 0
y ox
性 k>0时y随x的增大而增大 ，图象必经过三、一 象限 质 k<0时y随x的增大而 减小 ，图象必经过二、四象限
§4.4确定一次函数表达式
学习目标
（1）了解两个条件确定一个一次 函数；一个条件确定一个正比例函 数. （2）能由两个条件求出一次函数 的表达式，一个条件求出正比例函 数的表达式，并解决有关现实问题.
1、什么是正比例函数和一次函数？
答:若两个变量x，y间的关系式可以表示成
y=kx+b（k, b为常数，k≠0）的形式，则称y是x 的一次函数.特别地，当 b=0时，称y是x的正比例 函数.
思维拓展
1.已知正比例函数y=k1x的图象与 一次函数y=k2x-9的图象的交点坐 标为P（3，-6）． （1）求两函数解析式． （2）求两函数图象与x轴围成的三 角形面积．
三法确定一次函数表达式
三法确定一次函数表达式确定一次函数表达式的方法有三种，分别是点斜式、截距式和一般式。
一、点斜式：点斜式是通过已知直线上一点的坐标和该直线的斜率来确定一次函数表达式的方法。
已知直线上一点的坐标为(x1,y1)，斜率为m，则该直线的点斜式表达式为：y-y1=m(x-x1)其中，m为直线的斜率，定义为直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
例如，已知直线上一点的坐标为(2,3)，斜率为2，则直线的点斜式为：y-3=2(x-2)二、截距式：截距式是通过已知直线在坐标轴上的截距来确定一次函数表达式的方法。
已知直线与x轴的交点为(a,0)，与y轴的交点为(0,b)，则该直线的截距式表达式为：x/a+y/b=1其中，a为直线与x轴的截距，b为直线与y轴的截距。
例如，已知直线与x轴的截距为3，与y轴的截距为4，则直线的截距式为：x/3+y/4=1三、一般式：一般式是通过已知直线上两点的坐标来确定一次函数表达式的方法。
已知直线上两点的坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，则该直线的一般式表达式为：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)其中，(x1,y1)和(x2,y2)为直线上的两个点的坐标。
例如，已知直线上两点的坐标分别为(2,3)和(4,7)，则直线的一般式为：(y-3)/(x-2)=(7-3)/(4-2)以上三种方法都可以用来确定一次函数表达式，选择使用哪种方法取决于已知的条件。
点斜式适用于已知斜率和一点的情况，截距式适用于已知与坐标轴的截距的情况，一般式适用于已知两点的情况。
根据实际情况选择合适的方法，可以快速准确地确定一次函数表达式。
2024-2025学年北师版中学数学八年级上册第四章一次函数4.4一次函数的应用(第1课时)教案
第四章一次函数4一次函数的应用第1课时确定一次函数表达式教学目标教学反思1.了解确定一次函数的条件，能用待定系数法求出一些简单的一次函数的表达式；2.能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；3.在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系.教学重难点重点：1.了解确定一次函数的条件；2.能用待定系数法求出一些简单的一次函数的表达式.难点：能利用一次函数解决简单的实际问题.教学过程导入新课知识回顾1.什么是一次函数？什么是正比例函数？2.一次函数的图象是什么？正比例函数的图象呢？3.表示函数的方法有哪些？4.画出y＝-2x-4的图象，根据图象回答下列问题：（1）y的值随x值的增大而__________；（2）图象与x轴的交点坐标是________，与y轴的交点坐标是_________；（3）判断下列各点是否在函数y＝-2x-4的图象上.A（1，-6）；B（-3，1）学生思考，给出答案.1.若两个变量x，y间的关系式可以表示成y＝kx+b(k,b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数.当b＝0时，即y＝kx,称y是x的正比例函数.2.一次函数的图象是一条直线；正比例函数的图象是过原点的一条直线.3.列表法、图象法和关系式法.4.（1）减小；（2）（-2，0），（0，-4）；（3）A.探究新知假定甲、乙二人在一项赛跑中路程与时间的关系如图所示.（1）这是一次多少米的赛跑？（2）甲、乙二人谁先到达终点？（3）甲、乙二人的速度分别是多少？（4）求甲、乙二人y与x的函数关系式.想一想：1.确定正比例函数的表达式需要几个条件？(1个)2.确定一次函数的表达式呢？（2个）例1某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s)与其下滑时间t（s）的关系如图所示.(1)写出v与t之间的关系式.(2)下滑3秒时物体的速度是多少？【解】(1)设函数表达式为v＝kt (k为常数且k≠0).∵(2,5)在图象上,把点（2，5）的坐标代入，得5＝2k,∴ k＝2.5，∴v＝2.5 t.(2)当t＝3s时，v＝2.5×3＝7.5(m／s).所以下滑3s时物体的速度是7.5 m／s.例2在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数，一根弹簧不挂物体时长14.5 cm；当所挂物体的质量为3 kg时，弹簧长16 cm.写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度.【解】设y＝kx+b(k≠0)，由题意，得14.5＝b, 16＝3k+b,解得b＝14.5 ,k＝0.5.所以在弹性限度内，y＝0.5x+14.5.当x＝4时，y＝0.5×4+14.5＝16.5（cm）.即当所挂物体的质量为4 kg时，弹簧长度为16.5 cm.教师总结：教学反思求一次函数表达式的步骤 ：1.设——设一次函数表达式为y ＝kx +b （k ≠0）；2.代——将点的坐标代入y ＝kx +b 中,列出关于k ，b 的方程组；3.解——解方程组求出k ，b 值；4.定——把求出的k ，b 值代回到表达式中即可.像这种求函数表达式的方法叫做待定系数法.课堂练习 1.若一次函数y ＝2x +b 的图象经过A （-1，1），则=b ，该函数图象经过点B （1， ）和点C （ ，0）.2.如图，直线l 是一次函数y ＝kx +b 的图象，填空：（1）=b ，=k ，所以函数关系式为___________；（2）当x ＝30时，=y ；（3）当y ＝30时，=x .3.如图，直线l 是一次函数y ＝kx +b 的图象，求它的表达式.4.已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的表达式.5.某市出租车计费方法如图所示，x （km ）表示行驶里程，y （元）表示车费,请根据图象回答下列问题：（1）求出租车的起步价是多少元，并求当x ＞3时，y 关于x 的函数表达式；（2）若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程.参考答案1.3,5,-1.5教学反思2.(1)2,23-,y ＝23x -+2 (2)-18 (3)-423.解：y ＝-3x4.解：设一次函数的表达式为y ＝kx +b (k ≠0)， ∵一次函数y ＝kx +b 的图象过点（0，2），∴ b ＝2.∵一次函数的图象与x 轴的交点是2,0k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴ 12222k⨯-⨯=，解得k ＝1或-1.∴ 一次函数的表达式为y ＝x +2或y ＝-x +2. 5.解：（1）8，y ＝2x +2；（2）令y ＝32，则2x +2＝32，x ＝15，∴ 这位乘客乘车的里程为15 km.课堂小结(学生总结，老师点评)用待定系数法确定一次函数表达式的步骤布置作业习题4.5 必做题：第2题 选做题：3，4题任选一题板书设计第四章 一次函数4 一次函数的应用第1课时 确定一次函数表达式用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： 1.设—— 设一次函数表达式为y ＝kx +b (k ≠0)；2.代—— 将点的坐标代入y ＝kx +b 中,列出关于k ，b 的方程组；3.解—— 解方程组求出k ，b 值；4.定—— 把求出的k ，b 值代回到表达式中即可.。
北师大版数学八年级上册 4.4 一次函数的应用
t(s)
典例精析
例1 求正比例函数 y (m 4)xm215 的表达式．
解：由正比例函数的定义知 m2－15＝1 且 m－4≠0， ∴ m＝－4. ∴ y＝－8x.
方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式： 自变量的指数为 1，系数不为 0，常数项为 0.
想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？ 一个
北师大版数学八年级上册
第四章 一次函数
4.4 一次函数的应用
第3课时 两个一次函数图象的应用
观察与思考
y
观察下图，你能发现它们三条函数直 线之间的差别吗？
O
x
两个一次函数的应用
引例：l1 反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，
根据图意填空：当销售量为 2 吨时，销售收入＝2000元，
y/元
∴在弹性限度内，y = 0.5x + 14.5. 当 x = 4 时，y ＝ 0.5×4＋14.5 = 16.5（厘米）. 故当所挂物体的质量为 4 千克时弹簧的长度为 16.5 厘米.
归纳总结
解此类题要根据所给的条件建立数学模 型，得出变化关系，并求出函数的表达式， 根据函数的表达式作答．
正比例函数 y = kx(k≠0)
典例精析 例1 某种摩托车加满油后，油箱中的剩余 油量 y (升)与摩托车行驶路程 x (千米)之间的关系如 图所示： y/升
10 8 6 4 2
0 100 200 300 400 500 x/千米
根据图象回答下列问题：
y/升 (1)油箱最多可储油多少升？
10
8 6
解:当 x = 0 时，y = 10.
应用与延伸
试问： (2)加油前每 100 千米耗油多 少升? 加油后每 100 千米耗油多少升?
求一次函数表达式的几种类型
求一次函数表达式的几种类型作者：赵艳玲来源：《成才之路》2010年第13期一次函数及其图像是初中数学的重要内容,更是中考的重点考查内容,其中,求一次函数表达式就是一种常见的题型,现以部分中考题为例,介绍几种求一次函数表达式的常见题型。
一、定义型例1.已知函数 y=(k+2)xk-3 是正比例函数,求它的表达式。
解析:由正比例函数的定义知k2-3=1且k+2≠0,所以,解得k=2,所以正比例函数的表达式为y=2x。
二、点斜型例2.已知一次函数y=kx+8的图像过点(2,10),求一次函数表达式。
解析:∵一次函数y=kx+8的图像过点(2,10),∴10=2k+8,解得k=1。
∴一次函数表达式为y=x+8。
三、两点型例3.(2009年天津市)已知一次函数的图像过点(3,5)与(-4,-9),则该函数的图像与y轴交点的坐标为______。
解析:设此函数的解析式为y=kx+b,因为图像过点(3,5)与(-4,-9)所以3k+b=5-4k+b=-9解得k=2,b=-1;所以y=2x-1。
当x=0时,y=-1。
所以与y轴的交点坐标为(0,-1)。
四、平移型例4.(2009年桂林市)如图1,是一个正比例函数的图像,把该图像向左平移一个单位长度,得到的函数图像的解析式为__。
解析:根据图像先求出正比例函数的表达式y=-2x,再根据平移规律“左移加,右移减;上移加,下移减”知,向左平移1个单位,即解析式为y=-2(x+1)。
五、图像型例5.(2009成都市)某航空公司规定,旅客乘机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次函数图像确定,那么旅客可携带的免费行李的最大质量为:A.20 kgB.25 kgC.28 kgD.30 kg解析:由图像可知,本题所涉及的函数关系是一次函数,∴设一次函数解析式为y=kx+b,由图像可知,直线过点(30,300),(50,900),代入可得30k+b=30050k+b=900解得k=30,b=-600;所以y=30x-600,当y=0时,代入得x=20答案:A六、应用型例6.(2009年宁德市)张老师带领x名学生到某动物园参观,已知成人票每张10元,学生票每张5元,设门票的总费用为y元,则y=_______。
湘教版数学八年级下册4.4《用待定系数法确定一次函数表达式》教学设计
湘教版数学八年级下册4.4《用待定系数法确定一次函数表达式》教学设计一. 教材分析《用待定系数法确定一次函数表达式》是湘教版数学八年级下册4.4节的内容。
本节课的主要内容是通过待定系数法来确定一次函数的表达式。
学生已经学习了函数的概念、一次函数的性质等基础知识，本节课是对一次函数知识的进一步拓展和应用。
教材通过生动的实例引入待定系数法，引导学生通过观察、思考、探索来掌握待定系数法确定一次函数表达式的过程和方法。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。
他们在学习过程中，需要通过实例来理解抽象的数学概念，通过动手操作来巩固所学知识。
对于一次函数，大部分学生已经掌握了其基本性质，但对待定系数法这一概念可能会感到陌生。
因此，在教学过程中，需要教师通过具体的实例，引导学生去观察、思考、探索，从而理解和掌握待定系数法确定一次函数表达式的过程和方法。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握待定系数法确定一次函数表达式的方法，能运用待定系数法解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、思考、探索，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：待定系数法确定一次函数表达式的过程和方法。
2.难点：如何引导学生观察、思考、探索，从而理解和掌握待定系数法确定一次函数表达式的过程和方法。
五. 教学方法1.情境教学法：通过具体的实例，引导学生观察、思考、探索，从而理解和掌握待定系数法确定一次函数表达式的过程和方法。
2.小组合作学习：分组讨论，共同解决问题，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
3.启发式教学法：教师引导学生发现问题、解决问题，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示具体的实例和教学内容。
2.教学素材：准备一些实际问题，作为学生练习的素材。
《确定一次函数的表达式》一次函数
详细描述
首先，我们可以根据已知条件画出函数的图 像。然后，观察图像的斜率和截距，这些特 征可以帮助我们确定函数的系数。最后，将 确定的系数代入表达式中即可得到答案。
表格法
总结词
表格法是通过列出函数的表格，观察表格中 的数据来确定函数的表达式。
详细描述
首先，我们可以列出函数的表格，包括自变 量和对应的因变量的值。然后，观察表格中 的数据，可以发现数据的规律和特征。最后 ，利用这些规律和特征来确定函数的表达式
要点二
二次函数的拓展应用
二次函数在实际生活中有着广泛的应用，如物理学中 的运动问题、经济学中的收益问题等。
一次函数与不等式的关系
不等式的性质
不等式是数学中研究数量或变量之间大小关系的数学表 达式。不等式的性质有三个：不等式的两边同时加上或 减去同一个数或整式不等号的方向不变；不等式的两边 同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；不等式 的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变。
一次函数与不等式的关系
一次函数与不等式之间存在着密切的联系。一次函数 y=kx+b的图象是一条直线，当k>0时，y随着x的增大而 增大；当k<0时，y随着x的增大而减小。因此，我们可 以通过观察一次函数的图象来判断不等式解集的位置。 例如，对于不等式kx+b>0，当k>0时，解集为x>-b/k ；当k<0时，解集为x<-b/k。
一次函数的性质
一次函数的图像是一条直线。
一次函数的斜率k决定了函数的单调性：当k>0时，函数单调递增Βιβλιοθήκη 当k<0时，函数 单调递减。
一次函数的截距b决定了函数与y轴的交点：当b=0时，函数与y轴交于原点；当b≠0 时，函数与y轴交于(0, b)点。
湘教版2019年度八年级数学下册第4章专题训练四确定一次函数表达式的六种方法练习含答案
专题训练(四) 确定一次函数表达式的六种方法►方法一根据一次函数的定义确定1．已知关于x的函数y＝(2m－1)x＋1－3m.(1)当m为何值时，这个函数为正比例函数？(2)当m为何值时，这个函数为一次函数？2．已知y＝(m－1)xm2－3＋2是关于x的一次函数，并且y的值随x值的增大而减小，求此一次函数的表达式．►方法二根据一次函数的性质确定3．某一次函数的图象过点(－1，2)，且函数y的值随自变量x值的增大而减小，请写出符合上述条件的一个函数表达式：____________．4．已知一次函数y＝(1－2m)x＋m－2，若函数值y随x值的增大而减小，并且函数的图象经过第二、三、四象限，m是整数，求此一次函数的表达式．►方法三根据两点坐标(两对对应值)确定5．已知一次函数y＝kx＋b在x＝3时，y的值为5，在x＝－4时，y的值为－9，求这个一次函数的表达式．6．直线l与直线y＝2x＋1的交点的横坐标为2，与直线y＝－x＋2的交点的纵坐标为1，求直线l对应► 方法四 利用表格信息确定7．根据表内数据，求变量y x 1 2 3 4 … y581114…► 方法五 根据物理知识及生活经验确定8．一根弹簧原长12厘米，它所挂物体的质量不能超过15千克，并且每挂1千克重物，伸长12厘米，写出挂重物后的弹簧的长度y(厘米)与所挂物体质量x(千克)之间的函数表达式．9．为更新果树品种，某果园计划购进A ，B 两个品种的果树苗栽植培育．若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A 种树苗的单价为7元/棵，购买B 种树苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图4－ZT －1(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)若在购买计划中，B 种树苗的数量不超过35棵，但不少于A 种树苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．图4－ZT －1► 方法六 根据图形与坐标轴围成的三角形的面积确定10．如图4－ZT －2，一次函数的图象经过点(52，0)，且与坐标轴围成的三角形的面积为254，求出这个一次函数的表达式．图4－ZT －211．已知直线y ＝－x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，另一直线y ＝kx ＋b(k ≠0)经过点C(1，0)，且把△AOB 分成两部分．(1)若△AOB 被分成的两部分面积相等，求k 和b 的值；(2)若△AOB 被分成的两部分的面积之比为1∶5，求k 和b 的值．详解详析1.解：（1）由正比例函数的定义，有1－3m ＝0且2m －1≠0，得m ＝13，m ≠12，∴当m ＝13时，y ＝（2m －1）x ＋1－3m 为正比例函数.（2）由一次函数的定义知，当m ≠12时，y ＝（2m －1）x ＋1－3m 为一次函数.2.解：∵y ＝（m －1）xm 2－3＋2是关于x 的一次函数，∴m 2－3＝1，且m －1≠0，解得m ＝±2. 又∵y 的值随x 值的增大而减小，∴m －1＜0，∴m ＝－2，∴此一次函数的表达式是y ＝－3x ＋2. 3.[答案] y ＝－x ＋1（答案不唯一）[解析] 因为y 随x 的增大而减小，所以k ＜0，不妨设y ＝－x ＋b.把x ＝－1，y ＝2代入，得b ＝1，所以函数表达式为y ＝－x ＋1.4.解：根据一次函数的性质，函数值y 随x 值的增大而减小，得1－2m ＜0，解得m ＞12.函数的图象经过第二、三、四象限，说明图象与y 轴的交点在x 轴下方，即m －2＜0，解得m ＜2， 所以m 的取值范围为12＜m ＜2.又因为m 是整数，所以m ＝1，故此一次函数的表达式为y ＝－x －1.5.解：由已知条件当x ＝3时，y ＝5，得5＝3k ＋b.由已知条件当x ＝－4时，y ＝－9，得－9＝－4k ＋b ，联立解得k ＝2，b ＝－1， 故这个一次函数的表达式为y ＝2x －1.6.解：设直线l 与直线y ＝2x ＋1的交点为A ，与直线y ＝－x ＋2的交点为B. 把x ＝2代入y ＝2x ＋1，得y ＝5，即点A 的坐标为（2，5）；把y ＝1代入y ＝－x ＋2，得x ＝1，即点B 的坐标为（1，1）.设直线l 对应的函数表达式为y ＝kx ＋b （k ≠0）.把A ，B 两点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝5，k ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，b ＝－3，∴直线l 对应的函数表达式为y ＝4x －3.7.解：由表内数据可知，变量y 是随变量x 均匀变化的，所以y 是x 的一次函数，设y ＝kx ＋b （k ≠0），把x ＝1，y ＝5，x ＝2，y ＝8分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝5，2k ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝2， 所以y ＝3x ＋2.当x ＝3时，y ＝11；当x ＝4时，y ＝14，与表格信息相符， 所以y 与x 之间的函数表达式为y ＝3x ＋2. 8.解：y ＝12x ＋12（0≤x ≤15）.9.解：（1）当0≤x ＜20时，∵图象经过点（0，0）和（20，160）， ∴设y ＝k 1x （k 1≠0），把（20，160）代入，得160＝20k 1，解得k 1＝8； 当x ≥20时，设y ＝k 2x ＋b （k 2≠0），把（20，160）和（40，288）代入，得⎩⎪⎨⎪⎧20k 2＋b ＝160，40k 2＋b ＝288，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝6.4，b ＝32，∴y 关于x 的函数表达式是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧8x （0≤x<20），6.4x ＋32（x ≥20），其中x 为整数.（2）依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤35，x ≥45－x ，解得22.5≤x ≤35，此时y ＝6.4x ＋32.设总费用为z 元.依题意得z ＝y ＋7（45－x ）＝－0.6x ＋347. ∵－0.6＜0，∴z 随x 的增大而减小.∵22.5≤x ≤35，且x 为整数，∴当x ＝35时，z 最小，此时z ＝－0.6×35＋347＝326，45－x ＝10，∴当购买A 种树苗10棵，B 种树苗35棵时，总费用最低，最低费用为326元. 10.解：设一次函数的图象与y 轴的交点为（0，m ）. 由已知得12·52·m＝254，解得m ＝5，即一次函数的图象过点（52，0），（0，5）.设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b （k ≠0），则⎩⎪⎨⎪⎧52k ＋b ＝0，b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝5，∴一次函数的表达式为y ＝－2x ＋5. 11.解：（1）根据题意，得A （2，0），B （0，2），如图①. 由题意易知直线y ＝kx ＋b 经过点C （1，0），B （0，2），代入得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝2.（2）如图②，设直线y ＝kx ＋b 与OB 交于点M （0，h ），由题意，得S △AOB ＝2，S △OMC ＝16S △AOB ，∴S △OMC ＝13，∴h ＝23.经过点M 作直线MN ∥OA ，交AB 于点N ，则S △OMC ＝S △CAN . 设N （a ，23），∵N （a ，23）在直线y ＝－x ＋2上，∴a ＝43，∴N （43，23）.∵直线y ＝kx ＋b 经过M （0，23），C （1，0）或经过N （43，23），C （1，0），∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝23，k ＋b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧43k ＋b ＝23，k ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－23，b ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－2.。
4.4 一次函数的应用 北师大版八年级数学上册课件
A.y=3x
C.y=13x
B.y=-3x
D.y=-13x
2.一次函数y=kx+b的图象经过(0,-2)和(-3,7)两点,那么该函数的表达式是
(D)
A.y=-2x+7 B.y=-2x-3
C.y=-8x-7 D.y=-3x-2
3.如图,直线l过A,B两点,A(0,-1),B(1,0),则直线l对应 的函数表达式为 y=x-1 .
4.4 一次函数的应用 确定一次函数表达式
由点的坐标求正比例函数的表达式 某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s)与其下滑时间t（s）
的关系如图所示. (1)写出v与t之间的关系式； (2)下滑3s时物体的速度是多少？
(1)请求出v与t的关系式
(2)下滑3秒时物体的速度是多少？
格式怎么写? 解:(1)设函数表达式为： v=kt (k为常数且k≠0); ∵(2,5)在图象上 把点（2，5）代入得：5=2k ∴ k=2.5 ∴V=2.5t
∴这个函数的表达式为y= —1.5x+3
（3）S△OAB=12 OA•O=B
1 32 3 2
y B
o
x
A
B'
练习1：求左图正比例函数表达式？
y
解:设y=kx (k为常数且k≠0); ∵(-1,2)在图象上 把点（-1，2）代入得：-2=k
4 3 （-1，2） 2 1
∴ k=-2 ∴y=-2x
-2 -1o 1 2 x
y = x+2或y=-x+2
归纳：求一次函数表达式的步骤 ：
1.设—— 一次函数表达式 y=kx+b或者y=kx； 2.代—— 将点的坐标代入y=kx+b中,列出关于k、b 的方程; 3.解—— 解方程求出k、 b 值； 4.定—— 把求出的k、b值代回到表达式中即可.
确定一次函数表达式的常见类型
确定一次函数表达式的常见类型作者：吕建文来源：《初中生之友·中旬刊》2011年第12期确定一次函数的表达式，就是确定函数式中所含的未知系数的值，主要的解题思路是解方程或解方程组。
例1 已知函数y＝（m－3）xm－2＋3是一次函数，则其解析式为_______。
分析由一次函数定义，x的系数不为0，x的次数应为1。
解由题意知m-2=1，m-3≠0。
解得m=±3，m≠3。
所以m＝－3，故一次函数的解析式为y ＝－6x＋3。
点评利用定义求一次函数y＝kx＋b解析式时，要保证k≠0，且x的次数为1。
如本例中应保证m－3≠0且m－2＝1。
例2 （2011年广东省茂名市中考题）某学校要印制一批《学生手册》，甲印刷厂提出：每本收1元印刷费，另收500元制版费；乙印刷厂提出：每本收2元印刷费，不收制版费。
分别写出甲、乙两厂的收费y甲（元）、y乙（元）与印制数量x（本）之间的关系式。
分析题目隐含的数量关系为：甲印刷厂收费＝制版费＋每本印刷费×本数，乙印刷厂收费＝每本印刷费×本数。
解 y甲＝x＋500，y乙＝2x。
点评找到因变量与自变量之间的数量关系是解题的关键。
例3 已知一次函数y＝kx－3的图像过点A（2，－1），则这个函数的解析式为________。
分析本题中只有一个需求的系数k，只需将点A（2，－1）代入建立方程求解。
解因为一次函数y＝kx－3的图像过点A（2，－1），所以－1＝2k－3，即k＝1。
故这个一次函数的解析式为y＝x－3。
点评本例中已经知道b，只有一个未知系数k，故只要一个条件，就可以确定其函数的解析式。
例4 （2011年浙江省湖州市中考题）已知：一次函数y＝kx＋b的图像经过M（0，2）、N（1，3）两点。
（l）求k、b的值；（2）若一次函数的图像与x轴的交点为A(a，0)，求a 的值。
分析因为图像经过点M、N，则点M、N的坐标满足函数解析式，把点M、N的坐标分别代入解析式构造方程可得。
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4.4确定一次函数表达式的六种类型
【学前准备】：
1.正比例函数的表达式是 ；一次函数的表达式是 .
2.正比例函数图象一定经过坐标 ，正比例函数图象和一次函数图象都是 。
3.直线x y 2-=与直线52+-=x y 的位置关系是 ；直线13--=x y 与 直线5+=x y 的位置关系是
4.一次函数2-=kx y 中，若y 随x 的增大而减小，则k 0；
5.一次函数3+=kx y 中，当x=-2时，y=1，则k= 。
6.函数b x y +-=的图象经过点（－5，2），则b= .
想一想：
（1） 确定正比例函数的表达式需要____个条件，
（2） 确定一次函数的表达式需要_____个条件。
一、根据规律：
1.某山区的气温t （℃）和高度h （米）之间的关系如下表
由上表得t 与h 之间的关系式是 .
二、根据图象：
直线l 是一次函数 y = kx + b 的图象，
(1) b = ，k = ；
(2) 当x =30时，y = ；
(3) 当y =30时，x = 。
三、根据平行：
1.一次函数y=kx+b 的图象平行于正比例函数y=0.5x 的图像，且过点（4，7），求一次函数的解析式以及与坐标轴的交点坐标.
2.已知正比例函数y=kx 经过点P(1，2），如图所示．
（1）求这个正比例函数的解析式；
（2）将这个正比例函数的图像向右平移4个单位，写出在这个平移下，点P 、
原点O 的像P '、O '的坐标，并求出平移后的直线的解析式．
O'
P'P (1, 2 )O x
y
四、根据面积：
直线y=2x+b与两坐标轴围成的三角形面积是4，求表达式。
五、根据定义：
1.y与x成正比例，其图象经过)1,3
(P；求y与x的关系式。
2、已知y-1与x+1成正比例，且x=2时，y=7，求表达式。
3、若函数y=kx+b的图象经过点（-3，-2）和（1，6）求k，b及表达式。
六、根据交点：
已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1，-5)，且与正比例函数y= 1
2x的图象相交于点(2，
a)，求
(1)a的值
(2)k，b的值
(3)这两个函数图象与x轴所围成的三角形的面积。