七桥问题课件

七桥问题[PPT课件]

• ②凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通图，一定可以一笔画完；画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。
• ③其他情况的图，都不能一笔画出。 • 下面我们就来研究一笔画问题的具体应用：
• 例1 观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指明画法.
且两人的速度相同.因此，谁走的路程少，谁便可以先到达C。容易知道，在题目的要求下，每个人所走路程都至少是所有街道路程的总和。仔细观察上图，可以发现图中有两个奇点：A和C.这就是说，此图可以以A、C两点分别作为起点和终点而一笔画成.也就是说，甲可以从A出发，不重复地走遍所有的街道，最后到达C；而从B出发的乙则不行.因此，甲所走的路程正好等于所有街道路程的总和，而乙所走的路程则必定大于这个总和，这样甲先到达C。
• 容易知道，上图（b）可以一笔画出，即从奇点E出发，沿箭头所指方向，经过F、G、E，最后到达奇点F；同理，从奇点F出发也可以一笔画出，最后到达奇点E.而从偶点G出发，却不能一笔画出.
• 事实上，这并不是偶然现象.假定某个图可以一笔画成，且它的结点X既不是起点，也不是终点，而是中间点，那么X一定是一个偶点.这是因为无论何时通过一条边到达X，由于不能重复，必须从另一条边离开X.这样与X连结的边一定成对出现，所以X必为偶点，也就是说：奇点在一笔画中只能作为起或终点.由此可以看出，在一个可以一笔画出的图中，奇点的个数最多只有两个。
(a)图：可以一笔画，因为只有两个奇点A、B；画法为A→头部 → 翅膀→尾部→翅膀→嘴。
(b)图：不能一笔画，因为此图不是连通图。 (c)图：不能一笔画，因图中有四个奇点：A、B、C、D。 (d)图：可以一笔画，因为只有两个奇点；画法为：

《格尼斯堡七桥问题》PPT课件

在“一笔画”问题里，长度、角度、面积、体积都没有了，四大块陆地变成了四个点；连线的长短曲直、交点的方位都无关紧要，要紧的只是点线之间的相关位置或相互连接的情况，如下两图都没有改变七桥问题“一笔画”的性质。
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后来布勒格尔河上又架起第八座桥来——铁路桥，这又使人们想起了那有趣的问题。虽然一次不重复走遍七座桥不可能，那八座桥呢？从图中可以已看出，“奇点”只有两个（D、C），所以可以一次不重复走遍八座桥。
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如果一张图中奇点数大于2，并且是2 的n倍，则该图至少需要n 笔才能画成。如下图所示。
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回头来看邮路图，其中有6个奇点，故至少要3笔才能画成，重复部分应该选择最短的邮路区间，故以下三种方案中，第三个方案最好。
最短邮路问题是1960年由我国山东师范大学管梅谷教授提出并解决的，因此国际上称为“中国邮路问题”。
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于是七桥问题就变成了用笔不重复的（笔不离开纸面）画出这个几何图形的问题，即“一笔画”问题。如果可以画出来，则必有一个起点和一个终点，如果这两点不重合，则与起点或终点相交的线必为奇数条（称为奇点），如果起点与终点重合，则与之相交的线必为偶数条（称为偶点），而除了起点与终点外，其他点也必为偶点。据以上分析，如果一个图形可以一笔画出来，则必须满足两个条件：
图论就是运用直观的图形和数学方法来研究组和关系的一门新兴学科，原是组和数学的一个重要课题，由于发展迅速，现已成为一个独立的数学分支。它把被研究系统中的各个元素作为点，元素之间的关系作为线，然后画成图，通过对图形的研究，找出解决问题的办法。
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图论为研究任何一类离散事物的关系结构提供了一种本质的框架，在经济、心理、社会、遗传、运筹、计算机、网络、信息论、控制论、逻辑学、语言学、物理学、化学、微电子技术、通讯科学、系统科学等方面都有广泛的应用。

哥尼斯堡七桥问题(高级课件)

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欧拉在数学、物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面都取得了辉煌的成就。在数学的各个领域，常常见到以欧来命名的公式、定理、和重要常数。课本上常见的如π、i、e、sin、cos、 tg、△x、Σ、f(x)等，都是他创立并推广的。欧拉还首先完成了月球绕地球运动的精确理论，创立了分析力学、刚体力学等力学学科，深化了望远镜、显微镜的设计计算理论。
居民便热衷于
以下有趣的问题：能不能设计一次散步，使得七
座桥中的每一座都走过一次，而且只走过一次?
这便是著名的哥尼斯堡七桥问题。
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这个问题后来变得有点惊心动魄：说是有
一队工兵，因战略上的需要，奉命要炸掉这七座
桥。命令要求当载着炸药的卡车驶过某座桥时，
就得炸毁这座桥，不许遗漏一座！
理论上需要解决的问题是：找到“一个图形可以一笔画”的充要条件。
欧拉注意到每个点都是若干条线的端点，他把图
形上的点分为两类：奇点和偶点。要想不重复地一笔画出某个图形，除去起始点和终止点外，其余点，如果画进去一条线，就一定要画出一条线，从而必须是偶点。
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一笔画原理：
一个图如果可以一笔画成，那么这个图中奇数顶点的个数不是0就是2。反之亦然。
当图形中有两个顶点时，以其中一个为起始点，另一个为终止点，就能一笔画；当图形中没有奇点时，从任何一个起始点都可以完成一笔画。
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想不到轰动一时的哥尼斯堡七桥问题，竟然与孩子们的游戏，想用一笔画画出“串 "字和“田”字这类问题一样，而后者并不比前者更为简单!

哥尼斯堡七桥问题课件

哥尼斯堡七桥问题
CHENLI
1
七桥问题
1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支——图论与几何拓扑，也由此展开了数学史上的新历程。
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莱昂哈德·欧拉
莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家、自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。欧拉出生于牧师家庭，自幼受父亲的影响。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。此外欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。瑞士教育与研究国务秘书查尔斯·克莱伯曾表示：“没有欧拉的众多科学发现，今天的我们将过着完全不一样的生活。”法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师。 2007年，为庆祝欧拉诞辰300周年，瑞士政府、中国科学院及中国教育部于 2007年4月23日下午在北京的中国科学院文献情报中心共同举办纪念活动，回顾欧拉的生平、工作以及对现代生活的影响。
的数目不是0 个就是2 个（连到一点的数目如是奇数条，
就称为奇点，如果是偶数条就称为偶点，要想一笔画成，
必须中间点均是偶点，也就是有来路必有另一条去路，
奇点只可能在两端，因此任何图能一笔画成，奇点ห้องสมุดไป่ตู้么

小学数学知识拓展七桥问题优质课PPT课件

欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年）
数学名家
欧拉出生在牧师家庭，自幼受到父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学， 15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。此外，他是数学史上最多产的数学家，圣彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。
课堂练习
2、下图是一个公园的平面图，能不能使游人
走遍每一条路不重复？入口和出口又应设在哪儿？
E●
D●
●F
●G
C●
●B
●A
探究：
课后延伸
赛纳河流经巴黎的这一段河中有两个岛，河岸与岛间共架设了15座桥。
（l）能否从某地出发，经过这15座桥各一次后再回到出发点？
（2）如果不要求回到出发点，能否在一次散步中，穿过所有的桥各一次？
复而画成的图形。
观察下面图形，快速判断哪些图形不能一笔画成。
不连通的图不能一笔画。
？
一笔画和什么有关？
两条相交的线处都有一个交点。
①有奇数条边相连的点叫奇点。如：
●
●
●
②有偶数条边相连的点叫偶点。如：
●
●
●
操作体验
图形
奇点个数
偶点个数
能否一笔画
0
4
能
0
5
能
4
1
不能
0
7
能
观察操作
下面哪A些图形可以一A笔画出?D
C
有的７座桥，而且每座桥都只通过一次？
最后是否仍能回到出发点？
这就是数学史上著名的七桥问题。
这个问题看起来是这样的简单，人人都乐意是尝试，但没有找到合适的路线。

欧拉与七桥问题

• 欧拉小学时就表现出了他的数学天赋。一天，老欧拉决定扩展家里的羊圈，多养点羊。可眼下缺少篱笆，老欧拉发愁了。小欧拉却不慌不忙劝慰起爸爸来：“篱笆是够的。你看，旧羊圈长70码，宽30码，面积2100平方码。如果改成50码见方的新羊圈，不用添篱笆，羊圈就扩大了400平方码。” 这个发现并不稀奇，可小孩子能敏捷地发现这一点，并不容易。欧拉13岁被巴塞尔大学录取，受到著名数学家约翰·伯努利的赏识，对他进行了重点培养。 17岁获得数学硕士学位，这在巴塞尔大学的历史上还是头一个！约翰老师将这个“自己最得意的门生”留在了大学里，担任自己的助教
• 1766年，年近花甲的欧拉在俄国女皇叶卡特琳娜二世的再三邀请下，重返阔别了25年的圣彼得堡。前前后后，他任彼得堡科学院的院士达 31年之久，以至俄国人视他为本国的数学大师，并以他为自豪。
3 推理证明
• 作为一个数学家，欧拉首先是这样思考的：既然问题是要找一条不重复地经过7座桥的路线，而4 块陆地无非是桥梁的连接点，那么，不妨把4块陆地看作是4个点，把7座桥画成7条线。七桥问题就简化为能否一笔画出这7条线段和4个交点组成的几何图形的问题了。
• 1707年，欧拉出生在瑞士一个风景秀丽的城市——巴塞尔城。他的父亲老欧拉是一位乡村牧师，也曾是一位数学爱好者。老欧拉希望小欧拉长大后也当牧师，就把他送进了巴塞尔神学校。可小欧拉对神学老师讲的几乎每一个问题都要穷根究底地问一个为什么，被学校认为是一个不够虔诚的学生。不久，他就被神学校开除了。
欧拉的推理
• ①只画一条线的时候，一定只有一起点和一个终点。
• ②如果终点回到起点，就是一个封闭图形，这时起点和终点都是同一点（交点）。这一点可以理解成偶数条线（最少2条）的交点，即：一进一出形成交点。

趣味数学七桥问题ppt课件

18世纪，在（现俄罗斯）哥尼斯堡城风景秀美的普莱格尔河上有7座别致的拱桥，将河中的两个岛和河岸连结（如左图）。城中的居民经常沿河过桥散步。城中有位青年很聪明，爱思考，有一天，这位青年给大家提出了这样一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是数学史上著名的七桥问题。
小热身七桥问题
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能一笔画的图形必须是连通图。从图的一点出发，笔不离纸，经过每条边恰好一次，不能重复。但是，并不是所有的连通图都可以一笔画出。它是由图的奇、偶点的数目来决定的。 ① 有奇数条边相连的点叫奇点。如：
② 有偶数条边相连的点叫偶点。如：
小热身七桥问题一笔画
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欧拉定理：
①凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。 ②只有两个奇点的连通图，一定可以一笔画完。画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。 ③其他情况的图，都不能一笔画出。
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拓扑学-神奇的莫比乌斯带
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拓扑学-神奇的莫比乌斯带
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拓扑学-神奇的莫比乌斯带
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拓扑学-神奇的莫比乌斯带
• 一、1979年，美国著名的“百路驰”轮胎公司创造性地把传送带制成莫比乌斯带形状，这样一来，整条传送带环面各处均匀地承受磨损，避免了原来单面传送带单面受损的情况，使得其寿命延长了整整一倍。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
透过现象看本质
• 在把36道简单数学题（加减乘除）做完后并加以分类的一组学生，比单独做完这些题目的学生最终在类似数学题的测验中成绩要好。
及时复习，善于归纳和总结。
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哥尼斯堡七桥问题与一笔画精品PPT课件

在河的中心有一座美丽的小岛。普河的两条支流，环绕其旁汇成大河，把全城分为下图所示的四个区域：岛区(A)，东区(B)，南区(C)和北区(D)。
著名的哥尼斯堡大学，傍倚于两条支流的河旁，使这一秀色怡人的区域，又增添了几分庄重的韵味! 有七座桥横跨普累格河及其支流，其中五座把河岸和河心岛连接起来。这一别致的桥群，古往今来，吸引了众多的游人来此散步。
这在人类智慧所未及的领域，是很常见的事！
拿起栓有15个圆环的绳子，任选一个桥的支柱作为起点，沿桥依次套圈，看看是否可以让除起点之外的13个桥柱上都有一个圈。（起点的柱子上有两个圈）。结论是，不可能实现完成该任务。
❖ 欧拉
欧拉（L.Euler,1707.4.151783.9.18）著名的数学家。生于瑞士的巴塞尔，卒于彼得堡。大部分时间在俄国和德国度过。他早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学, 17岁获得硕士学位，毕业后研究数学,是数学史上最高产的作家。在世发表论文700多篇, 去世后还留下100多篇待发表。其论著几乎涉及所有数学分支。
课后作业
请你观察生活，设计一个运用“一笔画”的数学知识来解决的实际问题。并与同伴交流。
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
②若奇点个数为2，可选其中一个奇点做起点，而终点一定是另一个奇点，即一笔画后不可以回到出发点。
③凡是图形中有2个以上奇点的，不能完成一笔画。
用你发现的规律，说一说七桥问题的答案？
由于七桥问题中的四个点都是奇点，因此可以判断它是无法一笔画出来的，也就是说根本不存在能不重复走遍七座桥的路线！

《哥尼斯堡七桥问题》微课课件

哥城景致迷人，碧波荡漾的普累格河，横贯其境。在
河的中心有一座美丽的小岛。普河的两条支流，环绕其旁汇成大河，把全城分为下图所示的四个区域：岛区(A)，东区(B)，南区(C)和北区(D)。
早在十八世纪以前，当地的居民便热衷于
以下有趣的问题：能不能设计一次散步，使得七
座桥中的每一座都走过一次，而且只走过一次?
哥尼斯堡七桥问题
《数学文化》课程组
一笔画游戏
田串
哥尼斯堡七桥
现今的加里宁格勒，旧称哥尼斯堡，是一座历史名城。在十八、十九世纪，那里是东普鲁士的首府，曾经诞生和培育过许多伟大的人物。著名的哲学家，古典唯心主义的创始人康德，终生没有离开过哥尼斯堡一步!二十世纪最伟大的数学家之一，德国的希尔伯特也出生于此地。
关键词：惊人的记忆力杰出的智慧顽强的毅力孜孜不倦的奋斗精神高尚的科学道德
公元1736年，29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了一份题为《哥尼斯堡的七座桥》的论文。论文的开头是这样写的：
“讨论长短大小的几何学分支，一直被人们热心地研究着。但是还有一个至今几乎完全没有探索过的分支。莱布尼兹最先提起过它，称之：“位置的几何学”。这个几何学分支讨论只与位置有关的关系，研究位置的性质；它不去考虑长短大小，也不牵涉到量的计算。但是至今未有过令人满意的定义，来刻划这门位置几何学的课题和方法……”
欧拉在数学、物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面都取得了辉煌的成就。在数学的各个领域，常常见到以欧来命名的公式、定理、和重要常数。课本上常见的如π、i、e、sin、cos、 tg、△x、Σ、f(x)等，都是他创立并推广的。欧拉还首先完成了月球绕地球运动的精确理论，创立了分析力学、刚体力学等力学学科，深化了望远镜、显微镜的设计计算理论。

哥尼斯堡七桥问题

一、哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。

城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。

这就是七桥问题，一个著名的图论问题。

图1这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。

欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。

欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。

图2 图3于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。

欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。

图3的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。

欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子.二、四色猜想近代三大数学难题之一。

四色猜想的提出来自英国。

1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。

”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。

兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。

1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。

哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。

但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。

哥尼斯堡的七座桥课件

哪些图形可以一笔画？
几笔画可以完成？
1.只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点。 2.只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点。 3.奇点超过两个，则不能一笔画。对于一些比较复杂的路线问题，可以先转化为简单的几何图形，然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答。
下面是一个公园的平面路线图，要使游客进入公园后，走遍每条路而且不重复，请问出入口分别应设在哪里？
在一个公园的湖里，有4个小岛，它们互相之间共有6座桥连接，公园想用游船连接岛和岸，使游客到上岛以后能游览全部 4个岛并不重复的走过6座桥，然后离开，请问应该在哪里设置码头？
D A
C B
因为有四个点都是奇点，所以是不可能不重复地走遍7座桥的。
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在十八世纪的东普鲁士的哥尼斯堡有一条普莱格尔河流过，河中有两座小岛，河上有7座桥，爱动脑筋的人们提出了一个问题：一个散步者能否一次走遍7座桥，而且每座桥只通过一次，最后仍回到起始地点。许多人作过尝试始终没有能找到答案，最后瑞士大数学一笔画？
哪些图形可以一笔画？

哥尼斯堡七桥问题数学活动课ppt课件

13岁的欧拉被巴塞尔大学录用，欧拉出色地完成大学的学业，获得数学硕士学位时，仅17岁 . 1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7 座桥》的论文报告中，阐述了他的解题方法。他的巧解，为后来的数学新分支——拓扑学的建立奠定了基础。
练一练：判断下列图形能否一笔画，如果可以，应该如何画？
找一找规律：连接每个点旁边线的数目奇偶性，你
能猜测一笔画图形的规律吗？
偶点
（2）
（2）（3）
（2）（3）（4）
（4）
（2）
（2）（2）（2）
奇点
（2）（3）（2）（1）
（2）（3）（2）（1）（（34））（1）（3）（4）（3）
（1）
（2）（3）（2）
“一笔画”图形特征：一个图形可以“一笔画”
奇点是2个
奇点是0个
4个奇点，不可能一笔画
奇点是0个
小组比赛：请每个小组发挥自己的想象，利用 “一笔画”知识创造出1—2副美丽的图形，并且能配上适当的解说词。
通过这节课的学习，
你有哪些感触和体会要与大家分享？
2019SUCCESS
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2019/9/30
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把两岸和两岛看做点，桥看成连接两点的线，这样把七桥问题变成4个点和7 条线，问题也转变为从任意点出发，笔不离纸，又不重复任意条边，“一笔画”出图形，且回到起点。
七桥问题的结论：图中任意点的都是奇点，有4 个奇点，所以七桥问题的那条路是不存在的。
这种思考方法是瑞士伟大数学家欧拉1736年发现
岸
河
岛
岛岸
七桥问题
把两岸和两岛看做点，桥看成连接两点的线，这样把七桥问题变成4个点和 7条线，问题也转变为从任意点出发，笔不离纸，又不重复任意条边，“一笔画”出图形，且回到起点。