哥尼斯堡七桥问题与一笔画课件
合集下载
数学模型思想及其渗透教学 ppt课件
变式与推广应用等。
ppt课件
12
(二) 关于数学建模的认知与解读
数学建模可作为陈述性知识表征，即视作解决问题的方法。 数学建模可作为程序性知识表征，即视作解决问题的过程。 数学建模作为方法与过程的统一体，贯穿于数学教学活动 的始终，是数学认知活动的重要内容，更是数学探究活动的 主要方式；是数学学习的核心要素，也是数学教学的中心环 节；是揭示数学本质和演绎数学思想的平台，又是感悟数学 价值和实施数学应用的载体。
有实践就会有真知，有思考就会有卓见，实践加思考，真知变 卓见，循环诚恒之，必然成思想！
ppt课件
6
二、探讨的主要质点
(一) 关于数学模型的内涵分析与界定 (二) 关于数学建模的认知与解读
(三) 关于数学模型思想的理解及其教学渗透 (四) 关于数学建模教学方略的探想
生活问题的数学化 • 事物之间的相互关系； • 事件发生的内在规律； • 事情所蕴含的事理。 数学应用的生活化 由数学模型联想实际应用、有实际问题联想相应的数学模型、 用数学模型解释实际问题、事件、现象所蕴含的原理。
20
(四)关于数学建模教学方略的探想
2.数学应用的生活化
生活问题的数学化，让学生经历的是将实际问题抽象成 数学模型的过程，而数学应用的生活化，则是让学生经历应 用数学模型解决实际问题的过程。 新知形成时； 新知应用时； 知识综合应用中。
ppt课件
21
三、数学建模教学的行与思
(一)激活经验储备 类化提炼建模
ppt课件
13
(二)关于数学建模的认知与解读
一个数学概念常常就是一个数学模型，随着它的 拓展与推广，在种属关系下所层层派生的一个个属概 念又是一个个新的数学模型。 在数学概念下往会有相应的数学运算、规则、法 则、定律、性质等等衍生。
第九讲 一笔画问题 PPT
• 解答：图（1）中无奇点，能一笔画出，从任意点开始再回到这一点， 仅举一例：A→B→C→N→F→G→H→M→D→N→E→M→H；
• 图（2）有两个奇点，可以从B开始到E结束，也可以从E开始到B结束， 如：B→C→D→E→A→B→E；
• 图（3）不能一笔画出有4个奇点，要想一笔画出至少应该添一笔，可 以连接A、B，如图1，其它的任何两个奇点都可以。共有多少连法呢， 你能列举出来吗？共有6种分别为AB、AC、AD、BC、BD、CD；
重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连
通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我
们就来探求解决这个问题的方法。
•
为了叙述的方便，我们把与奇数条边相连的结点叫做
奇点，把与偶数条边相连的点称为偶点.如上图（a）中的
八个结点全是奇点，上图（b）中E、F为奇点，G为偶点。
•
容易知道，上图（b）可以一笔画出，即从奇点E出发，
得出了一个非常重要的结论，你想知道吗？其实
这就是“一笔画”问题，也是一种数学游戏，学
完了下面的内容，也许你就能像欧拉那样解决
“七桥问题”了。
• 欧拉解决这个问题的方法非常巧妙.他认为： 人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而 并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都 可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点 的一条线.这样，一个实际问题就转化为一个几何 图形能否一笔画出的问题了.
都有一条通路（即可以从其中一点出发，沿着图 的边走到另一点，如A到I的通路为A→H→I或 A→D→I…），这样的图，我们称为连通图；而 下图中（c）的一些结点之间却不存在通路（如M 与N），像这样的图就不是连通图。
•
所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不
哥尼斯堡七桥问题与一笔画课件
02
在18世纪，人们开始对图论进行 研究，探索图的结构和性质，其 中哥尼斯堡七桥问题成为了图论 研究的重要问题之一。
哥尼斯堡七桥问题的起源
哥尼斯堡七桥问题起源于18世纪初，当时有一位名叫欧拉的 人，他是一位数学家和工程师，对图论进行了深入研究。
欧拉在研究哥尼斯堡的桥梁和河流时，提出了一个问题：是 否存在一条路径，能够遍历哥尼斯堡的所有桥梁，每座桥只 过一次？这就是著名的哥尼斯堡七桥问题。
哥尼斯堡七桥问题对一笔画问题的影响
哥尼斯堡七桥问题的解决推动了数学领域的发展，它证明了不存在一条遍历七座 桥的路径，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
这个问题的解决对于一笔画问题的研究具有重要意义，它揭示了一笔画问题的复 杂性和多样性，也促使数学家们深入研究一笔画问题的性质和规律。
一笔画问题在哥尼斯堡七桥问题中的应用
哥尼斯堡七桥问题是一笔画问题的经典案例，它探讨的是从哥尼斯堡的一个地方开 始，能否遍历城市的七座桥，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
一笔画问题则是一个更广泛的几何问题，研究的是在一个连通图上，是否存在一条 路径能够遍历所有的边，每条边只过一次。
哥尼斯堡七桥问题实际上是几何图形的一笔画问题，它为后续一笔画问题的研究提 供了基础。
哥尼斯堡七桥问题的历史意义
哥尼斯堡七桥问题的解决标志着图论 的诞生，成为图论发展史上的一个里 程碑。
该问题的解决为后续的图论研究提供 了基础和指导，推动了数学和图论的 发展。
02 一笔画问题概述
一笔画问题的定义
一笔画问题，也称为欧拉路径问题，是图论中的一个经典 问题。它主要探讨的是在一个给定的图形中，是否存在一 条路径，使得这条路径能够遍历图形的每一条边且只遍历 一次。
地图导航
在18世纪，人们开始对图论进行 研究，探索图的结构和性质，其 中哥尼斯堡七桥问题成为了图论 研究的重要问题之一。
哥尼斯堡七桥问题的起源
哥尼斯堡七桥问题起源于18世纪初，当时有一位名叫欧拉的 人，他是一位数学家和工程师，对图论进行了深入研究。
欧拉在研究哥尼斯堡的桥梁和河流时，提出了一个问题：是 否存在一条路径，能够遍历哥尼斯堡的所有桥梁，每座桥只 过一次？这就是著名的哥尼斯堡七桥问题。
哥尼斯堡七桥问题对一笔画问题的影响
哥尼斯堡七桥问题的解决推动了数学领域的发展，它证明了不存在一条遍历七座 桥的路径，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
这个问题的解决对于一笔画问题的研究具有重要意义，它揭示了一笔画问题的复 杂性和多样性，也促使数学家们深入研究一笔画问题的性质和规律。
一笔画问题在哥尼斯堡七桥问题中的应用
哥尼斯堡七桥问题是一笔画问题的经典案例，它探讨的是从哥尼斯堡的一个地方开 始，能否遍历城市的七座桥，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
一笔画问题则是一个更广泛的几何问题，研究的是在一个连通图上，是否存在一条 路径能够遍历所有的边，每条边只过一次。
哥尼斯堡七桥问题实际上是几何图形的一笔画问题，它为后续一笔画问题的研究提 供了基础。
哥尼斯堡七桥问题的历史意义
哥尼斯堡七桥问题的解决标志着图论 的诞生，成为图论发展史上的一个里 程碑。
该问题的解决为后续的图论研究提供 了基础和指导，推动了数学和图论的 发展。
02 一笔画问题概述
一笔画问题的定义
一笔画问题，也称为欧拉路径问题，是图论中的一个经典 问题。它主要探讨的是在一个给定的图形中，是否存在一 条路径，使得这条路径能够遍历图形的每一条边且只遍历 一次。
地图导航
小学五年级奥数课件：哥尼斯堡七桥问题
奥数题：哥尼斯堡七桥问题
这是一张纸，能否在这张纸上一次连续剪下三 个正方形和两个三角形？
奥数题：哥尼斯堡七桥问题
奥数题：哥尼斯堡七桥问题 判断下列图形能不能一笔画出来
奥数题：哥尼斯堡七桥问题 判断下列图形能不能一笔画出来
奥数题：哥尼斯堡七
奥数题：哥尼斯堡七桥问题 判断下列图形能不能一笔画出来
奥数题：哥尼斯堡七桥问题
奥数题：哥尼斯堡七桥问题 判断下列图形能不能一笔画出来
奥数题：哥尼斯堡七桥问题 判断下列图形能不能一笔画出来
奥数题：哥尼斯堡七桥问题 判断下列图形能不能一笔画出来
奥数题：哥尼斯堡七桥问题 判断下列图形能不能一笔画出来
小学奥数 讲义
奥数题：哥尼斯堡七桥问题
有一个古老的故事发生在18世纪的哥尼斯堡城，在这个 小城里有一条小河，河中相聚不远处有两个小岛，还有七 座桥把两个小岛和河岸连接起来，那里风景优美，游人众 多。这里的人们经常议论一个问题，游人能不能不重复的 走遍七座小桥，并且回到出发点呢？
奥数题：哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡七桥问题课件
哥尼斯堡七桥问题
CHENLI
1
七桥问题
1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科 学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》 的论文，在解答问题的同时，开创 了数学的一个新的分支——图论与 几何拓扑，也由此展开了数学史上 的新历程。
CHENLI
2
莱昂哈德·欧拉
莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家、自然科学家。1707年4月15日出生 于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。欧拉出生 于牧师家庭，自幼受父亲的影响。13岁时入读巴塞尔大学，15岁 大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人 物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领 域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论 文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本， 《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成 为数学界中的经典著作。欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在 许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公 式和定理。 此外欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。瑞 士教育与研究国务秘书查尔斯·克莱伯曾表示：“没有欧拉的众 多科学发现，今天的我们将过着完全不一样的生活。”法国数学 家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师。 2007年，为 庆祝欧拉诞辰300周年，瑞士政府、中国科学院及中国教育部于 2007年4月23日下午在北京的中国科学院文献情报中心共同举办纪 念活动，回顾欧拉的生平、工作以及对现代生活的影响。
的数目不是0 个就是2 个（连到一点的数目如是奇数条，
就称为奇点，如果是偶数条就称为偶点，要想一笔画成，
必须中间点均是偶点，也就是有来路必有另一条去路，
奇点只可能在两端，因此任何图能一笔画成，奇点ห้องสมุดไป่ตู้么
CHENLI
1
七桥问题
1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科 学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》 的论文，在解答问题的同时，开创 了数学的一个新的分支——图论与 几何拓扑，也由此展开了数学史上 的新历程。
CHENLI
2
莱昂哈德·欧拉
莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家、自然科学家。1707年4月15日出生 于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。欧拉出生 于牧师家庭，自幼受父亲的影响。13岁时入读巴塞尔大学，15岁 大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人 物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领 域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论 文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本， 《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成 为数学界中的经典著作。欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在 许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公 式和定理。 此外欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。瑞 士教育与研究国务秘书查尔斯·克莱伯曾表示：“没有欧拉的众 多科学发现，今天的我们将过着完全不一样的生活。”法国数学 家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师。 2007年，为 庆祝欧拉诞辰300周年，瑞士政府、中国科学院及中国教育部于 2007年4月23日下午在北京的中国科学院文献情报中心共同举办纪 念活动，回顾欧拉的生平、工作以及对现代生活的影响。
的数目不是0 个就是2 个（连到一点的数目如是奇数条，
就称为奇点，如果是偶数条就称为偶点，要想一笔画成，
必须中间点均是偶点，也就是有来路必有另一条去路，
奇点只可能在两端，因此任何图能一笔画成，奇点ห้องสมุดไป่ตู้么
七桥问题与一笔画
哥城景致迷人，碧波荡漾的普累格河，横贯 其境。在河的中心有一座美丽的小岛。普河的两 条支流，环绕其旁汇成大河，把全城分为下图所 示的四个区域：岛区(A)，东区(B)，南区(C)和北 区(D)。
著名的哥尼斯堡大学，傍倚于两条支流 的河旁，使这一秀色怡人的区域，又增添了 几分庄重的韵味!有七座桥横跨普累格河及 其支流，其中五座把河岸和河心岛连接起来 。这一别致的桥群，古往今来，吸引了众多 的游人来此散步。
早在十八世纪以前，当地的居民便热衷 于以下有趣的问题：能不能设计一次散步， 使得七座桥中的每一座都走过一次，而且只 走过一次? 这便是著名的哥尼斯堡七桥问题。
如果有兴趣，完全可以照样子画一张地图 ，亲自尝试尝试。不过，要告诉大家的是,想把 所有的可能线路都试过一遍是极为困难的！因 7 P 为各种可能的线路有 7 =5040种。要想一一试 过，真是谈何容易。正因为如此，七桥问题的 解答便众说纷纭：有人在屡遭失败之后，倾向 于否定满足条件的解答的存在；另一些人则认 为，巧妙的答案是存在的，只是人们尚未发现 而已，这在人类智慧所未及的领域，是很常见 的事！
● ● ●
②有偶数条边相连的点叫偶点。如：
● ●
●
③一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。 2、每条线都只能画一次而不能重复。
总结规律
①可以一笔画成的图形，与偶点个数无关， 与奇点个数有关。也就是说，凡是图形中没 有奇点的（奇点个数为 0 ），可选任一个点做 起点，且一笔画后可以回到出发点。
②若奇点个数为2，可选其中一个奇点做起点， 而终点一定是另一个奇点，即一笔画后不可以 回到出发点。 ③凡是图形中有2个以上奇点的，不能完成一 笔画。
想不到轰动一时的哥尼斯堡七桥 问题，竟然与孩子们的游戏，想用一 笔画画出“串”字和“田”字这类问 题一样。
哥尼斯堡七桥问题与一笔画通用课件
问题的意义
01
哥尼斯堡七桥问题推动了图论的 发展，成为图论和几何图形研究 的重要基础。
02
问题揭示了图论中节点和边的概 念，以及它们之间的关系和限制 条件，为后续的图论研究提供了 重要的启示。
02
一笔画问题概述
一笔画的基本概念
一笔画
一笔画是指从一个给定的点开始 ，沿着某些路径（通常是线段） 前进，最后回到起始点，路径在 任何地方都不交叉或重复。
际应用价值。
THANKS。
05
哥尼斯堡七桥问题的解决方案
欧拉解决哥尼斯堡七桥问题的方法
欧拉通过数学分析，证明了哥尼斯堡七桥问题没有一笔画的 可能性，即不存在一条路径能够遍历七座桥而不重复经过任 何一座桥。
欧拉的方法基于图论的基本原理，通过分析图中的奇点（起 点和终点）和偶点（中间的交点），证明了七桥问题没有一 笔画的可能性。
地图染色
地图染色问题是一笔画问题的一个变种，它要求将地图上 的国家或地区按照一定的规则进行染色，使得相邻的国家 或地区颜色不同。
物流配送
在物流配送中，一笔画问题可以用于解决最优配送路线问 题，即如何规划一条或多条路线，使得所有客户都被访问 且只被访问一次，同时总距离最短。
一笔画问题的未来发展
算法优化
现代技术的应用
随着计算机技术的发展，现代数学软件和算法可以模拟和验证图论中的问题，为 解决复杂问题提供了更高效的方法。
现代技术可以用于分析和处理大规模的图数据，例如社交网络、交通网络等，这 些网络结构与哥尼斯堡七桥问题类似，可以通过计算机模拟和算法找到最优解或 近似解。
对其他类似问题的启示
哥尼斯堡七桥问题的解决为图论和其他相关领域的研究提 供了基础和启示，推动了数学和科学的发展。
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
笔 画出 的 图首 先 必 须是 连通 图 ．但 是否 所 有 的连 通 图都可 以一 笔 画 出呢 ？ 有 关 这 个 问题 的讨 论 ，要 追溯 到 两百 多
年 前 的 一 个 著 名 问 题 —— 哥 尼 斯 堡 七 桥 问
题． 十八世纪 ， 东普鲁 士哥尼斯堡城（ 今 俄 罗 斯加 里 宁格 勒 ） 有一 条 河 叫普莱 格 尔河 ， 它 有 两个 支流 ， 在 城 市 的 中心汇 成大 河 ， 中间是 岛 区， 河 上 有 ７座桥 ， 将 河 中的两 个 岛和河 岸 连
图 ｌ
图 ２
图 ３
如 果 你 画 出来 了 ，那 么 请你 再 看 图 ２能 不能一 笔 画 出来？
一
这个问题看起来似乎并不难 ，但人们始
虽然你动了脑筋 ，但我相信你肯定不能 终 没 有 能找 到 答 案 ． 最后 ， 问题 被 提 到 了大 数
笔 画 出图 ２ １这 就是 一笔 画 问题 ， 它 是一 种 学 家 欧拉 那 里 ．欧 拉 以 深邃 的洞 察力 很 快 证
是奇 点 ， 共有 四个 ， 所 以这个 图肯定 不 能 一笔 画成． 欧拉对“ 七桥问题” 的 研 究 是 图论 研 究
在 图 中添 上一 条线 段 ， 使它 能一 笔画 成 ．
的开始 ，同时也为拓扑学的研究提供 了一个
初级 例 子 ．
【 例题 赏析 】 图 中添加 最 少 的线段 ，将 其 改成 一 笔 画 的 图
参考路 线 ： ４ － １ ＿ ２ － ５ — ８ 一 － ９ － ６ － １ ０ － １ １ － ７ － ４ — ３ ．
点为终点； （ ４ ） 奇点个数超过两个的图形 ， 一定
不能 一笔 画 出 ．
现在 对 照七 桥 问题 的 图 ，所有 的顶 点都
年 前 的 一 个 著 名 问 题 —— 哥 尼 斯 堡 七 桥 问
题． 十八世纪 ， 东普鲁 士哥尼斯堡城（ 今 俄 罗 斯加 里 宁格 勒 ） 有一 条 河 叫普莱 格 尔河 ， 它 有 两个 支流 ， 在 城 市 的 中心汇 成大 河 ， 中间是 岛 区， 河 上 有 ７座桥 ， 将 河 中的两 个 岛和河 岸 连
图 ｌ
图 ２
图 ３
如 果 你 画 出来 了 ，那 么 请你 再 看 图 ２能 不能一 笔 画 出来？
一
这个问题看起来似乎并不难 ，但人们始
虽然你动了脑筋 ，但我相信你肯定不能 终 没 有 能找 到 答 案 ． 最后 ， 问题 被 提 到 了大 数
笔 画 出图 ２ １这 就是 一笔 画 问题 ， 它 是一 种 学 家 欧拉 那 里 ．欧 拉 以 深邃 的洞 察力 很 快 证
是奇 点 ， 共有 四个 ， 所 以这个 图肯定 不 能 一笔 画成． 欧拉对“ 七桥问题” 的 研 究 是 图论 研 究
在 图 中添 上一 条线 段 ， 使它 能一 笔画 成 ．
的开始 ，同时也为拓扑学的研究提供 了一个
初级 例 子 ．
【 例题 赏析 】 图 中添加 最 少 的线段 ，将 其 改成 一 笔 画 的 图
参考路 线 ： ４ － １ ＿ ２ － ５ — ８ 一 － ９ － ６ － １ ０ － １ １ － ７ － ４ — ３ ．
点为终点； （ ４ ） 奇点个数超过两个的图形 ， 一定
不能 一笔 画 出 ．
现在 对 照七 桥 问题 的 图 ，所有 的顶 点都
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 关键词：惊人的记忆力 杰出的智慧 顽强的毅力 孜孜不倦的奋斗精神 高尚的科学道德
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
10
问题分析
数学家欧拉知道了七桥问题他用四个点A、B、 C、D分别表示小岛和岸，用七条线段表示七 座桥（如图）于是问题就成为如何“一笔画” 出图中的图形？
● 点A、B表示岛 点C。D表示岸 ▎线表示桥
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
23
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
24
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
11
问题分析
问题的答案如何呢？让我们先来了解三个新概念。
①有奇数条边相连的点叫奇点。如：
●
●
●
②有偶数条边相连的点叫偶点。如：
●
●
●
③一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。 2、每条线都只能画一次而不能重复。
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
12
活动探究 下列图形中。请找出每个图的奇点个数，偶点个数。试一试哪 些可以一笔画出，请填表，从中你能发现什么规律？
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
20
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
21
课堂小结
1、 在探究七桥问题中，我们运用了哪些 数学思想和方法去研究问题？谈谈你活动 后的感受。
2、 在探究过程中，你遇到了哪些困惑， 是如何解决的？还有哪些问题没有解决？
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
22
课后作业
请你观察生活，设计一个运 用“一笔画”的数学知识来解 决的实际问题。并与同伴交流。
用你发现的规律，说一说七桥问题的答案？
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
16
由于七桥问题中的四个点都是奇点，因此可 以判断它是无法一笔画出来的 ，也就是说 根本不存在能不重复走遍七座桥的路线！
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
17
课堂练习
1、 一辆洒水车要给某城市的街道洒水，街 道地图如下：你能否设计一条洒水车洒水的 路线，使洒水车不重复地走过所有的街道， 再回到出发点？
小广场
超市
文具店
电器城
菜市场
服装城
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
18
课堂练习
2、 下图是一个公园的平面图，能不能使游 人走遍每一条路不重复？入口和出口又应设 在哪儿？
E ●
●G F ● D●
C●
●
●A
B
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
19
课堂练习
3、 甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以 同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发， 乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。如果 要选择最短的线路，谁先回到邮局？
总结规律
①可以一笔画成的图形，与偶点个数无关， 与奇点个数有关。也就是说，凡是图形中没 有奇点的（奇点个数为0），可选任一个点做 起点，且一笔画后可以回到出发点。
②若奇点个数为2，可选其中一个奇点做起点， 而终点一定是另一个奇点，即一笔画后不可以 回到出发点。
③凡是图形中有2个以上奇点的，不能完成一 笔画。
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
6
P
2 7
如果有兴趣，完全可以照样子画一张地图，
亲有自的尝可试 能尝 线试 路。 都不 试过 过， 一要 遍告是诉极大为家困的难是的,！想因把P为7所7
各种可能的线路有 =5040种。要想一一试过， 真是谈何容易。正因为如此，七桥问题的解答 便众说纷纭：有人在屡遭失败之后，倾向于否 定满足条件的解答的存在；另一些人则认为， 巧妙的答案是存在的，只是人们尚未发现而已，
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
9
• 欧拉在数学、物理、天文、建筑以至音乐、哲 学方面都取得了辉煌的成就。在数学的各个领 域，常常见到以欧来命名的公式、定理、和重 要常数。课本上常见的如π、i、e、sin、cos、 tg、△x、Σ、f(x)等，都是他创立并推广的。 欧拉还首先完成了月球绕地球运动的精确理论， 创立了分析力学、刚体力学等力学学科，深化 了望远镜、显微镜的设计计算理论。
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
4
• 早在十八世纪以前，当地的居民便热衷于以下有趣 的问题：能不能设计一次散步，使得七座桥中的每一座 都走过一次，而且只走过一次? 这便是著名的哥尼斯堡七桥问题。
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
5
• 这个问题后来变得有点惊心动魄：说是有一队工兵， 因战略上的需要，奉命要炸掉这七座桥。命令要求当载 着炸药的卡车驶过某座桥时，就得炸毁这座桥，不许遗 漏一座！
奇点个数 偶点个数 能否一笔画
●B
图⑴
A●
图⑵ 图⑶
●A
B●
●C
E●
●D
A
●●
图⑷
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
13
图(5) 图(6) 图(7) 图(8)
奇点个数 偶点个数 能否一笔画
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
14
图(9) 图(10) 图(11)
奇点个数 偶点个数 能否一笔画
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
15
2丽的小岛。普河的两条支流，环绕其 旁汇成大河，把全城分为下图所示的四个区域：岛区(A)， 东区(B)，南区(C)和北区(D)。
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
3
著名的哥尼斯堡大学，傍倚于两条支流的河旁， 使这一秀色怡人的区域，又增添了几分庄重的韵味! 有七座桥横跨普累格河及其支流，其中五座把河岸 和河心岛连接起来。这一别致的桥群，古往今来， 吸引了众多的游人来此散步。
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
1
哥尼斯堡七桥问题
现今的加里宁格勒，旧称哥尼斯堡，是一座历史名城。 在十八、十九世纪，那里是东普鲁士的首府，曾经诞生和培育 过许多伟大的人物。著名的哲学家，古典唯心主义的创始人康 德，终生没有离开过哥尼斯堡一步!二十世纪最伟大的数学家之 一，德国的希尔伯特也出生于此地。
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
这在人类智慧所未及的领域，是很常见的事！
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
7
拿起栓有15个圆环的绳子，任选一个桥的支柱作为起点，沿桥依次套圈，看看 是否可以让除起点之外的13个桥柱上都有一个圈。（起点的柱子上有两个圈）。 结论是，不可能实现完成该任务。
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
8
• 欧拉
欧拉（L.Euler,1707.4.151783.9.18）著名的数学家。生于 瑞士的巴塞尔，卒于彼得堡。大 部分时间在俄国和德国度过。他 早年在数学天才贝努里赏识下开 始学习数学, 17岁获得硕士学位， 毕业后研究数学,是数学史上最高 产的作家。在世发表论文700多篇, 去世后还留下100多篇待发表。其 论著几乎涉及所有数学分支。
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
10
问题分析
数学家欧拉知道了七桥问题他用四个点A、B、 C、D分别表示小岛和岸，用七条线段表示七 座桥（如图）于是问题就成为如何“一笔画” 出图中的图形？
● 点A、B表示岛 点C。D表示岸 ▎线表示桥
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
23
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
24
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
11
问题分析
问题的答案如何呢？让我们先来了解三个新概念。
①有奇数条边相连的点叫奇点。如：
●
●
●
②有偶数条边相连的点叫偶点。如：
●
●
●
③一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。 2、每条线都只能画一次而不能重复。
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
12
活动探究 下列图形中。请找出每个图的奇点个数，偶点个数。试一试哪 些可以一笔画出，请填表，从中你能发现什么规律？
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
20
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
21
课堂小结
1、 在探究七桥问题中，我们运用了哪些 数学思想和方法去研究问题？谈谈你活动 后的感受。
2、 在探究过程中，你遇到了哪些困惑， 是如何解决的？还有哪些问题没有解决？
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
22
课后作业
请你观察生活，设计一个运 用“一笔画”的数学知识来解 决的实际问题。并与同伴交流。
用你发现的规律，说一说七桥问题的答案？
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
16
由于七桥问题中的四个点都是奇点，因此可 以判断它是无法一笔画出来的 ，也就是说 根本不存在能不重复走遍七座桥的路线！
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
17
课堂练习
1、 一辆洒水车要给某城市的街道洒水，街 道地图如下：你能否设计一条洒水车洒水的 路线，使洒水车不重复地走过所有的街道， 再回到出发点？
小广场
超市
文具店
电器城
菜市场
服装城
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
18
课堂练习
2、 下图是一个公园的平面图，能不能使游 人走遍每一条路不重复？入口和出口又应设 在哪儿？
E ●
●G F ● D●
C●
●
●A
B
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
19
课堂练习
3、 甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以 同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发， 乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。如果 要选择最短的线路，谁先回到邮局？
总结规律
①可以一笔画成的图形，与偶点个数无关， 与奇点个数有关。也就是说，凡是图形中没 有奇点的（奇点个数为0），可选任一个点做 起点，且一笔画后可以回到出发点。
②若奇点个数为2，可选其中一个奇点做起点， 而终点一定是另一个奇点，即一笔画后不可以 回到出发点。
③凡是图形中有2个以上奇点的，不能完成一 笔画。
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
6
P
2 7
如果有兴趣，完全可以照样子画一张地图，
亲有自的尝可试 能尝 线试 路。 都不 试过 过， 一要 遍告是诉极大为家困的难是的,！想因把P为7所7
各种可能的线路有 =5040种。要想一一试过， 真是谈何容易。正因为如此，七桥问题的解答 便众说纷纭：有人在屡遭失败之后，倾向于否 定满足条件的解答的存在；另一些人则认为， 巧妙的答案是存在的，只是人们尚未发现而已，
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
9
• 欧拉在数学、物理、天文、建筑以至音乐、哲 学方面都取得了辉煌的成就。在数学的各个领 域，常常见到以欧来命名的公式、定理、和重 要常数。课本上常见的如π、i、e、sin、cos、 tg、△x、Σ、f(x)等，都是他创立并推广的。 欧拉还首先完成了月球绕地球运动的精确理论， 创立了分析力学、刚体力学等力学学科，深化 了望远镜、显微镜的设计计算理论。
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
4
• 早在十八世纪以前，当地的居民便热衷于以下有趣 的问题：能不能设计一次散步，使得七座桥中的每一座 都走过一次，而且只走过一次? 这便是著名的哥尼斯堡七桥问题。
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
5
• 这个问题后来变得有点惊心动魄：说是有一队工兵， 因战略上的需要，奉命要炸掉这七座桥。命令要求当载 着炸药的卡车驶过某座桥时，就得炸毁这座桥，不许遗 漏一座！
奇点个数 偶点个数 能否一笔画
●B
图⑴
A●
图⑵ 图⑶
●A
B●
●C
E●
●D
A
●●
图⑷
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
13
图(5) 图(6) 图(7) 图(8)
奇点个数 偶点个数 能否一笔画
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
14
图(9) 图(10) 图(11)
奇点个数 偶点个数 能否一笔画
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
15
2丽的小岛。普河的两条支流，环绕其 旁汇成大河，把全城分为下图所示的四个区域：岛区(A)， 东区(B)，南区(C)和北区(D)。
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
3
著名的哥尼斯堡大学，傍倚于两条支流的河旁， 使这一秀色怡人的区域，又增添了几分庄重的韵味! 有七座桥横跨普累格河及其支流，其中五座把河岸 和河心岛连接起来。这一别致的桥群，古往今来， 吸引了众多的游人来此散步。
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
1
哥尼斯堡七桥问题
现今的加里宁格勒，旧称哥尼斯堡，是一座历史名城。 在十八、十九世纪，那里是东普鲁士的首府，曾经诞生和培育 过许多伟大的人物。著名的哲学家，古典唯心主义的创始人康 德，终生没有离开过哥尼斯堡一步!二十世纪最伟大的数学家之 一，德国的希尔伯特也出生于此地。
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
这在人类智慧所未及的领域，是很常见的事！
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
7
拿起栓有15个圆环的绳子，任选一个桥的支柱作为起点，沿桥依次套圈，看看 是否可以让除起点之外的13个桥柱上都有一个圈。（起点的柱子上有两个圈）。 结论是，不可能实现完成该任务。
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
8
• 欧拉
欧拉（L.Euler,1707.4.151783.9.18）著名的数学家。生于 瑞士的巴塞尔，卒于彼得堡。大 部分时间在俄国和德国度过。他 早年在数学天才贝努里赏识下开 始学习数学, 17岁获得硕士学位， 毕业后研究数学,是数学史上最高 产的作家。在世发表论文700多篇, 去世后还留下100多篇待发表。其 论著几乎涉及所有数学分支。