哥尼斯堡七桥问题与一笔画

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七桥问题与一笔画

这就是数学史上著名的七桥问题，你愿意试一试吗？
每一个到此游玩或散心的人都想试一试，可是，对于这一看似简单的问题，没有一个人能符合要求地从七座桥上走一遍。这个问题后来竟变得神乎其神，说是有一支队伍，奉命要炸毁这七座桥，并且命令要他们按照七桥问题的要求去炸。七桥问题也困扰着哥尼斯堡大学的学生们，在屡遭失败之后，他们给当时著名数学家欧拉写了一封信，请他帮助解决这个问题。
问题分析
数学家欧拉知道了七桥问题他用四个点A、B、 C、D分别表示小岛和岸，用七条线段表示七座桥（如图）于是问题就成为如何“一笔画” 出图中的图形？
C
A
D
B
● 点A、B表示岛点C。D表示岸 ▎线表示桥
问题分析
问题的答案如何呢？让我们先来了解三个新概念。
①有奇数条边相连的点叫奇点。如：
● ● ●
十八世纪，东普鲁士的首府哥尼斯堡是一座景色迷人的城市，普莱格尔河横贯城区，使这座城市锦上添花，显得更加风光旖旋。这条河有两条支流，在城中心汇成大河，在河的中央有一座美丽的小岛。河上有七座各具特色的桥把岛和河岸连接起来。
问题情景
18世纪时风景秀丽的小城哥尼斯堡中有一条河，河的中间有两个小岛，河的两岸与两岛之间共建有七座桥（如图），当时小城的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能不重复地走过所有七座桥，再回到出发点？
图⑶
图⑷
总结规律
①可以一笔画成的图形，与偶点个数无关，与奇点个数有关。也就是说，凡是图形中没有奇点的（奇点个数为0 ），可选任一个点做起点，且一笔画后可以回到出发点。 ②若奇点个数为2，可选其中一个奇点做起点，而终点一定是另一个奇点，即一笔画后不可以回到出发点。 ③凡是图形中有2个以上奇点的，不能完成一笔画。用你发现的规律，说一说七桥问题的答案？

一笔画七桥问题

例3：再回到“七桥问题”，问：在何处架设一座桥，可使游人一次走遍所有各桥？
例4：某花园小径如图，问：你能否从图中点1出发不重复地走过所有小径？如果能，请标出所经过各点的顺序；如果不能，请标出必须重复走的小径。
练习：下面各图，能否一笔画出？若能，请画出走法；若不能，请说明理由。
留一道作业：下面的五环标志可否一笔画成？如何画？
一笔画------七桥问题
一笔画----------七桥问题
请你做下面的游戏：一笔画出图中的图形来。规则：笔不离开纸面，每根线都只能画一次。这就是古老的民间游戏——一笔画。你能画出来吗？
以下网络中哪一个是可以遍历的(即一笔而不重复地画成)？
拓扑学起源于公元1736年一个著名问题—— 哥尼斯堡七桥问题——的解决．
1727年在欧拉20岁的时候，被俄国请去在圣彼得堡（原列宁格勒）的科学院做研究。他的德国朋友告诉了他这个曾经令许多人困惑的问题。
欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走。他把这个难题化成了这样的问题来看：把二岸和小岛缩成一点，桥化为边，于是“七桥问题”就等价于下图中所画图形的一笔画问题了，这个图如果能够一笔画成的话，对应的“七桥问题”也就解决了。
能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。那么什么叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点；与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。如下图中的①、 ④为奇点，②、③为偶点。
1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。例如下图都是偶点，画的线路可以是：①→③→⑤ →⑦→②→④→⑥→⑦→①
2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。例如下图的线路是：①→②→

七桥问题与一笔画的通解

七桥问题与一笔画的通解（论文拟稿）在柯尼斯堡的一个公园里，有七座桥将一条河上的两座岛和两岸相连接。

当时有人提出了这么一个问题：如何一次性不重复不遗漏走完七座桥。

后来，数学家欧拉将它变成了一个一笔画问题（如图）。

从欧拉的简化图来看，似乎我们无论如何，也不能一笔画完图形。

但是，这是为什么呢?在这个图中，有ABCD 4个点，有五条线汇聚到A点，三条线汇聚到B,C,D 点，我们可以把这种有奇数条线（3条及以上）汇聚的点称为奇点，作为对应，把有偶数条线（4条及以上）汇聚的点称为偶点。

那么，我们不难发现，在任意封闭图形中，奇点的个数一定是偶数。

因为一条线定连接两个点（或重合），若存在奇数个奇点，则此图形定不符合封闭图形定义。

从一个奇点来看，若要一笔画成，则此奇点定是起笔点或停笔点。

起笔点，停笔点只有两个，所以说，奇点为两个或没有奇点的封闭图形可以一笔画。

回来看七桥问题，图中有四个奇点，以任意两个作为起笔点和落笔点，则还有两个奇点无法连接。

故七桥问题无解。

从上面总结出以下结论：■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。

画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

■⒉凡是只有两个奇点的连通图(其余都为偶点)，一定可以一笔画成。

画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点。

■⒊其他情况的图都不能一笔画出。

(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。

)我们可以把得到的结论推广到所有一笔画解法存在问题，如汉字“田”，我们观察到，它有四个奇点，故不可以一笔画。

而汉字“日”，只有两个奇点，则可以一笔画。

早在1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》的论文报告中，就阐述了这种方法，也为后来的数学新分支--拓扑学的建立奠定了基础。

从这里我们可以看出，伟大的创造一开始可能并不像我们想象的那么高深莫测，仔细观察生活，我们也会有了不起的发现。

哥尼斯堡七桥问题---- 一笔画

投递路线一笔画
欧拉回路
最理想的投递路线，就是该段道图是一条欧拉回路。图（2）的投递路线如下图（3）。
含有奇点的段道图不能一笔画出，有些道路需要重复走两次的都要添上一条弧。图（1）添弧后如图（4）。
图（3）
图（4）
问题：如何不重复地走完七桥后回到起点？
一笔画问题如何将此图一笔画出？
中国邮递员问题
• 中国邮递员问题(Chinese Postman Problem, CPP)是由我国管梅谷教授于1962年首先提出并
发表的 • 例如：观察下列段道图
图（1）
图（2）
从邮局出发，走遍邮区的所有街道至少一次再回到邮局，按照什么样的路线投递邮件才能使总的路程最短？
全都是偶点的连通图可以一笔画
画时以任一点为起点，最后仍回到该点
一
有两个奇点的连画时以一个奇点为起点，另一个
笔
通图可以一笔画奇点为终点
画
奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画
判断下列图形能否一笔画
图1
图3
图2
图4
谁能够一次走遍所有的７座桥，而且每座桥都是偶点的连通图可以一笔画奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画画时以任一点为起点最后仍回到该点画时以一个奇点为起点另一个奇点为终点有两个奇点的连通图可以一笔画判断下列图形能否一笔画图4图3图2图1谁能够一次走遍所有的7座桥而且每座桥都只通过一次
一笔画
一笔画要求：①一笔画完
.
. ③也
偶点：进进出出奇点：起点或终点

哥尼斯堡七桥问题与一笔画课件

02
在18世纪，人们开始对图论进行研究，探索图的结构和性质，其中哥尼斯堡七桥问题成为了图论研究的重要问题之一。
哥尼斯堡七桥问题的起源
哥尼斯堡七桥问题起源于18世纪初，当时有一位名叫欧拉的人，他是一位数学家和工程师，对图论进行了深入研究。
欧拉在研究哥尼斯堡的桥梁和河流时，提出了一个问题：是否存在一条路径，能够遍历哥尼斯堡的所有桥梁，每座桥只过一次？这就是著名的哥尼斯堡七桥问题。
哥尼斯堡七桥问题对一笔画问题的影响
哥尼斯堡七桥问题的解决推动了数学领域的发展，它证明了不存在一条遍历七座桥的路径，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
这个问题的解决对于一笔画问题的研究具有重要意义，它揭示了一笔画问题的复杂性和多样性，也促使数学家们深入研究一笔画问题的性质和规律。
一笔画问题在哥尼斯堡七桥问题中的应用
哥尼斯堡七桥问题是一笔画问题的经典案例，它探讨的是从哥尼斯堡的一个地方开始，能否遍历城市的七座桥，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
一笔画问题则是一个更广泛的几何问题，研究的是在一个连通图上，是否存在一条路径能够遍历所有的边，每条边只过一次。
哥尼斯堡七桥问题实际上是几何图形的一笔画问题，它为后续一笔画问题的研究提供了基础。
哥尼斯堡七桥问题的历史意义
哥尼斯堡七桥问题的解决标志着图论的诞生，成为图论发展史上的一个里程碑。
该问题的解决为后续的图论研究提供了基础和指导，推动了数学和图论的发展。
02 一笔画问题概述
一笔画问题的定义
一笔画问题，也称为欧拉路径问题，是图论中的一个经典问题。它主要探讨的是在一个给定的图形中，是否存在一条路径，使得这条路径能够遍历图形的每一条边且只遍历一次。
地图导航

一笔画和最短路线问题

造桥选址问题:
如图, A,B两地在一条河的两岸, 现要在河上造一座桥MN, 桥造在何处才能使从A 到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)
平行且相等的原理
利用勾股定理求解几何体的最短路线长
一、台阶中的最值问题
例1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图①②③ ),由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短.
D D1 C1
2
D1
C1
1
A1
B1
4
①
②
A B 2
C1
1
D
C
2 4
③
C
A 1 A1
4
B1
A
B
AC1 =√42+32 =√25 ;
AC1 =√62+12 =√37 ;
AC1 =√52+22 =√29
18世纪风景秀丽的哥尼斯堡（位于立陶宛与波兰之间，现属俄罗斯）中有一条河，河的中间有两个小岛，河的两岸与两岛之间共建有七座桥（如图），城中的居民经常沿河过桥散步，不知从什么时候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问题在居民中传开了：谁能够一次走遍所有的７座桥，而且每座桥都只通过一次？最后是否仍能回到出发点？这就是数学史上著名的七桥问题。
哈里发的失算，却是可以用拓扑学的知识加以证明的。其所需之概念，只有“内部” 与“外部”两个。事实上，我们很容易用线把①一①、②一②连起来。明眼的读者可能已经发现：我们得到了一条简单的闭曲线，这条曲线把整个平面分为内部(阴影部分)和外部两个区域。其中一个③在内部区域，而另一个③却在外部区域，要想从闭曲线内部的③，画一条弧线与外部的③相连，而与已画的闭曲线不相交，这是不可能的！这正是哈里发悲剧之所在。

七桥问题和一笔画

七桥问题和一笔画18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。

如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。

当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。

图 1 图 2七桥问题引起了著名数学家欧拉（17071783）的关注。

他把具体七桥布局化归为图2所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线只画一次不准重复），并且最后返回起点？欧拉经过研究得出的结论是：图2是不能一笔画出的图形。

这就是说，七桥问题是无解的。

这个结论是如何产生呢？请看下面的分析。

如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。

如果画笔经过一个n次，那么就有2n条线与该点相连结。

因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。

如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。

综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。

图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。

1736年，欧拉在圣彼得堡科学院作了一次学术报告。

在报告中，他证明了上述结论。

后来他又给出了鉴别任一图形能否一笔画出的准则，即欧拉定理。

为了介绍这个定理，我们先来看下面的预备知识：由有限条线组成的图形叫做网络，其中每条线都要求有两个不同的端点。

世界数学难题哥尼斯堡七桥问题

世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题请你做下面的游戏：一笔画出如图1的图形来。

规则：笔不离开纸面，每根线都只能画一次。

这就是古老的民间游戏——一笔画。

你能画出来吗？如果你画出来了，那么请你再看图2能不能一笔画出来？虽然你动了脑筋，但我相信你肯定不能一笔画出来！为什么我的语气这么肯定？我们来分析一下图2。

我们把图2看成是由点和线组成的一种集合。

图里直线的交点叫做顶点，连结顶点的线叫做边。

这个图是联通的，即任何二个顶点之间都有边。

很显然，图中的顶点有两类：一类是有偶数条边联它的，另一类是有奇数条边联它的。

一个顶点如果有偶数条边联它的，这点就称为偶点；如果有奇数条边联它的，就称它为奇点。

我们知道，能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。

另一类是只有二个奇点的图形。

图2有六个奇点，四个偶点，当然不能一笔画出来了。

为什么能一笔画的图形只有上述两类呢？有关这个问题的讨论，要追溯到二百年前的一个著名问题：哥尼斯堡七桥问题。

十八世纪东普鲁士哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河，它有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图3所示。

由于岛上有古老的哥尼斯堡大学，有教堂，还有哲学家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大学生们经常沿河过桥散步。

渐渐地，爱动脑筋的人们提出了一个问题：一个散步者能否一次走遍7座桥，而且每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。

这就是七桥问题，一个著名的图论问题。

图3这个问题看起来似乎很简单，然而许多人作过尝试始终没有能找到答案。

因此，一群大学生就写信给当时年仅20岁的大数学家欧拉。

欧拉从千百人次的失败，以深邃的洞察力猜想，也许根本不可能不重复地一次走遍这七座桥，并很快证明了这样的猜想是正确的。

欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图4所示。

图4 图5于是“七桥问题”就等价于图5中所画图形的一笔画问题了。

哥尼斯堡七桥问题与一笔画-推荐优秀PPT

②若奇点个数为2，可选其中一个奇点做起点，而终点一定是另一个奇点，即一笔画后不可以回到出发点。
③凡是图形中有2个以上奇点的，不能完成一笔画。
用你发现的规律，说一说七桥问题的答案？
由于七桥问题中的四个点都是奇点，因此可以判断它是无法一笔画出来的，也就是说根本不存在能不重复走遍七座桥的路线！
在河的中心有一座美丽的小岛。普河的两条支流，环绕其旁汇成大河，把全城分为下图所示的四个区域：岛区(A)，东区(B)，南区(C)和北区(D)。
著名的哥尼斯堡大学，傍倚于两条支流的河旁，使这一秀色怡人的区域，又增添了几分庄重的韵味! 有七座桥横跨普累格河及其支流，其中五座把河岸和河心岛连接起来。这一别致的桥群，古往今来，吸引了众多的游人来此散步。
❖ 欧拉在数学、物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面都取得了辉煌的成就。在数学的各个领域，常常见到以欧来命名的公式、定理、和重要常数。课本上常见的如π、i、e、sin、cos、tg、△x、 Σ、f(x)等，都是他创立并推广的。欧拉还首先完成了月球绕地球运动的精确理论，创立了分析力学、刚体力学等力学学科，深化了望远镜、显微镜的设计计算理论。
这在人类智慧所未及的领域，是很常见的事！
拿起栓有15个圆环的绳子，任选一个桥的支柱作为起点，沿桥依次套圈，看看是否可以让除起点之外的13个桥柱上都有一个圈。（起点的柱子上有两个圈）。结论是，不可能实现完成该任务。
❖ 欧拉
欧拉（）著名的数学家。生于瑞士的巴塞尔，卒于彼得堡。大部分时间在俄国和德国度过。他早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学, 17岁获得硕士学位，毕业后研究数学,是数学史上最高产的作家。在世发表论文700多篇, 去世后还留下100多篇待发表。其论著几乎涉及所有数学分支。

一笔画哥尼斯堡七桥问题

一笔画哥尼斯堡七桥问题1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支—-图论与几何拓扑.也由此展开了数学史上的新进程.问题提出后,很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。

七桥问题和欧拉定理。

欧拉通过对七桥问题的研究,不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为“欧拉定理”。

故事背景七桥问题18世纪著名古典数学问题之一。

在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来（如图）。

问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次,再回到起点？欧拉于1736年研究并解决了此问题,他把问题归结为如下右图的“一笔画"问题，证明上述走法是不可能的.有关图论研究的热点问题。

18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来.当地居民热衷于一个难题:是否存在一条路线,可不重复地走遍七座桥。

这就是柯尼斯堡七桥问题。

欧拉用点表示岛和陆地,两点之间的连线表示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题。

他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2。

当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia（now Kaliningrad Russia）时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。

Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中,这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步,每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点.Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。

著名数学家欧拉后来推论出此种走法是不可能的。

哥尼斯堡七桥问题与一笔画通用课件

问题的意义
01
哥尼斯堡七桥问题推动了图论的发展，成为图论和几何图形研究的重要基础。
02
问题揭示了图论中节点和边的概念，以及它们之间的关系和限制条件，为后续的图论研究提供了重要的启示。
02
一笔画问题概述
一笔画的基本概念
一笔画
一笔画是指从一个给定的点开始，沿着某些路径（通常是线段）前进，最后回到起始点，路径在任何地方都不交叉或重复。
际应用价值。
THANKS。
05
哥尼斯堡七桥问题的解决方案
欧拉解决哥尼斯堡七桥问题的方法
欧拉通过数学分析，证明了哥尼斯堡七桥问题没有一笔画的可能性，即不存在一条路径能够遍历七座桥而不重复经过任何一座桥。
欧拉的方法基于图论的基本原理，通过分析图中的奇点（起点和终点）和偶点（中间的交点），证明了七桥问题没有一笔画的可能性。
地图染色
地图染色问题是一笔画问题的一个变种，它要求将地图上的国家或地区按照一定的规则进行染色，使得相邻的国家或地区颜色不同。
物流配送
在物流配送中，一笔画问题可以用于解决最优配送路线问题，即如何规划一条或多条路线，使得所有客户都被访问且只被访问一次，同时总距离最短。
一笔画问题的未来发展
算法优化
现代技术的应用
随着计算机技术的发展，现代数学软件和算法可以模拟和验证图论中的问题，为解决复杂问题提供了更高效的方法。
现代技术可以用于分析和处理大规模的图数据，例如社交网络、交通网络等，这些网络结构与哥尼斯堡七桥问题类似，可以通过计算机模拟和算法找到最优解或近似解。
对其他类似问题的启示
哥尼斯堡七桥问题的解决为图论和其他相关领域的研究提供了基础和启示，推动了数学和科学的发展。

七桥问题——一笔画

七桥问题——一笔画
18世纪东普鲁士的哥尼斯堡城，有一条河穿过，河上下有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如下图一）。

有人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复，不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点。

这个问题提出后在很长一段时间内很多人进行了研究都没有研究出答案。

后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题——一笔画问题，使问题得到了解决。

（如下图二）
图一图二
问题的答案如何呢？让我们先来了解三个新概念。

①有奇数条边相连的点叫奇点。

②有偶数条边相连的点叫偶点。

③一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。

2、每条线都只能画一次而不能重复。

结论：
课堂练习
1、一辆洒水车要给
再回到出发点？
2、甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。

如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？。

哥尼斯堡七桥问题与一笔画

笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？有关这个问题的讨论，要追溯到两百多
年前的一个著名问题 —— 哥尼斯堡七桥问
题．十八世纪，东普鲁士哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）有一条河叫普莱格尔河，它有两个支流，在城市的中心汇成大河，中间是岛区，河上有７座桥，将河中的两个岛和河岸连
图ｌ
图２
图３
如果你画出来了，那么请你再看图２能不能一笔画出来？
一
这个问题看起来似乎并不难，但人们始
虽然你动了脑筋，但我相信你肯定不能终没有能找到答案．最后，问题被提到了大数
笔画出图２１这就是一笔画问题，它是一种学家欧拉那里．欧拉以深邃的洞察力很快证
是奇点，共有四个，所以这个图肯定不能一笔画成．欧拉对“ 七桥问题” 的研究是图论研究
在图中添上一条线段，使它能一笔画成．
的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个
初级例子．
【例题赏析】图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图
参考路线：４－１＿２－５ — ８一－９－６－１０－１１－７－４ — ３．
点为终点；（４）奇点个数超过两个的图形，一定
不能一笔画出．
现在对照七桥问题的图，所有的顶点都

小学数学一笔画问题(格尼斯堡七桥问题)

例1．判断下列各图是否能一笔画出来。
例1．判断下列各图是否能一笔画出来。
●1 4●
●1
一对奇点可以一笔画！
例1．判断下列各图是否能一笔画出来。
没有奇点可以一笔画！
例2. 填空：
图(1)中有( )个奇点，有( )个偶点；图(2)中有( )个奇点，有( )个偶点；图(3)中有( )个奇点，有( )个偶点.
（1）
（2）
（3）（4）
下面各图能否一笔画成？
(1)
(2)
(3)
A
D
B
C
一笔画问题：
(1)必须是连通的图形；
(2)只由偶点组成的。画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点；
(3)只有两个奇点的。画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点；
(4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．
一笔画问题
小朋友们，你们能把下面的图形一笔画出来吗？Fra bibliotek一笔画
指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复。
下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？
（1）（2）（3）（4）
我们把一个图形中连着双数条线的点叫做偶点；相应的把连着单数条线的点叫做奇点．
例3．哥尼斯堡七桥问题 18世纪的哥尼斯堡，有一条河流从这个城市穿过，河中有两个小岛A、B，河上有七座桥连结两个小岛及河的两岸（如下图
a），那里的居民在星期日有散步的习
惯．那么能不能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点呢？

一笔画和七桥问题ppt课件

14
就转化成了 “一笔画问题”
• 所谓图的一笔画，指的就是：从图的一
点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.
B
BA
A
C
A→B→C→A
A→头部→翅膀→
尾部→翅膀→嘴B
5
1.起点；2、终点；3、过路点；
4.奇点：和某个点连接的线的条数是奇数；
5.偶点：B和某个点连接的线的条数是偶数；
其中的一个奇点，终点一定是另一个奇点。
8
D
C
A→B→C→D→A→C
A
B
起点→过路点→…→过路点→终点
过路点都是偶点
1、起点和终点重合时，这一点也为偶点，故奇点个数为0；
2、起点和终点不重合时，这两点都为奇点，故奇点个数为2。
9
A
1.“七桥问题”如图所示，此图
D
能一笔画出来吗？为什么？
C
答：因为此图奇点的个数是4，
实验与探究
七桥问题与一笔画
1
能不能既不重复又不遗漏地一次相继走遍这七七哥座桥？桥尼问斯题堡
2
能不能既不重复又不遗漏地一次相继走遍这七
座桥？
①
⑥
②
⑤
⑦
③ ④
3
• 把河的两岸、两个小岛看成四个点 • 把七座桥看成是七条线 • 转化成数学模型后如图所示 A
D C
B 4
• 数学模型建立好之后，那么“七桥问题” 也
所以不能一笔画出来。
2.下列图形能不能用一笔画出来？ B
为什么？
E
A
A
D
F
D B FC
ABC C D E
B
因奇点的个数是0 因奇点的个数是0 因奇点的个数是2