一笔画问题——七桥问题的解决
七桥问题和一笔画
• 七桥问题引起了著名数学家欧拉 （1707—1783）的关注。他把具体七桥 布局化归为图所示的简单图形，于是， 七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样 才能从A、B、C、D中的某一点出发，一 笔画出这个简单图形
• 奇偶点。
• 下列图形中，请找出每个图的奇点个数， 偶点个数。试一试哪些可以一笔画出， 从中你能发现什么规律？
七桥问题和一笔画
七桥问题
• • • • • 18世纪时，欧洲有一个风 景秀丽的小城哥尼斯堡， 那里有七座桥。如图所示： 河中的小岛A与河的左岸B、 右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间 的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。 当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题： 一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座 桥只走过一次，最后回到出发点？
• ■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可 以一笔画成。画时可以把任一偶点为起 点，最后一定能以这个点为终点画完此 图。 ■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余 都为偶点），一定可以一笔画成。画时 必须把一个奇点为起点，另一个奇点终 点。 ■⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇 点数除以二便可算出此图需几笔画成。) •
七桥问题与一笔画教案
七桥问题与一笔画广西玉林市陆川县万丈初中陈勇欢所用教材人教版七年级上册第三章P121-122教学任务分析教学流程安排课前准备教学过程一、展示问题引入新课18世纪时风景秀丽的小城哥尼斯堡中有一条河，河的中间有两个小岛，河的两岸与两岛之间共建有七座桥（如图），当时小城的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能不重复地走过所有七座桥，再回到出发点？这就是数学史上著名的七桥问题，你愿意试一试吗？二、分析：数学家欧拉知道了七桥问题他用四个点A 、B 、C 、D 分别表示小岛和岸，用七条线段表示七座桥（如图）于是问题就成为如何“一笔画”出图中的图形？A 岛D 岸B 岛C 岸● 点A 、B 表示岛点C 。
D 表示岸 ▎线表示桥通过故事的形式把问题引出来，一方面激发学生的学习兴趣，另一方面也可以让学生感受到他们今天探讨的课题就是当年困扰千百人的问题，这样可以增进学生的求知欲。
接着让学生通过对七座桥的观察，在图上试走等活动，留给学生一个悬念，为后面的探究活动埋下伏笔，同时也把学生的求知欲望推上了一个高潮。
欧拉利用了几何的抽象化和理想化来观察生活，建立了准确的数学模型，七年级数学开始讲点、线、面，这些几何概念是从现实中抽象化和理想化而来，在欧拉的眼中，在地图上一个城市是一个点。
岛和陆地抽象成点，桥抽象成线，直线是笔直的，生活中没有完全精确的笔直线，这是理想化了，正因为数学的这种抽象，才使数学具问题的答案如何呢？让我们先来了解三个新概念。
①有奇数条边相连的点叫奇点。
如：●●●②有偶数条边相连的点叫偶点。
如：●●③一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。
2、每条线都只能画一次而不能重复。
三、活动探究下列图形中。
请找出每个图的奇点个数，偶点个数。
试一试哪些可以一笔画出，请填●●●●●●让学生充分理解这三个概念为下面探究规律做准备。
教师重点关注：①学生能否理解一笔画②能否勇于克服数学活动中的困难，有学好数学的信心。
老师发给学生每人一份探究的图形与表格然后，学生动手、填表，教师参与学生活动，并在投影仪上展示学生的作品对于图①②③④⑤⑥⑨有什么共同的⑺⑻●●ABCCCBOBCDF用你发现的规律，说一说七桥问题的答案？①凡是“一笔画”，一定有一个“起点”，一个“终点”，还有一些“过路点”。
七桥问题与一笔画的通解
七桥问题与一笔画的通解（论文拟稿）在柯尼斯堡的一个公园里，有七座桥将一条河上的两座岛和两岸相连接。
当时有人提出了这么一个问题：如何一次性不重复不遗漏走完七座桥。
后来，数学家欧拉将它变成了一个一笔画问题（如图）。
从欧拉的简化图来看，似乎我们无论如何，也不能一笔画完图形。
但是，这是为什么呢?在这个图中，有ABCD 4个点，有五条线汇聚到A点，三条线汇聚到B,C,D 点，我们可以把这种有奇数条线（3条及以上）汇聚的点称为奇点，作为对应，把有偶数条线（4条及以上）汇聚的点称为偶点。
那么，我们不难发现，在任意封闭图形中，奇点的个数一定是偶数。
因为一条线定连接两个点（或重合），若存在奇数个奇点，则此图形定不符合封闭图形定义。
从一个奇点来看，若要一笔画成，则此奇点定是起笔点或停笔点。
起笔点，停笔点只有两个，所以说，奇点为两个或没有奇点的封闭图形可以一笔画。
回来看七桥问题，图中有四个奇点，以任意两个作为起笔点和落笔点，则还有两个奇点无法连接。
故七桥问题无解。
从上面总结出以下结论：■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
■⒉凡是只有两个奇点的连通图(其余都为偶点)，一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点。
■⒊其他情况的图都不能一笔画出。
(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。
)我们可以把得到的结论推广到所有一笔画解法存在问题，如汉字“田”，我们观察到，它有四个奇点，故不可以一笔画。
而汉字“日”，只有两个奇点，则可以一笔画。
早在1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》的论文报告中，就阐述了这种方法，也为后来的数学新分支--拓扑学的建立奠定了基础。
从这里我们可以看出，伟大的创造一开始可能并不像我们想象的那么高深莫测，仔细观察生活，我们也会有了不起的发现。
哥尼斯堡七桥问题与一笔画课件
在18世纪，人们开始对图论进行 研究，探索图的结构和性质，其 中哥尼斯堡七桥问题成为了图论 研究的重要问题之一。
哥尼斯堡七桥问题的起源
哥尼斯堡七桥问题起源于18世纪初，当时有一位名叫欧拉的 人，他是一位数学家和工程师，对图论进行了深入研究。
欧拉在研究哥尼斯堡的桥梁和河流时，提出了一个问题：是 否存在一条路径，能够遍历哥尼斯堡的所有桥梁，每座桥只 过一次？这就是著名的哥尼斯堡七桥问题。
哥尼斯堡七桥问题对一笔画问题的影响
哥尼斯堡七桥问题的解决推动了数学领域的发展，它证明了不存在一条遍历七座 桥的路径，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
这个问题的解决对于一笔画问题的研究具有重要意义，它揭示了一笔画问题的复 杂性和多样性，也促使数学家们深入研究一笔画问题的性质和规律。
一笔画问题在哥尼斯堡七桥问题中的应用
哥尼斯堡七桥问题是一笔画问题的经典案例，它探讨的是从哥尼斯堡的一个地方开 始，能否遍历城市的七座桥，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
一笔画问题则是一个更广泛的几何问题，研究的是在一个连通图上，是否存在一条 路径能够遍历所有的边，每条边只过一次。
哥尼斯堡七桥问题实际上是几何图形的一笔画问题，它为后续一笔画问题的研究提 供了基础。
哥尼斯堡七桥问题的历史意义
哥尼斯堡七桥问题的解决标志着图论 的诞生，成为图论发展史上的一个里 程碑。
该问题的解决为后续的图论研究提供 了基础和指导，推动了数学和图论的 发展。
02 一笔画问题概述
一笔画问题的定义
一笔画问题，也称为欧拉路径问题，是图论中的一个经典 问题。它主要探讨的是在一个给定的图形中，是否存在一 条路径，使得这条路径能够遍历图形的每一条边且只遍历 一次。
地图导航
一笔画七桥问题
2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为 偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一 个奇点为起点，另一个奇点终点。例如下图 的线路是：①→②→③→①→④
下列图形中那几个可以一笔画出来？
（1）、（2）、（4）可以一笔画出；（3）、（5）不能一笔画 出
例1 下列哪几个图能一笔画出？如果能，给出画法。
哥尼斯堡是位于普累格河上的一座城市，它 包含两个岛屿及连接它们的七座桥．该河流 经城区的这两个岛．岛与河岸之间架有六座 桥，另一座桥则连接着两个岛．星期天散步 已成为当地居民的一种习惯，但试图走过这 样的七座桥，而且每桥只走过一次却从来没 有成功过．但直至引起瑞士数学家欧拉 (Leonhard Euler，1707—1783)注意之前， 没有人能够解决这个问题 ．
例3：再回到“七桥问题”，问：在 何处架设一座桥，可使游人一次走 遍所有各桥？
例4：某花园小径如图，问：你能否 从图中点1出发不重复地走过所有小 径？如果能，请标出所经过各点的 顺序；如果不能，请标出必须重复 走的小径。
练习：下面各图，能否一笔画出？ 若能，请画出走法；若不能，请说 明理由。
留一道作业：下面的五环标志可否一笔 画成？如何画？
能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。那么什么 叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点； 与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。如下图中的①、 ④为奇点，②、③为偶点。
1．凡是由偶点组成的连通图，一定可ห้องสมุดไป่ตู้一笔画成。画时 可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完 此图。例如下图都是偶点，画的线路可以是：①→③→⑤ →⑦→②→④→⑥→⑦→①
一笔画------七桥问题
一笔画----------七桥问题
请你做下面的游戏：一笔画出图中 的 图形来。 规则：笔不离开纸面，每根 线都只能画一次。这就是古老的民间 游戏——一笔画。 你能画出来吗？
七桥问题一笔画解题技巧
七桥问题一笔画解题技巧
以下是 6 条关于“七桥问题一笔画解题技巧”的内容：
1. 嘿，你知道吗？七桥问题没那么难！比如说像走迷宫一样，你得找对路径。
咱先看看那些桥的连接情况，就像你找回家的路一样，得心里有数啊！观察好每个点连接的桥数，要是奇数个，那可就得特别注意了，这不就是解题的关键吗？就像你在路上看到特殊标志一样重要！
2. 哇哦，面对七桥问题可别慌！想象一下，这就像是在编织一张网，你得理清楚那些线。
好比有条线连着三个地方，它就是重要节点呀！你得从这儿突破。
比如从这个节点开始画起，一步步试探，不就能找到答案了吗？难道不是吗？
3. 嘿呀，解决七桥问题，就如同解开一个神秘的谜题！举个例子，你看到那几座桥的分布，得像观察星座一样仔细。
找到关键的桥，然后顺着去尝试，总有办法能成功一笔画完的呀！难道你不想试试这种探索的乐趣？
4. 哎呀，七桥问题其实真的有趣极了！就仿佛在玩一个策略游戏。
比如你一开始就瞎画，那肯定不行啦！要先分析那些桥的位置关系，找对入口。
这不跟打游戏找通关技巧一样嘛！赶紧来试试吧！
5. 哈哈，面对七桥问题不用怕！可以把它想成是走一条特别的路。
比如有个地方有四座桥连着，那就是关键呀！从这儿走可能就柳暗花明了呢。
是不是觉得很有意思呀？
6. 哟呵，搞懂七桥问题的一笔画可太有意思啦！这就好似在拼图。
找对每一块的位置，像解决一个小挑战。
比如某座桥是连接两个区域的关键，抓住这点，解题就容易多啦！快自己去试试呀！
我觉得七桥问题虽然有点复杂，但只要掌握了这些技巧，真的能轻松很多，特别有意思呢！。
七桥问题与一笔画
A
BA E
BA
G E
B
A G
E I A
B
H 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 图（6）
奇点 个数
0 2 2 4 0 2 2 6 4 0 0
偶点 个数
4 4 5 5 3 2 3 1 0 10 12
能否一 笔画
能 能 能 不能 能 能 能 不能 不能 能 不能
C
DC
F D C F A E A
小广场
超市
文具店
电器城
菜市场
服装城
课堂练习
2、 下图是一个公园的平面图，能不能使游 人走遍每一条路不重复？入口和出口又应设 在哪儿？
E ● ●G F ● D●
C●
● B
●A
课堂练习
3、 甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以 同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发， 乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。如果 要选择最短的线路，谁先回到邮局？
问题分析
问题的答案如何呢？让我们先来了解三个新概念。
㈠ 每个图形都是一些连接点和线（边）组成的，任意两点之间都有一条
通路的图形叫连通图 A C 图1 D B D
A
E C 图2 B BAE C 图3源自GACB D
F H
㈡有奇数条边相连的点叫奇点。如：
● ●
图4
●
㈢有偶数条边相连的点叫偶点。如：
● ●
问题分析
数学家欧拉知道了七桥问题他用四个点A、B、 C、D分别表示小岛和岸，用七条线段表示七 座桥（如图）于是问题就成为如何“一笔画” 出图中的图形？ 一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。 2、每条线都只能画一次而不能重复。
① ⑥ A ② C ③ B ⑦ ④ ⑤ D ② ③ ① ⑥
七桥问题与一笔画
D A
C
A→B→C→D→A→C
B
起点→过路点→…→过路点→终点
过路点都是偶点
1、起点和终点重合时，这一点 也为偶点，故奇点个数为0； 2、起点和终点不重合时，这两 点都为奇点，故奇点个数为2。
A
1.“ 七桥问题”如图所示，此图 能一笔画出来吗？为什么？ 答：因为此图奇点的个数是 4， 所以不能一笔画出来。
A C D
B
数学模型建立好之后，那么“七桥问题” 也
就转化成了 “一笔画问题”
所谓图的一笔画，指的就是：从图的一
点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一 次，即每条边都只画一次，不准重复.
B B C A→头部→翅膀→ 尾部→翅膀→嘴B A
A
A→B→C→A
1.起点；2、终点 ；3、过路点； 4.奇点：和某个点连接的线的条数是奇数； 5.偶点：和某个点连接的线的条数是偶数；
B D E A C F B
A C A→B→C→A
下列图形能不能用一笔画出来？
D
A
C B
D
C D
C O
A
B
A
B
能
奇点 个数： 0
能
能
不能
2
4
不能
请同学们分小组讨论： 能够用一笔画的图形有何特征？
能够用一笔画的图形的特征是： 奇点的个数是0或2。 1.当奇点个数是0的时候，任何一个点 都可作起点，终点也是这个点； 2.当奇点个数是2的时候，起点一定是 其中的一个奇点，终点一定是另一 个奇点。
D
A C D C
A D C
A D
B A
C B
B A D
C BΒιβλιοθήκη B A DC BD
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“一笔画问题——七桥问题的解决”教学设计
执教者：高馨教学内容：“一笔画问题——七桥问题的解决”。
教学目标：
1.让学生体会用“数学模型方法”解决问题。
2. 通过其中抽象出点、线的过程,使学生对点、线有进一步的认识。
3.通过探究"一笔画"的规律的活动,锻炼学生克服困难的意志及勇于发表见解的好习惯。
教学重点：数学模型方法的渗透，以及在活动中去寻找规律，发现问题，解决问题。
教学难点：让学生自己探究得出"一笔画"的规律。
教学准备：课件，学习活动单3张，红色水彩笔。
教学过程：
导语：同学们，平时生活中，我们要用智慧的双眼认真观察周边的事物。
今天，老师要和大家上一节有趣的数学活动探究课。
准备好了吗？好，上课！
一、故事激趣导入新课：
1.小视频（简笔画导入）师：请大家认真观察，（老师边画边说）
师：老师画这些图案时都是怎样画成的？
2.介绍数学史，建立数学模型：18世纪时风景秀丽的小城哥尼斯堡中有一条河,河的中间有两个小岛,河的两岸与两岛之间共建有七座桥(如图),当时小城的居民中流传着一道难题:一个人怎样才能不重复地走过所有七座桥,再回到出发点?
这就是数学史上着名的七桥问题,你愿意试一试吗?好，动笔吧。
结果怎样？
3.介绍瑞士数学家欧拉。
欧拉把一个实际的生活情景问题转化成合适的“数学模型”。
这种研究方法就是“数学模型方法”。
你们对一笔画问题感兴趣吗？想了解吗？今天我们就来一起研究“一笔画问题”。
（板书）
4.什么叫一笔画？什么样的图可以一笔画成？（下笔后笔尖不能离开纸B、每条线都只能画一次而不能重复。
）
5.认识连通图。
6.要研究一笔画图案有什么规律，我们必须先来了解两个重要概念：奇点和偶点点：有奇数条边相连的点叫奇点。
●●●
②偶点：有偶数条边相连的点叫偶点。
●●●
二、小组合作实验探究
1、师：我们来动手画几幅简单美丽的图案，请大家亲自感受一下!
2、小组合作探究要求：
①小组合作分工完成8个图形的判断。
②完成后一起交流讨论，哪些图形能一笔画完成。
③观察表格，能一笔画完成的图形有什么规律？
④能一笔画成的图形起点和终点有什么规律？
时间：6分钟
小组合作完成学习活动单：
5、小组反馈，并把能一笔画完成的图案在纸上描一遍，亲身体验一笔画的乐趣！（音乐）
6、总结规律：奇点个数为0或2时，可以一笔画。
（板书）
7、进一步探究该如何一笔画？起笔与落笔有什么规律？
A．奇数点个数为0个时，由任意一点出发均可，且会回到原出发点。
B．奇数点个数为2个时，一定要由其中一个奇数点出发，且结束在另一个奇数点。
8、用你发现的规律,说一说七桥问题的答案?如何加一座桥，使得它能够一笔画？
三、知识升华巩固提高
1、判断图中的交点是奇点还是偶点？
2、知识闯关
四、课堂小结拓宽深化
甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道，甲从A 点出发，乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。
如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？
反思：《一笔画问题》教学反思
《七桥问题与一笔画》是一个实验与探究的课题。
这节课有两个重点：一是实验，二是探究。
所以在刚开始就引出欧拉对七桥问题的建模，把实际问题转化成“一笔画”的数学问题，并让学生体会到转化的数学思想以及从具体到抽象的思想。
接着是活动探究，这是本节课的首要重点。
在充分理解教材的基础上，我创造性地将教学内容重新打造，特意为学生设计了一个探究的图形与表格，为学生有效探究规律搭建了一个非常好的“手脚架”。
学生在搜集、观察数据的同时，引发对数学问题的思考，培养学生的观察能力，用表格、语言表示规律，培养归纳猜想的能力。
接着进一步探究怎样一笔画？起笔与落笔有什么规律？借助两张学习活动单来完成。
重要让学生自己发现问题，小组讨论探究得出规律。
其次，运用“一笔画”的规律解决七桥问题，并把七桥问题拓宽与深化。
最后，再次运用“一笔画”的规律解决生活中的实际问题，把数学问题又转化并应用到实际生活中，真正体现数学来源于生活并应用于生活这一特点，让学生感受到数学的价值。
课堂教学中只有充分开放学习方式，才能拓宽学生的探究空间。
在学生动手实践、自主探索、合作交流的学习过程中，本课注意了以下教学策略。
①放手让学生动手操作
心理学家皮亚杰指出：“活动是认识的基础，智慧从动作开始。
”学生动手、动脑、动口，亲自操作感知，在头脑里形成鲜明的知觉表象，有助于他们对抽象数学知识的理解，启迪心智。
②给予独立探究的空间
让每个学生根据自己的体验，用自己喜欢的思维方式自由地、开放地去探究，去发现，去再创造有关的数学知识的过程。
给予学生独立探究的时间和空间，促进学生主动、有效地进行探究。
③引导自发合作探究
合作探究是建立在学生自感独立探究有困难、或为了提高探究效率的基础上的，必须是学生自发的，让学生真正体验到有合作的必要性和必需性，体会到合作的优越性。
④创新能力的启发与培养
在课堂练习的环节设计了这样一道练习题：增加一座桥使得七桥问题能一笔画完成。
学生主体性得到了充分的发展，体会到了自主、合作探索成功的喜悦。
由此，增强了学生学习数学的兴趣，树立了学习数学的自信心；增强了自主探究、合作交流的意识，提高了探究的能力；求异思维、创新意识得到长足发展。
反思本节课也不尽如人意的地方：。