重庆一中高一数学下学期期中试题
重庆一中 高一下学期期中考试数学试题
重庆一中 高一下期半期考试数 学 试 题 卷一、选择题.(共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).1.已知等差数列}{n a 满足682=+a a ，则=5a （ ）A.3B.6C. 8D. 12 2.已知向量)3,(),1,2(x b a =-=，若⊥，则实数x 的值是（ ）A. 6B. 6-C.23 D. 23- 3.实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+01042y x y x ，则y x z +=2的最大值为（ ）A.2B. 27C. 7D.8 4.若1->x ，则14++x x 的最小值是（ ） A.4 B.3 C.2 D.15.（原创）在圆O 内随机任取一点，则取到的点恰好落在该圆的内接正方形内的概率是（ ）A. π2B. π1C. 4πD. 5π6.（原创）有些同学考试时总是很粗心. 某数学老师为了研究他所教两个班学生的细心情况，在某次数学考试后，从他所教的甲、乙两个班级里各随机抽取了五份答卷并对解答题第16题（满分13分）的得分进行统计，得到对应的甲、乙两组数据，其茎叶图如下图所示，其中}3,2,1,0{,∈y x ，已知甲组数据的中位数比乙组数据的平均数多59，则y x +的值为（ ）A.5B.4C.3D.17.（原创）b a ,为非零实数，已知0>ab 且b a >，则下列不等式不一定．．．成立的是（ ） A. a b b 2> B. 2ln )ln(>+b a a b C. ba 11)21()21(> D. 11++<a b a b8.（原创）执行如图所示的程序框图，若输出20152014=s ，则判断框内应填入的条件是（ ）甲组乙组9 6 0 7 8 3 3 x 1 1 y 3（第6题图）80 90 100 110 120 130 0.0300.025 0.020 0.015 0.010 底部周长 cm （第12题图）A. 2015<nB. 2015≤nC. 2014<nD. 2013<n9.（原创）已知ABC ∆的三个内角,,A BC 满足B A C 2sin 220142cos 2cos 2015-=-，则=⋅+⋅B A B A C tan tan )tan (tantan （ ）A. 22015B. 20152C. 20141D. 1007110.（原创）已知平面向量βα,满足32=-，且βα+与βα2-的夹角为 150，则)()(R t t ∈-+βα的最小值是（ ）. A.43 B. 33 C. 23 D. 3 二．填空题.(本大题共5 小题，共25分，将正确答案填写在答题卡上的相应位置)11.运行下面的伪代码，输出的T 的值为 ；12.对大量底部周长]130,80[∈（单位：cm ）的树木进行研究，从中随机抽出200株树木并测出其底部周长，得到频率分布直方图如上图所示，则在抽测的200株树木中，有 株树木的底部周长小于100cm ；13.（原创）“丁香”和“小花”是好朋友，她们相约本周末去爬歌乐山，并约定周日早上8：00至8：30之间（假定她们在这一时间段内任一时刻等可能的到达）在歌乐山健身步道起点处会合. 若“丁香”先到，则她最多等待“小花”15分钟；若“小花”先到，则她最多等待“丁香”10分钟，若在等待时间内对方到达，则她俩就一起快乐地爬山，否则超过等待时间后她们均不再等候对方而孤独地爬山，则“丁香”和“小花”快乐地一起爬歌乐山的概率是 （用数字作答）；14.（原创）已知+∈R y x ,且32=+y x ，若不等式a y x xy ⋅+≤)2(对任意+∈R y x ,恒成立，则实数a 的取值范围是 ；15.（原创）已知*,12N n n a n ∈-=，将数列}{n a 的项依次按如图的规律“蛇形排列”成一（第11题图）1 7,5,3 9,11,13,15,17 31,29,27,25,23,21,19 33,35,37,39,41,43,45,47,49 ……………………………………ABCDNM个金字塔状的三角形数阵，其中第m 行有12-m 个项，记第m 行从左到右．．．．的第k 个数为),,121(,*,N k m m k b k m ∈-≤≤，如29,152,44,3==b b ，则=k m b , （结果用k m ,表示）.三．解答题.(共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．)16.（13分）（原创）学生“如花姐”是2015年我校高一年级“校园歌手大赛”的热门参赛选手之一，经统计，网络投票环节中大众对“如花姐”的投票情况是：喜爱程度 非常喜欢 一般 不喜欢 人数 500 200 100现采用分层抽样的方法从所有参与对“如花姐”投票的800名观众中抽取一个容量为n 的样本，若从不喜欢“如花姐”的100名观众中抽取的人数是5人. （1）求n 的值；（2）若从不喜欢“如花姐”的观众中抽取的5人中恰有3名男生（记为321,,a a a ）2名女生（记为21,b b ），现将此5人看成一个总体，从中随机选出2人，列出所有可能的结果； （3）在（2）的条件下，求选出的2人中至少有1名女生的概率.17.（13分）（原创）若数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 是等比数列，且5221,a b a b ==.（1）求n a 及n b ；（2）记n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.（13分）（原创）如图，已知菱形ABCD 的边长为2，120=∠BAD ，N M ,分别为CDBC ,上的点，)1,0(,,,∈==μλμλ，记==,.（1） 当21==μλ-；（2） 若2-=⋅b a ，求μλ11+的值.19.（12分）（原创）ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若边2=c ，且B bC B a A a sin sin 2sin sin -=-.（1）若A A B C 2sin )sin(sin =-+，求ABC ∆的面积；（2）记AB 边的中点为M 的最大值，并说明理由.20.（12分）（原创）已知二次函数0,,,,)(2≠∈++=a R c b a c bx ax x f .（1）是否存在R c b N a ∈∈,,*使得1)(22+≤≤x x f x 对任意R x ∈恒成立？若存在，求出相应的c b a ,,的值；若不存在，请说明理由.（2）当1=a 时，若关于x 的方程x x f 2)(=的两根满足)2,1(),1,0(21∈∈x x ，试求)1(4)12()1(22+--++bc c b 的取值范围.21.（12分）（原创）已知数列}{n b 的前n 项和为n S ，满足2),(65111≥-=+--+n b S S S n n n n ，*N n ∈，且5,121==b b ，数列}{n a 满足,11=a *121,2),111(N n n b b b b a n n n ∈≥+++⋅=- . （1）证明：数列}3{1n n b b -+是等比数列； （2） 求证：*21,)11()11()11(N n e a a a n∈<+⋅⋅+⋅+（e 是自然对数的底数， 71828.2=e ）.数 学 参 考 答 案一、选择题：ACDBA DBCDA提示：10题：记=+βα，=-βα2，则,的夹角为 1503=配凑可得：)21()(=+-=-+m t t==令R u t u ∈-=21(，则上式43163)43(432322≥+-=+-=u u u .二．填空题：6 ，80 ，7247， ),31[+∞， ⎪⎩⎪⎨⎧+-++-=为偶数为奇数m k m m k m m b k m ,122,124222,.三．解答题.16.（13分）解：（1）抽样比例为1005，故40510052001005500=+⨯+⨯=n ； （2）},,,,,,,,,{21231322122111323121b b b a b a b a b a b a b a a a a a a a =Ω，共10种可能的结果； （3）记事件“选出的2人中至少有1名女生”为A ，则},,,,,,{21231322122111b b b a b a b a b a b a b a A =，其含有7种结果，故107)(=A P （或解：A 表示两个都是男生，包含3个结果，1071031)(1)(=-=-=A P A P ）17.（13分）解：（1）2≥n 时，121-=-=-n S S a n n n ，又111==S a 满足此式， 故*,12N n n a n ∈-=，于是9,321==b b ，而{}n b 等比，故n n b 3=； （2）n n n n n b a c 3)12(⋅-=⋅=，由错位相减法，有：n n n n n T 3)12(3)32(353331132⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=- ………………………①=n T 31323)12(3)32(3331+⨯-+⨯-++⨯+⨯n n n n …………②两式相减，得：()1323)12(333232+⨯--+++⨯+=-n n n n T1123)12(31]311[323+-⨯----⨯⨯+=n n n 63)22(1-⨯-=+n n ，因此*1,33)1(N n n T n n ∈+⨯-=+.18.（13分）解：（1）当21==μλ时，N M ,分别为CD BC ,的中点，3==且b a ,的夹角为 60，3===；32=321===-=-BD ；（2）=⋅b a )()(DN AD BM AB AN AM +⋅+=⋅⋅+⋅+⋅+⋅=)21(222222)21(222-⨯⨯+⨯+⨯+-⨯⨯=-⇒μλλμλμμλλμμλ=+⇒=+⇒)(22)(4，故2111=+=+λμμλμλ. 19.（12分）解：因为2=c ，故ab c b a B b C c B a A a =-+⇒-=-222sin sin sin sin ，由余弦定理可得 60212cos 222=⇒=-+=C ab c b a C ； （1）A A A B A B A A B C cos sin 2)sin()sin(2sin )sin(sin =-++⇒=-+A B A A A A B sin sin 0cos cos sin cos sin ==⇒=⇒或，即 90=A 或B A =当 90=A 时， 30=B ，332=b ，33221==∆bc S ABC ， 当B A =时，ABC ∆为等边三角形，360sin 2221=⨯⨯⨯=∆ ABC S ；（2）由于)(21CB CA CM +=)(41)(41222ab b a CB CA ++=+=因为 60,2==C c ，故由余弦定理知422+=+ab b a 121+=ab而42422≤⇒≥+=+ab ab b a ab 3≤3=，（当且仅当c b a ===2）时取等.20.（12分）解：（1）1)(22+≤≤x x f x 中令1=x 得2)1(2)1(2=⇒≤≤f f故b a c --=2，于是b a bx ax x f --++=2)(2，由题知02)2()(22≥--+-+⇔≤b a x b ax x f x 对R x ∈恒成立，有0448440)2(4)2(222≤+--++⇒≤----=∆b a b ab a b a a b ，整理得 220)22(04)2(4)2(22=+⇒≤-+⇒≤++-+b a b a b a b a ，又⇔+≤1)(2x x f 01)1(2≤--++-b a bx x a 对R x ∈恒成立，故必有1≤a 而*N a ∈，于是1=a ，而22=+b a 故0=b ，此时12=--=b a c ，1)(2+=x x f ，显然满足1)(2+≤x x f 对R x ∈恒成立，故存在0,1==b a 满足题意；（2）当1=a 时，方程⇔=x x f 2)(0)2(2=+-+c x b x ，令c x b x x g +-+=)2()(2，其两个零点为21,x x ，则⇔∈∈)2,1(),1,0(21x x ⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+>⇔⎪⎩⎪⎨⎧><>020100)2(0)1(0)0(c b c b c g g g而4414412)1(4)12()1(2222--+-+++=+--++bc c c b b bc c b 2)2(2)2(2--+-=c b c b令c b t 2-=，在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+>02010c b c b c 下，由线性规划知识易求得)1,5(2-∈-=c b t故)13,3[222)2(2)2(22-∈-+=--+-t t c b c b ， 也即：)13,3[)1(4)12()1(22-∈+--++bc c b . 21.（12分） 解：（1）由⇒-=+--+)(65111n n n n b S S S ⇒--=---+1116)(5n n n n n b S S S S 1165-+-=n n n b b b 2),3(2311≥-⋅=-⇒-+n b b b b n n n n ，且其首项02312≠=-b b ，故}3{1n n b b -+等比，公比为2；（2）先求n b ，由（1）知n n n n b b 222311=⋅=--+21223211+⋅=⇒++n n n n b b}12{12231211+⇒⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=+⇒++nn n n n n b b b 等比，其首项为23121=+，公比为23, 于是nn n n nn b b 23)23(12-=⇒=+；（或用特征根法求得） 由题可得51,11221=⋅==b b a a ， 由于)2(,)111()111(11211211≥=+++⋅+++⋅=++++n b b b b b b b b b b a a n n nn n n n n ，故)1(1111)11()11()11()11(143322121+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+=+⋅⋅+⋅+-n nn n a a a a a a a a a a a a =)111(2)111(52)111(52212122114332n n n n nn b b b b b b b b b b b b b b b b b +++=+++⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅⋅⋅⋅⋅-因此所证⇔211121eb b b n <+++ ， 而3≥n 时，113121)23(211)23(212311--⋅=⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=-=n n nn n n n n b ，保留前两项不动，从第三项开始利用上面的放缩公式，有：121511)311(12151131313121511111213221++<-⋅++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅++≤+++--n n n b b b ， 而=++121511235.135.0160171e<=+<+，。
重庆市第一中学高一下学期期中考试数学试题
重庆市第一中学高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合{}2,1,0,1,2A =--，集合11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（ ） A ．{}2,1,0,2-- B ．{}2C ．{}2,1,2--D ．{}2,1--【答案】C【解析】根据分式不等式的解法得到集合B ，再由集合的交集运算得到结果. 【详解】集合{}2,1,0,1,2A =--，集合{}11=|01B x x x x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭或，根据集合的交集运算得到A B ⋂={}2,1,2--. 故答案为：C. 【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2．在等差数列{}n a 中，1239a a a ++=，则2a =（ ） A ．3 B ．9C ．2D ．4【答案】A【解析】根据等差数列的性质得到1232293 3.a a a a a ++==⇒= 【详解】等差数列{}n a 中，1239a a a ++=,根据等差数列的运算性质得到1232293 3.a a a a a ++==⇒=故答案为：A. 【点睛】本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题. 3．如果0a b <<,那么下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．2ab b < C ．2ab a -<- D ．2m m P UI W ==【答案】D【解析】分析：利用作差法比较实数大小即得解.详解：1a --（1b -）=a b ab-，因为0a b <<，所以0,0.a b ab - 所以11a b-<-.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)比较实数的大小，常用作差法和作商法，一般如果知道实数是正数，可以利用作商法，否则常用作差法.4．在等比数列{}n a 中，已知2171,16a a a =⋅=，则该数列的公比q =（ ） A ．2± B ．4± C ．2 D ．4【答案】A【解析】根据等比数列的性质得到217416,a a a ⋅==进而解得44a =±，由等比数列的通项公式得到结果. 【详解】等比数列{}n a 中，已知2217441,164a a a a a =⋅==⇒=±2422 2.a a q a =⇒=±故答案为：A. 【点睛】这个题目考查了等比数列的性质以及通项公式的应用，属于基础题. 5．下列命题正确的是（ ）A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。
重庆一中高2022级高一下期中考试数学试卷
︒120︒60︒135︒45=−b a Cc 2cos 1ABC −−6,3)(6,3)(−3,6)(−3,6)(=b =b 35︒180=−a 1,2)(b =S 7++=a a a 6138S n a n }{<≠b cbc a a 0)(>a a b c >b c a a log log >b c 22>>a b c 1,∈a b c R ,,=b c ⋅=⋅a b a c b a b a =−a b =a b =a b =a 0=a 0−3,1)(−3,1][−1,3)(−1,3][=C A R =−−≥A x x x 2302}{第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合，则（ ）A ． B. C. D.2. 下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若与方向相反，则；与是相反向量；④若，则.其中正确的命题个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 33. 先后抛掷质地均匀的骰子两次，分别得到两个点数，则下列事件中，发生的概率最大的是（ ）A. 两个点数都是奇数B. 点数的和是奇数C. 点数的和小于13D. 点数的和大于74. 设，且，则（ ）A. B. C. D. 5．已知等差数列的前n 项和为，若，则（ ）A. 7B. 10C. 14D. 216. 若平面向量与向量的夹角是，且，则（ ） A. B. C. D.7. 在中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若，则角A 为（ ） A. B. C. D.重庆一中高2022级高一（下）学期5月月考数学试题卷数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须试用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，在选涂其他答案标号。
2020年重庆市重庆一中2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析
2019年重庆一中高2021级高一下期期中考试数学测试试题卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}2,1,0,1,2A =--，集合11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（ ） A. {}2,1,0,2-- B. {}2C. {}2,1,2--D. {}2,1--【答案】C 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法得到集合B ，再由集合的交集运算得到结果. 【详解】集合{}2,1,0,1,2A =--，集合{}11=|01B x x x x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭或， 根据集合的交集运算得到A B ⋂={}2,1,2--. 故答案为：C.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.在等差数列{}n a 中，1239a a a ++=，则2a =（ ） A. 3 B. 9C. 2D. 4【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质得到1232293 3.a a a a a ++==⇒=【详解】等差数列{}n a 中，1239a a a ++=,根据等差数列的运算性质得到1232293 3.a a a a a ++==⇒=故答案为：A.【点睛】本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题.3.如果0a b <<,那么下列不等式成立的是（ ）A.11a b< B. 2ab b < C. 2ab a -<- D. 2m m P UI W ==【答案】D 【解析】分析：利用作差法比较实数大小即得解. 详解：1a --（1b -）=a b ab-，因为0a b <<，所以0,0.a b ab - 所以11a b-<-.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)比较实数的大小，常用作差法和作商法，一般如果知道实数是正数，可以利用作商法，否则常用作差法.4.在等比数列{}n a 中，已知2171,16a a a =⋅=，则该数列的公比q =（ ） A. 2± B. 4± C. 2 D. 4【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质得到217416,a a a ⋅==进而解得44a =±，由等比数列的通项公式得到结果.【详解】等比数列{}n a 中，已知2217441,164a a a a a =⋅==⇒=±2422 2.a a q a =⇒=±故答案为：A.【点睛】这个题目考查了等比数列的性质以及通项公式的应用，属于基础题.5.下列命题正确的是（ ）A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。
重庆市重庆一中2013-2014学年高一下学期期中考试数学试卷(带解析)
重庆市重庆一中2013-2014学年高一下学期期中考试数学试卷（带解析）1．已知向量()()2,,,1m b m a ==，若b a //，则实数m 等于( )A ．0 【答案】C 【解析】试题分析：∵//a b ，∴2120,m m ⋅-== 考点：平面向量共线的坐标表示． 2．不等式1213-≤--x x 的解集是（ ） A ．324xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ B ．324x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C ．324x x x ⎧⎫>≤⎨⎬⎩⎭或 D ．{}2x x < 【答案】B 【解析】试题分析：∵1213-≤--x x ，∴31102x x -+≤-，即(43)(2)043022x x x x x --≤⎧-≤⇒⎨≠-⎩，∴不等式的解集为324xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭． 考点：分式不等式转化为一元二次不等式．3．执行如图所示的程序框图，如果输入2a =，那么输出的a 值为（ ）A ．4B ．16C ．256D ．3log 16 【答案】C 【解析】试题分析：根据程序框图的描述，是求使*3log 4,2()n a a n N >=∈成立的最小a 值，故选C ．考点：程序框图．4．等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点，若2=AB ，则AD BA ⋅=( ) A ．2- B ．2 C ．3 D ．3- 【答案】A 【解析】试题分析：如图建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(2,0),C(0,2),又∵D 是BC 的中点，∴D(1,1),∴(2,0),(1,1),21012BA AD BA AD =-=⋅=-⋅+⋅=-．考点：平面向量数量积的坐标表示． 5．下列命题正确的是（ ） A ．ac bc a b <⇒< B ．ba ab b a ><<则若,0 C ．当0x >且1x ≠时，1lg lg x x+2≥D a b < 【答案】D 【解析】 试题分析：A:当c<0时，错误；B ：22()()()(),00b a b a b a b a b a b a a b a b ab ab ab-+-+--==<<∴<，，∴b aa b<；C:当01x <<即lg 1x <时不成立；D ：正确． 考点：不等式的性质．6．若变量x ，y 满足约束条件82400x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则z ＝5y －x 的最大值是( )A ．16B ．30C ．24D ．8【答案】A 【解析】试题分析：画出如下图可行域，易得A(4,4),B(0,2),C(8,0),又∵z=5y-x ，即55x z y =+，∴问题等价于求直线55x zy =+在可行域内在y 轴上的最大截距，显然当x=4，y=4时，max 54416z =⋅-=．考点：线性规划求目标函数最值．7．设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状是 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 【答案】B 【解析】试题分析：∵cos cos sin b C c B a A +=，由正弦定理，∴2sin cos sin cos sin B C C B A +=，即2sin()sin B C A +=，又∵A B C π++=,∴2sin sin ,sin 1A A A ==，∴△ABC 是直角三角形．考点：1、正弦定理；2、三角恒等变形．8．已知2121,,,b b a a 均为非零实数，不等式011<+b x a 与不等式022<+b x a 的解集分别为集合M 和集合N ，那么“2121b b a a =”是“N M =”的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．既非充分又非必要条件 C ．充要条件 D ．必要非充分条件 【答案】D 【解析】试题分析：取11221,1a b a b ====-，则可得M=(,1)-∞-，N=(1,)-+∞，因此不是充分条件，而由M=N,显然可以得到2121b b a a =，∴是必要条件． 考点：1、不等式的基本性质；2、简易逻辑．9．在c b a ABC ,,,中∆分别是角A 、B 、C 的对边,若b c C a 2cos 2,1=+=且,则ABC ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(]3,1 B ．[2,4] C ．(]3,2 D ．[3,5] 【答案】C 【解析】试题分析：∵222221cos 22a b c b c C ab b +-+-==，∴221222b c c b b +-⋅+=，化简后可得：22()()13134b c b c bc ++=+≤+⋅，∴2b c +≤，又∵1b c a +>=，∴23a b c <++≤，即周长的范围为(]3,2．考点：1、余弦定理；2、基本不等式．10．对任意正数x ，y 不等式xy ky x k 221≥+⎪⎭⎫⎝⎛-恒成立，则实数k 的最小值是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A 【解析】试题分析：∵xyky x k 221≥+⎪⎭⎫⎝⎛-1()2k -≥，要使不等式恒成立，则12k >，min 1[()2k -==≥，∴1k ≥，∴k 的最小值是1．考点：基本不等式．11．已知等差数列{}n a 前15项的和15S =30，则1815a a a ++=___________． 【答案】6 【解析】试题分析：∵等差数列{}n a 的前15项的和1530S =,∴1151151530,42a a a a +⋅=+=，而1158818152,2,6a a a a a a a +=∴=++=．考点：等差数列的性质．12．下面框图所给的程序运行结果为S ＝28，如果判断框中应填入的条件是 “a k >”,则整数=a _______．【答案】7 【解析】试题分析：∵程序运行结果为S=28,而1+10+9+8=28，∴程序应该运行到k=7的时候停止，因此整数a=7． 考点：程序框图．13．已知非零向量b a,满足a b a b a 332=-=+，则向量b a +与b a -的夹角为 ． 【答案】3π 【解析】试题分析：∵||||a b a b +=-，∴22()()0a b a b a b +=-⇒⋅=，又∵23||||3a b a +=，∴22233()||||a b a b a +=⇒=，∴222222()()||||||3a b a b a b a b a +⋅-=-=-=，∴2222342||||cos (||)cos ||cos ||33a b a b a a a θθθ+⋅-⋅=⋅=⋅=，∴1cos ,23πθθ==．考点：平面向量的数量积．14．已知数集},,,,{321n a a a a A =，记和)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数为)(A M ．如当}4,3,2,1{=A 时，由321=+，431=+，53241=+=+，642=+，743=+，得5)(=A M ．若{1,2,3,,}A n =， 则)(A M = ．【答案】2n-3【解析】试题分析：根据题意分析，A 中最小的两个不同元素的和为1+2=3，最大的为n-1+n=2n-1，显然可以取遍从3到2n-1的所有整数，∴M(A)=2N-3． 考点：新定义问题15．设实数d c b a ,,,满足：1001≤≤≤≤≤d c b a ,则dcb a +取得最小值时，=+++dc b a ．【答案】121 【解析】 试题分析：∵1001≤≤≤≤≤d c b a ，∴111122005a c ab b d b bdd+≥++≥⋅=≥=， 上述等号成立的条件依次为：2,1,,100b c a d b d ====，∴a=1，b=c=10，d=100，a+b+c+d=121．考点：1、基本不等式；2、不等式的放缩．16．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足53cos =A ，3AB AC ⋅=． (1)求ABC ∆的面积；(2)若6b c +=，求a 的值．【答案】（1）=2ABC S △；（2）a = 【解析】试题分析：（1）根据满足53cos =A ，3AB AC ⋅=，可以求得bc=5，sinA=45，利用三角形的面积计算公式可得1=sin 22ABC S bc A =△；（2）由（1），bc=5，结合b+c=6，易得b=1，c=5或b=5，c=1，从而根据余弦定理2222cos 20a b c bc A =+-=,即可求得a =．（1）∵53c o s =A ，∴54cos 1sin 2=-=A A ， 又由3A BA C ⋅=,得cos 3,bc A =5bc ∴=，1sin 22ABC S bc A ∆∴==；（2）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=，a ∴=．考点：1、平面向量的数量积；2、三角形面积计算；3、余弦定理．17．已知关于x 的不等式0232>+-x ax 的解集为{}b x x x ><或1|．(1)．求实数a ，b 的值； (2)．解关于x 的不等式0>--bax cx (c 为常数）． 【答案】（1）a=1，b=2；（2）当c>2时解集为{x|x>c 或x<2}；当c ＝2时解集为{x|x≠2，x ∈R}；当c<2时解集为{x|x>2或x<c}． 【解析】 试题分析：（1）根据一元二次方程与一元二次不等式的关系，根据题意可以得到1，b 为方程2320ax x -+=的两根且a>0，根据韦达定理可以得到方程组231b a b a ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，从而求得a=1，b=2；（2）原不等式等价于(x －c)(x －2)>0，根据一元二次不等式的解法，对c 进行分类讨论，即可得到当c>2时解集为{x|x>c 或x<2}；当c ＝2时解集为{x|x≠2，x ∈R}；当c<2时解集为{x|x>2或x<c}．（1）由题知1，b 为方程2320ax x -+=的两根且a>0，即231b a b a ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， ∴a ＝1，b ＝2；（2）不等式等价于(x －c)(x －2)>0，∴当c>2时解集为{x|x>c 或x<2}；当c ＝2时解集为{x|x≠2，x ∈R}；当c<2时解集为{x|x>2或x<c}．考点：1、一元二次不等式；2、分式不等式转化为一元二次不等式．18．在c b a ABC ,,,中∆分别是角A 、B 、C 的对边，()()B C n c a b m cos ,cos ,2,-=-=，且n m ⊥．(1)．求角B 的大小；(2)．求sin A ＋sin C 的取值范围． 【答案】（1）B=3π；（2）]3,23(． 【解析】试题分析：（1）由m n ⊥，可得bcos (2)cos C a c B =-，等式中边角混在了一起，需要进行边角的统一，根据正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=，进一步变形化简可得1cos 2B =，∴B 3π=；（2）由（1）可得π32=+C A ，即23C A π=-，因此可以将sinA+sinC进行三角恒等变形转化为关于A的函数，即A A A A C A c o s 23s i n 23)32s i n (s i n s i n s i n +=-+=+π)6(s i n 3π+=A，从而可以得到sinA+sinC 取值范围是]3,23(． （1） 由m n ⊥，得,cos )2(cos B c a C b -=.cos 2cos cos B a B c C b =+∴ 由正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=，.cos sin 2)sin(B A C B =+∴又,A C B -=+π.cos sin 2sin B A A =∴又.21cos ,0sin =∴≠B A 又.3),,0(ππ=∴∈B B ；∵π=++C B A ，∴π32=+C A ，∴A A A A C A cos 23sin 23)32sin(sin sin sin +=-+=+π)6(sin 3π+=A ，∵320π<<A ，∴πππ6566<+<A ，∴1)6(sin 21≤+<πA ，∴3sin sin 23≤+<C A ． 故sin A ＋sin C 的取值范围是]3,23(． 考点：1、平面向量垂直的坐标表示；2、三角恒等变形．19．已知数列的等比数列公比是首项为41,41}{1==q a a n ，设数列{}n b 满足*)(log 3241N n a b n n ∈=+．(1)求数列{}n n b a +的前n 项和为n S ；(2)若数列n n n n b a c c ⋅=满足}{，若1412-+≤m m c n 对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()2133)41(1-+-=n n S nn ；（2）1≥m 或5-≤m ． 【解析】试题分析：（1）根据题意可以得到等比数列}{n a 的通项公式为)()41(*N n a n n ∈=，∵2log 341-=n n a b ，∴23-=n b n ，因此}{n b 是1为首项3为公差的等差数列，从而可以求得}{n n b a +的前n 项和n S ；（2）1412-+≤m m c n 对一切正整数n 恒成立，等价于141)(2max -+≤m m c n ，可以得到数列}{n c 从第二项起是递减的，而4112==c c ，因此问题等价于求使不等式141412-+≤m m 成立的m 的取值范围，从而得到1≥m 或5-≤m ． （1）由题意知，)()41(*N n a n n ∈=，又∵2log 341-=n n a b ，∴23-=n b n∴()23)41(-+=+n b a n n n ，∴()2133)41(1-+-=n n S n n ； （2）由（1）知，*)(23,)41(N n n b a n n n ∈-==*)(,)41()23(N n n c nn ∈⨯-=∴n n n n n n c c )41()23()41()13(11⋅--⋅+=-++ *)(,)41()1(91N n n n ∈⋅-=+∴当n=1时，4112==c c ；当2n ≥时，n n c c <+1，即n c c c c c <⋯<<=4321；∴当n=1时，n c 取最大值是41．又1412-+≤m m c n 对一切正整数恒成立，∴141412-+≤m m ； 即510542-≤≥≥-+m m m m 或得 ．考点：1、等差、等比数列的前n 项和；2、数列单调性的判断；3、恒成立问题的处理方法．20．如图，公园有一块边长为2的等边△ABC 的边角地，现修成草坪， 图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上． (1)．设AD=x （x≥0），DE=y ，求用x 表示y 的函数关系式,并求函数的定义域；(2)．如果DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又应在哪里？请予证明．【答案】（1）[]()2,1,2422∈-+=x xx y ；（2）如果DE 是水管，DE 的位置在AD=AE=2处，如果DE 是参观路线，则DE 为AB 中线或AC 中线时，DE 最长，证明过程详见解析． 【解析】试题分析：（1）在△ADE 中，利用余弦定理可得AE x AE x y ⋅-+=222，又根据面积公式可得2=⋅AE x ，消去AE 后即可得到y 与x 的函数关系式，又根据⎩⎨⎧≤≤≤≤2020AE AD 可以得到x的取值范围；（2）如果DE 是水管，则问题等价于当]2,1[∈x 时，求2422-+=xx y 的最小值，利用基本不等式22222422=-⋅≥-+xx 即可求得当2=x 时，y 有最小值为2，如果DE 是参观路线，则问题等价于问题等价于当]2,1[∈x 时，求2422-+=x x y 的最小值，根据函数2422-+=xx y 在[1,2]上的单调性，可得当x=1或2时，y 有最小值3．（1）在△ADE 中，由余弦定理：60cos 2222⋅⋅-+=AE x AE x y ⇒AE x AE x y ⋅-+=222①又∵ 60sin 212321⋅⋅===∆∆AE x S S ABC ADE ⇒2=⋅AE x ② ②代入①得2)2(222-+=xx y （y ＞0）, ∴2422-+=xx y ， 由题意可知212020≤≤⇒⎩⎨⎧≤≤≤≤x AE AD ，所以函数的定义域是[]2,1，C[]()2,1,2422∈-+=∴x xx y ； （2）如果DE 是水管=y 22222422=-⋅≥-+x x , 当且仅当224x x =，即x ＝2时“＝”成立，故DE ∥BC ，且DE ＝2． 如果DE 是参观线路，记()224xx x f +=，可知函数在[1，2]上递减，在[2，2]上递增， 故()()()521max ===f f x f ∴y max=DE 为AB 中线或AC 中线时，DE 最长．考点：1、平面向量的数量积；2、三角形面积计算．21．设正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，向量()()2,1,1,+==n n a b s a ，（*N n ∈）满足b a //．(1)求数列}{n a 的通项公式； (2)设数列}{n b 的通项公式为n b n n a a t =+（*N t ∈），若1b ，2b ，m b （*,3N m m ∈≥）成等差数列，求t 和m 的值；(3)．如果等比数列{}n c 满足11a c =，公比q 满足102q <<，且对任意正整数k ，()21+++-k k k c c c 仍是该数列中的某一项，求公比q 的取值范围．【答案】（1）12-=n a n ；（2）⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==4m 5t 5m 3t 7m 2t ，，；（3）12-=q ． 【解析】试题分析：（1）由//可以得到12+=n n a S ，即2n )1(4+=n a S ，利用⎩⎨⎧=≥-=-)1()2(11n S n S S a n n n ，可得)2(21≥=--n a a n n ，即}{n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，从而求得通项公式12-=n a n ；（2）由)3(,,21≥m b b b m 是等差数列可得m b b b +=122，即t m m t t +--++=+⨯121211332，整理得143-+=t m ，根据m,t 是正整数，所以t-1只可能是1,2,4，从而解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==4m 5t 5m 3t 7m 2t ，，； （3）易知1-=n n q c ，因为()21+++-k k k c c c 仍是该数列中的某一项，所以()()21111q q q q q q k k k k --=+--+-是该数列中的某一项，又n c 是q 的几次方的形式，所以21q q --也是q 的几次方的形式，而210<<q ，所以11412<--<q q ，所 以21q q --只有可能是q ，⎪⎭⎫ ⎝⎛<412q ，所以q q q =--21，所以12-=q ． （1）∵b a //，∴12+=n n a S ，∴2)1(4+=n n a S ①当n=1，有()2111122+==a a S ，}{n a 是正项数列，∴0>n a ∴11=a 当2≥n ，有()21114+=--n n a S ②， ①-②，得()()0211=--+--n n n n a a a a ， 0>n a ，∴21=--n n a a ， ∴数列}{n a 以11=a ，公差为2的等差数列，12)1(21-=-+=n n a n ；（2）易知tn n b n +--=1212，∵)3(,,21≥m b b b m 是等差数列， 即m b b b +=122，∴t m m t t +--++=+⨯121211332，整理得143-+=t m ， ∵m,t 是正整数，所以t 只可能是2,3,5，∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==4m 5t 5m 3t 7m 2t ，，； 易知1-=n n q c ，∵()21+++-k k k c c c ()()21111q q q q q qk k k k --=+-=-+-仍是该数列中的某一项，记为第t 项)(*N t ∈，∴()1211--=--t k q q q q，即k 21-=--t q q q ，∵210<<q ，∴11412<--<q q ， 141<<-k t q ，又∵210<<q ，∴只有t-k=1，即q q q =--21，解得1-2q = 考点：1、数列的通项公式；2、数列综合．。
重庆第一中学数学高一下期中经典练习题
一、选择题1．(0分)[ID ：12427]已知三棱锥A BCD -中，5AB CD ==，2==AC BD ，3AD BC ==，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ）A ．32π B ．24πC ．6πD ．6π2．(0分)[ID ：12422]已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ） A ．4330x y --= B ．3430x y --= C ．3440x y --=D ．4340x y --=3．(0分)[ID ：12416]水平放置的ABC 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（ ）A 2B ．17C ．2D ．84．(0分)[ID ：12398]已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),af 2b (log 5),c (2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<5．(0分)[ID ：12379]已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的面积最小值为2，则k 的值为（ ）A ．3B ．212C ．22D ．26．(0分)[ID ：12375]直线20x y ++=截圆222210x y x y a ++-+-=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（ ） A ．－3 B ．－4 C ．－6 D ．367．(0分)[ID ：12344]用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形8．(0分)[ID ：12394]如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A ．B ．C ．D ．9．(0分)[ID ：12392]设有两条直线m ，n 和三个平面α，β，γ，给出下面四个命题： ①m αβ=，////n m n α⇒，//n β ②αβ⊥，m β⊥，//m m αα⊄⇒；③//αβ，//m m αβ⊂⇒； ④αβ⊥，//αγβγ⊥⇒ 其中正确命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．(0分)[ID ：12390]已知实数,x y 满足250x y ++=，那么22x y +的最小值为（ ） A ．5B ．10C ．25D ．21011．(0分)[ID ：12367]如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2a C 2aD ．22a 12．(0分)[ID ：12366]已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( ) A 15B 5C ．64D 10 13．(0分)[ID ：12380]如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π14．(0分)[ID ：12339]某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A ．1763B ．1603C ．1283D ．32 15．(0分)[ID ：12335]已知平面αβ⊥且l αβ=，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）.A ．若//m α且//m β，则//m lB ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥C ．若M m ∈且//m l ，则//m βD ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥二、填空题16．(0分)[ID ：12479]光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为__________．17．(0分)[ID ：12461]如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为B 1C 1中点，连接A 1B ，D 1M ，则异面直线A 1B 和D 1M 所成角的余弦值为________________________．18．(0分)[ID ：12457]点(5,2)到直线()1(21)5m x m y m -+-=-的距离的最大值为________.19．(0分)[ID ：12519]已知点1232M N （，），（，），点F 是直线l:3y x =-上的一个动点，当MFN ∠最大时，过点M ，N ，F 的圆的方程是__________.20．(0分)[ID ：12469]已知动点,A B 分别在x 轴和直线y x =上，C 为定点()2,1，则ABC ∆周长的最小值为_______.21．(0分)[ID ：12455]已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱1BB 的中点，则点1B 到平面ADE 的距离为__________.22．(0分)[ID ：12446]底面边长为2的正三棱柱111ABC A B C -被不平行于底面的平面MNP 所截，其中3AM =，4BN =，5PC =，则多面体ABC MNP -体积为________ 23．(0分)[ID ：12445]正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上.若163PABCDV ，则球O 的体积是______． 24．(0分)[ID ：12441]如上图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1AB CC 、的中点，1MB P ∆的顶点P 在棱1CC 与棱11C D 上运动，有以下四个命题：A ．平面1MB P 1ND ⊥； B ．平面1MB P ⊥平面11ND A ；C ．∆1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值；D ．∆1MB P 在侧面11D C CD 上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是__________. 25．(0分)[ID ：12456]已知四面体ABCD 的外接球球心O 在棱CD 上，AB=3，CD=2，则A 、B 两点在四面体ABCD 的外接球上的球面距离是________.三、解答题26．(0分)[ID ：12595]如图，在三棱锥S ABC -中，SAC ∆为等边三角形，4AC =，43BC =，BC AC ⊥，3cos 4SCB ∠=-，D 为AB 的中点．（1）求证：AC SD ⊥；（2）求直线SD 与平面SAC 所成角的大小．27．(0分)[ID ：12585]如图，ABCD 是正方形，O 是该正方体的中心，P 是平面ABCD 外一点，PO ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点.（1）求证：//PA 平面BDE ； （2）求证：BD ⊥平面PAC .28．(0分)[ID ：12572]如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，AC 与BD 交于点O ，E ，F 分别为AB ，PC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面POD ．29．(0分)[ID ：12564]四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90BCD ∠=︒，22AB AD DC ===.PAD △ 为正三角形，二面角P -AD -C 的大小为23π.（1）线段AD 的中点为M.求证：平面PMB ⊥平面ABCD ； （2）求直线BA 与平面P AD 所成角的正弦值.30．(0分)[ID ：12581]已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若OM ON＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．D3．B4．B5．D6．A7．A8．A9．B10．A11．D12．D13．A14．B15．D二、填空题16．4x－5y+1=0【解析】【分析】先求P点关于直线x+y+1=0对称点M再根据两点式求MQ方程即得结果【详解】因为P点关于直线x+y+1=0对称点为所以反射光线方程为【点睛】本题考查点关于直线对称问17．【解析】【分析】连接取的中点连接可知且是以为腰的等腰三角形然后利用锐角三角函数可求出的值作为所求的答案【详解】如下图所示：连接取的中点连接在正方体中则四边形为平行四边形所以则异面直线和所成的角为或其18．【解析】【分析】先判断过定点可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离从而可得结果【详解】化简可得由所以过定点点到直线的距离的最大值就是点与点的距离为故答案为【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两19．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设圆心坐标为C（2a）当∠MFN最大时过点MNF的圆与直线y=x-3相切∴∴a=1或9a=1时r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时r=∠MCN＜9020．【解析】【分析】点C关于直线y=x的对称点为（12）点C关于x轴的对称点为（2﹣1）三角形PAB周长的最小值为（12）与（2﹣1）两点之间的直线距离【详解】点C关于直线y=x 的对称点为（12）点C关21．【解析】【分析】点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于证得平面利用等面积法求得点到平面的距离也即点到平面的距离【详解】由于是的中点故点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于由于故平面在直角三角22．【解析】【分析】将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分相加求和即可【详解】如图将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分其中四棱锥的高为为梯形则故多面体体积为故答案为：【点睛】本题主要考查了多面体体积的求解方法根据23．【解析】【分析】正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上则棱锥的高等于球的半径由此可由棱锥体积求得球的半径从而得球体积【详解】∵正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上∴球心是正方形对角线交点是棱锥24．【解析】由正方体的几何性质对4个命题进行判断对于A当动点P与点重合时以等腰三角形与不垂直所以不能得出平面A为假命题；对于B易证所以平面所以平面⊥平面故B为真命题；对于C在底面上的射影图形的面积为定值25．【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O为CD的中点且OA＝OB＝OC ＝OD进而在△A0B中利用余弦定理求得cos∠AOB的值则∠AOB可求进而根据弧长的计算方法求得答案【详解】解：球心三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积. 【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，则2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=， 上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z++=++=++=，2226x y z ++=6R =， 因此，此球的体积为346632ππ⎛⨯= ⎝⎭.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.2．D解析：D 【解析】设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01tan 2k α==，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率22tan 4tan 21tan 3k ααα===-，又经过点（1,0），所以直线方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=，选D.3．B解析：B 【解析】 【分析】依题意由111A B C △的面积为114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ． 【详解】依题意，因为111A B C △的面积为所以11111sin 452AC B C ︒=⨯⋅=111222B C ⨯⨯⨯，解得114B C =， 所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，由勾股定理得：AB ====故选B ． 【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半.4．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.5．D【解析】 【分析】当且仅当PC 垂直于()400kx y k ++=>时，四边形PACB 的面积最小，求出PC 后可得最小面积，从而可求k 的值. 【详解】圆C 方程为()2211x y +-=，圆心()0,1C ，半径为1．因为PA ，PB 为切线，221PC PA ∴=+且1=2122PACB S PA PA ⨯⨯⨯==四边形．∴当PA 最小时，PACB S 四边形最小，此时PC 最小且PC 垂直于()400kx y k ++=>．又min PC =，2222+1⎛⎫∴=，2k ∴=，故选D. 【点睛】圆中的最值问题，往往可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档题.6．A解析：A 【解析】 【分析】求出圆心坐标和半径，根据圆的弦长公式，进行求解即可. 【详解】由题意，根据圆的方程222210x y x y a ++-+-=，即22(1)(1)2x y a ++-=-， 则圆心坐标为(1,1)-，半径r =又由圆心到直线的距离为d ==所以由圆的弦长公式可得4=，解得3a =-，故选A. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程，求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7．A解析：A 【解析】【分析】【详解】画出截面图形如图显然A正三角形C正方形：D正六边形可以画出三角形但不是直角三角形；故选A．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．故可选A．8．A解析：A【解析】【分析】利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意，从而可得答案．【详解】对于B 项，如图所示，连接CD ，因为AB ∥CD ，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ ，又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ ， 同理可证，C ，D 项中均有AB ∥平面MNQ .故选：A.【点睛】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，属于中档题．9．B解析：B【解析】【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】对于选项①，,//m n m αβ⋂=不能得出,////n n αβ，因为n 可能在α或β内，故①错误；对于选项②，由于,,m m αββα⊥⊥⊄，则根据直线与平面平行的判定，可得//m α，故②正确；对于选项③，由于//αβ，m α⊂，则根据面面平行的性质定理可得//m β，故③正确； 对于选项④，由于,αβαγ⊥⊥，则,βγ可能平行也可能相交，故④错误.故选：B【点睛】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，考查学生的空间想象能力和推理判断能力.10．A解析：A【解析】22x y +(,)x y 到坐标原点的距离，又原点到直线250x y ++=的距离为225521d ==+22x y +5 A.11．D解析：D【解析】【分析】设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可.【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，则ABEG 四点共面，且平面1//A BGE 平面1B HI ，又1//B F 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，11222HI CD a ∴==， 即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是22a ． 故选D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.12．D解析：D【解析】【分析】取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，在1BNC ∆中，利用余弦定理，即可求解．【详解】 由题意，取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，设正三棱柱的各棱长为2,则115,22,3C N BC BN ===设直线AM 与1C N 所成角为θ，在1BNC ∆中，由余弦定理可得222(5)(22)(3)10cos 42522θ+-==⨯⨯， 即异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值为104，故选D ．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．13．A解析：A【解析】 【分析】【详解】由几何体的三视图分析可知，该几何体上部为边长为2的正方体，下部为底面半径为1、高为2的半圆柱体，故该几何体的表面积是20＋3π，故选A.考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积. 14．B解析：B【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是32116042433-⨯⨯=，选B. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．15．D解析：D【解析】【分析】根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可.【详解】选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确；选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确；选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D .【点睛】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.二、填空题16．4x －5y+1=0【解析】【分析】先求P 点关于直线x+y+1=0对称点M 再根据两点式求MQ 方程即得结果【详解】因为P 点关于直线x+y+1=0对称点为所以反射光线方程为【点睛】本题考查点关于直线对称问解析：4x －5y +1=0【解析】【分析】先求P 点关于直线x+y+1=0对称点M ，再根据两点式求 MQ 方程，即得结果.【详解】因为P 点关于直线x+y+1=0对称点为(4,3)M --， 所以反射光线方程为13:1(1),451014MQ y x x y +-=--+=+. 【点睛】本题考查点关于直线对称问题，考查基本分析求解能力，属基本题. 17．【解析】【分析】连接取的中点连接可知且是以为腰的等腰三角形然后利用锐角三角函数可求出的值作为所求的答案【详解】如下图所示：连接取的中点连接在正方体中则四边形为平行四边形所以则异面直线和所成的角为或其【解析】【分析】 连接1CD 、CM ，取1CD 的中点N ，连接MN ，可知11//A B CD ，且1CD M ∆是以1CD 为腰的等腰三角形，然后利用锐角三角函数可求出1cos CD M ∠的值作为所求的答案．【详解】如下图所示：连接1CD 、CM ，取1CD 的中点N ，连接MN ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D BC ，则四边形11A BCD 为平行四边形， 所以11//A B C D ，则异面直线1A B 和1D M 所成的角为1CD M ∠或其补角，易知1111190B C D BC C CDD ∠=∠=∠=，由勾股定理可得152CM D M ==，12CD N 为1CD 的中点，则1MN CD ⊥，在1Rt D MN ∆中，11110cos D N CD M D M ∠==， 因此，异面直线1A B 和1D M 1010 【点睛】 本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，求解异面直线所成的角一般利用平移直线法求解，遵循“一作、二证、三计算”，在计算时，一般利用锐角三角函数的定义或余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．18．【解析】【分析】先判断过定点可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离从而可得结果【详解】化简可得由所以过定点点到直线的距离的最大值就是点与点的距离为故答案为【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两 解析：13【解析】【分析】先判断()()1215m x m y m -+-=-过定点()9,4-，可得点(5,2)到直线()()1215m x m y m -+-=-的距离的最大值就是点(5,2)与点()9,4-的距离，从而可得结果.【详解】化简()()1215m x m y m -+-=-可得m ()()2150x y x y +--+-=，由2109504x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩， 所以()()1215m x m y m -+-=-过定点()9,4-，点(5,2)到直线()()1215m x m y m -+-=-的距离的最大值就是点(5,2)与点()9,4-==故答案为【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将求最大值的问题转化成了两点间的距离的问题来解决，转化巧妙. 19．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设圆心坐标为C （2a ）当∠MFN 最大时过点MNF 的圆与直线y=x-3相切∴∴a=1或9a=1时r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时r=∠MCN ＜90解析：22(2)(1)2x y -+-=【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意，设圆心坐标为C （2，a ），当∠MFN 最大时，过点M ，N ，F 的圆与直线y=x-3相切．=，∴a=1或9，a=1时，，∠MCN=90°，∠MFN=45°，a=9时，r=MCN ＜90°，∠MFN ＜45°，则所求圆的方程为22(2)(1)2x y -+-=考点：圆的标准方程 20．【解析】【分析】点C 关于直线y=x 的对称点为（12）点C 关于x 轴的对称点为（2﹣1）三角形PAB 周长的最小值为（12）与（2﹣1）两点之间的直线距离【详解】点C 关于直线y=x 的对称点为（12）点C 关【解析】【分析】点C 关于直线y=x 的对称点为C '（1，2），点C 关于x 轴的对称点为C ''（2，﹣1）．三角形PAB 周长的最小值为C '（1，2）与C ''（2，﹣1）两点之间的直线距离．【详解】点C 关于直线y=x 的对称点为C '（1，2），点C 关于x 轴的对称点为C ''（2，﹣1）．三角形PAB 周长的最小值为C '（1，2）与C ''（2，﹣1）两点之间的直线距离，|C C '''（2，﹣1）．【点睛】本题考查点到直线的距离公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．【解析】【分析】点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于证得平面利用等面积法求得点到平面的距离也即点到平面的距离【详解】由于是的中点故点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于由于故平面在直角三角【解析】【分析】点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，证得BF ⊥平面ADE ，利用等面积法求得点B 到平面ADE 的距离，也即点1B 到平面ADE 的距离.【详解】由于E 是1BB 的中点，故点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，由于BF AD ⊥，AD AE E ⋂=，故BF ⊥平面ADE .在直角三角形ABE 中，11,,2AB BE AE ===，所以1122AB BE AE BF ⋅⋅=⋅⋅,解得BF =.【点睛】本小题主要考查点到面的距离，考查等面积法求高，考查线面垂直的证明，属于基础题. 22．【解析】【分析】将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分相加求和即可【详解】如图将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分其中四棱锥的高为为梯形则故多面体体积为故答案为：【点睛】本题主要考查了多面体体积的求解方法根据 解析：3【解析】【分析】将多面体ABC MNP -分为四棱锥N ACPM -与三棱锥N ABC -两部分相加求和即可.【详解】如图, 将多面体ABC MNP -分为四棱锥N ACPM -与三棱锥N ABC -两部分. 其中四棱锥N ACPM -的高为2sin 603⨯︒=.ACPM 为梯形. 则()3521833323N ACPM V -+⨯=⨯=123434323N ABC V -=⨯=. 故多面体ABC MNP -834343+=故答案为：3【点睛】本题主要考查了多面体体积的求解方法,根据多面体的特征分为两个棱锥计算即可.属于中档题.23．【解析】【分析】正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上则棱锥的高等于球的半径由此可由棱锥体积求得球的半径从而得球体积【详解】∵正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上∴球心是正方形对角线交点是棱锥 解析：323π 【解析】【分析】正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，则棱锥的高等于球的半径，由此可由棱锥体积求得球的半径，从而得球体积．【详解】∵正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，∴球心O 是正方形ABCD 对角线交点，PO 是棱锥的高，设球半径为R ，则2AB R =，22(2)2ABCD S R R ==，211162333P ABCD ABCD V S PO R R -==⨯⨯=，2R =， ∴3344322333V R πππ==⨯=球． 故答案为：323π． 【点睛】本题考查球的体积，考查正四棱锥与半球的截接问题．解题关键是确定球半径与正四棱锥中的线段长之间的关系．24．【解析】由正方体的几何性质对4个命题进行判断对于A 当动点P 与点重合时以等腰三角形与不垂直所以不能得出平面A 为假命题；对于B 易证所以平面所以平面⊥平面故B 为真命题；对于C 在底面上的射影图形的面积为定值 解析：BC【解析】由正方体的几何性质对4个命题进行判断，对于A ，当动点P 与点1D 重合时，MNP ∆以等腰三角形，PM 与1ND 不垂直，所以不能得出平面11MB P ND ⊥，A 为假命题；对于B ，易证11111ND MB MB A D ⊥⊥，，所以1MB ⊥平面11ND A ，所以平面1MB P ⊥平面11ND A ，故B 为真命题；对于C ，∆ 1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值，因为1MB P ∆在底面ABCD 的射影是三角形，底边是MB ，点P 在底面的射影在CD 上，到MB 的距离不变，若正方体棱长为a 时，则射影面积为214a 为定值，所以C 为真命题；对于D ，当P 点与点1C 重合时，则点1B 与点P 的投影重合，此时∆ 1MB P 在侧面11D C CD 上的射影图形是线段，不是三角形，故D 是假命题。
重庆市数学高一下期中测试题
一、选择题1．(0分)[ID ：12426]已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥2．(0分)[ID ：12412]一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是（ ）．A ．满足条件的截面不存在B ．截面是一个梯形C ．截面是一个菱形D ．截面是一个三角形3．(0分)[ID ：12404]已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。
其中正确的是（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（2）（4）4．(0分)[ID ：12376]设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//；②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③5．(0分)[ID ：12355]已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．4x 2y 5+=B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-= 6．(0分)[ID ：12353]已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．2B ．32C 322D ．227．(0分)[ID ：12348]已知圆O ：2224110x y x y ++--=，过点()1,0M 作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为（ ）A ．42B ．24C ．212D ．6 8．(0分)[ID ：12346]已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M到直线l 的最大距离为（ ）A ．5B ．6C ．35D ．419．(0分)[ID ：12392]设有两条直线m ，n 和三个平面α，β，γ，给出下面四个命题： ①m αβ=，////n m n α⇒，//n β ②αβ⊥，m β⊥，//m m αα⊄⇒；③//αβ，//m m αβ⊂⇒；④αβ⊥，//αγβγ⊥⇒其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 10．(0分)[ID ：12387]α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）①若α//β，m ⊂α，则m//β； ②若m//α，n ⊂α，则m//n ；③若α⊥β，α∩β=n ，m ⊥n ，则m ⊥β ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β. A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④11．(0分)[ID ：12364]已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ） A ．[]4,10 B ．[]3,5 C ．[]8,10 D ．[]6,1012．(0分)[ID ：12403]如图在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点. 设点P 在线段CC 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sinα的取值范围是( )A ．[√33,1]B ．[√63,1] C ．[√63,2√23] D ．[2√23,1] 13．(0分)[ID ：12332]长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( )A ．72πB ．56πC ．14πD ．64π14．(0分)[ID ：12361]如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ；②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值；④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等，A ．4B ．3C ．2D ．115．(0分)[ID ：12362]如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题16．(0分)[ID ：12457]点(5,2)到直线()1(21)5m x m y m -+-=-的距离的最大值为________.17．(0分)[ID ：12528]《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________.18．(0分)[ID ：12527]如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是_____19．(0分)[ID ：12510]若圆的方程为2223()(1)124k x y k +++=-，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为 、 ． 20．(0分)[ID ：12485]三棱锥P ABC -中，5PA PB ==，2AC BC ==，AC BC ⊥，3PC =，则该三棱锥的外接球面积为________.21．(0分)[ID ：12452]将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与点(6,8)-重合，则与点(4,2)-重合的点是______.22．(0分)[ID ：12495]正四棱锥S -ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为______．23．(0分)[ID ：12472]已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为________.24．(0分)[ID ：12482]已知圆225x y +=和点()1,2A ，则过点A 的圆的切线方程为______25．(0分)[ID ：12435]已知直线1:1l y x =-上有两个点11(,)A x y 和22(,)B x y , 且12,x x 为一元二次方程2610x x -+=的两个根, 则过点,A B 且和直线2:1l x =-相切的圆的方程为______________.三、解答题26．(0分)[ID ：12625]如图，在多面体ABCDM 中，BCD ∆是等边三角形，CMD ∆是等腰直角三角形，90CMD ∠=︒，平面CMD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，点O 为CD 的中点.（1）求证：//OM 平面ABD ；（2）若2AB BC ==，求三棱锥M ABD -的体积.27．(0分)[ID ：12608]如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ,,E F 是线段AB 上的两点,且DE AB ⊥,CF AB ⊥,12AB =,5AD =,42BC =,4DE =.现将△ADE ,△CFB 分别沿DE ,CF 折起,使两点,A B 重合于点G ,得到多面体CDEFG （1）求证：平面DEG ⊥平面CFG ;（2）求多面体CDEFG 的体积28．(0分)[ID ：12594]如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，4524AB CD BAD AB CD ∠=︒==∥，，，点E 为AB 的中点.将ADE ∆沿DE 折起，使点A 到达P 的位置，得到如图2所示的四棱锥P EBCD -，点M 为棱PB 的中点.（1）求证：PD MCE ∥平面；（2）若PDE EBCD ⊥平面平面，求三棱锥M BCE -的体积.29．(0分)[ID ：12618]如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2，0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1，1)在AD 边所在直线上．求：(1) AD 边所在直线的方程；(2) DC 边所在直线的方程．30．(0分)[ID ：12616]如图所示的等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，12AB AD BC CD a ====，E 为CD 中点．若沿AE 将三角形DAE 折起，并连接DB ，DC ，得到如图所示的几何体D-ABCE ，在图中解答以下问题：DC平面GBE；（1）设G为AD中点，求证：//⊥．（2）若平面DAE⊥平面ABCE，且F为AB中点，求证：DF AC【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．C3．C4．B5．B6．B7．B8．A9．B10．B11．D12．B13．C14．B15．B二、填空题16．【解析】【分析】先判断过定点可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离从而可得结果【详解】化简可得由所以过定点点到直线的距离的最大值就是点与点的距离为故答案为【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两17．【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形且平面可得因为为直角三角形可得所以因此结合几何关系可求得外接球的半径代入公式即可求球的表面积【详解】本题主要考查空间几何体由题意得该四面体的四个18．【解析】设球半径为则故答案为点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体锥体或台体则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出则常19．【解析】试题分析：圆的面积最大即半径最大此时所以圆心为半径为1考点：圆的方程20．【解析】【分析】由已知数据得两两垂直因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和【详解】∵∴∴又以作长方体则长方体的外接球就是三棱锥的外接球设外接球半径为则球表面积为故答案为：【点睛】本题考查球21．【解析】【分析】先求得点的垂直平分线的方程然后根据点关于直线对称点的求法求得的对称点由此得出结论【详解】已知点点可得中点则∴线段AB的垂直平分线为：化为设点关于直线的对称点为则解得∴与点重合的点是故22．【解析】如图过S作SO1⊥平面ABCD由已知=1在Rt△SO1C中∵SC＝∴∴O1S＝O1A＝O1B＝O1C＝O1D故O1是过SABCD点的球的球心∴球的半径为r＝1∴球的体积为点睛：与球有关的组合23．28【解析】【分析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：故答案为：28【点睛】本题主要考查棱台的体积公式及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力24．【解析】【分析】先由题得到点A在圆上再设出切线方程为利用直线和圆相切得到k 的值即得过点A的圆的切线方程【详解】因为所以点在圆上设切线方程为即kx-y-k+2=0因为直线和圆相切所以所以切线方程为所以25．或【解析】【分析】由题意可知所以中点坐标为圆心在直线的中垂线上故过圆心满足直线设圆心的坐标为由圆与直线相切故由弦长公式可得圆心到直线的距离为由勾股定理可知解得：当时；当时得解【详解】上有两个点和为一三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确.考点：空间点线面位置关系．2．C解析：C【解析】【分析】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得即截面为四边形PDEF ，且四边形PDEF 为菱形即可得到答案.【详解】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得PD ∥VB 且12PD VB =，EF ∥VB 且12EF VB =，所以PD ∥EF ，PD EF =， 所以四边形PDEF 为平行四边形，又VB ⊄平面PDEF ，PD ⊂平面PDEF ,由线面平行 的判定定理可知，VB ∥平面PDEF ，AC ∥平面PDEF ，即截面为四边形PDEF ，又1122DE AC VB PD ===，所以四边形PDEF 为菱形，所以选项C 正确. 故选：C【点睛】本题考查线面平行的判定定理的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.3．C解析：C【解析】【分析】根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可得到答案.【详解】如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；如图（2），直线,a b到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图（3），直线,a b所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，综上可知（1）（2）（4）是正确的，故选C.【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位置关系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题. 4．B解析：B【解析】【分析】【详解】①a∥α，a⊥b⇒b与α平行，相交或b⊂α，故①错误；②若a ∥b ，a ⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得b ⊥α，故②正确； ③a ⊥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故③错误；④若a ⊥α，b ⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a ∥b ，故④正确． 故选B ．5．B解析：B【解析】【分析】【详解】因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等，=．即：221244x x y y +-++- 229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=．故选B ．6．B解析：B【解析】【分析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -,所以圆心为()0,0.=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=. 又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值.223416,故m =故选：B【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型. 7．B解析：B【解析】【分析】设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==，12S AC BD =⋅=，利用均值不等式得到最值. 【详解】 2224110x y x y ++--=，即()()221216x y ++-=，圆心为()1,2O -，半径4r =.()1,0M 在圆内，设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==.1122S AC BD =⋅=⨯=2212161624d d ≤-+-=，当22121616d d -=-，即122d d ==时等号成立.故选：B . 【点睛】本题考查了圆内四边形面积的最值，意在考查学生的计算计算能力和转化能力.8．A解析：A 【解析】 【分析】计算圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，最大距离为MN ，得到答案. 【详解】圆M ：2220x y y =++，即()2211x y ++=，圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，故圆心M 到直线l 的最大距离为5MN =.故选：A . 【点睛】本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点()3,5N -是解题的关键.9．B解析：B 【解析】 【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】对于选项①，,//m n m αβ⋂=不能得出,////n n αβ，因为n 可能在α或β内，故①错误；对于选项②，由于,,m m αββα⊥⊥⊄，则根据直线与平面平行的判定，可得//m α，故②正确；对于选项③，由于//αβ，m α⊂，则根据面面平行的性质定理可得//m β，故③正确； 对于选项④，由于,αβαγ⊥⊥，则,βγ可能平行也可能相交，故④错误. 故选：B【点睛】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，考查学生的空间想象能力和推理判断能力.10．B解析：B 【解析】 【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β． 【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确； 在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误； 在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ， 由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．11．D解析：D 【解析】 【分析】由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=，又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ，当CP l ⊥时弦长最短，此时2222AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得min 6AB =，再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =， 所以弦长AB 的取值范围是[]6,10. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】设正方体的棱长为1，则A 1C 1=√2,A 1C =√3,A 1O =OC 1=√1+12=√32,OC =√12，所以cos∠A 1OC 1=32+32−22×32=13,sin∠A 1OC 1=2√23，cos∠A 1OC =32+12−32×√32=−√33,sin∠A 1OC =√63. 又直线与平面所成的角小于等于90∘，而∠A 1OC 为钝角，所以sinα的范围为[√63,1]，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.13．C解析：C 【解析】 【分析】由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可. 【详解】设长方体的棱长分别为,,a b c ，则236ab bc ac =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()236abc =，于是213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，设球的半径为R ，则2222414R a b c =++=，所以这个球面的表面积为24R π=14π． 本题选择C 选项. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.14．B解析：B 【解析】试题分析：①中AC ⊥BE ，由题意及图形知，AC ⊥面DD1B1B ，故可得出AC ⊥BE ，此命题正确；②EF ∥平面ABCD ，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF ∥平面ABCD ，此命题正确；③三棱锥A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD1B1B 距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确 考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质15．B解析：B 【解析】 【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案． 【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；CN 与BE 平行，故②错误；连接BE ，则BECN ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确． ∴正确命题的个数是2个． 故选：B ． 【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．二、填空题16．【解析】【分析】先判断过定点可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离从而可得结果【详解】化简可得由所以过定点点到直线的距离的最大值就是点与点的距离为故答案为【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两解析：13【解析】【分析】先判断()()1215m x m y m -+-=-过定点()9,4-，可得点(5,2)到直线()()1215m x m y m -+-=-的距离的最大值就是点(5,2)与点()9,4-的距离，从而可得结果. 【详解】化简()()1215m x m y m -+-=-可得m ()()2150x y x y +--+-=，由2109504x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩，所以()()1215m x m y m -+-=-过定点()9,4-，点(5,2)到直线()()1215m x m y m -+-=-的距离的最大值就是点(5,2)与点()9,4-==故答案为 【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将求最大值的问题转化成了两点间的距离的问题来解决，转化巧妙.17．【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形且平面可得因为为直角三角形可得所以因此结合几何关系可求得外接球的半径代入公式即可求球的表面积【详解】本题主要考查空间几何体由题意得该四面体的四个 解析：20π【解析】 【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，可得PC =PB =PBC 为直角三角形，可得BC =PB BC ⊥，因此AB BC ⊥，结合几何关系，可求得外接球O 的半径R ===O 的表面积．【详解】本题主要考查空间几何体．由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，4AC =，PC =PB =因为PBC 为直角三角形，因此BC =BC =（舍）．所以只可能是BC = 此时PB BC ⊥，因此AB BC ⊥， 所以平面ABC 所在小圆的半径即为22ACr ==， 又因为2PA =，所以外接球O的半径R ===所以球O 的表面积为24π20πS R ==． 【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，难点在于确定BC 的长，即得到AB BC ⊥，再结合几何性质即可求解，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属中档题．18．【解析】设球半径为则故答案为点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体锥体或台体则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出则常解析：32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32． 点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．19．【解析】试题分析：圆的面积最大即半径最大此时所以圆心为半径为1考点：圆的方程解析：(0,1)-，1 【解析】试题分析：圆的面积最大即半径最大，此时0k =()2211x y ∴++=，所以圆心为(0,1)-半径为1 考点：圆的方程20．【解析】【分析】由已知数据得两两垂直因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和【详解】∵∴∴又以作长方体则长方体的外接球就是三棱锥的外接球设外接球半径为则球表面积为故答案为：【点睛】本题考查球 解析：7π【解析】 【分析】由已知数据得,,CA CB CP 两两垂直，因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和． 【详解】∵PA PB ==AC BC ==PC =，∴222222,PC CB PB PC CA PA +=+=，∴,PC CB PC CA ⊥⊥，又CA CB ⊥，以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球．设外接球半径为R ，则2222(2)7R CA CB CP =++=，R =，球表面积为2244(7.2S R πππ==⨯= 故答案为：7π． 【点睛】本题考查球的表面积，解题关键是确定,,CA CB CP 两两垂直，以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球．21．【解析】【分析】先求得点的垂直平分线的方程然后根据点关于直线对称点的求法求得的对称点由此得出结论【详解】已知点点可得中点则∴线段AB 的垂直平分线为：化为设点关于直线的对称点为则解得∴与点重合的点是故 解析：()4,2-【解析】 【分析】先求得点()()10,0,6,8-的垂直平分线的方程，然后根据点关于直线对称点的求法，求得()4,2-的对称点，由此得出结论.【详解】已知点(10,0)A ，点(6,8)B -，可得中点(2,4)M . 则816102AB k ==---.∴线段AB 的垂直平分线为：42(2)y x -=-， 化为20x y -=.设点()4,2-关于直线20x y -=的对称点为(,)P a b ，则2214422022baa b -⎧⨯=-⎪⎪--⎨-++⎪⨯-=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=-⎩. ∴与点()4,2-重合的点是()4,2-. 故答案为：()4,2-.【点睛】本小题主要考查线段垂直平分线方程的求法，考查点关于直线对称点的坐标的求法，属于中档题.22．【解析】如图过S 作SO1⊥平面ABCD 由已知=1在Rt △SO1C 中∵SC ＝∴∴O1S ＝O1A ＝O1B ＝O1C ＝O1D 故O1是过SABCD 点的球的球心∴球的半径为r ＝1∴球的体积为点睛：与球有关的组合解析：43π【解析】如图，过S 作SO 1⊥平面ABCD ，由已知1112O C AC ==1.在Rt △SO 1C 中， ∵ SC ＝2 ，∴ 22111SO SC O C =-=，∴ O 1S ＝O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝O 1D ，故O 1是过S ，A ，B ，C ，D 点的球的球心，∴ 球的半径为r ＝1， ∴ 球的体积为34433r π=π.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.23．28【解析】【分析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：故答案为：28【点睛】本题主要考查棱台的体积公式及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：28 【解析】 【分析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可. 【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：(()121211416832833V S S S S h =⨯++⨯=⨯++⨯=.故答案为：28． 【点睛】本题主要考查棱台的体积公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.24．【解析】【分析】先由题得到点A 在圆上再设出切线方程为利用直线和圆相切得到k 的值即得过点A 的圆的切线方程【详解】因为所以点在圆上设切线方程为即kx-y-k+2=0因为直线和圆相切所以所以切线方程为所以 解析：25x y +=【解析】 【分析】先由题得到点A 在圆上，再设出切线方程为2(1),y k x -=-利用直线和圆相切得到k 的值，即得过点A 的圆的切线方程. 【详解】因为22125+=，所以点()1,2A 在圆上，设切线方程为2(1),y k x -=-即kx-y-k+2=0,12k =∴=-，所以切线方程为112022x y --++=， 所以切线方程为25x y +=，故答案为：25x y += 【点睛】（1）本题主要考查圆的切线方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d =.25．或【解析】【分析】由题意可知所以中点坐标为圆心在直线的中垂线上故过圆心满足直线设圆心的坐标为由圆与直线相切故由弦长公式可得圆心到直线的距离为由勾股定理可知解得：当时；当时得解【详解】上有两个点和为一解析：223(2)16x y -+-=（）或2211(6)144x y -++=（） 【解析】 【分析】由题意可知，126x x +=，124y y +=，所以AB 中点坐标为32（，），圆心在直线AB 的中垂线上，故过圆心满足直线5y x =-+，设圆心的坐标为a 5a -（，），由圆与直线2:1l x =-相切故r a 1=+，由弦长公式可得128AB x =-=，圆心到直线AB222221r (a 1)2(3)162d AB a =+↔+=-+解得：当3a =时，r 4=；当11a =时，r 11=得解。
重庆市一中高一数学下学期期中试题
重庆市一中2009-2010学年高一数学下学期期中试题数学试题共3页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一.选择题.(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.已知角θ满足sin 0θ>,tan 0θ<,则角θ为( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角2.已知5sin ,(,)52πααπ=∈,则tan α=( ) A.12 B.2 C.12- D.2-3.已知2AC CB =u u u r u u u r ,则B 分AC u u u r所成的比为( )A.12-B.2C.32- D.3-4.已知点(2,1),(1,3),(2,5)A B C ----,且2OD OA OB OC =-+u u u r u u u r u u u r u u u r,则D 点坐标为( ) A.(2,12)- B.(2,10)- C.(1,9)- D.(2,12)5.已知函数()sin()()2f x x x R π=-∈,下面结论错误的是( )A.函数()f x 的最小正周期为2πB.函数()f x 在区间[0,]2π上为增函数C.函数()f x 为奇函数D.函数()f x 的图象关于直线0x =对称 6.2225log sinlog sinlog sin12612πππ++=( ) A.3- B.1- C.1 D.37.已知向量,a b u u r u r可作为平面向量的一组基底,若12,AB a b AC a b λλ=+=+u u u r u u r u r u u u r u u r u r ,12(,)R λλ∈,则A,B,C 三点共线的充要条件为( )A.121λλ==B.121λλ==-C.121λλ=D.121λλ=-8.将函数()y f x =的图象F 沿(2,2)a =-u u r 平移至F′,所得F′的函数解析式为22(2)2y x =-+,则()y f x =的解析式为( )A.22(4)4y x =-+ B.224y x =+ C.22(4)y x =- D.22y x = 9.在△ABC 中,AB=6, AC=8, ∠BAC=90°,AD,BE 分别为边BC,AC 上的中线,则向量,AD BE u u u r u u u r间夹角的余弦值为( )A.1365 B.32 C.1365- D.12- 10.数列{}n a 的通项222(cossin )33n n n a n ππ=-,其前n 项和为n S ,则30S =( ) A.470 B.490 C.495 D.510二.填空题.(本大题共5个小题,每小题5分,共25分)11.已知(2,1),(3,2)a x b =+=-u u r u r ,且a b ⊥u u r u r,则x = .12.已知函数3()sin 1,(,,)f x ax bx c x a b c R =+++∈若(2)4f =,则(2)f -= . 13.33arcsinarctan 23+＝ . 14.设D 为△ABC 的边AB 上一点,P 为△ABC 内一点,且满足:34AD AB =u u u r u u u r , AP =u u u r25AD BC +u u u r u u u r ,则APD ABC SS ∆∆= .15.已知函数21112221()(log sin )(12log sin )log sin 2f x x x θθθ=⋅+-⋅+-,若对任意实数,x ()f x 均有意义,则θ的取值范围为 . 三.解答题.(本大题共6小题,共75分)16.(13分)已知||4,||3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=u u r u r u u r u r u u r u r.(1)求a u u r 与b u r的夹角θ;(2)求||a b +u u r u r.17.(13分)求函数2()2sin 23sin cos 1()f x x x x x R =+⋅+∈的值域,最小正周期及单调递增区间.18.(13分)在△ABC 中,A,B,C 所对的边的长分别为,,a b c ,设,,a b c 满足条件222b c bc a +-=和72c b =,求A 和tan B .19.(13分)已知函数()sin(),(0,0,||)2y f x A x x R A πωϕωϕ==+∈>><其中的图象在y 轴右侧的第一个最值点(最高点或最低点)为(2,22)M ,与x 轴在原点左侧的第一个交点为N (2,0)-. (1)求函数解析式;(2)若()f x 的图象在M,N 之间与x 轴有交点,解不等式()2f x ≤.20.(12分)已知向量2(2sin ,1),(sin (),cos 2)42x a x b x π==+u u r u r ,设()f x a b =⋅u u r u r ,当2[,]63x ππ∈时,不等式|()|2f x m -<恒成立.求实数m 的范围.21.(12分)已知一列非零向量n a u u r 满足:11111111(,),(,)(,)2n n n n n n n a x y a x y x y x y ----===-+u r u u r ,(2)n ≥.(1)求证:{||}n a u u r为等比数列;(2)求向量1n a -u u u r 与n a u u r的夹角(2)n ≥;(3)设1(1,2)a =u r ,记12...n n OB a a a =+++u u u u r u r u u r u u r ,设点4n B 为(,)n n t r ,则当n 为何值时22n n r t +有最小值,并求此最小值.2010年重庆一中高2012级半期考试（本部）数学试题答案2010.5题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D A C A C B C A二.填空题.(本大题共5个小题,每小题5分,共25分) 11. 2 12. 2- 13. 2π14. 31015. 3(2,2][2,2),44k k k k k Z πππππππ+++∈U三.解答题.(本大题共6小题,共75分)16.解:由已知22(23)(2)44361a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=u u r u r u u r u r u u r u u r u r u r∴6a b ⋅=-u u r u r(1)61cos 432||||a b a b θ⋅-===-⨯⋅u u r u r u u r u r ∴120θ=︒(2)22222||()2432613a b a b a b a b +=+=++⋅=+-⨯=u u r u r u u r u r u u r u r u u r u r17.解:已知:()1cos 23sin 213sin 2cos 22f x x x x x =-++=-+ 2sin(2)26x π=-+∴值域为[0,4] 最小正周期22T ππ== 令222262k x k πππππ-≤-≤+∴[,],63x k k k Z ππππ∈-+∈ ∴函数的单调增区间为[,],63k k k Z ππππ-+∈.18.解:由已知2221cos 22b c a A bc +-== ∴60A =︒ 由正弦定理:sin sin(180)sin()sin sin sin c C A B A B b B B B︒--+===31cos sin sin(60)31722sin sin 2tan 22B BB B B B +︒+===+= ∴3tan 6B =19.解:(1)(注意两种情况)22sin()84y x ππ=+或322sin()84y x ππ=-(2)当()f x 的图象在M,N 之间与x 轴有交点可知3()22sin()284f x x ππ=⋅-≤∴32sin()842x ππ-≤ ∴53224844k x k ππππππ-≤-≤+ ∴168164[,],3333k k x k Z ∈-+∈20.解:由已知2()2sin sin ()1cos 242x f x a b x x π=⋅=⋅++⋅u u r u rsin [1cos()]cos 22x x x π=⋅-++2sin (1sin )12sin x x x =⋅++- 2sin sin 1x x =-++设sin t x = ∵2[,]63x ππ∈ ∴1sin [,1]2x t =∈ ∴25()1[1,]4f x t t =-++∈∵|()|2f x m -< 恒成立∴2()2m f x m -<<+恒成立 ∴21524m m -<⎧⎪⎨<+⎪⎩ ∴334m -<<21.解:(1)由已知:2222221111111122||()()||222n n n n n n n n n n a x y x y x y x y a -------=+=-++=⋅+=u u r u u u r ∴{||}n a u u r为等比数列 (2)11111(,)(,)n n n n n n n n n n a a x y x y x x y y -----⋅=⋅=⋅+⋅u u u r u u r11111111()()22n n n n n n x x y y x y ------=-+⋅+2221111112()||||||222n n n n n x y a a a ----=+==⋅u u u r u u r u u u r ∴2cos 2θ= ∴4πθ=(3)由已知:(,)n n n a x y =u u r , 则11(,)(,)222n n n nn n n n n x y x y a x y x y +-+=-+=u u u r21(,)(,)2222222n n n n n n n n n n n x y x y x y x y y x a +-+-+=-+=-u u u u r3(,)44n n n n n x y x y a ++-=-u u u r , 41(,)4n n n a x y +=-u u u u r ∴159261037114812,,,......;,,,......;,,......;,,,......a a a a a a a a a a a a u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r.构成公比为14-的等比数列 ∴12345678,a a a a a a a a ++++++u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r,……亦构成公比为14-的等比数列由条件可知1(1,2)a =u r ,23131(,),(1,)222a a =-=-u u r u u r ,431(,)44a =--u u r∴1234515(,)44a a a a +++=-u r u u r u u r u u r∴51151[1()][1()]1144441(),3[1()]11441()1()44n n n n n n t r -⋅--⋅--==-+-==------∴2219[1()]4121()4n nn n r t --=++- 设11()4n u =+- ∴229(2)2n n r u t u-+=+49(4)u u =+- 显然4()9(4)g u u u =+-在(0,2)上], 在(2,)+∞Z 且11()24nu =+-<∴当2n =时, 2max 1171()416u =+-=时 2min 2025()2272n n r t =+。
重庆市高一数学下学期期中试卷 文(含解析)
2016-2017学年重庆高一（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．在全校学科大阅读活动中，《写给全人类的数学魔法书》40页“宝库笔记”中详细阐述了笔记的记录方法，下列选项中你认为没有必要的是（）A．写下对定理或公式的验证方法B．把解题方法当中涉及到的想法和思路都记下来C．用自己的语言来表述，不能照抄书上的D．把所有的习题都记在这本“宝库笔记”上2．观察数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…的结构特点，则x的值最好应该填（）A．19 B．20 C．21 D．223．已知等差数列{a n}中，a3，a7是方程x2﹣8x+9=0的两个根，则a5等于（）A．﹣3 B．4 C．﹣4 D．34．已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量=（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）5．已知数列{a n}满足，则a2017的值为（）A．B．C．2017 D．6．已知向量，满足=1，||=2，⊥，则向量与向量夹角的余弦值为（）A．B．C．D．7．有关向量的如下命题中，正确命题的个数为（）①若•=•，则=②•（•=（•）•③在△ABC中，，则点P必为△ABC的垂心．A．0 B．1 C．2 D．38．在△ABC中，若=，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形9．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且（2b﹣a）cosC=ccosA，c=3，，则△ABC的面积为（）A．B．2 C．D．10．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1008+a1009＞0，a1009＜0，则数列中值最小的项是（）A．第1008 项B．第1009 项C．第2016项D．第2017项11．△A BC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论不正确的是（）A．B． C．D．12．已知数列{a n}的前n项和S n=2a n+p（n∈N*），若S5=31，则实数p的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则= ．14．《写给全人类的数学魔法书》第3部遇到任何数学题都能够解答的10种解题思路中有这样一道例题：“远望巍巍塔八层，红光点点倍加增，其灯五百一十，则顶层有盏灯”．15．等差数列{a n}中，S n是其前n项和，a1=﹣2017，﹣=2，则S2017的值为．16．O为△ABC的外心，D为AC的中点，AC=6，DO交AB边所在直线于N点，则的值为．三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或步骤）17．在单调递增的等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，（1）求数列{a n}的首项a1和公差d；（2）求数列{a n}的前n项和S n．18．已知，且，求当k为何值时，（1）k与垂直；（2）k与平行．19．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足acosC=2bcosA﹣ccosA．（1）求角A的大小；（2）若a=2，c=2，求△ABC的面积．20．设数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n．21．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知向量=（sinB，cosB）与向量的夹角为，求：（1）角B的大小；（2）的取值范围．22．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求T n；（3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列{}为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由．2016-2017学年重庆十一中高一（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．在全校学科大阅读活动中，《写给全人类的数学魔法书》40页“宝库笔记”中详细阐述了笔记的记录方法，下列选项中你认为没有必要的是（）A．写下对定理或公式的验证方法B．把解题方法当中涉及到的想法和思路都记下来C．用自己的语言来表述，不能照抄书上的D．把所有的习题都记在这本“宝库笔记”上【考点】V3：中国古代数学瑰宝．【分析】利用笔记的记录方法直接求解．【解答】解：笔记的记录方法要写下对定理和公式的验证方法，故A正确；要把解题方法当中涉及到的想法和思路都记下来，故B正确；用自己的语言来表述，不能照抄书上的，故B正确；没有必要把所有的习题都记在这本“宝库笔记”上，故D错误．故选：D．2．观察数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…的结构特点，则x的值最好应该填（）A．19 B．20 C．21 D．22【考点】F1：归纳推理．【分析】由题意可得从第三个数字开始，后面的数总是前2个数字的和，问题得以解决【解答】解：从第三个数字开始，后面的数总是前2个数字的和，故x=8+13=21，故选：C3．已知等差数列{a n}中，a3，a7是方程x2﹣8x+9=0的两个根，则a5等于（）A．﹣3 B．4 C．﹣4 D．3【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用韦达定理和等差数列的性质能求出a5．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3，a7是方程x2﹣8x+9=0的两个根，∴a3+a7=2a5=8，解得a5=4．故选：B．4．已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量=（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】利用向量=即可得出．【解答】解：向量==（﹣3，﹣1）+（﹣4，﹣3）=（﹣7，﹣4）．故选：A．5．已知数列{a n}满足，则a2017的值为（）A．B．C．2017 D．【考点】8H：数列递推式．【分析】数列{a n}中，a1=2017，a n+1=，∴a2=﹣，a3=﹣，a4=，a5=2017，…．可得a n+4=a n即可【解答】解：数列{a n}中，a1=2017，a n+1=，∴a2=﹣，a3=﹣，a4=，a5=2017，…．可得a n+4=a n．∴a2017=2017，故选：C6．已知向量，满足=1，||=2，⊥，则向量与向量夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由⊥，得•=0，展开后代入数量积公式得答案．【解答】解：∵ =1，||=2，∴由⊥，得•=．即，解得cos＜＞．故选：A．7．有关向量的如下命题中，正确命题的个数为（）①若•=•，则=②•（•=（•）•③在△ABC中，，则点P必为△ABC的垂心．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积定义判断①②，移项化简判断③．【解答】解：对于①，在等边三角形中，，显然，故①错误；对于②，•（•表示与共线的向量，（•）•表示与共线的向量，显然•（•≠（•）•，故②错误；对于③，若，则（）=0，即，∴PB⊥CA，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，∴P是△ABC的垂心，故③正确．故选B．8．在△ABC中，若=，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【考点】GZ：三角形的形状判断．【分析】利用余弦定理表示出cosB及cosA，变形后代入已知等式的右边，整理后利用正弦定理化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简得到sin2A=sin2B，由A和B都为三角形的内角，可得2A与2B相等或2A与2B互补，进而得到A等于B或A与B互余，可得出三角形为等腰三角形或直角三角形．【解答】解：∵cosB=，cosA=，∴a2+c2﹣b2=2ac•cosB，b2+c2﹣a2=2bc•cosA，∴===，又=，∴==，即sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，又A和B都为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D9．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且（2b﹣a）cosC=ccosA，c=3，，则△ABC的面积为（）A．B．2 C．D．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】由正弦定理化简已知等式可得：（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA，利用三角形内角和定理整理可得2sinBcosC=sinB，由sinB≠0，解得cosC=，结合范围0＜C＜π，可求C 的值．由余弦定理得（a+b）﹣3ab﹣9=0，联立解得ab的值，利用三角形面积公式即可得解．【解答】由于（2b﹣a ）cosC=ccosA，由正弦定理得（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA，即2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosC=sin（A+C），可得：2sinBcosC=sinB，因为sinB≠0，所以cosC=，因为0＜C＜π，所以C=．由余弦定理得，a2+b2﹣ab=9，即（a+b）﹣3ab﹣9=0…①，又…②，将①式代入②得2（ab）2﹣3ab﹣9=0，解得 ab=或ab=﹣1（舍去），所以S△ABC=absinC=，故选：A．10．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1008+a1009＞0，a1009＜0，则数列中值最小的项是（）A．第1008 项B．第1009 项C．第2016项D．第2017项【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质得a1008＞0，a1009＜0，由此能求出数列中值最小的项．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1008+a1009＞0，a1009＜0，∴a1008＞0，a1009＜0，∴数列中值最小的项是第1009项．故选：B．11．△A BC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论不正确的是（）A．B． C．D．【考点】93：向量的模．【分析】作出向量示意图，用三角形ABC的边表示出，，根据等比三角形的性质判断．【解答】解：取AB的中点D，BC的中点E，∵，，∴==， ==，∴||=BC=2，故A正确；==1×2×cos120°=﹣1，故B正确；||=||=||=CD=，故C错误；=2+，∵，∴（2+）⊥，∴（4+）⊥，故D正确．故选C．12．已知数列{a n}的前n项和S n=2a n+p（n∈N*），若S5=31，则实数p的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2【考点】8E：数列的求和；82：数列的函数特性．【分析】由题意求出a1，a2，a3，a4，a5，利用S5=31，即可求出p的值．【解答】解：数列{a n}的前n项和S n=2a n+p（n∈N*），所以，n=1时，S1=2a1+p，a1=﹣p，n=2时，a1+a2=2a2+p，a1=﹣p，∴a2=﹣2p，n=3时，a1+a2+a3=2a3+p，a1=﹣p，a2=﹣2p，∴a3=﹣4pn=4时，a1+a2+a3+a4=2a4+p，a1=﹣p，a2=﹣2p，a3=﹣4p，∴a4=﹣8p，n=5时，a1+a2+a3+a4+a5=2a5+p，a1=﹣p，a2=﹣2p，a3=﹣4p，a4=﹣8p，∴a5=﹣16p，∵S5=31，∴31=2a5+p=﹣31p，∴p=﹣1．故选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则= ．【考点】HP：正弦定理．【分析】由正弦定理化简所求即可计算得解．【解答】解：∵a=4，b=5，c=6，∴===．故答案为：．14．《写给全人类的数学魔法书》第3部遇到任何数学题都能够解答的10种解题思路中有这样一道例题：“远望巍巍塔八层，红光点点倍加增，其灯五百一十，则顶层有 2 盏灯”．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】设顶层灯数为a1，由题意得：q=2，利用等比数列前n项和公式列出方程，能求出结果．【解答】解：设顶层灯数为a1，由题意得：q=2，则=510，解得a1=2．故答案为：2．15．等差数列{a n}中，S n是其前n项和，a1=﹣2017，﹣=2，则S2017的值为﹣2017 ．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】求出﹣=﹣=d=2，由此能求出S2017．【解答】解：S2009=，S2007=，∴﹣=﹣=d=2，∵a1=﹣2017，∴S2017=na1+d=﹣2017×2017+2017×2016=﹣2017．故答案为：﹣2017．16．O为△ABC的外心，D为AC的中点，AC=6，DO交AB边所在直线于N点，则的值为﹣18 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用垂径定理可得在上的投影为﹣3，利用定义求出的值．【解答】解：∵D是AC的中点，∴OD⊥AC，即DN⊥AC，∴CN•cos∠ACN=CD=AC=3，∴=AC•CN•cos=﹣6CNcos∠ACN=﹣6×3=﹣18．故答案为：﹣18．三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或步骤）17．在单调递增的等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，（1）求数列{a n}的首项a1和公差d；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式．【分析】（1）运用等差数列的性质和等比中项的定义，结合等差数列的通项公式，计算可得首项a1和公差d；（2）运用等差数列的通项公式和求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）在单调递增的等差数列{a n}中，a1+a3=2a2=8，即有a2=4，又因为a4为a2和a9的等比中项，可得a42=a2a9，即有4（4+7d）=（4+2d）2，解得a1=1，d=3（0舍去）；（2）由（1）可得，则．18．已知，且，求当k为何值时，（1）k与垂直；（2）k与平行．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】（1），可得﹣5+2t=1，解得t=2．k与垂直，可得（k）•（）=0，联立解得k．（2）k=（k﹣5，2k+2），=（16，﹣4）．可得16（2k+2）+4（k﹣5）=0，解得k．【解答】解：（1），∴﹣5+2t=1，解得t=2．∵k与垂直，∴（k）•（）=﹣3=k（1+t2）+（1﹣3k）﹣3×（25+4）=0，联立解得．（2）k=（k﹣5，2k+2），=（16，﹣4）．∴16（2k+2）+4（k﹣5）=0，解得．19．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足acosC=2bcosA﹣ccosA．（1）求角A的大小；（2）若a=2，c=2，求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由正弦定理可将acosC=2bcosA﹣ccosA转化为sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA ⇒sin（A+C）=sinB=2sinBcosA⇒cosA=即可（2）在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bc•cosA⇒8=（b﹣4）（b+2）=0，解得b=4，即可求得面积．【解答】解：（1）由正弦定理可将acosC=2bcosA﹣ccosA转化为sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA，⇒sin（A+C）=sinB=2sinBcosA⇒cosA=∵0＜A＜π∴A=（2）在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即12=b2+4﹣2b→b2﹣2b⇒8=（b﹣4）（b+2）=0，解得b=4，s△ABC==220．设数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）运用数列的递推式：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化简整理，即可得到数列{a n}的通项公式；（2）求得，再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．【解答】解：（1）当n=1时，．当n≥2时，，故所求；（2）由，T n=b1+b2+b3+…+b n==．21．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知向量=（sinB，cosB）与向量的夹角为，求：（1）角B的大小；（2）的取值范围．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据向量的夹角公式即可求出角B的大小；（2）利用正弦定理把边变化为角，利用三角函数的有界限即可求解取值范围【解答】解：（1）向量=（sinB，cosB）与向量的夹角为，∴，即：﹣cosB=，∴cosB=﹣∵0＜B＜π，∴B=．（2）由正弦定理，可得： == [sinA+sin（﹣A）]=（sinA+cosA﹣sinA）=sin（A+）∵0＜A＜，∴＜A+＜，∴＜sin（A+）≤1，∴1＜≤，故的取值范围为（1，]．22．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求T n；（3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列{}为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由．【考点】8E：数列的求和；8C：等差关系的确定．【分析】（1）运用数列的递推式：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化简整理，结合等差数列的定义即可得证；（2）求得a n=2n﹣1，b n==．再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和；（3）化简=﹣，结合数列{}为等比数列的充要条件是=A•q n （A、q为非零常数），即可求得λ的值．【解答】解：（1）证明：由题知S n=（a n+1）2，当n=1时，a1=S1=（a1+1）2，∴a1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2．∴（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0．∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1﹣2=0．即当n≥2时，a n﹣a n﹣1=2．则数列{a n}是等差数列．（2）由（1）知数列{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列．∴a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1，∵b n==．则T n=+++…++，①∴T n=+++…++，②由①﹣②得T n=+2（++…+）﹣=+2•﹣，∴T n=3﹣；（3）∵=（3﹣+λ）•=﹣，∴数列{}为等比数列的充要条件是=A•q n（A、q为非零常数），∴当且仅当3+λ=0，即λ=﹣3时，得数列{}为等比数列．。
重庆市第一中学2022_2022学年高一数学下学期期中仿真卷B卷2022053101107
2022-2022学年下学期高一年级期中考试仿真测试卷数学〔B 〕考前须知：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．[2022·张家口月考]x ，y 是两个变量，以下四个散点图中，x ，y 呈正相关趋势的是〔 〕A ．B ．C ．D ．2．[2022·钦州期末]甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.8，两人下成平局的概率是0.5，那么甲胜的概率是〔 〕 A ．0.3B ．0.5C ．0.6D ．0.73．[2022·辽宁模拟]某超市有三类食品，其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有20种、15种和10种，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本进行平安检测，假设果蔬类抽此卷只装订不密封 级 姓名 准考证号 考场号 座位号取4种，那么n 为〔 〕 A ．3B ．2C ．5D ．94．[2022·怀化模拟]总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从第1行的第5列和第6列数字开始由左往右依次选取两个数字，那么选出来的第5个个体的编号为〔 〕 A ．01B ．02C ．14D ．195．[2022·桂林调研]AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，说明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量“优良〞．如图是某市3月1日到12日的AQI 指数值．那么以下表达不正确的选项是〔 〕 A ．这12天的AQI 指数值的中位数是90 B ．12天中超过7天空气质量“优良〞 C ．从3月4日到9日空气质量越来越好D ．这12天的AQI 指数值的平均值为1006．[2022·四川诊断]执行如下图的程序框图，那么输出的S =〔 〕 A ．2B ．1C ．0D ．-17．[2022·百校联盟]x 与y 的取值如表所示，假设x 与y 线性相关，且回归直线方程为1.2ˆ3ˆyx a =+，那么6x =时，y 的预测值为〔保存到小数点后一位数字〕〔 〕A ．7.4B ．7.5C ．7.6D ．8.58．[2022·厦门质检]甲乙两名同学分别从“象棋〞、“文学〞、“摄影〞三个社团中随机选取一个社团参加，那么这两名同学参加同一个社团的概率是〔 〕 A ．14B ．13C ．12D ．239．[2022·南安月考]一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，假设蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体六个外表的距离均大于1，称其为“平安飞行〞，那么蜜蜂“平安飞行〞的概率为〔 〕 A ．18B ．116C ．127D ．276410．[2022·南宁二中]2022年5月，国家统计局公布了?2022年农民工监测调查报告?，报告显示：我国农民工收入持续快速增长．某地区农民工人均月收入增长率如图1，并将人均月收入绘制成如图2的不完整的条形统计图．根据以上统计图来判断以下说法错误的选项是〔 〕 A ．2022年农民工人均月收入的增长率是10% B ．2022年农民工人均月收入是2205元C ．小明看了统计图后说：“农民工2022年的人均月收入比2022年的少了〞D ．2022年到2022年这五年中2022年农民工人均月收入最高11．[2022·武汉蔡甸区实验中学]下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1，A 2，…，A 16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是〔 〕 A ．6B ．10C ．91D ．9212．[2022·南阳一中]样本()12,,...,n x x x 的平均数为x ，样本()12,,...,m y y y 的平均数为()y x y ≠，假设样本()1212,,...,,,,...,n m x x x y y y 的平均数()11,02z ax a y a =+-<<，那么,n m 的大小关系为〔 〕 A ．n m <B ．n m >C ．n m =D ．不能确定第二卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．[2022·保山统测]甲同学在“附中好声音〞歌唱选拔赛中，5位评委评分情况分别为76，77，88，90，94，那么甲同学得分的方差为__________．14．[2022·奉新县一中]秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法．如下图的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值得一个实例，假设输入n ，x 的值分别为3，4，那么输出v 的值为__________．15．[2022·石室中学]从某小学随机抽取名同学，将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．假设要从身高在[)120,130、[)130,140、[]140,150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取人参加一项活动，那么从身高在[]140,150内的学生中选取的人数应为_______．16．[2022·武邑中学]甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚刚想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a 、{}0,1,2,,9b ∈．假设1a b -≤，那么称甲乙“心有灵犀〞．现任意找两人玩这个游戏，那么二人“心有灵犀〞的概率为__________． 三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．[2022·哈尔滨六中]某校100名学生期末考试语文成绩的频率分布直方图如下图，其中成绩分组区间是：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100． 〔1〕求图中a 的值；〔2〕根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；〔3〕假设成绩在[)50,60的学生中男生比女生多一人，且从成绩在[)50,60的学生中任选2人，求此2人都是男生的概率．18．[2022·寻乌中学]如下图，有两个独立的转盘〔A 〕、〔B 〕．两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60︒、120︒、180︒．用这两个转盘进行玩游戏，规那么是：依次随机转动两个转盘再随机停下〔指针固定不会动，当指针恰好落在分界线时，那么这次结果无效，重新开始〕，记转盘〔A 〕指针所对的数为x ，转盘〔B 〕指针所对的数为y ，〔x 、{}1,2,3y ∈〕，求以下概率：〔1〕(2)P x <；〔2〕(1)P y >．19．[2022·朝阳一模]某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．假设一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，那么称该学生的选考方案确定；否那么，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物〞三个选考科目，那么学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物〞为其选考方案．某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：性别 选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治 男生选考方案确定的有6人66312选考方案待确定的有8人 5 4 0 1 2 1 女生选考方案确定的有10人8 9 6 3 3 1 选考方案待确定的有6人5411〔1〕试估计该学校高一年级确定选考生物的学生有多少人．〔2〕写出选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理〞的人数．〔直接写出结果〕； 〔3〕从选考方案确定的男生中任选2名，试求出这2名学生选考科目完全相同的概率． 20．[2022·烟台诊断]某服装批发市场1-5月份的服装销售量x 与利润y 的统计数据如下表:月份 1 2 3 4 5 销售量x (万件) 3 6 4 7 8 利润y (万元)1934264146〔1〕从这五个月的利润中任选2个，分别记为m ，n ，求事件“m ，n 均不小于30〞的概率； 〔2〕销售量x 与利润y 大致满足线性相关关系，请根据前4个月的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+；〔3〕假设由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过2万元，那么认为得到的利润的估计数据是理想的．请用表格中第5个月的数据检验由〔2〕中回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是否理想．参考公式:1221,ni ii nii x y nxyb a y b x xnx ∧∧∧==-==--∑∑．21．[2022·景德镇期中]阅读程序框图，并完成以下问题： 〔1〕假设输入x ＝0，求输出的结果； 〔2〕请将该程序框图改成分段函数解析式；〔3〕假设输出的函数值在区间11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，求输入的实数x 的取值范围．22．[2022·南沙区一中]关于x 的一元二次函数()21f x ax bx =-+，分别从集合P 和Q 中随机取一个数a 和b 得到数对(),a b ．〔1〕假设{}13,P x x x =∈Z ≤≤，{|14,}Q x x x =-≤≤∈Z ，求函数()y f x =在x ∈R 内是偶函数的概率；〔2〕假设{|13,}P x x x =≤≤∈Z ，{|14,}Q x x x =-≤≤∈Z ，求函数()y f x =有零点的概率；〔3〕假设{}13,P x x x =∈R ≤≤，{|14,}Q x x x =-≤≤∈R ，求函数()y f x =在区间[)1,+∞上是增函数的概率．2022-2022学年下学期高一年级期中考试仿真测试卷数学〔B 〕答案第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】x ，y 呈正相关趋势时，散点图应该是从左下到右上趋势，由图可知选项A 中的散点图是从左下到右上趋势，描述了y 随着x 的增加而增加的变化趋势，应选A ． 2．【答案】A【解析】设甲胜的概率为p ，甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.8，那么由互斥事件至少有一个发生的概率公式得0.50.8p +=，0.3p ∴=，应选A ． 3．【答案】D【解析】超市有三类食品，其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有20种、15种和10种，其比例为4:3:2，采用分层抽样的方法抽取样本进行平安检测，假设果蔬类抽取4种，那么奶制品类应抽取的种数为9494⨯=，应选D ． 4．【答案】A【解析】从随机数表第一行的第五列和第六列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的和编号依次为08，02，14，19，14，01，其中第三个和第五个都是14，重复，可知对应的数值为08，02，14，19，01，那么第五个个体的编号为01．应选A ． 5．【答案】C【解析】这12天的AQI 指数值的中位数是959293.52+=，故A 不正确；这12天中，空气质量为“优良〞的有95，85，77，67，72，92共6天，故B 不正确；从4日到9日，空气质量越来越好，故C 正确；这12天的AQI 指数值的平均值为110，故D 不正确．应选C ． 6．【答案】B【解析】第一次执行性程序后，313S ==，2i =，第二次执行程序后0S =，3i =，第三次执行程序后1S =，4i =，满足条件4i ≥，跳出循环，输出1S =，应选B ． 7．【答案】B 【解析】回归方程 1.2ˆ3ˆyx a =+，经过样本中心点()2,2.6， 2.6 1.2ˆ32a ∴=⨯+，解得ˆ0.14a=，∴回归直线方程为 1.2304ˆ.1y x =+，当6x =时， 1.2360.4.ˆ175y =⨯+≈， 应选B ． 8．【答案】B【解析】由题意，甲乙两名同学各自等可能地从“象棋〞、“文学〞、“摄影〞三个社团中选取一个社团参加，共有339⨯=种不同的结果，这两名同学参加同一个社团的有3种情况，那么这两名同学参加同一个社团的概率是3193=；应选B ． 9．【答案】A【解析】本试验所有结果对应的几何区域为棱长是4的正方体．“平安飞行〞对应的区域为棱长是2的正方体．由几何概型概率公式得P=332814648==，故答案为：A ． 10．【答案】C【解析】A ．由折现统计图可得出：2022年农民工人均月收入的增长率是：10%，故正确；B ．由条形统计图可得出：2022年农民工人均月收入是：2205元，故正确；C ．因为2022年农民工人均月收入是：()2205120%2646⨯+=(元)，大于2205元；所以农民工2022年的人均月收入比2022年的少了，是错误的；D ．由条形统计图可得出，2022年到2022年这五年中2022年农民工人均月收入最高．应选C ． 11．【答案】B【解析】由程序框图可得，该算法的功能是统计这16个同学中数学考试成绩在90分〔包括90分〕以上的人数．结合茎叶图可知，成绩在90以上的人数为10人，所以选B ． 12．【答案】A【解析】所以()()() 1n m n m m n αα=⎧⎪⎩+=⎪⎨＋－，于是有()()()()+121n m m n m n ααα-=--⎡⎣=⎤⎦+-．210α-<，所以0n m -<，即n m <．应选A ． 第二卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分． 13．【答案】52【解析】22222298359525s ++++==，故答案为：52． 14．【答案】100【解析】()1424140100v ⎡⎤=⨯+⨯+⨯+=⎣⎦． 15．【答案】3【解析】0.0350.020.010.0050.1a ++++=，解得0.03a =， 三组的比值为0.03:0.02:0.013:2:1=，故[]140,150内取11836⨯=人． 16．【答案】725【解析】试验发生的所有事件是从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数中任取两个共有10×10种不同的结果，那么1a b -≤的情况有0，0；1，1；2，2；3，3；4，4；5，5；6，6；7，7；8，8；9，9；0，1；1，0；1，2；2，1；2，3；3，2；3，4；4，3；4，5；5，4；5，6；6，5；6，7；7，6；7，8；8，7；8，9；9，8共28种情况，甲乙出现的结果共有10×10=100， ∴他们“心有灵犀〞的概率为28710025P ==，故答案为：725． 三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】〔1〕0.005；〔2〕73；〔3〕310． 【解析】〔1〕()0.020.030.04101a a ++++⨯=，0.005a =．〔2〕平均分的估计值为550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．〔3〕[)50,60共有1000.00510=5⨯⨯人，其中男生3人，女生2人，分别记为1，2，3，4，5，选出两人，根本领件有()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5共10种，其中都是男生的有()1,2，()1,3，()2,3共3种，故概率为310． 18．【答案】〔1〕16；〔2〕23． 【解析】〔1〕“2x <〞表示“指针所对的数为1〞，由几何概型概率公式可得()601(2)13606P x P x <====，即()126P x <=．··········5分 〔2〕由题意得“1y >〞包含“2y =〞和“3y =〞两种情况， 由几何概型概率公式可得()()180602(1)233603603P y P y P y >==+==+=． 故2(1)3P y >=．··········10分19．【答案】〔1〕126；〔2〕2；〔3 【解析】〔1〕设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为x ，所以选择生物的概率约为，所以选择生物的人数约为3420=12610x =⨯人．··········4分 〔2〕2人．··········6分〔3〕设选择物理、生物、化学的学生分别为1A ，2A ，3A ，选择物理、化学、历史的学生为1B ，选择物理、化学、地理的学生分别为1C ，所以任取2名男生的根本领件有()12,A A ，()23,A A ，()31,A B ，()11,B C ，()12,C C ，()13,A A ，()32,A C ，()12,B C ，()21,A B ，()11,A B ，()21,A C ，()31,A C ，()11,A C ，()22,A C ，()12,A C 所以两名男生所学科目相同的根本领件共有四个，分别为()12,A A ，()23,A A ，()12,C C ，()13,A A··········12分 20．【答案】〔1〕310；〔2〕 5.24ˆy x =+；〔3〕见解析．【解析】〔1〕所有的根本领件为(19，34)，(19，26)，(19，41)，(19，46)，(34，26)，(34，41)，(34，46)，(26，41)，(26，46)，(41，46)共10个．记“m ，n 均不小于30〞为事件A ，那么事件A 包含的根本领件为(34，41)，(34，46)，(41，46)，共3个，所以()310P A =．····5分〔2〕由前430y =，41652i ii x y==∑，421110i i x ==∑．30 5.25ˆ4a=-⨯=，所以线性回归方程为 5.24ˆy x =+．··········10分 〔3〕由题意得，当8x =时，ˆ45.6y=，45.6460.42-=<，所以利用〔2〕中的回归 方程所得的第5个月的利润估计数据是理想的．21．【答案】〔1〕1；〔2〕()[]()()2,2,22,,22,x x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈-∞-+∞⎪⎩；〔3〕[]2,1--．【解析】〔1〕输入x ＝0，[]02,2∈-，所以输出结果为()0021f ==；··········2分〔2〕()[]()()2,2,2 2,,22,xx f x x ⎧∈-⎪=⎨∈-∞-+∞⎪⎩；··········7分 〔3··········12分- 11 - 22．【答案】〔1〕16；〔2〕13；〔3〕910． 【解析】〔1〕由得，{}1,2,3P =，{}1,0,1,2,3,4Q =-，所有的有序数列有()1,1-，()1,0，()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,1-，()2,0，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()3,1-，()3,0，()3,1，()3,2，()3,3，()3,4，共有18对，要使()f x 是偶函数，须有0b =，满足条件的有序数对有()1,0，()2,0，()3,0共有3对，31186P ==．··········4分 〔2〕由得，{}1,2,3P =，{}1,0,1,2,3,4Q =-，所有的有序数列有()1,1-，()1,0，()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,1-，()2,0，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()3,1-，()3,0，()3,1，()3,2，()3,3，()3,4，共有18对，要使()f x 有零点，240b a ∴-≥， 满足条件的有序数对有()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4共有6对， 61183P ==．··········8分 〔3〕要使()y f x =单调递增，12b a -∴-≤，即2a b ≥，(),a b 可看成是平面区域(){},|13,14a b a b Ω=≤≤-≤≤中的所有点，而满足条件是在平面区域(){},|2,13,14A a b a b a b =≥≤≤-≤≤中的所有点，12521922510A S P S Ω⨯-⨯⨯∴===⨯．··········12分。
重庆一中第二学期高一期中考试数学试题参考答案
2012-2013学年度重庆一中第二学期高一期中考试数学试题参考答案一、选择题：1---5 CBAAC 6---10 DBDBA二、填空题：11．21； 12．2； 13．3； 14．-2； 15．4027 三、解答题：16．解：（1）由条件3362422=-•-•+→→→→→→b b a b a a ，即3344=-•-→→b a ， 21-=•∴→→b a ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）=-→→22b a 2244→→→→+•-b b a a 7)21(414=-⨯-+=，所以72=-→→b a ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分17．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为，426=s ，2475=+a a ，，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=⨯+2410242256611d a d a ,解得：2,21==d a ,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 所以n a n 2=,()n n n n n S n +=⨯-+=22212；．．．．．．．．．．．．．．．．8分 （2）n n a n n b ---===4222,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n T 4113141141141．．．．．．．．．．．13分 18．解：（1）→→⊥∴b a ，01)sin (sin 1)sin(=⨯-+⨯-∴C B B A ，化简得0sin cos cos sin sin sin cos cos sin =--+-B A B A B B A B A ， 即B A B sin cos 2sin =,因0sin ≠B ，故21cos =A ,又︒<<︒1800A ， 所以︒=60A ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由余弦定理得21260cos 222=-+=︒bc a c b ，42422-≥=-+∴bc bc c b ，故 ,4≤bc 当c b =时取等号；面积34434360sin 21=⨯≤=︒=bc bc S ，当c b =时面积有最大值3。
重庆市第一中学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题
三、填空题 13．已知正VABC 为水平放置的 VABC 的直观图，若 AB 2 ，则 VABC 的面积为 __________.
14．已知复数 z 满足 z z 2 4i ，则 z __________.
A．1
B． 5 6
C． 3 4
D． 2
3
二、多选题
9．设 l 为直线， ， 为两个不同平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若 l//, l// ，则 //
B．若 //, l// ，则 l//
C．若 l ,l ，则 //
D．若 //, l ，则 l
10．已知函数
f
x
sin
x
π 6
(
重庆市第一中学校 2022-2023 学年高一下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．已知复数 z 3 i ，则复数 z (1 i)4 在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 C．第三象限
A．若 B π ，则 A π
2
4
B．若
A
π 6
,
a
2
，则
VABC
的面积为
2
3
C．若 A π , a 2 ，则角 B 的角平分线 BD 3 6
D．若 VABC 为锐角三角形， a 2 ，则边长 b 2 2, 2 3
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12．已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，点 E ， F 分别为面 BB1C1C ， CC1D1D 的 中心，点 G 是 A1B1 的中点，则（ ） A． DE BG B． AF∥面 BC1G C．直线 AB 与平面 BC1G 所成角的余弦值为 3
2020-2021重庆第一中学高一数学下期中模拟试题(带答案)
2020-2021重庆第一中学高一数学下期中模拟试题(带答案)一、选择题1．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30o ，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．62C ．82D ．832．陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ）A ．1073π B ．32453π+ C ．16323π+ D ．32333π+ 3．下列命题正确的是（ ）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面4．设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//； ②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③5．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β，且m ⊂αB ．m ⊥n ，且n ∥βC ．α⊥β，且m ∥αD ．m ∥n ，且n ⊥β 6．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离7．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = )A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或18．若直线20ax y +-=和直线()2140x a y +-+=平行，则a 的值为（ ） A ．1-或2 B ．1- C ．2 D ．不存在9．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm10．矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ）A ．12512πB ．1259πC ．1256πD ．1253π 11．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB 3C ．4πD 3 12．如图，正四面体ABCD 中，,EF 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是线段BD 的动点，则( )A ．存在点G ，使PG EF ⊥成立B ．存在点G ，使FG EP ⊥成立C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立 二、填空题13．已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=o ，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角A BD C --为120o ，则点A 到BCD V 所在平面的距离等于 ． 14．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①0BD AC ⋅≠u u u r u u u r；②∠BAC ＝60°；③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直．其中正确结论的序号是 ．（请把正确结论的序号都填上）15．已知P 是抛物线24y x =上的动点，点Q 是圆22:(3)(3)1C x y ++-=上的动点，点R 是点P 在y 轴上的射影，则PQ PR +的最小值是____________．16．正三棱柱的底面边长为，高为2，则它的外接球的表面积为 ．17．在各棱长均为1的正四棱锥P ABCD -中，M 为线段PB 上的一动点，则当AM MC +最小时，cos AMC ∠=_________18．在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的坐标分别为()1,1A --，()2,0B ，()1,5C ，则BAC ∠的平分线所在直线的方程为_______19．直线10x y --=与直线20x ay --=互相垂直，则a =__________．20．已知点()1,0A -，()2,0B ，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得2229PA PB +=成立，则实数k 的取值范围是______.三、解答题21．如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点．（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,AB BC CF DE ⊥=，45BAC ∠=o ，求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小．22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．（Ⅰ）求证：1BC A B ⊥；（Ⅱ）若P 是线段AC 上一点，3,2AD AB BC ===，三棱锥1A PBC -的体积为3，求AP PC 的值. 23．在四棱锥S ABCD -中，平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAD ⊥平面ABCD .（Ⅰ）证明：SA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若底面ABCD 为矩形，23SA AD AB ==，F 为SC 的中点，23BE BC =u u u v u u u v ，求直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值.24．已知平面内两点(8,6),(2,2)A B -.（1）求AB 的中垂线方程；（2）求过点(2,3)P -且与直线AB 平行的直线l 的方程．25．已知圆22:20M x y x a +-+=（1）若8a =-，过点(4,5)P 作圆M 的切线，求该切线的方程；（2）当圆22:(1)(23)4N x y ++-=与圆M 相外切时，从点(2,8)Q -射出一道光线，经过y 轴反射，照到圆M 上的一点R ，求光线从点Q 经反射后走到点R 所走过路线的最小值.26．已知空间几何体ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均是边长为2的等边三角形，△ABC 是腰长为3的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线，使得直线上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行，并给出证明；(2)求三棱锥E －ABC 的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=o，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=o，因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =， 所以该长方体的体积为222282V =⨯⨯= C.【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果. 2．D解析：D【解析】【分析】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.根据柱体、锥体的体积计算公式即得该陀螺模型的体积.【详解】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成. 所以该陀螺模型的体积222113242333233333V πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：D .【点睛】本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题. 3．C解析：C【解析】【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出.【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.4．B解析：B【解析】【分析】【详解】①a ∥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故①错误；②若a ∥b ，a ⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得b ⊥α，故②正确；③a ⊥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故③错误；④若a ⊥α，b ⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a ∥b ，故④正确．故选B ．5．D解析：D【解析】【分析】根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案.【详解】解：αβ⊥且m α⊂⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故A 不成立；m n ⊥且//n β⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故B 不成立；αβ⊥且//m α⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故C 不成立；//m n 且n β⊥⇒m β⊥，故D 成立；故选：D【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题.6．B解析：B【解析】 化简圆到直线的距离， 又 两圆相交. 选B 7．D解析：D【解析】【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a+=--， 由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a 2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=．故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 8．C解析：C【解析】【分析】直接根据直线平行公式得到答案.【详解】直线20ax y +-=和直线()2140x a y +-+=平行，则()12a a -=，解得2a =或1a =-.当1a =-时，两直线重合，排除.故选：C .【点睛】本题考查了根据直线平行求参数，意在考查学生的计算能力，多解是容易发生的错误.9．B解析：B【解析】【分析】【详解】试题分析：. 由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V ＝×3×4×5﹣××3×4×5＝20（cm 3）．考点：1.三视图读图的能力；2.几何体的体积公式.10．C解析：C【解析】【分析】由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC 的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解.【详解】因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且球的半径为AC 长度的一半， 即22115222r AC AB BC ==+=，所以334451253326V r πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.11．A解析：A【解析】【分析】设BC 的中点是E ，连接DE ，由四面体A′BCD 的特征可知，DE 即为球体的半径.【详解】设BC 的中点是E ，连接DE ，A′E，因为AB ＝AD ＝1，BD ＝2 由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD 为直角三角形所以DE 为球体的半径3DE = 234()3S ππ== 故选A【点睛】 求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.12．C解析：C【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项进行一一验证，即可得答案．【详解】正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是直线BD 的动点，在A 中，不存在点G ，使PG EF ⊥成立，故A 错误；在B 中，不存在点G ，使FG EP ⊥成立，故B 错误；在C 中，不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立，故C 正确；在D 中，存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立，故D 错误.故选：C.【点睛】本题考查命题真假的判断、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力．二、填空题13．【解析】【分析】【详解】设AC与BD交于点O在三角形ABD中因为∠A＝120°AB＝2可得AO＝1过A作面BCD的垂线垂足E则AE即为所求由题得∠AOE ＝180°−∠AOC＝180°−120°＝60解析：3【解析】【分析】【详解】设AC与BD交于点O．在三角形ABD中，因为∠A＝120°，AB＝2．可得AO＝1．过A作面BCD的垂线，垂足E，则AE即为所求．由题得，∠AOE＝180°−∠AOC＝180°−120°＝60°．在RT△AOE中，AE＝AO•sin∠AOE＝3．14．②③【解析】【分析】①由折叠的原理可知BD⊥平面ADC可推知BD⊥AC数量积为零②由折叠后AB＝AC＝BC三角形为等边三角形得∠BAC＝60°；③由DA＝DB＝DC根据正三棱锥的定义判断④平面ADC解析：②③【解析】【分析】①由折叠的原理，可知BD⊥平面ADC，可推知BD⊥AC，数量积为零，②由折叠后AB ＝AC＝BC，三角形为等边三角形，得∠BAC＝60°；③由DA＝DB＝DC，根据正三棱锥的定义判断．④平面ADC和平面ABC不垂直．【详解】BD⊥平面ADC，⇒BD⊥AC，①错；AB＝AC＝BC，②对；DA＝DB＝DC，结合②，③对④错．故答案为②③【点睛】本题主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，仔细论证，属中档题．15．【解析】根据抛物线的定义可知而的最小值是所以的最小值就是的最小值当三点共线时此时最小最小值是所以的最小值是3【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题考查了转化与化归能力圆外的 解析：【解析】 根据抛物线的定义，可知1PR PF =-，而PQ 的最小值是1PC -，所以PQ PR +的最小值就是2PF PC +-的最小值，当,,C P F 三点共线时，此时PF FC +最小，最小值是()()2231305CF =--+-= ，所以PQ PR +的最小值是3.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题，考查了转化与化归能力，圆外的点和圆上的点最小值是点与圆心的距离减半径，最大值是距离加半径，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，这样转化后为抛物线上的点到两个定点的距离和的最小值，即三点共线时距离最小.16．【解析】试题分析：由正三棱柱底面边长为得底面所在平面截其外接球所成圆半径为又由高为则球心到圆的球心距为根据球心距截面圆半径球半径构成的直角三角形满足勾股定理我们易得半径满足：已知求得正三棱柱外接球所 解析：【解析】试题分析：由正三棱柱底面边长为2，得底面所在平面截其外接球所成圆O 半径为33r =，又由高为2，则球心到圆O 的球心距为1d =，根据球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形满足勾股定理，我们易得半径R 满足：22273R r d =+=，已知求得正三棱柱外接球，所以外接球的表面积为22843S R ππ==． 考点：棱柱的几何特征，球的表面积，空间位置关系和距离． 【方法点晴】解决本题的关键是确定球心的位置，进而确定半径．因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以过三角形的外心且垂直于此三角形的所在平面的垂线上的任意一点到次三角形三个顶点的距离相等，所以过该三角形的三个顶点的球的球心必在垂线上．所以本题中球心必在上下底面外心的连线上，进而利用球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形，即可算出．17．【解析】【分析】将侧面和侧面平展在一个平面上连即可求出满足最小时点的位置以及长解即可求出结论【详解】将侧面和侧面平展在一个平面上连与交点即为满足最小正四棱锥各棱长均为在平展的平面中四边形为菱形且在正 解析：13- 【解析】【分析】将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上，连AC ，即可求出满足AM MC +最小时，点M 的位置，以及,AM CM 长，解AMC V ，即可求出结论.【详解】将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上，连AC 与PB 交点即为满足AM MC +最小，正四棱锥P ABCD -各棱长均为1，在平展的平面中四边形PABC 为菱形，且60PAB ∠=o ，AM MC ==P ABCD -中，AC =在ACM V 中，222332144cos 32324AM CM AC AMC AM CM +-+-∠===-⋅⋅. 故答案为:13-. 【点睛】本题考查线线角，要注意多面体表面的长度关系转化为共面的长度关系，考查直观想象能力，属于中档题.18．【解析】【分析】设的平分线与交于根据角平分线与面积关系求出利用共线向量坐标关系求出点坐标即可求解【详解】设的角平分线与交于解得所以的平分线方程为故答案为:【点睛】本题考查角平分线方程向量共线坐标应用 解析：0x y -=【解析】【分析】设BAC ∠的平分线与BC 交于D ，根据角平分线与面积关系求出||||CD DB ，利用共线向量坐标关系，求出D 点坐标，即可求解.【详解】设BAC ∠的角平分线与BC 交于(,)D a b ，1||||sin ||210||221||||10||||sin 2ACD ABD AC AD CAD S AC CD S AB DB AB AD BAD ⋅⋅∠∴=====⋅⋅∠V V ， 2,(1,5)2(2,)CD DB a b a b ∴=--=--u u u r u u u r ，解得55,33a b ==， 55(,)33D ∴，所以BAC ∠的平分线AD 方程为0x y -=. 故答案为:0x y -=.【点睛】本题考查角平分线方程、向量共线坐标，应用角平分线性质是解题的关键，属于中档题. 19．【解析】【分析】根据直线垂直的条件计算即可【详解】因为直线与直线互相垂直所以解得故填【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的条件属于中档题解析：1-【解析】【分析】根据直线垂直的条件计算即可.【详解】因为直线10x y --=与直线20x ay --=互相垂直，所以110a ⨯+=解得1a =-.故填1-.【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的条件，属于中档题.20．【解析】【分析】先求出直线经过的定点设直线上的点坐标由可求得点的轨迹方程进而求得斜率的取值范围【详解】解：由题意得：直线因此直线经过定点；设点坐标为；化简得：因此点为与直线的交点所以应当满足圆心到直解析：,1515⎡-⎢⎣⎦【解析】【分析】先求出直线l 经过的定点，设直线上的p 点坐标，由2229PA PB +=可求得点P 的轨迹方程，进而求得斜率k 的取值范围．【详解】解：由题意得：直线:(5)l y k x =-，因此直线l 经过定点(5,0)；设点P 坐标为0(x ，0)y ；2229PA PB +=Q ，∴22220000(1)22(2)9y x y x +++++=化简得：2200020x y x +-=，因此点p 为2220x y x +-=与直线:(5)l y k x =-的交点． 所以应当满足圆心(1,0)到直线的距离小于等于半径 ∴1解得：[k ∈故答案为[k ∈ 【点睛】本题考查了求轨迹方程，一次函数的性质，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．三、解答题21．（Ⅰ）略；（Ⅱ）60o【解析】试题分析：（Ⅰ）思路一：连接,DG CD ，设CD GF O ⋂=，连接OH ，先证明//OH BD ，从而由直线与平面平行的判定定理得//BD 平面HDF ；思路二：先证明平面//FGH 平面ABED ，再由平面与平面平行的定义得到//BD 平面HDF .（Ⅱ）思路一：连接,DG CD ，设CD GF O ⋂=，连接OH ，证明,,GB GC GD 两两垂直, 以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -，利用空量向量的夹角公式求解；思路二：作HM AC ⊥于点M ，作MN GF ⊥于点N ，连接NH ，证明MNH∠即为所求的角，然后在三角形中求解.试题解析：（Ⅰ）证法一：连接,DG CD ，设CD GF O ⋂=，连接OH ，在三棱台DEF ABC -中，2,AB DE G =为AC 的中点可得//,DF GC DF GC =所以四边形DFCG 为平行四边形则O 为CD 的中点又H 为BC 的中点所以//OH BD又OH ⊂平面,FGH BD ⊂平面,FGH所以//BD 平面FGH ．证法二：在三棱台DEF ABC -中，由2,BC EF H =为BC 的中点可得//,,BH EF BH EF =所以四边形BHFE 为平行四边形可得//BE HF在ABC ∆中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点，所以//GH AB又GH HF H ⋂=，所以平面//FGH 平面ABED因为BD ⊂平面ABED所以//BD 平面FGH（Ⅱ）解法一：设2AB =，则1CF =在三棱台DEF ABC -中，G 为AC 的中点由12DF AC GC ==， 可得四边形DGCF 为平行四边形，又FC ⊥平面ABC所以DG ⊥平面ABC在ABC ∆中，由,45AB BC BAC o⊥∠=，G 是AC 中点，所以,AB BC GB GC =⊥因此,,GB GC GD 两两垂直,以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -所以())()()0,0,0,2,0,0,2,0,0,0,1G BC D 可得()22,2,1H F ⎫⎪⎪⎝⎭ 故()22,2,122GH GF ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r 设(),,n x y z r =是平面FGH 的一个法向量，则由0,{0,n GH n GF ⋅=⋅=u u u r r u u u r r 可得0{20x y z +=+= 可得平面FGH 的一个法向量(1,2n r =-因为GB uuu r 是平面ACFD 的一个法向量，)2,0,0GB =u u u r 所以21cos ,222GB n GB n GB n ⋅===⋅u u u r r u u u r r u u u r r 所以平面与平面所成的解（锐角）的大小为60o解法二：作HM AC ⊥于点M ，作MN GF ⊥于点N ，连接NH由FC ⊥平面ABC ，得HM FC ⊥又FC AC C ⋂=所以HM ⊥平面ACFD所以MNH ∠即为所求的角在BGC ∆中,12//,,22MH BG MH BG == 由GNM ∆∽GCF ∆ 可得,MN GM FC GF= 从而66MN =由MH ⊥平面,ACFD MN ⊂平面ACFD得,MH MN ⊥ 因此tan 3HM MNH MN∠==所以60MNH ∠=o所以平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60o .考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角的求法；3、空间向量在解决立体几何问题中的应用.22．（1）证明见解析；（2）3．【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）要证线线垂直，一般先证线面垂直，考虑直线BC ，由已知AD 与平面1A BC 垂直可得AD BC ⊥，再由直三棱柱中侧棱1AA 与底面ABC 垂直，又得1AA BC ⊥，从而可得BC 与平面1AA B 垂直，于是得证线线垂直；（2）由（1）知ABC ∆是等腰直角三角形，可得其面积，由1AD A B ⊥可通过解直角三角形得1AA ，从而可求得三棱锥1A ABC -的体积．由三棱锥1A PBC -与三棱锥1A ABC -的关系可求得PC ，从而得AP PC．（也可设PC x =，求得三棱锥1A PBC -（用x 表示），再由已知列方程解得x ）．试题解析：（1）∵AD ⊥平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，∴AD BC ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中易知1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA BC ⊥，∵1AA AD A =I ，∴BC ⊥平面11AA B B ，∵1A B ⊂平面11AA B B ，∴1BC A B ⊥.（2）设PC x =，过点B 作BE AC ⊥于点E ，由（1）知BC ⊥平面11AA B B ，∴BC AB ⊥.∵2AB BC ==，∴AC BE ==∴122PBC S BE CP x ∆=⋅=. ∵AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上，∴1AD A B ⊥∵1,2AA BA AD AB ⊥=，在Rt ABD ∆中，1BD ==，又21AD BD A D =⋅，∴13A D =，在1Rt ADA ∆中，1AA ===∴1113A PBC PBC V S AA x -∆=⋅=.又三棱锥1A PBC -x =，解得4x =.∴4AP =，∴53AP PC =.23．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）205. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意1l ⊥平面SAB ，得到所以1l SA ⊥，同理可证2l SA ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可证得SA ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）分别以AB u u u r 、AD u u u r 、AS u u u r 所在方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，求得向量EF u u u r 和平面SCD 的一个法向量为n r ，利用向量的夹角公式，即可求解直线与平面所成的角的正弦值.试题解析：（Ⅰ）证法1：在平面ABCD 内过点C 作两条直线1l ，2l ，使得1l AB ⊥，2l AD ⊥.因为AB AD A ⋂=，所以1l ，2l 为两条相交直线.因为平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB ⋂平面ABCD AB =，1l ⊂平面ABCD ，1l AB ⊥，所以1l ⊥平面SAB .所以1l SA ⊥.同理可证2l SA ⊥.又因为1l ⊂平面ABCD ，2l ⊂平面ABCD ，12l l C ⋂=，所以SA ⊥平面ABCD .证法2：在平面SAB 内过点S 作1l AB ⊥，在平面SAD 内过点S 作2l AD ⊥. 因为平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB ⋂平面ABCD AB =，1l ⊂平面SAB ，1l AB ⊥，所以1l ⊥平面ABCD .同理可证2l ⊥平面ABCD .而过点S 作平面ABCD 的垂线有且仅有一条，所以1l 与2l 重合.所以1l ⊂平面SAD .所以，直线1l 为平面SAB 与平面SAD 的交线.所以，直线1l 与直线SA 重合.所以SA ⊥平面ABCD .（Ⅱ）如图，分别以AB u u u v 、AD u u u v 、AS u u u v 所在方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -.设6SA =，则2AB =，3AD =，()2,0,0B ，()2,3,0C ，()0,3,0D ，()0,0,6S .由F 为SC 的中点，得31,,32F ⎛⎫ ⎪⎝⎭；由23BE BC =u u u v u u u v ，得()2,2,0E .所以11,,32EF u u u v ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2,3,6SC =-u u u v ，()2,0,0DC =u u u v .设平面SCD 的一个法向量为(),,n x y z =v ，则00n SC n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即236020x y z x +-=⎧⎨=⎩.取1z =，则2y =，0x =.所以()0,2,1n =v .所以cos ,EF n u u u v v EF n EF n ⋅=⋅u u u v v u u u v v ()110231⎛⎫-⨯+-⨯+⨯ ⎪=205=. 所以，直线EF 与平面SCD所成角的正弦值为205. 24．（1）34230x y --=; （2）4310x y ++=.【解析】试题分析：(1)首先求得中点坐标，然后求得斜率，最后利用点斜式公式即可求得直线方程；(2)利用点斜式可得直线方程为4310x y ++=.试题解析：（1）8252+=，6222-+=- ∴AB 的中点坐标为()5,2- 624823AB k --==--，∴AB 的中垂线斜率为34 ∴由点斜式可得()3254y x +=- ∴AB 的中垂线方程为34230x y --= （2）由点斜式()4323y x +=-- ∴直线l 的方程4310x y ++= 25．（1）815430x y -+=或4x =;（22.【解析】【分析】（1）把8a =-代入圆的方程中，可得圆心坐标和半径，当直线斜率不存在时，可得:4l x =，此时和圆相切符合题意；当直线斜率存在时，由点斜式设出直线方程，由圆心3=，进而可求出815k =，则切线方程可求. （2）由两圆外切可知圆心距为半径之和，即可求出a 的值，从而可得22:(1)4M x y -+=，求出点Q 关于y 轴对称的点为(2,8)Q -'-，求出Q M '的值，即可求出所求路线的最小值.【详解】解：（1）当8a =-时，圆22:280M x y x +--=，即22(1)9x y -+=，当切线斜率不存在时，直线:4l x =，点()1,0M 到直线l 距离为3，等于半径r ，符合题意.当切线斜率存在时，设直线:5(4)l y k x -=-，即450kx y k --+=，由题意点M 到直线l 距离等于半径r3=，解得815k =.843:1515l y x ∴=+，整理得815430x y -+=. 综上：切线方程为815430x y -+=或4x =.（2）圆22:(1)1M x y a -+=-，则圆心为(1,0)M ，半径()111r a a =-<. 圆22:(1)(23)4N x y ++-=，则圆心(1,23)N -，半径22r =.Q 圆M 和圆N 相外切，12MN r r ∴=+即()()22112312a --+=-+⎡⎤⎣⎦，3a ∴=-.此时圆22:(1)4M x y -+=，圆心(1,0)M ，半径12r =.由点Q 关于y 轴对称的点为(2,8)Q -'-，73Q M '=Q ，∴所走路线的最小值为732-.【点睛】本题考查了直线与圆位置关系的应用，考查了圆圆的位置关系的应用.由直线和圆相切可得等量关系为，圆心到直线的距离等于半径；由圆圆外切可得等量关系为，圆心距为两圆的半径之和.本题的易错点是，在求第一问的切线方程时，没讨论直线斜率不存在的情况.26．（1）取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，则MN 即为所求，证明见解析（2）63【解析】【分析】（1）取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，则MN 即为所求，证明EN ∥AH ，MN ∥BC 可得平面EMN ∥平面ABC 即可（2）因为点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等，求三棱锥E －ABC 的体积可转化为求三棱锥N －ABC 的体积，根据体积公式计算即可.【详解】(1)如图所示，取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，则MN 即为所求.证明：连接EM ，EN ，取BC 的中点H ，连接AH ，∵△ABC 是腰长为3的等腰三角形，H 为BC 的中点，∴AH ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，AH ⊂平面ABC ， ∴AH ⊥平面BCD ，同理可证EN ⊥平面BCD ，∴EN ∥AH ，∵EN ⊄平面ABC ，AH ⊂平面ABC ，∴EN ∥平面ABC .又M ，N 分别为BD ，DC 的中点，∴MN ∥BC ，∵MN ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴MN ∥平面ABC .又MN ∩EN ＝N ，MN ⊂平面EMN ，EN ⊂平面EMN ，∴平面EMN ∥平面ABC ，又EF ⊂平面EMN ，∴EF ∥平面ABC ，即直线MN 上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行.(2)连接DH ，取CH 的中点G ，连接NG ，则NG ∥DH ，由(1)可知EN ∥平面ABC ，∴点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等，又△BCD 是边长为2的等边三角形，∴DH ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，DH ⊂平面BCD ，∴DH ⊥平面ABC ，∴NG ⊥平面ABC ，易知DH ，∴NG又S △ABC ＝12·BC ·AH ＝12×，∴V E －ABC ＝13·S △ABC ·NG . 【点睛】 本题主要考查了线线平行，线面平行，面面平行的判定，面面垂直的性质，等体积法求三棱锥的体积，属于中档题.。
重庆一中 高一下学期期中考试仿真卷(A卷) 数学 含答案
高一年级下期中考试仿真测试卷数学（A）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·孝感八校]一个单位有职工200人，其中有业务员120人，管理人员50人，后勤服务人员30人，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样本，则在20人的样本中应抽取管理人员人数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】在20人的样本中应抽取管理人员人数为502051205030⨯=++，选C．2．[2018·人大附中]“双色球”彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01，02，…，33．一位彩民用随机数表法选取6个号码作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列的数3开始，从左向右读数，则依次选出来的第3个红色球的编号为（）A．21 B．32 C．09 D．20【答案】C【解析】根据随机数表法的应用得到数据分别为：21，32，09…，故第三个数据为09．故答案为C．3．[2018·南阳一中]要从已编号（）的枚最新研制的某型导弹中随机抽取枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的7枚导弹的编号可能是（ ）A ．5，10，15，20，25，30，35B ．3，13，23，33，43，53，63C ．1，2，3，4，5，6，7D ．1，8，15，22，29，36，43【答案】B【解析】根据系统抽样的定义则编号间距为70710÷=，则满足条件是3，13，23，33，43，53，63；故选B ．4．[2018·张家界联考]如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（ ）A ．62B ．63C ．64D ．65【答案】C【解析】甲：13，15，23，26，28，34，37，39，41，所以中间的数是28，乙：15，24，25，32，36，37，38，45，47，中间的数是36，所以甲的中位数是28，乙的中位数是36，所以和是283664+=，故选C ．5．[2018·西北工业大学附中]假设关于某设备使用年限x （年）和所支出的维修费用y （万元）有如下统计资料：若对呈线性相关关系，则与的线性回归方程必过的点是（ ） x 12 4 5 y 11.5 5.5 8 A ．()2,2B ．()1,2C ．()4,5D ．()3,4 【答案】D【解析】∵124534x +++==，1 1.5 5.5844y +++==，∴这组数据的样本中心点是()3,4，∵线性回归方程过样本中心点，∴线性回归方程一定过点()3,4，故选D ．6．[2018·聊城一中]执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1.5，则输入k 的值应为（ ）A ．4.5B ．6C ．7.5D ．9【答案】B【解析】1n =，S k =，判断是，2n =，22k k S k =-=，判断是，3n =，263k k k S =-=，判断是，4n =，3124k k k S =-=，判断否，输出 1.54k S ==，6k =，故选B ． 7．[2018·泉州一中]用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，则两个小球颜色不同的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．58【答案】C【解析】三种不同的颜色分别用A ，B ，C 表示，随机事件所包含的基本事件有：(),A A ，(),A B ，(),A C ，(),B A ，(),B B ，(),B C ，(),C A ，(),C B ，(),C C 共9个，其中表示两个小球颜色不同的有6个，则两个小球颜色不同的概率为6293P ==，故选C ． 8．[2018·淮南一模]有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据几何概型的概率公式可得，A 图中奖的概率38P =，B 图中奖的概率2184P ==，C 图中奖的概率2163P ==，D 图中奖的概率13P =，则概率最大的为A ，故选A （考点：几何概型）．9．[2018·桂林联考]执行如图所示的程序框图，若输出的所有值之和是54，则判断框的空白处应填（ ）A ．8n >B ．9n >C ．10n >D ．12n >【答案】B【解析】模拟程序的运行，可知，程序输出的x 是1，3，5，7，9，11，13，15，17中不是3的倍数的数，因为所有输出值的和157********+++++=．故程序共运行9次．即判断框的空白处应填9n >．故选B ．10．[2018·三明联考]如图是某工厂对一批新产品长度(单位:mm )检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的平均数与中位数分别为（ ）A ．22.5 20B ．22.5 22.75C ．22.75 22.5D ．22.75 25【答案】C【解析】由题意，这批产品的平均数为 ()50021250041750082250032750033252275x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．，其中位数为()0050020.04520225008x -+⨯=+=....．故选C ．11．[2018·佳木斯一中]如果数据1x ，2x ，L ，n x 的平均数为x ，方差为2s ，则143x +，243x +，L ，43n x +的平均数和方差分别为（ ）A ．x ，sB ．43x +，2sC ．x ，216sD ．43x +，216s 【答案】D【解析】因为()1231...n x x x x x n=++++， ()()()2222121...n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦， 143x ∴+，243x +，...，43n x +的平均数为()1231434343...4343n x x x x x n++++++++=+ 143x +，243x +，...，43n x +的方差为()()()222212143434343...434316n x x x x x x S n ⎡⎤+--++--+++--=⎣⎦，故选D ． 12．[2018·临汾一中]在区间[]2,2-上任取一个数a ，则函数()243f x x x a a =-+-+在[]0,4x ∈上的最大值是3的概率为（ ）A ．34B ．14C ．45D ．25【答案】A【解析】由二次函数的性质可得，()243f x x x a =-+-在[]0,4上的最大值()()()(){}max max 024f x f f f =,,，又()max 3f x =Q ，()()04f f =，()()03 23f f ⎧=⎪∴⎨≤⎪⎩或()()23 03f f ⎧=≤⎪⎨⎪⎩， 即33 113a a a a a -+=⇒≤⎧--+≤⎪⎨⎪⎩或13 133a a a a a ⎧--+=⎪⇒=⎨-+≤⎪⎩，综合两种情况及[]22a ∈-，可得21a -≤≤，由几何概型概率公式可得函数()f x 在[]04x ∈，上的最大值是3的概率为()()123224--=--，故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·四川诊断]我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有__________人．【答案】8100【解析】因为共抽调300人，北面抽掉了108人，所以西面和南面共14400人中抽出了192人，所以抽样比为19214400，所以北面共有144001088100192⨯=人，故填8100． 14．[2018·中山一中]如图所示的框图运行后，若输入n 的值为60，则输出的结果是______．【答案】63【解析】636420062m ⨯=>，所以输出63n =． 15．[2018·太原模拟]某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是___________．【答案】25【解析】由题意得共有()115,,，()151,,，()511,,，()124,,，()142,,，()214,,，()241,,，()412,,，()421,,，()133,,，()313,,，()331,,，()223,,，()232,,，()322,,这15种， 其中甲领取的钱数不少于其他任何人的事件有()511,,，()412,,，62155=． ()421,,，()313,,，()331,,，()322,,这6种，所以概率为16．[2018·泉州模拟]图①是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中从左向右第一组的频数为4000．在样本中记月收入(单位:元)在[)1000,1500，[)1500,2000，[)2000,2500，[)2500,3000，[)3000,3500，[)3500,4000的人数依次为1A ，2A ，⋯，6A ，图②是统计月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，则样本的容量n =_____，输出的S =_____．(用数字作答)图① 图②【答案】（1）10000；（2）6000【解析】∵月收入在[)1000,1500的频率为0000850004⨯=..，且有4000人，∴样本的容量4000100000.4n ==． 由图②知输出的2361000040006000S A A A =++⋯+=-=．故填（1）10000，（2）6000．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．[2018·哈尔滨六中]从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155,160，第二组[)160,165，⋯，第八组[]190,195，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．（1）估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上(含180cm )的人数；（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图（如需增加刻度请在纵轴上标记出数据，并用直尺作图）；（3）由直方图估计男生身高的中位数．【答案】（1）144；（2）详见解析；（3）174.5．【解析】（1）由直方图，前五组频率为()000800160040040065082⨯.+.+.+.+.=.，后三组频率为10.82018-=.；这所学校高三男生身高在180cm 以上(含180cm )的人数为8000.18144⨯=人．···········3分 （2）由频率分布直方图得第八组频率为0.0085004⨯=.，人数为004502⨯=.人， 设第六组人数为m ，则第七组人数为0185027m m ⨯--=-.，又()227m m +=-，所以4m =，即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08，0.06．频率除以组距分别等于0.016，0.012，见图．···········7分（3）设中位数为n ，由[]155,170频率为0.32，所以[)170,175n ∈，1700.50.3250.2n --=， 解得174.5n =．···········10分18．[2018·阜城期末]某校高一年级某次数学竞赛随机抽取100名学生的成绩，分组为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，统计后得到频率分布直方图如图所示：（1）试估计这组样本数据的众数和中位数（结果精确到0.1）；（2）年级决定在成绩[]70,100中用分层抽样抽取6人组成一个调研小组，对高一年级学生课外学习数学的情况做一个调查，则在[)70,80，[)80,90，[]90,100这三组分别抽取了多少人？ （3）现在要从（2）中抽取的6人中选出正副2个小组长，求成绩在[)80,90中至少有1人当选为正、副小组长的概率．【答案】（1）65，73.3；（2）3，2，1；（3）35． 【解析】（1）由频率分布直方图得：众数为：6070652+=． 成绩在[)5070,内的频率为：()000500351004+⨯=...，成绩在[)70,80内的频率为：0031003⨯=..，∴中位数为：0.1701073.30.3+⨯≈．···········4分 （2）成绩为[)70,80，[)80,90，[]90,100这三组的频率分别为0.3，0.2，0..1，∴[)70,80，[)80,90，[]90,100这三组抽取的人数分别为3人，2人，1人．·····7分（3）由（2）知成绩在[)70,80有3人，分别记为a ，b ，c ；成绩在[)80,90有2人，分别记为d ，e ；成绩在[]90,100有1人，记为f ．∴从（2）中抽取的6人中选出正副2个小组长包含的基本事件有2630A =种，分别为：ab ，ba ，ac ，ca ，ad ，da ，ae ，ea ，af ，fa ，bc ，cb ，bd ，db ，be ，eb ，bf ，fb ，cd ，dc ，ce ，ec ，cf ，fc ，de ，ed ，df ，fd ，ef ，fe ，记“成绩在[)80,90中至少有1人当选为正、副小组长”为事件Q ，则事件Q 包含的基本事件有18种，∴成绩在[)80,90中至少有1人当选为正、副小组长的概率()183305P Q ==．···12分 19．[2018·成都七中]在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S 市A 区开设分店，为了确定在该区设分店的个数，该公司对该市开设分店的其他区的数据做了初步处理后得到下列表格．记x 表示在各区开设分店的个数，y 表示这x 个分店的年收入之和．x （个） 23 4 5 6 y （百万元）2.5 3 4 4.5 6 （1）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程；（2）假设该公司在A 区获得的总年利润z (单位：百万元)与x ，y 之间的关系为200514z y x =--..，请结合（1）中的线性回归方程，估算该公司在A 区开设多少个分店时，才能使A 区平均每个分店的年利润最大？参考公式：回归直线方程为ˆˆˆybx a =+，其中()()()121ˆni i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-． 【答案】（1）08506y x =+..；（2）4． 【解析】（1）由表中数据和参考数据得：4x =，4y =，()()()121ˆ8508510ni i i n i i x x y y b x x ==--===-∑∑..，ˆ4408506ˆa y bx =-=-⨯=..． ∴y 关于x 的线性回归方程为08506y x =+..．··········6分（2）220051*********z y x x x =--=-+-.....， A 区平均每个分店的年利润08800050850015085z t x x x x x ⎛⎫==--+=-++ ⎪⎝⎭.....， ∴4x =时，t 取得最大值．故该公司应在A 区开设4个分店时，才能使A 区平均每个分店的年利润最大．··········12分20．[2018·河南八市联考]某超市周年庆典，设置了一项互动游戏如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头P 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头P 指向每个区域的可能性都是相等的．要求每个家庭派一名儿童和一位成人先后各转动一次游戏转盘，记为()a,b ，若一个家庭总得分a b X =+，假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动，游戏规定：①若X 8>，则该家庭可以获得一等奖一份；②若X 8=，则该家庭可以获得二等奖一份；若()080X ab <<≠，则该家庭可以获得纪念奖一份．（1）求一个家庭获得纪念奖的概率；（2）试比较同一个家庭获得一等奖和二等奖概率的大小．【答案】（1）一个家庭获得纪念奖的概率为1936；（2）见解析． 【解析】（1）由题意可知，一个家庭的得分情况共有36种，获得纪念奖的情况为()11,，()12,，()13,，()14,，()15,，()21,，()22,，()23,，()24,，()25,，()31,，()32,，()33,，()34,，()41,，()42,，()43,，()51,，()52,．共有19种． 记事件A =“一个家庭获得纪念奖”，则()1936P A =． 故一个家庭获得纪念奖的概率为1936．··········6分 （2）记事件B =“一个家庭获得一等奖”，则符合获得一等奖条件的得分情况包括： ()45,，()54,，()55,共3种，则()313612P B ==． 记事件C =“一个家庭获得二等奖”，则符合获得二等奖条件的得分情况包括：()44,，()53,，()35,共3种，所以()112P C =； 所以同一个家庭获得一等奖和二等奖的概率相等．·········12分21．[2018·成都期末]阅读如图所示的程序框图，解答下列问题：（1）求输入的x 的值分别为1-，2时，输出的()f x 的值；（2）根据程序框图，写出函数()f x ()x R ∈的解析式；并求当关于x 的方程()0f x k -=有三个互不相等的实数解时，实数k 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）()0,1．【解析】（1）当输入的x 的值为1-时，输出的()1122f x -==；··········3分 当输入的x 的值为2时，输出的()222211f x =-⨯+=．··········6分（2）根据程序框图，可得()22020 210x x f x x x x x ⎧<⎪==⎨⎪-+>⎩， 当0x <时，()2x f x =，此时()f x 单调递增，且()01f x <<；当0x =时，()2f x =；当0x >时，()()22211f x x x x =-+=-在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，且()0f x ≥．则可知当关于x 的方程()0f x k -=有三个互不相等的实数解时，实数k 的取值范围为()0,1．··········12分22．[2018·大同一中]设关于x 的一元二次方程220x ax b ++=．（1）若a 是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b 是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率；（2）若a 是从区间[]03，任取的一个数，b 是从区间[]02，任取的一个数，求上述方程有实数根的概率．【答案】（1）()34P A =；（2）23． 【解析】设事件A 为“方程220x ax b ++=有实根”，方程220x ax b ++=有实根，则a b ≥．（1）基本事件共12个：()0,0，()0,1，()0,2，()1,0，()1,1，()1,2，()2,0，()2,1，()2,2，()3,0，()3,1，()3,2，其中括号第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，()00，，()10，，()11，，()20，，()21，，()22，，()30，，()31，，()32，，事件A 发生的概率为；()93124P A ==．··········6分 （2）试验的全部结束所构成的区域为(){},|03,02a b a b ≤≤≤≤，构成事件A 的区域为(){},|03,02,a b a b a b ≤≤≤≤≥，所以所求的概率为2132222323P ⨯-⨯==⨯．··········12分 在Rt PAB △中，226PB PA AB +=∴Rt PBD △中，132BPD S DP PB ∆=⋅⋅=．。
重庆重点中学下学期高一数学期中考试卷
重庆要点中学放学期高一数学期中考试卷总分： 150 分时间：120分钟一、选择题（本大题共12 小题, 每题 5分,共 60 分.）251、 sin(－) 的值等于(B )611C.3D.3A. B.－2－2222、已知角α的终边过点P( －4,3) ，则2sin cos的值是（ D）A、－ 1B、1C、2D、2553、已知︱ cos︱＝ -cos，︱ tan︱＝ tan，则2在（D）A、第二、四象限B、第一、三象限C、第一、四象限或终边在x 轴 D 、第二、四象限或终边在y 轴上4、tan 70tan 50 3 tan 70tan50 =（ D）A．3B．3C．—3D．—3335、函数y 2 sin x1的定义域是（ B）A．[ 2k,2k 2]( k Z )B．[ 2k, 2k5]( k Z )3366C．[ 2k 5,2k]( k Z )D． [2k2,2k](k Z) 66336、已知 8sin＋ 5cos β =6, 8cos＋ 5sin β=10，则 sin(＋β ) 的值是（ B ）A 、11B、 47C、－11D、±47808080807、若32,则式子 1sin1sin 可化简为（ D）2（ A）2sin（ B） 2 sin2（ C）2 cos（ D）2cos2228、把函数y cos x 的图象上全部的点的横坐标减小到本来的一半，纵坐标保持不变，而后把图象向左平移个单位长度，获得新的函数图象，那么这个新函数的分析式为31（C ）A．y cos 2 x3B. y cosx3C ．y cos 2x2D . y cosx6 2329、设a 1cos603sin 60， b 2 tan 350， c1cos500，则有 (D) 221tan 2 35 02A．a b c B ．b c a C ．c b a D ．a c b10、对于函数 y=sinxcos(2－ 2x)－sin(2+x)sin(+2x) 的最小正周期和奇偶性 ,以下表达正确的选项是( C )A.周期为 2的奇函数B.周期为 2的偶函数C.周期为2的奇函数 D.周期为2的偶函数3311. 若cos()1, cos211，且(0,),(,0) ，则等于（ B）71422A．B．C．2D．56336 12. 函数y Asin(x)b 的图象如下图，则常数A、、、 b 的取值能够是（D）A．A6, 1 ,3,b22B ．A4, 1 ,3,b22C．A4,2,, b23D．A4, 1 ,3,b22二、填空题：本大题共 4 小题，每题 4 分，共16 分13、已知sin a 3a,则 tan a的值是-3。
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2014年重庆一中高2016级高一下学期考试数 学 试 题 卷数学试题共4页，共21个小题。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50 分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知向量()()2,,,1m b m a ==，若b a //，则实数m 等于( )A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．0 2.不等式1213-≤--x x 的解集是（ ） A ．324xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ B ．324x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．324x x x ⎧⎫>≤⎨⎬⎩⎭或 D ．{}2x x <3.执行如图所示的程序框图，如果输入2a =，那么输出的a 值为（ ） A.4 B.16 C.256 D.3log 164.等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点，若2=AB ，则⋅=( ) A. 2- B ．2 C ．3 D ．3-5.下列命题正确的是（ ）A.ac bc a b <⇒<B.ba ab b a ><<则若,0C.当0x >且1x ≠时，1lg lg x x+2≥a b < 6.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，则z ＝5y －x 的最大值是( )A ．16B ．30C ．24D ．87.设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a, b, c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的 形状是 ( ) A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定8.已知2121,,,b b a a 均为非零实数，不等式011<+b x a 与不等式022<+b x a 的解集分别为集 合M 和集合N ，那么“2121b b a a =”是“N M =”的 （ ） A ．充分非必要条件B ．既非充分又非必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件9.(原创)在c b a ABC ,,,中∆分别是角A 、B 、C 的对边,若b c C a 2cos 2,1=+=且,则ABC ∆的周长的取值范围是（ ） A ．(]3,1B ．[2,4]C ．(]3,2D ．[3,5]二．填空题:本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在答卷对应的横线上． 11.已知等差数列{}n a 前15项的和15S =30，则1815a a a ++=___________.12.下面框图所给的程序运行结果为S ＝28，如果判断框中应填入的条件是 “a k >”,则整数=a _______.13.已知非零向量b a,满足a b a b a 332=-=+，则向量b a +与b a -的夹角为 .14.已知数集},,,,{321n a a a a A =，记和)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数为)(A M ．如当}4,3,2,1{=A 时，由321=+，431=+，53241=+=+，642=+，743=+，得5)(=A M ．若{1,2,3,,}A n =， 则)(A M = .15.(原创)设实数d c b a ,,,满足：1001≤≤≤≤≤d c b a ,则dcb a +取得最小值时，=+++dc b a .三．解答题：本大题共6个小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（13分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足53cos =A ，3AB AC ⋅=. (1).求ABC ∆的面积； (2).若6b c +=，求a 的值.18.（13分）在分别是角A 、B 、C 的对边，，且n m⊥.(1).求角B 的大小； (2).求sin A ＋sinC 的取值范围.C19.（12分）已知数列的等比数列公比是首项为41,41}{1==q a a n ，设数列{}n b 满足 *)(log 3241N n a b n n ∈=+.(1).求数列{}n n b a +的前n 项和为n S ； (2).若数列nn n n b a c c ⋅=满足}{，若对1412-+≤m m c n 一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围.20.（12分）如图，公园有一块边长为2的等边△ABC 的边角地，现修成草坪， 图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上.(1).设x AD =（x≥0），y DE =，求用x 表示y 的函数关系 式,并求函数的定义域；(2).如果DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又应在哪里？请予证明.21.（12分）( 改编)设正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，向量()()2,1,1,+==n n a b s a，（*N n ∈）满足b a//.(1).求数列}{n a 的通项公式； (2).设数列}{n b 的通项公式为n b nn a a t=+（*N t ∈），若1b ，2b ，m b （*,3N m m ∈≥） 成等差数列，求t 和m 的值；(3).如果等比数列{}n c 满足11a c =，公比q 满足102q <<，且对任意正整数k ， ()21+++-k k k c c c 仍是该数列中的某一项，求公比q 的取值范围.命题人：黄勇庆审题人：王 明2014年重庆一中高2016级高一下期半期考试（本部）数 学 答 案2014.5550二填空题：（每小题5分，满分25分）11．6； 12．7； 13．60； 14．32-n ； 15．121. 三、解答题：16.（本小题满分13分） 解：（1）因为53cos =A ，所以54cos 1sin 2=-=A A ，又由3AB AC ⋅=,得cos 3,bc A =5bc ∴=，1sin 22ABC S bc A ∆∴== （2）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=，a ∴=17.（本小题满分13分）解：(1)由题知1，b 为方程ax 2－3x ＋2＝0的两根， 即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a，1＋b ＝3a， ∴a ＝1，b ＝2.(2)不等式等价于(x －c )(x －2)>0，所以:当c >2时解集为{x |x >c 或x <2}；当c ＝2时解集为{x |x ≠2，x ∈R };当c <2时解集为{x |x >2或x <c }. 18．（本小题满分13分）解：(1）由n m⊥，得,cos )2(cos B c a C b -= .cos 2cos cos B a B c C b =+∴由正弦定理得,cos sin 2cos sin cos sin B A B C C B =+.cos sin 2)sin(B A C B =+∴又,A C B -=+π.cos sin 2sin B A A =∴又.21cos ,0sin =∴≠B A 又.3),,0(ππ=∴∈B B(2)∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝2π3，∴sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛-A 32π＝sin A ＋sin 2π3 cos A －cos 2π3sin A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA ，∵0＜A ＜2π3，∴π6＜A ＋π6＜5π6，∴12＜sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA ≤1，∴32＜sin A ＋sin C ≤ 3.故sin A ＋sin C 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛3,23. 19.（本小题满分12分）解：（1）由题意知，*)()41(N n a n n ∈=2log 341-=n n a b ∴23-=n b n∴()2341-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+n b a n n n ∴()2133411-+⎪⎭⎫⎝⎛-=n n S nn .（2）由（1）知，*)(23,)41(N n n b a n nn ∈-==*)(,)41()23(N n n c n n ∈⨯-=∴n n n n n n c c )41()23()41()13(11⋅--⋅+=-++ *)(,)41()1(91N n n n ∈⋅-=+∴当n=1时，4112==c c ;当n n n c c c c c c c n <<<<=<≥+ 43211,,2即时∴当n=1时，n c 取最大值是41.又恒成立对一切正整数n m m c n 1412-+≤411412≥-+∴m m即510542-≤≥≥-+m m m m 或得。
20．（本小题满分12分）解：（1）在△ADE 中， 60cos 2222⋅⋅-+=AE x AE x y ⇒AE x AE x y ⋅-+=222; ①又 60sin 212321⋅⋅===∆∆AE x S S ABC ADE ⇒2=⋅AE x . ② ②代入①得22222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y （y ＞0）, ∴2422-+=x x y由题意知点D 至少是AB 的中点，DE 才能把草坪分成面积相等的两部分。
所以1≥x ，又D 在AB 上，2=AB ，所以函数的定义域是[]2,1，[]()2,1,2422∈-+=∴x x x y 。
（2）如果DE 是水管=y =当且仅当x 2＝24x，即x ＝2时“＝”成立，故DE ∥BC ，且DE ＝2. 如果DE 是参观线路，记()224xx x f +=，可知函数在[1，2]上递减，在[2，2]上递增，故()()()521max ===f f x f ∴y max = 即DE 为AB 中线或AC 中线时，DE 最长。
21．（本小题满分12分）解：（1） b a //，∴12+=n n a S ，∴2)1(4+=n n a S ①当1=n ，有()2111122+==a a S ，}{n a 是正项数列，∴0>n a ∴11=a当2≥n ，有()21114+=--n n a S ②，①-②，得()()0211=--+--n n n n a a a a ， 0>n a ，∴21=--n n a a ，∴数列}{n a 以11=a ，公差为2的等差数列∴12-=n a n 。