不等式及其性质(教师版)

一、不等式及其性质

【学习目标】

1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系；

2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用；

3．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；

【要点梳理】

要点一、不等式的概念

一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．

要点诠释：

(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．

(2)五种不等号的读法及其意义：

符号读法意义

“≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小

“＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大

“≤”读作“小于或等

于”

即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量

“≥”读作“大于或等

于”

即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量

(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x 表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．

类型一、不等式的概念

例1. 判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式．

（1）4＜5；

（2）x2+1＞0；

（3）x＜2x-5；

（4）x=2x+3；

（5）3a2+a；

（6）a2+2a≥4a-2．

变式练习：

1.（2017春•城关区校级期末）贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，已知某一天的气温为t℃，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（）

A．18＜t＜27 B．18≤t＜27 C．18＜t≤27D．18≤t≤27

2.（2017春•未央区校级月考）下列式子：①a+b=b+a；②-2＞-5；③x≥-1；④

3

1

y-4＜1；⑤2m≥n ；⑥2x-3，其中不等式有（ ） A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

3.（2017春•南山区校级月考）下面给出了6个式子：•3＞0； x+3y ＞0； x=3；④x-1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0；其中不等式有（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

4.（2017春•太原期中）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x 辆，租用30座客车y 辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是（ ） A ．两种客车总的载客量不少于500人 B ．两种客车总的载客量不超过500人 C ．两种客车总的载客量不足500人 D ．两种客车总的载客量恰好等于500人

5.已知有理数m ，n 的位置在数轴上如图所示，用不等号填空．

（1）n-m 0；（2）m+n 0；（3）m-n 0；（4）n+1 0；（5）m•n 0； （6）m+1 0．

例2．用不等式表示：

(1)x 与-3的和是负数；

(2)x 与5的和的28％不大于-6;

(3)m 除以4的商加上3至多为5．

举一反三：

【变式】a a +的值一定是（ ）．

A. 大于零

B.小于零

C.不大于零

D. 不小于零

例3.下列叙述：①a 是非负数则a≥0；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-10＜2； ③“x 的倒数超过10”可表示为

1

x

＞10；④“a ，b 两数的平方和为正数”可表示为a 2+b 2＞0．其中正确的个数是（ ）. A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个

要点二、一元一次不等式的概念

只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，

2

503

x >是一个一元一次不等式． 要点诠释：

(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数为1.

(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 例1.（2017春•沧州期末）下列各式中，一元一次不等式是（ ） A.x

x 5

>

B ．2x ＞1-x 2

C ．x+2y ＜1

D ．2x+1≤3x 变式练习

2．（2017春•平川区校级期中）下列是一元一次不等式的是（ ）

11

..>+

x

x A B ．x 2-2＜1 C ．3x+2 D ．2＜x-2 3．（2016春•永丰县期中）若不等式2x a ＜1是关于x 的一元一次不等式，则a 符合（ ）

A ．a≠1

B ．a=0

C ．a=1

D ．a=2

4.若（m+1）x |m|+2＞0是关于x 的一元一次不等式，则m=（ ）

A ．±1

B ．1

C ．-1

D ．0

5.下列不等式中，是一元一次不等式的有（ ）个． ①x ＞-3；②xy≥1；③x 2＜3；④

132≤-x x ；⑤11

>+x

x ； A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

要点三、不等式的基本性质

不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或整式)，不等号的方向不变．

用式子表示：如果a ＞b ，那么a±c ＞b±c.

不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

用式子表示：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc(或

a b c c >)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

用式子表示：如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc(或

a b c c

<)． 例1.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）． （1）若 b ﹣3a ＜0，则b ＜3a ；

（2）如果﹣5x ＞20，那么x ＞﹣4；

（3）若a ＞b ，则 ac 2＞bc 2

；

（4）若ac 2＞bc 2

，则a ＞b ；

（5）若a ＞b ，则 a （c 2+1）＞b （c 2

+1）． （6）若a ＞b ＞0，则＜． ．

【答案与解析】

解：（1）若由b ﹣3a ＜0，移项即可得到b ＜3a ，故正确；