合肥一六八中学高三测试 数学(理科)试题及参考答案

一六八中学高三测试 数学（理科）试题
本试卷分第Ⅱ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．在复平面，复数
1z
i
+所对应的点为(2,1)-，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．3i -- B ．3i -+ C ．3i - D ．3i +
2．已知全集U R =，{|239}x
A x =<≤，1{|2}2
B y y =<≤，则有（ ）
A ．
A B B ．A B B = C ．()R A B ≠∅ D ．()R A B R =
3． “1m =±”是“函数22()log (1)log (1)f x mx x =++-为偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法
从该地区调查了500位老年人，结果如下： 由22
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22
500(4027030160)9.96720030070430
K ⨯⨯-⨯=
=⨯⨯⨯
附表：
参照附表，则下列结论正确的是（ ）
①有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无．关”②有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有．关”③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； ④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④
5．阅读右图所示的程序框图，若8,10m n ==，则输出的S 的值等于（ ） A ．28 B ．36 C ．45 D ．120
6．已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t α
α
=+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数，α为直线l 的倾斜角)为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin()3
π
ρθ=+
，直线l 与圆C 的两个交点为,A B ，当||AB 最小
3.841 6.635 10.828k 2() 0.050 0.010 0.001
P K k ≥
时，α的值为（ ） A ．4
π
α=
B ．3
π
α=
C ．34πα=
D ．23
πα= 7．已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ） A ．13 B ．2
3
C ．1
D ．2
8．已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114
n n n n
a a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和为5，则n =
（ ）
A ．35
B ．36
C ．120
D ．121
9．已知不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x 表示的平面区域为D ，若D 存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则a 的取值围为
（ ）
A ．(,2)-∞
B ．(,1)-∞
C ．(2,)+∞
D ．(1,)+∞
10．已知2,0
()2, 0
ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（ ）
A ．716-
B ．916-
C ．12-
D ．14
-
第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在横线上）
11．已知||2=a ，||1=b ，2-a 与1
3
b 的夹角为
3
π
，则|2|+=a b ． 12．将曲线1:C 2sin(),04
y x πωω=+>向右平移6π
个单位后得到曲线2C ，若1C 与2C 关于x 轴对称，则ω的
最小值为_________.
13．分别在区间[0,1]、[1,]e 上任意选取一个实数a b 、，则随机事件“ln a b ≥”的概率为_________. 14．已知M N 、为抛物线2
4y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，
||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为_________.
15．已知()f x 是定义在R 上函数，()f x '是()f x 的导数，给出结论如下：
①若()()0f x f x '+>，且(0)1f =，则不等式()x
f x e -<的解集为(0,)+∞；
②若()()0f x f x '->，则(2015)(2014)f ef >； ③若()2()0xf x f x '+>，则1
(2)4(2),n n f f n N +*<∈；
④若()
()0f x f x x
'+
>，且(0)f e =，则函数()xf x 有极小值0； ⑤若()()x
e x
f x f x x
'+=，且(1)f e =，则函数()f x 在(0,)+∞上递增．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 16．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1)cos 2cos a B b A c -=， （Ⅰ）求
tan tan A
B
的值；
（Ⅱ）若a =4
B π
=
，求ABC ∆的面积．
17．（本小题满分12分）
一个盒子里装有编号为1、2、3、4、5的五个大小相同的小球，第一次从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号，并将小球放回盒子，第二次再从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号． （Ⅰ）求第一次或第二次取到3号球的概率；
（Ⅱ）设ξ为两次取球时取到相同编号的小球的个数，求ξ的分布列与数学期望．
18．（本小题满分12分） 已知函数3
2
()31f x ax x =-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）证明：当2a <-时，()f x 有唯一的零点0x ，且01
(0,)2
x ∈．
19．（本小题满分13分）
在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，2
ABC π
∠=
，AD =33AB DC ==．
（Ⅰ）在棱PB 上确定一点E ，使得//CE 平面PAD ；
（Ⅱ）若PA PD ==
PB PC =，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小．
20．（本小题满分13分）
椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线:1l x my =-经过点1F 与椭圆C 交于点M ，
点M 在x 轴的上方．当0m =
时，1||2
MF =． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若点N 是椭圆C 上位于x 轴上方的一点， 12//MF NF ，且1212
3MF F NF F S S ∆∆=，求直线l 的方程．
A
B
C
D
P
21．（本小题满分13分） 设1()1f x x =
+，数列{}n a 满足：112
a =，1(),n n a f a n N *
+=∈． （Ⅰ）若12,λλ为方程()f x x =的两个不相等的实根，证明：数列12n n
a a λλ⎧⎫
-⎨
⎬-⎩⎭为等比数列；
（Ⅱ）证明：存在实数m ，使得对n N *
∀∈，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．
一六八中学高三测试 数学（理科）试题
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．D 解析：本题考查复数的点的表示与复数的乘法运算．
21z
i i
=-+，(1)(2)3z i i i =+-=+，选D ． 2．A 解析：本题考查集合的关系与运算．3(log 2,2]A =，1(,2]2B =
，∵331
log 2log 2
>=，∴
A B ，
选A ．
3．B 解析：本题考查充分、必要条件的判定与函数的奇偶性的判定．当1m =时，()f x 为偶函数，当1m =-时，
()f x 不是偶函数；当()f x 为偶函数时，由11
()()22
f f =-可求得1m =，∴“1m =±”是“函数()f x 为
偶函数”的必要不充分条件，选B ．
4．D 解析：本题考查独立性检验与统计抽样调查方法．由于9.967 6.635>，所以有99%的把握认为该地区的老
年人是否需要帮助与性别有关，②正确；该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好，④正确，选D ． 5．C 解析：本题考查程序框图中的循环结构．12
1123
m
n
n n n n m S C m
---+=
⋅⋅⋅⋅
=，当8,10m n ==时，82
1010
45m n C C C ===，选C ．
6．A 解析：本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程及其直线与圆的位置关系．在直角坐标系中，圆C 的方
程为22
((1)4x y +-=
，直线l 的普通方程为tan (1)y x α=-，直线l 过定点M ，∵
||2MC <，∴点M 在圆C 的部．当||AB 最小时，直线l ⊥直线MC ，1MC k =-，∴直线l 的斜率为1，
∴4
π
α=
，选A ．
7． B 解析：本题考查三视图与几何体的体积的计算．如图该三棱锥是边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中
的一个四面体1ACED ,其中11ED =，∴该三棱锥的体积为112
(12)2323
⨯⨯⨯⨯=
，选B ．
8．C 解析：本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前n 项和．由114
n n n n
a a a a ++-=
+得
2214n n a a +-=，∴{}
2n a 是等差数列，公差为4，首项为4，∴244(1)4n a n n =+-=，由0n a >
得
n a =
111
2n n a a +==+，∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n
项和为
11
11
1)(1)522
22
n +++==，∴120n =，选C ． 9．A 解析：本题考查线性规划中最值的求法．平面区域D 如图所示，先求z ax y =+的最小值，当1
2
a ≤
时，12a -≥-，z ax y =+在点1,0A （）取得最小值a ；当12a >时，12a -<-，z ax y =+在点11
,33
B （）
取得最小值1133a +．若D 存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则有z ax y =+的最小值小于1，∴121
a a ⎧≤⎪⎨⎪<⎩或
12
1113
3a a ⎧>⎪⎪⎨
⎪+<⎪⎩，∴2a <，选A ．
10．C 解析： 当0a >(如图1)、0a =(如图2)时，不等式不可能恒成立；当0a <时，如图3，直线2(2)
y x =--与函数2
y ax x =+图象相切时，916
a =-
，切点横坐标为83，函数2
y ax x =+图象经过点(2,0)时，
12a =-，观察图象可得1
2
a ≤-，选C ．
C
A 1
C
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填写在横线上） 11．2
解析：本题考查向量夹角与向量数量积的应用．a 与b 的夹角为23
π
，1⋅=-a b ， ∴|2|+=a b 2==．
12．6
解析： 曲线2C 的解析式为2sin[()]2sin()6446
y x x π
πππ
ωωω=-
+=+-，由1C 与2C 关于x 轴对称知sin()sin()4
6
4
x x π
π
πωωω+
-
=-+，即1cos()sin()sin()cos()06
4
6
4
x x ππππωωωω⎡
⎤++-+=⎢⎥⎣
⎦
对一切x R
∈恒成立，∴1cos()06
sin()0
6πωπω⎧
+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴(21)6k πωπ=+，∴6(21),k k Z ω=+∈，由0ω>得ω的最小值为6.
13．
1e e
- 解析： 由ln a b ≥得a
b e ≤，如图所有实数对(,)a b 表示的区域的面积为e ，满足条件“a
b e ≤”的实数对(,)a b 表示的区域为图中阴影部分，其面积为1
a
e da ⎰
ln a b ≥”的概率为1
e e
-．
14．20x y --=
解析： 设1122(,)(,)M x y N x y 、，那么12||||210MF NF x x +=++=，128x x +=，∴线段MN 的中点坐标
为(4,2).由2114y x =，2
224y x =两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，而
12
22
y y +=，∴12
12
1y y x x -=-，∴直线MN 的方程为24y x -=-，即20x y --=.
15．②④⑤
解析：构造函数()()x g x e f x =，()[()()]0x
g x e f x f x ''=+>，()g x 在R 上递增，
∴()x
f x e
-<()1x e f x ⇔<()(0)g x g ⇔<0x ⇔<，∴①错误；
构造函数()()x f x g x e =
，()()
()0x
f x f x
g x e '-'=>，()g x 在R 上递增，∴(2015)(2014)g g >，
∴(2015)(2014)f ef >∴②正确；
构造函数2
()()g x x f x =，2
()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+，当0x >时，()0g x '>，∴
1(2)(2)n n g g +>，∴1(2)4(2)n n f f +>，∴③错误；
由()()0f x f x x '+>得()()
0xf x f x x '+>，即()()0xf x x
'>，∴函数()xf x 在(0,)+∞上递增，在(,0)
-∞上递减，∴函数()xf x 的极小值为0(0)0f ⋅=，∴④正确；
由()()x e xf x f x x '+=得2
()()x e xf x f x x
-'=，设()()x
g x e xf x =-，则()()()x
g x e f x xf x ''=--(1)x x
x
e e e x x x
=-=-，当1x >时，()0g x '>，当01x <<时，()0g x '<，
∴当0x >时，()(1)0g x g ≥=，即()0f x '≥，∴⑤正确．
三、解答题（本大共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 16．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由1)cos 2cos a B b A c -=及正弦定理得
1)sin cos 2sin cos sin sin cos +cos sin A B B A C A B A B -==， （3分）
cos 3sin cos A B B A =
，∴
tan tan A
B
=（6分）
（Ⅱ）tan A B ==，3
A π
=
，sin 42sin sin 3
a B
b A π
π=
=
=， （8分）
sin sin()4
C A B =+=
， （10分） ∴ABC ∆
的面积为
111sin 2(32242
ab C =⨯=+（12分） 17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）事件“第一次或第二次取到3号球的概率”的对立事件为“二次取球都没有取到3号球”，∴所求概率
为22
44225516
125
C C P C C =-⋅=（6分）
（Ⅱ）0,1,2,ξ= 23253(0)10C P C ξ===，1123253(1)5C C P C ξ⋅===，2
22
51
(2)10
C P C ξ===，（9分） 故ξ的分布列为：
∴3314
012105105
E ξ=⨯
+⨯+⨯= （12分） 18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）2
()363(2)f x ax x x ax '=-=-， （1分）
①当0a >时，解()0f x '>得2x a >
或0x <，解()0f x '<得2
0x a <<， ∴()f x 的递增区间为(,0)-∞和2(,)a +∞，()f x 的递减区间为2
(0,)a
． （4分）
②当0a =时，()f x 的递增区间为(,0)-∞，递减区间为(0,)+∞． （5分）
③当0a <时，解()0f x '>得
20x a <<，解()0f x '<得0x >或2x a < ∴()f x 的递增区间为2(,0)a
，()f x 的递减区间为2
(,)a -∞和(0,)+∞． （7分）
（Ⅱ）当2a <-时，由（Ⅰ）知2(,)a -∞上递减，在2
(,0)a
上递增，在(0,)+∞上递减．
∵2
2
24
0a f a a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭
，∴()f x 在(,0)-∞没有零点． （9分） ∵()010f =>，11
(2)028
f a ⎛⎫=+<
⎪⎝⎭，()f x 在(0,)+∞上递减， ∴在(0,)+∞上，存在唯一的0x ，使得()00f x =．且01(0,)2x ∈ 综上所述，当2a <-时，()f x 有唯一的零点0x ，且01
(0,)2
x ∈． （12分）
19．（本小题满分13分）
解： （Ⅰ）当1
3
PE PB =
时，//CE 平面PAD .（1分） 设F 为PA 上一点，且1
3PF PA =，连结EF 、DF 、EC ，
那么//EF AB ,1
3EF AB =．（3分）
∵//DC AB ，1
3
DC AB =，∴//EF DC ，EF DC =，∴//EC FD ．
又∵CE ⊄平面PAD ， FD ⊂平面PAD ，∴//CE 平面PAD ． （5分） （Ⅱ）设O 、G 分别为AD 、BC 的中点，连结OP 、OG 、PG ，
∵PB PC =，∴PG BC ⊥，易知OG BC ⊥，∴BC ⊥平面POG ，∴BC OP ⊥． 又∵PA PD =，∴OP AD ⊥，∴OP ⊥平面ABCD ． （8分）
建立空间直角坐标系O xyz -（如图），其中x 轴//BC ，y 轴//AB ，则有(1,1,0)A -,(1,2,0)B ,
(1,2,0)C -
．由(6)(2PO ==-=知(0,0,2)P ． （9分）
设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，(1,2,2)PB =-,(2,0,0)CB =
则00
n PB n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即22020x y z x +-=⎧⎨=⎩，取(0,1,1)n =.（11分）
设直线PA 与平面PBC 所成角为θ，(1,1,2)AP =-，则||3
sin |cos ,|||||AP n AP n AP n θ⋅=<>==
⋅， ∴3
π
θ=
，∴直线PB 与平面PAD 所成角为3
π
. （13分）
20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由直线:1l x my =-经过点1F 得1c =，
当0m =时，直线l 与x 轴垂直，21||2
b MF a ==， 由21
2c b a
=⎧⎪⎨=
⎪⎩解得1a b ⎧=⎪
⎨=⎪⎩C 的方程为2212x y +=． （4分） （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，120,0y y >>，由12//MF NF 知
1212
11
22
||3||MF F NF F S MF y S NF y ∆∆=
==．
（7分） 联立方程22
1
1
2
x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得22
(2)210m y my +--=，解得y = ∴1y =，同样可求得2y = （11分）
由1
23y y =得123y y =3=，解得1m =， 直线l 的方程为10x y -+=． （13分） 21．（本小题满分13分）
解：证明：2
()10f x x x x =⇔+-=，∴2112221010λλλλ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，∴2
112
22
11λλλλ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩． A
. .
. . . ∵12111111112122222222111111n n n n n n n n n n
a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ++--+----====⋅------+， （3分） 11120a a λλ-≠-，12
0λλ≠， ∴数列12n n a a λλ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭
为等比数列． （4分）
（Ⅱ）证明：设m =
()f m m =． 由112a =及111n n a a +=+得223a =，335a =，∴130a a m <<<． ∵()f x 在(0,)+∞上递减，∴13()()()f a f a f m >>，∴24a a m >>．∴1342a a m a a <<<<，（8分）
下面用数学归纳法证明：当n N *∈时，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．
①当1n =时，命题成立． （9分）
②假设当n k =时命题成立，即2121222k k k k a a m a a -++<<<<，那么 由()f x 在(0,)+∞上递减得2121222()()()()()k k k k f a f a f m f a f a -++>>>> ∴2222321k k k k a a m a a +++>>>>
由2321k k m a a ++>>得2321()()()k k f m f a f a ++<<，∴2422k k m a a ++<<， ∴当1n k =+时命题也成立， （12分）
由①②知，对一切n N *∈命题成立，即存在实数m ，使得对n N *∀∈，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．（13分）。