对数比较的新方法

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指对数比较大小8种常考题型总结-高一数学(人教A版2019必修第一册)

第20讲指对数比较大小8种常考题型总结【知识点梳理】指数和对数的比大小问题成为了高考和模拟题的一些拉档题，这里我们重点介绍几种比大小方法，让大家充分了解掌握一些指数对数大小比较的常用方法．（1）利用指数对数单调性比较大小；当底数一样或者可以化成一样，直接利用单调性比较即可（2）利用指数对数函数图象关系比较大小（2）比较与0,1的大小关系，此类题目一般会放在单选第5题左右位置，比如12.02.0003.0=<<，12.0log 3.0log 1log 02.02.02.0=<<=（3）取中间值，比如遇到两个数都在0到1之间，我们可以比较它们与21的大小等（4）去常数再比大小当底数和真数出现了倍数关系时候，需要将对数进行分离常数再比较．例如：log log 1log log n a a a a ma m ma m n =+=+；．（5）当真数一样我们考虑用换底公式，换为底数一样，再比较分母，如2ln =a 和2log 3=b ，e a 2log 12ln ==，3log 12log 23==b ，因为e 22log 3log >，所以b a > （6）乘倍数比较数的范围比较大小，比如3log 2=a 和4log 3=b ，则()5,427log 3log 3322∈==a ，()4,364log 4log 3333∈==b ，所以b a 33>，所以b a >（7）构造函数，利用函数的单调性比价大小【题型目录】题型一：直接利用单调性比较大小题型二：比较与1,0的大小关系题型三：取中间值比较大小题型四：利用换底公式比较大小题型五：分离常数再比较大小题型六：利用均值不等式比较大小题型七：乘倍数比较数的范围比较大小题型八：构造函数比大小【典型例题】题型一：直接利用单调性比较大小【例1】（2022·湖南邵阳·高一期末）已知222log 0.6,log 0.8,log 1.2a b c ===，则（） A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a b c >>【答案】A【分析】由对数函数得单调性即可得出结果. 【详解】∵2log y x =在定义域上单调递增， ∵222log 0.6log 0.8log 1.2<<，即c b a >>. 故选：A.【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知2log 3a =，4log 6b =，8log 9c =，则a 、b 、c 的大小顺序为（） A ．a b c <>，2log y x =单调递增，所以c b a <<. 故选：C 【题型专练】1.（2022·广东珠海·高一期末）下列选项正确的是（） A ．22log 5.3log 4.7D ．log 3.1log 5.2(0a a a <>且1)a ≠【答案】C【分析】利用对数函数的单调性逐项判断可得答案.【详解】对于A ，因为2=log y x 是单调递增函数，所以22log 5.3log 4.7>，故A 错误；对于B ，因为0.2=log y x 是单调递减函数，所以0.20.2log 7log 9>，故B 错误；对于C ，因为33ππ3=1,1log πlog log 3log π><=，所以3πlog πlog 3>，故C 正确；对于D ，当01a <<时，=log a y x 是单调递减函数，当1a >时，=log a y x 是单调递增函数，所以当01a <<时，log 3.1log 5.2>a a ，当1a >时，log 3.1log 5.2<a a ，故D 错误. 故选：C.2．（2022·全国·高一单元测试）已知2log 3a =，ln 2b =，2log πc =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】B【分析】根据对数函数的单调性并借助1比较即可求解.【详解】解：因为()2log f x x =为单调递增函数，所以22log πlog 31>>. 因为ln 21<，所以c a b >>．故选:B ．3.（2022·江西·上高二中模拟预测（文））已知1ln 3a=，33log 5log 2b =-，3c =a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】C【分析】根据对数的运算及对数函数的性质计算可得；【详解】解：2ln 3ln 3c ==，21ln e ln 3ln e 2=<<=，即12c <<，又1ln 3a =，所以31ln elog e ln 3ln 3a ===，所以112a <<， 3335log 5log 2log 2b =-=，33315log 3log log 3122=<<=，即112b <<，又5e 2>，所以335log e log 2>，即a b >，综上可得c a b >>；故选：C4.（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期末）已知0.919x =，2log 0.1y =，2log 0.2z =，则（） A ．x y z >> B ．x z y >>C ．z x y >>D ．z y x >>【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较大小即可【详解】因为9x y =在R 上为增函数，且0.910>，所以0.910991>=，即1x >，因为2log y x =在(0,)+∞上为增函数，且0.10.21<<，所以222log 0.1log 0.2log 10<<=，即0y z <<，所以x z y >> 故选：B.题型二：比较与1,0的大小关系【例1】（2022·甘肃酒泉·高二期末（理））若1223a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1ln 2b =，0.20.6c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c b a >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．a c b >>【答案】B【分析】分别根据23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、ln y x =、0.6x y =的单调性，比较a ，b ，c 与0、1的大小，即可比较【详解】23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),-∞+∞上是减函数，12220133a ⎛⎫⎛⎫<== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭< ； ln y x =在()0,+∞上是增函数，1lnln102b =<=； 0.6x y =在(),-∞+∞上是减函数，0.200.60.61c -=>=，故c a b >>，故选：B【例2】（2022·全国·高一课时练习）已知0.3123log 2,log 3,2a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】D【分析】利用函数的单调性判断出0a <，1b >，01c <<，即可得到正确答案. 【详解】因为13log y x=为减函数，所以1133log 2log 10a =<=，即0a <；因为2log y x =为增函数，所以22log 321log b =>=，即1b >；因为2x y =为增函数，所以0.300221c -<=<=，即01c <<；所以b c a >>. 故选：D【例3】（2022·天津·高考真题）已知0.72a =，0.713b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】C【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】因为0.70.7221120log 1log 33⎛⎫>>=> ⎪⎝⎭，故a b c >>.故答案为：C. 【题型专练】1.（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）若0.110a =，lg0.8b =，5log 3.5c =，则（） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a c b >>【答案】D【分析】根据指数函数以及对数函数的性质，判断a,b,c 的范围，即可比较大小，可得答案. 【详解】由函数10x y =为增函数可知0.1110a =>，由lg y x =为增函数可得lg0.80b =<，由由5log y x =为增函数可得50log 3.51c <=<，0.15101log 3.50lg0.8a c b ∴=>>=>>=，a cb ∴>>，故选:D2.（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知5lg 0.2,log 6,ln 2a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <=<=<=，所以a c b <<. 故选：C3.（2022·陕西汉中·高一期末）已知0.60.622e log 0.6a b c -===，，，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】C【分析】根据指数函数和对数函数的性质判断0.60.622e log 0.6a b c -===，，的范围，即可判断大小，即得答案.【详解】由于0.60.602022e e >2log 0.6lo <0<g 1a b c -====<=1,0=1，，故a b c >>，故选：C题型三：取中间值比较大小【例1】（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））已知32log 3a =，2log 3b =，139c =，则（） A ．c a b >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．c b a >>【答案】D【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】因为332log log 103a =<=，2221log 2log 3log 42b =<=<=，1133982c =>=，因此，c b a >>. 故选：D.【例2】（2021·全国·高考真题）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（） A ．c b a << B ．b a c << C ．a c b << D ．a b c <<【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较a 、b 与c 的大小关系，由此可得出结论. 【详解】55881log 2log 5log 22log 32a b =<==<=，即a c b <<. 故选：C.【例3】（2022·山东滨州·高二期末）已知6log 2a =，0.5log 0.2b =，0.30.6c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b <=，即2b >，66610log 1log 2log 62=<<=，即102a <<，00.30.31110.60.60.50.52=>>>=，即112c <<，所以b c a >>；故选：A 【题型专练】1．（2022·河南濮阳·高一期末（文））已知3log 4a =，4log 5b =，32c =，则有（） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．c a b >>【答案】D【分析】根据对数函数的单调性，借助中间值比较大小即可. 【详解】依题意，23043<<，3243∴< ，3log y x =是单调递增，32333log 4log 32∴<=，a c ∴<，23054<<，3254∴<，4log y x =是单调递增，32443log 5log 42∴<=，b c ∴<， 45430>>，5443∴> ，3log y x =是单调递增，54335log 4log 34∴>=，54a ∴>，45054<<，5454∴<，4log y x =是单调递增，54445log 5log 44∴<=，54b ∴<，综上所述，c a b >>. 故选：D.高二期末（理））设0.632log 8c =A ．b a c << B ．c b a << C ．a c b << D ．b c a <<【答案】D【分析】利用幂函数和对数函数的性质比较即可【详解】因为533223log 8log 20.60.615c ====<，所以c a <，因为0.6y x =在(0,)+∞上为增函数，且910<，所以0.60.6910<，因为lg y x =在(0,)+∞上为增函数，所以0.60.6lg9lg100.6<=，所以b c <，综上b c a <<，故选：D3．（2022·重庆九龙坡·高二期末）已知52log 4a =，31log 72b =，4log 52c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b c a <，所以b a c <<. 故选：B.题型四：利用换底公式比较大小【例1】（2021·全国·高一期末）设x ，y ，z 为正数，且345x y z ==，则（） A ．x y z <，用k 表示出x ，y ，z ，再借助对数函数的性质即可比较作答. 【详解】因x ，y ，z 为正数，令345x y z k ===，则1k >，因此有：31log log 3k x k ==，41log log 4k y k ==，51log log 5k z k ==，又函数()log k f t t =在(0,)+∞上单调递增，而1345<<<，则0log 3log 4log 5k k k <<<，于是得111log 3log 4log 5k k k >>，所以z y x <<. 故选：D【例2】（2022·全国·高三专题练习）设a =log 32，b =ln2，c 125=，则a ､b ､c 三个数的大小关系是（） A ．a >b >c B ．b >a >cC ．c >a >bD ．c >b >a【答案】D【分析】根据对数函数与指数函数性质，结合中间值0、1比较可得．【详解】∵0<ln2<lne=1，ln3>1，∵log 32ln 2ln 3=<ln2， ∵a 50=1， ∵c >b >a ，故选：D .【例3】（2022·全国·高三专题练习）设a =log 32，b =ln2，c 125=，则a ､b ､c 三个数的大小关系是（） A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．c >b >a【答案】D【分析】根据对数函数与指数函数性质，结合中间值0、1比较可得．【详解】∵0<ln2<lne=1，ln3>1， ∵log 32ln 2ln 3=<ln2， ∵a 50=1， ∵c >b >a ，故选：D . 【题型专练】1.（2022河南·高三开学考试（文））设0.1log 4a =，50log 4b =，则（） A ．()22ab a b ab <+，从而0ab <，由对数换底公式和对数运算法则计算得1112a b<+<，再由不等式性质可得结论．【详解】因为0.1log 4a =，50log 4b =，所以0,0a b <>，所以0ab <， ()44411log 0.1log 50log 51,2a b +=+=∈，即1112a b<+<，所以2ab a b ab <+<. 故选：D ．2.（2022·重庆八中高三阶段练习）设2log a π=，6log b π=，则（）A ．0a b ab -<0>0a b ab -，，111b a-<，由此可判断得选项. 【详解】解：因为22log >log 21a π==，6660log 1log log 61b π=<=<=，所以>1,01a b <<，所以>0>0a b ab -，，故排除A 、B 选项；又11log 6log 2log 3log 1a bb a abπππππ--==-=<<，且>0ab ，所以0a b ab <-<，故选：D.3.（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）设0.20.3a =，20.3b =，则（） A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<< D ．0ab a b <<+【答案】B【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合对数的运算性质进行判断即可.【详解】由0.20.20.3log 0.3aa =⇒=，因为0.20.20.2log 1log 0.3log 0.2<<，所以01a <<，由220.3log 0.3bb =⇒=，因为22log 0.3log 0.51<=-，所以1b <-，因此0ab <，0a b +< 由0.20.31log 0.3log 0.2a a =⇒=，20.31log 0.3log 2b b=⇒=，于是有：0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b+=+=，因为0.30.3log 0.4log 0.31<=，所以1111b aa b ab++<⇒<，因为0ab <，所以b a ab +>，即0ab a b <+<，故选：B【点睛】关键点睛：利用对数函数的单调性，结合,a b 两数的倒数和与1之间的关系，进行判断是解题的关键.4．（2022·全国·高一课时练习多选题）已知正数x ，y ，z 满足346x y z ==，则下列说法中正确的是（） A ．1112x y z+= B ．346x y z >>C ．22xy z > D ．32x y z +>⎝【答案】ACD【分析】将已知条件转化为对数的形式，利用对数运算、商比较法、基本不等式等指数对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】正数x ，y ，z 满足346x y z ==，设()3461x y zt t ===>，则3log x t =，4log y t =，6log z t =．对于A ，1111log 3log 4log 622t t t x y z+=+==，故A 正确；对于B ，333log x t =，444log y t =，666log z t =， ∵33433log 3log 4144log 4x t y t ==<，∵34x y <， ∵44644log 2log 6166log 3y t z t ==<，∵46y z <，∵346x y z <<，故B 错误；对于C ，由1111222z x y xy=+>（2x y ≠），两边平方，可得22xy z >，故C 正确；对于D ，由22xy z >，可得232222222x y xy z z z ⎛⎫+>>=>+ ⎪ ⎪⎝⎭（x y ≠），故D 正确．故选：ACD题型五：分离常数再比较大小【例1】（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知6log 3a =，8log 4b =，10log 5c =，则（）． A ．b a c << B ．c b a << C ．a c b << D ．a b c <<【答案】D【分析】结合对数的运算公式以及对数函数的单调性进行转化求解即可．【详解】由题意得， 666261log 3log 1log 212log 6a ===-=-， 888281log 4log 1log 212log 8b ===-=-， 1010102101log 5log 1log 212log 10a ===-=-，因为函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，所以222log 6log 8log 10<<，则222111log 6log 8log 10>>，所以a b c <<. 故选：D ．【题型专练】1.设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则（）A. a b c >>B. b c a >>C. a c b >>D. a b c >> 【答案】D【详解】由题意得，()()()335577log 321log 2,log 521log 2,log 721log 2a b c =⨯=+=⨯=+=⨯=+357log 2log 2log 2>>，所以可得：a b c >>故选：D ．题型六：利用均值不等式比较大小【例1】（2022·黑龙江·绥化市第九中学高二期末）73a =，4log 20b =，33log 2log 6c =+，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】B【分析】根据对数函数的性质结合基本不等式分析比较即可【详解】74133a ==+，4444log 20log 4log 51log 5b ==+=+，333log 2log 61log 4c =+=+，因为433333334log 3log 81log 64log 43==>=，所以a c >，因为2423lg3lg5log 5lg5lg32log 4lg 4lg 4(lg 4)+⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅<222222lg15lg162lg 42221(lg 4)(lg 4)(lg 4)⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=<==，43log 51,log 41>>，所以43log 5log 4<，所以c b >，综上a c b >>，故选：B【例2】（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）若lg 2lg5a =⋅，ln 22b =，ln 33c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <，再作差可判断,c b 大小.【详解】()2lg 2lg51lg 2lg544a +=⋅<=，2ln 2ln 41444b ==>，9ln ln 3ln 22ln 33ln 2803266c b --=-==>，则c b >.所以a b c <<. 故选：A ．【题型专练】1．（2022·全国·高考真题（文））已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（） A ．0a b >> B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>【答案】A【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=．又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >，所以8log 989890m b =-<-=．综上，0a b >>．故选：A.2.（2022·河南商丘·高二期末（文））已知log 5a =0.62b =，0.2log 6c =-，则实数a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C【分析】根据换底公式可得,1a c >，再根据换底公式与基本不等式可得c a <，再根据5532b ⎛⎫> ⎪⎝⎭可得b a >，进而求得大小关系【详解】24log 5log 51a =>=，0.25log 6log 61c =-=>，则()25224lg 4lg 6log 6lg 4lg 62log 5(lg 5)lg 5c a +⎛⎫ ⎪⋅⎝⎭==<()()2222lg 24lg 25221lg 5lg 5⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=<=，所以c a <； 243log 5log 52a ==<，()5550.63282b ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，所以32b >，则b a >.所以b a c >> 故选：C.题型七：乘倍数比较小【例1】（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（） A ．a ，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<；由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <；由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >.综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 【题型专练】1.已知3log 2=a ，4log 3=b ，5log 4=c ，则实数a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a >C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】B【详解】()5,427log 3log 3322∈==a ，()4,364log 4log 3333∈==b ，所以b a 33>，所以b a > 又因()6,5256log 4log 4433∈==b ，()5,4625log 5log 4444∈==c ，所以c b 44>，所以c b > 所以c b a >>，故选B 题型八：构造函数比大小【例1】（2022·全国·高一专题练习）设0a >，0b >，则下列叙述正确的是（） A ．若ln 2ln 2a b b a ->-，则a b > B ．若ln 2ln 2a b b a ->-，则a b < C ．若ln 2ln 2a a b b ->-，则a b > D ．若ln 2ln 2a a b b ->-，则a b < 【答案】A【分析】利用函数的单调性分析判断即可【详解】因为ln y x =和2y x =在(0,)+∞上均为增函数，所以()ln 2f x x x =+在(0,)+∞上为增函数，所以()()f a f b >时，得0a b >>，反之也成立，即ln 2ln 2a a b b +>+时，0a b >>，反之也成立，所以ln 2ln 2a b b a ->-时，0a b >>，反之也成立，故选：A【例2】（2022·四川·树德中学高二阶段练习（文））若2e 2e x x y y ---<-，则（） A ．()ln 10y x -+C ．ln 0x y ->D ．ln 0x y -<【答案】B【分析】先构造函数()2e x xf x -=-，通过导函数得到单调性，从而得到x y <，故可通过函数单调性判断出()ln 1ln10y x -+>=，而x y 可能比1大，可能等于1，也可能()0,1x y -∈，故CD 均错误.【详解】令()2e x x f x -=-，则()2ln 2e 0x xf x -'=+>恒成立，故()2e x x f x -=-单调递增，由2e 2e x x y y---<-可得：x y <，故()ln 1ln10y x -+>=，A 错误，B 正确；x y 可能比1大，可能等于1，也可能()0,1x y -∈，故不能确定ln x y -与0的大小关系，CD 错误.故选：B【题型专练】1．（2021·江西·高二阶段练习（理））若1a b >>，且x y x y a a b b --->-，则（） A ．()ln 10x y -+> B ．()ln 10x y -+< C ．ln 0x y -> D ．ln 0x y -<【答案】A【分析】根据题意，构造函数()x xf x a b -=-，利用函数单调性，结合对数函数的性质，即可判断和选择.【详解】因为x y x y a a b b --->-，即x x y y a b a b --->-，故令()x xf x a b -=-，则上式等价于()()f x f y >因为1a b >>，,x x y a y b -==-都是R 上的单调增函数，故()f x 为R 上的单调增函数，则由()()f x f y >，可得x y >，即0x y ->；则11x y -+>，故()ln 10x y -+>，则A 正确；B 错误；因为0x y ->，故无法判断ln x y -的正负，故C ，D 错误. 故选：A .【点睛】本题考查对数函数的单调性，以及函数单调性的应用，属综合中档题；解决问题的关键是根据已知条件，构造函数()x xf x a b -=-，并利用其单调性判断,x y 的大小关系.2.（2022·全国·高一单元测试）已知正实数x ，y 满足21211log log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A ．11x y D ．122x y -<【答案】BC【分析】可以利用筛选法逐个检验选项或者构造函数，结合单调性求解.【详解】方法一（筛选法）由题意，211log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当x y >，即1x y >时，2log 0x y >，而1122x y ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11022x y ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故211log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不成立．当x y =时，2log 0x y =，11022x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不成立，故0x y <<，所以11x y >，33x y <，故A 错误，B 正确．0y x ->，则11y x -+>，()ln 10y x -+>，故C 正确．0221x y -<=，故D 不一定正确．故选：BC ．方法二（构造函数法）由题意，2211log log 22x y x y ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设函数()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，显然()f x 在区间()0,∞+上单调递增，故由()()f x f y <，得0x y <<，故11x y>，故A 错误．33x y <，B 正确；由x y <，得11y x -+>，故()ln 1ln10y x -+>=，C 正确；0221x y -<=，故D 不一定正确，故选：BC ．。

对数指数幂函数比大小技巧

对数指数幂函数比大小技巧1. 定义对数指数幂函数是由幂函数、指数函数和对数函数组合而成的一类特殊函数。

它们在数学中具有重要的应用，尤其在比较大小时，可以通过一些技巧简化计算。

常见的对数指数幂函数包括：•幂函数y=ax b，其中a和b是常数，x是变量。

•指数函数y=a x，其中a是常数，x是变量。

•对数函数y=log a(x)，其中a是底数，x是变量。

2. 用途对数指数幂函数比大小技巧主要用于比较各种复杂的函数关系。

通过转换为对数或指数形式，可以简化计算过程，并更容易理解和分析问题。

这些技巧在实际应用中具有广泛的应用场景，例如：•经济学中的边际效益分析：通过比较两个变量之间的增长率来确定最优决策。

•物理学中的衰减和增长模型：通过比较指数衰减或增长速度来预测系统行为。

•生物学中的生长模型：通过比较不同生物体的增长率来研究种群动态。

3. 工作方式对数指数幂函数比大小技巧的工作方式主要包括以下几个步骤：步骤1：转换为对数或指数形式首先，将需要比较的函数转换为对数或指数形式。

这可以通过以下公式实现：•对数形式：y=log a(f(x))•指数形式：y=a f(x)其中，f(x)是原始函数。

步骤2：确定底数和指数根据具体情况，确定底数和指数的取值。

通常情况下，选择底数和指数使得计算更加简单，并且能够满足问题的要求。

步骤3：比较大小通过比较转换后的对数或指数形式，确定原始函数之间的大小关系。

•对于两个对数形式y1=log a(f(x1))和y2=log a(f(x2))，若x1<x2，则y1<y2。

•对于两个指数形式y1=a f(x1)和y2=a f(x2)，若x1<x2，则y1<y2。

步骤4：反向转换根据比较结果，可以将对数或指数形式重新转换为原始函数形式，得到最终的大小关系。

4. 示例以下是一些常见的对数指数幂函数比大小技巧的示例：示例1：比较幂函数和指数函数考虑两个函数y1=2x和y2=3x2，我们想要比较它们之间的大小关系。

比较对数式大小的三种常用方法

方法集锦比较对数式大小问题的难度一般不大，常以选择、填空题的形式出现.此类问题侧重于考查对数函数的运算法则、性质以及对公式的应用.下面主要谈一谈比较对数式大小的几种常用方法，仅供同学们参考.一、单调性法运用单调性法比较对数式的大小，主要是利用对数函数的单调性：当a >1时，y =log a x 为增函数；当0<a <1时，y =log a x 为减函数.若不易判断出函数的单调性，可根据函数单调性的定义，或导函数与函数单调性之间的关系来判断出函数的单调性，再根据函数的单调性来比较函数式的大小.例1.比较log 24和log 20.3的大小.解：因为y =log 2x 为增函数，且4>0.3,所以log 24>log 20.3.上述两个函数式的底数相同，可将两个函数式看作函数y =log 2x 分别在x =4、0.3时的函数值，根据函数y =log 2x 的单调性，即可比较出两个函数式的大小.例2.比较log 23,log 812,lg 15的大小.解：因为32=128=1510，设f (x )=log 2x 3x =ln 3x ln 2x，因为f ′(x )=13x ln 2x -12x ln 3x ()ln 2x 2=ln(2x )2(3x )36x ()ln 2x 2，由x ≥1知，(2x )2(3x )3≤1，所以ln (2x )2(3x )3<0，所以f ′(x )<0，故f (x )在x ∈(]0,+∞上单调递减.所以f (1)>f (4)>f (5)，即log 23>log 812>lg 15.若对数式的真数和底数之间存在着某种特殊关系，如倍数关系、和差关系等，就可以充分利用这种关系构造出相应的函数，借助函数的单调性来比较对数式的大小.二、作差（商）比较法对于含多个变量的对数式，可采用作差(商)比较法来比较两个函数式的大小，即先将两个对数式相减（除）；然后根据对数运算法则进行运算，将差式或商式化简为最简形式；再将其与0、1比较，从而确定两个对数式的大小关系.例3.设0<x <1，a >0且a ≠1，请比较|log a (1-x )|与|log a (1+x )|的大小．解法1：作差法.∵0<x <1，∴1<1+x <2，0<1-x <1，0<1-x 2<1，当0<a <1时，log a (1-x )>0，log a (1+x )<0，∴|log a (1-x )|-|log a (1+x )|=log a (1-x )+log a (1+x )=log a [(1-x )(1+x )]=log a (1-x 2)>0，∴|log a (1-x )|>|log a (1+x )|．当a >1时，log a (1-x )<0，log a (1+x )>0，∴|log a (1-x )|-|log a (1+x )|=-log a (1-x )-log a (1+x )=-log a [(1-x )(1+x )]=-log a (1-x 2)>0，∴|log a (1-x )|>|log a (1+x )|．解法2：作商法.∵0<x <1，1<1+x <2，0<1-x <1，∴|log a (1-x )||log a (1+x )|=|log (1+x )(1-x )|=-log (1+x )(1-x )=log (1+x )11-x =log (1+x )1+x 1-x 2>log (1+x )(1+x )=1，∴|log a (1-x )|>|log a (1+x )|．运用作差（商）比较法解题的思路较为简单，但解题过程中的运算量较大.同学们在解题时要灵活运用对数运算法则、公式进行合理的化简、变形.三、中间值法如果两个对数式的底数和真数均不相同,而且经过初步判断知道这些数值均在某一特定数值附近，则可以引入中间值，将两个对数式分别与中间值比较，比较出三者的大小，从而间接比较出两个对数式的大小.常用的中间值有0、1.例4.设a =log 3π，b =log 23，c =log 132，则（）.A.a >b >cB.a >c>b C.b >a >c D.b >c >a 解：因为a =log 3π>log 33=1，log 21=log 23<log 22=1,c =<log 131=0，所以a >b >c ，故选A.我们以0、1为中间值，分别将a 、b 、c 与0、1进行比较，从而比较出三个对数式的大小.除了以上三种方法，比较对数式大小的方法还有数形结合法、特值法、估算法等.同学们要结合对数式的特征，灵活选用恰当的方法进行比较，这样才能事半功倍.（作者单位：江苏省盐城市第一中学）42。

比较含指数、对数大小问题的常见策略

ʏ陈敏1张启兆2含指数㊁对数的大小比较问题是高考的热点㊂下面对含指数㊁对数的大小比较问题进行梳理,并总结几种常见的解题策略㊂一㊁中间值法例1 设a =340.5,b =430.5,c =l o g 34l o g 34 ,则( )㊂A .c 43 0=1,即b >1,c =l o g 34(l o g 34)<l o g 34(l o g 33)=l o g 341=0,即c <0㊂故c <a 0>b B .a >b >0C .b >a >0D .b >0>a解:由9m=10,可得m =l o g 910=l g 10l g9>1㊂而l g 9㊃l g11<l g 9+l g 1122=l g9922<1=l g10 2,所以l g 10l g 9>l g 11l g10,即m >l g11,所以a =10m-11>10l g 11-11=0㊂又l g 8㊃l g 10<l g 8+l g1022=l g8022<l g9 2,所以l g 9l g 8>l g 10l g 9,即l g 9l g8=l o g 89>m ,所以b =8m-9<8l o g 89-9=0㊂故a >0>b ㊂应选A ㊂评注:本题根据指数与对数互化得到m =l o g 910>1,再利用基本不等式,换底公式得到m >l g 11,l o g 89>m ,最后由指数函数的单调性求解㊂三㊁构造函数法例3 已知a +2a =2,b +3b=2,比较b l g a 与a l gb 的大小关系㊂解:欲比较b l g a 与a l gb 的大小,只需比较a b 与b a的大小即可㊂令f (x )=x +2x ,g (x )=x +3x ,当x >0时,g (x )>f (x ),当x <0时,g (x )<f (x )㊂由a +2a =2,b +3b =2,可得f (a )=2,g (b )=2㊂考虑到f (a )=g (b )=2得0b b >b a ㊂因为a b >b a,所以l g (a b )>l g (b a ),即b l g a >a l gb ㊂评注:构造函数法主要是通过对原式进行等价转化,构造合适的函数,利用函数的单调性来解决㊂四㊁放缩法例4 若2a +l o g 2a =4b +2l o g 4b ,则( )㊂A .a >2b B .a <2b C .a >b 2D .a <b2解:(方法1)原式可化为2a+l o g 2a =4b +2l o g 4b =22b +l o g 2b <22b+l o g 22b ㊂构造函数f (x )=2x+l o g 2x ,则f (a )<f (2b )㊂因为函数f (x )在0,+ɕ 上是增函数,所以a <2b ㊂应选B ㊂(方法2)已知条件可化为4a2+l o g 4a 2=4b+l o g 4b 2,则4b+l o g 4b 2>4a2+l o g 4a22㊂因为函数y =4x +l o g 4x 2在0,+ɕ 上是增函数,所以b >a2,即a <2b ㊂应选B ㊂评注:本题是利用放缩法与构造函数法相结合求解的㊂解题时,利用等式两边形式上比较接近的特点,将其适当放缩,使其在形式上完全一致,进而构造相关函数,然后利用函数的单调性,由函数值的大小关系反推出自变量的大小关系㊂作者单位:1.江苏省无锡市第六高级中学2.江苏省无锡市青山高级中学(责任编辑郭正华)12知识结构与拓展高一数学 2022年11月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

指数对数比较大小六方法

“六法”比较指数幂大小对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．1．转化法例1 比较12(3-+与231)的大小．解：∵2231)1)-+==，∴11222(31)]1---+==．又∵011<<，∴函数1)x y =在定义域R 上是减函数．2311)<，即2132(31)-+<．评注：在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．２．图象法例2 比较0.7a 与0.8a的大小．解：设函数0.7x y =与0.8x y =，则这两个函数的图象关系如图．当x a =，且0a >时，0.80.7a a >；当x a =，且0a <时，0.80.7a a <；当0x a ==时，0.80.7a a =．评注：对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．3．媒介法例3 比较124.1-，345.6，1313⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小．解：∵1313004215.6 5.61 4.1 4.103-⎛⎫>==>>>- ⎪⎝⎭，∴13134215.6 4.13-⎛⎫>>- ⎪⎝⎭．评注：当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．４．作商法例４比较a b a b 与b aa b （0a b >>）的大小．解：∵a b a b a b a b b a a b a b a a a a b b a b b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又∵0a b >>，∴1a b>，0a b ->． ∴1a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，即1a b b a a b a b>．∴a b b a a b a b >．评注：当底数与指数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小．当然一般情况下，这两个值最好都是正数．5．作差法例5 设0m n >>，0a >，且1a ≠，试比较m m a a-+与n n a a -+的大小．解：()()m m n n m m n n a a a a a a a a ----+-+=+--()()m n m n a a a a --=-+-(1)(1)(1)()n m n m m n m n n m a a a a a a a -----=-+-=--．（1）当1a >时，∵0m n ->，∴10m n a-->．又∵1n a >，1m a-<，从而0n m a a -->． ∴(1)()0m n n m a a a ---->．∴m m n n a a a a --+>+．（2）当01a <<时，∵1m n a-<，即10m n a --<．又∵0m n >>，∴1n a <，1m a->，故0n m a a -<． ∴(1)()0m n n m a a a ---->．∴m m n n a a a a --+>+．综上所述，m m n n a a a a --+>+．评注：作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的大小．6．分类讨论法例6 比较221x a +与22x a +（0a >，且1a ≠）的大小．分析：解答此题既要讨论幂指数221x +与22x +的大小关系，又要讨论底数a 与１的大小关系．解：（１）令22212x x +>+，得1x >，或1x <-．①当1a >时，由22212x x +>+，从而有22212x x a a ++>；②当01a <<时，22212x x aa ++<．（2）令22212x x +=+，得1x =±，22212x x aa ++=．（3）令22212x x +<+，得11x -<<．①当1a >时，由22212x x +<+，从而有22212x x a a ++<；②当01a <<时，22212x x a a ++>．评注：分类讨论是一种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首先要确定分类的标准，涉及到指数函数问题时，通常将底数与1的大小关系作为分类标准．。

高中数学指对数比较大小

指对数比较大小在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题，通常是三个指数和对数混在一起，进行排序。

这类问题如果两两进行比较，则花费的时间较多，所以本讲介绍处理此类问题的方法与技巧一、一些技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来：判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为和（1）如果底数和真数均在中，或者均在中，那么对数的值为正数（2）如果底数和真数一个在中，一个在中，那么对数的值为负数例如：等2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况例如：，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如，可知，进而可估计是一个1点几的数，从而便于比较4、常用的指对数变换公式：（1）（2） ()0,1()1,+¥()0,1()1,+¥()0,1()1,+¥30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>1113423,4,5()()()11111143634212121233,44,55===2log 32221log 2log 3log 42=<<=2log 3nm mn a a æö=ç÷èølog log log a a a M N MN +=log log log a a aM M N N-=（3）（4）换底公式：进而有两个推论：（令）二、典型例题：例1：设的大小关系是______________思路：可先进行分堆，可判断出，从而肯定最大，只需比较即可，观察到有相同的结构：真数均带有根号，抓住这个特点，利用对数公式进行变换：，从而可比较出，所以答案：例2：设，则的大小关系是___________思路：观察发现均在内，的真数相同，进而可通过比较底数得到大小关系：，在比较和的大小，由于是指数，很难直接与对数找到联系，考虑估计值得大小：，可考虑以为中间量，则，进而，所以大小顺序为答案：例3：设则的大小关系为（） A. B. C. D. 思路：观察到都是以为底的对数，所以将其系数“放”进对数之中，再进行真数的比较。

介绍几种比较对数大小的方法

∴ ＞，∴log36＞log46．
评注：在进行对数式的大小比较时，有时可将对数式进行转化，特别是对于真数相同的对数，可利用倒数法加以解决．有时，也可把对数式转化为指数式进行比较．
２．媒介法
例２比较下列各组数的大小
（1）log0.60.2，0.70.3；
（2）log0.50.3，log30.4．
解：（1）∵log0.60.2＞log0.60.6=1，0.70.3＜0.70=1，
介绍几种比较对数大小的方法
对数式大小的比较，通常的方法是运用对数函数的单调性．但很多时候，因其底数或真数不相同，不能直接利用函数的单调性．这就要求我们必须掌握一些其它方法．下面介绍几种常用的方法，供同学们参考．
1．转化法
例１比较log36和log46的大小．
解：∵log36＝，log46＝，而log64＞log63＞0，
３．作差（商）比较法
（１）作差比较法
例3已知正实数a，b满足a＜１＜b，试比较logab与logba的大小．
解：logab－logba＝lo来自ab－．∵０＜a＜１＜b，∴logab＜０，log ＜0．
∴当ab＞１时，logaab＜0，有logab＜logba；
当ab＝1时，logaab＝０，有logab＝logba；
∴log0.60.2＞0.70.3．（以“１”为媒介）
（2）∵log0.50.3＞log0.51=0，log30.4＜log31=0，
∴log0.50.3＞log30.4．（以“０”为媒介）
评注：当底数与真数都不相同时，一般可选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较大小，从而间接地比较出要比较的数的大小．
4．特殊值法
例5若x∈（1，10），则lg2x、lgx2、lg（lgx）的大小顺序是（）．

指数式和对数式比较大小

指数式和对数式比较大小五法方法一：利用函数单调性同底的指数式和对数式以及同指数的指数式的大小,可以利用函数的单调性来比较. 核心解读：1.比较形如m a 与n a 的大小,利用指数函数x y a =的单调性.2.比较形如log a m 与log a n 的大小,利用对数函数log a y x =的单调性.3.比较形如m a 与m b 的大小,利用幂函数m y x =的单调性.例1：比较下列各组数的大小（1）0.30.3,30.3（2）2log 0.8,2log 8.8（3）0.30.3,0.33[解]（1）利用函数0.3xy =的单调性. 因为函数0.3x y =在R 上单调递减,0.3<3,所以0.30.3>30.3.（2）利用函数2log y x =的单调性.因为函数2log y x =在(0,)+∞单调递增,0.8<8.8,所以2log 0.8<2log 8.8.（3）利用函数0.3y x=的单调性. 因为函数0.3y x =在(0,)+∞单调递增,0.3<3,所以0.30.3<0.33.方法二：中间桥梁法既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小,不能直接利用函数的单调性来比较,可利用特殊数值作为中间桥梁,进而可比较大小.（1）比较形如m a 与n b 的大小,一般找一个“中间值c ”,若m a c <且m c b <,则m n a b <；若m a c >且n c b >,则m n a b >.常用到的特殊值有0和1.(0log 1a =，1log a a =，01a =)（2）比较形如m a 与n b 的大小,一般可以取一个介于两值中间且与题目中两数都能比较大小的一个中间值,即n a 或者m b ,进而利用中间值解决问题.例2：比较下列各组数的大小（1）0.41.9, 2.40.9（2）124()5,139()10[解]（1）取中间值1.因为0.401.91.91>=,2.400.90.91<=,所以0.4 2.41.90.9>.（2）取中间值129()10. 利用函数910x y =（）的单调性比较139()10和129()10的大小,易知139()10>129()10.利用函数12y x =单调性比较124()5和129()10的大小,易知124()5<129()10.所以139()10>124()5. （补充:对于指数相同底数不同的两指数式比较大小,也可以通过做比与1比较大小的方法比较两数的大小.）方法三：特值代入法对于在给定的区间上比较指数式和对数式的大小的问题,可在这个区间上取满足条件的特殊值,代入后通过计算化简或避免复杂的变形与讨论,是问题简捷获解.例3：（2008年全国卷理4文5）若1(,1)x e -∈,ln a x =,2ln b x =,3ln c x =,则（）.A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.b<a<c[解]在区间1(,1)e -上取12x e -=,通过计算知：121ln 2a e -==-,122ln 1b e -==-,313211ln ()28c e -==-=-,故b<a<c,选C. 方法四：估值计算法估值计算是指通过估值、合理猜想等手段,准确、迅速地选出答案.例4：（2007年全国卷理4文4）下列四个数中最大的是（）.A.2(ln 2)B.ln(ln 2)C.ln 2D.ln 2[解]因为lg 20.3010ln 20.7lg 0.4343e =≈≈, 所以2(ln 2)0.49≈,ln(ln 2)ln 0.70≈<,1ln 2ln 20.352=≈,故四个数中最大的是ln 2,选D.[点评]本题按普通比较法求解,可以预见运算量不小,恐怕很难心算而得到结果,但通过估值,合情推理,几乎一望而答,这就是估算法的魅力.方法五：数形结合法画出指数函数、对数函数和幂函数的图像,利用直观的图像往往能得到更简捷的解法. 例5：（2009年全国卷理7）设3log a π=,2log 3b =,3log 2c =,则（）.A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a[解]在同一直角坐标系内画出对数函数3log y x =和2log y x =的图像,如下图所示：由图像观察得a>b>c ,故选A.[点评]本题也可以利用比较法求解.因为322log 2log 2log 3<<所以b>c,因为2233log 3log 21log 3log π<==<,所以 a>b,所以a>b.但图像法解决问题比较直观、明了、容易比较出大小.。

如何解决指数,幂函数,对数的大小的方法

如何解决指数，幂函数，对数的大小的方法指数、幂函数和对数都是数学中常见的数学函数。

它们在数学和实际问题中的重要性不言而喻，因此我们有必要了解如何比较它们的大小。

首先，让我们回顾一下指数。

指数函数是一种形式为f(x) = a^x的函数，其中a是一个常数且a > 0。

指数函数的特点是它随着自变量x的增大而迅速增长。

具体来说，当a > 1时，指数函数增长得非常快，而当0 < a < 1时，指数函数增长得非常慢。

因此，我们可以通过比较指数函数的底数a来确定函数的大小。

例如，f(x) = 2^x和g(x) = 3^x，由于2 < 3，因此对于任意的x值，f(x) < g(x)。

接下来，让我们考虑幂函数。

幂函数是一种形式为f(x) = x^a的函数，其中a是一个常数且a > 0。

幂函数的特点是当自变量x的绝对值增大时，函数值的绝对值也会增大。

具体来说，幂函数的斜率由指数a决定。

当0 < a < 1时，幂函数在自变量x接近0时的斜率非常陡峭，而当a > 1时，幂函数在自变量x接近0时的斜率非常平缓。

因此，我们可以通过比较幂函数的指数a来确定函数的大小。

例如，f(x) = x^2和g(x) = x^3，由于2 < 3，因此对于任意的x值，f(x) < g(x)。

最后，让我们来讨论对数函数。

对数函数是指数函数的逆函数。

对数函数的式子为f(x) = log_a(x)，其中a是一个常数且a > 0。

对数函数的定义域和值域都是正实数集合。

对数函数的特点是它的增长速度非常缓慢。

具体来说，当x增加时，对数函数的增长速度趋于缓慢。

因此，我们可以通过比较对数函数的底数a来确定函数的大小。

例如，f(x) = log_2(x)和g(x) = log_3(x)，由于2 < 3，因此对于任意的x值，f(x) < g(x)。

综上所述，要比较指数、幂函数和对数的大小，我们可以:1.比较指数函数的底数a，较大的底数对应的指数函数更大。

从一道高考题例谈指对数式大小比较的几种方法

从一道高考题例谈指对数式大小比较的几种方法在高考数学试卷中，时常会出现涉及对数的大小比较题目。

对数是数学中常用的一种表示方式，具有广泛的应用领域，因此理解对数式大小比较方法具有重要意义。

本文将以一道典型的高考题为例，介绍几种可行的对数式大小比较方法。

题目如下：已知正数a，b满足log2^a = log8^b = log64^81，那么下列结论正确的是（）A. a=2, b=3B. a=3, b=2C. a=81, b=9D. a=9, b=81首先，我们来理解一下题目中的对数式。

log2^a表示以2为底，a为真数的对数。

同理，log8^b表示以8为底，b为真数的对数，log64^81表示以64为底，81为真数的对数。

题干中要求找出符合这三个对数式关系的a和b的值。

方法一：换底公式换底公式是求解对数式大小的常用方法之一。

根据换底公式可以将对数式转化为同一个底数的对数形式，进而比较大小。

换底公式的表达式为：loga^x = logb^x / logb^a。

利用换底公式，我们可以将题目中的三个对数式统一为以底数2为底的对数式。

首先，将log8^b转换为以2为底的对数形式。

根据换底公式，有：log2^b = log8^b / log8^2由于log8^2 = log2^3，所以：log2^b = log8^b / log2^3 = 3log2^b可以得到b = 3。

接下来，将log64^81转换为以2为底的对数形式，同样应用换底公式：log2^81 = log64^81 / log64^2由于log64^2 = log2^6，所以：log2^81 = log64^81 / log2^6 = 6log2^81可以得到81 = 6log2^81，进一步简化为log2^81 = 81 / 6。

再进一步可以得到log2^81 = log2^2^4.5，因此81 = 2^4.5。

进一步计算得到2^4.5 ≈ 18.38。

高中数学对数解题方法

高中数学对数解题方法对数是数学中的一种运算方法，它可以将大数化为小数，方便计算和比较。

在高中数学中，对数有着广泛的应用，尤其是在解决指数函数、幂函数等相关问题时。

下面，我们来介绍一些高中数学对数解题的常见方法。

一、对数基本定义对数的定义是一个数a作为底数，另一个数x的对数是指以a为底数的幂等于x，记作loga(x)。

其中，a称为底数，x称为真数，loga(x)称为以a为底数的对数。

二、对数运算法则1. 乘方运算法则：loga(xy) = loga(x) + loga(y)2. 除法运算法则：loga(x/y) = loga(x) - loga(y)3. 幂运算法则：loga(x^k) = kloga(x)三、对数解题方法1. 对数变换法将一个式子用对数表示，再对其进行简化，最后得到所求解的式子。

例如，我们要求解2^x = 5，可以将其变换为x = log2(5)。

2. 对数相等法对于一个等式，如果两边的底数都相等，则可以将其转化为以同样底数的对数，进而求解。

例如，我们要求解log2(x+1) = log2(2x-1)，可以将其转化为x+1 = 2x-1。

3. 对数换底法当所求解的式子的底数与已知条件的底数不同时，可以用对数换底公式：loga(b) = logc(b)/logc(a)，将两边都换成一个新的底数。

例如，我们要求解log5(2x+1) = log2(3x-1)，可以使用对数换底公式，将其转化为log2(2x+1)/log2(5) = log2(3x-1)/log2(5)。

总之，高中数学对数解题需要掌握对数的基本定义和运算法则，以及灵活运用对数变换法、对数相等法、对数换底法等解题方法。

只有掌握了这些关键知识和技巧，才能在高中数学考试中取得优异的成绩。

全国高考数学复习微专题：指对数比较大小

全国高考数学复习微专题：指对数比较大小在填空选择题中，我们经常会遇到一类比较大小的问题，其中包含三个指数和对数，需要进行排序。

若两两进行比较，则需要花费较多的时间。

因此，本文介绍处理此类问题的方法和技巧。

一、技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？我们可以使用“同区间正，异区间负”的八字真言来判断对数的符号。

具体而言，需要关注底数和真数，将区间分为(0,1)和(1,+∞)两部分。

如果底数和真数均在(0,1)或者均在(1,+∞)中，则对数的值为正数。

如果底数和真数一个在(0,1)中，一个在(1,+∞)中，则对数的值为负数。

例如，log3 0.50，log2 3>0等。

2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系。

一旦作图，大小关系就会变得明显。

3、比较大小的两个理念：1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可以通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系。

因此，需要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况。

例如，比较3、4、5时，可以进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同。

从而只需比较底数的大小即可。

2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中，通常可以优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较。

有时可以简化比较的步骤。

例如，对于log2 3，我们可以知道1=log2 2<log2 3<log2 4=2，从而可以估计log2 3是一个1点几的数，便于比较。

4、常用的指对数变换公式：1）m（1）a=anm2）loga M+loga N=loga MNloga M-XXX(M/N)3）loga N=nloga N(a>0,a≠1,N>0)4）换底公式：XXX a1n XXX二、典型例题：例1：设a=log3 π，b=log2 3，c=log3 2.请按照大小顺序排列a、b、c。

解：首先，我们需要将这三个对数转化为同底数的形式。

对数运算与对数函数

对数比较大小方法：
1.底相同，单调性（底数相同的对数，用单调性来比较大小）
2.真相同，取倒数（真数位置相同，取倒数，变为同底对数比较）
3.不同底，不同真，中间值法（中间值常取0，1，-1，1/2，2）
大招口诀：
PS：1，底真同（底数和真数在同一个范围，都大于1，或者都大于0小于1）对数正（满足底真同的时候，这个对数整体为正）
2，底真异（底数和真数不在同一个范围，一个大于1，另一个大于0小于1）对数负（满足底真异的时候，这个对数整体为负）
具体位置咨询辅导老师，对照打点图，详细学习
例题解析：
大招解析
普通做法
对数复合函数奇偶性：
秒杀大招：九五至尊模型+机场模型（利用九五至尊模型识别出为机场模型，直接秒杀即
可）具体位置咨询辅导老师，对照打点图，详细学习
例题解析：
大招秒杀
九五至尊模型
机场模
型（奇常模型）
普通解法。

指数函数与对数函数大小比较的实用指南

指数函数与对数函数大小比较的实用指南简介指数函数和对数函数是数学中常见的函数类型。

在比较它们的大小时，我们可以采用以下几种简单的策略。

策略一：观察底数和指数指数函数可以表示为 f(x) = a^x，其中 a 表示底数，x 表示指数。

对数函数可以表示为 g(x) = log_a(x)，其中 a 表示底数，x 表示函数值。

当底数 a 大于 1 时，指数函数的增长速度显著大于对数函数的增长速度。

当底数 a 介于 0 和 1 之间时，指数函数的增长速度相对较小，而对数函数的增长速度较大。

因此，如果给定 a、x，我们可以通过观察底数的值来判断哪个函数较大。

策略二：比较函数值我们可以通过计算函数值来比较指数函数和对数函数的大小。

给定 a、x，我们计算指数函数 f(x) = a^x 和对数函数 g(x) = log_a(x) 的函数值，然后比较它们的大小。

具体比较方法如下：- 当 a^x > log_a(x) 时，指数函数 f(x) 较大。

- 当 a^x < log_a(x) 时，对数函数 g(x) 较大。

- 当 a^x = log_a(x) 时，指数函数 f(x) 和对数函数 g(x) 相等。

策略三：绘制函数图像绘制指数函数和对数函数的图像可以直观地比较它们的大小。

对于给定的 a，我们可以使用数学软件或手绘图形的方式来绘制函数图像，并观察函数图像的变化趋势。

一般来说，指数函数的图像呈现出急剧增长或急剧衰减的趋势，而对数函数的图像则呈现出平缓增长的趋势。

策略四：推导和比较导数我们可以推导指数函数和对数函数的导数，然后比较它们的大小。

如果导数之间的比较关系成立，那么函数的大小关系也将成立。

具体而言，对于给定的 a，我们可以计算指数函数 f(x) = a^x 和对数函数 g(x) = log_a(x) 的导数，然后比较它们的大小。

结论在比较指数函数和对数函数的大小时，我们可以运用以上策略。

根据具体的情况选择合适的方法进行判断，以便得出准确的结果。

专题41指对数比较大小

专题41指对数比较大小在数学中，对数是一种用来衡量数值大小的重要工具。

当我们需要比较两个数的大小时，对数就发挥了重要的作用。

在本篇文章中，我将详细介绍对数比较大小的原理和方法。

首先，让我们回顾一下对数的定义。

对数是指一个数以另一个数为底的幂的指数。

一般来说，我们常用的对数有两种常见的底数，即以10为底的对数（常用对数）和以自然常数e为底的对数（自然对数）。

常用对数用log表示，自然对数用ln表示。

对数比较大小的基本原理是，对数函数是严格递增函数，即随着自变量的增加，函数值也会增加。

因此，如果两个数的对数相等，那么这两个数本身一定相等。

如果两个数的对数不相等，可以通过比较对数的大小来判断原数的大小关系。

现在让我们来看一些实际例子，以更好地理解对数比较大小的方法。

例子1：比较两个正数的大小，其中一个数是另一个数的平方。

假设我们有两个正数a和b，且b是a的平方。

我们可以通过求两个数的对数来比较它们的大小。

假设a的对数是x，b的对数是y。

根据对数的定义，我们有a = 10^x，b = 10^y。

由于b是a的平方，我们有b = a^2 = (10^x)^2 = 10^(2x)。

因此，我们可以得到y = 2x。

现在我们可以比较x和y的大小，如果x < y，则a < b；如果x = y，则a = b；如果x > y，则a > b。

例子2：比较两个正数的大小，其中一个数是另一个数的指数。

假设我们有两个正数a和b，且b是以a为底的指数。

我们可以通过求两个数的对数来比较它们的大小。

假设a的对数是x，b的对数是y。

根据对数的定义，我们有a = 10^x，b = 10^y。

由于b是以a为底的指数，我们有b = a^b = (10^x)^y = 10^(xy)。

因此，我们可以得到y = xy。

现在我们可以比较x和y的大小，如果x < y，则a < b；如果x = y，则a = b；如果x > y，则a > b。

对数指数幂函数比大小技巧

对数指数幂函数比大小技巧对数指数幂函数是高中数学中的重要内容之一，其中比大小技巧是必须掌握的基本技能，本文将围绕“对数指数幂函数比大小技巧”展开讨论。

一、对数函数比大小技巧对数函数的比大小主要有以下两个步骤：1、若底数相同，则指数大的数值大；2、若指数相同，则底数大的数值大。

例如，比较$log_2 3$和$log_2 5$的大小，由于它们的底数相同，所以比较它们的指数即可，显然$log_2 5>log_2 3$，因此$log_25$比$log_2 3$大。

二、指数函数比大小技巧指数函数的比大小主要有以下两个步骤：1、若底数相同，则指数大的数值大；2、若指数相同，则底数大的数值大。

例如，比较$2^{0.1}$和$3^{0.1}$的大小，由于它们的指数相同，所以比较它们的底数即可，显然$3^{0.1}>2^{0.1}$，因此$3^{0.1}$比$2^{0.1}$大。

三、幂函数比大小技巧幂函数的比大小主要有以下两个步骤：1、若底数相同，则指数大的数值大；2、若指数相同，则底数大的数值大。

例如，比较$2^{0.1}$和$3^{0.1}$的大小，由于它们的指数相同，所以比较它们的底数即可，显然$3^{0.1}>2^{0.1}$，因此$3^{0.1}$比$2^{0.1}$大。

四、对数、指数和幂函数比大小综合技巧对于对数、指数和幂函数的混合比较，我们要根据具体情况来决定采用哪一种比较技巧，具体方法如下：1、若比较的两个函数中只有同一种函数，则按该函数的比较规则比较大小。

例如，比较$2^{0.1}$和$3^{0.1}$的大小，由于它们都是指数函数，所以按照指数函数的比较规则比较大小，结果为$3^{0.1}>2^{0.1}$。

2、若比较的两个函数中包含不同种类的函数，则利用对数函数将它们都化为幂函数，再比较大小。

例如，比较$log_2 3$和$2^{0.5}$的大小，由于它们是不同种类的函数，所以需要利用对数函数将它们都化为幂函数，化简后为$2^{log_2 3}$和$2^{0.5}$，由于它们的底数相同，所以只需比较指数的大小，即$log_2 3>0.5$，因此$2^{log_2 3}>2^{0.5}$，即$log_2 3>2^{0.5}$。

对数比较的新方法

对数比较的新方法
比较对数大小的问题是初等数学中常见的问题，一些同学对此作了研究探讨，给出了一些较好的方法，但技巧性较强，不易掌握.这里我们给出一种新的便于掌握使用的方法，于下述基本性质:
上例的证法简单明了，易于掌握，且都是现行中学教材中要求学生掌握的通法，并非“特例”.上例的证明过程也体现了本文所介绍方法的主要解题程序。

由以上几例可以看出，本文所介绍的方法，充分体现了数学方法论中的一种重要方法-变更问题方法在处理数学问题中的重要性，对于每个比较两对数大小
的问题，遵循数学解题的熟悉化原则和简单化原则，使其解题过程程序化，便于操作，容易掌握，成为比较任意两个对数logam:与logbn(a>0且a≠1，b>0且b≠1，m>0，n>0)大小的一种通法，从而使对数大小的比较伺题得到了圆满的解决.。

对数大小的比较方法

对数大小的比较方法以对数大小的比较方法为标题，写一篇文章。

对数是数学中的一个重要概念，它可以用来比较不同数的大小。

在比较数的大小时，我们通常会使用大小关系符号，如大于号（>）、小于号（<）和等于号（=），但有时候这些符号并不能直接比较两个数的大小。

这时，我们就可以借助对数的概念来帮助我们解决这个问题。

我们先来回顾一下对数的定义。

对数是指在某一底数下，一个数的幂等于另一个数时，该幂的指数就是这两个数的对数。

换句话说，对数可以表示成一个幂等式，其中底数为常数，指数是未知数。

对数的定义式可以写成以下形式：logₐb = c，其中a为底数，b为真数，c为指数。

对数的大小比较是通过对数的性质来实现的。

对数的性质包括加法性、减法性和乘法性。

这些性质可以帮助我们将复杂的对数问题简化为简单的对数比较问题。

我们来看一下对数的加法性质。

当两个数的对数相加时，其对数的和等于这两个数的乘积的对数。

换句话说，logₐb + logₐc = logₐ(bc)。

这个性质可以帮助我们将一个复杂的对数问题转化为一个简单的对数比较问题。

例如，我们要比较log₂3和log₂5的大小，可以将其转化为比较log₂(3*5)和log₂5的大小。

由于3*5=15，所以log₂(3*5) = log₂15。

因此，我们可以得出结论log₂3 < log₂5。

接下来，我们来看一下对数的减法性质。

当两个数的对数相减时，其对数的差等于这两个数的商的对数。

换句话说，logₐb - logₐc = logₐ(b/c)。

这个性质同样可以帮助我们将一个复杂的对数问题转化为一个简单的对数比较问题。

例如，我们要比较log₅7和log₅2的大小，可以将其转化为比较log₅(7/2)和log₅2的大小。

由于7/2=3.5，所以log₅(7/2) ≈ log₅3.5。

因此，我们可以得出结论log₅7 > log₅2。

我们来看一下对数的乘法性质。

对数比大小规律

对数比大小规律
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《对数比大小规律》
一、定义
对数是数量积的底数，也是复杂数量比大小的函数。

在数学中，对数是以某一特定数为底的对数。

它是用来记录某个数量积的数量级的，根据数量积的变化，记录其对应的对数也会随之改变。

二、规律
1、如果相同的数量积的底数不一样，则其对数比大小也是不一样的。

例如，a^m < b^n，则loga^m < logb^n。

2、如果相同的数量积的底数一样，则其对数比大小也是一样的。

例如，a^m<b^n，则loga^m<logb^n。

3、如果数量积的底数相同，则其对数比大小与指数的大小有关。

例如，a^m>b^n，则loga^m>logb^n。

4、对数的乘积等于其底数的乘积。

例如，
loga^m*logb^n=log(a*b)^(m+n)
三、实例
例1：12^2<3^5
证明：利用对数比大小规律可得，log12^2<log3^5，即
log144<log243，即2<3，故12^2<3^5。

例2：2^3>8^2
证明：利用对数比大小规律可得，log2^3>log8^2，即log8>log64，
即3>6，故2^3>8^2。