高二数学人教A版选修4-5教案3.1二维形式的柯西不等式 Word版含解析

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高二数学人教A版选修4-5教案：3.2一般形式的柯西不等式 Word版含

高二数学人教A版选修4-5教案：3.2一般形式的柯西不等式Word版含3.2 一般形式的柯西不等式一、教学目标1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．二、课时安排 1课时三、教学重点1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．四、教学难点1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．[来源学科网]2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．五、教学过程（一）导入新课已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值．【解】由柯西不等式得(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2. ∵x＋2y＋z＝1，1∴3(x2＋4y2＋z2)≥1，即x2＋4y2＋z2≥.311111当且仅当x＝2y＝z＝，即x＝，y＝，z＝时等号成立．故x2＋4y2＋z2的最小值为. 33633（二）讲授新课教材整理1 三维形式的柯西不等式2222设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a2(b21＋a2＋a3)・1＋b2＋b3)≥.当且仅当或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．教材整理2 一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则22222(a21＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥ .当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝ (i＝1,2，…，n)时，等号成立．（三）重难点精讲题型一、利用柯西不等式求最值123例1 已知a，b，c∈(0，＋∞)，＋＋＝2，求a＋2b＋3c的最小值及取得最小值时a， abcb，c的值．[来源学。

科。

网Z。

X。

K]123【精彩点拨】由于＋＋＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不abc等式求解．【自主解答】∵a，b，c∈(0，＋∞)，2123??＋＋・∴?(a＋2b＋3c)＝[?abc??≥?1・a＋a2・2b＋b1??＋a??222??＋b??23?][(a)2＋(2b)2＋(3c)2] c??3?・3c c?＝(1＋2＋3)2＝36. 123又＋＋＝2，abc∴a＋2b＋3c≥18，当且仅当a＝b＝c＝3时等号成立，综上，当a＝b＝c＝3时， a＋2b＋3c取得最小值18.规律总结：利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．[再练一题]1．已知x＋4y＋9z＝1，求x2＋y2＋z2的最小值．【解】由柯西不等式，知 (x＋4y＋9z)2≤(12＋42＋92)(x2＋y2＋z2) ＝98(x2＋y2＋z2)．又x＋4y＋9z＝1， 1∴x2＋y2＋z2≥，(*)98yz当且仅当x＝＝时，等号成立，49129∴x＝，y＝，z＝时，(*)取等号．9849981因此，x2＋y2＋z2的最小值为.98题型二、运用柯西不等式求参数的取值范围例2已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式111＋＋≤λ恒成立，求λx＋yy＋zz＋x的取值范围．111【精彩点拨】“恒成立”问题需求＋＋的最大值，设法应用柯西不等式求x＋yy＋zz＋x最值．【自主解答】∵x>0，y>0，z>0. 且x＋y＋z＝xyz. 111∴＋＋＝1. yzxzxy又111＋＋ x＋yy＋zz＋x11?11＋＋≤? 2?xyyzzx?11?1?11・＋1・＋1・＝2?xyyzzx?≤错误!错误!＝错误!，当且仅当x＝y＝z，即x＝y＝z＝3时等号成立．∴故1113＋＋的最大值为.2x＋yy＋zz＋x111＋＋≤λ恒成立时， x＋yy＋zz＋x3. 23?，＋∞. ?2?12应有λ≥因此λ的取值范围是?规律总结：应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理．[再练一题]2．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的取值范围.【解】由a＋b＋c＋d＝3，得b＋c＋d＝3－a，由a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，得2b2＋3c2＋6d2＝5－a2， 111?＋＋≥(b＋c＋d)2， (2b2＋3c2＋6d2)??236?即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2.由条件可得，5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2，所以实数a的取值范围是[1,2]．题型三、利用柯西不等式证明不等式abc?bca例3 已知a，b，c∈R＋，求证：??b＋c＋a?a＋b＋c≥9. 【精彩点拨】对应三维形式的柯西不等式，a1＝b2＝c，b3＝ba，a＝b2b，a＝c3c，b＝a1b，aa，而a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得证． c【自主解答】∵a，b，c∈R＋，由柯西不等式，知22b??＋c??2≥?a? c?2c?]×[?a??2b?＋?a??2c??＋b??2a?] c??a＋b＋c??b＋c＋a?＝[??bca??abc??a×bb＋ab×cc＋ba??＋b??c×a?＝(1＋1＋1)2＝9，abc??bca?∴??b＋c＋a??a＋b＋c?≥9. 规律总结：1．当ai，bi是正数时，柯西不等式变形为(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.2．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．[再练一题]3．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m的值；111＋(2)若a，b，c∈R，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.a2b3c【解】 (1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m. 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.111(2)证明：由(1)知＋＋＝1.又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2ba2b3c2111111??＋＋≥a・＋2b・＋3c・?＝9. ＋3c)??a2b3c??a2b3c?（四）归纳小结?一般形式的柯西不等式―?―一般形式?―一般形式的应用―三维形式（五）随堂检测1．设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a・b的最小值为( ) A．18 B．6 C．－18 D.12 【解析】 |a・b|≤|a||b|，∴|a・b|≤18.∴－18≤a・b≤18，当a，b反向时，a・b最小，最小值为－18. 【答案】 C222222．若a21＋a2＋…＋an＝1，b1＋b2＋…＋bn＝4，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的取值范围是( )A．(－∞，2) B．[－2,2] C．(－∞，2] D.[－1,1]222222【解析】∵(a21＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)，∴(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤4，∴|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|≤2，即－2≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤2，1当且仅当ai＝bi(i＝1,2，…，n)时，右边等号成立；21当且仅当ai＝－bi(i＝1,2，…，n)时，左边等号成立，故选B.2【答案】 B3．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小值为________．【解析】根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，m2＋n2的最小值为5. 【答案】5[来源学+科+网][来源:]六、板书设计3.2 一般形式的柯西不等式教材整理1 三维形式的柯西不等式教材整理2 一般形式的柯西不等式例3：例1：例2： [来源:Z#xx#] 学生板演练习七、作业布置同步练习：3.2 一般形式的柯西不等式八、教学反思感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2021-2022高二数学人教A版选修4-5同步练习：3.1 二维形式的柯西不等式 Word版含解析

A 组1.已知x+y=1,则x 4+y 4的最小值是( ) A .12 B .18 C .14D .1解析:由柯西不等式知(x 4+y 4)(12+12)≥(x 2+y 2)2,由于x+y=1,所以x 2+y 2≥(x+y )22≥12,所以x 4+y 4≥(x2+y 2)22=18,当且仅当x=12,y=12时,等号成立. 答案:B2.已知x+y=1,那么2x 2+3y 2的最小值是( ) A .56B .65C .2536D .3625解析:2x 2+3y 2=[(√2x )2+(√3y )2][(√3)2+(√2)2]×15≥15(√6x+√6y )2=65(x+y )2=65. 当且仅当2x=3y ,即x=35,y=25时等号成立.答案:B3.函数y=√x -5+2√6-x 的最大值是( ) A.√3 B.√5 C.3 D.5 解析:依据柯西不等式,知y=1×√x -5+2×√6-x≤√12+22×√(√x -5)2+(√6-x )2=√5, 当且仅当√6-x =2√x -5,即x=265时,等号成立. 答案:B4.已知x ,y>0,且xy=1,则(1+1x )(1+1y)的最小值为 ( )A.4B.2C.1D.14解析:(1+1x )(1+1y)=[12+(√x )2][12+(√y )2]≥(1×1√x √y )2=(1+√xy )2=22=4,当且仅当x=y=1时等号成立. 答案:A5.已知2x 2+y 2=1,则2x+y 的最大值是( ) A.√2 B.2 C.√3 D.3解析:2x+y=√2×√2x+1×y ≤√(√2)2+12×√(√2x )2+y 2=√3×√2x 2+y 2=√3,当且仅当√2y=√2x ,即x=y=√33时等号成立,即2x+y 取到最大值√3. 答案:C6.设a ,b ,m ,n ∈R ,且a 2+b 2=5,ma+nb=5,则√m 2+n 2的最小值为 . 解析:由柯西不等式,得(a 2+b 2)(m 2+n 2)≥(am+bn )2,即5(m 2+n 2)≥25,∴m 2+n 2≥5,当且仅当an=bm 时,等号成立. ∴√m 2+n 2的最小值为√5. 答案:√57.设实数x ,y 满足3x 2+2y 2≤6,则2x+y 的最大值为 . 解析:由柯西不等式,得(2x+y )2≤[(√3x )2+(√2y )2]·[(√3)2+(√2)2] =(3x 2+2y 2)·(43+12)≤6×116=11. 当且仅当3x=4y ,即x=√11,y=√11时等号成立.因此2x+y 的最大值为√11.答案:√118.已知a √1-b 2+b √1-a 2=1,求证a 2+b 2=1.分析:利用柯西不等式,把式子进行调整、变形.证明:由柯西不等式,得(a √1-b 2+b √1-a 2)2≤[a 2+(1-a 2)]·[(1-b 2)+b 2]=1,当且仅当√1-a 2=√1-b 2a 时取等号.故ab=√1-a 2·√1-b 2,即a 2b 2=(1-a 2)·(1-b 2),于是a 2+b 2=1.9.大家分别用“综合法”“比较法”和“分析法”证明白不等式:已知a ,b ,c ,d 都是实数,且a 2+b 2=1,c 2+d 2=1,则|ac+bd|≤1.这就是有名的柯西(A.-L.Cauchy,法国数学家、力学家)不等式当n=2时的特例,即(ac+bd )2≤(a 2+b 2)·(c 2+d 2),等号当且仅当ad=bc 时成立. 请用自然语言叙述柯西不等式,并用一种方法加以证明. 解:数学语言叙述柯西不等式:若a ,b ,c ,d ∈R ,则(ac+bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2),等号当且仅当ad=bc 时成立. 二维形式的证明:(a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2·c 2+b 2·d 2+a 2·d 2+b 2·c 2 =a 2·c 2+2abcd+b 2·d 2+a 2·d 2-2abcd+b 2·c 2 =(ac+bd )2+(ad-bc )2≥(ac+bd )2,当且仅当ad-bc=0,即ad=bc 时,等号成立. 10.已知θ为锐角,a ,b>0,求证(a+b )2≤a 2cos 2θ+b2sin 2θ. 证明:设m =(a cosθ,b sinθ),n =(cos θ,sin θ), 则|a+b|=|a cosθ·cosθ+bsinθ·sinθ|=|m ·n |≤|m ||n |=√(a cosθ)2+(bsinθ)2·√1 =√a 2cos 2θ+b 2sin 2θ,当且仅当a=k cos 2θ,b=k sin 2θ,k ∈R 时等号成立.∴(a+b )2≤a 2cos 2θ+b2sin 2θ. B 组1.假照实数m ,n ,x ,y 满足m 2+n 2=a ,x 2+y 2=b ,其中a ,b 为常数,那么mx+ny 的最大值为( )A.a+b 2B.√abC.√a 2+b 22D.√a 2+b 22 解析:由柯西不等式,得(mx+ny )2≤(m 2+n 2)(x 2+y 2)=ab ,当m=n=√a 2,x=y=√b2时,mx+ny=√ab . 答案:B2.函数y=3√x -5+4√6-x 的最大值为 . 解析:∵y 2=(3√x -5+4√6-x )2≤(32+42)[(√x -5)2+(√6-x )2] =25(x-5+6-x )=25,当且仅当3√6-x =4√x -5,即x=13425时等号成立.∴函数y 的最大值为5.答案:53.已知a ,b ,m ,n 均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn )·(bm+an )的最小值为 . 解析:依据二维形式的柯西不等式的代数形式知(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd )2,可得(am+bn )(bm+an )=(am+bn )(an+bm )≥(√am ·√an +√bn ·√bm )2=mn (a+b )2=2×1=2,当且仅当am an =bnbm ,即m=n=√2时,取得最小值2. 答案:24.函数y=√x -4+√25-5x 的最大值为 . 解析:∵y=√x -4+√25-5x ,∴y=1×√x -4+√5×√5-x≤√(1+5)(x -4+5-x )=√6( 当且仅当√5-x =√5·√x -4,即x=256时等号成立 ). 答案:√65.已知x 2+y 2=2,且|x|≠|y|,求1(x+y )2+1(x -y )2的最小值.解:令u=x+y ,v=x-y ,则x=u+v 2,y=u -v2.∵x 2+y 2=2,∴(u+v )2+(u-v )2=8,∴u 2+v 2=4.由柯西不等式,得(1u 2+1v 2)(u 2+v 2)≥4,当且仅当u 2=v 2=2,即x=±√2,y=0,或x=0,y=±√2时,1(x+y )2+1(x -y )2的最小值是1.6.(2021陕西高考)已知关于x 的不等式|x+a|<b 的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a ,b 的值;(2)求√at +12+√bt 的最大值. 解:(1)由|x+a|<b ,得-b-a<x<b-a ,则{-b -a =2,b -a =4,解得a=-3,b=1. (2)√-3t +12+√t =√3√4-t +√t≤√[(√3)2+12][(√4-t )2+(√t )2]=2√4-t +t =4,当且仅当√4-t√3=√t1,即t=1时等号成立. 故(√-3t +12+√t )max =4.7.已知x ∈(0,π2),试求函数f (x )=3cos x+4√1+sin 2x 的最大值,并求出相应的x 的正弦值.解:设m =(3,4),n =(cos x ,√1+sin 2x ),则f (x )=3cos x+4√1+sin 2x =m ·n =|m ·n |≤|m ||n | =√32+42×√cos 2x +1+sin 2x =5√2, 当且仅当m ∥n 时取等号,此时,3√1+sin 2x =4cos x ,∴sin x=√75. ∴当sin x=√75时,函数f (x )=3cos x+4√1+sin 2x 取最大值5√2.。

高中数学人教A版选修4-5配套课件：第三讲二维形式的柯西不等式

2 1 )＋ ( 2y) ]2 3 2 2 2 2 1 ［ 3x ＋ 2y ］[( ) 2＋ ( )2 ] 3 2 4 1 11 2 2 ＝ (3x ＋2y )( ＋ ) 6 ＝ 11. 3 2 6 所以 2x＋y 11，
【解析】1. 2x＋y ＝ [ 3x (
2

1.已知3x2＋2y2≤6，则2x＋y的最大值为_____.
2.已知 a 1－b 2 b 1－a 2 1,求证：a2+b2=1.
【解题探究】 1.题1中，结合已知条件与待求的式子，应该怎样建立关系使用柯西不等式？ 2.题2中的已知条件应该如何利用？
探究提示： 1.把待求式子进行平方得到(2x＋y)2并结合已知条件进行变换，利用二维形式的柯西不等式找到不等关系，从而求得待求式子的最大值. 2．题2中的已知条件的形式与柯西不等式的形式相似，可以考虑利用柯西不等式进行转化，通过要证明是等式，考虑柯西不等式等号成立的条件即可.
所以kmax=4. 答案：4
2．设m=(3,4)，则根据柯西不等式的向量 n (cos x, 1 sin 2 x )，形式可得： f x 3cos x 4 1 sin 2 x
32 42 cos2 x 1 sin 2 x 5 2.
当且仅当m∥n时上式取等号，此时，
b d b d
立.
2．设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为______. 【解析】根据二维形式的柯西不等式可得： (2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，又因为2x＋3y＝13，所以x2＋y2≥13. 答案：13
3.设a=(-2,2),｜b｜=6，则a·b的最小值是________，此时

高二数学人教A版选修4-5教案：3.1二维形式的柯西不等式 Word版含解析

3.1二维形式的柯西不等式一、教学目标1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义． 2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．二、课时安排 1课时三、教学重点认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．四、教学难点通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．五、教学过程（一）导入新课复习基本不等式。

（二）讲授新课教材整理二维形式的柯西不等式（三）重难点精讲题型一、二维柯西不等式的向量形式及应例1已知p ，q 均为正数，且p 3＋q 3＝2.求证：p ＋q ≤2.【精彩点拨】为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量．【自主解答】设m ＝p 32，q 32，n ＝(p 12，q 12)，则 p 2＋q 2＝p 32p 12＋q 32q 12＝|m ·n |≤|m ||n | ＝p3＋q3·p ＋q ＝2p ＋q.又∵(p ＋q )2≤2(p 2＋q 2)，∴2()2p q +≤p 2＋q 2≤2p ＋q ，∴2()2p q +≤2·p ＋q ，则(p ＋q )4≤8(p ＋q )．又p ＋q >0，∴(p ＋q )3≤8，故p ＋q ≤2. 规律总结：使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量．同时，要注意向量模的计算公式|a |＝x2＋y2对数学式子变形的影响．[再练一题]1．若本例的条件中，把“p 3＋q 3＝2”改为“p 2＋q 2＝2”，试判断结论是否仍然成立？【解】设m ＝(p ，q )，n ＝(1,1)，则p ＋q ＝p ·1＋q ·1＝|m ·n |≤|m |·|n |＝p2＋q2·12＋12. 又p 2＋q 2＝2. ∴p ＋q ≤2·2＝2. 故仍有结论p ＋q ≤2成立. 题型二、运用柯西不等式求最值例2 若2x ＋3y ＝1，求4x 2＋9y 2的最小值．【精彩点拨】由2x ＋3y ＝1以及4x 2＋9y 2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12＋12)作为一个因式而解决问题．【自主解答】由柯西不等式得(4x 2＋9y 2)(12＋12)≥(2x ＋3y )2＝1. ∴4x 2＋9y 2≥12，当且仅当2x ×1＝3y ×1，即x ＝14，y ＝16时取等号．∴4x 2＋9y 2的最小值为12.规律总结：1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果． 2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的．[再练一题]2．若3x ＋4y ＝2，试求x 2＋y 2的最小值及最小值点.【解】由柯西不等式(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4.所以x 2＋y 2≥425，当且仅当x 3＝y4时，“＝”成立．为求最小值点，需解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y4，∴⎩⎨⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425，最小值点为⎝⎛⎭⎫625，825. 题型三、二维柯西不等式代数形式的应用例3已知|3x ＋4y |＝5，求证：x 2＋y 2≥1.【精彩点拨】探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明．【自主解答】由柯西不等式可知(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，所以(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )232＋42.又因为|3x ＋4y |＝5，所以(3x ＋4y )232＋42＝1，即x 2＋y 2≥1. 规律总结：1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．[再练一题]3．设a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝2.求证：a22－a ＋b22－b ≥2.【证明】根据柯西不等式，有[(2－a )＋(2－b )]⎝⎛⎭⎫a22－a ＋b22－b ＝[(2－a)2＋(2－b)2]⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫2－a·a 2－a ＋2－b·b 2－b 2＝(a ＋b )2＝4. ∴a22－a ＋b22－b ≥4(2－a )＋(2－b )＝2，当且仅当2－a·b 2－b ＝2－b·a2－a，即a ＝b ＝1时等号成立． ∴a22－a ＋b22－b≥2. （四）归纳小结二维柯西不等式—⎪⎪⎪⎪—代数形式—向量形式—三角形式—柯西不等式求最值（五）随堂检测 1．设x ，y ∈R ，且2x ＋3y ＝13，则x 2＋y 2的最小值为()A.13B ．169C ．13D.0【解析】 (2x ＋3y )2≤(22＋32)(x 2＋y 2)， ∴x 2＋y 2≥13. 【答案】 C2．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是() A ．26B.6C ．6D.12 【解析】 (4a ＋1＋4b ＋1)2 ＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2] ＝2×(4×1＋2)＝12，当且仅当4b ＋1＝4a ＋1，即a ＝b ＝12时等号成立．故选D.【答案】 D3．平面向量a ，b 中，若a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a ·b ＝5，则向量b ＝________.【解析】 |a |5，且 |b |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |，因此，b 与a 共线，且方向相同， ∴b ＝⎝⎛⎭⎫45，－35. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫45，－35 六、板书设计七、作业布置同步练习：3.1二维形式的柯西不等式八、教学反思。

3.1 二维形式的柯西不等式课件(人教A选修4-5)

[通一类] 3．如何把一条长为m的绳子截成3段，各围成一个正方形，使这3个正方形的面积和最小？解：设这 3 段的长度分别为 x，y，z，则 x＋y＋z＝m，且 3 个
正方形的面积和 x2 y2 z2 1 2 2 2 S＝( ) ＋( ) ＋( ) ＝ (x ＋y ＋z )． 4 4 4 16 因为(x2＋y2＋z2)(12＋12＋12)≥(x＋y＋z)2＝m2， m 等号当且仅当 x＝y＝z＝时成立，所以 x2＋y2＋z2 有最小值 3 m2 m2 ，从而 S 有最小值 . 3 48 把绳子三等分后，这 3 段所围成的 3 个正方形的面积和最小．
a c 提示：不可以．当 b· d＝0 时，柯西不等式成立，但b＝d不成立．
2 2．不等式 x2＋y2＋ x2＋y2≥ x1－x22＋y1－y22 1 1 2
(x1，x2，y1，y2∈R)中，等号成立的条件是什么？
提示：当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0,0)三点共线，且P1，P2在原点两旁时，等号成立．
[读教材· 填要点]
1．二维形式的柯西不等式
(ac＋bd)2， (1)若 a， c，都是实数， b， d 则(a ＋b )(c ＋d )≥
2 2 2 2
当且仅当 ad＝bc 时，等号成立． (2)二维形式的柯西不等式的推论：
( ac＋ bd)2 (a，b，c，d 为非负实数)； (a＋b)(c＋d)≥
本题需要从欲证不等式左边的分子入手，将其进行适当的变形，创造利用柯西不等式的条件． ab＋2bc＋cd＝(ab＋cd)＋(bc－ad)＋(bc＋ad) ≤ 2[ab＋cd2＋bc－ad2]＋ b2＋a2c2＋d2 ＝ 2· a2＋c2b2＋d2＋ a2＋b2c2＋d2

新人教A版高中数学(选修4-5)《二维形式的柯西不等式》word教案

选修4-5学案 §3.1.3柯西不等式姓名☆学习目标： 1. 熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明; 2. 会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式，等一些问题☻知识情景：1. 柯西主要贡献简介：柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.2.二维形式的柯西不等式：若,,,a b c d R ∈，则 .当且仅当时, 等号成立.变式10. 若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈，；变式30.（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：3. 一般形式的柯西不等式：设n 为大于1的自然数，,i ia b R ∈(=i 1,2,…,n )，则： .当且仅当时, 等号成立.(若0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ).变式10. 设,0(1,2,,),i i a R b i n ∈>= 则：∑∑∑≥=i i ni iib a b a 212)( . 当且仅当时, 等号成立.变式20. 设0(1,2,,),i i a b i n ⋅>= 则：∑∑∑≥=ii ini i i b a a b a 21)(.当且仅当n b b b === 21时,等号成立. 变式30. (积分形式)设)(x f 与)(x g 都在],[b a 可积，则dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a )()()()(222⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡，当且仅当)()(x g t x f ⋅=时,等号成立.如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！☆ 柯西不等式的应用：例1. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=. 试求a 的最值例2 在实数集内解方程22294862439x y z x y y ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩例3 设P 是三角形ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆的半径，例4 (证明恒等式) 已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。

2018-2019高二数学人教A版选修4-5学案：3.1二维形式的柯西不等式预习案 Word版含解析

2.3 二维形式的柯西不等式预习目标1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．2.会用柯西不等式证明一些简单问题，能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值.一、预习要点1.二维形式的柯西不等式定理1：若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当________时，等号成立．2．柯西不等式的向量形式定理2：设α·β是两个向量，则|α·β|≤________，当且仅当β是________，或存在实数k ，使________时，等号成立．3．二维形式的三角不等式定理3：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x21＋y21＋x22＋y22≥____________________.4．二维形式的三角不等式的变式用x 1－x 3代替x 1，用y 1－y 3代替y 1，用x 2－x 3代替x 2，用y 2－y 3代替y 2，代入定理3，得二、预习检测1．已知a ，b ∈R ，且P ＝a ＋b 2，Q ＝a2＋b22，则P 、Q 的关系是 ()． A ．P ≥QB ．P ＞QC ．P ≤QD ．P ＜Q2．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是 ()．A.56B.65C.2536D.36253．已知2x 2＋y 2＝1，则2x ＋y 的最大值是 ()．A. 2B ．2 C. 3 D ．3 4.已知a ，b ，c ∈R *，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c与9的大小关系是________．三、思学质疑把你在本次课程学习中的困惑与建议填写在下面,与同学交流后,由组长整理后并拍照上传平台讨论区。

参考答案一、预习要点二、预习检测1.答案 C2.答案 B3.解析 2x ＋y ＝3，故选C. 答案 C4.答案 1a ＋1b ＋1c≥9。

人教A版高中数学选修4-5：第二讲柯西不等式教学案

第二讲柯西不等式一、内容及其解析本节课要学习的内容是柯西不等式的内容及应用，其关键是柯西不等式的应用。

学生已经掌握了一些形式优美而且具有重要应用价值的不等式（称为经典不等式），柯西不等式就是这样的不等式，通过本讲的学习，可以让学生领略这些不等式的数学意义、几何背景、证明方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养。

学习的重点是柯西不等式的内容及应用，解决重点的关键是认识柯西不等式的内容，并能将相关式子转化成柯西不等式的结构形式。

二、目标及其解析目标定位：1.理解掌握柯西不等式的内容与意义；2.会用柯西不等式证明不等式关系，求相关函数的最值。

目标解析：目标定位1就是指掌握不等式22222()()()a b c d ac bd ++≥+的结构特征与几何意义、向量意义。

目标定位2就是指能将要证不等式转化为柯西不等式的结构，从而能用柯西不等式证明不等式和求函数的最值。

三、教学过程设计问题1.什么是二维形式的柯西不等式？设计意图：让学生通过类比方法理解二维形式的柯西不等式的内容与意义，并能利用它证明不等式式、求函数的最值。

师生活动：1.探究：222(,)a b ab a b +≥为实数是我们非常熟悉的不等式，它反映了两个实数的平方和与乘积的大小关系。

现在考虑乘积2222()()(,,,)a b c d a b c d ++为实数，它涉及到4个实数，并且形式上也和平方和有关。

你能类比222(,)a b ab a b +≥为实数的推导过程，研究一下关于它的不等关系吗？2.总结：二维形式的柯西不等式是： 22222()()()a b c d ac bd ≥+++（a,b,c,d 都是实数，当且仅当ad=bc 时，等号成立）3.二维形式的柯西不等式的几何意义是什么？设(,),(,)OM a b ON c d ==，则由OM ON OM ON ⋅≥⋅可得： 2222a b c c dd a b +++≥；即 22222()()()a b c d ac bd ≥+++ 4.推论：（12222a bc cd d a b +++≥；（22222a b c c d d a b +++≥5.应用：例1.已知,a b 为实数，证明4422332()()()a b a b a b ++≥+ 例2.求函数()51102f x x x =-+-的最大值。

人教A版选修4-5 第三章一二维形式的柯西不等式课件(29张)

【解】 (1)设 m＝coas θ，sinb θ，n＝(cos θ，sin θ)，
则|a＋b|＝coas
θ·cos
θ＋sinb
θ·sin
θ
＝|m·n|≤|m||n|
＝
a cos
θ2＋sinb
θ2·
1
＝ coas22θ＋sibn22θ，
所以(a＋b)2≤coas22θ＋sibn22θ.
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第三讲柯西不等式与排序不等式
利用柯西不等式求最值 (1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件； (2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧； (3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．
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第三讲柯西不等式与排序不等式
已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，求证：(ax＋by)2 ≤ax2＋by2. 证明：设 m＝( ax， by)，n＝( a， b)，则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n| ＝（ ax）2＋（ by）2· （ a）2＋（ b）2 ＝ ax2＋by2· a＋b ＝ ax2＋by2，所以(ax＋by)2≤ax2＋by2.
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第三讲柯西不等式与排序不等式
已知 a，b 都是正实数，且 ab＝2，求证：(1＋2a)(1＋b)≥9. 证明：因为 a，b 都是正实数，所以由柯西不等式可知(1＋2a)(1＋b) ＝[12＋( 2a)2][12＋( b)2]≥(1＋ 2ab)2，当且仅当 a＝1，b＝2 时取等号．因为 ab＝2，所以(1＋ 2ab)2＝9，所以(1＋2a)(1＋b)≥9.

人教A版选修4-5 3.1 二维形式的柯西不等式学案

一二维形式的柯西不等式第9课时二维形式的柯西不等式1．二维形式的柯西不等式(1)定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a＋b)(c＋d)a，b，c，d为非负实数)；a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．2．柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．3．二维形式的三角不等式(1)定理3：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥x 1－x 22＋y 1－y 22.(2)二维形式的三角不等式的推论用x 1－x 3代替x 1，用y 1－y 3代替y 1，用x 2－x 3代替x 2，用y 2－y 3代替y 2，代入定理3，得x 1－x 32＋y 1－y 32＋x 2－x 32＋y 2－y 32≥x 1－x 22＋y 1－y 22(x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，y 3∈R )．知识点一证明不等式1．已知a 1，a 2，b 1，b 2∈R ＋，求证：(a 1b 1＋a 2b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2.证明：(a 1b 1＋a 2b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＝[(a 1b 1)2＋(a 2b 2)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ a 2b 22 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22＝(a 1＋a 2)2.2．(2019·福建泉州检测)设m 2x 2＋n 2y 2＝1，求证：x 2＋y 2≥(m ＋n )2.证明：因为m 2x 2＋n 2y2＝1，所以x 2＋y 2＝(x 2＋y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2x 2＋n 2y 2≥⎝⎛⎭⎪⎫x ·mx ＋y ·n y 2＝(m ＋n )2. 知识点二求最值3．函数f (x )＝1－cos 2x ＋cos x ，则f (x )的最大值是( ) A. 3 B. 2 C ．1D ．2解析：∵f (x )＝2·sin 2x ＋cos x .又(2·sin 2x ＋cos x )2≤(2＋1)(sin 2x ＋cos 2x )＝3， ∴f (x )＝ 2sin 2x ＋cos x ≤2＋1sin 2x ＋cos 2x ＝3，当且仅当cos x ＝33时取等号， ∴f (x )的最大值为 3. 答案：A4．(2019·河南师大附中月考)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________．解析：由柯西不等式得，(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(ma ＋nb )2，所以5(m 2＋n 2)≥52，得m 2＋n 2≥5，所以m 2＋n 2≥ 5. 答案： 5知识点三柯西不等式的向量形式的应用5．已知θ为锐角，a >0，b >0，用柯西不等式的向量形式证明：(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. 证明：设m ＝⎝⎛⎭⎪⎫a cos θ，b sin θ，n ＝(cos θ，sin θ)，则m ·n ＝acos θ·cos θ＋bsin θ·sin θ＝a ＋b . ∴|a ＋b |＝|m ·n|≤|m|·|n| ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b sin θ2· 1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b sin θ2. ∴(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. 6．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求函数f (x )＝3cos x ＋41＋sin 2x 的最大值．解：设m ＝(3,4)，n ＝(cos x, 1＋sin 2x )，则f (x )＝3cos x ＋4 1＋sin 2x ＝m ·n .由柯西不等式，得|m ·n|≤|m||n|＝32＋42·cos 2x ＋1＋sin 2x ＝5 2. 当且仅当m 与n 共线时取等号．此时31＋sin 2x ＝4cos x ，解得sin x ＝75，cos x ＝325.∴f (x )的最大值为5 2.一、选择题1．若a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝2，则ax ＋by 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C. 2D ．4解析：∵(ax ＋bx )2≤(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)＝2， ∴ax ＋by ≤ 2. 答案：C2．(2019·河北邢台训练)设a ，b ，c ，d ，n ，m ∈R ＋，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn，则P ，Q 之间的大小关系是( ) A ．P ≥Q B ．P ≤QC ．P ＝QD ．P ，Q 大小关系不确定解析：Q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n≥ ab ＋cd2＝ab ＋cd ＝P ，故选B.答案：B3．已知4x ＋9y＝2，x >0，y >0，则x ＋y 的最小值为( )A ．5B.52C.252D.254解析：由4x ＋9y ＝2，得x ＋y ＝[x2＋y2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 22≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·2x ＋y ·3y 2＝12(2＋3)2＝252，当且仅当x ·3y ＝y ·2x，即x ＝5，y ＝152时，等号成立，∴x ＋y 的最小值为252.答案：C4．(2019·南宁二中、柳州中学联考)若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( )A ．[－25，25]B ．[－210，210]C ．[－10，10]D ．(－5，5)解析：由柯西不等式，得(a 2＋b 2)[12＋(－1)2]≥(a －b )2，因为a 2＋b 2＝10，所以(a －b )2≤20，所以－25≤a －b ≤25，故选A.答案：A5．若直线x a ＋y b＝1，通过点M (cos α，sin α)，则( ) A ．a 2＋b 2≤1 B ．a 2＋b 2≥1 C.1a 2＋1b 2≤1D.1a 2＋1b2≥1解析：解法一：因为点M (cos α，sin α)在单位圆x 2＋y 2＝1上，依题意知，直线与单位圆相交，所以原点到直线的距离小于或等于1，即1⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2≤1，∴1a 2＋1b2≥1.解法二：用柯西不等式的向量形式求解．令m ＝(cos α，sin α)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1b .则m ·n ＝cos αa ＋sin αb＝1，|m |＝1，|n |＝1a2＋1b2.由m ·n ≤|m||n|，得 1a2＋1b2≥1，∴1a 2＋1b2≥1.答案：D 二、填空题6．已知实数m ，n >0，则a 2m ＋b 2n ________(填“≥”“>”“≤”或“<”)a ＋b 2m ＋n.解析：因为m ，n >0，利用柯西不等式，得(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m ＋b 2n ≥(a ＋b )2，所以a 2m ＋b 2n ≥a ＋b 2m ＋n.答案：≥7．设a ＝(－2,1)，|b |＝6，则a ·b 的最小值为________．解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a ·b|≤|a||b|＝65，当且仅当a ＝k b 时取等号，∴－65≤a ·b ≤6 5. ∴a ·b 的最小值为－6 5.答案：－6 58．(2019·广东揭阳一中期末)若直线x cos θ＋y sin θ＝2(0≤θ≤π)和椭圆x 2＋3y 2＝6有公共点，则θ的取值范围是________________．解析：由柯西不等式，得22＝(x cos θ＋y sin θ)2＝(x ·cos θ＋3y ·13sin θ)2≤(x 2＋3y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ＋13sin 2θ＝6cos 2θ＋2sin 2θ，解得cos 2θ≥12，∴cos θ≤－22或cos θ≥22，∵0≤θ≤π，∴0≤θ≤π4或34π≤θ≤π.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪0≤θ≤π4或3π4≤θ≤π三、解答题9．(2019·福建泉州质检)已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}． (1)求实数a ，b 的值．(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解：(1)由|x ＋a |<b ，得－b －a <x <b －a ，则⎩⎨⎧ －b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝1.(2)由(1)知a ＝－3，b ＝1.∴－3t ＋12＋t ＝3·4－t ＋t ≤32＋12·4－t2＋t2＝24－t ＋t ＝4.当且仅当3·t ＝4－t ，即t ＝1时，等号成立， ∴(－3t ＋12＋t )max ＝4.10．设a >0，b >0，且a ＋b ＝1，求证： 2a ＋1＋b ＋13≤222. 证明：令α＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12，b ＋13，β＝(2，1)，则|α·β|＝2a ＋1＋ b ＋13.而|α|＝a ＋12＋b ＋13＝116，又|β|＝3， ∴|α||β|＝222.由|α·β|≤|α||β|，得 2a ＋1＋b ＋13≤222.。

新人教A版高中数学(选修4-5)《第三讲柯西不等式与排序不等式》word教案

第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一）教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2a ba b +>>及几种变式. 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 二、讲授新课：1. 教学柯西不等式：① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方）证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则22||m a b =+，2||n c d =+∵ m n ac bd ∙=+，且||||cos ,m n m n m n =<>，则||||||m n m n ≤. ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即….. ③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？22||c d ac bd +≥+ 或 22||||c d ac bd +≥+22c d ac bd +≥+.④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）→ 讨论：上面时候等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线）⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式：① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明→ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）三、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2. 作业：教材P 37 4、5题. 第二课时3.1 二维形式的柯西不等式（二）教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题. 教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？几何意义？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数y =?要点：利用变式22||ac bd c d ++.二、讲授新课：1. 教学最大（小）值：① 出示例1：求函数y =分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演→变式：y → 推广：(,,,,,)y b c d e f x a b c d e f R+=-∈ ② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值. 解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=. 讨论：其它方法（数形结合法）2. 教学不等式的证明：① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比 → 构造）要点：2222111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）② 练习：已知a 、b R +∈，求证：11()()4a b a b++≥. 3. 练习：① 已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值. 要点：()()a bx y x y x y+=++=…. → 其它证法② 若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=的最大值.3. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧. 三、巩固练习：1. 练习：教材P 37 8、9题2. 作业：教材P 37 1、6、7题第三课时3.2 一般形式的柯西不等式教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想. 教学过程：一、复习准备： 1. 练习：2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++二、讲授新课：1. 教学一般形式的柯西不等式：① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ≤，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++讨论：什么时候取等号？（当且仅当1212n na a ab b b ===时取等号，假设0i b ≠）联想：设1122n n B a b a b a b =+++，22212n A a a a =++，22212n C b b b =+++，则有20B A C -≥，可联想到一些什么？③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？（注意分类）要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（）（22212()n b b b +++⋅⋅⋅+ ，则2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅+≥+（.又222120n a a a ++⋅⋅⋅+>，从而结合二次函数的图像可知，[]22221122122()4()n n n a b a b a b a a a ∆=+++-++22212()n b b b +++≤0即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.）④ 变式：222212121()n n a a a a a a n++≥++⋅⋅⋅+. （讨论如何证明）2. 教学柯西不等式的应用：① 出示例1：已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式：② 练习：若,,x y z R +∈，且1111x y z ++=，求23y zx ++的最小值.③ 出示例2：若a >b >c ，求证：ca cb b a -≥-+-411. 要点：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c-+=-+-+≥+=---- 3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.三、巩固练习：1. 练习：教材P 41 4题2. 作业：教材P 41 5、6题第四课时3.3 排序不等式教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.教学重点：应用排序不等式证明不等式. 教学难点：排序不等式的证明思路. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：前面所学习的一些经典不等式？（柯西不等式、三角不等式）2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例. 二、讲授新课：1. 教学排序不等式： ① 看书：P 42~P 44.② 提出排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:12a a ≤≤···n a ≤;12b b ≤≤···n b ≤.12,,c c ···n c 是12,b b ，···,n b 的任一排列,则有1122a b a b ++···+n n a b (同序和)1122a c a c ≥++···+n n a c (乱序和)121n n a b a b -≥++···+1n a b (反序和) 当且仅当12a a ==···=n a 或12b b ==···=n b 时，反序和等于同序和. （要点：理解其思想，记住其形式） 2. 教学排序不等式的应用：① 出示例1：设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个互不相同的正整数，求证：32122211112323n a a a a n n+++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+. 分析：如何构造有序排列？如何运用套用排序不等式？证明过程：设12,,,n b b b ⋅⋅⋅是12,,,n a a a ⋅⋅⋅的一个排列，且12n b b b <<⋅⋅⋅<，则121,2,,n b b b n ≥≥⋅⋅⋅≥.又222111123n>>>⋅⋅⋅>，由排序不等式，得3322112222222323n n a a b b a b a b n n +++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+≥… 小结：分析目标，构造有序排列. ② 练习：已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++.解答要点：由对称性，假设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，于是 222222a a b b c c a c b a c b ++≥++，222222a a b b c c a b b c c a ++≥++，两式相加即得.3. 小结：排序不等式的基本形式. 三、巩固练习：1. 练习：教材P 45 1题2. 作业：教材P 45 3、4题。

人教版数学高二人教A选修4-4 3.1二维形式的柯西不等式教案

《二维形式的柯西不等式》教案
一、教学目标
①认识二维形式的柯西不等式的三角形式
②柯西不等式的一些简单应用
二、教学重点：
①认识二维形式的柯西不等式的几种形式
②运用柯西不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法——
发现具体问题与经典不等式之间的联系，经过恰当变形，以经典不等式为依据
得出具体问题中的不等关系
三、教学难点：
运用柯西不等式证明不等式
四、教学过程：
③讲解例题（例3）
④练习P37 第7题第6题生体会用柯西不等式这个重要的数学结论去解决具体问题的方法。

小结
本节课实际上是柯西不等式的一些
简单应用，柯西不等式是一个经典不等
式，是一个重要的数学结论，在以后的
证明某些不等式时有重要作用。

目的是让学生知道柯西不等式是一
个重要的数学结论
布
置
作
业
课本P37 第8题巩固提高。

人教A版选修4-5 二维形式的柯西不等式教案

1、设
a
(2,1,2),
b
6
，则
a
b 之最小值为________；此时
b
________。
2、设
a
(1，0，
2)，
b
(x，y，z)，若
x2
y2
z2
16，则
ab的最大值为
。
达标检测
3、空间二向量
v a
(1, 2,3)
v ，b
(x,
y,
z)
，已知
v b
56 ，则
vv (1) a b 的最大值为多少？
v (2)此时 b ？
(a b c)( 4 9 36)
4、设 a、b、c 为正数，求
a b c 的最小值。
5 、设 a, b, c 均为正数，且 a 2b 3c 2 ，则 1 2 3 之最小值为 ________ ，此时 abc
a ________。
1.知识建构反思总结 2.能力提高
a
(1，0，
2)，
b
(x，y，z)，若
x2
y2
z2
16，则
ab的最大值为
。
例 2、设 x，y，z R，且满足 x2 y2 z2 5，则 x 2y 3z 之最大值为
例 3、设 x，y，z R，若 x2 y2 z2 4，则 x 2y 2z 之最小值为时，(x，y，z)
变式反馈
当变形，依据经典不等式得到不等关系. 认识二维形式的柯西不等式的几种不同难点目标形式，理解其几何意义
学做思一：
会用二维柯西不等式解决一些简单问题
自学探究
问题 1：看书（P31-33）后回答： 1. 什么是二维形式的柯西不等式？ 2. 二维形式的柯西不等式的取等条件是？ 3. 二维形式的柯西不等式的三角不等式？几何意义？ 4. 思考二维形式的柯西不等式。

高二数学人教A版选修4-5教案3.2一般形式的柯西不等式 Word版含解析

一般形式的柯西不等式一、教学目标．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．二、课时安排课时三、教学重点．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．四、教学难点．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．五、教学过程（一）导入新课已知实数，，满足＋＋＝，求＝＋＋的最小值．【解】由柯西不等式得(＋＋)(＋＋)≥(＋＋).∵＋＋＝，∴(＋＋)≥，即＋＋≥.当且仅当＝＝＝，即＝，＝，＝时等号成立．故＋＋的最小值为. （二）讲授新课教材整理三维形式的柯西不等式设，，，，，∈，则(＋＋)·(＋＋)≥.当且仅当或存在一个数，使得＝(＝)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．教材整理一般形式的柯西不等式设，，，…，，，，，…，是实数，则(＋＋…＋)(＋＋…＋)≥.当且仅当＝(＝，…，)或存在一个数，使得＝(＝，…，)时，等号成立．（三）重难点精讲题型一、利用柯西不等式求最值例已知，，∈(，＋∞)，＋＋＝，求＋＋的最小值及取得最小值时，，的值．【精彩点拨】由于＋＋＝，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解．【自主解答】∵，，∈(，＋∞)，∴·(＋＋)＝[＋＋][()＋()＋()]≥＝(＋＋)＝.又＋＋＝，∴＋＋≥，当且仅当＝＝＝时等号成立，综上，当＝＝＝时，＋＋取得最小值.规律总结：利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．[再练一题]。

人教版数学高二A版选修4-5学案第三讲一二维形式的柯西不等式

一二维形式的柯西不等式1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．1．二维形式的柯西不等式(1)若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥__________，当且仅当______时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论： (a ＋b)(c ＋d)≥________________(a ，b ，c ，d 为非负实数)；a 2＋b 2·c 2＋d 2≥________(a ，b ，c ，d ∈R )；a 2＋b 2·c 2＋d 2≥________(a ，b ，c ，d ∈R )．【做一做1】已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是( )A ．2 6 B.6 C ．6 D ．122．柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤__________，当且仅当β是________，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．【做一做2】设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a ·b 的最小值为__________，此时b ＝__________.3．二维形式的三角不等式(1)设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥__________________.(2)推论：(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2≥____________________，(x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，y 3∈R )．解决柯西不等式的应用问题，关键是把原有式子巧妙地转化为柯西不等式的形式．答案：1．(1)(ac ＋bd )2 ad ＝bc (2)(ac ＋bd )2 |ac ＋bd | |ac |＋|bd |【做一做1】 D (4a ＋1＋4b ＋1)2＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，当且仅当4b ＋1＝4a ＋1，即a ＝b ＝12时等号成立． 2．|α||β| 零向量【做一做2】－18 (4，－2，－4) 根据柯西不等式的向量形式，有|a ·b |≤|a |·|b |， ∴|a ·b |≤(－2)2＋12＋22×6＝18，当且仅当存在实数k ，使a ＝k b 时，等号成立．∴－18≤a ·b ≤18.∴a ·b 的最小值为－18，此时b ＝－2a ＝(4，－2，－4)．3．(1)(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 (2)(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)21．对柯西不等式的理解剖析：柯西不等式的几种形式，都涉及对不等式的理解与记忆，因此，二维形式的柯西不等式可以理解为四个有顺序的数来对应的一种不等关系，或构造成一个不等式，如基本不等式是由两个数来构造的，但怎样构造要仔细体会．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，(a 2＋b 2)(d 2＋c 2)≥(ad ＋bc )2，谁与谁组合、联系，要有一定的认识．“二维”是由向量的个数来说的，在平面上一个向量有两个量：横纵坐标，因此“二维”就要有四个量，还可以认为是四个数组合成的一种不等关系．2．柯西不等式取“＝”的条件剖析：柯西不等式取“＝”的条件，也不易记住，我们可以多方面联系来记忆，如(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，取“＝”的条件是“ad ＝bc ”，有点像a ，b ，c ，d 成等比时，ad ＝bc 的结论，a ，b ，c ，d 的顺序不等式中是对应排列顺序的，柯西不等式的向量形式中|α·β|≤|α||β|，取“＝”的条件是β＝0或存在实数k ，使α＝k β.我们可以从向量的数量积的角度来理解和记忆．题型一柯西不等式等号成立的条件【例1】求证：点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 反思：利用二维形式的柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，取“＝”的条件是ad ＝bc .因此，在解题时，对照柯西不等式，必须弄清要求的问题中相当于柯西不等式中的“a ，b ，c ，d ”的数或代数式，否则容易出错．题型二利用柯西不等式证明某些不等式【例2】设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2.求证：a 22－a ＋b 22－b≥2. 分析：利用柯西不等式前，需要观察不等式的结构特点，本题可以看作求a 22－a ＋b 22－b 的最小值，因而需出现(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)结构．把a 22－a ＋b 22－b视为其中的一个括号内的部分，另一部分可以是(2－a )＋(2－b )．反思：利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式适当的变形．这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．答案：【例1】证明：设Q (x ，y )是直线上任意一点，则Ax ＋By ＋C ＝0.因为|PQ |2＝(x －x 0)2＋(y －y 0)2，A 2＋B 2≠0.由柯西不等式，得(A 2＋B 2)[(x －x 0)2＋(y －y 0)2]≥[A (x －x 0)＋B (y －y 0)]2＝[(Ax ＋By )－(Ax 0＋By 0)]2＝(Ax 0＋By 0＋C )2，所以|PQ |≥|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 当且仅当x －x 0A ＝y －y 0B ＝－Ax 0＋By 0＋C A 2＋B 2时，取等号．由垂线段最短，得d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 因此，点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 【例2】证明：根据柯西不等式，有[(2－a )＋(2－b )](a 22－a ＋b 22－b) ＝[(2－a )2＋(2－b )2][(a 2－a )2＋(b 2－b )2] ≥(2－a ·a 2－a ＋2－b ·b 2－b )2 ＝(a ＋b )2＝4.∴a 22－a ＋b 22－b ≥4(2－a )＋(2－b )＝2. 当且仅当2－a ·b 2－b ＝2－b ·a 2－a ，即a ＝b ＝1时等号成立．∴原不等式成立．1．已知49x y+＝2，x ，y ∈R ＋，则x ＋y 的最小值是( ) A.252 B.254 C.52 D ．5 2．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A.56 B.65 C.2536 D. 36253．已知a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，求证：|ax ＋by |≤1.4．已知a ＞b ＞c ，求证：11a b b c +--≥4a c-.5．设a ，b ，c ＞0，且acos 2θ＋bsin 2θ＜c.22θθ+答案：1．A由49x y+＝2，可得x＋y212＝21(23)2+＝252.，即x＝5，y＝152时等号成立．2．B2x2＋3y2＝[2)＋2)][2＋2]×15≥21)5+＝26()5x y+＝65.当且仅当2x＝3y，即x＝35，y＝25时等号成立．3．证明：由柯西不等式，得|ax＋by|＝1.当且仅当ay＝bx时等号成立．4．分析：原不等式可变形为(a－c)(1a b-＋1b c-)≥4.又a－c＝(a－b)＋(b－c)，利用柯西不等式证明即可．证明：(a－c)(1a b-＋1b c-)＝[(a－b)＋(b－c)](1a b-＋1b c-)＝[2＋2][2＋2]≥2＝4，即a－b＝b－c时等号成立．∴原不等式成立．5．证明：由柯西不等式及题设，得2θ2θ)2＝cos θθsin θθ)2≤[2)θ＋2)θ](cos 2θ＋sin 2θ)＝a cos 2θ＋b sin 2θ＜c .sin θθsin θθ，即a ＝b 时等号成立．2θ2θ。

人教版数学高二A版选修4-5素材3.1-2二维形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式

庖丁巧解牛知识·巧学一、二维形式的柯西不等式定理1 （二维形式的柯西不等式）已知a 1，a 2，b 1，b 2∈R ，则(a 1b 1+a 2b 2)2≤(a 12+a 22)2(b 12+b 22)2，当且仅当a 1b 2-a 2b 1=0时取等号.由二维形式的柯西不等式推导出两个非常有用的不等式：对于任何实数a 1，a 2，b 1，b 2,以下不等式成立：22212221b b a a +•+≥|a 1b 1+a 2b 2|; 22212221b b a a +•+≥|a 1b 1|+|a 2b 2|.联想发散不等式中等号成立⇔a 1b 2-a 2b 1=0.这时我们称(a 1,a 2),(b 1,b 2)成比例,如果b 1≠0,b 2≠0,那么a 1b 2-a 2b 1=0⇔2211b a b a =.若b 1·b 2=0,我们分情况说明：①b 1=b 2=0,则原不等式两边都是0,自然成立;②b 1=0,b 2≠0,原不等式化为(a 12+a 22)b 22≥a 22b 22,也是自然成立的;③b 1≠0,b 2=0,原不等式和②的道理一样,自然成立.正是因为b 1·b 2=0时,不等式恒成立,因此我们研究柯西不等式时,总是假定b 1b 2≠0,等号成立的条件可以写成2211b a b a =,这种写法在表示一般形式(n 维)的柯西不等式等号成立的条件时更是方便、简洁的.定理2 （柯西不等式的向量形式）设α,β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α=k β时，等号成立. 学法一得定理2 中等号成立的充分必要条件是向量α和β平行（如α,β为非零向量，则定理2中等号成立的充分必要条件为向量α与β的夹角为0或π，即α与β对应的坐标分量成比例）,从而可以推知定理1中等号成立的充分必要条件为2211b a b a =（b i 为零时，a i 为零，i=1，2）. 定理3 （二维形式的三角不等式）设x 1,x 2,y 1,y 2∈R ，那么22122122222121)()(y y x x y x y x -+-≥+++.二维形式的三角不等式的变式：用x 1-x 3代替x 1，用y 1-y 3代替y 1，用x 2-x 3代替x 2，用y 2-y 3代替y 2，代入定理3，得232231231231)()()()(y y x x y y x x -+-+-+-221221)()(y y x x -+-≥二、一般形式的柯西不等式定理设a i ,b i ∈R (i=1,2, …,n),则(∑∑∑===≤ni i ni ini i i b a b a 121212)(.当数组a 1，a 2，…，a n ,b 1，b 2，…，b n 不全为0时，等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i≤n).即(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2≤(a 12+a 22+…+a n 2)2(b 12+b 22+…+b n 2)2（a i ,b i ∈R ,i=1,2,…,n ）中等号成立的条件是2211b a b a ==…=nn b a . 记忆要诀这个式子在竞赛中极为常用，只需简记为“积和方小于和方积”.等号成立的条件比较特殊，要牢记.此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数，因此应用范围较广. 一般形式的柯西不等式有两个很好的变式：变式1 设a i ∈R ，bc>0(i=1,2, …,n),则∑∑∑≥=i i ni iib a b a 212)(,等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i≤n). 变式2 设a i ,b i 同号且不为0（i=1，2，…，n ），则∑∑∑≥=ii i ni i ib a a b a 212)(,等号成立当且仅当b 1=b 2=…=b n .深化升华要求a i ，b i 均为正数.当然，这两个式子虽常用，但是记不记住并不太重要，只要将柯西不等式原始的式子记得很熟，这两个式子其实是一眼就能看出来的，这就要求我们对柯西不等式要做到活学活用.柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的a 1, …,a n ;b 1, …,b n 都表示实数）是：（1）a 12+a 22+…+a n 2=1,b 12+b 22+…+b n 2=1,则|a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n |≤1; （2）a 1a 2+a 2a 3+a 3a 1≤a 12+a 22+a 32;（3）(a 1+a 2+…+a n )2≤n(a 12+a 22+…+a n 2);（4）(a+b)(a 1+b1)≥4=(1+1)2，其中a 、b ∈R +; （5）(a+b+c)(a 1+b 1+c1)≥9=(1+1+1)2,其中a 、b 、c ∈R +.柯西不等式是一个重要的不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位. 典题·热题知识点一：用柯西不等式证明不等式例1 设a 1>a 2>…>a n >a n+1,求证：11132211111a a a a a a a a n n n -+-++-=-++ >0.思路分析：这道题初看起来似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构就可以使用了，我们不妨改为证： (a 1-a n+1)·［13221111+-++-+-n n a a a a a a ］>1.证明：为了运用柯西不等式，我们将a 1-a n+1写成a 1-a n+1=(a 1-a 2)+(a 2-a 3)+ …+(a n -a n+1),于是［(a 1-a 2)+(a 2-a 3)+…+(a n -a n+1)］·（13221111+-++-+-n n a a a a a a ）≥n 2>1.即(a 1-a n+1)·（13221111+-++-+-n n a a a a a a ）>1,∴11132211111++->-++-+-n n n a a a a a a a a ,故11132211111a a a a a a a a n n n -+-++-+-++ >0.方法归纳我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式之和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明. 知识点二：用柯西不等式证明条件不等式例2 （经典回放）设x 1,x 2, …,x n ∈R +,求证：123221x x x x x x x x nn ++++ ≥x 1+x 2+…+x n . 思路分析：在不等式的左端嵌乘以因式(x 2+x 3+…+x n +x 1)，也即嵌以因式(x 1+x 2+…+x n )，由柯西不等式即可得证.证明：(123221x x x x x x x x nn ++++ )·(x 2+x 3+…+x n +x 1) =［(21x x )2+(22x x )2+…+(nn x x 1-)2+(1x x n )2］［(2x )2+(3x )2+…+(n x )2+(1x )2］ ≥(21x x ·2x +22x x ·3x +…+nn x x 1-·n x +1x x n ·1x ) =(x 1+x 2+…+x n )2,于是123221x x x x x x x x nn ++++ ≥x 1+x 2+…+x n . 巧解提示柯西不等式中有三个因式∑∑∑===ni ii ni ini iba b a 11212,,，而一般题目中只有一个或两个因式，为了运用柯西不等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值），这也是利用柯西不等式的技巧之一.知识点三：用柯西不等式求函数的极值例3 已知实数a,b,c,d 满足a+b+c+d=3，a 2+2b 2+3c 2+6d 2=5,试求a 的最值. 思路分析：本题求极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解. 解：由柯西不等式得，有 (2b 2+3c 2+6d 2)(613121++)≥(b+c+d)2, 即2b 2+3c 2+6d 2≥(b+c+d)2. 由条件可得，5-a 2≥(3-a)2. 解得，1≤a≤2,当且仅当6/163/132/12dc b ==时等号成立. 代入b=1,c=31,d=61时，a max =2; b=1,c=32,d=31时,a min =1.巧妙变式为了给运用柯西不等式创造条件，经常引进一些待定的参数，其值的确定由题设或者由等号成立的充要条件共同确定，也有一些三角极值问题我们可以反复运用柯西不等式进行解决.而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.这多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一. 如：已知a,b 为正常数，且0<x<2π,求y=x b x a cos sin +的最小值. 解：利用柯西不等式，得)(32323232b a b a +=+(sin 2x+cos 2x)≥(3a sinx+3b cosx)2. 当且仅当33cos sin bxax=时等号成立.于是33232a b a ≥+sinx+3b cosx.再由柯西不等式，得3232b a +(xbx a cos sin +) ≥(3a sinx+3b cosx)(xbx a cos sin +） ≥(xbx b x a x a cos cos sin sin 66+)2=(a 32+b 32)2. 当且仅当33cos sin bxax=时等号成立.从而y=xb x a cos sin +≥(a 32+b 32)32.于是y=xbx a cos sin +的最小值是(a 32+b 32)32. 问题·探究思想方法探究问题试探究用柯西不等式导出重要公式.如n 个实数平方平均数不小于这n 个数的算术平均数，即若a 1,a 2,…,a n ∈R ，则na a a n a a a nn2222121+++≤+++ .探究过程:由柯西不等式可知 (a 1+a 2+…+a n )2≤(a 1·1+a 2·1+…+a n ·1)2≤(a 12+a 22+…+a n 2)·(12+12+…+12)=(a 12+a 22+…+a n 2)·n,所以n a a a n 221)(+++ ≤a 12+a 22+…+a n 2,故na a a na a a nn2222121+++≤+++ .不等式na a a n a a a nn2222121+++≤+++ ,把中学教材中仅有关于两个正数的“算术平均”，“几何平均”问题拓广到了“二次幂平均”问题，即nn a a a 21≤na a a n a a a nn2222121+++≤+++ ，这不仅拓宽了中学生的眼界，而且为解决许多不等式的问题开辟了一条新路.探究结论:柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有很好的指导作用，利用它能方便地解决一些中学数学中的有关问题. 交流讨论探究问题柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，试交流讨论使用柯西不等式的技巧,试举例归纳.探究过程:人物甲：构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数，如：设a 、b 、c 为正数且各不相等.求证cb a ac c b b a ++>+++++9222.我们可以如此分析：∵a 、b 、c 均为正,∴为证结论正确只需证2(a+b+c)［ac c b b a +++++111］>9.而2(a+b+d)=(a+b)+(b+c)+(c+a),又9=(1+1+1)2.人物乙：构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排某些项的次序，如：a 、b 为非负数，a+b=1,x 1,x 2∈R +,求证(ax 1+bx 2)(bx 1+ax 2)≥x 1x 2.我们可以如此分析：不等号左边为两个二项式积，a,b ∈R -,x 1,x 2∈R +，直接用柯西不等式做得不到预想结论，当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了.人物丙：构造符合柯西不等式的形式及条件可以改变结构，从而能够使用柯西不等式，如：若a>b>c ，求证c b b a -+-11≥ca -4.我们可以如此分析：初式并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了.∵a-c=(a-b)+(b-c),a>c,∴a-c>0,∴结论改为(a-c)(cb b a -+-11)≥4.人物丁：构造符合柯西不等式的形式及条件可以添项，如：若a,b,c ∈R +，求证b ac a c b c b a +++++≥23.我们可以如此分析：左端变形c b a ++1+a c b ++1+b a c ++1=(a+b+c)(b a a c c b +++++111),∴只需证此式≥29即可. 探究结论:使用柯西不等式的技巧主要就是使用一些方法（巧拆常数、重新安排某些项的次序、添项等）构造符合柯西不等式的形式及条件.。