数列题库难题集
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11．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，
第3小题满分8分．
如果数列 同时满足：（1）各项均为正数，（2）存在常数k, 对任意 都成立，那么，这样的数列 我们称之为“类等比数列” .由此各项均为正数的等比数列必定是“类等比数列” .问：
（1）若数列 为“类等比数列”，且k＝(a2－a1)2，求证：a1、a2、a3成等差数列；
11．（1）详见解析，（2） 或 ，（3）
12．（1）详见解析，（2） （ ）．
13．(1) , ；（2）证明见解析， ；（3） ．
14．（1） ；(2) ；(3) 的最小值是7.
15．（1） ;（2） ;（3） .
16．（1）证明过程见试题解析（2）当 时， ；当 时， （3）
4．（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ；
（Ⅲ） , .
5．（1） ，（2） （3）
6．（Ⅰ） ；（Ⅱ）①③是真命题；②是假命题
7．（1） （2）① ， ②详见解析
8．（Ⅰ） ；（Ⅱ） 时， ；当 时， ；
9．(1) 是无理数(2) (或 等).则对 ,均有 成立.证明略.
10．（1）19，（2） ，（3）详见解析.
（2）若数列 为“类等比数列”，且k＝ ， a2、a4、a5成等差数列，求 的值；
（3）若数列 为“类等比数列”，且a1＝a，a2＝b(a、b为常数)，是否存在常数λ，使得 对任意 都成立？若存在，求出λ；若不存在，说明理由．
12．各项均为正数的数列{an}中，设 ， ，且 ， ．
（1）设 ，证明数列{bn}是等比数列；
①存在数列 使得 ；②如果数列 是等差数列，则 ；
③如果数列 是等比数列，则 。
7．已知数列 是等差数列，其前n项和为Sn，若 ， ．
（1）求 ；
（2）若数列{Mn}满足条件： ，当 时， － ，其中数列 单调递增，且 ， ．
①试找出一组 ， ，使得 ；
②证明：对于数列 ，一定存在数列 ，使得数列 中的各数均为一个整数的平方．
2．（本小题满分16分）设数列 的前 项和为 ，满足 ．
（1）当 时，
①设 ，若 ， ．求实数 的值，并判定数列 是否为等比数列；
②若数列 是等差数列，求 的值；
（2）当 时，若数列 是等差数列， ，且 ， ，
求实数 的取值范围．
3．（本小题满分13分）已知二次函数 的图象的顶点坐标为 ，且过坐标原点 .数列 的前 项和为 ，点 在二次函数 的图象上.
14．设 ,用 表示 当 时的函数值中整数值的个数.
(1)求 的表达式.
(2)设 ,求 .
(3)设 ,若 ,求 的最小值.
15．已知数列 中，
(1)求 ， ；
（2）求证： 是等比数列，并求 的通项公式 ；
（3）数列 满足 ，数列 的前n项和为 ，若不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围.
16．我们把一系列向量 排成一列，称为向量列，记作 ，又设 ，假设向量列 满足： ， 。
（2）设 ，求集合 ．
13．一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数 ）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如： ； 为数表中第 行的第 个数．
（1）求第2行和第3行的通项公式 和 ；
（2）证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列；
（3）求 关于 （ ）的表达式．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，数列 的前 项和为 ，若 对 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）在数列 中是否存在这样一些项： ，这些项都能够构成以 为首项， 为公比的等比数列 ？若存在，写出 关于 的表达式；若不存在，说明理由.
4．（本小题满分13分）设数列 满足：
① ；
②所有项 ；
③ ．
设集合 ，将集合 中的元素的最大值记为 ，即 是数列 中满足不等式 的所有项的项数的最大值．我们称数列 为数 的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明：点 在同一直线 上，并求出直线 方程；
（3）若 对 恒成立，求 的最小值．
6．（本题满分13分）已知函数 ，各项均不相等的有限项数列 的各项 满足 ．令 ， 且 ，例如： ．
（Ⅰ）若 ，数列 的前n项和为Sn，求S19的值；
（Ⅱ）试判断下列给出的三个命题的真假，并说明理由。
绝密★启用前
学科题库数列题选
难度：0.8~1.0
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
1．（本小题满分14分）已知数列 （ ， ）满足 ， 其中 ， ．
（1）当 时，求 关于 的表达式，并求 的取值范围；
（2）设集合 ．
①若 ， ，求证： ；
②是否存在实数 ， ，使 ， ， 都属于 ？若存在，请求出实数 ， ；若不存在，请说明理由．
10．若数列 满足条件：存在正整数 ，使得 对一切 都成立，则称数列 为 级等差数列．
（1）已知数列 为2级等差数列，且前四项分别为 ，求 的值；
（2）若 为常数），且 是 级等差数列，求 所有可能值的集合，并求 取最小正值时数列 的前3 项和 ；
（3）若 既是 级等差数列 ，也是 级等差数列，证明： 是等差数列．
8．（本题满分10分）已知数列{an}中，a1= ，an+1= （n∈N*）．
（1）求证：数列{ }是等差数列，并求{an}的通项公式；
（2）设bn+an=l（n∈N*），S=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，试比较an与8Sn的大小．
9．给定Байду номын сангаас列
(1)判断 是否为有理数,证明你的结论;
(2)是否存在常数 .使 对 都成立?若存在,找出 的一个值,并加以证明;若不存在,说明理由.
（1）证明数列 是等比数列；
（2）设 表示向量 间的夹角，若 ，记 的前 项和为 ，求 ；
（3）设 是 上不恒为零的函数，且对任意的 ，都有 ，若 ， ，求数列 的前 项和 .
参考答案
1．（1） ；（2）①证明见解析；②不存在实数 ．
2．（1）① ，数列 是等比数列；②3；（2）
3．（Ⅰ） ；（Ⅱ） （Ⅲ）存在，
（Ⅰ）若数列 的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列 ；
（Ⅱ）设 ，求数列 的伴随数列 的前30项之和；
（Ⅲ）若数列 的前 项和 （其中 常数），求数列 的伴随数列
的前 项和 ．
5．(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分.
已知数列 是公差不为 的等差数列， 数列 是等比数列，且 ， ，数列 的前 项和为 ，记点 ．
第3小题满分8分．
如果数列 同时满足：（1）各项均为正数，（2）存在常数k, 对任意 都成立，那么，这样的数列 我们称之为“类等比数列” .由此各项均为正数的等比数列必定是“类等比数列” .问：
（1）若数列 为“类等比数列”，且k＝(a2－a1)2，求证：a1、a2、a3成等差数列；
11．（1）详见解析，（2） 或 ，（3）
12．（1）详见解析，（2） （ ）．
13．(1) , ；（2）证明见解析， ；（3） ．
14．（1） ；(2) ；(3) 的最小值是7.
15．（1） ;（2） ;（3） .
16．（1）证明过程见试题解析（2）当 时， ；当 时， （3）
4．（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ；
（Ⅲ） , .
5．（1） ，（2） （3）
6．（Ⅰ） ；（Ⅱ）①③是真命题；②是假命题
7．（1） （2）① ， ②详见解析
8．（Ⅰ） ；（Ⅱ） 时， ；当 时， ；
9．(1) 是无理数(2) (或 等).则对 ,均有 成立.证明略.
10．（1）19，（2） ，（3）详见解析.
（2）若数列 为“类等比数列”，且k＝ ， a2、a4、a5成等差数列，求 的值；
（3）若数列 为“类等比数列”，且a1＝a，a2＝b(a、b为常数)，是否存在常数λ，使得 对任意 都成立？若存在，求出λ；若不存在，说明理由．
12．各项均为正数的数列{an}中，设 ， ，且 ， ．
（1）设 ，证明数列{bn}是等比数列；
①存在数列 使得 ；②如果数列 是等差数列，则 ；
③如果数列 是等比数列，则 。
7．已知数列 是等差数列，其前n项和为Sn，若 ， ．
（1）求 ；
（2）若数列{Mn}满足条件： ，当 时， － ，其中数列 单调递增，且 ， ．
①试找出一组 ， ，使得 ；
②证明：对于数列 ，一定存在数列 ，使得数列 中的各数均为一个整数的平方．
2．（本小题满分16分）设数列 的前 项和为 ，满足 ．
（1）当 时，
①设 ，若 ， ．求实数 的值，并判定数列 是否为等比数列；
②若数列 是等差数列，求 的值；
（2）当 时，若数列 是等差数列， ，且 ， ，
求实数 的取值范围．
3．（本小题满分13分）已知二次函数 的图象的顶点坐标为 ，且过坐标原点 .数列 的前 项和为 ，点 在二次函数 的图象上.
14．设 ,用 表示 当 时的函数值中整数值的个数.
(1)求 的表达式.
(2)设 ,求 .
(3)设 ,若 ,求 的最小值.
15．已知数列 中，
(1)求 ， ；
（2）求证： 是等比数列，并求 的通项公式 ；
（3）数列 满足 ，数列 的前n项和为 ，若不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围.
16．我们把一系列向量 排成一列，称为向量列，记作 ，又设 ，假设向量列 满足： ， 。
（2）设 ，求集合 ．
13．一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数 ）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如： ； 为数表中第 行的第 个数．
（1）求第2行和第3行的通项公式 和 ；
（2）证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列；
（3）求 关于 （ ）的表达式．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，数列 的前 项和为 ，若 对 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）在数列 中是否存在这样一些项： ，这些项都能够构成以 为首项， 为公比的等比数列 ？若存在，写出 关于 的表达式；若不存在，说明理由.
4．（本小题满分13分）设数列 满足：
① ；
②所有项 ；
③ ．
设集合 ，将集合 中的元素的最大值记为 ，即 是数列 中满足不等式 的所有项的项数的最大值．我们称数列 为数 的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明：点 在同一直线 上，并求出直线 方程；
（3）若 对 恒成立，求 的最小值．
6．（本题满分13分）已知函数 ，各项均不相等的有限项数列 的各项 满足 ．令 ， 且 ，例如： ．
（Ⅰ）若 ，数列 的前n项和为Sn，求S19的值；
（Ⅱ）试判断下列给出的三个命题的真假，并说明理由。
绝密★启用前
学科题库数列题选
难度：0.8~1.0
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
1．（本小题满分14分）已知数列 （ ， ）满足 ， 其中 ， ．
（1）当 时，求 关于 的表达式，并求 的取值范围；
（2）设集合 ．
①若 ， ，求证： ；
②是否存在实数 ， ，使 ， ， 都属于 ？若存在，请求出实数 ， ；若不存在，请说明理由．
10．若数列 满足条件：存在正整数 ，使得 对一切 都成立，则称数列 为 级等差数列．
（1）已知数列 为2级等差数列，且前四项分别为 ，求 的值；
（2）若 为常数），且 是 级等差数列，求 所有可能值的集合，并求 取最小正值时数列 的前3 项和 ；
（3）若 既是 级等差数列 ，也是 级等差数列，证明： 是等差数列．
8．（本题满分10分）已知数列{an}中，a1= ，an+1= （n∈N*）．
（1）求证：数列{ }是等差数列，并求{an}的通项公式；
（2）设bn+an=l（n∈N*），S=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，试比较an与8Sn的大小．
9．给定Байду номын сангаас列
(1)判断 是否为有理数,证明你的结论;
(2)是否存在常数 .使 对 都成立?若存在,找出 的一个值,并加以证明;若不存在,说明理由.
（1）证明数列 是等比数列；
（2）设 表示向量 间的夹角，若 ，记 的前 项和为 ，求 ；
（3）设 是 上不恒为零的函数，且对任意的 ，都有 ，若 ， ，求数列 的前 项和 .
参考答案
1．（1） ；（2）①证明见解析；②不存在实数 ．
2．（1）① ，数列 是等比数列；②3；（2）
3．（Ⅰ） ；（Ⅱ） （Ⅲ）存在，
（Ⅰ）若数列 的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列 ；
（Ⅱ）设 ，求数列 的伴随数列 的前30项之和；
（Ⅲ）若数列 的前 项和 （其中 常数），求数列 的伴随数列
的前 项和 ．
5．(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分.
已知数列 是公差不为 的等差数列， 数列 是等比数列，且 ， ，数列 的前 项和为 ，记点 ．