1高考数列压轴题汇总

高考数列压轴题

1、已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*

3,.f n n a n N =∈

（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n n n

n

n b b b T a b +++==

21,2，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值； （3）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a n 对一切*N n ∈均成立的最大实数p .

2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*

n N ∈，点,n S n n ⎛⎫ ⎪

⎝

⎭

都在函数()2n

a f x x x

=+ 的图象上． （Ⅰ）求123,,a a a 的值，猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明；

（Ⅱ）将数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（1a ），（2a ，3a ），（4a ，5a ，

6a ），（7a ，8a ，9a ，10a ）；（11a ），（12a ，13a ），(14a ，15a ，16a ），（17a ，18a ，19a ，20a ）；（21a ），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺

序构成的数列为{}n b ，求5100b b +的值；

（Ⅲ）设n A 为数列1n n a a ⎧⎫

-⎨⎬⎩⎭

的前n 项积，是否存在实数a

，使得不等式3

()2n a A f a a +-对一切*

n N ∈都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由

3、已知点列()0,n n x A 满足：1110-=•+a A A A A n n ，其中N n ∈，又已知10-=x ，

111>=a x ，.

(1)若()()

*

+∈=N n x f x n n 1，求()x f 的表达式；

(2)已知点B

(

)

0a ，，记()

*∈=N n BA a n n ，且n n a a <+1成立，试求a 的取值范围；

(3)设（2）中的数列{}n a 的前n 项和为n S ，试求：a

a S n --<

21 。

4、已知()f x 在(1,1)-上有定义，1()12

f =且满足,x y (1,1)∈-时有()()(),1x y f x f y f xy

--=-

若数列{}n x 满足 112

21

,21n n n x x x x +=

=

+。 （1）求(0)f 的值，并证明()f x 在(1,1)-上为奇函数； （2）探索1()()n n f x f x +与 的关系式，并求()n f x 的表达式； （3）是否存在自然数m ，使得对于任意的*n N ∈，有

123111

18()()()

()4

n m f x f x f x f x -++++

<恒成立？若存在，求出m 的最小值，若不存在， 请说明理由。

5、数列{}n a 满足11,2

a =11

2n n

a a +=

-． （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；

（Ⅱ）设数列{n a }的前n 项和为n S ，证明2

ln()2

n n S n +<-．

6、已知二次函数2

()()f x x ax a x R =-+∈同时满足：①不等式()f x ≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在120x x <<，使得不等式12()()f x f x >成立，设数列｛n a ｝的前

n 项和()n S f n =．

（1）求函数()f x 的表达式；

(2) 设各项均不为0的数列｛n b ｝中，所有满足10i i b b +⋅<的整数i 的个数称为这个数列｛n b ｝的变号数，令1n n

a b a =-

（n N *

∈）,求数列｛n b ｝的变号数； （3）设数列｛n c ｝满足：11

1

n

n i i i c a a =+=⋅∑，试探究数列｛n c ｝是否存在最小项？若存在，求出该项，若不存在，说明理由．

7、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1

n n a

S a a =--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21=

+n

n n

S b a ，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值； （Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设1

11

11n n n c a a +=

+

+-，数列{}n c 的前n 项和为T n . 求证：1

23

n T n >-．

8、已知21

4)(x x f +

-=数列}{n a 的前n 项和为n S ，点)1,(1

+-n n

n a a P 在曲线)(x f y =上)(*N n ∈且0,11>=n a a .

（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）数列}{n b 的前n 项和为且n T 满足

381622

1

21--+=++n n a T a T n n

n n ，设定1b 的值使得数列}{n b 是等差数列；

（3）求证：*,1142

1

N n n S n ∈-+>.