3.3.1两条直线的交点坐标导学案
高中数学必修二3.3.1-2两条直线的交点坐标 两点距离公式
顺德区容山中学__高二__年级__数学_学科活力课堂导学案课题 §3.3.1两条直线的交点坐标 §3.3.2 两点间的距离 设计者:__杨时香 黄宗勤_审核者:__叶建华 _日期:___10月24日____ 学习目标:1.会求二元一次方程组的解;2.掌握判断两条直线相交的方法,会通过解方程组求两条直线的交点坐标;3.了解过两条直线交点的直线系方程的问题;4.理解平面内两点间距离公式的推导过程;5.掌握两点间距离公式及其简单应用。
学习重点:求两条直线的交点坐标及掌握两点间距离公式应用学习难点:过两条直线交点的直线系方程第一部分:个体自学(预习教材P 102~ P 106,找出疑惑之处)问题:1.如何用代数方法求方程组的解?2.如何利用方程判断两直线的位置关系?3.若两条直线相交,如何求直线的交点坐标?4. 设1122(,),A x y B x y ,()是平面直角坐标系中的任意两个点,则AB =第二部分:合作探究探究一:直线上的点与其方程0=++C By Ax 的解有什么样的关系?那如果两直线相交于一点A(a ,b ),这一点与两直线0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 有何关系? 看下表,并填空。
几何元素及关系 代数表示点A A (a ,b )直线LL :Ax+By+C=0 点A 在直线上直线L 1与 L 2的交点A 探究二:如何利用方程判断两直线的位置关系?两直线是否有公共点,要看它们的方程是否有公共解。
因此,只要将两条直线1l 和2l 的方程联立,得方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 1.若方程组无解,则1l 与2l2.若方程组有且只有一个解,则1l 与2l3.若方程组有无数解,则1l 与2l探究三:当λ变化时,方程0)22(243=+++-+y x y x λ表示什么图形?图形有什么特点?结论:经过直线0:1111=++C y B x A l 和0:2222=++C y B x A l 的交点的直线可表示为: 0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ探究四:在平面直角坐标系中,任意两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离是多少?两点间的距离公式:设1122(,),A x y B x y ,()是平面直角坐标系中的任意两个点,则AB =第三部分:展示分享例1:求下列两条直线的交点坐标: 1l :3x+4y-2=02l :2x+y+2=0例2:判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点坐标.(1)1l :0243=-+y x 022:2=++y x l(2)043:1=+-y x l 026:2=-y x l(3)0543:1=-+y x l 01086:2=-+y x l例3:求经过点(2,3)且经过两直线1:340,l x y +-=2:5260l x y ++=的交点的直线方程。
国家课程校本化:3.3.1-3.3.2两条直线的交点坐标与两点间的距离公式(导学案)
3.2.3 直线的一般式方程一、课标解读1.知识与技能(1)理解直线和直线的交点与二元一次方程组的解的关系;(2)掌握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简单的几何问题;(3)会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
2.过程与方法(1) 学习两直线交点坐标的求法,以及判断两直线位置的方法3.情态与价值观(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化;(2)用联系的观点看问题。
二、自学导引1.两直线2x -y +k =0和4x -2y +1=0的位置关系为( )A .垂直B .平行C .重合D .平行或重合2.过直线2x -y +4=0与x -y +5=0的交点,且垂直于直线x -2y =0的直线的方程是( )A .2x +y -8=0B .2x -y -8=0C .2x +y +8=0D .2x -y +8=03.直线ax +2y +8=0,4x +3y =10和2x -y =10相交于一点,则a 的值为( )A .1B .-1C .2D .-24. 已知点A (-3,4)和B (0,b ),且|AB |=5,则b 等于( )A .0或8B .0或-8C .0或6D .0或-65. 已知点A (x,5)关于点C (1,y )的对称点是B (-2,-3),则点P (x ,y )到原点的距离是_______.答案:1.D 2.A 3.B 4.A 5.17三、典例精析例1判断下列各题中直线的位置关系,若相交,求出交点坐标.(1)l 1:2x +y +3=0,l 2:x -2y -1=0;(2)l 1:x +y +2=0,l 2:2x +2y +3=0;(3)l 1:x -y +1=0,l 2:2x -2y +2=0.解:(1)21≠1-2,所以方程组有唯一解,两直线相交,交点坐标为(-1,-1). (2)12=12≠23,所以方程组没有解,两直线平行.(3)12=-1-2=12,方程组有无数个解,两直线重合.例2 已知直线l 过直线l 1:3x -5y -10=0和l 2:x +y +1=0的交点,且平行于l 3:x +2y -5=0,则直线l 的方程是______________.解 8x +16y +21=0例3 已知直线l :y =-2x +6和点A (1,-1),过点A 作直线l 1与直线l 相交于B 点,且|AB |=5,求直线l 1的方程.解 由于B 在l 上,可设B 点坐标为(x 0,-2x 0+6).由|AB |2=(x 0-1)2+(-2x 0+7)2=25,化简得x 20-6x 0+5=0,解得x 0=1或5.当x 0=1时,AB 方程为x =1,当x 0=5时,AB 方程为3x +4y +1=0.综上,直线l 1的方程为x =1或3x +4y +1=0.四、自主反馈1.设点A 在x 轴上,点B 在y 轴上,AB 的中点是P (2,-1),则|AB |等于( )A .5B .42C .2 5D .2102.已知A (-3,8),B (2,2),在x 轴上有一点M ,使得|MA |+|MB |最短,则点M 的坐标是( )A .(-1,0)B .(1,0) C. ⎝⎛⎭⎫225,0 D. ⎝⎛⎭⎫0,225 3.当a 取不同实数时,直线(2+a )x +(a -1)y +3a =0恒过一个定点,这个定点的坐标为________.答案:1.C 2.B 3.(-1,-2)。
人教版高中数学必修2第三章直线与方程-《3.3.1两条直线的交点坐标》教案_001
3.3.1 两条直线的交点坐标教学目的:使学生了解两条直线交点坐标的求法,会联立两条直线所表示的方程成方 程组求交点坐标。
教学重点:两直线交点坐标的求法。
教学难点:两直线交点坐标的求法。
教学过程一、复习提问平面内两条直线有什么位置关系?空间里呢?二、新课已知两条直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0l 2:A 2x +B 2y +C 2=0如何求它们的交点坐标呢?一般地将它们联立成方程组,若方程组有唯一的解,则两条直线相交,此解就是 交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两直线平行。
例1、求下列两条直线的交点坐标:l 1:3x +4y -2=0l 2:2x +y +2=0解:解方程组:⎩⎨⎧=++=-+0220243y x y x ,解得:⎩⎨⎧=-=22y x 所以两条直线的交点是M (-2,2)。
探究:当λ变化时,方程3x +4y -2+λ(2x +y +2)=0表示什么图形?图形有何特点?例2、判断下列各对直线的位置关系,如果相交,求出交点坐标:(1)l 1:x -y =0, l 2:3x +3y -10=0(2)l 1:3x -y +4=0, l 2:6x -2y =0(3)l 1:3x +4y -5=0, l 2:6x +8y -10=0解:(1)解方程组:⎩⎨⎧=-+=-010330y x y x ,解得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3535y x 所以,l 1,l 2相交,交点是M (35,35) (2)解方程组:⎩⎨⎧=-=+-026043y x y x ,①×2-② 得:9=0,矛盾!方程组无解,所以两直线无交点,l 1∥l 2(3)解方程组::⎩⎨⎧=-+=-+010860543y x y x ,①×2得:6x +8y -10=0,两个方程可以化为同一个方程,即它们表示同一条直线,l 1,l 2重合。
安徽省宿松中学2016-2017学年高一数学人教A版必修2教案:3.3.1两条直线的交点坐标
两条直线的交点坐标课题改正与创新(1 课时)1.掌握两直线方程联立方程组解的状况与两直线不一样地点的对峙关系,并且会经过直线方程系数判断解的状况,培育学生建立辩证一致的看法.2.当两条直线订交时,会求交点坐标. 培育学生思想的谨慎性,注意学生教课语言表述能力的训练.目标 3. 学生经过一般形式的直线方程解的议论,加深对分析法的理解,培育转化能力 .4.以“特别”到“一般”,培育学生探究事物实质属性的精神,以及运动变化的互相联系的看法 .教课教课要点 : 依据直线的方程判断两直线的地点关系和已知两订交直线求交重、点 .难点教课难点 : 对方程组系数的分类议论与两直线地点关系对应状况的理解.教课多媒体课件准备导入新课作出直角坐标系中两条直线,挪动此中一条直线,让学生察看这两条直线的地点关系 .讲堂设问:由直线方程的看法,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系,那假如两直线订交于一点,这一点与这两条直线的方程有何关教课过系?你能求出它们的交点坐标吗?谈谈你的见解.程提出问题①已知两直线 l :A x+B y+C =0,l :A x+B y+C =0, 如何判断这两条直线的关1 1 1 12 2 2 2系?②假如两条直线订交,如何求交点坐标?交点坐标与二元一次方程组有什关系?③解以下方程组( 由学生达成 ) :3x 4 y 2 0, 2x 6 y 3 0,( ⅱ) 1 1 ; ( ⅰ)y 2;2 x 0 y x232x6 y 0,( ⅲ)1 1.yx23如何依据两直线的方程系数之间的关系来判断两直线的地点关系? ④当 λ 变化时,方程 3x+4y-2+ λ(2x+y+2)=0 表示什么图形,图形有什么特色?求出图形的交点坐标 .议论结果: ①教师指引学生先从点与直线的地点关系下手,看下表,并填空 .几何元素及关系代数表示点AA(a , b)直线ll :Ax+By+C=0点 A 在直线上直线 l 1 与 l 2 的交点 A②学生进行分组议论,教师指引学生概括出两直线能否订交与其方程所组成的方程组的关系 .设两条直线的方程是 l 1:A x+B y+C =0,l :A x+B y+C =0,1112222假如这两条直线订交, 因为交点同时在这两条直线上, 交点的坐标必定是这两个方程的独一公共解 , 那么以这个解为坐标的点必是直线l 1 和 l 2 的交点 , 所以 , 两条直线能否有交点, 就要看这两条直线方程所构成的方程组A 1 xB 1 yC 10,能否有独一解 .A 2 xB 2 yC 2 0( ⅰ) 若二元一次方程组有独一解,则 l 1 与 l 2 订交 ;( ⅱ) 若二元一次方程组无解,则l 1 与 l 2 平行 ;( ⅲ) 若二元一次方程组有无数解,则l 1 与 l 2 重合 . 即独一解l 1、l 订交,转变2直线 l、 l 联立得方程组 无量多解l 1、l 2重合 ,1 2无解l 1、l 平行.2( 代数问题 ) ( 几何问题 )③指引学生察看三组方程对应系数比的特色:(ⅰ)3≠4;( ⅱ)263;( ⅲ)2 6≠1.2 1 1 1 1 1 1 13 2 3 2一般地,关于直线l 1:A 1x+B1y+C1=0, l 2:A 2x+B2y+C2=0(A 1B1C1≠0,A 2B2C2≠0), 有独一解A1 B1l1 l2订交 , A2 B2方程组A1 x B1 y C1 0 A1 B1 C1l1 l2重合 ,. A2 x B2 y C2无量多解A2 B2 C2无解A1 B1 C1l1 l2平行 .A2 B2 C2注意: (a) 此关系不要修业生作详尽的推导, 因为过程比较繁琐,重在应用 .(b)假如 A1 ,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2中有等于零的状况,方程比较简单,两条直线的地点关系很简单确立 .④(a) 能够用信息技术,当λ 取不一样值时,经过各样图形,经过察看,让学生从直观上得出结论,同时发现这些直线的共同特色是经过同一点.(b) 找出或猜想这个点的坐标,代入方程,得出结论.(c) 结论:方程表示经过这两条直线l 1与 l 2的交点的直线的会合.应用示例例 1求以下两直线的交点坐标,l 1: 3x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0.3x y 2 0, 解 : 解方程组y 2 得 x=-2 , y=2,所以 l 1与 l 2的交点坐标为2x 0,M(-2 , 2).变式训练求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程 .l 1:x-2y+2=0,l 2:2x-y-2=0.解 : 解方程组 x-2y+2=0,2x-y-2=0, 得 x=2,y=2, 所以 l 1与 l 2的交点是 (2,2).设经过原点的直线方程为y=kx, 把点 (2,2) 的坐标代入以上方程, 得 k=1, 所以所求直线方程为 y=x.评论 : 本题为求直线交点与求直线方程的综合运用, 求解直线方程也可应用两点式 .例 2判断以下各对直线的地点关系. 假如订交,求出交点坐标 .(1)l : x-y=0 , l : 3x+3y-10=0.12(2)l 1: 3x-y+4=0 , l 2: 6x-2y-1=0.(3)l 1: 3x+4y-5=0 ,l 2: 6x+8y-10=0.活动: 教师让学生自己着手解方程组,看解题能否规范,条理能否清楚,表达能否简短,而后再进行讲评.x y 0,x 5 ,解: (1)得 3 解方程组3y 10 0, 53xy.3所以 l 1 与 l 2 订交 , 交点是 (5, 5).333x y 4 0,(1) (2) 解方程组6x 2 y 10,(2)①×2- ②得 9=0, 矛盾 ,方程组无解 , 所以两直线无公共点 ,l 1∥l 2.3x 4 y 5 0,(1) (3) 解方程组8 y 100,(2)6 x①×2 得 6x+8y-10=0.所以 , ①和②能够化成同一个方程, 即①和②表示同一条直线 ,l 1 与 l 2 重合 .变式训练判断以下各对直线的地点关系,若订交,则求交点.(1)l 1:7x+2y-1=0,l 2:14x+4y-2=0.(2)l 1:(3 - 2 )x+y=7,l 2:x+(3 + 2 )y-6=0.(3)l 1:3x+5y-1=0,l 2:4x+3y=5.答案: (1) 重合, (2) 平行, (3) 订交,交点坐标为 (2 ,- 1).例 3 求过点 A(1 ,- 4) 且与直线 2x + 3y + 5=0 平行的直线方程 . 解法一: ∵直线 2x + 3y + 5=0 的斜率为 - 2,∴所求直线斜率为- 2.又直3 3线过点 A(1 ,- 4) ,由直线方程的点斜式易得所求直线方程为2x + 3y +10=0.解法二: 设与直线 2x + 3y + 5=0 平行的直线 l 的方程为 2x + 3y +m=0,∵l 经过点 A(1 ,- 4),∴2×1+3×( - 4) + m=0.解之 , 得 m=10.∴所求直线方程为 2x + 3y + 10=0.评论: 解法一求直线方程的方法是通法,须掌握. 解法二是经常采纳的解题技巧 . 一般地,直线 Ax + By + C=0 中系数 A 、 B 确立直线的斜率 . 所以, 与直线 Ax +By + C=0 平行的直线方程可设为Ax + By +m=0,此中 m 待定 .经过点 A(x ,y ) ,且与直线 Ax + By + C=0平行的直线方程为 A(x - x ) +B(y- y 0)=0. 变式训练求与直线 2x +3y + 5=0 平行,且在两坐标轴上截距之和为5的直线方6程 .答案: 2x+3y-1=0. 知能训练课本本节练习 1、2. 拓展提高问题: 已知 a 为实数, 两直线 l 1:ax+y+1=0,l 2:x+y-a=0 订交于一点, 求证 :交点不行能在第一象限及x 轴上 .剖析: 先经过联立方程组将交点坐标解出, 再判绝交点横、 纵坐标的范围 .ax y 1 0, xa 1 , 21> 0,则 a > 1.解 : 解方程组, 得a 1 . 若 ax y a 0a 2a1y1.a1当 a > 1 时,-a 1< 0,此时交点在第二象限内 .a 122a1又因为 a 为随意实数时,都有a +1≥1> 0,故≠0.因为 a ≠1( 不然两直线平行,无交点 ) ,所以交点不行能在x 轴上,交点 ( -a1 , a 21) 不在 x 轴上 .a 1 a 1讲堂小结本节课经过议论两直线方程联立方程组来研究两直线的地点关系,得出了方程系数比的关系与直线地点关系的联系. 培育了同学们的数形联合思想、分类议论思想和转变思想 . 经过本节学习,要修业生掌握两直线方程联立方程组解的状况与两直线不一样地点的对峙关系,而且会经过直线方程系数判断解的状况,培育学生建立辩证一致的看法 . 当两条直线订交时,会求交点坐标 . 注意语言表述能力的训练 . 经过一般形式的直线方程解的议论,加深对分析法的理解,培育转变能力. 以“特别”到“一般”,培养探究事物实质属性的精神,以及运动变化的互相联系的看法.作业课本习题 3.3 A 组 1、 2、3, 选做 4 题 .板书设计教课反思。
21-22版:3.3.1 两条直线的交点坐标~3.3.2 两点间的距离(创新设计)
§3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标(重点).2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系(重点).3.掌握两点间距离公式并会应用(难点).知识点1直线的交点与直线的方程组解的关系1.两直线的交点(l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0)2.两直线的位置关系【预习评价】1.直线x-y+2=0与直线x+y-8=0的交点坐标为()A .(3,-5)B .(-3,5)C .(3,5)D .(-3,-5)答案 C2.直线x +y +2=0与直线2x +2y +7=0的位置关系是________. 答案 平行知识点2 两点间的距离公式【预习评价】1.平面内两点间的距离公式与坐标顺序是否有关?提示 无关.在计算公式中x 2与x 1,y 2与y 1的位置可以同时互换,不影响计算结果.2.式子x 2+y 2的几何意义是什么?提示 式子x 2+y 2=(x -0)2+(y -0)2表示平面上的点(x ,y )到原点的距离.题型一 两直线的交点问题【例1】 (1)直线l 1:2x -6y =0与直线l 2:y =13x +12交点的个数为________; (2)若两直线2x +3y -k =0和x -ky +12=0的交点在y 轴上,则k =________; (3)已知一直线过两直线2x -3y -3=0和x +y +2=0的交点. 则:①与直线3x +y -1=0平行的直线方程为________; ②与直线3x +y -1=0垂直的直线方程为________. 解析 (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x -6y =0, ①y =13x +12, ②②×6-①,得3=0,矛盾, 故方程组无解,∴两直线无交点.(2)在2x +3y -k =0中,令x =0,得y =k3, 将(0,k3)代入x -ky +12=0,解得k =±6. (3)法一 解方程组⎩⎨⎧2x -3y -3=0,x +y +2=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =-35,y =-75,所以两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-35,-75.①与直线3x +y -1=0平行的直线的斜率为-3. 故所求直线方程为y +75=-3⎝ ⎛⎭⎪⎫x +35,即15x +5y +16=0.②又与直线3x +y -1=0垂直的直线的斜率为13,故所求直线方程为y +75=13⎝ ⎛⎭⎪⎫x +35, 即5x -15y -18=0. 法二 ①设所求直线方程为 (2x -3y -3)+λ(x +y +2)=0, 即(2+λ)x +(λ-3)y +(2λ-3)=0.(*) 由于所求直线与直线3x +y -1=0平行, 所以⎩⎨⎧(2+λ)×1-(λ-3)×3=0,(2+λ)×(-1)-(2λ-3)×3≠0,得λ=112.代入(*)式,得⎝ ⎛⎭⎪⎫2+112x +⎝ ⎛⎭⎪⎫112-3y +⎝ ⎛⎭⎪⎫2×112-3=0,即15x +5y +16=0.②设所求直线方程为(2x -3y -3)+λ(x +y +2)=0, 即(2+λ)x +(λ-3)y +(2λ-3)=0, 由所求直线与直线3x +y -1=0垂直,得3(2+λ)+(λ-3)×1=0,得λ=-34, 所以所求直线方程为5x -15y -18=0.答案 (1)0 (2)±6 (3)①15x +5y +16=0 ②5x -15y -18=0 规律方法 两条直线相交的判定方法12k 的取值范围是( ) A.(1,+∞)B.(-1,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)(2)直线l 经过原点,且经过另两条直线2x +3y +8=0,x -y -1=0的交点,则直线l 的方程为( ) A.2x +y =0 B.2x -y =0 C.x +2y =0D.x -2y =0解析(1)联立直线方程⎩⎨⎧y =kx +1,x -y -1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =21-k ,y =1+k 1-k ,∵直线的交点在第一象限,∴⎩⎪⎨⎪⎧21-k >0,1+k 1-k >0,解不等式组可得-1<k <1,故选B.(2)设所求直线方程为2x +3y +8+λ(x -y -1)=0, 即(2+λ)x +(3-λ)y +8-λ=0, 因为l 过原点,所以λ=8. 则所求直线l 的方程为2x -y =0. 答案 (1)B (2)B题型二 直线恒过定点问题【例2】 不论m 为何实数,直线(m -1)x +(2m -1)y =m -5恒过的定点坐标是________.解析 法一 取m =1,得直线y =-4. 取m =12,得直线x =9. 故两直线的交点为(9,-4),下面验证直线(m -1)x +(2m -1)y =m -5恒过点(9,-4).将x =9,y =-4代入方程,左边=(m -1)×9-4×(2m -1)=m -5=右边, 故直线恒过点(9,-4).法二 直线方程可变形为(x +2y -1)m -(x +y -5)=0, ∵对任意m 该方程恒成立, ∴⎩⎨⎧x +2y -1=0,x +y -5=0,解得⎩⎨⎧x =9,y =-4. 故直线恒过定点(9,-4). 答案 (9,-4)规律方法 1.过两直线交点的直线系方程的设法经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0交点的直线系方程为A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0,其中λ是待定系数,在此方程中,无论λ取什么实数,都不能表示直线l 2. 2.过两条直线交点的直线方程的求法(1)常规解法(方程组法):一般是先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.(2)特殊解法(直线系法):先设出过两直线交点的直线方程,再结合条件利用待定系数法求出参数,最后确定直线方程.【训练2】 求证:不论m 取什么实数,直线(2m -1)x +(m +3)y -(m -11)=0都经过一定点,并求出这个定点坐标.解 法一 对于方程(2m -1)x +(m +3)y -(m -11)=0, 令m =0,得x -3y -11=0; 令m =1,得x +4y +10=0. 解方程组⎩⎨⎧x -3y -11=0,x +4y +10=0,得两条直线的交点坐标为(2,-3).将点(2,-3)代入方程组左边,得(2m -1)×2+(m +3)×(-3)-(m -11)=0. 这表明不论m 取什么实数,所给直线均经过定点(2,-3). 法二 将已知方程(2m -1)x +(m +3)y -(m -11)=0 整理为(2x +y -1)m +(-x +3y +11)=0. 由于m 取值的任意性,有⎩⎨⎧2x +y -1=0,-x +3y +11=0,解得⎩⎨⎧x =2,y =-3.所以不论m 取什么实数,所给直线均经过定点(2,-3). 题型三 对称问题【例3】 (1)与直线2x +3y -6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是( ) A.3x -2y +2=0 B.2x +3y +7=0 C.3x -2y -12=0D.2x +3y +8=0解析 由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x +3y -6=0平行,则可设所求直线方程为2x +3y +C =0.在直线2x +3y -6=0上任取一点(3,0),关于点(1,-1)的对称点为(-1,-2),则点(-1,-2)必在所求直线上, ∴2×(-1)+3×(-2)+C =0,解得C =8. ∴所求直线方程为2x +3y +8=0. 答案 D(2)点P (-3,4)关于直线x +y -2=0的对称点Q 的坐标是( ) A.(-2,1)B.(-2,5)C.(2,-5)D.(4,-3)解析 设对称点坐标为(a ,b ),由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a -32+b +42-2=0,b -4a +3=1,解得⎩⎨⎧a =-2,b =5,即Q (-2,5). 答案 B(3)在平面直角坐标系中,直线y =2x +1关于y =x -2对称的直线l 的方程为( )A.x -4y -11=0B.4x -y +11=0C.x -2y +7=0D.x -2y -7=0解析 ∵直线y =2x +1关于y =x -2对称的直线是直线l ,联立⎩⎨⎧y =2x +1,y =x -2,得⎩⎨⎧x =-3,y =-5,∴直线l 过点(-3,-5).在直线y =2x +1上取一点A (0,1), 设点A 关于y =x -2对称的点为B (a ,b ), 则点B 在直线l 上.设AB 与直线y =x -2的交点为M ,则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2,b +12, ∴⎩⎪⎨⎪⎧b -1a -0=-1,b +12=a 2-2,解得⎩⎨⎧a =3,b =-2,∴直线l 过点(-3,-5)和(3,-2), ∴直线l 的方程为y +5-2+5=x +33+3,整理得x -2y -7=0.答案 D规律方法 (1)点关于点的对称问题:若两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)关于点P (x 0,y 0)对称,则P 是线段AB 的中点,并且⎩⎪⎨⎪⎧x 0=x 1+x 22,y 0=y 1+y 22.(2)直线关于点的对称问题:若两条直线l 1,l 2关于点P 对称,则:①l 1上任意一点关于点P 的对称点必在l 2上,反过来,l 2上任意一点关于点P 的对称点必在l 1上;②若l 1∥l 2,则点P 到直线l 1,l 2的距离相等;③过点P 作一直线与l 1,l 2分别交于A ,B 两点,则点P 是线段AB 的中点. 【训练3】 (1)求点P (x 0,y 0)关于点A (a ,b )的对称点P ′的坐标; 解 根据题意可知点A (a ,b )为PP ′的中点,设点P ′的坐标为(x ,y ),则根据中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧a =x +x 02,b =y +y 02,所以⎩⎨⎧x =2a -x 0,y =2b -y 0.所以点P ′的坐标为(2a -x 0,2b -y 0).(2)一束光线从原点O (0,0)出发,经过直线l :8x +6y =25反射后通过点P (-4,3),求反射光线的方程.解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ,b ),由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上,得 ⎩⎪⎨⎪⎧b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫-43=-1,8×a2+6×b2=25, 解得⎩⎨⎧a =4,b =3,∴点A 的坐标为(4,3).∵反射光线的反向延长线过点A (4,3), 又∵反射光线过点P (-4,3),两点纵坐标相等, 故反射光线所在直线方程为y =3. 由方程组⎩⎨⎧y =3,8x +6y =25,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =78,y =3,由于反射光线为射线,故反射光线的方程为y =3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤78.题型四 运用坐标法解决平面几何问题【例4】 如图,已知△ABC 三顶点坐标A (-3,1),B (3,-3),C (1,7).(1)判断△ABC的形状;(2)求△ABC的面积.解(1)法一(1)∵|AB|=(3+3)2+(-3-1)2=213,|AC|=(1+3)2+(7-1)2=213,又|BC|=(1-3)2+(7+3)2=226,∴|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|,∴△ABC是等腰直角三角形.法二∵k AC=7-11-(-3)=32,k AB=-3-13-(-3)=-23,则k AC·k AB=-1,∴AC⊥AB.又|AC|=(1+3)2+(7-1)2=213,|AB|=(3+3)2+(-3-1)2=213,∴|AC|=|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形.(2)S△ABC=12|AC|·|AB|=12(52)2=26,∴△ABC的面积为26.规律方法 1.利用坐标法解平面几何问题常见的步骤(1)建立坐标系,尽可能将有关元素放在坐标轴上.(2)用坐标表示有关的量.(3)将几何关系转化为坐标运算.(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.2.用解析法解题时,虽然平面图形的几何性质不依赖于直角坐标系的建立,但不同的直角坐标系会使我们的计算有繁简之分,因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”.【训练4】 在△ABC 中,AD 是BC 边上的中点,求证: |AB |2+|AC |2=2(|AD |2+|DC |2). 证明 设BC 所在边为x 轴,以D 为坐标原点,建立平面直角坐标系, 如图所示,设A (b ,c ),C (a ,0), 则B (-a ,0). ∵|AB |2=(a +b )2+c 2, |AC |2=(a -b )2+c 2, |AD |2=b 2+c 2, |DC |2=a 2.∴|AB |2+|AC |2=2(a 2+b 2+c 2), |AD |2+|DC |2=a 2+b 2+c 2, ∴|AB |2+|AC |2=2(|AD |2+|DC |2).课堂达标1.已知直线l 1:3x +4y -5=0与l 2:3x +5y -6=0相交,则它们的交点是( ) A .(-1,13) B .(13,1) C .(1,13)D .(-1,-13)解析 由⎩⎨⎧3x +4y -5=0,3x +5y -6=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =13,y =1.答案 B2.经过直线2x -y +4=0与x -y +5=0的交点,且垂直于直线x -2y =0的直线方程是( )A .2x +y -8=0B .2x -y -8=0C .2x +y +8=0D .2x -y +8=0解析 联立⎩⎨⎧2x -y +4=0,x -y +5=0,解得⎩⎨⎧x =1,y =6.∴交点坐标为(1,6).由垂直关系,得所求直线的斜率为-2,则所求直线方程为y -6=-2(x -1),即2x +y -8=0. 答案 A3.已知A (-1,0),B (5,6),C (3,4)三点,则|AC ||CB |的值为( )A.13B.12 C .3 D .2解析 由两点间的距离公式,得|AC |=[3-(-1)]2+(4-0)2=42,|CB |=(3-5)2+(4-6)2=22,故|AC ||CB |=4222=2. 答案 D4.不论m 取何实数,直线(m +2)x -(m +1)y +m +1=0恒过定点________. 解析 由直线(m +2)x -(m +1)y +m +1=0变形为m (x -y +1)+(2x -y +1)=0, 令⎩⎨⎧x -y +1=0,2x -y +1=0,解得⎩⎨⎧x =0,y =1,∴该直线过定点(0,1).答案 (0,1)5.已知两条直线l 1:mx +8y +n =0和l 2:2x +my -1=0,试分别确定m ,n 的值,使:(1)l 1与l 2相交于一点P (m ,1);(2)l 1∥l 2且l 1过点(3,-1);(3)l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为-1.解 (1)由于l 1与l 2相交于一点P (m ,1),故把点P (m ,1)代入l 1,l 2的方程得m 2+8+n =0,2m +m -1=0,联立解得m =13,n =-739.(2)当m =0时,l 1:8y +n =0,l 2:2x -1=0,不满足l 1∥l 2.当m ≠0时,∵l 1∥l 2且l 1过点(3,-1),∴⎩⎪⎨⎪⎧-m 8=-2m ,3m -8+n =0,解得⎩⎨⎧m =4,n =-4或⎩⎨⎧m =-4,n =20.(3)由l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为-1,得⎩⎪⎨⎪⎧2m +8m =0,-n 8=-1,解得⎩⎨⎧m =0,n =8. 课堂小结1.方程组⎩⎨⎧A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0有惟一解的等价条件是A 1B 2-A 2B 1≠0,亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2-A 2B 1≠0.直线A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(λ∈R )是过直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与l 2:A 2x +B 2y +C 2=0交点的直线(不含l 2).2.解析法又称为坐标法,它就是通过建立直角坐标系,用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.3.有关对称问题的两种主要类型(1)中心对称①点P (x ,y )关于O (a ,b )的对称点P ′(x ′,y ′)满足⎩⎨⎧x ′=2a -x ,y ′=2b -y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称①点A (a ,b )关于直线Ax +By +C =0(B ≠0)的对称点为A ′(m ,n ),则有⎩⎪⎨⎪⎧n -b m -a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫-A B =-1,A ·a +m 2+B · b +n 2+C =0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.。
高中数学 第三章 直线与方程 3.3 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离学案
3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离目标定位 1.会求两条直线的交点坐标.2.理解两条直线的平行、相交与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解的对应关系.3.掌握平面上两点间的距离公式并会应用.自 主 预 习1.两条直线的交点已知两条直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0;l 2:A 2x +B 2y +C 2=0.若两直线的方程联立,得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0.若方程组有唯一解,则两条直线相交;若方程组无解,则两条直线平行.若方程组有无穷多个解,则两条直线重合. 2.过定点的直线系方程已知直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与直线l 2:A 2x +B 2y +C 2=0交于点P (x 0,y 0),则方程A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0表示过点P 的直线系,不包括直线l 2. 3.两点间的距离平面上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式 |P 1P 2|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2. 4.两点间距离的特殊情况(1)原点O (0,0)与任一点P (x ,y )的距离|OP |=x 2+y 2. (2)当P 1P 2∥x 轴(y 1=y 2)时,|P 1P 2|=|x 2-x 1|. (3)当P 1P 2∥y 轴(x 1=x 2)时,|P 1P 2|=|y 2-y 1|.即 时 自 测1.判断题(1)求两直线的交点就是解由两直线方程组成的方程组.(√)(2)两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0;l 2:A 2x +B 2y +C 2=0相交的充要条件是A 1B 2-A 2B 1≠0.(√) (3)方程A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0,表示经过直线l 1:∴A 1x +B 1y +C 1=0和l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的所有直线.(×)(4)两点间的距离公式与两点的先后顺序无关.(√)提示 (3)无论λ取什么实数,都得不到A 2x +B 2y +C 2=0,因此它不能表示直线l 2. 2.直线x =1与直线y =2的交点坐标是( )A.(1,2)B.(2,1)C.(1,1)D.(2,2)答案 A3.已知M (2,1),N (-1,5),则|MN |等于( ) A.5B.37C.13D.4解析 |MN |=(2+1)2+(1-5)2=5. 答案 A4.已知两条直线l 1:ax +3y -3=0,l 2:4x +6y -1=0,若l 1与l 2相交,则实数a 满足的条件是________.解析 l 1与l 2相交则有:a 4≠36,∴a ≠2.答案 a ≠2类型一 两直线的交点问题【例1】 求经过两直线l 1:3x +4y -2=0和l 2:2x +y +2=0的交点且过坐标原点的直线l 的方程.解 法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x +4y -2=0,2x +y +2=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-2,y =2,即l 1与l 2的交点坐标为(-2,2).∵直线过坐标原点,∴其斜率k =2-2=-1. 故直线方程为y =-x ,即x +y =0.法二 ∵l 2不过原点,∴可设l 的方程为3x +4y -2+λ(2x +y +2)=0(λ∈R ),即(3+2λ)x +(4+λ)y +2λ-2=0.将原点坐标(0,0)代入上式,得λ=1,∴直线l 的方程为5x +5y =0,即x +y =0.规律方法 (1)方法一是解方程组方法,思路自然,但计算量稍大,法二运用了交点直线系,是待定系数法,计算简单,但要注意判断原点(0,0)不能在直线2x +y +2=0上.否则,会出现λ的取值不确定的情形.(2)过直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0交点的直线系有两种:①λ1(A 1x +B 1y +C 1)+λ2(A 2x +B 2y +C 2)=0可表示过l 1、l 2交点的所有直线; ②A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0不能表示直线l 2.【训练1】 求经过直线l 1:x +3y -3=0,l 2:x -y +1=0的交点且平行于直线2x +y -3=0的直线方程.解 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x +3y -3=0,x -y +1=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =1,∴直线l 1与l 2的交点坐标为(0,1),再设平行于直线2x +y -3=0的直线方程为2x +y +C =0, 把(0,1)代入所求的直线方程,得C =-1, 故所求的直线方程为2x +y -1=0. 法二 设过直线l 1、l 2交点的直线方程为x +3y -3+λ(x -y +1)=0(λ∈R ),即(λ+1)x +(3-λ)y +λ-3=0,由题意可知,λ+1λ-3=-2,解得λ=53, 所以所求直线方程为83x +43y -43=0,即2x +y -1=0.类型二 两点间距离公式的应用(互动探究)【例2】 已知△ABC 三顶点坐标A (-3,1)、B (3,-3)、C (1,7),试判断△ABC 的形状. [思路探究]探究点一 如何判断三角形的形状?提示 判断三角形的形状,要采用数形结合的方法,大致明确三角形的形状,以确定证明的方向.探究点二 从哪几个方面分析三角形的形状?提示 在分析三角形的形状时,要从两方面考虑:一是要考虑角的特征,主要考察是否为直角或等角;二是要考虑三角形边的长度特征,主要考察边是否相等或满足勾股定理. 解 法一 ∵|AB |=(3+3)2+(-3-1)2=213, |AC |=(1+3)2+(7-1)2=213, 又|BC |=(1-3)2+(7+3)2=226,∴|AB |2+|AC |2=|BC |2,且|AB |=|AC |,∴△ABC 是等腰直角三角形.法二 ∵k AC =7-11-(-3)=32,k AB =-3-13-(-3)=-23,则k AC ·k AB =-1,∴AC ⊥AB .又|AC |=(1+3)2+(7-1)2=213, |AB |=(3+3)2+(-3-1)2=213, ∴|AC |=|AB |.∴△ABC 是等腰直角三角形.规律方法 1.判断三角形的形状,要采用数形结合的方法,大致明确三角形的形状,以确定证明的方向.2.在分析三角形的形状时,要从两方面考虑:一是要考虑角的特征,主要考察是否为直角或等角;二是要考虑三角形边的长度特征,主要考察边是否相等或是否满足勾股定理.【训练2】已知点A(3,6),在x轴上的点P与点A的距离等于10,求点P的坐标.解设点P的坐标为(x,0),由|PA|=10,得(x-3)2+(0-6)2=10,解得:x=11或x=-5.所以点P的坐标为(-5,0)或(11,0).类型三坐标法的应用【例3】证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.证明如图所示,以顶点A为坐标原点,AB边所在的直线为x轴,建立直角坐标系,有A(0,0).设B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质得点C的坐标为(a+b,c),因为|AB|2=a2,|CD|2=a2,|AD|2=b2+c2,|BC|2=b2+c2,|AC|2=(a+b)2+c2,|BD|2=(b-a)2+c2.所以|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=2(a2+b2+c2),|AC|2+|BD|2=2(a2+b2+c2).所以|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=|AC|2+|BD|2.规律方法坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点:①让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;②如果条件中有互相垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑将中心作为原点;如果有轴对称性,可考虑将对称轴作为坐标轴.【训练3】已知:等腰梯形ABCD中,AB∥DC,对角线为AC和BD.求证:|AC|=|BD|.证明如图所示,建立直角坐标系,设A(0,0),B(a,0),C(b,c),则点D的坐标是(a-b,c).∴|AC |=(b -0)2+(c -0)2=b 2+c 2,|BD |=(a -b -a )2+(c -0)2=b 2+c 2.故|AC |=|BD |. [课堂小结]1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0有唯一解的等价条件是A 1B 2-A 2B 1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2-A 2B 1≠0.直线A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(λ∈R )是过直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与l 2:A 2x +B 2y +C 2=0交点的直线(不含l 2).2.解析法又称为坐标法,它就是通过建立直角坐标系,用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.3.两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式|P 1P 2|=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2与两点的先后顺序无关,其反映了把几何问题代数化的思想.1.直线x +2y -2=0与直线2x +y -3=0的交点坐标是( ) A.(4,1)B.(1,4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43,13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13,43 解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -2=0,2x +y -3=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =43,y =13.即直线x +2y -2=0与直线2x +y -3=0的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43,13.答案 C2.经过直线2x -y +4=0与x -y +5=0的交点,且垂直于直线x -2y =0的直线方程是( )A.2x +y -8=0B.2x -y -8=0C.2x +y +8=0D.2x -y +8=0解析 首先解得交点坐标为(1,6),再根据垂直关系得斜率为-2,可得方程y -6=-2(x -1),即2x +y -8=0. 答案 A3.已知点A (-2,-1),B (a ,3),且|AB |=5,则a 的值为________. 解析 由题意得(a +2)2+(3+1)2=5,解得a =1或a =-5.答案 1或-54.求经过两条直线2x -3y -3=0和x +y +2=0的交点且与直线3x +y -1=0平行的直线l 的方程.解 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x -3y -3=0,x +y +2=0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-35,y =-75.∵所求直线l 和直线3x +y -1=0平行, ∴直线l 的斜率k =-3,根据点斜式可得y -⎝ ⎛⎭⎪⎫-75=-3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x -⎝ ⎛⎭⎪⎫-35,即所求直线方程为15x +5y +16=0.基 础 过 关1.已知A (-1,0),B (5,6),C (3,4),则|AC ||CB |的值为( )A.13B.12C.3D.2解析 由两点间的距离公式,得|AC |=[3-(-1)]2+(4-0)2=42,|CB |=(3-5)2+(4-6)2=22,故|AC ||CB |=4222=2.答案 D2.两直线2x +3y -k =0和x -ky +12=0的交点在y 轴上,那么k 的值为( ) A.-24 B.6 C.±6 D.24解析 在2x +3y -k =0中,令x =0得y =k3,将⎝ ⎛⎭⎪⎫0,k 3代入x -ky +12=0,解得k =±6.答案 C3.以A (5,5),B (1,4),C (4,1)为顶点的三角形是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形解析 ∵|AB |=17,|AC |=17,|BC |=32, ∴三角形为等腰三角形.故选B.答案 B4.设点A 在x 轴上,点B 在y 轴上,AB 的中点是P (2,-1),则|AB |等于________. 解析 设A (x ,0),B (0,y ),∵AB 中点P (2,-1), ∴x 2=2,y2=-1,∴x =4,y =-2, 即A (4,0),B (0,-2),∴|AB |=42+22=2 5. 答案 2 55.若直线l :y =kx -3与直线2x +3y -6=0的交点位于第一象限,则k 的取值范围是________.解析 由⎩⎨⎧y =kx -3,2x +3y -6=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =33+62+3k ,y =6k -232+3k .由于交点在第一象限,故x >0,y >0,解得k >33.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫33,+∞ 6.在直线l :3x -y +1=0上求一点P ,使点P 到两点A (1,-1),B (2,0)的距离相等. 解 法一 设P 点坐标为(x ,y ),由P 在l 上和点P 到A ,B 的距离相等建立方程组⎩⎨⎧3x -y +1=0,(x -1)2+(y +1)2=(x -2)2+y 2,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =1,所以P 点坐标为(0,1).法二 设P (x ,y ),两点A (1,-1)、B (2,0)连线所得线段的中垂线方程为x +y -1=0.① 又3x -y +1=0,②解由①②组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x -y +1=0,x +y -1=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =1,所以所求的点为P (0,1).7.求证:不论m 取什么实数,直线(2m -1)x +(m +3)y -(m -11)=0都经过一定点,并求出这个定点坐标.证明 法一 对于方程(2m -1)x +(m +3)y -(m -11)=0,令m =0,得x -3y -11=0;令m =1,得x +4y +10=0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x -3y -11=0,x +4y +10=0得两条直线的交点坐标为(2,-3).将点(2,-3)代入直线方程,得(2m -1)×2+(m +3)×(-3)-(m -11)=0. 这表明不论m 取什么实数,所给直线均经过定点(2,-3).法二 将已知方程(2m -1)x +(m +3)y -(m -11)=0整理为(2x +y -1)m +(-x +3y +11)=0.由于m 取值的任意性,有⎩⎪⎨⎪⎧2x +y -1=0,-x +3y +11=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =-3.所以不论m 取什么实数,所给直线均经过定点(2,-3).能 力 提 升8.已知直线mx +4y -2=0与2x -5y +n =0互为垂直,垂足为(1,p ),则m -n +p 为( ) A.24B.20C.0D.-4解析 由垂直性质可得2m -20=0,m =10.由垂足可得⎩⎪⎨⎪⎧10+4p -2=0,2-5p +n =0,得⎩⎪⎨⎪⎧p =-2,n =-12.∴m -n+p =20. 答案 B9.两直线3ax -y -2=0和(2a -1)x +5ay -1=0分别过定点A ,B ,则|AB |的值为( ) A.895B.175C.135D.115解析 直线3ax -y -2=0过定点A (0,-2),直线(2a -1)x +5ay -1=0,过定点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,25,由两点间的距离公式,得|AB |=135.答案 C10.过点P (3,0)作一直线l ,使它被两直线l 1:2x -y -2=0和l 2:x +y +3=0所截的线段AB 以P 为中点,则此直线l 的方程是________.解析 法一 显然直线l 的斜率不存在时,不满足题意,当斜率存在时,设直线l 的方程为y =k (x -3),将此方程分别与l 1,l 2的方程联立,得⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -3),2x -y -2=0和⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -3),x +y +3=0. 解得x A =3k -2k -2和x B =3k -3k +1,∵P (3,0)是线段AB 的中点,∴x A +x B =6,即3k -2k -2+3k -3k +1=6,解得k =8. 故直线l 的方程为y =8(x -3),即8x -y -24=0. 法二 设l 1上的点A 的坐标为(x 1,y 1), ∵P (3,0)是线段AB 的中点, ∴l 2上的点B 的坐标为(6-x 1,-y 1), ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 1-y 1-2=0,(6-x 1)+(-y 1)+3=0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=113,y 1=163.∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫113,163,由两点式可得l 的方程为8x -y -24=0.答案 8x -y -24=011.已知直线l 1过点A (2,1),B (0,3),直线l 2的斜率为-3且过点C (4,2). (1)求l 1,l 2的交点D 的坐标; (2)已知点M (-2,2),N ⎝ ⎛⎭⎪⎫152,72,若直线l 3过点D 且与线段MN 相交,求直线l 3的斜率k 的取值范围.解 (1)∵直线l 1过点A (2,1),B (0,3),∴直线l 1的方程为y -13-1=x -20-2,即y =-x +3.∵直线l 2的斜率为-3且过点C (4,2), ∴直线l 2的方程为y -2=-3(x -4),即y =-3x +14.联立⎩⎪⎨⎪⎧y =-3x +14,y =-x +3,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =112,y =-52,即l 1,l 2的交点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫112,-52. (2)由题设知k MD =2-⎝ ⎛⎭⎪⎫-52-2-112=-35.k ND =72-⎝ ⎛⎭⎪⎫-52152-112=3.因为过点D 的直线与线段MN 相交,故直线l 3的斜率k 的取值范围为:⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-35∪[3,+∞).探 究 创 新12.某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A (1,2),B (4,0),一条河所在直线方程为l :x +2y -10=0,若在河边l 上建一座供水站P 使之到A ,B 两镇的管道最省,问供水站P 应建在什么地方?此时|PA |+|PB |为多少?解 如图所示,过A 作直线l 的对称点A ′,连接A ′B 交l 于P ,因为若P ′(异于P )在直线l 上,则|AP ′|+|BP ′|=|A ′P ′|+|BP ′|>|A ′B |.因此,供水站只能在点P 处,才能取得最小值.设A ′(a ,b ),则AA ′的中点在l 上,且AA ′⊥l ,即⎩⎪⎨⎪⎧a +12+2×b +22-10=0,b -2a -1·⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =3,b =6,即A ′(3,6). 所以直线A ′B 的方程为6x +y -24=0,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x +y -24=0,x +2y -10=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =3811,y =3611.所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3811,3611. 故供水站应建在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3811,3611处, 此时|PA |+|PB |=|A ′B |=(3-4)2+(6-0)2=37.。
3.3.1 两条直线的交点坐标教学案及答案
3.3.1 两条直线的交点坐标一、教学目标:1、会联立两条直线所表示的方程成方程组求交点坐标。
2、进一步掌握两条直线的位置关系,能够根据方程判断两直线的位置关系教学重点:两直线交点坐标的求法。
教学难点:两直线交点坐标的求法。
二、教学过程(一)、情境导入空间两条直线有什么位置关系?平面内呢?如果两条直线相交,那么,我们怎样来刻画它们的交点呢?(二)、新课探究(一)如何用代数方法求两直线的交点?.1.直线上的点与直线方程的解的关系:①讨论:直线上的点与其方程AX+BY+C=0的解有什么样的关系?②练习:完成书上P109的填表.③直线L上每一个点的坐标都满足直线方程,也就是说直线上的点的坐标是其方程的解。
反之直线L的方程的每一组解都表示直线上的点的坐标。
2.两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系及求两直线的交点坐标讨论:点A(-2,2)是否在直线L1:3X+4Y-2=0上?点A(-2,2)是否在直线L2:2X+Y+2=0上?A在L1上,所以A点的坐标是方程3X+4Y-2=0的解,又因为A在L2上,所以A点的坐标也是方程2X+Y+2=0的解。
即A的坐标(-2,2)是这两个方程的公共解,因此(-2,2)是方程组3X+4Y-2=02X+Y+2=0的解.讨论:点A和直线L1与L2有什么关系?为什么?3、已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0l2:A2x+B2y+C2=0如何求它们的交点坐标呢?结论用代数方法求两直线的交点坐标,只需写出这两条直线的方程,然后联立求解.由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必定是这两条直线的交点.因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线所组成的方程组是否有唯一解;【合作交流与展示】(1)、出示例1、求下列两条直线的交点坐标:l1:3x+4y-2=0l2:2x+y+2=0(在教师引导下分组完成例题解析,并派四位同学到黑板对比展示,修正。
3.3.1两条直线的交点坐标学案
探究一。求两直线的交点
例1.设三条直线:x-2y=1,2x+ky=3,3kx+4y=5(k≠-4)交于一点,求k的值.
探究二。解直线方程判断两直线的位置关系
例2.判断下列各对直线的位置关系,如果相交,求出交点坐标。
(1)L1:x-y=0 L2: 3x+3y-10=0(2)L1:3x-y+4=0 L2: 6x-2y=0
3.3.1两条直线的交点坐标学案
学习目标:
1、理解二元一次方程组的解与其对应的直线的交点的关系。
2、求两直线的交点。
3.会根据二元一次方程组的解的情况判定两直线的关系。
学习重点:求两直线的交点。
学习难点:。根据二元一次方程组的解的情况判定两直线的关系。
自学设计:
1.两直线是否有公共点,要看它们的方程是否有公共解。因此,只要将两条直线L1和L2的方程联立,得方程组{ (1).若方程组无解,则L1和L2的位置关系是。(2).若方程组有且只有一个解,则L1与L2的位置关系是。(3).若方程组有无数解,则L1与L2的位置关系是
[三层练习]:
8.已知两直线l1:x+m2y+6=0,l2:(m-2)x+3my+2m=0,当m为何值时,l1与l2(1)相交;(2)平行;(3)重合?
9.在△ABC中,已知BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在直线的方程为y=0.若点B的坐标为(1,2),求点C的坐标.
(3)L1:3x+4y-5=0 L2: 6x+8y-10=0
课堂达标
[一层练习]:
1.直线2x-y+1=0与直线x-y-1=0的交点坐标是()
A.(1,2) B.(-2,-3) C.(0,1) D.(-1,0)
2020-2021学年数学人教A版必修2学案:3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离
3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离[目标] 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标;2.会用代数方法判定两直线的位置关系;3.记住两点间的距离公式并会应用.[重点] 求两直线的交点坐标、两点间的距离公式及应用.[难点] 方程组解的个数与两线相交、平行或重合的对应关系的理解.知识点一 两条直线的交点坐标[填一填]1.求法:两直线方程联立组成方程组,此方程组的解就是这两条直线的交点坐标,因此解方程组即可.2.应用:可以利用两直线的交点个数判断两直线的位置关系. 一般地,将直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0和直线l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的方程联立,得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0. 当方程组有唯一解时,l 1和l 2相交,方程组的解就是交点坐标; 当方程组无解时,l 1与l 2平行;当方程组有无数组解时,l 1与l 2重合.[答一答]1.在下列直线中,与直线x +3y -4=0相交的直线为( C )A.x +3y =0B.y =-13x -12C.x 2+y 3=1D.y =-13x +4解析:A 、B 、D 选项的斜率都是-13,且与x +3y -4=0平行,C选项的斜率是-32,所以x 2+y 3=1与x +3y -4=0相交.2.若两直线的方程组成的方程组有解,两直线是否交于一点? 提示:不一定.两条直线是否交于一点,取决于联立两条直线方程所得的方程组是否有唯一解.若方程组有无穷多个解,则两条直线重合.知识点二 两点间的距离公式[填一填]1.公式:点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式|P 1P 2|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2.2.文字叙述:平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根.名师点拨:坐标平面内两点间的距离公式是数轴上两点间距离公式的推广.[答一答]3.两点间的距离公式中点P 1,P 2的位置有先后之分么?提示:点P 1,P 2的位置没有先后之分,即距离公式也可以写为|P 1P 2|=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2.4.对于两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),当P 1P 2平行于x 轴时,如何求P 1,P 2的距离,当P 1P 2平行于y 轴时,如何求P 1,P 2的距离?提示:当P 1P 2平行于x 轴时,|P 1P 2|=|x 2-x 1|.当P 1P 2平行于y 轴时,|P 1P 2|=|y 1-y 2|.5.式子x 2+y 2的几何意义是什么?提示:x 2+y 2表示点(x ,y )与原点(0,0)的距离.类型一 求两条直线的交点[例1] (1)直线x +2y -4=0与直线2x -y +2=0的交点坐标是( )A.(2,0)B.(2,1)C.(0,2)D.(1,2) (2)两直线2x +3y -k =0与x -ky +12=0的交点在y 轴上,则k 的值为( )A.-24B.6C.±6D.24 [解析] (1)解方程组⎩⎨⎧ x +2y -4=0,2x -y +2=0,得⎩⎨⎧ x =0,y =2.即直线x +2y -4=0与直线2x -y +2=0的交点坐标是(0,2).(2)在2x +3y -k =0中,令x =0,得y =k 3,在x -ky +12=0中,令x =0,得y =12k ,所以12k =k 3,解得k =±6.[答案] (1)C (2)C解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法.(1)若一条直线的方程是斜截式,常常应用代入消元法解方程组.(2)若直线的方程都是一般式,常常应用加减消元法解方程组.[变式训练1] 判断下列各组直线的位置关系,如果相交,求出交点的坐标:(1)l 1:5x +4y -2=0,l 2:2x +y +2=0.(2)l 1:2x -6y +3=0,l 2:y =13x +12.(3)l 1:2x -6y =0,l 2:y =13x +12.解:(1)解方程组⎩⎨⎧5x +4y -2=0,2x +y +2=0,得⎩⎪⎨⎪⎧ x =-103,y =143. 所以l 1与l 2相交,且交点坐标为-103,143. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x -6y +3=0,①y =13x +12,②②×6整理得2x -6y +3=0. 因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l 1与l 2重合.(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x -6y =0,①y =13x +12,②②×6-①得3=0,矛盾. 方程组无解,所以两直线无公共点,l 1∥l 2.类型二 求过两条直线交点的直线方程[例2] 已知两直线l 1:3x +4y -2=0和l 2:2x +y +2=0.(1)求两直线的交点;(2)求过两直线的交点和坐标原点的直线l 的方程.[解] (1)由方程组⎩⎨⎧ 3x +4y -2=0,2x +y +2=0,解得⎩⎨⎧ x =-2,y =2.即l 1与l 2的交点坐标为(-2,2).(2)解法1:∵直线过点(-2,2)和坐标原点,∴其斜率k =2-2=-1,∴直线方程为y =-x ,一般式为x +y =0.解法2:∵l 2不过原点,∴可设l 的方程为3x +4y -2+λ(2x +y +2)=0(λ∈R ),即(3+2λ)x +(4+λ)y +2λ-2=0,将原点坐标(0,0)代入上式,解得λ=1,∴l 的方程为5x +5y =0,即x +y =0.解法2用到过两直线交点的直线系方程,避免了求两直线的交点.选择不同的方法求解题目,可以训练自己的解题思路,使思路更开阔.[变式训练2] 求经过两直线2x -3y -3=0和x +y +2=0的交点且与直线3x +y -1=0平行的直线l 的方程.解:方法1:由方程组⎩⎨⎧ 2x -3y -3=0,x +y +2=0,得⎩⎪⎨⎪⎧ x =-35,y =-75.∵直线l 和直线3x +y -1=0平行, ∴直线l 的斜率k =-3.∴根据点斜式有y -(-75)=-3[x -(-35)],即所求直线方程为15x +5y +16=0.方法2:∵直线l 过两直线2x -3y -3=0和x +y +2=0的交点,∴设直线l 的方程为2x -3y -3+λ(x +y +2)=0,即(λ+2)x +(λ-3)y +2λ-3=0.∵直线l 与直线3x +y -1=0平行,∴λ+23=λ-31≠2λ-3-1,解得λ=112. 从而所求直线方程为15x +5y +16=0.类型三 两点间距离公式的应用[例3] 已知点A (-2,1),B (1,-2),直线y =2上一点P ,使|AP |=|BP |,则P 点坐标为________.[解析] 设P (x,2),∵点A (-2,1),B (1,-2),直线y =2上一点P ,使|AP |=|BP |,∴(x +2)2+(2-1)2=(x -1)2+(2+2)2,解得x =2.∴P (2,2).[答案] (2,2)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时,设出所求点的坐标,利用两点间距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解.[变式训练3] 已知点A (-1,2),B (1,3),P 在直线y =2x 上,求|P A |2+|PB |2取得最小值时点P 的坐标.解析:设P点坐标为(x,2x),∵|P A|2+|PB|2=(x+1)2+(2x-2)2+(x -1)2+(2x-3)2=10x2-20x+15=10(x-1)2+5,∴|P A|2+|PB|2≥5.(当且仅当x=1时取等号)∴当|P A|2+|PB|2取得最小值5时,点P的坐标为(1,2).类型四对称问题命题视角1:点关于点的对称问题[例4]已知不同的两点P(a,-b)与Q(b+1,a-1)关于点(3,4)对称,则ab=()A.-5B.14C.-14D.5[分析]利用中点坐标公式求解.[解析]由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a+b+12=3,a-b-12=4,即⎩⎨⎧a+b=5,a-b=9,解得⎩⎨⎧a=7,b=-2,故ab=7×(-2)=-14.[答案] C点关于点的对称问题一般用中点坐标公式即可解决.[变式训练4]点(1,y)关于(-1,0)的对称点坐标是(x,2),则x=-3,y=-2.解析:由⎩⎪⎨⎪⎧ 1+x 2=-1,y +22=0得⎩⎨⎧ x =-3,y =-2.命题视角2:点关于线、线关于线的对称问题[例5] 已知直线l :y =3x +3,求(1)点P (4,5)关于直线l 的对称点的坐标;(2)直线l 1:y =x -2关于直线l 对称的直线l 2的方程.[解] (1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x ′,y ′),则线段PP ′的中点M 在对称轴上,且直线PP ′垂直于对称轴,即⎩⎪⎨⎪⎧ y ′+52=3×x ′+42+3,y ′-5x ′-4×3=-1,解得⎩⎨⎧ x ′=-2,y ′=7.所以点P ′的坐标是(-2,7).(2)由题意,得l 1上任一点P 1(x 1,y 1)关于l 的对称点P 2(x 2,y 2)一定在l 2上,反之也成立.故⎩⎪⎨⎪⎧y 1+y 22=3×x 1+x 22+3,y 1-y 2x 1-x 2×3=-1, 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=-45x 2+35y 2-95,y 1=35x 2+45y 2+35. 把(x 1,y 1)代入y =x -2,整理得7x 2+y 2+22=0,所以直线l 2的方程为7x +y+22=0.(1)点A (x 0,y 0)关于直线l :Ax +By +C =0的对称点M (x ,y )可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y -y 0x -x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫-A B =-1(AB ≠0),A ·x +x 02+B ·y +y 02+C =0求得.(2)求直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0关于直线l :Ax +By +C =0对称的直线l 2的方程的方法:转化为点关于直线对称,在l 1上任取两点P 1和P 2,求出P 1,P 2关于l 的对称点,再用两点式可求出l 2的方程.[变式训练5] 已知两点A (3,-3),B (5,1),直线l :y =x ,在直线l 上求一点P 使|P A |+|PB |最小.解:如图,作点A 关于直线l 的对称点A ′,易知A ′(-3,3).连接BA ′交直线l 于点P ,则|P A |+|PB |=|P A ′|+|PB |=|A ′B |.又直线A ′B 的方程为x +4y -9=0,与y =x 联立解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫95,95.1.直线x +2y -2=0与直线2x +y -3=0的交点坐标是( C )A.(4,1)B.(1,4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43,13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13,43 解析:由方程组⎩⎨⎧ x +2y -2=0,2x +y -3=0,得⎩⎪⎨⎪⎧ x =43,y =13.即直线x +2y -2=0与直线2x +y -3=0的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43,13. 2.已知M (2,1),N (-1,5),则|MN |等于( A )A.5B.37C.13D.4 解析:|MN |=(2+1)2+(1-5)2=5.3.经过直线2x -y +4=0与x -y +5=0的交点,且垂直于直线x -2y =0的直线方程是( A )A.2x +y -8=0B.2x -y -8=0C.2x +y +8=0D.2x -y +8=0解析:首先解得交点坐标为(1,6),再根据垂直关系得斜率为-2,可得方程y -6=-2(x -1),即2x +y -8=0.4.已知两条直线l 1:ax +3y -3=0,l 2:4x +6y -1=0,若l 1与l 2相交,则实数a 满足的条件是a ≠2.解析:l 1与l 2相交则有:a 4≠36,∴a ≠2.5.已知△ABC 的三个顶点的坐标是A (-3,1),B (3,-3),C (1,7).(1)判断△ABC 的形状;(2)求△ABC 的面积.解:(1)因为|AB |=(3+3)2+(-3-1)2=213,|AC|=(1+3)2+(7-1)2=213,又|BC|=(1-3)2+(7+3)2=226,所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|,所以△ABC是等腰直角三角形.(2)△ABC的面积S△ABC=12|AC|·|AB|=12×213×213=26.——本课须掌握的两大问题1.过两条直线交点的直线系方程:过两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程是A1x+B1y+C1+λ(A2x +B2y+C2)=0(λ∈R),但此方程中不含l2;一般形式是m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m2+n2≠0),是过l1与l2交点的所有直线方程.2.坐标平面内两点间的距离公式,是解析几何中的最基本最重要的公式之一,利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离.反过来,已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标.。
3.3.1两条直线的交点坐标
3.3.1 两条直线的交点坐标【教学目标】1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系,并且会通过直线方程系数判定解的情况,2.当两条直线相交时,会求交点坐标.3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论,加深对解析法的理解,培养转化能力.【重点难点】教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点.教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.【教学过程】导入新课问题1.作出直角坐标系中两条直线,移动其中一条直线,让学生观察这两条直线的位置关系.课堂设问:由直线方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系,那如果两直线相交于一点,这一点与这两条直线的方程有何关系?你能求出它们的交点坐标吗?说说你的看法.问题2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题.新知探究提出问题①已知两直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如何判断这两条直线的关系?②如果两条直线相交,怎样求交点坐标?交点坐标与二元一次方程组有什关系?③解下列方程组(由学生完成):(ⅰ)⎩⎨⎧=++=-+022,0243y x y x ; (ⅱ)⎪⎩⎪⎨⎧+==+-2131,0362x y y x ; (ⅲ)⎪⎩⎪⎨⎧+==-2131,062x y y x .如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系?④当λ变化时,方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形,图形有什么特点?求出图形的交点坐标.讨论结果:①教师引导学生先从点与直线的位置关系入手,看下表,并填空.几何元素及关系代数表示点A A(a ,b)直线l l :Ax+By+C=0点A 在直线上直线l 1与l 2的交点A②学生进行分组讨论,教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组的关系.设两条直线的方程是l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 是否有唯一解.(ⅰ)若二元一次方程组有唯一解,则l 1与l 2相交;(ⅱ)若二元一次方程组无解,则l 1与l 2平行;(ⅲ)若二元一次方程组有无数解,则l 1与l 2重合.即直线l 1、l 2联立得方程组⎪⎩⎪⎨⎧⇔⎪⎩⎪⎨⎧.,,212121平行重合相交无解无穷多解唯一解转化、l l 、l l 、l l (代数问题) (几何问题)③引导学生观察三组方程对应系数比的特点:(ⅰ)23≠14;(ⅱ)21316312=--=;(ⅲ)16312--=≠211.一般地,对于直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0(A 1B 1C 1≠0,A 2B 2C 2≠0),有方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇔≠=⇔⇔==⇔⇔≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.,,002121212121212121212121222111平行无解重合无穷多解相交唯一解l l C CB B A A l lC C B B A A l l B B A A C y B x A C y B x A .注意:(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂,重在应用.(b )如果A 1,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2中有等于零的情况,方程比较简单,两条直线的位置关系很容易确定.④(a)可以用信息技术,当λ取不同值时,通过各种图形,经过观察,让学生从直观上得出结论,同时发现这些直线的共同特点是经过同一点.(b)找出或猜想这个点的坐标,代入方程,得出结论.(c)结论:方程表示经过这两条直线l 1与l 2的交点的直线的集合.应用示例例1 求下列两直线的交点坐标,l 1:3x+4y-2=0,l 2:2x+y+2=0.解:解方程组⎩⎨⎧=++=-+,022,023y x y x 得x=-2,y=2,所以l 1与l 2的交点坐标为M(-2,2).变式训练求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l 1:x-2y+2=0,l 2:2x-y-2=0.解:解方程组x-2y+2=0,2x-y-2=0,得x=2,y=2,所以l 1与l 2的交点是(2,2).设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k=1,所以所求直线方程为y=x.点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式.例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点坐标.(1)l 1:x-y=0,l 2:3x+3y-10=0.(2)l 1:3x-y+4=0,l 2:6x-2y-1=0.(3)l 1:3x+4y-5=0,l 2:6x+8y-10=0.活动:教师让学生自己动手解方程组,看解题是否规范,条理是否清楚,表达是否简洁,然后再进行讲评.解:(1)解方程组⎩⎨⎧=-+=-,01033,0y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.35,35y x 所以l 1与l 2相交,交点是(35,35).(2)解方程组⎩⎨⎧=--=+-)2(,0126)1(,043y x y x ①×2-②得9=0,矛盾,方程组无解,所以两直线无公共点,l 1∥l 2.(3)解方程组⎩⎨⎧=-+=-+)2(,01086)1(,0543y x y x ①×2得6x+8y-10=0.因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l 1与l 2重合.变式训练判定下列各对直线的位置关系,若相交,则求交点.(1)l 1:7x+2y-1=0,l 2:14x+4y-2=0.(2)l 1:(3-2)x+y=7,l 2:x+(3+2)y-6=0.(3)l 1:3x+5y-1=0,l 2:4x+3y=5.答案:(1)重合,(2)平行,(3)相交,交点坐标为(2,-1).例3 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.思路解析:根据本题的条件,一种思路是先求出交点坐标,再设所求直线的点斜式方程求出所要求的直线方程;另一种思路是利用直线系(平行系或过定点系)直接设出方程,根据条件求未知量,得出所求直线的方程.解:(方法一)由方程组⎩⎨⎧=++=0,2y x 0,3-3y -2x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.57,53y x∵直线l 和直线3x+y-1=0平行,∴直线l 的斜率k=-3.∴根据点斜式有y-(57-)=-3[x-(53-)],即所求直线方程为15x+5y+16=0.(方法二)∵直线l 过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点,∴设直线l 的方程为2x-3y-3+λ(x+y+2)=0, 即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0.∵直线l 与直线3x+y-1=0平行,∴1321332--≠-=+λλλ.解得λ=211.从而所求直线方程为15x+5y+16=0.点评:考查熟练求解直线方程,注意应用直线系快速简洁解决问题。
C§ 3.3.1两条直线的交点坐标
§ 3.1两条直线的交点坐标 学习目标1.掌握判断两直线相交的方法;会求两直线交点坐标;2.体会判断两直线相交中的数形结合思想. 学习过程一、课前准备:1121141.经过点(1,2)A -,且与直线210x y +-+垂直的直线 .2.点斜式、斜截式、两点式和截距式能否表示垂直于坐标轴的直线?3.平面直角系中两条直线的位置关系有几种?二、新课导学:※ 学习探究问题1:已知两直线方程1111:0l A x B y C ++=,222:l A x B y +20C +=,如何判断这两条直线的位置关系?问题2:如果两条直线相交,怎样求交点坐标?交点坐标与二元一次方程组有什关系?※ 典型例题例1 求下列两直线1:3420l x y +-=,2:22l x y ++0=的交点坐标.变式:判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点坐标.⑴1:0l x y -=,2:33100l x y +-=;⑵1:30l x y -=,2:630l x y -=;⑶1:3450l x y +-=,2:68100l x y +-=.例2 求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=平行的直线方程.变式:求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=垂直的直线方程.例3 已知两点(2,1),(4,3)A B -,求经过两直线2310x y -+=和3210x y +-=的交点和线段AB 中点的直线l 的方程.※ 动手试试练1. 求直线20x y --=关于直线330x y -+=对称的直线方程.练2. 已知直线1l 的方程为30Ax y C ++=,直线2l的方程为2340x y -+=,若12,l l 的交点在y 轴上,求C 的值.三、总结提升:※ 学习小结1.两直线的交点问题.一般地,将两条直线的方程联立,得方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩,若方程组有唯一解,则两直线相交;若方程组有无数组解,则两直线重合;若方程组无解,则两直线平行..学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).A.很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:1. 两直线12:210,:220l x y l x y ++=-++=的交点坐标为( ).A .13(,)24B .13(,)24-C .13(,)24--D .13(,)24- 2. 两条直线320x y n ++=和2310x y -+=的位置关系是( ).A .平行B .相交且垂直C .相交但不垂直D .与n 的值有关3. 与直线2360x y +-=关于点(1,1)-对称的直线方程是( ).A .3220x y -+=B .2370x y ++=C .32120x y --=D .2380x y ++=4. 光线从(2,3)M -射到x 轴上的一点(1,0)P 后被x 轴反射,则反射光线所在的直线方程 .5. 已知点(5,8),(4,1)A B ,则点A 关于点B 的对称点C 的坐标 . 课后作业1. 直线54210x y m +--=与直线230x y m +-=的交点在第四象限,求m 的取值范围.2. 已知a 为实数,两直线1l :10ax y ++=,2l :0x y a +-=相交于一点,求证交点不可能在第一象限及x 轴上.感谢您的阅读,祝您生活愉快。
人教高一数学教学设计之《3.3.1两条直线的交点坐标》
人教高一数学教学设计之《3.3.1两条直线的交点坐标》一. 教材分析《3.3.1两条直线的交点坐标》这一节内容,主要让学生了解两条直线的交点坐标的概念,掌握求解两条直线交点坐标的方法。
教材通过实例分析,引导学生探究并总结两条直线交点的性质,从而加深对坐标系中直线交点的理解。
二. 学情分析高一学生已经具备了一定的函数知识,对直线方程、坐标系等概念有一定的了解。
但学生在解决实际问题时,仍可能对直线交点的求解方法感到困惑。
因此,在教学过程中,需要关注学生的认知水平,引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式,自主探索并掌握求解直线交点坐标的方法。
三. 教学目标1.理解两条直线的交点坐标的概念,掌握求解两条直线交点坐标的方法。
2.培养学生的观察能力、操作能力、思考能力和交流能力。
3.提高学生解决实际问题的能力,培养学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点:两条直线的交点坐标的概念及求解方法。
2.难点:如何引导学生发现并总结两条直线交点的性质,以及如何在实际问题中灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法:通过实例分析,引导学生观察、操作、思考,激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法:教师提问,引导学生主动探究,培养学生的问题解决能力。
3.合作学习法:分组讨论,鼓励学生相互交流,提高学生的合作意识。
六. 教学准备1.准备相关的实例问题,用于引导学生观察和思考。
2.准备多媒体教学设备,如投影仪、电脑等。
3.准备练习题,用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入(5分钟)利用多媒体展示生活中的实际问题,如平面直角坐标系中两条直线的交点问题。
引导学生关注问题,激发学习兴趣。
2.呈现(10分钟)展示两条直线的交点坐标实例,引导学生观察并描述两条直线的交点特征。
教师通过提问,引导学生思考并总结两条直线交点的性质。
3.操练(10分钟)学生分组讨论,每组选取一个实例,尝试求解两条直线的交点坐标。
教师巡回指导,解答学生的疑问。
4.巩固(10分钟)教师出示一组练习题,学生独立完成,检验自己对直线交点坐标的理解和掌握程度。
(部编版)2020学年高中数学第三章3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离1学案含解析新人教A版必修0
3.3.1 & 3.3.2 两条直线的交点坐标 两点间的距离第一课时 两条直线的交点坐标 两点间的距离[提出问题]已知二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0.问题1:二元一次方程组的解法有哪些? 提示:代入消元法、加减消元法.问题2:在方程组中,每一个方程都可表示为一直线,那么方程组的解说明什么? 提示:两直线的公共部分,即交点.问题3:若给出两直线y =x +1与y =3x -2,如何求其交点坐标? 提示:联立解方程组求方程组的解即可得. [导入新知]1.两直线的交点坐标2 [化解疑难] 两直线相交的条件(1)将两直线方程联立解方程组,依据解的个数判断两直线是否相交.当方程组只有一解时,两直线相交. (2)设l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,则l 1与l 2相交的条件是A 1B 2-A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2,B 2≠0).(3)设两条直线l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,则l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2.[提出问题]数轴上已知两点A ,B .问题1:如何求A ,B 两点间的距离? 提示:|AB |=|x A -x B |.问题2:在平面直角坐标系中能否用数轴上两点间距离求出任意两点间距离? 提示:可以,构造直角三角形利用勾股定理求解. [导入新知] 两点间的距离公式(1)公式:点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式|P 1P 2|=x 1-x 22+y 1-y 22.(2)文字叙述:平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根. [化解疑难]两点间距离公式的理解(1)此公式与两点的先后顺序无关,也就是说公式也可写成|P 1P 2|= x 2-x 12+y 2-y 12.(2)当直线P 1P 2平行于x 轴时,|P 1P 2|=|x 2-x 1|. 当直线P 1P 2平行于y 轴时,|P 1P 2|=|y 2-y 1|. 当点P 1,P 2中有一个是原点时,|P 1P 2|=x 2+y 2.[例1] (1)l 1:5x +4y -2=0,l 2:2x +y +2=0; (2)l 1:2x -6y +3=0,l 2:y =13x +12;(3)l 1:2x -6y =0,l 2:y =13x +12.[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x +4y -2=0,2x +y +2=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =-103,y =143.所以l 1与l 2相交,且交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-103,143. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x -6y +3=0, ①y =13x +12, ②②×6整理得2x -6y +3=0.因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l 1与l 2重合. (3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x -6y =0, ①y =13x +12, ②②×6-①得3=0,矛盾.方程组无解,所以两直线无公共点,l 1∥l 2. [类题通法]判断两直线的位置关系,关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况.(1)解方程组的重要思想就是消元,先消去一个变量,代入另外一个方程能解出另一个变量的值. (2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论. (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系. [活学活用]直线y =kx +3与直线y =1kx -5的交点在直线y =x 上,求k 的值.解:由题意可知,三条直线y =kx +3,y =1k x -5,y =x 交于一点.由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +3,y =x ,得x =y =31-k,代入y=1k x -5,得31-k =1k ·31-k -5,解得k =1或k =35.因为直线y =kx +3与直线y =1k x -5相交,所以k ≠1k ,即k ≠1,故k =35.[例2] 求证:不论m 为何实数,直线(m -1)x +(2m -1)y =m -5都过某一定点. [解] 证明:法一:取m =1时,直线方程为y =-4;取m =12时,直线方程为x =9.两直线的交点为P (9,-4),将点P 的坐标代入原方程左边=(m -1)×9+(2m -1)×(-4)=m -5. 故不论m 取何实数,点P (9,-4)总在直线(m -1)x +(2m -1)y =m -5上,即直线恒过点P (9,-4). 法二:原方程化为(x +2y -1)m +(-x -y +5)=0.若对任意m 都成立, 则有⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -1=0,x +y -5=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =9,y =-4.所以不论m 为何实数,所给直线都过定点P (9,-4). [类题通法]解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一:任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点,从而问题得解.(2)方法二:含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0,其中λ是参数,这就说明了它表示的直线必过定点,其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0解得.若整理成y -y 0=k (x -x 0)的形式,则表示的所有直线必过定点(x 0,y 0).[活学活用]求过两直线2x -3y -3=0和x +y +2=0的交点且与直线3x +y -1=0平行的直线方程.解:法一:设所求直线为l ,因为直线l 过已知两直线的交点,因此直线l 的方程可设为2x -3y -3+λ(x +y +2)=0(其中λ为常数),即(λ+2)x +(λ-3)y +2λ-3=0. ①又直线l 与直线3x +y -1=0平行,所以-λ+2λ-3=-3且λ+23≠2λ-3-1,解得λ=112.将λ=112代入①,整理,得15x +5y +16=0,即为所求.法二:解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x -3y -3=0,x +y +2=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =-35,y =-75,所以两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-35,-75.又所求直线与直线3x +y -1=0平行,所以所求直线的斜率为-3.故所求直线方程为y +75=-3⎝ ⎛⎭⎪⎫x +35,即15x+5y +16=0.[例3] 已知点A (1,1),B (5,3),C (0,3),求证:△ABC 为直角三角形. [解] 证明:法一:∵|AB |=-2+-2=25,|AC |=-2+-2=5,又|BC |=-2+-2=5,∴|AB |2+|AC |2=|BC |2, ∴△ABC 为直角三角形.法二:∵k AB =3-15-1=12,k AC =3-10-1=-2,∴k AB ·k AC =-1,∴AB ⊥AC ,∴△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形.[类题通法]1.计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P 1(x 1,y 1)和P 2(x 2,y 2),则|P 1P 2|=x 2-x 12+y 2-y 12.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况,可直接利用距离公式的特殊情况求解. 2.解答本题还要注意构成三角形的条件. [活学活用]若点A (-3,4)与坐标轴上的点P 的距离等于5,试确定点P 的坐标. 解:若点P 在x 轴上,设点P 的坐标为(x,0),由点P 与点A 之间的距离等于5,得x +2+-2=5,解得x =0或x =-6,所以点P 的坐标为(0,0)或(-6,0);若点P 在y 轴上,设点P 的坐标为(0,y ),由点P 与点A 之间的距离等于5,得+2+y -2=5,解得y =0或y =8,所以点P 的坐标为(0,0)或(0,8).故所求的点P 有3个,坐标分别为(-6,0),(0,0),(0,8).8.两条直线相交求参数中的误区[典例] 若三条直线l 1:ax +y +1=0,l 2:x +ay +1=0,l 3:x +y +a =0能构成三角形,则a 应满足的条件是( )A .a =1或a =-2B .a ≠±1C .a ≠1且a ≠-2D .a ≠±1且a ≠-2[解析] 为使三条直线能构成三角形,需三条直线两两相交且不共点. ①若三条直线交于一点,由⎩⎪⎨⎪⎧x +ay +1=0,x +y +a =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-a -1,y =1,将l 2,l 3的交点(-a -1,1)代入l 1的方程解得a =1或a =-2*; ②若l 1∥l 2,则由a ×a -1×1=0,得a =±1**, 当a =1时,l 1与l 2重合;③若l 2∥l 3,则由1×1-a ×1=0,得a =1,当a =1时,l 2与l 3重合;④若l 1∥l 3,则由a ×1-1×1=0,得a =1, 当a =1时,l 1与l 3重合. 综上,当a =1时,三条直线重合;当a =-1时,l 1∥l 2;当a =-2时,三条直线交于一点, 所以要使三条直线能构成三角形,需a ≠±1且a ≠-2. [答案] D [易错防范]*处,解题过程中,由a =1或a =-2得a ≠1且a ≠-2,此种错误是因只考虑了三条直线相交于一点不能构成三角形,而忽视了任意两条平行或重合的直线也不能构成三角形.**处,若得到a ≠±1,只考虑了直线的斜率不相等的条件,而忽视了三条直线相交于一点也不能构成三角形. 解答此类问题由条件不易直接求参数,可考虑从反面入手,同时考虑问题要全面,不要漏掉某些情形.[成功破障]若直线y =2x +10,y =x +1,y =ax -2交于一点,则a 的值为( ) A.12 B .-12C.23 D .-23答案:C[随堂即时演练]1.直线3x +2y +6=0和2x +5y -7=0的交点的坐标为( ) A .(-4,-3) B .(4,3) C .(-4,3) D .(3,4)答案:C2.已知点A (-2,-1),B (a,3),且|AB |=5,则a 的值为( ) A .1 B .-5 C .1或-5 D .-1或5 答案:C3.若直线y =kx +3k -2与y =-14x +1的交点在第一象限,则k 的取值范围为________.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫27,14.若p ,q 满足p -2q =1,直线px +3y +q =0必过一个定点,该定点坐标为________.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,16 5.分别求经过两条直线2x +y -3=0和x -y =0的交点,且符合下列条件的直线方程. (1)平行于直线l 1:4x -2y -7=0; (2)垂直于直线l 2:3x -2y +4=0. 答案:(1)2x -y -1=0 (2)2x +3y -5=0[课时达标检测]一、选择题1.两直线2x +3y -k =0和x -ky +12=0的交点在y 轴上,那么k 的值为( ) A .-24 B .6 C .±6 D .24答案:C2.一条平行于x 轴的线段长是5个单位,它的一个端点是A (2,1),则它的另一个端点是( ) A .(-3,1)或(7,1) B .(2,-3)或(2,7) C .(-3,1)或(5,1) D .(2,-3)或(2,5)答案:A3.过两直线3x +y -1=0与x +2y -7=0的交点且与第一条直线垂直的直线方程是( ) A .x -3y +7=0 B .x -3y +13=0 C .3x -y +7=0 D .3x -y -5=0答案:B4.过点A (4,a )和点B (5,b )的直线与y =x +m 平行,则|AB |的值为( ) A .6 B. 2 C .2 D .不能确定答案:B5.方程(a -1)x -y +2a +1=0(a ∈R)所表示的直线( ) A .恒过定点(-2,3) B .恒过定点(2,3)C .恒过点(-2,3)和点(2,3)D .都是平行直线 答案:A 二、填空题6.已知在△ABC 中,A (-3,1),B (3,-3),C (1,7),则△ABC 的形状为________. 答案:等腰直角三角形7.已知直线l 1:a 1x +b 1y +1=0和直线l 2:a 2x +b 2y +1=0都过点A (2,1),则过两点P 1(a 1,b 1),P 2(a 2,b 2)的直线方程是____________.答案:2x +y +1=08.在直线x -y +4=0上求一点P ,使它到点M (-2,-4),N (4,6)的距离相等,则点P 的坐标为________.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,52 三、解答题9.若三条直线l 1:x -y =0,l 2:x +y -2=0,l 3:5x -ky -15=0能构成一个三角形,求k 的取值范围. 解:①当l 1∥l 3时知k ≠0且有5k=1,所以有k =5.②当l 2∥l 3时知k ≠0且有5k=-1,所以有k =-5.③当l 1,l 2,l 3三线交于一点时,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x -y =0,x +y -2=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =1,故直线l 1与l 2相交于点(1,1).又l 3过点(1,1),所以有5×1-k -15=0, 所以有k =-10.综上可知,要使三条直线构成一个三角形,需有k ≠±5且k ≠-10.10.已知点A (1,-1),B (2,2),点P 在直线y =12x 上,求|PA |2+|PB |2取得最小值时P 点的坐标.解:设P (2t ,t ),则|PA |2+|PB |2=(2t -1)2+(t +1)2+(2t -2)2+(t -2)2=10t 2-14t +10.当t =710时,|PA |2+|PB |2取得最小值,此时有P ⎝ ⎛⎭⎪⎫75,710,所以|PA |2+|PB |2取得最小值时P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫75,710.。
《3.3.1--两条直线的交点坐标》--导学案教学内容
《3. 3. 1 - - 两条直线的交点坐标》--导学案3.3.1 两条直线的交点坐标》导学案编写:赵刚审稿人:高一数学组编写时间:2014年8月6日班级组别组名姓名【学习目标】:1、会求两直线的交点坐标,会判断两直线的位置关系。
2、通过两直线交点坐标的求法,以及判断两直线位置的方法,学会数形结合的方法。
3、通过两直线交点和二元一次方程组的联系,从而认识事物之间的内在的联系。
【学习重、难点】学习重点:判断两直线是否相交,求交点坐标。
学习难点:两直线相交与二元一次方程的关系。
【学法指导及要求】:1、先阅读教材102—103 页,然后仔细审题,认真思考、独立规范作答。
2、、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时整理在解题本,多复习记忆。
(会解二元一次方程组)【知识链接】1.直线方程有哪几种形式?能否表示坐标平面内任意直线?2.经过点 A(1, 2),且与直线 2x y 1 0 垂直的直线方程是3. 方程组3x 4y 2 0, 的解是2x y 2 0.4.平面内两条直线有什么位置关系?空间里呢?学习过程】自主探究(一)交点坐标:问题1 已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0如何求它们的交点坐标呢?(1)填右表,说说直线上的点与其方程AX+BY+C=0的解有什么样的关系?(2):两条直线方程所组成的二元一次方程组的解的个数与直线的位置关系有什么联系?例1、求下列两条直线的交点坐标:l1:3x+4y-2=0 l2:2x+y+2=0例2:求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程:l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.探究:当变化时,方程3x 4y 2 (2x y 2) 0 表示什么图形?图形有什么特点?结论:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 表示(二)利用二元一次方程组的解讨论平面上两条直线的位置关系问题2已知方程组A1x B1y C1 0 (1)当A1,A2,B1,B2全不为零时,方程组A 2x B2y C2 0 (2)的解的各种情况分别对应的两条直线的什么位置关系?例4、判断下列各对直线的位置关系,如果相交,求出交点坐标:1)l1:x-y=0,l2:3x+3y-10=02)l1:3x-y+4=0,l2:6x-2y=03)l1:3x+4y-5=0,l2:6x+8y-10=0例5:已知两直线l 1:2x-3y-3=0 ,l 2:x+y+2=0.1)求两直线的交点;(2) 求过该点且与直线l 3:3x+y-1=0 平行的直线方程.变式:求经过两直线2x 3y 3 0和x y 2 0的交点且与直线3x y 1 0垂直的直线方程.例6 已知两点A( 2,1),B(4,3) ,求经过两直线2x 3y 1 0和3x 2y 1 0 的交点和线段AB中点的直线l 的方程.※动手试试练 1. 求直线 x y 2 0 关于直线 3x y 3 0 对称的直线方程练 2. 已知直线 l 1的方程为 Ax 3y C 0,直线 l2的方程为 2x 3y 4 0,若 l1,l2 的交点在y轴上,求C 的值.归纳小结】若方程组有唯一解 ,则这两条直线有 个交点, 此时两直线的位置关系为 __________________ ;若方程组无解 , 则这两条直线有 ____ 交点,此时两条直线的位 置关系为 _____________ .若方程组有无数个解 , 则这两条直线有 ____ 交点, 此时 两条直线的位置关系为 ___________【达标训练】1. 两直线 l 1:x 2y 1 0,l 2 : x 2y 2 0的交点坐标为( ).A .(1,3)B .(1, 3)C . ( 1, 3)D .( 1,3)2 4 2 4 2 4 2 42. 两条直线 3x 2y n 0和 2x 3y 1 0的位置关系是( ).A .平行B .相交且垂直C .相交但不垂直D .与 n 的值有关 3. 与直线 2x 3y 6 0 关于点 (1, 1)对称的直线方程是( ).A .3x 2y 2 0B . 2x 3y 7 0C .3x 2y 12 0D .2x 3y 8 04. 光线从 M( 2,3)射到 x 轴上的一点 P(1,0)后被 x 轴反射,则反射光线所在的直线方 程 .5. 已知点 A(5,8), B(4,1) ,则点 A 关于点 B 的对称点 C 的坐标 .6. 直线3x 5y 1 0和 4x 3y 5 0的交点是( )A .( 2,1) B.( 3,2) C.(2, 1) D.(3,-2)7.不论 m 为何实数,直线 (m -1)x -y +2m +1=0 恒过定点 ( ) (A )(1, - 1) (B )(-2, 0) (C )(2, 3) (D )(-2, 3)28.已知直线 l 1: A 1x B 1y C 1 0, l 2 :A 2x B 2y C 2 0 ,若l 1与l 2只有一个公共点 ,则有 ( )A. A 1B 1 A 2B 2 0B. A 1B 2 A 2B 1 0C. A1 B1D. A1 A2A 2B 2 B 1 B 2学习反思】般地, 将两条直线的方程联立 , 得方程组 A 1x B 1y C 1 0 A 2x B 2 y C 2 0课后作业】11. 若直线 y kx 2k 1与直线 y 1 x 2 的交点在第一象限 , 则实数 k 的取值范围2是 ( )D.(2. 若三条直线相交于一点 , l 1:2x 3y 8 0; l 2:x y 1 则 k 的值是 ( )1A. 2B. 1C.2D. 23.若直线 l : f(x,y) 0不过点(x 0,y 0),则方程 f(x,y) f (x 0,y 0) 0表示A )与 l 重合的直线 (B )与 l 平行的直线 (C )与 l 相交的直线 直线4. 已知点 P(-1, 0), Q(1, 0), 直线 y =- 2x + b 与线段 PQ 相交,则 b 的取值范围是11A.[ -2, 2]B.[ -1, 1]C.[ - 1, 1]D.[0, 2]225.已知点 M(0, -1),点 N 在直线 x -y +1=0 上,若直线 MN 垂直于直线 x +2y -3=0,则点 N 的 坐标是 ( )A.( -2, -1)B.(2, 1)C.(2, 3)D.( -2, 3)6.求证:不论 m 为何实数,直线 l :(2m 1)x (m 3)y (m 11) 0恒过一定点,并求出此定点的 坐标.7. 求满足下列条件的直线方程:经过两直线 2x-3y+10=0 与 3x+4y-2=0 的交点,且和直 线 3x-2y+4=0 垂直 . A. ( 16,12) B.(12,12) 1 C.(0,12) 0; l 3:x ky 0相交于一点 , D )可能不表示 16) )。
§3.3.1两条直线的交点坐标导学案
§3.3.1两条直线的交点坐标导学案自学导向(一):两条直线的交点坐标:思考1:若点P 在直线l 上,则点P 的坐标),(00y x 与直线l 的方程Ax+By+C=0有什么关系?思考2:直线2x+y-1=0与直线2x+y+1=0,直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的位置关系分别如何? 思考3:能根据图形确定直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点坐标吗?有什么办法求得这两条直线的交点坐标?思考4:若直线0:1111=++C y B x A l 和0:2222=++C y B x A l 相交,如何求其交点坐标?两条直线的交点坐标:1.两条直线的交点:已知两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0;l 2:A 2x +B 2y +C 2=0.若两直线方程组成的方程组⎩⎨⎧ A 1x +B 1y +C 1=0A 2x +B 2y +C 2=0 有唯一解⎩⎨⎧ x =x 0y =y 0,则两直线________,交点坐标为____________.2.(填表)方程组的解的组数 与两直线的位置关系:例1 求下列两条直线的交点,l 1:3x+4y -2=0;l 2:2x+y+2=0.变式训练:判断下列各对直线的位置关系,如果相交,求出其交点的坐标.(1)l 1:2x +y +3=0,l 2:x -2y -1=0;(2)l 1:x +y +2=0, l 2:2x +2y +3=0;(3)l 1:x -y +1=0, l 2:2x -2y +2=0.例2 求经过直线l 1:x +3y -3=0,l 2:x -y +1=0的交点且平行于直线2x +y -3=0的直线方程.变式训练:求经过直线l 1:x +3y -4=0,l 2:5x +2y +6=0的交点,且过点A(2,3)的直线方程自学导向(二):过交点的直线系思考1:经过直线l 1:3x+2y -1=0与直线l 2:2x -3y -5=0的交点可作无数条直线,你能将这些直线的方程统一表示吗?思考2:上述直线l 1与直线l 2的交点M (1,-1)在这条直线上吗?当m ,n 为何值时,方程m(3x+2y -1)+n (2x -3y -5)=0 分别表示直线l 1和l 2?思考3:方程 m(3x+2y -1)+n (2x -3y -5)=0 (m ,n 不同时为0)表示什么图形?思考4:方程 3x+2y -1+λ(2x -3y -5)=0 表示的直线包括过交点M (1,-1)的所有直线吗直线系方程:过直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线:_______________________________ ____________________________________________________________________________________________ 例3:求经过两条直线x+2y -1=0和2x -y -7=0的交点,且垂直于直线x+3y -5=0的直线方程。
《两直线的交点坐标》教案与导学案和同步练习
《2.3.1 两直线的交点坐标》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》,本节课主要学习两直线的交点坐标从知识内容来说并不是很难,但从解析几何的特点看,就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点,得到直线交点,以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况,从而判定两直线的位置特点,设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论,为课题引入寻求理论上的解释,使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况,在教学过程中,应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性.【教学目标与核心素养】【教学重点】:能用解方程组的方法求两直线的交点坐标【教学难点】:会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系【教学过程】一、情境导学在平面几何中,我们对直线做了定性研究,引入平面直角坐标系后,我们用二元一次方程表示直线,直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式,这样我们可以通过方程把握直线上的点,进而用代数方法对直线进行定量研究,例如求两条直线的交点,坐标平面内与点直线相关的距离问题等。
二、探究新知 两条直线的交点1.已知两条直线的方程是l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,设这两条直线的交点为P,则点P 既在直线l 1上,也在直线l 2上.所以点P 的坐标既满足直线l 1的方程A 1x+B 1y+C 1=0,也满足直线l 2的方程A 2x+B 2y+C 2=0,即点P 的坐标就是方程组{A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解.2.方程组的解一组无数组 无解 直线l 1和l 2公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l 1和l 2的位置关系 相交 重合平行点睛:如果两条直线相交,则交点坐标分别适合两条直线的方程,即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解. 1.直线 x+y=5与直线x-y=3交点坐标是( )A.(1,2)B.(4,1)C.(3,2)D.(2,1) 解析:解方程组{x +y =5,x -y =3,得{x =4,y =1.因此交点坐标为(4,1).答案:B 三、典例解析例1.直线l 过直线x +y -2=0和直线x -y +4=0的交点,且与直通过直线与二元一次方程的关系,提出运用方程研究直线位置关系得问题,让学生感悟运用坐标法研究几何问题的方法。
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§3.3.1-§3.3.2两条直线的交点坐标与两点间的距离导学案
高一数学组:万志强
教师寄语:把简单的事情做好就叫做不简单 学习目标:
(1)根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两直线求交点; (2)会求平面内两点间的距离,及建立恰当的直角坐标系.
学习重点:判断两直线是否相交,求交点坐标,理解两直线的交点与方程组的解之间的关系.
两点间的距离公式的推导.
学习难点:两直线相交与二元一次方程的关系,理解两直线的交点与方程组的解之间的关系. 两点间
的距离公式的运用.
预习内容:
探究1、直线上的点与其方程0=++C By Ax 的解有什么样的关系?那如果两直线相交于一点A(a,b),这一点与两直线0:
有何关系?看下表,并填空。
新知1、如何利用方程判断两直线的位置关系?
两直线是否有公共点,要看它们的方程是否有公共解。
因此,只要将两条直线1l 和2l 的方程联立,得
方程组⎩⎨⎧=++=++0
222111C y B x A C y B x A
若方程组无解,则1l 与2l 若方程组有且只有一个解,则1l 与2l 若方程组有无数解,则1l 与2l .
探究2、当λ变化时,方程0)22(243=+++-+y x y x λ表示什么图形?图形有什么特点?(取
0,1, 1.λλλ===-画图试试看)
问题:把交点代入原方程,会有什么结果呢?不管λ怎么变,交点(1,1)都在直线上?即方程0)22(243=+++-+y x y x λ经过定点________.这个点与两条直线,0243=-+y x
022=++y x 有什么关系? .
结论:方程0)22(243=+++-+y x y x λ是表示经过直线0243=-+y x 和022=++y x 的
_______________的直线系。
变式:无论m 取何实数,直线(2m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点,并求出此定点的坐标。
例1、 P103例2
练习1、P104. 1、2.
探究2、求点B(3,4)到原点的距离是多少?在平面直角坐标系中,如何求点A(1,1x y )和点B(2,2x y )间的距离?
新知2、两点间的距离公式:
设1122(,),A x y B x y ,()是平面直角坐标系中的任意两个点,则AB =
例2、已知点A (-1,2),B (2,7),在x 轴上求一点P ,使PB PA =,并求PA 的值.
例3、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
练习2、P106 1、2.
当堂检测:
1、两直线12:210,:220l x y l x y ++=-++=的交点坐标为( ).
A .13(,)24
B .13(,)24-
C .13(,)24--
D .13(,)24
-
2、点M(1,2)与直线:2430l x y -+=的位置关系是( )
A .M l ∈
B M l ∉. C.重合 D.不确定
3、 已知集合M={(x ,y )∣x +y =2},N={(x ,y )∣x –y =4},那么集合M∩N 为( ) A. {3,–1} B. 3,–1 C. (3,–1) D.{(3,–1)}
4、直线0mx y m +-=,无论m 取任意实数,它都过点 .
5、两点(0,4)(0,1)A B --与间的距离是 .
6、一条直线经过点(1,1),以及直线2x-3y+6=0与x 轴的交点,则这条直线的方程是________________
7、当k 为何值时,直线3y kx =+过直线2x y -10+=与5y x =+的交点?
学习反思: .。