保险精算学-趸缴纯保费培训课件PPT(共 63张)
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保险精算数学23章.ppt
n1
vmv j1 jm px qxm j vm vn m px p n xm j0
四、延期寿险趸缴纯保费的厘定（续）
= n1
vmv j1 m px pj xm qxm j vm vn m px p n xm
j0
n1
vm m px ( v j1 pj xm qxm j vn n pxm ) j0
n m 1
A m|n x
v k 1 k| q x
k m
n1
n1
n1
v jm1 jm| q x
v v p q m j1
jm x xm j
vmv j1 m px p q j xm xm j
j0
j0
j0
A A . A A n1
若要考察经过r年后该基金的状况如何？实际上就是想获知该基金在x+r时 刻的数额，其数额相当于r年以后预期死亡人数总支付额的现值总额，即
vk 1 d xk
k r
再按预定利率i积存r年得：
令 k r t 得：
vkr1 dxk
kr
vkr1 dxk vt1 dxtr lxr Axr
基本符号
(x)
bt
vt
zt
—— 投保年龄 x 的人。
——人的极限年龄 ——保险金给付函数。 ——贴现函数。 ——保险给付金在保单生效时的现值
zt bt vt
趸缴纯保费的厘定
趸缴纯保费的定义
在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现 值
趸缴纯保费的厘定
按照均衡原则，趸缴纯保费就等于
保险精算培训课件
风险规避策略
针对高风险业务或领域，制定相应的规避策略，如限制承保范 围、提高保费等。
风险缓释措施
对于无法规避的风险，采取相应的缓释措施，如再保险、共同 保险等。
风险管理工具
运用各种风险管理工具，如投资组合优化、资本管理、压力测 试等，有效控制和缓释风险。
风险监控与报告
风险监控体系
建立完善的风险监控体系，实时监测各类风险因素的变 化，以及其对保险公司的潜在影响。
风险管理
随着风险意识的提高，保险精算将在风险识别、评估和控制方面 发挥更大的作用。
法规遵从
随着监管政策的不断变化，保险精算需要更加注重法规遵从，以避 免因违规操作而导致的风险。
提高保险精算水平的建议与策略
掌握精算理论
深入学习精算理论是提高保险精算 水平的基础，了解精算模型和方法 的原理和应用。
数据分析能力
风险报告制度
定期或实时向上级管理部门或董事会报告公司的风险状 况，以确保决策者对风险有充分的了解和认识。
风险调整后的业绩评估
在业绩评估中考虑风险因素，以客观地评价公司的经营 绩效和风险管理水平。
05
保险精算的案例分析
案例一：人身保险精算实例
总结词
该案例通过具体数据展示了如何对人身保 险进行精算，包括对生存分布的假设、利 率和费用率等的考虑。
学习数据分析技能，掌握数据挖掘 和机器学习方法，以便更好地利用 数据进行精算分析。
实践经验积累
通过实际项目经验积累，不断总结 和反思，提高自己的精算实践能力 。
关注行业动态
了解保险市场的最新动态和趋势， 关注监管政策的调整和变化，及时 调整精算策略和方法。
THANK YOU.
二战后，随着非寿险市场的发展和计算机技术的 普及，保险精算得到了更广泛的应用和发展。
第三章 寿险趸缴纯保费 PPT课件
0 t 60
解：
A 1）
x
e 60 t
0
fx(t)dt
60et
0
1 dt 60
1 e60
60
15
。
2）
2Ax＝06 0e2t
1d t 60
1
e120 120
Va(zr)2Ax(Ax)2
1
e120 120
1 e6 ( 60
0
)2
16
三、、延期寿险的趸缴纯保费
❖ 1、延期m年的终身寿险趸缴纯保费
❖。
1 e 10 2tdt
70 0
710 (21 )e2t
100.063803
0
Va (Z)r2A3 1:0 10(A3 1:0 10)20.055321
13
二、终身寿险趸缴纯保费
❖ 设： bt 1
❖ 保险金的精算现值：E(Z)0vt fx(t)dt
❖ 1、保费
A
x
E(Z)
vt
0
fx(t)dt
nvt
0
fx(t)dt
net 0
t
px
xtdt
10
3、Z的方差
❖ 。 V(a Z) rE (Z2)E (Z)2
2A1 (A1 )2
x:n
x:n
其中
：
2A1 x:n
E(Z2)
n 0
Z2
fx(t)dt
nv2t 0
t
pxxtdt ne2t 0
t
px
xtdt
11
例：已知
s(x)1 x 0x100i0.1
第三章
寿险趸缴纯保费
1
整体概况
概况一
保险精算学-趸缴纯保费
保险精算学-趸缴纯保费一、介绍保险精算学是一门研究如何根据统计学和数学原理来评估和管理保险风险的学科。
其中，趸缴纯保费是保险精算学中的一个重要概念。
本文将介绍趸缴纯保费的含义、计算方法以及在保险业中的应用。
二、趸缴纯保费的含义趸缴纯保费是指被保险人一次性支付的保险费用，用于购置纯风险保险的保单。
这意味着保险公司承当了保险风险，并且不提供任何现金价值或投资回报。
趸缴纯保费通常应用于寿险和意外险等风险较高的保险产品。
三、趸缴纯保费的计算方法趸缴纯保费的计算方法主要基于统计模型和风险评估。
以下是常用的计算方法：1. 人寿保险中的趸缴纯保费计算方法在人寿保险中，趸缴纯保费的计算通常基于年龄、性别、保额和保险期限等因素。
常见的计算公式如下：趸缴纯保费 = 预期死亡率 × 保额 × 保险期限其中，预期死亡率是根据历史数据和统计模型计算得出的，它表示了某一年龄段人群的平均死亡概率。
2. 意外险中的趸缴纯保费计算方法在意外险中，趸缴纯保费的计算通常基于被保险人的职业、年龄、性别和保险金额等因素。
常见的计算公式如下：趸缴纯保费 = 根底保费 × 职业系数 × 年龄系数其中，根底保费是根据保险公司的费率表确定的，职业系数和年龄系数是根据不同职业和年龄段的保险风险进行评估得出的。
四、趸缴纯保费的应用趸缴纯保费在保险业中有着广泛的应用。
以下是一些应用场景：1. 个人寿险在个人寿险中，趸缴纯保费常用于购置寿险保单。
被保险人一次性支付趸缴纯保费后，保险公司承当了与被保险人生命风险相关的保险责任。
2. 团体意外险在团体意外险中，趸缴纯保费通常用于覆盖公司员工的意外风险。
员工支付趸缴纯保费后，保险公司将提供相应的意外保障。
3. 旅行险在旅行险中，趸缴纯保费可用于购置旅行期间的保险保障。
旅客支付趸缴纯保费后，保险公司将承当与旅行相关的风险，例如医疗费用、航班延误等。
五、结论趸缴纯保费是保险精算学中的一个重要概念，它是被保险人一次性支付的保险费用，用于购置纯风险保险的保单。
新编第二章 人寿保险的精算现值(趸缴纯保费)资料PPT课件
5、精算现值（Actuarial Present Value）的定义
？ 将保险人未来随机给付“现值”的数学期望，称为精算现值。依据收支相等
（或等价交换）的原则，又将精算现值称为趸缴纯保费。 （指签单时刻）
6、涉及的变量及生命函数：
X ：新生儿寿命， T (x) ： (x) 的余命， K (x) ： (x) 的取整余命，
x
s(x) Pr(X x) ， s(x) e0 sds ，
t px 1 t qx ， fT (t) t pxxt ，
t qx P rT[ x( )t ，]
x
s( x) s(x)
第一节 离散型人寿保险模型
*** 讨论保额固定的离散型人寿保险 ***
考虑一个保险计划：被保险人在 x 岁投保，在T (x) 年后 死亡， K(x) [T (x)] ，在死亡的保单年度末给付bK 1 ，则给 付的现值随机变量为： Z K 1bK 1 （离散型随机变量）。 （以下讨论中总假设 bK 1 1，利率不变：1 i e ）
对等
2、从保险人角度看
纯保费（购买） 保险利益（保险金）
收入
- - -毛- 保费
附加保费
费用附加 利润附加 安全附加
支-出- - -
3、从保险人角度看,收入与支出的不确定性
收入的不确定 ---- 缴费年限、是否退保、缴费总额等均不确定。
支出的不确定 ---- 保险金是否给付、给付时间、费用支出等均不确定。
n
t
0
fT
(t)dt
n 0
e t
t
pxxt dt
Var(Z ) E(Z 2 ) [E(Z )]2
en 2 t
0
fT
(t)dt
保险精算 第3章 趸缴纯保费
19
Actuarial Science
延期寿险的趸缴纯保费
保险精算
20
延期寿险的趸缴纯保费
延期 m年的终身寿险
0 t m bt 1 t m
vt v , t 0
t
0 Z bT vT T v
T m T m
v fT (t )dt e t fT (t )dt A m x m m
生存保险： 被保险人生存至保险期满，由保险人按保险合同的规定给付保 险金的险种 生死合险： 被保险人不论于保险期限内死亡或生存至保险期满，保险人都 负责给付保险金
5
第3章 趸缴纯保费
一类考虑死亡保险金在死亡后立即给付 给付模型 一类考虑死亡保险金在死亡的保单年度末给付
6
Actuarial Science
i i i
… 时 间 n 1 n
n
i
i
1 i
0
1
2
3
… 时 间
n2
n 1
n
31
期末付年金
1 1 1 付 款 额 … 1
n2
1
n 1
1
0
1
2
3
… 时 间
n
sn (1 i)n1 (1 i)n2 ... (1 i) 1
1 (1 i) ... (1 i)n2 (1 i)n1 1 (1 i )n (1 i ) n 1 n 1 (1 i) 1 isn 1 (1 i ) i 1
35
年金积累值
1000s10 0.06
应用实例
例 某银行客户想通过零存整取方式在1年 后得到10000元，在月复利为0.5%的情况下， 问每月末需存入多少钱才能达到其目的。 解 设每月需存入D元，有 D s12 0.005 10000
Actuarial Science
延期寿险的趸缴纯保费
保险精算
20
延期寿险的趸缴纯保费
延期 m年的终身寿险
0 t m bt 1 t m
vt v , t 0
t
0 Z bT vT T v
T m T m
v fT (t )dt e t fT (t )dt A m x m m
生存保险： 被保险人生存至保险期满，由保险人按保险合同的规定给付保 险金的险种 生死合险： 被保险人不论于保险期限内死亡或生存至保险期满，保险人都 负责给付保险金
5
第3章 趸缴纯保费
一类考虑死亡保险金在死亡后立即给付 给付模型 一类考虑死亡保险金在死亡的保单年度末给付
6
Actuarial Science
i i i
… 时 间 n 1 n
n
i
i
1 i
0
1
2
3
… 时 间
n2
n 1
n
31
期末付年金
1 1 1 付 款 额 … 1
n2
1
n 1
1
0
1
2
3
… 时 间
n
sn (1 i)n1 (1 i)n2 ... (1 i) 1
1 (1 i) ... (1 i)n2 (1 i)n1 1 (1 i )n (1 i ) n 1 n 1 (1 i) 1 isn 1 (1 i ) i 1
35
年金积累值
1000s10 0.06
应用实例
例 某银行客户想通过零存整取方式在1年 后得到10000元，在月复利为0.5%的情况下， 问每月末需存入多少钱才能达到其目的。 解 设每月需存入D元，有 D s12 0.005 10000
保险精算人寿保险趸缴纯保费-PPT精品文档
常见概念中英文单词对照(2)
定期人寿保险 终身人寿保险 两全保险 生存保险 延期保险 变额受益保险
Term life insurance Whole life insurance Endowment insurance Pure endowment insurance Deferred insurance Varying benefit insurance
人寿保险的分类
受益金额是否恒定
定额受益保险 变额受益保险
保障标的的不同
保单签约日和保障期 期始日是否同时进行
人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险 定期寿险 终身寿险
保障期是否有限
即期保险 延期保险
人寿保险的特点
保障的长期性
这使得从投保到赔付期间的投资收益（利息）成为 不容忽视的因素。 人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的 生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。 这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量， 它依赖于被保险人剩余寿命分布。 这意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算 出平均赔付并可预测将来的风险。
主要险种的趸缴纯保费的厘定
终身寿险 n年期定期寿险 n年期生存保险 n年期两全保险 延期m年的终身寿险 延期m年的n年期的两全保险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
1、终身寿险
定义 保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任 范围内的死亡均给付保险金的险种。 假定： ( x ) 岁的人，投保保额bt=1元终身寿险 基本函数关系
力 和 fT(x)( t) 、 fX( t) 的关系是怎样的 x
保险精算PPT课件
损失概率，直接决定其费率。这种方法的采用，往往是因为保险标的数量 较少，无法采用统计资料，因而主要凭借精算人员的知识与经验。
观察法所制定的费率，最能反映个别风险的特性，具有灵活、精确 的特点，这是因为：①在风险单位数量很少的情况下，不能硬性将风险性 质差异很大的各风险单位集中在一块，统一制定费率，否则，将违反利用 大数法则估计损失概率的前提条件；②观察法制定费率，虽是针对个别标 的而言，但精算人员往往根据过去的费率和经验，以及对此标的有影响的 各种风险因素进行仔细的分析，然后才确定费率；③观察法通常也要利用 一些资料，只不过较为粗略而已。
个比率——这类标的发生损失的频率。而在观察次数很多或观察周
期很长的情况下，这一比率将与实际损失概率很接近。换句话说，
当某个所需要求的概率不能通过等可能分析、理论概率分布近似估
计等方法加以确定时，则可通过观察过去大量实验的结果而予以估
计，即用比率代替概率。反过来，经估计得到的比率，可由将来大
量实验所得的实际经验而修正，以增加其真实性。
2
第2页/共43页
第一节 保险精算概述
一、保险精算的产生与发展
寿险精算是从寿险经营的窘境中应运而生的。当时，
寿险的保费采用赋课制，未将年龄大小、死亡率高低等与保 费挂钩，有关计算单一、粗糙，考虑的因素少，因而使寿险 经营缺乏严密的科学基础。
17世纪后半叶，世界上有两位保险精算创始人研究
人寿保险计算原理取得突破性进展，一位是荷兰的政治家维 德(Jeande Witt)，他倡导了一种终身年金现值的计算方法，
5
第5页/共43页
第一节 保险精算概述
二、保险精算的基本任务
保险精算最初的定义是“通过对火灾、盗窃以及人的死亡等损失事故发生 的概率进行估算以确定保险公司应该收取多少保费。”
观察法所制定的费率，最能反映个别风险的特性，具有灵活、精确 的特点，这是因为：①在风险单位数量很少的情况下，不能硬性将风险性 质差异很大的各风险单位集中在一块，统一制定费率，否则，将违反利用 大数法则估计损失概率的前提条件；②观察法制定费率，虽是针对个别标 的而言，但精算人员往往根据过去的费率和经验，以及对此标的有影响的 各种风险因素进行仔细的分析，然后才确定费率；③观察法通常也要利用 一些资料，只不过较为粗略而已。
个比率——这类标的发生损失的频率。而在观察次数很多或观察周
期很长的情况下，这一比率将与实际损失概率很接近。换句话说，
当某个所需要求的概率不能通过等可能分析、理论概率分布近似估
计等方法加以确定时，则可通过观察过去大量实验的结果而予以估
计，即用比率代替概率。反过来，经估计得到的比率，可由将来大
量实验所得的实际经验而修正，以增加其真实性。
2
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第一节 保险精算概述
一、保险精算的产生与发展
寿险精算是从寿险经营的窘境中应运而生的。当时，
寿险的保费采用赋课制，未将年龄大小、死亡率高低等与保 费挂钩，有关计算单一、粗糙，考虑的因素少，因而使寿险 经营缺乏严密的科学基础。
17世纪后半叶，世界上有两位保险精算创始人研究
人寿保险计算原理取得突破性进展，一位是荷兰的政治家维 德(Jeande Witt)，他倡导了一种终身年金现值的计算方法，
5
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第一节 保险精算概述
二、保险精算的基本任务
保险精算最初的定义是“通过对火灾、盗窃以及人的死亡等损失事故发生 的概率进行估算以确定保险公司应该收取多少保费。”
保险精算学趸缴纯保费
一年递增m次
将每一个保单年度分为均等的m个时间段， 如被保险人在第一保单年度的第一个1/m年内死
亡，则在死亡时立即给付保险金1/m元， 如被保险人在第一保单年度的第二个1/m年内死
亡，则在死亡时立即给付保险金2/m元， 。。。。。 如被保险人在第二保单年度的第一个1/m年内死
亡，则在死亡时立即给付保险金1+1/m元， 如被保险人在第二保单年度的第二个1/m年内死
趸缴纯保费的厘定
符号：Ax:1n
趸缴纯保费厘定
1
Ax:n
E(zt ) vn n px
e n n px
现值随机变量的方差：
Var(zt ) v2n n px (vn n px )2
21
Ax:n
1
( Ax:n
)2
5、n年定期两全保险
定义
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死 亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期 满，保险人在第n年末支付保险金的保险。它等价于n年生 存保险加上n年定期寿险的组合。
m
e2 t
fT
(t)dt
所以方差等价于
Var(zt )
2 m
Ax
(m
Ax )2
例4.3.3
假设（x）投保延期10年的终身寿险， 保额1元。
保险金在死亡即刻赔付。 已知
0.06，S (x) e0.04x , x 0
求：
(1) 10 Ax (2)Var(zt )
例4.3.3答案
(1)
保险利益： 如被保险人在第一保单年度内死亡，
则在死亡时立即给付保险金1元， 如被保险人在第二保单年度内死亡，
则在死亡时立即给付保险金2元， 。。。。。
第九讲 趸缴纯保费
×k q x = h A
1 x:n
h
A1 =
x:n
n + h −1 k =h
∑v
k +1
×k q x ×t +h qx
令t = k − h∑ v
t =0 n −1 h t +1
n −1
t + h +1
= ∑ v × v × h px ×t qx+h
t =0 h
= v × h px × ∑ v ×t qx+h
k =0 n −1
M x − M x + n + Dx + n = Dx
例题
设年龄25岁的人购买离散型的保额为5000元 的30年两全保险,试求该保单的趸缴纯保费.
2.1.3 延期保险
保额为1,h年延期的n年定期保险 n + h −1
h
A1 =
x:n
∑v
k =h
k +1
×k q x
M x+h − M x+h+n = Dx
1 = ( M x + M x+1 + M x+2 + ... + M x+n−1 − nM x +n ) Dx 1 ( Rx − Rx+n − nM x +n ) = Dx
( IA) 1
x: n
1 = ( Rx − Rx + n − nM x + n ) Dx
2 递增的终身寿险
( IA) x = ∑ (k + 1)v k +1 k qx
基本符号
(x)
—— 投保年龄。 ——人的极限年龄 ——保险金给付函数。 ——贴现函数。
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பைடு நூலகம்
2、终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险 责任范围内的死亡均给付保险金的险种。
假定：( x ) 岁的人，保额1元终身寿险
基本函数关系
vt vt , t0 bt 1, t0
zt btvt vt
,
t0
趸缴纯保费的厘定
符号：A x
厘定：
Ax E(zt) 0 zt fT(t)dt
死亡即付定期寿险趸缴纯保费的厘定
符号：m A x
厘定：
m Ax E(zt ) m zt fT (t)dt
m
0 zt fT (t)dt 0 zt fT (t)dt
1
Ax Ax:m
现值随机变量的方差
方差公式
V a r ( z t) E ( z t 2 ) E ( z t) 2 m e 2 tfT ( t) d t E ( z t) 2
t
px
xtdt0nett px
xtdt
现值随机变量的方差
方差公式
V ( z t) a E ( r z t 2 ) E ( z t) 2 0 n e 2 tfT ( t) d E t ( z t) 2
记
2A1 x:n
ne2t
0
fT(t)dt
（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）
所以方差等价为
Va (zt)r2Ax(Ax)2
例4.3.2
设(x)投保终身寿险，保险金额为1元 保险金在死亡即刻赔付 签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为
计算
1 fT (t) 60
,
0t 60
0 , 其它
（1）Ax (2)Var(zt )
(3) Pr(z 0.9 ) 0.9的0.9.
120
60
例4.3.2答案
(3) Pr(zt 0.9 ) Pr(vt 0.9 )
=
Pr(t
ln
v
ln
0.9
)
P(t
ln 0.9
ln v
)
60 ln0.9
60
ln0.9 fT (t)dt ln v
ln v 0.9 60
ln 0.9 6 ln v 0.9 v6 e6
第四章
人寿保险趸缴纯保费的厘定
第三节
死亡即刻赔付 趸缴纯保费的厘定
死亡即刻赔付
死亡即刻赔付的含义
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期 内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将 在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。 它是在实际应用场合，保险公司通常采用的 理赔方式。
由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任 意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续 随机变量，它距保单生效日的时期长度就等 于被保险人签约时的剩余寿命。
vt
0
t
px
xtdt
et
0
t
px
xtdt
现值随机变量的方差
方差公式
V a r ( z t) E ( z t 2 ) E ( z t) 2 0 e 2 tfT ( t) d t E ( z t) 2
记
2Ax
e2t
0
fT(t)dt
回顾: 利息力与利率的关系
利息强度
回顾: 死亡效力
定义：( x ) 的瞬时死亡率，简记 x
xss((xx))sf((xx))ln[s(x)]
死亡效力与生存函数的关系
x
s(x) exp{ sds} 0 xt
t p x e x p { s d s } x
10 vt
0
f30 (t )dt
101.1t
1
dt
1
1.1t
0 10
0.092
0 70 70 ln1.1
（2）Var(
zt
)2A1 30:10
(A1 30:10
)2
101.12t 1 dt 0.0922
0
70
1
1.21t
0 10
0.0922
0.055
70 ln1.21
假定：( x ) 岁的人，保额1元n年定期寿险
基本函数关系
vt vt , t0
vt , tn
1, tn bt 0, tn
zt btvt 0, tn
趸缴纯保费的厘定
符号：A
1 x :n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt) 0 zt fT(t)dt
nvt 0
3、延期终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责 任范围内的死亡均给付保险金的险种。
假定：( x ) 岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险
基本函数关系
vt vt , t0
vt , tm
1 , bt 0,
tm tm
zt
btvt 0,
tm
回顾: 死亡效力与剩余寿命
死亡效力与密度函数的关系
x
即剩余寿 命的分布
f(x)xs(x)xexp{sds} 0
函数tqx 死亡效力表示剩余寿命的密度函数 g ( t )
G(t)1t pxs(x) s(sx()xt)
g(t)ddtG(t)ddts(x) s(sx()xt)s(xs(tx))xt t px xt
所以方差等价为
Va(ztr)2Ax1:n
(A1 )2 x:n
例4.3.1
设
S(x)1 x , 0x100 100
i0.1
计算
（ 1）A1 30:10
(2)Var(zt)
例4.3.1答案
(1)
fT
(t)
S(x t) S(x)
1 100
x
A1 30:10
例4.3.2答案
(1 ) A x
0
e
t
fT
(t)d
t
e6 0 t
1
1 e 60 dt
0
60
60
（ 2） V a r ( zt ) 2 A x ( A x ) 2
e6 0 2 t
0
1 60
dt
( Ax )2
1 e120 (1 e 60 )2
基本符号
( x ) —— 投保年龄 x的人。
——人的极限年龄
b t ——保险金给付函数。
v t ——贴现函数。
z t ——保险给付金在保单生效时的现
时值
zt bt vt
1、n年定期寿险
定义
保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险 责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年 死亡保险。
2、终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险 责任范围内的死亡均给付保险金的险种。
假定：( x ) 岁的人，保额1元终身寿险
基本函数关系
vt vt , t0 bt 1, t0
zt btvt vt
,
t0
趸缴纯保费的厘定
符号：A x
厘定：
Ax E(zt) 0 zt fT(t)dt
死亡即付定期寿险趸缴纯保费的厘定
符号：m A x
厘定：
m Ax E(zt ) m zt fT (t)dt
m
0 zt fT (t)dt 0 zt fT (t)dt
1
Ax Ax:m
现值随机变量的方差
方差公式
V a r ( z t) E ( z t 2 ) E ( z t) 2 m e 2 tfT ( t) d t E ( z t) 2
t
px
xtdt0nett px
xtdt
现值随机变量的方差
方差公式
V ( z t) a E ( r z t 2 ) E ( z t) 2 0 n e 2 tfT ( t) d E t ( z t) 2
记
2A1 x:n
ne2t
0
fT(t)dt
（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）
所以方差等价为
Va (zt)r2Ax(Ax)2
例4.3.2
设(x)投保终身寿险，保险金额为1元 保险金在死亡即刻赔付 签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为
计算
1 fT (t) 60
,
0t 60
0 , 其它
（1）Ax (2)Var(zt )
(3) Pr(z 0.9 ) 0.9的0.9.
120
60
例4.3.2答案
(3) Pr(zt 0.9 ) Pr(vt 0.9 )
=
Pr(t
ln
v
ln
0.9
)
P(t
ln 0.9
ln v
)
60 ln0.9
60
ln0.9 fT (t)dt ln v
ln v 0.9 60
ln 0.9 6 ln v 0.9 v6 e6
第四章
人寿保险趸缴纯保费的厘定
第三节
死亡即刻赔付 趸缴纯保费的厘定
死亡即刻赔付
死亡即刻赔付的含义
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期 内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将 在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。 它是在实际应用场合，保险公司通常采用的 理赔方式。
由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任 意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续 随机变量，它距保单生效日的时期长度就等 于被保险人签约时的剩余寿命。
vt
0
t
px
xtdt
et
0
t
px
xtdt
现值随机变量的方差
方差公式
V a r ( z t) E ( z t 2 ) E ( z t) 2 0 e 2 tfT ( t) d t E ( z t) 2
记
2Ax
e2t
0
fT(t)dt
回顾: 利息力与利率的关系
利息强度
回顾: 死亡效力
定义：( x ) 的瞬时死亡率，简记 x
xss((xx))sf((xx))ln[s(x)]
死亡效力与生存函数的关系
x
s(x) exp{ sds} 0 xt
t p x e x p { s d s } x
10 vt
0
f30 (t )dt
101.1t
1
dt
1
1.1t
0 10
0.092
0 70 70 ln1.1
（2）Var(
zt
)2A1 30:10
(A1 30:10
)2
101.12t 1 dt 0.0922
0
70
1
1.21t
0 10
0.0922
0.055
70 ln1.21
假定：( x ) 岁的人，保额1元n年定期寿险
基本函数关系
vt vt , t0
vt , tn
1, tn bt 0, tn
zt btvt 0, tn
趸缴纯保费的厘定
符号：A
1 x :n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt) 0 zt fT(t)dt
nvt 0
3、延期终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责 任范围内的死亡均给付保险金的险种。
假定：( x ) 岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险
基本函数关系
vt vt , t0
vt , tm
1 , bt 0,
tm tm
zt
btvt 0,
tm
回顾: 死亡效力与剩余寿命
死亡效力与密度函数的关系
x
即剩余寿 命的分布
f(x)xs(x)xexp{sds} 0
函数tqx 死亡效力表示剩余寿命的密度函数 g ( t )
G(t)1t pxs(x) s(sx()xt)
g(t)ddtG(t)ddts(x) s(sx()xt)s(xs(tx))xt t px xt
所以方差等价为
Va(ztr)2Ax1:n
(A1 )2 x:n
例4.3.1
设
S(x)1 x , 0x100 100
i0.1
计算
（ 1）A1 30:10
(2)Var(zt)
例4.3.1答案
(1)
fT
(t)
S(x t) S(x)
1 100
x
A1 30:10
例4.3.2答案
(1 ) A x
0
e
t
fT
(t)d
t
e6 0 t
1
1 e 60 dt
0
60
60
（ 2） V a r ( zt ) 2 A x ( A x ) 2
e6 0 2 t
0
1 60
dt
( Ax )2
1 e120 (1 e 60 )2
基本符号
( x ) —— 投保年龄 x的人。
——人的极限年龄
b t ——保险金给付函数。
v t ——贴现函数。
z t ——保险给付金在保单生效时的现
时值
zt bt vt
1、n年定期寿险
定义
保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险 责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年 死亡保险。