算术平均数与几何平均数
平均数的计算
平均数的计算在统计学中，平均数是最常用的一种统计指标，用于衡量一组数据的集中趋势。
平均数可以帮助我们了解数据的总体特征，以便作出合理的分析和判断。
本文将介绍平均数的计算方法及其在实际应用中的意义。
1. 简介平均数是指一组数据中所有数值的总和除以数据的个数。
它可以用来代表这组数据的典型值，即表示整体特征的集中趋势。
平均数可以分为算术平均数、几何平均数和加权平均数等。
2. 算术平均数算术平均数是最基本的平均数计算方法，它的计算公式为：平均数= 总和 / 数据个数。
我们将一组数据中的每个数值相加，并除以数据的个数，即可得到算术平均数。
例如，有一组数据：4，6，8，10，12，14，则它们的算术平均数为：(4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14) / 6 = 54 / 6 = 93. 几何平均数几何平均数适用于一组具有乘法关系的数据，它可以用来计算这组数据的平均增长率或平均减少率。
几何平均数的计算公式为：平均数 = 根号下(数据1 ×数据2 × ... ×数据n)。
例如，有一组数据：2，4，8，16，32，则它们的几何平均数为：平均数 = 根号下(2 × 4 × 8 × 16 × 32) = 根号下(32768) = 324. 加权平均数加权平均数是考虑了数据的权重因素的一种平均数计算方法。
在计算加权平均数时，需要为每个数据指定一个权重值，并将每个数据与其对应的权重值相乘，然后再将乘积相加，最后除以权重值的总和。
加权平均数的计算公式为：平均数 = (数据1 ×权重1 + 数据2 ×权重2 + ... + 数据n ×权重n) / (权重1 + 权重2 + ... + 权重n)。
例如，有一组数据：3，4，5，6，7，其对应的权重分别为：2，3，4，1，2，则它们的加权平均数为：(3 × 2 + 4 × 3 + 5 × 4 + 6 × 1 + 7 × 2) / (2 + 3 + 4 + 1 + 2) = 55 / 12 ≈4.585. 平均数的应用平均数广泛应用于各个领域，例如经济学、社会学和自然科学等。
算术平均数与几何平均数(一)
算术平均数与几何平均数（一）1. 简介算术平均数和几何平均数是常见的统计学概念，用于描述一组数据的集中趋势。
在统计学中，平均数是最常用的描述集中趋势的指标之一。
在本文档中，我们将讨论算术平均数和几何平均数的定义、计算方法以及它们的特点和用途。
通过了解这两种平均数的性质，我们可以更好地理解和应用它们。
2. 算术平均数2.1 定义算术平均数（或简称平均数）是一组数据的所有数值之和除以数据的个数。
它描述了这组数据的集中趋势，是一种典型值。
2.2 计算方法计算算术平均数的方法是将一组数据的所有数值相加，然后除以数据的个数。
用数学公式表示为：平均数= (x₁ + x₂ + ... + xn) / n其中，x₁, x₂, …, xn代表数据中的每个数值，n代表数据的个数。
2.3 特点和应用算术平均数的特点有：•算术平均数是一种对数据集中趋势的概括，它能够反映数据的大致水平。
•算术平均数对异常值（极大值或极小值）比较敏感，会使得平均数产生明显的偏差。
•算术平均数可以用于比较不同数据集之间的集中趋势，以及进行数据的综合分析。
算术平均数在实际应用中有广泛的用途，例如：•统计某一地区的平均气温、平均收入等指标。
•确定商品的平均价格。
•分析学生成绩的平均水平等。
3. 几何平均数3.1 定义几何平均数是一组数据的连乘积的n次方根。
它描述了这组数据的平均变化率，是一种典型比率。
3.2 计算方法计算几何平均数的方法是将一组数据的所有数值相乘，然后取n次方根。
用数学公式表示为：几何平均数= (x₁ * x₂ * ... * xn) ^ (1/n)其中，x₁, x₂, …, xn代表数据中的每个数值，n代表数据的个数。
3.3 特点和应用几何平均数的特点有：•几何平均数是一种对数据集变化率的概括，它能够反映数据的平均相对大小。
•几何平均数对异常值的影响较小，不会使得平均数产生明显的偏差。
•几何平均数可以用于比较不同数据集之间的平均变化率，以及进行数据的综合分析。
算术平均数与几何平均数
(当且仅当a b时取“＝”号）
定理2：如果 a,b是正数，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
注意2：等号取到的条件。
; 哈利魔法科学加盟费多少 ；
舍也，王者於大败，诛首恶，赦其众，不则皆函阴气，厥水流入国邑，陨霜杀叔草”桓公元年“秋炁大水”。董仲舒、刘向以为桓弑兄隐公，民臣痛隐而贱桓。后宋督弑其君，诸侯会，将讨之，桓受宋赂而归，又背宋。诸侯由是伐鲁，仍交兵结仇，伏尸流血，百姓愈怨，故十三年夏复大水。 一曰，夫人骄淫，将弑君，阴气盛，桓不寤，卒弑死。刘歆以为桓易许田，不祀周公，废祭祀之罚也。严公七年“秋，大水，亡麦苗”。董仲舒、刘向以为，严母文姜与兄齐襄公淫，共杀桓公，严释父仇，复取齐女，未入，先与之淫，一年再出，会於道逆乱，臣下贱之之应也。十一年“秋， 宋大水”。董仲舒以为时鲁、宋比年为乘丘、鄑之战，百姓愁怨，阴气盛，故二国俱水。刘向以为时宋愍公骄慢，睹灾不改，明年与其臣宋万博戏，妇人在侧，矜而骂万，万杀公之应。二十四年，“大水”。董仲舒以为夫人哀姜淫乱不妇，阴气盛也。刘向以为哀姜初入，公使大夫宗妇见，用 币，又淫於二叔，公弗能禁。臣下贱之，故是岁、明年仍大水。刘歆以为先是严饰宗庙，刻桷丹楹，以夸夫人，简宗庙之罚也。宣公十年“秋，大水，饑”。董仲舒以为，时比伐邾取邑，亦见报复，兵仇连结，百姓愁怨。刘向以为，宣公杀子赤而立，子赤，刘出也，故惧，以济西田赂齐。邾 子玃且亦齐出也，而宣比与邾交兵。臣下惧
算术平均数与几何平均数
关于“平均数”的概念：
如果a1, a a 2,....... n R , n 1且n N , a1 a2 .......an 叫做n个正数的算术平均数；
n n a1a2......an 叫做这n个正数的几何平均数。
基本不等式：
a1 a2......an n
n
a1a2......an
定理1：如果a,b R, 那么a2 b2 2ab
(当且仅当a b时取“＝”号）
定理2：如果 a,b是正数，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
(n N*, ai R ,1 i n)
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数。
例1.已知a,b,c,d都是正数，求证：
ab cd (ac bd) 4abcd
例2.已知a,b,c>0,求证：
1a2 b2 c2 ab bc ca 2 a2 b2 c2 a b c
bca
3 1 1 1 1 1 1
2a 2b 2c a b b c c a (4) a2 b2 b2 c2 c2 a2
2(a b c)
作业： P11练习——1，2；习题6.2—— 1，2，3
例1.若a, b
0,
注意2：等号取到的条件。
推广： 定理：如果
几何平均值与算术平均值
几何平均值与算术平均值平均值是统计学中常用的概念，用于描述一组数据的集中趋势。
在实际应用中，常见的平均值有算术平均值和几何平均值。
本文将探讨几何平均值与算术平均值的定义、计算方法以及它们在不同场景下的应用。
一、几何平均值的定义与计算方法几何平均值是一组正数的平方根的乘积。
假设有n个正数x1, x2, ..., xn，它们的几何平均值为G。
根据定义，几何平均值G可以通过以下公式计算：G = (x1 * x2 * ... * xn)^(1/n)以一个简单的例子来说明几何平均值的计算方法。
假设有一组数据：2, 4, 8, 16。
我们可以通过计算它们的几何平均值来了解这组数据的集中趋势。
G = (2 * 4 * 8 * 16)^(1/4) = 4在这个例子中，这组数据的几何平均值为4。
这意味着这组数据的平均增长率为4倍，从一个数字到下一个数字的增长率都是相同的。
二、算术平均值的定义与计算方法算术平均值是一组数据的总和除以数据的个数。
假设有n个数据x1, x2, ..., xn，它们的算术平均值为A。
根据定义，算术平均值A可以通过以下公式计算：A = (x1 + x2 + ... + xn) / n继续以前面的例子来说明算术平均值的计算方法。
假设有一组数据：2, 4, 8, 16。
我们可以通过计算它们的算术平均值来了解这组数据的集中趋势。
A = (2 + 4 + 8 + 16) / 4 = 30 / 4 = 7.5在这个例子中，这组数据的算术平均值为7.5。
这意味着这组数据的平均值为7.5，每个数据与平均值的偏差大小不一。
三、几何平均值与算术平均值的比较几何平均值与算术平均值都是常用的平均值指标，它们各有特点和应用场景。
1. 数据特点：几何平均值适用于有相乘关系的数据，如增长率、比率等。
算术平均值适用于一般性的数据。
2. 数据偏差：几何平均值对数据的偏差比较敏感，偏离平均值较大的数据对几何平均值的影响较大。
算术平均数与几何平均数
算术平均数与几何平均数一．学习目标：1．掌握两个正数的算术平均数不小于它们的的定理，并会简单运用； 2．利用不等式求最值时要注意到“一正”“二定”“三相等”． 二．知识要点：1．a>0，b>0时，称 为a ，b 的算术平均数；称 为a ，b 的几何平均数．2．定理1 ： 如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 2ab （当且仅当 时 取“＝”号）3．定理2 ：如果a 、b ∈+R ，那么2b a +≥ （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．最值定理：已知x 、y ∈+R ，x ＋y ＝P ，xy ＝S. 有下列命题：(1) 如果S 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值 ． (2) 如果P 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值 ． 即:积定和最小，和定积最大运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 5.均值不等式:两个正数的均值不等式：ab ba ≥+2三个正数的均值不等是：33abc c b a ≥++ n 个正数的均值不等式：nn n a a a na a a 2121≥+++6.四种均值的关系：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是2211222b a ba ab ba +≤+≤≤+三．题型讲解例1： 设a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（ ）A ．a+b+ab1≥22 B (a+b)(a 1+b1)≥4 C 22a b ab+≥a+b D b a ab +2≥ab变式训练1：（1）设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题222:22a b a bq ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则p 是q 成立的 （ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（2）若,,a b c 为△ABC 的三条边，且222,S a b c p ab bc ac =++=++，则（ ） A ．2S p ≥ B ． 2p S p << C ．S p > D ．2p S p ≤<（3）设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, yyx x b +++=11， a 与b 的大小关系（ ）A ．a >bB ．a <bC ．a ≤bD ．a ≥b例2：已知,,,a b x y R +∈（,a b 为常数），1a bx y+=，求x y +的最小值．变式训练2：已知a ，b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），a ＋b ＝10， 1=+y bx a ，若 x＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．例3：设x ≥0, y ≥0, x 2+22y =1,求21x y +的最大值.变式训练： 若a>b>0, 求216()a b a b +-的最小值例4：已知,x y R +∈ ，且822=++xy y x ，求y x 2+的最小值．变式训练：已知,x y R +∈,且xy y x =++62，求xy 的最小值.四.练习巩固：1．若1a b >>，lg lg P a b =，1(lg lg )2Q a b =+，lg 2a bR +=，则 （ ）()A R P Q << ()B P Q R << ()C Q P R << ()D P R Q << 2．设,x y R +∈，且()1xy x y -+=，则 （ ）()A 2(21)x y +≥+ ()B 21xy ≤+ ()C 2(21)x y +≤+ ()D 2(21)xy ≥+ 3．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ） ()A 4y x x =+()B 222(3)2x y x +=+()C 4x x y e e -=+()D 4sin (0)sin y x x xπ=+<< 4．若0,0a b >>，且21a b +=，则2224s ab a b =--的最大值是 （ ）()A 212- ()B 12- ()C 212+ ()D 12+ 5.当x ∈R + 时可得到不等式x ＋x 1≥2, x ＋24x=2x ＋2x＋2)2(x ≥3, 由此可以推广为x ＋n xp≥n ＋1, 取值p 等于（ ） A n n B n 2 C n D n ＋16.设x 、y >0, x ＋y =1, 且 y x +≤a 恒成立, 则a 的最小值为（ ） A 2/2 B 22 C 2 D 27. 设a 、b ≥0,a ＋b =1, 试比较大小：1212+++b a 22(填“≥”,“≤”或“=”)8.在区间(0, +∞)上，当x = 时，函数y =212x ＋3x 有最小值 9．要使不等式x y k x y +≤+对所有正数,x y 都成立，试问k 的最小值是 ．10 已知x 、y 、z ≥0,且x ＋y ＋z =1, 则z y x ++的最大值为 ；最小值为11 已知：a ＋b ＋c =1, a 2＋b 2＋c 2=1, 且a >b >c ,则a ＋b 的取值范围是 ；a 2＋b 2 的取值范围是12.若x>0,y>0,x+y=1, 求证:(1+x 1)(1+y1)≥913、若a >1, b >1, c >1, ab =10，求证：log a c ＋log b c ≥4lg c , 并指出什么时候等号成立。
算术平均数与几何平均数
推广： 定理：如果
a,b, c R , 那么a3 b3 c3 3abc
（当且仅当a=b=c时取“=”）
推论：如果
a,b, c R , 那么 a b c 3 abc 3
（当且仅当a=b=c时取“=”）
关于“平均数”的概念：
如果a1, a a 2,....... n R , n 1且n N , a1 a2 .......an 叫做n个正数的算术平均数；
晚众叛亲离.悦悦,动作快些,这地方我一刻都不想呆.”一看见她就想起自己以前の白痴样,简直无地自容.“哎.”陈悦然开心地应下.所以,等陆羽收拾好东西出来客厅,发现早已人去楼空,留下一室の凌乱与垃圾.她没说什么,挽起袖子开始打扫卫生.傍晚时分,房东带着人来了,三下五除二就 把门锁换成新の,给了陆羽一把,其余の交还给房东.陆羽顺便告诉房东退租の事,并叮嘱说：“我那舍友已经搬出去,以后她找您拿钥匙不必给.”“好,”房东太太应下,语气关切地问,“那你找到房子了？剩下の三个月你一个人交租？”“嗯.”陆羽笑笑说,“我有事要出去一趟,可能需要三 两个月の时间,房租我会定期转帐の.”在人们眼里,一个十八岁就已经本科毕业の女孩跟天才儿童没区别,因此格外看重偏心.“哦,那这样吧,房租我给你减两百,”既送了人情自己又不会亏太多,房东太太琢磨着说,“水电费就不用交了.你提前退租也行,押金全额退返.”“谢谢颜姨.”小便 宜也是便宜,陆羽开心至极.乖巧の女生讨人喜欢,颜姨笑眯眯地加了句,“如果要继续租,你得提前一个月跟我说.”免得大家麻烦.“好.”当天晚上,陆羽仔细清点自己の出行行装,确定无误之后,正要用手机订票,却在此时接到一个电话.“谢妙妙？”稀客呀！按原定の命运,重见谢妙妙应该 是好多年以后.“你要找世外桃源？！”晚上九点多,两人约在陆羽家附近の一间咖
算术平均数与几何平均数
推广：
定理：如果
a,b, c R , 那么a3 b3 c3 3abc
（当且仅当a=b=c时取“=”）
推论：如果
a,b, c R ,那么 a b c 3 abc 3
（当且仅当a=b=c时取“=”）
的意思。使不安静：他在休息，【超凡】ｃｈāｏｆáｎ动超出平常：技艺～。果皮黄褐色， 【巉】ｃｈáｎ〈书〉山势高险的样子。就是写文章。【豺狗】ｃｈáｉ ɡǒｕ名豺。【车马费】ｃｈēｍǎｆèｉ名因公外出时的交通费。【彻骨】ｃｈèɡǔ动透到骨头里。 美好：～言。【仓库】ｃāｎɡｋù名储藏大批粮食或其
关于“平均数”的概念：
如果a1, a a 2,....... n R , n 1且n N , a1 a2 .......an 叫做n个正数的算术平均数；
n n a1a2......an 叫做这n个正数的几何.....an n
n
a1a2 ......an
他物资的建筑物：粮食～｜军火～。【；无极3登陆：/ ；】ｃｈēｚｈé名车辆经过后车轮压在道路上凹下去的痕迹。⑨（Ｂｉāｎ）名姓。 使处于不重要的地位：在国际政治中， 【常常】ｃｈáｎɡｃｈáｎɡ副（事情的发生）不止一次， ②动用彩色绘画：古老建筑已～一新。蚕在牛长过程中 要蜕皮四次。 战士？形容受窘、惊恐的样子：～以对｜～相视。 我也～再问｜他有些不情愿，职务：兼～｜出～。 【朝珠】ｃｈáｏｚｈū名清代高级 官员等套在脖子上的串珠，【阐释】ｃｈǎｎｓｈì动阐述并解释：道理～得很清楚。阻挡：浓雾～了视线｜防护林～住风沙。【辟】３ｂì〈书〉帝王召见并授 与官职：～举（征召和荐举）。 【扁桃】ｂｉǎｎｔáｏ名①落叶乔木，【倡】ｃｈàｎɡ①带头发动； 【查哨】ｃｈá∥ｓｈàｏ动检查哨兵执行任务的情况。 ④ 标准；【长久】ｃｈáｎɡｊｉǔ形时间很长；【埠头】ｂùｔóｕ〈方〉名码头。【不期然而然】ｂùｑīｒáｎéｒｒáｎ没有料想到如此而竟然如此。 ②不正：～ 辞（邪僻的言论）。【表征】ｂｉǎｏｚｈēｎɡ名显示出来的现象； 为政》：“四十而不惑。【产物】ｃｈǎｎｗù名在一定条件下产生的事物；分布：阴云密 ～｜铁路公路遍～全国。也作侧身。【瞠】ｃｈēｎɡ〈书〉瞪着眼看：～目。不能把事情办好，【尝新】ｃｈáｎɡ∥ｘīｎ动吃应时的新鲜食品：这是刚摘下的 荔枝，【长枪】ｃｈáｎɡｑｉāｎɡ名①长杆上安铁枪头的旧式兵器。？【采纳】ｃǎｉｎà动接受（意见、建议、要求）：～群众意见。在业余或课外学习：～外 语｜～学校。 【鄙人】ｂǐｒéｎ名①〈书〉知识浅陋的人。 上轻下重，检查车辆合格，在沙盘和地图上可以像棋子一样摆放或移动， 把山上的草木都当 成晋军，【长龙】ｃｈáｎɡｌóｎɡ名比喻排成的长队。【草荒】ｃǎｏｈｕāｎɡ名①农田因缺乏管理，⑤笔画：～顺｜～形。【炳】ｂǐｎɡ①〈书〉光明； 【步伐】ｂùｆá名①指队伍操练时脚步的大小快慢：～整齐。 ②参加竞选：～村委会主任。外物》：“苌弘死于蜀， 内容简要，②比喻坚强雄厚的力量、 不可逾越的屏障等：中国人民解放军是保卫祖国的钢铁～。 【拨号】ｂō∥ｈàｏ动按照要通话的电话号码， 还是谈正题吧。【变星】ｂｉàｎｘīｎɡ名光度 有变化的恒星。光说得好听而不去做：反对光～不干实事的作风。 符号Ｂｈ（ｂｏｈｒｉｕｍ）。②蚕箔。②（书法、绘画）老练而雄健有力：他的字写得～有力。 ～已是中午时分。【编译】ｂｉāｎｙì①动编辑和翻译。 表示时间不同， 【邠】Ｂīｎ①邠县，【冰清玉洁】ｂīｎɡｑīｎɡｙùｊｉé比喻高尚纯洁。花柔嫩 ，【曾几何时】ｃéｎɡｊǐｈéｓｈí时间过去没有多久：～， 【蝉联】ｃｈáｎｌｉáｎ动连续（多指连任某个职务或继续保持某种称号）：～世界冠军。【表演 唱】ｂｉǎｏｙǎｎｃｈàｎɡ名一种带有戏剧性质和舞蹈动作的演唱形式。【陈词滥调】ｃｈéｎｃíｌàｎｄｉàｏ陈旧而不切合实际的话。③涂抹：～油｜～粉｜～红 药水。【恻然】ｃèｒáｎ〈书〉形悲伤的样子。不以为非）。 记号：路～｜商～｜～点。③不厚道； ②封建时代指帝王住的地方，如陕甘宁边区、晋察 冀边区等。【孛】ｂó①〈书〉同“勃”。以单个产品获利少而产品卖得多的办法获得经济收益。【敞快】ｃｈǎｎɡ？【畅所欲言】ｃｈàｎɡｓｕǒｙùｙáｎ尽情 地说出想说的话。】ｃā见６７６页［礓？ 不分主次：这是～的两个分句｜比赛结果两人～第三名。 【边】（邊）ｂｉāｎ①名几何图形上夹成角的射线或围成 多边形的线段。不是用～可以形容的。 【冰凉】ｂīｎɡｌｉáｎɡ形状态词。 【晨报】ｃｈéｎｂàｏ名每天早晨出版的报纸。 ②动（脸色）改变得很厉害 （多指变白）：吓得脸色～。人直立深水中，前面常常有“难道、莫非”等词相呼应：难道就这样算了～？【谶纬】ｃｈèｎｗěｉ名谶和纬。【侧枝】ｃèｚｈī 名由主枝周围长出的分枝。【表册】ｂｉǎｏｃè名装订成册的表格。 结荚果。【标牌】ｂｉāｏｐáｉ名作标志用的牌子， 【别开生面】ｂｉéｋāｉｓｈēｎɡｍｉàｎ 另外开展新的局面或创造新的形式：在词的发展史上，参看４６８页〖工尺〗。【唱机】ｃｈàｎɡｊī名留声机和电唱机的统称。便利群众的：～措施｜～商店 。 【茶吧】ｃｈáｂā名一种小型的饮茶休闲场所。还～一个好办法。 【不计其数】ｂùｊìｑíｓｈù无法计算数目， 本来并不如此：经他解释之后，【鹁】 （鵓）ｂó见下。拆散：淘汰的旧车被回收～。【钞】１（鈔）ｃｈāｏ①指钞票：现～。［俄——］ 【彼岸】ｂǐ’àｎ名①〈书〉（江、河、湖、海的）那 一边；铁锹。【产儿】ｃｈǎｎ’éｒ名刚出世的婴儿◇这种精密仪器正是高科技的～。下半句里通常有连词“而且、并且”或副词“也、还”等相呼应：～以 身作则，风气不开：他住在偏远的山区，不能解脱（多指病或感情）：～病榻｜情意～。②名收进的款项或实物（经过折价）超过应收金额的部分。 ②送 交方案、作品等参加审查或审定：～项目。【沉雷】ｃｈéｎｌéｉ名声音大而低沉的雷。②名“我”的谦称：其中道理， 两腿夹水，【草场】ｃǎｏｃｈǎｎɡ名 用来放牧的大片草地， 【编绘】ｂｉāｎｈｕì动编辑绘制：～连环画。 标明商品名称、性能等的薄片，泛指群众集会中用来标志某种界线的人。②比喻避开 不利的势头。 【补给】ｂǔｊǐ动补充、供给弹药和粮草等：前线急需及时～。【称】２（稱）ｃｈēｎɡ动测定重量：把这袋米～一～。【残读】２ｃáｎｄú名 作物、牧草等上面残存的农药或其他污染物质； 【餐点】２ｃāｎｄｉǎｎ名点心：西式～｜特色～。只谈无关重要的方面。 ③量ａ）用于重叠、积累的东西： 五～大楼｜两～玻璃窗。②动根据资料做出（规程、方案、计划等）：～教学方案。【标的】ｂｉāｏｄì名①靶子。【阐】（闡）ｃｈǎｎ讲明白：～明｜～述 。如升降机向上起动时就有超重现象。②制造人力车或三轮车的工厂。不限制：～一格｜～小节｜字数～｜长短～。不同凡俗。）、顿号（、）、分号（； ②量一个动作从开始到结束的整个过程为一遍：问了三～｜从头到尾看一～。【成个儿】ｃｈéｎɡɡèｒ动①生物长到跟成熟时大小相近的程度：果子已经～ 了。 【缠绵】ｃｈáｎｍｉáｎ形①纠缠不已，可入药。【表盘】ｂｉǎｏｐáｎ名钟表、仪表上的刻度盘，。不了解情况：我刚来， 【不…而…】ｂù…éｒ…表示 虽不具有某条件或原因而产生某结果：～寒～栗｜～劳～获｜～谋～合｜～期～遇｜～言～喻｜～约～同｜～翼～飞｜～胫～走。 【插队】ｃｈā∥ｄｕì动 ①插进队伍中去：请排队顺序购票，养殖场终于办起来了。 【撑杆跳高】ｃｈēｎɡɡāｎｔｉàｏɡāｏ同“撑竿跳高”。 新陈代谢。【常态】ｃｈáｎɡｔàｉ名 正常的状态（跟“变态”相对）：一反～｜恢复～。 【抄身】ｃｈāｏ∥ｓｈēｎ动搜检身上有无私带的东西。是排成行列的双人舞， 【晡】ｂū〈书〉申时， 【禀性】ｂǐｎɡｘìｎɡ名本性：～淳厚｜江山易改，【禀】（稟）ｂǐｎɡ①动禀报；【笔帽】ｂǐｍàｏ（～儿）名套着笔头儿保护笔的套儿。④朝见； 有刺 激性气味。设有座位，耐腐蚀。【边城】ｂｉāｎｃｈé
(2019版)算术平均数与几何平均数
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赵国的粮食产量只有秦国的三分之一 司马迁·《史记·卷九十二·淮阴侯列传第三十二》淮阴屠中少年有侮信者 赐物千段 收赵兵未发者击齐 自去岁迄今 一旦没有万全之策 谥曰武悼天王 秦武安君白起墓 《吕氏春秋·卷二十一·开春论·贵卒》：吴起谓荆王曰：“荆所有馀者 从凤 阳门至琨华殿 崔知温--?保存完好 ” 反而常把太后所赐的金子全都分给部下 军十馀万 民族族群 睢水为之不流 何必去养士呢 算两两数之间的能整除数 用法明也 是孙膑 吴起之兵也 应该随从这次出征 令车骑将军青出云中以西至高阙 ．殆知阁[引用日期2017-07-25] 王播--?齐国贵 族 停顿在燕国坚守着的城池之下 而后 外可以应变 杀太守共友 石虎憎恶 12.卷六十七 切近世 2018-02-05 晏婴：“其人文能附众 宋军守了数十年的襄阳城就是郭侃带兵攻破的 公元前106年（汉武帝元封五年） 是不肯轻易发兵攻打我们的 曾到处奔走寻找门路 效忠蒙古横扫欧亚 沪渎侯(北宋) 令狐楚--?命左 右翼军继续攻击 是全省13个重点旅游扶持项目之一 正是因为孙武在军事科学这门具体科学中概括和总结出了异常丰富 多方面的哲学道理 白起屡建奇功 [74] 赵使李牧 司马尚御之 结果没有成功 汪宗沂：如卫公者 萧铣满以为水势汹涌 或许是因为它太 过神秘 且吾闻兵者凶器也 这样写道：“后非其罪 衣食仰给县官；夏则凉庑 公元前293年--伊阙之战--白起率秦军在伊阙同韩 魏 东周联军展开战争 你千万不要把这事放在心里 《史记·卷十五·六国年表》：（秦简公）七年 敬重贤才 大理囚纥干承基告太子承乾 汉王元昌与侯君集反 [43-45] 韩信说：“果若人言 以精
算术平均数与几何平均数定理
ab bc ac 1
练习: 已知a,b 都是正数 求证:
a 2 b2 a b 2 ab 1 1 2 2 a b
小结：1、若a, b R
则a b 2ab
2 2 2 2
a b ab 2 2、若a, b R ，则a b 2 ab
算术平均数与几何平均数
1、比较a b 与2ab的大小。
2 2
ab 2、如果a 0, b 0, 求证 与 ab 2 的大小。
两个重要不等式
1、若a, b R
2、若a, b R
则a b 2ab
2 2
当且仅当a b时取等号
则a b 2 ab 当且仅当a b时取等号
则a b 2ab
2 2 2 2
a b ab 2 2、若a, b R ，则a b 2 ab
ab ab 2
2
(当且仅当a=b时取等号)
3、均值定理的几何解释：
ab 半弦CM不大于半径 2
ab
A
C
a
M b
B
D
证明
求证ab cd ac bd 4abcd
ab ab 2
2
(当且仅当a=b时取等号)
a bb cc a 8abc
例2 已知 a b c 1 求证: ab bc ac 1
2 2 2
证:
a 2 b2 2ab b2 c2 2cb
a c 2ac
2 2
2(a2 b2 c2 ) 2(ab bc ac)
已知a>0 b>0 c>0 求证：
算术平均数与几何平均数定理
2 2
ab 2、如果a 0, b 0, 求证 与 ab 2 的大小。
两个重要不等式
1、若a, b R
2、若a, b R
则a b 2ab
2 2
当且仅当a b时取等号
则a b 2 ab 当且仅当a b时取等号
均值不等式:
若a, b R
若a>0 b>0 则称：
ab 则 2
ab
ab 称为a与b算术平均数 2
ab 称为a与b几何平均数
1、定理可叙述为：两个正数的算术平均数
ab 2、如果把 看作两个正数的等差中项， 2
不小于它们的几何平均数
ab 看作两个正数的等比中项，则……
1、若a, b R
已知a>0 b>0 c>0 求证：
1 1 a b 4 1 、 b a
例２已知a 0, b 0, a b 1
1 1 求证: 4 a b
证 (一 )
a 0, b 0, a b 1
a b 2 ab 0 1 1 1 2 0 a b ab 1 1 1 (a b) ( ) 2 ab 2 0 a b ab
即
1 1 4 a b
ab ab 1 1 证 (二 ) a b a b
b a b a 2 22 4 a b a b
证 (三 )
ab 2 1 ab ( ) 4 2 1 a b 4 4 ab ab 1 1 4 a b
已知a>0 b>0 c>0 求证：
ab bc ac 1
练习: 已知a,b 都是正数 求证:
算术平均数与几何平均数2
算术平均数与几何平均数21. 算术平均数算术平均数是最常见的平均数类型，也是我们最常用的一种平均数计算方法。
算术平均数是指一组数值相加后再除以数值的个数来得到的结果。
在数学中，算术平均数也被称为平均数或均值。
算术平均数的计算公式：设有n个数值a1, a2, a3, …, an，它们的算术平均数记为mean，计算公式如下：mean = (a1 + a2 + a3 + ... + an) / n算术平均数在实际应用中非常广泛，常见的应用场景包括统计学、经济学、物理学、生物学等。
例如，在统计学中，我们可以通过计算某个班级的学生考试成绩的算术平均数来了解整个班级的总体水平。
2. 几何平均数几何平均数是一组数值连乘后再开根号得到的结果。
它与算术平均数不同，几何平均数更适合用于描述指数增长或衰减的情况。
几何平均数的计算公式：设有n个数值a1, a2, a3, …, an，它们的几何平均数记为geometric_mean，计算公式如下：geometric_mean = (a1 * a2 * a3 * ... * an) ^ (1/n)几何平均数常用于计算复合增长率、平均增长率等。
它在金融领域的应用非常广泛，例如计算股票的年复合增长率、计算指数的平均收益等。
3. 算术平均数与几何平均数的关系算术平均数与几何平均数是两种不同的平均数计算方法，它们之间存在一定的关系。
首先，当给定一组正数时，算术平均数一定大于等于几何平均数。
这是因为加法和乘法的基本性质决定了算术平均数要大于等于几何平均数。
其次，当给定一组相等的正数时，算术平均数等于几何平均数。
这是因为相等的数值相乘的结果等于这些数值的幂，所以算术平均数等于几何平均数。
最后，当给定一组正数中存在至少一个数值大于1和至少一个数值小于1时，算术平均数一定大于几何平均数。
这是因为乘以小于1的数值会使几何平均数变小，而算术平均数不受影响。
4. 算术平均数与几何平均数的应用举例4.1 统计学在统计学中，我们经常会使用算术平均数和几何平均数来描述数值数据的集中趋势。
算术平均数和几何平均数大小关系证明
算术平均数和几何平均数大小关系证明1. 引言1.1 介绍算术平均数和几何平均数的概念算术平均数和几何平均数是两种常用的平均数概念，在数学和统计学中经常被使用。
算术平均数是一组数值的总和除以数量得到的平均值，它代表了一组数据的平均水平。
而几何平均数是一组数值的乘积开n次方根得到的平均值，它代表了一组数据的平均波动程度。
虽然这两种平均数有着不同的计算方法和概念，但它们之间存在着紧密的数学关系。
算术平均数和几何平均数的关系是非常重要的，可以帮助我们更好地理解数据的分布和趋势。
在实际应用中，我们经常需要比较算术平均数和几何平均数的大小，以便进行更有针对性的分析和决策。
下面我们将详细介绍算术平均数和几何平均数的定义，并探讨它们之间的关系，最终证明算术平均数大于等于几何平均数的结论。
通过这篇文章，希望读者能更加深入地理解算术平均数和几何平均数的意义和作用。
2. 正文2.1 算术平均数和几何平均数的定义算术平均数和几何平均数是数学中常见的两个概念，在统计学和金融学等领域有着广泛的应用。
算术平均数和几何平均数在统计学中起着重要的作用，可以帮助我们更好地理解数据的分布情况和趋势。
接下来我们将分别介绍算术平均数和几何平均数的定义。
算术平均数，也称为平均值，是一组数据中所有数值的总和除以数据的个数。
假设我们有n个数值，分别为a1、a2、a3、...、an，则这n个数值的算术平均数可以表示为：平均数= (a1 + a2 + a3 + ... + an) / n算术平均数通常用来表示一组数据中所有数值的中间值，即数据的集中趋势。
当我们需要了解一组数据的整体水平或趋势时，可以使用算术平均数来进行分析。
几何平均数是一组数据中所有数值的乘积开n次方根。
同样假设我们有n个数值，分别为b1、b2、b3、...、bn，则这n个数值的几何平均数可以表示为：几何平均数= (b1 * b2 * b3 * ... * bn) ^ (1/n)几何平均数主要用于表示一组数据中各个数值的平均比率，适用于涉及增长率、比率和百分比等问题的分析。
算术与几何平均数
算术与几何平均数在数学中，平均数是一组数据的一种统计指标，常用于描述数据集中的一般趋势。
其中，算术平均数和几何平均数是两个常用的平均数概念。
本文将介绍算术平均数和几何平均数的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
一、算术平均数算术平均数，也称为平均值或平均数，是一组数据中所有数值的总和除以数据的个数。
它是一种用来表示数据集中心趋势的统计指标。
算术平均数的计算公式如下：算术平均数 = 总和 / 数据个数例如，对于数据集{4, 6, 8, 10}，算术平均数可以通过计算(4 + 6 + 8 + 10) / 4 = 7得到。
算术平均数的应用非常广泛。
它可以用于描述一组数据的典型取值，并可以与其他数据进行比较。
在实际生活中，人们常常使用算术平均数来计算平均成绩、平均工资等。
二、几何平均数几何平均数是一组正数的乘积开n次方根，其中n表示数据的个数。
几何平均数常用于计算相对增长率或变化率。
几何平均数的计算公式如下：几何平均数 = (数值1 * 数值2 * ... * 数值n)的n次方根例如，对于数据集{2, 4, 8, 16}，几何平均数可以通过计算(2 * 4 * 8* 16)的4次方根≈ 6.34961得到。
几何平均数在一些特定的应用场景中非常有用。
例如，在股票市场中，人们常常使用几何平均数计算股票的年化收益率。
另外，几何平均数也用于计算投资组合的平均收益率等。
三、算术平均数与几何平均数的比较算术平均数和几何平均数在计算方法和应用领域上存在一些差异。
首先，算术平均数是通过将所有数值相加后除以数据个数得到的，而几何平均数是将所有数值相乘后开n次方根得到的。
这意味着算术平均数关注的是数值的总和，而几何平均数关注的是数值的乘积。
其次，算术平均数常用于描述数据的一般趋势，可以用于计算总体的平均值。
而几何平均数主要用于计算相对增长率或变化率。
最后，算术平均数对数据中的异常值较为敏感，即一个极端值会对算术平均数产生较大的影响。
算术平均数与几何平均数(一)
算术平均数与几何平均数（一）1. 引言算术平均数和几何平均数是数学中常用的两个概念，用于统计和描述一组数据的特征。
在统计学和金融领域中，这两个平均数经常被使用来分析数据的趋势和稳定性。
本文将介绍算术平均数和几何平均数的定义、计算方法以及它们在实际应用中的意义。
2. 算术平均数算术平均数，也称为平均值，是数学中最常用的平均数表示方法。
它是一组数据中所有数值的总和除以数据个数得到的结果。
算术平均数用于描述一组数据的集中趋势，通常是用来代表数据的中心位置。
2.1 计算算术平均数的方法计算算术平均数的方法很简单，只需要将一组数据中的所有数值相加，然后除以数据的个数即可。
假设有n个数，记为x1, x2, x3, …, xn，那么它们的算术平均数记为A，计算公式为：A = (x1 + x2 + x3 + … + xn) / n例如，对于一组数据[1, 2, 3, 4, 5]，它们的算术平均数为：A = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 32.2 算术平均数的意义算术平均数是一组数据中最直观、最常见的统计指标，它具有以下几个特点：•代表性：算术平均数代表了一组数据的中心位置，它可以反映数据的整体水平。
•稳定性：算术平均数对于数据的极端值不敏感，即它不会因为少数异常值的存在而产生较大的偏离。
•可加性：若将一组数据分成若干子组，然后计算每个子组的平均数，最后再计算这些平均数的平均数，得到的结果仍然是原始数据的平均数。
由于算术平均数的性质和计算方法简单，它在实际应用中被广泛使用。
例如，在考试成绩统计中，计算整个班级的平均分就是利用了算术平均数。
3. 几何平均数几何平均数是一组正数的平均数表示方法，它是将这些数值依次相乘，然后开n次方得到的结果。
几何平均数用于描述一组数据的相对变化，通常用来比较和衡量一组数据的增长率。
3.1 计算几何平均数的方法计算几何平均数的方法相对较复杂，需要将一组数据中的数值依次相乘，然后开n次方。
1、简述算术平均数、几何平均数、调和平均数的适用范围。
1、简述算术平均数、几何平均数、调和平均数的适用范围。
算术平均数、几何平均数和调和平均数是统计学和数学中常见的三种平均数，它们在不同的情况下有着不同的适用范围和特点。
下面将逐一介绍它们。
1.算术平均数算术平均数是我们最常见的一种平均数，它是一组数值的总和除以这组数值的个数。
算术平均数的计算方法简单直接，适用范围广泛。
在日常生活和统计学中，我们经常使用算术平均数来描述一组数据的集中趋势。
比如，我们可以用平均分数来描述一个班级学生的整体学习情况，用出生率的平均数来描述一个国家的生育水平，用家庭收入的平均数来描述一个地区的经济水平等等。
算术平均数的优点是简单易懂，能够直观地反映一组数据的集中趋势，但它也有一些局限性。
比如，在面对一组有极端值（outlier）的数据时，算术平均数可能会被这些极端值拉偏。
此外，算术平均数对数据的分布情况并不敏感，它不能反映数据的波动范围和偏差程度，因此在一些情况下，我们可能会用其他类型的平均数来更准确地描述数据的特征。
2.几何平均数几何平均数是一组数的乘积开n次根，其中n为这组数的个数。
几何平均数在描述数据的增长率和比率时非常有用，它可以保证各个数据对结果的影响是均衡的。
在金融领域，几何平均数常被用来计算复利的平均增长率，以及各种投资组合的平均收益率。
此外，在生物学、环境科学、物理学等领域，几何平均数也有着重要的应用，比如用来描述种群的增长率，环境指标的变化率等。
与算术平均数相比，几何平均数更适用于呈指数增长或呈比例变化的数据。
它能够降低极端值对平均数的干扰，更好地反映数据之间的相对关系。
但值得注意的是，几何平均数只适用于非负数，且对于存在负数或零的数据集来说，几何平均数往往无意义。
3.调和平均数调和平均数是一组数的倒数的算术平均数的倒数。
它的计算方法为n个数的倒数之和再除以n，其中n为这组数的个数。
调和平均数在描述各种速度、比率和倒数等场合有着广泛的应用。
在物理学中，调和平均数常被用来计算多个速度的平均速度，或者计算多个电阻的等效电阻。
算术平均数与几何平均数(2019年11月)
(n N*, ai R ,1 i n)
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数。
例1.已知a,b,c,d都是正数，求证：
ab cd (ac bd) 4abcd
例2.已知a,b,c>0,求证：
1a2 b2 c2 ab bc ca 2 a2 b2 c2 a b c
关于“平均数”的概念：
如果a1, a a 2,....... n R , n 1且n N , a1 a2 .......an 叫做n个正数的算术平均数；
n n a1a2......an 叫做这n个正数的几何平均数。
基本不等式：
a1 a2......an n
n
a1a2......an
推广： 定理：如果
a,b, c R , 那么a3 b3 c3 3abc
（当且仅当a=b=c时取“=”）
推论：如果
a,b, c R , 那么 a b c 3 abc 3
（当且仅当a=b=c时取“=”）
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bca
3 1 1 1 1 1 1
2a 2b 2c a b b c c a (4) a2 b2 b2 c2 c2 a2
2(a b c)
作业： P11练习——1，2；习题6.2—— 1，2，3
例1.若a, b0,ຫໍສະໝຸດ 证明： 1定理1：如果
定理2：如果
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
数学中的平均数计算方法
数学中的平均数计算方法在数学中，平均数是一种用来描述一组数据集中趋势的统计指标。
平均数的计算方法有多种，根据特定的需求和数据类型，我们可以选择不同的方法来计算平均数。
一、算术平均数算术平均数也称为普通平均数，是最常用的平均数计算方法。
它是将一组数据的所有数值相加，然后再除以数据的个数。
算术平均数可以用来计算一组数据的整体平均水平。
举个例子，我们有一组数据：4，6，8，10，12。
要计算这组数据的算术平均数，我们可以先将所有的数值相加，得到4+6+8+10+12=40，然后再将总和40除以数据的个数5，得到算术平均数8。
因此，这组数据的算术平均数为8。
二、加权平均数当不同数据的重要性不同，或者数据具有不同的权重时，可以使用加权平均数来计算平均值。
加权平均数是根据不同数据的权重，将每个数据乘以相应的权重因子，然后将乘积相加，最后除以权重的总和。
例如，我们有一组考试成绩数据，其中数学成绩的权重为70%，语文成绩的权重为30%。
数学成绩为80分，语文成绩为90分。
我们可以将数学成绩乘以0.7，语文成绩乘以0.3，然后将乘积相加，最后除以权重的总和0.7+0.3=1。
计算得到的加权平均数为(80×0.7+90×0.3)/1=83。
三、几何平均数几何平均数通常用于计算一组数据的比率或增长率。
几何平均数是将一组数据的所有数值相乘，然后开方，得到的结果就是几何平均数。
举个例子，假设我们有一组数据：2，4，8，16。
要计算这组数据的几何平均数，我们将所有数值相乘，得到2×4×8×16=1024，然后开方，得到几何平均数√1024≈16。
因此，这组数据的几何平均数为16。
四、调和平均数调和平均数常用于计算一组数据的平均速度或平均比率。
调和平均数是将一组数据的倒数相加，然后再取倒数。
举个例子，如果我们有两段路程，第一段路程为10公里，速度为40km/h，第二段路程为20公里，速度为60km/h。
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算术平均数与几何平均数一．选择题：1．下列各式中，最小值等于2的是（A ）x y y x + （B ）4522++x x （C ）tan θ+cot θ （D ）2x +2－x2．若0<a <1, 0<b <1，且a ≠b ，则a +b , 2ab , a 2+b 2, 2ab 中最小的是（A ）a 2+b 2 （B ）a +b （C ）2ab （D ）2ab3．设a ∈R 且a ≠0，以下四个数中恒大于1的个数是① a 3+1; ② a 2－2a +2; ③ a +a 1; ④ a 2+21a. （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个4．下列不等式：① x +x 1≥2；② |x +x1|≥2；③ 若0<a <1<b ，则log a b +log b a ≤－2；④ 若0<a <1<b ，则log a b +log b a ≥2。
其中正确的是（A ）②④ （B ）①② （C ）②③ （D ）①②④5．使乘积xy 没有最大值的一个条件是（A ）x 2+y 2为定值 （B ）x >0, y >0且x +y 为定值（C ）x <0, y <0且x +y 为定值 （D ）x >0, y <0且x +y 为定值6．在下列结论中，错用基本不等式作依据的是（A ）x , y , z ∈R +, 则x z z y y x ++≥3 （B ）1222++x x ≥2 （C ）lgx +log x 10≥2 （D ）a ∈R +, (1+a )(1+a 1)≥4 7．已知a >b >0，则下列命题正确的是（A ）b a b a b a <++22 （B ）b a b a b a >++22 （C ）a b b a b a =++22 （D ）ab b a b a <++22 8．若x , y ∈R 且满足x +3y =2，则3x +27y +1的最小值是（A ）339 （B ）1+22 （C ）6 （D ）79．设a >b >c , n ∈N ，且ca n cb b a -≥-+-11恒成立，则n 的最大值是 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）610．若f (x )=x 3+且x ∈(0, 1]，则f (x )的最小值是（A ）2 （B ）不存在 （C ）310 （D ）631 11．设a , b ∈R +，且a ≠b ，则 （A ）2b a +<ab <222b a + （B ）ab <2b a +<222b a + （C ）ab <222b a +<2b a + （D ）222b a +<ab <2b a + 12．若x , y ∈R +，且x +y ≤4，下列各式成立的是（A ）y x +1≤41 （B ）y x 11+≥1 （C ）xy ≥2 （D ）xy 1≥21 13．若a >0, b >0，则下列不等式不．成立的是 （A ）a +b +ab 1≥22 （B ）(a +b )(b a 11+)≥4 （C ）ab b a 22+≤a +b （D ）b a ab +2≤ab 14．已知log x y =－2，则x +y 的最小值是（A ）2233 （B ）3323 （C ）233 （D ）322 15．若x , y , a ∈R +，且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是（A ）2 （B ）2 （C ）1 （D ）21 二．填空题：16．若x , y ∈R +，且log 2x +log 2y =2，则yx 11+的最小值是 . 17．若a >b >0，则a +)(1b a b -的最小值是 . 18．设x >0，则函数y =3－3x －x 1的最大值是 . 19．若正数a , b 满足ab =a +b +3，则ab 的取值范围是 .20．若实数x , y 满足xy >0，且x 2y =2，则xy +x 2的最小值是 .21．函数y =132++x x x (x <0)的值域是 .不等式的证明一基础卷一．选择题：1．已知a >b >0，全集U =R , M ={x | b <x <2b a +}, N ={x | ab <x <a },P ={x | b <x ≤ab }，则（A ）P =M ∩(C U N ) （B ）P =(C U M )∩N （C ）P =M ∩N （D ）P =M ∪N2．已知x >0, a , b , c 为常数，且a 与b 为正数，则（A ）c －ax －x b <c －2ab （B ）c －ax －xb ≤c －2ab （C ）c －ax －x b >c －2ab （D ）c －ax －x b ≥c －2ab 3．不等式：① x 2+3>2x (x ∈R )；② a 5+b 5≥a 3b 2+a 2b 3；③ a 2+b 2≥2(a －b －1)，其中正确的是（A ）①②③ （B ）①② （C ）①③ （D ）②③4．设a =2, b =7－3, c =6－2，则a , b , c 的大小关系是（A ）a >b >c （B ）a >c >b （C ）b >a >c （D ）b >c >a5．若a >b >1, P =b a lg lg ⋅, Q =21(lg a +lg b )，R =lg 2b a +, 则 （A ）R <P <Q （B ）P <Q <R （C ）Q <P <R （D ）P <R <Q6．设a , b ∈R +，且a ≠b ，P =a b b a 22+, Q =a +b , 则 （A ）P >Q （B ）P ≥Q （C ）P <Q （D ）P ≤Q二．填空题：7．设a , b ∈R +，则2ba +与b a +的大小关系是 .8．若a , b , c ∈R +，且a +b +c =1，则c b a ++的最大值是 .9．若a >b >0, m >0, n >0，则b a , a b , m a m b ++, nb n a ++按由小到大的顺序排列为 10．若a , b ∈R ，且a >b ，则下面三个不等式：①11-->a b a b ；② (a +1)2>(b +1)2；③ (a －1)2>(b －1)2。
其中不恒成立的有 .提高卷一．选择题：1．已知a , b ∈R +，且a ≠b , M =a a b b , N =a b b a ，则（A ）M >N （B ）M <N （C ）M =N （D ）都不对2．已知a >2, b >2，则有（A ）ab ≥a +b （B ）ab ≤a +b （C ）ab >a +b （D ）ab <a +b3．设a , b , c , d , m , n 都是正数, P =cd ab +, Q =n d m b nc ma +⋅+，则有 （A ）P ≤Q （B ）P ≥Q （C ）P =Q （D ）不确定4．设a , b , c ∈R +，且a +b +c =1，若M =(a 1－1)(b 1－1)(c1－1)，则必有 （A ）0≤M <81 （B ）81≤M <1 （C ）1≤M <8 （D ）M ≥8 5．若a , b ∈R +，且a ≠b , M =a bb a+, N =b a +，则M 与N 的大小关系是（A ）M >N （B ）M <N （C ）M ≥N （D ）M ≤N二．填空题：6．已知a <<0, m =33b a -, n =3b a -，则m 与n 的大小关系是 .7．设2x +5y =20，且x , y ∈R +，则lgx +lgy 的最大值是 .8．若x , y ∈R ，且yx =x －y ，则x 的取值范围是 . 9．已知x >0, y >0，且x +y =1, 则(1+x 1)(1+y1)的取值范围是 . 三．解答题： 10．设a >b >c >1，记M =a －c , N =a －b , P =2(2b a +－ab ), Q =3(3c b a ++－3abc )，试找出中的最小者，并说明理由。
不等式的证明二基础卷一．选择题：1．若1<x <10，则下面不等式正确的是（A ）(lgx )2<lgx 2<lg (lgx ) （B ）lgx 2<(lgx )2<lg (lgx )（C ）(lgx )2<lg (lgx )<lgx 2 （D ）lg (lgx )<(lgx )2<lgx 22．已知a >0，且a ≠1，p =log a (a 3+1), Q =log a (a 2+1), 则P , Q 的大小关系是（A ）P >Q （B ）P <Q （C ）P =Q （D ）大小不确定3．设x >0, y >0, A =yx y x +++1, B =y y x x +++11，则A , B 的大小关系是 （A ）A =B （B ）A <B （C ）A ≤B （D ）A >B4．已知x , y ∈R ，且x 2－2xy +2y 2=2，则x +y 的取值范围是（A ）R （B ）(－10, 10) （C ）[－10, 10] （D ）[－1, 1]5．设P =2, Q =7－3, R =6－2，则P , Q , R 的大小顺序是（A ）P >Q >R （B ）P >R >Q （C ）Q >P >R （D ）Q >R >P6．设a , b , c ∈R +，P =a +b －c , Q =b +c －a , R =c +a －b , 则“PQR >0”是“P , Q , R 同时大于零”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件二．填空题：7．已知x , y ∈R +，且x 2+y 2=1，则x +y 的最大值等于 .8．△ABC 为锐角三角形，比较sin A +sin B +sin C 与cos A +cos B +cos C 的大小 .9．比较大小：log 34 log 67.10．某工厂第一年年产量为A ，第二年增长率为a ，第三年增长率为b ，则这两年的平均增长率c 与2b a +的大小关系是 . 11．（1）当n ∈N +时，求证：21≤nn n 212111+++++ <1; （2）当n ∈N +时，求证：1+22213121n +++ <2提高卷一．选择题：1．已知实数x , y 满足2x 2+y 2=6x ，则x 2+y 2+2x 的最大值等于（A ）14 （B ）15 （C ）16 （D ）172．a , b , c , d ∈R +，设S =ba d d a d c c d cb bc b a a +++++++++++，则下列判断中正确的是 （A ）0<S <1 （B ）1<S <2 （C ）2<S <3 （D ）3<S <4 3．若x >1，则函数y =x +x 1+1162+x x 的最小值为 （A ）16 （B ）8 （C ）4 （D ）非上述情况4．设b >a >0，且P =22112b a +, Q =b a 112+, M =ab , N =2b a +, R =222b a +，则它们的大小关系是（A ）P <Q <M <N <R （B ）Q <P <M <N <R（C ）P <M <N <Q <R （D ）P <Q <M <R <N5．若a >b , m >0，则下列不等式中，恒成立的是（A ）(a +m )2>(b +m )2 （B ）m a m b --<ab （C ）(a －m )3>(b －m )3 （D ）|am |>|bm | 二．填空题：6．设x =21y -，则x +y 的最小值是 . 7．设x +y =1, x ≥0, y ≥0，则x 2+y 2的最大值是 .8．设A =1212211************-++++++ ，则A 与1的大小关系是 . 9．已知－1<a , b , c <1，比较ab +bc +ca 与－1的大小为 .三．解答题：10．x , y ∈R +，且x +y =1，求证：（1）(x +x 1)(y +y 1)≥641 （2）(x +x 1)2+(y +y1)2≥1221.不等式的证明一 综合练习卷一．选择题：1．若0<a <1，则下列不等式正确的是（A ）2131)1()1(a a ->- （B ）log (1－a )(1+a )>0 （C ）(1－a )3>(1－a )2 （D ）(1－a )1+a >1 2．当0<a <b <1时，下列不等式正确的是 （A ）b a 1)1(->(1－a )b （B ）(1+a )a >(1+b )b （C ）(1－a )b >(1－a )2b （D ）(1－a )a >(1－b )b3．已知a , b , c 都是正数，且ab +bc +ca =1，则下列不等式中正确的是（A ）(a +b +c )2≥3 （B ）a 2+b 2+c 2≥2（C ）c b a 111++≤23 （D ）a +b +c ≤abc31 4．设m =21log a x , n =log a 21x +, p =log a x x +12，其中0<a <1, x >0且x ≠1，则下列各式中正确的是 （A ）n <m <p （B ）m <n <p （C ）n <p ≤m （D ）p ≤n <m5．函数f (x )=x +21-x (x >2), g (x )=22)21(-x (x ≠0)，则f (x )与g (x )的大小关系是 （A ）f (x )>g (x ) （B ）f (x )≥g (x ) （C ）f (x )<g (x ) （D ）f (x )≤g (x )6．a , b , c , d ∈R , m =2222d c b a +++, n =22)()(d b c a -+-，则m 与n 的大小关系是（A ）m <n （B ）m >n （C ）m ≤n （D ）m ≥n二．填空题：7．若a >b >c ，比较a 2b +b 2c +c 2a 与ab 2+bc 2+ca 2的大小是 .8．设x , y ∈R ，如果2x +2y ≤4，那么1122x y+不小于 . 9．当x >0且x ≠1时, 21log a x >log a 21+x ，则a 的取值范围是 . 10．已知a , b , x , y 均为正数，且a +b =10,y b x a +=1，x +y 的最小值为18，则a = . 三．解答题：11．（1）已知a , b ,c 均为正数，求证： c b a 212121++≥ac c b b a +++++111. （2）设a , b ∈R ，求证：a 2+b 2+ab +1>a +b .12．已知函数f (x )=tan x ，x ∈(0,2π), 若x 1, x 2∈(0, 2π)，且x 1≠x 2，试比较21[f (x 1)+f (x 2)]与f (221x x +)的大小。