2.4.2--平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
课件9：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
(2)因为 a＝(1，2)，b＝(2，x)， 所以 a·b＝(1，2)·(2，x)＝1×2＋2x＝－1， 解得 x＝－32. 【答案】(1)C (2)D
归纳升华 数量积坐标运算的方法 1．进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2， 并能灵活运用以下几个关系： |a|2＝a·a.(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2. (a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
归纳升华 利用数量积求两向量夹角的步骤
1．求数量积：利用平面向量数量积的坐标表示公 式求出这两个向量的数量积． 2．求模：利用|a|＝ x2＋y2计算出这两个向量的模．
3．求余弦值：由公式 cos θ＝ x21x＋1xy2＋21 yx1y22＋2 y22直接 求出 cos θ 的值． 4．求角：在 0≤θ≤ π 内，由 cos θ 的值求角 θ.
4. 若 a＝(4，－2)，b＝(k，－1)，且 a⊥b，则 k＝________． 【解析】因为 a⊥b，a·b＝(4，－2)·(k，－1)＝4k＋2＝0， 则 k＝－12. 【答案】－12
5．已知 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，则向量 a，b 的夹角
θ＝________．
【解析】因为 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，
课堂小结 1．数量积坐标表示的作用及记忆口诀 (1)作用：数量积实现了向量的数量积的运算与两向量 的坐标的运算的转化． (2)记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘 计算和”．
2．向量的模的坐标运算的实质 向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标 系中两点间的距离，则在平面直角坐标系中，即平面 直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量 的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离 的运算．
课件7：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
归纳点评 向量与代数中的一些问题如函数的最值问 题等，是向量作为工具的具体体现，解决此类问题应 熟练掌握向量的坐标运算法则，特别是共线、垂直、 数量积等坐标表示．
随堂练习
1．已知向量 a＝(1，m)与 b＝(n，－4)共线且 c＝(2,3)
与 b 垂直，m＋n 的值为( )
16
20
A. 3
B. 3
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－4)： (1)若a⊥b，求x； (2)若a∥b，求x. 解：(1)若a⊥b，则1×x＋2×(－4)＝0，∴x＝8； (2)若a∥b，则1×(－4)－2×x＝0，∴x＝－2.
高效课堂 典例精析 题型1 向量的夹角 例1 已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)， 求a·b及a与b的夹角θ的余弦值．
4．已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)且λa＋b＝0(λ∈R)， 则|λ|＝________.
【解析】∵λa＋b＝0，∴b＝－λa. ∴|b|＝|－λa|＝|λ|·|a|＝|λ|＝ 5. 【答案】 5
规律总结 1．向量数量积的坐标表示 本节是在向量数量积的基础上，将数量积定义、有关 性质坐标化，可结合上一节的内容来记忆有关公式． 2．平行与垂直关系的联系与区别 对于两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，有：
1．已知向量a＝(2，－3)，b＝(－5,8)，则(a＋b)·b等于
()
A．－34
B．34
C．55
D．－55
【解析】a＋b＝(－3,5)，∴(a＋b)·b＝(－3,5)·(－5,8)＝15
＋40＝55.故选C.
【答案】C
2．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b( )
A．垂直
B．不垂直也不平行
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
答：行驶航程最短时，所用时间是3.1min.
思考题
思考题:已知船在静水中的速度是3km/h,它
要横渡30m的河流,已知水流的速度是
4km/h,思考:
这只船可以沿着垂直于河岸的航线到达正
对岸吗?
分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的
方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短，考
虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度 与水流速度的合速度v 必须垂直于对岸，如图
解：|v|= | v1 |2 | v 2 |2
d = 96 （km/h），所以 t= |v |
0 .5 = ×60=3.1（min）. 96
平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角
一、复习
1、数量积的定义：a b | a || b | cos 2、投影：| b | cos 叫做 b在a方向上的投影
3、数量积的几何意义：
| b | cos 的乘积。
的长度 与 | a | b在a方向上的投影 a b 等于 a
24 24 x x 35 35 和 y 5 y 5 7 7
平面向量应用举例
用向量的方法研究平面几何与物理
问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几
何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的 长度与两条邻边长度之间的关系吗？
DB AB AD, AC AB AD,
a b a b cos
ab cos ab
x1 x2 y1 y2 x y x y
2 1 2 1 2 2 2 2
例题讲解 例2、设a=(5,-7),b=(-6,-4),求a· b及a、b间的 夹角θ(精确到1°) b = 5×(-6)+(-7) ×(-4) 解 a· = -30+28 = -2
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1、数量积的坐标表示
2、平行、垂直的判定 3、平面向量的夹角公式 六、课时作业 课本P108 习题2.4 A组 第7，11题
| a | x y
2 1
2
2 1
| a | a a
3、向量的夹角
特别的，若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 | AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2
ab cos a, b | a || b |
cos
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
二、基础知识讲解 3、向量的夹角
ab cos a, b | a || b |
cos
x1 x2 y1 y2 x y
2 1 2 1
x2 y2
2
2
随堂练习
夹角为 4
3、已知向量a (1, 1), 2a b ( 4, 2), 则a与b的 ;
三、例题分析
例1、已知AOB中，O为原点，A( 2, 2), B( , 1) 且ABO是钝角，求的取值范围
a b | a || b | cos
a • b x1 x2 y1 y2
随堂练习
1、已知向量a (1, 3), b ( 2, 5), 则 ab
17
;( a b) ( 2a b)
8
.
二、基础知识讲解
已知非零向量a x1 , y1 ， b x2 , y2 ，夹角为
1、数量积的定义
a b | a || b | cos
2、向量的模
a • b x1 x2 y1 y2
| a | x y
2 1 2 1
| a | a a
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模 、夹角
x2＋y2 (2) x1－x22＋y1－y22
2．向量垂直的判定 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔________ 3．两向量夹角的余弦(0≤θ≤π) cos θ＝________＝________ 练习 2：已知 a＝(1， 3)，b＝( 3＋1， 3－1)， 则 a 与 b 的夹角是________． x1x2＋y1y2 a· b 2.x1x2＋y1y2＝0 |a||b| x21＋y21 x22＋y22 π 练习 2： 4
1．注意向量的坐标运算与向量运算的区别与联
系． 2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、 夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用 向量工具解决数学问题的能力．
1．若向量a＝(1,1)，b＝ (-1,0) ，c＝ (-1,1) ，则 c＝( C )
A．2a＋b
C．a＋2b
B．2a－b
D．a－2b
2．已知a＝ (2,-2)，b＝ (-1,0)，向量λa＋b与a－2b 垂直，则实数λ的值为( A)
1 A. 3 1 C. － 6 1 B. － 3 1 D. 6
5．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，请问△ABC 是直角三角形吗？
解析：由 A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)得 → → → → AB＝(1，1)，AC＝(－3，3)，所以AB· AC → → 1，1)·－3，3)＝－3＋3＝0，AB⊥AC， ( ＝( 即∠A＝90° ，所以△ABC 是直角三角形．
2.4 平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模 、夹角
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模 、夹角
课 标 点 击
预 习 导 学
典 例 精 析
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1 P ( x , )在线段AB的中垂线上，则 2
1 2
x＝
.
课堂小结
1. a b x1 x2 y1 y2 .
2. 平面内两点间的距离公式:
| a | ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 2
3. 向量垂直的判定:
a b x1 x2 y1 y2 0.
(1) 设 a ( x , y ), 则
a x y或 a
2 2 2
x y .
2 2
2.平面内两点间的距离公式:
( 2)如果表示向量 a 的有向线段的起 点和终边的坐标分别为( x1 , y1 ), ( x 2 , y2 ),
那么
2.平面内两点间的距离公式:
( 2)如果表示向量 a 的有向线段的起 点和终边的坐标分别为( x1 , y1 ), ( x 2 , y2 ),
谢谢大家！
感谢您的观看！
3 ), 3 1),
b ( 3 1,
则 a 与 b 的夹角是多少?
讲解范例:
例3. 已知 a (1,
3 ), 3 1),
b ( 3 1,
则 a 与 b 的夹角是多少?
评述：已知三角形函数值求角时，
应注重角的范围的确定.
练习：
1．教材P.107练习第1、2题.
2. 已知A(3，2)，B(－1，－1)，若点
规定:
零向量与任一向量的数 量积
为0，即a 0 0 .
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
(1) a b a b 0 .
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
(2) 当 a 与 b 同向时, a b a b .
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
(7 分) → 所以点 C 的坐标为(0，5)．所以AC＝(－2，4)． → ＝(－4，2)， 又BD
→ → → → 所以|AC|＝2 5，|BD|＝2 5，AC·BD＝8＋8＝16. (9 分) → → 设AC与BD的夹角为 θ，则 → ·BD → AC 16 4 cos θ＝ ＝ ＝ . → ||BD → | 2 5× 2 5 5 |AC (11 分) 4 故矩形 ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为 . 高考全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1) ，b＝(－1，2)，则(2a＋b)· a＝ ( ) A．－1 B． 0 C． 1 D． 2
例2 已知点A（1，2）,B（2，3）, C(－2，5)，试判断△ABC的形状，并给 出证明. △ABC是直角三角形
例3 已知向量a＝(5，－7)，b＝ (－6，－4)，求向量a 与b的夹角cos
新知初探思维启动
1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量 a ＝ (x1 ， y1) ， b ＝ (x2 ， y2) ， a 与 b 的 夹角为θ.
数量积 两个向量 垂直
相应坐标 两个向量的数量积等于___________ x1x2＋y1y2 乘积的和 ________，即a· b＝____________ x1x2＋y1y2＝0 a⊥b⇔_________________
已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b 的坐标表示a· b? ∵a=x1i+y1j, b=x2i+y2j, ∴a· b = (x1i+y1j) · (x2i+y2j) = x1x2i2+x1y2i· j+x2y1i· j+y1y2j2 = x1x2+y1y2 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角知识点一 平面向量数量积的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ. 数量积 a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 向量垂直 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0知识点二 向量 模长a ＝(x ，y ) |a |＝x 2＋y 2以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为端点的向量AB →|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12 知识点三 cos θ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 概念理解：1．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.( )2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.( )3．若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角．( )类型一 数量积的坐标运算数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系：①|a |2＝a ·a ；②(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2；③(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．1.已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，－1)，则(a ＋2b )·(a －3b )等于( )A ．10B ．－10C ．3D ．－32、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，且DF →＝2FC →，则AE →·BF →的值是________．3、向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2类型二 平面向量的模求向量a ＝(x ，y )的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式a 2＝|a|2＝x 2＋y 2，求模时，勿忘记开方．(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2＝x 2＋y 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．1、已知平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)．(1)求a －2b 及其模的大小；(2)若c ＝a －(a ·b )b ，求|c |.2、已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于 。
课件12：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
答案：π3
题型探究
题型一 数量积的坐标运算 例1 已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10. (1)求向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.
【解】 (1)∵向量a与b同向，且b＝(1,2)，∴设a＝λb＝λ(1,2)＝(λ，2λ)(λ>0)， 由a·b＝10，得1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0，符合a与b同向的条件， ∴λ＝2，a＝(2,4)． (2)∵b＝(1,2)，c＝(2，－1)，∴b·c＝1×2＋2×(－1)＝0，∴(b·c)·a＝0.
跟踪训练 1．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,2)． (1)求a·(a－b)； (2)求(a＋b)·(2a－b)； (3)若c＝(2,1)，求(a·b)c，a(b·c)．
解：(1)法一：∵a＝(－1,2)，b＝(3,2)，∴a－b＝(－4,0)． ∴a·(a－b)＝(－1,2)·(－4,0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
∴a＋tb＝(－3,2)＋t(2,1)＝(－3＋2t,2＋t)，
∴|a＋tb|=
(－3＋2t)2＋(2＋t)2= 5t2－8t＋13＝
5(t－45)2＋459.
∴当 t＝45时，|a＋tb|取得最小值75 5.
1－2 2＋22＝ 5，
即|A→D|＝ 5，点 D 的坐标为(1,1)．
跟踪训练 3．已知点A(1,2)和B(4，－1)，问能否在y轴上找到一点C，使∠ACB＝90°， 若不能，请说明理由；若能，求出C点的坐标．
解：假设存在点 C(0，y)使∠ACB＝90°， 则A→C⊥B→C.∵A→C＝(－1，y－2)，B→C＝(－4，y＋1)，A→C⊥B→C， ∴A→C·B→C＝4＋(y－2)(y＋1)＝0， ∴y2－y＋2＝0.而在方程 y2－y＋2＝0 中，Δ<0， ∴方程无实数解，故不存在满足条件的点 C.
课件13：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
A．－1
B．0
C．1
D．2
[解析] a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1．
题型二 利用坐标解决向量的夹角问题 例2 (1)已知三点A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC的余弦值； (2)a＝(3,0)，b＝(－5,5)，求a与b的夹角．
跟踪练习3 已知三个点A、B、C的坐标分别为(3，－4)、(6，－3)、
(5－m，－3－m)，若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．
[解析] 由已知，得A→B＝(3,1)，A→C＝(2－m,1－m)． ∵△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角， ∴A→B⊥A→C．∴A→B·A→C＝3(2－m)＋(1－m)＝0， 解得 m＝74．
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有下表： 坐标表示
模 夹角
|a|2＝__x_21_＋__y_21 _____或|a|＝___x_21＋__y_21_____
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|A→B|＝___x_2－__x_1__2＋___y_2－__y_1__2 _ x1x2＋y1y2
基础知识
1．平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
两个向量的数量积等于
数量积 它__们__对__应__坐__标__的__乘__积__的__和______，即a·b＝
__x_1_x_2＋__y_1_y2_____
两个向量垂 直
a⊥b⇔_x_1x_2_＋__y_1y_2_＝__0______
『规律总结』 进行向量的数量积运算时，需要牢记有关的运算法则和运 算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接 进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开， 再依据已知条件计算．
第二章 2.4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
数量 两个向量的数量积等于它们 对应坐标的乘积的和 ，
积 即a·b＝ x1x2＋y1y2
向量 a⊥b⇔
垂直
x1x2＋y1y2＝0
[点睛] 公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是 用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的 差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹 角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉求解；若已知两 向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．
联立①②，得方程组33xx－ ＋25yy＝ ＝10， ，
解得x＝251， y＝－17.
故c＝251，－17.
[方法技巧]
解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积
a·b以及|a||b|，再由cos
θ＝
a·b |a||b|
求出cos
解析：45
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则cos θ＝|aa|·|bb|＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22
.
二、基本小题检验
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量的模等于向量坐标的平方和．
(× )
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. ( × ) (3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一
答案： 2
题型一 平面向量数量积的坐标运算
[典例](1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1
B．0
第二章 2.4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0[点睛]记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式(1)向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.平面向量数量积的坐标运算[典例](1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1 D．2(2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD·AC＝()A．5 B．4C．3 D．2[活学活用]已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.向量的模的问题[典例] (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10(2)已知点A (1，－2)，若向量AB 与a ＝(2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标是________．[活学活用]1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________．2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.向量的夹角和垂直问题[典例] (1)已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，(a ＋λb )⊥b ，则实数λ＝________.(2)已知a ＝(2,1)，b ＝(－1，－1)，c ＝a ＋kb ，d ＝a ＋b ，c 与d 的夹角为π4，则实数k 的值为________．[活学活用]已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．求解平面向量的数量积[典例] 已知点A ，B ，C 满足|AB |＝3，|BC |＝4，|CA |＝5，求AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB 的值．[活学活用]如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．层级一 学业水平达标1．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A.3 B ．3 C ．－ 3D ．－32．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．103．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12 4．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A ．865B ．－865C ．1665D ．－16655．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形6．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 7．已知向量a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ＝________. 8．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a·b ＝3，则向量b 的坐标为________．9．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,4)，B (－2,3)，C (2，－1)． (1)求AB ·AC 及|AB ＋AC |；(2)设实数t 满足(AB －t OC )⊥OC ，求t 的值．层级二 应试能力达标1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b2．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0) 3．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，103 B.⎝⎛⎦⎤－∞，103 C.⎝⎛⎭⎫103，＋∞D.⎣⎡⎭⎫103，＋∞4．已知OA ＝(－3,1)，OB ＝(0,5)，且AC ∥OB ，BC ⊥AB (O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－3，－294 B.⎝⎛⎭⎫－3，294 C.⎝⎛⎭⎫3，294 D.⎝⎛⎭⎫3，－294 5．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.6．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为______；DE ·DC 的最大值为______．7．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.8．已知OA＝(4,0)，OB＝(2,23)，OC＝(1－λ)OA＋λOB(λ2≠λ)．(1)求OA·OB及OA在OB上的投影；(2)证明A，B，C三点共线，且当AB＝BC时，求λ的值；(3)求|OC|的最小值．。
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(1)
2 2 x1 x2i x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j
a b x1x2 y1 y2
用语言描述:
x1 x2 y1 y2
即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
2. 向量的模与两点间的距离的坐标表示:
由向量的数量积的坐标表示，类似可得：
2.4.2
平面向量
数量积的坐标表示、模、夹角
第一课时
1. 平面向量的数量积是如何定义的 ? 已知非零向量 a 与 b ，我们把数量 | a || b | cos 叫作 a 与 b 的 数量积（或内积），记作 a b ，即规定
“· ” 不能省略
一.复习:
a b | a || b | cos
2 2
x2 y2
2
2
a // b x1y2 x2 y1 0
a b x1 x2 y1 y2 0
平行 交叉， 垂直 相加
解：a· b=5×（ － 6）+（ － 7）×（ － 4）= － 30+28=－2
a 5 7 74
2
2
b (6) (4) 52
2 0.03
2
2
由计算器得 cos
74 52
92 利用计算器可得：
练习 1、若a (3,4), b (5,12), 则 a 与 b 夹角的余弦值 为 （Ｂ ）
这就是A、B两点间的距离公式.
想一想
解：a b 5 (6) (7) (4) 2
a, b 的夹角有多大？
问题2：你能写出向量夹角公式的坐标表示式， 以及向量平行和垂直的坐标表示式. 3. 向量的夹角,平行与垂直的坐标表1 y2 x1 y1
数学(2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角)
方向性
向量的模只与向量的长度有关， 与其方向无关。
模的计算方法
定义法
根据定义直接计算向量的模 。
勾股定理法
如果向量在直角坐标系中的 坐标已知，可以使用勾股定 理计算模。
向量分解法
将向量分解为两个互相垂直 的分量，然后分别求出分量 的模，再求和。
模的性质
共线性质
如果两个向量共线，那么它们的模相等或互为相反数。
05
实例分析
数量积的坐标表示实例
要点一
总结词
通过具体例题，展示如何利用坐标表示计算平面向量的数 量积。
要点二
详细描述
假设有两个向量$overset{longrightarrow}{a} = (x_{1}, y_{1})$和$overset{longrightarrow}{b} = (x_{2}, y_{2})$， 它们的数量积为$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$。 通过具体例题，展示如何利用坐标表示计算平面向量的数量 积。
平面向量的模
定义与性质
定义
平面向量$vec{a}$的模定义为 $left|vec{a}right| = sqrt{a_1^2 + a_2^2}$，其中$a_1$和$a_2$ 分别是向量$vec{a}$模总是非负的，即 $left|vec{a}right| geq 0$。
数量积与夹角的关系
数量积与夹角余弦值的关系
向量的数量积等于两个向量模的乘积乘以它们夹角的余弦值，即$mathbf{A} cdot mathbf{B} = |mathbf{A}| times |mathbf{B}| times costheta$。
课件6：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
自主预习 1．两个向量数量积的坐标表示 (1)数量积的坐标形式：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b ＝ x1x2＋y1y2 .
(2)数量积坐标形式的推导：取与 x 轴、y 轴分别同向的两个单 位向量 i、 j，则 a＝(x1，y1)＝x1i＋y1 j，b＝(x2，y2)＝x2i＋y2 j．由 数量积的定义可知：i·i＝ 1 , j·j＝ 1 ，i·j＝ 0 , j·i＝ 0 . 所以 a·b＝(x1i＋y1 j)·(x2i＋y2 j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1 j·i＋y1y2 j2 ＝ x1x2＋y1y2 ，即 两个向量的数量积等于它们对应坐标 的乘积的和 ．
A．{2,3}
B．{－1,6}
C．{2}
D．{6}
【解析】考查向量垂直的坐标表示，a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，
∵a⊥b，∴a·b＝2(x－5)＋3x＝0，解之得 x＝2，则由 x 的值构成的
集合是{2}． 【答案】C
3.已知 A、B、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为 A(1,2)，B(4,1)， C(0，－1)，求A→B·A→C和∠ACB 的大小，并判断△ABC 的形状．
cosθ＝ 即
x1x2＋y1y2 x21＋y21 x2的夹角．
例 1.已知向量 a∥b，b＝(1,2)，|a·b|＝10. (1)求向量 a 的坐标． (2)若 a、b 同向，c＝(2，－1)，求(b·c)·a，(a·b)·c.
解:(1)设 a＝(x，y)，∴a·b＝x＋2y. ∵a∥b，∴y＝2x. 由y|x＝＋22xy，|＝10， 解得xy＝ ＝24， 或xy＝＝－－24，. ∴a＝(2,4)或 a＝(－2，－4)． (2)∵a、b 同向，∴a＝(2,4)． ∴(b·c)·a＝[1×2＋2×(－1)]·a＝0·a＝0. (a·b)·c＝(2＋2×4)·c＝10·(2，－1)＝(20，－10)．
2.4.2__平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
§2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角班 姓名【教学目标】1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
2．理解掌握向量的模、夹角等公式，能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题。
【重点难点】平面向量数量积及运算规律，平面向量数量积的应用。
【知识链接】若·为两非零向量，夹角为θ，则·== ；cos θ= ； ⊥⇔ 【学习过程】探究一：已知两个非零向量),(1y x =，),(22y x =，怎样用与的坐标表示·呢？y x 11+= y x 22+=∴·=这就是说两个向量的数量积等于 探究二：探索发现向量的模的坐标表达式。
①若),(y x =，如何计算向量的模呢？②若A （11,y x ） B （22,y x ），如何计算向量的模两点A 、B 的距离呢？探究三：向量夹角、垂直、坐标表示设·都是非零向量，),(11y x = ),(22y x =如何判定⊥或计算与的夹角<，>呢？1、向量夹角的坐标表示：cos<，>= 2、⊥⇔ ⇔ 3、a ‖b ⇔ ⇔ 4.投影的坐标表示：在方向上的投影21212121||||yx y y x x a b ++==例1：已知A （1，2）、 B （2，3）、 C(-2，5)试判断△ABC 的形状，并给出证明。
例2：已知=(2,3) =(-2，3) =(-1,-2)，求·，(+)-(-)，·(+)，(+)2例3. 已知，(1,2),(3,2)a b ==-，当k 为何值时，（1）3ka b a b +-与垂直？（2）3ka b a b +-与平行吗？平行时它们是同向还是反向？6365(四)当堂检测1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ） A.60° B .30° C.135° D.４５°2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.12 3、a=(5,-7),b=(-6,-4)，求a 与b 的 数量积4、设a=(2,1),b=(1,3),求a ·b 及a 与b 的夹角5、已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1)若a 与b 的夹角为钝角,则λ取值范围是多少?6．在△ABC 中，=(2， 3)，=(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值.课后练习与提高1.已知(4,3),(5,6)a b =-=则23a 4a b=-⋅ （ ）A.23B.57C.63D.832.已知()()12,5,4,3-=-=则a b与夹角的余弦为（ ）A. B.3.a=(4,7);b=(5,2)-则a b=⋅ _______ ()()a =_____ 2a 3b a+2b =-⋅ _______4.与()a=3,4垂直的单位向量可以是__________ 5.a=(2,3),b=(-3,5) 则a b在方向上的投影为_________6.已知点A （1，2），B(4,-1),问在y 轴上找点C ，使∠ABC ＝90º若不能，说明理由；若能，求C 坐标。
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
| AC | (1) 2 6 2 37
15 5 cos BAC 74 | AB | | AC | 3 2 37 74
AB AC
例6： 已知平面向量 a ( 3,1), b ( 1 , 3 ),
（）证明： b 1 a
即f (t )
作业：
1.已知向量 a与b同向， (1,2), a b 10 b
（）求向量 a的坐标 1
(2)若c (2,1), 求(b c)a
2.已知平面向量 a (3,4)， (9, x), 且a // c, b c b
（）求b和c 1
(2)若m 2a b, n a c, 求向量 m, n的夹角的大小
∵x y
x y 0
3 1 1 3 3 2 3 即： 3 t 2 ) ( 3k t ) (1 ( 3 t ) (k t) 0 2 2 2 2 2 2
整理得： 4k 3t t 3 0
k 1 (3t t 3 ) 4
1 1 3 (3t t 3 ) t 3 t 4 4 4
已知 例1： A(1,2), B(2,3), C (2,5), 试判断 ABC的形状，并给出证明
解：
在平面直角坐标系标出 A(1,2), B(2,3), C (2,5)三点,
我们发现 ABC是直角三角形
下面给出证明 ∵ AB (2 1,3 2) (1,1)
AC (2 1,5 2) (3,3)
∵
| a | 52 (7) 2 74 | b | (6) 2 (4) 2 52
aa b 2 2 962 cos b cos 0.03 74 52 | | || || 962 | aa bb | 74 52
【数学】2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
语文
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附赠 中高考状元学习 方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分英 语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
a b cos ab
x1 x 2 y1 y 2 x1 y1
2 2
x2 y 2
2
2
理论迁移
例1 已知向量a＝(4，3),b＝(－1，2), 求: (1) a· b； (2) (a＋2b)· ( a － b )； (3) |a|2－4a· b. (1) 2；（2）17；（3）－3.
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B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
向量的模和两点间的距离公式
(1) a a a 或 a
2
a a；
(1)向量的模 设a ( x, y ), 则 a x y , 或 a
2 2 2 2 2
x y ；
（2）两点间的距离公式 设A（x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ), 则 AB （x1 x2 ) （y1 y2 )
2 2
检测：
1.向量 m (1, 0), n (2, 5), 则求 m n
2.已知点M（2,3），N(5,-1)，则求 MN
3.已知向量 a (4, 2), b (6, m), 且 a b , 求m的值。
4.已知 a =（3,0）， b (5,5), 则 a 与 b 的夹角 是多少？
利用数量积求两向量夹角的步骤
①利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这 两个向量的数量积． ②利用|a|＝ x ＋y 计算出这两个向量的模． x1x2＋y1y2 ③由公式 cos θ ＝ 2 2 2 2 直接求出 x1＋y1· x2＋y2 cosθ 的值． ④在 0≤θ≤π 内，由 cosθ 的值求角 θ.
(2)设 x，y∈R，向量 a＝(x,1)，b＝(1，y)， c＝(2，－4)，且 a⊥c， b∥c，则|a＋b|等于 A. 5 B. 10 C．2 5 ( ) D．10
题型三 向量的夹角和垂直问题
例3(1) 已知 a (3, 2), b (-1, 2), （ a + b ） b ，求实数的值。
.
(2) 已知 a ( 3,1), b (2, 2 3), 求 a 与 b 的夹角 .
点评
求向量模的两种基本策略
方 法 与 技 巧
1． 字母表示下的运算： 利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数 量积的运算．
2．坐标表示下的运算： 若 a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2 或|a|＝ x2＋y2
小结
1、数量积的运算转化为向量的坐标运算； 2、掌握平行、垂直、夹角、模及距离公式， 并在理解的基础上应用； 3、掌握两个向量夹角的坐标公式；
4、能用平面向量数量积的坐标公式判断两
个向量的垂直关系。
作业
课本 P108 A组第5题
课时跟踪检测 （二十三）
学习
要有竹子样的坚韧的品质
a和b 的坐标表示a b.
设两个非零向量
a=(x
1,y1), b=(x2,y2),则
下面研究怎样用
a b=
y
B(x2,y2)
b
j
A(x1,y1)
a
i
o
x
故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
2 1 2 1 2 2
x1 x2 y1 y2 x y x y
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
.
其中 x y 0， x y 0.
题型一
平面向量数量积的坐标运算
例1 (1)向量a (1, 1), b (1, 2),(2a b) a
2.4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角
一、复习引入
(1) a b a b cos ( 2) a a a 或 a
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a a； a b a b .
a b a b 0; cos
我们学过两向量的和与差可以转 化为它们相应的坐标来运算,那么怎 样用 a和b的坐标表示a b呢？
A.-1 B. 0 C. 1 D. 2
)
（2） 已知向量 a＝(1,2)， b＝(x， －4)， 若 a∥b， 则 a· b 等于( A．－10 B．－6 C．0 D．6
题型二
向量的模的问题
) C．2 D．4
例 2.(1) 已知向量 a＝(1， 3)，b＝(－1,0)，
则|a＋2b|等于 ( A．1 B. 2
2 2
两向量垂直的坐标表示
a b a b 0
设a （x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则 a b x1 x2 y1 y2 0
两向量夹角公式的坐标运算
设a与b 的夹角为（0 180 ），
则 cos
a b ab
设a （x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 且a与b夹角为， (0 180 )则 cos