2015年广州二模理科数学(精美word)
广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编.不等式
广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编不等式1（2015届惠州市）若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值等于 ( )A ．7B ．8C ．10D ．112（2015届惠州市）设0,0a b >>，若1a b +=，则11a b+的最小值为__________． 3（2015届揭阳市）已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0101205x y x y x ，则y x 的最小值是 A.1 B. 4 C.23D.0 4（2015届茂名市）设变量y x ,满足约束条件2003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则y x z 2+=的最小值为（ ）.A. -3B. -1 C ．13 D ．-5 5（2015届茂名市）不等式112≤+--x x 的解集为 .6（2015届深圳市）若实数x ，y 满足约束条件1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩, 则2x y +的取值范围是A ．[0,6]B ．[1,6]7（2015届深圳市）不等式5|2||1|≤-+-x x 的解集为 ．C ．[1,5]D ．[0,5]8（2015届湛江市）2015某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≥-6252x y x y x ，则该校招聘的教师最多是 名．9（2015届肇庆市）不等式0|5||12|>--+x x 的解集为 ▲ . 10（2015届佛山市）不等式112<-x 的解集为 . 答案：C 4 C A [)+∞,0 B []2,3- 10 ),34()6,(+∞--∞ （0, 1）。
2015年广东高考理科数学_Word版含标准答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1．若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =A ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,4 2．若复数z=i ( 3 – 2 i ) ( i 是虚数单位 )，则z =A ．3-2iB ．3+2iC ．2+3iD ．2-3i 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ．xe x y += B ．x x y 1+= C ．x xy 212+= D ．21x y += 4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。
从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为 A ．1 B.2111 C. 2110 D. 215 5．平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x C. 052=+-y x 或052=--y x D. 052=++y x 或052=-+y x6．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为A ．531 B. 6 C. 523 D. 4 7．已知双曲线C ：12222=-by a x 的离心率e =45，且其右焦点F 2( 5 , 0 )，则双曲线C 的方程为A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x 8．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3 二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9-13题）9．在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 。
2015年高考数学广东卷(理科)试卷及答案(word完整版)
绝密★启用前 试卷类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
{}}{|(4)(1)0,|(4)(1)0M x x x N x x x =++==--=，则M N ⋂=}{A.1,4}{B.1,4--}{C.D.∅(32)z i i =-（i 是虚数单位），则z = A.23i -B.23i +C.32i +D.32i -3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A.y 1B.y x x=+1C.22x xy =+D.x y x e =+4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为5A.2110B.2111C.21D.15. 平行于直线2++1=0x y 且与圆225x y +=相切的直线的方程是A.250250x y x y ++=+-=或B.2020x y x y +=+=或C.250250x y x y -+=--=或D.2020x y x y -=-=或6. 若变量,x y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为A.4 23B.5C.6 31D.57. 已知双曲线2222:1x y C a b -=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 的方程为22A.143x y -= 22B.1916x y -= 22C.1169x y -= 22D.134x y -= 8. 若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值A.3至多等于B.4至多等于C.5等于D.5大于二、填空题：本大题 共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9-13题）9.在4）的展开式中，x 的系数为 .10. 在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += .11. 设ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1sin2B=，6Cπ=，则b= .12. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言。
2015年高考广东理科数学试题及答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试〔XX 卷〕数学〔理科〕一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．〔1〕[2015年XX ，理1，5分]若集合{}|(4)(1)0M x x x =++=，}{|(4)(1)0N x x x =--=，则M N =〔〕〔A 〕{}1,4〔B 〕{}1,4--〔C 〕{}0〔D 〕∅[答案]D[解析]{}{}(4)(1)04,1M x x x =++==--，{}{}(4)(1)01,4N x x x =--==，M N ∴⋂=∅故选D ． 〔2〕[2015年XX ，理2，5分]若复数i(32i)z =-〔i 是虚数单位〕，则z =〔〕〔A 〕23i -〔B 〕23i +〔C 〕32i +〔D 〕32i - [答案]A[解析]i(32i)3i 2z =-=+，23i z ∴=-，故选A ．〔3〕[2015年XX ，理3，5分]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是〔〕〔A 〕21y x =+〔B 〕1y x x=+〔C 〕122x x y =+〔D 〕x y x e =+[答案]D[解析]A 和C 选项为偶函数，B 选项为奇函数，D 选项为非奇非偶函数，故选B ．〔4〕[2015年XX ，理4，5分]袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为〔〕 〔A 〕521〔B 〕1021〔C 〕1121〔D 〕1 [答案]B[解析]111052151021C C P C ==，故选B ． 〔5〕[2015年XX ，理5，5分]平行于直线2++1=0x y 且与圆225x y +=相切的直线的方程是〔〕〔A 〕250250x y x y ++=+-=或〔B 〕250250x y x y ++=+-=或 〔C 〕250250x y x y -+=--=或〔D 〕250250x y x y -+=--=或[答案]A[解析]设所求直线为02=++c y x ，因为圆心坐标为()0,0，则由直线与圆相切可得25521c cd ===+，解得5c =±，所求直线方程为250250x y x y ++=+-=或，故选A ．〔6〕[2015年XX ，理6，5分]若变量,x y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为〔〕〔A 〕4〔B 〕235〔C 〕6〔D 〕315[答案]B[解析]如图所示，阴影部分为可行域，虚线表示目标函数32z x y =+，则当目标函数过点81,5⎛⎫⎪⎝⎭，32z x y =+取最小值为235，故选B ．〔7〕[2015年XX ，理7，5分]已知双曲线2222:1x y C a b-=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 的方程为〔〕〔A 〕22143x y -=〔B 〕221916x y -=〔C 〕221169x y -=〔D 〕22134x y -= [答案]C[解析]由双曲线右焦点为2(5,0)F ，则5c =，544c e a a ==∴=．2229b c a ∴=-=，所以双曲线方程为221169x y -=，故选C ．〔8〕[2015年XX ，理8，5分]若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值〔〕〔A 〕至多等于3〔B 〕至多等于4〔C 〕等于5〔D 〕大于5 [答案]B[解析]当3=n 时，正三角形的三个顶点符合条件；当4=n 时，正四面体的四个顶点符合条件，故可排除A ，C ，D 四个选项，故选B ．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 〔一〕必做题〔9~13〕〔9〕[2015年XX ，理9，5分]在4x （-1）的展开式中，x 的系数为． [答案]6[解析]()()()4424411r rr rr r Cx C x ---=-，则当2r =时，x 的系数为()22416C -=． 〔10〕[2015年XX ，理10，5分]在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a +=． [答案]10[解析]由等差数列性质得，345675525a a a a a a ++++==，解得55a =，所以285210a a a +==．〔11〕[2015年XX ，理11，5分]设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，1sin 2B =，6C π=，则b =．[答案]1[解析]15sin ,266B B ππ=∴=或，又6C π=，故6B π=，所以，23A π=由正弦定理得，sin sin a bA B =，所以1b =． 〔12〕[2015年XX ，理12，5分]某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言〔用数字作答〕． [答案]1560[解析]40391560⨯=．〔13〕[2015年XX ，理13，5分]已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，()30E X =，()20D X =，则p =．[答案]13[解析]()30E X np ==，()(1)20D X np p =-=，解得13p =．〔二〕选做题〔14-15题，考生只能从中选做一题〕〔14〕[2015年XX ，理14，5分]〔坐标系与参数方程选做题〕已知直线l 的极坐标方程为2sin()24πρθ-=，点A 的极坐标为7(22,)4A π，则点A 到直线l 的距离为．[答案]522[解析]222sin()2(sin cos )2422πρθρθθ-=-=sin cos 1ρθρθ∴-=．即直线l 的直角坐标方程为110y x x y -=-+=，即，点A 的直角坐标为()2,2-，A 到直线的距离为2215222d ++==． 〔15〕[2015年XX ，理15，5分]〔几何证明选讲选做题〕如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O的切线，切点为C ，1BC =，过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD =． [答案]8[解析]如图所示，连结O ，C 两点，则OC CD ⊥，OD AC ⊥90CDO ACD ∴∠+∠=︒90ACD CBA CBA CAB ∠=∠∠+∠=︒，，CDO CAB ∴∠=∠，所以OD OCAB BC=， 所以8OD =．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．〔16〕[2015年XX ，理16，12分]在平面直角坐标系xOy 中，已知向量22,22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()sin ,cos n x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 〔1〕若m n ⊥，求tan x 的值； 〔2〕若m 与n 的夹角为3π，求x 的值． 解：〔1〕()2222,sin ,cos sin cos sin 22224m n x x x x x π⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，m n ⊥，0m n ∴⋅=，即sin 04x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， sin 04x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，444x πππ∴-<-<，04x π∴-=．即4x π=，tan tan 14x π∴==．〔2〕依题意2222sin 4cossin 3422sin cos 22x m n m nx xπππ⎛⎫- ⎪⋅⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭⋅⎛⎫⎛⎫+-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1sin 42x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，46x ππ∴-=，即56412x πππ=+=． 〔17〕[2015年XX ，理17，12分]某工厂36名工人的年龄数据如下表：工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 1 40 2 44 3 40 4 41 5 33 6 40 7 45 8 42 9 43 10 36 11 31 12 38 13 39 14 43 15 45 16 39 17 38 18 36 19 27 20 43 21 41 22 37 23 34 24 42 25 37 26 44 27 42 28 34 29 39 30 43 31 38 32 42 33 53 34 37 35 49 36 39〔1〕用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里采用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；〔2〕计算〔1〕中样本的均值x 和方差2s ；〔3〕36名工人中年龄在x s 与x s 之间有着多少人？所占的百分比是多少〔精确到0．01%〕？ 解：〔1〕由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为2，6，10，14，18，22，26，30，34的年龄数据为样本．则样本的年龄数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．〔2〕由〔1〕中的样本年龄数据可得，()1444036433637444337409x =++++++++=，则()()()()()()()()1222222222444040403640434036403740444043409s ⎡=-+-+-+-+-+-+-+-⎢⎣()23740⎤+-⎥⎦= 9100．〔3〕由题意知年龄在100100404099⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，之间，即年龄在[]3743，之间， 由〔1〕中容量为9的样本中年龄、在[]3743，之间的有5人， 所以在36人中年龄在[]3743，之间的有536209⨯=〔人〕，则所占百分比为20100%55.56%36⨯≈．〔18〕[2015年XX ，理18，14分]如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =，点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且2AF FB ==，2CG GB =． 〔1〕证明：PE FG ⊥；〔2〕求二面角P AD C --的正切值；〔3〕求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值． 解：〔1〕PD PC =PDC ∴∆为等腰三角形，E 为CD 边的中点，所以PE DC ⊥， PDC ABCD ⊥平面平面，PDC ABCD DC ⋂=平面平面，且PE PDC ⊂平面，∴PE ABCD ⊥平面FG ABCD ⊂平面，PE FG ∴⊥．〔2〕由长方形ABCD 知，AD DC ⊥，PDC ABCD ⊥平面平面，PDC ABCD DC ⋂=平面平面，且AD ABCD ⊂平面AD PDC ∴⊥平面PD PDC ⊂平面，PD AD ∴⊥DC AD PD AD PC PDA DC CAD ⊥⊥⊂⊂由，，且平面，平面．PDC P AD C ∴∠--即为二面角，由长方形ABCD 得6DC AB ==，E 为CD 边的中点，则132DE DC ==，2243437PD DE PE DC PE ==⊥∴=-=，，，7tan 3PE PDC DE ∴∠==即二面角P AD C --的正切值为73．〔3〕如图，连结A ，C ，22AF FB CG GB ==，BF BGAB BC∴=，//FG AC ，PAC ∴∠为直线PA 与直线FG 所成角． 由长方形ABCD 中63AB BC ==，得：226335AC =+= 由〔2〕知AD PD ⊥，34AD BC PD ===，22345AP ∴=+=，由题意知4PC =，22295cos 225AP AC PC PAC AP AC +-∴∠==⋅⋅，所以，直线PA 与直线FG 所成角的余弦值为9525． 〔19〕[2015年XX ，理19，14分]设1a ，函数2()(1)x f x x e a ．〔1〕求()f x 的单调区间；〔2〕证明：()f x 在()+∞∞-,上仅有一个零点； 〔3〕若曲线()y f x 在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m a 的切线与直线OP 平行〔O 是坐标原点〕，证明：321m a e≤--． 解：〔1〕2()(1)x f x x e a =+-，22()=2(1)(1)x x x f x xe x e x e '∴++=+，x R ∈时，()0f x '≥恒成立．()f x ∴的单调递增区间为R ．〔2〕由〔1〕可知()f x 在R 上为单调递增函数，当x a =，()=(+)(1)aaaf a a e a ea e-=+-1，1a >，()0f a ∴>，()f x ∴在(,)-∞+∞仅有一个零点．〔3〕令点P 为00(,)x y ，曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，0200()=(1)0x f x x e '∴+=，0=1x ∴-，2(1,)P a e--，∴直线OP 斜率为221op ae k a e -==--， 在点(),M m n 处的切线与直线OP 平行，22()(1)m f m m e a e'∴=+=-．要证明321m a e ≤--，即证32(1)m a e+≤-．要证明32(1)(1)m m +≤+，需证明1m m e +≤，设()1m g m e m =--，()1m g m e '∴=-，令()0,0g m m '==，()g m ∴在∞(-,0)上单调递减，在+∞(0，)上单调递增，()(0)0g m g ∴≥=， 10m e m ∴--≥，1m e m ∴≥-，命题得证．〔20〕[2015年XX ，理20，14分]已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x 相交于不同的两点A ，B ．〔1〕求圆1C 的圆心坐标；〔2〕求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；〔3〕是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x 与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值X 围；若不存在，说明理由．解：〔1〕由题意知：圆1C 方程为：22(3)4x y -+=，∴圆1C 的圆心坐标为()3,0． 〔2〕由图可知，令()11,M x y，1|||OM C M =22211||||||OC OM C M =+，2222211113(3)x y x y ∴=++-+，221139()24x y ∴-+=，∵直线L 与圆1C 交于A 、B 两点，∴直线L 与圆1C 的距离：02d ≤< 22110(3)4x y ∴≤-+<，2211930(3)()442x x ∴≤-+--<，1533x ∴<≤ ∴轨迹C 的方程为：22395()(,3]243x y x -+=∈．〔3〕∵直线L ：(4)y k x =-与曲线2239()24x y -+=仅有1个交点，联立方程：22(4)5(,3]393()24y k x x x y =-⎧⎪∈⎨-+=⎪⎩， 得：2222(1)(83)160k x k x k +-++=，在区间5(,3]3有且仅有1个解．当2222=(83)64+1=k k k ∆+-（）0时，43k =±，此时，125(,3]53x =∈，仅有一个交点，符合题意．当0∆≠时，令2222()(1)(83)16g x k x k x k =+-++，则有：5()(3)0g g ≤解得：[k ∈，∴k 的取值X 围为：[k ∈或43k =±．〔21〕[2015年XX ，理21，14分]数列n a 满足：*121224,2n n n a a na n N ． 〔1〕求3a 的值；〔2〕设求数列{}n a 的前n 项和n T ； 〔3〕令111111,(1)(2)23n nn T b a b a n n n，证明：数列{}n a 的前n 项和n S 满足22ln n S n ．解：〔1〕由题意知：1212242n n n a a na -++++=-，当=2n 时，121222=42a a ++-；当=3n 时，1232322+3=42a a a ++-，321322233=4(4)224a ++---=，31=4a ． 〔2〕1212242n n n a a na -++++=-，12132+(+1)42n n n n a a na n a ++∴+++=-，， 111123243111(+1)()()222222n n n n nn n n n n n n n n n a a a -++-+++--+=-==∴=∴=∴{}n a 是首相为1，公比为12的等边数列，∴1111()1122()212212nn n n T ---==-=--．〔3〕由〔2〕得：1122n n T -=-1111(2)(1)22n n S n -∴=-++，已知不等式：111ln(1)23n n+<+设()ln(1),01xf x x x x =+->+2()01x f x x'∴=>+，()f x 在()∞0,+单调递增， ()ln(1)(0)01x f x x f x ∴=+->=+，ln(1)1xx x∴+>+在()∞0,+上恒成立． 令1=x n，1ln(1)ln(1)ln ln ln(1)ln 2ln1ln n n n n n n +=+-+--++-=，1111ln(1)231n n +>++++111ln 231n n ∴>++++， 111111(2)(1)2(1)2(1ln 2)22ln 2222n n S n n-∴=-++<++<+=+．。
【11份】广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编
【11份】广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编目录集合与常用逻辑用语 ............................................................................................................... 1 不等式....................................................................................................................................... 4 二项式定理 ............................................................................................................................... 5 复数........................................................................................................................................... 5 函数........................................................................................................................................... 6 几何证明选讲选做题 ............................................................................................................... 7 立体几何 ................................................................................................................................... 9 排列组合 ................................................................................................................................. 24 平面向量 ................................................................................................................................. 25 三角函数 ................................................................................................................................. 26 坐标系与参数方程选做题 .. (34)广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编集合与常用逻辑用语一．选择题1.（2015届潮州市）设集合101x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,{}1B x x a =-<,则“1a =”是“A B ≠∅”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又必要条件 2.（2015届佛山市）集合{}40 <<∈=x N x A 的子集个数为（ ）A ． 3B ．4C ．7D ．83（2015届佛山市）已知函数)( 11ln )(R a x a x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=.命题p ：)(, x f R a ∈∃是奇函数；命题q ：)(, x f R a ∈∀在定义域内是增函数，那么下列命题为真命题的是（ ）A ．p ⌝B ．q p ∧C ．()q p ∧⌝D ．()q p ⌝∧4（2015届佛山市）已知a , b , c 均为直线，α, β为平面.下面关于直线与平面关系的命题：（1）任意给定一条直线a 与一个平面α，则平面α内必存在与a 垂直的直线； （2）任意给定的三条直线a , b , c ，必存在与a , b , c 都相交的直线； （3）α//β，βα⊂⊂b a , ，必存在与a , b 都垂直的直线； （4）βαβαβα⊂⊂=⊥b a c , , , ，若a 不垂直c ，则a 不垂直b . 其中真命题的个数为（ ） A ． 1 B ． 2 C ．3D ．45（2015届佛山市）若集合P 具有以下性质：① P P ∈∈1, 0； ② 若P y x ∈,，则P y x ∈-，且0≠x 时，P x∈1.则称集合P 是“Γ集”，则下列结论不正确的是( ) A ．整数集Z 是“Γ集” B ．有理数集Q 是 “Γ集”C ．对任意的一个“Γ集”P ，若P y x ∈,，则必有P xy ∈D ．对任意的一个“Γ集”P ，若P y x ∈,，且0≠x ，则必有P xy∈ 6（2015届广州市）命题“若2x =，则2320x x -+=”的逆否命题是A ．若2x ≠，则2320x x -+≠B ．若2320x x -+=，则2x =C ．若2320x x -+≠，则2x ≠D ．若2x ≠，则2320x x -+= 7．（2015届惠州市）若集合{|01,}A x x x x R =<>∈或，{}2,B x x x R =>∈，则 ( )A ．AB ⊇ B ．A B =C ．A B ⊆D ．A B φ=8（2015届惠州市）下列命题的说法 错误．．的是 ( ) A ．若复合命题q p ∧为假命题，则,p q 都是假命题．B ．“1=x ”是“2320x x -+=”的充分不必要条件．C ．对于命题2:,10,p x R x x ∀∈++> 则2:,10p x R x x ⌝∃∈++≤．D ．命题“若2320x x -+=，则1=x ”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”9．（2015届揭阳市）已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，则下列表示正确的是A.1A -∉B.11A -∈C.32k A +∉D.231k A -∈ 10（2015届揭阳市）命题P ：“2,12x R x x ∃∈+<”的否定P ⌝为A. 2,12x R x x ∃∈+>B.2,12x R x x ∃∈+≥C.2,12x R x x ∀∈+≥D.2,12x R x x ∀∈+<11（2015届茂名市） 设集合{}1,4,5M =,{}0,3,5N =,则M N = （ ）.A ．{}1,4B ．{}0,3C ．{}0,1,3,4,5D ．{}512（2015届湛江市）．已知集合{}231x x M =-<，集合{}13x x N =-<<，则MN =（ ）．A ．MB ．NC ．{}12x x -<<D ．{}3x x <13（2015届肇庆市）．对于非空集合A 、B ，定义运算：},|{B A x B A x x B A ∉∈=⊕且.已知}|{b x a x M <<=，}|{d x c x N <<=，其中a 、b 、c 、d 满足d c b a +=+，0<<cd ab ，则=⊕N MA ．),(),(c b d aB ．),(),(b d a cC ．(][)d b a c ,,D ．(][)b d c a ,, 答案：A D D B A C A A D C D C D 二．填空题1．（2015届深圳市）已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，则“2ab c >”是“π3C <”的 条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一种）． 2．（2015届湛江市）已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有____________种． 答案：充分非必要 31广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编不等式1（2015届惠州市）若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值等于 ( )A ．7B ．8C ．10D ．11 2（2015届惠州市）设0,0a b >>，若1a b +=，则11a b+的最小值为__________． 3（2015届揭阳市）已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0101205x y x y x ，则y x 的最小值是A.1B. 4C.23D.0 4（2015届茂名市）设变量y x ,满足约束条件2003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则y x z 2+=的最小值为（ ）.A. -3B. -1 C ．13 D ．-5 5（2015届茂名市）不等式112≤+--x x 的解集为 . 6（2015届深圳市）若实数x ，y 满足约束条件1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩,则2x y +的取值范围是A ．[0,6]B ．[1,6]7（2015届深圳市）不等式5|2||1|≤-+-x x 的解集为 ．C ．[1,5]D ．[0,5]8（2015届湛江市）2015某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≥-6252x y x y x ，则该校招聘的教师最多是 名．9（2015届肇庆市）不等式0|5||12|>--+x x 的解集为 ▲ .10（2015届佛山市）不等式112<-x 的解集为 . 答案：C 4 C A [)+∞,0 B []2,3- 10 ),34()6,(+∞--∞ （0, 1）广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编二项式定理1．（2015届潮州市）已知n 为正偶数，且nxx )21(2-的展开式中 第3项的二项式系数最大，则第3项的系数是 ．（用数字作答） 2（2015届揭阳市）61(2)x x-展开式中的常数项为 ． 答案：32160-广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编复数1．（2015届潮州市）若复数(2)(1)i ai ++是纯虚数(i 是虚数单位，a 是实数)，则a 等于（ ）A. -1B. 21-C.2D. 3 2．（2015届佛山市）若复数z 满足2)1()1(i z i +=-，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3（2015届惠州市）已知b 为实数，i 为虚数单位，若21b ii+⋅-为实数，则b = ( ) A ．1- B ．2- C ．1 D ．24（2015届揭阳市）已知复数1z i =+，则21z z=- A. 2 B. －2 C. 2i D. －2i5（2015届茂名市） 复数311(i i -为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标是 （ ）. A ．(1,1) B ．(1,1)- C ．(1,1)- D ．(1,1)--6（2015届深圳市）设i 为虚数单位，则复数 2015i 等于A ．1B ．1-C ．iD ．i -7（2015届湛江市）已知z 是复数，i 是虚数单位，若i zi +=1，则z =（ ）．A ．i +1B ．i -1C ．i +-1D ．i --1 8（2015届肇庆市）设i 为虚数单位，则复数)1(i i z -=对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：C B B B D B A9（2015届广州市）已知i 为虚数单位，复数1i1iz -=+，则z = ． 答案： 1广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编函数1、（2015届广州市）已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是A ．sin sin a b >B ．22log log a b <C ．1122a b <D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2（2015届广州市）已知函数()4,0,1,0,x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩则()2f f =⎡⎤⎣⎦ A ．14 B ．12C ．2D ．43．（2015届广州市）已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为 A ．425B ．12C ．23D ．14（2015届惠州市）下列函数中，既是奇函数又存在极值的函数是 ( ) A ．3y x = B ．1y x x=+C ．e x y x -=⋅D ．ln()y x =-5（2015届揭阳市）已知幂函数()y f x =的图象过点1(3,)3，则12log (2)f 的值为 ．6（2015届茂名市） 若函数()y f x =在实数集R 上的图象是连续不断的，且对任意实数x 存在常数t 使得()()f t x tf x +=恒成立，则称()y f x =是一个“关于t 函数”．现有下列“关于t 函数”的结论：①常数函数是“关于t 函数”；②“关于2函数”至少有一个零点；③xx f )21()(=是一个“关于t 函数”．其中正确结论的个数是 ( ).A ．1B ．2C ．3D ．0 7（2015届茂名市） 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当x >0 时, ()f x ＝1＋x)21(，则(2)f -＝ .8（2015届深圳市）下列四个函数中，在闭区间]1,1[-上单调递增的函数是A ．2x y =B ．x y 2=C ．x y 2log =D ．x y 2sin =9（2015届肇庆市）函数x x y -+-=3)2ln(的定义域 ▲ . 答案：D A B B 1 B 45-B (]3,2 广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编几何证明选讲选做题1（2015届潮州市）如图所示，⊙O 的两条切线PA 和PB 相交于点P ，与⊙相切于,A B 两点，C 是⊙O 上的一点，若70P ∠=︒，则ACB ∠=________.2（2015届佛山市） 如图1，AB 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于D ，且AD ＝2BD ，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F ，若2=CD ，则EF ＝ .3（2015届广州市）如图4，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点，EA O BDCF图1FAE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为 ．4（2015届惠州市）如图，PA 与圆O 相切于A ，PCB 为圆O 的割线，并且不过圆心O ，已知30BPA ∠=︒，23PA =，1PC =，则圆O 的半径等于__________．5（2015届揭阳市）如图3，点P 在圆O 的直径AB 的延长线上，且PB=OB=3,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于点D ， 则CD 的长为 ．6（2015届茂名市）如图，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点B在圆O 上，23BC =，060BCD ∠=，则圆O 的面积为 .7（2015届深圳市）如图3，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ．若60BAC ∠=︒，6BC =，则⊙O 的半径为 ．OABPC第15题图图3⋅ABCO侧视图正视图h58（2015届肇庆市）如图，AB 是圆O 的直径，且AB =6，CD 是弦，BA 、CD 的延长线交于点P ，PA =4，PD =5， 则∠COD = ▲ . 答案：55332 43 7 332π4 23 3π广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编立体几何1．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，得该几何体的表面积是________.2．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是A ．13B ．7C ．433 D ．3323．多面体MN ABCD -的底面ABCD 矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为 ( ) A ．163B ．6C ．203D ．64．图1中的三个直角三角形是一个体积为330cm 的几何体的三视图， 则侧视图中的h =_________cm ．AVCB图22224ABC DMN5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）.A ．23 B ．43 C ．83D ．4 6．如图1，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸， 则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计） A ．π8+ B ．π48+C ．π16+D ．π416+答案： 12π B C 6 B C 7（本小题满分14分）如图1,平面五边形SABCD 中SAD ABC DA CD BC AB SA ∆=∠=====,32,2,215π沿AD 折起成.如图2，使顶点S 在底面的射影是四边形ABCD 的中心O ，M 为BC 上一点，21=BM . （1）证明：SOM BC 平面⊥； （2）求二面角C SM A --的正弦值。
【2015广东高考模拟 理科数学】广东省各地2015届高三一模二模试题汇总 12份
图17432109878试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）2015广州一模 数学（理科）2015.3 本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． ()()22221211236n n n n ++++++=()*n ∈N ． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为 A ．M N B ．()U M N ð C ．()U MN ð D ．()()U U M N 痧2．已知向量()3,4a =，若5λ=a ，则实数λ的值为A ．15 B ．1 C ．15± D ．1± 3. 若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是 A. 91, 91.5 B. 91, 92 C. 91.5, 91.5 D. 91.5, 924. 直线10x ay ++=与圆()2214x y +-=的位置关系是22222222侧视图正视图222222A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定5. 若直线3y x =上存在点(),x y 满足约束条件40,280,,x y x y x m ++>⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则实数m 的取值范围是A. ()1,-+∞B. [)1,-+∞C. (),1-∞-D. (],1-∞- 6. 已知某锥体的正视图和侧视图如图2，其体积为233，则该锥体的俯视图可以是图2A. B. C. D. 7. 已知a 为实数，则1a ≥是关于x 的绝对值不等式1x x a +-≤有解的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知i 是虚数单位，C 是全体复数构成的集合，若映射:f C →R 满足: 对任意12,z z C ∈，以及任意λ∈R , 都有()()()()()121211f z z f z f z λλλλ+-=+-, 则称映射f 具有性质P . 给出如下映射:① 1:f C →R , ()1f z x y =-, z x y =+i (,x y ∈R );② 2:f C →R , ()22f z x y =-, z x y =+i (,x y ∈R );③ 3:f C →R , ()32f z x y =+, z x y =+i (,x y ∈R );其中, 具有性质P 的映射的序号为 A. ① ② B. ① ③ C. ② ③ D. ① ② ③二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9. 已知tan 2α=，则tan 2α的值为 .10. 已知e 为自然对数的底数，若曲线y x =e x在点()1,e 处的切线斜率为 .图3OADE C B 11. 已知随机变量X 服从正态分布()2,1N . 若()130.6826P X ≤≤=，则()3P X > 等于 .12. 已知幂函数()223(mm f x xm --+=∈Z )为偶函数，且在区间()0,+∞上是单调增函数，则()2f 的值为 .13．已知,n k ∈N *，且k n ≤，k C k n n =C 11k n --，则可推出C 12n +C 23n +C 3n k ++C k n n ++C (n n n =C 01n -+C 11n -++C 11k n --++C 11)n n --12n n -=⋅， 由此，可推出C 122n +C 223n +C 32n k ++C 2k n n ++C n n = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14. （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为cos sin ,(cos sin x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数)和2,(x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为 . 15. （几何证明选讲选做题）如图3，BC 是圆O 的一条弦，延长BC 至点E ， 使得22BC CE ==，过E 作圆O 的切线，A 为切点，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ， 则DE 的长为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()02x ,和022x ,π⎛⎫+- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求0sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.图4OF ED C B A 图5FE PODB A17. （本小题满分12分）袋子中装有大小相同的白球和红球共7个，从袋子中任取2个球都是白球的概率为17，每个球被取到的机会均等. 现从袋子中每次取1个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为X . （1）求袋子中白球的个数； （2）求X 的分布列和数学期望.18. （本小题满分14分）如图4，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=，点E ，F 分别是边CD ，CB 的 中点，ACEF O =，沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA,PB,PD ，得到如图5的五棱锥P ABFED -，且10PB =.（1）求证：BD ⊥平面POA ；（2）求二面角--B AP O 的正切值.19. （本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足111,21n n a a S +==+，n ∈N *.（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列? 若存在, 求k 的值； 若不存在, 请说明理由.20. （本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线20+=x y 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(2,1)-，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线.(1) 求椭圆1C 的方程； (2) 求点Q 的轨迹方程；(3) 求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.21. （本小题满分14分） 已知函数()()2ln 12a f x x x x =++-()0a ≥. （1）若()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，求a 的取值范围； （2）已知e 为自然对数的底数，证明：∀n ∈N *，e 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++⋅⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9. 43-10. 2e 11. 0.1587 12. 16 13. ()212n n n -+⋅ 14. 2,4π⎛⎫⎪⎝⎭15. 3说明: 第14题答案可以是2,2,4k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角两角和公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：由题意可得2,A =， …………………………1分00222T x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭， …………………………3分 ∴.T π= …………………………4分 由,2πωπ=得2=ω， …………………………5分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDCAACBB∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …………………………6分（2）解： ∵ 点()0,2x 是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在y 轴右侧的第一个最高点, ∴ 0262x ππ+=. …………………………7分∴ 06x π=. …………………………8分 ∴0sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭sin 64ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭…………………………9分 sincoscossin6464ππππ=+ …………………………10分12322222=⨯+⨯…………………………11分 264+=. …………………………12分 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查古典概型、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）（1）解：设袋子中有n (n ∈N *)个白球，依题意得，22717n C C =，………………………1分即()1127672n n -=⨯， 化简得，260n n --=， …………………………2分解得，3n =或2n =-（舍去）. …………………………3分 ∴袋子中有3个白球. …………………………4分 （2）解：由（1）得，袋子中有4个红球，3个白球. …………………………5分X 的可能取值为0,1,2,3， …………………………6分()407P X ==， ()3421767P X ==⨯=， ()3244276535P X ==⨯⨯=，()321413765435P X ==⨯⨯⨯=. ………………10分∴X 的分布列为： X 0 12 3GH F EPODBA…………………………11分∴4241301237735355EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、二面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，∴BD ∥EF . …………………………1分 ∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥. ∴EF AC ⊥. ∴EF AO ⊥，EF PO ⊥. …………………………2分 ∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO PO O =， ∴EF ⊥平面POA . …………………………3分∴BD ⊥平面POA . …………………………4分 （2）解法1：设AO BD H =，连接BO ， ∵60DAB ︒∠=， ∴△ABD 为等边三角形.∴4BD =，2BH =，23HA =，3HO PO ==. ……5分 在R t △BHO 中，227BO BH HO =+=，在△PBO 中，22210+==BO PO PB ，∴PO BO ⊥. …………………………6分 ∵PO EF ⊥，EF BO O =，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED . …………………………7分 过H 作⊥HG AP ，垂足为G ，连接BG ，由（1）知⊥BH 平面POA ，且⊂AP 平面POA ， ∴⊥BH AP .∵=HG BH H ，⊂HG 平面BHG ，⊂BH 平面BHG ，∴⊥AP 平面BHG . …………………………8分 ∵⊂BG 平面BHG ，∴⊥AP BG . …………………………9分 ∴∠BGH 为二面角--B AP O 的平面角. …………………………10分 在Rt △POA 中，2230=+=AP AO PO ，在Rt △POA 和Rt △HGA 中，90,︒∠=∠=∠=∠POA HGA PAO HAG ， ∴Rt △POA ～Rt △HGA . …………………………11分P 47 27 435 135z yxH F EPODBA∴=PO PAHG HA. ∴32330530⋅⨯===PO HA HG PA . …………………………12分 在Rt △BHG 中，230tan 3305∠===BH BGH HG . ……………………13分 ∴二面角--B AP O 的正切值为303. …………………………14分 解法2：设AOBD H =，连接BO ，∵60DAB ︒∠=， ∴△ABD 为等边三角形.∴4BD =，2BH =，23HA =，3HO PO ==.………………………5分 在R t △BHO 中，227BO BH HO =+=，在△PBO 中，22210+==BO PO PB ，∴PO BO ⊥. …………………………6分 ∵PO EF ⊥，EF BO O =，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED . …………………………7分 以O 为原点，OF 所在直线为x 轴，AO 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系-O xyz ，则()0,33,0-A ，()2,3,0-B ，()0,0,3P ，()0,3,0-H .…………8分 ∴()0,33,3=AP ，()2,23,0=AB . 设平面PAB 的法向量为=n (),,x y z ，由⊥n AP ，⊥n AB ，得 3330,2230.⎧+=⎪⎨+=⎪⎩y z x y ……9分令1=y ，得3=-z ，3=-x .∴平面PAB 的一个法向量为=n ()3,1,3--. …………………………10分由（1）知平面PAO 的一个法向量为()2,0,0=-BH ， ……………………11分设二面角--B AP O 的平面角为θ， 则cos θ=cos ,n BH⋅=n BH n BH233913132==⨯.………………………12分 ∴2130sin 1cos13θθ=-=，sin 30tan cos 3θθθ==.………………………13分 ∴二面角--B AP O 的正切值为303. …………………………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、数列的前n 项和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识） （1）解：∵111,21n n a a S +==+，∴21121213a S a =+=+=. …………………………1分（2）解法1：由121n n a S +=+，得121n n n S S S +-=+， …………………………2分故()211n n S S +=+. …………………………3分∵0n a >，∴0n S >. ∴11n n S S +=+. …………………………4分∴数列{}nS 是首项为11S =，公差为1的等差数列.∴()11n S n n =+-=. …………………………5分 ∴2n S n =. …………………………6分当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， …………………………8分又11a =适合上式，∴21n a n =-. …………………………9分解法2：由121n n a S +=+，得()2114n n a S +-=， …………………………2分 当2n ≥时，()2114n n a S --=， …………………………3分 ∴()()()22111144n n n n n a a S S a +----=-=. …………………………４分∴2211220n n n n a a a a ++---=.∴()()1120n n n n a a a a +++--=. …………………………５分 ∵ 0n a >，∴12n n a a +-=. …………………………６分 ∴数列{}n a 从第2项开始是以23a =为首项，公差为2的等差数列．……………７分 ∴()()322212n a n n n =+-=-≥． …………………………８分 ∵11a =适合上式，∴21n a n =-. …………………………9分 解法3：由已知及（1）得11a =，23a =，猜想21n a n =-. …………………………2分 下面用数学归纳法证明.① 当1n =，2时，由已知11211a ==⨯-，23a ==221⨯-，猜想成立. ………3分 ② 假设n k =()2k ≥时，猜想成立，即21k a k =-， …………………………4分 由已知121k k a S +=+，得()2114k k a S +-=， 故()2114k k a S --=.∴()()()22111144k k k k k a a S S a +----=-=. …………………………5分∴22211220k k k k a a a a ++---=.∴()()1120k kk k a a aa +++--=. …………………………6分∵10,0k k a a +>>，∴120k k a a +--=. …………………………7分 ∴()12212211k k a a k k +=+=-+=+-. …………………………8分 故当1n k =+时，猜想也成立.由①②知，猜想成立，即21n a n =-. …………………………9分（3）解：由(2)知21n a n =-, ()21212n n n S n +-==.假设存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列,则2214k k k S a a -=⋅. …………………………10分即()()()4212181k k k -=-⋅-. …………………………11分 ∵ k 为正整数， ∴ 210k -≠. ∴ ()32181k k -=-.∴ 328126181k k k k -+-=-.化简得 32460k k k --=. …………………………12分 ∵ 0k ≠,∴ 24610k k --=.解得2664431384k ±+⨯±==, 与k 为正整数矛盾. ……………………13分 ∴ 不存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列. …………………………14分20.（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解法1： ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(2,0)F -,2(2,0)F , …………1分 ∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(2,0)F -,2(2,0)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (2,1)-，∴ 1224a AF AF =+=，得2a =. ………………………2分 ∴ ()22222b a =-=. ………………………3分∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分 解法2: ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(2,0)F -,2(2,0)F , ……………………1分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(2,0)F -,2(2,0)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (2,1)-， ∴22211a b +=. ① ………………………2分 . ∵ 222a b =+, ② ………………………3分 由①②解得24a =, 22b =.∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分 （2）解法1：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (2,1)-及椭圆1C 关于原点对称可得B (2,1)-， ∴(2,1)AQ x y =+-，11(2,1)AP x y =+-，(2,1)BQ x y =-+，11(2,1)BP x y =-+.由 0AQ AP ⋅=, 得 11(2)(2)(1)(1)0x x y y +++--=， ……………………5分 即 11(2)(2)(1)(1)x x y y ++=---. ①同理, 由0BQ BP ⋅=, 得 11(2)(2)(1)(1)x x y y --=-++. ② ……………6分①⨯②得 222211(2)(2)(1)(1)x x y y --=--. ③ ………………………7分由于点P 在椭圆1C 上, 则2211142x y +=，得221142x y =-, 代入③式得 2222112(1)(2)(1)(1)y x y y ---=--.当2110y -≠时，有2225x y +=，当2110y -=，则点(2,1)P --或(2,1)P ,此时点Q 对应的坐标分别为(2,1)或(2,1)-- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (2,1)-，由②得 23y x =-，解方程组2225,23,x y y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q 的坐标为()2,1-或2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q 的坐标为()2,1-或2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=, 除去四个点()2,1-,2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, ()2,1-, 2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 解法2：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (2,1)-及椭圆1C 关于原点对称可得B (2,1)-， ∵0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=， ∴AQ AP ⊥，BQ BP ⊥. ∴1111122y y x x --⨯=-++()12x ≠-，① ……………………5分1111122y y x x ++⨯=---()12x ≠. ② ……………………6分①⨯② 得 12222111122y y x x --⨯=--. (*) ………………………7分∵ 点P 在椭圆1C 上, ∴ 2211142x y +=，得221122x y =-, 代入(*)式得2212211112122x y x x --⨯=--，即2211122y x --⨯=-, 化简得 2225x y +=. 若点(2,1)P --或(2,1)P , 此时点Q 对应的坐标分别为(2,1)或(2,1)-- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (2,1)-，由②得 23y x =-，解方程组2225,23,x y y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q 的坐标为()2,1-或2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q 的坐标为()2,1-或2,22⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭. ∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=, 除去四个点()2,1-,2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, ()2,1-,2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 (3) 解法１：点Q (),x y 到直线:AB 20x y +=的距离为23x y+.△ABQ 的面积为2221(22)(11)23x y S +=++--⋅………………………10分 2x y =+22222x y xy =++. ………………………11分而22222(2)()422y y xy x x =⨯⨯≤+（当且仅当22y x =时等号成立） ∴22222222522224522y S x y xy x y x x y =++≤+++=+522=. ……12分 当且仅当22yx =时, 等号成立. 由222,225,y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得2,22,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或2,22.x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩………………………13分 ∴△ABQ 的面积最大值为522, 此时,点Q 的坐标为2,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或2,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.…14分 解法２：由于()()22221123AB =++--=，故当点Q 到直线AB 的距离最大时，△ABQ 的面积最大．………………………1０分 设与直线AB 平行的直线为20x y m ++=，由2220,25,x y m x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得22542250y my c ++-=， 由()223220250m m ∆=--=，解得522m =±． ………………………1１分若522m =，则2y =-，22x =-；若522m =-，则2y =，22x =．…1２分 故当点Q 的坐标为2,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或2,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭时，△ABQ 的面积最大，其值为()2222221522212S AB +⨯=⨯=+． ………………………1４分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的导数、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识） （1）解：∵()()2ln 12a f x x x x =++-，其定义域为()1,-+∞, ∴()()11111x ax a f x ax x x+-'=+-=++. …………………………1分 ① 当0a =时，()1xf x x'=-+，当x ∈()0,+∞时，()0f x '<， 则()f x 在区间()0,+∞上单调递减，此时，()()00f x f <=，不符合题意. …2分 ② 当01a <<时，令()0f x '=，得10x =，210ax a-=>， 当x ∈10a ,a -⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 在区间10a ,a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，此时，()()00f x f <=，不符合题意. …………………………3分③ 当1a =时，()21x f x x'=+，当x ∈()0,+∞时，()0f x '>，则()f x 在区间()0,+∞上单调递增，此时，()()00f x f >=，符合题意. ……4分 ④ 当1a >时，令()0f x '=，得10x =，210ax a-=<，当x ∈()0,+∞时，()0f x '>， 则()f x 在区间()0,+∞上单调递增，此时，()()00f x f >=，符合题意. ……5分 综上所述，a 的取值范围为[)1,+∞. …………………………6分 （2）证明：由（1）可知，当0a =时，()0f x <对()0,x ∈+∞都成立，即()ln 1x x +<对()0,x ∈+∞都成立. …………………………7分∴2222221212ln 1ln 1ln 1n nn n n n nn⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.………………8分 即ln 2222121211112n n n n n n n n ⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 由于n ∈N *，则111111222221n n n +=+≤+=⨯. …………………………9分 ∴ln 222121111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ∴ 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <. …………………………10分 由（1）可知，当1a =时，()0f x >对()0,x ∈+∞都成立， 即()21ln 12x x x -<+对()0,x ∈+∞都成立. …………………………11分 ∴2222224442221211212ln 1ln 1ln 12n n n n nn n nn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++<++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.…………………………12分即()()()2422212111126ln 11122n n n n n n n n n n n ++⎡⎤⎢⎥+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<+++⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 得323222643112ln 11112n n n n n n n n +--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦由于n ∈N *，则()()32232333363316431611212122n n n n n n n n n n n +-+-+--=≥=. …………………………13分∴12<ln 22212111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ∴e 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. …………………………14分 ∴e 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）2015广州二模 数学（理科）2015.4参考公式：球的表面积公式24S R =π，其中R 是球的半径．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“若2x =，则2320x x -+=”的逆否命题是A ．若2x ≠，则2320x x -+≠B ．若2320x x -+=，则2x =C ．若2320x x -+≠，则2x ≠D ．若2x ≠，则2320x x -+=2．已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是A ．sin sin a b >B ．22log log a b <C ．1122a b <D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．已知函数()4,0,1,0,x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩则()2f f =⎡⎤⎣⎦ A ．14 B ．12C ．2D ．44．函数()sin y A x ωϕ=+()0,0,0A ωϕ>><<π的图象的一部分如图1所示， 则此函数的解析式为A ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭B ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭C ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭D ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭5．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为y xO 1 5 3 -3图1A ．425B ．12C ．23D ．16．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =， 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是A ．13B ．7C ．433 D ．3327．已知两定点()1,0A -，()1,0B ，若直线l 上存在点M ，使得3MA MB +=，则称直线l 为“M 型直线”．给出下列直线：①2x =；②3y x =+；③21y x =--；④1y =；⑤23y x =+．其中是“M 型直线”的条数为A ．1B ．2C ．3D ．48．设(),P x y 是函数()y f x =的图象上一点，向量()()51,2x =-a ，()1,2y x =-b ，且//a b .数列{}n a是公差不为0的等差数列，且()()()12936f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则129a a a ++⋅⋅⋅+= A .0 B .9 C .18 D .36二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．已知i 为虚数单位，复数1i1iz -=+，则z = ． 10．执行如图3所示的程序框图，则输出的z 的值是 ．11．已知()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若3cos 5α=02απ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则12f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．12．5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共有_________种（用数字作答）． 13．在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c ，2c ，3c ．若m 为()()i j s t +∙+a a c c 的最小值，其中{}{},1,2,3i j ⊆，{}{},1,2,3s t ⊆，则m = ．x=1, y=2z=xy是z<20? x =yy =z输出z结束否开始图3AV CB图2（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图4，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点， AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t=-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有 个． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 的面积为453，求△ABC 外接圆半径的大小． 17．（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了n 份，统计结果如下面的图表所示．组号年龄分组 答对全卷 的人数 答对全卷的人数 占本组的概率 1 [20,30) 28 b2 [30,40) 27 0.93 [40,50) 5 0.54 [50,60]a0.4（1）分别求出a ，b ，c ，n 的值； （2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记X 为第3组被授予“环保之星”的人数，求X 的分布列与数学期望．18．（本小题满分14分） 如图5，已知六棱柱111111ABCDEF A BC D E F -的侧棱 垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，M ，N 分别 是棱AB ，1AA 上的点，且1AM AN ==． （1）证明：M ，N ，1E ，D 四点共面；（2）求直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值．BACDFG 图4年龄频率/组距20 30 40 50 60 0.010 c 0.0350.0250 C 1ABA 1B 1D 1 CDMNEFE 1F 119．（本小题满分14分）已知点(),n n nP a b ()n ∈*N 在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：22212131111116n PP PP PP ++++<．20．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x a x =-11x x -+，()e xg x =（其中e 为自然对数的底数）． （1）若函数()f x 在区间()0,1内是增函数，求实数a 的取值范围；（2）当0b >时，函数()g x 的图象C 上有两点(),e b P b ，(),e bQ b --，过点P ，Q 作图象C 的切线分别记为1l ，2l ，设1l 与2l 的交点为()00,M x y ，证明00x >．2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C D A A B B C C二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．题号 9 10 1112 131415答案1327210305-43116．（本小题满分12分） 解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k =，5b k =，3c k =()0k >，……2分 由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯……3分 12=-．…4分 （2）由（1）知，1cos 2A =-， 因为A 是△ABC 的内角， 所以2sin 1cos A A =-32=．……6分 由（1）知5b k =，3c k =， 因为△ABC 的面积为453，所以1sin 4532bc A =，……8分 即135345322k k ⨯⨯⨯=， 解得23k =．………10分由正弦定理2sin a R A =，即71432sin 32k R A ==，…………11分解得14R =．所以△ABC 外接圆半径的大小为14．12分 17．（本小题满分12分）解：（1）根据频率直方分布图，得()0.0100.0250.035101c +++⨯=，解得0.03c =．1分第3组人数为105.05=÷，所以1001.010=÷=n ．…………2分 第1组人数为1000.3535⨯=，所以28350.8b =÷=．……3分 第4组人数为2525.0100=⨯，所以250.410a =⨯=．……4分 （2）因为第3，4组答对全卷的人的比为5:101:2=，所以第3，4组应依次抽取2人，4人.5分 依题意X 的取值为0，1，2．…………6分()022426C C 20C 5P X ===，…7分()112426C C 81C 15P X ===，8分()202426C C 12C 15P X ===，9分所以X 的分布列为：X 0 12P25 815115所以2812012515153EX =⨯+⨯+⨯=． …………12分 18．（本小题满分14分）第（1）问用几何法，第（2）问用向量法：（1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ， 在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ， 在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，所以11A E BD 且11=A E BD ，所以四边形11A BDE 是平行四边形．………………………………………10分 C 1ABA 1B 1D 1CDM NEFE 1F 1所以11A B E D ．……2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==， 所以1AM ANAB AA =， 所以1MN BA ．…………4分 所以1MNDE ．所以M ，N ，1E ，D 四点共面．……6分（2）解：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则()33,3,0B ，339,,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,0D ，()10,0,3E ，()33,1,0M ，8分则333,,022BC ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，()10,3,3DE =-，()33,2,0DM =-．……10分设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即330,3320.y z x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取33y =，则2x =，33z =．所以()2,33,33=n 是平面1MNE D 的一个法向量．………12分 设直线BC 与平面1MNE D 所成的角为θ， 则sin BC BCθ=n nxzyC 1ABA 1B 1D 1CDMNEFE 1F 1()()2222223332333302217411633323333022⎛⎫⨯-+⨯+⨯ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫++⨯-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为174116．………14分 第（1）（2）问均用向量法：（1）证明：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系， 则()33,3,0B ，339,,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,0D ， ()10,0,3E ，()33,1,0M ，()33,0,1N ，2分所以()10,3,3DE =-，()0,1,1MN =-． …3分 因为13DE MN =，且MN 与1DE 不重合， 所以1DE MN ．…5分所以M ，N ，1E ，D 四点共面．……6分 （2）解：由（1）知333,,022BC ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，()10,3,3DE =-，()33,2,0DM =-． (10)分（特别说明：由于给分板（1）6分（2）8分，相当于把（1）中建系与写点坐标只给2分在此加2分）设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即330,3320.y z x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取33y =，则2x =，33z =．所以()2,33,33=n 是平面1MNE D 的一个法向量．………12分xzyC 1A BA 1B 1D 1CDMNEFE 1F 1设直线1BC 与平面1MNE D 所成的角为θ， 则sin BC BCθ=n n()()2222223332333302217411633323333022⎛⎫⨯-+⨯+⨯ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫++⨯-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为174116．………14分 第（1）（2）问均用几何法：（1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ， 在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ， 在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，所以11A E BD 且11=A E BD ，所以四边形11A BDE 是平行四边形． 所以11A BE D ．……2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==， 所以1AM ANAB AA =， 所以1MN BA ．…………4分 所以1MNDE ．所以M ，N ，1E ，D 四点共面．……6分 （2）连接AD ，因为BCAD ，所以直线AD 与平面1MNE D 所成的角即为直线BC 与平面1MNE D 所成的角．……7分连接DN ，设点A 到平面DMN 的距离为h ，直线AD 与平面1MNE D 所成的角为θ，C 1ABA 1B 1 D 1CDMNEFE 1F 1则sin hADθ=．8分 因为A DMN D AMN V V --=，即1133DMN AMN S h S DB ∆∆⨯⨯=⨯⨯．…9分 在边长为3的正六边形ABCDEF 中，33DB =，6DA =， 在△ADM 中，6DA =，1AM =，60DAM ∠=， 由余弦定理可得，31DM =．在Rt △DAN 中，6DA =，1AN =，所以37DN =． 在Rt △AMN 中，1AM =，1AN =，所以2MN =． 在△DMN 中，31DM =，37DN =，2MN =， 由余弦定理可得，2cos 31DMN ∠=-，所以29sin 31DMN ∠=． 所以158sin 22DMN S MN DM DMN ∆=⨯⨯⨯∠=．…………11分 又12AMN S ∆=，12分 所以3358AMN DMN S DB h S ∆∆⨯==．………13分 所以174sin 116h AD θ==． 故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为174116．………14分 19．（本小题满分14分）（1）解：因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1， 所以10a =，11b =．……2分 因为数列{}n a 是公差为1的等差数列， 所以1n a n =-．4分因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上，所以31n n b a =+32n =-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ． (6)分（2）证明：因为()10,1P ，()1,32n P n n --，所以()1,31n P n n ++．所以()222211310n PP n n n +=+=．……7分 所以222121311111n PP PP PP ++++22211111012n ⎛⎫=+++⎪⎝⎭．…………8分 因为()()2221144112141212121214n n n n n n n ⎛⎫<===- ⎪--+-+⎝⎭-，…10分 所以，当2n ≥时，222121311111n PP PP PP ++++111111210352121n n ⎡⎤⎛⎫<+-++- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦………11分 15110321n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭………12分 16<． 又当1n =时，212111106PP =<．……13分 所以22212131+111116n PP PP PP +++<．………14分 20．（本小题满分14分）解：（1）方法一：设圆C 的方程为：()222x a y r -+=()0r >，1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-，所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩3分 解得1a =-，1r =．所以圆C 的方程为()2211x y ++=．4分方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．……1分 因为直线l 的方程为1122y x -=+，即1y x =+，2分 所以圆心C 的坐标为()1,0-．………3分所以圆C 的方程为()2211x y ++=．4分（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………5分由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-， 则点A 的坐标为()0100,y k x -， 同理可得点B 的坐标为()0200,y k x -， 所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k 满足00211k y kx k -+-=+，即1k ，2k 是方程()()2220000022110x x k y x k y +-++-=的两根，……7分即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以120AB k k x =-()()22000022000412122y y x x x x x x -+⎡⎤=-⎢⎥++⎣⎦……9分 因为()220044y x =--，所以()02056222x AB x -=+．………10分设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，………12分所以()0max 2225564fx f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}min0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB 的取值范围为522,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．14分方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………5分 设点()0,A a ，()0,B b ， 则直线PA ：00y ay a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=， 因为直线PA 与圆C 相切，所以()0022001a y ax y a x -+=-+，化简得()2000220x a y a x +--=． ①同理得()2000220x b y b x +--=， ②由①②知a ，b 为方程()2000220x x y x x +--=的两根，…7分即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以()24AB a b a b ab =-=+-200002422y x x x ⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭ ()()2000204422y x x x ++=+．…9分因为()220044y x =--，所以()02056222x AB x -=+…………10分()2001652222x x =-+++．…………11分 令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤．所以222165AB t t =-+252522163264t ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，12分 当532t =时，max 524AB =， 当14t =时，min 2AB =． 所以AB 的取值范围为522,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．14分21．（本小题满分14分）（1）解法一：因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数， 所以()()2201a f x x x '=-≥+()01x <<．………1分 即()2120a x x +-≥()01x <<，即()221xa x ≥+2分212x x =++()01x <<， 因为21122x x <++在()0,1x ∈内恒成立，所以12a ≥．故实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．…4分 解法二：因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数， 所以()()2201a f x x x '-+≥=()01x <<．………1分 即()2120a x x +-≥()01x <<，即()2210ax a x a +-+≥()01x <<，2分设()()221g x ax a x a =+-+，当0a =时，得20x -≥，此时不合题意．当0a <时，需满足()()00,10,g g ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩即()0,210,a a a a ≥⎧⎪⎨+-+≥⎪⎩解得12a ≥，此时不合题意．当0a >时，需满足()222140a a --≤⎡⎤⎣⎦或()()00,10,10,g g a a ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪-<⎩或()()00,10,11,g g a a ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪->⎩解得12a ≥或1a >， 所以12a ≥．综上所述，实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．………4分 （2）证明：因为函数()e xg x =，所以()e xg x '=．过点(),e b P b ，(),e bQ b --作曲线C 的切线方程为：1l ：()e e b b y x b =-+，2l ：()e e b b y x b --=++，因为1l 与2l 的交点为()00,M x y ，由()()e e ,e e ,b bb by x b y x b --⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩ 6分消去y ，解得()()()0e +e e e eeb b b b bbb x -----=-． ①…7分下面给出判定00x >的两种方法： 方法一：设e bt =，………8分 因为0b >，所以1t >，且ln b t =． 所以()()2202+1ln 11t t t x t --=-．………9分设()()()22+1ln 1h t t t t =--()1t >，则()12ln h t t t t t '=-+()1t >．……10分 令()12ln u t t t t t =-+()1t >，则()212ln 1u t t t'=+-．当1t >时，ln 0t >，2110t ->，所以()212ln 10u t t t'=+->，……11分所以函数()u t 在()1,+∞上是增函数， 所以()()10u t u >=，即()0h t '>，12分 所以函数()h t 在()1,+∞上是增函数， 所以()()10h t h >=．…13分因为当1t >时，210t ->，所以()()2202+1ln 101t t t x t --=>-．14分。
2015年广州二模数学(理科)试题及答案[word版]
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数学（理科）试题A 第 1 页 共 17 页试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2015.4注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：球的表面积公式24S R =π，其中R 是球的半径．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“若2x =，则2320x x -+=”的逆否命题是A ．若2x ≠，则2320x x -+≠B ．若2320x x -+=，则2x =C ．若2320x x -+≠，则2x ≠D ．若2x ≠，则2320x x -+=2．已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是A ．sin sin a b >B ．22log log a b <C ．1122a b < D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．已知函数()40,1,0,x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩则()2f f =⎡⎤⎣⎦ A ．14 B ．12C ．2D ．44．函数()sin y A x ωϕ=+()0,0,0A ωϕ>><<π的图象的一部分如图1所示，图1数学（理科）试题A 第 2 页 共 17 页则此函数的解析式为A ．3sin y x ππ⎛⎫=+⎪44⎝⎭ B ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭C ．3sin y x ππ⎛⎫=+⎪24⎝⎭ D ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭5．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为A ．425B ．12C ．23 D ．16．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是A BC ．3 D ．27．已知两定点()1,0A -，()1,0B ，若直线l 上存在点M ，使得3MA MB +=，则称直线l 为“M 型直线”．给出下列直线：①2x =；②3y x =+；③21y x =--；④1y =；⑤23y x =+．其中是“M 型直线”的条数为A ．1B ．2C ．3D ．48．设(),P x y 是函数()y f x =的图象上一点，向量()()51,2x =-a ，()1,2y x =-b ，且//a b .数列{}na是公差不为0的等差数列，且()()()12936f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则129a a a ++⋅⋅⋅+= A .0 B .9 C .18 D .36二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．已知i 为虚数单位，复数1i1iz -=+，则z = ． 10．执行如图3所示的程序框图，则输出的z 的值是 ．11．已知()sin 6f x x =+⎪⎝⎭，若cos 5α=02α<< ⎪⎝⎭，则12f α+= ⎪⎝⎭ ．12．5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共AV CB图2数学（理科）试题A 第 3页 共 17 页有_________种（用数字作答）．13．在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c ，2c ，3c ．若m 为()()i j s t +∙+a a c c 的最小值，其中{}{},1,2,3i j ⊆，{}{},1,2,3s t ⊆，则m = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图4，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点， AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t=-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有 个．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 的面积为，求△ABC 外接圆半径的大小． 17．（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了n 份，统计结果如下面的图表所示． （1）分别求出a ，b ，c ，n 的值；（2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记X 为第3组被授予“环保之星”的人数，求X 的分布列与数学期望．18．（本小题满分14分） 如图5，已知六棱柱111111ABCDEF A BC D E F -的侧棱 垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，M ，N 分别BACDE FG 图4C 1ABA 1B 1D 1 CDM NEF E 1F 1 图5数学（理科）试题A 第 4 页 共 17 页是棱AB ，1AA 上的点，且1AM AN ==． （1）证明：M ，N ，1E ，D 四点共面； （2）求直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值．19．（本小题满分14分）已知点(),n n n P a b ()n ∈*N 在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：22212131111116n PP PP PP ++++<． 20．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围． 21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x a x =-11x x -+，()e xg x =（其中e 为自然对数的底数）． （1）若函数()f x 在区间()0,1内是增函数，求实数a 的取值范围；（2）当0b >时，函数()g x 的图象C 上有两点(),e bP b ，(),e b Q b --，过点P ，Q 作图象C 的切线分别记为1l ，2l ，设1l 与2l 的交点为()00,M x y ，证明00x >．数学（理科）试题A 第 5 页 共 17 页2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．16．（本小题满分12分） 解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k =，5b k =，3c k=()0k >，…………………………………………………………2分 由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k +-=⨯⨯…………………………………………………………3分 12=-．………………………………………………………………………………………………4分 （2）由（1）知，1cos 2A =-，因为A 是△ABC 的内角，所以sin A 2=．………………………………………………………………………6分 由（1）知5b k =，3c k =，数学（理科）试题A 第 6 页 共 17 页因为△ABC的面积为1sin 2bc A =8分即1532k k ⨯⨯=解得k =10分由正弦定理2sin a R A =，即72sin k R A ==，…………………………………………………11分 解得14R =．所以△ABC 外接圆半径的大小为14．…………………………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解：（1）根据频率直方分布图，得()0.0100.0250.035101c +++⨯=，解得0.03c =．……………………………………………………………………………………………1分 第3组人数为105.05=÷，所以1001.010=÷=n ．…………………………………………………2分 第1组人数为1000.3535⨯=，所以28350.8b =÷=．……………………………………………3分 第4组人数为2525.0100=⨯，所以250.410a =⨯=．……………………………………………4分 （2）因为第3，4组答对全卷的人的比为5:101:2=，所以第3，4组应依次抽取2人，4人.…………………………………………………………………5分 依题意X 的取值为0，1，2．……………………………………………………………………………6分()022426C C 20C 5P X ===，…………………………………………………………………………………7分 ()112426C C 81C 15P X ===，………………………………………………………………………………8分()202426C C 12C 15P X ===，………………………………………………………………………………9分所以X 的分布列为：所以281012515153EX =⨯+⨯+⨯=． ………………………………………………………………12分 ………………………………………10分数学（理科）试题A 第 7 页 共 17 页18．（本小题满分14分）第（1）问用几何法，第（2）问用向量法：（1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ， 在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ， 在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，所以11A E BD 且11=A E BD ，所以四边形11A BDE 是平行四边形． 所以11A BE D ．………………………………2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==， 所以1AM ANAB AA =， 所以1MN BA ．…………………………………………………………………………………………4分 所以1MNDE ．所以M ，N ，1E ，D 四点共面．………………………………………………………………………6分 （2）解：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则()B，9,,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,0D ， ()10,0,3E，()M ，…………………………8分则3,022BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()10,3,3DE =-，()2,0DM =-．……………………………………………………………………………………10分设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩n nC 1BA 1B 1D 1CDMNEFE 1F 1数学（理科）试题A 第 8 页 共 17 页即330,20.y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩取y =2x =，z =所以(=n 是平面1MNE D 的一个法向量．………………………………………………12分 设直线BC 与平面1MNE D 所成的角为θ， 则sin BC BCθ=n n==． 故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为116．………………………………………………14分 第（1）（2）问均用向量法：（1）证明：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则()B ，9,,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,0D ，()10,0,3E ，()M ，()N ，……………2分所以()10,3,3DE =-，()0,1,1MN =-． ………………3分 因为13DE MN =，且MN 与1DE 不重合， 所以1DE MN ． (5)分所以M ，N ，1E ，D 四点共面．………………………………………………………………………6分（2）解：由（1）知3,02BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()10,3,3DE =-，()2,0DM =-．………………10分（特别说明：由于给分板（1）6分（2）8分，相当于把（1）中建系与写点坐标只给2分在此加2分）数学（理科）试题A 第 9 页 共 17 页设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n即330,20.y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩取y =2x =，z =所以(=n 是平面1MNE D 的一个法向量．………………………………………………12分 设直线1BC 与平面1MNE D 所成的角为θ， 则sin BC BCθ=n n==． 故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为116．………………………………………………14分 第（1）（2）问均用几何法：（1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ， 在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ， 在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，所以11A E BD 且11=A E BD ，所以四边形11A BDE 是平行四边形． 所以11A BE D ．………………………………2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==， 所以1AM ANAB AA =， C 1BA 1B 1 D 1CDMNEFE 1F 1数学（理科）试题A 第 10 页 共 17 页所以1MN BA ．…………………………………………………………………………………………4分 所以1MNDE ．所以M ，N ，1E ，D 四点共面．………………………………………………………………………6分 （2）连接AD ，因为BCAD ，所以直线AD 与平面1MNE D 所成的角即为直线BC 与平面1MNE D 所成的角．…………………7分 连接DN ，设点A 到平面DMN 的距离为h ，直线AD 与平面1MNE D 所成的角为θ，则sin hADθ=．……………………………………………………………………………………………8分 因为A DMN D AMN V V --=，即1133DMN AMN S h S DB ∆∆⨯⨯=⨯⨯．…………………………………………9分在边长为3的正六边形ABCDEF中，DB =6DA =， 在△ADM 中，6DA =，1AM =，60DAM ∠=，由余弦定理可得，DM在Rt △DAN 中，6DA =，1AN =，所以DN = 在Rt △AMN 中，1AM =，1AN =，所以MN = 在△DMN中，DM =DN =MN =由余弦定理可得，cos DMN ∠=，所以sin DMN ∠=．所以1sin 2DMN S MN DM DMN ∆=⨯⨯⨯∠=．…………………………………………………11分 又12AMN S ∆=，……………………………………………………………………………………………12分所以AMN DMN S DB h S ∆∆⨯==13分所以sin h AD θ==数学（理科）试题A 第 11 页 共 17 页故直线BC 与平面1MNE D所成角的正弦值为116．………………………………………………14分 19．（本小题满分14分）（1）解：因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1， 所以10a =，11b =．……………………………………………………………………………………2分 因为数列{}n a 是公差为1的等差数列，所以1n a n =-．……………………………………………………………………………………………4分因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上，所以31n n b a =+32n =-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分（2）证明：因为()10,1P ，()1,32n P n n --，所以()1,31n P n n ++．所以()222211310n PP n n n +=+=．………………………………………………………………………7分 所以222121311111n PP PP PP ++++22211111012n ⎛⎫=+++⎪⎝⎭．……………………………………8分 因为()()2221144112141212121214n n n n n n n ⎛⎫<===- ⎪--+-+⎝⎭-，……………………………10分 所以，当2n ≥时，222121311111n PP PP PP ++++111111210352121n n ⎡⎤⎛⎫<+-++- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦……………………………………………………………11分 15110321n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭………………………………………………………………………………………12分 16<．数学（理科）试题A 第 12 页 共 17 页又当1n =时，212111106PP =<．………………………………………………………………………13分 所以22212131+111116n PP PP PP +++<．……………………………………………………………14分 20．（本小题满分14分）解：（1）方法一：设圆C 的方程为：()222x a y r -+=()0r >，………………………………………1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-，所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩………………………………………………………………………………3分 解得1a =-，1r =．所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．………………………………1分 因为直线l 的方程为1122y x -=+，即1y x =+，……………………………………………………2分 所以圆心C 的坐标为()1,0-．…………………………………………………………………………3分所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分 由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-， 则点A 的坐标为()0100,y k x -， 同理可得点B 的坐标为()0200,y k x -， 所以120AB k k x =-，数学（理科）试题A 第 13 页 共 17 页因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k1=，即1k ，2k 是方程()()2220000022110x x k y x k y +-++-=的两根，………………………………7分即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以120AB k k x =-x =9分 因为()220044y x =--，所以AB =10分设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．………………………………………………………………………………11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数，……………………12分所以()0max 2225564fx f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}min0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB 的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分数学（理科）试题A 第 14 页 共 17 页设点()0,A a ，()0,B b ， 则直线PA ：00y ay a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=， 因为直线PA 与圆C1=，化简得()2000220x a y a x +--=． ① 同理得()2000220x b y b x +--=， ②由①②知a ，b 为方程()2000220x x y x x +--=的两根，…………………………………………7分即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以AB a b =-===．……………………………………………………………………9分因为()220044y x =--，所以AB =10分=………………………………………………………………11分 令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤．所以AB ==，………………………………………12分 当532t =时，max 4AB =，数学（理科）试题A 第 15 页 共 17 页当14t =时，min AB = 所以AB的取值范围为⎦．…………………………………………………………………14分 21．（本小题满分14分）（1）解法一：因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数， 所以()()2201a f x x x '=-≥+()01x <<．……………………………………………………………1分 即()2120a x x +-≥()01x <<， 即()221xa x ≥+……………………………………………………………………………………………2分212x x =++()01x <<， 因为21122x x <++在()0,1x ∈内恒成立，所以12a ≥．故实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．……………………………………………………………………4分 解法二：因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数， 所以()()2201a f x x x '-+≥=()01x <<．……………………………………………………………1分 即()2120a x x +-≥()01x <<，即()2210ax a x a +-+≥()01x <<，…………………………………………………………………2分设()()221g x ax a x a =+-+，当0a =时，得20x -≥，此时不合题意．当0a <时，需满足()()00,10,g g ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩即()0,210,a a a a ≥⎧⎪⎨+-+≥⎪⎩解得12a ≥，此时不合题意．数学（理科）试题A 第 16 页 共 17 页当0a >时，需满足()222140a a --≤⎡⎤⎣⎦或()()00,10,10,g g a a ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪-<⎩或()()00,10,11,g g a a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪->⎩ 解得12a ≥或1a >， 所以12a ≥．综上所述，实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．……………………………………………………………4分 （2）证明：因为函数()e xg x =，所以()e xg x '=．过点(),e bP b ，(),e b Q b --作曲线C 的切线方程为：1l ：()e e b b y x b =-+， 2l ：()e e b b y x b --=++，因为1l 与2l 的交点为()00,M x y ，由()()e e ,e e ,b bb by x b y x b --⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩ ………………………………………………………………………………6分 消去y ，解得()()()0e +e e e eeb b b b bbb x -----=-． ①…………………………………………7分下面给出判定00x >的两种方法：方法一：设e bt =，………………………………………………………………………………………8分 因为0b >，所以1t >，且ln b t =． 所以()()2202+1ln 11t t t x t --=-．…………………………………………………………………………9分设()()()22+1ln 1h t t t t =--()1t >，则()12ln h t t t t t '=-+()1t >．………………………………………………………………………10分 令()12ln u t t t t t=-+()1t >，数学（理科）试题A 第 17 页 共 17 页则()212ln 1u t t t '=+-． 当1t >时，ln 0t >，2110t ->，所以()212ln 10u t t t'=+->，………………………………11分所以函数()u t 在()1,+∞上是增函数，所以()()10u t u >=，即()0h t '>，…………………………………………………………………12分 所以函数()h t 在()1,+∞上是增函数，所以()()10h t h >=．…………………………………………………………………………………13分因为当1t >时，210t ->，所以()()2202+1ln 101t t t x t --=>-．…………………………………………………………………14分方法二：由①得0x ()221+e 11eb bb --=--．设2ebt -=，…………………………………………………………………………………………………8分 因为0b >，所以01t <<，且ln 2t b =-． 于是21ln bt-=，……………………………………………………………………………………………9分 所以()01+221ln 1ln 1b t b t x b t t t t +⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭．…………………………………………………………10分 由（1）知当12a =时，()1ln 2f x x =-11x x -+在区间()0,1上是增函数，…………………………11分 所以()ln 2t f t =-()1101t f t -<=+， 即ln 2t <11t t -+． …………………………………………………………………………………………12分 即210ln 1t t t ++>-，………………………………………………………………………………………13分 已知0b >，所以0210ln 1t x b t t +⎛⎫=+> ⎪-⎝⎭．…………………………………………………………………………14分。
广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编.几何证明选讲
广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编几何证明选讲选做题1（2015届潮州市）如图所示，⊙O 的两条切线PA 和PB 相交于点P ，与⊙相切于,A B 两点，C 是⊙O 上的一点，若70P ∠=︒，则ACB ∠=________.2（2015届佛山市） 如图1，AB 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于D ，且AD ＝2BD ，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F ，若2=CD ，则EF ＝.3（2015届广州市）如图4，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点，AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为 ．4（2015届惠州市）如图，PA 与圆O 相切于A ，PCB 为圆O 的割线，并且不过圆心O ，已知30BPA ∠=︒，PA =1PC =，则圆O 的半径等于__________．5（2015届揭阳市）如图3，点P 在圆O 的直径AB 的延长线上，且PB=OB=3,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于点D ， 则CD 的长为 ．A B图1ACDFG 图4AB第15题图6（2015届茂名市）如图，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点B在圆O 上，BC =，060BCD ∠=，则圆O 的面积为 .7（2015届深圳市）如图3，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ．若60BAC ∠=︒，6BC =，则⊙O 的半径为 ．8（2015届肇庆市）如图，AB 是圆OCD 是弦，BA 、CD 的延长线交于点P ，则∠COD = ▲ . 答案：55332 7 π4A。
2015广东省高考理科数学试卷(高清word版)
绝密★启用前 试卷类型：A2015年普通高等学校招生全国统一试题(广东卷)数学（理科）一、选择题：本大题功8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. 若集合{}|(4)(1)0M x x x =++=，{}|(4)(1)0N x x x =--=，则M N =I （ ） A. {}1,4 B. {}1,4-- C. {}0 D. Φ2. 若复数i(32i)z =-（i 是虚数单位），则z = （ ）A. 23i -B. 23i +C. 32i +D. 32i -3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 （ ）A. y =B. 1y x x =+C. 122x x y =+ D. x y x e =+ 4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。
从袋中任取两个球，所取的两个球中恰有1个白球，一个红球的概率为 （ ）A. 521B. 1021C. 1121D. 15.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线方程是（ ）A. 250x y ++= 或250x y +-=B. 20x y +=或20x y += C. 250x y -+= 或250x y --=D. 20x y -=或20x y -6. 若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为 （ ）A. 4B.235C. 6D. 3157. 已知双曲线2222:1x y C a b-=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 方程（ ）A.22143x y -= B. 221916x y -= C. 221169x y -= D. 22134x y -= 8. 若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值 （ ）A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
2015市二模理科数学
理科数学试题（二）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）CBDA A BCBAD CC. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．23π. 14. 23n n a =. 15.14. 16. 2016 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）11sincos 2222ααα-=，11c o s 22αα-=，所以1sin()62πα-=，又因为α为锐角，所以3πα=. ………………6分（Ⅱ）2()cos 22sin 2sin 2sin 1f x x x x x =+=-++,令sin t x =，则2221(11)y t t t =-++-≤≤，由二次函数的图像知：当12t =时，max 32y =；当1t =-时，min 3y =-， 所以函数()f x 的值域为3[3,]2-. ………………12分18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）证明：PD ⊥平面ABCD ，BC Ü平面ABCD ，BC PD ∴⊥,又,BC CD CD PD D ⊥=,BC PCD ∴⊥面,又PC PCD 面Ü,∴BC PC ⊥. …………6分（Ⅱ）因为,//BC CD AD BC ⊥,所以AD DC ⊥，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，不妨设1AD =,则(1,0,0)A ,(0,0,2)P ,(0,2,0)C ,(2,2,0)B ,设平面PBC 的一个法向量为(,,)m x y z =，又(2,0,0)BC =-,(0,2,2)PC =-,由00m BC m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20220x y z -=⎧⎨-=⎩，不妨取1y =，则(0,1,1)m =，(1,0,2)PA =-,∴PA 与平面PBC 所成角θ的正弦值sin cos ,52PA m PA m PA mθ⋅=<>===⋅. ……………12分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由图知，m 名学生中星期日运动时间少于60分钟的频率为：111()30750300020+⨯=，所以1520m ⨯=，所以100m =；设星期日运动时间在[)90,120内的频率为x ，则1111111()3013000750300100200300600x ++++++⨯+=，所以14x =.所以星期日运动时间在[)90,120内的频率为14. ……………6分 （Ⅱ）由图知，第一组有1人、第二组有4人、第七组有10人，第八组有5人，四组共20人，其中星期日运动时间少于60分钟的有5人.所以ξ可能取值为0,1,2,3，且3515320()(0,1,2,3)i i C C P i i C ξ-⋅===.所以ξ的分布列为所以ξ的期望=0+1+2+3==2282282282282284E ξ⨯⨯⨯⨯. …………12分20.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由c a =,及222a b c =+,设2,,(0)a k c b k k ===>,则由四个顶点构成的四边形面积为4得12242a b ⋅⋅=,即14242k k ⋅⋅=,解得1k =, ∴椭圆22:14x C y +=. ……………5分 （Ⅱ）设直线:l x ty m =+,即0x ty m --=,1m ≥,则由直线l 与圆221x y +=相切得1=,即221t m =-, 由222244()44x y ty m y x ty m⎧+=⇒++=⎨=+⎩,即222(4)240t y tmy m +++-=,易知0∆>恒成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理知：12221222444tm y y t m y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，∴由弦长公式得12AB y =-21212)4]y y y y =+-⋅==,∵1m ≥,∴23AB m m ==≤=+,当且仅当3m m =,即m =时等号成立,所以max 2AB =，所以OAB ∆的面积最大值为12112⨯⨯=. ……………12分21.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知得，221ln ln ()=ex xf x x x--'=.由()0f x '>得01x <<；由()0f x '<得1x >.所以函数()y f x =的单调增区间为：(0,1)，单调减区间为(1,)+∞.……………5分（Ⅱ）不等式()()f x g x ≥恒成立⇔不等式1+ln 1x kx x ≥+恒成立 ⇔不等式(1)(1+ln )x x k x+≤恒成立,令(1)(1+ln )1()1(1+ln )(1)x x h x x x x x +⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，则min ()k h x ≤.因为2ln ()x x h x x-'=，令()l n (1)x x xx ϕ=-≥，则()h x '与()x ϕ同号，因为1()0x x x ϕ-'=≥（当且仅当1x =时取等号），所以()x ϕ在[1,)+∞上递增，所以()(1)10x ϕϕ≥=>，所以()0h x '>，所以()h x 在[1,)+∞上递增，所以min ()(1)2h x h ==，所以 2.k ≤ ……………12分22.证明：（Ⅰ）因为A C B D =,所以ABC BCD ∠=∠.又因为EC 与圆相切于点C ，故ACE ABC∠=∠,所以ACE BCD ∠=∠. ………………5分 （Ⅱ）因为ECB CDB ∠=∠，EBC BCD ∠=∠，所以BDCECB ∆∆，故B C C DB E B C=.即2BC BE CD =⋅.又82BE ,CD ,==所以=4BC . ………………10分23.解：（Ⅰ）曲线1:2cos C ρθ=化为普通方程为：22(1)1x y -+=；直线2C的参数方程x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩ (t 为参数).0y -=.所以曲线1C 是以1C ()1,0为圆心，1r =为半径的圆.所以圆心1C ()1,00y -=的距离为：d ==.所以1AB ==.………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆10分 24.解: 1,1()1223,121,2x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩（Ⅰ）不等式()2f x x >,即112x x ≤⎧⎨->⎩或12232x x x <<⎧⎨->⎩或212x x≥⎧⎨>⎩,解得12x <-,所以不等式()2f x x >的解集为12x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭. ……………5分（Ⅱ）存在x R ∈，使得2()1f x t t >-+,即2max ()1f x t t >-+∵max ()1f x =, ∴只要22110(0,1)t t t t t >-+⇔-<⇔∈即(0,1)t ∈ ……………10分。
(有解析)广东高考理数模卷 2
2015年广东高考数学（理科）模拟试题(二)满分150分． 考试用时120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若集合A={x| |x+1|<2}，B={x|lgx<1}，则集合C R A∩B= ( ) A ．{x|x≥1，或x≤0} B ．{x|x≥1} C. {x|x≤O} D. {x|0<x<1} 2．若复数iiz +-=124．复数z 的共轭复数z 等于 ( ) A. -1+3i B. 1-3i C. 1+3i D. -1-3i3．已知等比数列{a n }的公比为q ，前n 项的和为S n ，且S 3，S 9，S 6成等差数列．则q 3的值是( )A.32 B. 23 C. 21- D.2121或-4．某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其直观图的三视图如右图示（单位长度：cm ，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的 铁皮的面积为( )cm 2．（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计） A. 500 B. 100 (3+√5) C. 100 (3+6) D. 6005．有两个同心圆，在外圆周上有不重合的六个点，在内圆周上有不 重合的三个点，由这九个点确定的直线最少有 ( )A ．36条B ．33条C ．21条D ．18条6．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME —7）的会徽图案，会徽的主体图案是由 如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1=A 1A 2=A 2A 3=…A 7A 8=1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则a 2011=( )A. 2008B. 50C.5022D.20117．求曲线y=x 2与y=2x 所围成图形的面积，其中正确的是 ( )A. ⎰-=202)2(dx x x S B. dx x x S ⎰-=22)2(C. dy y y S ⎰-=22)2( D. dy y y S ⎰-=2)2(二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
2015广东省广州市高考数学二模试卷(理科)(含解析)
2015年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“若2x =，则2320x x +=-”的逆否命题是（ ）．A ．若2x ≠，则2320x x +≠-B ．若2320x x +=-，则2x =C ．若2320x x +≠-，则2x ≠D ．若2x ≠，则2320x x +=-【答案】C【解答】解：命题“若2x =，则2320x x +=-”的逆否命题是 “若2320x x +≠-，则2x ≠”．故选C ． 2．（5分）已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是（ ）．A ．sin sin a b >B ．22log log a b <C ．1122a b <D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解答】解：选项A 错误，比如取πa =，π2b =，显然满足0a b >>，但不满足sin sin a b >； 选项B 错误，由函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增可得22log log a b >； 选项C错误，由函数12y x ==[0,)+∞上单调递增可得1122a b >； 选项D 正确，由函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减可得1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选D ．3．（5分）已知函数40()1,0x f x x x x ⎧⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩≥，则)[](2f f =（ ）． A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】A【解答】解：函数40()1,0x f x x x x ⎧⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩≥，则(2)f =441[(2)](4f f f ⎛⎛==== ⎝⎝．故选A ．4．（5分）函数sin()(0,0,0π)y A x A ωϕωϕ=+>><<的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为（ ）．A ．ππ3sin 44y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．π3π3sin 44y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．ππ3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．π3π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A【解答】解：根据函数的图象，得知：3A =， 2(51)8T =-=，所以：2ππ84ω==，当1x =时，(1)3f =，0πϕ<<， 解得：π4ϕ=， 所以函数的解析式：ππ()3sin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故选A ．5．（5分）已知函数2()23f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使0)(0f x ≥成立的概率为（ ）．A ．425B ．12C ．23D ．1【答案】B【解答】解：已知区间[]4,4-长度为8，满足0)(0f x ≥，200()230f x x x =-++≥，解得013x -≤≤，对应区间长度为4， 由几何概型公式可得，使0)(0f x ≥成立的概率是4182=． 故选B ． 6．（5分）如图，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线长VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ）．VCBAABC D 【答案】B【解答】解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π， 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为α，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π3α=，解得：2π3α=， ∴2π2AOA '∠=，则π13∠=，过C 作CF OA ⊥， ∵C 为OB 的三等分点，3BO =， ∴1OC =， ∵160∠=︒， ∴30OCF ∠=︒，∴12FO =，∴22234CF CO OF -==，∵3AO =，12FO =，∴52AF =， 在Rt AFC △中，利用勾股定理得：2227AC AF FC =+=，则AC = 故选B ．1FCBAO A'7．（5分）已知两定点(1,0)A -，(1,0)B ，若直线l 上存在点M ，使得||||3MA MB +=，则称直线l 为“M 型直线”，给出下列直线：①2x =；②3y x =+；③21y x =--；④1y =；⑤23y x =+．其中是“M 型直线”的条数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解答】解：由题意可知，点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，其方程是2219544x y +=，①把2x =代入2219544x y +=，无解，∴2x =不是“M 型直线”；②把3y x =+代入2219544x y +=，无解，∴3y x =+不是“M 型直线”；③把21y x =--代入22144x y +=，有解，∴21y x =--是“M 型直线”；④把1y =代入22144x y +=，有解，∴1y =是“M 型直线”； ⑤23y x =+代入2219544x y +=，有解，∴23y x =+是“M 型直线”． 故选C ．8．（5分）设(,)P x y 是函数()y f x =的图象上一点，向量5(1,(2))a x =-r ，(1,2)b y x =-r，且满足a b r r ∥，数列{}n a 是公差不为0的等差数列，若129))(((6)3f a f a f a +++=L ，则129a a a +++=L （ ）．A ．0B ．9C ．18D ．36【答案】C【解答】解：∵向量5(1,(2))a x =-r ，(1,2)b y x =-r ，且a b r r ∥，∴52(2)0y x x ---=， 即5(2)2y x x =-+， ∴5()(2)2f x x x =-+； 令5()(2)42g x f x x x =+-=+，则函数()g x 为奇函数，且是定义域内的增函数， 由129))(((6)3f a f a f a +++=L ， 得129(2)(2)(2)0g a g a g a +++---=L ， 又数列{}n a 是公差不为0的等差数列， ∴5(2)0g a -=，即520a -=，52a =， ∴129599218a a a a +++==⨯=L ．故选C ．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9～13题） 9．（5分）已知i 为虚数单位，复数1i1iz -=+，则||z =__________． 【答案】1【解答】解：i 为虚数单位，复数1i1i z -=+，则1i |1i|||11i |1i |z --====++． 故答案为：1． 10．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为__________．【答案】10【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出 22221234S -=-++的值∵2222123410S -=-++=． 故答案为：10．11．（5分）已知π()sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若3πcos 052αα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则π12f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【解答】解：∵3cos 5α=，且π02α<<，∴4sin 5，又∵π()sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴πππsin 12126f αα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 4α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭cos )αα+=，． 12．（5分）5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共有__________种（用数字作答）． 【答案】30【解答】解：先从5人中任取4人，共有45C 种不同的取法．再把4人分成两部分，每部分2人，共有224222C C A 种分法．最后排在周六和周日两天，有22A 种排法，∴2242425222C C C A 30A ⨯⨯=种．故答案为：30．13．（5分）在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a u u r ，2a u u r ，3a u u r；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c u r ，2c u u r ，3c u u r．若m 为()()i j s t a a c c +⋅+u u r u u r u u r u r 的最小值，其中{}{},1,2,3i j ⊆，{}{},1,2,3s t ⊆，则m =__________．【答案】5-【解答】解：不妨记以A 为起点，其余顶点为终点的向量为1a u u r ，2a u u r ，3a u u r分别为AB u u u r ，AC u u u r ，AD u u u r ，以C为起点，其余顶点为终点的向量为1c u r ，2c u u r，分别为CD u u u r ，CA u u u r ，CB u u u r ．如图建立坐标系．（1）当1i =，2j =，1s =，2t =时，则()()[1,0)(1,1)][1,0)(1,1)5(((]i j s t a a c c +⋅+=+=-⋅+---u u r u u r u u r u r；（2）当1i =，2j =，1s =，3t =时，则()()[1,0)(1,1)][1,0)(0,1)]3(((i j s t a a c c +⋅+=+⋅+-=--u u r u u r u u r u r；（3）当1i =，2j =，2s =，3t =时，则()()[1,0)(1,1)][1,1)(0,1)4(((]i j s t a a c c +⋅+=++-⋅--=-u u r u u r u u r u r；（4）当1i =，3j =，1s =，2t =时，则()()[1,0)(0,1)][1,0)(1,1)3(((]i j s t a a c c +⋅+=+=-⋅+---u u r u u r u u r u r；同样地，当i ，j ，s ，t 取其它值时，()()5i j s t a a c c +⋅+=-u u r u u r u u r u r，4-或3-．则()()i j s t a a c c +⋅+u u r u u r u u r u r的最小值是5-．故答案为：5-．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点，AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为__________．FCBAGD【答案】【解答】解：∵AE 为DAB ∠的平分线， ∴DAF BAF ∠=∠， ∵DC AB ∥， ∴BAF DEA ∠=∠， ∴DAF DEA ∠=∠， ∴AD ED =， 又E 为DC 的中点， ∴DE CE =，∴11222AD DE DC AB ====，在Rt ADG △中，根据勾股定理得：AG则2AE AG == ∵平行四边形ABCD ， ∴AD BC ∥，∴DAE F ∠=∠，ADE FCE ∠=∠， 在ADE △和FCE △中，DAE FADE FCE DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE △≌()FCE AAS △， ∴AE FE =，则2AF AE ==．故答案是：．E DGABCF（坐标系与参数方程选做题）15．在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为3212x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和242x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有__________个． 【答案】1【解答】1解：已知曲线1C 方程3212x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）转化为直角坐标方程为：20x y --=．曲线2C 的方程242x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），转化为直角坐标方程为：28x y = 所以：2820x yx y ⎧=⎨--=⎩，整理得：28160x x +=-， 所以：64640∆=-=， 则：曲线1C 和2C 的交点有1个．故答案为：1．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）已知ABC △的三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值．（2）若ABC △的面积为ABC △的外接圆半径的大小． 【答案】见解析．【解答】解：（1）根据题意设7a k =，5b k =，3c k =，∴2222222259491cos 2302b c a k k k A bc k +-+-===-， 则2π3A =．（2）∵1sin 2ABC S bc A ==△∴21152k ⋅=k =，∴7a k == 由正弦定理2sin aR A =，得：142sin a R A ==． 17．（12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在2060:岁的问卷中随机抽取了n 份，统计结果如图表所示．（1）分别求出a ，b ，c （2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记X 为第3组被授予“环保之星”的人数，求X 的分布列与数学期望．年龄【答案】见解析．【解答】（本小题满分12分）解：（1）根据频率直方分布图，得(0.0100.0250.035)101c +++⨯=， 解得0.03c =．第3组人数为50.510÷=，所以100.1100n =÷=． 第1组人数为1000.3535⨯=，所以28350.8b =÷=． 第4组人数为1000.2525⨯=，所以250.410a =⨯=． （2）因为第3，4组答对全卷的人的比为5:101:2=， 所以第3，4组应依次抽取2人，4人． 依题意X 的取值为0，1，2．002426C C 2(0)C 5P X ===， 112426C C 8(1)5C 1P X ===， 202426C C 1(2)5C 1P X ===， 所以X 的分布列为：所以2812012515153EX =⨯+⨯+⨯=．18．（14分）如图，已知六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的侧棱垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，M ，N 分别是棱AB ，1AA 上的点，且1AM AN ==．（1）证明：M ，N ，1E ，D 四点共面． （2）求直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值．F 1E 1C 1D 1A 1B 1N F ECB A D【答案】见解析．【解答】（1）证明：连接1A B ，11D B ，BD ，11A E ， 在四边形1111A B D E 中，1111A E B D =，且1111A E B D ∥， 在四边形11BB D D 中，11BD B D ∥，且11BD B D =， 所以：11A E BD ∥，且11A E BD =， 则四边形11A BDE 是平行四边形． 所以11A B E D ∥．在1ABA △中，1AM AN ==，13AB AA ==， 所以：1AM ANAB AA = 则：1MN BA ∥， 且：1MN DE ∥，所以：M ，N ，1E ，D 四点共面；D A B CEFN B 1A 1D 1C 1E 1F 1（2）解：以点E 坐标原点，EA ，ED ，1EE 线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则B，9,,02C ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,3,0)D ，10,(0,3)E，M ．3,,02BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，1(0,3,3)DE =-u u u u r，2,0)DM =-u u u u r ， 设平面1MNE D 的法向量为：(,,)m x y z =u r ，则：100m DE m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u u r u r u u u u r ，即：33020y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：m =，设直线BC 与平面1MNE D 所成的角为θ，则sin ||||m BC m BC θ⋅=u r u u u r u r u u u r ， 故直线BC 与平面1MNE DFF19．（14分）已知点*(,)()n n n P a b n ∈N 在直线:31l y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）求证：2221213111111||||||6n PP PP PP ++++<L ． 【答案】见解析．【解答】（1）解：∵点*(,)()n n n P a b n ∈N 在直线:31l y x =+上，∴31n n b a =+，直线l 与y 轴的交点为(0,1)，∴10a =，11b =．∵数列{}n a 是公差为1的等差数列，∴1n a n =-．∴3(1)132n b n n =-+=-．∴数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为：1n a n =-，32n b n =-．（2）证明：∵1)(0,1P ，1,3(2)n P n n --，∴1,31()n P n n ++．∴222211||(3)10n PP n n n +=+=， ∴1221111111111||1010521214n PP n n n n +⎛⎫=<⋅=- ⎪-+⎝⎭-． ∴当2n ≥时，22212131111111111111||||||10535572121n PP PP PP n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111111110532110156n ⎛⎫=+-<+< ⎪+⎝⎭． 又当1n =时，212111||106PP =<． ∴2221213111111||||||6n PP PP PP ++++<L ． 20．（14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点(0,0)和(1,1)-，圆D 的方程为22(4)4x y -+=． （1）求圆C 的方程．（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求||AB 的取值范围．【答案】见解析．【解答】解：（1）过两点(0,0)A 和(1,1)B -的直线的斜率为1-， 则线段AB 的中垂线方程为：11122y x ⎛⎫-=⨯+ ⎪⎝⎭，整理得：1y x =+． 取0y =，得1x =-．∴圆C 的圆心坐标为(1,0)-，半径为1，∴圆C 的方程为：22(1)1x y ++=；（2）设00)(,P x y ，(0,)A a ，(0,)B b ，则直线PA 方程为00y a x y a x -=-，整理得：000()0y a x x y ax -+=-．∵直线PA 与圆C1=，化简得2000(2)20x a y a x +--=；同理可得PB 方程2000(2)20x b y b x +--=， 因而a ，b 为2000(2)20x x y x x +--=的两根，∴||||AB a b =-== 令02[,8]4t x =+∈，则||AB =，配方可求得min ||AB，max ||AB =．故答案为：⎦21．（14分）已知函数1()ln 1x f x a x x -=-+，()e x g x =（其中e 为自然对数的底数）． （1）若函数()f x 在区间(0,1)内是增函数，求实数a 的取值范围； （2）当0b >时，函数()g x 的图象C 上有两点(e ),b P b 、(,)e b Q b --，过点P 、Q 作图象C 的切线分别记为1l 、2l ，设1l 与2l 的交点为00)(,M x y ，证明：00x >．【答案】见解析．【解答】解：（1）∵2()ln 11f x a x x =+-+， ∴22(1)2()(1)a x x f x x x +-'=+， 若函数()f x 在区间(0,1)内是增函数， 则2(1)20a x x -+≥，∴2222(1)4x a x =++≥， ∴12a ≥． （2）∵()e x g x '=，∴()()e b g b g b '==，∴1:(e )e b b l y x b =-+…①，()()e b g b g b -'-=-=，∴2:(e )e b b l y x b --=++…②，由①②得：e )e e ()e (b b b b x b x b ---+=++，两边同乘以e b 得：22e )e (1b b x b x b -+=++，∴222(e 1)e e 1b b b x b b =-+-⋅+，∴2202e e 1e 1b b b b b x -++=-， 分母2e 10b ->， 令22()e e 1b b h b b b -=++， ∴22()2e e 1b b h b b -'=+， ∴2()4e 10b h b b ''=+>， ∴min ()(0)0h b h +''→→，∴min ()(0)0h b h b →→>， ∴00x >．。
[精品]广东省广州市2015高中毕业班综合测试(二)高中数学理科试题和答案
![[精品]广东省广州市2015高中毕业班综合测试(二)高中数学理科试题和答案](https://img.taocdn.com/s3/m/018a862cbb68a98271fefa98.png)
试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2015.4本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：球的表面积公式24S R =π，其中R 是球的半径．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“若2x =，则2320x x -+=”的逆否命题是A ．若2x ≠，则2320x x -+≠B ．若2320x x -+=，则2x =C ．若2320x x -+≠，则2x ≠D ．若2x ≠，则2320x x -+= 2．已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是A ．sin sin a b >B ．22log log a b <C ．1122a b <D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．已知函数()40,1,0,x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩则()2f f =⎡⎤⎣⎦A ．14B ．12C ．2D ．44．函数()sin y A x ωϕ=+()0,0,0A ωϕ>><<π的图象的一部分如图1则此函数的解析式为A ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭ B ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭C ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭D ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭5．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为 A ．425B ．12C ．23 D ．16．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =， 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是A C ．3 D ．27．已知两定点()1,0A -，()1,0B ，若直线l 上存在点M ，使得3MA MB +=， 则称直线l 为“M 型直线”．给出下列直线：①2x =；②3y x =+； ③21y x =--；④1y =；⑤23y x =+．其中是“M 型直线”的条数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．设(),P x y 是函数()y f x =的图象上一点，向量()()51,2x =-a ，()1,2y x =-b ，且//a b .数列{}n a是公差不为0的等差数列，且()()()12936f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则129a a a ++⋅⋅⋅+=图1AV CB图2A.0B.9C.18D.36 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9．已知i 为虚数单位，复数1i1iz -=+，则z = ． 10．执行如图3所示的程序框图，则输出的z 的值是 ．11．已知()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若3cos 5α=02απ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则12f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．12．5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共有_________种（用数字作答）．13．在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ；以C()()ijst +∙+a a cc 的最小值，其中{}{},1,2,3i j ⊆，{}{},1,2,3s t ⊆（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图4，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点，AE 与BC 的延长线交于点F，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）图4在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有 个． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC的面积为，求△ABC 外接圆半径的大小．17．（本小题满分12分）答一份）．现从回收的年龄在20～60份，统计结果如下面的图表所示．（a b c n （2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记X 为第3组被授予“环保之星”的人数，求X 的分布列与数学期望．18．（本小题满分14分）如图5，已知六棱柱111111ABCDEF A BC D E F -的侧棱 垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，M ，N 分别 是棱AB ，1AA 上的点，且1AM AN ==． （1）证明：M ，N ，1E ，D 四点共面；（2）求直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值．19．（本小题满分14分）已知点(),n n n P a b ()n ∈*N 在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：22212131111116n PP PP PP ++++<．C 1ABA 1B 1D 1CDMNE FE 1F 1 图520．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x a x =-11x x -+，()e xg x =（其中e 为自然对数的底数）． （1）若函数()f x 在区间()0,1内是增函数，求实数a 的取值范围；（2）当0b >时，函数()g x 的图象C 上有两点(),e b P b ，(),e b Q b --，过点P ，Q 作图象C 的切线分别记为1l ，2l ，设1l 与2l 的交点为()00,M x y ，证明00x >．2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．16．解：（1）因为::7:5:3a b c=，所以可设7b k=，=，5a kk>，…………………………………………………………2分=()0c k3由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯…………………………………………………………3分12=-．………………………………………………………………………………………………4分（2）由（1）知，1cos 2A =-，因为A 是△ABC 的内角， 所以s i A=………6分由（1）知5b k =，3c k =， 因为△ABC的面积为，所以1sin 2bc A =8分即15322k k ⨯⨯⨯= 解得k =…………10分由正弦定理2sina R A =，即71432s n2kR A==，…………………………………………………11分解得14R =． 所以△ABC外接圆半径的大小为14．…………………………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（1）根据频率直方分布图，得()0.0100.0250.035101c +++⨯=， 解得0.03c =．……………………………………………………………………………………………1分 第3组人数为105.05=÷，所以1001.010=÷=n ．…………………………………………………2分第1组人数为1000.3535⨯=，所以28350.8b =÷=．……………………………………………3分第4组人数为2525.0100=⨯，所以250.410a =⨯=．……………………………………………4分（2）因为第3，4组答对全卷的人的比为5:101:2=， 所以第3，4组应依次抽取2人，4人.…………………………………………………………………5分 依题意X的取值为0，1，2．……………………………………………………………………………6分()022426C C 20C 5P X ===，…………………………………………………………………………………7分()112426C C 81C 15P X ===，………………………………………………………………………………8分()202426C C 12C 15P X ===，………………………………………………………………………………9分所以X 的分布列为：………………………………………10分所以280151EX =⨯+⨯+⨯=． ………………………………………………………………12分18．（本小题满分14分）第（1）问用几何法，第（2）问用向量法： （1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ，在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ，在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ， 所以11A E BD 且11=A E BD ，所以四边形11A BDE 是平行四边形．所以11A B E D ．………………………………2分 在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==， 所以1AM ANAB AA =， 所以1MN．…………………………………………………………………………………………4分所以1MN DE ．所以M，N，1E ，D四点共面．………………………………………………………………………6分 （2）解：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系， 则()B ，9,02C ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,3,0D ， ()10,0,3E ，()M 1C 1A BA 1B 1D 1CDMN E FE 1F 1则3,02BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()10,3,3DE =-，()2,0DM =-．……………………………………10分设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，则10,0.DE DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即330,20.y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩取y =2x =，z = 所以(23,33=n 是平面1MNE D的一个法向量．………………………………………………12分设直线BC 与平面1MNE D 所成的角为θ，则sin BC BCθ⋅=⋅n n116==． 故直线BC与平面1M NE D 所成角的正弦值为116． (14)第（1）（2）问均用向量法：（1）证明：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 分别为x 轴，y 轴，z 则()B ，9,02C ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,3,0D ，()10,0,3E ，()M ，()N ，……………2分所以()10,3,3DE =-，()0,1,1MN =-． ………………3分 因为13DE MN =，且MN 与1DE 不重合，所以1DE MN ．…………………………………………5分 所以M，N，1E ，D四点共面．………………………………………………………………………6分 （2）解：由（1）知,02BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()10,3,3DE =-，()2,0DM =-．………………10分（特别说明：由于给分板（1）6分（2）8分，相当于把（1）中建系与写点坐标只给2分在此加2分）设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，则10,0.DE DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即330,20.y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩取y =2x =，z = 所以(23,33=n 是平面1MNE D的一个法向量．………………………………………………12分设直线1BC 与平面1MNE D 所成的角为θ，则sin BC BCθ⋅=⋅n n==． 故直线BC与平面1MN E D 所成角的正弦值为．………………………………………………14分 第（1）（2）问均用几何法：（1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ，在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ， 在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ， 所以11A E BD 且11=A E BD ，C 1BA 1B 1D 1CDNEFE 1F 1所以四边形11A BDE 是平行四边形．所以11A B E D ．………………………………2分 在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==， 所以1AM ANAB AA =， 所以1MN．…………………………………………………………………………………………4分所以1MN DE ．所以M，N，1E ，D四点共面．………………………………………………………………………6分 （2）连接AD ，因为BCAD ，所以直线AD 与平面1MNE D 所成的角即为直线BC 与平面1MNE D 所成的角．…………………7分连接DN ，设点A 到平面DMN 的距离为h ，直线AD 与平面1MNE D 所成的角为θ，则sin hADθ=．……………………………………………………………………………………………8分因为A V V--=，即1133DMN AMN S h S DB ∆∆⨯⨯=⨯⨯．…………………………………………9分 在边长为3的正六边形ABCDEF中，DB =6DA =， 在△ADM 中，6DA =，1AM =，60DAM ∠=，由余弦定理可得，DM =在Rt △DAN 中，6DA =，1AN =，所以DN 在Rt △AMN 中，1AM =，1AN =，所以MN =在△DMN中，DM =DN =MN =由余弦定理可得，cos DMN ∠=，所以sin DMN ∠=． 所以1s 22DMN S MN DM DMN ∆=⨯⨯⨯∠=．…………………………………………………11分又12AMN S ∆=，……………………………………………………………………………………………12分所以AMN DMN S DB h S ∆∆⨯==．…………………………………………………………………………13分所以sin h AD θ==故直线BC与平面1MN E D 所成角的正弦值为116．………………………………………………14分 19．（本小题满分14分）（1）解：因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1， 所以10a =，11b =．……………………………………………………………………………………2分因为数列{}n a 是公差为1的等差数列， 所以1n a n =-．……………………………………………………………………………………………4分因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上， 所以31n n b a =+32n =-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分（2）证明：因为()10,1P ，()1,32n P n n --，所以()1,31n P n n ++．所以()222211310n PP n n n +=+=．………………………………………………………………………7分所以221211n P P +++211n ⎛⎫=+++⎪⎝⎭．……………………………………8分因为()()2221144112141212121214n n n n n n n ⎛⎫<===- ⎪--+-+⎝⎭-，……………………………10分所以，当2n ≥时，222121311111n PP PP PP ++++111111210352121n n ⎡⎤⎛⎫<+-++- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦……………………………………………………………11分15110321n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭………………………………………………………………………………………12分16<． 又当1n =时，212111106PP =<．………………………………………………………………………13分所以2212116nP P ++．……………………………………………………………14分20．（本小题满分14分） 解：（1）方法一：设圆C的方程为：()222x a y r -+=()0r >，………………………………………1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-， 所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩………………………………………………………………………………3分解得1a =-，1r =． 所以圆C的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．………………………………1分因为直线l的方程为1122y x -=+，即1y x =+，……………………………………………………2分所以圆心C的坐标为()1,0-．…………………………………………………………………………3分 所以圆C的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-， 则点A 的坐标为()0100,y k x -， 同理可得点B 的坐标为()0200,y k x -， 所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k1=，即1k ，2k 是方程()()2220000022110xx k y x k y +-++-=的两根，………………………………7分即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以12A B =-x =9分因为()220044y x =--， 所以AB =………10分设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．………………………………………………………………………………11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，……………………12分所以()0max2225564f x f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}min0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分 方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥， 解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分设点()0,A a ，()0,B b ， 则直线PA ：00y ay a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=，因为直线PA 与圆C1=，化简得()2000220x a y a x +--=． ① 同理得()2000220x b y b x +--=， ② 由①②知a，b为方程()2000220x x y x x +--=的两根，…………………………………………7分即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以AB a b =-===…9分因为()220044y x =--， 所以AB =………10分=．………………………………………………………………11分令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤．所以AB ==，………………………………………12分 当532t =时，max AB =， 当14t =时，min AB =所以AB 的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分 21．（本小题满分14分）（1）解法一：因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数， 所以()()2201a f x x x '=-≥+()01x <<．……………………………………………………………1分即()2120a x x +-≥()01x <<，即()221x a x ≥+……………………………………………………………………………………………2分212x x=++()01x <<， 因为21122x x<++在()0,1x ∈内恒成立， 所以12a ≥．故实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．……………………………………………………………………4分 解法二：因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数， 所以()()2201a f x x x '-+≥=()01x <<．……………………………………………………………1分即()2120a x x +-≥()01x <<，即()2210ax a x a +-+≥()01x <<，…………………………………………………………………2分设()()221g x ax a x a =+-+，当0a =时，得20x -≥，此时不合题意．当0a <时，需满足()()00,10,g g ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩即()0,210,a a a a ≥⎧⎪⎨+-+≥⎪⎩解得12a ≥，此时不合题意． 当0a >时，需满足()222140a a --≤⎡⎤⎣⎦或()()00,10,10,g g a a ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪-<⎩或()()00,10,11,g g a a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪->⎩ 解得12a ≥或1a >， 所以12a ≥．综上所述，实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．……………………………………………………………4分 （2）证明：因为函数()e x g x =，所以()e xg x '=． 过点(),e b P b ，(),e b Q b --作曲线C 的切线方程为：1l ：()e e b b y x b =-+，2l ：()e e b b y x b --=++，因为1l 与2l 的交点为()00,M x y ，由()()e e ,e e ,b b b b y x b y x b --⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩ ………………………………………………………………………………6分消去y ，解得()()()0e +e e e e e b b b b b b b x -----=-． ①…………………………………………7分下面给出判定00x >的两种方法：方法一：设e b t =，………………………………………………………………………………………8分因为0b >，所以1t >，且ln b t =．所以()()2202+1ln 11t t t x t --=-．…………………………………………………………………………9分设()()()22+1ln 1h t t t t =--()1t >，则()12ln h t t t t t'=-+()1t >．………………………………………………………………………10分令()12ln u t t t t t =-+()1t >，则()212ln 1u t t t '=+-． 当1t >时，l n t >，2110t ->，所以()212ln 10u t t t '=+->，………………………………11分 所以函数()u t 在()1,+∞上是增函数，所以()()10u t u >=，即()0h t '>，…………………………………………………………………12分所以函数()h t 在()1,+∞上是增函数，所以()()10h t h >=．…………………………………………………………………………………13分因为当1t >时，210t ->，所以()()2202+1ln 101t t t x t --=>-．…………………………………………………………………14分方法二：由①得0x ()221+e 11e b b b --=--． 设2e b t -=，…………………………………………………………………………………………………8分因为0b >，所以01t <<，且ln 2t b =-．于是21ln b t-=，……………………………………………………………………………………………9分所以()01+221ln 1ln 1b t b t x b t t t t +⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭．…………………………………………………………10分由（1）知当12a =时，()1ln 2f x x =-11x x -+在区间()0,1上是增函数，…………………………11分所以()ln 2t f t =-()1101t f t -<=+， 即ln 2t <11t t -+． …………………………………………………………………………………………12分 即210ln 1t t t++>-，………………………………………………………………………………………13分已知0b >，所以0210ln 1t x b t t +⎛⎫=+> ⎪-⎝⎭．…………………………………………………………………………14分。
广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编
广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编不等式1（2015届惠州市）若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值等于 ( )A ．7B ．8C ．10D ．11 2（2015届惠州市）设0,0a b >>，若1a b +=，则11a b+的最小值为__________． 3（2015届揭阳市）已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0101205x y x y x ，则y x 的最小值是A.1B. 4C.23D.0 4（2015届茂名市）设变量y x ,满足约束条件2003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则y x z 2+=的最小值为（ ）.A. -3B. -1 C ．13 D ．-5 5（2015届茂名市）不等式112≤+--x x 的解集为 . 6（2015届深圳市）若实数x ，y 满足约束条件1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩,则2x y +的取值范围是A ．[0,6]B ．[1,6]7（2015届深圳市）不等式5|2||1|≤-+-x x 的解集为 ．C ．[1,5]D ．[0,5]8（2015届湛江市）2015某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≥-6252x y x y x ，则该校招聘的教师最多是 名．9（2015届肇庆市）不等式0|5||12|>--+x x 的解集为 ▲ .10（2015届佛山市）不等式112<-x 的解集为 . 答案：C 4 C A [)+∞,0 B []2,3- 10 ),34()6,(+∞--∞ （0, 1）广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编复数1．（2015届潮州市）若复数(2)(1)i ai ++是纯虚数(i 是虚数单位，a 是实数)，则a 等于（ ）A. -1B. 21-C.2D. 3 2．（2015届佛山市）若复数z 满足2)1()1(i z i +=-，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3（2015届惠州市）已知b 为实数，i 为虚数单位，若21b ii+⋅-为实数，则b = ( ) A ．1- B ．2- C ．1 D ．24（2015届揭阳市）已知复数1z i =+，则21z z=- A. 2 B. －2 C. 2i D. －2i 5（2015届茂名市） 复数311(i i-为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标是 （ ）. A ．(1,1) B ．(1,1)- C ．(1,1)- D ．(1,1)--6（2015届深圳市）设i 为虚数单位，则复数 2015i 等于A ．1B ．1-C ．iD ．i -7（2015届湛江市）已知z 是复数，i 是虚数单位，若i zi +=1，则z =（ ）．A ．i +1B ．i -1C ．i +-1D ．i --1 8（2015届肇庆市）设i 为虚数单位，则复数)1(i i z -=对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：C B B B D B A9（2015届广州市）已知i 为虚数单位，复数1i1iz -=+，则z = ． 答案：1广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编集合与常用逻辑用语一．选择题1.（2015届潮州市）设集合101x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,{}1B x x a =-<,则“1a =”是“A B ≠∅ ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又必要条件 2.（2015届佛山市）集合{}40 <<∈=x N x A 的子集个数为（ ）A ． 3B ．4C ．7D ．83（2015届佛山市）已知函数)( 11ln )(R a x a x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=.命题p ：)(, x f R a ∈∃是奇函数；命题q ：)(, x f R a ∈∀在定义域内是增函数，那么下列命题为真命题的是（ ）A ．p ⌝B ．q p ∧C ．()q p ∧⌝D ．()q p ⌝∧4（2015届佛山市）已知a , b , c 均为直线，α, β为平面.下面关于直线与平面关系的命题：（1）任意给定一条直线a 与一个平面α，则平面α内必存在与a 垂直的直线； （2）任意给定的三条直线a , b , c ，必存在与a , b , c 都相交的直线； （3）α//β，βα⊂⊂b a , ，必存在与a , b 都垂直的直线； （4）βαβαβα⊂⊂=⊥b a c , , , ，若a 不垂直c ，则a 不垂直b . 其中真命题的个数为（ ） A ． 1 B ． 2 C ．3D ．45（2015届佛山市）若集合P 具有以下性质：① P P ∈∈1, 0； ② 若P y x ∈,，则P y x ∈-，且0≠x 时，P x∈1.则称集合P 是“Γ集”，则下列结论不正确的是( ) A ．整数集Z 是“Γ集” B ．有理数集Q 是 “Γ集”C ．对任意的一个“Γ集”P ，若P y x ∈,，则必有P xy ∈D ．对任意的一个“Γ集”P ，若P y x ∈,，且0≠x ，则必有P xy∈ 6（2015届广州市）命题“若2x =，则2320x x -+=”的逆否命题是A ．若2x ≠，则2320x x -+≠B ．若2320x x -+=，则2x =C ．若2320x x -+≠，则2x ≠D ．若2x ≠，则2320x x -+= 7．（2015届惠州市）若集合{|01,}A x x x x R =<>∈或，{}2,B x x x R =>∈，则 ( )A ．AB ⊇ B ．A B =C ．A B ⊆D ．A B φ=8（2015届惠州市）下列命题的说法 错误．．的是 ( ) A ．若复合命题q p ∧为假命题，则,p q 都是假命题． B ．“1=x ”是“2320x x -+=”的充分不必要条件．C ．对于命题2:,10,p x R x x ∀∈++> 则2:,10p x R x x ⌝∃∈++≤．D ．命题“若2320x x -+=，则1=x ”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”9．（2015届揭阳市）已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，则下列表示正确的是A.1A -∉B.11A -∈C.32k A +∉D.231k A -∈ 10（2015届揭阳市）命题P ：“2,12x R x x ∃∈+<”的否定P ⌝为A. 2,12x R x x ∃∈+>B.2,12x R x x ∃∈+≥C.2,12x R x x ∀∈+≥D.2,12x R x x ∀∈+<11（2015届茂名市） 设集合{}1,4,5M =,{}0,3,5N =,则M N = （ ）.A ．{}1,4B ．{}0,3C ．{}0,1,3,4,5D ．{}512（2015届湛江市）．已知集合{}231x x M =-<，集合{}13x x N =-<<，则M N = （ ）．A ．MB ．NC ．{}12x x -<<D ．{}3x x <13（2015届肇庆市）．对于非空集合A 、B ，定义运算：},|{B A x B A x x B A ∉∈=⊕且. 已知}|{b x a x M <<=，}|{d x c x N <<=，其中a 、b 、c 、d 满足d c b a +=+，0<<cd ab ，则=⊕N MA ．),(),(c b d aB ．),(),(b d a cC ．(][)d b a c ,,D ．(][)b d c a ,, 答案：A D D B A C A A D C D C D二．填空题1．（2015届深圳市）已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，则“2ab c >”是“π3C <”的 条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一种）． 2．（2015届湛江市）已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有____________种． 答案：充分非必要 31广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编函数1、（2015届广州市）已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是A ．sin sin a b >B ．22log log a b <C ．1122a b <D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2（2015届广州市）已知函数()4,0,1,0,x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩则()2f f =⎡⎤⎣⎦ A ．14 B ．12C ．2D ．43．（2015届广州市）已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为 A ．425B ．12C ．23D ．14（2015届惠州市）下列函数中，既是奇函数又存在极值的函数是 ( ) A ．3y x = B ．1y x x=+C ．e x y x -=⋅D ．ln()y x =- 5（2015届揭阳市）已知幂函数()y f x =的图象过点1(3,)3，则12log (2)f 的值为 ．6（2015届茂名市） 若函数()y f x =在实数集R 上的图象是连续不断的，且对任意实数x 存在常数t 使得()()f t x tf x +=恒成立，则称()y f x =是一个“关于t 函数”．现有下列“关图1侧视图正视图h65于t 函数”的结论：①常数函数是“关于t 函数”；②“关于2函数”至少有一个零点；③xx f )21()(=是一个“关于t 函数”．其中正确结论的个数是 ( ).A ．1B ．2C ．3D ．0 7（2015届茂名市） 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当x >0 时, ()f x ＝1＋x)21(，则(2)f -＝ .8（2015届深圳市）下列四个函数中，在闭区间]1,1[-上单调递增的函数是A ．2x y =B ．x y 2=C ．x y 2log =D ．x y 2sin =9（2015届肇庆市）函数x x y -+-=3)2ln(的定义域 ▲ . 答案：D A B B 1 B 45-B (]3,2 广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编 立体几何1．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，得该几何体的表面积是________.2．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是A ．13B ．7C ．433D ．3323．多面体MN ABCD -的底面ABCD 矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为 ( ) A ．163B ．6C ．203D ．64．图1中的三个直角三角形是一个体积为330cm 的几何体的三视图，AV CB图22224ABC DMN则侧视图中的h =_________cm ．5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）. A ．23 B ．43 C ．83D ．46．如图1，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸， 则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计） A ．π8+ B ．π48+C ．π16+D ．π416+答案： 12π B C 6 B C 7（本小题满分14分）如图1,平面五边形SABCD 中SAD ABC DA CD BC AB SA ∆=∠=====,32,2,215π沿AD 折起成.如图2，使顶点S 在底面的射影是四边形ABCD 的中心O ，M 为BC 上一点，21=BM . （1）证明：SOM BC 平面⊥； （2）求二面角C SM A --的正弦值。
2015学年高考理科数学年广东卷
2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】由已知得{|21}B x x =-<<，故,}10{A B -=I ，故选A ． 【提示】解一元二次不等式，求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【考点】集合的交集运算和一元二次方程求根． 2.【答案】B【解析】由已知得24+(4)i 4i a -=-，所以40a =，244a -=-，解得0a =，故选B ．【提示】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之． 【考点】复数的四则运算． 3.【答案】D【解析】解：A ．从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A 正确；B ．2004~2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C ．从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D 错误． 故选：D【提示】A ．从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A 正确； B ．从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C ．从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D 错误． 【考点】柱形图信息的获得． 4.【答案】B【解析】设等比数列公比为q ，则24111++21a a q a q =，又因为13a =，所以42+60q q -=，解得22q =，所以2357135++(++)42a a a a a a q ==，故选B ．【提示】由已知，13a =，135++21a a a =，利用等比数列的通项公式可求q ，然后在代入等比数列通项公式5k=-，所以1AB CB32622()0x g x >，数形结合解不等式组即可．Ⅱ卷+a b λ与+2a b 平行，所以+(+2)a b k a b λ=，则1λ⎧⎨+a b λ与+2a b 之间的关系，利用向量相等解析1n S ，两边同时除以+1n S ，得1S 11(n S =--，所以n S =-1n S ，并变形可得数列sin AB AD BAD ∠sin AC AD CAD ∠∠AD BD ADBcos∠AD DC ADCcos，【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下：【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：为坐标原点，DA 的方向为．(0,HE =-，(10,0,0)FE =设(,,)n x y z =是平面EHGF 00n FE n HE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即，所以可取(0,4,3)n =又(10,4,8)AF -=||45,|=15||||n AF n AF n AF =所成的角的正弦值为4515．轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确的法向量为(,,)n x y z=n FEn HE⎧=⎪⎨=⎪⎩即可求出法向量AF坐标可以求出，,|n A F即可求得直线【考点】线面平行、相交，线面夹角的求解．又因为O分别与∥．EF BC（Ⅱ）由（Ⅰ）知，是EF的垂直平分线，又为O的弦，等于O的半径的，30＝，因此△OAE︒2，3。
广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编.坐标系与参数方程选做题
广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编坐标系与参数方程选做题1（2015届潮州市）已知圆的极坐标方程2cos ρθ=，直线的极坐标方程为cos 2sin 70ρθρθ-+=，则圆心到直线距离为 ．2（2015届佛山市）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==t y t x 4 （t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标为)4sin(24πθρ+=，则直线l 和曲线C 的公共点有 个.3（2015届广州市）在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有 个．4（2015届惠州市）若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线244x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）上，则PF等于______．5（2015届揭阳市）在极坐标系(,)ρθ (02)θπ≤<中，曲线(2cos sin )3ρθθ-=与(cos 2sin )1ρθθ+=-的交点的极坐标为 ．6（2015届茂名市）已知圆的极坐标方程为θρcos 2=,以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程为221x t y t⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩ (t 为参数),则圆心到直线l 的距离为 . 7（2015届深圳市）在直角坐标系中，已知直线l ：12x s y s =+⎧⎨=-⎩（s 为参数）与曲线C ：23x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）相交于A 、B 两点，则AB =_________．8（2015届肇庆市）在极坐标系)20,0)(,(πθρθρ＜＞≤中，点（1，0）关于直线1sin 2=θρ对称的点的极坐标是 ▲ . 答案：855 1 1 4 7(2,)4π 2 2 )4,2(π。
2015年广东省高考理科数学试题word版
绝密★启用前 试卷类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合()(){}410x x x M =++=，()(){}410x x x N =--=，则M N=（ ）A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅2、若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．23i -B ．23i +C ．32i +D ．32i -3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．y =B ．1y x x =+C ．122x x y =+D ．x y x e =+4、袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）A ．521B ．1021C ．1121D ．15、平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）A ．250x y ++=或250x y +-=B ．20x y +=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --=D ．20x y -或20x y -=6、若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为（ ）A ．4B ．235C ．6D ．3157、已知双曲线C :22221x y a b-=的离心率54e =，且其右焦点为()2F 5,0，则双曲线C的方程为（ ）A ．22143x y -= B ．221916x y -= C ．221169x y -= D ．22134x y -= 8、若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．） （一）必做题（11~13题） 9、在)41的展开式中，x 的系数为 ．10、在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ． 11、设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．若a =1sin 2B =，C 6π=，则b = ． 12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答） 13、已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()D 20X =，则p = ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题） 14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线l的极坐标方程为2sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，点A 的极坐标为7,4π⎛⎫A ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 ． 15、（几何证明选讲选做题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，C E 是圆O 的切线，切点为C ，C 1B =．过圆心O 作C B 的平行线，分别交C E 和C A 于点D 和点P ，则D O = ．三、解答题16.（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xoy 中，已知向量22(,),(sin ,cos ),(0,)222m n x x x π=-=∈ (1) 若m n ⊥，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为3π，求x 的值.17. （本小题满分12分） 某工厂36名工人年龄数据如下表（1） 用分成抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2） 计算（1）中样本的均值x 和方差2s ；（3） 36名工人中年龄在x s -和x s +之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01％）？ 18.（本小题满分14分）如图2，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4,6,3PD PC AB BC ====，点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==.(1) 证明：PE FG ⊥；(2) 求二面角P AD C --的正切值； (3) 求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19. （本小题满分14分） 设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+- (1) 求()f x 的单调区间；(2) 证明()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；(3)若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m,n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：1m ≤-.20. （本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A 、B.(1) 求圆1C 的圆心坐标；(2) 求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由. 21. （本小题满分14分）数列{a }n 满足：*12122......3,2n n n a a na n N -+++=-∈.(1) 求3a 的值；(2) 求数列{a }n 的前 n 项和n T ； (3)令111111,(1......)(2),23n n n T b a b a n n n-==+++++≥证明：数列{}n b 的前n 项和S n 满足22ln n S n <+薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。
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数学（理科）试题A 第1页共19页试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2015.4本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟注意事项：参考公式：球的表面积公式24S R =π，其中R 是球的半径．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“若2x =，则2320x x -+=”的逆否命题是【】A ．若2x ≠，则2320x x -+≠B ．若2320x x -+=，则2x =C ．若2320x x -+≠，则2x ≠D ．若2x ≠，则2320x x -+=2．已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是【】A ．sin sin a b>B ．22log log a b<C ．1122a b<D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．已知函数()40,1,0,x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩则()2f f =⎡⎤⎣⎦【】A ．14B ．12C ．2D ．44．函数()sin y A x ωϕ=+()0,0,0A ωϕ>><<π的图象的一部分如图1所示，则此函数的解析式为【】A ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭B ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭C ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭D ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭y xO 153-3图1数学（理科）试题A第2页共19页5．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为【】A ．425B ．12C ．23D ．16．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是【】ABC．3D．27．已知两定点()1,0A -，()1,0B ，若直线l 上存在点M ，使得3MA MB +=，则称直线l 为“M 型直线”．给出下列直线：①2x =；②3y x =+；③21y x =--；④1y =；⑤23y x =+．其中是“M 型直线”的条数为【】A ．1B ．2C ．3D ．48．设(),P x y 是函数()y f x =的图象上一点，向量()()51,2x =-a ，()1,2y x =-b ，且//a b .数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()()12936f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则129a a a ++⋅⋅⋅+=【】A .0B .9C .18D .36二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．已知i 为虚数单位，复数1i1iz -=+，则z =．10．执行如图3所示的程序框图，则输出的z 的值是．11．已知()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若3cos 5α=02απ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则12f απ⎛⎫+=⎪⎝⎭．x=1,y=2z=xy是z<20?x =yy =z输出z结束否开始图3AVCB图2数学（理科）试题A 第3页共19页12．5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共有_________种（用数字作答）．13．在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c ，2c ，3c ．若m 为()()i j s t +∙+a a c c 的最小值，其中{}{},1,2,3i j ⊆，{}{},1,2,3s t ⊆，则m =．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图4，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC的中点，AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为．15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有个．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =．（1）求cos A 的值；（2）若△ABC 的面积为，求△ABC 外接圆半径的大小．B ACDEFG 图4数学（理科）试题A 第4页共19页某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了份，统计结果如下面的图表所示．组号年龄分组答对全卷的人数答对全卷的人数占本组的概率1[20,30)28b2[30,40)270.93[40,50)50.54[50,60]a0.4（1）分别求出，b ，c ，n 的值；（2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记X 为第3组被授予“环保之星”的人数，求X 的分布列与数学期望．18．（本小题满分14分）如图5，已知六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的侧棱垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，M ，N 分别是棱AB ，1AA 上的点，且1AM AN ==．（1）证明：M ，N ，1E ，D 四点共面；（2）求直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值．年龄频率/组距304050600.010c 0.0350.0250C 1ABA 1B 1D 1CDMNEF E 1F 1图5数学（理科）试题A 第5页共19页已知点(),n n n P a b ()n ∈*N在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求证：22212131111116n PP PP PP ++++<．20．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围．数学（理科）试题A 第6页共19页已知函数()ln f x a x =-11x x -+，()e xg x =（其中e 为自然对数的底数）．（1）若函数()f x 在区间()0,1内是增函数，求实数a 的取值范围；（2）当0b >时，函数()g x 的图象C 上有两点(),ebP b ，(),e bQ b --，过点P ，Q 作图象C 的切线分别记为1l ，2l ，设1l 与2l 的交点为()00,M x y ，证明00x >．数学（理科）试题A第7页共19页2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．题号12345678答案CDAA BBCC二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．16．（本小题满分12分）解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k =，5b k =，3c k =()0k >，…………………………………………………………2分由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k kk k +-=⨯⨯…………………………………………………………3分12=-．………………………………………………………………………………………………4分（2）由（1）知，1cos A =-，因为A 是△ABC 的内角，所以sin A =2=．………………………………………………………………………6分由（1）知5b k =，3c k =，数学（理科）试题A 第8页共19页因为△ABC的面积为1sin 2bc A =，……………………………………………8分即135322k k ⨯⨯⨯=，解得k =．…………………………………………………………………………………………10分由正弦定理2sin a R A =，即72sin 2k R A ==，…………………………………………………11分解得14R =．所以△ABC 外接圆半径的大小为14．…………………………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（1）根据频率直方分布图，得()0.0100.0250.035101c +++⨯=，解得0.03c =．……………………………………………………………………………………………1分第3组人数为，所以．…………………………………………………2分第1组人数为，所以．……………………………………………3分第4组人数为，所以．……………………………………………4分（2）因为第3，4组答对全卷的人的比为，所以第3，4组应依次抽取2人，4人.…………………………………………………………………5分依题意X 的取值为0，1，2．……………………………………………………………………………6分()022426C C 20C 5P X ===，…………………………………………………………………………………7分()112426C C 81C 15P X ===，………………………………………………………………………………8分()202426C C 12C 15P X ===，………………………………………………………………………………9分所以X 的分布列为：X012P25815115………………………………………10分数学（理科）试题A 第9页共19页所以2812012515153EX =⨯+⨯+⨯=．………………………………………………………………12分18．（本小题满分14分）第（1）问用几何法，第（2）问用向量法：（1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ，在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ，在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，所以11A E BD 且11=A E BD ，所以四边形11A BDE 是平行四边形．所以11A B E D ．………………………………2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==，所以1AM ANAB AA =，所以1MN BA ．…………………………………………………………………………………………4分所以1MN DE ．所以M ，N ，1E ，D 四点共面．………………………………………………………………………6分（2）解：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则()B，9,,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,0D ，()10,0,3E，()M ，…………………………8分则3,,022BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，()10,3,3DE =-，()2,0DM =-．……………………………………………………………………………………10分设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，xzyC 1A B A 1B 1D 1CDMNEFE 1F 1C 1ABA 1B 1D 1CDM NEF E 1F 1数学（理科）试题A 第10页共19页则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩ n n即330,20.y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩取y =2x =，z =所以(=n 是平面1MNE D 的一个法向量．………………………………………………12分设直线BC 与平面1MNE D 所成的角为θ，则sin BCBCθ=n n116=．故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为116．………………………………………………14分第（1）（2）问均用向量法：（1）证明：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则()B ，9,,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,0D ，()10,0,3E ，()M ，()N ，……………2分所以()10,3,3DE =- ，()0,1,1MN =-．………………3分因为13DE MN =，且MN 与1DE 不重合，所以1DE MN．…………………………………………5分所以M ，N ，1E ，D 四点共面．………………………………………………………………………6分（2）解：由（1）知3,,022BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()10,3,3DE =- ，()2,0DM =-．………………10分xzyC 1ABA 1B 1D 1CDM NEFE 1F 1数学（理科）试题A第11页共19页（特别说明：由于给分板（1）6分（2）8分，相当于把（1）中建系与写点坐标只给2分在此加2分）设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩ n n 即330,20.y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩取y =2x =，z =所以(=n 是平面1MNE D 的一个法向量．………………………………………………12分设直线1BC 与平面1MNE D 所成的角为θ，则sin BCBCθ=n n 116=．故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为116．………………………………………………14分第（1）（2）问均用几何法：（1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ，在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ，在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，所以11A E BD 且11=A E BD ，所以四边形11A BDE 是平行四边形．所以11A B E D ．………………………………2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==，C 1ABA 1B 1D 1CDMN EFE 1F 1数学（理科）试题A 第12页共19页所以1AM ANAB AA =，所以1MN BA ．…………………………………………………………………………………………4分所以1MN DE ．所以M ，N ，1E ，D 四点共面．………………………………………………………………………6分（2）连接AD ，因为BC AD ，所以直线AD 与平面1MNE D 所成的角即为直线BC 与平面1MNE D 所成的角．…………………7分连接DN ，设点A 到平面DMN 的距离为h ，直线AD 与平面1MNE D 所成的角为θ，则sin hADθ=．……………………………………………………………………………………………8分因为A DMN D AMN V V --=，即1133DMN AMN S h S DB ∆∆⨯⨯=⨯⨯．…………………………………………9分在边长为3的正六边形ABCDEF中，DB =6DA =，在△ADM 中，6DA =，1AM =，60DAM ∠=，由余弦定理可得，DM =在Rt △DAN 中，6DA =，1AN =，所以DN =．在Rt △AMN 中，1AM =，1AN =，所以MN =在△DMN中，DM =DN =，MN =由余弦定理可得，cos DMN ∠=，所以sin DMN ∠=．所以1sin 22DMN S MN DM DMN ∆=⨯⨯⨯∠=．…………………………………………………11分又12AMN S ∆=，……………………………………………………………………………………………12分所以AMN DMN S DB h S ∆∆⨯==．…………………………………………………………………………13分数学（理科）试题A第13页共19页所以sin 116h AD θ==．故直线BC 与平面1MNE D所成角的正弦值为116．………………………………………………14分19．（本小题满分14分）（1）解：因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1，所以10a =，11b =．……………………………………………………………………………………2分因为数列{}n a 是公差为1的等差数列，所以1n a n =-．……………………………………………………………………………………………4分因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上，所以31n n b a =+32n =-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分（2）证明：因为()10,1P ，()1,32n P n n --，所以()1,31n P n n ++．所以()222211310n PP n n n +=+=．………………………………………………………………………7分所以222121311111n PP PP PP ++++22211111012n ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭．……………………………………8分因为()()2221144112141212121214n n n n n n n ⎛⎫<=== ⎪--+-+⎝⎭-，……………………………10分所以，当2n ≥时，222121311111n PP PP PP ++++111111210352121n n ⎡⎤⎛⎫<+-++- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦ ……………………………………………………………11分15110321n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭………………………………………………………………………………………12分数学（理科）试题A第14页共19页16<．又当1n =时，212111106PP =<．………………………………………………………………………13分所以22212131+111116n PP PP PP +++<．……………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）解：（1）方法一：设圆C 的方程为：()222x a y r-+=()0r >，………………………………………1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-，所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩………………………………………………………………………………3分解得1a =-，1r =．所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．………………………………1分因为直线l 的方程为1122y x -=+，即1y x =+，……………………………………………………2分所以圆心C 的坐标为()1,0-．…………………………………………………………………………3分所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在，设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，则点A 的坐标为()0100,y k x -，同理可得点B 的坐标为()0200,y k x -，数学（理科）试题A 第15页共19页所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k1=，即1k ，2k 是方程()()2220000022110x x k y x k y +-++-=的两根，………………………………7分即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以120AB k k x =-x =……………………………………………9分因为()220044y x =--，所以AB =10分设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．………………………………………………………………………………11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，……………………12分所以()0max 2225564fx f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，()()(){}min0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭，所以AB的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥，数学（理科）试题A第16页共19页解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分设点()0,A a ，()0,B b ，则直线PA ：00y ay a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=，因为直线PA 与圆C1=，化简得()2000220x a y a x +--=．①同理得()2000220x b y b x +--=，②由①②知a ，b 为方程()2000220x x y x x +--=的两根，…………………………………………7分即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以AB a b =-===．……………………………………………………………………9分因为()220044y x =--，所以AB =10分=．………………………………………………………………11分令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤．所以AB ==，………………………………………12分数学（理科）试题A 第17页共19页当532t =时，max 4AB =，当14t =时，min AB =所以AB的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）（1）解法一：因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数，所以()()2201a f x x x '=-≥+()01x <<．……………………………………………………………1分即()2120a x x +-≥()01x <<，即()221xa x ≥+……………………………………………………………………………………………2分212x x =++()01x <<，因为21122x <++在()0,1x ∈内恒成立，所以12a ≥．故实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．……………………………………………………………………4分解法二：因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数，所以()()2201a f x x x '-+≥=()01x <<．……………………………………………………………1分即()2120a x x +-≥()01x <<，即()2210ax a x a +-+≥()01x <<，…………………………………………………………………2分设()()221g x ax a x a =+-+，当0a =时，得20x -≥，此时不合题意．数学（理科）试题A第18页共19页当0a <时，需满足()()00,10,g g ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩即()0,210,a a a a ≥⎧⎪⎨+-+≥⎪⎩解得12a ≥，此时不合题意．当0a >时，需满足()222140a a --≤⎡⎤⎣⎦或()()00,10,10,g g a a ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪-<⎩或()()00,10,11,g g a a ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪->⎩解得12a ≥或1a >，所以12a ≥．综上所述，实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．……………………………………………………………4分（2）证明：因为函数()e xg x =，所以()e xg x '=．过点(),ebP b ，(),e bQ b --作曲线C 的切线方程为：1l ：()e e b b y x b =-+，2l ：()e e b b y x b --=++，因为1l 与2l 的交点为()00,M x y ，由()()e e ,e e ,b bb by x b y x b --⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩………………………………………………………………………………6分消去y ，解得()()()0e +e e e eeb b b b bbb x -----=-．①…………………………………………7分下面给出判定00x >的两种方法：方法一：设e bt =，………………………………………………………………………………………8分因为0b >，所以1t >，且ln b t =．所以()()2202+1ln 11t t t x t --=-．…………………………………………………………………………9分设()()()22+1ln 1h t t t t =--()1t >，则()12ln h t t t t t'=-+()1t >．………………………………………………………………………10分数学（理科）试题A 第19页共19页令()12ln u t t t t t =-+()1t >，则()212ln 1u t t t'=+-．当1t >时，ln 0t >，2110t ->，所以()212ln 10u t t t'=+->，………………………………11分所以函数()u t 在()1,+∞上是增函数，所以()()10u t u >=，即()0h t '>，…………………………………………………………………12分所以函数()h t 在()1,+∞上是增函数，所以()()10h t h >=．…………………………………………………………………………………13分因为当1t >时，210t ->，所以()()2202+1ln 101tt t x t --=>-．…………………………………………………………………14分方法二：由①得0x ()221+e 11e b bb --=--．设2ebt -=，…………………………………………………………………………………………………8分因为0b >，所以01t <<，且ln 2t b =-．于是21ln bt-=，……………………………………………………………………………………………9分所以()01+221ln 1ln 1b t b t x b t t t t +⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭．…………………………………………………………10分由（1）知当12a =时，()1ln 2f x x =-11x x -+在区间()0,1上是增函数，…………………………11分所以()ln 2t f t =-()1101t f t -<=+，即ln 2t <11t t -+．…………………………………………………………………………………………12分即210ln 1t t t ++>-，………………………………………………………………………………………13分已知0b >，所以0210ln 1t x b t t +⎛⎫=+>⎪-⎝⎭．…………………………………………………………………………14分。