1、1、2、3、5、8、13是什么数列 王者
斐波拉契数列(教师版)--高中数学
专题突破之--斐波那契数列意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1，1，2，3、5，8，13，21，34，55，‧‧‧‧‧‧，这个数列称为斐波那契数列，也称兔子数列．斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数．人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在．比如大多数植物的花瓣数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数；松果、蜂巢、菠萝、蜻蜓翅膀、蜻蜓眼睛的构造与斐波那契数列紧密相连．数学中黄金分割、黄金矩形、杨辉三角、等角螺旋、斐波拉契弧线、质数数量、十二平均律、尾数循环等问题也都与斐波那契数列紧密相关.【数列表示】1.逐项罗列：1，1，2，3、5，8，13，21，34，55，‧‧‧‧‧‧2.递推公式：a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2(n ≥3)3.通项公式：a n =151+52n-1-52n【常考性质】性质1.前n 项和：S n =a 1+a 2+⋅⋅⋅+a n =a n +2-1性质2.奇数项和：a 1+a 3+⋅⋅⋅+a 2n -1=a 2n偶数项和：a 2+a 4+⋅⋅⋅+a 2n =a 2n +1-1性质3.平方性质：a n 2=a n a n +1-a n a n -1平方和性质：a 12+a 22+⋅⋅⋅+a n 2=a n a n +1性质4.中项性质：a n a n +2-a 2n +1=(-1)n +1；3a n =a n -2+a n +2性质5.余数列周期性：被2除的余数列周期为3：1,1,0,‧‧‧‧‧‧被3除的余数列周期为8：1,1,2,0,2,2,1,0,‧‧‧‧‧‧被4除的余数列周期为6：1,1,2,3,1,0,‧‧‧‧‧‧性质6.斐波那契不等式：n n -1<log a na n +1<n -1n -2性质7.质数数量：每3个连续的数中有且只有1个能被2整除；每4个连续的数中有且只有1个能被3整除；每5个连续的数中有且只有1个能被5整除；每6个连续的数中有且只有1个能被8整除；每7个连续的数中有且只有1个能被13整除；‧‧‧‧‧‧性质8.两倍数关系：a2n a n=a n -1+a n +1性质9.下标为3的倍数的项之和：a3+a6+⋅⋅⋅+a3n=12(a3n+2-1)性质10.a n+1+5-1 2a n是等比数列【两个重要关联】1.杨辉三角将杨辉三角左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来，即得1,1,2,3,5,8,‧‧‧‧‧‧，则a n=C0n-1+C1n-2+C2n-3+⋅⋅⋅+C m n-1-m(n-1≥m)，表示如下：a1=C00=1a2=C01=1a3=C02+C11=1+1=2a4=C03+C12=1+2=3a5=C04+C13+C22=1+3+1=5a6=C05+C14+C23=1+4+3=8a7=C06+C15+C24+C33=1+5+6+1=13‧‧‧‧‧‧a n=C0n-1+C1n-2+C2n-3+⋅⋅⋅+C m n-1-m(n-1≥m)2.计数问题问题：有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要等上第10级台阶有几种走法？分析：设第n级台阶有a n种走法，则a1=a2=1,a n=a n-1+a n-2(n≥3)，数列a n就是斐波那契数列，故有a10=89种走法.【训练题组】一、单选题1.(2023·上海市市辖区·单元测试)著名的波那契列{a n}：1，1，2，3，5，8，⋯，满足a1=a2=1，a n+2=a n+1+a n(n∈N*)，那么1+a3+a5+a7+a9+⋯+a2021是斐波那契数列中的()A.第2020项B.第2021项C.第2022项D.第2023项【答案】C【解析】因为a1=a2=1，所以1+a3+a5+a7+a9+⋯+a2021=a2+a3+a5+a7+a9+⋯+a2021=a4+a5+a7+a9+⋯+a2021=a6+a7+a9+⋯+a2021=⋯=a2020+a2021=a2022，故选：C．2.(2023·北京市市辖区·期末考试)斐波那契数列{F n}(n∈N*)在很多领域都有广泛应用，它是由如下递推公式给出的：F1=F2=1，当n>2时，F n=F n-1+F n-2.若F100=F21+F22+F23+⋯+F2mF m，则m=()A.98B.99C.100D.101【答案】B【解析】由已知得F21=F2⋅F1，且F n-1=F n-F n-2，所以F22=F2⋅(F3-F1)=F2⋅F3-F2⋅F1，F23=F3⋅(F4-F2)=F4⋅F3-F3⋅F2，........F2m=F m⋅(F m+1-F m-1)=F m⋅F m+1-F3⋅F m-1，累加整理可得F21+F22+.....+F2m=F m⋅F m+1；又因为F100=F21+F22+F23+⋯+F2mF m=F m+1．即F m+1是该数列的第100项，所以m=99，所以B选项正确．故选：B．利用累加法即可求解．本题主要考查递推式求通项公式以及累加法的应用，属于中档题．3.(2023·河南省鹤壁市·单元测试)意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，⋯，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N*)，其中a1=1，a2=1.若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为()A.13B.6732021C.12D.6742021【答案】B【解析】从斐波那契数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144⋯可得每三个数中有一个偶数(并且是最后一个)，∴2021=673×3+2，∴该数列的前2021项中有673个偶数，∴从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为P=6732021．故选：B．4.(2022·湖北省黄冈市·月考试卷)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1,1,2,3,5,8,⋯，该数列从第三项起，每一项都等于前两项的和，即递推关系式为a n+2=a n+1+a n,n∈N*，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”.已知满足上述递推关系式的数列a n的通项公式为a n=A⋅1+52n+B⋅1-52n，其中A,B的值可由a1和a2得到，比如兔子数列中a1=1,a2=1代入解得A=15,B=-15.利用以上信息计算5+125= .(x 表示不超过x的最大整数)()A. 10B.11C.12D.13【答案】B【解析】由题意可令A=B=1，所以将数列a n逐个列举可得：a1=1，a2=3，a3=a1+a2=4，a4=a3+a2=7，a5=a4+a3=11，故a5=1+525+1-525=11，因为1-525∈-1,0，所以1+525∈11,12，故1+525=11．故选：B5.(2023·湖北省恩施土家族苗族自治州·单元测试)斐波那契数列{F n}，因数学家莱昂纳多⋅斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列{F n}满足F1=F2=1，且F n+2=F n+1+F n(n∈N*).卢卡斯数列{L n}是以数学家爱德华⋅卢卡斯命名，与斐波那契数列联系紧密，即L1=1，且L n+1=F n+F n+2(n∈N* )，则F2023=()A.13L2022+16L2024 B.13L2022+17L2024C.15L2022+15L2024 D.-15L2022+25L2024【答案】C【解析】因为F n+2=F n+1+F n(n∈N*)，L n+1=F n+F n+2(n∈N*)，所以可得L2022=F2021+F2023=2F2023-F2022L2024=F2023+F2025=2F2023+F2024=3F2023+F2022，解得F2023=15L2022+15L2024．6.(2022·广东省河源市·单元测试)斐波拉契数列a n满足：a1=1，a2=1，a n+2=a n+1+a n n∈N*.该数列与如图美丽曲线有深刻联系，设S n=a1+a2+⋯+a n，T n=a21+a22+⋯+a2n，给出以下三个命题：①a2n+2-a2n+1=a n+3⋅a n；②S n=a n+2-1；③T n+1=a2n+1+a n+1⋅a n．其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】a n+2=a n+1+a n⇒a n+2-a n+1=a n，a n+3=a n+2+a n+1，所以(a n+2+a n+1)(a n+2-a n+1)=a n+3⋅a n，即a2n+2-a2n+1=a n+3⋅a n，故①正确；a n+2=a n+1+a n，a n+1=a n+a n-1，a n=a n-1+a n-2，⋯⋯a3=a2+a1，相加可得：a n+2=a2+S n即S n=a n+2-1，故②正确；因为a n+1⋅a n=(a n+a n-1)⋅a n=a2n+a n⋅a n-1⇒a2n=a n+1⋅a n-a n⋅a n-1(n≥2)，所以T n+1=a21+a22+⋯+a2n+1=a21+a3⋅a2-a2⋅a1+a4⋅a3-a3⋅a2+⋅⋅⋅+a n+1⋅a n-a n⋅a n-1+a2n+1，又a1=1,a2=1，可得T n+1=a2n+1+a n+1⋅a n，故③正确．7.(2022·湖北省·期中考试)若数列{F n}满足F1=1，F2=1，F n=F n-1+ F n-2(n≥3)，则{F n}称为斐波那契数列，它是由中世纪意大利数学家斐波那契最先发现．它有很多美妙的特征，如当n≥2时，前n项之和等于第n+2项减去第2项；随着n的增大，相邻两项之比越来越接近0.618等等．若第30项是832040，请估计这个数列的前30项之和最接近(备注：0.6182≈0.38，1.6182≈2.61)A.31万B.51万C.217万D.317万【答案】C【解析】∵当n≥2时S n=F n+2-F2，则S28=F30-1，因为随着n的增大，相邻两项之比接近0.618，则F29=0.618F30，由S30=S28+F29+F30=F30-1+0.618F30+F30=2.618F30-1≈217万.故选C．8.(2023·山东省济南市·期末考试)1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》.他在书中提出了一个关于兔子繁殖的问题，发现数列：1，1，2，3，5，8，13，⋯，该数列的特点是：前两项均为1，从第三项起，每一项等于前两项的和，人们把这个数列F n称为斐波那契数列，则下列结论正确的是 ()A.F2+F4+F6+⋯+F2020=F2021B.F21+F22+F23+⋯+F22021=F2021F2022C.F1+F2+F3+⋯+F2021=F2023D.F1+F3+F5+⋯+F2021=F2022-1【答案】B【解析】根据题意可知，F n+2=F n+1+F n，对于A，因为F2+F4+F6+⋯+F2020=F1+F2+F4+F6+⋯+F2020-1=F3+F4+F6+⋯+F2020-1=F5+F6+⋯+F2020-1=⋯=F2021-1，故A错误;对于D，因为F1+F3+F5+⋯+F2021=F2+F3+F5+⋯+F2021=F4+F5+⋯+F2021=⋯=F2022，故D错误;对于C，由F2+F4+F6+⋯+F2020=F2021-1，F1+F3+F5+⋯+F2021=F2022，可知F1+F2+F3+⋯+F2021=F2021-1+F2022=F2023-1，故C错误;对于B，因为F n+1=F n+2-F n，所以F2n+1=F n+1·F n+2-F n=F n+1F n+2-F n F n+1，即F22=F2F3-F1F2，F23=F3F4-F2F3，⋯，F22021=F2021F2022-F2020F2021，累加得F22+F23+⋯+F22021=F2021F2022-F1F2，因为F1F2=F21，即F21+F22+F23+⋯+F22021=F2021F2022得证，故B正确．故选：B．9.(2022·江苏省南通市·月考试卷) 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，⋯，其中a1=a2=1，且从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即a n+2=a n+1+a n，后来人们把这样的一列数组成的数列a n中，a n a n+2+a n+2a n+4称为“斐波那契数列”.则斐波那契数列a n=()A.a n a n+5B.a2n+3C.a n+2a n+3D.3a2n+2【答案】D【解析】因为a n+2=a n+1+a n，则a n+4=a n+2+a n+3=a n+2+a n+2+a n+1=2a n+2+a n+1，则a n a n+2+a n+2a n+4==a n a n+2+a n+2(2a n+2+a n+1)=a n+2(a n+a n+1)+2a2n+2=a n+2·a n+2+2a2n+2=3a2n+2．10.(2022·全国·月考试卷)意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，⋯，即F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)n≥3,n∈N*，此数列在现代物理“准晶体结构”､化学等领域都有着广泛的应用.若此数列的各项除以2的余数构成一个新数列a n，则数列a n的前2021项的和为()A.2020B.1348C.1347D.672【答案】B【解析】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...各项除以2的余数，可得a n为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,...，所以a n是周期为3的周期数列，一个周期中三项和为1+1+0=2，因为2021=673×3+2，所以数列a n的前2021项的和为673×2+2=1348．故选B．11.(2022·安徽省六安市·单元测试)历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起到了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多⋅斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，⋯⋯即F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3,n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{b n}，则b1 +b2+b3⋯+b52的值为()A.71B.72C.73D.74【答案】A【解析】由题意知：数列{b n}为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，........故该数列的周期为6，所以b1+b2+b3⋯+b52=8×(1+1+2+3+1)+1+1+2+3=71．故选：A．12.(2023·单元测试)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，⋯，从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，即a n+2=a n+1+a n(n∈N*)，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”.设数列{a n}的前n项和为S n，记a2023=m，a2024=n，则S2023=()A.m+n-2B.m+nC.m+n-1D.m+n+1【答案】C【解析】因为a n+2=a n+1+a n，所以a2023=a2022+a2021=a2022+a2020+a2019=⋯=a2022+a2020+a2018+⋯+a2+a1 ①，a2024=a2023+a2022=a2023+a2021+a2020=⋯=a2023+a2021+a2019+⋯+a5+a3+a2 ②，由 ①+ ②，得a2023+a2024=S2023+a2，又a2023=m，a2024=n，a2=1，即m+n=S2023+1，所以S2023=m+n-1.故选C．13.(2022·河南省·月考试卷)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，⋯.该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把由这样一列数组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，记S n是数列{a n}的前n项和，则(a3 -S1)+(a4-S2)+(a5-S3)+⋯+(a100-S98)=()A.0B.1C.98D.100【答案】C【解析】解：∵a1+a2=a3，a2+a3=a4，⋯，a n+a n-1=a n+1，a n+1+a n=a n+2，∴a2+S n=a n+2，∴a n+2-S n=a2=1，∴(a3-S1)+(a4-S2)+(a5-S3)+⋯+(a100-S98)=1×98=98，故选：C．由斐波那契数列可得：a1+a2=a3，a2+a3=a4，⋯，a n+a n-1=a n+1，a n+1+a n=a n+2，相加可得a2+S n=a n+2，进而得出结论．本题考查了斐波那契数列的性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.(2022·重庆市·月考试卷)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21⋯.该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，则(a1a3-a22)(a2a4-a33)(a3a5-a34)⋯(a2015a2017-a22016)=()A.1B.2017C.-1D.-2017【答案】C【解析】解：根据“斐波那契数列”特点可得到数列的规律，即当n为偶数时，a n a n+2-a2n+1=-1；当n为奇数时，a n a n+2-a2n+1=1，所求式子最末项n=2015，从而可得结果．由题意得：a1a3-a22=1，a2a4-a23=-1，a3a5-a24=1，⋯，∴当n为偶数时，a n a n+2-a2n+1=-1；当n为奇数时，a n a n+2-a2n+1=1∴(a1a3-a22)(a2a4-a33)(a3a3-a34)⋅⋅⋅(a2015a2017-a22016)=-1．故选：C．根据a n+a n+1=a n+2，当n为偶数时，a n a n+2-a2n+1=-1，当n为奇数时，a n a n+2-a2n+1=1，从而可以求出结果．本题考查根据数列的性质求值的问题，关键是能够总结归纳出数列中的规律，属中档题．15.已知55<84,134<85，设a=log53,b=log85c=log138，则A.a<b<cB.b<a<cC.b<a<cD.c<a<b【答案】A【解析】由斐波那契不等式：nn-1<log ana n+1<n-1n-2知答案为A.二、多选题1.(2023·山东省青岛市·期末考试)若数列{a n}满足a1=1，a2=1，a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N+)，则称数列{a n}为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构，化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．则下列结论成立的是()A.a7=13B.a1+a3+a5+⋯+a2019=a2020C.3a n=a n-2+a n+2(n≥3)D.a2+a4+a6+⋯+a2020=a2021【答案】ABC【解析】解：因为a1=1，a2=1，a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N+)，所以a3=a2+a1=2，a4=a3+a2=3，a5=a4+a3=5，a6=a5+a4=8，a7=a6+a5=13，所以A正确；a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N+)，可得a n+2=a n+1+a n=2a n+a n-1=3a n-a n-2，即有3a n=a n-2+a n+2(n≥3)，故C正确；设数列{a n}的前n项和为S n，a1+a3+a5+...+a2019=a1+(a2+a1)+(a4+a3)+⋯+(a2018+a2017)=a1+S2018=1+S2018，又a n+2=a n+1+a n=a n+a n-1+a n-1+a n-2=a n+a n-1+a n-2+a n-3+a n-3+a n-4=⋯=S n+1，所以a2020=S2018+1=a1+a3+a5+⋯+a2019，所以B正确；a2+a4+a6+⋯⋯+a2020=a2+a3+a2+a5+a4+⋯+a2019+a2018=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a2019=S2019，但S2019+1=a2021，所以a2+a4+a6+⋯+a2020≠a2021，所以D不正确．故选：ABC．根据斐波那契数列的定义求出前7项，从而可判定选项A，由数列的递推式可判断C；然后根据递推关系求出a n+2=S n+1，从而可判断选项B和D．本题考查数列递推式的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．2.(2022·湖北省荆门市·期末考试)2022年11月23日是斐波那契纪念日，其提出过著名的“斐波那契”数列，其著名的爬楼梯问题和斐波那契数列相似，若小明爬楼梯时一次上1或2个台阶，若爬上第n个台阶的方法数为b n，则()A.b7=21B.b1+b2+b3+b5+b7=51C.b21+b22+⋯+b2n=b n⋅b n+1-1D.b n-2+b n+2=3b n【答案】ACD【解析】∵b1=1，b2=2，b3=3，b4=5，b5=8，∴当n≥3时，b n=b n-1+b n-2，∴b6=13，b7=21，A正确;b1+b2+b3+b5+b7=1+2+3+8+21=35，B错误;∵b21=1，b22=b2(b3-b1)=b2b3-b2b1，∴有b2n=b n(b n+1-b n-1)=b n b n+1-b n b n-1，∴b21+b22+⋯+b2n=1-b1b2+b n⋅b n+1=b n⋅b n+1-1，C正确;∵b n-2=b n-b n-1，b n+2=b n+b n+1，∴b n-2+b n+2=2b n+b n+1-b n-1=3b n，D正确．故选ACD．3. (2022·安徽省阜阳市·单元测试)意大利数学家列昂纳多⋅斐波那契提出的“兔子数列”:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233⋯，在现代生物及化学等领域有着广泛的应用，它可以表述为数列{a n }满足a 1=a 2=1，a n +2=a n +1+a n (n ∈N +).若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列{b n }，记{b n }的前n 项和为S n ，则以下结论正确的是( )A.b n +9-b n +1=0 B.S n +10=S n +2+9C.b 2022=2 D.S 2022=2696【答案】ABC【解析】由题意，可知新数列{b n }：1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，⋯，故新数列{b n }是以8为最小正周期的周期数列，∴b n +9=b n +1，故A 正确；∵2022÷8=252⋯6，且1+1+2+0+2+2+1+0=9，∴S n +10=S n +2+9，B 正确，b 2022=b 6=2，故C 正确∴{b n }的前2022项和为9×252+1+1+2+0+2+2=2276，故D 错误；故选：ABC ．4.(2022·全国·单元测试)意大利数学家列昂纳多⋅斐波那契提出的斐波那契数列被誉为最美的数列，斐波那契数列{a n }满足：a 1=1，a 2=1，a n =a n -1+a n -2(n ≥3,n ∈N *).若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格的边长为1，记每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为b n ，则下列结论正确的是( )A.4(b 2020-b 2019)=πa 2021⋅a 2018B.a 1+a 2+a 3+⋯+a 2019=a 2021-1C.a 21+a 22+a 23+⋯+a 22020=2a 2019⋅a 2021D.a 2019⋅a 2021-a 22020+a 2018⋅a 2020-a 22019=0【答案】ABD 【解析】由题意得b n =π4a 2n ，则4(b 2020-b 2019)=4π4a 22020-π4a 22019=π(a 2020+a 2019)(a 2020-a 2019)=πa 2021⋅a 2018，故选项A 正确;因为数列{a n }满足a 1=a 2=1，a n =a n -1+a n -2(n ≥3)，所以a n -2=a n -a n -1(n ≥3)，a 1+a 2+a 3+⋯+a 2019=(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+(a 5-a 4)+⋯+(a 2021-a 2020)=a 2021-a 2=a 2021-1，故选项B 正确;数列{a n }满足a 1=a 2=1，a n =a n -1+a n -2(n ≥3)，即a n -1=a n -a n -2(n ≥3)，两边同乘a n -1，可得a 2n -1=a n -1a n -a n -1a n -2，则a 21+a 22+a 23+⋯+a 22000=a 21+(a 3a 2-a 2a 1)+(a 3a 4-a 3a 2)+⋯+(a 2020a 2021-a 2020a 2019)=a 21+a 2020a 2021-a 2a 1=a 2020a 2021，故选项C 错误;由题意a n -1=a n -a n -2(n ≥3)，则a 2019⋅a 2021-a 22020+a 2018⋅a 2020-a 22019=a 2019⋅(a 2021-a 2019)+a 2020⋅(a 2018-a 2000)=a 2019⋅a 2020+a 2000⋅(-a 2019)=0，故选项D 正确.故选ABD ．5.(2023·浙江省·其他类型)意大利著名数学家莱昂纳多⋅斐波那契( Leonardo Fibonacci )在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13,21,34,⋯，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”.同时，随着n 趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割5-12≈0.618，因此又称“黄金分割数列”，其通项公式为a n=151+52n-1-52n，它是用无理数表示有理数数列的一个范例.记斐波那契数列为a n，其前n项和为S n，则下列结论正确的有()A.1010k=1a2k=a2021 B.S13=29a8C.2020k=1a k+2a k-a2k+1=0 D.S n=a n+2-1【答案】BCD【解析】通过给出数列的前9项，发现a2+a4=a5-1，a2+a4+a6=a7-1，⋯，因此我们归纳、猜想1010k=1a2k=a2021-1，事实上，1010k=1a2k=a2+a4+a6+a8+⋯+a2020=(a3-1)+a4+a6+a8+⋯+a2020=-1+a5+a6+a8+⋯+a2020=-1+a7+a8+⋯+a2020=⋯=-1+a2021，故选项A错误;可以运算得到S13=609=21×29=29a8，故选项B正确;可以发现，a3a1-a22=1，a4a2-a23=-1，a5a3-a24=1，a6a4-a25=-1，⋯，归纳得到2020k=1(a k+2a k-a2k+1)=0，故选项C正确;可以发现，S1=a3-1，S2=a4-1，S3=a5-1，⋯，归纳得到S n=a n+2-1，事实上，S n=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a n=(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+(a6-a5)+⋯+(a n+2-a n+1)=a n+2-a2=a n+2-1，故选项D正确．6.(2022·江苏省苏州市·期中考试)意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列a n满足：a1=1，a2=1，a n=a n-1+a n-2 n≥3,n∈N*.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为S n，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为c n，则下列结论正确的是( )A.S n+1=a2n+1+a n+1⋅a nB.a1+a2+a3+⋯+a n=a n+2-1C.a1+a3+a5+⋯+a2n-1=a2n-1D.4c n-c n-1=πa n-2⋅a n+1【答案】ABD【解析】对于A选项，因为斐波那契数列总满足a n=a n-1+a n-2n≥3,n∈N*，所以a21=a2a1，a22=a2a2=a2a3-a1=a2a3-a2a1，a23=a3a3=a3a4-a2=a3a4-a3a2，类似的有，a2n=a n a n=a n a n+1-a n-1=a n a n+1-a n a n-1，累加得a21+a22+a23+⋯+a2n=a n⋅a n+1，由题知S n+1=a21+a22+a23+⋯+a2n+a2n+1=a n+1⋅a n+2=a2n+1+a n+1⋅a n，故选项A正确，对于B选项，因为a1=a1，a2=a3-a1，a3=a4-a2，类似的有a n=a n+1-a n-1，累加得a1+a2+a3+⋯+a n=a n+a n+1-a2=a n+2-1，故选项B正确，对于C选项，因为a1=a1，a3=a4-a2，a5=a6-a4，类似的有a2n-1=a2n-a2n-2，累加得a1+a3+⋯+a2n-1=a1+a2n-a2=a2n，故选项C错误，对于D选项，可知扇形面积c n=π⋅a2n4，故4c n-c n-1=4π⋅a2n4-π⋅a2n-14=πa2n-a2n-1=πa n-2⋅a n+1，故选项D正确，故选ABD．7.(2022·湖南省娄底市·月考试卷)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，⋯.该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列{F n}称为斐波那契数列，现将{F n}中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{M n}，则下列结论中正确的是A.M 2022=1B.M6n-2=M6n-4+2M6n-5(n≥1，n∈N *)C.F21+F22+F23+⋯+F22021=F2021F2022D.F 1+F 2+F 3+⋯+F 2021=F 2022-1【答案】BC【解析】M1=1,M2=1,M3=2,M4=3,M5=1,M6=0,M7=1,M8=1,M9=2,M10=3,M11=1,M12=0，所以数列{M n}是以6为最小正周期的数列，又2022=6×337，所以M2022=0，故A选项错误；n≥1，n∈N*，则M6n-2=M4=3，M6n-4=M2=1，2M6n-5=2M1=2，故M6n-2=M6n-4+2M6n-5(n≥1,n∈N*)成立，B选项正确；对于n≥2，n∈N*，总有F2n=F n F n+1-F n-1=F n F n+1-F n F n-1，故F21+F22+F23+⋯+F22021=F21+F2F3-F1F2+F3F4-F2F3+⋯+F2021F2022-F2020F2021=F21-F1F2+F2021F2022=F2021F2022，故C选项正确；对于n≥1，n∈N*，总有F n=F n+2-F n+1，故F1+F2+F3+⋯+F2021=F3-F2+F4-F3+⋯+F2023-F2022=F2023-F2=F2023-1，故D选项错误．8.(2022·云南省·单元测试)斐波那契，公元13世纪意大利数学家.他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列．斐波那契数列与代数和几何都有着不可分割的联系．现有一段长为a米的铁丝，需要截成n(n>2)段，每段的长度不小于1m，且其中任意三段都不能构成三角形，若n的最大值为10，则a的值可能是()A.100B.143C.200D.256【答案】BC【解析】由题意，一段长为a米的铁丝，截成n段，且其中任意三段都不能构成三角形，当n取最大值时，每段长度从小到大排列正好为斐波那契数列，而数列的前10项和为：1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=143，前11项和为：1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89=232，所以只需143≤a<232，BC均符合要求．故选：BC．三、填空题1.(2023·江西省赣州市·期末考试)斐波那契，意大利数学家，其中斐波那契数列是其代表作之一，即数列a n为斐波那契数列，数 满足a1=a2=1，且a n+2=a n+1+a n，则称数列a n为斐波那契数列.已知数列a n 列b n的前12项和为86，则b1+b2=．满足b n+3+(-1)a n b n=n，若数列b n【答案】8【解析】斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯⋯.(特征：每三项中前两项为奇数后一项为偶数)由b n+3+(-1)a n b n=n得：b4-b1=1，b5-b2=2，b6+b3=3，则b1+b2+b4+b5=3+2(b1+b2)，同理：b7-b4=4，b8-b5=5，b10-b7=7，b11-b8=8，b12+b9=9，得：b7=5+b1，b8=7+b2，b10=12+b1，b11=15+b2，则b7+b8+b10+b11=39+2(b1+b2)，b3+b6+b9+b12=12，则s12=b1+b2+⋯+b12=54+4(b1+b2)=86，则b1+b2=8．2.(2023·湖北省黄冈市·单元测试)1202年意大利数学家列昂那多-斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列.即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,⋯该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列a n的前2022，则数列a n 项的和为．【答案】2276【解析】由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，⋯各项除以3的余数，可得数列{a n}为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1...，∴数列{a n}是周期为8的数列，一个周期中八项和为1+1+2+0+2+2+1+0=9，又2022=252×8+6，∴数列{a n}的前2022项的和S2022=252×9+8=2276．故答案为：2276．3.(2022·海南省·期末考试)斐波那契数列，又称“兔子数列”，由数学家斐波那契研究兔子繁殖问题时引入．已知斐波那契数列{a n}满足a1=0，a2=1，a n+2=a n+1+a n(n∈N*)，若记a1+a3+a5+⋯+a2019=M，a2+a4 +a6+⋯+a2020=N，则a2022=.(用M，N表示)【答案】M+N+1【解析】因为a1+a3+a5+⋯+a2019=M，a2+a4+a6+⋯+a2020=N，所以S2020=M+N，所以a1+(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+⋯+(a2017+a2018)=a1+S2018=M，所以S2018=M-a1=M，因为a2+a4+a6+⋯+a2020=N，所以a2+(a2+a3)+(a4+a5)+⋯+(a2018+a2019)=-a1+S2019+a2=S2019+1=N，所以S2019=N-1，所以a2020=S2020-S2019=(M+N)-(N-1)=M+1，a2019=S2019-S2018=(N-1)-M=N-M-1，所以a2021=a2019+a2020=N，a2022=a2020+a2021=M+N+1，故答案为：M+N+1．由已知两式相加得S2020=M+N，由a1+a3+a5+⋯+a2019=M得S2018=M-a1=M，由a2+a4+a6+⋯+a2020=N得S2019=N-1，从而得到a2020=S2020-S2019，a2019=S2019-S2018，利用a n+2=a n+1+a n(n∈N*)可得答案．本题考查数列的递推关系式及前n项和，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．4.(2022·陕西省咸阳市·模拟题)意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、⋯⋯，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列．斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数．人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示．大多数植物的花瓣数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用．设斐波那契数列为{a n}，其中a1=a2=1，有以下几个命题：①a n+a n+1=a n+2(n∈N+)；②a21+a22+a23+a24=a4⋅a5；③a1+a3+a5+⋯+a2021=a2022；④a22n+1=a2n⋅a2n+2-1(n∈N+)．其中正确命题的序号是．【答案】①②③【解析】斐波那契数列从第3项起，每一项都是前2项的和，所以a n+a n+1=a n+2(n∈N+)，①正确；a21+a22+a23+a24=1+1+4+9=15，a4⋅a5=3×5=15，②正确；a2022=a2021+a2020=a2021+a2019+a2018=⋯=a2021+a2019+a2017+a2016=⋯=a2021+a2019+a2017+a2015+⋯+a3+a2= a2021+a2019+a2017+a2015+⋯+a3+a1，所以③正确．当n=1时，a22n+1=a23=4，a2n⋅a2n+2-1=a2⋅a4-1=1×3-1=2，所以④错误．故答案为：①②③．根据斐波那契数列的知识对四个命题进行分析，从而确定正确答案．本题属新概念题，考查了数列的递推式，理解斐波那契数列的定义是关键点，属于基础题．5.(2022·江苏省苏州市·单元测试)数列a n：1，1，2，3，5，8，⋯，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”.数学上，该数列可表述为a1=a2=1，a n+2=a n+1+a n n∈N*.对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式a n=151+52n-1-52n等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到a2n+1=a n+1a n+2-a n=a n+2a n+1-a n+1a n，从而易得a21+a22+a23+⋯+a2126值的个位数为．【答案】4【解析】因为a2n+1=a n+1(a n+2-a n)=a n+2a n+1-a n+1a n，所以a21+(a2a3-a2a1)+(a3a4-a3a2)+⋯+(a126a127-a126a125)=1-a2a1+a126a127=a126a127．又该数列项的个位数是以60为周期变化，所以a126，a6的个位数字相同，a127，a7的个位数字相同，易知a6=8，a7=a6+a5=13，则8×3=24，所以a126a127的个位数字为4．故答案为：4．6.(2022·全国·期末考试)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，⋯，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，记为F n.利用下图所揭示的F n的性质，则在等式F22022 -F21+F22+⋅⋅⋅+F22021=F2022⋅F m中，m=．【答案】2020【解析】由题意，F n+2=F n+1+F n，所以F2022⋅F2021=F2021+F2020⋅F2021=F22021+F2021⋅F2020，F2021⋅F2020=F22020+F2020⋅F2019，F2020⋅F2019=F22019+F2019⋅F2018，⋯F3⋅F2=F22+F2⋅F1=F22+F21，所以F2022⋅F2021=F22021+F22020+F22019+⋯+F22+F21，所以F22022-F21+F22+⋅⋅⋅+F22021=F22022-F2022⋅F2021=F2022F2022-F2021=F2022⋅F m，所以F2022-F2021=F m，所以F2022=F2021+F m，由F2022=F2021+F2020，所以F m=F2020，所以m=2020，故答案为 2020．。
有趣的斐波那契数列例子
斐波那契数列斐波那契的发明者;是数学家Leonardo Fibonacci;生于公元1170年;卒于1240年;籍贯大概是..他被人称作“比萨的列昂纳多”..1202年;他了珠算原理Liber Abacci一书..他是第一个研究了和数学理论的人..他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事;派驻地点相当于今日的地区;列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学..他还曾在、、、和研究..斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……这个数列从第三项开始;每一项都等于前两项之和..斐波那契数列通项公式通项公式见图又叫“比内公式”;是用表示的一个范例..注：此时a1=1;a2=1;an=an-1+an-2n>=3;n∈N通项公式的推导斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……如果设Fn为该数列的第n项n∈N+..那么这句话可以写成如下形式：F0 = 0;F1=1;Fn=Fn-1+Fn-2 n≥2;显然这是一个递推数列..方法一：利用特征方程线性代数解法线性递推数列的特征方程为：X^2=X+1解得X1=1+√5/2;;X2=1-√5/2..则Fn=C1X1^n + C2X2^n..∵F1=F2=1..∴C1X1 + C2X2..C1X1^2 + C2X2^2..解得C1=1/√5;C2=-1/√5..∴Fn=1/√5{1+√5/2^n+1 - 1-√5/2^n+1}√5表示5.. 方法二：待定系数法构造等比数列1初等待数解法设常数r;s..使得Fn-rFn-1=sFn-1-rFn-2..则r+s=1; -rs=1..n≥3时;有..Fn-rFn-1=sFn-1-rFn-2..Fn-1-rFn-2=sFn-2-rFn-3..Fn-2-rFn-3=sFn-3-rFn-4..……F3-rF2=sF2-rF1..联立以上n-2个式子;得：Fn-rFn-1=s^n-2F2-rF1..∵s=1-r;F1=F2=1..上式可化简得：Fn=s^n-1+rFn-1 ..那么：Fn=s^n-1+rFn-1..= s^n-1 + rs^n-2 + r^2Fn-2..= s^n-1 + rs^n-2 + r^2s^n-3 + r^3Fn-3..……= s^n-1 + rs^n-2 + r^2s^n-3 +……+ r^n-2s + r^n-1F1..= s^n-1 + rs^n-2 + r^2s^n-3 +……+ r^n-2s + r^n-1..这是一个以s^n-1为首项、以r^n-1为末项、r/s为公比的的各项的和..=s^n-1-r^n-1r/s/1-r/s..=s^n - r^n/s-r..r+s=1; -rs=1的一解为s=1+√5/2;r=1-√5/2..则Fn=1/√5{1+√5/2^n+1 - 1-√5/2^n+1}..方法三：待定系数法构造等比数列2初等待数解法已知a1=1;a2=1;an=an-1+an-2n>=3;求数列{an}的通项公式..解 :设an-αan-1=βan-1-αan-2..得α+β=1..αβ=-1..构造方程x^2-x-1=0;解得α=1-√5/2;β=1+√5/2或α=1+√5/2;β=1-√5/2..所以..an-1-√5/2an-1=1+√5/2an-1-1-√5/2an-2=1+√5/2^n-2a2-1-√5/2 a1`````````1..an-1+√5/2an-1=1-√5/2an-1-1+√5/2an-2=1-√5/2^n-2a2-1+√5/2 a1`````````2..由式1;式2;可得..an=1+√5/2^n-2a2-1-√5/2a1``````````````3..an=1-√5/2^n-2a2-1+√5/2a1``````````````4..将式31+√5/2-式41-√5/2;化简得an=1/√5{1+√5/2^n - 1-√5/2^n}..与黄金分割的关系有趣的是：这样一个完全是的数列;通项公式却是用无理数来表达的..而且当n时an-1/an越来越逼近数0.618..越到后面;这些比值越接近黄金比.证明:an+2=an+1+an..两边同时除以an+1得到：an+2/an+1=1+an/an+1..若an+1/an的极限存在;设其极限为x;则limn->∞an+2/an+1=limn->∞an+1/an=x..所以x=1+1/x..即x²=x+1..所以极限是黄金分割比 ..奇妙的属性斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数、黄金矩形、黄金分割、等角螺线等;有时也可能是我们对斐波那契额数过于热衷;把原来只是巧合的东西强行划分为斐波那契数..比如钢琴上白键的8;黑键上的5都是斐波那契数;因该把它看做巧合还是规律呢从第二项开始;每个奇数项的都比前后两项之积多1;每个项的平方都比前后两项之积少1..注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶;而并不是列的本身的奇偶;比如第四项3是奇数;但它是偶数项;第五项5是奇数;它是奇数项;如果认为数字3和5都是奇数项;那就误解题意;怎么都说不通多了的一在哪如果你看到有这样一个题目：某人把一个88的方格切成四块;拼成一个513的;故作惊讶地问你：为什么64=65其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项;事实上前后两块的确实差1;只不过后面那个图中有一条细长的狭缝;一般人不容易注意到..斐波那契数列的第n项同时也代表了{1;2;...;n}中所有不相邻正的个数..斐波那契数列fn;f0=0;f1=1;f2=1;f3=2……的其他性质：1.f0+f1+f2+…+fn=fn+2-1..2.f1+f3+f5+…+f2n-1=f2n..3.f2+f4+f6+…+f2n =f2n+1-1..4.f0^2+f1^2+…+fn^2=fn·fn+1..5.f0-f1+f2-…+-1^n·fn=-1^n·fn+1-fn+1..6.fm+n-1=fm-1·fn-1+fm·fn..利用这一点;可以用程序编出时间复杂度仅为Olog n的程序..怎样实现呢伪代码描述一下7.fn^2=-1^n-1+fn-1·fn+1..8.f2n-1=fn^2-fn-2^2..9.3fn=fn+2+fn-2..10.f2n-2m-2f2n+f2n+2=f2m+2+f4n-2m n〉m≥-1;且n≥1斐波那契数列11.f2n+1=fn^2+fn+1^2.在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列将杨辉三角依次下降;成如图所示排列;将同一行的数加起来;即得一数列1、1、2、3、5、8、……公式表示如下：f1=C0;0=1 ..f2=C1;0=1 ..f3=C2;0+C1;1=1+1=2 ..f4=C3;0+C2;1=1+2=3 ..f5=C4;0+C3;1+C2;2=1+3+1=5 ..f6=C5;0+C4;1+C3;2=1+4+3=8 ..F7=C6;0+C5;1+C4;2+C3;3=1+5+6+1=13 ..……Fn=Cn-1;0+Cn-2;1+…+Cn-1-m;m m<=n-1-m斐波那契数列的整除性与素数生成性每3个数有且只有一个被2整除;每4个数有且只有一个被3整除;每5个数有且只有一个被5整除;每6个数有且只有一个被8整除;每7个数有且只有一个被13整除;每8个数有且只有一个被21整除;每9个数有且只有一个被34整除;.......我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：5;13;89;233;1597;28657第19位不是斐波那契数列的素数无限多吗斐波那契数列的个位数：一个60步的循环11235;83145;94370;77415;61785.38190;99875;27965;16730;33695;49325;72910…斐波那契数与植物花瓣②任何一个斐波那契—卢卡斯数列都可以由斐波那契数列的有限黄金特征与孪生斐波那契—卢卡斯数列斐波那契—卢卡斯数列的另一个共同性质：中间项的平方数与前后两项之积的差的是一个恒值;斐波那契数列：|11-12|=|22-13|=|33-25|=|55-38|=|88-513|=…=1卢卡斯数列：|33-14|=|44-37|=…=5F1;4数列：|44-15|=11F2;5数列：|55-27|=11F2;7数列：|77-29|=31斐波那契数列这个值是1最小;也就是前后项之比接近最快;我们称为黄金特征;黄金特征1的数列只有斐波那契数列;是独生数列..卢卡斯数列的黄金特征是5;也是独生数列..前两项的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列..而F1;4与F2;5的黄金特征都是11;是孪生数列..F2;7也有孪生数列：F3;8..其他前两项互质的斐波那契—卢卡斯数列都是孪生数列;称为孪生斐波那契—卢卡斯数列..广义斐波那契数列斐波那契数列的黄金特征1;还让我们联想到佩儿数列：1;2;5;12;29;…;也有|22-15|=|55-212|=…=1该类数列的这种称为勾股特征..数列Pn的递推规则：P1=1;P2=2;Pn=Pn-2+2Pn-1.据此类推到所有根据前两项导出第三项的通用规则：fn = fn-1 p + fn-2 q;称为广义斐波那契数列..当p=1;q=1时;我们得到斐波那契—卢卡斯数列..当p=1;q=2时;我们得到佩尔—勾股弦数跟边长为整数的有关的数列集合..当p=-1;q=2时;我们得到等差数列..其中f1=1;f2=2时;我们得到自然数列1;2;3;4…..自然数列的特征就是每个数的平方与前后两数之积的差为1等差数列的这种差值称为..具有类似黄金特征、勾股特征、自然特征的广义斐波那契数列p=±1..当f1=1;f2=2;p=2;q=1时;我们得到等比数列1;2;4;8;16……相关的数学问题1.排列组合有一段楼梯有10级台阶;规定每一步只能跨一级或两级;要登上第10级台阶有几种不同的走法这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶;有两种登法；登上三级台阶;有三种登法；登上四级台阶;有五种登法……1;2;3;5;8;13……所以;登上十级;有89种走法..类似的;一枚均匀的硬币掷10次;问不连续出现正面的可能情形有多少种答案是1/√5{1+√5/2^10+2 - 1-√5/2^10+2}=144种..2.数列中相邻两项的前项比后项的极限当n趋于无穷大时;Fn/Fn+1的极限是多少这个可由它的通项公式直接得到;极限是-1+√5/2;这个就是黄金分割的数值;也是代表的和谐的一个数字..3.求递推数列a1=1;an+1=1+1/an的通项公式由可以得到：an=Fn+1/Fn;将斐波那契数列的通项式代入;化简就得结果..3.兔子繁殖问题关于斐波那契数列的别名斐波那契数列又学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入;故又称为“”..一般而言;兔子在出生两个月后;就有繁殖能力;一对兔子每个月能生出一对小兔子来..如果所有兔都不死;那么一年以后可以繁殖多幼仔对数=前月成兔对数成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列..这个数列有关十分明显的特点;那是：前面相邻两项之和;构成了后一项..这个数列是意大利数学家斐波那契在<算盘全书>中提出的;这个的通项公式;除了具有an+2=an+an+1的性质外;还可以证明通项公式为：an=1/√5{1+√5/2^n-1-√5/2^n}n=1;2;3.....数学游戏一位拿着一块边长为8英尺的地毯;对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块;再把它们缝成一块长13英尺;宽5英尺的长方形地毯..”这位匠师对魔术师之差深感惊异;因为两者之间面积相差达一平方英尺呢可是魔术师竟让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的这真是不可思议的事亲爱的读者;你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿去呢实际上后来缝成的地毯有条细缝;面积刚好就是一平方英尺..自然界中的巧合斐波那契数列在自然科学的其他分支;也有许多应用..例如;树木的生长;由于新生的枝条;往往需要一段“休息”时间;供自身生长;而后才能萌发新枝..所以;一株树苗在一段间隔;例如一年;以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”;老枝依旧萌发；此后;老枝与“休息”过一年的枝同时萌发;当年生的新枝则次年“休息”..这样;一株树木各个年份的枝桠数;便构成斐波那契数列..这个规律;就是生物学上着名的“鲁德维格定律”..另外;观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣;可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数：3、5、8、13、21、……斐波那契螺旋：具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的的头部这些植物懂得斐波那契数列吗应该并非如此;它们只是按照自然的规律才进化成这样..这似乎是植物排列种子的“优化方式”;它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当;不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉..叶子的生长方式也是如此;对于许多植物来说;每片叶子从中轴附近生长出来;为了在生长的过程中一直都能最佳地利用要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来;而不是一下子同时出现的;每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度;这个角度称为“黄金角度”;因为它和整个圆周360度之比是;而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生..向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89;甚至144条..数字谜题三角形的三边关系和斐波那契数列的一个联系：现有长为144cm的铁丝;要截成n小段n>2;每段的长度不小于1cm;如果其中任意三小段都不能拼成三角形;则n的最大值为多少分析：由于形成三角形的是任何两边之和大于第三边;因此不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边..截成的铁丝最小为1;因此可以放2个1;第三条就是2为了使得n最大;因此要使剩下来的铁丝尽可能长;因此每一条线段总是前面的相邻2段之和;依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55;以上各数之和为143;与144相差1;因此可以取最后一段为56;这时n达到最大为10..我们看到;“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用;正是这个最1产生了斐波那契数列;如果把1换成其他数;递推关系保留了;但这个数列消失了..这里;三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系..在这个问题中;144>143;这个143是斐波那契数列的前n项和;我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上去;如果加到其他数上;就有3条线段可以构成三角形了..影视作品中的斐波那契数列斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知;于是在电影这种通俗艺术中也时常出现;比如在风靡一时的里它就作为一个重要的符号和情节线索出现;在魔法玩具城里又是在店主招聘会计时随口问的问题..可见此数列就像黄金分割一样流行..可是虽说叫得上名;多数人也就背过前几个数;并没有深入理解研究..在电视剧中也出现斐波那契数列;比如：日剧考试之神第五回;义嗣做全国模拟考试题中的最后一道~社会文明中的斐波那契数列艾略特波浪理论1946年;艾略特完成了关于波浪理论的集大成之作;自然法则——宇宙的秘密..艾略特坚信;他的波浪理论是制约人类一切活动的普遍自然法则的一部分..波浪理论的优点是;对即将出现的顶部或底部能提前发出警示信号;而传统的技术分析方法只有事后才能验证..艾略特波浪理论对市场运作具备了全方位的透视能力;从而有助于解释特定的形态为什么要出现;在何处出现;以及它们为什么具备如此这般的预测意义等等问题..另外;它也有助于我们判明当前的市场在其总体周期结构中所处的地位..波浪理论的数学基础;就是在13世纪发现的费氏数列..波浪理论数学结构8浪循环图·8浪循环图说明·波浪理论的推动浪;浪数为51、2、3、4、5;调整浪的浪数为3a\b\c;合起来为8..·8浪循环中;前5段波浪构成一段明显的上升浪;其中包括3个向上的冲击波及两个下降的调整波..在3个冲击波之后;是由3个波浪组成的一段下跌的趋势;是对前一段5浪升势的总调整..这是艾略特对波浪理论的基本描述..而在这8个波浪中;上升的浪与下跌的浪各占4个;可以理解为艾略特对于股价走势对称性的隐喻..·在波浪理论中;最困难的地方是：波浪等级的划分..如果要在特定的周期中正确地指认某一段波浪的特定属性;不仅需要形态上的支持;而且需要对波浪运行的时间作出正确的判断..·换句话说;波浪理论易学难精;易在形态上的归纳、总结;难在价位及时间周期的判定..波浪理论的数字基础：斐波那契数列波浪理论数学结构——斐波那契数列与黄金分割率·这个数列就是斐波那契数列..它满足如下特性：每两个相连数字相加等于其后第一个数字；前一个数字大约是后一个数字的0.618倍；前一个数字约是其后第二个数字的0.382倍；后一个数字约是前一个数字的1.618倍；后一个数字约是前面第二个数字的2.618倍；·由此计算出常见的黄金分割率为0.5和1.5外：0.191、0.236、0.382、0.618、0.809、1.236、1.382、1.618、1.764、1.809·黄金分割比率对于股票市场运行的时间周期和价格幅度模型具有重要启示及应用价值..黄金分割比率在时间周期模型上的应用·未来市场转折点=已知时间周期×分割比率·已知时间周期有两种：1循环周期：最近两个顶之间的运行时间或两个底之间的运行时间2趋势周期：最近一段升势的运行时间或一段跌势的运行时间·一般来讲;用循环周期可以计算出下一个反向趋势的终点;即用底部循环计算下一个升势的顶;或用顶部循环计算下一个跌势的底..而用趋势周期可以计算下一个同方向趋势的终点或是下一个反方向趋势的终点..时间循环周期模型预测图时间趋势周期模型预测图时间周期与波浪数浪的数学关系·一个完整的趋势推动浪3波或调整浪3波;运行时间最短为第一波1浪或A浪的1.618倍;最长为第一波的5.236倍..如果第一波太过短促;则以第一个循环计算A浪与B浪或1浪与2浪..·1.382及1.764的周期一旦成立;则出现的行情大多属次级趋势;但行情发展迅速..·同级次两波反向趋势组成的循环;运行时间至少为第一波运行时间的1.236倍..·一个很长的跌势或升势结束后;其右底或右顶通常在前趋势的1.236或1.309倍时间出现..黄金分割比率在价格幅度模型上的应用·如果推动浪中的一个子浪成为延伸浪的话;则其他两个推动浪不管其运行的幅度还是运行的时间;都将会趋向于一致..也就是说;当推动浪中的浪3在走势中成为延伸浪时;则浪1与浪5的升幅和运行时间将会大致趋同..假如并非完全相等;则极有可能以0.618的关系相互维系..·浪5最终目标;可以根据浪1浪底至浪2浪顶距离来进行预估;他们之间的关系;通常亦包含有神奇数字组合比率的关系..·对于ABC调整浪来说;浪C的最终目标值可能根据浪A的幅度来预估..浪C的长度会经常是浪A的1.618倍..当然我们也可以用下列公式预测浪C的下跌目标：浪A浪底减浪A乘0.618..·在对称三角形内;每个浪的升跌幅度与其他浪的比率;通常以0.618的神奇比例互相维系..黄金分割比率在价格幅度模型上的应用·0.382：浪4常见的回吐比率、部份浪2的回吐比率、浪B的回吐比率..·0.618：大部份浪2的调整幅度、浪5的预期目标、浪B的调整比率、三角形内浪浪之间比率..·0.5：常见是浪B的调整幅度..·0.236：浪3或浪4的回吐比率;但不多见..·1.236与1.382：·1.618：浪3与浪1、浪C与浪A的比率关系..推动浪形态·推动浪有五浪构成..第一浪通常只是由一小部分交易者参与的微弱的波动..一旦浪1结束;交易者们将在浪2卖出..浪2的卖出是十分凶恶的;最后浪2在不创新低的情况下;市场开始转向启动下一浪波动..浪3波动的初始阶段是缓慢的;并且它将到达前一次波动的顶部浪1的顶部..推动浪浪5未能创新高低;市场将会出现大逆转推动浪的变异形态——倾斜三角形·倾斜三角形为推动浪中的一种特殊型态比较少见;主要出现在第5浪的位置..艾略特指出;在股市中;一旦出现一段走势呈现快速上升或赶底的状况;其后经常会出现倾斜三角形型态调整浪形态·调整是十分难以掌握的;许多艾略特交易者在推动模式阶段上赚钱而在调整阶段再输钱..一个推动阶段包括五浪..调整阶段由三浪组成;但有一个三角形的例外..一个推动经常伴随着一个调整的模式..·调整模式可以被分成两类：·简单的调整：之字型调整N字型调整·复杂的调整：平坦型、不规则型、三角形型调整浪的简单与复杂调整的交替准则调整浪的变异形态：强势三角形调整浪的变异形态：前置三角形各段波浪的特性·在8浪循环中;每段波浪都有不同的特点;熟知这些特点;对波浪属性的判断极有帮助;·第1浪：大部分第1浪属于营造底部形态的一部份;相当于形态分析中头肩底的底部或双底的右底;对这种类型的第1浪的调整第2浪幅度通常较大;理论上可以回到第1浪的起点..小部份第1浪在大型调整形态之后出现;形态上呈V形反转;这类第1浪升幅较为可观..在K线图上;经常出现带长下影线的大阳线..从波浪的划分来说;在5-3-5的调整浪当中;第1浪也可以向下运行;通常第1浪在分时图上应该显示明确的5浪形态..·第2浪：在强势调整的第2浪中;其回调幅度可能达到第1浪幅度的0.382或0.618;在更多的情况下;第2浪的回调幅度会达到100%;形态上经常表现为头肩底的右底;使人误以为跌势尚未结束..在第2浪回调结束时;指标系统经常出现超卖、背离等现象..第2浪成交量逐渐缩小;波幅较细;这是卖力衰竭的表现..出现传统系统的转向信号;如头肩底、双底等..·第3浪：如果运行时间较短;则升速通常较快..在一般情况下为第1浪升幅的1.618倍..如果第3浪升幅与第1浪等长;则第5浪通常出现扩延的情况..在第3浪当中;唯一的操作原则是顺势而为..因为第3浪的升幅及时间经常会超出分析者的预测..通常第3浪运行幅度及时间最长..属于最具爆发性的一浪..大部分第3浪成为扩延浪..第3浪成交量最大..出现传统图表的突破信号;如跳空缺口等..·第4浪：如果第4浪以平坦型或N字型出现;a小浪与c小浪的长度将会相同..第4浪与第2浪经常是交替形态的关系;即单复式交替或平坦型、曲折型或三角形的交替..第4浪的低点经常是其后更大级数调整浪中A浪的低点..经常以较为复杂的形态出现;尤其以三角形较为多见..通常在第3浪中所衍生出来的较低一级的第4浪底部范围内结束..第4浪的底不会低于第1浪的顶..·第5浪：除非发生扩延的情况;第5浪的成交量及升幅均小于第3浪..第5浪的上升经常是在指标出现顶背离或钝化的过程中完成..在第5浪出现衰竭性上升的情况下;经常出现上升楔形形态..这时;成交量与升幅也会出现背离的情况..如果第1、3浪等长;则第5浪经常出现扩延..如果第3浪出现扩延浪;则第5浪幅度与第1浪大致等长..市场处于狂热状态..·第6浪A浪：A浪可以为3波或者5波的形态..在A浪以3波调整时;在A浪结束时;市场经常会认为整个调整已经结束..在多数情况下;A浪可以分割为5小浪..市场人士多认为市场并未逆转;只视为一个较短暂的调整..图表上;阴线出现的频率增大..·第7浪B浪：在A浪以3波形态出现的时候;B浪的走势通常很强;甚至可以超越A浪的起点;形态上出现平坦型或三角形的概率很大..而A浪以5波运行的时候;B浪通常回调至A浪幅度的0.5至0.618..升势较为情绪化;维持时间较短..成交量较小..·第8浪C浪：除三角形之外;在多数情况下;C浪的幅度至少与A 浪等长..杀伤力最强..与第3浪特性相似;以5浪下跌..股价全线下挫..人类文明的斐波那契演进古老的<马尔萨斯理论>已经显灵马尔萨斯认为：每当社会财富快速积累;人口快速增长;就会出现：战争、瘟疫、饥荒、自然灾害来削减人口..2000年科技泡沫达到繁荣的极限;到处都是财富神话然后盛极而衰;全球经济急转直下转入衰退、长期萧条..于是：911、阿富汗战争、伊拉克战争、 SARS、印度洋海啸、飓风袭击美利坚、禽流感、寒流袭击欧罗巴..这一切集中在一起接二连三地发生2000年是自上世纪30年代全球经济大萧条后;一个长达约70年的经济增长周期的结束点;后面将是一个长期萧条周期..上世纪30年代全球经济大萧条导致了二次世界大战;被艾略特称之为：底部战争..现在又是一个与上世纪30年代全球经济大萧条同级别的经济萧条周期;2000年来的经济萧条将持续至 2021年才会结束预测附在下面..后面是否又会发生被艾略特称之为的：底部战争至少有不良苗头：哈马斯执政、伊朗核问题纠缠;世界将走向何方是否还记得那个着名的：1999年7月之上误差了2年恐怖大王从天而降 911使安哥鲁摩阿大王为之复活美国发动反恐战争这期间由马尔斯借幸福之名统治四方唯一待验证社会群体心理、群体行为、群体价值观;乃至国际政治、经济、军事;一切皆是自相似系统分形几何运行阶段的反映和结果..1、自2000年来的全球经济萧条将持续至2021年;说明未来将是长期萧条..2、之前会有若干次小级别、温和的经济扩张和收缩;2010、2011、2018年是拐点..3、2021年是一个黑暗的年份;人们悲观、恐惧、绝望的情绪会达到一个极点..到时绝大多数经济学家会一致悲观接着柳岸花明经济开始复苏;经济学家们又挨了一记大耳光..首先;列出一组计算公式：公元1937年–公元1932年X 3.618 + 公元1982年 = 公元2000年公元1966年–公元1942年/1.382 + 公元1982年 = 公元1999年公元1837年–公元1789年X 1.382 + 公元1932年 = 公元1998年公元1325年–公元950年X 0.618 –公元1650年–公元1490年 + 公元1789年–公元1650年 + 公元1789年 = 公元2000年其中：公元950年商业革命的起点公元1325年商业革命的结束点公元1490年资本主义革命的起点公元1650年资本主义革命的结束点公元1789年工业革命的起点公元1837年公元1789年后第一轮经济扩张的结束点公元1932年自公元1929年资本主义世界股灾的结束点公元1937 年公元1929年股灾后第一轮经济扩张的结束点公元1942年公元1929年股灾后第二轮经济扩张的起点。
斐波那契数列
斐波那契数列一、简介斐波那契数列(Fibonacci),又称黄金分割数列,由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入,推动了数学得发展。
故斐波那契数列又称“兔子数列”。
斐波那契数列指这样得数列:1,１,2,３,5,8,13,……,前两个数得与等于后面一个数字。
这样我们可以得到一个递推式,记斐波那契数列得第i项为F i,则F i=F i—1+F i-2、兔子繁殖问题指设有一对新生得兔子,从第三个月开始她们每个月都生一对兔子,新生得兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。
按此规律,并假定兔子没有死亡,10个月后共有多少个兔子?这道题目通过找规律发现答案就就是斐波那契数列,第ｎ个月兔子得数量就是斐波那契数列得第n项。
二、性质如果要了解斐波那契数列得性质,必然要先知道它得通项公式才能更简单得推导出一些定理。
那么下面我们就通过初等代数得待定系数法计算出通项公式。
令常数p,ｑ满足F n－pF n—１=ｑ(Ｆn－1-pFｎ—2)。
则可得:Fｎ—ｐFｎ—1=q(Ｆn—１—pF n—2)=q2(F n-2-pＦn—3。
)=…=qｎ—2(Ｆ２—pF1)又∵F n—pF n-1=q(Ｆn—1-pF n－2)∴F n-pF n-1＝ｑF n-1－pｑF n—2F n-1+Fｎ—２-pF n—１—ｑＦｎ—１+pqFｎ—2=０(1-p—ｑ)F n—1+(1+pｑ)Ｆn-2=0∴p+q＝１,pｑ=—1就是其中得一种方程组∴Ｆn-ｐFｎ-1=q n-2(F2-ｐＦ１)=q n－2(1—ｐ)＝qｎ—１Fｎ=qｎ—1＋pF n—１＝q n－1+p(qｎ—2+ｐ(q n－３＋…))=ｑn-１＋ｐｑn－2+ｐ2qｎ—3+…+p n—1不难瞧出,上式就是一个以p／q为公比得等比数列。
将它用求与公式求与可以得到:F n=q n−1[(pq)n−1]pq−1=p n−q np−q而上面出现了方程组p+q=１,pq=-1,可以得到ｐ(1—p)=-1,p2—p—1=０,这样就得到了一个标准得一元二次方程,配方得p2－p＋0。
有趣斐波那契数列例子
斐波那契数列斐波那契数列的明者，是意大利数学家列昂多·斐波那契〔Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍大概是比〕。
他被人称作“比的列昂多〞。
1202 年，他撰写了?珠算原理? (Liber Abacci)一。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理的欧洲人。
他的父被比的一家商体聘任外交事，派地点相当于今日的阿及利地区，列昂多因此得以在一个阿拉伯老的指下研究数学。
他曾在埃及、叙利、希腊、西西里和普旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、⋯⋯个数列从第三开始，每一都等于前两之和。
斐波那契数列通公式通公式( )〔又叫“比内公式〞，是用无理数表示有理数的一个范例。
〕注：此a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2) 〔n>=3,n∈N*〕通公式的推斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、⋯⋯如果F(n)数列的第n (n∈N+)。
那么句可以写成如下形式：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n ≥2)，然是一个性推数列。
方法一：利用特征方程〔性代数解法〕性推数列的特征方程：X^2=X+1解得X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。
F(n)=C1*X1^n+C2*X2^n 。
∵F(1)=F(2)=1。
∴C1*X1+C2*X2。
C1*X1^2+C2*X2^2。
解得C1=1/√5，C2=-1/√5。
∴F(n)=(1/√5)*{[ (1+√5)/2]^(n+1)-[(1-√5)/2]^(n+1)}〔√5表示根号5〕。
方法二：待定系数法构造等比数列1〔初等待数解法〕常数r，s。
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
r+s=1，-rs=1。
n≥3，有。
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。
斐波那契数列及其特点
斐波那契数列及其特点斐波那契数列是数学中一列相邻两项之和等于后一项的数列，以0和1作为起始项的斐波那契数列如下所示：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34, ...斐波那契数列最早出现在12世纪的西方数学和艺术领域，由意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）发现并命名。
斐波那契数列的特点使其在数学、自然科学、计算机科学等领域具有广泛的应用。
斐波那契数列的特点：1. 递推关系：斐波那契数列的第n项等于前两项之和，即F(n) =F(n-1) + F(n-2)，其中F(0)=0，F(1)=1。
这种递推关系定义了斐波那契数列的生成规则，使得我们可以通过计算前两项的和得到后一项。
2. 黄金比例：斐波那契数列中，相邻两项的比例趋于黄金比例φ（约等于1.61803）。
当n趋于无穷大时，F(n)/F(n-1)将趋近于φ。
这一特性使得斐波那契数列与黄金分割点在数学和美学上具有广泛的应用。
3. 自然界中的应用：斐波那契数列在自然界中有许多应用。
例如，植物的花瓣数、种子排列、螺旋状物体的形态等都与斐波那契数列相关。
许多花朵的花瓣数目就是斐波那契数列中的某个数。
4. 黄金矩形：斐波那契数列还与黄金矩形密切相关。
黄金矩形是指矩形的长宽比接近黄金比例φ。
斐波那契数列的性质使得将正方形按照斐波那契数列依次放大，得到的长方形就是黄金矩形。
5. 近似无理数：斐波那契数列中的项数随着n的增大而趋近于无穷大，使得斐波那契数列中的每一项都是近似无理数。
虽然每一项不是真正的无理数，但它们可以无限接近黄金比例，从而在实际应用中具有重要价值。
总结起来，斐波那契数列是一种具有递推关系的数列，其中相邻两项的比例趋近于黄金比例。
斐波那契数列不仅在数学领域有重要应用，还广泛应用于自然科学、美学和计算机科学等领域。
通过了解斐波那契数列的特点，我们可以更好地理解和应用这一数列。
高中数学斐波那契数列
高中数学斐波那契数列高中数学斐波那契数列斐波那契数列是一个非常有趣且具有深刻意义的数列，被广泛应用于数学、自然科学、计算机科学等领域。
让我们一起来了解一下这个有趣的数列吧！斐波那契数列的特点是每个数都是前两个数的和，即从第三项开始，每一项都等于前两项的和。
数列的前几个数为：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ···这个数列最早是西方数学家斐波那契在13世纪提出的，他是个充满智慧与好奇心的意大利数学家。
斐波那契在研究兔子繁殖的问题时，发现了这个有趣的数列，于是数学家们将这个数列命名为“斐波那契数列”。
斐波那契数列的特点不仅仅体现在数值上，还体现在比值上。
随着数列递推，每相邻两项的比值趋近于一个常数，这个常数就是著名的“黄金分割比”。
黄金分割比为(1+√5)/2≈1.618，当数列项数无限增加时，相邻两项的比值趋近于黄金分割比。
数学中经常会利用斐波那契数列的性质来解决一些问题。
例如，我们可以利用斐波那契数列来解决兔子繁殖问题，假设一对兔子成熟后每月可以生一对兔子，一对新生的兔子从第二个月开始可以生育，那么经过n个月，兔子总数为斐波那契数列的第n项。
同时，斐波那契数列还与自然界中的一些现象有着紧密联系。
例如，植物的枝干和分支的排列通常遵循斐波那契数列的规律，例如向日葵的花籽排列，螺旋形状的贝壳等。
这种现象被称为“自然中的黄金分割”。
斐波那契数列在计算机科学领域也有着重要的应用。
许多编程语言的教学中，都会使用斐波那契数列作为示例，用来演示递归与迭代的概念与编程方式。
同时，斐波那契数列也可以用来优化算法的设计与运行效率。
在高中数学教学中，斐波那契数列通常作为一种套路进行讲解。
通过数列的递推关系和通项公式的推导，可以帮助学生提高逻辑推理能力和数学思维能力。
综上所述，斐波那契数列不仅仅是一个有趣的数学问题，它还在数学、自然科学、计算机科学等领域发挥着重要的作用。
斐波那契数列
这些植物懂得斐波那契数列吗？ 应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。 这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的 大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀 拉拉。叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附 近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶 子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和 前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因 为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618033989……的倒数，而这种 生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那 契螺旋有时能达到89，甚至144条。 1992年，两位法国科学家通过对花瓣形成过程的计算机仿真实验，证 实了在系统保持最低能量的状态下，花朵会以斐波那契数列长出花瓣。
与黄金分割的关系
有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数 来表达的。而且当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越 逼近黄金分割0.618.（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越 逼近黄金分割0.618、前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割 0.618） 1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666...，3÷5=0.6，5÷8=0.625，…………， 55÷89=0.617977…，………… 144÷233=0.618025… 46368.
子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那 么一年以后可以繁殖多少对兔子？ 我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对 两个月后，生下一对小兔对数共有两对 三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖 能力，所以一共是三对 －－－－－－ 依次类推可以列出下表：
一一二三五八十三的规律
一一二三五八十三的规律
前八个数字11235813，其规律为2=1+1，2+3=5，3+5=8，5+8=13，则有可能后两个数的和为3，故依据上述相关信息推测最后的两个数字最有可能的是21。
总之每一项都等于前两项之和。
满足斐波那契数列，斐波那契数列又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂纳多-斐波那契于1202年提出的数列，斐波那契数列1、1、2、3、5、8、13、21、34…此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
找规律的方法：
找规律填数字，或者说图形找规律，开始大家都是通过一些对比发现其中的规律，可能有些数列三个数就有“规律”出现，不过并不能确定也只能算是猜，一般需要三个以上，包括前后结合对照才能确认规律。
不论是数列找规律还是图形找规律，都需要比较敏锐的观察力，尤其是一些规律藏得较深，需要胆大心细才能发现，最后在填完之后，需要前后结合检验所找的规律是否正确，以免徒劳无功。
Fibonacci数列性质的组合证明
Fibonacci数列性质的组合证明数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … 叫做 Fibonacci 数列。
这个数列有很多神奇的性质，其中一个性质是，每一个 Fibonacci 数的平方与它前后两个 Fibonacci 数的乘积一定正好相差 1 。
具体地说，如果把第 n 个Fibonacci 数记做 Fn，那么有：Fn+1· Fn+1- Fn· Fn+2= (-1)n今天看到了这个定理的一个组合数学证明，觉得非常有意思，在这里和大家分享。
Fibonacci 数有很多组合数学上的意义。
比如说，用 1 × 1 和 1 × 2 的积木覆盖一个 1 × n 的棋盘，总的方案数恰好是 Fn+1。
下图显示的就是 n 较小时的一些实例：这个规律背后的原因其实很简单：给出一个长度为 n 的棋盘后，它的覆盖方案可以分成两类，最后边放的是一个 1 × 1 的积木，或者最后边放的是一个1 × 2 的积木。
前一类情况下的方案数也就完全取决于前 n - 1 个格子的覆盖方案数，后一类情况下的方案数则等于前 n - 2 个格子的覆盖方案数。
因此，如果用 f(n) 来表示 1 × n 棋盘的覆盖方案数，那么正好就有 f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) 。
另外，由于 f(1) = 1 ， f(2) = 2 ，因而接下来的数 f(3), f(4), f(5), … 也就恰好构成了 Fibonacci 数列。
既然这样，那么用积木覆盖两个独立的 1 × n 棋盘，总方案数就是F n+1· Fn+1。
我们有意把这两个独立的棋盘像左图那样摆放。
类似地，用积木覆盖一个1 × (n+1) 棋盘加上另一个 1 × (n-1) 棋盘的总方案数则为F n · Fn+2，我们把这两个棋盘放成右图所示的样子。
斐波那契数列的特点有哪些？
斐波那契数列的特点有哪些？斐波那契数列是一个非常特殊的数列，它的特点是每个数都是前两个数的和。
具体来说，数列的前两个数是0和1，后面的数就是前面两个数的和，即0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，这个数列被称为“斐波那契数列”。
这个数列的特点不仅仅是这些，还有以下几个方面：1.数列中的每个数都是前两个数的和。
这个特点已经在前面提到了。
这个特点是斐波那契数列的最基本的特点，也是最容易理解的特点。
这个特点使得斐波那契数列具有了很多有趣的性质和应用。
2.数列中的每个数都是它前面所有数的和。
这个特点是斐波那契数列的一个比较深奥的性质。
这个性质意味着，如果我们知道了数列中的前n-1个数，就可以求出第n个数。
这个性质在斐波那契数列的应用中非常重要。
3.数列中的每个数都是它后面所有数的差。
这个特点是斐波那契数列的另一个比较深奥的性质。
这个性质意味着，如果我们知道了数列中的后n-1个数，就可以求出第n个数。
这个性质在斐波那契数列的应用中也非常重要。
4.数列中的每个数都是黄金分割数列的一部分。
黄金分割数列是另一个非常特殊的数列，它的特点是每个数都是前一个数的倒数加1。
具体来说，数列的前两个数是0和1，后面的数就是前面一个数的倒数加1，即0，1，1.5，1.6666，1.6，1.625，1.6154，1.619，1.6176，1.6182，……，这个数列被称为“黄金分割数列”。
斐波那契数列中的每个数都是黄金分割数列的一部分。
具体来说，第n个斐波那契数是黄金分割数列中第n+1个数与第n个数的商。
5.数列中的每个数都可以表示成若干个不同的斐波那契数的和。
这个特点是斐波那契数列的一个非常有趣的性质。
具体来说，每个斐波那契数都可以表示成若干个不同的斐波那契数的和。
例如，8可以表示成5+3，13可以表示成8+5，21可以表示成13+8，等等。
这个性质在斐波那契数列的应用中也非常重要。
斐波那契数列的应用斐波那契数列的应用非常广泛，涉及到数学、计算机科学、自然科学、经济学等多个领域。
1、1、2、3、5、8、13、21这种数列被称为什么数列？_百万英雄
本文共计14458字1、1、2、3、5、8、13、21这种数列被称为什么数列？_百万英雄
6、“1、1、2、3、5、8、13、21”这种数列被称为什么数列？
正确答案：斐波拉契数列
斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。
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斐波那契数列 规律
斐波那契数列规律
斐波那契数列是一组由0和1开始的数列，之后的每一项都是前两项的和。
其数列如下：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144……
这个数列以意大利数学家斐波那契命名，他在1202年的《算盘书》中提到了这个数列。
斐波那契数列在许多领域都有应用，如自然界中的物种繁殖、金融学中的股票价格变化、音乐中的节奏变化等等。
斐波那契数列的规律在数学上可以表示为：Fn = Fn-1 + Fn-2，其中n表示数列的位置，Fn表示该位置上的数。
例如，第3项是1，可以表示为F3 = F2 + F1 = 1 + 0 = 1。
斐波那契数列也有许多有趣的性质。
例如，相邻两项的比值越来越接近黄金比例1.618，即lim(n→∞)Fn/Fn-1 = φ = 1.618。
这个黄金比例在艺术、建筑等领域也有广泛的应用。
斐波那契数列的规律和性质不仅仅是数学上的奇妙现象，更是人们对自然界和生命本质的认知和探索。
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1,2,3,5,8,13是什么规律
1,2,3,5,8,13是什么规律
斐波那契数列是一个大家都很熟悉的数列，它在数学里具有重要的结构，但它本身也具有一定的不可思议的由来。
斐波那契数列的定义为：从第三项开始，每一项都是前两项的和。
由第1、2项来定义，一般用如下式表示：
F(1)=1，F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n≥3）
1、2、3、5、8、13是斐波那契数列中非常经典的一部分，在这些数字中，前两项公式被满足，也就是把前两项相加，就得到下一个元素。
这样，下一项我们就可以通过本项和上项推导出，所以可以这样来算出数列前几项：
F(1)=1,
F(2)=1,
F(3)=2=1+1,
F(4)=3=1+2，
F(5)=5=2+3，
F(6)=8=3+5，
F(7)=13=5+8，
……
蕴藏在斐波那契数列中的秘密，仍在逐步被科学家们逐个解开。
斐波那契序列的定义式在很多的数学问题中都有很多的应用，比如普林斯顿大学数学教授德布雷蒂发现，薄荷糖能够按照斐波那契数列堆叠，能够放置容积最大量的薄荷糖，这也是迪尔伯恩定理的一个重要推导，也有其他的一些重要的数学应用，比如：斐波那契数列的应用它也可以在生物学方面提供有效的思路，像某种生物的繁殖方式，和据统计的一些状况，都有可能可以符合斐波那契序列。
而数学领域，斐波那契数列也同样是有其重要的用途的，用它的结构去推导一些复杂函数，或者求解一些数学问题，可以帮助我们更加方便地解决问题。
1 2 3 5 8 13 这段斐波那契数列，其实蕴藏了非常多的深远的含义和广阔的应用，它在表面上简单又奇妙，而在数学家们的推演下，也进一步推动了后人的研究和发现，使斐波那契数列的神奇之路走得更远。
黄金数列的规律
黄金数列的规律黄金数列的规律：在数学中，黄金数列，也被称为斐波那契数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、…… ，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
想象一下，黄金数列就像是一场神奇的数字接力赛。
每个数字都是一位勇敢的接力选手，后面的选手总是由前面两位选手传递的数字相加而来。
比如，0 和 1 先出发，它们把数字传递给 1 ，1 再和 1 联手把数字传递给 2 ，2 和 1 合作又把数字传递给 3 ，就这么一棒接一棒，永不停歇。
黄金数列可不只是数字的简单排列，它在我们的生活中到处都有“身影”。
就拿植物来说吧，很多花朵的花瓣数量就是按照黄金数列来的。
比如百合花通常有3 片花瓣，梅花大多有5 片花瓣，而向日葵的花盘里，种子的排列方式也与黄金数列有着密切的关系。
这就好像植物们是黄金数列的超级粉丝，用自己的美丽来展示这个神奇的规律。
再看看我们的人体。
据说，人的肚脐位于整个人身高的黄金分割点上。
这意味着，如果把人的身高看作一个整体，从脚底到肚脐的长度与身高的比例接近黄金比例，这是不是很神奇？仿佛大自然这位“设计师”在创造人类的时候，悄悄地运用了黄金数列的规律，让我们的身体比例看起来更加和谐美观。
还有一些建筑，也巧妙地运用了黄金数列的规律。
比如埃及的金字塔，它的侧面比例就接近黄金比例。
这使得金字塔看起来既庄严又神秘，充满了迷人的魅力。
在经济领域，黄金数列也有它的用武之地。
股票市场的价格波动有时候也会呈现出与黄金数列相关的规律。
这就好像市场这个“调皮的孩子”，虽然看似无序地涨跌，但在背后却也遵循着一定的“数字密码”。
总之，黄金数列就像是一位神秘的魔法师，悄悄地在我们生活的各个角落施展魔法。
总结一下，黄金数列这个神奇的规律，不仅在自然界中频繁出现，还在艺术、建筑、经济等多个领域发挥着重要作用。
它让我们看到了数学与生活的紧密联系，也让我们感受到了大自然和人类社会的奇妙与和谐。
如果你对黄金数列感兴趣，想要更深入地了解它的奥秘，不妨去阅读《神奇的斐波那契数列》这本书，或者在网上搜索相关的科普视频，比如“数学的奥秘之黄金数列”。
斐波那契数列
斐波那契数列斐波那契是中世纪占主导地位的数学家之一，他在算术、代数和几何等方面多有贡献(他生于比萨的列奥纳多家族(1175-1250)，是一位意大利海关设在南部非洲布吉亚的官员的儿子(由于他父亲的工作，使他得以游历了东方和阿拉伯的许多城市(而在这些地区，斐波那契熟练地阿拉伯的十进制系统，该系统具有位置值并掌握了印度—使用了零的符号(在那时，意大利仍然使用罗马数字进行计算(斐波那契看到了这种美丽的印度—阿拉伯数字的价值，并积极地提倡使用它们(公元1202年，他写了《算盘书》一书，这是一本广博的工具书，其中说明了怎样应用印度—阿拉伯数字，以及如何用它们进行加、减、乘、除计算和解题，此外还对代数和几何进行了进一步的探讨(意大利商人起初不愿意改变老的习惯，后来通过对阿拉伯数字不断地接触，加上斐波那契和其他数学家的工作，终使印度—阿拉伯数字系统得以在欧洲推广，并被缓慢地接受(斐波那契数列——1，1，2，3，5，8，13，21，34，…具有讽刺意味的是:斐波那契在今天的著名，是缘于一个数列(而这个数列则来自他的《算盘书》中一道并不出名的问题(他当时写这道题只是考虑作为一个智力练习(然而，到了19世纪，法国数学家E?卢卡斯出版了一部四卷本的有关娱乐数学方面的著作时，才把斐波那契的名字，加到该问题的解答和所出现的数列上去(《算盘书》中引致斐波那契数列的问题是:1)假定一个月大小的一对兔子(雄和雌的)，对于繁殖还太年轻，但两个月大小的兔子便足够成熟(又假定从第二个月开始，每一个月它们都繁殖一对新的兔子(雄和雌的)(2)如果每一对兔子的繁殖都按上面说的同样的方式(试问，从开始起每个月有多少对兔子呢,兔子的对数1,F= 第一个斐波那契数 11,F= 第二个斐波那契数 22,F= 第三个斐波那契数 33,F= 第四个斐波那契数 45=F=第五个斐波那契数 5斐波那契数列的每一项，都等于它前两项的和(用公式表示为:F=F+F nn-1n-2通项公式:那时，斐波那契并没有去研究这种数列的结果，从而他没有给出任何真正有意义的东西(一直到19世纪，当数学家们开始对这个数列感兴趣时，它的性质和它所触及的领域，才开始显现出来(斐波那契数列出现在:1)杨辉(帕斯卡)三角形，二项展开式和概率(2)黄金比值和黄金矩形(3)自然和植物(4)使人感兴趣的数学戏法(5)数学恒等式(斐波那契数列在自然界中的出现是如此地频繁，人们深信这不是偶然的。
斐波那契数列
斐波那契数列在数学的广袤世界中，有一个充满神秘魅力的数列，那就是斐波那契数列。
这个数列不仅在数学领域有着重要的地位，还在自然界、艺术、计算机科学等众多领域展现出了令人惊叹的影响力。
斐波那契数列的定义非常简单直观。
它是以 0 和 1 开始，后续的每一项都是前两项的和。
也就是说，数列的前几项是0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……依此类推。
为什么这个看似简单的数列会引起如此广泛的关注和研究呢？让我们先来看看它在数学中的一些有趣特性。
斐波那契数列与黄金分割有着密切的关系。
如果我们计算相邻两个斐波那契数的比值，随着数列项数的增加，这个比值会越来越接近黄金分割比约 0618。
这一特性使得斐波那契数列在美学和艺术中有着重要的应用。
比如，许多著名的绘画和建筑作品中，其比例和构图都巧妙地运用了黄金分割和斐波那契数列。
在自然界中，斐波那契数列也随处可见。
例如，一些植物的花瓣数量常常符合斐波那契数。
像百合花有 3 片花瓣，梅花有 5 片花瓣，雏菊可能有 13 片、21 片或 34 片花瓣。
还有向日葵的花盘，其种子的排列方式也呈现出斐波那契螺旋线的模式。
这种自然现象背后的原因可能与植物生长过程中的最优结构和能量利用有关。
在计算机科学领域，斐波那契数列也有其用武之地。
它经常被用于算法设计和性能优化。
例如，在动态规划算法中，斐波那契数列可以作为一个简单而有效的例子来帮助理解和解决更复杂的问题。
斐波那契数列还有许多其他有趣的数学性质等待着我们去探索。
比如，它的通项公式可以通过复杂的数学推导得出，这个公式能够直接计算出数列中任意一项的值。
不仅如此，斐波那契数列还在金融领域有着一定的应用。
在股票市场的技术分析中，一些分析师会关注价格走势是否符合斐波那契数列的规律，以此来预测未来的价格趋势。
当然，这种应用并不是绝对准确的，但它为分析提供了一种独特的视角。
回顾历史，斐波那契是一位意大利的数学家，他在 1202 年出版的《算盘全书》中首次介绍了这个数列。
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3、5、8、13是什么数列王者荣耀脑力风暴答案大
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3、5、8、13是什么数列？这是王者荣耀脑力风暴的问题，很多小伙伴不知道答案，感兴趣的小伙伴赶紧来看看吧~
王者荣耀1、1、2、3、5、8、13是什么数列？
一个数列，它的前面几个数是：1、1、2、3、5、8、13…，这个数列叫做：
答案：斐波那契数列
王者荣耀介绍：
（1）入梦之灵-梦奇：梦奇会将吞噬的噩梦转化为自身的一部分。
随着体积的增长，力量、防御不断提高，梦奇逐渐变为巨人一般的存在，力大无穷，刀枪不入。
王者荣耀第一个动物型英雄，峡谷最萌，不服来辩！
（2）地图品质升级：地图用一种新的方式记录着峡谷的起源，在这里西迁的超智慧体遭遇远
古魔道生物，倒下的身躯形成了现在的王者峡谷。
高地、野区、暴君等等，将以新的形态呈现；高精度模型制作、还原真实光照和材质质感，地图将更加真实而炫酷！
（3）新模式-实战练习：新的练习场景模式，真环境（5V5对战环境）、真对抗（匿名真实
玩家）、零压力（输赢不计胜率）！希望能够借此提供无压力的真实对局环境，玩家可以轻松的练习英雄以及战术。
（4）S9新赛季：我们在征召模式（钻石及以上段位）调整了“帮抢规则”，可以更加方便快捷
的助力团队合作，达成最佳阵容！
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