南理工紫金学院,第5章

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5.1.1 微分方程的拉氏变换求解
（3）求拉氏逆变换
i(t ) Ee sin t u (t )
E
t
t
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5.1.2 s域的元件模型
列写微分方程取拉氏变换的方法分析电路虽然具有许多 优点,但是,对于比较复杂的网络,列写微分方程这一步就显得 不必要的繁琐了。要得到网络的模型应先从基本元件的模型 入手。
例5.1-1 已知系统的微分方程为
d 2 y (t ) dy (t ) dx(t ) 6 8y(t ) 2 5x(t ) 2 dt dt dt x(t ) et u(t ), 起始条件为： y(0 ) 1, y ' (0 ) 2,
求 y(t) 解： 对微分方程两边取拉氏变换：
I C ( s) - +
1/sC -
VL(s)
VC(s)
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5.1.2 s域的元件模型
例5.1-5 电路中，当 t < 0 时，开关S位于“1”端，电路的状 态已经稳定。当 t = 0 时开关S从“1”端倒向“2”端，求 iL (t ) （1）画出s域模型
解： iL (0 ) E1 / R1 （2）假定流过sL的电流为 I L0 ( s )
取拉氏逆变换，得到电流的零输入响应。
izi (t ) 3e u(t )
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4 t 3
5.1.2 s域的元件模型
(2)求电流i(t)的零状态响应izs(t),画出零状态响应的s域模型
I zs ( s ) E1 s 2 s
I zs ( s )
R1
1 1 3 + sC s E R1 1 1 1 s R2 3 sC s 2(1 3s ) 1 1 3 1 s (3s 4) 2 s 2 s 4 3 取拉氏逆变换，得到电流的零状态响应。 R2
R2 3 vC (0 ) E2 4 3V R1 R2 1 3

2
S 1
R1 1
i (t )
+
E1
+
-
E2
-
C 1F
R2 3
画出电路的零输入响应的s域模型 电阻R1与R2的并联电阻R为:
R1
I zi ( s )
1 sC
R1 R2 1 3 3 R R1 R2 1 3 4
1
1 sC
R2
1 3 izs (t ) ( e 2 2
4 t 3
)u (t )
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5.2 系统函数与冲激响应
1. 系统函数的定义
设系统的 n 阶微分方程为：
an y ( n ) (t ) an 1 y ( n1) (t ) a1 y (1) (t ) a0 y(t ) bm x ( m) (t ) bm1 x ( m1) (t ) b1 x (1) (t ) b0 x(t )
求H(s)。
解法一：对微分方程两边取拉氏变换得：
(2s 2 5s 2)Y ( s) ( s 5) X ( s)
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5.2 系统函数与冲激响应
Y (s) s5 H ( s) 2 X ( s ) 2 s 5s 2
解法二：先求系统的冲激响应（应用4.5节的方法）
h(t ) (1.5e
i(0 ) 0

1 t i ( )d C
0
t 0
（2）对微分方程求拉氏变换
1 E LsI (s) RI (s) I ( s) Cs s
E E I (s) 2 1 s 2s 2 ( s 1)2 1 s Ls R Cs E
Yzs ( s) H ( s)
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而
5.2 系统函数与冲激响应
所以 或 简记为：
h(t ) L 1[ H ( s)]
H ( s) L [h(t )]
h(t )
H ( s)
Yzs ( s) H ( s) X ( s) yzs (t ) h(t ) x(t )
h (t )和 H ( s )分别从时域和复频域两个方面表征了同一系统的 特性。
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5.2 系统函数与冲激响应
解：列写回路方程
( s 1)[ I ( s ) I1 ( s )] 2 I ( s ) V1 ( s ) ( s 2) I1 ( s ) 2 I ( s) V2 ( s)
消去中间变量I1(s)得
( s2 7s 8) I ( s) ( s 1)V2 ( s) ( s 2)V1( s)
Yzs ( s) bm s m bm1s m1 b1s b0 H ( s) X ( s) an s n an 1s n 1 a1s a0
--------- “系统函数”或“网络函数”
简写为：
(5.2 3)
Y ( s) H ( s) X ( s)
X(s)
R t L
)
t≥ 0
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5.1.1 微分方程的拉氏变换求解
2. 求vL(t)
（1）
dvL (t ) R dv1 (t ) vL (t ) dt L dt v1 ( t )
E t -E
2 E ( t ) ( 0 系统） dv1 (t ) dt 0 ( 0 系统）
或： Y ( s)
H ( s) X ( s)
H (s )
Y(s)
注意：1、H(s)独立于输入，仅由系统特性决定；
2、系统函数是在零状态条件下得到的；
3、线性时不变系统的H(s)是s的有理函数。
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5.2 系统函数与冲激响应
Ii (s)
V i (s)
Ii (s)
系统
V i (s)
系统
Ij(s)
V j (s)
1 E1 E2 E1 E2 s R R sR1 sR2 1 1 2 I L0 (s) 1 1 1 sL sL( R0 R2 ) 1 R0 R2 sL R0 R2
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5.1.2 s域的元件模型
令

L( R0 R2 ) R0 R2
E1 E2 R1 R2 E1 E2 1 1 I L0 ( s ) s ( s 1) R1 R2 s s 1
E [sVR (s) vR (0 )] VR (s) R s

E L R vR (0 ) s 2 1 s R L VR ( s) E E L R R s s 1 s ss R L L
vR (t ) E (1 2e
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5.2 系统函数与冲激响应
3. 系统函数H(s)的求法
（1）由零状态下系统的微分方程经拉氏变换求得 （2）由冲激响应的拉氏变换求得 （3）用零状态下的s域模型、应用电路分析方法求得 例5.2-1：已知
d 2 y (t ) dy (t ) dx(t ) 2 5 2 y(t ) 5 x(t ) 2 dt dt dt
Y2 ( s)
I ( s) 2 s 1 V2 ( s) s 7s 8
iR(t) + R vR(t) i L( t ) + L v L( t ) iC(t) + vC ( t ) -
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5.1.2 s域的元件模型
IR(s) +
R VR(s)
I L( s ) +
sL VL(s) +
-
Ic(s) +
+ Vc(s)
-
-
IR(s) +源自R VR(s)I L ( s) - +
sL
其中：
9
5.1.1 微分方程的拉氏变换求解
最后分别画出 和 的波形：
vR(t) E 0 -E t
v L( t ) 2E
0
t
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5.1.1 微分方程的拉氏变换求解
例5.1-4 如图所示电路，起始状态为0，t = 0时开关S闭合，接 入直流电源E，求电流 i (t ) 。 解：（1）建立微分方程
di(t ) 1 t L Ri(t ) i( )d Eu(t ) dt C
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5.2 系统函数与冲激响应
( s2 7s 8) I ( s) ( s 1)V2 ( s) ( s 2)V1( s)
上式中，令
V1 ( s) 0 ，得
Y1 ( s)
同理，令
I ( s) 2 s2 V1 ( s) s 7s 8
V2 ( s ) 0 ，得
第 5章
连续时间系统的变换域分析
5.1 系统响应的拉氏变换求解 5.2 系统函数与冲激响应 5.3 零、极点分布与时域响应特性
5.4 零、极点分布与系统频率响应特性的关系 5.5 典型系统的频响特性 5.6 全通系统和最小相位系统 5.7 系统模拟及信号流图
5.8 系统的稳定性
5.9 MATLAB在连续系统变换域分析中的应用
3
5.1.1 微分方程的拉氏变换求解
4
5.1.1 微分方程的拉氏变换求解
例5.1-2：下图所示电路，当t<0时，开关S位于“1”端，电路
的状态已稳定，t = 0时S从“1”端打到“2”端，分 别求vL(t)与vR(t)。 解：
5
5.1.1 微分方程的拉氏变换求解
1. 求vR(t) （1）列写微分方程 L dvR (t ) vR (t ) Eu(t ) R dt （2）取拉氏变换 L
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5.2 系统函数与冲激响应
例如右图中的RC电路，其系统函数为 1 VC (s) 1 1 sC H (s) 1 X (s) R RC s 1 sC RC