《小波分析基础》PPT课件
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第六章小波分析基础ppt课件
振荡函数，直观讲都是正弦波。ak和bk 是函数f(t)的傅立叶系数，
可由以下公式计算：
2
ak T
T 0
f
(t)
cosk0tdt，k
0,1,2
(1.5)
bk
2 T
T 0
f
(t)
s
in
k0tdt，k
0,1,2
(1.6)
于是，周期函数f(t) 就与下面的傅立叶序列产生了一一对应， 即
f (t) a0,(a1,b1),(a2,b2 ),
l 2 ,使得
jZ
f (t)
c j g j (t)
(3.2)
jn
2)
存在常数0 A B ,使得 c j
l2,有
jZ
2源自文库
2
2
A cj cjgj B cj
j
j
j
(3.3)
A和B分别称为Riesz基的上下界，Riesz基又称为稳定基。
定义1 空间L2(R )中的多分辨分析是指L2(R )中的满足
(1.7)
从数学上已经证明了，傅立叶级数的前N项和是原函数f(t) 在给定能量下的最佳逼近：
lim
N
T 0
f
(t
)
a0 2
N
2
ak cos k0t bk sin k0t dx 0
可由以下公式计算：
2
ak T
T 0
f
(t)
cosk0tdt，k
0,1,2
(1.5)
bk
2 T
T 0
f
(t)
s
in
k0tdt，k
0,1,2
(1.6)
于是，周期函数f(t) 就与下面的傅立叶序列产生了一一对应， 即
f (t) a0,(a1,b1),(a2,b2 ),
l 2 ,使得
jZ
f (t)
c j g j (t)
(3.2)
jn
2)
存在常数0 A B ,使得 c j
l2,有
jZ
2源自文库
2
2
A cj cjgj B cj
j
j
j
(3.3)
A和B分别称为Riesz基的上下界，Riesz基又称为稳定基。
定义1 空间L2(R )中的多分辨分析是指L2(R )中的满足
(1.7)
从数学上已经证明了，傅立叶级数的前N项和是原函数f(t) 在给定能量下的最佳逼近：
lim
N
T 0
f
(t
)
a0 2
N
2
ak cos k0t bk sin k0t dx 0
《小波分析》课件
信号的压缩编码
总结词
小波变换可以将信号进行压缩编码，减小存储和传输所需的带宽和空间。
详细描述
通过小波变换，可以将信号的时域信息转化为小波系数，其中包含信号的细节和近似信息。对于近似部分的小波 系数，可以采用阈值处理等方法进行舍弃，从而实现信号的压缩。在解码时，再对小波系数进行逆变换，恢复出 原始信号。
信号的奇异性检测
总结词
小波变换可以用于检测信号中的奇异性，即信号的不连续点或突变点。
详细描述
小波变换具有局部分析的能力，能够检测出信号在不同尺度上的突变点。通过对小波变换的结果进行 分析，可以确定信号中奇异点的位置和性质，对于信号处理、故障诊断等领域具有重要的应用价值。
01
小波变换在图像处 理中的应用
图像的压缩编码
01
通用性强
02
小波变换的通用性强，可以广泛 应用于各种类型的图像压缩，包 括灰度图像、彩色图像、静态图 像和动态图像等。
图像的边缘检测
精确检测
小波变换具有多尺度分析的特性，能 够检测到图像在不同尺度下的边缘信 息，实现更精确的边缘检测。
图像的边缘检测
抗噪能力强
小波变换能够有效地抑制噪声对边缘 检测的影响，提高边缘检测的准确性 和稳定性。
金融领域
小波变换在金融领域用于金融 数据分析、股票价格波动分析 等方面，为投资者提供决策支
小波分析方法
R
f (t ) (
1 t b W ( a , b ) ( )dadb f 2 a a R R
12
8.2 小波的应用领域 • 模式识别——指纹，人脸
• 语音识别——语音特征提取
• 地震勘探——异常信号捕捉 • 数据压缩——选用高消失距的小波基 • 故障诊断——检测突变信号 • 医疗监护——检测异常生理信号
8 小波分析方法
8.1 小波分析与傅里叶变换的比较 8.2 小波应用
8.1 小波分析与付里叶变换的比较
Waves 傅里叶变换 (Fourier)基 Wavelets 小波基
“时频局域性” 图解： Fourier变换的基（上）小波变换基（下）的比较
2
小波的时间和频率特性
较低频
较高频
时间A
时间B
运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频率” 的变化。 • 时间：提取信号中“指定时间”（时间A或时间B）的变化。 顾名思义，小波在某时间发生的小的波动。 • 频率：提取信号中时间A的比较慢速变化，称较低频率成分； 而提取信号中时间B的比较快速变化，称较高频率成分。
29
IR-MMW fusion技术
30
小波融合技术在图像无线通讯中的应用
31
20
小波去噪(1)
21
小பைடு நூலகம்去噪(2)
《小波分析概述》课件
小波变换的应用领域
信号处理
小波变换在信号处理领域应用 广泛，如语音、图像、雷达、 地震等信号的降噪、压缩和识
别。
图像处理
小波变换在图像处理中用于图 像压缩、图像增强、图像恢复 和图像分析等。
通信
小波变换在通信中用于信号调 制、解调、信道均衡和多载波 通信等。
控制系统
小波变换在控制系统中用于系 统辨识、故障诊断和信号处理
多维小波变换算法
多维连续小波变换算法
将多维信号在小波基上展开，实现信号在多个维度上的多尺度分 析。
多维离散小波变换算法
将多维连续小波变换离散化，便于计算机实现，通过二进制伸缩和 平移实现信号的多尺度分析。
多维小波包变换算法
基于小波包的概念，对多维信号进行更精细的分解，提供更高的频 率分辨率和时间分辨率。
小波分析是一种强大的数学工具，在信号 处理、图像处理、数值分析等领域有着广 泛的应用。未来的理论研究将进一步深化 对小波变换的机理和性质的理解，探索更 多具有优良性质的小波基，为实际应用提 供更多选择。
小波分析的算法优化
总结词
针对小波分析中的算法进行优化，提高计算 效率和精度。
详细描述
随着小波分析应用的不断拓展，对算法效率 和精度的要求也越来越高。未来的研究将致 力于改进现有算法，提高计算效率，减少误 差，以满足实际应用的需求。
《小波分析概述》PPT课件
定义4.1 设函数
g L1(R) L2(R), tg L2(R),
则称 f (t )g的(Ftourier)变换
f (t )g(t )eitdt
为f (t)的窗口Fourier变换, 也称f (t)的Gabor变换, 记
为 G f (其,中)g,(t)称为时窗函数.
以下总是取时窗函数g(t)满足
本章将Fourier变换记为
fˆ () F() F [ f (t)],
R表示实数, Z表示整数, N表示正整数.
L1(R) f (t)
f (t) dt
表示绝对可积函数构成的空间,
L2(R) f (t) f (t) 2 dt
表示平方绝对可积函数构成的空间, 对
f , g f (t)g(t)dt
+
(t
-
t* )2
g(t
) 2 dt
2
1
+
(u
-
t* )2
g(u) 2 du
2
1
+ (u t* )2 g(u) 2 du 2 t. -
由此可见, 时窗中心在平移, 而时窗半径不变.
定义4.3 设g(t)是时窗函数, 称
gˆ( ) G( )
为频窗函数, 并且称
*
+
G(
)
设 f L2则(R),
《小波分析方法》课件
《小波分析方法》PPT课 件
本课程将介绍小波分析方法的基本概念和应用场景，帮助您掌握信号分析的 强大工具。让我们一起开启这个精彩的学习之旅吧！
课程介绍
内容和目标
了解本课程将涵盖的内容和学习目标
小波分析方法
掌握小波分析方法的基本概念和它在实际应用 中的价值
信号分析基础
1 信号的分类
了解不同类型的信号及其 特点
2 傅里叶分析方法
介绍傅里叶分析方法的原 理和局限性
3 小波分析方法
探讨小波分析方法相较于 傅里叶分析的优点和适用 性
小波分析的数学基础
滤波器组和小波变换
详细解释滤波器组和小波变换 的定义和原理
小波函数的种类
介绍不同种类的小波函数及其 特点
小波分析的表示方法
讲解小波分析在频域和时域的 表示方法
小波分析的应用
Matlab工具箱
介绍基于Matlab的小波分析工具箱，讲 解如何使用该工具箱进行小波分析
小结和展望
1 小波分析方法的优点和局限性
总结小波分析方法相较于其他方法的优点并讨论其局限性
2 未来的研究和应用方向
展望小波分析方法在未来可能的研究方向和应用领域
参考资料
相关领域的经典书籍 和教材
推荐一些与小波分析相关的经 典书籍和教材
论文和研究报告
介绍一些发表在期刊和会议上 的相关论文和研究报告
本课程将介绍小波分析方法的基本概念和应用场景，帮助您掌握信号分析的 强大工具。让我们一起开启这个精彩的学习之旅吧！
课程介绍
内容和目标
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小波分析方法
掌握小波分析方法的基本概念和它在实际应用 中的价值
信号分析基础
1 信号的分类
了解不同类型的信号及其 特点
2 傅里叶分析方法
介绍傅里叶分析方法的原 理和局限性
3 小波分析方法
探讨小波分析方法相较于 傅里叶分析的优点和适用 性
小波分析的数学基础
滤波器组和小波变换
详细解释滤波器组和小波变换 的定义和原理
小波函数的种类
介绍不同种类的小波函数及其 特点
小波分析的表示方法
讲解小波分析在频域和时域的 表示方法
小波分析的应用
Matlab工具箱
介绍基于Matlab的小波分析工具箱，讲 解如何使用该工具箱进行小波分析
小结和展望
1 小波分析方法的优点和局限性
总结小波分析方法相较于其他方法的优点并讨论其局限性
2 未来的研究和应用方向
展望小波分析方法在未来可能的研究方向和应用领域
参考资料
相关领域的经典书籍 和教材
推荐一些与小波分析相关的经 典书籍和教材
论文和研究报告
介绍一些发表在期刊和会议上 的相关论文和研究报告
小波分析系列讲座1—初见小波
小波分析系列讲座1—初见小波
这一节中希望大家能多动脑子呵呵因为我懒得写很多东西嘿嘿不好意思了
接着看上一节的变换
[90,70,100,70] --〉[82.5, -2.5, 10, 15]
82.5 即4个数的平均数可画出其对应波形如F.1 其他数字对应相应波形（请稍微思考一下为什么及这些波形特点）好了思考后请画出8个点阵的对应波形（如是新手，一定要亲手作作）以后我们将使用这些波深入学习
在这里我们称这些图形为波, 与常见的SIN波不同呵呵可能不习惯
我举几个重要特性：
面积特性：保持变换前后能量不变（常如此，但非必须）
F.3→ F.4 平移特性（可对不同部分使用同一操作）
F2 → F.3 伸缩特性（将操作对象的尺度变大或变小）
空间表示的信息完整性（最少用几个波就可以表示这个向量呢，波表示的数的含义，波之间可以替换吗，有其他形式的波吗其他形式的波能用更少的数量来表示这个向量吗）
等等
等好好思考了这些特性后，我们下一节将学习正交基，空间表示等
---------------------------FEATHERSKY
小波分析理论ppt课件
2
其中，短时傅里叶变换和小波变换也是因传统的傅里叶变 换不能够满足信号处理的要求而产生的。短时傅里叶变换 分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数g(t)的 一个短时间间隔内是平稳(伪平稳)的，并移动分析窗函数，
使f(t)g(t－t)在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计
算出各个不同时刻的功率谱。但从本质上讲，短时傅里叶 变换是一种单一分辨率的信号分析方法(因为它使用一个固 定的短时窗函数)，在信号分析上还存在着不可逾越的缺陷。
31
设y(t)∈L2(R)(L2(R)表示平方可积的实数空间，即能 量有限的信号空间)，其傅里叶变换为Y(w)。当Y(w)满足
允许条件(Admissible Condition)：
yˆ (w) 2
Cy R w dw
(1.13)
yˆ
时，我们称y(t)为一个基本小波或母小波(Mother Wavelet)
7
定义1.2 给定实的或复的离散时间序列f0，f1，…，fN
N 1
－1，设该序列绝对可积，即满足
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
fn
，
n0
称
N 1
i 2π k n
X (k) F( fn) fne N
(1.3)
n0
为序列{ fn}的离散傅里叶变换，称
8
fn
1 N
N 1
《小波分析及应用》课件
定义
小波是一种数学函数，用于描述信号在不同时间和频率上的变化。
时频表示
小波变换将信号分解为时域和频域信息，揭示了信号的局部特征。
单频分解
与傅里叶变换不同，小波变换可以提供信号的局部频率信息。
基本小波函数
Haar小波
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Daubechies小波
Haar小波是最简单的小波函数， 具有快速计算和良好的局部特性。
《小波分析及应用》PPT 课件
在本PPT课件中，我们将介绍小波分析及其广泛的应用。了解小波基础和小波 应用的重要概念。
小波分析及应用
1
第一部分：小波基础
了解小波变换的基本概念和时频表示方法，以及常用的基本小波函数。
2
第二部分：小波应用
探索小波在信号去噪、信号压缩和信号分析中的实际应用。
小波变换简介
3
小波包变换(WPT)
将小波分解拓展到更深的层次，提供更详细的频域信息。
信号去噪
1 小波阈值去噪
利用小波分解的近似和细节系数，通过阈值处理来减少信号中的噪声。
2 小波包阈值去噪
使用小波包变换提供的更详细的频域信息来进行信号去噪处理。
3 小波缩放函数去噪
利用小波缩放函数来抑制信号中的噪声，并保留信号的重要特征。
2
小波分析在图像处理中的应用
利用小波变换处理图像，实现图像去噪、边缘检测等图像处理任务。
小波是一种数学函数，用于描述信号在不同时间和频率上的变化。
时频表示
小波变换将信号分解为时域和频域信息，揭示了信号的局部特征。
单频分解
与傅里叶变换不同，小波变换可以提供信号的局部频率信息。
基本小波函数
Haar小波
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Daubechies小波
Haar小波是最简单的小波函数， 具有快速计算和良好的局部特性。
《小波分析及应用》PPT 课件
在本PPT课件中，我们将介绍小波分析及其广泛的应用。了解小波基础和小波 应用的重要概念。
小波分析及应用
1
第一部分：小波基础
了解小波变换的基本概念和时频表示方法，以及常用的基本小波函数。
2
第二部分：小波应用
探索小波在信号去噪、信号压缩和信号分析中的实际应用。
小波变换简介
3
小波包变换(WPT)
将小波分解拓展到更深的层次，提供更详细的频域信息。
信号去噪
1 小波阈值去噪
利用小波分解的近似和细节系数，通过阈值处理来减少信号中的噪声。
2 小波包阈值去噪
使用小波包变换提供的更详细的频域信息来进行信号去噪处理。
3 小波缩放函数去噪
利用小波缩放函数来抑制信号中的噪声，并保留信号的重要特征。
2
小波分析在图像处理中的应用
利用小波变换处理图像，实现图像去噪、边缘检测等图像处理任务。
第十一讲 小波分析基础
1 f ( x) C
da (W f )(b, a) b,a ( x) a 2 db
线性变换 W 称为关于基小波 (又称为母小波)的积分小波变换。
3.3 离散小波变换
若取二进膨胀 a 式如下
1 k b ，并取二进位移 ，则由式(4.3)导出的离散小波变换的形 j j 2 2
2
a ,b ( x ) a (
1 2
xb ) a
则两个参数 a，b 分别用于膨胀(伸缩能力)和用于移位(移近与远离能力)。
若引进积分变换 W ，并定义如下式，即可得连续的小波变换形式
(W f )(b, a) f , a ,b a
其重构公式为
1 2
x b f ( x) ( )dx a
频 率
时间
3.2 连续小波变换
ˆ ( ) ，当 ˆ ( ) 满足允 设 ( x) L2 (R) ，即满足 R ( x ) dx ，其傅里叶变换为
2
许条件（完全重构或恒等分辨条件）
ˆ ( ) C d R
称 ( x) 为一个小波或母小波，若采用以下定义式：
称该序列为 L2(R)的一个多分辨分析（MRA） 。 若存在函数 ( x) ，使得下式成立：
2j V j span2 (2 j x k ), k Z
第三讲小波分析
=
1
λ
1 aλ
∫
R
f (u )ψ (
1 u − bλ )du = Wf (t )(λa, λb) aλ λ
性质 4（乘法定理）设 f(t), g(t)是平方可积函数，则
∞
∫ ∫ Wf (a, b)W g (a, b) a
0 R
da
2
ˆ (ξ ) |2 ξ −1dξ 。 db = Cψ ∫ f (t ) g (t )dt ，其中 Cψ = ∫ | ψ
R
逆定理是 3.2.2 定理 假定ψ是紧支撑的，设 f ∈ L2(R)是有界且连续的。如果对于某个α∈(0,1)，f 的小 波变换满足
&&lder 连续的。 | Wψ f (a, b) |≤ c | a |α +1 / 2 ，那么， f 是具有指数α的 Ho
当然， Fourier 变换在条件
∫ (1+ | ω |
R
∆t = ( ∫ (t − t * ) 2 | ψ a ,b (t ) |2 dt )1 / 2 / || ψ a ,b (t ) || 为时窗半径 ，
R
ˆ a ,b (ω ) |2 dω / || ψ ˆ a ,b (ω ) ||2 为频窗中心 ， ω* = ∫ ω |ψ
R
ˆ a ,b (ω ) |2 dω )1 / 2 / || ψ ˆ a ,b (ω ) || 为频窗半径 。 ∆ω = ( ∫ (ω − ω * ) 2 | ψ
小波基本理论及应用PPT课件
小波变换的分类精度取决于特征提取 方法和分类算法的选择。选择合适的 特征提取方法和分类算法，可以在保 证分类精度的同时提高分类速度。
小波变换在图像识别与分类方面的应 用包括人脸识别、车牌识别、物体识 别等领域。
06
小波变换在其他领域的应用
在数值分析中的应用
信号处理
小波变换在信号处理中用于信号的分解、重 构、去噪和压缩等。
在信号处理中，通过调整小波变换的尺度和平移参数，可 以得到信号在不同时间和频率下的局部信息，从而更好地 理解信号的特征和性质。
03
小波变换的算法实现
一维小波变换算法
一维小波变换算法是实现小波变换的基本方法之一，它通过对一维信号进行多尺度分析，将信号分解 成不同频率和不同时间分辨率的成分。
一维小波变换算法可以分为连续小波变换和离散小波变换两种，其中离散小波变换在实际应用中更为广 泛。
二维小波变换算法的实现步骤包 括：选择合适的小波基函数、对 图像进行多尺度分解、对细节系 数和近似系数进行处理等。
小波包算法及其应用
小波包算法是小波分析的一个重要分支，它通过对信号进行更精细的分解，提供比 传统小波变换更丰富的信息。
小波包算法可以实现信号的高频部分和低频部分的分离，从而更好地提取信号的特 征和细节信息。
小波包算法在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用，例如在图像 压缩、图像增强、语音识别等方面取得了很好的效果。
14.1 小波分析的基本原理
k k k k
式中: sJ ,k f (t )ΦJ ,k (t )dt , d j ,k f (t )Ψ j ,k (t )dt ,
j=1,2,…,J，J为最大尺度。
f(t)还可表达为： f (t ) SJ DJ DJ 1 ... Dj ... D1 式中:
构成函数空间L2(R)的标准正交基。
五、小波分解
通过小波分解，将时域信号分解到不同的
频带上。根据范数为1的规则，在一个给定的小
波族如Symmlet里有两种类型的小波：
j t 2 k j/2 2 Φ( ) j 2
父小波： Φ(t )dt 1 , Φ j ,k
(14.1.24)
母小波： Ψ (t )dt 0 , Ψ j ,k 2
E(Ψ ) / a (Ψ ) / a ]。
其时-频窗面积为： 2 a ( ) [2(Ψ ) / a ] 4( )(Ψ )
（二）小波变换的局部化能力
从频率域的角度来看，小波变换已经没有象
Fourier 变换那样的“频率点”的概念，取
而代之的则是本质意义上的“频带”的概念； 从时间域来看，小波变换所反映的也不再是 某个准确的“时间点”处的变化，而是体现 了原信号在某个“时间段”内的变化情况。
二进离散数值 ak 2 k 的特例。
对 于 函 数 f( t) ， 其 二 进 离 散 小 波 变 换 记 为 W fk (b) ，定义如下：
式中: sJ ,k f (t )ΦJ ,k (t )dt , d j ,k f (t )Ψ j ,k (t )dt ,
j=1,2,…,J，J为最大尺度。
f(t)还可表达为： f (t ) SJ DJ DJ 1 ... Dj ... D1 式中:
构成函数空间L2(R)的标准正交基。
五、小波分解
通过小波分解，将时域信号分解到不同的
频带上。根据范数为1的规则，在一个给定的小
波族如Symmlet里有两种类型的小波：
j t 2 k j/2 2 Φ( ) j 2
父小波： Φ(t )dt 1 , Φ j ,k
(14.1.24)
母小波： Ψ (t )dt 0 , Ψ j ,k 2
E(Ψ ) / a (Ψ ) / a ]。
其时-频窗面积为： 2 a ( ) [2(Ψ ) / a ] 4( )(Ψ )
（二）小波变换的局部化能力
从频率域的角度来看，小波变换已经没有象
Fourier 变换那样的“频率点”的概念，取
而代之的则是本质意义上的“频带”的概念； 从时间域来看，小波变换所反映的也不再是 某个准确的“时间点”处的变化，而是体现 了原信号在某个“时间段”内的变化情况。
二进离散数值 ak 2 k 的特例。
对 于 函 数 f( t) ， 其 二 进 离 散 小 波 变 换 记 为 W fk (b) ，定义如下：
小波分析入门PPT课件
小波基函数对信号进行展开。
特点
02
连续小波变换具有灵活性和自适应性，能够适应不同的信号特
性和分析需求。
应用
03
在量子力学、流体动力学、地震学等领域有广泛应用。
实数小波变换
定义
实数小波变换是指小波基函数为实数的小波变换，其 变换结果也为实数。
特点
实数小波变换具有计算简单、易于实现的特点，适用 于对实数信号的处理和分析。
数值计算中的应用
数值求解偏微分方程
小波分析可以用于求解偏微分方程的数值解，通过小波变 换可以将方程转化为离散形式，便于计算。
数值积分与微分
小波分析可以用于数值积分与微分的计算，通过小波基函 数展开被积函数或被微分函数，可以快速计算积分或微分 值。
数值优化
小波分析可以用于优化问题的求解，如最小二乘问题、约 束优化问题等，通过小波基函数展开目标函数或约束条件 ，可以找到最优解。
图像处理中的应用
图像压缩
小波变换可以将图像分 解为不同频率和方向的 子图像，保留主要部分 的子图像即可实现图像 压缩，节省存储空间。
图像增强
通过调整小波变换的参 数，可以突出图像中的 细节部分或平滑图像中 的噪声，实现图像的增 强和滤波。
图像融合
小波变换可以将多幅图 像分解为不同频率和尺 度的系数，通过融合这 些系数可以实现多幅图 像的融合。
小波分析-基础知识
线性空间
3. 0 0;
1 ; 0 0.
证明 0 1 0 1 0 1 ,
0 0.
1 1 1 1 1 0 0,
1 .
R
mn
是一个线性空间 .
线性空间
例2 次数不超过n的多项式的全体, 记作 P[ x ]n ,即 P[ x ]n { p a n x n a 1 x a 0 a n , , a 1 , a 0 R}, 对于通常的多项式加法 , 数乘多项式的乘法构成 向 量空间. 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律． (a n x n a1 x a 0) (bn x n b1 x b0) (a n bn) x n (a1 b1) x (a 0 b0) P[ x]n (a n x n a 1 x a 0 ) ( a n) x n ( a1) x ( a 0) P[ x]n . P[ x]n 对运算封闭
(3) R中存在零元素1, 对任何a R , 有
a 1 a 1 a;
(4) a R , 有负元素a 1 R , 使
a a 1 a a 1 1;
线性空间
(5) 1 a a a;
1
(6) a a a
相关主题
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对于L2(R)上的非周期函数f(t) ，有
fˆ() f(t)eitdt
(1.9)
称 fˆ ( ) 为f(t)的傅立叶变换，反变换公式为
f(t) fˆ()eitd
(1.10)
精选PPT
College of Mathematics and Computer Science, Hebei University
从数学上已经证明了，傅立叶级数的前N项和是原函数f(t) 在给定能量下的最佳逼近：
精选PPT
College of Mathematics and Computer Science, Hebei University
N l im 0 Tf(t) a 2 0k N 1a kck o0 ts b ksikn 0 t 2 d (1 .8x 0 )
精选PPT
College of Mathematics and Computer Science, Hebei University
一个信号从数学的角度来看，它是一个自变量为时间t的函 数f(t)。因为信号是能量有限的，即
f
(t)2dt0
(1.1)
满足条件(1.1)的所有函数的集合就形成L2(R) 图像是二维信号，同样是能量有限的。实际上任何一幅数字
是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数，这样认识小波 需要L2(R) 空间的基础知识，特别是内积空间中空间分解、函数 变换等的基础知识。
从信号处理的角度讲，小波(变换)是强有力的时频分析(处理) 工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的，所以从信 号处理的角度认识小波，需要傅立叶变换、傅立叶级数、滤波器 等的基础知识。
4、Morlet小波
5、Mexican Hat小波
6、Meyer小波
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College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 不是小波的例
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对于给定信号f(t)，关键是选择合适的基gi(t) ，使得f(t)在这 组基下的表现呈现出我们需要的特性，但是如果某一个基不
满足要求，可通过变换将函数转换到另一个基下表示，才能
得到我们需要的函数表示。常用的变换[2]有：
(1) K-L变换
(2) Walsh变换
(3) 傅立叶变换
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(4) 小波变换
如图所示是信号f(t)的傅立叶变换示意图。信号f(t)经傅立叶
变换由时域变换到频域，基底不同得到大变换也不同。
在信号处理中，有两类非常重要的变换即傅立叶变换和小波
变换。目前，可简单地将小波理解为满足以下两个条件的特
殊信号：
(1) 小波必须时振荡的；
(2) 小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零，即是局
部化的。
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College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 一些著名的小波[3]：
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3、傅立叶变换与时频分析[4] 我们知道，任何复杂的周期信号f(t)可以用简单的调和振荡函
数表示成如下形式：
f(t)a 2 0i 1 (akco k0 stbksikn 0t)
ak
2 T
T
f
0
(t)coks0td， t k0,1,2
(1.5)
bk
2 T
0Tf(t)sink0td， t k0,1,2
(1.6)
于是，周期函数f(t) 就与下面的傅立叶序列产生了一一对应， 即
f( t ) a 0 ,( a 1 ,b 1 ) ( a 2 , ,b 2 ) , (1.7)
f (t) cigi(t)
(1.2)
i1
其中
ci f(t),gi(t)f(t)gi(t)dt
gk(t),gl(t) gk(t)gl(t)d t k， l k,lZ (1.3)
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1、Daubechies小波
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2、Coiflets小波 3、Symlets小波
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图像都是从真实的场景中经过采样和量化处理后得到的。从数 学上看，图像是定义在L2(R2)上的函数。
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如图1所示的LENA图像f(x,y)，假设图像的大小是512x512，量 化级是256，即
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一、认识小波
1、预备知识 从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元，
(1.4)
这就是著名的傅立叶级数，co ks0t和 sikn 0t都是简单的调和
振荡函数，直观讲都是正弦波。ak和bk 是函数f(t)的傅立叶系数，
可由以下公式计算：
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0 f(x ,y ) 250 5 x ,y 511
y
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x
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2、L2(R)空间的正交分解和变换[1]
对 f(t)L2(R) ， 存 在 L2(R) 的 一 组 标 准 正 交 基 gi(t) ， t R ， i=1,2,…使得
fˆ() f(t)eitdt
(1.9)
称 fˆ ( ) 为f(t)的傅立叶变换，反变换公式为
f(t) fˆ()eitd
(1.10)
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从数学上已经证明了，傅立叶级数的前N项和是原函数f(t) 在给定能量下的最佳逼近：
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N l im 0 Tf(t) a 2 0k N 1a kck o0 ts b ksikn 0 t 2 d (1 .8x 0 )
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一个信号从数学的角度来看，它是一个自变量为时间t的函 数f(t)。因为信号是能量有限的，即
f
(t)2dt0
(1.1)
满足条件(1.1)的所有函数的集合就形成L2(R) 图像是二维信号，同样是能量有限的。实际上任何一幅数字
是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数，这样认识小波 需要L2(R) 空间的基础知识，特别是内积空间中空间分解、函数 变换等的基础知识。
从信号处理的角度讲，小波(变换)是强有力的时频分析(处理) 工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的，所以从信 号处理的角度认识小波，需要傅立叶变换、傅立叶级数、滤波器 等的基础知识。
4、Morlet小波
5、Mexican Hat小波
6、Meyer小波
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对于给定信号f(t)，关键是选择合适的基gi(t) ，使得f(t)在这 组基下的表现呈现出我们需要的特性，但是如果某一个基不
满足要求，可通过变换将函数转换到另一个基下表示，才能
得到我们需要的函数表示。常用的变换[2]有：
(1) K-L变换
(2) Walsh变换
(3) 傅立叶变换
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(4) 小波变换
如图所示是信号f(t)的傅立叶变换示意图。信号f(t)经傅立叶
变换由时域变换到频域，基底不同得到大变换也不同。
在信号处理中，有两类非常重要的变换即傅立叶变换和小波
变换。目前，可简单地将小波理解为满足以下两个条件的特
殊信号：
(1) 小波必须时振荡的；
(2) 小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零，即是局
部化的。
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3、傅立叶变换与时频分析[4] 我们知道，任何复杂的周期信号f(t)可以用简单的调和振荡函
数表示成如下形式：
f(t)a 2 0i 1 (akco k0 stbksikn 0t)
ak
2 T
T
f
0
(t)coks0td， t k0,1,2
(1.5)
bk
2 T
0Tf(t)sink0td， t k0,1,2
(1.6)
于是，周期函数f(t) 就与下面的傅立叶序列产生了一一对应， 即
f( t ) a 0 ,( a 1 ,b 1 ) ( a 2 , ,b 2 ) , (1.7)
f (t) cigi(t)
(1.2)
i1
其中
ci f(t),gi(t)f(t)gi(t)dt
gk(t),gl(t) gk(t)gl(t)d t k， l k,lZ (1.3)
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1、Daubechies小波
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2、Coiflets小波 3、Symlets小波
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图像都是从真实的场景中经过采样和量化处理后得到的。从数 学上看，图像是定义在L2(R2)上的函数。
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如图1所示的LENA图像f(x,y)，假设图像的大小是512x512，量 化级是256，即
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一、认识小波
1、预备知识 从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元，
(1.4)
这就是著名的傅立叶级数，co ks0t和 sikn 0t都是简单的调和
振荡函数，直观讲都是正弦波。ak和bk 是函数f(t)的傅立叶系数，
可由以下公式计算：
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0 f(x ,y ) 250 5 x ,y 511
y
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2、L2(R)空间的正交分解和变换[1]
对 f(t)L2(R) ， 存 在 L2(R) 的 一 组 标 准 正 交 基 gi(t) ， t R ， i=1,2,…使得