《小波分析基础》PPT课件
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对于L2(R)上的非周期函数f(t) ，有
fˆ() f(t)eitdt
(1.9)
称 fˆ ( ) 为f(t)的傅立叶变换，反变换公式为
f(t) fˆ()eitd
(1.10)
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从数学上已经证明了，傅立叶级数的前N项和是原函数f(t) 在给定能量下的最佳逼近：
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N l im 0 Tf(t) a 2 0k N 1a kck o0 ts b ksikn 0 t 2 d (1 .8x 0 )
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一个信号从数学的角度来看，它是一个自变量为时间t的函 数f(t)。因为信号是能量有限的，即
f
(t)2dt0
(1.1)
满足条件(1.1)的所有函数的集合就形成L2(R) 图像是二维信号，同样是能量有限的。实际上任何一幅数字
是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数，这样认识小波 需要L2(R) 空间的基础知识，特别是内积空间中空间分解、函数 变换等的基础知识。
从信号处理的角度讲，小波(变换)是强有力的时频分析(处理) 工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的，所以从信 号处理的角度认识小波，需要傅立叶变换、傅立叶级数、滤波器 等的基础知识。
4、Morlet小波
5、Mexican Hat小波
6、Meyer小波
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SKIP
College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 不是小波的例
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对于给定信号f(t)，关键是选择合适的基gi(t) ，使得f(t)在这 组基下的表现呈现出我们需要的特性，但是如果某一个基不
满足要求，可通过变换将函数转换到另一个基下表示，才能
得到我们需要的函数表示。常用的变换[2]有：
(1) K-L变换
(2) Walsh变换
(3) 傅立叶变换
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(4) 小波变换
如图所示是信号f(t)的傅立叶变换示意图。信号f(t)经傅立叶
变换由时域变换到频域，基底不同得到大变换也不同。
在信号处理中，有两类非常重要的变换即傅立叶变换和小波
变换。目前，可简单地将小波理解为满足以下两个条件的特
殊信号：
(1) 小波必须时振荡的；
(2) 小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零，即是局
部化的。
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College of Mathematics and Computer Science, Hebei University 一些著名的小波[3]：
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3、傅立叶变换与时频分析[4] 我们知道，任何复杂的周期信号f(t)可以用简单的调和振荡函
数表示成如下形式：
f(t)a 2 0i 1 (akco k0 stbksikn 0t)
ak
2 T
T
f
0
(t)coks0td， t k0,1,2
(1.5)
bk
2 T
0Tf(t)sink0td， t k0,1,2
(1.6)
于是，周期函数f(t) 就与下面的傅立叶序列产生了一一对应， 即
f( t ) a 0 ,( a 1 ,b 1 ) ( a 2 , ,b 2 ) , (1.7)
f (t) cigi(t)
(1.2)
i1
其中
ci f(t),gi(t)f(t)gi(t)dt
gk(t),gl(t) gk(t)gl(t)d t k， l k,lZ (1.3)
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1、Daubechies小波
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2、Coiflets小波 3、Symlets小波
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图像都是从真实的场景中经过采样和量化处理后得到的。从数 学上看，图像是定义在L2(R2)上的函数。
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如图1所示的LENA图像f(x,y)，假设图像的大小是512x512，量 化级是256，即
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一、认识小波
1、预备知识 从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元，
(1.4)
这就是著名的傅立叶级数，co ks0t和 sikn 0t都是简单的调和
振荡函数，直观讲都是正弦波。ak和bk 是函数f(t)的傅立叶系数，
可由以下公式计算：
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0 f(x ,y ) 250 5 x ,y 511
y
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x
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2、L2(R)空间的正交分解和变换[1]
对 f(t)L2(R) ， 存 在 L2(R) 的 一 组 标 准 正 交 基 gi(t) ， t R ， i=1,2,…使得
fˆ() f(t)eitdt
(1.9)
称 fˆ ( ) 为f(t)的傅立叶变换，反变换公式为
f(t) fˆ()eitd
(1.10)
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从数学上已经证明了，傅立叶级数的前N项和是原函数f(t) 在给定能量下的最佳逼近：
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N l im 0 Tf(t) a 2 0k N 1a kck o0 ts b ksikn 0 t 2 d (1 .8x 0 )
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一个信号从数学的角度来看，它是一个自变量为时间t的函 数f(t)。因为信号是能量有限的，即
f
(t)2dt0
(1.1)
满足条件(1.1)的所有函数的集合就形成L2(R) 图像是二维信号，同样是能量有限的。实际上任何一幅数字
是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数，这样认识小波 需要L2(R) 空间的基础知识，特别是内积空间中空间分解、函数 变换等的基础知识。
从信号处理的角度讲，小波(变换)是强有力的时频分析(处理) 工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的，所以从信 号处理的角度认识小波，需要傅立叶变换、傅立叶级数、滤波器 等的基础知识。
4、Morlet小波
5、Mexican Hat小波
6、Meyer小波
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对于给定信号f(t)，关键是选择合适的基gi(t) ，使得f(t)在这 组基下的表现呈现出我们需要的特性，但是如果某一个基不
满足要求，可通过变换将函数转换到另一个基下表示，才能
得到我们需要的函数表示。常用的变换[2]有：
(1) K-L变换
(2) Walsh变换
(3) 傅立叶变换
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(4) 小波变换
如图所示是信号f(t)的傅立叶变换示意图。信号f(t)经傅立叶
变换由时域变换到频域，基底不同得到大变换也不同。
在信号处理中，有两类非常重要的变换即傅立叶变换和小波
变换。目前，可简单地将小波理解为满足以下两个条件的特
殊信号：
(1) 小波必须时振荡的；
(2) 小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零，即是局
部化的。
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3、傅立叶变换与时频分析[4] 我们知道，任何复杂的周期信号f(t)可以用简单的调和振荡函
数表示成如下形式：
f(t)a 2 0i 1 (akco k0 stbksikn 0t)
ak
2 T
T
f
0
(t)coks0td， t k0,1,2
(1.5)
bk
2 T
0Tf(t)sink0td， t k0,1,2
(1.6)
于是，周期函数f(t) 就与下面的傅立叶序列产生了一一对应， 即
f( t ) a 0 ,( a 1 ,b 1 ) ( a 2 , ,b 2 ) , (1.7)
f (t) cigi(t)
(1.2)
i1
其中
ci f(t),gi(t)f(t)gi(t)dt
gk(t),gl(t) gk(t)gl(t)d t k， l k,lZ (1.3)
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1、Daubechies小波
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2、Coiflets小波 3、Symlets小波
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图像都是从真实的场景中经过采样和量化处理后得到的。从数 学上看，图像是定义在L2(R2)上的函数。
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如图1所示的LENA图像f(x,y)，假设图像的大小是512x512，量 化级是256，即
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一、认识小波
1、预备知识 从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元，
(1.4)
这就是著名的傅立叶级数，co ks0t和 sikn 0t都是简单的调和
振荡函数，直观讲都是正弦波。ak和bk 是函数f(t)的傅立叶系数，
可由以下公式计算：
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0 f(x ,y ) 250 5 x ,y 511
y
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x
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2、L2(R)空间的正交分解和变换[1]
对 f(t)L2(R) ， 存 在 L2(R) 的 一 组 标 准 正 交 基 gi(t) ， t R ， i=1,2,…使得